SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m × n MEMPUNYAI SOLUSI Aryan Zainuri1∗ , Syamsudhuha 2 , Asli Sirait2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the necessary and sufficient condition for the system of linear equations Ax = b where A is an m × n matrix, with m < n and b is an n × 1 vector to have a solution. The discussion involves determining the number of single variables by looking at columns lowering rank and determining the value of the single variables. Keywords: nonhomogeneous system of linear equations, consistency theorem, a necessary condition, sufficient conditions, matrix. ABSTRAK Artikel ini membahas syarat perlu dan cukup agar sistem persamaan linear berukuran Ax = b dengan A merupakan matriks berukuran m × n, dengan m < n dan b vektor berukuran n×1 mempunyai solusi. Pembahasan meliputi penentuan jumlah variabel tunggal dengan melihat kolom penurun rank dan penentuan nilai variabel tunggal itu sendiri. Kata kunci: sistem persamaan linear nonhomogen, teorema kekonsistenan, syarat perlu, syarat cukup, matriks. 1. PENDAHULUAN Persamaan linear adalah suatu persamaan dimana variabel yang terlibat berderajat paling tinggi satu, dan peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Sedangkan hinpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear itu disebut dengan sistem persamaan linear, dikenal dengan (SPL)[1]. Sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk Ax = b, Repository FMIPA
(1) 1
dengan, matriks Am×n dinamakan matriks koefisien, xn×1 dinamakan matriks peubah, dan bm×1 dinamakan matriks konstanta. Sistem persamaan linear yang terdiri dari variabel x1 , x2 , . . . , xn memiliki variabel tunggal dimisalkan dengan N , maka variabel sisanya (n − N ) memiliki nilai takhingga banyaknya, sehingga ini menimbulkan 3 pertanyaan berikut: 1. Apa syarat perlu dan cukup suatu variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear? 2. Berapa banyak variabel tunggal yang ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear? 3. Jika variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear, adakah formula eksplisit untuknya? Ketiga masalah inilah yang menjadi pembahasan artikel ini, yang sekaligus memberikan review sebagian tulisan dari jurnal yang berjudul ”Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations” [4]. 2. SYARAT PERLU DAN CUKUP UNTUK ADANYA SOLUSI Definisi 1 (Syarat Perlu)[2, h. 71] Syarat perlu merupakan salah satu yang harus dipenuhi untuk menyimpulkan suatu kebenaran, namun tidak menjamin hasilnya selalu benar. Dengan kata lain, jika dikatakan ‘T merupakan syarat perlu dari Z’ artinya ‘Z bernilai benar hanya jika T benar’, atau dapat dinotasikan dengan Z ⇒ T . Definisi 2 (Syarat Cukup)[2, h.72] Syarat cukup merupakan salah satu yang menjamin suatu pernyataan adalah benar. Pernyataan bernilai benar jika syaratnya tidak dipenuhi. Dengan kata lain, jika dikatakan ‘T merupakan syarat cukup dari Z’ artinya ‘Z bernilai benar jika T benar’, atau dapat dinotasikan dengan T ⇒ Z. Sistem persamaan (1) terdiri dari a11 a12 · · · aj1 · · · a1n a21 a22 · · · aj2 · · · a2n a31 a32 · · · aj3 · · · a3n A = .. .. .. ... ... . . . ··· am1 am2 · · · ajn · · · amn |{z} |{z} |{z} |{z} C1
C2
Cj
Cn
, x =
x1 x2 x3 .. . xn
, b =
b1 b2 b3 .. . bm
,
misalkan C1 , C2 , C3 , · · · , Cj , · · · , Cn adalah kolom-kolom dari matriks A. Syarat perlu sistem persamaan linear Ax = b memiliki solusi adalah konsisten, dan syarat cukupnya adalah jika Ax = b konsisten maka rank A = rank [A|b] [1], dijelaskan pada teorema berikut. Repository FMIPA
2
Teorema 3 [1, h. 171] Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A|b] dimana rank A = rank [A|b]. Bukti: dapat dilihat pada [1, h. 171]. Selanjutnya, ditunjukkan sistem persamaan linear berukuran m × n memiliki variabel tunggal. Definisi 4 [4] Kolom ke-j yang dihapus dari matriks A dikatakan mempertahankan rank jika, rank Aj = rank A, dan dikatakan menurunkan rank jika, rank Aj = (rank A) − 1, dimana
Aj =
a11 a21 a31 .. .
a12 a22 a32 .. .
