SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN DALAM MODEL SEWA EKONOMI
SUSI SUSANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sumber Daya Alam Terbarukan dalam Model Sewa Ekonomi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, April 2016 Susi Susanti NIM G54100100
ABSTRAK SUSI SUSANTI. Sumber Daya Alam Terbarukan dalam Model Sewa Ekonomi. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan FARIDA HANUM. Sumber daya alam, baik biotik maupun abiotik merupakan kekayaan bumi yang dapat dimanfaatkan untuk memenuhi kebutuhan dan kesejahteraan manusia. Sumber daya alam terbarukan adalah sumber daya alam yang dapat diperbarui seperti hewan, tumbuhan, air, dan udara. Tujuan penelitian ini adalah merekonstruksi model sewa ekonomi dan memberikan simulasi solusi maksimum dari penerimaan sewa ekonomi. Dalam penelitian ini, di ambil tiga kasus yang berbeda, sehingga setiap kasus yang diambil akan menghasilkan penerimaan sewa ekonomi maksimum. Hasil simulasi menunjukkan bahwa maksimum penerimaan sewa ekonomi pada setiap kasus adalah positif. Kata kunci: sumber daya alam, sumber daya alam terbarukan, sewa ekonomi.
ABSTRACT SUSI SUSANTI. Modeling Renewable Resources with Economic Rent Model. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and FARIDA HANUM. Natural resources, either biotic or abiotic component, are the wealth of the earth that can be utilized to meet the needs and well-being of mankind. Renewable natural resources are natural resources that can be renewed such as animals, plants, water dan air. The purpose of this research is to reconstruct a model of economic rent and provide maximum solutions of the economic rent. There are three cases to be considered in maximizing the economic rent, i. e. according to certain parameter values. The simulation result are given for each case. It is shown that the maximum value of economic rent is positive in each case. Keywords: natural resources, renewable natural resources, economic rent.
SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN DALAM MODEL SEWA EKONOMI
SUSI SUSANTI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
Judul Skripsi : Sumber Daya Alam Terbarukan dalam Model Sewa Ekonomi Nama : Susi Susanti NIM : G54100100
Disetujui oleh
Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2014 ialah ekonomi sumber daya alam, dengan judul Sumber Daya Alam Terbarukan dalam Model Sewa Ekonomi. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, cinta, kasih sayang, nasihat, didikan, dan motivasi), kakak, adik, dan seluruh keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas dukungan dan hiburan), 2. Pemerintah Daerah Kabupaten Lahat Dinas Pendidikan (terima kasih atas beasiswa yang telah diberikan selama penulis di IPB). 3. Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing I, dan ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing II, bapak Dr Paian Sianturi selaku penguji (terima kasih atas segala ilmu, nasihat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini), 4. segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan nasihat yang telah diberikan), 5. staf Direktorat Beasiswa Utusan Daerah dan Kerjasama Internasional IPB (terima kasih atas motivasi dan bantuannya), 6. segenap guru, semua Pembina, kakak-kakak dan adik-adik kelas SMA Negeri 1 Jarai (terima kasih atas dukungan, bantuan, semangat, doa, dan motivasinya), 7. teman-teman Matematika angkatan 47 (terima kasih atas dukungan, doa, semangat, dan kebersamaannya), 8. teman-teman BUD Lahat angkatan 47 (terima kasih atas semangat dan dukungannya). 9. Imamku tersayang: Pirdiansyah Putra (terima kasih untuk semua waktu, kebersamaan, motivasi dan bantuannya), 10. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2016 Susi Susanti
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Pengaruh Biaya Produksi Panen terhadap Sewa Ekonomi
10
Simulasi Pengaruh Biaya Produksi Panen terhadap Sewa Ekonomi
11
Pengaruh Kebijakan Proporsi Panen terhadap Sewa Ekonomi
12
SIMPULAN
14
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
27
DAFTAR TABEL Nilai-nilai parameter untuk Simulasi 1 Nilai-nilai parameter untuk Simulasi 2 Nilai β nilai parameter untuk Simulasi 3 Nilai β nilai parameter pengaruh kebijakan proporsi panen terhadap sewa ekonomi
7 8 9 12
DAFTAR GAMBAR Kurva Kasus 1 Kurva Kasus 2 Kurva Kasus 3 Fungsi π(π₯) = βπ₯ β π₯, π₯ β [0, 1] Nilai π₯ β yang memenuhi persamaan (15) diperoleh dari titik perpotongan dua kurva. Kurva pengaruh kebijakan proporsi panen terhadap sewa ekonomi
7 8 9 10 11 13
DAFTAR LAMPIRAN Penurunan persamaan (5) Penurunan persamaan (10) Penurunan persamaan (11) Penurunan persamaan (12a) dan (12b) Penurunan pertidaksamaan pada Kasus 1 1 Penurunan persamaan π
β²β²(4) Penurunan persamaan pada Kasus 2 Penurunan pertidaksamaan Kasus 3 Sintaks program Maple 13 Gambar 1 Sintaks program Maple 13 Gambar 2 Sintaks program Maple 13 Gambar 3 Penurunan persamaan (13) Penurunan nilai π
β²(π₯) Penurunan persamaan (15) Sintaks program Maple 13 Gambar 5 Penurunan persamaan (16) Penurunan persamaan (18) 1 Penurunan pertaksamaan π₯ β > 4 Sintaks program Maple 13 Gambar 6
16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24 24 25 26
