MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DENGAN INPUT SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN NUR NA IMAH

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DENGAN INPUT SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN

NUR NA’IMAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

ABSTRAK NUR NA’IMAH. Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Input Sumber Daya Alam Terbarukan. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ENDAR H. NUGRAHANI. Karya tulis ini membahas hubungan antara kemajuan teknologi, sumber daya alam terbarukan dan pertumbuhan ekonomi dalam model pertumbuhan ekonomi yang berlaku proses creative destruction. Kemudian, dari model tersebut dibahas masalah maksimisasi utilitas dengan kendala stok sumber daya alam dan kemajuan teknologi untuk menentukan alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state. Masalah maksimisasi utilitas diformulasikan dalam bentuk masalah kontrol optimum yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode current-value Hamiltonian. Selanjutnya, pada saat laju pertumbuhan ekonomi positif, dianalisis pengaruh parameter yang ada dalam model yaitu efisiensi dari sektor R&D, tingkat keterbaruan dari sumber daya, tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal terhadap alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil berikut: peningkatan dari efisiensi dari sektor R&D dan tingkat keterbaruan dari sumber daya akan meningkatkan nilai alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Sebaliknya, peningkatan dari tingkat diskon dan elastisitas utilitas marjinal akan mengakibatkan penurunan pada alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan pada kondisi steady state yang optimal. Kata kunci: pertumbuhan ekonomi, sumber daya alam terbarukan, alokasi tenaga kerja, laju pertumbuhan steady state.

ABSTRACT NUR NA’IMAH. Economic Growth Model with Renewable Resources. Supervised by RETNO BUDIARTI and ENDAR H. NUGRAHANI. This paper discusses relationship among technological progress, renewable resources, and economic growth in economic growth model with creative destruction. This model deals with the problem of utility maximization with stock of resources and technological progress as constraints. It aims to determine the optimal allocation of labor and also the optimal steady state growth rate. The utility maximization problem is formulated in a form of optimal control problem, which can be solved using current-value Hamiltonian method. Furthermore, when the optimal growth rate is positive, we analyze how the optimal labor allocation and the optimal growth rate are affected by the parameters of the model, i.e. the efficiency of R&D sector, renewable rate of the resources, discount rate, and elasticity of marginal utility. The analysis gives the following results. An increase in the efficiency of R&D sector and renewable rate of the resources would improve the optimal labor allocation and the optimal growth rate. On the contrary, an increase in discount rate and elasticity of marginal utility would reduce the optimal labor allocation and the optimal growth rate. Keywords: economic growth, renewable resources, labor allocation, steady state growth rate.

MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DENGAN INPUT SUMBER DAYA ALAM TERBARUKAN

NUR NA’IMAH

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

Judul Skripsi : Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Input Sumber Daya Alam Terbarukan Nama : Nur Na’imah NIM : G54070090

Disetujui

Pembimbing I

Pembimbing II

Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS NIP. 19631228 198903 2 001

Diketahui Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus : ………………………………

PRAKATA Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas do’a, cinta, kasih sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas dukungan, hiburan dan motivasinya). 2. Departemen Agama Republik Indonesia Bagian SubDirektorat Pendidikan Pesantren (terima kasih atas beasiswa yang telah diberikan selama penulis kuliah di IPB). 3. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I, Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing II dan Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu, nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini). 4. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan nasehat yang telah diberikan). 5. Seluruh staf departemen Metematika IPB (terima kasih atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan). 6. Staf Direktorat BUD dan Kerjasama Internasional IPB, Mbak Ani, Mbak Onya dan yang lainnya (terima kasih atas motivasi dan bantuannya). 7. Keluarga besar Pondok Pesantren Wahid Hasyim DIY: Bapak Jalal, Ibu Neli, Pak Toto, Pak Halim, Pak Yunus, Pak Ari, Pak Wahyu, Bu Rina, Bu Etu, Pak Ikhsan, Pak Anas, Pak BI, segenap guru MA, MTS, dan MI, semua pembina, kakak-kakak dan adik-adik kelas MA Weha (terima kasih atas dukungan, bantuan, semangat, do’a dan motivasinya). 8. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil, Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu, Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari, Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy, Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan kebersamaannya). 9. Teman-teman CSS MoRA IPB angkatan 44: Linda, Petri, Umi, Atin, Dhila, Elfa, Obi, Chirzin, Heri, Rizky, Mita, Kholis, Muna, Siti, Iwan, Puying, Lukman, Oli, Isti, Meme, Eneng, Mala, Eko, Komar, Syahid, Tika, Ana, Tachu, Au, Johan, Fieki dkk (terima kasih atas kebersamaan dan motivasinya). 10. Kakak-kakak CSS MoRA IPB angkatan 42 dan 43: Kak Lalu, Kak Anci, Kak Suci, Kak Daus, Kak Priwan, Mbak Yulia, Kak Habibi, Kak Misbah, Kak Hamka dan lainnya (terima kasih ilmu, bantuan dan kebersamaannya). 11. Adik-adik CSS MoRA IPB angkatan 45-48 (terima kasih atas dukungan, semangat, do’a, hiburan dan kebersamaannya). 12. Teman-teman CSS MoRA Nasional: Udin, Dimas, Aril, Kiya, Wiwiet, Maryani dan lainnya (terima kasih atas semangat dan dukungannya). 13. Sahabat tersayang: Dika, Nurus, Nad, Abang, Onenk, Adah, Elfa, Vitri, Isti, Nisak dan Asna (terima kasih untuk semua waktu, kebersamaan, motivasi dan bantuannya). 14. Keluarga besar kosan elpinkers: Ana, Ruri, Tita, Acil, Pitri, Hilwi, Tesa, Elfa dan Indri (terima kasih atas bantuan, doa dan motivasinya). 15. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor,

Januari 2012 Nur Na’imah

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Magelang pada 11 Maret 1990 sebagai anak ke tujuh dari delapan bersaudara, anak dari bapak Khasanuddin dan ibu Siti Maesaroh. Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di MI Ma’arif Pendem Grabag. Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 2 Grabag. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di MA Wahid Hasyim Sleman DIY dan pada tahun yang sama penulis mendapatkan beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia dalam Program Beasiswa Santri Berprestasi Departemen Agama sehingga penulis berkesempatan untuk melanjutkan studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, Penulis aktif dalam mengajar Matematika pada bimbingan belajar untuk mahasiswa juga beberapa kali membantu dosen untuk memberikan tutorial tambahan Matematika kepada mahasiswa BUD (Beasiswa Utusan Daerah). Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yaitu Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai anggota Departemen Kewirausahaan periode 2008/2009 dan CSS MoRA IPB (Community of Santri Scholar of Ministry of Religious Affair Institut Pertanian Bogor ) sebagai anggota Departemen PSDM periode 2008/2009. Penulis juga pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain sebagai anggota Tim Formatur dalam pembentukan organisasi CSS pada tahun 2008, sebagai panitia penyelenggara Musyawarah Nasional I CSS MoRA Nasional di Klaten Jawa Tengah pada tahun 2008 dan sebagai anggota divisi logistik dan transportasi pada acara MPD Matematika pada tahun 2009.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................... viii I

PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1.1 Latar Belakang ..................................................................................................... 1.2 Tujuan ..................................................................................................................

1 1 1

II

LANDASAN TEORI .................................................................................................... 2.1 Istilah Ekonomi .................................................................................................... 2.2 Proses Poisson Homogen ...................................................................................... 2.3 Fungsi Konkaf ....................................................................................................... 2.4 Masalah Kontrol Optimum .................................................................................... 2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin .............................................................................. 2.6 Current-Value Hamiltonian ................................................................................... 2.7 Syarat Transversalitas ...........................................................................................

2 2 3 4 4 4 5 6

III

HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................................................... 3.1 Perumusan Model ................................................................................................... 3.2 Kondisi Optimal Steady State .................................................................................. 3.3 Analisis Pengaruh Parameter ...................................................................................

7 7 8 10

IV

SIMPULAN .................................................................................................................

14

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................................

15

LAMPIRAN .........................................................................................................................

16

vii

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5

Kurva pengaruh 𝜆 terhadap 𝑔𝐴 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.5 ........................................................................................................................

11

Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝐴 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝜆 = 0.25 dan 𝜃 = 0.5 ........................................................................................................................

11

Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.2, 𝛾 = 1.2 dan 𝜃 = 0.5 ........................................................................................................................

12

Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑛𝑡 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.14, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.25 dan 𝛾 = 1.4 ........................................................................................................................

12

Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝑅 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.1, 𝜆 = 0.25, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.1 ........................................................................................................................

13

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1

Bukti Teorema 1 ............................................................................................................

17

2

Penentuan 𝐴𝑡 ................................................................................................................

18

3

Penentuan 𝑔𝜇 1 dan 𝑔𝜇 2 bagian 1 ....................................................................................

18

4

Penentuan 𝑔𝜇 1 bagian 2 ................................................................................................

19

5

Penentuan 𝑔𝜇 2 bagian 2 ................................................................................................

19

6

Penentuan nilai 𝑛𝑡 dan 𝑔𝑅 .............................................................................................

19

7

Penentuan nilai 𝑔𝐴 dan 𝑔𝑌 .............................................................................................

20

8

Uraian kondisi transversalitas pertama ...........................................................................

21

9

Uraian kondisi transversalitas kedua...............................................................................

22

10

Bukti Proposisi 1 ..........................................................................................................

23

11

Bukti Proposisi 2 ..........................................................................................................

25

12

Uraian Tabel 1 ..............................................................................................................

27

13

Penentuan kurva pengaruh parameter 𝜆 dan 𝛾 menggunakan Software Matematica 7 ....

30

14

Penentuan kurva pengaruh parameter 𝜌 menggunakan Software Matematica 7 ...............

34

15

Penentuan kurva pengaruh parameter 𝜃 menggunakan Software Matematica 7 ..............

36

16

Penentuan kurva pengaruh parameter 𝜎 menggunakan Software Matematica 7 ..............

37

1

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya (Mankiw 2003). Pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya yaitu: modal, tenaga kerja, sumber daya alam dan tingkat kemajuan teknologi (Dornbusch et al. 2002). Sumber daya alam sebagai faktor produksi jumlahnya terbatas. Hal ini berlaku baik itu yang terbarukan maupun yang tak terbarukan. Khusus untuk sumber daya alam terbarukan, banyak yang beranggapan bahwa karena dapat diperbarui jumlahnya menjadi tak terbatas. Anggapan inilah yang mengakibatkan banyak terjadi pengurasan sumber daya alam secara tidak bijaksana tanpa memikirkan tingkat keterbaruan dari sumber daya alam tersebut. Hal tersebut saat ini menjadi isu populer di bidang ekonomi untuk mempelajari bagaimana mewujudkan pemanfaatan sumber daya secara berkelanjutan untuk pengembangan ekonomi. Selain sumber daya alam, tingkat kemajuan teknologi juga sangat berpengaruh terhadap pertumbuhan ekonomi. Sejarah telah membuktikan bahwa penemuan dan kemajuan teknologi terus berlangsung sehingga dapat meningkatkan kemungkinan produksi (production possibility) baik di Eropa, Amerika Utara maupun di Jepang. Kemajuan teknologi ditandai dengan adanya perubahan proses produksi, diperkenalkannya produk baru, ataupun peningkatan besarnya output dengan menggunakan input yang sama (Sugiyono 2000). Dari uraian di atas, dapat diketahui bahwa sumber daya alam dan kemajuan teknologi merupakan faktor yang memiliki pengaruh yang cukup penting terhadap pertumbuhan ekonomi. Meskipun demikian, dari keempat faktor yang disebutkan di atas, modal dan tenaga kerja sering disebut sebagai faktor utama yang mempengaruhi tingkat pertumbuhan ekonomi. Hal ini ditunjukkan dengan beberapa teori pertumbuhan ekonomi yang

menyatakan pertumbuhan ekonomi sebagai fungsi dari modal dan tenaga kerja. Hal ini mendorong penulis untuk mengkaji lebih lanjut tentang pengaruh dua faktor lainya yaitu sumber daya alam dan kemajuan teknologi terhadap pertumbuhan ekonomi. Untuk mengkaji pengaruh tersebut, dalam karya ilmiah ini akan dibahas tentang model pertumbuhan ekonomi dengan input sumber daya terbarukan serta memasukkan faktor kemajuan teknologi yang mencakup tiga sektor perekonomian yaitu sektor produksi akhir, sektor produksi antara dan sektor Research and Development (R&D). Karena tujuan akhir dari perekonomian adalah untuk memaksimumkan tingkat utilitas dari rumah tangga, maka selanjutnya akan ditentukan rumusan matematika untuk memaksimumkan utilitas rumah tangga dari model pertumbuhan ekonomi tersebut. Dalam teori ekonomi pada pertumbuhan ekonomi modern, disebutkan bahwa pertumbuhan ekonomi di sebagian besar negara mempunyai karakteristik steady state pada jangka waktu yang lama. Oleh karena itu selanjutnya akan ditentukan laju pertumbuhan optimal steady state untuk setiap variabel yang ada dalam model. Kemudian dilanjutkan dengan menganalisis pengaruh parameter yang ada dalam model terhadap laju pertumbuhan optimal steady state tersebut. 1.2 Tujuan Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Mendapatkan rumusan matematika untuk memaksimumkan utilitas rumah tangga dari model pertumbuhan ekonomi dengan variabel sumber daya alam terbarukan dan tingkat kemajuan teknologi. 2. Menentukan alokasi optimal tenaga kerja yang dapat memaksimumkan utilitas pada kondisi steady state. 3. Menentukan laju pertumbuhan optimal dari setiap variabel dari model yang diperoleh pada kondisi steady state. 4. Menganalisis pengaruh parameter terhadap laju pertumbuhan optimal steady state.

