Stavební statika. Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava. Letní semestr. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Stavební statika Úvod do studia předmětu na Stavební fakultě VŠB-TU Ostrava Letní semestr Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika - přednášející

doc. Ing. Petr Konečný, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228) místnost: LPH 407/3

www: http://fast10.vsb.cz/konecny 2

Prerekvizity Předpokládané znalosti : Matematika, Fyzika

Navazující předměty: Pružnost a plasticita, Statika stavebních konstrukcí I a II

Požadavky pro udělení zápočtu: • zápočet z Matematiky I • minimálně 70 % aktivní účast na cvičení • prokázání znalostí procvičované látky formou testů • program

Požadavky na složení zkoušky: • zkouška z Matematiky I • zápočet (18-35 bodů) • úspěšná písemná zkouška (18-35 bodů) • ústní zkouška prokazující znalosti probírané látky (15-30 bodů) 3

Doporučená literatura

http://www.stavebniinzenyrstvi.cz/wpcontent/uploads/2014/07/stavebni-statika.pdf Webové stránky katedry a vyučujících

4

Základní pojmy:

Souřadnicová soustava - pravoúhlá

Nutný předpoklad pro matematický popis nosné konstrukce. Záleží na povaze řešené úlohy. Znaménková konvence – pravidlo pravé ruky

v prostoru

0

x

y z

v rovině 0 +x

+z 5

Základní pojmy:

Síla bodová, vektor

Bodová (osamělá) síla - vektorová veličina: působiště 0

x +x z

A

P +z

Jednotka síly – newton (N), násobky kilonewton (kN=103N), meganewton (MN=106N)

velikost směr orientace (smysl) Paprsek síly (nositelka síly) Bodovou sílu lze po nositelce libovolně posouvat, aniž by se měnil její účinek, nejedná-li se ovšem o vázaný vektor. Posunutí síly mimo její nositelku složitější (viz dále-společný účinek síly a silové dvojice).

P 6

Základní pojmy:

Rozklad síly v rovině

0

0

+x

+x

Px

Px



P

Pz



 Pz



P



+z

+z

Px = P . sin γ Pz = P . cos γ

Px = P . cos  Pz = P . sin  7

Statický moment síly k bodu Otáčivý účinek síly vzhledem k danému bodu – momentovému středu Smysl otáčení statického momentu: Kladný smysl otáčení statického momentu – proti smyslu chodu ručiček při pohledu proti kladnému směru třetí osy (na rovinu xz proti y – „zepředu“) kladný směr statického momentu

Momentový střed – libovolný bod Rameno síly vzdálenost paprsku síly od momentového středu – kolmice!! Někdy značíme r nebo d

P Paprsek síly

+x s p +z

Absolutní hodnota statického momentu Ms síly P k bodu s : M s  P. p Rozměr Nm (kNm)

8

Základní pojmy:

Síla – liniová, plošná

Liniová síla vzniká v důsledku kontaktu dvou těles podél linie (např. úsečka – dotyk válce s rovinnou stěnou tělesa). Síla je spojitě rozdělena podél linie dotyku. Velikost se udává v N/m. Plošná síla vzniká v důsledku kontaktu dvou těles v (nezanedbatelně velké) ploše.

(a)

Velikost se pak udává v N/m2. (b)

Liniová (a) a plošná (b) síla Obr. 1.5. / str. 7 9

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí • Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí • Prut geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Nosná stavební konstrukce Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost. (blíže předmět Pružnost a plasticita).

Kongresové centrum, Brno

11

Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků: 1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčné rozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená) 2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dva rozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem. Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmo k rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek). 3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustava konstrukčních prvků. Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko, foto: doc. Ing. Antonín Lokaj, Ph.D.

Podrobněji v navazujících předmětech

12

Zatížení nosné konstrukce Rozdělení zatížení: a) silové - vnější síly a momenty b) deformační - oteplení, sedání, poddolování

a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění, např. zatížení obytných budov b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohy nebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou, např. měrné tíhy staviv b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení není předepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí Podrobněji v navazujících předmětech

13

Prut - geometrický popis prutu, idealizace Osa prutu (přímý prut), Střednice prutu (přímý i zakřivený prut)

F1=2F

h, d  0,1 l

F

F

F2 Průřez prutu

a

1

2

h

b

+y +z

+x

Těžiště průřezu

d

l

P1

P2

a 1

Rax Statické schéma: statický model nosné konstrukce

b

Raz

2

l

Rbz 14

Pohybové možnosti volných hmotných objektů Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.

