stejný počet elektronů v obalu a protonů v jádře, ztráta jednoho nebo několika elektronů, přebytek jednoho nebo více elektronů

1. ELEKTROSTATICKÉ

POLE VE VAKUU

1.1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ. ZÁKLADNÍ ELEKTROSTATICKÉ JEVY Jantar – elektron (řecký název) ⇒ stav přitahování drobných předmětů - elektrický stav, zelektrovaná tělesa (skleněná tyč + kůže, novodur + srst). elektrický náboj – míra zelektrování (skalární veličina), Q (e) – jednotka = Coulomb (C), (definovaný pomocí Ampéru). – kladný (na skleněné tyči), – záporný (na novoduru). Elektrické náboje nemohou existovat samostatně – jsou vázány na hmotné částice – elektron, pozitron, proton, mion aj. Dva druhy elektrických nábojů

e = 1,60210.10-19 C.

elementární elektrický náboj (proton +, elektron –) Elektricky neutrální atom kladný ion záporný ion

– stejný počet elektronů v obalu a protonů v jádře, – ztráta jednoho nebo několika elektronů, – přebytek jednoho nebo více elektronů.

Elektricky neutrální těleso – rovnoměrně rozložené kladné a záporné náboje (kompenzace obou typů náboje). Elektrování tělesa – narušení rovnosti počtu kladných a záporných nábojů (těleso je zelektrováno, nabito) – lze provést např. třením, dotykem, přenesením náboje, elektrostatickou indukcí apod. Elektrostatické pole – nabité částice jsou vzhledem k pozorovateli v klidu, Elektrodynamické pole – vzniká při pohybu nabitých částic. Bodový náboj – rozměry nabitého tělesa jsou zanedbatelné vzhledem ke vzdálenosti ostatních nabitých objektů interagujících s uvažovaným tělesem. Hustota náboje – veličina charakterizující rozložení náboje na "větších" nabitých tělesech: a) Objemová hustota náboje

[

].

[

].

[

]

ρ=

dQ C.m −3 dV

σ =

dQ C.m −2 dS

τ=

dQ C.m −1 dl

b) Plošná hustota náboje

c) Délková (lineární hustota náboje)

.

Souhrn Elektrický náboj je vždy vázán na hmotný objekt. Existují náboje kladné a záporné. Pro silové účinky nabitých těles platí princip superpozice. Zákon kvantování elektrického náboje říká, že všechny náboje jsou násobkem e. Zákon zachování náboje – celkový náboj v izolované soustavě je roven algebraickému součtu všech nábojů a nemění se (příklad: anihilace elektronu a pozitronu – zánik v páru). 6. Invariantnost náboje – relativistický invariant (na rozdíl od hmotnosti). 7. Pohybující se náboje budí pole elektrodynamické (elektromagnetické). 8. Zákon silového působení nábojů – Coulombův zákon.

1. 2. 3. 4. 5.

1.2. COULOMBŮV ZÁKON Ch. A. Coulomb (1785) – měření náboje pomocí torzních vah.

r21

– udává polohu Q2 vzhledem k Q1

F21 = k

Q1Q2 r212

obdobně tedy

F12 = k

Q1Q2 , r122

F12 = − F21 .

k – konstanta měřená různými metodami (E.B. Rosa, N.E. Dorsey) k= 8,98776.109 C-2.N.m2. Vyjádření pomocí permitivity vakua k =

Racionalizovaný tvar Coulombova zákona

1 4πε 0

ε0 = 8,854.10-12 C-2.N-1.m-2.

F21 =

1

Q1Q2 . 4πε 0 r 2

Aplikace Coulombova zákona a) Silové působení soustavy bodových nábojů

F=

1 4πε 0

n

Q0Q j

j =1

rj2

∑

b) Silové působení spojitě rozloženého náboje

F=

Q0 4πε 0

∫ V

ρdV r2

.

1.3. INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE Náboje v klidu na sebe působí prostřednictvím svých polí. Elektrostatické pole se projevuje silovým působením na nabité částice. Intenzita elektrostatického pole (v místě P, kde je Q0)

E=

[

][

]

F N .C −1 , V .m −1 , Q0

Q0 – "zkušební" náboj.

F = Q0 E Nebo platí Pozor na směr působení síly = nutno vyjádřit vektorem

r r F = Q0 E

Výpočet intenzity elektrostatického pole a) Intenzita elektrostatického pole bodového náboje Q

Z Coulombova zákona

F =

1 Q0 Q 4πε 0 r 2

Dosazením dostaneme pro intenzitu elektrostatického pole bodového náboje v bodě

E= Pro kladný bodový náboj opačná)

E

r

1

Q 4πε 0 r 2

má orientaci "od náboje" (pro záporný náboj je orientace Takové pole se nazývá radiální.

b) Intenzita elektrostatického pole soustavy bodových nábojů pro soustavu bodových nábojů podle

E=

1 4πε 0

n

Qj

j =1

j

∑r

2

.

r

Velikost i směr E se mění bod od bodu – pole nehomogenní.

r E v daném bodě

r r r r E = E1 + E 2 + ... + E n

Pole elektrického dipólu elektrický moment dipólu

r

r

p = Q.l ( p = Q.l )

Řešení v soustavě x, y.

2p . 4πε 0 r 3

V bodě na ose dipólu je

E=

V bodě P na ose souměrnosti dipólu je

E=−

1

1

p 4πε 0 r 3

.

1.4. ZNÁZORNĚNÍ ELEKTROSTATICKÉHO POLE Siločáry elektrostatického pole M. Faraday zavedl pro znázornění elektrostatického pole pojem siločára. Siločára elektrostatického pole – orientovaná křivka probíhající prostorem tak, že v každém jejím bodě má souhlasně orientovaná tečna směr intenzity elektrostatického pole.

r 1. Souhlasně orientované s E .

Vlastnosti siločar:

2. Siločáry elektrostatického pole vycházejí z kladných elektrických nábojů a končí na záporných. 3. Siločáry se nikde neprotínají (kdyby se protínaly, existovaly by zde dvě různé tečny). Každým bodem prochází jedna siločára.

4. Pro znázornění používáme jen několika siločar .

5. Na velikost pole E můžeme usuzovat z hustoty siločar. Počet siločar dN procházejících elementem plochy dS ⊥ = hustota siločar,

dN = E dS ⊥

Pro tok uzavřenou plochou

r r Φ e = ∫ EdS = ∫ EdS cos α . S

S

1.5. GAUSSOVA VĚTA ELEKTROSTATIKY Vyjadřuje vztah mezi tokem intenzity elektrostatického pole Φ e uzavřenou plochou S a nábojem Q uvnitř této plochy (náboj může být rozložen různým způsobem). Pro libovolnou uzavřenou plochu platí

Φe =

Q

ε0

.

Gaussova věta: Tok intenzity elektrostatického pole libovolnou uzavřenou plochou je ve vakuu roven podílu celkového náboje uvnitř plochy a permitivity vakua Pro případ dvou rovnoběžných rovin nabitých náboji opačných znamének rozloženými s plošnou hustotou stejné velikosti (σ + = σ − = σ ) prostoru mezi rovinami je

E=

σ ε0

,

zatímco v okolním prostoru se obě pole ruší a E = 0. Intenzita elektrického pole uvnitř nabitého vodiče Náboj nabitého vodiče je rozložen jen na povrchu (uvnitř jsou náboje kompenzovány) Uvažujme: uzavřenou plochu S vedenou těsně pod povrchem nabitého vodiče V celém objemu vodiče je intenzita

E=0 Poznámka: • pokud by E ≠ 0 , působila by na volné elektrony síla F = − eE , což by vedlo k jejich přemisťování, • využití při stínění elektrických polí. Poznámka: Plošná hustota náboje σ (x, y, z) nemusí být ve všech místech povrchu nabitého vodiče stejná. Měřením bychom se mohli přesvědčit, že největší hustota náboje je na hranách a na hrotech nabitého vodiče, nejmenší hustota (téměř nulová) je v dutinách. V okolí hrotů dochází k sršení náboje (sání elektřiny hrotem – hromosvod). Elektrický vítr.

1.6. POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE Skalární veličina, která souvisí s potenciální energií náboje v elektrostatickém poli. a) Práce při přenášení náboje v elektrostatickém poli

Při přemístění náboje Q0 podél elementu dráhy dl se vykoná práce

dA = F .dl = Q0 E .dl . Při přemístění náboje Q0 z bodu M do N po křivce l bude celková práce A dána dráhovým integrálem N

A = Q0 ∫ E .dl M

b) Potenciální energie náboje v elektrostatickém poli Náboje vzbuzující pole E a náboj Q0 lze považovat za soustavu, ve které působí vnitřní síly. Síla F = Q0 E je výslednicí vnitřních sil působící na náboj Q0. V této soustavě lze zavést potenciální energii Wp

dW p = Fv .dl = −Q0 E.dl Při přemístění náboje Q0 v poli z bodu N do bodu M je přírůstek potenciální energie náboje Q0 M

∆W p = W pM − W pN = −Q0 ∫ E .dl N

Rovnice určuje rozdíl potenciální energie náboje Q0 v bodech M a N. Volba místa nulové potenciální energie. (zpravidla v ∞, prakticky povrch Země). Pro N →∞ je WpN = 0 potenciální energie náboje Q0 v libovolném místě M elektrostatického pole je funkcí místa (polohy bodu M) v elektrostatickém poli. M

∞

∞

M

W pM = −Q0 ∫ E .dl = Q0 ∫ E .dl

Potenciální energie náboje Q0 je rovna práci, kterou vykoná vnější síla při přenesení tohoto náboje z nekonečna do daného bodu M (nebo opačně). c) Potenciál elektrostatického pole

ϕM =

W pM

M

∞

∞

M

= − ∫ E .dl = ∫ E .dl

Q0

Potenciál elektrostatického pole v bodě M je: • číselně roven potenciální energii kladného jednotkového náboje v daném místě pole, • číselně roven práci vykonané vnější silou při přenesení kladného jednotkového náboje z nekonečna do daného bodu pole, • číselně roven práci vykonané polem při přenesení kladného jednotkového náboje z bodu pole do nekonečna. Potenciál je skalární veličina – J.C-1 = V (volt) Rozdíl potenciálů ϕM - ϕN nazýváme elektrické napětí UMN mezi body M a N pole E.

U MN = ϕ m − ϕ N

V homogenním poli (E = konst.) platí

U MN = Ed , kde d je vzdálenost bodů M a N. Práce A je přímo úměrná velikosti přenášeného náboje a elektrického napětí mezi body M a N N

A = Q0 ∫ E .dl = Q0 (ϕ M − ϕ N ) = Q0U MN M

Výpočet potenciálu elektrostatických polí některých soustav nábojů a) pole bodového náboje Q (umístěný v počátku), poloha bodu M je určena polohovým

r

vektorem rM

ϕM =

1

Q 4πε 0 rM

Poznámka: stejný výsledek platí pro potenciál elektrického pole vodivé koule o poloměru R. Je-li Q záporný potom potenciál je rovněž záporný. b) potenciál buzený nábojem spojitě rozloženým s objemovou hustotou náboje ρ

ϕM =

1 4πε 0

∫

ρdV rM

V

Potenciál buzený nábojem spojitě rozloženým na ploše S s plošnou hustotou náboje σ

ϕM =

1 4πε 0

∫ S

σdS rM

Potenciál buzený nábojem spojitě rozloženým na křivce l s lineární hustotou náboje τ

ϕM =

1 4πε 0

τdl

∫r l

M

d) Ekvipotenciální plochy Plochy, ve které má potenciál stejnou hodnotu (bodový náboj – soustředné koule, homogenní pole – rovnoběžné roviny kolmé k siločárám). Vlastnosti ekvipotenciálních ploch: • přemístění náboje po ekvipotenciální ploše – práce sil elektrostatického pole = 0 • E je kolmá k ekvipotenciální ploše. Elektrické siločáry jsou všude kolmé na ekvipotenciální plochy • Každým bodem prochází jediná siločára (ekvipotenciální plochy se nikde neprotínají). • Ekvipotenciální plochy v radiálním poli jsou soustředné kulové plochy. • Siločáry jsou kolmé k povrchu nabitého vodiče ⇒ ve všech bodech povrchu vodiče má elektrický potenciál stejnou hodnotu ϕS. • Uvnitř vodiče je E = 0 a elektrický potenciál je v celém objemu vodiče konstantní a je roven potenciálu na jeho povrchu.

1.7. NENABITÝ VODIČ V ELEKTROSTATICKÉM POLI a) Kovové vodiče V kovových tělesech – volné elektrony (valenční elektrony atomů). Není-li těleso nabito, je náboj volných elektronů kompenzován zcela kladnými ionty krystalové mřížky kovu. Kladné ionty jsou vázány na uzlové body krystalové mříže a nepohybují se. Počet volných elektronů u kovů: 64 29 Cu – 29 elektronů (slupky 2, 8, 18 a 1), Mm = 63,54.10-3 kg.mol-1, ρCu = 8900 kg.m-3. 1 mol látky obsahuje 6,023.1023 atomů • počet volných elektronů v 1 m3 Cu

6,023.10 23.8,9.103 n0 = = 8,4.10 28 −3 63,54.10 Celkový náboj volných elektronů v 1 m3 Cu – n0.e = – 1,3.1010 C (je zcela kompenzován nábojem kladných iontů). b) Elektrostatická indukce Při vložení nenabitého vodiče do pole o intenzitě E 0 působí na nabité částice s nábojem q síly F = qE 0 ⇒ volné náboje (v kovech elektrony) se budou přemisťovat – elektrostatická indukce Indukované náboje vytváří vlastní pole o intenzitě

Ei

(orientované proti vnějšímu poli).

Ustálený stav

E = E0 − Ei = 0 Pole indukovaných nábojů na povrchu vodiče ruší ve vodiči vnější pole E0 (za cca 10-12 s). Původně nenabité těleso se změní v elektrický dipól. Pomocí elektrostatické indukce je možné provádět nabíjení vodičů.

Vodič ve tvaru tenké kovové desky V důsledku elektrostatické indukce se na stěnách indukují náboje s plošnou hustotou + σ i ,−σ i . Velikost intenzity elektrostatického pole indukovaných nábojů

Ei =

σi ε0

( Ei má opačnou orientaci k

E0 ).

Výsledná intenzita pole uvnitř vodiče musí být nula, takže

E0 −

σi = 0 ⇒ σ i = ε 0 E0 ε0

Poznámka: V Maxwellově teorii kromě

Z toho vyplývá, že

r D = σ i [C.m-2].

r r E zavádíme vektor elektrické indukce D

r r D = ε0E

1.8. KAPACITA VODIČŮ. KONDENZÁTORY Tělesa různého tvaru mají při nabití stejným nábojem různý potenciál (závisí na tvaru, vzdálenosti okolních vodičů a na prostředí, kterým jsou obklopena). a) Kapacita osamoceného vodiče

Q = ∫ σdS . S

Potenciál

ϕS

v libovolném bodě N na povrchu

ϕS =

1 4πε 0

∫

σdS

S

rN

,

kde rN je vzdálenost bodu N od elementu plochy dS na povrchu vodiče. Zvětšením náboje n-krát

⇒ Q´= nQ = ∫ nσdS

a také

σ ´= nσ

S

Potenciál na povrchu vodiče

ϕ S ´=

nσdS 1 σdS = n = nϕ S 4πε 0 ∫S rN 4πε 0 ∫S rN 1

Celkový náboj na osamoceném vodiči a potenciál na jeho povrchu jsou přímo úměrné veličiny

Q = Cϕ S Konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita osamoceného vodiče (ve vakuu je C funkcí geometrického tvaru). Jednotka kapacity je 1 F a platí 1 F = C. V-1 (1 F je příliš velká jednotka). Používají se dílčí jednotky: 1 µF = 10-6 F, 1 nF = 10-9 F, 1pF = 10-12 F

C=

Q

ϕS

Kapacita – schopnost jímat elektrický náboj. Příklad: Kapacita osamocené koule o poloměru R

ϕS =

1 Q , 4πε 0 R

Q = 4πε 0 Rϕ S ⇒ C = 4πε 0 R

Kapacitu 1 F by musela mít koule o R = 107 km. b) Kapacita soustavy dvou vodičů Kapacita osamoceného vodiče A nabitého nábojem Q na potenciál ϕA je

C=

Q

ϕA

.

V blízkosti nechť je nenabitý vodič B.

Potenciál elektrostatického pole indukovaných nábojů v místě A má opačné znaménko jako

ϕA, takže potenciál na povrchu vodiče A je nyní ϕA´ ( ϕ A´ 〈 ϕ A ). Při stejném náboji Q se zvětšila kapacita CA

C A ´= Poznámka:

Q

〉

Q

ϕ A´ ϕ A

= CA .

Uzemněním vodiče B se ještě více sníží ϕA´ a tím zvětší CA´.

Bude-li tvar vodiče B takový, že bude obklopovat vodič A, nebo bude-li v těsné blízkosti vodiče A, bude kapacita ještě větší. Sestava takových vodičů se nazývá kondenzátor. c) Kapacita kondenzátorů Vodič A nabitý nábojem Q, vodič B má náboj -Q (tok intenzity z kladně nabitého vodiče vstupuje celý do druhého vodiče). Potom kapacita kondenzátoru nezávisí na okolních vodičích. Kapacita kondenzátoru

C=

Q Q = ϕ A − ϕ B U AB

deskový kondenzátor Náboj Q je rozložen s plošnou hustotou náboje σ, plocha desek S, vzdálenost desek je d.

