SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) ABSTRACT

SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M2 (Z) Miftakhul Rohmah1∗ , Sri Gemawati2 , Asli Sirait2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗ [email protected]

ABSTRACT An n × n matrix over a commutative ring with identity is clean if it is the sum of an idempotent matrix and [ unit. ]This paper discusses necessary and sufficient criteria a b , where a, b, c, d are integer numbers, to be clean. for 2 × 2 matrix A = c d Keywords: Clean matrix, idempotent matrix, unit matrix, Diophantine equation. ABSTRAK Sebuah matriks berukuran n × n atas ring komutatif dengan identitas, dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan dari matriks idempoten dan matriks unit. Artikel ini syarat perlu dan syarat cukup suatu matriks ] [ membahas a b dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk menberukuran 2 × 2, A = c d jadi clean. Kata kunci: Matriks clean, matriks idempoten, matriks unit, persamaan Diophantine. 1. PENDAHULUAN Salah satu teori yang dipelajari dalam ilmu Aljabar adalah matriks. Matriks banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah persamaan linear. Matriks merupakan susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks [1, h.22]. Selain matriks, teori lain yang dipelajari dalam ilmu Aljabar yaitu ring. Ring merupakan suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi, yaitu operasi penjumlahan dan operasi perkalian [2, h.174]. Suatu ring yang terhadap operasi perkalian bersifat komutatif dinamakan ring komutatif, dan suatu ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian disebut ring dengan elemen satuan [2, h.178]. Repository FMIPA

1

Sebuah matriks n × n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan matriks idempoten E dan matriks unit U . Matriks clean terbagi menjadi 2 bagian, yaitu 0-clean dan 1-clean. Nilai 0 dan 1 diperoleh berdasarkan nilai determinan dari matriks E. Di dalam artikel[ini dibuktikan mengenai syarat perlu dan cukup untuk matriks ] a b 2 × 2, matriks A = dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk menjadi c d clean. Artikel ini merupakan penjabaran dari jurnal yang berjudul ”A Note on Clean Matrices in M2 (Z)”[5]. 2. SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP UNTUK MATRIKS CLEAN DI M2 (Z) Pada bagian ini, dibahas mengenai syarat perlu dan syarat cukup pada matriks clean 2 × 2 dengan entri-entrinya adalah bilangan bulat (M2 (Z)). 2.1 Matriks Idempoten Definisi 1 (Matriks Idempoten) [3, h. 76] Sebuah matriks En×n disebut matriks 2 idempoten jika memenuhi En×n = En×n . ] [ x y ∈ M2 (Z) merupakan Lema 2 (Matriks Idempoten) [5] Misalkan E = w z matriks idempoten jika dan hanya jika merupakan salah satu dari bentuk matriks berikut ] ] [ ] [ ] [ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 , , , , 0 1 0 1 0 0 0 0 [ ] [ ] x y x x(1−x) y y ̸= 0, y ̸= 0. x(1−x) 1−x y 1−x y ] [ x y Bukti: =⇒ Asumsikan bahwa matriks E = ∈ M2 (Z) adalah idempoten, w z menurut Definisi 1, maka ditunjukkan bahwa matriks E memenuhi bentuk sebagai berikut [ ][ ] [ ] x y x y x y = , (1) w z w z w z dari persamaan (1) diperoleh x2 xy wx wy Repository FMIPA

+ yw + yz + zw + z2

= = = =

x y w z.

(2) (3) (4) (5) 2

Pandang persamaan (2)-(5), jika salah satu dari y ̸= 0 atau w ̸= 0, maka persamaan (3) dan persamaan (4) menjadi wx + zw = w =⇒ x + z = 1.

(6)

Selanjutnya dari persamaan (2) dan (6) diperoleh x2 + yw = x yw = xz.

(7)

Jika y ̸= 0 pada persamaan (7), diperoleh w = x(1−x) . Jadi diperoleh matriks E y dengan bentuk [ ] x y . x(1−x) 1−x y Selanjutnya untuk w ̸= 0 pada persamaan (7), diperoleh y = batkan matriks E berbentuk [ ] x x(1−x) w . w 1−x

x(1−x) , w

Perhatikan jika koefisien dari y ̸= 0 dan w ̸= 0, maka matriks [ ] x y berbentuk x(1−x) dan begitu juga sebaliknya. 1−x y Andaikan koefisien y = 0 dan w = 0, maka peroleh ] ] [ ][ [ x 0 x 0 x 0 = , 0 z 0 z 0 z

yang mengaki-

[

x x(1−x) w w 1−x

]