+x x’

• volný hmotný bod v rovině: nv=2 (posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)

m[xm,zm]

• volný tuhý prut (deska) v rovině: nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení) • volný hmotný bod v prostoru: nv=3 (posun rozložen do tří os)

 +z

z’

• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení) 15

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti. n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti. Název vazby Kyvný prut

Násobnost vazby Označení vazby a reakce 1

Posuvná kloubová podpora

1

Pevný kloubová podpora

2

Posuvné vetknutí

Raz nebo Raz

Raz

2

nebo

Rax Raz

Rax

Raz

Ma Raz

Dokonalé vetknutí

3

Ma Rax

Raz 16

Zajištění nehybnosti prutu K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv. v = nv v < nv

v > nv

Podepření objektu je staticky i kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce. Podepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb). Podepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce (větší počet vazeb než je nezbytně nutné). Staticky neurčité podepření, výpočet reakcí v navazujících předmětech

Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určité nebo přeurčité konstrukce. 17

Stupeň statické neurčitosti nosníku (prutu) v rovině

v  a1  2.a2  3.a3

nv  3

v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku a1 ... počet jednonásobných vazeb

nv ... počet stupňů volnosti nosníku v rovině

a2 ... počet dvojnásobných vazeb a3 ... počet trojnásobných vazeb nv = v

staticky i kinematicky určitá soustava

nv < v

staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava

nv > v

staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neurčitosti:

s = v - nv

18

Kinematicky i staticky určitá konstrukce Podepření objektu je kinematicky určité

v = nv

Prut je staticky určitý (3 složky reakcí, 3 podmínky rovnováhy)

v = 3, nv = 3

P1

P2

Rax

Prostý nosník:

a

b

Raz

Konzola:

May

Rax

Rbz

P1

P2

a

Raz 19

Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce v > nv kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv

P1

P2

a

b

Rax

Rbx Raz

Rax

May a

Raz

Rbz P1

P2

Mby b

Rbx

v=4 nv = 3 s=1

v=6 nv = 3 s=3

Rbz 20

Kinematicky neurčitá konstrukce v < nv

kinematicky neurčité podepření

P1

P2 b

a

Raz

Rbz

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení Ve stavební praxi nepoužitelné.

21

Výjimkové případy podepření Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.

P1

P2

a

Rbx

b

Rax Raz P1 a

Raz

P2 b

Rbz

c

Rcz

Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.

22

A) Prosté podepření nosníku (prutu) v rovině Prut je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z i součet všech momentů k libovolnému bodu je roven 0. n

n

Platí 3 podmínky rovnováhy 2 silové, 1 momentová:

1. Pi , x  0 i 1

m

2. Pi , z  0 3. M i ,s  0 i 1

i 1

V praktických aplikacích - u výpočtů složek reakcí prostě podepřeného prutu je výhodnější sestavit 2 momentové podmínky rovnováhy k podporovým bodům 1. M i , a  0

2. M i ,b  0

Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou – 1 silovou podmínkou rovnováhy: n

3 . Pi , x  0 i 1

n

3 . Pi , z  0 i 1

pokud je v ose x pouze jedna neznámá složka reakce pokud je v ose z pouze jedna neznámá složka reakce

Silová podmínka rovnováhy, kterou nebylo potřeba k určení složek reakcí použijeme ke kontrole správnosti výpočtu.