2

II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini. 2.1 Istilah Ekonomi Definisi 1 (Pertumbuhan Ekonomi) Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi ditunjukkan oleh persentase kenaikan pendapatan nasional riil pada suatu tahun tertentu dibandingkan dengan pendapatan nasional riil pada tahun sebelumnya. (Mankiw 2003) Definisi 2 (Fungsi Produksi) Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu adalah 𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿, … ) dengan K menyatakan input modal dan L menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakan input lain. Fungsi produksi memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif input produksi. (Mankiw 2003) Definisi 3 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas) Fungsi Produksi Cobb-Douglas adalah salah satu fungsi produksi yang dapat digunakan dalam analisis produktivitas. Bentuk umum dari fungsi Cobb-Douglas adalah 𝑌 = 𝛿𝐾 𝛼 𝐿𝛽 , di mana 𝑌 adalah output, K input modal, L input tenaga kerja, 𝛿 koefisien intersep (indeks efisiensi), 𝛼 elastisitas output dari input 𝐾, 𝛽 elastisitas output dari input L di mana 𝛽 = 1 − 𝛼. Koefisien intersep yang dilambangkan dengan 𝛿 adalah koefisien yang secara langsung menggambarkan efisiensi dalam penggunaan input dalam menghasilkan output. Koefisien elastisitas output dari fungsi yang digunakan adalah koefisien yang memberikan gambaran elastisitas penggunaan input tertentu dalam menghasilkan output dari suatu proses produksi. (Mankiw 2003) Definisi 4 (Model Pertumbuhan dengan Perkembangan Teknologi) Model pertumbuhan dengan perkembangan teknologi sebagai faktor produksi secara umum ditulis sebagai 𝛽

𝑌𝑡 = 𝐴𝐾𝑡𝛼 𝐿𝑡 , 0 ≤ 𝛼, 𝛽 ≤ 1

Nilai 𝛼 dan β masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan tenaga kerja dan A adalah tingkat kemajuan teknologi. (Mankiw 2003) Definisi 5 (Returns to scale) Returns to scale adalah ukuran besarnya tingkat perubahan output seiring dengan perubahan input secara proporsional. Return to scale dibedakan menjadi tiga yaitu: i. Increasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat lebih banyak dari peningkatan porsi input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 < 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . ii. Constant returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat sama banyaknya dengan porsi peningkatan input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 = 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . iii. Decreasing returns to scale, yaitu situasi di mana output meningkat dengan porsi lebih sedikit dari peningkatan porsi input 𝐹 𝛼𝐾, 𝛼𝐿 > 𝛼𝐹 𝐾, 𝐿 . (Salvaltore 2006) Definisi 6 (Elastisitas) Ukuran persentase perubahan suatu variabel yang disebabkan oleh satu persen perubahan variabel lainya. (Nicholson 2002 ) Definisi 7 (Utilitas) Kesenangan, kepuasan, atau pemenuhan kebutuhan yang diterima atau diperoleh seseorang sebagai akibat dari aktivitas ekonomi yang dilakukanya. (Nicholson 2002) Definisi 8 (Utilitas Marjinal) Utilitas tambahan yang diterima seorang individu dengan mengonsumsi satu unit tambahan barang tertentu. (Nicholson 2002) Definisi 9 (Fungsi Utilitas) Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut: 𝑈𝑡 = 𝑈(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) dengan 𝑈𝑡 adalah kepuasan total, dan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi. (Nicholson 2002)

3

Definisi 10 (Laju Pertumbuhan (Growth rate)) Laju pertumbuhan atau growth rate dari suatu variabel merujuk pada laju perubahan proporsional yaitu laju perubahan dari suatu variabel per satu satuan variabel tersebut. Sehingga laju pertumbuhan dari 𝑋(𝑡) adalah 𝑋(𝑡)/𝑋(𝑡) untuk 𝑋(𝑡) = 𝑑𝑥/𝑑𝑡. (Romer 2006 ) Definisi 11 (Kondisi Mapan (Steady State)) Kondisi steady state atau kondisi balanced growth path adalah sebuah kondisi di mana setiap veriabel yang ada dalam model memiliki laju pertumbuhan yang konstan. (Romer 2006 ) Definisi 12 (Inovasi ) Inovasi adalah tindakan disengaja yang dilakukan oleh produsen yang bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan dengan cara memperbaiki kualitas atau memproduksi produk baru yang lebih baik. (Park 2008 ) Definisi 13 (Inovasi Vertikal) Inovasi vertikal adalah upaya peningkatan kualitas dari suatu produk antara (produk intermediet) atau produk konsumsi yang secara khusus dihasilkan dari investasi di bidang R&D yang bertujuan untuk meningkatkan produktivitas perusahaan atau utilitas konsumen. (Grossmann & Streger 2007 ) Definisi 14 (Creative Destruction) Creative destruction adalah istilah yang digunakan oleh Joseph Schumpeter untuk menggambarkan bahwa barang dan teknologi yang baru atau sudah ditingkatkan dapat menggantikan barang dan teknologi yang kurang produktif. (Grossmann & Streger 2007) 2.2 Proses Poisson Homogen Sebelum mendefinisikan proses poisson homogen, terlebih dahulu akan didefinisikan hal-hal yang berkaitan dengannya yaitu percobaan acak, ruang contoh, peubah acak, proses stokastik, proses pencacahan, dan proses poisson. Definisi 15 (Percobaan Acak) percobaan acak adalah percobaan yang meskipun diulang dalam kondisi yang sama hasil percobaan tidak dapat ditebak dengan tepat, namun kita mengetahui semua kemungkinan hasilnya. (Ross 1996)

Definisi 16 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari percobaan acak, disebut juga dengan ruang sampel dan dinotasikan dengan Ω. (Ross 1996) Definisi 16 (Peubah Acak) Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi 𝑋 ∶ Ω → 𝐑 dengan sifat bahwa untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑹, 𝝎 ∈ 𝛺; 𝑋 𝜔 ≤ 𝑥 ∈ 𝐹. (Ross 1996) Definisi 17 (Proses Stokastik) Proses stokastik 𝑋 = {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state 𝑆. (Ross 1996) Definisi 17 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan (counting process) jika 𝑁 𝑡 menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Terkadang proses pencacahan {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} ditulis 𝑁 0, 𝑡 yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu 0, 𝑡 . Proses pencacahan 𝑁 𝑡 harus memenuhi syarat-syarat berikut: i. 𝑁 𝑡 ≥ 0 untuk semua 𝑡 ∈ 0, ∞ . ii. Nilai 𝑁 𝑡 adalah integer (bilangan bulat). iii. Jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑠 ≤ 𝑁 𝑡 , 𝑠, 𝑡 ∈ 0, ∞ . iv. Untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑠 , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval 𝑠, 𝑡 . (Ross 1996) Definisi 18 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan {𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0} disebut proses poisson dengan laju 𝜆, 𝜆 > 0 jika terpenuhi tiga syarat: i. 𝑁 0 = 0 ii. Proses tersebut memiliki inkremen bebas iii. Banyaknya kejadian pada interval waktu dengan panjang t memiliki sebaran poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡. Jadi untuk semua 𝑡, 𝑠 ≥ 0 𝑃 𝑁 𝑡+𝑠 −𝑁 𝑠 = 𝑘 =

𝑒 −𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑘!

𝑘

, 𝑘 = 0,1, …

(Ross 1996) Definisi 19 (Proses Poisson Homogen) Proses poisson dengan laju 𝜆 yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses poisson homogen. Jika laju 𝜆 bukan konstanta tetapi merupakan fungsi dari

4

waktu t , 𝜆 𝑡 , maka disebut proses poisson tak homogen. Misalkan X adalah proses poisson homogen dan B adalah suatu selang bilangan nyata. Jika X adalah proses poisson homogen maka 𝐸[𝑋(𝐵)] = 𝜆 𝐵 . Dengan 𝐵 adalah panjang selang B, serta 𝑋(𝐵) menyatakan banyaknya kejadian dari proses poisson pada selang B. (Ross 1996) 2.3 Fungsi Konkaf Sebelum membahas fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 20 (Himpunan Konveks) Himpunan 𝐶 ⊂ 𝑅𝑛 dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝐶 , maka ruas garis yang menghubungkan 𝑥 dan 𝑦 juga terletak di 𝐶 . Dengan kata lain himpunan 𝐶 ⊂ 𝑅𝑛 dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 ≤ 𝜆 ≤ 1, maka vektor 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 juga terletak di 𝐶. (Peressini et al. 1988) Definisi 21 (Fungsi Konkaf dan Konkaf Sempurna) Misalkan 𝑓 adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks 𝐶 di 𝑅𝑛 , maka: 1. Fungsi 𝑓 dikatakan konkaf di 𝐶 jika 𝑓 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 ≥ 𝜆𝑓 𝑥 + 1 − 𝜆 𝑓 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 ≤ 𝜆 ≤ 1. 2. Fungsi f dikatakan konkaf sempurnadi 𝐶 jika 𝑓 𝜆𝑥 + 1 − 𝜆 𝑦 ≥ 𝜆𝑓 𝑥 + 1 − 𝜆 𝑓 𝑦 , untuk setiap 𝑥, 𝑦 di 𝐶 dan untuk setiap 𝜆 dengan 0 < 𝜆 < 1. (Peressini et al. 1988)

membawa sistem dari state awal 𝑥0 kepada state akhir 𝑥𝑇 yang memenuhi kondisi akhir T, melalui sistem 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 ,𝑡 sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max 𝐽[𝑢 𝑡 ] = 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇

𝑢(𝑡)∈𝑈

𝑡0

𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

terhadap kendala: 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 , 𝑥(𝑡) ∈ 𝑅𝑛 dengan 𝑥(𝑡) variabel state (state variable) dan 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇 yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. (Tu 1993) 2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin Prinsip maksimum merupakan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang ditemukan Pontryagin, yang kemudian dikenal sebagai Prinsip Maksimum Pontryagin. Prinsip ini diuraikan dalam teorema Pontryagin sebagai berikut: Teorema 2 (Pontryagin) Misalkan 𝑢∗ (𝑡) sebagai kontrol admisible yang membawa state awal [𝑥 𝑡0 , 𝑡0 ] kepada state akhir [𝑥 𝑇 , 𝑇], dengan 𝑥 𝑇 dan 𝑇 secara umum tidak ditentukan. Misalkan 𝑥 ∗ (𝑡) merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan 𝑢∗ (𝑡). Supaya kontrol 𝑢∗ (𝑡) merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor 𝑝∗ (𝑡) ≠ 0, dan konstanta 𝑝𝑜 sedemikian rupa sehingga: 1.

𝑝∗ (𝑡) dan 𝑥 ∗ (𝑡) merupakan solusi dari sistem kanonik: 𝜕𝐻 ∗ 𝑥 𝑡 , 𝑢 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 , 𝜕𝑝 𝜕𝐻 ∗ 𝑝∗ 𝑡 = − 𝑥 𝑡 , 𝑢 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 , 𝜕𝑝 𝑥∗ 𝑡 =

Teorema 1 Jika 𝑓 fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka 𝑓 fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika 𝑓"(𝑥) ≤ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼. Jika 𝑓"(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝑓 dikatakan fungsi konkaf sempurna. (Peressini et al. 1988) 2.4 Masalah Kontrol Optimum Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sepotong-sepotong (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol 𝑢∗ 𝑡 diantara fungsi admissible 𝑢 𝑡 ∈ 𝑈 yang

𝑇

+

dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑢, 𝑡 , dengan 𝑝0 ≡ 1. 2.

𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝 ∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 .

3.

Semua syarat batas dipenuhi.

𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini

5

dipenuhi oleh 𝐻𝑢 = 0 dan 𝐻𝑢𝑢 < 0. Jika 𝑢 ∈ 𝑈 dan 𝑈 himpunan tertutup, maka 𝐻𝑢 = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari 𝐻 diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan 𝑈. Kondisi 𝐻 𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑝∗ , 𝑡 ≥ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 ini juga mencakup syarat cukup dari masalah ini. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah 𝑢𝑖𝑚𝑎𝑥 untuk masalah memaksimumkan dan 𝑢𝑖𝑚𝑖𝑛 untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah 𝑢𝑖𝑚𝑖𝑛 untuk masalah memaksimumkan dan 𝑢𝑖𝑚𝑎𝑥 untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum 𝑢𝑖 adalah kontinu bagian dan loncat dari suatu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus dari kontrol bang-bang. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price. Nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan 𝑝 mengindikasikan tingkat kenaikan (apresiasi untuk 𝑝 > 0) atau penurunan (depresiasi untuk 𝑝 < 0) dalam nilai dari tiap unit modal. 𝜕𝐻 𝑑𝐻 Nilai dari suatu 𝑑𝑡 = 𝜕𝑡 . Sementara itu syarat perlu untuk masalah ini diberikan oleh persamaan 𝑝 = −𝐻𝑥 , 𝐻𝑢 = 0, 𝑥 = 𝐻𝑝 . Syarat batas diberikan oleh persamaan 𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡|𝑡=𝑡 0 = 0.

Apabila fungsi scrap 𝑆 = 0, maka persamaan tersebut menjadi −𝑝 𝑡

𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0

+𝐻 𝑡

𝛿𝑡|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0

= 0.

Khususnya pada waktu awal 𝑡0 dan 𝑥(𝑡0 ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(T) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi – 𝑝 𝑇 𝛿𝑥 𝑇 + 𝐻 𝑇 𝛿𝑇 = 0. Bukti: lihat Lampiran 1 (Tu 1993) 2.6 Current-Value Hamiltonian Dalam penggunaan teori kontrol optimum. Pada masalah ekonomi, fungsi integran 𝑓0 sering memuat faktor diskon 𝑒 −𝑟𝑡 . Dengan demikian, fungsi integran 𝑓0 secara umum dapat dituliskan menjadi

𝑓0 𝑡, 𝑥, 𝑢 = 𝐺(𝑡, 𝑥, 𝑢)𝑒 −𝑟𝑡 Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai 𝑡

𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡

max 𝑉 = 0

terhadap kendala 𝑥 = 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk 𝐻 𝑡, 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 𝑒 −𝑟𝑡 + 𝑝 𝑡 𝑓 𝑡, 𝑥, 𝑢 . Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Untuk menerapkan konsep current-value Hamiltonian, diperlukan konsep current-value adjoin. Misalkan 𝜆(𝑡) menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan 𝜆 𝑡 = 𝑝(𝑡)𝑒 𝑟𝑡 yang berimplikasi 𝑝 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 . Sehingga fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan 𝐻 , dapat dituliskan menjadi 𝐻 ≡ 𝐻𝑒 𝑟𝑡 = 𝐺 𝑡, 𝑥, 𝑢 + 𝜆 𝑡 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢). Perhatikan bahwa 𝐻 , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa 𝐻 = 𝐻 𝑒 𝑟𝑡 . Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap 𝐻 harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan 𝐻 , maka max 𝐻 , ∀𝑡 ∈ 0, 𝑇 . 𝑢

Persamaan state yang muncul dalam 𝜕𝐻 sistem kanonik, aslinya adalah 𝑥 𝑡 = . 𝜕𝑝

Karena

𝜕𝐻 𝜕𝑝

= 𝑓0 𝑡, 𝑥, 𝑢 =

𝜕𝐻 𝜕𝜆

, maka persama𝜕𝐻

an ini disesuaikan menjadi 𝑥 𝑡 = 𝜕𝜆 . Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah dalam 𝜕𝐻 bentuk 𝑝 𝑡 = − 𝜕𝑥 . Pertama-tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, 𝜆 𝑡 , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, 𝑝 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 − 𝑟𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 . Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk

6

−

𝜕𝐻 𝜕𝐻 −𝑟𝑡 =− 𝑒 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0 + [𝐻 + 𝑆𝑡 ]𝛿𝑡|𝑡=𝑡 0 = 0.

Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi 𝜆 𝑡 =−

𝜕𝐻 +𝑟𝜆 𝑡 . 𝜕𝑥

Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas 𝑝 𝑇 = 0, syarat batas yang sesuai adalah 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 = 0 dan untuk syarat batas 𝐻 𝑡=𝑇 = 0, syarat batas yang sesuai adalah 𝐻 𝑒 −𝑟𝑡 𝑡=𝑇 = 0. (Tu 1993) 2.7 Syarat Transversalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif max 𝐽[𝑢 𝑡 ] = 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇

𝑢(𝑡)∈𝑈

𝑇

+ 𝑡0

𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

terhadap kendala 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 , 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 , 𝑥 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 .