(8)

dari hasil perkalian (8) diperoleh x2 = x dan z 2 = z, memenuhi syarat idempoten yaitu E 2 = E. Untuk itu E bisa mengikuti salah satu bentuk berikut [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 1 0 0 0 1 0 , , , . 0 0 0 0 0 1 0 1 ⇐= Selanjutnya dibuktikan jika bentuk matriks E mengikuti salah satu bentuk yang diberikan pada Lema 2, maka matriks E adalah idempoten. [ ] 0 0 • Untuk E = , maka 0 0 [ ][ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 = . 0 0 0 0 0 0

Repository FMIPA

3

[

] 1 0 , maka 0 0 [ ][ ] [ ] 1 0 1 0 1 0 = . 0 0 0 0 0 0

[

] 0 0 , maka 0 1 [ ][ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 = . 0 1 0 1 0 1

[

] 1 0 , maka 0 1 [ ][ ] [ ] 1 0 1 0 1 0 = . 0 1 0 1 0 1

• Untuk E =

• Untuk E =

• Untuk E =

[

] y • Untuk E = x(1−x) y ̸= 0, maka 1−x y [ ][ ] [ x y x y = x(1−x) x(1−x) 1−x 1−x y y [ • Untuk E =

x

x x(1−x) y

y 1−x

] .

] x x(1−x) y y ̸= 0, maka y 1−x [ ][ ] [ ] x x(1−x) x x(1−x) x x(1−x) y y y = . y 1−x y 1−x y 1−x

Bentuk matriks yang diberikan pada Lema 2 terbukti memenuhi E 2 = E maka matriks-matriks pada Lema 2 adalah matriks idempoten.  Lema 3 [5] Untuk p ̸= 0, matriks-matriks idempoten [ ] [ ] [ ] [ ] 1 p 1 0 0 0 0 p , , , , 0 0 p 0 p 1 0 1 [ ] [ ] x y x x(1−x) y mengikuti bentuk matriks x(1−x) atau dengan y ̸= 0. 1−x y 1−x y [ ] [ ] x y 1 p Bukti: Untuk matriks E = mengikuti bentuk matriks x(1−x) 0 0 1−x y dengan x = 1 dan y = p, maka matriksnya adalah sebagai berikut [ ] [ ] [ ] x y 1 p 1 p = 1(1−1) = . x(1−x) 0 0 1−x 1−1 y y Repository FMIPA

4

[

] [ ] 1 0 x x(1−x) y Untuk matriks E = mengikuti bentuk matriks , maka p 0 y 1−x matriksnya adalah sebagai berikut [ ] [ ] [ ] 1 0 x x(1−x) 1 1(1−1) y y = = . p 0 y 1−x p 1−1 [

0 0 p 1

]

[

x x(1−x) y y 1−x

]

Untuk matriks dan matriks mengikuti bentuk matriks ] [ ] [ x y 0 p .  mengikuti bentuk matriks x(1−x) 0 1 1−x y [ ] 1 0 Selanjutnya untuk matriks merupakan idempoten jika z = 0 dan w w z [ ] 1 0 sebarang, dan jika z = 1 dan w = 0 maka matriks mempunyai bentuk w z sebagai berikut [ ] [ ] 1 0 1 0 , . w 0 0 1 ] [ 0 0 merupakan idempoten jika z = 0 dan Demikian pula untuk matriks w z ] [ 0 0 mempunyai bentuk w = 0, dan jika z = 1 dan w sebarang, maka matriks w z sebagai berikut ] ] [ [ 0 0 0 0 . , 0 0 w 1 Maka himpunan matriks idempoten mengikuti bentuk sebagai berikut ]} ] [ ] [ ] [ {[ 1 0 0 0 0 0 1 0 , . , X= , 0 0 w 0 0 1 w 1

(9)

2.2 Persamaan Diophantine Persamaaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine linear dan persamaan Diophantine nonlinear. Persamaan ini pertama kali ditulis oleh ”Diophantus” (250 M). Persamaan Diophantine adalah persamaan polinomial yang penyelesaiannya berupa bilangan bulat dan penyelesaiannya mempunyai solusi yang banyak. Bentuk umum dari persamaan Diophantine yaitu A′ x2 + B ′ xy + C ′ y 2 + D′ x + E ′ y + F ′ = 0,

(10)

dengan A′ , B ′ , C ′ , D′ , E ′ , F ′ adalah konstanta. Ada beberapa kasus yang mungkin dalam mencari penyelesaian persamaan Diophantine (10), antara lain yaitu • Kasus Linear A′ = B ′ = C ′ = 0. • Kasus Simpel Hyperbolik A′ = C ′ = 0, B ′ ̸= 0. Repository FMIPA

5

• Kasus Elips B ′2 − 4A′ C ′ < 0. • Kasus Parabolik B ′2 − 4A′ C ′ = 0. • Kasus Hyperbolik B ′2 − 4A′ C ′ > 0. Persamaan Diophantine yang akan dibahas pada tulisan ini adalah persamaan Diophantine berderajat dua dengan dua variabel sebagai berikut (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a − 1)y = 0 (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a + 1)y = 0.