PENDAHULUAN Latar Belakang Sumber daya alam, baik biotik maupun abiotik, merupakan kekayaan bumi yang dapat dimanfaatkan untuk memenuhi kebutuhan dan kesejahteraan manusia. Sumber daya alam dibedakan menjadi dua, yaitu sumber daya alam terbarukan dan sumber daya alam tak terbarukan. Sumber daya alam terbarukan adalah sumber daya alam yang dapat diperbarui seperti hewan, tumbuhan, air, dan udara, sedangkan sumber daya alam tak terbarukan adalah sumber daya alam yang tidak dapat diperbarui seperti emas, perak, tembaga dan sebagainya. Isu yang berkaitan dengan sumber daya alam adalah kebutuhan manusia, adanya pergeseran para pengguna sumber daya alam dari yang menggunakan sumber daya alam terbarukan menjadi sumber daya alam tak terbarukan, peranan sumber daya alam dan lingkungan, kualitas sumber daya alam, kelangkaan sumber daya alam, lokasi dari cadangan sumber daya alam terletak jauh dari para pengguna sumber daya alam, pemanfaatan sumber daya alam yang tidak bijaksana, belum ada pertimbangan lingkungan, dan semakin meningkatnya ketergantungan manusia pada sumber daya alam. Faktor terkurasnya sumber daya alam pada sektor kehutanan antara lain kebakaran hutan, penyelundupan kayu, dan penebangan liar, di sektor perikanan dan kelautan antara lain illegal fishing, penambangan terumbu karang, dan eksploitasi sumber daya alam laut, dan di sektor pertambangan seperti penambangan terbuka. Faktor lain yang memengaruhi sumber daya alam antara lain rendahnya kesadaran masyarakat dalam memelihara lingkungan, pertumbuhan penduduk pesat, dan perkembangan teknologi yang tidak ramah lingkungan. Sumber daya alam dimanfaatkan untuk kemakmuran manusia tetapi kelestarian tetap diperhatikan. Sumber daya alam memiliki peran yaitu sebagai modal pertumbuhan ekonomi dan sebagai penopang sistem kehidupan. Hasil hutan, hasil laut, perikanan, pertambangan, dan pertanian memberikan kontribusi produk domestik nasional, dan menyerap tenaga kerja. Pengelolaan sumber daya alam yang telah dilakukan pada sektor kehutanan antara lain mengefektifkan sumber daya yang tersedia dalam pengelolaan hutan dan memanfaatkan hasil hutan non kayu dan jasa lingkungan secara optimal. Pengelolaan pada sektor kelautan dan perikanan antara lain mengelola dan mendayagunakan potensi sumber daya laut dan pesisir, meningkatkan upaya konservasi laut dan pesisir, dan pemulihan ekosistem yang rusak. Pengelolaan pada sektor pertambangan antara lain dengan meningkatkan manfaat dan nilai tambah sumber daya alam pertambangan, pemulihan kawasan yang telah terjadi pertambangan (PPLH 2009). Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga memberikan peranan berupa suatu tiruan fenomena sumber daya alam terbarukan dan memberikan solusi dari fenomena sumber daya alam. Ekonomi sumber daya alam adalah salah satu cabang ilmu ekonomi yang mencoba menerapkan teori ekonomi dalam pengelolaan sumber daya alam dan energi untuk memenuhi kebutuhan manusia secara optimal dan lestari. Peranan ekonomi sangat erat kaitannya dengan sumber daya alam dan lingkungan dalam mengambil keputusan menggunakan sumber daya alam. Satu hal penting yang mendasar dari aspek ekonomi sumber
2 daya alam adalah bagaimana ekstraksi sumber daya alam tersebut dapat memberikan manfaat atau kesejahteraan kepada masyarakat secara keseluruhan. Pengelolaan sumber daya alam bertujuan mencapai tingkat penggunaan yang optimal, lestari dan bergantung pada pemanfaatan.
Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan penelitian ini ialah merekonstruksi model sewa ekonomi dari sumber daya alam terbarukan dalam (Adelani dan Rodin 1989) agar sumber daya alam tetap lestari dan menyimulasikan solusi yang maksimum dengan menggunakan program maple 13.
TINJAUAN PUSTAKA Istilah Ekonomi Definisi 1 sampai Definisi 2 berikut merupakan definisi dalam Nicholson (1995) yang perlu diketahui. Definisi 1 (Biaya Tetap) Biaya tetap adalah biaya yang tidak berubah, sementara tingkat keluaran berubah dalam jangka pendek. Definisi 2 (Biaya Variabel) Biaya variabel adalah biaya yang secara total meningkat sebanding terhadap peningkatan aktivitas atau kegiatan dan menurun sebanding dengan penurunan aktivitas atau kegiatan.
Uji Turunan Kedua Andaikan fungsi π β²β² kontinu pada selang buka yang memuat π. 1. Jika π β² (π) = 0 dan π β²β² (π) > 0 maka π(π) merupakan nilai minimum lokal, 2. Jika π β² (π) = 0 dan π β²β² (π) < 0 maka π(π) merupakan nilai maksimum lokal, 3. Jika π β² (π) = 0 dan π β²β² (π) = 0 maka uji turunan kedua gagal. (Stewart 2001). Teorema Nilai Ekstrem Jika π kontinu pada selang tutup [π, π] , maka π mencapai nilai maksimum mutlak π(π) dan mencapai nilai minimum mutlak π(π) pada suatu bilangan π dan π dalam [π, π]. (Stewart 2001).
3 Sewa Ekonomi atau Economic Rent Sewa ekonomi dapat diartikan sebagai harga yang harus dibayar atas penggunaan tanah dan faktor-faktor produksi lainnya yang jumlah penawarannya tidak dapat ditambah. Dalam pembicaraan sehari-hari, sewa pada umumnya diartikan sebagai pembayaran yang dilakukan suatu keluarga atas rumah yang disewanya, atau pembayaran seorang pengusaha atas bangunan atau toko milik orang lain yang digunakannya. Arti sewa dalam pembicaraan sehari-hari berbeda dengan sewa ekonomi, karena sewa gedung, toko, dan rumah telah meliputi bunga yang dibayarkan kepada modal yang digunakan untuk mendirikan bangunanbangunan tersebut. Menurut para ahli ekonomi, definisi sewa ekonomi adalah bagian pembayaran atas sesuatu faktor produksi yang melebihi dari pendapatan yang diterimanya dari pilihan pekerja lain yang terbaik yang mungkin dilakukan. Di dalam definisi ini suatu faktor produksi mempunyai beberapa kegunaan. Pendapatan yang dibayar kepada faktor produksi dapat dibedakan menjadi dua bagian. Bagian pertama dinamakan pendapatan pindahan atau transfer earnings, yaitu bagian dari pendapatan tersebut yang digunakan untuk mencegah faktor produksi tersebut digunakan untuk kegiatan ekonomi yang lain. Bagian kedua dinamakan sewa ekonomi, yaitu bagian dari pendapatan yang merupakan perbedaan antara pendapatan yang diterima dengan pendapatan pindahan (Sukirno 2013).
