Structurele analyse van het Franse paviljoen op Expo 58 door middel van berekeningen en visuele modellen

Vakgroep Architectuur en Stedenbouw Vakgroepvoorzitter: Prof. Dr. B. VERSCHAFFEL

Structurele analyse van het Franse paviljoen op Expo 58 door middel van berekeningen en visuele modellen door Kris COENE

Promotor: prof. dr. ir.-arch E. DE KOONING Scriptiebegeleiders: prof. dr. arch. R. DE MEYER, ir.-arch. R. DEVOS

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk ingenieur – architect

Academiejaar 2005-2006

Vakgroep Architectuur en Stedenbouw Vakgroepvoorzitter: Prof. Dr. B. VERSCHAFFEL

Structurele analyse van het Franse paviljoen op Expo 58 door middel van berekeningen en visuele modellen door Kris COENE

Promotor: prof. dr. ir.-arch E. DE KOONING Scriptiebegeleiders: prof. dr. arch. R. DE MEYER, ir.-arch. R. DEVOS

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk ingenieur – architect

Academiejaar 2005-2006

VOORWOORD Dankzij de medewerking en steun van talloze personen is het me gelukt om deze thesis tot een goed einde te brengen. Zonder hun hulp en advies zou deze realisatie niet mogelijk geweest zijn. Een oprecht woord van dank gaat dan ook naar hen uit. Allereerst zou ik mijn thesispromotor prof. dr. ir.-arch. De Kooning en thesisbegeleiders prof. dr. arch. De Meyer en in het bijzonder ir.-arch. Devos willen bedanken voor hun raad en advies die ze tijdens de ontwikkeling van de thesis hebben gegeven. De positieve evolutie van dit werk naar wat het nu is, is in ruime mate te danken aan hun kennis en vakkunde. Verder wil ik nog enkele personen bedanken voor hun hulp voor het verlenen van informatie. In het bijzonder Mr. Rannou van de Archives Nationales du XXième siècle en Mevr. Verfaillie van het Centre des Archives du Monde de Travail. Ook Prof. Dr. ir. Lagae wens ik te danken voor de hulp en het controleren van de uitgevoerde berekeningen En als laatste zou ik ook een woord van dank aan mijn familie en vrienden willen richten voor hun steun gedurende de opleiding en deze thesis.

Structurele analyse van het Franse paviljoen op Expo 58 door middel van berekeningen en visuele modellen door Kris COENE Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk ingenieur – architect Academiejaar 2005-2006 Promotor: Dr. ir.-arch E. DE KOONING Scriptiebegeleiders: ir.-arch. R. DE MEYER, ir.-arch. R. DEVOS Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Architectuur en Stedenbouw Vakgroepvoorzitter: Prof. Dr. B. VERSCHAFFEL Samenvatting Eén van de grootste en meest indrukwekkende paviljoenen van de Expo 58 in Brussel was wellicht het paviljoen van Frankrijk. De twee dakvleugels, elk bestaande uit een hyperbolische paraboloïde, en de pijl die 64 meter hoog boven de Expo uitstak spraken tot ieders verbeelding. Toch kwam er ook kritiek op het paviljoen: de stalen constructie zou zijn overgedimensioneerd. Aan de hand van berekeningen wordt in deze scriptie nagegaan of deze uitspraak al dan niet correct was. Hoofdstuk 1 geeft een korte historische beschrijving over de totstandkoming van het paviljoen. Hoofdstuk 2 bevat een korte biografie van de auteurs. Hoofdstuk 3 omschrijft de structuur en de onderdelen ervan. Hoofdstuk 4 bepaalt de manier van rekenen. Hoofdstukken 5 tot en met 9 bevatten dan de effectieve berekeningen. Trefwoorden: Frans paviljoen, Expo 58, hypar-daken, ruimtelijke structuren, berekeningen.

INHOUDSTAFEL 1 Historiek…………………………………………………………………………………….. 1 1.1 De bedekking van een grote ruimte………………………………………………. 2 1.2 De pijl………………………………………………………………………….......4 1.3 De oppervlakte aan expositie-ruimte…………………………………………....... 4 2 Auteurs……………………………………………………………………………………… 5 2.1 Guillaume Gillet – architect………………………………………………………. 5 2.2 René Sarger – ingenieur………………………………………………………....... 5 2.3 Jean Prouvé – ingenieur………………………………………………………....... 7 3 Globale constructie van het paviljoen………………………………………………………. 8 3.1 Centraal steunpunt (O)…………………………………………………………... 10 3.2 Auditorium………………………………………………………………………. 10 3.3 Diagonalen (OB1-OB2)…………………………………………………………...11 3.4 Axiale balk (OA)…………………………………………………………………12 3.5 Randbalken……………………………………………………………………… 13 3.6 Dak………………………………………………………………………………. 14 3.7 Staande vakwerken…………………………………………………………........ 15 3.8 Pijl……………………………………………………………………………...... 16 3.9 Binnenstructuur………………………………………………………………….. 16 3.10 Materiaal……………………………………………………………………….. 17 4 Lastenhypothese…………………………………………………………………………… 18 4.1 Algemeen ………………………………………………………………………..18 4.2 Sneeuw en wind…………………………………………………………………. 18 5 Berekeningen - dak………………………………………………………………………... 20 5.1 Belastingsgeval 1: wind…………………………………………………………. 20 5.2 Belastingsgeval 2: sneeuw………………………………………………………. 21 5.3 Berekening………………………………………………………………………. 21 5.4 Besluit…………………………………………………………………………… 23 6 Berekening - Randbalken…………………………………………………………………. 25 6.1 Krachten van het kabelnetwerk…………………………………………………. 25 6.1.1 Onder inwerking van wind……………………………………………..26 6.1.2 Onder inwerking van sneeuw…………………………………………..27 6.2 Eigengewicht……………………………………………………………………..27 6.3 Windbelasting op staande vakwerken…………………………………………… 27 6.4 Combinatie van de lasten………………………………………………………... 29 6.4.1 Wind…………………………………………………………………... 30 6.4.2 Sneeuw………………………………………………………………… 30 6.5 Vierde kracht…………………………………………………………………….. 31 6.5.1 Wind…………………………………………………………………… 31 6.5.2 Sneeuw………………………………………………………………… 33 6.6 Krachtswerking in de randbalk………………………………………………….. 33 6.7 Begroting van de profielen……………………………………………………….37

6.7.1 Onderste randstaven…………………………………………………… 37 6.7.2 Vertikale wandstaven………………………………………………….. 38 6.7.3 Bovenste randstaven…………………………………………………... 38 6.7.4 Schuine wandstaven…………………………………………………… 39 6.8 Besluit…………………………………………………………………………… 39 7 Berekening - axiale balk…………………………………………………………………... 40 7.1 Krachten van het kabelnetwerk………………………………………………….. 40 7.2 Eigengewicht……………………………………………………………………..40 7.3 Combinatie van de lasten………………………………………………………... 40 7.3.1 wind…………………………………………………………………… 41 7.3.2 Sneeuw………………………………………………………………… 41 7.4 Kracht geïnduceerd door de randbalk…………………………………………… 42 7.4.1 wind…………………………………………………………………….42 7.4.2 sneeuw………………………………………………………………….43 8 Berekening - Staande vakwerken…………………………………………………………..44 8.1 Algemeen………………………………………………………………………... 44 8.2 Onder winddruk…………………………………………………………………. 44 8.2.1 Wind…………………………………………………………………… 45 8.2.2 Sneeuw………………………………………………………………… 45 8.3 Onder zuiging…………………………………………………………………….46 8.3.1 Wind…………………………………………………………………… 46 8.3.2 Sneeuw………………………………………………………………… 46 8.4 Begroting van de doorsnede……………………………………………………...47 8.5 Knik………………………………………………………………………………47 8.6 Besluit…………………………………………………………………………… 48 9 Berekening - Diagonalen en pijl…………………………………………………………... 49 9.1 Vakwerk definiëren……………………………………………………………… 49 9.2 Inwerkende krachten en reactiekrachten………………………………………… 49 9.2.1 Windbelasting…………………………………………………………. 50 9.2.2 Eigengewicht…………………………………………………………...52 9.2.3 Overige lasten…………………………………………………………. 53 9.2.3.1 Oplegreacties knooppunt einde diagonaal…………………... 53 9.2.3.2 Oplegreacties knooppunt auditorium………………………... 54 9.2.4 Totale reactiekrachten…………………………………………………. 57 9.3 Krachtswerking in de staven…………………………………………………….. 60 9.4 Begroting van de staven…………………………………………………………. 61 9.4.1 Bovenste staven van de diagonaal…………………………………….. 61 9.4.2 Onderste staven van de diagonaal……………………………………... 62 9.4.3 Wandstaven van de opstaande zijde van de diagonaal………………... 63 9.4.4 Trekker van de pijl…………………………………………………….. 64 9.5 Besluit…………………………………………………………………………… 64

1 Historiek1 Expo 58, de eerste wereldtentoonstelling na de tweede wereldoorlog, ontwikkelde zich rond het thema “Techniek en Humanisme”. Meer dan veertig naties hadden geantwoord op de oproep van de Belgische overheid. Ook Pierre de Gaulle, de commissaris-generaal van Frankrijk, geassisteerd door Paul Breton en Pierre Legué, de adjunct commissaris-generaals, en Pierre Sonrel, raadgevend architect, waren zich bewust van het belang en de opportuniteit van deze algemene confrontatie en besloten een programma op te stellen waarvan de geest resoluut naar de toekomst gericht was en waardoor hun paviljoen de onderzoekskwaliteit, het lef en de inventiviteit van Frankrijk zou benadrukken.2 De site die aan Frankrijk werd toegewezen, was gelegen naast de passerelle die de Belgische Sectie met de buitenlandse verbond en van waarop de bezoeker kon genieten van een uitzicht over de ganse tentoonstelling. Het terrein was met 25 000 m² tevens één van de grootste van de site en had met de USA en de USSR belangrijke andere spelers als buren (Figuren 1 en 2). De reden waarom aan Frankrijk dergelijk groot terrein werd toegewezen was enerzijds omdat ze tijdens de wereldtentoonstelling in Brussel van 1935 een voorname rol hadden gespeeld en anderzijds door het bijzondere karakter van de politieke relaties tussen de twee landen onderling. Bovendien had de Belgische organisatie er, op vraag van Frankrijk, een terrein van 4 000 m² aan toegevoegd, hetgeen Frankrijk ter beschikking heeft gesteld van Marokko en Tunesië.3

Figuur 1: Grondplan van de Expo-vlakte met aanduiding van de Franse site 1

Het hoofdstuk historiek is gebaseerd op: Commissariat Général de la Section Française, Exposition universelle et internationale de Bruxelles 1958, Rapport général sur la participation Française (Dijon: Darantiere, 1960). 2 De Fransen hadden op hun eigen wereldtentoonstelling (Parijs, 1889) met de Eiffeltoren en de Galerie des machines reeds bewezen welke technische hoogstandjes zijn konden produceren. Ze wilden op Expo 58 laten zien dat ze nog steeds een toonaangevende functie hebben in de staalbouw. 3 De reden hiervoor wordt niet vermeld in de gebruikte literatuur.

Het commissariaat-generaal van Frankrijk wou dat hun paviljoen één van de meest briljante elementen van de tentoonstelling werd en dat het door een technische demonstratie van uitzonderlijke kwaliteit bewees dat Frankrijk de leiding nam in het spel tussen de naties, maar ook dat het bijdroeg aan de architectuur, de wetenschap, de industrie en alle kunsten van de menselijke evolutie. Doordat er, door organisatorische vertragingen aan Franse zijde4, niet genoeg tijd was om een wedstrijd uit te schrijven werd door het commissariaat, in samensparaak met de overkoepelende raad van de Franse sectie, direct beroep gedaan op een door de commissarisgeneraal aangeduide architect: Guillaume Gillet.5 Na de studie van het programma, kwam men tot de beslissing dat het: een paviljoen moest worden waarin alles mogelijk was naar inrichting, er een snelle oprichting moest mogelijk zijn, het geheel moest worden overdekt en het zich zodanig moest lenen dat er een maximum aan vrije ruimte was op de grond en een minimum aan belemmeringen, zodat binnenin de meest diverse organisaties konden aangenomen worden.

Figuur 2: v.l.n.r. USSR, USA, Civitas Dei (Vaticaan) en Frankrijk

Bij het ontwerp diende rekening te worden gehouden met drie eisen: 1. De bedekking van een grote ruimte 2. De pijl 3. De oppervlakte aan expositie-ruimte 1.1 De bedekking van een grote ruimte In principe moest minimum 70% van de oppervlakte van elke site bebouwd worden.6 In praktijk bleek het vrijwel onmogelijk om dit te realiseren.7 Het commissariaat kon echter een 4

De vertragingen traden op bij de indeling van het commisariaat, de functies die de leden dienden uit te voeren, de aanstelling van de architect,… 5 Dat de keuze op Guillaume Gillet viel was voornamelijk te danken aan het feit dat hij reeds hoofdarchitect van de burgerlijke gebouwen en nationale paleizen te Rome was en dus een tamelijk grote bekendheid genoot aan de Franse overheid en bij het commissariaat. 6 Dit was één van de reglementen die de Belgische organisatie had opgesteld.

regeling treffen met de organisatie. Doordat er in het paviljoen een grote vloeroppervlakte aan tentoonstellingruimte kwam, werd een bebouwde oppervlakte van 12 000m² (Figuur 3) goedgekeurd. Het opgehoogde terrein werd gekruist door een metro-tunnel waar geen lasten mochten op neerkomen. Tweede probleem met de metrotunnel was dat Frankrijk pas laat kon beschikken over het terrein omdat de werken eraan pas laat voltooid waren. Door de keuze om gebruik te maken van een staalstructuur kon de korte constructieperiode (minder dan 1 jaar) toch gerealiseerd worden. Eerst werden alle elementen afzonderlijk in het atelier samengesteld, waarna ze werden gedemonteerd, vervoerd en ter plaatse opnieuw gemonteerd.8 Ook mochten er, uit de randvoorwaarden van het commissariaat, weinig of geen steunpunten voorzien worden, dit om een maximale vrijheid te behouden qua indeling. De voorbereideinde studies, gemaakt voor het voorgestelde project, toonden aan dat slechts 3 punten een bedekking van 12 000 m² konden dragen wanneer het eigengewicht van het gebruikte materiaal tot bijna de helft werd verminderd.9

Figuur 3: Totaalbeeld van het paviljoen (NW-gericht)

In horizontale projectie wordt het bedekte deel omschreven door twee aangrenzende ruiten waarvan de dagonalen 91,5 en 106 meter zijn. De bedekking van elke ruit moet een minimum aan steunpunten hebben en moet ook een zekere lichtheid hebben met betrekking tot de economie van het materiaal. De oplossing bestond uit een dubbele hyperbolische paraboloïde met rechtlijnige generatrices, waardoor het metaal enkel onder trekspanningen zou komen over de gehele overdekte oppervlakte.10 7

Eén van de eisen van het Franse commisariaat was om het onderste niveau van het paviljoen te vrijwaren van steunpunten. Indien de constructie 70% van het terrein (= 17 500m²) diende te overspannen, zou het een te dure aangelegenheid geworden zijn om dit te realiseren. 8 De Anciens Etablissements Eiffel stonden in voor het vervaardigen van de stalen structuur. 9 Het was de wil van Guillaume Gillet om de steunpunten van het paviljoen tot een minimum te beperken. Bij de berekeningen zal men echter tot de constatatie komen dat er twee bijkomende steunpunten moeten geplaatst worden om de wring van de diagonalen te beperken. 10 De voorgestelde oplossing was het resultaat van de samenwerking tussen Gillet, Sarger en Prouvé. Doordat Sarger echter volop bezig was met de studie van kabelnetwerken, heeft hij een onmiskenbaar aandeel gehad in het ontwerp.