(11) (12)

Persamaan Diophantine pada (11) dan (12) memiliki solusi penyelesaian trivial dengan nilai x = 1, y = 0 dan x = 0, y = 0. Selain solusi trivial, persamaan Diophantine pada (11) dan (12) juga memiliki solusi penyelesaian nontrivial jika y ̸= 0 dan y|x(1 − x) (y habis membagi (1 − x)). 2.3 Syarat Perlu dan Syarat Cukup untuk Matriks Clean Sebuah matriks n × n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan matriks clean jika matriks tersebut merupakan jumlah dari matriks idempoten E dan sebuah unit U. Definisi 4 [4] Misalkan e merupakan elemen idempoten di K. Suatu matriks M ∈ Mn (K) dapat ditulis sebagai E + U , untuk suatu E = E 2 dengan det(E) = e dan suatu U ∈ GLn (K), dikatakan M adalah e-clean. Dalam bentuk khusus, untuk n = 1, element e-clean dari K = M1 (K) hanya bentuk e + u dimana u ∈ U (K). ] [ x y dengan x, y, w, z adalah Definisikan terdapat sebuah matriks A2×2 = w z bilangan bulat dan asumsikan bahwa matriks A adalah matriks clean. Berdasarkan Definisi 4, jika matriks clean maka dapat dibentuk menjadi E + U dengan E adalah matriks idempoten. Jika det(E) = 1, maka matriks clean disebut dengan matriks 1−clean. Jika det(E) = 0, maka matriks clean disebut dengan matriks 0−clean. Teorema 5 [5] A merupakan 1 − clean jika dan hanya jika det(A)-T r(A) = 0 atau det(A)-T r(A) = −2. Bukti: =⇒ Asumsikan jika matriks A adalah 1 − clean, maka det(A) [ - T r(A) ] =0 1 0 atau det(A)-T r(A) = −2. Berdasarkan Definisi 4, pilih matriks E = pada 0 1 Lema 2 yang memiliki det(E) = 1, karena matriks E adalah matriks identitas, maka dapat ditulis sebagai berikut A = I + U, dapat dijabarkan sebagai berikut [ ] [ x y 1 0 w z − 0 1

] = ±1

det(A) − T r(A) = 0 atau − 2, Repository FMIPA

6

terbukti jika A adalah 1 − clean, maka det(A)-T r(A) = 0 atau det(A)-T r(A) = −2. =⇒ Selanjutnya dibuktikan bahwa det(A)-T r(A) = 0 atau −2 adalah 1 − clean, sebagai berikut det(A) − T r(A) = 0 atau − 2, dapat dijabarkan menjadi (xz − yw) − (x + z) + 1 = 0 atau − 2 [ ] [ ] x y 1 0 = ±1, − w z 0 1 dapat disederhanakan menjadi A − E = U. Karena A memenuhi bentuk A = E + U maka A adalah clean, dan det(E) = 1 maka terbukti A adalah 1 − clean.  Berikut diberikan beberapa matriks E yang bisa menjadi unit. [ ] a b dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, Lema 6 [5] Misalkan matriks A = c d maka matriks E sebagai berikut ] [ 0 0 maka A − E adalah unit ⇐⇒ A adalah unit. 1. Jika E = 0 0 [ ] 1 0 2. Jika E = maka A − E adalah unit ⇐⇒ det(A) − d + bw = ±1. w 0 [ ] 0 0 3. Jika E = maka A − E adalah unit ⇐⇒ det(A) − a + bw = ±1. w 1 ] [ 1 w maka A − E adalah unit ⇐⇒ det(A) − d + cw = ±1. 4. Jika E = 0 0 ] [ 0 w 5. Jika E = maka A − E adalah unit ⇐⇒ det(A) − a + cw = ±1. 0 1 Bukti:

[

] 0 0 1. Untuk matriks E = . 0 0 =⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka dibuktikan A adalah unit. [ ] [ ] a b 0 0 A−E = − = A, c d 0 0 karena A − E adalah unit, maka terbukti A adalah unit. ⇐= Jika A adalah unit maka dibuktikan bahwa A − E adalah unit sebagai berikut [ ] [ ] a b 0 0 A−E = − = A, c d 0 0 karena A diketahui adalah unit, maka A − E adalah unit.