Q = σS

Napětí mezi deskami U = Ed, kde E =

σ , takže ε0

U=

σ d ε0

Dosazením

C = ε0

S d

Poznámka: Je-li prostor mezi deskami vyplněn dielektrikem (izolantem) pak C = εrC0. Bezrozměrná veličina εr se nazývá relativní permitivita a charakterizuje dané dielektrikum. d) Spojování kondenzátorů A) Paralelní spojení kondenzátorů (pro získání větší kapacity než má kterýkoliv z kondenzátorů spojených) Celkový náboj Q je dán

Q = Q1 + Q2 + ...Qn = C1U + C2U + ... + CnU

C = C1 + C2 + ... + Cn

B) Sériové spojení kondenzátorů (použití - chceme-li vytvořit kondenzátor na vyšší napětí než je jmenovité napětí jednotlivých kondenzátorů). Při napětí U se nabijí kondenzátory stejným nábojem Q (vnitřní elektrody se nabíjí elektrostatickou indukcí)

U = U1 + U 2 + ... + U n =

Q Q Q + + ... + C1 C2 Cn

1 1 1 1 = + + ... + C C1 C2 Cn

e) Některé typy kondenzátorů • Svitkové kondenzátory. • Kondenzátory s proměnnou kapacitou (dolaďovací – trimry). • Elektrolytické kondenzátory. • Keramické kondenzátory (velká kapacita při malých rozměrech). 1.9. ELEKTROSTATICKÉ POLE V DIELEKTRIKU a) Polarizace dielektrika Dielektrikum (nevodič, izolant) – za normálních podmínek neobsahuje větší počet volných nábojů. Nabité částice v dielektriku jsou vázány na atomy nebo molekuly látky (nepřemisťují se). Polarizace dielektrika – odezva dielektrika na přítomnost elektrického pole. Dielektrika – polární, – nepolární. r Polární dielektrika mají nenulový dipólový moment ( pa ≠ 0 ) i bez přítomnosti vnějšího pole. Nepolární dielektrika – vyznačují se středovou souměrností a mají nulový dipólový moment r ( pa = 0 ). Vázaný náboj – mají dielektrika na povrchu (makroskopicky – nelze ho od tělesa oddělit). Volný náboj – náboj z nabitých vodičů lze odvést na jiné vodiče. A. Elektronová polarizace – posunutí "těžiště" záporného náboje vzhledem k "těžišti" r kladného náboje v atomu ( pa ≠ 0 ). Deformace elektronových obalů sleduje změny E až do kmitočtů 10-15 Hz. B. Iontová polarizace – změní se relativní polohy iontů v molekulách dielektrika. Molekulová polarizace se uplatňuje i v polích o změně kmitočtu do 10-13 Hz. C. Orientační polarizace – projevuje se u dielektrik s polárními molekulami (nenulový moment bez přítomnosti pole). Elektrické momenty se natočí ve směru pole.

r

b) Vektor elektrické polarizace P : Popis polarizace dielektrika makroskopicky

r

r P = lim

r P se

∑p

a

∆V

∆V → 0

∆V

Vektor elektrické polarizace rovná elektrickému momentu objemové jednotky dielektrika (jednotka – C.m-2). r Při popisu uvažujeme, že všechny elementární dipóly pa jsou stejně velké a stejně r orientované. Elektrická polarizace je dána součtem všech momentů pa v objemové jednotce dielektrika

r r P = n0 p a ,

kde n0 je počet molekul v objemové jednotce. c) Elektrostatické pole v dielektriku Vázané náboje vytvoří uvnitř dielektrika pole o intenzitě E P , které má opačnou orientaci než intenzita E0 od volných nábojů na elektrodách kondenzátoru. Intenzita výsledného elektrostatického pole E v dielektriku

E = E0 − E P . pa = αE α polarizovatelnost dielektrika (konstanta pro dané dielektrikum)

P = n0αE

EP

můžeme vyjádřit s pomocí předchozího vztahu

EP = −

n0α

ε0

E = −κ e E

kde konstanta

κe =

n0α

ε0

se nazývá elektrická susceptibilita dielektrika (nezáporné bezrozměrné číslo). Výsledná intenzita E pole v lineárním dielektriku vychází

E = E0 − κ e E , odtud

E=

E0 . 1+ κe

Konstanta

1+ κe = εr

se nazývá relativní permitivita dielektrika a platí ε r ≥ 1 (bezrozměrné číslo) Intenzita elektrostatického pole v dielektriku je

E=

E0

εr

,

r je ε r - krát menší než intenzita E 0 pole od volných nábojů ve vakuu. Poznámka: rozdíl mezi relativní permitivitou plynů a vakua je minimální (nepatrně se odlišují od 1), proto jej zanedbáváme.

1.10. ENERGIE

ELEKTROSTATICKÉHO POLE

Potenciální energie náboje Q v bodě M

WPM = Qϕ M Při buzení pole soustavou nábojů v klidu je tato energie jen částí celkové potenciální energie. a) Energie osamoceného nabitého vodiče Představa postupného nabíjení vodiče po množstvích dq do konečné hodnoty Q. Vyjádření vztahu v různých tvarech

Q2 1 1 2 Wp = = Cϕ S = Qϕ S . 2C 2 2 b) Energie nabitého kondenzátoru Použití předchozího postupu – náboj dq je postupně přenášen z jedné desky na druhou. Analogicky dostáváme

Wp =

Q2 1 1 = CU 2 = QU . 2C 2 2

Poznámka: Za nositele energie můžeme spíše pokládat elektrostatické pole, než samotné náboje. c) Energie elektrostatického pole Vyjádření energie elektrického pole pomocí vektorů pole E a D Veličina

we =

We 1 r r = E.D . V 2

se nazývá hustota energie elektrostatického pole.

2. STACIONÁRNÍ 2.1. VZNIK

ELEKTRICKÉ POLE – USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD

A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ELEKTRICKÉHO PROUDU

a) Elektrický proud a jeho druhy Uvažujeme jevy související s uspořádaným pohybem elektrického náboje. Uspořádaný pohyb elektricky nabitých částic nazýváme elektrickým proudem. Tři druhy elektrického proudu: A. Kondukční proud Vzniká působením elektrického pole ve vodiči na nositele náboje. Podmínka vzniku kondukčního proudu: E ≠ 0 . Zdroj elektromotorického napětí – k udržení pole ve vodiči, vznik Joulova tepla – významný účinek kondukčního proudu B. Konvekční proud Vzniká při pohybu nabitého makroskopického tělesa (např. nabité kuličky, pásu Van de Graafova generátoru apod.) Konvekční proud nemá tepelné účinky C. Posuvný proud Vzniká v dielektriku při časové změně polarizace dielektrika. b) Základní charakteristiky elektrického proudu Zavedení elektrického proudu jako fyzikální veličiny. Uvažujme orientovanou plochu S, kterou procházejí náboje. Předpokládáme, že za ∆t projde v kladném směru ∆Qkl a v záporném směru − ∆Qzap . Celkový náboj

∆Q za čas ∆t

orientovanou plochou S

∆Q = ∆Qkl − ( − ∆Qzap ) = ∆Qkl + ∆Qzap . Průměrný proud Okamžitý proud

IP = pro

∆Q ∆t

∆t → 0 ∆Q dQ = . ∆t →0 ∆t dt

I = lim

Proud I je skalární veličina (může být kladný nebo záporný) Pro případ ustáleného (stacionárního) proudu je

I=

IP = I

Q t

V soustavě SI je jednotkou proudu 1 ampér (A) – základní jednotka definovaná na základě magnetických účinků elektrického proudu. Poznámky: • Ze vztahu vyplývá odvozená jednotka Coulomb. • Ve vodiči s ustáleným proudem jsou náboje obou znamének rovnoměrně rozložené a elektrické pole v okolí vodičů s proudem můžeme zanedbat. Vlivem pohybu nabitých částic vzniká v okolí vodičů s proudem pole magnetické.

• •

Směr proudu je historicky zaveden jako směr pohybu kladných nositelů nábojů (tj. od místa s vyšším potenciálem k místu s nižším potenciálem). V případě ustáleného proudu prochází průřezem vodiče velký náboj Q i při malém napětí, které na vodiči udržuje zdroj (v elektrostatice se nabil vodič na velký potenciál i velmi malým nábojem). Měřící přístroje pro měření ustáleného proudu jsou založeny na jiném principu (magnetické účinky proudu) než elektrostatické přístroje.

c) Hustota proudu Vystihuje na rozdíl od I rozložení proudu po ploše S. Pro velikost hustoty proudu vyplývá

J =

dI dI = dS cos α dS ⊥

kde dS ⊥ = dS cos α je velikost průmětu elementární plošky dS do roviny kolmé k J. Velikost hustoty proudu je číselně rovna velikosti proudu procházejícího kolmou plochou jednotkové velikosti. Jednotkou je A.m-2. Souvislost hustoty proudu s veličinami charakterizujícími uspořádaný pohyb nositelů proudu Proud I je tokem vektoru hustoty proudu Pro

r J = konst. a rovinnou S

r J orientovanou plochou S. I = J S cosα

V každém bodě prostoru, kterým prochází elektrický proud lze stanovit vektor o proudovém poli. Proudové čáry – vektorové čáry tohoto pole. Proudová trubice – svazek proudových čar.

r J a hovoříme

d) Rovnice kontinuity (spojitosti) proudu Při stacionárním proudu se nositelé proudu nemohou nikde hromadit ani ztrácet – proudové čáry jsou uzavřené křivky (uzavírají se přes zdroj EMN). Uzavřená orientovaná plocha v proudovém poli + proud – v místech, kde proudové čáry vstupují dovnitř uzavřené plochy, – proud – v místech kde vystupují z uzavřené plochy

Celkový proud libovolnou uzavřenou plochou je roven 0,

r r I = ∫ J .dS = 0 S

což je rovnice kontinuity stacionárního proudu.

Uvažujme jediný vodič v izolujícím prostředí. Jeho dvěma kolmými průřezy S1 a S2 proložíme uzavřenou orientovanou plochu S. S1 proud vstupuje, S2 proud vystupuje. Podle rovnice kontinuity platí tedy

I 1 + I 2 = 0 , nebo − I 1 + I 2 = 0 a tedy I 1 = I 2 .

Při ustáleném proudu protéká každým průřezem vodiče proud stejné velikosti. Z rovnice kontinuity odvodíme I. Kirchhoffův zákon. e) První Kirchhoffův zákon V určitém místě je vodivě spojeno n vodičů ( n ≥ 3 ) – uzel.

S1 , S2 ,..., Sn kolmé průřezy vodičů stýkajících se v uzlu a proložíme jimi libovolnou uzavřenou plochu S . Vodiči procházejí proudy I1 , I 2 ,..., I n .

r S přihlédnutím k vzájemné orientaci vektoru hustoty proudu J a vektoru elementu r plochy dS můžeme proudy vyjádřit pomocí velikostí proudů a dostáváme

− I1 + I 2 − I 3 − I 4 + I n = 0 ,

tedy proudy přitékající do uzlu jsou záporné, proudy odtékající z uzlu jsou kladné. První Kirchhoffův zákon: součet všech proudů stýkajících se v uzlu je roven nule. n

∑I

j

= 0.

j =1

2.2. OHMŮV ZÁKON A JEHO APLIKACE Zdroj napětí U vytváří pole Est . Na volné elektrony s nábojem q0 = − e působí pole ve vodiči silou F = − eE st . Působením této síly získá elektron rychlost v (pohyb je bržděn ionty krystalové mřížky). Srážkami částic volných a vázaných vzrůstá vnitřní energie – vodič se zahřívá. Pro lineární vodiče je tato průměrná rychlost přímo úměrná E st . Souvislost mezi J a Est

r r J = γE st ,

kde γ je měrná vodivost (konduktivita). Ohmův zákon v diferenciálním tvaru (v daném místě lineárního vodiče je hustota proudu J přímo úměrná intenzitě E st elektrického pole v tomto místě. a) Ohmův zákon pro úsek homogenního vodiče.

Uvažujme konstantní průřez S ⊥ . Mezi body M a N zdroj udržuje konstantní rozdíl potenciálů r ϕ M − ϕ N = U , ve vodiči je E st = konst. vyjádříme velikost hustoty proudu ve vodiči

U l I J = S⊥

E st =

Výrazy pro Est a J dosadíme do Ohmova zákona v diferenciálním tvaru a obdržíme

I U =γ S⊥ l

Odtud po úpravě

I=

veličina

ρ=

1

γ

U U = , kde R = 1 l = ρ l 1 l R S⊥ γ S⊥ γ S⊥

je měrný odpor materiálu vodiče a R je elektrický odpor uvažovaného

úseku vodiče. Vztah je Ohmův zákon pro úsek homogenního vodiče. Pro R = konst. (lineární vodič) je proud I přímo úměrný napětí U na tomto vodiči. Jednotka odporu v SI soustavě je ohm (Ω). Ohm je odpor vodiče, jímž prochází proud 1 A, je-li mezi konci tohoto vodiče napětí 1V. Převrácená hodnota odporu R je elektrická vodivost G, tj.

G=

1 R

Jednotkou vodivosti je jeden siemens (S). Platí 1 S = 1 Ω-1 = A.V-1. Ekvivalentní tvar Ohmova zákona, zapsaného pomocí elektrické vodivosti je

I = GU nebo U =

I G

Jednotka měrného odporu ρ v SI jednotkách je Ω.m (ohmmetr). Měrný odpor závisí na druhu materiálu vodiče a na jeho fyzikálním stavu (teplotě). Typické hodnoty měrného odporu: • 10-8 Ω.m až 10-7 Ω.m – kovy, -6 7 • 10 Ω.m až 10 Ω.m – polovodiče, • 108 Ω.m až 1019 Ω.m – izolanty. Hodnoty ovlivňují příměsi, mechanické a tepelné zpracování. b) Práce a výkon stacionárního elektrického proudu Práce při přemístění náboje Q z místa o různých potenciálech

A = Q (ϕ 1 − ϕ 2 ) = QU

r Uvedený vztah platí i pro stacionární elektrické pole E st , které ve vodiči vyvolává ustálený proud.

A = QU = UIt což lze vyjádřit pomocí Ohmova zákona

U2 A = UIt = RI t = t. R 2

Výkon elektrického proudu ve vodiči je

A U2 2 P = = UI = RI = . t R

Jednotka výkonu v SI soustavě je watt (W); 1 W = J.s-1 = V.A. (v praxi µW, mW, kW, MW, GW). Jednotka práce v SI soustavě je joule (J). Při odběru se často vyjadřuje součinem výkonu P.t. Proto se práce vyjadřuje ve wattsekundách (W.s) nebo násobcích (kW.s, W.h, kW.h apod.). Průchodem proudu vodičem se vodič zahřívá. Vzniklé (Jouleovo) teplo ve vodiči

U2 Q j = UIt = RI t = t R 2

tento vztah se nazývá Joulův zákon. (Objevil jej v roce 1844 anglický fyzik J.P. Joule). Poznámka: Pozitivní praktický význam – ohřev v odporových pecích, topení, sušení apod., rozžhavená vlákna žárovek jako zdroj světla. Negativní důsledky – ztráty elektrické energie. Nutnost zajištění odvodu tepla u různých elektrických spotřebičů. Spotřebiče chráníme např. tavnými pojistkami.

c) Závislost odporu na teplotě Odpor všech vodivých látek závisí na teplotě. Pro kovy a většinu vodivých látek platí závislost

RT = RT0 e

1 1 B  −  T T0

  

kde

RT je odpor vodiče při teplotě T, RT0 odpor při teplotě T0, B je konstanta materiálu vodiče, která má rozměr teploty (pro kovy je záporná, pro polovodiče kladná). Závislost odporu vodiče na teplotě charakterizujeme tzv.teplotním součinitelem odporu αT, který se číselně rovná změně odporu 1 Ω při změně teploty o 1 K, tedy

αT =

1 dRT . RT dT

Rozměr teplotního součinitele odporu αT je K-1. Pro odpor vodiče v závislosti na teplotě je možné odvodit

RT = RT 0 [1 + α T 0 (T − T0 )] ,

rozdíl je stejný v absolutní i Celsiově teplotní stupnici. Obdobná závislost platí i pro měrný odpor

ρ t = ρ t 0 [1 + α t 0 (t − t0 )]

Pro kovy je teplotní součinitel odporu kladný (10-3 K-1) – odpor kovového vodiče s teplotou roste. Pro uhlík, elektrolyty a polovodiče α T 0 〈 0 ,tj. odpor s rostoucí teplotou se zmenšuje. Grafické vyjádření závislosti napětí U na proudu I procházejícího vodičem (resp. I na U) se nazývá voltampérová (ampérvoltová) charakteristika daného vodiče. Pro lineární vodič (R = konst.) – přímka procházející počátkem (obr.2.5 a). Směrnice U tgα = = R se rovná odporu R daného vodiče. I

Pro nelineární vodiče (R ≠ konst.) je závislost U na I složitější funkcí U = f(I) a voltampérovou charakteristika je určitá křivka – určujeme měřením. Nelinearita může být způsobena vnitřní stavbou látky, odpor může záviset i na směru proudu ve vodiči.

Supravodivost Při jisté kritické teplotě TK se zmenší odpor vodiče téměř k nule. 1911 – H.Kammerling Onnes (holadský fyzik) provedl pokus na rtuti (TK = 4,2 K), 1933 – Meissner a Ochsenfeld ukázali levitaci supravodiče (vnější magnetické pole je „vytlačované“ ze supravodiče a uvnitř je B = 0). Důležitým parametrem je i kritická magnetická indukce BK, která může narušit supravodivý stav. Dělení supravodičů: 1. Supravodiče 1. typu – jedná se většinou o čisté kovy s jedinou hodnotou BK jejíž hodnota je nízká (supravodivý stav je možné narušit slabým magnetickým polem). 2. Supravodiče 2. typu – dvě hodnoty BK ( Bk 2 〉 Bk 1 ) Vhodné pro konstrukci supravodivých elektromagnetů a velmi silným magnetickým polem. 3. Vysokoteplotní supravodiče – keramické oxidy s TK od 30 K do 135 K (LN2 – 77 K).

Vysvětlení supravodivosti – kvantověmechanický popis systému elektronů ve vodiči (1957 – J. Bardeen, L. N. Cooper aj. R. Schriffer). Dvojice elektronů s opačně orientovanými spiny si nevyměňují energii s ionty krystalové mřížky kovu a proto se v ní mohou pohybovat téměř bez odporu. d) Spojování rezistorů Rezistor – elektrotechnická součástka, jejíž hlavní parametr je elektrický odpor (drátové, vrstvové, hmotové apod.) Dvě možnosti spojování sériové (za sebou), paralelní (vedle sebe). A. Sériové zapojení rezistorů (za sebou) Rezistory o odporech R1 , R2 ,...Rn spojené sériově – výstupní svorka je spojená se vstupní svorkou dalšího rezistoru – po připojení rezistorů ke zdroji napětí U bude jimi procházet stejný proud I.

Napětí na jednotlivých rezistorech

U 1 = R1 I , U 2 = R2 I , U n = Rn I Sečtením dostaneme celkové napětí U

U = U 1 + U 2 + ... + U n = ( R1 + R2 + ... + Rn ) I . Pro celkový odpor platí

R = R1 + R2 + ... + Rn Dáme-li do poměru napětí na jednotlivých rezistorech, vyjde

U 1 : U 2 : ... : U n = R1 : R2 : ... : Rn . Celkové napětí se rozdělí na jednotlivé rezistory v přímém poměru k jejich odporům. Sériově řazené rezistory vytvářejí dělič napětí. B. Paralelní zapojení rezistorů (vedle sebe) Vstupní svorky jsou spojeny do uzlu 1, výstupní do uzlu 2 – na všech rezistorech je stejné napětí U , proudy stanovíme podle Ohmova zákona

I1 =

U U U , I2 = ,..., I n = . R1 R2 Rn

Označíme-li R odpor celého obvodu mezi uzly 1 a 2, pak podle 1. Kirchhoffova zákona platí

− I + I 1 + I 2 + ... + I n = 0 Dosazením do této rovnice za jednotlivé proudy

 1 1 1   I = U  + + ... + R R R 2 n   1 Označíme-li R odpor celého obvodu mezi uzly 1 a 2, potom podle Ohmova zákona je vodivost rovna

I 1 1 1 1 = = + + ... + . U R R1 R2 Rn Tedy G = G1 + G2 + ... + Gn . Tedy výsledná vodivost je rovna součtu vodivostí jednotlivých rezistorů. Pro poměr proudů

I 1 : I 2 : ... : I n =

1 1 1 = G1 : G2 : ... : Gn : : ... : R1 R2 Rn

e) Zdroj elektromotorického napětí. Ohmův zákon pro uzavřený obvod. Zdroj EMN udržuje na vodičích připojeného obvodu konstantní rozdíl potenciálů – nenulová intenzita stacionárního elektrického pole E st . Proudové čáry se uzavírají přes zdroj EMN. Elektrické náboje se uvnitř zdroje přesouvají proti směru elektrických sil (síly neelektrického původu –mechanické, chemické apod.) Intenzita „vtištěných sil“ Ei – na udržení elektrického pole (elektrického proudu) zdroj EMN koná práci na úkor neelektrické energie (mechanické, chemické apod.)