De eerste studies over voorgespannen zeilen waren afkomstig uit Frankrijk.11 Reeds enkele realisaties wereldwijd hadden de geboorte aangekondigd van een nieuwe esthetiek en techniek. Bepaalde buitenlandse realistaties op Expo 58 werden dan ook door deze studies geïnspireerd. Het was dus nodig dat Frankrijk een synthese maakte van deze ervaringen en realisaties en deze probeerde te overtreffen door een vooruitstrevende techniek voor te stellen die de problemen, welke zich stellen bij voorgespannen zeilen, op te lossen. Deze moeilijkheid resulteerde in de loop van de technische onderzoeken van René Sarger tot een systeem waarbij voorgespannen kabelnetwerken met dubbele kromming werden gebruikt. 1.2 De pijl De architecturale wil om een pijl naar de hemel te richten12 werd tijdens de wereldtentoonstelling niet enkel gebruikt als zendmast voor de televisie, maar veel belangrijker was zijn gebruik als tegengewicht van de structuur, waardoor meer dan de helft van het eigengewicht van het paviljoen in evenwicht werd gebracht boven het centrale steunpunt. Bovenaan de pijl zou de Franse vlag wapperen als permanente herinnering van hun imposante aanwezigheid op Expo 58. 1.3 De oppervlakte aan Expositie-ruimte Doordat er binnenin geen steunpunten aanwezig waren, kon een volledig vrije indeling bekomen worden los van de buitenstructuur. Er werden vijf niveaus voorzien die samen zorgden voor een totale vloeroppervlakte van 22 000 m² (Figuur 4). Ook de beschikbare oppervlakte op de diagonalen werd gebruikt als expositie-ruimte. De plannen van het Paviljoen met aanduiding van de niveaus werden opgenomen in Bijlages 1 tot 6.

Figuur 4: Zicht op de verschillende vloerniveaus en de diagonaal 11

Onderzoek verricht door onder andere Bernard Lafaille en René Sarger. De pijl kwam er niet enkel uit architecturale of constructieve overwegingen, maar vooral uit de eisen van het commissariaat waarin de totstandkoming van dergelijke constructie gevraagd werd.

12

2 Auteurs 2.1 Guillaume Gillet - Architect13 ° Châalis, Frankrijk, 1912 † 1987 Guillaume Gillet stamt af van een famillie ingewijd in het schrijven, humanisme, dichtkunst, architectuur, schilderkunst,… Reeds van jongsaf aan komt hij met al deze onderwerpen in contact en wordt hij er logischerwijze sterk door beïnvloed. Op jonge leeftijd heeft hij reeds de capaciteit van buitengewone studie en concentratie in zich. Tijdens zijn studies aan l’Ecole des beaux-arts twijfelt Gillet over de carrière die hij wil uitbouwen. Wil hij schilder worden of Architect? Emmanuel Pontremoli, zijn mentor in het atelier, moedigt hem aan om deel te nemen aan de Grand Prix de Rome waar hij de Premier Grand Prix d’Architecture in ontvangst mag nemen. Door zich verder te ontwikkelen in de nieuwe technologieën, wordt hij een meester in het tijdperk van dynamische vormen, gekromde oppervlakken en zeilen, waarvan het paviljoen van Frankrijk op de Expo 58 en de Notre-Dame te Royen de bewijzen zijn. 2.2 René Sarger – Ingenieur [14]14 ° Parijs, Frankrijk, 1917 † Villejuif, Val-de-Marne, 1988 Sarger behaalde in 1938 zijn diploma als architect aan l’Ecole supérieure d’architecture maar hij was ook een autodidact ingenieur. Hij was een leerling van Bernard Lafaille, wiens baanbrekend werk hij niet alleen verderzette, maar ook verder ontwikkelde. Hierdoor is hij één van de makers van de moderne architectuur in de jaren 1950 tot 1970 die zijn vernieuwing haalde uit de plastische mogelijkheden van nieuwe technieken. Als assistent van Lafaille15 werd hij ingewijd in de techniek van gekromde schalen en de eerste opgehangen en voorgespannen bedekkingen, waarna hij in 1954 CETAC (Cabinet d’Etudes Techniques, d’Architecture et de Construction) oprichtte, zijn eigen studiebureau. Na het overlijden van zijn Lafaille in 1955, erfde hij diens laatste projecten: de Notre-Dame in Royan (hier reeds in samenwerking met Guillaume Gillet; Figuur) en de overdekte markt in Royan (André Morisseau, Louis Simon; Figuur).

13

Delen overgenomen uit een lezing door M. Pierre SCHOENDOERFFER, welke gehouden werd tijdens een zitting (18 oktober 1989) ter ere van Gillet’s erkenning als lid van la Section des Créations artistiques dans le Cinéma et l'Audiovisuel aan de Académie des beaux-arts. Zie ook: http://academie-des-beauxarts.fr/membres/actuel/cinema/Schoendoerffer/discours_hommage_gillet.htm 14 Picon, Antoine, ed., L’Art de L’Ingénieur. Constructeur, Entrepreneur, Inventeur (Parijs : Ed. du Centre Pompidou, 1997), 436-437. 15 Van 1946 tot 1954.

Figuur 5: Notre-Dame te Royan

Kort na de realisatie van de kerk van Royen verdiept hij zich in schalen uit gewapend beton. De reservoir-marche van Caen-La Guérinière (Guilaume Gillet) en de basiliek van Algerije (Paul Herbé en Jean Le Couteur) waren architecturale composities die hun voordeel haalden uit gekromde structuren van respectievelijk gewentelde hyperboloïde en hyperbolische paraboloïde. Zijn voornaamste bijdrage echter aan de bouwkunst, was het op punt zetten van de techniek van voorgespannen kabelnetwerken, waarvan het paviljoen op de Expo het eerste voorbeeld van was. Het is ook deze techniek die hij aanwendt voor het stadion van Saint-Ouen (19681971, Anatole Kopp) en het paviljoen van Marie Thumas (1958, Baucher, Blondel en Filippone) wat eveneens een realisitie voor de Expo was. Terwijl Sarger de structurele en formele mogelijkheden van de nieuwe techniek onderzoekt, ontwikkelde hij in de jaren ’60 voorgespannen driedimensionele structuren bestaande uit netwerken of zeilen uit textiel. In 1969 ontwikkelde hij ook een buitengewoon project voor Parijs: périphérique express. Hij vat dit op als een gigantische opgehangen brug, waarvan de pijlers 600 meter uit elkaar staan en waar hij een vertikale stad in voorziet.

Figuur 6: Overdekte markt te Royan

2.3 Jean Prouvé - Ingenieur16 ° Parijs, Frankrijk, 1901 † Nancy, Meurthe-et-Moselle, 1984 Als zoon van schilder Victor Prouvé, die één van de belangrijkste personen was van l’Ecole de Nancy, groeide Jean Prouvé op in een dynamisch en creatief milieu waar kunst en industrie nauw aan elkaar verbonden waren. Het is in deze context dat hij het belang van het gereedschap, de kwaliteit van het concept en de voorname rol van het schetsen leert. Hij ontwikkelde er tevens de smaak naar vooruitgang en innoverende technieken, alsook een sterk gevoel voor teamwerk. Zijn bekwaamheid om met hamer en aanbeeld om te gaan, drijven hem ertoe smeedkunst aan te leren en een atelier te openen in Nancy waar hij traliewerk, deuren en metalen deurlijsten maakt. Het is via deze omweg dat hij zich gaat interesseren voor de architectuur en enkele grote architecten uit die tijd, waaronder Le Corbusier en Jeanneret, ontmoet. Na zich de verschillende verbindingswijzen en het plooien van metaal en aluminium meester te maken, gaat hij hen nieuwe constructieve technieken voorstellen die het mogelijk maken om gebouwen met minder materiaal op te trekken, waardoor ze goedkoper worden en een grotere doelgroep kunnen bereiken. Hoewel Prouvé geen ingenieursopleiding heeft genoten, toont hij een enorm meesterschap in het oplossen van fysische problemen, zoals het krachtenevenwicht, thermodynamica, klimatisatie,… Met een opmerkelijke economie aan materialen, introduceert hij innovatieve technologiën zoals o.a. de gordijnwand. Het is in een geest van vernieuwing dat hij op zoek gaat naar manieren om gebouwen te industrialiseren. Doordat hij zich met deze projecten kan oefenen, bekomt hij een oplossing die niet enkel in de gestandardiseerde industriële aanpak hun plaats vinden, maar tevens in de alledaagse architectuur uit de hele omgeving. De reden dat Prouvé zo aanwezig was in de vorige eeuw, was enerzijds het gevolg van de vele samenwerkingen die zijn carrière kenmerkten. Deze waren zowel met architecten, ingenieurs, ontwerpers als artiesten. Anderzijds kon hij zijn stempel drukken op generaties van ingenieurs en architecten door de lessen die hij als verantwoordelijke voor de toegepaste kunsten gaf aan het CNAM (Conservatoire National des Arts et Metiers).

16

Leleu, Véronique, Jean Prouvé constructeur: 1901 – 1984 (Alençon: Imprimerie Alençonnaise, 2001).

3 Globale constructie van het Paviljoen De oplossing die vloeide uit de samenwerking van Gillet, Sarger en Prouvé bestond, zoals reeds vermeld, uit twee hypars die elk werden gedragen door een ruimtelijk driehoeksvakwerk. Als tegengewicht diende de pijl die ervoor zorgde dat het centrale steunpunt 80% van de belasting opnam. De twee steunpunten aan het einde van de vakwerken (gerealiseerd als omgekeerde V-vormen) zouden elk 10% van de overige belasting opnemen.17 Deze drie hoofdelementen komen samen in een knoop boven het centrale steunpunt waarin tevens een auditorium werd voorzien. Wat hierna volgt is de chronologische opbouw van het paviljoen met een korte beschrijving van elk onderdeel.18 Figuur 7 toont de totale schematische voorstelling met aanduiding van de onderdelen. Elke zijde van het paviljoen bedraagt 70 meter, waardoor de voorgevel een kleine 140 meter breed is. Het laagste punt van de dakconstructie bedraagt 18 meter terwijl het hoogste punt gelegen is op 35 meter. Het hoogste punt van de pijl bevindt zich op 64 meter boven de grond.

17

Overal in de literatuur komt men deze stelling tegen hoewel ze niet correct blijkt te zijn. Aan het begin van het ontwerpproces was het de bedoeling dat de lastenverdeling zo zou gebeuren. Later heeft men echter nog twee bijkomende steunen voorzien waardoor er een heel andere verdeling plaatsvond. Zie: Lorin, Paul en Pierre Vallée, “La construction du pavillon de la France à l’Exposition internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 130 (1958): 1138-1154. 18 Bij sommige elementen zal ook het gewicht en de lengte vermeld worden. Door de verschillende waarden van de gewichten die in de literatuur vermeld worden, werd hier voor elk onderdeel een door de samensteller berekende waarde genomen, met betrekking tot de in de literatuur gevonden waarden, die waarschijnlijk hoger ligt dan de werkelijke en waardoor het een veiligere berekening wordt. De waarden van de onderdelen worden verondersteld hoger te zijn daar hun totale gewicht hoger is dan de waarden die het meest terugkomen in de beschikbare literatuur. De verschillende lengtes van de onderdelen zijn afgeleid uit zowel de betreffende literatuur, planmateriaal uit archieven als eigen tekenwerk gebaseerd op het planmateriaal en de waarden uit de literatuur. Ook al heerst er grote overeenstemming tussen deze waarden, dit wil niet zeggen dat deze niet kunnen verschillen van de waarden in het uiteindelijk gerealiseerde paviljoen. Zie ook: Commissariat Général de la Section Française, Exposition universelle et internationale de Bruxelles 1958, Rapport général sur la participation Française (Dijon: Darantiere, 1960).; Corpelet, M. J., “Ossature métallique du Pavillon de la France à l’Exposition Internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 135-136 (1959): 282-290; Esquillan, N. en Y. Saillard, Hanging Roofs, proceedings of the IASS colloquium on hanging roofs, continuous metallic shell roofs ans superficial lattice roofs, Parijs, 6-11 juli 1962 (Amsterdam: North-Holland Publishing, 1963); Gillet, Guillaume, Jean Prouvé en René Sarger, “Le pavillon de la France à l’Exposition de Bruxelles 1958,”Acier/Stahl/Steel 5 (1958): 193-204; Gillet, Guillaume, Jean Prouvé en René Sarger, “Pavillon de la France,” L’Architecture D’Aujourd’hui 78 (1958): 8-13.; Lorin, Paul en Pierre Vallée, “La construction du pavillon de la France à l’Exposition internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 130 (1958): 1138-1154.; Centre des Archives du Monde de Travail (CAMT); 78, boulevard du Général Leclerc - BP 405 59 057 Roubaix Cedex 1; Dossiers: 152 AQ 260 tot 263.; Archives Nationales du XXième siècle, 127-129, rue de tolbiac - 75013 paris.

Figuur 7: Schematische voorstelling van de constructie

3.1 Centraal steunpunt (O) Op dit steunpunt zou 80% van de lasten van de hoofdstructuur worden overgedragen. Het is de bedoeling dat dit steunpunt werkt als een soort scharnier waar de twee diagonalen en de pijl in samenkomen. De steun heeft de vorm van een piramide en is opgetrokken uit gewapend beton. De piramide heeft een vierkante basis van 5m x 5m en een hoogte van eveneens 5m. De bevestiging van de verschillende profielen in het knooppunt, gebeurt door een metalen hulpstuk uit dikke staalplaat aan de top van de piramide. Op de plaatsen waar de profielen van het auditorium en deze van de diagonalen en pijl aan de piramide dienden te worden bevestigd, werd een extra wapening voorzien om de krachten, afkomstig van deze profielen, op te vangen. De piramide moet eigenlijk beschouwd worden als het verlengde van elk aangrijpend profiel zodat deze in één en hetzelfde punt samenkomen. Figuur 8 toont de wapening in de top van de piramide, figuur 9 toont het steunpunt met de daaraan bevestigde profielen.

Figuur 8: Wapening van de piramide

Figuur 9: Afgewerkt steunpunt

De fundering van deze piramide (en tevens van alle andere constructiedelen) bestaat uit alphapalen die een weerstand bieden van 50 tot 60 ton per paal. Langs de rand van de piramide zijn er enkele palen ingebracht onder een hoek van 15° om de inwerkende horizontale krachten op te vangen. 3.2 Auditorium Nadat de basis van het paviljoen vervaardigd was, kon men beginnen aan de metaalconstructie. Hoewel het auditorium op zich geen deel uitmaakt van de dragende constructie, bevat het onderdelen die die dit wel doen. Figuur 10 toont het knooppunt waarin het auditorium zich zal bevinden. De profielen die voor deze knoop werden gebruikt zijn van verschillende aard. Hij bestaat zowel uit standaardprofielen als uit samengestelde profielen van gelaste staalplaat of buisvormige elementen uit staalplaat die gebogen en gelast werden.

Sommige van deze elementen zijn tot 17 meter lang, 700 millimeter diameter en wegen tot 10 ton. In totaal is dit knooppunt goed voor een gewicht van 240 ton. Het bovenvlak bevindt zich op 20 meter hoogte en is ingeschreven in een rechthoek van 22 x 17,5 meter.

Figuur 10: Knooppunt boven het centraal steunpunt

3.3 Diagonalen (OB1 - OB2) De twee diagonalen OB1 en OB2 zijn eigenlijk ruimtelijke driehoeksvakwerken met een variërende hoogte tussen 5 meter aan de knoop en 2,5 meter aan de uiteinden, waar ze gedragen worden door twee steunen in omgekeerde V-vorm (Figuur 11). De diagonalen zijn opgebouwd uit staalplaat van 25 tot 50 millimeter dik en wegen elk 215 ton voor een lengte van 91,5 meter. De twee steunpunten aan de uiteinden zijn langs de Oost- en Westkant respectievelijk 16 en 20 meter hoog. De steunen zijn opgebouwd uit staalplaat van 10 millimeter dik. Het verschil in lengte is te wijten aan een niveauverschil van de straat aan de Zuidkant van het paviljoen.