··· ··· ··· ...
am1 am2 · · ·
a1n a2n a3n
. ··· amn
Teorema 5 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang didefinisikan oleh persamaan (1) adalah konsisten, maka variabel xj , dimana j = 1, 2, · · · , n, ditentukan secara tunggal jika dan hanya jika kolom ke-j di A menurunkan rank A. Bukti: C1 , C2 , C3 , · · · , Cj , · · · , Cn adalah kolom-kolom dari matriks A, dimana kolom Cj menurunkan rank, maka dengan Definisi 4 diperoleh rank Aj = (rank A) − 1. Kolom Cj bukan merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya. Ax = x1 C1 + x2 C2 + · · · + xj Cj + · · · + xn Cn = 0, Ax = 0, dengan xj = 0, solusi dari persamaan (1) memiliki nilai yang sama untuk xj , maka xj merupakan variabel tunggal. Selanjutnya dengan menghapus kolom Cj mempertahankan rank, maka rankAj = rankA, dimana xj 6= 0 sehingga kolom Cj merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lain, dan solusi persamaan (1) memiliki nilai berbeda untuk xj maka xj merupakan variabel tidak tunggal. Selanjutnya, akan diberikan teorema yang menjelaskan banyaknya variabel tunggal yang dapat ditentukan dari suatu sistem persamaan linear. Repository FMIPA
3
Teorema 6 [4] Misalkan sistem linear pada persamaan (1) konsisten dan rankA = r. Maka jumlah variabel tunggal yang ditentukan oleh sistem persamaan linear adalah nr −
n X
rank Aj .
(2)
j=1
Bukti: Misalkan matriks A apabila dihapus salah satu kolom misalkan Cj akan menurunkan rank, berdasarkan Teorema 6 dapat ditulis rank Aj = r − 1, dengan j
r − rank A =
(
1, jika kolom Cj dari matriks A menurunkan rank, 0, jika kolom Cj dari matriks A mempertahankan rank.
Berdasarkan Teorema 6 misalkan N merupakan banyaknya variabel tunggal yang terdapat pada A maka
N=
n X
(r − rank Aj )
j=1
N =(r − rank A1 ) + (r − rank A2 ) + (r − rank A3 ) + · · · + (r − rank An ) N =nr − (rank A1 + rank A2 + rank A3 + · · · + rank An ) n X N =nr − (rank Aj ).
j=1
Teorema 7 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang terdefinisi pada persamaan (1) adalah konsisten, dan m = r = rank A . Misalkan Ai , dimana i = 1, 2, . . . , m menyatakan baris ke-i di A. Bilangan bulat k1 . . . , kn−r dengan 1 ≤ k1 < k2 < · · · < kn−r ≤ n,
(3)
dapat dipilih sehingga span(A1 , . . . , Ar , Ek1 , . . . , Ekn−r ) = Fn . Misalkan matriks A(k1 ,...,kn−r ) ∈ Mr,r (F) dibentuk dari A dengan menghapus kolom k1 , . . . , kn−r . Misalkan j ∈ 1, 2, . . . , n sedemikian hingga xj merupakan variabel yang bernilai tetap pada persamaan (1). Misalkan Ak1 ,...,kn−r (j, b) ∈ Mr,r (F) dibentuk dari A dengan mengganti kolom ke-j dengan b dan menghapus kolom k1 , . . . , kn−r , maka det(A(k1 ,...,kn−r ) (j, b)) . (4) xj = det(A(k1 ,...,kn−r ) ) Repository FMIPA
4
Bukti: Karena {E1 , . . . , En } span Fn dan A1 , . . . , Ar bebas linear pada F, maka r pada E1 , . . . , En dapat diganti oleh A1 , . . . , Ar sehingga span(A1 , . . . , Ar , Ek1 , . . . , Ekn−r ) = Fn , dimana berlaku persamaan (3). Perhatikan bahwa dengan xj ditentukan secara tunggal, Ej termasuk keruang baris A sehingga j 6= k1 , . . . kn−r . Misalkan A∗ ∈ Mn,n (F) dibentuk dari matriks A dengan mengadjoin Ekn−r sebagai baris r+1, . . . , n maka himpunan {A1 , ..., Ar , Ek1 , ..., Ekn−r }, merupakan basis untuk Fn karena detA∗ 6= 0. A∗ yang diperbesar dengan baris n−r, diperoleh detA∗ = (−1)(r+1)+···+n+k1 +···+kn−r det A(k1 ,...,kn−r ) , maka detAk1 ,...,kn−r 6= 0.
(5)
Misalkan x∗ ∈ Mr,1 (F) adalah matriks kolom yang dibentuk dari x dengan menghapus xk1 , . . . , xkn−r . Ditetapkan bahwa b∗ = b − xk1 Ak1 − · · · − xkn−r Ak(n−r) , maka sistem persamaan linear yang didefinisi oleh (1) dapat ditulis kembali dengan Ak1 ,...,(kn−r ) x∗ = b∗ .
