Centrális mutatók
STATISZTIKA I. 4. Előadás Centrális mutatók 1/51
Középértékek
2/51
Helyzeti középértékek
Helyzeti középértékek A meghatározása gyakoriság vagy sorszám alapján Számítás nélkül Az elemek nagyság szerint rendezett sorából
Helyzetük révén jellemzik a statisztikai sort Rangsorszám Legnagyobb gyakoriság centruma
Számított középértékek Számítás eredménye 3/51
Módusz, Mo
4/51
Bimodális eloszlás, U
5/51
6/51
1
A módusz meghatározása osztályközös gyakorisági sorból
Bimodális eloszlás, M
Osztályközös gyakorisági sorok esetén meg kell keresnünk a legnagyobb gyakoriságú osztályt, ez lesz a modális köz. A modális köz arányos osztásával határozhatjuk meg a móduszt:
7/51
8/51
Medián, Me
Medián meghatározása
minimum
maximum
50%
50%
N = megfigyelések száma 9/51
10/51
Számtani átlag
Számtani átlag tulajdonságai •
• •
11/51
Ha az átlaggal helyettesítjük az alapadatokat, az értékösszeg nem változik Az alapadatok számtani átlagtól vett eltéréseinek összege nulla A számtani átlagtól vett eltérések négyzetösszege a legkisebb
12/51
2
Egyszerű számtani átlag Időszak
Mennyiség mm
Január
11
Február
36
Március
27
Április
24
Május
59
Június
45
Július
88
Augusztus
68
Szeptember
73
Október
39
November
38
December
25
Összesen
533
Átlag
Részátlagok
A lehullott csapadék mennyisége Debrecenben (2002) (11+36+27+24+5 9+45+88+68+73 +39+38+25)/12= 44,42
44,42
13/51
14/51
Súlyozott számtani átlag
Súlyozott számtani átlag
Az átlagolandó értékek gyakorisága különböző.
Terület ha
15/51
Súlyozott számtani részátlagok
Termésátlag t/ha
Termés (t) fi x i
fi
xi
A1 tábla
25
3,6
90
A2 tábla
32
4,4
140,8
A3 tábla
14
5,1
71,4
B1 tábla
19
4,3
81,7
C tábla
33
3,7
122,1
Összesen
123
506
16/51
Az árbevétellel bővített „adatbázis”
Számítsuk ki az áruházlánc eladott élelmiszereinek átlagárait évenként
Buktatók!!!
17/51
18/51
3
Kimutatásrészlet
Súlyozott számtani átlag
19/51
Kronologikus átlag
20/51
Kronologikus átlag képlete
Állapot idősor adataiból számított speciális számtani átlag Az adatok időben egyenlő távolságra helyezkednek el Feltételezzük, hogy egy időszak záró adata a következő időszak nyitóadata.
21/51
22/51
Módusz, medián és számtani átlag elhelyezkedése
Raktárkészlet
Módusz Minimum
Medián
Maximum
Sz. átlag
Minimum
Minimum
23/51
Módusz
Sz. átlag
Sz. átlag Medián
Maximum
Módusz Medián
Maximum
24/51
4
Harmonikus átlag
Harmonikus átlag képlete
Viszonyszámok átlagolása esetén akkor, ha a számlálót tekintjük súlynak. Csak azonos súlyú adatok átlagolhatók!
25/51
26/51
Példa harmonikus közép számítására 1.
Példa harmonikus átlagokra Átlagsebesség azonos útszakaszok esetén Átlagsűrűség azonos tömegek esetén Átlagos területteljesítmény azonos területek esetén Fordított teljesítménymutatók átlaga azonos időtartam esetén Stb.
Sebesség (km/h)
30
60
80
60
120
Úthossz (km)
20
20
20
20
20
Mennyi az átlagos sebesség?
27/51
Példa harmonikus közép számítására 2.
28/51
Súlyozott harmonikus átlag
A piros fűnyíró 8 óra alatt, a kék 18 óra alatt vágja le a golfpálya gyepét. Együtt dolgozva hány óra alatt végeznek, ha egyszerre kezdenek?
29/51
30/51
5
Súlyozott harmonikus átlag, ha a számláló a súly
Súlyozott harmonikus átlag
Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele
Összes termés (t) (fi)
Átlagtermés (t/ha) (xi)
K1
120
6
B8
160
4
C16
800
10 31/51
Súlyozott számtani vagy harmonikus átlag?
Átlagtermés
Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele
32/51
Intenzitási viszonyszám
Tábla mérete Összes Átlagtermés (ha) termés (t) (t/ha)
K1
20
120
6
B8
40
160
4
C16
80
800
10 33/51
Súlyozott számtani átlag, ha a nevező a súly
34/51
Súlyozott számtani átlag
Tábla jele
Tábla mérete (ha) (fi)
Átlagtermés (t/ha) (xi)
K1
20
6
B8
40
4
C16
80
10 35/51
36/51
6
Súlyozott harmonikus átlag, ha a számláló a súly
Súlyozott harmonikus átlag
Viszonyszámok esetén fontos! Tábla jele
Összes termés (t) (fi)
Átlagtermés (t/ha) (xi)
K1
120
6
B8
160
4
C16
800
10 37/51
Mértani közép
38/51
Mértani közép képlete
Átlagos növekedési ráta 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4 39/51
40/51
Példa mértani közép számítására
Mértani átlag a gyakorlatban Idősorok elemzésénél, átlagos fejlődési ütem vizsgálata. Egy folyamat átlagos változásának a mérése. A változás átlagát leggyakrabban dinamikus viszonyszámokból határozzuk meg. Számolhatjuk súlyozatlan (egyszerű) és és súlyozott formában. 41/51
Az Aral-tó szennyezettsége az első hónapban duplájára, a második hónapban nyolcszorosára, a harmadik hónapban szintén nyolcszorosára és a negyedik hónapban ismét duplájára nő. Mennyi az átlagos havi szennyezettség növekedési üteme a vizsgált időszakban? 42/51
7
Dinamikus viszonyszámok mértani átlaga Láncviszonyszámból:
Súlyozott mértani átlag Akkor számoljuk, ha az időközök nem egyenletesek, az adatok eltérő gyakoriságúak
Bázis viszonyszámból:
43/51
Súlyozott mértani átlag képlete
44/51
Példa súlyozott mértani átlagra Az alkalmazottak bére az év első két hónapjában havi 2%-os, majd az év többi hónapjában havi 6%-os növekedést mutat. Mennyi az átlagos havi növekedés üteme?
45/51
46/51
Négyzetes átlag képlete
Négyzetes átlag Periodikus jelenségek átlagolása Távolságok átlagolása Változékonyság és összefüggés vizsgálatok
47/51
48/51
8
Négyzetes átlagok 1.
Négyzetes átlagok 2.
49/51
50/51
Az átlagok nagyságrendje
51/51
9