Figuur 11: Diagonaal OB2 met achteraan de steun

Doordat de diagonalen vast verbonden zijn met de pijl, dienen ze een niet te onderschatten moment op te nemen. Onder invloed van dit moment, maar nog in grotere mate omdat het vakwerk van een driehoekige doorsnede gereduceerd wordt naar een T-vormige doorsnede, ontstaan er in de diagonaal wring (Figuur 12). Om deze wring – sterker onder windbelasting Oost of West – op te nemen, werden er twee bijkomende steunen D1 en D2 toegevoegd aan de overgang van het auditorium en de diagonaal. Deze worden echter als ‘niet bestaand’ aanschouwd bij de berekening van de diagonalen en de pijl. Dit aangezien ze enkel berekend zijn om wringing tegen te gaan en niet om effectief krachten afkomstig van vaste of variabele belasting op te nemen, hoewel ze dit wel doen.

Figuur 12: Overgang van driehoekige doorsnede naar T-vorm

3.4 Axiale balk (OA) Deze vertrekt eveneens vanuit de knoop en vormt de scheiding tussen de twee hypar-daken (Figuur 13). Aan het andere uiteinde wordt de balk gedragen door een ruimtelijk driehoeksvakwerk. Dit driehoeksvakwerk werd gebruikt als steun voor de axiale balk en de randbalken tijdens de constructie, maar neemt in het afgewerkte paviljoen slechts een relatief kleine kracht op. Dit is het gevolg van de dakstructuur. Elke hypar houdt zijn eigen vorm doordat het kabelnetwerk onder spanning komt te staan (vormvastheid, zie: 5 Berekeningen Dak). Doordat beide dakhelften aan elkaar verbonden zijn door de axiale balk, wordt de rotatie die elke hypar rond zijn diagonaal kan maken verhinderd en zijn de resulterende krachten die inwerken in het punt A relatief klein. De grootste krachten die door de axiale balk worden opgenomen, zijn de trekkrachten afkomstig van het kabeldak. De balk zorgt ervoor dat het krachtenverloop tussen de twee dakhelften gewaarborgt blijft. Hij is in evenwicht doordat er langs elke kant een evengrote kracht op inwerkt. Deze balk zal verder in dit werk niet begroot worden daar er te weinig informatie over gevonden werd, zowel naar dimensie als naar profieldoorsnede. De

inwerkende krachten en de reactiekrachten zullen wel becijferd worden. Het gewicht van de axiale balk bedroeg 140 ton voor een lengte van 72 meter.

Figuur 13: Axiale balk OA

3.5 Randbalken (AB1 - B1C1 - C1O - AB2 - B2C2 - C2O) De randbalken (Figuur 14) werden volgens bepaalde volgorde t.o.v. de axiale balk OA en het centraal steunpunt O geplaatst. Eerst werden de twee zuidelijke randbalken AB1 en AB2 gemonteerd. Daarna werkte men elke dakhelft afzonderlijk af. Eerst werden de randbalken B1C1 en C1O geplaatst en daarna B2C2 en C2O. De masten waarmee de randbalken op hun plaats werden gebracht en gehouden, werden pas verwijderd nadat de staande vakwerken eronder geplaatst waren en de randbalken onderling aan elkaar waren vastgebout.

Figuur 14: Randbalken OC1 en OC2

Over deze randbalken is er weinig technische informatie teruggevonden. Uit de foto’s van het paviljoen kan worden afgeleid dat de randbalken een parabolisch verloop kennen. Door inwerking van de kabels vat er namelijk een verdeelde last aan en dienen deze randbalken dus in het midden een groter moment op te nemen dan aan de randen van het profiel. De randstaven waren opgevat als open kokerprofielen waarvan de ontbrekende volle zijde vervangen werd door kleinere profielen om alsnog als koker te kunnen werken. De randbalk is geplaatst onder twee hellingen. De ene van het lage punt naar het hoge en de andere is een draaiing van 10° rond de as van de randbalk. De randbalk volgt op deze manier ongeveer de raaklijn van het dak waardoor de krachten afkomstig van het kabelnetwerk slechts een kleine kracht loodrecht op de randbalk induceren en de balk de grootste krachten opneemt volgens zijn sterke as. De randbalk heeft net als de axiale balk een lengte van 72 meter maar weegt 100 ton. 3.6 Dak Het dak bestaat zoals reeds vermeld uit twee hyperbolische paraboloïden die het hele gebouw overspannen. De opbouw van het dak is weergegeven in Figuur 15.

Figuur 15: Opbouw van het dak [6]

De draagstructuur van het dak is het kabelnetwerk. Dit is een orthogonaal mazenpatroon dat aan de randbalken bevestigd is. Onder invloed van wind en sneeuw zullen er verschillende krachten op inwerken. Anders dan bij een synclastisch oppervlak is de hyparvorm minder onderhevig aan spanningsloze kabels mits onder voldoende voorspanning gebracht. Er werd gebruik gemaakt van kabels met diameter 7mm. In de draagrichting werden er 8 kabels per bundel voorzien in de spanrichting 6 kabels. Onderling zijn de kabels aan elkaar vastgemaakt

zodat ze hun algebraïsche vorm zouden bewaren en ten opzichte van elkaar niet zouden verschuiven. Bovenop het kabelnetwerk plaatste men bouwstaalmatten die dienden als drager voor de rest van het dak, zijnde de isolatie, een afdekking met staalplaat en een waterdichting. Door gebruik te maken van een kabelnetwerk, kon het gewicht van het dak beperkt worden tot 20 kg/m². 3.7 Staande vakwerken De staande vakwerken (Figuur 16) onder de randbalken zijn opgebouwd uit buiselementen en zijn onderling verbonden door een raster van horizontale buiselementen. Enerzijds maakt deze structuur deel uit van de gevelopbouw. Hierbij worden de glas- of polyester golfplaten bevestigd aan de horizontale buizen. Een tweede doel van de constructie is om de verschillende krachten die inwerken op de randbalken over te dragen naar de grond. De staande vakwerken zijn evenals de randbalken onder een hoek van 10° geplaatst. Dit om de krachten - afkomstig van het kabelnetwerk – die erop inwerken volgens hun as over te brengen. De randstaven van het vakwerk zijn buizen met diameter 178mm en met een dikte variërend van 4 tot 6mm, de wandstaven hebben een diameter van 101mm.

Figuur 16: Staande vakwerken aan de Zuidzijde met tijdelijke verstevigingen tijdens de constructieperiode

De materiaalkeuze voor de gevel bestond uit glas en polyester golfplaten. De Noordzijde van het paviljoen was volledig beglaasd. Onderaan werd rondom het hele paviljoen ook een strook glas voorzien (8 meter hoog), terwijl de overige bekleding bestond uit de doorschijnende golfplaten.

3.8 Pijl De pijl (Figuur 17) is het enige onderdeel van de structuur die zich langs de noordkant van het centrale steunpunt O bevindt. Hij moet een tegengewicht vormen voor de constructie van diagonalen, randbalken, axiale balk en dak. De pijl heeft een lengte van ongeveer 65 meter en torent 64 meter boven de grond uit. Hij is opgevat als een stelsel van drie staven die onderling met elkaar verbonden zijn om de vorm te garanderen. De twee onderste staven werken dus onder druk terwijl de bovenste staaf werkt onder trek. De bovenste staaf is kokervormig en heeft overal dezelfde doorsnede terwijl de onderste twee driehoekig zijn en hun doorsnede vergroot naarmate men ze verder naar het eindpunt doorsnijdt. De volledige pijl is opgebouwd uit aan elkaar gelaste staalplaat van 10 millimeter dik wat het totaalgewicht van de pijl op 120 ton brengt.

Figuur 17: De pijl

3.9 Binnenstructuur Voor de niveaus in het paviljoen werd gebruik gemaakt van een eenvoudige skeletstructuur uit metaal, waarop betonnen breedplaatvloeren werden gelegd. Bovenop de breedplaatvloeren stortte men een druklaag waardoor de vloer kon weerstaan aan een belasting van 500 kg/m². Voor de skeletstructuur werd gebruik gemaakt van standaard I-profielen van verschillende afmetingen (Figuur 18).

Figuur 18: Binnenstructuur

3.10 Materiaal19 Voor de balken en de grote delen in plaatstaal werd het type Thomas ADX gebruikt (hard staal) en dit tot een dikte van 24mm. Voor kleinere delen staalplaat werd zacht staal gebruikt (type Martin) tot een dikte van 50mm. Alle staal dat werd gebruikt moest een minimum breuksterkte hebben van 38 kg/mm² ≈ 370 N/mm². Dit stemt overeen met het type S235. De kabels voor het dak dienden een minimum rekgrens te hebben van 110 kg/mm² ≈ 1,08kN/mm².

19

Corpelet, M. J., “Ossature métallique du Pavillon de la France à l’Exposition Internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 135-136 (1959): 282-290.; Lorin, Paul en Pierre Vallée, “La construction du pavillon de la France à l’Exposition internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 130 (1958): 1138-1154.

4 Lastenhypothese 4.1 Algemeen De berekeningen zullen gebeuren op de manier zoals dit gangbaar was in de jaren ’50, namelijk met de methode van toelaatbare spanningen. Dit gebeurt om de originele resultaten te kunnen vergelijken met de resultaten van dit werk.20 Indien het paviljoen zou berekend worden volgens de Eurocodes zouden er sowieso andere resultaten verkregen worden. Dit is het gevolg van de gebruikte veiligheidscoëfficiënten en van de rekenmethode. Er zal dus geen rekening gehouden worden met de breukgrenstoestand, maar enkel met de gebruiksgrenstoestand, wat overeenkomt met de methode van toelaatbare spanningen.21 Verder wordt er, voor de in dit werk berekende profielen, eenzelfde geometrie aangehouden als deze gebruikt in het paviljoen. 4.2 Sneeuw en wind22 De gebruikelijke waarde voor de sneeuwbelasting bedraagt 400 N/m². De windbelasting is niet zo eenvoudig af te lezen en moet berekend worden. De algemene ruwheid van de omgeving wordt beschouwd als klasse III23, wat overeenkomt met een landschap met bomen, hagen en lage gebouwen. De totale windkracht op een constructie wordt bepaald door:

W = ∑ w j ⋅A j j

Waarbij Aj de oppervlakte is van een horizontale strook van de wand, waarlangs w constant is en wj de winddruk is in een punt van de constructiewand, deze winddruk wordt berekend met onderstaande uitdrukking:

w = γ ⋅ α ( y ) ⋅ qb

met α ( y ) = ν 2 ⋅ (8 + ln

y y ) ⋅ ln y0 y0

Waarin γ de overdrukcoëfficiënt is en α(y) een factor waarin de variatie van vgem met y en de overschrijding van vgem door de maximale vlaagsnelheid verwerkt zijn. α(y) kan eveneens uit een grafiek worden afgeleid maar voor de juistheid van deze waarde, zal de formule 20

De vergelijking tussen de berekeningen in dit werk en de originele berekeningen gebeurt door de diktes van de gebruikte materialen te met elkaar te vergelijken. Deze diktes worden afgeleid uit documenten uit de literatuur en archieven (zie voetnoot 18). Het zou correcter zijn om de krachten te vergelijken, daar deze niet afhankelijk zijn van eventuele fouten gemaakt door materiaalkeuze,… maar aangezien de krachtswerking nergens wordt vermeld in de literatuur en de originele berekeningen nergens te vinden zijn, wordt deze methode gebruikt met eventueel kleine afwijkingen als gevolg. 21 Zowel in de methode van de toelaatbare spanningen als in de berekening volgens gebruiksgrenstoestand wordt een veiligheidscoëfficiënt = 1 gehanteerd. 22 Vandepitte, Daniël, Berekening van constructies I (Gent: E. Story-Scientia, 1979), 175-229. Daar de dakbedekking pas na de winter werd gemonteerd en het paviljoen vóór de volgende winter weer werd afgebroken, moest er in principe geen rekening gehouden worden met sneeuwbelasting. 23 Volgens de gangbare klassering uit 1958.

gehanteerd worden. Voor ruwheidsklasse III (v = 0,234 en y0 = 0,3 m) en op een hoogte van 35 m, wat het hoogste punt van het dak is, is α(y) = 3,3. De basisstuwdruk qb is te becijferen met onderstaande formule:

qb =

1 2 ρvb 2

De massadichtheid van lucht ρ = 1,226 kg/m³ en uit statistische analyse van de windsnelheden mag worden aangenomen dat de basiswindsnelheid vb voor België gelijk is aan 23,5 m/s. Hieruit volgt dat qb = 339 N/m². De winddruk in een punt van een constructiewand is dan: w = γ ⋅ 3,3 ⋅ 339[N m ² ] = 1120 ⋅ γ

De overdrukcoëfficiënt γ is eenvoudig te bepalen aan de hand van figuren en zullen verder in de berekeningen worden ingeroepen waar nodig.

5 Berekeningen - Dak24

Om de dimensionering en de krachtwerking van de kabels van het dak te begroten werd gebruik gemaakt van de methode van Heuchenne.25 Deze benaderingsmethode kan gebruikt worden voor anticlastische oppervlakken in de vorm van een hyperbolische paraboloïde (Figuur 19), waarvan de draag- en spankabels een regulier, orthogonaal mazenpatroon vertonen. Resultaten verkregen via deze methode werden voor andere voorbeelden reeds getoetst aan het softwareprogramma “Easy” dat de deugdelijkheid ervan bewees. De methode bestudeert telkens de centrale draag- en spankabels en dit onder twee extreme belastingsgevallen, nl. wind- en sneeuwbelasting.

Figuur 19: Algemene hypar met bijhorende notering

5.1 Belastingsgeval 1: wind Dit belastingsgeval is het referentiegeval waarvoor de zeeg fd (draagkabel) en de toog fs (spankabel) vastliggen in het ontwerp. Door inwerking van de wind, welke een zuigkracht induceert op de constructie, zullen de draagkabels minder spanning opnemen en de spankabels meer. Q en W in Figuur 20 zijn respectievelijk de kracht per knoop die de kabels onderling op elkaar uitoefenen en de kracht per knoop ontstaan door de windbelasting.

Figuur 20: Spanningsverdeling onder windbelasting 24

Van Impe, Rudy, Ruimtelijke Constructies (Cursus gedoceerd aan de eerste proef burgerlijk ingenieur, optie bouwkunde, aan de Universiteit Gent, 2005). 25 Methode dateert van na ’58 waardoor de bekomen waarden verschillend kunnen zijn van deze uit de originele berekeningen. Deze methode werd hier gebruikt doordat het eenvoudige en snelle karakter ervan toeliet om de berekeningen een aantal keer opnieuw te maken met telkens andere randvoorwaarden.

5.2 Belastingsgeval 2: sneeuw Hier wordt een derde factor ingevoerd die bepaald wordt door de ontwerper: de deflectie δ. Dit is een zekere afstand waarover de toog en de zeeg mogen uitwijken ten opzichte van de referentietoestand. Hieruit volgt: f’d = fd + δ en f’s = fs – δ. Door inwerking van sneeuwbelasting zullen de draagkabels grotere spanningen opnemen en de spankabels kleinere. Q’ en S in Figuur 21 zijn opnieuw respectievelijk de krachtswerkingen per knoop van de kabels onderling op elkaar en van de sneeuwbelasting.

Figuur 21: Spanningsverdeling onder sneeuwbelasting

De resulterende kracht in een draag- of spankabel, onder eender welke belasting, mag nooit een drukkracht zijn daar een kabel enkel trekspanningen kan opnemen. Wanneer de kabels niet meer onder trek zijn belast, zal het dak beginnen klapperen. Daarom is het nodig dat de kabels onder voorspanning worden gebracht zodat dit niet kan gebeuren. 5.3 Berekening Uit de vormgeving van het paviljoen en de verschillende archieven en documenten blijkt26: Ld = 106 m

Ls = 91,5 m

dd = 1,18 m

fd = 8,1 m

fs = 8,9 m

δ ≈ f/10 = 0,8 m

f’d = 8,9 m

f’s = 8,1 m

eg.: 200 N/m²

Wind = 1120 x 0,8 = 896 N/m²

fy = 110 kg/mm² = 1079.106 N/m²

ds = 1,36 m

Sneeuw = 400 N/m²

E = 21.1010 N/m²

Hoe de formules zijn opgesteld kan gevonden worden in betreffende literatuur. Hier zullen ze als algemeen aanvaard gebruikt worden.