(6)
Dari persamaan (5) dan (6) terlihat bahwa seluruh xv dengan v 6= k1 , . . . , kn−r , ditentukan secara tunggal dari segi variabel bebas n−r yakni xk1 , . . . , xkn−r . Dengan demikian xj bebas linear terhadap pemilihan xk1 , . . . , xkn−r dan karena dapat dipilih xk1 = · · · = xkn−r = 0 pada persamaan (6) untuk menentukan xj . Bentuk matriks dari sistem persamaan linearnya menjadi Ak1 ,...,(kn−r ) x∗ = b, dengan menggunakan Teorema aturan Cramer [1] dihasilkan (k1 ,...,kn−r ) xj = det(A (k1 ,...,kn−r(j,b)) . ) det(A )
3. CONTOH PENERAPAN Diberikan sistem persamaan linear 6x1 +12x2 +x3 +6x4 +x5 = 7, 5x1 +10x2 +x3 +5x4 +x5 = 6, 13x1 +26x2 +2x3 +13x4 +3x5 = 18,
Repository FMIPA
(7)
5
persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks x1 6 12 1 6 1 x 7 2 5 10 1 5 1 x3 = 6 , 13 26 2 13 3 x4 18 x5
(8)
dengan menggunakan Teorema 3 dan Definisi 4 diperoleh
rank A = rank A1 = rank A2 = rank A4 = 3,
(9)
rank A3 = rank A5 = 2.
(10)
dan
Persamaan (9) menunjukan kolom ke-1, kolom ke-2 dan kolom ke-4 mempertahankan rank A, sedangkan persamaan (10) menunjukan bahwa kolom ke-3 dan kolom ke-5 menurunkan rank A. Berdasarkan Teorema 5, maka hanya x3 dan x5 yang merupakan variabel tunggal, sehingga xj = (3, 5).
(11)
Baris dan kolom pada persamaan (8) yaitu m = 3 dan n = 5, dan diperoleh r = 3 = rank A dan n − r = 2, dengan menggunakan persamaan (3) dapat diambil kolom ke-1=k1 =1 dan kolom ke-2=k2 =2. Misalkan N adalah jumlah variabel tunggal pada A maka dengan menggunakan persamaan (2), diperoleh N = 5 × 3 − (3 + 3 + 2 + 3 + 2) N = 15 − 13 N = 2. Menentukan nilai variabel dari persamaan (11) dengan menggunakan persamaan (4), diperoleh x3 det(A(1,2) (3, b)) x3 = , (12) det(A(1,2) ) persamaan (12) menjadi
atau
7 6 18 x3 = 1 1 2
6 5 13 6 5 13
1 1 3 , 1 1 3
2 −1 x3 = −2, x3 =
Repository FMIPA
6
dan variabel x5 x5 =
det(A(1,2) (5, b)) , det(A(1,2) )
(13)
maka persamaan (13) menjadi
atau
1 1 2 x5 = 1 1 2
6 5 13 6 5 13
7 6 18 , 1 1 3
−3 −1 x5 = 3, x5 =
maka nilai variabel tunggal dari x3 = −2 dan x5 = 3. 4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu syarat perlu sistem persamaan linear berukuran m×n mempunyai sedikitnya satu solusi adalah jika Ax = b adalah konsisten, sedangkan syarat cukupnya adalah jika Ax = b mempunyai solusi maka rank A = rank [A|b]. Syarat sistem persamaan linear memiliki variabel tunggal adalah terdapat sedikitnya satu kolom pada matriks A misalkan kolom ke-j dimana akan menurunkan rank A. Banyaknya variabel tunggal pada sistem persamaan linear dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (2), yang diperoleh dari Teorema 6. Formula ekplisit untuk mencari banyaknya variabel bernilai tetap dalam sebuah sistem persamaan linear non homogen konsisten dengan menggunakan formula xj =
det(A(k1 ,...,kn−r ) (j, b)) , det(A(k1 ,...,kn−r ) )
yang dihasilkan dari Teorema 7. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementery Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, P. & I. N. Susila. Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] Houston, K. 2009. How to Think Like a Mathematician. Cambridge University Press, New York. Repository FMIPA
7
[3] Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company, New York. [4] Kardy, K. W & B K. Spearman. 2002. Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations. Mathematics Magazine. 75(1): 53-57. [5] Nicholson, W.K. 2001. Elementary Linear Algebra, McGraw-Hill Ryerson, New York.
Repository FMIPA
8