23

A) prosté podepření nosníku v rovině •

staticky určitě podepřený nosník – vazbami zrušeny právě jeho 3 stupně volnosti a zatížený nosník je v rovnováze

•

vazby (= reakce = rovnovážné síly nebo momenty) jsou jednoznačně dány typem podpory a místem uložením nosníku

Rax

a

b Raz

• •

•

= Rbz

Rax

a

v=3 nv = 3 s=0 b

Raz

Rbz

odhadnout směr reakcí a zakreslit je do obrázku sestavit 3 podmínky rovnováhy (v každé rovnici jen jedna neznámá reakce) 1. ∑ Fi,x = 0 (silová) Rax 2. ∑ Mi,a = 0 (momentová) Rbz 3. ∑ Mi,b = 0 (momentová) Raz sestavit 4.kontrolní rovnici Kontrola: ∑ Fi,z = 0 (silová) Za výsledkem výpočtu reakcí uvádět jejich skutečný směr. Pokud není uveden, automaticky se předpokládá směr shodný se schématem. Vyjde-li reakce záporná – skutečný směr reakce je opačný než v náčrtu, značení 24 skutečného směru za výsledkem je bezpodmínečně nutné. Schéma nepřekreslovat!!!

Příklad 1: PROSTÝ NOSNÍK (všimněte si značení vazeb –podpor) P =6kN 3

a

Rbx 3

Raz

b Rbz

P

Rbx

= Raz

Rbz

Snaha odhadnout směr reakcí Podmínky rovnováhy

F

i ,x

M

i ,a

0

Silová ve směru, ve kterém působí pouze jedna složka reakce

 0 Momentová k jednomu podporovému bodu

 M i ,b  0 Momentová k druhému podporovému bodu Kontrola:

F

i ,z

0

Silová ve směru, ve kterém působí obě složky reakcí

Po dosazení: Rbx = 0kN Rbz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm. Raz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm. 25

Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK M=12kNm

Rbx l = 6m

a

Snaha odhadnout směr reakcí

b

Raz

Rbz

+ Podmínky rovnováhy

F

i,x

M

i ,a

M

i ,b

 0:

Rbx = 0

 0 : -M + 6.Rbz = 0

Rbz = 2 kN ( ) skut. směr

 0:

Raz = 2kN ( ) skut. směr

-M + 6.Raz = 0

Kontrola:

F

i,z

 0:

Raz - Rbz = 0 26

Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK shodný příklad, neodhadli jsme směr reakcí Rbx

M=12kNm a

6

b

Nepřekreslovat do stávajícího obr. ani nepřepisovat rovnice

!!!!!

Obrázek zakreslit nově, nebo vedle původní reakce

skutečný směr

Rbz

Raz

(pro kterou jsou sestaveny rovnice) zakreslit její skutečný směr s poznámkou „skut. směr“

Podmínky rovnováhy

F

i,x

M M

 0:

Silová ve směru, ve kterém působí pouze jedna složka reakcí (shodná se správným odhadem směru)

i ,a

 0:

i ,b

 0 : Momentová k druhému podporovému bodu

Momentová k jednomu podporovému bodu (shodná se správným odhadem směru) Rbx = 0kN Rbz = 2kN (↑)

 Raz  6  M  0 Raz  

Raz vyjde záporná, pod

M   2kN   6

vypočtený výsledek zapíšeme zřetelně - s kladnou hodnotou

Raz  2kN  Kontrola: Silová ve směru, ve kterém působí obě složky reakcí

Raz = 2kN (↓) (skut. směr)

F

i,z

 0:

27

Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh

M=12kNm a

P=6kN 3

Popřemýšlet … , závěr ? b

3

Raz,P = 3kN

Rbz,P = 3kN

Raz,M = 2kN

Rbz,M = 2kN

= M=12kNm a Raz =1kN

3

P=6kN 3

b Rbz = 5kN 28

Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK sami doma sestavte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce M=12kNm a

P=6kN

3

Raz

3

Rbx b Rbz

+ Podmínky rovnováhy

F M

0

i ,x

i ,a

0

 M i ,b  0

Rbx = 0kN Rbz = 5kN ( ) skut.směr Raz = 1kN ( ) skut.směr

Kontrola:

F

i ,z

0

29

Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK P = 70 kN Rax

60° Pz

Pz 60°

a

b

c Raz

P

Px

Px 4

2

Rbz

6

Podmínky rovnováhy i,x

M M

 0:

i ,a

i ,b

Rax - Px = 0

 0 : -2.Pz + 6.Rbz = 0  0:

4.Pz - 6.Raz = 0

Pz  P  cos  Px = 60,62 kN Pz = 35 kN

+

F

Px  P  sin 

Rax = 60,62 kN (

) skut. směr

Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr Raz = 23,33kN ( ) skut. směr

Kontrola:

 Fi, z  0 :

Poznámka: Kontrola goniometrických funkcí Zkontrolujte, zda vámi vypočtený průmět síly do osy x je opravdu větší než průmět do osy z. 30 Kontrolujte vždy – u všech šikmých sil, zda schéma odpovídá vašemu výpočtu.