26

Voor de windbelastin wordt hier gerekend met de berekende waarde van 896 N/m² wat voor de totale dakoppervlakte een kracht geeft van 10 752 kN ≈ 1096 ton. In de windtunneltesten die voor de originele berekeningen werden uitgevoerd werkte op het dak een kracht in van maximum 275 ton, wat een stuk minder is dan de waarde in dit werk, waardoor de berekening die nu gemaakt wordt een stuk veiliger is. Zie: Pris, M.R., “Etudes aérodynamiques II Le pavillon de la France à l’Exposition de Bruxelles 1958,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 137 (1959): 408-420.

(I)

q' d =

64 ⋅ E ⋅ f d' f d' '2 2 ⋅ ( f − f ) ⋅ A + ⋅ q d = 4,295.10 6 ⋅ Ad + 1,0988 ⋅ q d d d d fd 3 ⋅ L4d

(II)

q' s =

64 ⋅ E ⋅ f s' f s' '2 2 ⋅ ( f − f ) ⋅ A + ⋅ q s = −7,041.10 6 ⋅ As + 0,9101 ⋅ q s s s s 4 fs 3 ⋅ Ls

(III)

q d' ⋅ Ld Nd = = Ad ⋅ σ d 2 ⋅ sin α d'

⎛ 4 ⋅ f d' ⎜ tgα d' = ⎜ Ld ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ 4 ⋅ fs ⎜⎜ tgα s = Ls ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

→ tgα d' = 0,3358 → α d' = 18,5646° ⇒ 166,47 ⋅ q d' = 1079.10 6 ⋅ Ad (IV)

Ns =

q s ⋅ Ls = As ⋅ σ s 2 ⋅ sin α s

→ tgα s = 0,3891 → α s = 21,2596° ⇒ 126,17 ⋅ q s = 1079.10 6 ⋅ As (V)

qd ⋅ d d = Q = qs ⋅ d s − W ⇒ 1,18 ⋅ q d = 1,36 ⋅ q s − (896 − 200) ⋅ 1,18 ⋅ 1,36 144424443 1117

(VI)

q d' ⋅ d d − S = Q ' = q s' ⋅ d s ⇒ 1,18 ⋅ q d' − (400 + 200) ⋅ 1,18 ⋅ 1,36 = 1,36 ⋅ q s' 144424443 963

Om de hoeveelheid aan onbekenden te reduceren, werden de grootheden Q, Q’, W en S anders geformuleerd. Het komt erop neer dat men in plaats van met de kracht per knoop te rekenen, verderwerkt met een verdeelde belasting per kabel. Deze verdeelde belastingen worden als volgt becijferd:

qd =

Q dd

qs =

Q +W ds

q d' =

Q' + S dd

q s' =

Q' ds

In het stelsel van 6 vergelijkingen, staan eveneens 6 onbekenden waardoor het een unieke oplossing heeft27: 27

In de oplossing staan de krachten die inwerken op de kabels voor zowel wind- als voor sneeuwbelasting. Volgende berekeningen zullen bijgevolg steeds tweedelig zijn. Waarbij telkens zal worden nagegaan wat de consequenties zijn op de gehele structuur van de verschillende lasten.

q d = 283 N m q s = 1067 N m

Ad = 1,424.10 4 m² = 143mm²

q d' = 923 N m

As = 1,248.10 4 m² = 125mm²

q s' = 92 N m Naast bovenstaande randvoorwaarden (fd, fs en δ) werden er nog enkele andere waarden getest om een zo economisch mogelijk ontwerp te bekomen, een overzicht van enkele van deze waarden zijn opgenomen in Tabel 1. fd, fs en δ (m) 8,25 – 8,75 – 0,5 9 – 8 – 0,5 8–9–1

Ad (mm²) 244 238 106

As (mm²) 186 198 106

qd (N/m) 862 830 105

qs (N/m) 1570 1541 912

q’d (N/m) 1560 1634 692

q’s (N/m) 645 709 -107

Tabel 1

Wanneer de resultaten uit Tabel 1 vergeleken worden met de waarden waarmee wordt verdergerekend, zijn de waarden uit de tabel opvallend groter, waardoor ook de doorsnede van de kabels vergroot en het ontwerp minder economisch wordt.28 In de onderste rij van de tabel is er zelfs een negatieve waarde te vinden voor q’s. Dit wil zeggen dat deze kracht in dezelfde richting en zin werkt dan q’d wat ertoe kan leiden dat het dak onder een bepaalde lastencombinatie effectief begint te klapperen. Om grootte en aantal van de kabels te begroten, wordt teruggegrepen naar de originele uitvoering waar er kabels werden gebruikt van ø7mm.

Ak = π ⋅ 3,5 2 = 38,4845mm 2 Voor respectievelijk draag- en spankabels geldt:

Ad = 3,72 → 4 kabels Ak

As = 3,25 → 4 kabels Ak

5.4 Besluit In deze berekening wordt bekomen dat er slechts 4 kabels nodig zijn in de draag- en spanrichting. In het paviljoen werden 8 kabels gebruikt in de draagrichting en 6 in de spanrichting. Dit verschil kan te wijten zijn aan de rekenmethode. In dit werk werd gebruik gemaakt van de methode van Heuchenne, ook al dateert deze van na de wereldtentoonstelling. Voor de originele berekening werd een benaderende analytische berekening gemaakt met 12 28

Het is waarschijnlijk dat er economischere oplossingen dan de gevonden waarden bestaan. Maar uit de talrijke berekeningen die voor dit werk werden gemaakt, gaven deze het beste, meest economische resultaat.

vergelijkingen en evenveel onbekenden waarbij de voorspanning een ontwerpgegeven was. In dit werk werden er andere, eenvoudiger middelen gebruikt om de kabels, eveneens bij benadering, te begroten. Hierdoor kan het resultaat afwijken van het origineel. De kans is echter groter dat de winddruk aan de basis ligt van het verschil. In dit werk werd gerekend met een gemiddelde windsnelheid van 23,5 m/s waardoor een winddruk gevonden werd van 1120 · γ [N/m²] en γ afhankelijk was van de positie van het element t.o.v. de wind. In de originele berekening werd gerekend met een windsnelheid van 35 m/s, wat een veel hogere waarde is en dus veel grotere drukken teweegbrengt. Waarschijnlijk werd deze waarde zo hoog genomen om rekening te houden met windvlagen of –stoten. In deze berekening werd dit ingecalculeerd door α(y), een soort veiligheidsfactor in functie van de hoogte. Er bestaat dus een mogelijkheid dat het dak overgedimensioneerd is doordat werd gerekend met een veel grotere windsnelheid. De literatuur bevestigd deze stelling.29

29

Batellier, Jean-Pierre, Structures tendues et prétendues: réalisations structurales en cables (Cahiers du Centre d’Etudes Architecturales 5, Brussel: Centre d’Etudes Architecturales, 1967).

6 Berekening - randbalken

Op de randbalken werken verschillende krachten in. De belangrijkste hiervan zijn deze geïnduceerd door het kabelnetwerk. Deze krachten kunnen afgeleid worden uit qd, qs, q’d en q’s welke onder 5.3 becijferd werden. Een tweede kracht is deze afkomstig van de windbelasting op de gevel die overgedragen wordt op de staande vakwerken en zo afgeleid naar de randbalk en de grond. Een derde kracht die moet opgevangen worden is het eigengewicht van de balk en de laatste inwerkende kracht is deze afkomstig van de aanpalende randbalk. Deze laatste kracht zal na de combinatie van de eerste drie lasten verder worden uitgewerkt. 6.1 Krachten van het kabelnetwerk Via de gevonden waarden onder 5.3 kunnen de krachten, die inwerken op de randbalken, berekend worden. Onderstaande basisformule wordt gebruikt om de spankrachten van de kabel, geïnduceerd door de verticale krachten tussen de kabels onderling, te begroten. H=

q ⋅ L2 8⋅ f

De vertikale reactiekrachten V zijn eveneens eenvoudig te vinden via de evenwichtsreacties van de kabel. In Figuur 22 stellen de steunpunten de randbalken voor.

Figuur 22

Tabel 2 geeft een overzicht van de reactiekrachten zowel onder sneeuw- als windbelasting. Draagkabels

Spankabels

Tabel 2

Windbelasting 283 ⋅ 106 2 Hd = = 49kN 8 ⋅ 8,1 283 ⋅ 106 = 15kN Vd = 2 1067 ⋅ 91,5 2 Hs = = 125kN 8 ⋅ 8,9 − 1067 ⋅ 91,5 Vs = = −49kN 2

Sneeuwbelasting 923 ⋅ 106 2 H d' = = 146kN 8 ⋅ 8,9 923 ⋅ 106 Vd' = = 49kN 2 92 ⋅ 91,5 2 H s' = = 12kN 8 ⋅ 8,1 − 92 ⋅ 91,5 Vs' = = −4kN 2

Deze krachten liggen in dezelfde lijn als de kabel, voor een meer eenvoudige berekening worden ze ontbonden volgens X-, Y- en Z-richting (Zie figuren 23 en 24: planzicht). Wanneer de andere inwerkende krachten30 ook gevonden zijn, zullen ze ontbonden worden in 3 richtingen inherent aan de balk.

Figuur 23: Kabeldak met inwerkende krachten

Figuur 24: Krachtswerking en ontbinding in randbalk B2C2

6.1.1 Onder inwerking van wind H wx = 49kN ⋅ cos(40,785) − 125kN ⋅ cos(49,215) = −44,55kN

H wy = 49kN ⋅ sin (40,785) + 125kN ⋅ sin (49,215) = 126,65kN

Vwz = −(Vd + Vs ) = −15kN + 49kN = 34kN 30

Het eigen gewicht en de windbelasting op de gevel.

De gevonden waarden zijn slechts de krachten per kabel. Om verder te rekenen, worden deze omgezet in een verdeelde last. Uit de aangaande literatuur en plannen blijkt dat er aan elke randbalk 39 kabels zijn vastgehecht. De lengte van de randbalk volgt uit de plannen en bedraagt 72 meter. Aldus wordt gevonden dat: H ⋅ 39 q wx = wx = −24,1 kN m l q wy = 68,5 kN m q wz = 18,4 kN m 6.1.2 Onder inwerking van sneeuw H sx = 146kN ⋅ cos(40,785) − 12kN ⋅ cos(49,215) = 102,71kN

H sy = 146kN ⋅ sin (40,785) + 12kN ⋅ sin (49,215) = 104,46kN

Vsz = −(Vd' + Vs' ) = −49kN + 4kN = −45kN

Omgezet naar waarden voor een verdeelde belasting wordt bekomen: H ⋅ 39 q sx = sx = 55,6 kN m l q sy = 56,6 kN m q sz = −24,4 kN m 6.2 Eigengewicht Verondersteld wordt dat, evenals bij het kabeldak, het gewicht van de randbalk in dezelfde grootorde ligt zoals de uitgevoerde. Elke randbalk woog ongeveer 100 ton voor een lengte van 72m. Dit geeft: q egz =

100ton = 1389 kg m = −13,6 kN m 72m

6.3 Windbelasting op staande vakwerken Voor de krachtwerking van de staande vakwerken wordt verwezen naar 8 Berekening – Staande vakwerken. Initieel wordt het staand vakwerk beschouwd als een ligger op twee steunpunten met gelijkmatige belasting. De helft van deze inwerkende belasting wordt dus overgedragen naar de randbalk. Aangezien de staande vakwerken verschillend zijn van lengte (en dus ook een andere werkoppervlakte hebben) zal de balk aan de hoge staande vakwerken een grotere kracht moeten opnemen dan aan de kleinere (Figuur 25). De windbelasting die inwerkt op het geveloppervlak wordt becijferd zoals reeds werd aangegeven, waarin γ een waarde kan aannemen van +0,8/-0,6/-0,4; dit zijn de waarden

waarbij de wind respectievelijk een frontale stuwkracht, een zuigkracht van een zijwind of een zuigkracht achteraan een gebouw induceert.31 Voor volgende berekeningen worden enkel de twee extreme waarden gebruikt.

w = 1120 ⋅ γ w = 1120 ⋅ 0,8 = 898 N m 2 of w = 1120 ⋅ −0,6 = −673 N m 2 Aangezien de meewerkende geveloppervlakte per staand vakwerk lineair vergroot, zullen ook de krachten geïnduceerd door de wind lineair vergroten. Om nu het effect van deze krachten op de randbalk te onderzoeken, zullen enkel de reactiekrachten van de grootste en van het kleinste staand vakwerk berekend worden.

89m²

Figuur 25: Meewerkende oppervlakte van de uiterste staande vakwerken

De totale windbelasting wordt bekomen door w te vermenigvuldigen met de oppervlakte, aldus wordt Tabel 3 opgesteld waarin tevens een onderscheid wordt gemaakt tussen de stuwen zuigkracht. Kort staand vakwerk Hoog staand vakwerk

Stuwkracht (γ = +0,8) Wsky = 898 ⋅ 89 = 79,9kN

Zuigkracht (γ = -0,6) W zky = −673 ⋅ 89 = −59,9kN

Wshy = 898 ⋅ 174 = 156,3kN

W zhy = −673 ⋅ 174 = −117,1kN

Tabel 3: Totale windbelasting op de geveldelen

De grootste krachten worden logischerwijze gevonden in de hoogste staande vakwerken. De inwerkende krachten werken in dezelfde richting dan de horizontale krachten Hwy en Hsy. Wanneer de reactiekracht door zuiging wordt vergeleken met de horizontale krachten van het dak, valt het op dat de resulterende kracht sowieso een positieve kracht is. Hierdoor zal enkel verder gerekend worden met de stuwkracht, de balk zal nooit belast worden volgens de negatieve Y-as. − 117,1kN = −58,5kN → H sy − 58,5 = 104,46kN − 58,5kN = 45,96kN ≥ 0 2 31

Vandepitte, Daniël, Berekening van constructies I (Gent: E. Story-Scientia, 1979): 201.

De waarden uit Tabel 3 worden gebruikt om de verdeelde last op de randbalk te zoeken.

q sky

Kort staand vakwerk Wsky = = 7,428 kN m 2 ⋅ 5,3784

q shy

Hoog staand vakwerk Wshy = = 14,530 kN m 2 ⋅ 5,3784

7 ,4 2 8 k N /m L aag

1 4 ,5 3 0 k N /m H oog

Figuur 26

Figuur 26 toont de krachten die zullen inwerken op de randbalk onder invloed van de windbelasting op de staande vakwerken. Voor verdere berekeningen zal enkel rekening gehouden worden met de grootste waarde. 6.4 Combinatie van de lasten Alle belastingen worden samengevoegd en ontbonden volgens drie welbepaalde richtingen dewelke onderling niet loodrecht op elkaar staan. De ontbinding zal gebeuren in een component volgens de as van de randbalk Xb, een tweede component zal hier loodrecht opstaan, volgens de richting met het grootste inertiemoment Yb en een laatste component in de richting van de staande vakwerken Zb. De krachten werkend volgens Zb worden direct overgedragen op de staande vakwerken. De ruimtelijke hoeken die zo ontstaan werden gemeten in een grafisch programma. Figuur 27 toont de transformatie die de assen ondergingen.