Syarat transversalitas atau diberikan oleh persamaan

syarat

batas

Untuk masalah dengan fungsional objektifnya menggunakan current-value Hamiltonian dengan 𝐻 ≡ 𝐻𝑒 𝑟𝑡 , fungsi scrap 𝑆 = 0, dan waktu awal 𝑡0 dan 𝑥(𝑡0 ) telah ditentukan seperti yang disebutkan sebelumnya, maka syarat batasnya adalah 𝜆 𝑡 𝑒 −𝑟𝑡 = 0 dan 𝐻 𝑒 −𝑟𝑡 𝑡=𝑇 = 0. (Tu 1993) Pada kasus horizon waktu takhingga (𝑇 → ∞), asumsikan fungsional objektif 𝑇 max 𝐽 = 0 𝐺(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡. Untuk titik akhir bebas, syarat transversalitas yang dapat digunakan adalah lim 𝑝 𝑇 = 0 ⟹ lim 𝑚 𝑡 𝑒 −𝜌𝑇 = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

Limit di atas adalah present value formulation yang juga merupakan syarat cukup untuk optimalitas. Kasus penting lainnya adalah jika terdapat kendala lim𝑇→∞ 𝑥 𝑇 ≥ 0 dengan syarat transversalitasnya adalah lim 𝑒 −𝜌𝑇 𝑚 𝑡 ≥ 0 dan lim 𝑒 −𝜌𝑇 𝑚 𝑡 𝑥 ∗ (𝑡) = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

(Sethi & Gerald 2000)

7

III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Pada bagian ini akan dirumuskan model pertumbuhan ekonomi yang mengoptimalkan utilitas dari konsumen dengan asumsi: 1. Terdapat tiga sektor dalam perekonomian: sektor produksi akhir, sektor produksi antara dan sektor R & D. 2. Banyaknya output yang dihasilkan pada saat t semuanya akan dikonsumsi pada saat itu juga, sehingga rumah tangga sebagai konsumen, investor, penyedia tenaga kerja dan penyedia sumber daya alam berada dalam sektor ini. 3. Persediaan tenaga kerja (L) tetap dan untuk kemudahan distandarisasikan L = 1. 4. Terdapat kemajuan teknologi sebagai akibat dari adanya inovasi. 5. Inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal. 6. Hanya terdapat satu produk antara. 7. Berlaku proses creative destruction di sektor produksi antara. 8. Sebelum dilakukan substitusi produk antara dengan kualitas yang lebih tinggi hasil penemuan atau inovasi dimonopoli oleh penemu dan diberikan ke sektor produksi akhir. Pertumbuhan ekonomi merujuk pada peningkatan total output pada suatu perekonomian sehingga model pertumbuhan ekonomi dilambangkan sebagai fungsi output atau fungsi produksi. Fungsi produksi yang digunakan adalah fungsi produksi CobbDouglas yang koefisien intersepnya diganti dengan tingkat teknologi. Model ini oleh Mankiw (2003) dalam bukunya dituliskan sebagai model produksi dengan perkembangan teknologi yang secara umum ditulis sebagai berikut: 𝑌𝑡 = 𝐴𝐿𝑡 𝛼 𝐾𝑡 𝛽 , dengan: 𝑌𝑡 = output pada saat t 𝐾𝑡 = input modal pada saat t 𝐿𝑡 = input tenaga kerja pada saat t 𝛼 = elastisitas output terhadap tenaga kerja 𝛽 = elastisitas output terhadap modal A = perkembangan teknologi Dalam permasalahan ini, karena akan dikaji pengaruh sumber daya alam terbarukan terhadap pertumbuhan ekonomi, maka input modal (𝐾𝑡 ) diganti atau dipersempit menjadi banyaknya sumber daya terbarukan yang dialokasikan oleh sektor produksi akhir dan

digunakan pada saat t, diberi lambang 𝑅𝑡 . Semetara itu, tenaga kerja (L) dialokasikan ke dalam dua sektor yaitu sektor produksi antara dan sektor R&D untuk penelitian. Misalkan tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian di sektor R&D pada saat t adalah 𝑛𝑡 dan tenaga kerja yang digunakan untuk mengolah produk di sektor produksi antara pada saat t adalah 𝑥𝑡 . Diasumsikan berlaku constant return to scale sehingga 𝛽 = 1 − 𝛼. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka diperoleh fungsi produksi sebagai berikut: 𝑌𝑡 = 𝐴𝑡 𝑥𝑡𝛼 𝑅𝑡1−𝛼 .

(3.1)

Keterangan : 𝑌𝑡 = banyaknya output pada saat t 𝐴𝑡 = tingkat teknologi pada saat t 𝑥𝑡 = banyaknya tenaga kerja di sektor produksi antara 𝑅𝑡 = banyaknya sumber daya yang digunakan pada saat t α = elastisitas output dari produk antara 1- α = elastisitas output dari sumber daya (0 < α < 1) Dengan asumsi persediaan tenaga kerja tetap, untuk penyederhanaan distandarisasikan total aliran tenaga kerja menjadi satu (L = 1). Dari penjelasan sebelumnya diketahui 𝐿 = 𝑥𝑡 + 𝑛𝑡 , sehingga 𝑥𝑡 + 𝑛𝑡 = 1. Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan parameter 𝜆, 𝜆 > 0. Misalkan [𝜏 − 1, 𝜏] adalah suatu interval di mana penelitian dilakukan dan 𝐴𝜏 adalah tingkat teknologi setelah dilakukannya penelitian, maka inovasi yang dihasilkan pada interval waktu tersebut akan mengubah tingkat teknologi yang sebelumnya yaitu 𝐴𝜏−1 sebesar 𝛾, ditulis 𝐴𝜏 = 𝛾𝐴𝜏−1 , 𝛾 > 1 untuk semua 𝜏. Pada periode 𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 , peluang terjadi inovasi adalah 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡 dan peluang tidak terjadi inovasi adalah 1 − 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡, sehingga nilai harapan dari A (tingkat teknologi) adalah 𝐸 𝐴𝑡+Δ𝑡 = 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡𝛾𝐴𝑡 + 1 − 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝛾 − 1 𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡 Δ𝑡 dan untuk Δ𝑡 → 0, diperoleh 𝐴𝑡 = 𝛾 − 1 𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡 . (lihat Lampiran 2)

(3.2)

8

Berdasarkan asumsi nomor tiga, inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal, yaitu upaya meningkatkan keuntungan dengan melakukan perbaikan kualitas khususnya pada produk antara. Kemudian sesuai dengan asumsi nomor tujuh, jika kualitas yang lebih tinggi ditemukan sebagai akibat dari adanya inovasi, maka produk antara dengan tingkat kualitas yang lebih rendah akan sepenuhnya diganti. Proses ini dalam bidang ekonomi disebut sebagai proses creative destruction. Akan tetapi, sebelum dilakukan substitusi produksi dengan tingkat kualitas yang lebih tinggi pada produk antara, sesuai dengan asumsi nomor delapan tersebut dimonopoli hasil penemuan atau inovasi oleh penemu dan diberikan kepada sektor produksi akhir. Misalkan 𝑆𝑡 adalah stok sumber daya pada saat t, 𝜎 adalah tingkat keterbaruan dari sumber daya. Jika diasumsikan bahwa banyaknya stok sumber daya hanya dipengaruhi oleh tingkat keterbaruan dan banyaknya sumber daya yang digunakan, maka persamaan dinamis dari stok sumber daya pada saat t adalah 𝑆𝑡 = 𝜎𝑆𝑡 − 𝑅𝑡.

(3.3)

Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa output yang dihasilkan seluruhnya digunakan untuk konsumsi. Misalkan 𝐶𝑡 adalah konsumsi pada saat t, maka 𝐶𝑡 = 𝑌𝑡 . Sementara itu, untuk mengukur tingkat kepuasan dari konsumen digunakan fungsi utilitas 𝑢 𝐶𝑡 . Agar perekonomian berada dalam jalur pertumbuhan ekonomi yang berimbang, formulasi fungsi utilitas yang digunakan adalah 𝑢 𝐶𝑡 =

𝐶𝑡1−𝜃 − 1 ,𝜃 > 0 1−𝜃

di mana fungsi 𝑢 𝐶𝑡 diasumsikan sebagai fungsi yang konkaf sempurna yang memenuhi 𝑢′ 𝐶𝑡 > 0 dan 𝑢" 𝐶𝑡 < 0. Parameter 𝜃 dalam fungsi ini merepresentasikan elastisitas utilitas marjinal, yaitu persentase perubahan utilitas total per satu persen perubahan jumlah komoditi yang dikonsumsi. Parameter 1/𝜃 adalah elastisitas substitusi antarwaktu yang menentukan seberapa mudah individu dalam menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya dalam periode waktu yang berbeda. Semakin besar nilai 1/𝜃 maka konsumen akan semakin mudah menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya. Hal ini dikarenakan nilai 1/𝜃 yang besar diperoleh pada saat nilai 𝜃 yang kecil yang berarti utilitas tambahan

yang diperoleh dari menambah konsumsi dari komoditi tersebut kecil, sehingga konsumen cenderung lebih mudah untuk menukarkan konsumsi ke komoditi lainnya. Misal diasumsikan semua individu memiliki batas waktu yang tak terbatas 𝑡 ∈ [0, ∞) dan tingkat preferensi waktu (tingkat diskon) yang sama dan bernilai konstan 𝜌 > 0, maka fungsi utilitasnya dapat dituliskan dalam bentuk ∞

𝑈= 0

𝑢(𝐶𝑡 ) 𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡.

Tujuan akhir dari suatu kebijakan adalah untuk memaksimumkan utilitas setiap anggota rumah tangga. Dengan memilih variabel kontrol 𝑛𝑡 dan 𝑅𝑡 , serta mensubstitusi tingkat konsumsi pada saat 𝑡 (𝐶𝑡 ) dengan fungsi produksi 𝑌𝑡 , maka diperoleh rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut: max

∞ 1 0 1−𝜃

((𝐴𝑡 1 − 𝑛𝑡

𝛼 1−𝛼 1−𝜃 𝑅𝑡 )

− 1)𝑒−𝜌𝑡 𝑑𝑡 (3.4)

dengan batasan: 𝐴𝑡 = (𝛾 − 1)𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡 𝑆𝑡 = 𝜎𝑆𝑡 − 𝑅𝑡 . 3.2 Kondisi Optimal Steady State Berdasarkan teori pertumbuhan ekonomi modern, sebagian besar pertumbuhan ekonomi suatu negara bersifat steady state dalam jangka waktu yang lama yaitu dengan laju pertumbuhan untuk setiap variabelnya bernilai konstan. Kondisi steady state pada pertumbuhan ekonomi suatu negara juga berarti bahwa pertumbuhan ekonomi dari negara tersebut berada dalam keadaan yang stabil atau jika terjadi perubahan, perubahan tersebut dalam satu arah dan terus seimbang dengan perubahan lain. Sehingga, untuk menjaga agar perekonomian dalam keadaan stabil maka pertumbuhan ekonominya diharapkan dalam kondisi ini. Untuk mendapatkan tingkat utilitas yang maksimum maka kondisi steady state ini harus dalam keadaan optimal yaitu dengan menentukan alokasi tenaga kerja yang optimal sehingga laju pertumbuhan steady state dari semua variabelnya juga akan optimal. Oleh karena itu, subbab ini akan difokuskan untuk menentukan alokasi optimal tenaga kerja dan laju pertumbuhan steady state yang optimal untuk setiap variabel yang ada dalam model. Rumusan model yang diperoleh pada subbab sebelumnya yaitu persamaan (3.4) merupakan masalah kontrol optimum dengan

9

variabel state 𝐴𝑡 dan 𝑆𝑡 , dan variabel kontrol 𝑛𝑡 dan 𝑅𝑡 . Dalam menentukan alokasi optimal tenaga kerja, kita harus menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan syarat perlu orde pertama yang dikenal sebagai prinsip maksimum Pontryagin (Teorema 2). Berdasarkan subbab 2.6, current-value Hamiltonian dari masalah ini dapat dituliskan dalam bentuk 𝐻=

1 1−𝛼 (𝐴1−𝜃 (1 − 𝑛𝑡 )𝛼(1−𝜃) 𝑅𝑡 1−𝜃 𝑡

𝜕𝐻

𝜇2 = 𝜌𝜇2 − 𝜕𝑆 = 𝜌𝜇2 − 𝜎𝜇2 .

Dari persamaan (3.5) dan (3.6) di atas diperoleh: 𝛼𝐴1−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 −1 𝑅𝑡 1−𝛼 1−𝜃 𝑡 𝜇1 = 𝜆 𝛾 − 1 𝐴𝑡

𝑅𝑡

1−𝜃

.

1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 1 𝑔𝑅

Selanjutnya, dari persamaan (3.11) sampai (3.14) didapatkan: 𝜌−

𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 𝜆 𝛾−1 + 𝛼 𝛼 = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 , (3.15)

𝜌 − 𝜎 − 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝑔𝑅 .

(3.16)

Dari persamaan (3.15) dan (3.16) di atas, diperoleh solusi yaitu alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D 𝑛𝑡 =

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+ 1 − 𝛼,

(3.17) dan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya 𝑔𝑅 =

1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 . 𝜃 (3.18)

(lihat Lampiran 6)

(3.9)

Dan dari persamaan (3.17), (3.18), 𝑔𝑌 = 𝑌𝑡 =

𝑌

(3.10) 𝑝

pertumbuhan dari variabel p sehingga 𝑔𝑝 = , 𝑝

maka dengan menggunakan persamaan (3.7) dan (3.8) diperoleh 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 + , 𝛼 𝛼 (3.11)

𝑔𝜇 2 = 𝜌 − 𝜎.

𝑔𝜇 2 = 1 − 𝜃 𝑔𝐴 +

,

Misalnya didefinisikan bahwa 𝑔𝑝 adalah laju

𝑔𝜇 1 = 𝜌 −

(lihat Lampiran 4)

(3.14)

(3.8)

𝑡

𝜇2 = 1 − 𝛼

= −𝜃𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 ,

(lihat Lampiran 5)

𝜕𝐻 1−𝛼 1−𝜃 = −𝛼𝐴1−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 −1 𝑅𝑡 𝑡 𝜕𝑛𝑡 + 𝜇1 𝜆 𝛾 − 1 𝐴𝑡 = 0, (3.5) 𝜕𝐻 1−𝛼 1−𝜃 −1 = 1 − 𝛼 𝐴1−𝜃 𝑅𝑡 − 𝜇2 = 0, 𝑡 𝜕𝑅𝑡 (3.6) 𝜕𝐻 𝜇1 = 𝜌𝜇1 − 𝜕𝐴𝑡 𝜇1 = 𝜌𝜇1 − 𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 𝑅𝑡 1−𝛼 1−𝜃 𝑡 − 𝜇1 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 , (3.7)

1−𝛼 1−𝜃 −1

𝑔𝜇 1 = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅

= 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝑔𝑅 .