METODE Dalam penelitian ini akan dilakukan rekonstruksi model ekonomi sumber daya alam terbarukan dalam model sewa ekonomi, sehingga penerimaan dari sewa ekonomi akan mencapai maksimum dan sumber daya alam terbarukan tetap lestari. Dengan menggunakan program maple 13 dapat membuat simulasi solusi dari penerimaan sewa ekonomi.
HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan bila tidak ada pemanenan, maka dinamika biologi populasi dari sumber daya alam terbarukan diasumsikan sebagai berikut π₯Μ = π(π₯) dengan π₯(π‘) = populasi sumber daya alam terbarukan pada waktu π‘ > 0, π₯Μ = ππ₯/ππ‘. Ketika pemanenan diperkenalkan maka sistem dinamika populasi mengikuti persamaan sebagai berikut π₯Μ = π(π₯) β β(π‘) (1)
4 dengan β(π‘) = hasil panen sumber daya alam terbarukan pada waktu π‘ > 0. Dalam perencanaan pemanenan yang memperhatikan kesetimbangan alam, maka π₯Μ = 0 sehingga pemanenan β diasumsikan berbentuk β = π(π₯),
(2)
dengan π(π₯) ialah tingkat produktivitas sumber daya π₯. Diasumsikan bahwa ada pemanenan sumber daya alam terbarukan dengan π₯ merupakan input sumber daya alam terbarukan, π
(π₯) merupakan fungsi sewa ekonomi, π(β) merupakan harga satuan hasil panen β, π(π₯, β) = π(β) merupakan biaya satuan produksi hasil panen β. Disini, sewa ekonomi didefinisikan sebagai berikut π
(π₯) = [π(β) β π(π₯, β)]β.
(3)
Dalam (Adelani dan Rodin 1989) diasumsikan bahwa π(β) =
π β1βπΌ
,
0 < πΌ < 1, dan
π π(π₯, β) = π(β) = π + , β
(4)
dengan π > 0 ialah harga satuan dari produksi hasil panen, π > 0 ialah biaya satuan dari produksi hasil panen, dan π > 0 ialah biaya tetap per pemanenan. Jika persamaan (2) dan (4) disubstitusikan ke persamaan (3), maka persamaan sewa ekonomi menjadi π
(π₯) = π([π(π₯)]πΌ ) β π[π(π₯)] β π.
(5)
Penurunan persamaan (5) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dari persamaan (5), diperoleh turunan pertama dan kedua sewa ekonomi sebagai berikut π
β² (π₯) = (πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 )πβ²(π₯) β π[π β² (π₯)] π
β² (π₯) = {πΌπ([π(π₯)]πΌβ1 ) β π}π β² (π₯),
(6)
π
β²β² (π₯) = (πΌ β 1)πΌππ(π₯)πΌβ2 π β² (π₯)π β² (π₯) + πΌππ(π₯)πΌβ1 π β²β² (π₯) β ππ β²β² (π₯) π
β²β² (π₯) = {πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 β π}π β²β² (π₯) β πΌ(1 β πΌ)π[π(π₯)]πΌβ2 [π β² (π₯)]2 .
(7)
Agar π
(π₯) mempunyai titik kritis maka π
β² (π₯) = 0. Dari persamaan (6) diperoleh bahwa π
β² (π₯) = 0 bila π β² (π₯) = 0, (8)
5 berarti π(π₯) = π,
(9)
dengan π suatu konstanta. Dari persamaan (8) maka diperoleh persamaan sebagai berikut 1
πΌπ 1βπΌ π=[ ] . π
(10)
Penurunan persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 2. Berikut ini akan diberikan contoh penggunaan model untuk π(π₯) = βπ₯ β π₯. Penggunaan Sewa Ekonomi untuk π(π) = βπ β π Misalkan π(π₯) = βπ₯ β π₯ maka π β² (π₯) = 0 β
1 2 βπ₯
β1=0
β π₯1 β =
1 4
Dari persamaan (9) maka diperoleh persamaan sebagai berikut π₯ 2 β (1 β 2π)π₯ + π 2 = 0.
(11)
Penurunan persamaan (11) dapat dilihat pada Lampiran 3. Akar-akar dari persamaan (11) ialah sebagai berikut π₯2 =
(1 β 2π) + β1 β 4π 2
(12a)
π₯3 =
(1 β 2π) β β1 β 4π 2
(12b)
Penurunan persamaan (12a) dan (12b) dapat dilihat pada Lampiran 4. Akan ditinjau tiga kasus berdasarkan nilai 1 β 4π. Kasus 1 : π β ππ < π 1 Jika 1 β 4π < 0 (berarti π > 4), maka rasio biaya tetap dengan harga
π π
< πΌ41βπΌ
(penurunan pertidaksamaan Kasus 1 dapat dilihat pada Lampiran 5). Karena 1 β 1 4π < 0 maka π₯2 dan π₯3 bukan bilangan real sehingga π₯1 β = 4 merupakan titik yang memenuhi kondisi ekstrem lokal pada π
(π₯). Dari persamaan (7) diperoleh
6 1
π
β²β² (4) = (πΌ41βπΌ β π)(β2) < 0 (penurunan persamaannya dapat dilihat pada Lampiran 6). Dari Uji Turunan Kedua berarti bahwa sewa ekonomi akan mencapai 1 maksimum pada π₯1 = 4. Dari persamaan (5) diperoleh nilai sewa ekonomi pada 1
π₯1 β = 4 sebagai berikut 1 1 πΌ 1 π
( ) = π [π ( )] β ππ ( ) β π 4 4 4 πΌ
1 1 1 1 1 π
( ) = π (β β ) β π (β β ) β π 4 4 4 4 4 1 1 πΌ 1 π
( ) = π( ) βπ( )βπ 4 4 4 1 1 πΌ π π
( ) = π ( ) β (π + ) = π½ β πΎ 4 4 4 1 πΌ
dengan π½ = π (4) ,
dan
π
πΎ = (π + 4).