Předpokládejme galvanický článek jako zdroj EMN

A. Nezatížený zdroj EMN

U0 = Ue kde U0 je svorkové napětí nezatíženého zdroje (svorkové napětí naprázdno), Ue je elektromotorické napětí zdroje (vlivem vtištěných sil uvnitř zdroje). Schematická značka nezatíženého (ideálního zdroje EMN je na obr. 2.9a)

B. Zatížený zdroj EMN Mezi elektrodami je uvnitř vodivé prostředí, které klade procházejícímu elektrickému proudu jistý odpor Ri – vnitřní odpor zdroje EMN. Ideální zdroj EMN má Ri velmi malý – nulový Ri. Po připojení vnějšího odporu R ke svorkám zdroje, bude obvodem procházet proud I. Tím vznikne na vnitřním odporu úbytek napětí

U i = IRi Na vnějším odporu bude napětí U = IR, což je svorkové napětí zatíženého zdroje. Musí platit

U e = IR + IRi

Vyjádříme z této rovnice proud I procházející obvodem

I=

Ue . R + Ri

C. Zkratovaný zdroj EMN. Pro R〈〈 Ri je proud v obvodu omezen jen vnitřním odporem zdroje a obvodem protéká zkratový proud Izk

I zk =

U Ri

Tvrdé zdroje napětí (malý vnitřní odpor) – Izk řádově stovky ampérů ⇒ nutnost chránit je před poškozením pojistkami nebo jističi. Měkké zdroje napětí (velký vnitřní odpor) – U → 0. D. Zatěžovací charakteristika zdroje Je závislost svorkového napětí U na odebíraném proudu I : U=f(I) Pro svorkové napětí U = RI dostaneme

U = U e − Ri I . lineární zdroj – Ri = konst. nelineární zdroj – Ri ≠ konst. Grafem je přímka, viz. obr. 2.10. Sklon přímky závisí na vnitřním odporu zdroje Ri

Ze dvou bodů zatěžovací charakteristiky (U 1 , I 1 )(U 2 , I 2 ) můžeme určit hodnotu vnitřního odporu zdroje

U 1 = U e − Ri I 1 U 2 = U e − Ri I 2 Po odečtení obou rovnic a úpravě dostaneme pro vnitřní odpor

Ri =

U1 − U 2 I 2 − I1

E. Účinnost zdroje Část výkonu se spotřebuje na vnitřním odporu zdroje a zbývající část na vnějším odporu. Výkon Pint spotřebovaný na vnitřním odporu zdroj zahřívá – ztráty energie. Výkon Pext – vnější výkon a celkový výkon Pcelk určíme ze vztahu P = RI2.

 Ue Pint = Ri I 2 = Ri   R + Ri

2

  ,  2

 Ue   , Pext = RI = R  R + Ri  U 2e . Pcelk = Pint + Pext = R + Ri 2

Účinnost

η=

Pext R = . Pcelk R + Ri

Pro Ri 〈〈 R se účinnost zdroje blíží 1, pro měkké zdroje η 〈1 . F. Spojování zdrojů EMN. Sériové spojování – záporná svorka se spojí s kladnou dalšího zdroje (obr.2.11).

U e = U e1 + U e 2 + ... + U en . Vnitřní odpory jsou zapojeny sériově

Ri = Ri1 + Ri 2 + ... + Rin . Paralelní spojení – obr. 2.12 jen pro stejné zdroje (se stejným EMN). Výsledné EMN

U e = U e1 . Vnitřní odpory paralelně

Ri =

Ri1 . n

Spojení umožní odebírat n-krát větší proud než z jednoho zdroje.

2.3. ŘEŠENÍ STEJNOSMĚRNÝCH ELEKTRICKÝCH SÍTÍ Uzel – místo vodivého spojení alespoň 3 vodičů. Větev – část obvodu spojující 2 uzly (neprocházející dalšími uzly). Jednoduchý uzavřený obvod (uzavřená smyčka – vybraná z rozvětvené sítě) – od jednoduchého uzavřeného obvodu se liší tím, že v různých jejích větvích jsou obecně různé proudy. Pro uzavřené smyčky, libovolně vybrané z lineární rozvětvené sítě platí II. Kirchhoffův zákon. a) Druhý Kirchhoffův zákon

• • • •

Výběr z elektrické sítě (obr. 2.14) libovolné uzavřené smyčky, např. 1-2-3-4-…-1, označení směrů EMN, označení směrů proudu u rezistorů jimiž protékají, r volby směru postupu a výpočet cirkulace E po této smyčce.

platí

r r E ∫ st .dl = 0 a

N

l

M

r r E ∫ st .dl = U MN .

r r r r Napětí UMN je kladné, když E st ↑↑ dl a záporné v případě E st ↑↓ dl a můžeme je též vyjádřit pomocí Ohmova zákona jako RI . Upozornění: ve zdrojích EMN je integrál z intenzity vtištěných sil od – elektrody k + elektrodě roven Ue. + r r ∫ Ei .dl = U e . r Cirkulace E kolem smyčky

−

r r 1´ r r 2 r r r 3 r r 3´ r r 4 r r E . d l = E . d l + E + E . d l + E . d l + E . d l + E + E st st i st st st ∫ ∫ 123 ∫ ∫ 123 ∫ 123 ∫ 14243i .dl + ... =

(

1

↑↑

)

1´

(

2

↑↓

3

↑↑

3´

)

0

.

n

R1 I 1 − R2 I 2 + R3 I 3 ± ... = ∑ ± R j I j j =1

r Cirkulaci E kolem smyčky lze vyjádřit ještě jiným způsobem n r r r r 2 r r 4 r r E . d l = E . d l + E . d l + E . d l = U − U = ± U ej . ∑ i 3 ∫1 i 3 e1 e2 ∫l ∫l st ∫´ 12 2 j =1 1 3 ´ ↑↑ ↑↓ 1 424 3 0

Levé strany předcházejících výrazů jsou stejné, takže musí se rovnat i pravé strany, tj. R1 I 1 − R2 I 2 + R3 I 3 ± ... = U e1 − U e 2 ± ... . n

nebo

∑± R I j

j =1

n

j

= ∑ ± U ej .

(2.41)

j =1

Rovnice (2.41) vyjadřuje II. Kirchhoffův zákon: V uzavřené smyčce libovolně vybrané z elektrické sítě se algebraický součet úbytků napětí na jednotlivých rezistorech rovná algebraickému součtu všech elektromotorických napětí. b) Řešení jednoduché elektrické sítě metodou postupného zjednodušování Jednoduchou síť s jedním zdrojem EMN řešíme postupným nahrazováním výslednými odpory sériově či paralelně řazených rezistorů. Následně z U a celkového I vypočítáme proudy v jednotlivých větvích. c) Řešení elektrických sítí užitím Kirchhoffových zákonů Analýza elektrické sítě – při známých hodnotách odporů rezistorů a EMN zdrojů a jejich propojeních vypočítat proudy přes jednotlivé větve. Elektrická síť – n uzlů, v větví. (v nezávislých rovnic pro stejný počet proudů) Podle I. Kirchhoffova zákona sestavíme u - 1 nezávislých rovnic, podle II. Kirchhoffova zákona sestavíme zbytek. Celkový počet v - (u-1) = v - u + 1. (2. 42) Je tedy třeba ze sítě vybrat v - u +1 nezávislých uzavřených smyček. Kostra sítě – větve sítě a uzly v podobě jednoduchých čar (obr.2.15a) Úplný strom – neuzavřená čára spojující všechny uzly (obr. 2.15b)

Nezávislé větve – nepatří do úplného stromu – počet v - u + 1

Do každé smyčky zařadíme jednu nezávislou větev, která ještě nebyla použita v předchozích smyčkách. Postup řešení: síť: 3 uzly ( u = 3), 5 větví (v = 5) (obr. 2.16)

Úkol: určit 5 neznámých proudů. Podle I. K.z. = 2 nezávislé rovnice. Podle II. K.z. = 3 rovnice (pro vyznačené smyčky). a) vyznačíme směry proudů ve větvích (libovolně), b) určíme tři uzavřené nezávislé smyčky a zvolíme směr, kterým budeme ve smyčkách postupovat, c) Napíšeme I. K.z. pro uzly 1 a 2: − I1 + I 2 + I 3 = 0 . (2.43) − I3 + I4 + I5 = 0 d) Napíšeme II. K.z. pro vyznačené smyčky: R1 I 1 + R2 I 2 = U e1 − R2 I 2 + R3 I 3 + R4 I 4 = U e 4 − R4 I 4 + R5 I 5 = U e 5 − U e 4 . (2.44) e) Řešíme soustavu 5 rovnic pro 5 neznámých proudů I 1 − I 5 . e) Po ukončení výpočtu opravíme směry proudů, jejichž hodnoty vyšly záporné. d) Věta o náhradním zdroji napětí (věta Théveninova) Někdy potřebujeme znát jen proud v jedné větvi a ostatní nás nezajímají. Nahradíme celou elektrickou síť vzhledem ke dvěma uzlům jedním náhradním zdrojem EMN. Uvažujme síť na obr. 2.17, ve které potřebujeme určit proud I jen ve větvi mezi uzly 1 a 2, jejíž odpor je R. Věta o náhradním zdroji napětí: A. Náhradní zdroj napětí o vnitřním odporu Rin a EMN Uen. B. Elektromotorické napětí Uen náhradního zdroje je rovno napětí mezi rozpojenými uzly.

C. Vnitřní odpor Rin náhradního zdroje EMN je roven odporu elektrické sítě mezi rozpojenými uzly, nahradíme-li všechny zdroje spojkami nakrátko (obr. 2.17)

znázornění konkrétního postupu při určení parametrů náhradního zdroje (obr. 2.18)

• • • •

odpojení větve mezi uzly 1 a 2 , stanovení (výpočtem nebo měřením) napětí mezi uzly U 120 U en = U 120 – EMN náhradního zdroje napětí, nahrazení všech zdrojů EMN spojkami nakrátko (silně vyznačené), stanovení odporu sítě mezi rozpojenými uzly 1 a 2 (výpočtem nebo měřením) ⇒ vnitřní odpor Rin náhradního zdroje napětí

Zapojíme-li v síti mezi uzly 1 a 2 větev o odporu R, platí pro proud I U en I= . R + Rin

(2.52)

e) Řešení obvodů s nelineárními rezistory A. Statický a dynamický (diferenciální) odpor nelineárního rezistoru.

Elektrické vlastnosti nelineárního rezistoru nejlépe vystihuje jeho V-A charakteristika (obr. 2.19).

Statický odpor v daném bodě V-A charakteristiky

( RS ) A =

UA = tgα , IA

(2.53)

v každém bodě je jiná hodnota (RS)A. Nahrazení části křivky v okolí pracovního bodu přímkou (tečna t ke křivce ve zvoleném pracovním bodě). Dynamický (diferenciální) odpor nelineárního rezistoru (Rd)A

( Rd ) A = Rd = 0 Rd 〉 0 Rd 〈 0

∆U A  dU  =  , ∆I A  dI  A

(2.54)

na vrcholu V-A charakteristiky, na vzestupné části V-A charakteristiky, na sestupné části V-A charakteristiky.

Případ Rd 〈 0 je nestabilní (připojením k dostatečně tvrdému zdroji by proud neustále narůstal, dokud by nedošlo ke zničení–proto proud omezujeme zapojením lineárního rezistoru do série s nelineárním rezistorem). B. Řešení obvodu s paralelně zapojenými nelineárními rezistory Uvažujme dva nelineární rezistory R1* a R2* zapojené paralelně a připojené ke zdroji o napětí U (obr. 2.20) Napětí je stejné, proud I se rozdělí na proudy I1 a I2. Podle I. Kirchhoffova zákona platí: I = I1 + I2. Při známé V-A charakteristice jednotlivých rezistorů, určíme výslednou V-A charakteristiku graficky (obr. 2.20). Tak můžeme nahradit uvažované zapojení jediným nelineárním rezistorem R*.

C. Řešení obvodu se sériově zapojenými nelineárními rezistory Oběma rezistory prochází stejný proud I , napětí se rozdělí U=U1 + U2. Výsledná V-A charakteristika je nalezena sečtením hodnot napětí na jednotlivých rezistorech ⇒ V-A charakteristika celkového nelineárního rezistoru R*. D. Stanovení ustáleného stavu v obvodu se sériovým zapojením lineárního a nelineárního rezistoru Ustálený stav zjišťujeme po připojení této kombinace ke zdroji o Ue (obr. 2.22).

Vnitřní odpor zdroje Ri zahrnujeme do hodnoty R lineárního rezistoru. Řešení: • Stanovíme proud I po připojení ke zdroji EMN. • Napětí U1 na lineárním rezistoru R a napětí na nelineárním rezistoru R*. Výhodnější postup: • Svorky 1 a 2 považujeme za svorky zdroje o Ue a vnitřním odporu R. • Sestrojíme zatěžovací charakteristiku tohoto zdroje (prochází body I = 0, U = Ue a Izk = Ue/R , U = 0) – viz. obr. 2.22b. • Zakreslíme do soustavy os V-A charakteristiku nelineárního rezistoru.

• •

U2 je jednak svorkovým napětím uvažovaného zdroje a napětím nelineárního rezistoru ⇒ průsečík P zatěžovací charakteristiky s V-A charakteristikou vyhovuje oběma podmínkám.

Ustálený stav odečteme z grafu – určíme proud I a napětí na lineárním rezistoru U1 a U2 na nelineárním rezistoru. 2.4. MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH VELIČIN a) Měření proudu a napětí Využití magnetických účinků elektrického proudu. Nejrozšířenější systémy: • deprézské, • elektromagnetické, • elektronické měřící přístroje s digitální indikací na displeji. Měřidla proudu • ampérmetry (miliampérmetry, mikroampérmetry apod.), • galvanoměry (s citlivostí menší než 10-6 A). Měřidla napětí • voltmetry (milivoltmetry, kilovoltmetry apod.). Měřící systém má vnitřní odpor Ri . Při průchodu proudu I tímto odporem je na svorkách měřícího systému napětí U = RiI ⇒ lze tedy stejným systémem měřit i napětí (ocejchování stupnice) Základní proudový rozsah Izakl ⇒ proud registrovaný na posledním číslovaném dílku stupnice. Základní napěťový rozsah Uzakl ⇒ napětí na svorkách měřícího systému, které způsobí výchylku na posledním číslovaném dílku stupnice.

Oba parametry splňují Ohmův zákon

Uzakl = RiIzakl. b) Změna rozsahu měřicích přístrojů Nutnost měřit napětí a proudy v širokých rozmezích hodnot. Změna měřícího rozsahu ampérmetru (obr. 2.23a)

• • • •

Zvětšení rozsahu n – krát (I = nIzakl), připojení bočníku o odporu Rb (paralelně), proud bočníkem (n – 1)Izakl, proudy paralelně zapojenými rezistory

Rb I zakl = Ri ( n − 1) I zakl odtud hodnota odporu bočníku

Rb =

Ri n −1

Změna rozsahu voltmetru (obr. 2.23b) • Zvětšení rozsahu n – krát (U = nUzakl), • zapojení předřadného rezistoru do série s měřícím systémem, • napětí na sériově zapojených rezistorech jsou ve stejném poměru jako jejich odpory

Rp Ri

=

( n − 1)U zakl U zakl

odtud hodnota odporu předřadného rezistoru

RP = ( n − 1) Ri c) • • •

Zapojování měřících přístrojů do elektrického obvodu Při měření proudu rezistorem Rs: ampérmetr do série. Vnitřní odpor RA musí být co nejmenší (aby nedošlo k podstatné změně proudu). Ampérmetr nemůžeme připojit přímo ke svorkám tvrdého zdroje napětí (zkratový proud by ho zničil) ⇒ omezení proudu v obvodu do série zapojeným spotřebičem (rezistorem RS), viz. obr. 2.24a

Měření napětí: voltmetr paralelně. • Vnitřní odpor voltmetru RV musí být co největší (zapojený paralelně) jinak se zmenší celkový odpor měřené části obvodu a dojde k poklesu napětí v této části obvodu. • Elektronické voltmetry – odpor 10 – 100 MΩ. • Voltmetr lze připojit přímo ke svorkám zdroje EMN.

d) Třída přesnosti měřidla. Konstanta přístroje. Nejistoty způsobené náhodnými příčinami < nejistoty způsobené použitím měřícího přístroje. Třída přesnosti – vyznačení v pravém dolním rohu stupnice nad značkou proudu (0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 5,0). Přístroje normálové – třída přesnosti 0,1 nebo 0,2 – slouží pro kalibraci laboratorních a technických měřidel. Příklad: třída přesnosti p = 2,5 (%) na rozsahu 100 V ⇒ každá hodnota napětí na tomto rozsahu má absolutní nejistotu δU = 2,5 V. Relativní nejistota pro U = 50 V ± 2,5 V ⇒ 5 %, pro U = 25 V ± 2,5 V ⇒ 10 %. Obecně: 1/2 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 2p %, 1/4 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 4p %, 1/10 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 10p %, z toho plyne: snažíme se měřit v druhé polovině stupnice. U digitálních měřidel (dnes nejběžnější) bývá absolutní nejistota měřených hodnot udávána výrobcem v technické dokumentaci. Konstanta přístroje: na daném rozsahu udává hodnotu měřené veličiny připadající na jeden dílek stupnice. Pro 600 mA při stupnici 120 dílků je konstanta miliampérmetru K

K=

600 = 5mA / dílek . 120

Při měření odečítáme měřené hodnoty v dílcích stupnice a později je vynásobíme konstantou přístroje (hodnoty v mA). 2.5. TERMOELEKTRICKÉ JEVY a) Pásový model pevných látek. Výstupní práce elektronu z kovu • Elektrony v látce se nachází v poli kladných jader atomů. • Elektrony -e mají v tomto poli zápornou potenciální energii WP = – eϕ. • WK 〈WP tedy jejich celková energie je záporná. • Elektrony (fermiony) jsou částice se spinem 1/2 a tedy jejich energie je kvantovaná (v osamoceném atomu tvoří diskrétní energetické hladiny). • V pevné látce (interakce více atomů) se tyto hladiny rozpadají do pásů (velký počet velmi blízkých hladin energie). Elektrony ve valenční slupce atomů způsobují vodivost látky. Pásový diagram dielektrik a polovodičů (obr. 2.30a.) Jednotka energie elektronvolt, 1 eV = 1,602.10-19 J. valenční pás – vyjadřuje povolené hodnoty energie valenčních elektronů v atomech látky. Volný elektron ⇒ přechod z valenčního pásu přes zakázaný pás (nutná dostatečná energie) do vodivostního pásu. Šířka zakázaného pásu: • u dielektrik velmi široká (více než 3 eV) ⇒ neobsazené hladiny ve vodivostním pásu a tedy látka nevede elektrický proud, • u polovodičů šířka kolem 1 eV ⇒ za pokojové teploty jistá část elektronů z valenčního pásu přechází do vodivostního a způsobuje částečnou vodivost látky.