Syarat perlu untuk solusi optimal adalah

𝛼 1−𝜃 𝐴𝑡

𝑡

dahulu menentukan 𝜇1 dan 𝜇2 dari persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh

(3.13)

dengan: 𝜇1 = shadow price dari perkembangan teknologi 𝜇2 = shadow price dari sumber daya.

𝛼𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 −1 𝑅𝑡 1−𝛼 𝑡 𝜆 𝛾−1

𝐴

𝑔𝐴 = 𝐴𝑡 = 𝜆(𝛾 − 1)𝑛𝑡 , maka dengan terlebih

(1−𝜃)

−1) + 𝜇1 𝛾 − 1 𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡 + 𝜇2 𝜎𝑆𝑡 − 𝑅𝑡 ,

=

dengan persamaan (3.11) dan (3.12). Jika diketahui 𝐴𝑡 = 𝜆(𝛾 − 1)𝑛𝑡 𝐴𝑡 sehingga

(3.12)

(lihat Lampiran 3) Untuk menentukan nilai 𝑛𝑡 , diperlukan nilai 𝑔𝜇 1 dan 𝑔𝜇 2 dalam bentuk yang berbeda

𝑡

𝑔𝐴 + (1 − 𝛼)𝑔𝑅 dan 𝑔𝐴 = 𝜆(𝛾 − 1)𝑛𝑡 dapat diperoleh laju pertumbuhan teknologi 1

𝑔𝐴 = 𝜃 (𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 ,

(3.19)

dan laju pertumbuhan output 1 𝑔𝑌 = 𝑔𝐶 = 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 . 𝜃 (3.20) (lihat Lampiran 7) Dari persamaan (3.18)-(3.20), tampak bahwa nilai 𝑔𝑅 , 𝑔𝐴 dan 𝑔𝑌 bernilai konstan sehingga dapat dipastikan bahwa pertumbuhan ekonomi pada saat tersebut berada dalam kondisi steady state. Sementara itu, dari persamaan

10

(3.3) diperoleh 𝑔𝑆 = 𝜎 − 𝑅𝑡 /𝑆𝑡 , karena 𝑔𝑆 bernilai konstan pada saat pertumbuhan dalam kondisi steady state dan 𝜎 adalah sebuah konstanta, maka nilai 𝑅𝑡 /𝑆𝑡 juga konstan. Dengan demikian, karena banyaknya stok sumber daya 𝑆𝑡 diasumsikan hanya dipengaruhi tingkat keterbaruan 𝜎 dan banyaknya penggunaan sumber daya 𝑅𝑡 , maka laju pertumbuhan stok sumber daya 𝑔𝑆 nilainya sama dengan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya 𝑔𝑅 yaitu 1

𝑔𝑆 = 𝑔𝑅 = 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎1−𝛼+𝛼𝜃. (3.21) (Yang et al. 2006) Syarat batas atau syarat transversalitas yang harus dipenuhi agar laju pertumbuhan yang diperoleh optimal adalah lim𝑡→∞ 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0 dan lim𝑡→∞ 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0. Kondisi transversalitas pertama yaitu lim𝑡→∞ 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0 mengakibatkan 𝜌−

𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 + 𝛼 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 − 𝜌 = 0,

dan 𝑛𝑡 < 1. Dari syarat tersebut diperoleh: 𝜌 . (3.22) 𝜃 > 1− 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 (lihat Lampiran 8) Seperti pada kondisi transversalitas yang pertama, kondisi transversalitas yang kedua adalah lim𝑡→∞ 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0 mengakibatkan 𝜌−𝜎+

1 𝜆 𝛾 −1 1−𝜃 −𝜌 𝜃 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃

− 𝜌 = 0,

dan 𝑔𝑆 − 𝜎 < 0 dengan ketentuan kondisi transversalitas pertama (persamaan (3.22)) masih berlaku. Sementara itu, untuk menjaga agar 𝑛𝑡 > 0 diperlukan 𝛼 𝜌−𝜎 𝜃> −1 . 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 (3.23) (lihat Lampiran 9) Berdasarkan persamaan (3.22) dan (3.23), jika dipilih 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , maka 𝛼

𝜌 −𝜎

1−𝛼 𝜆 𝛾 −1 −𝜎𝛼

−1 < 0<1−

𝜌 𝜆 𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼

Jika dan hanya jika 𝜃 > 1 − 𝜆

.

𝜌

𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

,

diperoleh 0 < 𝑛𝑡 < 1, yang berarti terdapat grafik untuk pertumbuhan steady state yang optimal. kemudian, untuk nilai 𝜃 tersebut, diperoleh 𝑔𝑌 > 0, yaitu laju pertumbuhan ekonomi optimalnya adalah positif sepanjang

grafik laju pertumbuhan optimal steady state (Proposisi 1, lihat Lampiran 10). Sementara itu, jika untuk nilai 𝜌 > 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , maka 1 − 𝜆 𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼 0<

𝛼

𝜌 −𝜎

1−𝛼 𝜆 𝛾 −1 −𝜎𝛼

𝛼

𝜃 > 1−𝛼

− 1 . Jika dan hanya jika

𝜌−𝜎

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

−1 ,

maka

diperoleh

0 < 𝑛𝑡 < 1, yang berarti terdapat grafik untuk pertumbuhan steady state yang optimal. Kemudian, dengan nilai 𝜃 tersebut, diperoleh nilai 𝑔𝑌 < 0, yang berarti laju pertumbuhan optimal ekonomi adalah negatif sepanjang grafik laju pertumbuhan optimal steady state (Proposisi 2, lihat Lampiran 11). Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2 di atas, dengan memilih 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 maka syarat transversalitas pertama dan kedua dapat dipenuhi. Berdasarkan asumsi awal bahwa fungsi utilitas yang digunakan adalah fungsi konkaf sempurna dan memenuhi lim𝑇→∞ 𝜇1 𝑒 −𝜌𝑇 = 0 dan −𝜌𝑇 lim𝑇→∞ 𝜇2 𝑒 = 0 (lihat subbab 2.7 pada landasan teori), maka syarat cukup agar solusi optimal juga dapat dipenuhi. Jadi, nilai 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 , 𝑔𝑅 dan 𝑔𝑆 yang diperoleh adalah nilai yang optimal untuk menjaga agar perekonomian berada dalam kondisi steady state yang optimal. 3.3 Analisis Pengaruh Parameter Pada bagian ini, akan dibahas mengenai pengaruh parameter terhadap alokasi tenaga kerja 𝑛𝑡 dan laju pertumbuhan steady state 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 dengan menjaga agar kondisi laju pertumbuhan ekonomi steady state jangka panjang (𝑔𝑌 ) tetap positif. Sebagaimana telah disebutkan pada subbab sebelumnya, laju pertumbuhan ekonomi positif jika dan hanya jika 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 . Adapun pengaruh dari setiap parameter terhadap 𝑛𝑡 dan laju pertumbuhan steady state dapat dilihat dari nilai turunan pertamanya terhadap semua parameter tersebut. Nilai-nilai turunan pertama tersebut secara keseluruhan dinyatakan dalam Tabel 1. Pertama, diketahui bahwa λ (γ - 1) dalam model merupakan efisiensi sektor R & D, sehingga λ dan γ memiliki pengaruh yang sama terhadap perekonomian. Adapun pengaruh parameter λ dan γ terhadap alokasi tenaga kerja 𝑛𝑡 adalah sebagai berikut. Berdasarkan persamaan (3.17) dapat ditentukan 𝜕𝑛𝑡 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝜃 1−𝛼 = 𝜕𝜆 𝜃𝜆2 𝛾 − 1

dan

𝜕𝑛𝑡 𝛼[𝜌 − 𝜎 1 − 𝜃 1 − 𝛼 ] = . 𝜕𝛾 𝜃𝜆(𝛾 − 1)2

11

Tabel 1. Nilai turunan pertama 𝑛𝑡 dan laju pertumbuhan steady state terhadap parameter 𝜕𝑛𝑡 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝐴 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝑌 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝑅 𝜕𝜉

𝜉=𝜆

𝜉=𝛾

𝜉=𝜌

𝜉=𝜃

𝜉=𝜎 > 0, < 0, > 0, < 0,

jika 𝜃 jika 𝜃 jika 𝜃 jika 𝜃

tak tentu

tak tentu

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

>0

>0

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

>0

>0

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

>0

> 0, jika 𝜃 < 1 < 0, jika 𝜃 > 1

> 0, jika 𝜃 < 1 < 0, jika 𝜃 > 1

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

>0

<1 >1 <1 >1

(lihat Lampiran 12) Nilai dari kedua persamaan di atas ditentukan oleh 𝜌 dan 𝜎 1 − 𝜃 1 − 𝛼 . Terutama, jika σ = 0 yaitu sumber daya yang digunakan adalah jenis sumber daya yang tak terbarukan, karena 0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1 dan 𝜃 > 0, maka 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑡 dapat ditentukan nilai 𝑡 > 0 dan > 0, 𝜕𝜆

𝜕𝛾

yang berarti λ dan γ memiliki pengaruh positif terhadap 𝑛𝑡 . Karena meningkatnya λ atau γ berarti peningkatan efisiensi sektor R & D, akibatnya akan menarik lebih banyak tenaga kerja untuk sektor R & D. Tetapi dalam hal ini 𝜕𝑛 𝜕𝑛 𝑡 agar dapat diperoleh 𝜕𝜆𝑡 > 0 dan >0 𝜕𝜆 juga dibutuhkan 𝜃 > 1. Artinya, 𝑛𝑡 tidak hanya dipengaruhi oleh λ atau γ, tetapi juga oleh tingkat keterbaruan sumber daya dan elastisitas utilitas marjinal. Selain terhadap 𝑛𝑡 , λ dan γ memiliki pengaruh positif terhadap yang lainnya. Hal ini dapat dilihat dalam Tabel 1 di atas, nilai turunan pertama dari 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 terhadap λ atau γ bernilai positif. Dengan catatan, khusus untuk 𝑔𝑅 , nilai turunan pertamanya akan bernilai positif jika 𝜃 < 1 dan bernilai negatif jika 𝜃 > 1. Nilai turunan pertama positif ini berarti kemiringan dari kurva λ atau γ terhadap 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 bernilai positif, yang berarti kenaikan λ atau γ mengakibatkan kenaikan pula pada 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . Ilustrasi dari pengaruh λ dan γ ini dapat dilihat pada kurva pada Gambar 1 dan Gambar 2. Kurva pada Gambar 1 diperoleh dengan menetapkan 𝑔𝐴 sebagai fungsi dari λ dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu: 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.5. Sedangkan kurva pada Gambar 2 diperoleh dengan menetapkan 𝑔𝐴 sebagai fungsi dari 𝛾 dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu: 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝜆 = 0.25 dan 𝜃 = 0.5. Kurva digambar dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh λ dan γ terhadap laju pertumbuhan lainnya dapat dilihat pada Lampiran 13).

gA 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

𝜆 0.5

1.0

1.5

2.0

Gambar 1. Kurva pengaruh λ terhadap 𝑔𝐴 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.5. gA 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

𝛾 1.5

2.0

2.5

3.0

 0.1

Gambar 2. Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝐴 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝜆 = 0.25 dan 𝜃 = 0.5. Dari kedua gambar di atas, terlihat bahwa λ dan γ memiliki pengaruh positif terhadap laju pertumbuhan teknologi 𝑔𝐴 , yaitu peningkatan λ dan γ mengakibatkan peningkatan pula pada laju pertumbuhan teknologi. Pengaruh ini dapat dijelaskan karena λ dan γ sebagai efisiensi sektor R & D memiliki pengaruh penting terhadap tingkat teknologi yang juga akan berimbas pada sektor lainnya. Karena λ dan γ memiliki pengaruh yang sama terhadap perekonomian, jadi kita ambil laju perubahan teknologi γ sebagai contohnya. Peningkatan γ yang berarti peningkatan efisiensi sektor R & D mengakibatkan tingkat produktivitas di sektor ini juga akan meningkat, dengan kata lain peneliti akan

12

lebih banyak menemukan inovasi yang berarti juga akan meningkatkan laju kemajuan teknologi 𝑔𝐴 . Kenaikan 𝑔𝐴 ini akan mengakibatkan kenaikan pula pada laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 . Namun, pengaruh dari γ untuk meningkatkan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya 𝑔𝑅 tidak pasti karena juga dipengaruhi oleh elastisitas dari utilitas marjinal θ. Jika θ > 1, peningkatan γ akan menyebabkan penurunan 𝑔𝑅 . Ini karena saat elastisitas utilitas marjinal θ bernilai θ > 1 berarti konsumen relatif mendapatkan tambahan kepuasan yang lebih besar pada saat menambah barang yang dikonsumsi, akibatnya konsumen relatif akan mengonsumsi lebih banyak output dan akan mengakibatkan laju pertumbuhan output yang lebih rendah. Karena diketahui laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 = 𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 𝑔𝑅 dan kenaikan γ akan meningkatkan 𝑔𝐴 , maka penurunan dari 𝑔𝑌 disebabkan karena nilai 𝑔𝑅 yang menurun. Selanjutnya, dari Tabel 1 diperoleh bahwa nilai turunan pertama dari 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 terhadap 𝜌 bernilai negatif yang berarti kemiringan kurva 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 dan laju pertumbuhan lainnya tersebut bernilai negatif. Ini mununjukkan bahwa pengaruh dari 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 adalah negatif, yang berarti peningkatan pada 𝜌 akan mengakibatkan penurunan terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . Ilustrasi dari pengaruh 𝜌 ini dapat dilihat dalam kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 pada Gambar 3. Kurva tersebut diperoleh dengan menetapkan 𝑛𝑡 sebagai fungsi dari 𝜌 dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu sebagai berikut: 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.2, 𝛾 = 1.2 dan 𝜃 = 0.5. Kurva digambar dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh 𝜌 terhadap variabel lainnya dapat dilihat pada Lampiran 14).