Sewa ekonomi bernilai positif hanya jika π½ > πΎ. Kasus 2 :π β ππ = π 1 Jika 1 β 4π = 0 (berarti π = 4), maka rasio biaya tetap dengan harga
π π
= πΌ41βπΌ
(penurunan persamaan Kasus 2 dapat dilihat pada Lampiran 7). Karena 1 β 4π = 1 0 maka dari persamaan (12a) dan (12b) diperoleh π₯2 = π₯3 = 4 , sehingga sewa 1
ekonomi π
(π₯) mempunyai satu titik ekstrem lokal. Seperti Kasus 1, π
β²β² (4) = 1
(πΌ41βπΌ β π)(β2) < 0 sehingga π
(π₯) mencapai maksimum di π₯ = . 4 Kasus 3 : π β ππ > π 1 Jika 1 β 4π > 0 (berarti π < 4), maka rasio biaya tetap dengan harga
π π
> πΌ41βπΌ
(penurunan pertidaksamaan Kasus 3 dapat dilihat pada Lampiran 8). Karena 1 β 4π > 0, maka sewa ekonomi π
(π₯) mempunyai tiga titik kritis yaitu π₯1 = 1 4
, π₯2 = 1
(1β2π)+β1β4π , 2
π₯3 =
(1β2π)ββ1β4π 2
. Karena π > πΌπ41βπΌ , maka
π
β²β² (4) = (πΌ41βπΌ β π)(β2) > 0. Dari Uji Turunan Kedua diperoleh bahwa sewa 1
ekonomi π
(π₯) akan mencapai minimum pada π₯1 = 4. Dari persamaan (5) sewa ekonomi π
(π₯) akan positif bila π([π(π₯)]πΌ ) > π + π[π(π₯)]. Dari peramaan (9) dan
7 πΌπ
πΌβ 1βπΌ
(10), diperoleh bahwa π
(π₯) akan positif bila π ( π ) 1
πΌπ
1β 1βπΌ
> π +π( π )
.
Karena π
(π₯) mencapai minimum pada π₯ = , maka syarat agar π
(π₯) positif untuk 4 πΌβ 1βπΌ
πΌπ
ketiga titik kritis ialah π ( π )
πΌπ
1β 1βπΌ
> π +π( π )
dan π½ > πΎ.
Simulasi 1 : Kasus 1 (π β ππ > π) Akan disimulasikan penerimaan sewa ekonomi terhadap persamaan (5) dengan π(π₯) = βπ₯ β π₯ terhadap tiga kasus yaitu π½ > πΎ, π½ = πΎ, π½ < πΎ. Misalkan diambil 1 π π π π = 2 dan diketahui π½ = πΌ , πΎ = π + . Dalam Kasus 1, < πΌ41βπΌ . Misalkan pula 4 4 π π = 1, πΌ = 0.5,
maka
π π
< 0.5 β 40.5
sehingga
π π
< 1.
Nilai
parameter-
parameternya dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Kasus
Nilai-nilai parameter untuk Simulasi 1 π·
πΈ
π
πΆ
π
π 7 4
π·>πΈ
4
2
8
0.5
1
π·=πΈ
2
2
4
0.5
1
7 4
π·<πΈ
2
4
4
0.5
1
15 4
π·>πΈ
π·=πΈ
π·<πΈ
Gambar 1
Kurva Kasus 1
Sintaks program Maple 13 untuk grafik pada Gambar 1 dapat dilihat pada Lampiran 9. Dari Gambar 1, terlihat bahwa sewa ekonomi π
(π₯) bernilai positif bila π½ > πΎ.
8 1
1
Untuk π = 2 sewa ekonomi π
(π₯) mencapai maksimum untuk π₯ = 4 dengan 1
π
(4) = 2. Simulasi 2 : Kasus 2 (π β ππ = π) Akan disimulasikan penerimaan sewa ekonomi terhadap persamaan (5) dengan 1 π(π₯) = βπ₯ β π₯ terhadap tiga kasus yaitu π½ > πΎ, π½ = πΎ, π½ < πΎ. Diketahui π = 4 , π
π
π
π
π½ = 4πΌ dan πΎ = π + 4. Dalam Kasus 2, π = πΌ41βπΌ . Jika πΌ = 0.5, maka π = 0.5 β 40.5 , sehingga π = π. Ini berarti π = π = 2. Nilai parameter-parameternya dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2
Nilai-nilai parameter untuk Simulasi 2
Kasus
π·
πΈ
π
πΆ
π
π
π·>πΈ
1
3 4
2
0.5
2
1 4
π·=πΈ
1
1
2
0.5
2
1 2
π·<πΈ
1
3 2
2
0.5
2
1
π·>πΈ π·=πΈ π·<πΈ
Gambar 2
Kurva Kasus 2
Sintaks program Maple 13 Gambar 2 dapat dilihat pada Lampiran 10. Dari Gambar 1 2, terlihat bahwa sewa ekonomi π
(π₯) bernilai positif bila π½ > πΎ. Untuk π = 4 sewa 1
1
ekonomi π
(π₯) mencapai maksimum di π₯ = 4 dengan π
(4) = π½ β πΎ.
9 Simulasi 3 : Kasus 3 (π β ππ < π) Akan disimulasikan penerimaan sewa ekonomi terhadap persamaan (5) dengan π(π₯) = βπ₯ β π₯ terhadap tiga kasus yaitu π½ > πΎ, π½ = πΎ, π½ < πΎ. Misalkan diambil 1
1
π = 6, maka terdapat tiga titik kritis yaitu π₯1 = , π₯2 = 4 1 3
(1β )ββ1β 2 1βπΌ
πΌ4
2 3
π
1 3
(1β )+β1β 2
2 3
= 0.622, π₯3 =
π
= 0.045. Diketahui π½ = 4πΌ , dan
πΎ = π + 4. Dalam Kasus 3,
π
π π
>
π
. Misalkan πΌ = 0.5 maka π > 0.5 β 40.5 , sehingga π > 1. Nilai parameter-
parameternya dapat dilihat pada Tabel 3. Nilai β nilai parameter untuk Simulasi 3
Tabel 3 Kasus
π·
πΈ
π
πΆ
π
π
πΉβ²β² (ππ )
πΉβ²β² (ππ )
π·>πΈ
0.45
0.3
0.9
0.5
1
0.05
β0.495
β8.702
π·=πΈ
0.40
0.40
0.8
0.5
1
0.15
β0.384 β4.8254
π·<πΈ
0.35
0.45
0.7
0.5
1
0.2
β0.272
π·>πΈ π·=πΈ π·<πΈ
Gambar 3 Kurva Kasus 3
β0.949
10 Sintaks Program Maple 13 Gambar 3 dapat dilihat pada Lampiran 11. Dari Gambar 1 3 terlihat bahwa sewa ekonomi π
(π₯) mencapai minimum pada π₯1 = 4 dengan nilai1
nilai minimum π
(4) = π½ β πΎ. Karena π
β²β² (π₯2 ) dan π
β²β² (π₯3 ) bernilai negatif, maka dari Uji Turunan Kedua, π
(π₯) mencapai maksimum lokal di π₯2 = 0.622 dan π₯3 = 0.045. Sewa ekonomi π
(π₯) akan bernilai positif bila π½ > πΎ. Pada kasus ini, nilaiπΌπ
πΌβ 1βπΌ
nilai parameternya memenuhi pertaksamaan π ( π )
πΌπ
1β 1βπΌ
>π+(π)
.