Figuur 27: Ruimtelijke hoeken

De hoeken die de X-as met de Xb-, Yb- en Zb-as zijn respectievelijk α1, β1 en γ1. De hoeken die de Y-as en de Z-as met de nieuwe assen maken, hebben een analoge benaming en zijn opgenomen in Tabel 4. X Y Z

Xb α 1 = 13,70424404° α 2 = 90° α 3 = 103,70424404°

Yb β 1 = 92,42688618° β 2 = 10,29617462° β 3 = 100°

Zb γ 1 = 90° γ 2 = 79,99093024° γ 3 = 10,00906976°

Tabel 4: Ruimtelijke hoeken met de nieuwe assen

6.4.1 wind De verschillende krachten die inwerken worden samengeteld en volgens X, Y en Z geeft dit: x = q wx = −24,1 kN m y = q wy + q shy = 68,5 + 14,53 = 83,03 kN m z = q wz + q egz = 18,4 − 13,6 = 4,8 kN m Bemerk dat voor de windkracht enkel de grootste waarde is genomen. Dit omdat de windkracht relatief klein is ten opzichte van de krachten die het kabelnetwerk induceren. Door de grotere waarde te nemen vereenvoudigen we de berekening met slechts een kleine overschatting van het profiel tot gevolg. Op deze manier bekomen we ook een gelijkmatig verdeelde last volgens de Y-as met een symmetrisch profiel als positief gevolg. Ontbinding van de krachten volgens Xb, Yb en Zb: xb = x ⋅ cos(α 1 ) + y ⋅ cos(α 2 ) + z ⋅ cos(α 3 ) = −24,551 kN m y b = x ⋅ cos(β 1 ) + y ⋅ cos(β 2 ) + z ⋅ cos(β 3 ) = 81,880 kN m

z b = x ⋅ cos(γ 1 ) + y ⋅ cos(γ 2 ) + z ⋅ cos(γ 3 ) = 19,158 kN m 6.4.2 sneeuw

Dit is een analoge berekening dan deze voor windbelasting. x = qsx = 55,6 kN m y = qsy + qshy = 56,6 + 14,53 = 71,13 kN m z = qsz + qegz = −24,4 − 13,6 = −38 kN m Ontbonden volgens Xb, Yb en Zb geeft dit: xb = x ⋅ cos(α 1 ) + y ⋅ cos(α 2 ) + z ⋅ cos(α 3 ) = 63,020 kN m

y b = x ⋅ cos(β1 ) + y ⋅ cos(β 2 ) + z ⋅ cos(β 3 ) = 74,229 kN m

z b = x ⋅ cos(γ 1 ) + y ⋅ cos(γ 2 ) + z ⋅ cos(γ 3 ) = −25,059 kN m

6.5 Vierde kracht Voor de balk gedimensioneerd kan worden, moet de krachtswerking in deze balk nagegaan worden. De randbalk wordt voorgesteld als een balk met een mesoplegging aan de lage kant (de diagonaal kan ook horizontale krachten opnemen) en een roloplegging aan de hoge kant (de krachten in de Y-richting kunnen opgenomen worden door de aanpalende randbalk (Figuur 28)). Het is deze kracht die nog moet becijferd worden. Het is beter om dit pas te doen nadat de andere krachten waren ontbonden in de juiste richtingen volgens de balk aangezien deze laatste gezochte kracht direct in datzelfde vlak werken.

Figuur 28

Voor de reactiekrachten bepaald kunnen worden, dient de vierde inwerkende kracht Qw gekend te zijn. De hoek χ waaronder de twee randbalken ten opzichte van elkaar staan wordt wederom gemeten in een grafisch pragramma. Figuren 28 en 30a tonen respectievelijk een beeld van de twee randbalken in het paviljoen en de twee balken, schematisch voorgesteld, in het XbYb-vlak. 6.5.1 Wind

Figuur 29: Belaste blak onder windbelasting

Figuren 30a en 28b

De ontbinding volgens de Yb-assen van de balken levert: ⎫ ⎪ cos(11,3686) ⎪ 1 − sin (11,3686 ) ⋅ R2 y ⎬ → Qw = D − E = cos(11,3586 ) ⎪ E = R2 y ⋅ tg (11,3686) ⎪ ⎭ D=

R2 y

Teruggrijpend naar de balk (Figuur 29) kunnen volgende evenwichtsvergelijkingen uitgeschreven worden . R1 y + R2 y = 81,880 ⋅ 72 R1x = −24,551 ⋅ 72 + Qw M 1 = 0 = 81,880 ⋅

72 2 + R1x ⋅ 0,558 − Qw ⋅ 0,558 − R2 y ⋅ 72 2

De waarde 0,558 meter is de halve lengte van de laatste wandstaaf. Aangezien de kracht die daarop inwerkt verdeeld wordt over de hele randbalk, wordt voor het krachtenevenwicht verondersteld dat deze in het midden van de ‘staaf’ aangrijpt. Via het bekomen stelsel kunnen de reactiekrachten en Qw becijferd worden: R1 y = 2961,379kN R2 y = 2933,981kN R1x = 635,106kN Qw = 2402,778kN

6.5.2 Sneeuw De berekening onder sneeuwbelasting is analoog aan deze onder windbelasting (Figuur 31).

Figuur 31: Belaste balk onder sneeuwbelasting

Dit geeft: ⎫ R = 2637,079kN 1y ⎪ R1 y + R2 y = 74,229 ⋅ 72 ⎪⎪ R2 y = 2707,409kN R1x = 63,020 ⋅ 72 + Qs ⎬→ ⎪ R1x = 6754,668kN 2 72 M 1 = 0 = 74,229 ⋅ + R1x ⋅ 0,558 − Qs ⋅ 0,558 − R2 y ⋅ 72⎪⎪ Qs = 2217,228kN 2 ⎭ 6.6 Krachtswerking in de randbalk De oorspronkelijke vorm van de randbalk wordt gebruikt om deze te begroten. De bovenrand van het vakwerk beschrijft een parabool. Om het rekenwerk te vereenvoudigen, wordt deze door lijnstukken voorgesteld zonder hierdoor een grote fout te maken. De berekening gebeurt initieel volgens ontbinding van krachten, maar aangezien dit een vrij intensief werk is, zal voor de andere delen van het vakwerk gebruik gemaakt worden van de grafische methode waarbij steeds kleine krachtendiagramma’s worden opgesteld. Figuur 32 geeft de geometrie en de knooppunten van de randbalk weer.

Figuur 32: Schematische tekening van de randbalk

Alvorens verder te gaan moet eerst de kracht gezocht worden die inwerkt op elk van de 25 knopen van de randbalk onder invloed van de horizontale en de vertikale verdeelde belasting. Wind De vertikale en horizontale belasting per knoop zijn:

81,880 ⋅ 72 = 235,814kN 25 24,551 ⋅ 72 = = 70,707kN 25

Vwk = H wk

Figuur 33 geeft dit krachtenspel weer.

2 = 246,186kN Qwk = Vwk2 + H wk

tgϕ w =

Vwk → ϕ w = 73,3090° H wk

Figuur 33

Sneeuw De vertikale en horizontale belasting per knoop zijn:

74,229 ⋅ 72 = 213,780kN 25 63,020 ⋅ 72 = = 181,498kN 25

Vsk = H wk

Figuur 34 geeft dit krachtenspel weer.

Qsk = Vsk2 + H sk2 = 280,434kN tgϕ s =

Vsk → ϕ s = 49,6689° H sk

Figuur 34

De methode der ontbinding van krachten wordt geïllustreerd voor knooppunten a, b en c onder windbelasting. Alle andere waarden voor wind- en sneeuwbelasting zijn opgenomen in Tabel 5. Een trekkracht wordt als positief beschouwd.

* Knooppunt a

X : N ac = 317,553kN Y : N ab = 2961,379kN

* Knooppunt b

X : N be ⋅ cos α 1 + N bc ⋅ cos β 1 + 317,553 = 0 Y : 2961,379 + N be ⋅ sin α 1 = N bc ⋅ sin β1 Uit het evenwicht volgens X volgt : N be =

− 317,553 − N bc ⋅ cos β1 cos α 1

Invullen in evenwicht volgens Y levert : N bc = 5671,340kN N be = −5640,915kN

* Knooppunt c

X : 5671,340 ⋅ cos β 1 = N ce ⋅ cos γ 1 + 317,553 + N cd + 246,186 ⋅ cos ϕ Y : 246,186 ⋅ sin ϕ = 5671,340 ⋅ sin β 1 + N ce . sin γ 1 Hieruit kan N ce rechtstreeks bepaald worden : N ce = −3270,655kN N cd = 7545,454kN

In kN Nac Ncd Ndf Nfg Ngi Nij Njl Nlm Nmo Nop Npr Nrs Nsu Nus’ Ns’r’ Nr’p’ Np’o’ No’m’ Nm’l’ Nl’j’ Nj’i’ Ni’g’ Ng’f’ Nf’d’ Nd’c’ Nc’a’

Wind -317,553 7545,454 7474,747 8923,736 8853,029 8870,013 8799,306 8773,549 8702,842 8659,480 8588,773 8535,699 8464,992 8407,863 8336,675 8277,061 8206,354 8144,392 8074,560 8011,802 7941,095 7879,212 7808,505 6417,572 6346,865 -1201,389

Sneeuw -3377,334 2538,756 2720,254 3623,811 3805,308 3749,068 3930,566 3991,211 4172,709 4281,058 4462,556 4595,044 4776,542 4923,973 5105,471 5262,435 5443,933 5606,997 5788,495 5956,928 6138,426 6313,331 6494,829 5449,301 5630,799 -1108,614

Nab Nde Ngh Njk Nmn Npq Nst Ns’t’ Np’q’ Nm’n’ Nj’k’ Ng’h’ Nd’e’ Nb’a’

235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814 235,814

213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780 213,780

Tabel 5

6.7 Begroting van de profielen

In kN Nbe Neh Nhk Nkn Nnq Nqt Ntt’ Nt’q’ Nq’n’ Nn’k’ Nk’h’ Nh’e’ Ne’b’

Wind -5640,915 -9466,050 -10087,825 -10055,353 -10026,319 -10010,817 -10013,748 -10038,677 -10086,436 -10159,254 -10263,641 -9778,360 -6241,259

Sneeuw -7300,309 -9837,982 -9953,021 -9692,263 -9537,109 -9442,165 -9389,509 -9372,359 -9386,274 -9430,335 -9509,082 -9048,507 -5781,579

Nbc Nce Nef Nfh Nhi Nik Nkl Nln Nno Noq Nqr Nrt Ntu Nut’ Nt’r’ Nr’q’ Nq’o’ No’n’ Nn’l’ Nl’k’ Nk’i’ Ni’h’ Nh’f’ Nf’e’ Ne’c’ Nc’b’

5671,340 -3270,655 1286,877 -688,734 210,965 98,225 173,614 106,929 157,874 111,507 149,270 115,295 146,873 116,247 147,430 116,926 148,664 119,829 155,292 122,762 170,852 129,388 -572,807 1139,175 -3067,627 5358,450

4141,492 -2316,218 681,152 -243,341 -76,882 327,765 2,041 244,686 39,878 201,922 63,107 176,036 80,879 157,657 95,641 144,286 107,632 136,422 122,249 130,778 143,907 129,632 -536,813 1055,065 -2830,286 4933,731

De waarden in Tabel 5 zijn geordend volgens de plaats die ze innemen in het vakwerk, respectievelijk de onderste randstaven, de vertikale wandstaven, de bovenste randstaven en tenslotte de schuine wandstaven. Om de profielen te begroten wordt enkel het deel vanaf knooppunt f tot knooppunt f’ bekeken. De staven langs de rand zijn immers stukken groter doordat ze een grote invloed kennen van de externe krachten en de reactiekrachten. In het gerealiseerde paviljoen werden deze staven dan ook vervangen door zwaardere elementen die de dwarskrachten konden opvangen. Om de doorsnede van de profielen te zoeken, worden de krachten in de onderdelen voor wind- en sneeuwbelasting vergeleken. De grootste waarde uit tabel 5 wordt genomen om verder mee te rekenen. 6.7.1 Onderste randstaven De grootste normaalkracht hierop inwerkend bevindt zich in staaf fg onder windbelasting, de vloeigrens is bekend (fy = 235 N/mm²) dus kan de oppervlakte van de doorsnede berekend worden. N fg = 8923,736kN An =

N fg fy

= 37.973mm 2

Er wordt gebruik gemaakt van een open kokerprofiel met als dimensies 900x900mm, de dikte t is de gezochte waarde.32

Arb = 2 ⋅ 900 ⋅ t + (900 − 2 ⋅ t ) ⋅ t = 37973 = An Waaruit Praktisch

t t = 14,2137 mm t p = 15mm

6.7.2 Vertikale wandstaven 32

Deze dimensies zijn door de samensteller van dit werk afgeleid uit het beschikbare beeld- en planmateriaal en kan afwijken van de effectieve waarden. De afmetingen konden bepaald worden door de exacte afmetingen van de staande vakwerken te meten, foto’s van deze profielen te verschalen naar de gevonden exacte afmetingen en zo de gezochte waarden te meten. Zie: Centre des Archives du Monde de Travail (CAMT); 78, boulevard du Général Leclerc - BP 405 59 057 Roubaix Cedex 1; Dossiers: 152 AQ 260 tot 263.; Archives Nationales du XXième siècle; 127-129, rue de tolbiac - 75013 Paris; dossiers niet geïnventariseerd.

De krachten in deze ‘staven’ zijn steeds evengroot voor elk belastingsgeval. Onder windbelasting is deze kracht het grootst. De profielen zijn als volgt eenvoudig te berekenen.

N = 235,814kN , An = 1003mm 2

Av = (900 − 2 ⋅ 15) ⋅ t = 1003 = An

Waaruit t t = 1,1529mm Praktisch t p = 2mm

6.7.3 Bovenste randstaven Hier zijn enkel drukkrachten terug te vinden met Nk’h’ als grootste waarde onder windbelasting. Voor de bovenste staven wordt gebruik gemaakt van hetzelfde profiel als voor de onderste, waardoor: N hk = 10263,641kN An =

N hk = 43675mm 2 fy

Arb = 2 ⋅ 900 ⋅ t + (900 − 2 ⋅ t ) ⋅ t = 43675 = An Waaruit t t = 16,3745mm Praktisch t p = 20mm Aangezien deze profielen onderworpen zijn aan druk, moet nagekeken worden of er geen gevaar is voor uitknikken. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van de formule voor de kritische knikspanning. Om knik te voorkomen moet deze kritische knikspanning groter zijn dan deze aanwezig in het profiel. π2 ⋅E⋅I Pcr = l k2 Met lk = 5638mm. Het inertiemoment moet wel nog berekend worden, dit gebeurt rond de zwakke as van het profiel aangezien de staaf rond deze as het minst sterk is. 3 ⎛ 900 20 ⎞ 20 ⋅ (900 − 20) I = 2 ⋅ 900 ⋅ 20 ⋅ ⎜ − ⎟+ = 1151626667mm 4 2 ⎠ 12 ⎝ 2 Hiermee wordt de kritische spanning berekend. π 2 ⋅ 21.10 4 ⋅ 878390156,3 Pcr = = 75090kN 5638 2

Deze waarde is beduidend groter dan de kracht Nhk die erop inwerkt, er zijn dus geen knikproblemen te verwachten. 6.7.4 Schuine randstaven Deze staven zijn ontworpen als driehoeksvakwerken. Als voorbeeld werd staaf fh genomen met onderstaande geometrie (Figuur 35). Hieruit valt af te leiden dat de schuine staven geen rechtstreekse belastingen zullen opnemen.33 Deze zijn dus enkel geplaatst om in de horizontale staven knik te voorkomen. De reden dat er voor een vakwerk werd gekozen, is enkel een esthetisch aspect, men had ook hier een volle plaat (cfr. vertikale wandstaaf) kunnen gebruiken, maar dan zou het paviljoen veel zwaarder geoogd hebben.

Figuur 35

6.8 Besluit Hoewel er van de randbalken weinig informatie teruggevonden werd, kan aan de hand van foto’s afgeleid worden dat de in dit werk berekende profielen kleiner zijn gedimensioneerd dan de originele. Dit is natuurlijk het logische gevolg van het feit dat er in de berekening van het dak reeds een verschil zat op de krachten.34 De berekening van de randbalk houdt namelijk enkel de krachtsbepaling in een driehoeksvakwerk in, waardoor er weinig of geen fouten kunnen gemaakt worden, daar eender welke gebruikte methode (al dan niet grafisch) dezelfde staafkrachten als uitkomst heeft.

33

Dit kan eenvoudig worden aangetoond door een krachtendiagramma van knoop 1 uit te schrijven. Hieruit zal blijken dat N12 = 0. Wanneer dan ook een krachtendiagramma van knoop 2 wordt uitgeschreven, blijkt dat N23 = 0. Zo kan voor elke wandstaaf bekomen worden dat N=0. 34 De overdimensionering die gebeurde op het dak, wordt logischerwijze doorgetrokken op de hele structuur. Er kan dus bij de berekening van volgende elementen eveens verwacht worden dat de profielen berekend in dit werk groter zullen zijn dan de origineel gebruikte profielen.