Dari kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 pada Gambar 3 di atas, tampak bahwa peningkatan ρ mengakibatkan penurunan 𝑛𝑡 . Hal ini dikarenakan kenaikan tingkat diskon ρ berarti bahwa rumah tangga mendapatkan keuntungan lebih dari konsumsi saat ini dan relatif terhadap konsumsi masa depan. Kemudian investasi dalam R & D yang berarti pengorbanan konsumsi saat ini demi konsumsi masa depan tidak akan menarik bagi mereka. Sebagai hasilnya, 𝑛𝑡 harus menurun dan akan mengakibatkan 𝑔𝐴 menurun. Selain itu, tingkat diskon yang lebih tinggi berarti konsumen akan mengonsumsi lebih banyak pada saat ini dan mengakibatkan pertumbuhan konsumsi yang lebih rendah dan pertumbuhan output pun menjadi lebih rendah (karena 𝐶𝑡 = 𝑌𝑡 dan 𝑔𝑌 = 𝑌𝑡 /𝑌𝑡 , sehingga nilai 𝑌𝑡 yang lebih besar menyebabkan nilai 𝑔𝑌 yang lebih kecil). Oleh karena itu, untuk memenuhi konsumsi yang lebih banyak, produsen harus menghasilkan lebih banyak output. Akibatnya, produsen akan mengambil lebih banyak sumber daya dan mengakibatkan penurunan 𝑔𝑆 dan 𝑔𝑅 . Dari Tabel 1 juga dapat diketahui pengaruh dari elastisitas utilitas marjinal 𝜃 terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 yang semuanya bernilai negatif untuk 𝜃 < 1. Hal ini dapat dilihat turunan pertama yang menggambarkan kemiringan kurva yang semuanya bernilai negatif untuk 𝜃 < 1. Ilustrasi pengaruh 𝜃 ini dapat dilihat pada kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑛𝑡 pada Gambar 4. Kurva ini diperoleh dengan menetapkan 𝑛𝑡 sebagai fungsi dari 𝜃 dengan parameter lainnya bernilai tetap yaitu 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.14, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.25 dan 𝛾 = 1.4. Kurva digambar dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh 𝜃 terhadap variabel lainnya dapat dilihat pada Lampiran 15). nt

nt

0.8

1.5 0.7

0.6

1.0

0.5

0.5 0.4

𝜌  0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Gambar 3. Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.2, 𝛾 = 1.2 dan 𝜃 = 0.5.

𝜃 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gambar 4. Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑛𝑡 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.14, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.25 dan 𝛾 = 1.4.

13

Pengaruh dari θ ini dapat dijelaskan karena peningkatan elastisitas utilitas marjinal θ berarti rumah tangga akan mendapatkan tambahan kepuasan yang lebih besar dengan menambah banyaknya barang konsumsi. Dengan demikian, konsumen akan menolak untuk menyimpang dari modus konsumsi dan tidak akan berinvestasi di sektor R & D (investasi akan mengakibatkan konsumsi masa depan yang lebih tinggi). Sebagai hasilnya, 𝑛𝑡 akan berkurang dan mengakibatkan 𝑔𝐴 akan menurun. Sementara itu, konsumsi saat ini yang lebih banyak akan mengakibatkan pertumbuhan konsumsi yang lebih rendah dan pertumbuhan output pun menjadi lebih rendah, dan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya juga menjadi lebih rendah. Terakhir, dari Tabel 1 juga dapat dilihat pengaruh dari laju keterbaruan 𝜎 terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . Dalam tabel tersebut tampak 𝜎 memiliki pengaruh positif terhadap semuanya dengan pengecualian khusus untuk 𝑛𝑡 dan 𝑔𝐴 , pengaruh positif ini berlaku jika 𝜃 < 1 dan akan bernilai negatif jika 𝜃 > 1. Sebagai ilustrasi dari pengaruh tingkat keterbaruan 𝜎 ini dapat dilihat kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝑅 pada Gambar 5 dibawah ini. gR 5

4

3

2

1

𝜎 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gambar 5. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝑅 pada saat 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.1, 𝜆 = 0.25, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.1. Kurva pada Gambar 5 di atas diperoleh dengan menetapkan 𝑔𝑅 sebagai fungsi dari 𝜎 dengan parameter lainnya bernilai tetap 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.1, 𝜆 = 0.25, 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.1 dan digambar dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dan kurva pengaruh 𝜎 terhadap variabel lainnya dapat

dilihat pada Lampiran 16). Pada kurva tersebut, terlihat bahwa kenaikan 𝜎 mengakibatkan kenaikan 𝑔𝑅 . Hal ini dikarenakan kenaikan laju keterbaruan sumber daya σ akan menyebabkan peningkatan laju pertumbuhan stok sumber daya 𝑔𝑆 dan akan mengakibatkan kenaikan juga pada laju pertumbuhan penggunaan sumber daya 𝑔𝑅 . Pada saat yang sama pula, laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 juga akan meningkat. Sementara itu, pengaruh σ terhadap alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D 𝑛𝑡 dan laju pertumbuhan teknologi 𝑔𝐴 adalah relevan dengan elastisitas marjinal θ. Jika 𝜃 > 1, peningkatan σ akan mengakibatkan penurunan 𝑛𝑡 dan 𝑔𝐴 . Hal ini dikarenakan jika nilai elastisitas marjinal 𝜃 > 1, konsumen cenderung akan mengonsumsi lebih banyak dan akan mengakibatkan penurunan pada laju pertumbuhan output. Karena diketahui laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 = 𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 𝑔𝑅 dan laju keterbaruan sumber daya 𝜎 memiliki pengaruh positif terhadap 𝑔𝑅 , maka penurunan dari 𝑔𝑌 terjadi jika nilai dari 𝑔𝐴 yang menurun. Dari persamaan (3.2) diperoleh 𝑔𝐴 = (𝛾 − 1)𝜆𝑛𝑡 . Sehingga untuk nilai efisiensi R&D yaitu (𝛾 − 1)𝜆 yang tetap, penurunan dari 𝑔𝐴 akan terjadi jika nilai dari alokasi tenaga kerja untuk sektor R&D 𝑛𝑡 yang menurun. Maka dapat disimpulkan untuk nilai θ > 1, pada saat nilai σ meningkat, nilai 𝑛𝑡 dan 𝑔𝐴 menurun. Berdasarkan analisis pengaruh parameter 𝜆, 𝛾, 𝜌, 𝜃 dan 𝜎 terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 pada semua uraian di atas, pada saat elastisitas utilitas marjinal 𝜃 bernilai 0 < 𝜃 < 1, maka secara keseluruhan dapat diketahui bahwa kenaikan dari efisiensi sektor R&D, yang meliputi 𝜆 dan 𝛾, serta tingkat keterbaruan sumber daya 𝜎 mengakibatkan kenaikan pula pada 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . Sebaliknya, kenaikan tingkat diskon 𝜌 dan elastisitas marjinal 𝜃 mengakibatkan penurunan pada 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . Sehingga untuk meningkatkan tingkat utilitas dapat dilakukan dengan meningkatkan nilai dari 𝜆, 𝛾 dan 𝜎 dan menurunkan nilai dari 𝜌 dan 𝜃 agar diperoleh nilai 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 yang lebih besar dan kondisi steady state yang diperoleh pun berada pada level yang lebih tinggi.

14

IV SIMPULAN Pada karya ilmiah ini, dibahas model pertumbuhan sebagai fungsi produksi dengan input sumber daya terbarukan dengan proses creative destruction dan fokus pada kondisi pertumbuhan ekonomi steady state. Untuk mengoptimumkan utilitas serta menjaga perekonomian dalam kondisi seimbang dalam jangka waktu yang lama, alokasi tenaga kerja dan laju pertumbuhan untuk setiap variabel juga harus optimum. Dari pembahasan diperoleh: 1. Rumusan untuk memaksimumkan utilitas adalah sebagai berikut: ∞

Max 0

1 ((𝐴𝑡 𝛾 − 1 𝛼 𝑅𝑡1−𝛼 )1−𝜃 1−𝜃 − 1)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡

dengan batasan: 𝐴𝑡 = (𝛾 − 1)𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡 𝑆𝑡 = 𝜎𝑆𝑡 − 𝑅𝑡 2. Alokasi optimal tenaga kerja pada sektor

R&D akan tercapai bila 𝑛𝑡 =

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+ 1 − 𝛼.

3. Pada jangka panjang, laju pertumbuhan optimal untuk setiap variabel adalah steady state dengan nilai: i. Laju pertumbuhan penggunaan sumber daya 1 𝑔𝑅 = 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 𝜃 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 . ii. Laju pertumbuhan teknologi

1

𝑔𝐴 = 𝜃 (𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 . iii. Laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 = 𝑔𝐶 =

1 𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 𝜃 −𝜌 .

iv. Laju pertumbuhan output sumber daya 𝑔𝑆 = 𝑔𝑅 =

1 𝜆 𝛾−1 1−𝜃 −𝜌 𝜃 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 .

4. Karena pertumbuhan ekonomi dinyatakan sebagai fungsi output, maka agar laju pertumbuhan ekonomi bernilai positif, laju pertumbuhan output 𝑔𝑌 haruslah bernilai positif yaitu dengan menentukan nilai 𝜌 < 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 . 5. Ketika perekonomian dalam keadaan steady state dengan laju pertumbuhan positif dan elastisitas utilitas marjinal 𝜃 bernilai 0 < 𝜃 < 1, dapat disimpulkan bahwa: i. Efisiensi pada sektor R&D, yang meliputi 𝜆 dan 𝛾, serta tingkat keterbaruan sumber daya 𝜎, memiliki pengaruh positif terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 . ii. Tingkat diskon 𝜌 dan elastisitas marjinal 𝜃 memiliki pengaruh negatif terhadap 𝑛𝑡 , 𝑔𝐴 , 𝑔𝑌 dan 𝑔𝑅 .

15

DAFTAR PUSTAKA Dornbusch R, Fischer S, Startz R. 2002. Makroekonomi. Ed. Ke-10. Roy IM, penerjemah; Wibisono Y, editor. Jakarta: PT Media Global Edukasi. Terjemahan dari: Macroeconomics 10th Edition. Grossmann V, Streger TM. 2008. Growth, Development and Technological Change, in Zhang WB (ed.) Mathematical Models in Economics: Encyclopedia of Life Support Sciences, UNESCO, United Nations. Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed. Ke-5. Iman N, penerjemah; Kristiaji WC, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics 5th Edition. Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate dan Aplikasinya. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Abdul A, penerjemah; Kristiaji WC, Yati S, Nurcahyo M, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Intermediate Microeconomics and Its Application 8th Edition. Park WG. 2008. Innovation and Economic Dynamics, in Zhang WB (ed.) Mathematical Models in Economics: Encyclopedia of Life Support Sciences, UNESCO, United Nations. Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York: Springer-Verlag.

Romer D. 2006. Advanced Macroeconomics. Third Edition. New York: The McGrawhill Companies. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. Ke2. New York: John Wiley & Sons. Salvaltore D. 2006. Shcaum's Outlines: Mikroekonomi. Ed. Ke-4. Rudi S, Heris M, penerjemah; Hardani W, Barnadi D, Saat S, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Shcaum's Outlines: Microeconomics 4th Edition. Sethi SP, Gerald LT. 2000. Optimal Control Theory: Aplication to Managemant Science and Economics. Second Edition. New York: Springer Science+Bussiness Media. Sugiyono A. 2000. Kemajuan Teknologi dan Pembangunan Ekonomi. Program Pascasarjana: Magister Sains dan Doktor. Program Studi Ilmu-Ilmu Ekonomi dan Studi Pembangunan. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada. Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with Economis and Management Application. Second Revisied and Enlarged Edition. Berlin: Springer Verlag. Yang H, Ding Z, Tian L. 2006. Renewable Resource, Technological Progress and Economic Growth. International Journal of Nonlinear Science, 1(3) 149-154.

LAMPIRAN

17

Lampiran 1. Bukti Teorema 1 Diketahui masalah memaksimumkan : 𝐽𝑢 𝑡

𝑇 𝑓 𝑡0 0

= 𝑆 𝑥 𝑇 ,𝑇 +

𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

(1)

dengan kendala: 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

(2)

Misalkan 𝑡0 = 0 dan 𝑥 0 = 𝑥0 , sedangkan 𝑥(𝑇) dan T tidak ditentukan. Fungsi “scrap” 𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇 dalam bentuk 𝑇 𝑑 0 𝑑𝑡

𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇 ≡ 𝑆 𝑥0 , 0 +

𝑆 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

(3)

sehingga fungsional objektif J dapat ditulis dalam bentuk berikut: 𝑇

𝐽𝑢 𝑡

= 𝑆 𝑥0 , 0 + = 𝑆 𝑥0 , 0 +

𝑡0

𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 +

𝑇 [𝑓 𝑡0 0

𝜕𝑆

. + 𝜕𝑥 𝑥 +

𝜕𝑆 𝜕𝑡

𝑑 𝑆 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

]𝑑𝑡

(4)

dengan 𝑥(𝑡), 𝑢 𝑡 , 𝑓0 (𝑥, 𝑡, 𝑢) dan 𝑆 𝑥 𝑡 , 𝑡 secara sederhana dapat dituliskan sebagai 𝑥, 𝑢 , 𝑓0 . dan S. Dapat dilihat bahwa upaya untuk mengoptimumkan persamaan (4) tidak dipengaruhi S pada saat 𝑡 = 0 tetapi ditentukan oleh integral persamaan tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) 𝐽𝑎 (𝑢) sebagai: 𝐽𝑎 𝑢 =

𝑇 𝐹 0

𝑥, 𝑥 , 𝑝, 𝑢, 𝑡 𝑑𝑡

(5)

dengan 𝐹 𝑥, 𝑥 , 𝑝, 𝑢, 𝑡 = 𝑓0 . + 𝑝 𝑓 . − 𝑥 + 𝜕𝑆

𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑥+ 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑆

= 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝𝑥 + 𝜕𝑥 𝑥 + 𝜕𝑡

(6)

dengan 𝐻 𝑥, 𝑝, 𝑢, 𝑡 = 𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 + 𝑝𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) adalah Hamiltonian. Syarat perlu agar fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah 𝛿𝐽𝑎 𝑢 = 0. Untuk T dan x(T) tidak ditentukan, nilai 𝛿𝐽𝑎 𝑢 = 0 diperoleh seperti pada kalkulus variasi yaitu 𝑇

𝛿𝐽𝑎 𝑢 =

0

((𝐹𝑥 −

𝑑 𝐹 )𝛿𝑥 + 𝐹𝑢 𝛿𝑢 + 𝐹𝑝 𝛿𝑝)𝑑𝑡 + 𝐹𝑥 𝛿𝑥 + 𝐹 − 𝐹𝑥 𝑥 𝛿𝑡 𝑑𝑡 𝑥

𝑡=𝑇

= 0.

(7)

Agar persamaan (7) dipenuhi maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu 𝐹𝑥 −

𝑑 𝐹 = 0. 𝑑𝑡 𝑥

Sedangkan 𝐹𝑥 −

𝑑 𝜕 𝑑 𝑆𝑥 𝑥 + 𝑆𝑡 − 𝑆 −𝑝 𝐹𝑥 = 𝐻𝑥 + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝑥 = 𝐻𝑥 + 𝑆𝑥𝑥 𝑥 + 𝑆𝑥𝑡 − 𝑆𝑥𝑥 𝑥 − 𝑆𝑥𝑡 + 𝑝 = 𝐻𝑥 + 𝑝 = 0.

(8)

Persamaan Euler ini memberikan 𝐻𝑥 = −𝑝.

(9)

Variasi 𝛿𝑢 dan 𝛿𝑝 mempunyai sifat saling bebas sehingga koefisien-koefisiennya bernilai nol, yaitu 𝐹𝑢 = 0 dan 𝐹𝑝 = 0. Definisi persamaan (6) memberikan 𝐹𝑢 = 𝐻𝑢 dan 𝐹𝑝 = 𝑓 . − 𝑥 = 𝐻𝑝 − 𝑥, sehingga 𝐻𝑢 = 0, (10) 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑢, 𝑡 = 𝐻𝑝 .