Pengaruh Biaya Produksi Panen terhadap Sewa Ekonomi Misalkan diasumsikan struktur biaya dari model ialah π(π₯, β) = π(π₯) =
π βπ₯
, dengan
π ialah biaya per unit hasil panen. Dari persamaan (3) dan untuk π(π₯) = βπ₯ β π₯, persamaan sewa ekonomi menjadi πΌ
π
(π₯) = π[βπ₯ β π₯] β π + πβπ₯,
(13)
dengan π₯ β [0, 1]. Penurunan persamaan (13) dapat dilihat pada Lampiran 12. Pada Gambar 4 diperlihatkan grafik fungsi π(π₯) = βπ₯ β π₯. Dari gambar tersebut terlihat bahwa 0 < π(π₯) < 1 untuk π₯ β [0, 1].
Gambar 4 Fungsi π(π₯) = βπ₯ β π₯, π₯ β [0, 1] Karena 0 < βπ₯ β π₯ < 1 untuk π₯ β [0, 1] dan 0 < πΌ < 1, maka πΌ (βπ₯ β π₯) > (βπ₯ β π₯), sehingga dari persamaan (13) diperoleh πΌ
π
(π₯) = π(βπ₯ β π₯) β π(1 β βπ₯) > π(βπ₯ β π₯) β π(1 β βπ₯) = πβπ₯(1 β βπ₯) β π(1 β βπ₯)
11 = (1 β βπ₯)(πβπ₯ β π). Jadi π
(π₯) > (1 β βπ₯)(πβπ₯ β π). π 2
Karena πβπ₯ β π β₯ 0 β π₯ β₯ (π) , maka sewa ekonomi π
(π₯) akan positif bila π₯ β₯ π 2
(π) . Selanjutnya dari persamaan (13), π
(0) = βπ < 0, π
(1) = 0. Karena π
fungsi kontinu pada selang tutup [0, 1], maka menurut Teorema Nilai Ekstrem, terdapat 0 < π₯ β < 1 sehingga π
mencapai ekstremum di π₯ β . Karena π
(π₯)positif π 2
untuk π₯ β₯ (π) , dan π
(0) < 0, π
(1) = 0, maka π
mencapai maksimum di π₯ β . Ini
berarti π
β² (π₯ β ) = 0, dengan
π
β² (π₯) = (πΌπ(βπ₯ β π₯)
πΌβ1
1 π )( β 1) + . 2βπ₯ 2βπ₯
(14)
1
1
π
β² (π₯) β 0 pada interval 0 < π₯ β€ 4, dan π
β² (π₯) = 0 pada interval 4 < π₯ < 1 (penurunannya dapat dilihat pada Lampiran 13). Nilai π₯ β yang memenuhi π
β² (π₯ β ) = 0 dapat diperoleh dari persamaan sebagai berikut 1βπΌ
(βπ₯ β π₯)
β π(2βπ₯ β 1) = 0,
(15)
πΌπ
dengan π = . Penurunan persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 14. π Nilai π₯ β yang memenuhi persamaan (15) dapat diperoleh secara grafis sebagai titik 1βπΌ
potong dari kurva π¦ = (βπ₯ β π₯)
dan kurva π¦ = πΌ(2βπ₯ β 1).
Simulasi Pengaruh Biaya Produksi Panen terhadap Sewa Ekonomi Pada Gambar 5 diberikan simulasi untuk pengaruh biaya produksi panen terhadap sewa ekonomi dengan nilai parameter πΌ = 0.25, πΌ = 0.5 dan πΌ = 0.8. Sintaks program Maple 13 kurva pada Gambar 5 dapat dilihat pada Lampiran 1βπΌ 15. π¦ = (βπ₯ β π₯) , πΌ = 0.25 π¦ = πΌ(2βπ₯ β 1), πΌ = 0.25 1βπΌ
π¦ = (βπ₯ β π₯)
, πΌ = 0.5
π¦ = πΌ(2βπ₯ β 1), πΌ = 0.5 1βπΌ
π¦ = (βπ₯ β π₯)
, πΌ = 0.8
π¦ = πΌ(2βπ₯ β 1), πΌ = 0.8 Gambar 5
Nilai π₯ β yang memenuhi persamaan (15) diperoleh dari titik perpotongan dua kurva.
12 Kurva-kurva pada Gambar 5 memberikan nilai π₯ β yang memenuhi persamaan (15) yang diperoleh dari titik perpotongan kedua kurva. Semakin kecil nilai πΌ maka semakin besar titik potong yang diperoleh, sedangkan sebaliknya semakin besar nilai πΌ maka semakin kecil titik potong yang diperoleh. Pengaruh Kebijakan Proporsi Panen terhadap Sewa Ekonomi Misalkan diasumsikan β(π‘) = π€π₯(π‘), dengan π€ merupakan indeks konstanta usaha panen 0 < π€ < 1 . Jika β(π‘) disubstitusikan ke persamaan (5) maka sewa ekonomi menjadi sebagai berikut π
(π₯) = ππ€ πΌ π₯ πΌ β ππ€π₯ β π.
(16)
Penurunan persamaan (16) dapat dilihat pada Lampiran 16). Dari persamaan (16) diperoleh turunan pertama dan kedua sebagai berikut π
β²(π₯) = πΌππ€ πΌ π₯ πΌβ1 β ππ€, π
β²β² (π₯) = βπΌ(1 β πΌ)ππ€ πΌ π₯ πΌβ2 < 0 β© π₯ β (0, 1].