7 Berekening - axiale balk

De axiale balk is eigenlijk een combinatie van twee randbalken. Er werken dezelfde krachten op in met uitzondering van de windbelasting op de staande vakwerken. Doordat de axiale balk enkel ondersteund wordt aan de uiteinden en niet tussenin zoals de randbalken, werken er ook vertikale krachten op in, en zal hiermee rekening moeten worden gehouden bij de berekening. Zoals reeds vermeld onder 2.3 zullen enkel de inwerkende krachten en de reactiekrachten begroot worden. De inwerkende krachten zijn: 1. Geïnduceerd door het kabelnetwerk 2. Eigengewicht 3. Onderlinge invloed van de randbalken 7.1 Krachten van het kabelnetwerk Deze kunnen overgenomen worden uit 6.1 aangezien de overeenkomst met de randbalk er is. De verdeelde lasten zijn nogmaals opgenomen in tabel 635 De krachten worden verdubbeld aangezien de balk grenst aan de twee hypars. X Y

Wind q wx = −48,2kN / m q wy = 0kN / m

Sneeuw q sx = 111,2kN / m q sy = 0kN / m

Z

q wz = 36,8kN / m

q sz = −48,8kN / m

Tabel 6

7.2 Eigengewicht Ook hier wordt weer verondersteld dat het eigengewicht van de axiale balk in dezelfde grootte-orde ligt zoals het uitgevoerde project. De axiale balk woog ongeveer 140 ton voor een lengte van 72m. Dus: q egz =

140ton = 1944 kg m = −19,1 kN m 72m

7.3 Combinatie van de lasten Evenals bij de randbalken zullen voorgaande krachten samengesteld worden alvorens de onderling werkende kracht te becijferen. De ontbinding zal dan weer net iets anders zijn. De kracht zb zal nu niet gericht zijn volgens de staande vakwerken, maar loodrecht op het vlak 35

De krachten volgens de Y-richting worden hier neergeschreven als 0, dit komt omdat de krachten in deze richting van de twee hypars elkaar opheffen onder hetzelfde belastingsgeval. In werkelijkheid treed er in de balk in de X-richting een trekkracht op van 68,5 kN/m of van 56,6 kN/m voor respectievelijk wind- of sneeuwbelasting.

van de axiale balk. Ook de kracht yb zal een andere richting aannemen, nl de horizontale. De enige hoeverdraaiing die hiermee gepaard gaat, gebeurt om de Y-as en bedraagt α = 13,65041913° (Figuur 36).

Figuur 36

7.3.1 Wind x = q wx = −48,2 kN m z = q wz + q egz = 36,8 − 19,1 = 17,7 kN m Omgezet: x ax = x ⋅ cos(13,64041913) − z ⋅ sin (13,64041913) = −51,015 kN m z ax = x ⋅ sin (13,64041913) + z ⋅ cos(13,64041913) = 5,834 kN m

7.3.2 Sneeuw x = q sx = 111,2 kN m z = q sz + q egz = −48,8 − 19,1 = −67,9 kN m Omgezet: x ax = x ⋅ cos(13,64041913) − z ⋅ sin (13,64041913) = 124,076 kN m

z ax = x ⋅ sin (13,64041913) + z ⋅ cos(13,64041913) = −39,761 kN m

7.4 Kracht geïnduceerd door de randbalken

Figuur 37

In de twee aangrenzende randbalken werken de krachten in volgens de Xb-, Yb- en Zb-richting (Figuur 37). Deze volgens Zb kunnen reeds verwaarloosd worden daar verondersteld werd dat deze rechtstreeks op de staande vakwerken werden overgedragen. Wanneer de krachten in de andere twee richtingen samengesteld worden, valt op te merken dat de samengestelde krachten in de Yax-richting elkaar opheffen zodat de resultante in deze richting gelijk is aan 0. De resterende krachten hebben wel nog een ontbondene volgens Xax en Zax. Xb Yb

Xax 86,79721873 23,7665672

Zax 103,31049731 66,37301393

7.4.1 Wind x ax = 2 ⋅ xb ⋅ cos(86,79721873) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(23,7665672) = 147,129 kN m

z ax = 2 ⋅ xb ⋅ cos(103,31049731) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(66,37301393) = 76,936 kN m

De resulterende kracht inwerkend op de axiale balk onder windbelasting bedraagt dan : x ⋅ 72 Fxax = ax = 5296,644kN 2 z ⋅ 72 Fzax = ax = 2769,696kN 2

7.4.2 Sneeuw x ax = 2 ⋅ xb ⋅ cos(86,79721873) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(23,7665672) = 142,910 kN m

z ax = 2 ⋅ xb ⋅ cos(103,31049731) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(66,37301393) = 30,481 kN m

De resulterende kracht inwerkend op de axiale balk onder sneeuwbelasting bedraagt dan : x ⋅ 72 Fxax = ax = 5144,760kN 2 z ⋅ 72 Fzax = ax = 1097,316kN 2

8 Berekening - staande vakwerken

8.1 Algemeen Als voorbeeld zal de krachtswerking in één staand vakwerk berekend worden. Logischerwijze is de berekening voor de andere staande vakwerken analoog. Om de krachten in de staven te bepalen, zal gebruik gemaakt worden van het diagram van Cremona, zoals ook gebeurd is bij de originele berekening. Als voorbeeld zullen de krachten in staand vakwerk PO6 gezocht worden. 8.2 Onder winddruk De gevel wordt eerst aanzien alsof hij zich aan de loefzijde van het gebouw bevind. Hiervoor geldt: w = 898 N/m². De oppervlakte op dewelke de wind inwerkt wordt gemeten op een horizontale projectie van de gevel. De krachten opgewekt door de wind staan loodrecht op de gevel en worden via het raster in de gevel afgevoerd naar de knooppunten van de vakwerken. Het eigengewicht van de polyester golfplaten is zodanig klein in vergelijking met de windkrachten, dat deze mogen verwaarloosd worden. Zo wordt een relatief eenvoudig diagram van Cremona bekomen waarbij de fout door vereenvoudiging miniem is. Verder werkt er nog een kracht in op de staande vakwerken afkomstig van de randbalk. De grootte en zin van deze kracht, zoals beschreven onder 6.4, is afhankelijk van het belastingsgeval (Figuur 38).

Figuur 38

8.2.1 Wind Het staand vakwerk draagt een breedte van 5,3784m in het vlak van de gevel. De randbalk is onderhevig aan een opwaarts gerichte kracht. Het staand vakwerk moet verhinderen dat de balk teveel zou uitwijken naar boven en komt dus onder trekspanning te staan. De inwerkende kracht F levert: F = z b ⋅ 5,3784 = 19,158 ⋅ 5,3784 = 103,040kN

Ervan uitgaande dat de twee eindpunten van het vakwerk elk een evengrote last opnemen, wordt bekomen: F1 = F2 =

103,040 = 51,520kN 2

Voor alle belastingen die bovenaan het driehoeksvakwerk aangrijpen, wordt aangenomen dat elk eindpunt een evengroot deel opneemt. De twee punten zijn immers verbonden door de randbalk waardoor de inwerkende krachten verdeeld worden over deze twee staven. Op deze manier wordt ook verondersteld dat de windkracht die bovenaan inwerkt wordt verdeeld over de twee staven en dat de reactiekrachten R2x en R3x evengroot zijn. Alle inwerkende krachten zijn hiermee gedefiniëerd en er kan overgaan worden tot het bepalen van de reactiekrachten R1x, R2x, R3x en R3y. R1 y = −51,520 − 51,520 = −103,04kN ⎫ ⎪ R1x + R2 x + R3 x = 115,591kN R2 x = R3 x = 34,903kN ⎪ ⎬ M 1 = wi ⋅ y i + 51,520 ⋅ x − (R2 x + R3 x ) ⋅ y = 0 R1x = 115,591 − 2 ⋅ 34,903 = 45,785kN ⎪ ⇒ − (R2 x + R3 x ) ⋅ 24,305 = −1696,66 ⎪⎭

Alle nodige krachten die inwerken op het vakwerk zijn nu gekend waardoor het diagram van Cremona kan worden opgesteld. 8.2.2 Sneeuw Voor het belastingsgeval sneeuw volgt wederom dezelfde procedure. Deze keer is de kracht F naar beneden gericht waardoor het vakwerk onder druk komt te staan. F = z b ⋅ 5,3784 = −25,059 ⋅ 5,3784 = −134,780kN

De krachten op de uiteinden van het vakwerk zijn: F1 = F2 =

− 134,780 = −67,390kN 2

De reactiekrachten onder sneeuwbelasting: R1 y = 67,390 + 67,390 = 134,780kN ⎫ ⎪ R1x + R2 x + R3 x = 115,591kN R2 x = R3 x = 21,043kN ⎪ ⎬ M 1 = wi ⋅ y i − 67,390 ⋅ x − (R2 x + R3 x ) ⋅ y = 0 R1x = 115,591 − 2 ⋅ 21,043 = 73,505kN ⎪ ⇒ − (R2 x + R3 x ) ⋅ 24,305 = −1022,91 ⎪⎭ 8.3 Onder zuiging Nu wordt de gevel belast alsof hij zich aan de zijkant van het gebouw bevindt.36 Dit zal andere waarden geven aan de krachten daar de krachten opgewekt door de wind in de tegengestelde richting werken. Voor de waarde van de windbelasting kon genomen worden: w = -673 N/m². 8.3.1 Wind De inwerkende krachten onder invloed van de randbalken zijn dezelfde als deze in bovenstaande berekening. Dezelfde vergelijkingen kunnen opgesteld worden en zo kunnen ook hier de reactiekrachten en het diagram van Cremona worden opgesteld. R1 y = −51,520 − 51,520 = −103,04kN ⎫ ⎪ R1x + R2 x + R3 x = −86,629kN R2 x = R3 x = −15,652kN ⎪ ⎬ M 1 = wi ⋅ y i − 51,520 ⋅ x + (R2 x + R3 x ) ⋅ y = 0 R1x = −86,629 − 2 ⋅ −15,652 = −55,325kN ⎪ ⇒ (R2 x + R3 x ) ⋅ 24,305 = −760,86 ⎪⎭

8.3.2 Sneeuw Dezelfde redenering geldt als beschreven onder het deel wind. R1 y = 67,390 + 67,390 = 134,780kN ⎫ ⎪ R1x + R2 x + R3 x = −86,629kN R2 x = R3 x = −29,513kN ⎪ ⎬ M 1 = wi ⋅ y i + 67,390 ⋅ x + (R2 x + R3 x ) ⋅ y = 0 R1x = −86,629 − 2 ⋅ −29,513 = −27,603kN ⎪ ⇒ (R2 x + R3 x ) ⋅ 24,305 = −1434,61 ⎪⎭

De diagrammen van Cremona voor bovenstaande belastingsgevallen zijn respectievelijk opgenomen in bijlage 7 tot bijlage 10. Alle staafkrachten van alle combinaties zijn opgenomen in onderstaande tabel (Tabel 7). De positieve waarden in de tabel zijn trekkrachten. 36

Door de zijkant van het gebouw te nemen (ten opzichte van de wind) in plaats van de lijzijde, wordt gerekend met een grotere windbelasting aangezien de overdrukcoëfficiënt γ voor een zijwind = -0,6, terwijl dit aan de lijzijde slechts -0,4 is.

Druk

Zuiging

BJ BL BN BP BR BS

Wind 16,87 -23,13 -58,27 -84,51 -91,63 -96,40

Sneeuw -90,32 -125,59 -153,96 -169,48 -158,22 -166,47

Wind 72,84 99,05 119,98 131,26 121,78 128,13

sneeuw -45,43 -14,00 14,40 37,28 48,29 50,80

HI GK FM EO DQ CS

45,94 75,30 114,59 149,10 174,78 181,87

-61,85 -34,98 -0,33 27,52 42,96 31,71

51,52 31,50 5,76 -14,81 -25,88 -16,57

-67,39 -90,16 -121,03 -148,93 -171,40 -182,21

IJ JK KL LM MN NO OP PQ QR RS

65,53 -42,20 63,37 -30,47 50,65 -17,82 34,38 -3,50 8,51 17,33

59,95 -37,21 55,88 -24,59 40,88 -10,67 20,59 5,62 -13,67 29,94

-44,67 27,66 -41,53 18,15 -30,18 7,66 -14,77 -4,65 11,31 -23,04

-50,82 33,15 -49,78 24,63 -40,94 15,54 -29,97 5,41 -13,15 -9,13

Tabel 7: Staafkrachten met aanduiding van de grootste optredende krachten per staaf

8.4 Begroting van de doorsnede Om rekening te houden met het economische aspect en de eenvoud van de spanten, wordt er één dikte genomen voor de wandstaven, alsook voor de binnenste en de buitenste randstaven. In analogie met de randbalk, worden in de tabel de waarden gezocht van de grootste krachten per type buis. Er zal van worden uitgegaan dat de staven dezelfde buitendiameter hebben dan oorspronkelijk bedoeld was. Aangezien er hier relatief weinig staafkrachten zijn, zal de benodigde oppervlakte An en de buisdikte t voor elke staaf berekend worden. Deze waarden zijn opgenomen in Tabel 8. 8.5 Knik Om na te gaan of er in de staven waar druk heerst geen knikgevaar is, wordt ook hier de kniklengte berekend. Ook zijn deze waarden opgenomen in Tabel 8. Er is slechts één staaf (gemarkeerd in de tabel) waar er gevaar heerst voor knik. Hier zal het nodig zijn deze een grotere dikte te geven. ∅178

Nmax (kN)

An = Nmax/fy

t (mm)

I (mm4)

Pcr (kN/mm²)

BJ BL BN BP BR BS ∅178 HI GK FM EO DQ CS ∅101 IJ JK KL LM MN NO OP PQ QR RS

-90,32 -125,59 -153,96 -169,48 -158,22 -166,47

354,1961 492,5098 603,7647 664,6275 620,4706 652,8235

0,636 0,885 1,086 1,197 1,117 1,175

1 1 1,5 1,5 1,5 1,5

2177677,415 2177677,415 3239042,425 3239042,425 3239042,425 3239042,425

552,9962739 272,266812 404,965285 404,965285 404,965285 215,6352408

-67,39 -90,16 -121,03 149,10 174,78 -182,21

264,2745 353,5686 474,6275 584,7059 685,4118 714,5490

0,474 0,635 0,853 1,052 1,234 1,287

1 1 1 1,5 1,5 1,5

2177677,415 2177677,415 2177677,415 3239042,425 3239042,425 3239042,425

573,2410116 282,2342911 282,2342911 419,7907534 419,7907534 247,4250329

65,53 -37,21 63,37 -30,47 50,65 -17,82 34,38 5,62 -13,67 29,94

256,9804 165,4902 248,5098 119,4902 198,6275 69,8824 134,8235 22,0392 53,6078 117,4118

0,816 0,524 0,789 0,378 0,630 0,221 0,427 0,070 0,169 0,371

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516 392738,3516

20,76229726 31,78471567 19,5664283 44,11690294 23,63321153 65,31292408 28,60641759 106,4596325 34,43583457 203,4990386

Tabel 8

8.6 Besluit Ook hier zit er een verschil tussen de twee berekeningen. De randstaven hadden in het paviljoen een dikte variërend van 4 tot 6 millimeter. Alweer kan dit verschil verklaard worden doordat de inwerkende kracht F, opgewekt door de kabels, een kleinere waarde aanneemt dan in de originele berekeningen. Ook de rechtstreekse invloed van de windbelasting op de gevel speelt hier een belangrijke rol. Doordat de winddruk in dit werk een kleinere waarde aanneemt zijn de krachten per knoop ook kleiner in vergelijking met de originele berekeningen.