(11)

18

Selajutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7) yaitu 𝐹𝑥 𝛿𝑥 + 𝐹 − 𝐹𝑥 𝑥 𝛿𝑡 Karena 𝐹𝑥 = 𝑆𝑥 − 𝑝

𝑡=𝑇

= 0.

(12)

𝐹 − 𝑥𝐹𝑥 = 𝐻 − 𝑝𝑥 + 𝑆𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑆𝑥 + 𝑥 + 𝑥𝑝 = 𝐻 + 𝑆𝑡 maka persamaan (12) dapat ditulis menjadi 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑇 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡|𝑡=𝑇 = 0.

(13)

persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila 𝑡0 dan 𝑥 𝑡0 belum ditentukan, maka syarat batasa menjadi 𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥|𝑡=𝑡 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡|𝑡=𝑇 𝑡=𝑡 0 = 0. 0

(14)

Lampiran 2. Penentuan 𝑨𝒕 Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan parameter 𝜆, 𝜆 > 0. Pada periode [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] peluang terjadi inovasi adalah 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡, dan peluang tidak terjadi inovasi adalah 1 − 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡, sehingga nilai harapan dari A (tingkat teknologi) adalah 𝐸 𝐴𝑡+Δ𝑡 = 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡𝛾𝐴𝑡 + 1 − 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡 𝐴𝑡 = 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡𝛾𝐴𝑡 + 𝐴𝑡 − 𝜆𝑛𝑡 Δ𝑡𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 Δ𝑡𝐴𝑡 Untuk Δ𝑡 → 0, 𝐸 𝐴𝑡+Δ𝑡 − 𝐴𝑡 = 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝐴𝑡 Δ𝑡 𝐸 𝐴𝑡+Δ𝑡 − 𝐴𝑡 lim = lim 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝐴𝑡 Δ𝑡→0 Δ𝑡 →0 Δ𝑡 𝐴𝑡 = 𝛾 − 1 𝜆𝑛𝑡 𝐴𝑡

(15)

Lampiran 3. Penentuan 𝒈𝝁𝟏 dan 𝒈𝝁𝟐 bagian 1 𝑔𝜇 1 =

𝜇1 𝜌𝜇1 − 𝐴−𝜃 1 − 𝑛1 𝑡 = 𝜇1

=𝜌− =𝜌−

𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝑡

𝛼 1−𝜃

𝛼 1−𝜃

𝑅𝑡 1−𝛼

𝑅𝑡 1−𝛼 𝜇1

𝛼 1−𝜃

𝑅𝑡

− 𝜇1 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡

1−𝜃

𝜇1 𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝑡

1−𝜃

− 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡

1−𝛼 1−𝜃

1−𝛼 1−𝜃 𝛼𝐴−𝜃 1−𝑛 𝑡 𝛼 1−𝜃 −1 𝑅𝑡 𝑡

− 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡

𝜆 𝛾−1

1 − 𝑛𝑡 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 =𝜌− + − 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝛼 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 =𝜌− + 𝛼 𝛼 𝜇2 𝜌𝜇2 − 𝜎𝜇2 = = =𝜌−𝜎 𝜇2 𝜇2 =𝜌−

𝑔𝜇 2

(16) (17)

19

Lampiran 4. Penentuan 𝒈𝝁𝟏 bagian 2 𝜇1 =

𝛼𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 −1 𝑅𝑡 1−𝛼 𝑡 𝜆 𝛾−1

1−𝜃

𝜇1 =

𝛼 −𝜃 𝐴−𝜃−1 𝐴𝑡 1 − 𝑛𝑡 𝛼 1−𝜃 𝑡 𝜆 𝛾−1

−1

𝑅𝑡 1−𝛼

𝛼 1−𝜃 𝛼𝐴−𝜃 𝑡 (𝛼 1 − 𝜃 − 1) 1 − 𝑛𝑡 𝜆 𝛾−1

𝛼𝐴−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝑡

=

𝛼 1−𝜃 −1

−2

1−𝜃

+

−𝑛𝑡 𝑅𝑡 1−𝛼

1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑅𝑡 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

1−𝜃 −1

1−𝜃

+

𝑅𝑡

−𝜃𝐴𝑡 𝜇1 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑅𝑡 𝜇1 + 𝐴𝑡 𝑅𝑡

= −𝜃𝑔𝐴 𝜇1 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 𝜇1 𝑔𝜇 1 =

(18)

𝜇1 = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 𝜇1 = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 = −𝜃𝜆(𝛾 − 1)𝑛𝑡 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅

(19)

Lampiran 5. Penentuan 𝒈𝝁𝟐 bagian 2 𝜇2 = 1 − 𝛼 𝐴1−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝑡

𝛼 1−𝜃

𝑅𝑡 1−𝛼

𝜇2 = 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝐴−𝜃 𝑡 𝐴𝑡 1 − 𝑛𝑡 1 − 𝛼 𝐴1−𝜃 1 − 𝑛𝑡 𝑡 = 𝑔𝜇 2 =

1 − 𝜃 𝐴𝑡 𝜇2 + 𝐴𝑡

𝛼 1−𝜃

1−𝜃 −1

𝛼 1−𝜃

𝑅𝑡 1−𝛼

1−𝜃 −1

+

1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 1 𝑅𝑡 1−𝛼

1−𝜃 −2

𝑅𝑡

1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 1 𝑅𝑡 𝜇2 𝑅𝑡

𝜇2 = 1 − 𝜃 𝑔𝐴 + 𝜇2

(20)

1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 1 𝑔𝑅

= 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝑔𝑅

(21)

Lampiran 6. Penentuan nilai 𝒏𝒕 dan 𝒈𝑹 Dari persamaan (16) dan (19) serta persamaan (17) dan (21), diperoleh dua persamaan 𝜌− dan

𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 + = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 𝛼 𝛼

𝜌 − 𝜎 − 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝑔𝑅

Selanjutnya dilakukan eliminasi dari persamaan (22) dan (23) 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 + = −𝜃𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 1 − 𝜃 𝑔𝑅 𝛼 𝛼 𝜌 − 𝜎 − 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝑔𝑅 __________________________________________________________ − 𝜌−

𝜆 𝛾−1 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 + − 1−𝜃 𝛼 𝛼 𝜆(𝛾 − 1) 𝜆(𝛾 − 1) + 𝑛𝑡 = 𝑔𝑅 𝜎− 𝛼 𝛼 𝜎−

𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = 𝑔𝑅

(22) (23)

20

Subitusi 𝑔𝑅 ke persamaan (23) 𝜌 − 𝜎 − 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 − 1−𝜃 + −1 + 𝜃 +

𝜎 + 𝛼 − 𝛼𝜃 𝛼

𝜎−

𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 + 𝑛𝑡 𝛼 𝛼

𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃

𝜎−

+𝜎−𝜌

𝜃 + 1 − 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 𝛼 𝛼

= − 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 − 1 𝜎 − 𝜌 + 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 = 1−𝛼 1−𝜃 𝜎−𝜌+ 1+ 𝛼 𝑛𝑡 = 𝜃

𝜆 𝛾−1 𝛼

𝜃 −𝜃 𝜆 𝛾−1 𝛼

𝜃

𝜆 𝛾−1 1−𝛼 1−𝜃 𝜎−𝜌 𝜆 𝛾−1 𝜃𝜆 𝛾 − 1 +𝜃 + 𝜃𝛼 ∓𝜃 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝛼 𝛼

𝑛𝑡 =

𝛼 𝜃

𝑛𝑡 =

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼

1−𝛼 1−𝜃 𝜎−𝜌 𝛼 + +1−𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜃 +1−𝛼

(24)

Substitusi persamaan 𝑛𝑡 ke 𝑔𝑅 𝑔𝑅 = 𝜎 − = 𝜎−

𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 + 𝛼 𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜆 𝛾−1 𝜃

+1−𝛼

𝜆 𝛾−1 1 1 𝜆 𝛾−1 − 𝜌+ 𝜎 1−𝛼 1−𝜃 + −𝜆 𝛾−1 𝛼 𝜃 𝜃 𝛼

1 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝜆 𝛾 − 1 𝜃 + 𝜎𝜃 𝜃 1 = 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜃 + 𝛼𝜃 + 𝜃 𝜃 =

1

𝑔𝑅 = 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃

(25)

Lampiran 7. Penentuan nilai 𝒈𝑨 dan 𝒈𝒀 𝑔𝐴 = 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = 𝜆 𝛾−1

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼

𝛼 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜆 𝛾 − 1 𝜃 𝜃 𝛼 𝛼 = − 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 +𝜆 𝛾−1 +1−𝛼 𝜃 𝜃

𝑔𝐴 =

1

= (𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝜃

𝑔𝑌 = 𝑔𝐶 = 𝑔𝐴 + 1 − 𝛼 𝑔𝑅 =

1 (𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 + 𝜃 1 1−𝛼 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃

(26)

21

=

1 (𝜎 𝛼 1 − 𝛼 1 − 𝜃 + 1 − 𝛼 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃

+ 𝜆(𝛾 − 1)( 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 +

1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝜌) =

1 (𝜎 𝛼 − 𝛼 2 − 𝛼𝜃 + 𝛼 2 𝜃 + 1 − 2𝛼 + 𝛼𝜃 + 𝑎2 − 𝑎2 𝜃 𝜃

+

𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 + 1 − 𝛼 − 𝜃 + 𝛼𝜃 − 𝜌) 1

= 𝜃 𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 −𝜌

(27)

Lampiran 8. Uraian kondisi transversalitas pertama Berdasarkan kondisi transversalitas pertama yaitu lim𝑡→∞ 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0, hal ini mengakibatkan 𝑑 𝑑𝑡

(𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 ) 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡

=0

𝜇1 𝐴𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒−𝜌𝑡 − 𝜌𝜇1 𝐴𝑡 𝑒−𝜌𝑡 =0 𝜇1 𝐴𝑡 𝑒−𝜌𝑡 𝜇1 𝐴𝑡 + −𝜌=0 𝜇1 𝐴𝑡 𝑔𝜇 1 + 𝑔𝐴 − 𝜌 = 0 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 𝜆 𝛾−1 + + 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 − 𝜌 = 0 𝛼 𝛼 (Yang et al, 2006) 𝜌−

Dari kondisi transversalitas yang pertama ini diperoleh 𝑛𝑡 = 1, bukti: 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 𝜆 𝛾−1 + + 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 − 𝜌 = 0 𝛼 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 𝑛𝑡 𝜆 𝛾−1 + 𝜆 𝛾 − 1 𝑛𝑡 = 𝛼 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 + 𝛼 𝑛𝑡 𝜆 𝛾 − 1 = 𝛼 𝛼 𝜌−

𝑛𝑡 = 1 Jadi, untuk memenuhi syarat batas maka haruslah 𝑛𝑡 < 1, dan berdasarkan syarat tersebut diperoleh 𝜃 > 1 −

𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

, bukti:

𝑛𝑡 < 1 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼 <1

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

< 1− 1−𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

<𝛼

𝜃>1−

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

22

𝜃−

𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜌 𝜎𝜃 1 − 𝛼 > 1− 𝜃+ 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 > 1−

𝜃 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜃>1−

𝜌 𝜎 1−𝛼 𝜎 1−𝛼 + 𝜃 1+ 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 > 𝜆 𝛾−1 −𝜌+𝜎 1−𝛼 𝜃 >

>1−

𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

(28)

Lampiran 9. Uraian kondisi transversalitas kedua Seperti pada kondisi transversalitas yang pertama, kondisi transversalitas yang kedua adalah lim𝑡→∞ 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 = 0 yang mengakibatkan 𝑑 𝑑𝑡

(𝜇2 𝑆𝑡 𝑒−𝜌𝑡 ) 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡

=0

𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 + 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 − 𝜌𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 =0 𝜇2 𝑆𝑡 𝑒 −𝜌𝑡 𝜇2 𝑆𝑡 + −𝜌=0 𝜇2 𝑆𝑡 𝑔𝜇 2 + 𝑔𝑆 − 𝜌 = 0 𝜌−𝜎+

1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃

−𝜌=0

𝑔𝑆 − 𝜎 = 0 (Yang et al, 2006) Kondisi transversalitas kedua ini mungakibatkan syarat batas 𝑔𝑆 − 𝜎 < 0, sehingga kondisi transversalitas yang pertama masih berlaku. Bukti: 𝑔𝑆 − 𝜎 < 0 1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃 1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃

−𝜎 < 0 < 𝜎

𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 < 𝜎𝜃 𝜃 −𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 < 𝜎𝜃 𝜃 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

> 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜌 𝜃>1− 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜃>

Selanjutnya untuk menjaga agar 𝑛𝑡 > 0 diperlukan 𝜃 > 𝑛𝑡 > 0 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼 >0

𝛼

𝜌−𝜎

1−𝛼

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

− 1 , bukti:

23

1−𝛼 >

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −1 𝜆 𝛾−1 𝜃

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1−𝛼 𝜃> −1 𝜆 𝛾−1 𝛼 1−𝛼 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜃> −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜃− > −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 𝜃 > 𝜆 𝛾−1 𝛼 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 > 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 𝛼 𝜃> 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼 𝜃>

𝜌 − 𝜎 + 𝜎𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

𝜃>

𝛼 𝜌−𝜎 −1 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼

𝜃>

𝜌 − 𝜎 − (𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼) 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼 (29)

Lampiran 10. Bukti Proposisi 1 Diketahui:  0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1, 𝜃 > 0 dan 𝜎 > 0  𝜌 <𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 Akan dibuktikan benar: 𝛼 𝜌 𝜌 −𝜎 10a. 1−𝛼 − 1 < 0 < 1 − 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

10b.