(17)
π
β² (π₯) = 0 β πΌππ€ πΌ π₯ πΌβ1 β ππ€ = 0, sehingga diperoleh 1
1 πΌπ 1βπΌ π₯β = ( ) . π€ π
(18)
Penurunan persamaan (18) dapat dilihat pada Lampiran 17. 1
Jika
πΌπ 1βπΌ (π)
π
(π₯
β)
1
1
β₯ 4 maka π₯ β > π₯1 = 4 dan πΌ
1
πΌπ 1βπΌ πΌπ 1βπΌ π π 1 = π ( ) β π ( ) β π > πΌ β (π + ) = π
( ) π π 4 4 4
(19)
1
(detail penurunan π₯ β > π₯1 = 4 dapat dilihat pada Lampiran 18). Dari pertaksamaan (19) terlihat bahwa π
(π₯ β ) bernilai positif bila
π
4πΌ
π
> π + 4, yaitu π½ > πΎ.
Akan disimulasikan penerimaan sewa ekonomi terhadap persamaan (16) terhadap tiga kasus yaitu π½ > πΎ, π½ = πΎ, π½ < πΎ. Misalkan πΌ = 0.5 , nilai parameterparameternya dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4
Nilai β nilai parameter pengaruh kebijakan proporsi panen terhadap sewa ekonomi
13 Kasus
π·
πΈ
π
π
πβ
π
πΉ(πβ )
πΆπ πβπβπΆ ( ) > π. ππ π
π·>πΈ
1.25
0.75
2.5
2
0.78
0.25
3
0.39
π·=πΈ
1.2
1.2
2.25
2
0.63
0.625
2
0.31
π·<πΈ
1.05
2.5
2.1
4
0.55
2
1
0.28
π½>πΎ π½=πΎ
π½<πΎ
Gambar 6 Kurva pengaruh kebijakan proporsi panen terhadap sewa ekonomi Sintaks Program Maple 13 untuk grafik pada Gambar 6 dapat dilihat pada Lampiran 19. Dari Gambar 6 terlihat bahwa sewa ekonomi π
(π₯) bernilai positif bila π½ > πΎ πΌπ
dan ( π )
1β 1βπΌ
1
> 4.
14
SIMPULAN Dari model sewa ekonomi dari jurnal Adelani dan Rodin tahun 1989 yang telah direkonstruksi dengan menggunakan uji turunan kedua dan teorema nilai ekstrem diperoleh penerimaan sewa ekonomi yang maksimum. Dalam model sewa ekonomi diberikan tiga kasus yang berbeda. Dalam setiap kasus dilakukan uji turunan kedua dan diberikan simulasi solusi yang maksimum dengan menggunakan program Maple 13. Pada Kasus 1 dilakukan uji turunan kedua yang menyebabkan sewa ekonomi menjadi maksimum dan diberikan simulasi solusi dari sewa ekonomi, sewa ekonomi akan bernilai positif saat π½ > πΎ. Pada kasus 2 dengan diasumsikan biaya produksi yang tidak konstan melainkan suatu fungsi maka model sewa ekonomi akan mengalami modifikasi, sehingga ada π₯ β yang yang memenuhi model sewa ekonomi dan diberikan simulasi solusi yang memaksimumkan sewa ekonomi, sewa ekonomi akan bernilai positif saat π½ > πΎ. Pada kasus ketiga, model sewa ekonomi diberikan bobot proporsi panen sehingga akan diperoleh model sewa ekonomi yang terboboti. Dengan menggunakan uji turunan kedua maka diperoleh sewa ekonomi yang maksimum, sehingga ada π₯ β yang memenuhi persamaan dari sewa ekonomi. Dalam kasus ini diberikan simulasi solusi yang memaksimumkan sewa ekonomi dan sewa ekonomi akan bernilai positif saat π½ > πΎ.
15
DAFTAR PUSTAKA Adelani AL, Rodin EY. 1989. Optimal management of renewable economic resources in a model with Bertalanffy growth law. Mathl Comput. Modelling. 12(7):821-832. doi: 10.1016/0895-7177(89)90136-2. Nicholson W. 1995. Teori Mikroekonomi: Prinsip Dasar dan Perluasan. Jilid 1. Ed ke-5. Daniel Wirajaya, Penerjemah; Jakarta (ID): Binarupa Aksara. Terjemahan dari: Microeconomic Theory Basic Principles and Extensions. [PPLH]. 2009. Peraturan Pemerintah Republik Indonesia Nomor 32 Tahun 2009 tentang Perlindungan dan Pengelolaan Lingkungan Hidup. Jakarta (ID): PPLH. Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed ke-4. Susila NI. Gunawan H. Penerjemah: Mahani N, Hardani W. editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Sukirno S. 2013. Mikroekonomi: Teori Pengantar. Ed ke-3. Jakarta (ID): PT. Raja Grafindo Persada.