Pásový diagram u kovů (obr. 2.30 b,c) vodivostní pás navazuje (překrývá se) s valenčním pásem ⇒ vodivost kovů je velmi dobrá. Způsob obsazení hladin závisí na teplotě látky. U kovů při teplotách blízkých 0 K se nejvyšší obsazená hladina ve vodivostním pásu označuje WF – Fermiho energie. Poznámka: u izolantů a polovodičů prochází hladina Fermiho energie WF středem zakázaného pásu. Vně kovu je ϕ = 0 a tedy i WP = 0. Výstupní práce AV energie potřebná pro uvolnění volného elektronu ze systému hladin. (AV je dáno rozdílem energií mezi hladinou W = 0 a hladinou Fermiho energie W = WF.

Různé kovy mají různé hodnoty výstupní práce elektronů z kovů ⇒ při dotyku těchto kovů vzniká kontaktní potenciál. b) Kontaktní rozdíl potenciálů Elektrony přecházejí z kovu o menší AV do kovu s větší AV ⇒ kov s menší AV se nabíjí kladně a kov s větší AV se nabíjí záporně. Rozdíl jejich potenciálů se nazývá kontaktní rozdíl potenciálů (kontaktní napětí). Koncem 18. stol. A. Volta experimentálně sestavil následující řadu kovů: + Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd –. Každý kov v řadě při dotyku s libovolným následujícím kovem se nabíjí kladně (čím je větší vzdálenost v této řadě, tím je větší kontaktní rozdíl potenciálů). Uvažujme řadu kovů A, B, C a D Kovy se nabíjí na potenciály ϕA ϕB ϕC ϕD a jejich kontaktní napětí

U AB = ϕ A − ϕ B , U BC = ϕ B − ϕ C , U CD = ϕ C − ϕ D Kontaktní napětí mezi prvním a posledním kovem je UAD = UAB + UBC + UCD = ϕA – ϕB + ϕB – ϕC + ϕC – ϕD = ϕA – ϕD. KN závisí na materiálu prvního a posledního kovu v řadě a nezávisí na složení vnitřních kovů řady.

Uzavřený obvod: Celkové kontaktní napětí U U = UAB + UBA = ϕA – ϕB + ϕB – ϕA = 0. Součet všech kontaktních napětí v uzavřeném obvodu je roven nule v případě, že teplota T všech spojů je stejná.

c) Seebeckův jev Velikost kontaktního rozdílu potenciálů závisí na teplotě. V obvodu z kovů A a B na obr. 2. 32a je jeden konec udržován na teplotě T1 a druhý na teplotě T2 > T1 .

(U AB )T 2

≠ (U BA )T 1 ⇒ obvodem bude procházet termoelektrický proud (objevil Seebeck r.

1821). Termoelektrický proud v uzavřeném obvodu je způsoben termoelektrickým napětím Ut (důsledkem rozdílných teplot spojů – velikost závisí na materiálu a na ∆T mezi spoji). Přibližně platí

U t = (a A − a B )∆T +

1 (bA − bB )(∆T )2 . 2

Koeficienty aA, aB, bA, bB – Seebeckovy koeficienty kovu A a kovu B.

Termočlánek – zařízení pro regulační účely nebo k měření teploty (známe-li průběh závislosti Ut na ∆T můžeme stanovit teplotu).V praxi se termočlánek realizuje třemi dráty (krajní jsou ze stejného materiálu),

Referenční spoj se udržuje na konstantní teplotě 0 0C (směs vody a ledu). Měrný spoj je v tepelném kontaktu s předmětem, jehož teplotu zjišťujeme.

d) Peltiérův jev Jedná se inverzní Seebeckův jev objevený J.Peltierem r. 1834. Zařadíme-li do uzavřeného obvodu složeného ze dvou kovů zdroj EMN Ue , který v obvodu vyvolá proud I, začne se jeden spoj zahřívat a druhý ochlazovat

QP = pIt , Peltierovo teplo kde p je Peltiérův koeficient. Kontaktní napětí v jednom spoji elektrony urychluje (zahřívá se) v druhém brzdí (teplo se odnímá mřížce a spoj se ochlazuje). Peltierovy baterie – spojení kovu s polovodičem. Ochlazované spoje jsou na jedné straně a zahřívané na druhé (chladí se). Lze dosáhnout snížení až o 20 0C od okolní teploty. Peltierova baterie se napájí velkým proudem (až 20 A) při malém napětí napájecího zdroje. e) Thomsonův jev W. Thomson r. 1851 zjistil, že při vyvolání teplotního spádu na vodiči jednoho druhu vznikne na koncích nepatrné termoelektrické napětí (nemá praktický význam). r Elektrické pole ve vodiči E st směřuje od teplejšího konce ke studenějšímu. Intenzita r vtištěných sil Ei vyvolaná teplotním spádem a způsobující přemístění elektronů má směr opačný (obr.2.35)

Termoelektrické napětí

U T = ϑ (T2 − T1 ) kde ϑ je Thomsonův koeficient (kladný nebo záporný, pro olovo nulový).

2.6. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V POLOVODIČÍCH Měrný elektrický odpor polovodičů 10-6 Ω.m – 108 Ω.m. Silná závislost vodivosti polovodičů na: • teplotě, • osvětlení, • čistotě látky, • jiných fyzikálních faktorech. Do skupiny polovodičů patří řada anorganických a organických látek, Největší praktické využití mají Se, PbS, CuO, Ge, Si, GaAs, CdTe atd. Teorie polovodičů pro Si (Ge) Dva mechanismy vodivosti: vlastní vodivost a nevlastní vodivost.

a) Vlastní polovodiče Vlastní vodivostí se vyznačují všechny polovodiče. Nevlastní vodivost existuje jen u příměsových polovodičů. • Vlastní polovodič se při 0 K podobá izolantu (prázdný vodivostní pás). • Při vyšších teplotách dochází k tepelné excitaci některých atomů polovodiče (elektrony přejdou z valenčního do vodivostního pásu). Elektron musí z excitace (tepelné nebo jiné) získat energii potřebnou k překonání šířky zakázaného pásu energií (Ge – 0,72 eV, Si – 1,12 eV). • Počet uvolněných elektronů rychle roste s rostoucí teplotou ⇒ měrný elektrický odpor s rostoucí teplotou rychle klesá. Díra – neobsazené místo po elektronu ve valenčním pásu (přesouvá se v elektrickém poli jako kladný náboj).

Ve vlastním polovodiči jsou nosiči proudu elektrony a díry (vznikají v párech). Ge a Si – prvky ve 4. sloupci Mendělejevova periodického systému ⇒ čtyřmocné prvky (krystalizují v diamantové mřížce – obr. 2.36a).

Kolem každého atomu jsou v prostoru symetricky rozmístěné čtyři atomy (obr. 2.36b), se kterým je středový atom vázán kovalentní vazbou.

b) Nevlastní polovodiče Nevlastní vodivost – zabudováním jiných atomů s odlišným počtem valenčních elektronů do krystalové mřížky. Zabudováním trojmocného atomu (Al, B, In) do krystalové mřížky se čtyřmocnými atomy (Si) vznikne díra – akceptor (obr. 2.37). Polovodič typu P – v polovodiči dotovaném trojmocnými atomy převládá děrová vodivost.

Nahrazením atomu Si pětimocným atomem (As, P) vznikne volný elektron (vazební energie jen 0,05 eV) – donor. Polovodič typu N – polovodič s převládající elektronovou vodivostí. Majoritní (ve většině) a minoritní (menšinoví nositelé proudu opačného znaménka).

c) Jevy na přechodu PN • Elektrony přecházejí z míst o velké koncentraci do míst o nižší koncentraci, tedy z polovodiče N do polovodiče P, díry difundují z polovodiče P do polovodiče N (ϕP < ϕN) – na přechodu vznikne potenciálová přehrada, viz. obr. 2.38a).

Přivedení napětí na PN přechod: • Záporný pól k P polovodiči, kladný pól k N polovodiči (obr. 2.38b), majoritní nositelé budou odpuzování od přechodu ⇒ šířka potenciálové bariéry se rozšíří vlivem napětí U – zapojení v závěrném směru.

•

Kladný pól zdroje k P polovodiči, záporný pól k N polovodiči (obr. 2. 38c), potenciálová bariéra se sníží a zúží (majoritní nositelé jsou odpuzováni směrem k přechodu PN) – zapojení přechodu v propustném směru.

•

Přechod PN má nesouměrnou vodivost – záleží na polaritě připojeného zdroje napětí (základ polovodičových diod).

d) Polovodičové diody V-A charakteristika

V propustném směru – proud prochází po překonání potenciálové bariéry (Ge dioda 0,2 V až 0,3 V, Si dioda 0,65 V). Pro každý typ diody výrobce udává Imax v propustném směru (jinak přehřátí a zničení). V závěrném směru – malý závěrný proud tvořený minoritními nosiči. Překročením Uzav.max dojde k lavinovitému narůstání proudu (destruktivní průraz). Zenerova dioda – speciálně zkonstruovaná dioda s malou šířkou přechodu PN a nedestruktivním průrazem v závěrném směru (po snížení napětí se přechod vrátí do původního stavu) ⇒ stabilizace napětí.

Využití diod: • Usměrňování střídavých proudů – využití nesymetrické vodivosti polovodičových diod. • Plošné diody – usměrnění větších proudů technických frekvencí (velká kapacita přechodu),

• • • •

hrotové diody – usměrnění malých proudů (malá kapacita přechodu), kapacitní diody (varikapy) – velikostí závěrného napětí lze řídit šířku přechodu (kapacitu přechodu). Pracuje jako proměnný kondenzátor řízený napětím, luminiscenční diody – pro indikační a signalizační účely (napětí vyvolá na přechodu emisi světla), fotodiody – světlo dopadající na přechod vyvolá zvětšení napětí na přechodu PN.

Schematické značky jednotlivých typů polovodičových diod

2.7. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V ELEKTROLYTECH a) Elektrolyty. Elektrolytická disociace a rekombinace Elektrolyty – roztoky vedoucí elektrický proud – vodiče II. třídy, Schopnost rozpouštědel vytvářet vodivé roztoky závisí na εr (větší εr ⇒ větší schopnost. H2O má εr = 80). Elektrolytická disociace – rozštěpení části molekul na kladné a záporné ionty vlivem působení molekul rozpouštědla. • Rozpouštění heteropolárních látek (dva ionty opačných znamének), • nenulový elektrický dipólový moment molekul rozpouštědla – molekula +H2O (obr. 2.41a).

Solváty – ionty rozpuštěné látky obklopené molekulami rozpouštědla. Hydráty – totéž ve vodných roztocích (obr. 2.41b), V elektrickém prostředí se útvary pohybují jako celek (překonávají odpor prostředí). Rekombinace iontů – spojování kladných a záporných iontů na neutrální molekuly.

Pro n0 molekul rozpuštěné látky v 1 m3 elektrolytu a n disociovaných molekul v 1m3

α=

stupeň disociace

n n0

0 ≤ α ≤ 1.

Je-li roztok koncentrovaný n0 je velké (α<<1), v silně koncentrovaných roztocích je nízký stupeň disociace. V slabě koncentrovaných roztocích jsou téměř všechny molekuly rozpuštěné látky disociovány.

Koncentraci roztoků vyjadřujeme jako: • hmotnostní koncentraci (kg.m-3, g.l-1), • molární koncentrace (mol.m-3, mol/l). Voda je slabě disociována (obsahuje H+ OH-), koncentrace vodíkových iontů [H+]=10-7 pH roztoku pH= -log[H+], U neutrálních roztoků (např. voda) pH = 7, zásadité roztoky pH > 7, kyselé roztoky pH < 7. b) Vedení elektrického proudu v elektrolytu katoda (záporná elektroda) a anoda (kladná elektroda) v elektrolytu ⇒ pole E st . Elektrické síly Fe = ± zeE st způsobí pohyb iontů – záporné ionty (anionty), kladné ionty (kationty). Proti pohybu iontů – solvátů působí síly odporu prostředí –(přímo úměrně rychlosti iontů)

Ustálený stav – úvaha sil odporu prostředí Hustota proudu v elektrolytu

J = J + + J − = n0αze(u + + u − )E st = γE st

tj. Ohmův zákon v diferenciálním tvaru pro elektrolyty. J+, J– proudové hustoty kladných (záporných) iontů, u+, u– pohyblivost kladných (záporných) iontů. c) Elektrolýza Pohyby iontů k elektrodám. Neutralizace iontů – předání náboje elektrodám. Elektrolýza – vyloučení iontů na elektrodách, chemická reakce s materiálem elektrod, reakce s elektrolytem … Průchod elektrického proudu v elektrolytu je zprostředkován anionty a kationty.

d) Faradayovy zákony elektrolýzy Uvažujme jednu elektrody (katodu), na které se při elektrolýze za 1 s vyloučí p iontů látky. Označme z mocenství iontu, ze náboj iontu, m0 hmotnost iontu, M hmotnost vyloučené látky za dobu t, I proud procházející elektrolytem.

M = pm0t, I = zep. Vydělením obou rovnic a po úpravě pro M Platí

M = kde

m0 It = AIt = AQ , ze

Q = It je celkový náboj prošlý elektrolytem za čas t, A je elektrochemický ekvivalent

A= Jednotkou A je 1 kg.C-1.

m0 . ze

1. Faradayův zákon elektrolýzy: Hmotnost vyloučené látky je přímo úměrná náboji, který prošel elektrolytem

Jiné vyjádření A – rozšíření zlomku Avogadrovou konstantou (NA = 6,023.1023 mol-1)

A=

N A m0 M m = , N A ez Fz

kde Mm je molární hmotnost, F je Faradayova konstanta

F= NAe = 9,64867.104 C.mol-1. F vyjadřuje náboj, kterým by se vyloučil jeden mol jednomocné látky. Vyjádření Faradayova zákona

M =

Mm It Fz

Projde-li dvěma elektrolyty při elektrolýze týž náboj Q = It, pak podíl hmotností vyloučených látek je

M m1 M m1 Q B M1 Fz1 z = = 1 = 1 M 2 M m 2 Q M m 2 B2 Fz 2 z2 B1 a B2 jsou kilovaly (kilogramekvivalenty) příslušných látek. 2. Faradayův zákon – hmotnosti látek vyloučených týmž nábojem jsou v poměru jejich kilovalů.

e) Elektrodový potenciál Při transportu iontů mezi elektrodou a elektrolytem po čase nastane dynamická rovnováha – počet iontů přicházejících z elektrody do elektrolytu bude stejný jako počet iontů vracejících se zpět na elektrodu. Elektroda se rozpouští, kationty katody přechází do elektrolytu – elektroda se nabíjí záporně pokud kationty přechází z elektrolytu na elektrodu – elektroda se nabíjí kladně. Poznámka: mechanizmus závisí na chemickém složení elektrody, elektrolytu, rozdílu potenciálů. Elektrodový potenciál – potenciál elektrody vzhledem k elektrolytu. Standardní elektroda – (např. vodíková) vzhledem k této elektrodě měříme potenciály ostatních elektrod (standardní elektrodové potenciály).

Elektroda

Li Al Zn Fe Cd Ni Pb

Tabulka 1: Standardní elektrodové potenciály různých kovů Standardní elektrodový Elektroda Standardní elektrodový potenciál [V] potenciál [V] -3,04 H 0,000 -1,66 Cu +0,34 -0,76 Ag +0,80 -0,44 Hg +0,80 -0,40 Au +1,50 -0,25 Pt +1,60 -0,12 O +1,68

Skutečnost, že elektrody různých kovů mají různý elektrodový potenciál, umožňuje konstrukci galvanických článků. f) Polarizace elektrod Nastane tehdy, když původně stejné elektrody (např. C) se stanou elektrodami z různých materiálů. Polarizační napětí – napětí naměřené mezi zpolarizovanými elektrodami. Polarizační napětí při elektrolýze působí proti napětí přiloženého zdroje. Aby elektrolytem procházel elektrický proud, musí být napětí připojeného zdroje větší než polarizační napětí mezi elektrodami.

– nepříznivý vliv u galvanických článků, + záměrné vyvolání polarizace elektrod u akumulátorů. g) Galvanické články a akumulátory 18. století A. Volta – Voltův galvanický článek. Anoda – Cu, katoda – Zn ve vodném roztoku H2SO4, Ue ≈ 1,05 V.(Odběrem proudu dochází k polarizaci elektrod, anoda se pokryje bublinkami H2 a na katodě je O2. Polarizací elektrod napětí klesne téměř na nulu). Danielův článek – potlačení polarizace elektrod (Cu je v CuSO4 vodném roztoku, Zn je v ZnSO4 vodném roztoku.) Elektrolyty jsou oddělené polopropustnou vrstvou propouštějící jen ionty SO4--. Při zátěži Cu z elektrolytu na Cu anodu, Zn z elektrody do elektrolytu (složení elektrod se nemění).

Monočlánky a suché baterie – úpravou Laclanchéova článku Kladnou elektrodu tvoří uhlíková tyčinka, zápornou elektrodu Zn nádobka, elektrolytem je vodný roztok salmiaku (NH4Cl). Zabránění polarizace elektrod – burel a tuha. EMN článku = 1,5 V, plochá baterie – 3 články sériově = 4,5 V. Westonův normálový článek – Ue – 1,017934 V

Článek je neklopný (nesmí se promíchat tekutiny), měří se s ním v bezproudovém stavu (max. zatížení proudem I = 1 µA). Primární galvanické články – elektrochemické děje jsou v nich nevratné, Sekundární galvanické články – akumulátory Akumulátor využívají se v něm vratné elektrochemické děje, využívá se polarizace elektrod (záměrně se vytváří při nabíjení akumulátoru). Olověný akumulátor – dvě soustavy Pb elektrod, elektrolyt – H2SO4 (hustota 1,28 g.cm-3). • Nabití akumulátoru – (+ na +, – na –) předepsaným proudem (katoda se pokryje pórovitým Pb, anoda PbO2). • Současně dochází k rozkladu vody (vody ubývá, hustota elektrolytu roste +0,2 g.cm-3) • Ue je asi 2 V (při poklesu pod 1,85 je třeba ji nabít). • Pb akumulátor má velmi malý Ri < 0,01 Ω (může krátkodobě dodat do obvodu velký proud – startování automobilu). • Při zkratu však může způsobit požár (roztavením vodičů). • Účinnost Pb akumulátoru je asi 80%. • Kapacita (náboj) akumulátoru se udává v Ah (jak dlouho můžeme odebírat proud 1 A). Alkalický oceloniklový akumulátor (NiFe) – Ue = 1,3 V, • K – Fe, A – Ni, elektrolyt – vodný roztok 21% KOH + 5% LiOH. • při stejné hmotnosti má větší kapacitu,10x delší životnost, • může po jistou dobu zůstat nenabitý, má velký Ri .