Jika dan hanya jika 𝜃 > 1 − 𝜆

𝜌

𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼

10c. 𝑔𝑌 > 0 Bukti: 10a) i. Karena 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 maka 𝜌 0 < 1− 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

, maka 0 < 𝑛𝑡 < 1 𝜌

𝜆 𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼

< 1 dan diperoleh (30)

ii. Diketahui 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , maka diperoleh 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 − 𝛼𝜎 𝜌 − 𝜎 < 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 𝜌−𝜎 <1 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 𝜌−𝜎 −1<0 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 𝛼

Karena 0 < 𝛼 < 1, sehingga dapat dipastikan bahwa 1−𝛼 > 0 dan diperoleh 𝛼 𝜌−𝜎 −1 < 0 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 Dari (30) dan (31) maka diperoleh 𝛼 𝜌−𝜎 𝜌 −1 < 0 < 1− 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

31

24

10b) i. Akan dibuktikan jika 𝜃 > 1 − 𝜆

𝜌

Bukti: Dari pembuktian 10a) diperoleh jika 𝜃 > 1 − 𝜆

𝜌

maka 𝑛𝑡 > 0

𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝛼

𝜌 −𝜎

1−𝛼

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

−1 < 0 < 1−𝜆

𝜌 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝛼

maka kita juga akan mengetahui bahwa 𝜃 > 1−𝛼

𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

, sehingga 𝜌−𝜎 𝜆 𝛾 −1 −𝜎𝛼

−

1 . Dan dengan memperhatikan pembuktian persamaan (29) pada Lampiran 9 maka akan diperoleh pembuktian sebagai berikut: 𝜌−𝜎 𝛼 𝜃> −1 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 𝜃>

𝜌 − 𝜎 − (𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼) 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

𝜃>

𝜌 − 𝜎 + 𝜎𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

𝜃>

𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

1−𝛼 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 > 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 𝜃 > 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝛼 1−𝛼 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜃− > −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜃> −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1−𝛼 𝜃> −1 𝜆 𝛾−1 𝛼 1−𝛼 >

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −1 𝜆 𝛾−1 𝜃

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼 > 0

𝑛𝑡 > 0 ii. Akan dibuktikan jika 𝜃 > 1 − Bukti: Diketahui 𝜃 > 1 −

𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

maka 𝑛𝑡 < 1

, kemudian dengan memperhatikan pembuktian dari

persamaan (28) pada Lampiran 8 diperoleh 𝜌 𝜃 > 1− 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜃>

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜃 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜃 1+

𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

> 1−

>𝜆 𝛾−1 −𝜌+𝜎 1−𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

𝜃+

𝜎𝜃 1 − 𝛼 𝜌 𝜎 1−𝛼 > 1− + 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1

𝜃−

𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜌 >1− 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1

25

𝜃 > 1−

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼𝜃 > 𝛼 1 − 𝛼>

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

<𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

<1− 1−𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼 < 1

𝑛𝑡 < 1 Dari pembuktian bagian (i) dan (ii) di atas serta berdasarkan uraian persamaan (28) dan persamaan (29) pada lampiran sebelumnya, maka terbukti jika dan hanya jika 𝜃 > 1 − 𝜌 maka 0 < 𝑛𝑡 < 1. 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

10c) Akan dibuktikan 𝑔𝑌 > 0 Bukti: Diketahui: i. 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , sehingga (𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜌) > 0 1 ii. 𝜃 > 0 yang mengakibatkan 𝜃 > 0 1

Karena telah diketahui 𝑔𝑦 = 𝜃 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 , maka berdasarkan (i) dan (ii) dapat dipastikan bahwa 𝑔𝑌 > 0. Lampiran 11. Bukti Proposisi 2 Diketahui:  0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1, 𝜃 > 0 dan 𝜎 > 0  𝜌 >𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 Akan dibuktikan benar: 𝜌 𝛼 𝜌−𝜎 11a. 1 − 𝜆 𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼 < 0 < 1−𝛼 𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼 − 1 𝛼

11b. Jika dan hanya jika 𝜃 > 1−𝛼

𝜌 −𝜎

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

11c. 𝑔𝑌 < 0 Bukti: 11a) i. Karena 𝜌 > 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 maka 𝜌 >1 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜌 1− <0 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 ii. 𝜌 > 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 𝜌 > 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 − 𝛼𝜎 𝜌 − 𝜎 > 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 𝜌−𝜎 >1 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎

− 1 , maka 0 < 𝑛𝑡 < 1

(32)

26

𝜌−𝜎 −1 >0 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎 𝛼

Karena 0 < 𝛼 < 1, sehingga dapat dipastikan bahwa 1−𝛼 > 0 dan diperoleh 𝜌−𝜎 𝛼 −1 >0 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝛼𝜎

(33)

Dari (32) dan (33) di atas maka diperoleh 𝜌−𝜎 𝜌 𝛼 1− <0< −1 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 11b) i. Akan dibuktikan jika 𝜃 >

𝛼

𝜌−𝜎

1−𝛼

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

Bukti: Dari pembuktian 11a) diperoleh 1 − 𝜆 𝛼

jika 𝜃 > 1−𝛼 𝜌

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜌−𝜎

𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

−1

− 1 maka 𝑛𝑡 < 1 𝜌

𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝛼

< 0 < 1−𝛼

𝜌−𝜎 𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

−1

sehingga

maka kita juga akan mengetahui bahwa 𝜃 > 1 −

. Kemudian dengan memperhatikan pembuktian dari persamaan (28)

diperoleh 𝜃 > 1− 𝜃>

𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼

𝜃 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 𝜃 1+

𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

>𝜆 𝛾−1 −𝜌+𝜎 1−𝛼

> 1−

𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

𝜃+

𝜎𝜃 1 − 𝛼 𝜌 𝜎 1−𝛼 > 1− + 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1

𝜃−

𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜌 >1− 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1

𝜃 > 1−

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼𝜃 > 𝛼 1 − 𝛼>

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜆 𝛾−1 𝜃

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

<𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

<1− 1−𝛼

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼 < 1

𝑛𝑡 < 1 𝛼

ii. Akan dibuktikan jika 𝜃 > 1−𝛼 Bukti: 𝛼 Diketahui 𝜃 > 1−𝛼

𝜌 −𝜎 𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

𝜌−𝜎 𝜆 𝛾−1 −𝜎𝛼

− 1 maka 𝑛𝑡 > 0

− 1 , dengan memperhatikan pembuktian persamaan (29)

maka akan diperoleh pembuktian sebagai berikut:

27

𝜃>

𝜌−𝜎 𝛼 −1 1 − 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼

𝜃>

𝜌 − 𝜎 − (𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼) 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

𝜃>

𝜌 − 𝜎 + 𝜎𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

𝜃>

𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 1−𝛼

1−𝛼 𝜃 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 > 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜎𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 −𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜃 > 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 𝛼 1−𝛼 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 𝜃− > −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜃𝜎 1 − 𝛼 𝜃> −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜃> −1 𝛼 𝜆 𝛾−1 1−𝛼 >

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −1 𝜆 𝛾−1 𝜃

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜆 𝛾−1 𝜃

+1−𝛼 > 0

𝑛𝑡 > 0 Dari pembuktian bagian (i) dan (ii) di atas serta berdasarkan uraian persamaan (28) dan persamaan (29) pada lampiran sebelumnya, maka terbukti jika dan hanya jika 𝜃 > 1 − 𝜌 maka 0 < 𝑛𝑡 < 1. 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 11c) Akan dibuktikan 𝑔𝑌 < 0 Bukti: Diketahui: i. 𝜌 > 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , sehingga 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 − 𝜌 < 0 ii.

𝜃 > 0 yang mengakibatkan

Karena telah diketahui 𝑔𝑦 =

1 𝜃

1 𝜃

>0

𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 , maka berdasarkan (i) dan (ii)

dapat dipastikan bahwa 𝑔𝑌 < 0. Lampiran 12. Uraian Tabel 1 Modal : 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , 0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1, 𝜃 > 0 dan 𝜎 > 0 Akan dibuktikan benar: nilai-nilai pada Tabel 1 dibawah ini 𝜕𝑛𝑡 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝐴 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝑌 𝜕𝜉 𝜕𝑔𝑅 𝜕𝜉

𝜉=𝜆 tak tentu

𝜉=𝛾 tak tentu

𝜉=𝜌 <0

𝜉=𝜃 < 0, jika 𝜃 < 1

>0

>0

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

>0

>0

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

<0

< 0, jika 𝜃 < 1

> 0, jika 𝜃 < 1 < 0, jika 𝜃 > 1

> 0, jika 𝜃 < 1 < 0, jika 𝜃 > 1

> 0, < 0, > 0, < 0,

𝜉=𝜎 jika 𝜃 < 1 jika 𝜃 > 1 jika 𝜃 < 1 jika 𝜃 > 1 >0 >0

28

Bukti 𝝏𝒏𝒕 a. 𝝏𝝃

𝑛𝑡 = = i.

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝜆

𝛼

=𝜃

𝛼 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 1− 𝜃 𝜆 𝛾−1

+1−𝛼

𝛼 𝛼𝜌 𝛼𝜎 1 − 𝛼 𝛼𝜎 1 − 𝛼 − + − +1−𝛼 𝜃 𝜃𝜆 𝛾 − 1 𝜃𝜆 𝛾 − 1 𝜆 𝛾−1 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 2 𝛾−1 𝛼

Dari modal dapat diketahui bahwa nilai

> 0, 𝜆2 𝛾 − 1 > 0, dan 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 tak

𝜃

𝜕𝑛 𝑡

tentu, maka dapat di simpulkan bahwa nilai ii.

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝛾

=

𝛼

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃

𝜃

𝜆 𝛾−1 2

Dari modal dapat diketahui nilai

𝛼 𝜃

> 0,𝜆 𝛾 − 1 𝜕𝑛𝑡

maka dapat di simpulkan bahwa nilai iii.

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝜌

= − 𝜃𝜆

𝛼 𝛾−1

𝛼

𝜕𝛾

=

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃

=𝜃

𝜕𝜆

2

𝜆 2 𝛾−1

adalah tak tentu.

> 0, dan 𝜌 − 𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 tak tentu,

𝛼

𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃

𝜃

𝜆 𝛾 −1 2

adalah tak tentu.

< 0.

Dari modal dapat diketahui nilai 𝛼 > 0, 𝜆 𝛾 − 1 > 0, dan 𝜃 > 0, sehingga diperoleh nilai 𝛼 = − 𝜃𝜆 𝛾−1 < 0. 𝜕𝜌

𝜕𝑛 𝑡

iv.

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝜃

𝛼

= − 𝜃2 1 − 𝛼

= − 𝜃2 𝛼

= − 𝜃2

𝜌 −𝜎 1−𝛼 1−𝜃

𝛼𝜎 1−𝛼

− 𝜃𝜆

𝜆 𝛾−1

𝜆 𝛾−1 −𝜌 +𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1 𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −𝜌 𝜆 𝛾−1

𝛾−1 𝛼𝜎 1−𝛼

− 𝜃𝜆

𝛾−1

𝛼𝜎 1−𝛼

− 𝜃𝜆

𝛾−1

Diketahui 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , maka untuk 𝜃 < 1 diperoleh 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝜌 > 0, sehingga diperoleh pula nilai

𝜆 𝛾 −1 +𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −𝜌 𝜆 𝛾 −1

0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1, 𝜃 > 0 dan 𝜎 > 0, didapatkan nilai nilai-nilai tersebut maka untuk 𝜃 < 1 diperoleh

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝜃

𝛼

> 0. Selanjutnya, dari modal 𝛼 𝜃2

= − 𝜃2 1 −

> 0 dan

𝛼𝜎 1−𝛼

> 0. Dari

𝜃𝜆 𝛾−1 𝜌−𝜎 1−𝛼 1−𝜃 𝛼𝜎 1−𝛼 𝜆 𝛾−1

− 𝜃𝜆

𝛾−1

<

0. v.

𝜕𝑛 𝑡 𝜕𝜎

=

𝛼

1−𝛼 1−𝜃

𝜃

𝜆 𝛾−1

Dari modal diperoleh nilai 1 − 𝜃 > 0, dan diperoleh dapat diperoleh b.

𝜕𝜎

𝛼

= −𝜃

> 0,𝜆 𝛾 − 1 > 0, 1 − 𝛼 > 0 dan 𝜃 > 0. Untuk 𝜃 < 1 maka

𝜃 𝜕𝑛 𝑡

=−

𝛼

𝜕𝜎 𝜃 1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

1−𝛼 1−𝜃 𝜆 𝛾−1

> 0. Untuk 𝜃 > 1 maka 1 − 𝜃 < 0, dan

< 0.

𝝏𝒈𝑨 𝝏𝝃

𝑔𝐴 = i.

𝜕𝑛 𝑡

𝛼

𝜕𝑔 𝐴 𝜕𝜆

1 (𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 𝜃

=

𝛾−1 (𝛼 +𝜃−𝛼𝜃 ) 𝜃

Dari modal 𝛾 > 1 diperoleh 𝛾 − 1 > 0, dan dari 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0 dapat diketahui bahwa 𝜃 > 𝛼𝜃, sehingga dapat dipastikan 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 > 0. Berdasarkan nilai-nilai tersebut 𝜕𝑔 𝛾−1 (𝛼 +𝜃−𝛼𝜃 ) dapat disimpulkan bahwa 𝜕𝜆𝐴 = > 0. 𝜃

29

ii.

𝜕𝑔 𝐴

=

𝜕𝛾

𝜆(𝛼 +𝜃−𝛼𝜃 ) 𝜃

Dari modal 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0diperoleh nilai 𝜃 > 𝛼𝜃, sehingga dapat dipastikan 𝜕𝑔 𝜆 (𝛼+𝜃 −𝛼𝜃 ) 𝛼 + 𝜃 − 𝛼𝜃 > 0. Kemudian karena 𝜆 > 0, maka 𝐴 = > 0. 𝜕𝛾

iii.

𝜕𝑔 𝐴

𝜃

𝛼

= −𝜃

𝜕𝜌

Berdasarkan modal diketahui bahwa 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0, sehingga dapat disimpulkan 𝛼 𝜕𝑔 bahwa 𝐴 = − 𝜃 < 0. 𝜕𝜌

iv.

𝜕𝑔 𝐴

=−

𝜕𝜃

𝛼𝜎 1−𝛼 1−𝜃 −𝛼𝜌 +𝜆 𝛾−1 (𝛼+𝜃−𝛼𝜃 ) 𝜃2

+

−𝛼𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 (1−𝛼) 𝜃

𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝜆 𝛾 − 1 𝛼(1 − 𝜃) + 𝜃 −𝛼𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 + 𝜃2 𝜃 𝛼𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 − 𝛼𝜌 + 𝛼𝜆 𝛾 − 1 (1 − 𝜃) 𝜆 𝛾 − 1 −𝛼𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 =− − + 𝜃2 𝜃 𝜃 𝛼(𝜎 1 − 𝛼 1 − 𝜃 + 𝜆 𝛾 − 1 (1 − 𝜃) − 𝜌) −𝛼𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝛼 − 𝜆 𝛾 − 1 =− + 𝜃2 𝜃 𝛼( 1 − 𝜃 [𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 ] − 𝜌) −𝛼𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 −𝛼 =− + 𝜃2 𝜃 𝛼[ 1 − 𝜃 [𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 ] − 𝜌] 𝛼(𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 ) =− − 𝜃2 𝜃 =−

Dengan modal 0 < 𝛼 < 1, 𝜆 > 0, 𝛾 > 1, 𝜃 > 0 dan 𝜎 > 0, dapat diketahui nilai 𝛼 𝜎 1 − 𝛼 +𝜆 𝛾−1

> 0 sehingga −

𝛼(𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 ) 𝜃

< 0.

Selanjutnya dari 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 +

𝜎 1 − 𝛼 dapat diketahui nilai [𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 ] − 𝜌] > 0, sehingga untuk 𝜃 > 1 maka − − v.

𝛼 [ 1−𝜃 [𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 ]−𝜌] 𝜃2 𝛼 [ 1−𝜃 [𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 ]−𝜌] 𝜃2

𝜕𝑔 𝐴

=

𝜕𝜎

< 0 dan diperoleh > 0 dan nilai

𝜕𝑔 𝐴 𝜕𝜃

𝜕𝑔 𝐴 𝜕𝜃

< 0. Sementara itu untuk 𝜃 < 1, maka nilai

menjadi tak tentu.

𝛼 1−𝛼 (1−𝜃) 𝜃

Karena 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0, maka diperoleh nilai 𝜕𝑔 𝐴

=

𝜕𝜎

c.