16 Lampiran 1 Penurunan persamaan (5) Persamaan (2) dan (4) disubstitusikan ke persamaan (3) sehingga persamaan sewa ekonomi menjadi sebagai berikut π
(π₯) = [π(β) β π(π₯, β)]β π
(π₯) = [
π
π β (π + )] β β1βπΌ β
π
(π₯) = { π
(π₯) = [ π
(π₯) =
π π β [π + ]} π(π₯) π(π₯)1βπΌ π(π₯)
π π ] π(π₯) β [π + ] π(π₯) 1βπΌ π(π₯) π(π₯)
π β [ππ(π₯) + π] π(π₯)βπΌ
π
(π₯) = π[π(π₯)]πΌ β [ππ(π₯) + π] π
(π₯) = π[π(π₯)]πΌ β ππ(π₯) β π. Lampiran 2
(5)
Penurunan persamaan (10)
Dari persamaan (6), agar π
(π₯) mempunyai titik kritis maka π
β² (π₯) = 0 π
β² (π₯) = 0 β {πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 β π}π β² (π₯) = 0, Jadi πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 β π = 0 πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 = π [π(π₯)]πΌβ1 =
π πΌπ
[π(π₯)]β(1βπΌ) =
π πΌπ
1 π = [π(π₯)]1βπΌ πΌπ [π(π₯)]1βπΌ =
πΌπ π
Karena π(π₯) = π, maka π1βπΌ = 1
πΌπ 1βπΌ π=( ) π
πΌπ π
(10)
17 Lampiran 3
Penurunan persamaan (11)
Dari persamaan (9) maka diperoleh persamaan sebagai berikut π(π₯) = π β βπ₯ β π₯ = π β βπ₯ = π + π₯ 2
β (βπ₯) = (π + π₯)2 β π₯ = π 2 + 2ππ₯ + π₯ 2 β π 2 + 2ππ₯ + π₯ 2 β π₯ = 0 β π 2 + (2π β 1)π₯ + π₯ 2 = 0 β π₯ 2 β (1 β 2π)π₯ + π 2 = 0. Lampiran 4
(11)
Penurunan persamaan (12a) dan (12b)
π₯ 2 β (1 β 2π)π₯ + π 2 = 0
π₯2,3 =
β[β(1 β 2π)] Β± β[β(1 β 2π)]2 β 4(1)(π 2 ) 2(1)
π₯2,3 =
(1 β 2π) Β± β(2π β 1)2 β 4(1)(π 2 ) 2
π₯2,3 =
(1 β 2π) Β± β(4π 2 β 4π + 1) β 4π 2 2
π₯2,3 =
(1 β 2π) Β± β1 β 4π 2 π₯2 =
(1 β 2π) + β1 β 4π 2
(12a)
π₯3 =
(1 β 2π) β β1 β 4π 2
(12b)
18 Lampiran 5 Penurunan pertidaksamaan pada Kasus 1 Dari persamaan (10) diperoleh sebagai berikut 1
1 πΌπ 1βπΌ 1 π> β( ) > 4 π 4 πΌπ 1 1βπΌ β >( ) π 4 β
πΌπ 1 > 1βπΌ π 4
β
π < 41βπΌ πΌπ
β
π < πΌ41βπΌ π
Karena
π π
< πΌ41βπΌ dan π > 0, maka π < πΌπ41βπΌ , berarti πΌπ41βπΌ β π > 0,
sehingga (πΌπ41βπΌ β π)(β2) < 0.
Lampiran 6
1
Penurunan persamaan π
β²β² (4)
1 1 1 1 π(π₯) = βπ₯ β π₯ β π ( ) = β β = 4 4 4 4 π β² (π₯) =
1
1 1 β 1 β πβ² ( ) = β1=0 4 2βπ₯ 1 2β4
π β²β² (π₯) = β
1
1 1 β π β²β² ( ) = β 4 4 4βπ₯ 3
1 (
β
1 43 )
=β
1 4
1 (
= β2
β
1 64)
π
β²β² (π₯) = {πΌπ[π(π₯)]πΌβ1 β π}π β²β² (π₯) β {πΌπ(1 β πΌ)[π(π₯)]πΌβ2 }[π β² (π₯)]2 1 1 πΌβ1 1 πΌβ2 π
( ) = {πΌπ [ ] β π} (β2) β {πΌπ(1 β πΌ) [ ] } [0]2 4 4 4 β²β²
19 1 1 πΌβ1 1 π
( ) = {πΌπ [ ] β π} (β2) = (πΌπ [ πΌβ1 ] β π) (β2) 4 4 4 β²β²
1 π
β²β² ( ) = (πΌπ41βπΌ β π)(β2) 4 π Karena π < πΌ41βπΌ dan π > 0, maka π < πΌπ41βπΌ , berarti πΌπ41βπΌ β π > 0, sehingga (πΌπ41βπΌ β π)(β2) < 0.
Lampiran 7
Penurunan persamaan pada Kasus 2
Dari persamaan (10) diperoleh 1
1 πΌπ 1βπΌ 1 π= β( ) = 4 π 4 πΌπ 1 1βπΌ β =( ) π 4 β
πΌπ 1 = 1βπΌ π 4
β
π = 41βπΌ πΌπ
β
π = πΌ41βπΌ π
Lampiran 8
Penurunan pertidaksamaan Kasus 3
Dari persamaan (10) diperoleh 1
1 πΌπ 1βπΌ 1 < π< β( ) π 4 4 β
πΌπ 1 1βπΌ <( ) π 4
β
1 πΌπ < 1βπΌ 4 π
β
π > 41βπΌ πΌπ
β
π > πΌ41βπΌ π
20 Lampiran 9
Sintaks program Maple 13 Gambar 1
Lampiran 10 Sintaks program Maple 13 Gambar 2
21 Lampiran 11 Sintaks program Maple 13 Gambar 3
Lampiran 12 Penurunan persamaan (13) Misalkan diasumsikan fungsi biaya π(π₯, β) = π(π₯) = π
π βπ₯
, maka dari
persamaan (3) dengan π(β) = β1βπΌ , β = π(π₯), persamaan sewa ekonomi menjadi sebagai berikut π
(π₯) = [π(β) β π(π₯, β)]β π
(π₯) = [
π β1βπΌ
β π(π₯)] β
π
(π₯) = πβπΌ β π(π₯)β π
(π₯) = π[π(π₯)]πΌ β π(π₯)π(π₯) πΌ
π
(π₯) = π[βπ₯ β π₯] β [( πΌ
π
(π₯) = π[βπ₯ β π₯] β [ πΌ
π βπ₯
π βπ₯ βπ₯
) (βπ₯ β π₯)]
β
π₯π βπ₯
π
(π₯) = π[βπ₯ β π₯] β (π β π βπ₯)
]
22 πΌ
π
(π₯) = π[βπ₯ β π₯] β π + πβπ₯