Další typy akumulátorů: NiCd, HgAg …

2.8. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU (Výboj v plynech)

V PLYNECH

Výboj v plynu – označení pro průchod elektrického proudu plynem. Za normálních podmínek jsou čisté plyny velmi dobrými izolanty (vzduch obsahuje v 3 1 cm jen 103 iontů vznikajících vlivem radioaktivního a kosmického záření). Ionizační činidla – umělé vytvoření nositelů proudu (zahřátím, působením UV záření, RTG záření, radioaktivního záření apod.). Nesamostatné vedení proudu v plynu – vedení podmíněné působením vnějšího ionizačního činidla. Samostatné vedení proudu – nositelé proudu vznikají v plynu vlivem procesů vyvolaných elektrickým polem.

a) Ionizace, rekombinace a neutralizace iontů Na vedení proudu v plynu se podílí kladné a záporné ionty a volné elektrony. Ionizační energie – energie Wi potřebná na odtržení elektronu z atomu nebo molekuly. Často se vyjadřuje pomocí elementárního náboje e a ionizačního potenciálu ϕi W Wi = eϕi , tedy ϕ i = i . e Tabulka – První ionizační potenciály některých plynů Prvek Prvek ϕi [V] ϕi [V] H 13,6 Ne 21,56 He 24,56 Kr 14,0 O 13,62 Xe 12,13 Ar 15,76 Na 5,14

Kladně a záporně nabité částice vznikají ve dvojicích (počet se rovná počtu ionizovaných atomů nebo molekul) n+ = n– = n, kde n je počet ionizovaných molekul v 1 m3. Rekombinace iontů – vytvoření neutrálního iontu nebo molekuly po setkání + a – iontu nebo + iontu a elektronu. Neutralizace iontů – úbytek iontů při výboji odevzdáním náboje iontů na elektrodách.

b) Nesamostatný výboj v plynu Uvažujme 2 elektrody ve vzájemné vzdálenosti d o ploše desek S s přiloženým napětím U. A. Nesamostatný výboj v slabém elektrickém poli Rychlost iontů je malá – rekombinace převažuje nad neutralizací B. Nesamostatný výboj v silném elektrickém poli Rychlost iontů je relativně velká – malá pravděpodobnost rekombinace Hustota nasyceného proudu JS – největší hodnota hustoty proudu při daném působení ionizačního činidla.

Závislost hustoty proudu J na intenzitě elektrického pole E při působení daného ionizačního činidla

Oblast 1 – platnost Ohmova zákona, Oblast 2 – s rostoucí intenzitou E přestává uplatňování rekombinace iontů, Oblast 3 – oblast nasyceného proudu, Oblast 4 – přechod v samostatný výboj – ionty v plynu vznikají působením elektrického pole. c) Samostatný výboj. Ionizace nárazem Ionizace nárazem – vznik iontů při srážce elektronů urychlených elektrickým polem s neutrálním atomem nebo molekulou. Kinetická energie elektronu Wk > Wi , pokud Wk < Wi dostane se atom do vybuzeného stavu o energiích W1, W2,… < Wi. Krátká doba života – 10-8 s a následný přechod do základního stavu doprovázený vyzářením fotonu. fotoionizace – foton UV ionizuje další molekulu plynu, – foton viditelného záření = světelné efekty. Při dostatečně velkém napětí mezi elektrodami přechází nesamostatný výboj v samostatný (lavinovitá tvorba elektronů). Rovinou ve vzdálenosti x projde za 1 sekundu N elektronů (x +dx ⇒ N +dN), pro dN platí dN = Nαdx, kde α je první Townsendův koeficient. Po integraci

N = N 0 eαx počet elektronů roste exponenciálně s rostoucím x Na anodu dopadne N a = N 0 eαd a plynem prochází proud

I = eN a = eN 0 eαd Podmínka pro ustálený stav: • N0 elektronů emitovaných z katody vytvoří na dráze k anodě za 1 sekundu Na - N0 nových kladných iontů přitahovaných katodou. • Pro udržení samostatného výboje musí za 1 sekundu vyvolat emisi N0 nových elektronů z katody. • Podmínka udržení samostatného výboje:

β (N a − N 0 ) = N 0 dosazením za Na

β (eαd − 1) = 1

β – koeficient počtu emitovaných elektronů k počtu dopadajících kladných iontů. d) Doutnavý výboj Nastává při nízkém tlaku a napětí řádově 1000 V. 1000 Pa – provazcový výboj mezi oběma elektrodami, 1500 Pa – rozšíření na celý průřez trubice, 700 Pa – doutnavý výboj (obr.2.44). Oblasti doutnavého výboje:

1. Astonův tmavý prostor – kinetická energie elektronů z katody nestačí na ionizaci ani na převedení atomů plynu do excitovaného stavu. 2. Svítící katodová vrstva – kinetická energie elektronů z katody stačí na převedení atomů plynu do excitovaného stavu, ale nedostačuje na ionizaci. 3. Crookesův tmavý prostor – značné urychlení elektronů vysokým gradientem potenciálu 4. Doutnavé katodové světlo 5. Faradayův tmavý prostor 6. Anodový sloupec. Poznámka: • Při malé vzdálenosti anody od katody (doutnavky) svítí jen katodová svítící vrstva. • Ve výbojkách pro reklamní účely (velká vzdálenost) svítí anodový sloupec. • V zářivkách probíhá výboj ve směsi argonu a rtuťových par, emitované záření obsahuje UV složku, která budí luminiscenci luminoforu ⇒ bílé světlo.

e) Obloukový výboj Vzniká mezi uhlíkovými nebo kovovými elektrodami při napětí Uz > 50V. Vysoká teplota plazmatu mezi elektrodami – 6000 K a více.

• •

• •

Elektrický oblouk má záporný diferenciální odpor Rd,, (při zvyšování proudu klesá napětí a oblouk by se přerušil). Je nutné připojit stabilizační odpor R > Rd (obr. 2.45).

K udržení stabilní formy obloukového výboje je nutný minimální proud 5 A až 10 A (pro svařování obloukem 100 A až 300 A). Obloukový výboj může probíhat za normálních atm. tlaků i za zředěného tlaku (několik 100 Pa) i za vysokého tlaku (do 108).

Použití: při svařování, dnes již zřídka k osvětlení. f) Jiskrový výboj Většinou k němu dochází ve vzduch za atm. tlaku (průraz vzduchové vrstvy po překročení elektrické pevnosti vzduchu Ep =3.106 V/m). Průrazné napětí Up – napětí mezi elektrodami při překročení elektrické pevnosti. V přírodě je jiskrovým výbojem blesk (délka jiskry až 10 km, průřez výbojového kanálu 0,4 m, doba trvání 10-4 s a okamžitá hodnota proudu 105 A, napětí mezi místy, kde blesk vznikne až 108 V). V silně nehomogenním elektrickém poli (v okolí hrotů) je intenzita řádově 3.106 V/m a vzniká koronový výboj. 2.9. ELEKTRICKÝ PROUD

VE VAKUU

Vakuum: • nízké (105 Pa – 102 Pa), • střední (102 Pa – 10-1 Pa), • vysoké (10-1 Pa – 10-6 Pa), • ultravysoké (10-6 Pa a méně). Vakuum je velmi dobrým izolantem (neobsahuje téměř žádné nabité částice). Průchod elektrického proudu vakuem je možný emisí elektronů z kovů. Proud ve vakuu je proud konvekční (je ovlivňován jen elektrickými a magnetickými poli). Výstupní práce Av – energie nutná k uvolnění elektronu z kovu Druhy emise elektronů z kovu: 1. tepelná emise (termoemise), 2. fotoemise (vyvolaná absorpcí fotonu), 3. sekundární emise (vyvolaná dopadem rychlých elektronů nebo iontů), 4. autoemise neboli studená emise (vyvolaná silným elektrickým polem).

a) Tepelná emise elektronů a její využití Katoda žhavená elektrickým proudem: • přímo žhavená – W vlákno zahřáté procházejícím proudem a emitující elektrony, • nepřímo žhavená – rozžhavené vlákno oddělené izolační vrstvou od válečku pokrytého oxidem baria, thoria nebo stroncia (snížení Av). Vakuová dioda Při dostatečně vysokém žhavicím napětí Uz se kolem katody vytvoří záporný prostorový náboj. (Emisí elektronů se katoda nabíjí kladně a část elektronů je tak přitažena zpět na katodu). Připojením anodového napětí Ua mezi katodu a anodu (ϕa > ϕb) jsou elektrony přitahovány k anodě a anodovým obvodem prochází proud Ia. (obr.2.46a). Závislost Ia na Ua vyjadřuje V-A charakteristika vakuové diody (obr. 2.46b): 1. Oblast náběhového proudu – některé elektrony překonají (při malém anodovém napětí) záporný potenciál anody a proniknou na anodu.

2. Oblast prostorového náboje – elektrony jsou anodou přitahovány tím víc, čím je větší anodové napětí. 3. Oblast nasyceného proudu – zvyšováním anodového napětí oblak elektronů kolem katody zanikne (vyčerpá se). Trioda Elektronka s třetí elektrodou (mřížkou), změnou potenciálu mřížky se mění anodový proud. Dnes se využívá např. v obvodech vysílačů.

Termoemise se využívá stále v obrazovkách, rentgenkách, elektronových mikroskopech …

Obrazovka osciloskopu s elektrostatickou fokusací a vychylováním: 1. žhavicí vlákno, 2. katoda, 3. Wehneltův válec (jeho potenciálem se mění počet elektronů a tím jas stopy), 4. elektrostatická čočka (ovlivňování svazku elektronů potenciálem anod a1 a a2) (ϕ2 > ϕ1), 5. vertikálně vychylující destičky, 6. horizontálně vychylující destičky, 7. luminiscenční stínítko.

V televizních obrazovkách se svazek vychyluje magnetickým polem Rentgenka Speciálně konstruované vakuové trubice s urychlovacím napětím větším jak 10 kV (obr.2.48a). 1895 objev Röntgenova záření (X-ray) W.C.Röntgenem.

Kinetická energie urychleného elektronu se zčásti přemění na anodě na energii rentgenového záření a zčásti na vnitřní energii anody (zvýšená teplota ⇒ nutnost chlazení).

Napětí mezi anodou a katodou je vysoké – 105 V. Pro energii fotonů rtg. záření platí

W f = hf = h kde

h = 6,626.10-34 J.s je Planckova konstanta, f – frekvence záření, c – rychlost světla, λ – vlnová délka elektromagnetického záření.

c

λ

,

Kinetická energie urychleného elektronu mezi anodou a katodou

We =

1 2 mv = eU a . 2

•

Při prudkém zabrždění elektronu se celá kinetická energie přemění v energii fotonu rentgenového záření (Wf = We). Krátkovlnná mez rentgenového záření

h

c

λmin

=

hc . eU a

Elektron je bržděn postupně ⇒ brzdné rentgenové záření, které má spojité spektrum končící u λmin. • Charakteristické záření – čárové spektrum (závisí na materiálu anody). Tvrdé rentgenové záření – rtg. záření o krátkých vlnových délkách (větší W). Měkké rentgenové záření – rtg. záření o delších vlnových délkách (menší W). „Tvrdost“ záření se nastavuje napětím Ua mezi anodou a katodou. Využití rtg. záření v lékařské diagnostice, průmyslové defektoskopii při hledání vad, stanovení struktury krystalických materiálů apod. Elektronové mikroskopy – popis později (rovněž využití magnetického pole)

b) Fotoemise elektronů a její užití Uvolnění elektronů z povrchu kovů účinkem dopadajícího elektromagnetického záření vhodné vlnové délky. Teoretické zdůvodnění A. Einsteinem (Nobelova cena 1921). Světlo má kvantovou povahu a šíří se v kvantech o energii Wf = hf nazývaných fotony. Einsteinova rovnice pro vnější fotoefekt

hf = Av + kde

1 2 mv 2

h je Planckova konstanta, f kmitočet elektromagnetického záření (světla), Av výstupní práce, m hmotnost elektronu, v rychlost elektronu.

Mezní frekvence fm – celá energie fotonu se spotřebuje na výstupní práci Av (elektron má nulovou rychlost)

hf m = Av upravená fotoelektrická rovnice

hf = hf m +

1 2 mv . 2

V případě, že f dopadajícího světla < fm fotoemise nenastane. Vakuová fotonka skládá se z fotokatody FK a anody A (obr. 2.49a).

• •

Fotonka pro viditelnou oblast – FK tvoří vrstva s nízkou výstupní prací (Cs-Sb, CsO). Fotonka pro UV oblast má baňka okénko z křemenného skla a FK tvoří vrstvu s větší výstupní prací (Ni, Ag, W).

Fotonásobič (obr.2.49b). Optoelektronický prvek pro registraci slabých světelných toků. Spojení vakuové fotonky s násobičem elektronů (činnost založena na sekundární emisi). • Na čelním okénku je nanesena fotokatoda s malou výstupní prací. • Elektrony jsou urychleny elektrickým polem na další elektrody – dynody. • Dynody (počet 6 – 12) jsou pokryty látkou s malou výstupní prací ⇒ každý dopadající elektron vyrazí dalších 3 až 10 sekundárních elektronů. • Postupným násobením počet elektronů vroste až 108 – krát. • Poslední elektroda – anoda zachycuje vynásobený svazek elektronů.

3. STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Magnetické jevy známé ze starověku: • magnetovec (magnetit, Fe3O4) – Aristoteles, podle minerálu odvozeny názvy: magnetické síly, magnetické pole. • 1820 H.Ch. Oersted – v okolí vodiče protékaného proudem existuje magnetické pole (důkaz magnetkou).

3.1. ZÁKON BIOTŮV–SAVARTŮV–LAPLACEŮV

Biotův–Savartův–Laplaceův zákon – příspěvek k magnetické indukci magnetického pole, r r r který budí element proudovodiče dl v bodě určeném r ( dB⊥dl , r )

µ 0 Idl sin β 4π r 2 r r r r  r µ 0 Idl × r0 µ 0 Idl × r   dB =  = 2 3   4 π r 4 π r  

dB = vektorově

Jednotkou magnetickou indukce je tesla (T). Platí 1T = N.A-1.m-1. Magnetická indukce pole od tenkého vodiče

B=

µ0 dl I ∫ 2 sin β 4π l r

Magnetická síla Fm působící na částici s nábojem Q pohybující se rychlostí u v magnetickém poli vodiče s proudem

Fm = QuB sin β Působením elektrického i magnetického pole na pohybující se částici vzniká síla

r r r r F = QE + Qu × B

Tato síla se nazývá Lorentzova síla.

3.2. UŽITÍ LAPLACEOVA ZÁKONA K VÝPOČTU MAGNETICKÉ INDUKCE MAGNETICKÉHO POLE RŮZNÝCH VODIČŮ S PROUDEM a) Magnetická indukce od úseku přímého vodiče s proudem Usnadnění výpočtu – přímý vodič s proudem I je v ose x souřadné soustavy (x, y, z), obr. 3.2.

Užitím vztahu (3.4) vypočítáme indukci v bodě P na ose y, při kolmé vzdálenosti od vodiče d. • Uvažujme úsek přímého vodiče od X1 do X2. r r • Ve vzdálenosti X od počátku je element d l = i dl . r r r • Polohový vektor r = −i X + j d . r r r r r r • Vektorový součin dl × r = i dX × − i X + j d = k ddX .

(

)

Po dosazení (3.4) a integraci

r µ0 r X 2 B= Ik d ∫ 4π X1 X = cot gα , d

Zavedeme substituci

dX

(X

2

+d

)

3 2 2

X = d cot gα ,

. dX = −

d dα , vypočteme sin 2 α

jmenovatele integrandu

(X

2

+d

)

3 2 2

3 2

3 2

 2 cos α  2 cos α + sin α  d3 2     = d + d  = d 2  = sin 3 α . sin 2 α  sin α    2

2

2

Po dosazení

rµ I r r µ0 I α 2 0 ( ) (cos α 2 − cos α1 ) . B=k − sin d = k α α ∫ 4π d α 1 4π d

r Vektor B je kolmý na rovinu určenou bodem P a proudovodičem. r r Lze nahradit jednotkový vektor k jednotkovým vektorem t0 tečny ke kružnici se středem na vodiči (procházející uvažovaným bodem a ležícím v rovině vodiče s proudem) r r µ I B = t0 0 (cos α 2 − cos α1 ) (3.7) 4π d

Ampérovo pravidlo pravé ruky

b) Magnetická indukce od kruhového závitu s proudem • Kruhový závit (R, střed v počátku x, y, z) ležící v rovině (x, z) protékaný proudem I. r • Určujeme B v bodě P na ose závitu (z) vzdáleném d od středu (obr.3.3)

• • • •

•

r V bodě na závitu [X ,0, Z ] zvolme dl orientovaný ve směru I. r r Polohový vektor r bodu P vzhledem k dl je 3 3 r r r r r = −i X + j d − k Z r 3 = (X 2 + d 2 + Z 2 )2 = (R 2 + d 2 )2 . Element proudovodiče r r r dl = i dX + k dZ . Zavedeme polární souřadnice X = R sin β Z = R cos β dX = R cos βdβ dZ = − R sin βdβ . r r Vektorový součin dl × r r r r i j k r r dl × r = R cos βdβ 0 − R sin βdβ = − R sin β d − R cos β r r r 2 2 2 2 ) = i Rd sin βdβ + 1 j (R sin β d β + R cos β d β + k Rd cos βdβ 44444244444 3 R 2 dβ

•

Dosazením do (3.4) a integrací po délce závitu podle β od 0 do 2π , tj. r µ B= 0 4π

I

(R

2

+d

)

3 2 2

   r 2π  r 2π r 2 2π  i Rd sin βdβ + j R dβ + k Rd cos βdβ  . ∫0 ∫ ∫0   1 424 3 1 420 4 3 144 244 3  0 2π 0  

r Pro B na ose kruhového závitu v bodě P r r µ0 IR 2 B= j . 3 2 2 2 2 (R + d ) Pro bod ležící ve středu závitu r rµ I B= j 0 . 2 R

(3.9)

(3.10)

c) Magnetická indukce na ose jednovrstvé cívky (solenoidu) • Parametry solenoidu: l, N, R, I. • Osu cívky ztotožňujeme s osou x souřadného systému (x, y) a počítáme magnetickou r indukci B v bodě P na ose cívky v počátku souřadného systému (obr. 3.4).

• •

Využijeme výsledek pro kruhový závit (3.9). Ve vzdálenosti X od počátku bude element cívky dX.

•

Na jednotku délky připadá N/l závitů, takže na délce dX je počet závitů jako jeden závit) r rµ dB = i 0 2

IR 2

(R

2

+d

)

3 2 2

N dX . l

Integrací od X1 do X2 r r µ IR 2 N B=i 0 2 l

X2

∫

X1

dX

(R

2

+X

)

3 2 2

.