𝜃

𝜕𝜎

=

𝛼 1−𝛼 (1−𝜃 ) 𝜃

< 0 untuk 𝜃 > 1.

𝝏𝝃

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜆

1 𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 −𝜌 𝜃 𝛾−1

=

𝜃

Dari modal diketahui bahwa 𝛾 > 1 dan 𝜃 > 0 , berdasarkan 𝜕𝑔 𝛾 −1 dipastikan bahwa 𝑌 = > 0. 𝜕𝜆

ii.

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝛾

hal tersebut maka dapat

𝜃

𝜆

=𝜃

Dari modal diketahui 𝜆 > 0 dan 𝜃 > 0, maka dapat dipastikan bahwa iii.

> 0 untuk 𝜃 < 1 dan

𝝏𝒈𝒀

𝑔𝑌 = i.

𝛼 1−𝛼 (1−𝜃)

𝜕 𝑔𝐴

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜌

=−

1 𝜃

Karena diketahui 𝜃 > 0, maka

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜌

1

= −𝜃 < 0

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝛾

=

𝜆 𝜃

>0

30

iv.

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜃

=−

𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 −𝜌 𝜃2

Dari modal 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , diperoleh nilai 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 > 0. Karena 1 1 𝜃 > 0, maka untuk 𝜃 < 1 diperoleh > 1 dan 2 > 1. Berdasarkan nilai-nilai tersebut, dapat disimpulkan bahwa v.

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜎

=

𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾 −1 −𝜌 𝜃2

𝜃

𝜃

> 0 dan diperoleh

𝜕𝑔 𝑌

=−

𝜕𝜃

𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 −𝜌 𝜃2

1−𝛼 𝜃

Dari modal diketahui 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0, maka dapat dipastikan

d.

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜎

=

1−𝛼 𝜃

> 0.

𝝏𝒈𝑹 𝝏𝝃

𝑔𝑅 = i.

< 0.

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜆

=

1 𝜆 𝛾 − 1 1 − 𝜃 − 𝜌 + 𝜎 1 − 𝛼 + 𝛼𝜃 𝜃

𝛾 −1 (1−𝜃) 𝜃

Dari modal diketahui 𝛾 > 1 dan 𝜃 > 0, berdasarkan nilai-nilai tersebut maka diperoleh 𝜕𝑔 𝑅 𝛾 −1 (1−𝜃) 𝜕𝑔 𝛾 −1 (1−𝜃) = > 0 untuk 𝜃 < 1 dan 𝑅 = < 0 untuk 𝜃 > 1. 𝜕𝜆

ii.

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝛾

𝜃

=

𝜕𝜆

𝜃

𝜆 (1−𝜃) 𝜃

Dari modal diketahui 𝜆 > 0 dan 𝜃 > 0, berdasarkan nilai-nilai tersebut maka diperoleh 𝜕𝑔 𝑅 𝜆 (1−𝜃) 𝜕𝑔 𝜆 (1−𝜃) = 𝜃 > 0 untuk 𝜃 < 0 dan 𝜕𝛾𝑅 = 𝜃 < 0 untuk 𝜃 > 1. 𝜕𝛾 iii.

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜌

=−

1 𝜃 1

Dari modal diketahui 𝜃 > 0, maka dapat dipastikan bahwa 𝜃 > 0 dan diperoleh 0. iv.

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜃

=−

𝜆 𝛾−1 1−𝜃 −𝜌+𝜎 1−𝛼+𝛼𝜃

=−

𝜆 𝛾−1 −𝜆 𝛾−1 𝜃−𝜌+𝜎 1−𝛼 +𝜎𝛼𝜃

=−

𝜆 𝛾−1 +𝜎 1−𝛼 −𝜌

𝜃2

+

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜌

1

= −𝜃 <

−𝜆 𝛾−1 +𝜎𝛼 𝜃

𝜃2

+

−𝜆 𝛾 −1 𝜃+𝜎𝛼𝜃 𝜃2

𝜃2

Dari modal 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , diperoleh nilai 𝜎 1 − 𝛼 + 𝜆 𝛾 − 1 − 𝜌 > 0. Karena 1 1 𝜃 > 0, maka untuk 𝜃 < 1 diperoleh > 1 dan 𝜃 2 > 1. Berdasarkan nilai-nilai tersebut, dapat disimpulkan bahwa v.

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜎

=

𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾 −1 −𝜌 𝜃2

𝜃

> 0 dan diperoleh

𝜕𝑔 𝑌 𝜕𝜃

=−

𝜎 1−𝛼 +𝜆 𝛾−1 −𝜌 𝜃2

< 0.

1−𝛼+𝛼𝜃 𝜃

Berdasarkan modal 0 < 𝛼 < 1 dan 𝜃 > 0, maka dapat diperoleh nilai

𝜕𝑔 𝑅 𝜕𝜎

=

1−𝛼 +𝛼𝜃 𝜃

> 0.

Lampiran 13. Penentuan kurva pengaruh parameter 𝝀 𝐝𝐚𝐧 𝜸 menggunakan Software Matematica 7 Identifikasi Fungsi nt[_, _, _, _, _, _]:=/ (1-(- (1-)(1-))/( (-1)))+1- gR[_, _, _, _, _, _]:=1/ ( (-1)(1-)-+ (1-+*)) gA[_, _, _, _, _, _]:=1/ (* (1-)(1-)-*+ (-1)(+-*)) gY[_, _, _, _, _, _]:=1/ ( (1-)+ (-1)-) r[_, _, _, _]:= (-1)+ (1-)

31

Fungsi r[_, _, _, _,_] di atas adalah untuk menentukan nilai 𝜌, karena seperti ketentuan sebelumnya bahwa nilai 𝜌 < 𝜆 𝛾 − 1 + 𝜎 1 − 𝛼 , sehingga untuk kemudahan dipilih nilai 𝜌 < 𝑟. 13.1 Menentukan kurva pengaruh dari parameter 𝜆 Dengan mengambil nilai dari parameter 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.5, 𝛾 = 1.4, maka nilai r adalah r[0.5,0.5,,1.4] 0.25 +0.4  Karena  maka0.25 < 0.25 +0.4 Dengan memilih 𝜌 = 0.25, diperoleh kurva pengaruh λ sebagai berikut 1. Kurva pengaruh λ terhadap 𝑔𝐴 (Gambar 1) Plot[𝑔𝐴 [0.5,0.25,0.5, 𝜆, 1.4,0.5], {𝜆, 0.01,1.99}, AxesLabel → {"λ", g A }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gA 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

𝜆 0.5

1.0

1.5

𝜎

2.0

2. Kurva pengaruh λ terhadap 𝑔𝑌 Plot[g Y [0.5,0.25,0.5, λ, 1.4,0.5], {λ, 0.01,1.99}, AxesLabel → {"λ", g Y }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gY 1.5

1.0

0.5

𝜆

 0.5

1.0

1.5

2.0

𝜎

32

3. Kurva pengaruh λ terhadap 𝑔𝑅 dengan 𝜃 < 1 Plot[𝑔𝑅 [0.5,0.25,0.5, 𝜆, 1.4,0.5], {𝜆, 0.01,1.99}, AxesLabel → {"λ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gR 1.0

0.8

0.6

0.4

𝜆



0.5

1.0

1.5

𝜎

2.0

4. Kurva pengaruh λ terhadap 𝑔𝑅 dengan 𝜃 > 1 (nilai 𝜃 diganti dengan 𝜃 = 1.5) Plot 𝑔𝑅 0.5,0.25,0.5, 𝜆, 1.4,1.5 , 𝜆, 0.01,1.99 , AxesLabel → λ, g R , PlotStyle → Thickness 0.005 gR 0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

𝜆 0.5

1.0

1.5

𝜎

2.0

13.2 Menentukan kurva pengaruh dari parameter 𝛾 Dengan mengambil nilai dari parameter 𝛼 = 0.5, 𝜌 = 0.25, 𝜎 = 0.5, 𝜆 = 0.25 , 𝜃 = 0.5, maka nilai r adalah r[0.5,0.5,0.25,] 0.25 +0.25 (-1+) Karena 𝛾 > 1, maka0.25 < 0.25 +0.25 (-1+).Dengan memilih 𝜌 = 0.25, maka diperoleh kurva pengaruh γ sebagai berikut

33

1. Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝐴 (Gambar 2) Plot 𝑔𝐴 0.5,0.25,0.5,0.25, 𝛾, 0.5 , 𝛾, 1.01,2.99 , AxesLabel → γ, g A , PlotStyle → Thickness 0.005 gA 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

𝛾  1.5

2.0

2.5

𝜎

3.0

 0.1

2. Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝑌 . Plot[𝑔𝑌 [0.5,0.25,0.5,0.25, 𝛾, 0.5], {𝛾, 1.01,2.99}, AxesLabel → {"γ", g Y }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gY 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

𝛾 1.5

2.0

2.5

𝜎

3.0

3. Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝑅 dengan 𝜃 < 1 Plot[𝑔𝑅 [0.5,0.25,0.5,0.25, 𝛾, 0.5], {𝛾, 1.01,2.99}, AxesLabel → {"γ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gR

0.7

0.6

0.5

0.4

𝛾  1.5

2.0

2.5

3.0

𝜎

34

4. Kurva pengaruh γ terhadap 𝑔𝑅 dengan 𝜃 > 1 (nilai 𝜃 diganti dengan 𝜃 = 1.5) Plot[𝑔𝑅 [0.5,0.25,0.5,0.25, 𝛾, 1.5], {𝛾, 1.01,2.99}, AxesLabel → {"γ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gR 0.25

0.20

0.15

𝛾 1.5

2.0

2.5

𝜎

3.0

Lampiran 14. Penentuan kurva pengaruh parameter 𝝆 menggunakan Software Matematica 7 Dengan mengambil nilai dari parameter 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.2 , 𝛾 = 1.2, 𝜃 = 0.5, maka nilai r adalah r[0.5,0.1,0.2,1.2] 0.09 Karena nilai 𝜌 harus lebih kecil dari r, maka dipilih 0.01 ≤ 𝜌 ≤ 0.085 dan diperoleh kurva pengaruh 𝜌 sebagai berikut 1. Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑛𝑡 (Gambar 3). Plot 𝑛𝑡 0.5, 𝜌, 0.1,0.2,1.2,0.5 , 𝜌, 0.01,0.085 , AxesLabel → ρ, nt , PlotStyle → Thickness 0.005 nt

1.5

1.0

0.5

𝜌  0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

𝜎

0.08

2. Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑔𝐴 . Plot[𝑔𝐴 [0.5, 𝜌, 0.1,0.2,1.2,0.5], {𝜌, 0.01,0.085}, AxesLabel → {"ρ", g A }, PlotStyle → Thickness[0.005]]

35

gA 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

𝜌 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

𝜎

0.08

3. Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑔𝑌 . Plot[𝑔𝑌 [0.5, 𝜌, 0.1,0.2,1.2,0.5], {𝜌, 0.01,0.085}, AxesLabel → {"ρ", g Y }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gY 0.15

0.10

0.05

𝜌 𝜎

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

4. Kurva pengaruh 𝜌 terhadap 𝑔𝑅 . Plot[𝑔𝑅 [0.5, 𝜌, 0.1,0.2,1.2,0.5], {𝜌, 0.01,0.085}, AxesLabel → {"ρ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gR 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04

𝜌 0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

𝜎

36

Lampiran 15. Penentuan kurva pengaruh parameter 𝜽 menggunakan Software Matematica 7 Dengan mengambil nilai dari parameter 𝛼 = 0.5, 𝜎 = 0.1, 𝜆 = 0.25 , 𝛾 = 1.4. Nilai 𝜃 dalam fungsi r tidak berpengaruh dan untuk saat ini diambil 𝜃 = 0.1 maka nilai r adalah r[0.5,0.1,0.25,1.4] 0.15 Karena nilai 𝜌 harus lebih kecil dari r, maka dipilih 𝜌 = 0.14 dan diperoleh kurva pengaruh 𝜌 sebagai berikut 1. Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑛𝑡 (Gambar 4). Plot[𝑛𝑡 [0.5,0.14,0.1,0.25,1.4, 𝜃], {𝜃, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"θ", nt }, PlotStyle → Thickness[0.005]] nt 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

𝜃  0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

2. Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑔𝐴 . Plot[𝑔𝐴 [0.5,0.14,0.1,0.25,1.4, 𝜃], {𝜃, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"θ", g A }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gA 0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

𝜃 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

𝜎

37

3. Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑔𝑌 Plot[𝑔𝑌 [0.5,0.14,0.1,0.25,1.4, 𝜃], {𝜃, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"θ", g Y }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gY

0.10

0.08

0.06

0.04

𝜃 0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

4. Kurva pengaruh 𝜃 terhadap 𝑔𝑅 Plot[𝑔𝑅 [0.5,0.14,0.1,0.25,1.4, 𝜃], {𝜃, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"θ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gR 0.06

0.04

0.02

𝜃 0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

 0.02  0.04

Lampiran 16. Penentuan kurva pengaruh parameter 𝝈 menggunakan Software Matematica 7 Dengan mengambil nilai dari parameter = 0.5 , 𝜆 = 0.25 , 𝛾 = 1.4 dan 𝜃 = 0.1, maka nilai r adalah r[0.5,,0.25,1.4] 0.1 +0.5  Karena 𝜎 > 0maka 0.1 < 0.1 + 0.5𝜎Dengan memilih 𝜌 = 0.1, diperoleh kurva pengaruh 𝜎 sebagai berikut 1. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝑅 (Gambar 5). Plot[𝑔𝑅 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,0.1], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", g R }, PlotStyle → Thickness[0.007]]

38

gR 5

4

3

2

1

𝜎 0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

2. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝑌 Plot[𝑔𝑌 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,0.1], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", g Y }, PlotStyle → Thickness[0.005]] gY 5

4

3

2

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

𝜎 𝜎

𝜎

𝜎

3. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑛𝑡 dengan 𝜃 < 1. Plot[𝑛𝑡 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,0.1], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", nt }, PlotStyle → Thickness[0.005]] nt

20

15

10

5

𝜎  0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

𝜎

39

4. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑛𝑡 dengan 𝜃 > 1 ( nilai 𝜃 diganti dengan 𝜃 = 1.5) Plot[𝑛𝑡 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,1.5], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", nt }, PlotStyle → Thickness[0.007]] nt

0.4

0.2

𝜎  0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

 0.2

5. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝐴 dengan 𝜃 < 1 Plot[𝑔𝐴 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,0.1], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", g A }, PlotStyle → Thickness[0.007]] gA

2.0

1.5

1.0

0.5

𝜎  0.2

0.4

0.6

0.8

𝜎

1.0

6. Kurva pengaruh 𝜎 terhadap 𝑔𝐴 dengan 𝜃 > 1 ( nilai 𝜃 diganti dengan 𝜃 = 1.5) Plot[𝑔𝐴 [0.5,0.1, 𝜎, 0.25,1.4,1.5], {𝜎, 0.01,0.99}, AxesLabel → {"σ", g A }, PlotStyle → Thickness[0.007]] gA

0.04

0.02

𝜎 0.2

 0.02

0.4

0.6

0.8

1.0

𝜎