Repository FMIPA

7

[

] 1 0 2. Untuk matriks E = . w 0 =⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A) − d + bw = ±1 [ ] a−1 b A−E = c−w d det(A − E) = det(A) − d + bw = ±1, terbukti untuk A − E unit diperoleh det(A) − d + bw = ±1. ⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A)−d+bw = ±1 dibuktikan bahwa A−E adalah unit. det(A) − d + bw = ±1 [ ] [ ] a b 1 0 A−E = − . c d w 0 Dari persamaan det(A) − d + bw = ±1 diperoleh matriks A − E. [ ] 0 0 3. Untuk matriks E = . w 1 =⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A) − a + bw = ±1 [ ] a b A−E = c−w d−1 det(A − E) = det(A) − a + bw = ±1, terbukti untuk A − E unit diperoleh det(A) − d + bw = ±1. ⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A)−d+bw = ±1 dibuktikan bahwa A−E adalah unit. det(A) − a + bw = ±1 [ ] [ ] a b 0 0 A−E = − . c d w 1 Dari persamaan det(A) − a + bw = ±1 diperoleh matriks A − E. [ ] 1 w 4. Untuk matriks E = . 0 0 =⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A) − d + cw = ±1 [ ] a−1 b−w A−E = c d det(A − E) = det(A) − d + cw = ±1, Repository FMIPA

8

terbukti untuk A − E unit diperoleh det(A) − d + cw = ±1. ⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A) − d + cw = ±1 dibuktikan bahwa A − E adalah unit. det(A) − d + cw = ±1 [ ] [ ] a b 1 w A−E = − . c d 0 0 Dari persamaan det(A) − d + cw = ±1 [ ] 0 w 5. Untuk matriks E = . 0 1 =⇒ Asumsikan jika A − E adalah det(A) − a + cw = ±1 [ a A−E = c

diperoleh matriks A − E.

unit maka membentuk persamaan b−w d−1

]

det(A − E) = det(A) − a + cw = ±1, terbukti untuk A − E unit diperoleh det(A) − a + cw = ±1. ⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A) − a + cw = ±1 dibuktikan bahwa A − E adalah unit. det(A) − a + cw = ±1 ] ] [ [ 0 w a b . − A−E = 0 1 c d Dari persamaan det(A) − a + cw = ±1 diperoleh matriks A − E.



Matriks E yang diberikan adalah unit jika dilakukan operasi A − E. Pemilihan bentuk matriks E merupakan hal yang penting karena E merupakan syarat perlu untuk matriks clean. Begitu juga untuk A − E haruslah unit karena merupakan syarat cukup untuk matriks clean. Teorema 7 [5] Diberikan E merupakan sebuah matriks idempoten dengan det(E) = 0 dan E ∈ / X, dimana X merupakan himpunan matriks pada persamaan (9). Maka A − E merupakan unit jika dan hanya jika mengikuti salah satu bentuk persamaan Diophantine berikut (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a − 1)y = 0 (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a + 1)y = 0,

(13) (14)

mempunyai solusi (x, y) dengan x ̸= 0, 1 , y ̸= 0 dan y|x(1 − x). [ ] a b Bukti: Diketahui matriks A = . X merupakan himpunan matriks seperti c d pada persamaan (9). Jika E ∈ / X, maka berdasarkan Lema 2 E t = E. Ambil Repository FMIPA

9

] y dari Lema 2. E = x(1−x) 1−x y =⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit, maka membentuk persamaan Diophantine. [ ] [ ] x y a b A−E = − x(1−x) c d 1−x y a−x b − y det(A − E) = = ±1 c − x(1−x) d−1+x y [

x

det(A − E) =(a − x)(d − 1 + x) − (b − y)(c −

x(1 − x) ) = ±1, y

(15)

dari persamaan (15), diperoleh persamaan diophantine sebagai berikut det(A − E) = (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a ± 1)y = 0.