Pro výpočet zavedeme substituci

X = R cot gα , Dále vypočteme

dX = −

R dα . sin 2 α

N dX (bereme l

 cos 2 α  R2 = R + X = R 1 + . sin 2 α  sin 2 α  2

2

2

Po dosazení r r µ IR 2 N B=i 0 2 l

α2

∫ α

R sin 2 α dα = ir µ 0 IN R3 2 l 3 sin α

−

1

α2

∫α (− sin α )dα . 1

Po integraci r r µ NI (cos α 2 − cos α1 ) . B=i 0 2 l

(3.11)

Diskuse výsledků: 1. pro P uvnitř:

α1 → π , α 2 → 0

r r NI B = i µ0 l

(3.12)

2. pro P na okraji:

α1 → π , α 2 →

π 2

r r µ NI B=i 0 2 l

poloviční hodnota je způsobena rozptylem magnetického pole 3.3. VLASTNOSTI

MAGNETICKÉHO POLE

a) Magnetické indukční čáry Znázornění magnetického pole: Magnetická indukční čára je orientovaná prostorová křivka, jejíž souhlasně orientovaná tečna v každém jejím bodě má směr vektoru magnetické indukce (orientace pomocí Ampérova pravidla pravé ruky). Magnetické čáry jsou uzavřené křivky. Důvod: neexistují zřídla magnetického pole – „magnetické náboje“ (v elektrostatickém poli – elektrické náboje). Příklady magnetických indukčních čar pro: a. přímý dlouhý vodič s proudem b. kruhový závit s proudem c. jednovrstvá cívka s proudem

b) Magnetický indukční tok Φ m Magnetické indukční čáry nedávají informaci o velikosti B. Proto se zavádí úmluva o počtu indukčních čar procházejících kolmou jednotkovou plochou

dΦ m =B dS ⊥ Odtud

dΦ m = BdS ⊥ = BdS cos α ,

r kde α je úhel, který svírá normála k elementu plochy dS ve směru B . Integrál

r r Φ m = ∫ B.dS S

je magnetický indukční tok plochou S (tok vektoru magnetické indukce plochou S). Jednotkou magnetického indukčního toku je weber (1 Wb). [Φm] = 1 T.m2 = 1Wb. Tok uzavřenou plochou S (vstupující indukční čára musí někde z plochy vystoupit)

r r B ∫ .dS = 0 S

tedy – magnetické indukční čáry jsou uzavřené křivky. 3.4. SÍLY PŮSOBÍCÍ V MAGNETICKÉM POLI NA NABITÉ ČÁSTICE A VODIČE S PROUDEM a) Pohyb nabité částice v magnetickém poli r Na pohybující se náboj Q působí magnetická síla Fm

r r r Fm = Qu × B

nebo

Fm = QuB sin α u rychlost pohybu uvažované částice, B magnetická indukce v místě částice. Podle pravidel vektorového součinu je směr vektoru magnetické síly je určen vektorovým r r součinem u × B (kolmá k u i B – tedy neovlivní velikost rychlosti u) kde

•

Pohyb v příčném magnetickém poli (kolmo k indukčním čarám), obr. 3.7

Magnetická síla bude v každém bodě dráhy kolmá ke směru její rychlosti ⇒ síla dostředivá ⇒ pohyb po kružnici o poloměru

u2 Fm = m R Při pohybu v příčném magnetickém poli je

Fm = Q uB Dosazením Q uB = m

u2 získáme poloměr R

R=

mu QB

Doba oběhu T po kružnici

T=

2πR m = 2π , u QB

Q – měrný náboj částice a nepřímo úměrně na B. m Případ, kdy částice vstupuje do pole pod úhlem α (obr. 3.8):

T nezávisí na u, závisí na podílu •

r Vektor rychlosti u má složku r u1 – ve směru magnetických indukčních čar r u2 – kolmou na indukční čáry r r r • Složka u1 nezpůsobí žádnou magnetickou sílu ( u1 × B = 0 ) ⇒ přímočarý rovnoměrný pohyb konstantní rychlostí. r r • Složka u2 způsobí, že Fm ≠ 0 nutí částici pohybovat se po kružnici.

R=

mu2 QB

Výsledná trajektorie je šroubovice s konstantním stoupáním

h = u1T = 2π

mu1 . QB

Využití silového působení magnetického pole na nabité částice: • Televizní obrazovka • Elektronový mikroskop (obr. 3.9)

•

Hmotnostní spektrograf , obr.3. 10

b) Síla působící v magnetickém poli na vodič s proudem Působení magnetické síly na nosiče náboje, které se ve vodiči uspořádaně pohybují (u kovů – působení na volné elektrony – přenos na celý vodič). Příklad: přímý vodič délky l s proudem I v magnetickém poli B . Velikost magnetické síly

Fm = BIl sin α ,

r

r

r

( Fm = Il × B ) kde α – úhel, který svírá vodič se směrem magnetických indukčních čar. Pro: α =0 na vodič nepůsobí síla, 0 α = 90 síla je maximální. Flemingovo pravidlo levé ruky: (určení směru síly působící na přímý vodič s proudem v homogenním magnetickém poli) prsty – směr proudu, do dlaně – magnetické indukční čáry, vztyčený palec – směr síly Fm .

c) Závit s proudem v magnetickém poli. Magnetický moment. r r r r • Na stranu l1 a − l1 působí mag. síly Fm1 a − Fm1 , jejich výslednice i moment jsou nulové (leží v přímce, v ose otáčení závitu) r r r r • Na strany l21 a − l 2 působí mag. síly Fm 2 a − Fm 2 Tyto síly se snaží závit otočit tak, aby vektor plochy závitu r r S zaujal směr B (tvoří dvojici sil). r r r Fm 2 = BIl 2 sin α ( Fm 2 = Il2 × B ) rameno dvojice uvažovaných sil je l1, moment dvojice sil je tedy M=BIl2l1sinα, S= l2l1 vektorově

r r r M = IS × B .

d) Vzájemné silové působení vodičů s proudy Uvažujme 2 dlouhé přímé vodiče ve vzájemné vzdálenosti d, protékané proudy I1 a I2 (obr. 3.13).

První vodič v místě druhého vodiče vyvolá magnetické pole o magnetické indukci

B1 =

µ 0 I1 2π d

Na délku l druhého vodiče bude působit síla

Fm 2 = I 2 lB1 =

µ0 I1 I 2 l 2π d

Obdobně druhý vodič v místě prvního vodiče vyvolá magnetické pole o magnetické indukci

B2 =

µ0 I 2 2π d

Na délku l prvního vodiče bude působit síla

Fm1 = I1lB2 = • •

µ 0 I1 I 2 l 2π d

vodiče se přitahují ⇒ obě síly mají stejnou velikost ale opačnou orientaci (směry obou sil je možné určit Flemingovým pravidlem levé ruky). vodiče se odpuzují ⇒ v případě, že proudy I1 a I2 ve vodičích budou mít nesouhlasný r r směr (obr. 3.13b), změní síly Fm1 , Fm 2 svou orientaci a.

Definice jednotky elektrického proudu 1A v SI soustavě jednotek – jeden ampér je proud, který při stálém průtoku dvěma rovnoběžnými, přímými, nekonečně dlouhými vodiči, zanedbatelného průřezu, umístěnými ve vakuu, ve vzájemné vzdálenosti 1 m, vyvolá mezi vodiči sílu 2.10-7 N na jeden metr délky vodiče.

e) Hallův jev 1879 E. H. Hall objevil jeden z nejznámějších galvanomagnetických jevů. Hallovo napětí je způsobeno silami, působícími na pohybující se nosiče náboje ve vodiči. Pro případ v p ⊥B bude velikost intenzity vyjádřené Hallovým napětím UH

EH =

UH , d

pro Hallovo napětí platí je možné odvodit vztah

U H = RH

I B, b

kde

RH =

1 n0 q0

je Hallova konstanta (nepřímo úměrná koncentraci volných nosičů náboje n0 q0 ). Poznámka: • U polovodičů je n0 malé (oproti kovům) ⇒ RH je velká a proto se Hallův jev na polovodičích dobře měří. • U kovů se Hallův jev měří obtížně – použít citlivé měřiče napětí. Pro danou vodivou nebo polovodivou destičku a konstantní proud I je UH přímo úměrné velikosti magnetické indukce B. Lze tedy stupnici voltmetru ocejchovat v jednotkách magnetické indukce a dostaneme přístroj zvaný teslametr. 3.5. MAGNETICKÉ POLE V LÁTKOVÉM PROSTŘEDÍ a) Intenzita magnetického pole Pro vektorový popis magnetického pole jsou zavedeny vektory: r B magnetická indukce, r H intenzita magnetického pole. r r r r Z fyzikálního hlediska mají obdobný význam E a B (nikoliv B a D ), pomocí nichž vyjadřujeme síly působící v elektrických a magnetických polích na elektrické náboje. Intenzita magnetického pole ve vakuu je definovaná vztahem

r r B H= .

µ0

Význam veličiny vynikne zejména při studiu magnetického pole v látkovém prostředí. Intenzita magnetického pole v dutině solenoidu je

H=

NI , l

jednotka intenzity je ampér na metr (1 A.m-1). Obdobně jako byly definovány magnetické indukční čáry, lze pro názorné zobrazení vektorového pole intenzity H definovat obdobné křivky – magnetické siločáry (orientované prostorové křivky, jejíž souhlasně orientovaná tečna v kterémkoliv jejím bodě má směr r vektoru intenzity magnetického pole H . b) Vliv látkového prostředí na magnetické pole Magnetizace látek – schopnost látek získat ve vnějším magnetickém poli, nenulový makroskopický magnetický moment, (látka se stává zdrojem magnetického pole o magnetické indukci Bi ).

Bi se skládá s magnetickým polem B0 od vodičů s proudem

B = B0 + Bi Vysvětlení podle Ampéra – existence uzavřených proudů v látce. Hypotéza molekulárních proudů – magnetický stav látky se zachovává i při dělení na menší částice. Ampérův magnetický moment atomu nebo molekuly –Pohybem elektronů kolem jader atomů vznikají v molekulách kruhové elektrické proudy, které jsou zdrojem magnetického pole a r přísluší jim určitý magnetický moment mai . Bez vnějšího pole jsou tyto momenty orientovány chaoticky ⇒ Bi = 0 ⇒ výsledný magnetický moment makroskopického objemu ∆V

r r ∆mi = ∑ mai = 0 ∆V

Působením vnějšího magnetického pole se magnetické momenty molekul mai orientují do jednoho směru a výsledný magnetický moment je nenulový a magnetické pole Bi ≠ 0. Podle představ kvantové fyziky je magnetický moment atomů dán vektorovým součtem orbitálních a spinových magnetických momentů elektronů v elektronových obalech atomů. c) Magnetické pole v látce (Podle Ampérových představ ) Model látky v magnetickém poli hustě navinuté toroidní cívky. (Vázané elektrické náboje vzniklé při polarizaci byly reálné, Ampérovy molekulární proudy jsou modelem). Toroidní cívka (ve vakuu nebo ve vzduchu) o N závitech, kterou prochází proud I – proud přístupný. Velikost magnetické indukce v místě střední indukční čáry

NI = µ0 H . l

B0 = µ 0

Vyplněním dutiny cívky látkou se magnetická indukce změní

B = µ 0 H + Bi V případě magnetizace látky zavádíme vektor r magnetizace M (součet všech Ampérových magnetických momentů molekulárních proudů v jednotkovém objemu látky ∆V)

r

r M= •

∑m

ai

∆V

∆V

Jednotkou magnetizace je 1 A.m-1 (stejná jednotka jako pro intenzitu magnetického pole) • Jednotkou magnetické polarizace je 1 T (tesla - stejná jednotka jako magnetická indukce).

[M ] = [H ] = 1A.m −1 , [Pm ] = [B] = 1T .

Pro další úvahy nahraďme výsledné magnetické pole molekulárních proudů makroskopickým nepřístupným (vázaným, povrchovým) proudem Ii (proud procházející pod závity cívky na r povrchu látky a vyvolává stejnou indukci Bi jako molekulární proudy) – obr. 3.16.

Magnetická indukce B v látkovém prostředí

B = µ 0 H + µ 0κ m H = µ 0 (1 + κ m )H = µ 0 µ r H 1 424 3 µr

κ m je magnetická susceptibilita (bezrozměrná veličina, pro vakuum 0), µ r = 1 + κ m je tzv. relativní permeabilita prostředí (bezrozměrná veličina). Magnetická indukce B v látkovém prostředí je µ r - krát větší než ve vakuu B0. Permeabilita prostředí µ = µ0 µ r .

d) Magnetické vlastnosti látek Látky silně magnetické, Látky slabě magnetické • slabě vtahovány do magnetického pole ( κ m 〉 0 ), • slabě vypuzovány z magnetického pole ( κ m 〈 0 ). Parametrem pro rozdělení látek podle jejich magnetických vlastností je κ m nebo µ m . Látky paramagnetické κ m 〉 0, µ m 〉1 , Látky diamagnetické κ m 〈0, µ m 〈1 , Látky feromagnetické κ m 〉〉 0, tj.µ r 〉〉1 . Paramagnetika κ m .10 6

vzduch kyslík hliník chrom chlorid nikelnatý kapalný kyslík

0,37 1,80 20,70 310,00 1100,00 3600,00

Diamagnetika κ m .10 6

dusík helium ethylakohol voda měď bismut

-0,004 -0,017 -7,400 -9,048 -9,700 -175,00

Feromagnetické látky se obvykle charakterizují relativní permeabilitou µ r , která však není konstantní a značně závisí na intenzitě magnetického pole v látce (udává se počáteční relativní permeabilita pro H → 0 . Dosahuje hodnot 103 až 105 i více. A. Látky diamagnetické atomy nebo molekuly diamagnetických látek mají bez přítomnosti vnějšího magnetického pole nulový magnetický moment (elektrony jsou spárovány a jejich magnetické momenty jsou vzájemně vykompenzovány). Působením vnějšího pole získá každý elektron indukovaný magnetický moment, orientovaný proti vnějšímu poli. A. Látky paramagnetické Atomy nebo molekuly mají vlastní nenulový magnetický moment . Pro magnetické momenty bez vnějšího magnetického pole chaoticky orientované platí

r

∑m

ai

r = ∆mi = 0

∆V

Ve vnějším poli dojde k částečnému uspořádání do směru B0 (uspořádání je narušeno tepelným pohybem molekul). C κ m paramagnetických látek závisí na T vztahem κ m = , C je tzv. Curieova konstanta T (objevená P.Curiem). B. Feromagnetické látky Skupina silně magnetických látek (Fe, Ni, Co, Gd,…). Odlišnosti oproti předchozím: • velké hodnoty κ m , µ r již ve slabých magnetických polích B〉〉 B0 , • κ m , µ r nejsou konstantní, ale obecně nelineární funkcí intenzity H (potom i PM závisí nelineárně na H), • feromagnetické látky dosahují nasyceného stavu již ve slabých magnetických polích, • magnetická susceptibilita feromagnetické látky závisí na H i na předchozím magnetování látky – jeví hysterezi, • κ m závisí na teplotě látky. Pro každou feromagnetickou látku existuje tzv. Curieova teplota TC, při jejímž překročení se stává látka paramagnetickou (Fe – TC = 769 0C, Ni – TC = 358 0C). Domény – malé spontánně zmagnetované oblasti ve feromagnetické látce. Objem domén 10-3 mm3 Zahřátím nad TC se doménová struktura zruší (není-li látka v magnetickém poli – látka je odmagnetovaná). Magnetická hystereze Vložením odmagnetované feromagnetické látky do magnetického pole o H : M = f(H), B = f(H), viz. obr. 3.18a dojde k nevratným změnám v orientaci domén: • křivka prvotní magnetizace, • nasycený stav, • hysterezní křivka, • remanentní magnetická indukce (pro H = 0, B = Br), • koercitivní intenzita (změna směru při B = 0, H = Hk). Celý cyklus – hysterezní smyčka feromagnetika.

Tvar hysterezní smyčky

Velikost plochy – práce potřebná na přemagnetování jednotkového objemu magnetika (jeden cyklus) • Magneticky tvrdé látky – široká hysterezní smyčka (permanentní magnety). • Magneticky měkké látky – úzká hysterezní smyčka – obr. 3.18b (jádra transformátorů, tlumivek, kotvy elektromotorů …) 3.6. MAGNETICKÝ OBVOD Magnetické indukční trubice (uzavřené útvary jejichž povrch je tvořen magnetickými indukčními čarami). Jejím kolmým průřezem prochází stejná indukční tok Φ m . V praxi bývá magnetická indukční trubice vyplněna látkami s vysokými hodnotami µ r .

Příklad: cívka navinutá na prstencovém jádře z feromagnetického materiálu (obr.3.19a). l – délka střední indukční čáry, Φ m = BS ⊥ – magnetický indukční tok trubicí (pro homogenní magnetické pole).

Podle Ampérova zákona celkového proudu v látkovém prostředí r r B ∫ .dl = µ 0 µ r I celk . l

(3.51)

Vydělením µ 0 µ r

r r H ∫ .dl = I celk = NI ,

(3.52)

l

kde Icelk = NI je proud ve vinutí cívky, který N – krát projde uvažovanou plochou. Analogie se stacionárním elektrickým polem

r r E ∫ .dl = U e l

r r M = ∫ H .dl = I celk = NI .

Magnetomotorické napětí

r r r r Při integraci po indukční čáře l je H ↑↑ dl , tedy H .dl = Hdl . Úpravou Φ m = B.S ⊥ = µ 0 µ r HS ⊥ 1 H = Φm . µ0 µr S⊥ Dosazením do (3.53) r r dl . M = ∫ H .dl = Φ m ∫ µ0 µ r S ⊥ l

(3.53)

(3.54)

Integrál má analogický tvar jako vztah pro elektrický odpor vodiče. M = Φ m Rm .

Magnetický odpor obvodu

(3.55)

Hopkinsův zákon – magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu je rovno magnetickému indukčnímu toku násobeného magnetickým odporem obvodu.

Je-li S ⊥ konstantní ( S ⊥ není funkcí l)

Rm =

1

µ0 µ r S⊥

∫ dl = l

1

1 . µ0 µ r S⊥

(3.56)

Bude-li magnetická indukční trubice procházet různými látkovými prostředími o µ r1 , µ r 2 ,...µ rn (obr.3.19b) pak vzhledem k tomu, že Φ m je v libovolném místě trubice konstantní lze psát r r M = ∫ H .dl = ∫ H 1dl + ∫ H 2 dl +... + ∫ H n dl = l

l1

l2

ln

 1 dl 1 dl 1 dl  Φ m ∫ +∫ + ... + ∫  = Φ m [Rm1 + Rm 2 + ... + Rmn ] . µ 0 µ rn S ⊥  ln  l 1 µ 0 µ r1 S ⊥ l 2 µ 0 µ r 2 S ⊥

V případě, že magnetický indukční tok prochází postupně různými látkovými prostředími (obdoba zapojení rezistorů v sérii), je celkový magnetický odpor obvodu Rm = Rm1 + Rm 2 + ... + Rmn . (3.57) Příklad sériového řazení magnetických odporů, viz. obr. 3.20a. Prstencové jádro z feromagnetického materiálu je přerušeno vzduchovou mezerou ( µ rj 〉〉1, µ rv ≈ 1 ), bude Rmv 〉〉 Rmj . Při konstantním M = NI se musí podle Hopkinsonova zákona snížit Φ m .