9 Berekening - diagonalen en pijl

Deze 3 onderdelen vormen samen met het auditorium de basis van de structuur. Om krachtswerking te berekenen, zal de structuur als geheel beschouwd worden als een ruimtelijk vakwerk. Voor de berekening zullen enkele logische stappen elkaar opvolgen, zijnde: 1. Vakwerk definiëren 2. Inwerkende krachten en reactiekrachten 3. Krachtswerking in de staven 4. Begroting van de staven Er dient bij de berekening ook rekening mee gehouden worden dat er op de pijl een windbelasting aanvat. Aangezien de pijl hoger is dan de rest van het paviljoen, worden er andere waarden gebruikt dan deze onder 3.2. Om de meest negatieve lastenverdeling te kennen, zullen er aparte berekeningen gebeuren voor de reactiekrachten geïnduceerd door de windbelasting op de pijl en de andere belastingen geïnduceerd door het dak. Nadat de aparte berekeningen gebeurd zijn, zullen de beide gevallen gecombineerd worden om de meest nadelige van de verschillende combinaties te vinden en met deze waarden de profielen te dimensioneren. 9.1 Vakwerk definiëren De aslijnen van de staven en profielen worden uit de originele tekeningen afgeleid en in een tekenprogramma ingevoerd. Figuur 39a toont de algemene configuratie van deze structuur.

Figuur 39a en 39b

Voor de reactiekrachten van het totaal te bepalen zal dit ruimtelijk vakwerk vereenvoudigd worden tot een schema van 3 lijnen (2 diagonalen + de pijl) die samenkomen in één knoop, dewelke het knooppunt boven de centrale steun moet voorstellen. Dit wordt voorgesteld in Figuur 39b. Elk knooppunt van het vakwerk heeft een eigen identiteit. Een overzicht hiervan is bijgevoegd als Bijlage 11. Hierop is tevens aangebracht welke krachten steunpunten kunnen opnemen. 9.2 Inwerkende krachten en reactiekrachten De inwerkende krachten bestaan uit de windbelasting, het eigengewicht van de onderdelen en van het auditorium en de reactiekrachten die de randbalken en de axiale balk aan de ‘opleggingen’ overdragen.

9.2.1 Windbelasting37 Er wordt gebruik gemaakt van dezelfde formules als onder 3.2. Volgende waarden worden bekomen: y = 64m

waardoor α ( y ) = 3,9

w = γ ⋅ 3,9 ⋅ 339 = 1322 ⋅ γ

Nu zijn er drie verschillende belastingsgevallen te onderscheiden onder invloed van de wind op de pijl. Er kan een frontale zuigkracht, een frontale stuwkracht of een zijdelingse stuwkracht op inwerken. De drie gevallen zullen worden uitgewerkt om later de meest nadelige te bepalen. A Frontale zuigkracht Dit belastingsgeval vindt plaats wanneer er een zuiderwind inwerkt op het paviljoen. Hierdoor zullen de steunpoten een drukbelasting moeten opnemen. De oppervlakte waarop de wind inwerkt wordt gemeten volgens horizontale projectie en de krachten staan loodrecht op de as van de pijl gericht. Voor een zuigkracht geldt dat γ = -0;4. 2 w = 1322 ⋅ −0,4 = −528,8 kN m ⎫ ⎬ F = −70,024kN Opp. = 132,42m² ⎭ De lengte van de as bedraagt 79,4m waardoor :

q=

− 70,024kN = −881,9 N m 79,4m

Er wordt, door de symmetrie van het gebouw, verondersteld dat de krachten aan de eindsteunpunten evengroot zijn. Dit betekent dat zd1 = zd2 en td1 = td2.

37

In deze berekeningen wordt verondersteld dat de krachten Zd1 en Zd2 vertikaal zijn gericht, dit in tegenstelling tot de berekeningen van de andere krachten die later in dit werk volgen. Dit mag aangezien de krachten onder invloed van de wind relatief klein zijn ten opzichte van de andere krachten. Ook de hoek die kracht met de vertikale werkelijk maakt is zeer klein (<1,5°) waardoor de fout op de totale kracht zeer gering is. Er werd gerekend met vertikale krachten omdat deze het rekenwerk sterk vereenvoudigen.

X : x k + t d 1 ⋅ cos(49,21555559 ) − t d 1 ⋅ cos(49,21555559) = 0 → xk = 0 Y : y k + 140,047 ⋅ cos(48,8269189 ) + 2 ⋅ t d 1 ⋅ sin (49,21555559 ) = 0 Z : z k + 140,047 ⋅ sin (48,8269189 ) + 2 ⋅ z d 1 = 0

M X : 140,047 ⋅ 39712,4564 − 2 ⋅ z d 1 ⋅ 60088,5977 + 2 ⋅ t d 1 ⋅ sin (49,21555559 ) ⋅ 3507,9343 = 0

M Zd : 140,047 ⋅ cos(48,8269189 ) ⋅ 69651,5319 + y k ⋅ 69651,5319 + t d 1 ⋅ 103672,199 = 0 144 4444444444444442444444444444444443 y k = −92,198kN z k = −197,974kN t d 1 = t d 2 = 0kN z d 1 = z d 2 = 46,278kN

B Frontale stuwkracht De werkende oppervlakte is dezelfde dan deze hierboven berekend. Voor de stuwkracht geldt dat γ = 0,8. Deze belasting valt voor wanneer het paviljoen een noorderwind ondergaat. Onder invloed van deze kracht zullen de steunpoten een trekkracht moeten opnemen. 2 w = 1322 ⋅ 0,8 = 1057,6 kN m ⎫ ⎬ F = 140,047kN Opp. = 132,42m² ⎭ De lengte van de as bedraagt 79,4m waardoor : 140,047kN q= = 1763,8 N m 79,4m

Ook hier mag weer gesteld worden dat zd1 = zd2 en td1 = td2. De onbekende krachten zijn: X : x k + t d 1 ⋅ cos(49,21555559 ) − t d 1 ⋅ cos(49,21555559 ) = 0 → xk = 0 Y : y k − 70,024 ⋅ cos(48,8269189 ) + 2 ⋅ t d 1 ⋅ sin (49,21555559 ) = 0 Z : z k − 70,024 ⋅ sin (48,8269189 ) + 2 ⋅ z d 1 = 0

M X : −70,024 ⋅ 39712,4564 − 2 ⋅ z d 1 ⋅ 60088,5977 + 2 ⋅ t d 1 ⋅ sin (49,21555559 ) ⋅ 3507,9343 = 0

M Zd : −70,024 ⋅ cos(48,8269189 ) ⋅ 69651,5319 + y k ⋅ 69651,5319 + t d 1 ⋅ 103672,199 = 0 144 444444444444444 42444444444444444444 3 y k = 46,099kN z k = 98,987 kN t d 1 = t d 2 = 0kN z d 1 = z d 2 = −23,139kN

C Zijdelingse stuwkracht Deze belasting komt onder de twee overblijvende windrichtingen voor (Oost en West). Onder invloed van de ontstane krachten zal het paviljoen een torsie ondergaan en zullen de krachten, die in bovenstaande gevallen als nul werden beschouwd, een waarde aannemen verschillend van nul. Hier wordt eveneens gerekend met γ = 0,8 maar wel met een andere meewerkende oppervlakte. Om de krachten te bepalen wordt hier verder gerekend met een westenwind. 2 w = 1322 ⋅ 0,8 = 1057,6 kN m ⎫ ⎬ F = 165,832kN Opp. = 156,80m² ⎭ De lengte van de as bedraagt 79,4m waardoor :

q=

165,832kN = 2088,6 N m 79,4m

Ook hier mag ervan worden uitgegaan dat de krachten aan de uiteinden van de diagonalen dezelfde waarden hebben. Door de richting van de inwerkende kracht zijn ze echter wel tegengesteld aan elkaar. Dit wil zeggen dat zd2 = -zd1 en td2 = -td1. Z : z k + t d1 − t d1 = 0 → zk = 0 X : x k − 165,832 − 2 ⋅ t d 2 ⋅ cos(49.21555559 ) = 0

Y : y k + 2 ⋅ t d 1 ⋅ sin (49,21555559 ) = 0 M Y : 165,832 ⋅ 39712,4564 + 2 ⋅ z d 2 ⋅ 69651,5319 + 2 ⋅ t d 2 ⋅ cos(49,21555559 ) ⋅ 3507,9343 = 0 M Zd : 165,832 ⋅ 90846,1477 − y k ⋅ 69651,5319 − x k ⋅ 60088,5977 − t d 2 ⋅ 103672,199 = 0 144 444444444444444 42444444444444444444 3 x k = 252,713kN y k = −100,708kN t d 2 = −t d 1 = 66,503kN z d 2 = − z d 1 = −49,463kN

9.2.2 Eigengewicht Het eigengewicht van de onderdelen wordt wederom gewoon overgenomen uit de literatuur. De eenheidswaarden voor de diagonaal met een lengte van 91,5m en de pijl met een lengte van 61,5m bedragen respectievelijk 215 ton en 120 ton. Omgezet in meer bruikbare eenheden levert dit: 1177,2kN Pijl = −19,141 kN m 61,5m 2109,15kN Diagonaal = −23,051 kN m 91,5m

Het auditorium en de centrale knoop zijn goed voor een gewicht van 240 ton. Dit levert een vertikale last van: Faud = −2354,4kN Om deze krachten op te nemen worden vanzelfsprekend enkel de componenten volgens Zrichting aangesproken zijnde kz, d1z en d2z. Door de symmetrie van het paviljoen kan ervan uitgegaan worden dat d1z = d2z. Dit valt als volgt eenvoudig te becijferen:

z d 1 + z d 2 + z k = Faud + F pijl + 2 ⋅ Fdiag = 7749,9kN M Xk = 1177,2 ⋅ 30757,55 − 2 ⋅ 2109,15 ⋅ 30044,2989 + 2 ⋅ z d 1 ⋅ 60088,5977 = 0 ⇒ z d 1 = z d 2 = 753,288kN ⇒ z k = 6243,323kN 9.2.3 Overige lasten 9.2.3.1 Oplegreacties knooppunt einde diagonaal Hiervoor worden de waarden gebruikt die werden gevonden onder 4.2.5. waarbij enkel rekening zal worden gehouden met de richtingen Xb en Yb. Zoals reeds gezegd worden de krachten volgens Zb rechtstreeks opgenomen door de staande vakwerken. De krachten zullen ontbonden worden volgens een orthogonaal assenkruis en wel op volgende manier: volgens de richting van de as van de diagonalen, een horizontale loodrecht hierop, en een richting volgens de as van de eindsteunen. Ook hier zullen de hoeken tussen de oude en de nieuwe assen via grafische weg gemeten worden. Figuur 40 toont de inwerkende krachten en het nieuwe assenstelsel. Uit de figuur valt reeds af te leiden dat de ontbondenen volgens de Xd-as elkaar twee aan twee zullen opheffen. Dit valt te verklaren doordat beide randbalken b1 en b2 aan dezelfde krachtswerking zijn onderworpen, de component langs de Xd-as zal dus gelijk zijn aan nul. De resulterende krachten volgens Yd kunnen niet opgenomen worden door het eindsteunpunt, dit is namelijk een omgekeerde V die loodrecht op de diagonaal staat en dus enkel krachten volgens Xd en Zd kan opnemen. Deze krachten zullen dan ook worden overgedragen op het centraal knooppunt dat de kracht wel kan opvangen.

Figuur 40

Xd δ1=42,64062907 δ2=47,56460865

Xb Yb

Yd ε1=51,3082495 ε2=135,24968138

Zd φ1=105,12473005 φ2=78,41294175

Tabel 9

Onder windbelasting

y d = 2 ⋅ xb ⋅ cos(ε 1 ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(ε 2 ) = −3412,185kN

z d = 2 ⋅ xb ⋅ cos(φ1 ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(φ 2 ) = 858,200kN

Onder sneeuwbelasting y d = 2 ⋅ xb ⋅ cos(ε 1 ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(ε 2 ) = 4699,486kN

z d = 2 ⋅ xb ⋅ cos(φ1 ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos(φ 2 ) = −2465,522kN

De gevonden kracht yd wordt door de diagonaal rechtstreeks overgedragen op de centrale knoop. Tabel 10 toont de hoeken die de Yd-as maakt met de Xax-as en met de Zax-as. Met deze hoeken kan de grootte van de resulterende kracht, afkomstig van Yd, ter hoogte van het knooppunt worden bepaald. Yd

Yk 49,25144733°

Zk 87,8161248°

Tabel 10

Wat betekent dat de krachten in het knooppunt volgende waarden aannemen: Onder windbelasting y k = y d ⋅ cos(49,25144733) = −2227,272kN z k = y d ⋅ cos(87,8161248) = −130,027kN

Onder sneeuwbelasting y k = y d ⋅ cos(49,25144733) = 3067,545kN z k = y d ⋅ cos(87,8161248) = 179,081kN

9.2.3.2 Oplegreacties knooppunt auditorium Bovenaan het auditorium komen de externe belastingen van de randbalken en van de axiale balk samen. Hier zal gebruik gemaakt worden van een ander assenkruis dan hetgeen hierboven gebruikt werd. De X-as van het assenkruis is gericht volgens de symmetrielijn van de constructie. Hier worden de krachten dus niet ontbonden volgens bepaalde symmetrielijnen van een onderdeel zoals dit bij de uiteinden van de diagonalen wel werd gedaan. A Axiale balk De krachten inwerkend op de axiale balk worden afgeleid uit 4.3. De aldaar bekomen krachten zijn gericht volgens de as van de balk en dienen dus omgezet te worden volgens het hier gebruikte assenkruis. Tabel 11 toont de gevonden verdeelde belasting over de hele balk

en de puntkrachten die inwerken op het hoge punt van de axiale balk. Op te merken valt dat de puntbelastingen volgens Zax geen invloed zullen hebben op de knoop daar deze kracht rechtstreeks opgevangen wordt door de ruimtelijke driehoeksvakwerk aan het ene uiteinde van de axiale balk. Verdeelde belasting Puntbelasting

Wind x ax = −51,015 kN m z ax = 5,834 kN m Fxax = −5296,644kN Fzax = 2769,696kN

Sneeuw x ax = 124,076 kN m z ax = −39,761 kN m Fxax = 5144,760kN Fzax = 1097,316kN

Tabel 11

Onder windbelasting Volgens het assenkruis van de axiale balk kunnen onderstaande waarden bekomen worden, deze moeten dan nog aangepast worden aan het assenstelsel van de knoop. x ax = −51,015 ⋅ 72 + 5296,644 = 1623,564kN z ax =

5,834 ⋅ 72 = 210,024kN 2

Omgezet naar het assenstelsel van de knoop levert dit: y k = x ax ⋅ cos(166,34958087 ) + z ax ⋅ cos(103,65041913) = −1627,269kN

z k = x ax ⋅ cos(103,65041913) + z ax ⋅ cos(13,65041913) = −179,065kN Onder sneeuwbelasting In het knooppunt werken volgende krachten: x ax = 124,076 ⋅ 72 + 5144,760 = 14078,232kN z ax =

− 39,761 ⋅ 72 = −1431,396kN 2

Omgezet naar het assenstelsel van de knoop levert dit: y k = x ax ⋅ cos(166,34958087 ) + z ax ⋅ cos(103,65041913) = −13342,768kN

z k = x ax ⋅ cos(103,65041913) + z ax ⋅ cos(13,65041913) = −4713,390kN

B Randbalken Ook hier zal weer een coördinatentransformatie worden toegepast. De krachten inwerkend op de randbalken, werden reeds becijferd onder 6 Berekeningen - Randbalk. De hoeken die de assen onderling maken worden ook hier weer gemeten in een tekenprogramma. Alweer zullen de krachten volgens Xk elkaar twee aan twee opheffen, zodat er met deze richting geen rekening dient te worden gehouden (Figuur 41). Ook de krachten volgens Zb worden alweer direct overgedragen op de staande vakwerken waardoor deze niet ingerekend dienen te worden. De hoeken tussen de assen werden opgenomen in Tabel 12.

Figuur 41

Xb Yb

Yk 98,18941801 11,6292634

Zk 103,70424404 100

Tabel 12

Onder windbelasting y k = 2 ⋅ xb ⋅ cos( ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos( ) = 5982,115kN z k = 2 ⋅ xb ⋅ cos( ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos( ) = 727,550kN

Onder sneeuwbelasting y k = 2 ⋅ xb ⋅ cos( ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos( ) = 7090,245kN

z k = 2 ⋅ xb ⋅ cos( ) + 2 ⋅ y b ⋅ cos( ) = −2284,650kN

Onderstaande tabel (Tabel 13) toont de reactiekrachten die opgewekt worden in het systeem onder invloed van de uitwendige krachten afkomstig van randbalken en axiale balken.