(16)

⇐= Selanjutnya jika terdapat persamaan Diophantine, maka dibuktikan bahwa A − E adalah unit. (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a ± 1)y = 0 x(1 − x) (a − x)(d − 1 + x) − (b − y)(c − ) = ±1 y a−x b − y c − x(1−x) d − 1 + x = ±1 y det(A − E) = ±1. Dari persamaan Diophantine terbentuk matriks det(A − E) = ±1, dimana ±1 merupakan nilai unit. Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan Diophantine adalah unit. [ ] a b merupakan 0−clean jika dan hanya Teorema 8 [5] Diberikan matriks A = c d jika memenuhi salah satu syarat berikut 1. A merupakan unit. 2. det(A) − d + bw = ±1 untuk setiap w. 3. det(A) − a + bw = ±1 untuk setiap w. 4. Persamaan Diopantine (−b)x2 +(a−d)xy +(c)y 2 +(b)x+(det(A)−a−1)y = 0 memiliki solusi non-trivial. 5. Persamaan Diopantine (−b)x2 +(a−d)xy +(c)y 2 +(b)x+(det(A)−a+1)y = 0 memiliki solusi non-trivial.

Repository FMIPA

10

3. CONTOH [ Diberikan matriks A =

7 11 1 3

] tunjukkan bahwa A adalah clean dan memenuhi

0-clean dan 1-clean. Penyelesaian: Menurut Definisi 4 matriks dikatakan clean jika memenuhi A = E + U . Matriks E diperoleh dengan menggunakan Teorema 7, dengan mensubstitusikan nilai A ke persamaan Diophantine (16) dan (14), diperoleh persamaan sebagai berikut (−b)x2 + (a − d)xy + (c)y 2 + (b)x + (det(A) − a ± 1)y = 0 − 11x2 + (7 − 3)xy + (1)y 2 + (11)x + (7 · 3 − 11 · 1 − 7 ± 1)y = 0 − 11x2 + 4xy + y 2 + 11x + (3 ± 1)y = 0.

(17)

Diperoleh nilai A′ = −11, B ′ = 4, C ′ = 1, D′ = 11, E ′ = 3 ± 1, dan F ′ = 0, kemudian substitusikan sebagai berikut B ′2 − 4A′ C ′ = 16 − 4 · (−11)11 = 500 > 0, karena nilai B ′2 − 4A′ C ′ > 0 menurut (16), ini merupakan kasus Hiperbolik. Dengan menggunakan kasus Hiperbolik dengan x = 0 dan y = −2, dan merupakan solusi nontrivial dengan y ̸= 0. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai x dan y, diperoleh matriks E sebagai berikut [ ] [ ] x y 0 −2 = . (18) x(1−x) 0 1 1−x y Selanjutnya dibuktikan bahwa matriks (18) adalah idempoten, sebagai berikut ] ] [ ] [ [ 0 −2 0 −2 0 −2 × = 0 1 0 1 0 1 [ ] [ ] 0 −2 0 −2 = . 0 1 0 1 Bentuk matriks pada (18) adalah bentuk matriks seperti pada Lema 6 di bagian [5]. Pada Lema 6 sudah di buktikan bahwa A − E adalah unit. Maka nilai unit adalah sebagai berikut [ ] [ ] [ ] 7 11 0 −2 7 13 − = . 1 3 0 1 1 2 Karena matriks A dapat dibentuk menjadi E + U , maka matriks A adalah matriks clean. Selanjutnya untuk mencari 0-clean, maka det(E) = 0 sebagai berikut [ ] 0 −2 = 0 − 0 = 0, 0 1

Repository FMIPA

11

karena det(E) = 0, maka matriks A adalah 0-clean dengan bentuk matriks sebagai berikut [ ] [ ] [ ] 7 11 0 −2 7 13 = + . 1 3 0 1 1 2 Selanjutnya akan diperiksa apakah matriks A memiliki bentuk 1-clean. Berdasarkan Teorema 5, dikatakan 1-clean jika A = I + U atau A − I = U sebagai berikut ] [ ] [ ] [ 7 11 1 0 6 11 − = . 1 3 0 1 1 2

DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima. Terj. dari Elementary Linear Agebra, Fifth Edition, oleh Silaban, Ph. D. & Susila, I . N. Erlangga, Jakarta. [2] Gilbert, J. & L. Gilbert. 1991. Elements of Modern Algebra, Third Edition. PWS-KENT Publishing Company, Boston. [3] Jacob, B. 1989. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company, New York. [4] Khurana, D. & T.Y. Lam. 2004. Clean Matrices and Unit Regular Matrices. Journal of Algebra, 280 (2004). h. 683–698. [5] Rajeswari, K.N. & R. Aziz. 2009. A Note On Clean Matrices in M2 (Z). International Journal of Algebra, 3, 2009. no. 5, h. 241–248.

Repository FMIPA

12