Toho se využívá u některých tlumivek a nízkofrekvenčních transformátorů, kde magnetizačním vinutím prochází jak střídavý, tak i stejnosměrný proud. Vytvořením malé vzduchové mezery se dosáhne, že trafo pracuje mimo oblast nasycení. Případ na obr. 3.20b ukazuje na paralelní spojení magnetických obvodů, kdy Φ m se rozdělí do dvou větví. Paralelní zapojení rezistorů

1 1 1 = + + ... Rm Rm1 Rm 2

(3.58)

4. NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Jevy v elektrických obvodech s časově proměnnými proudy, kdy elektrická i magnetická pole jsou funkcemi času a tvoří elektromagnetické pole. Elektromagnetické rozruchy se šíří podél vodičů rychlostí světla (3.108 m.s-1). Kvazistacionární elektromagnetické pole – změny proudu v obvodu natolik pomalé, že jsou ve všech místech obvodu stejné (rozměry elektrického obvodu jsou mnohem menší než vlnová délka elektromagnetického rozruchu)

4.1. FARADAYŮV ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE 1831 ji objevil M. Faraday při pokusech s cívkami a permanentními magnety. Jev elektromagnetické indukce – každá časová změna Φ m procházejícího uzavřeným elektrickým obvodem vyvolá v tomto obvodu indukovaný proud. • Uvažujme přímý vodič délky l , • umístěný kolmo k indukčním čarám homogenního, magnetického pole o indukci • Pohyb kolmo k indukčním čarám v, • Volně pohyblivé nosiče proudu q0 • Magnetická síla působící na nosiče Fm = q0 vB (přemístí je k hornímu konci vodiče ⇒+, dolní konec – snížení koncentrace nosičů proudu ⇒ –). Ustálený stav

Fe = − Fm ⇒ q0 Ei = q0 vB . Odtud

Ei = Bv . Pomocí Ei vypočítáme Ui = Eil = Bvl. Rychlost vodiče v = Pro Ui dostaneme:

dx , (plocha opsaná vodičem za čas dt: dx.l = dS ), dt

Ui = −

dxl dSB B=− . dt dt

dS .B = Φ m magnetický indukční tok plochou dS za čas dt Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Ui = −

dΦ m dt

Vysvětlení záporného znaménka – Lenzovo pravidlo: Směr indukovaného proudu v obvodu je vždy takový, že se svým magnetickým polem snaží zabránit změnám magnetického indukčního toku, které jej vyvolávají. Změna magnetického pole vyvolává pole elektrické, obě pole spolu vzájemně souvisí a nelze je proto studovat odděleně.

a) Vzájemná indukce (jev) Vznik indukovaného elektromotorického napětí v jiném obvodu způsobený časově proměnným magnetickým polem v okolí prvního obvodu. Uvažujme: • dva obvody (cívky), prvním prochází časově proměnný proud I1(t) (obr.4.2) • počet závitů první cívky N1 , počet závitů druhé cívky N2.

Přenos energie z jednoho obvodu do druhého je zprostředkován magnetickým polem. Hovoříme o induktivní vazbě mezi obvody: • těsná vazba – téměř celý indukční tok prochází druhým obvodem, • volná vazba – prochází jen malá část z celkového indukčního toku. Vzájemná indukčnost

M = µ0 µr

N1 N 2 S⊥ l

Koeficient M je koeficient vzájemné indukčnosti (vzájemná indukčnost). Jednotka vzájemné indukčnosti [M]= Wb.A-1 = H (henry). b) Vlastní indukce Změny magnetického indukčního toku vyvolávají ve vlastním obvodu indukované napětí Ui. Magnetický indukční tok všemi závity cívky je

Φ m (t ) = LI (t ) , kde L je vlastní indukčnost (indukčnost) cívky. Jednotka indukčnosti 1 H (henry).

Změny proudu v cívce vyvolají i změny magnetického indukčního toku. Vlastní indukcí se v cívce indukuje napětí

Ui = −

dΦ m (t ) dI (t ) = −L . dt dt

Znaménko "–" vyjadřuje, že indukované napětí působí proti změnám proudu v obvodu. Pro indukčnost toroidní cívky dostaneme

N 2 S⊥ L = µ0 µr . l Indukčnost cívky závisí na magnetických vlastnostech jádra ( µ r ), geometrickém tvaru cívky (S ,l) a roste s N2. Poznámka: Vinutí cívky má vždy jistý odpor RL. Reálnou cívku znázorňujeme jako sériovou kombinaci odporu a ideální indukčnosti L.

c) Vířivé proudy (Foucaltovy) Vířivé proudy vznikají v masivních vodičích pohybujících se v magnetickém poli nebo jsou v klidu v časově proměnném magnetickém poli (vířivé – nelze přesně určit jejich směr). Účinky vířivých proudů: • Vodič je bržděn – využití u tlumících systémů měřidel (u rotorů elektromotorů jsou tyto účinky nežádoucí). • Vodič je zahříván – vysokofrekvenční ohřev (vložení do dutiny cívky protékané vysokofrekvenčním proudem). Pro potlačení vířivých proudů – skládání vodičů z tenkých izolovaných plechů.

4.2. STŘÍDAVÝ PROUD Střídavý elektrický proud (napětí) je periodickou funkcí času I (t ) = I (t + nT ) , kde n = 0, ±1, ±2,…, T – perioda. Střední hodnota střídavého proudu (napětí) během periody T musí být rovna 0. tj. plocha ležící nad osou času musí být stejně velká jako plocha ležící pod osou času.

(porovnej obr. 4.6a – nejsou střídavé a obr.4.6b – střídavé průběhy proudů) a) Vznik harmonického střídavého napětí a proudu r Otáčení cívky (ω) v homogenním magnetickém poli B . Uvažujme závit (obr. 4.7) r V čase t = 0 – vektor S plochy závitu svírá s indukčními čarami úhel ϕ . r V čase t ≠ 0 – vektor S plochy závitu svírá s indukčními čarami úhel α = ωt + ϕ . Magnetický indukční tok Φ m (t ) se mění s časem

r r Φ m (t ) = B.S = BS cos α = BS cos(ωt + ϕ ).

Podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce se v závitu indukuje napětí

Ui = −

dΦ m (t ) d = − BS cos(ωt + ϕ ) = BSω sin(ωt + ϕ ) . dt dt

střídavé harmonické napětí u, střídavý harmonický proud i.

u = U m sin(ωt + ϕ ) Vyjádření rovnicí u – okamžitá hodnota napětí, Um – maximální (vrcholová) hodnota napětí, amplituda, 2π ω – úhlová frekvence = 2πf = , T ϕ – počáteční fázový úhel, počáteční fáze, (ωt + ϕ ) fázový úhel, fáze. T – perioda, Um – maximální hodnota napětí.

Připojením zdroje střídavého napětí u k rezistoru R, bude jím procházet střídavý proud

i=

u Um = sin(ωt + ϕ ) = I m sin(ωt + ϕ ) . R R

Pro maximální (vrcholovou) hodnotu střídavého proudu platí

Im =

Um . R

Zjednodušení matematického vyjádření střídavých proudů a napětí pro ϕ = 0

i = I m sin ωt . b) Efektivní hodnota střídavého proudu a napětí Efektivní hodnota I střídavého proudu je definována jako: hodnota stejnosměrného proudu, který při průchodu rezistorem o odporu R vyvine za dobu jedné periody stejné Jouleovo teplo jako uvažovaný střídavý proud. Pro efektivní hodnotu střídavého proudu odvodíme

I=

Im 2

Pro efektivní hodnotu střídavého napětí platí obdobně

U=

Um 2

Poznámka: Měřící přístroje na měření střídavého proudu nebo napětí mají stupnici ocejchovanou v efektivních hodnotách (stejně tak jsou uváděny údaje na elektrických spotřebičích). Maximální hodnota je tedy Um = 311 V, frekvence v síti f = 50 Hz.

c) Rezistor, cívka a kondenzátor v obvodu střídavého proudu Pasivní prvky – rezistor, cívka, kondenzátor, Aktivní prvky – zdroje střídavého napětí, tranzistory. Ideální pasivní prvky – např. považujeme RL vinutí cívky za zanedbatelně malý, L odporového vinutí rezistoru za zanedbatelně malou, nekonečně velký odpor ideálního dielektrika v kondenzátoru.

A. Rezistor o odporu R v obvodu střídavého proudu.

Uvažujme obvod znázorněný na obr. 4.9a s připojeným R ke zdroji střídavého napětí

u = U m sin ωt , takže podle 2. Kirchhoffova zákona platí Ri = u. Vyjádřením proudu i

u Um = sin ωt = I m sin ωt , R R U Im = m . R

i= kde

Proud rezistorem je ve fázi s napětím. Odpor R lze vyjádřit

Um U U R= m = 2 = . Im Im I 2 B. Cívka o indukčnosti L v obvodu střídavého proudu Cívkou připojenou ke zdroji prochází střídavý proud

i = I m sin ωt . Vlivem vlastní indukce se na cívce indukuje napětí uL

Při zanedbatelném odporu vinutí cívky ( RL → 0 ) podle 2. Kirchhoffova zákona platí

u + u L = 0 ⇒ u = −u L = L

di . dt

Dosazením za i dostaneme napětí u

u = LI m

d sin ωt = I m Lω cos ωt = U m cos ωt , dt

kde U m = I m Lω . "Zdánlivý" odpor cívky (odpor, který klade procházejícímu střídavému proudu)

XL =

Um = Lω . Im

Indukční reaktance nebo stručně induktance cívky. Jednotkou je ohm ( Ω ). Pro lepší porovnání (časový průběh proudu – funkce sin ωt , časový průběh napětí – funkce cos ωt )

π  u = U m cos ωt = U m sin ωt +  . 2  napětí na cívce předbíhá proud o 900 (π/2) (proud indukčností se opožďuje za napětím) C. Kondenzátor o kapacitě C v obvodu střídavého proudu Kondenzátor je připojen ke zdroji střídavého napětí

u = U m sin ωt . Podle 2. Kirchhoffova zákona musí platit

u + uC = 0 , kde uC =

Q = U m sin ωt . C 1 dQ − = U mω cos ωt . C dt −

takže Po derivaci

−

dQ =i dt

Q , C

tedy

i = U m Cω cos ωt = I m cos ωt ,

I m = U m Cω . kde „Zdánlivý odpor“, který klade kondenzátor střídavému proudu,

XC =

Um 1 = , I m Cω

se nazývá kapacitní reaktance stručněji kapacitance. Jednotkou je ohm ( Vyjádřením rovnice pomocí sinu

Ω ).

π  i = I m sin ωt +  2  Proud v obvodu s kondenzátorem předbíhá napětí o π/2 (napětí se opožďuje za proudem o 900).

d) Práce a výkon střídavého proudu. Uvažujme obecný případ, kdy u je vzhledem k proudu i fázově posunuto o úhel

ϕ

u = U m sin(ωt + ϕ ), i = I m sin ωt . Vypočteme střední výkon za jednu periodu T

T

1 U I P = ∫ uidt = m m ∫ sin(ωt + ϕ ). sin ωtdt . T 0 T 0 Úpravou integrálu

2 sin α sin β = cos(α − β ) = cos(α − β ) − cos(α + β ) obdržíme T

T

U I U I P = m m ∫ cos ϕdt − m m ∫ cos(2ωt + ϕ ) . T 0 T 0 Druhý integrál je roven nule. Pro činný výkon spotřebovaný v zátěži dostáváme

P= cos ϕ – účiník UI – zdánlivý výkon

Um Im cos ϕ = UI cos ϕ . 2

4.3. ŘEŠENÍ OBVODŮ STŘÍDAVÉHO R, L, C můžeme spojovat sériově, paralelně nebo kombinovaně.

PROUDU

a) Znázornění střídavých napětí a proudů pomocí fázorů Mějme střídavé napětí u = U m sin(ωt + ϕ ) . Fázor – orientovaná úsečka v rovině x, y ,která má počáteční bod v počátku souřadnic a délku úměrnou amplitudě napětí Um. (obr. 4.12a) • V čase t = 0 svírá úsečka s osou x úhel ϕ . • V čase t ≠ 0 svírá s osou x úhel ( ωt + ϕ ). • Průmět rotujícího fázoru do osy y je U m sin(ωt + ϕ ) – okamžitá hodnota napětí u. Podobně řešíme i střídavý proud i.

Fázory v měřítku amplitud. Fázory v měřítku efektivních hodnot.

b) Symbolická komplexní metoda vyjádření střídavých veličin Pro praktické výpočty je výhodnější vyjádřit střídavé veličiny komplexními čísly. Každý fázor je jednoznačně určen svým koncovým bodem. Nahrazením roviny x,y Gaussovou rovinou komplexních čísel můžeme přiřadit každému fázoru komplexní číslo (obr.4.12b – ) komplexní číslo U m ). Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna velikosti polohového vektoru (amplitudě střídavé veličiny). c) Řešení sériového RLC obvodu Sériový RLC obvod, připojený ke zdroji napětí u = U m sin ωt je na obr. 4.13a. Podle 2.Kirchhoffova zákona je součet elektromotorických napětí působících v obvodu v každém okamžiku roven součtu napětí na rezistorech di Q 1 Ri = u L + uC + u , kde u L = − L a uC = = − ∫ idt . dt C C

Po dosazení

Ri = − L

di 1 − idt + U m sin ωt . dt C ∫

Derivací podle času, podělením L a úpravou dostaneme diferenciální rovnici 2. řádu

d 2i R di 1 U ω i = m cos ωt . + + 2 dt L dt LC L což je diferenciální rovnice pro vynucený proud v obvodu. A. Řešení sériového RLC obvodu pomocí fázorů V měřítku efektivních hodnot. Prvky obvodu prochází stejný proud i (znázorníme ho fázorem ležícím v ose x). • U R = RI je ve fázi s proudem,

•

U L = IX L = ILω předbíhá proud o

•

U C = IX C = I

π 2

,

(4.30)

1 π opožďuje se za proudem o . Cω 2

(4.31)

Grafickým součtem napětí na jednotlivých prvcích(4.13b)

U = U 2 R + (U L − U C ) 2 =

(RI )2 +  ILω − I 

1  . Cω 

Vytknutím I před odmocninu 2

1   U = I R +  Lω −  Cω  .  144424443 2

Z

Impedance – odpor sériového R L C obvodu 2

U 1   Z = = R 2 +  Lω −  . I Cω  

(4.32)

Jednotkou impedance je ohm ( Ω ) Fázový úhel – fázový posun napětí u vzhledem k proudu i

tgϕ =

Lω − R

1 Cω .

(4.33)

Diskuse: 1 〉 0 , v obvodu převládá induktance nad kapacitancí – napětí předbíhá proud. Cω 1 b) Lω − 〈 0 , v obvodu převládá kapacitance nad induktancí – napětí se opožďuje za Cω proudem. 1 = 0 – u a i jsou ve fázi, impedance je minimální ⇒ proud je maximální. c) Lω − Cω

a) Lω −

Součet u L a uC je v každém okamžiku roven 0. Tento stav sériového RLC obvodu nazýváme sériová rezonance (rezonance napětí) Rezonanční frekvence 1 =0. Cω r odtud Thomsonův vztah pro rezonanční frekvenci

Lω r −

1 1 , fr = (4.34) LC 2π LC Názornější přehled o vlastnostech obvodu při různých frekvencích – kmitočtové charakteristiky (amplitudové nebo fázové).

ωr =

Z = Z (ω ), U = U (ω ) při napájení konstantním proudem I. I = I (ω ) při napájení obvodu ze zdroje konstantní efektivní hodnoty U (obr. 4.14a) Na obr. 4.14b – graf kmitočtové fázové charakteristiky (závislost fáze na frekvenci) Pro přesnější stanovení ω r je výhodnější fázová charakteristika.

B. Řešení sériového RLC obvodu symbolickou komplexní metodou Proudu i přiřadíme (v měřítku efektivních hodnot) komplexní číslo Iˆ (komplexní efektivní proud). Napětím na rezistoru, indukčnosti a kondenzátoru přiřadíme Uˆ R , Uˆ L , Uˆ C (komplexní efektivní napětí). Celkové komplexní efektivní napětí

Uˆ = Uˆ R + Uˆ L + Uˆ C .

(4.35)

Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem, takže Uˆ R není vzhledem k Iˆ pootočeno.

Uˆ R = RIˆ . Napětí na indukčnosti předbíhá proud o 900

Uˆ L = Zˆ L Iˆ = jLωIˆ .

(4.36) 0

Napětí na kondenzátoru se opožďuje za proudem o 90

1 ˆ Uˆ C = Zˆ C Iˆ = − j I. Cω

(4.37)

Dosazením

   1 ˆ ˆ 1   Uˆ = RIˆ + jLωIˆ − j I = I  R + j  Lω −  Cω C4 ω3 . 4244  144 Zˆ   Zˆ – komplexní impedance sériového RLC obvodu. Ohmův zákon pro střídavý proud Uˆ = ZˆIˆ .

(4.38)

(4.39)

Komplexní impedance

1   Zˆ = R + j  Lω −  = R + jX . ω 142C 43 X

má reálnou část R = Re( Zˆ ) – rezistance, imaginární část X = Im( Zˆ ) – reaktance. Velikost impedance

Z = Zˆ =

[Re( Zˆ )] + [Im(Zˆ )] 2

2

.

(4.40)

Fázový posun Im(Zˆ ) (4.41) Re( Zˆ ) Poznámka: doazením za reálnou a imaginární část komplexní impedance dostaneme vztahy (4.32) a (4.33) odvozené pomocí fázorů. tgϕ =

d) Řešení paralelního RLC obvodu Uvažujme paralelní RLC obvod podle obr. 4.15a. Na větvích obvodu je stejné napětí u. Celkový proud i ze zdroje se rozdělí na proudy iR , iL ,iC . • • •

proud iR bude ve fázi s napětím, proud iL cívkou se fázově opožďuje za napětím o 900, proud iC kondenzátorem bude předbíhat napětí u o 900.

Pro celkový proud musí v každém okamžiku platit 1. Kirchhoffův zákon

i = iR + iL + iC

Celkový posun proudu i oproti napětí u označíme ψ = −ϕ . A. Řešení paralelního RLC obvodu pomocí fázorů Společnému napětí u přiřadíme v měřítku efektivních hodnot fázor U, který umístíme do osy x (obr.4.15b). Vektorovým součtem fázorů IR, IL, IC obdržíme fázor I přiřazený celkovému proudu i. Velikost I podle Pythagorovy věty

I = I R2 + (I C − I L ) . 2

(4.42)

Vyjádříme velikosti proudů pomocí napětí U

IR =

U U U U , IL = = , IC = = UCω , R X L Lω XC

dosazením do předchozího vztahu 2

2

1  1  I = U   +  Cω −  R  Lω  .  1444 424444 3

(4.43)

Y

Veličina 2

2

1  1  Y =   +  Cω −  . Lω  R 

(4.44)

představuje „vodivost“ paralelního obvodu pro střídavý proud – admitanci. Jednotkou admitance je Ω −1 = S ( siemens ) . Pro fázový posuv celkového proudu vzhledem k napětí platí

tgψ =

1 Lω = R Cω − 1  1 Lω  .  R

Cω −

(4.45)

Diskuse: 1 〉 0 , v obvodu převládá proud kondenzátorem nad proudem cívkou, Lω ψ 〉0 , i předbíhá napětí u o úhel ψ . 1 b) Cω − 〈 0 , v obvodu převládá proud indukčností nad proudem kondenzátorem, Lω ψ 〈 0 , proud i se opožďuje za napětím u o úhel ψ . 1 c) Cω − = 0 , pak ψ = 0 , napětí u a proud i jsou ve fázi, admitance Y je minimální a je Lω 1 rovna vodivosti rezistoru, Y = . R Součet proudu iL , iC je v každém okamžiku 0 – paralelní rezonance (rezonance proudu). 1 Rezonanční frekvence z podmínky Cω r − =0, Lω r

a) Cω −

ωr =

1 1 , fr = . LC 2π LC

(4.46)

Kmitočtové charakteristiky paralelního RLC obvodu, Při rezonanci je admitance minimální a napětí je proto při I = konst.maximální (obr.4.16a)

Rezonanční obvody – obvody RLC, které pracují v blízkosti své rezonanční frekvence, rezonanční křivka – amplitudová kmitočtová charakteristika rezonančního obvodu, viz. obr. 4.16b. Čím je rezonanční křivka užší, tím je rezonanční obvod kvalitnější. Činitel kvality rezonančního obvodu Q

Q=

1 . p1 − p2

Na obr. 4.17 je znázorněná kmitočtová fázová charakteristika paralelního RLC obvodu.

