Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő hétvégén. Ha véletlenszerűen választjuk ki úti céljainkat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy: a. Pontosan kétszer leszünk a Bükkben? b. Maximum 1-szer túrázunk a Mátrában? c. Istállós-kőre eljutunk? d. A Galya-tető lesz a legmagasabb a három túra helyszínből?
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Hegycsúcs neve Kékes Pezsgő-kő Galya-tető Szilvási-kő Péter hegyese Istállós-kő Tányéros-töbör Bálvány Kőrös-bérc Virágos-Sár-hegy
Hegység Mátra Mátra Mátra Bükk Mátra Bükk Bükk Bükk Bükk Bükk
Magasság 1014 971 964 961 960 958 958 956 956 955
Megoldás: A feladat mögött a „Visszatevés nélküli mintavételezés” modellje van. X = a három túrából a Mátrában tett kirándulások száma (Hipergeometriai valószínűségi változó)
(1 pont)
a, Ha pontosan kétszer vagyunk a Bükkben, az annak felel meg, hogy egyszer vagyunk a Mátrában:
(2 pont) b, (2 pont) c, Y = a három túrából az Istállós-kőn tett kirándulások száma (Hipergeometriai valószínűségi változó)
(2 pont) d, I. megoldás: Z = a három túrából Gyalya-tető lesz a legmagasabb = Kékesre, illetve Pezsgő-kőre nem jutok el ÉS(!) Gyalya-tetőre igen ÉS(!) még kettőre a maradék hétből.
vagy itt (3 pont) d, II. megoldás: Z1=három túrából Kékesre, illetve Pezsgő-kőre nem jutok el Z2=három túrából Kékesre, Pezsgő-kőre illetve Galya-tetőre nem jutok el Z = a három túrából Gyalya-tető lesz a legmagasabb = Z1 \ Z2 vagy itt (3 pont)
2. Egy vidéki házi orvos egy nap 8 órát rendel, ez alatt átlagosan 24-en keresik fel. a. Mi a valószínűsége, hogy a következő órában minimum 2 beteg keresi fel? b. Mi a valószínűsége, hogy két beteg érkezése között eltelt idő, legalább 18 perc? Megoldás: a, X = Egy óra alatt a betegek száma (tekinthető Poisson eloszlású val. változónak)
(1 pont)
E(X) = =
(1 pont)
=3
(1,5 pont)
(1,5 pont)
b, Y = Két betegek érkezése között eltelt idő percben mérve (tekinthető Exponenciális eloszlású val. változónak)
(1 pont)
(1,5 pont)
(1,5 pont) (1 pont)
3. Egy étterem három különböző sörfőzdéből szerzi be a sörkészletét. Az I. sörfőzdéből származik a készletének 30%-a, a II.-ból a 50%-a, a maradék a III. sörfőzdéből. Az alábbi táblázat tartalmazza a gyártott szűrt illetve szűretlen sör arányát a különböző sörfőzdékben. Az egyik pultos találomra csapra ver egy hordót (szigorúan minőségellenőrzés céljából!). Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott hordó: Szűrt- / Szüretlen sör arány I. Sörfőzde 7:1 II. Sörfőzde 2:1 III. Sörfőzde Nem gyárt szűretlen sört
a. Szűrt sört tartalmaz? b. Kóstolás után rájött, hogy szűrt sör. Mi a valószínűsége, hogy az I. sörfőzdéből származik a hordó?
Megoldás: a, A = A kiválasztott hordóban szűrt sör van B1 = A kiválasztott hordó az I. sörfőzdéből származik => B2 = A kiválasztott hordó a II. sörfőzdéből származik => B3 = A kiválasztott hordó a III. sörfőzdéből származik =>
P(B1) = 0,3 P(B2) = 0,5 P(B3) = 0,2
(1,5 pont)
(1,5 pont) Teljes valószínűség tétele: (2,5 pont)
(0,5 pont) b, Bayes – Tétel: (3 pont) + (1 pont)
4. Egy ifjú férj azzal lepi meg feleségét első házassági évfordulójuk alkalmával, hogy két héten keresztül mindennap hozz neki egy szál virágot. Feleségének kedvenc virágai a Kála, a Tulipán, a Gerbera és a Rózsa. Ha mindennap véletlenszerűen választ virágot, mi a valószínűsége, hogy kedvese mindegyik virágból kap legalább egyszer ez alatt a két hét alatt? Megoldás: A = A feleség minden virágból kap legalább egyszer a két hét alatt => P(A) meghatározása Szita formulával! A1 = Nem kap Kálát a feleség egyszer sem A2 = Nem kap Tulipánt a feleség egyszer sem A3 = Nem kap Gerberát a feleség egyszer sem A4 = Nem kap Rózsát a feleség egyszer sem
(2 pont)
(2 pont) (0,5 pont) (0,5 pont)
(2,5 pont)
(2,5 pont)
5. Jelölje X a Budapest és Siófok közötti vasútvonalon, a felső vezeték meghibásodásának helyét és tegyük fel, hogy X egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Budapesttől Velence 40 km-re, Székesfehérvár 60km-re, Siófok pedig 100 km-re található. a. Mi a valószínűsége, hogy a hiba Székesfehérvár előtt van? b. Mi a valószínűsége, hogy a hiba Székesfehérvár és Velence között van? c. Adja meg X várható értékét és szórását! d. Adja meg az 5-6X eloszlás- és sűrűségfüggvényét! Megoldás: X = (0,100)-on értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó
(1,5 pont)
(1 pont)
a,
b,
c,
(1 pont)
(1 pont)
(0,5 pont)
(0,5 pont)
d,
(2,5 pont)
(2 pont)
6. A valószínűségszámítás gyakorlaton a megengedett hiányzások száma maximum 3. Hosszú évek tapasztalata alapján a következő táblázat tartalmazza az egy évfolyamon, a hallgatónkénti hiányzások eloszlását. Az egyik 24 fős idei csoport hiányzásainak összesítése: Hiányzások száma 0 1 2 3
Hiányzások számának valószínűsége 1/6 + 2c 1/3 - c 2c 1/6 + c
0000 0001 1111 1122 2223 3333 a. Adjuk meg a hiányzások számának várható értékét és szórását! b. Adjunk torzítatlan becslést a c paraméterre a minta segítségével, i. relatív gyakoriságokkal! ii. minta átlaggal!
Megoldás: X = A hallgatónkénti hiányzások száma a, (2 pont)
(1 pont)
(2 pont) b, A relatív gyakoriságok torzítatlan becslései a valószínűségeknek: (0,5 pont)
(1 pont)
A mintaátlag torzítatlan becslése a várható értéknek:
(0,5 pont)
(1,5 pont)
(1,5 pont)