Diagonaal

Axiale balk Randbalk

Wind z d = −858,200kN y k 1 = 2227,272kN z k1 = 130,027kN y k 2 = 1627,269kN z k 2 = 179,065kN y k 3 = −5982,115kN z k 3 = −727,550kN

Sneeuw z d = 2465,522kN y k 1 = −3067,545kN z k 1 = −179,081kN y k 2 = 13342,768kN z k 2 = 4713,390kN y k 3 = −7090,245kN z k 1 = 2284,650kN

Totaal

z d = −858,200kN y k = −2127,574kN z k = −418,458kN

z d = 2465,522kN y k = 3184,978kN z k = 6818,959kN

Tabel 13

9.2.4 Totale reactiekrachten Tabel 14 (p.58) toont van elk belastingsgeval afzonderlijk de reactiekrachten. Tabel 15 (p.59) bevat de samengestelde reactiekrachten onder alle verschillende combinaties.

Tabel 14

-92,198 kN

46,278 kN

46,278 kN

46,099 kN

98,987 kN

-23,139 kN

-23,139 kN

0 kN

0 kN

yk

zk

zd1

zd2

td1

td2

0 kN

0 kN

-197,974 kN

252,713 kN

0 kN

0 kN

xk

66,503 kN

-66,503 kN

-49,463 kN

49,463 kN

0 kN

-100,708 kN

Wind Zijwaarts stuwing 1

Wind Frontale Wind stuwing Frontale zuiging

-66,503 kN

66,503 kN

49,463 kN

-49,463 kN

0 kN

-100,708 kN

-252,713 kN

Wind Zijwaarts stuwing 2

0 kN

0 kN

753,288 kN

753,288 kN

6243,323 kN

0 kN

0 kN

Eigengewicht

0 kN

0 kN

-858,200 kN

-858,200 kN

-418,458 kN

0 kN

0 kN

2465,522 kN

2465,522 kN

6818,959 kN

3184,978 kN

0 kN

onder Rest onder sneeuw

-2127,574 kN

0 kN

Rest wind

Tabel 15

3231,077

-2111,475

12167,175

625,273

625,273

0

0

yk

zk

zd1

zd2

td1

td2

0

0

3948,959

3948,959

19404,592

0

0

xk

0

0

0

694,654

694,654

11870,214

-2249,772

0

0

4018,386

4018,386

19107,631

3092,780

0

Sneeuw

Wind

Wind

Sneeuw

Frontale zuigkracht

Frontale Stuwkracht

66,503

-66,503

598,913

697,839

12068,188

-2258,282

252,713

Wind

66,503

-66,503

3922,635

4021,561

19305,605

3084,270

252,713

Sneeuw

Zijdelingse stuwkracht 1

-66,503

66,503

697,839

598,913

12068,188

-2258,282

-252,713

Wind

-66,503

66,503

4021,561

3922,635

19305,605

3084,270

-252,713

Sneeuw

Zijdelingse stuwkracht 2

9.3 Krachtswerking in de staven Om de staafkrachten in het vakwerk te bepalen, wordt eerst in Tabel 13 gezocht naar de situatie waarbij de grootste reactiekrachten optreden, deze zullen namelijk ook voor de grootste spanningen zorgen in de staven. De staafkrachten worden bepaald onder de lastencombinatie van een frontale zuigkracht op de pijl, het eigengewicht en een sneeuwbelasting op het dak.38 De krachten in de staven kunnen manueel uitgerekend worden, maar aangezien dit een moeilijk, lang en intensief werk is, werd er opnieuw gekozen om het grafisch te verwerken in een tekenprogramma, waarbij er per knoop een ruimtelijke krachtenveelhoek wordt uitgetekend, zodat de krachten gewoon af te lezen zijn. Hiervoor is wel een uiterste nauwkeurigheid nodig aangezien er in drie dimensies wordt getekend. De uiteindelijke uitkomsten kunnen eventueel licht afwijken van de correcte door de hypotheses die gesteld werden. Tabel 16 bevat de staafkrachten van het vakwerk. A2B2 A3B3 A4B4 A5B5 A6B6 A7B7 A8B8 A9B9 A10B10 A11B11 A12B12 A13B13 A14B14 A15K1/B15K1 A14B13/B14A13 A14B15/B14A15 K1K2/K1K3

114,057 29,646 29,623 29,623 29,623 29,623 29,623 29,623 29,623 29,623 29,623 99,610 15,568 7,395 -8,543 -8,543 4143,163

C1C2 C2C3 C3C4 C4C5 C5C6 C6C7 C7C8 C8O C8K1 OK1

14739,888 14509,524 13324,668 12052,562 10724,256 9359,801 7974,136 3907,177 4229,479 -2741,684

PK10

3480,480

38

A1A2/B1B2 A2A3/B2B3 A3A4/B3B4 A4A5/B4B5 A5A6/B5B6 A6A7/B6B7 A7A8/B7B8 A8A9/B8B9 A9A10/B9B10 A10A11/B10B11 A11A12/B11B12 A12A13/B12B13 A13A14/B13B14 A14A15/B14B15 A15K2/B15K3

-9741.038 -9372,214 -9376,506 -8751,365 -8754,593 -8096,740 -8099,217 -7417,144 -7419,062 -6724,678 -6726,162 -6023,272 -6023,272 -6023,272 -6026,748

C2A2/C2B2 C3A2/C3B2 C3A3/C3B3 C3A4/C3B4 C4A4/C4B4 C4A5/C4B5 C4A6/C4B6 C5A6/C5B6 C5A7/C5B7 C5A8/C5B8 C6A8/C6B8 C6A9/C6B9 C6A10/C6B10 C7A10/C7B10

142,358 -344,483 -46,095 463,366 -420,445 -45,901 529,590 -490,282 -48,803 595,995 -560,949 -45,738 657,094 -627,057

Volgens de samensteller van het werk is dit het zwaarste belastingsgeval, ook al zijn de krachten niet steeds de grootste. Deze stelling kan ook in de literatuur gevonden worden: [acier steel]

PK7/PK8

-1762,473

K2K9/K5K9 K3K9/K6K9 K7K9/K8K9

-4275,266 -2475,203 7388,685

C7A11/C7B11 C7A12/C7B12 C8A12/C8B12 C8A13/C8B13

-45,693 718,434 -692,991 -141,208

Tabel 16

9.4 Begroting van de staven Enkele staven zullen hier berekend worden om ze te kunnen vergelijken met de oorspronkelijk uitgevoerde staven. 9.4.1 Bovenste staven van de diagonaal Uit de plannen kan opgemaakt worden dat deze staven doorsnede hebben zoals figuur 42 toont.

Figuur 42

Volgens tabel 16 zijn in de staven A1A2 en B1B2 de grootste krachten te vinden. Wanneer naar de geometrie van de volledige diagonaal gekeken wordt, stelt men echter vast dat het uiteinde van de diagonaal een volledig profiel is waar deze staven samen met C1C2 samenkomen. Deze kracht zal dus niet gebruikt worden om de staaf te dimensioneren. De grootste kracht in een staaf is deze in A3A4 en in B3B4 en bedraagt NA3A4 = NB3B4 = -9376,504 kN. De waarde t wordt gezocht: N A3 A 4 = N B 3 B 4 = −9376,504kN An =

9376,504 = 39.900mm 2 235

9.4.2 Onderste staven van de diagonaal

AAA, BB = 2 ⋅ 800 ⋅ t = An Waaruit : t = 24,938 praktisch : t = 25mm

Deze staaf heeft een veranderlijke hoogte naargelang de plaats in de diagonaal. Figuur 43 toont een snede door C8C7 en door C3C2.

Figuur 43

De krachten die optreden in deze twee profielen zullen nu begroot worden. Aangezien zowel het profiel als de krachten een lineair verloop kennen, zal de bekomen dikte t voldoende zijn voor elk tussenliggend profiel indien ze correct is voor de twee uiterste profielen. Kleinste profiel Het kleinste profiel moet een kracht kunnen verdragen van NC7C8 = 7974,136. N C 7 C 8 = 7974,136kN An =

7974,136 = 33.932mm 2 235

ACC = 3 ⋅ 800 ⋅ t = An Waaruit : t = 14,139 praktisch : t = 15mm

Grootste profiel Hier geldt dezelfde redenering dan bij de bovenste staven, waarbij de uiteinden van de diagonaal niet berekend worden als staaf. Dit profiel moet een kracht opnemen van NC2C3 = 14509,524 kN. N C 2C 3 = 14509,524kN An =

14509,524 = 61.743mm 2 235

ACC = 3 ⋅ 2200 ⋅ t = An Waaruit : t = 9,355 praktisch : t = 10mm

Aangezien het profiel is gemaakt uit aan elkaar gelaste staalplaat, zal de grootste dikte t bepalend zijn voor het hele profiel. In dit geval zal dus gekozen worden voor een staalplaat met dikte t = 15mm. 9.4.3 Wandstaven van de opstaande zijde van de diagonaal

In het gerealiseerde ontwerp en dus ook in de originele berekeningen hadden al deze staven een verschillende doorsnede. Een tweetal van deze profielen – staaf C5A8 en staaf C7A10 – zullen hier nagerekend worden om een vergelijking te kunnen maken. De doorsnedes van deze staven zijn respectievelijk te vinden in Figuren 44a en b.

Figuren 44a en b

A Staaf C5A8 Deze staaf dient een kracht op te nemen van N = 595,995 kN. Er geldt: A=

N = 2.536mm 2 fy

Het toenmalig gebruikte profiel had een oppervlakte A = 4.127 mm².

B Staaf C7A10 Deze staaf dient een kracht op te nemen van N = -627,057 kN. Er geldt: A=

N = 2.668mm 2 fy

Het toenmalig gebruikte profiel had een oppervlakte A = 8010 mm².

9.4.4 Trekker van de pijl

Deze trekker heeft een geometrie zoals is aangegeven in Figuur 45. De inwerkende kracht bedraagt N = 3480,480 kN.

Figuur 45

A=

N = 14.811mm 2 fy

Atp = 2 ⋅ 740 ⋅ t + 2 ⋅ 510 ⋅ t = 14811 Waaruit : t = 5,9244mm Pr aktisch : t p = 6mm In de originele berekeningen kwam men tot een profiel waarbij t = 10mm. 9.5 Besluit Ook hier kan opnieuw dezelfde conclusie getrokken worden als in de andere besluiten. Aangezien de windbelasting in grote mate verschilt tussen de twee berekeningen onderling, wordt ook hier gevonden dat de bekomen profielen in deze berekeningen slanker werden gedimensioneerd dan in de oorspronkelijke berekeningen.

BIBLIOGRAFIE

[1]

Batellier, Jean-Pierre, Structures tendues et prétendues: réalisations structurales en cables (Cahiers du Centre d’Etudes Architecturales 5, Brussel: Centre d’Etudes Architecturales, 1967).

[2]

Brunfaut, G.A.L., “France,” Rythme 25 (1958): 4-7.

[3]

Commissariat Général de la Section Française, Exposition universelle et internationale de Bruxelles 1958, Rapport général sur la participation Française (Dijon: Darantiere, 1960).

[4]

Corpelet, M. J., “Ossature métallique du Pavillon de la France à l’Exposition Internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 135-136 (1959): 282-290.

[5]

Drew, Philip, Tensile Architecture (Boulder, Colo.: Westview Press, 1979)

[6]

Esquillan, N. en Y. Saillard, Hanging Roofs, proceedings of the IASS colloquium on hanging roofs, continuous metallic shell roofs ans superficial lattice roofs, Parijs, 6-11 juli 1962 (Amsterdam: North-Holland Publishing, 1963)

[7]

Gillet, Guillaume en René Sarger, “Pavillon de la France,” L’Architecture D’Aujourd’hui 76 (1958): 101-102.

[8]

Gillet, Guillaume, Jean Prouvé en René Sarger, “Le pavillon de la France à l’Exposition de Bruxelles 1958,”Acier/Stahl/Steel 5 (1958): 193-204.

[9]

Gillet, Guillaume, Jean Prouvé en René Sarger, “Pavillon de la France,” L’Architecture D’Aujourd’hui 78 (1958): 8-13.

[10] Leleu, Véronique, Jean Prouvé constructeur: 1901 – 1984 (Alençon: Imprimerie Alençonnaise, 2001). [11] Lorin, Paul en Pierre Vallée, “La construction du pavillon de la France à l’Exposition internationale de Bruxelles,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 130 (1958): 1138-1154. [12] Otto, Frei, “Die Seilnetze,” Bauwelt 16 (1953): 302-306. [13] Otto, Frei, “Formes, techniques D’Aujourd’hui 78 (1958): 4-6.

et

constructions

humaines,”

L’Architecture

[14] Paduart, André, “Toitures Suspendues,” Toitures suspendues (Brussel: Centre belgoluxembourgeois d’Information de l’Acier, s.d.): 7-43. [15] Picon, Antoine, ed., L’Art de L’Ingénieur. Constructeur, Entrepreneur, Inventeur (Parijs : Ed. du Centre Pompidou, 1997).

[16] Pris, M.R., “Etudes aérodynamiques II Le pavillon de la France à l’Exposition de Bruxelles 1958,” Annales de l’Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics 137 (1959): 408-420. [17] s.e., “Le Pavillon de la France,” La Maison 6 (1958): 176-178. [18] Sarger, René, “A propos de l’Expo Internationale et Universelle de Bruxelles,” L’Architecture D’Aujourd’hui 78 (1958): 4. [19] Sarger, René, “L’ingénieur et l’art de construire,” L’Architecture D’Aujourd’hui 91-92 (1960): 184-191. [20] Sarger, René, “ Le Pavillon de la France,” Rythme 22 (1958): 5-6. [21] Sarger, René, “Points de Vue. René Sarger, ingénieur-conseil,” Techniques et Architecture 1 (1959): 118. [22] Sarger, René, “Projets de voiles plastiques tendues,” Techniques et Architecture 1 (1959): 81-82. [23] Sarger, René, Structures Nouvelles (Cahiers du Centre d’Etudes Architecturales 1, Brussel: Centre d’Etudes Architecturales, 1967) [24] Sarger, René, “Valeur Plastique des Structures à l’Exposition de Bruxelles,” L’Architecture D’Aujourd’hui 78 (1958): 6-7. [25] Schock, Hans-Joachim, Soft shells : design and technology of tensile architecture (Basel: Birkhäuser, 1997). [26] Van Impe, Rudy, Ruimtelijke Constructies (Cursus gedoceerd aan de eerste proef burgerlijk ingenieur, optie bouwkunde, aan de Universiteit Gent, 2005). ARCHIEVEN Archieffonds Expo 58, Federale Overheidsdienst Economie, KMO, Middenstand en Energie; Leopold I straat 299 – 1020 Laken ; Dossiers: 84 tot 92 Het archief bevat vooral plannen van voor- en schetsontwerpen. Er is geen enkel definitief plan van het geheel te vinden. Er zijn wel enkele detailtekeningen aanwezig, maar geen enkele hiervan is gericht naar de constructie. Het archief bevat ook nog enkele dozen met corresspondentie. Uit dit archief werd voor dit werk haast niets gebruikt. De aanwezigheid van technische documenten bleef zeer beperkt. Centre des Archives du Monde de Travail (CAMT); Boulevard du Général Leclerc 78 - BP 405 59 057 Roubaix Cedex 1; Dossiers: 152 AQ 260 tot 263. Een relatief klein archief (toch met betrekking tot het besproken onderwerp) waar veel correspondentie aanwezig is. Er werden haast geen (technische) plannen teruggevonden.

Uit dit archief werden wel enkel gedetailleerde plannen gehaald van de structuur (diagonalen). Archives Nationales du XXième siècle; Rue de Tolbiac 127-129 - 75013 Paris; dossiers niet geïnventariseerd. Uitgebreid foto- en planarchief. Het bevat ook een tweetal dozen met correspondentie. Een groot deel van deze plannen werd gebruikt voor de bepaling van afmetingen van het paviljoen en de onderdelen. Ook het merendeel van de foto’s uit dit werk is afkomstig uit dit archief. Hoewel het een zeer uitgebreid archief is, bleek ook hier de aanwezigheid van technische documenten vrij beperkt te zijn.