B. Řešení paralelního RLC obvodu komplexní metodou Napětí u přiřadíme komplexní číslo Uˆ a proudům v obvodu komplexní čísla Iˆ, IˆR , IˆL , IˆC Podle 1. Kirchhoffova zákona musí platit

Iˆ = IˆR + IˆL + IˆC . Komplexní proudy ve větvích pomocí komplexního napětí Uˆ

(4.47)

Uˆ U ˆ IˆR = , IˆL = − j , I C = jCωUˆ . R Lω Po dosazení

1  1  Iˆ = Uˆ  + j  Cω −  Lω  ,  244 1R444 43

(4.48)

Yˆ

kde veličina

1 1   Yˆ = + j  Cω − . R Lω  

(4.49)

se nazývá komplexní admitance paralelního RLC obvodu. Komplexní admitance paralelně řazených prvků je dána součtem komplexních admitancí jednotlivých prvků, tj. součtem

1 1 ˆ YˆR = , YˆL = − j , YC = jCω . R Lω

(4.50)

G = Re(Yˆ ) konduktance, Imaginární část B = Im(Yˆ ) susceptance Yˆ = G + jB .

Reálná část

e) Derivační a integrační obvody. • Obvody, které provádějí časovou derivaci nebo integraci vstupního napětí (realizace pomocí rezistorů, kondenzátorů nebo rezistorů a cívek, • Napětí U1 nemusí mít harmonický průběh A. Derivační obvod (obr. 4.18a)

Podmínka derivačního obvodu je X C 〉〉 R . potom

U1 (t ) + U C → 0 , kde U C =

Q 1 = − ∫ I (t )dt . C C

Tuto rovnici derivujeme podle času a vyjádříme proud I(t) dU1 (t ) I (t ) = C . dt Výstupní napětí U2(t) je napětí na rezistoru, takže podle Ohmova zákona dU 1 (t ) U 2 (t ) = RI (t ) = RC . dt Napětí na výstupu obvodu je úměrné časové derivaci vstupního napětí

(4.51)

B. Integrační obvod (obr.4.18b) Podmínka integračního obvodu R〉〉 X C . U (t ) Pak I (t ) = 1 . R Výstupní napětí U 2 (t ) je napětím na kondenzátoru, takže Q 1 1 U 2 (t ) = U C = = − ∫ I (t )dt = − U1 (t )dt . C C RC ∫ Napětí na výstupu obvodu je úměrné časovému integrálu vstupního napětí.

(4.52)

4.4. TRANSFORMACE STŘÍDAVÉHO NAPĚTÍ A PROUDU Transformátory – zařízení k provádění přeměny střídavého proudu na proud téže frekvence a jiného napětí. Magnetický obvod (jádro transformátoru) tvoří základ transformátoru: • tenké izolované plechy z feromagnetické látky s úzkou hysterezní smyčkou, • primární cívka (do ní přivádíme proud k transformaci), • sekundární cívka (odvádíme z ní transformovaný proud), • těsná indukční vazba – mezi oběma cívkami.

a) Nezatížený transformátor Sekundární obvod není uzavřen (neprochází jím proud), i = 0. Počet závitů primární cívky N1. Počet závitů sekundární cívky N2. Pro poměr vrcholových nebo efektivních hodnot platí

U m2 U 2 N 2 = = =p U m1 U1 N 1 Transformační poměr • transformace nahoru – N 2 〉 N 1 , p 〉1 , na vyšší napětí U 2 〉U1 , • transformace dolů – N 2 〈 N 1 , p〈1 , transformace na nižší napětí. • p = 1 použití z bezpečnostních důvodů pro oddělení sekundáru od rozvodné sítě.

b) Zatížený transformátor Připojení zátěže k sekundárnímu vinutí (RZ). Pro vrcholové hodnoty magnetických indukčních toků platí

N 2 I m 2 N 1 I m1 = , Rm Rm odtud

I m 2 I 2 N1 1 = = = . I m1 I 1 N 2 p Poznámka: • Při rozvodech elektrické energie dochází ke ztrátám výkonu na odporu vedení Rz ( Pztr = Rv I 2 ). • Pro omezení ztrát se provádí transformace nahoru (vysoké napětí, malý proud). • Před rozvodem do spotřebitelské sítě se provede transformace dolů (na napětí 220 V). Transformace dolů rovněž provádíme: • při svařování elektrickým obloukem, • u transformátorových plechů, • u transformátorových pájek, tj. všude tam, kde při malém napětí musíme získat velký proud.

4.5. TŘÍFÁZOVÝ PROUD a) Vznik a vlastnosti třífázového proudu Třífázový proud se vyrábí v generátorech – alternátorech. Princip alternátoru je na obr. 4. 20.

• •

stator s trojím vinutím (cívkami) s osami pootočenými o 1200, rotor alternátoru je silný elektromagnet otáčející se s úhlovou rychlostí ω (indukce střídavých napětí fázově posunutých o 1200.

Okamžité hodnoty indukovaných napětí v cívkách

u1 = U m sin ωt

2   u2 = U m sin ωt − π  3 .  4   u3 = U m sin ωt − π  3   Vhodným spojením cívek lze využít 4 vodiče k přenosu třífázového napětí • nulový (střední) vodič, • 3 fázové vodiče (L1, L2, L3). fázová napětí – napětí mezi fázovými a nulovým vodičem (U = 220 V, Um = 220 2 = 311 V.) sdružené napětí – napětí mezi dvěma fázovými vodiči (U12, U23, U31). Amplituda sdruženého napětí je

U m12 3U m , tj. 3 – krát větší než amplituda fázového napětí. Amplituda sdruženého napětí U msdr 311 3 = 538V , Efektivní hodnota sdruženého napětí

U sdr = 220 3 = 380V

Zapojením spotřebiče ( odpor RZ) mezi nulový vodič a fázové vodiče, potečou fázovými U vodiči proudy o stejné amplitudě I m = m vzájemně fázově posunuty o 1200. Pokud RZ zatížení fází není stejné, prochází nulovým vodičem malý vyrovnávací proud. b) Točivé magnetické pole Zjednodušení konstrukce elektromotorů. Stator elektromotorů na třífázový proud se skládá ze tří cívek (posunutí 1200), viz. obr. 4.21.

Proudy procházející cívkami vyvolají střídavá magnetická pole (prostorově i fázově posunuta o 1200).

Okamžité hodnoty vektorů magnetické indukce

r r B1 = Bm1 sin ωt r r 2   B2 = Bm 2 sin ωt − π  3 ,  r r 4   B3 = Bm 3 sin ωt − π  3  

kde pro velikosti amplitud platí

r r r Bm1 = Bm 2 = Bm 3 = Bm .

Složením dílčích magnetických polí vznikne v prostoru mezi cívkami výsledné magnetické r r r pole o magnetické indukci B , jako vektorový součet indukcí B1 až B3 . 3 Vektor magnetické indukce výsledného magnetického pole má velikost Bm a s časem mění 2 směr – rotuje s ω . r Točivé magnetické pole – magnetické pole, jehož vektor B nemění s časem velikost, ale mění směr. Asynchronní třífázové motory Kovový válec při rotaci v točivém magnetickém poli bude mít stejnou ω jako je úhlová rychlost točivého magnetického pole (pokud nebude překonávat žádné odpory). Bude-li válec překonávat odpor a tím konat práci (při pohánění stroje), bude se otáčet menší rychlostí. V důsledku toho se bude v kovové válci rychleji měnit magnetický indukční tok, indukované proudy ve válci budou větší a zvětší proto i síla, která uvádí válec do rotace.

4.6. ELEKTRICKÉ

KMITY

a) Vlastní kmity oscilačního obvodu Uvažujme obvod sestavený z R, L, C podle obr. 4.22. •

Nabijeme při rozpojeném spínači SP kondenzátor na napětí U0. • V čase t = 0 sepneme spínač a necháme vybíjet kondenzátor přes cívku a rezistor. • Kondenzátor je zdrojem elektromotorického napětí uC, které vyvolá proud i (časově proměnný). • Se vzrůstajícím proudem v obvodu vzroste i magnetický indukční tok v cívce, který vyvolá indukované elektromotorické napětí uL. Q dQ di uC = , i = − , uL = − L . C dt dt Podle 2. Kirchhoffova zákona musí být celkové EMN rovno úbytku napětí na rezistoru Ri = uC + uL a po dosazení Q di (4.59) Ri = − L . C dt

Po derivaci a dosazení za

dQ = −i můžeme rovnici přepsat dt d 2i di 1 L 2 + R + i = 0. dt dt C

Rovnici vydělíme L d 2i R di 1 + + i = 0. 2 dt L dt LC

(4.60)

Zaveďme označení R 1 = 2δ , = ω 02 . L LC

a upravme rovnici na tvar d 2i di + 2δ + ω 02i = 0 . (4.61) 2 dt dt Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice je kvadratickou rovnicí λ2 + 2δλ + ω 02 = 0 . Diskriminant této kvadratické rovnice je D = δ 2 − ω 02 a její kořeny jsou λ1, 2 = −δ ± D . Řešení rovnice (4.61) i = A1e λ1t + A2 e − λ2t , kde A1 a A2 jsou konstanty, které můžeme určit z počátečních podmínek. Mohou nastat dva případy: a) D ≤ 0, – kořeny kvadratické rovnice reálná čísla. Řešení rovnice vyjadřuje aperiodický děj v obvodu, kdy proud i nejprve vzroste do maxima a poté klesá k nule, aniž změní směr. (kondenzátor se vybije stejnosměrným proudem). b) D〈 0 , tj platí δ 2 〈ω 02 , – kořeny kvadratické rovnice jsou komplexní a řešení po úpravě vyjádříme i = I 0 e −δt sin ωt , kde

ω = ω 02 − δ 2 . V obvodu vzniknou tlumené kmity s úhlovou frekvencí ω . Amplituda těchto kmitů se s rostoucím časem exponenciálně zmenšuje I 0 e − δt . δ – koeficient tlumení, Oscilační obvod – obvod, ve kterém mohou vzniknout elektrické kmity. Přeměna energie v kmitavém obvodu Vybíjející kondenzátor vyvolá v obvodu proud ⇒ magnetické pole v dutině cívky ⇒ po vybití kondenzátoru magnetické pole zanikne ⇒ vznikne indukované napětí uL na cívce ⇒ nabije kondenzátor (s opačnou polaritou) atd. se celý děj opakuje.

Energetické poměry v oscilačním obvodu Rovnici (4.59) vynásobíme proudem i Ri 2 =

Pro i = −

1 di Qi − Li . C dt

dQ dostaneme dt Ri 2 = −

1 dQ di Q − Li . C dt dt

Dále rovnici upravíme d  1 Q2  d  1 2    −  Li  . dt  2 C  dt  2  Výrazy v závorkách jsou okamžité hodnoty energie kondenzátoru (We) a magnetického pole cívky (Wm) v oscilačním obvodu d Ri 2 = − (We + Wm ) dt nebo Ri 2 dt = − d (We + Wm ) . (4.62) Výklad: Přírůstek vnitřní energie rezistoru za dobu dt (Joulovo teplo v rezistoru) je roven úbytku celkové elektromagnetické energie oscilačního obvodu za dobu dt. Vlivem úbytku energie rozptylem polí v okolí cívky a kondenzátoru klesá amplituda kmitů s časem – kmity jsou tlumené. Ri 2 = −

b) Generátor tlumených oscilací Ve vhodném okamžiku musíme do obvodu dodat energii (proud ze zdroje musí mít stejný směr jako proud cívkou při oscilacích obvodu) Oscilátor – řízený spínač, např. tranzistor. Princip je znázorněn na obr. 4.23. Mějme cívku o indukčnosti L a paralelně zapojený kondenzátor o kapacitě C. (Odpor vinutí cívky zanedbáme). Ztráty energie budeme nahrazovat z vnějšího zdroje Uzdr (stejnosměrný zdroj) připojený přes spínač do obvodu. Zajištění správného okamžiku sepnutí: Cívka oscilačního obvodu o L je indukční vazbou vázána na vazební cívku Lv. (Proud v cívce oscilačního obvodu vyvolá indukované napětí na cívce Lv a toto způsobí po krátkou dobu sepnutí řízeného spínače.) Indukční zpětná vazba: • kladná – případ netlumených oscilací, • záporná – kmity okamžitě zaniknou (vnější zdroj by dodal do obvodu proud v okamžiku, kdy je směr proudu v cívce obvodu opačný než proud zdroje).

c) Vázané oscilační obvody Přenos energie z jednoho oscilačního obvodu na druhý pomocí elektromagnetické vazby mezi obvody. Jeden obvod je oscilátor, druhý obvod rezonátor.

Tři základní druhy vazeb mezi oscilačními obvody (obr. 4.24). • Indukční vazba (obr. 4.24a) realizuje se prostřednictvím jejich magnetických polí (nenulová vzájemná indukčnost). • Kapacitní vazba (obr. 4.24b) – realizace elektrickým polem vazebního kondenzátoru Cv. • Galvanická vazba (obr. 4.24c) – uskutečňuje se rezistorem Rv. Přenos energie z oscilátoru do rezonátoru je maximální za podmínky 1 1 ω r1 = ω r 2 , ⇒ = . (4.63) L1C1 L2C2 Pásmová propusť – přenos určitého pásma kmitočtů v okolí obou rezonančních kmitočtů. d) Vynucené kmity oscilačního obvodu Do blízkosti cívky oscilačního obvodu umístíme druhou cívku (obr. 4.25), kterou necháme procházet proud i1 o úhlové frekvenci Ω i1 = I m1 cos Ωt . Při koeficientu vzájemné indukčnosti M je napětí indukované prostřednictvím indukční vazby di u = − M 1 = − M (− I m1Ω ) sin Ωt = U m sin Ωt . dt Při proudu i v oscilačním obvodu podle 2. Kirchhoffova zákona musí platit Ri = u L + uC + u . Po vyjádření napětí di Q Ri = − L + t + U m sin Ωt . dt C dQ Rovnici derivujeme podle času a dosadíme za = −i a upravíme dt d 2i di 1 L 2 + R + i = U m Ω cos Ωt . dt dt C Rovnici vydělíme L ⇒ nehomogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. U Ω d 2i R di 1 + + i = m cos Ωt . 2 dt L dt LC L Řešení této rovnice vyjadřuje vynucený proud i v oscilačním obvodu. Pro amplitudu Im po vyřešení a úpravě dostaneme

Um

Im =

. (4.64) 2 1   R 2 +  LΩ −  CΩ   Výraz ve jmenovateli je impedance Z oscilačního obvodu při frekvenci Ω . Bude-li se Ω vynucujícího proudu i spojitě měnit, pak při jisté hodnotě Ω = Ω r bude impedance v obvodu U nejmenší a amplituda bude maximální I m max = m (rezonance) R 1 při rezonanční frekvenci Ωr = . (4.65) LC Rezonanční obvody – oscilační obvody u nichž dochází k rezonanci s vynucujícím signálem Rezonanční křivka – grafické vyjádření závislosti Im na Ω .

4.7. NESTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE a) Vlastnosti elektromagnetických vln

Elektrická i magnetická intenzita se šíří stejnou rychlostí

v=

1

ε 0ε r µ 0 µ r

Ve vakuu ε r = 1, µ r = 1 , takže

c=

1

ε 0 µ0

≈ 3.108 m.s-1

Rychlost šíření elektromagnetické vlny v dielektriku (ε r 〉1) je menší než rychlost šíření ve vakuu, tj. v < c . Podíl rychlosti šíření vlny ve vakuu a dielektriku je tzv. absolutní index lomu dielektrika c n = = ε r µr . v r r Elektromagnetické vlnění je vlnění příčné. Vektory E a H jsou kolmé na směr šíření vlnění r (kolmé k v ) a jsou vzájemně kolmé.

b) Spektrum elektromagnetických vln Tabulka 2: Rozdělení elektromagnetických vln Interval radiové vlny:velmi dlouhé nízké frekvence střední frekvence vysoké frekvence velmi vysoké frekvence mikrovlny :decimetrové centimetrové milimetrové submilimetrové daleká infračervená oblast infračervené záření viditelné světlo ultrafialové záření rentgenové záření: měkké tvrdé γ záření

frekvence 3 – 30 kHz 30 – 300 kHz 0,3 – 3 MHz 3 – 30 MHz 30 – 300 MHz 0,3 – 3 GHz 3 – 30 GHz 30 – 300 GHz > 300 GHz 1011 – 1013 Hz 1013 – 4.1014 Hz 4.1014 – 7,5.1014 Hz 7,5.1014 – 6.1016 Hz 1016 – 1018 Hz 1018 – 1022 Hz > 1018 Hz

vlnové délky (105 – 104) m (104 – 103) m (103 – 102) m (102 – 10) m (10 – 1) m (1 – 0,1) m (10 – 1) cm (10 – 1) mm < 1 mm (103 – 20) µm (20 – 0,75) µm (750 – 400) nm (400 – 50) nm (20 – 0,1) nm (0,1 – 10-5) nm < 0,1 nm

Pro rozhlasové vysílání se užívají frekvenční pásma • DV – f = 145 kHz až 420 kHz, • SV – f = 510 kHz až 1,6 MHz, • KV – f = 3 MHz až 30 MHz, • VKV – f = 30 MHz až 300 MHz, • UKV – f = 300 MHz až 3 GHz. Elektromagnetické vlny od oblasti daleké infračervené oblasti již nelze generovat uměle vyrobenými oscilátory. Jsou generovány přirozenými oscilátory – atomy, molekuly. Kvantové vlastnosti elektromagnetického záření – není vyzařováno spojitě, ale po kvantech o energii

W = hf = h

c

λ

,

kde h je Planckova konstanta. c) Šíření elektromagnetických vln v prostoru • snadno procházejí nevodivým prostředím i vakuem, na vodivém prostředí se odráží, • velká rychlost šíření je vhodná pro přenos informace, Dlouhé a střední vlny jsou obvykle vyzařovány svislými čtvrtvlnovými dipóly – šíří se při povrchu Země (ohýbají se na překážkách, není nutná přímá viditelnost mezi vysílačem a přijímačem). Krátké vlny – je možné je přijímat jen v oblasti přímé viditelnosti antény vysílače, dálkový příjem KV je umožněn odrazem od ionosféry (výška 100 až 120 km – vrstva E), která vzniká ionizací vzduchu působením slunečního záření. V noci vrstva zaniká rekombinací iontů. V noci je šíření možné odrazem od ionizované vrstvy F (200 až 400 km) – spojení na delší vzdálenost. Radiové vlny velmi vysoké frekvence ( λ = 10 až 1 m) procházejí ionosférou a pronikají do kosmického prostoru. Příjem je možný jen v dosahu přímé viditelnosti, umožňují spojení s umělými družicemi Země a s objekty vypuštěnými do kosmického prostoru.