- Raz - Rbz + Pz = 0

Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK – shodný příklad, jiným způsobem zadaný úhel P = 70 kN Rax

Pz

a

b

Px

Px 4

2

Rbz

6

Podmínky rovnováhy i,x

M M

 0:

i ,a

i ,b

Rax - Px = 0

 0 : -2.Pz + 6.Rbz = 0  0:

4.Pz - 6.Raz = 0

Px  P  cos  Pz  P  sin  Px = 60,62 kN Pz = 35 kN

+

F

30° Pz

30°

c Raz

P

Rax = 60,62 kN (

) skut. směr

Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr Raz = 23,33kN ( ) skut. směr

Kontrola:

 Fi, z  0 :

Poznámka: Kontrola goniometrických funkcí Zkontrolujte, zda vámi vypočtený průmět síly do osy x je opravdu větší než průmět do osy z. 31 Kontrolujte vždy – u všech šikmých sil, zda schéma odpovídá vašemu výpočtu.

- Raz - Rbz + Pz = 0

Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK náhradní břemeno q = 3kN/m

Q = 3.7 = 21kN

Rax

a

b 3

Raz

+

 0:

Rax = 0

i ,a

 0 : - Q.6,5 + Rbz .10 = 0

Rbz = 13,65 kN ( )

i ,b

 0 : Q.3,5 – Raz .10 = 0

Raz = 7,35 kN ( )

i,x

M M

Rbz

10

Podmínky rovnováhy

F

7

Kontrola:

F

i,z

 0:

- Raz- Rbz + Q = 0 32

Příklad 7: PROSTÝ NOSNÍK náhradní břemeno

q = 4kN/m

Q =0,5 .4.9 =18 kN

Rax

a

b 6

Raz

9

Podmínky rovnováhy

F M M

i,x

3

Rbz

+ Rax = 0

 0:

i ,a

 0:

- Q.6 + Rbz .9 = 0

Rbz = 12 kN ( )

i ,b

 0:

Q.3 – Raz .9 = 0

Raz = 6 kN ( )

Kontrola:

 Fi , z  0 :

∑ Fiz = 0: - Raz- Rbz + Q = 0 33

Příklad 8a: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM 5

5 q = 2,4 kN/m

Q

náhradní břemeno: Q = 2,4 . 10 = 24 kN

Rax a

b 8

Raz

i,x

Rbz

10

Podmínky rovnováhy

F M

2

+ Rax = 0

 0:

i ,a

 0:

- Q.5 + Rbz .8 = 0

Rbz = 15 kN ( )

i ,b

 0:

- Raz .8 + Q.3 = 0

Raz = 9 kN ( )

M

Kontrola:

F

i,z

 0:

- Raz- Rbz + Q = 0 34

Příklad 8b: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM 1

náhradní břemena:

Q2

Q1 = 2,4 . 8 = 19,2 kN

4 q = 2,4 kN/m

Q1 Rax

Q2 = 2,4 . 2 = 4,8 kN a Raz

b 8

2

10

Rbz

Podmínky rovnováhy

F

i ,a

i ,b

Rax = 0

 0:

i,x

M M

+

 0:  0:

Rbz . 8 – Q1 . 4 – Q2 . 9 = 0

Rbz = 15 kN ( )

- Raz . 8 + Q1 . 4 – Q2 . 1 = 0

Raz = 9 kN ( )

Kontrola:

F

i,z

 0:

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 = 0 35

B) Vetknuté podepření nosníku v rovině - konzola Prut je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z i součet všech momentů k libovolnému bodu je roven 0. Platí 3 podmínky rovnováhy 2 silové, 1 momentová:

n

n

m

2. Pi , z  0 3. M i , s  0

1. Pi , x  0

i 1

i 1

i 1

U výpočtů složek reakcí konzoly sestavujeme: 1 momentovou podmínku rovnováhy k podporovému bodu, např.k bodu a:

M

i ,a

0

2 silové podmínky rovnováhy: n

n

P

i,x

i 1

0

P

i,z

0

i 1

2.momentovou podmínku rovnováhy k libovolnému bodu, např.k bodu b použijeme ke kontrole správnosti výpočtu.  M i ,b  0

36

B) Vetknuté podepření nosníku v rovině - konzola Ma

Rax

a

b

Raz  



opět odhadnout směr reakcí a zakreslit je do obrázku sestavit 3 podmínky rovnováhy 1. ∑ Fix = 0 (silová) Rax 2. ∑ Fiz = 0 (silová) Raz ∑ Mia = 0 (momentová) Ma 3. Kontrola: ∑ Mib = 0 (momentová)

37

Příklad 9: KONZOLA Px = Pz = 6,36kN Ma

Pz

45° P = 9kN

Rax a

b

Raz

Px

5

+

Podmínky rovnováhy

F  0: R - P = 0 F  0: - R + P = 0  M i,a  0 :M – P .5 = 0 ax

i,x

x

az

i,z

a

z

z

Rax = 6,36kN (

)

Raz = 6,36kN ( ) Ma = 31,82kNm (

)

Kontrola:

M

i ,b

0 :

Ma – Raz . 5 = 0 38

Příklad 10: KONZOLA (speciálně pro studenty průmyslových škol) Pz

Ma M = 15kN

45°

Rax Ma skut. směr

P = 9kN a Raz

b

Px

2

Px = Pz = 6,36kN Podmínky rovnováhy

F F M

i,x

 0:

 0: i ,a  0 :

i,z

Rax - Px = 0 -Raz+Pz = 0 Ma + M – Pz .2 = 0

Rax = 6,36kN ( ) Raz = 6,36kN ( ) Ma = 2,28kNm ( )

Ma + 15 – 6,36 .2 = 0 →Ma = -2,28kNm Kontrola:

M

i,b

 0:

Ma + M – Raz . 2 = 0

39

Příklad 11: KONZOLA Q = 12kN

q = 2 kN/m

Mb Rbx

b

a 6

3

Rbz

9

+ Podmínky rovnováhy

F F

i,x

 0:

i,z

 0:

M

i ,b

Rbx = 0 kN - Rbz+ Q = 0

 0 : - Mb + Q .6 = 0

Rbz = 12 kN ( Mb = 72 kNm (

) )

Kontrola:

M

i ,a

 0:

- Mb + Rbz . 9 – Q.3 = 0 40

C) nosník s převislými konci Q1= 6kN

Q2= 12kN

q = 4 kN/m

M = 3kNm Rax a 3

2

3

1

Raz

i,x

M M

i ,a

i ,b

Q2= 12kN

P1 = 4kN

Rbz

Podmínky rovnováhy

F

P2 = 6kN

b

Q1 = 6kN umístit do těžiště obrazce!

+

 0:

Rax – P1 = 0

 0:

-M + Rbz . 6 – Q1 . 2 – Q2 . 4,5 – P2 .7 = 0 Rbz = 18,5 kN ( )

 0:

-M - Raz . 6 + Q1 . 4 + Q2 . 1,5 – P2.1 = 0

Rax = 4 kN (

) skut. směr

Raz = 5,5 kN ( )

Kontrola:

F

i,z

 0:

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 + P2= 0

41

Okruhy problémů k ústní části zkoušky Základní okruhy •

Podmínky rovnováhy soustavy sil v rovině

•

Statický moment síly k bodu v rovinné úloze

•

Rozdělení nosných stavebních konstrukcí

•

Prut – popis, schéma, idealizace

•

Zatížení nosných stavebních konstrukcí

•

Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti

•

Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách

•

Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů

•

Prostě podepřený prut, konzola – schéma, popis

•

Výpočet reakcí prostě podepřeného prutu

•

Výpočet reakcí konzoly

42