(13)
Lampiran 13 Penurunan nilai π
β² (π₯) πΌ
π
(π₯) = π(βπ₯ β π₯) β π(1 β βπ₯) π
β² (π₯) = πΌπ(βπ₯ β π₯)
πΌβ1
π
β² (π₯) = πΌπ(βπ₯ β π₯)
π
β² (π₯) =
πΌπ(βπ₯ β π₯)
(
πΌβ1
πΌβ1
1 2βπ₯
(
β 1) +
1 β 2 βπ₯ 2βπ₯
π 2βπ₯
)+
π 2βπ₯
(1 β 2βπ₯) + π
2βπ₯
π
β² (π₯) = 0 β πΌπ(βπ₯ β π₯)
πΌβ1
(1 β 2βπ₯) + π = 0
Karena π > 0, maka πΌπ(βπ₯ β π₯)
πΌβ1
(1 β 2βπ₯) < 0
Untuk π₯ β (0, 1) maka βπ₯ β π₯ > 0, sehingga πΌπ(βπ₯ β π₯) Jadi π
β² (π₯) = 0 β 1 β 2βπ₯ < 0
πΌβ1
>0
2βπ₯ > 1 π₯>
1 4 1
Karena daerah asal π
β² (π₯) adalah (0, 1), maka π
β² (π₯) = 0 untuk 4 < π₯ < 1 dan 1
π
β² (π₯) β 0 untuk 0 < π₯ β€ 4. Lampiran 14 Penurunan persamaan (15) Dari persamaan (14) diperoleh persamaan sebagai berikut π
β² (π₯) = πΌπ(βπ₯ β π₯)
πΌβ1
(
1 2βπ₯
β 1) +
π 2βπ₯
π
β² (π₯) = 0 β πΌπ(βπ₯ β π₯)
β πΌπ (
1
1βπΌ ) (
(βπ₯ β π₯)
1
2 βπ₯
β 1) +
πΌβ1
π 2βπ₯
1 π ( β 1) + =0 2βπ₯ 2βπ₯
=0
23
β
πΌπ 1βπΌ
πΌπ
β
1βπΌ
+
(βπ₯ β π₯)
2βπ₯(βπ₯ β π₯)
π 2βπ₯
=0
1βπΌ
β
πΌπ β πΌπ2βπ₯ + π(βπ₯ β π₯)
=0
1βπΌ
2βπ₯(βπ₯ β π₯)
1βπΌ
β
πΌπ(1 β 2βπ₯) + π(βπ₯ β π₯)
=0
1βπΌ
2βπ₯(βπ₯ β π₯)
1βπΌ
β πΌπ(1 β 2βπ₯) + π(βπ₯ β π₯) β
=0
(dibagi dengan π)
πΌπ 1βπΌ (1 β 2βπ₯) + (βπ₯ β π₯) =0 π 1βπΌ
β π(1 β 2βπ₯) + (βπ₯ β π₯)
=0
1βπΌ
β π(2βπ₯ β 1) = 0 β (βπ₯ β π₯) πΌπ dengan π = π . Lampiran 15 Sintaks program Maple 13 Gambar 5
(15)
24 Lampiran 16 Penurunan persamaan (16) Misalkan diasumsikan β(π‘) = π€π₯(π‘). Dari persamaan (3) π
(π₯) = [π(β) β π(π₯, β)]β π
(π₯) = [ π
(π₯) = π
(π₯) =
π
π β (π + )] β β1βπΌ β π
β1βπΌ
π β β (π + ) β β
π β (πβ + π) ββπΌ
π
(π₯) = πβπΌ β πβ β π π
(π₯) = π[π€π₯(π‘)]πΌ β π(π€π₯(π‘)) β π π
(π₯) = ππ€ πΌ π₯ πΌ β ππ€π₯ β π. Lampiran 17 Penurunan persamaan (18) Dari persamaan (17) diperoleh persamaan sebagai berikut π
β² (π₯) = 0 β πΌππ€ πΌ π₯ πΌβ1 β ππ€ = 0 β πΌππ€ πΌ π₯ πΌβ1 = ππ€ β π₯ πΌβ1 =
ππ€ πΌππ€ πΌ 1
ππ€ πΌβ1 βπ₯=( ) πΌππ€ πΌ 1
πΌππ€ πΌ 1βπΌ βπ₯=( ) ππ€ 1
1
π€ πΌ 1βπΌ πΌπ 1βπΌ βπ₯=( ) ( ) π€ π 1
πΌπ 1βπΌ ( ) π
βπ₯=π€
πΌβ1 1βπΌ
βπ₯=π€
β(1βπΌ) 1βπΌ
1
πΌπ 1βπΌ ( ) π
(16)
25 1
βπ₯=π€
β1
πΌπ 1βπΌ ( ) π
1
1 πΌπ 1βπΌ π₯ = ( ) π€ π β
(18)
1
Lampiran 18 Penurunan pertaksamaan π₯ β > 4 Diketahui 1β 1βπΌ
πΌπ
(π)
1
maka
1
β₯ 4. Karena 0 < π€ < 1,
> 1,
π€
sehingga 1
1
πΌπ 1βπΌ
( ) π€ π
1
>4 1
Jadi π₯ β > π₯1 = 4 Dari persamaaan (16) diperoleh πΌ
1
π
(π₯
β)
1
1 πΌπ 1βπΌ 1 πΌπ 1βπΌ = ππ€ [ ( ) ] β ππ€ [ ( ) ] β π π€ π π€ π πΌ
πΌ
1
1 πΌπ 1βπΌ 1 πΌπ 1βπΌ = ππ€ [ πΌ ( ) ] β ππ€ [ ( ) ] β π π€ π π€ π πΌ
πΌ
1
πΌπ 1βπΌ πΌπ 1βπΌ = π( ) βπ( ) βπ π π πΌπ
Karena ( π )
1β 1βπΌ
1
β₯ 4, maka
πΌπ πΌβ1βπΌ 1 πΌ ( ) β₯( ) π 4 1
πΌπ πΌβ1βπΌ πΌπ 1βπΌ π π π( ) βπ( ) βπ > πΌ β βπ π π 4 4 π π 1 = πΌ β (π + ) = π
( ). 4 4 4
26 Lampiran 19 Sintaks program Maple 13 Gambar 6
27
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Desa Sukananti Kec. Jarai Kab. Lahat, Palembang-Sumatera Selatan pada tanggal 16 Mei 1992 dari ayah Suharmansi dan ibu Surtianah. Penulis adalah putri pertama dari empat bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu SD Muhammadiyah 092 Jarai lulus pada tahun 2004, SMP Negeri 1 Jarai lulus pada tahun 2007, SMA Negeri 1 Jarai lulus pada tahun 2010 dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan (kepanitiaan) dan organisasi intrakampus seperti menjadi staf Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB pada tahun 2012-2013. Bulan Januari-Mei penulis melakukan telaah pustaka sebagai tugas akhir dengan judul Pengoptimuan Model Ekonomi Sumber daya Alam Terbarukan dengan Prinsip Halmilton.
