STATISZTIKA I. 3. rész T.Nagy Judit
[email protected]
Standardizálás és standardizáláson alapuló indexszámítás
Inhomogén (heterogén) sokaságokra vonatkozó átlagok; intenzitási viszonyszámok (átlagbérek, átlagos tarifák, halálozási arányszámok) összehasonlítása térben vagy időben.
térbeli összehasonlítás
időbeli összehasonlítás
az intenzitási viszonyszámok különbségét bontjuk összetevőkre különbségfelbontás v. standardizálás
az intenzitási viszonyszámok hányadosát (indexet) bontjuk összetevőkre hányadosfelbontás v. indexszámítás
Jelölések: Bj: az j. részsokaság tagszáma vagy részaránya(%) (súlyok) Vj: az j. részsokaság átlaga (részátlagok, részviszonyszámok) V: a teljes sokaság átlaga (főátlag, összetett viszonyszám), nagysága függ a részátlagok nagyságától (Vj), a különböző nagyságú részátlagokhoz tartozó súlyarányoktól (Bj) Összehasonlítandó területek; időszakok
Vizsgált csoportok
„1”
„0”
Különbség k=V1-V0
Hányados i=V1/V0
Bj0
Vj0
Bj1
Vj1
1
B10
V10
B11
V11
k1
i1
2
B20
V20
B21
V21
k2
i2
ΣBj0
V0
ΣBj1
V1
K
I
. . .
M
IV/3. Összetett intenzitási viszonyszámok hányadosának felbontása összetevőire Hányadosfelbontás Jelenségek átlagos színvonalának időbeli összehasonlításánál alkalmazzuk A fenti hányadosok képzésével dinamikus viszonyszámokat kapunk, ezeket indexeknek nevezzük.
Mintapélda: Egy cég mobiltarifa változásai és a dolgozók beszélgetési szokásai: 2007. december beszélgetés
Csúcsidő Csúcsidőn kívül
2008. január
lebeszélt percek megoszlása %
tarifa Ft/perc
lebeszélt percek megoszlása %
tarifa Ft/perc
41,0
45,0
66,0
39,0
59,0
22,0
34,0
19,0
Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy milyen mértékű a 2007. decemberről 2008. januárra történő átlagos tarifaváltozás. Standardizáláson alapuló indexszámítással mutassuk ki a változást előidéző tényezők hatását.
Jelölések: 2007. December bázis időszak „0” beszélgetés
Csúcsidő
Csúcsidőn kívül
2008. Január tárgy időszak „1” lebeszélt percek megoszlása %
lebeszélt percek megoszlása %
tarifa Ft/perc
B0
V0
41,0
45,0
66,0
39,0
59,0
22,0
34,0
19,0
B1
tarifa Ft/perc
V1
Egyedi indexek: i=V1/V0 2007. December bázis időszak „0”
beszélgetés
lebeszélt percek megoszlása % B0
Csúcsidő
Csúcsidőn kívül
tarifa Ft/perc
V0
2008. Január tárgy időszak „1” lebeszélt percek megoszlása % B1
tarifa Ft/perc
i
V1
%
41,0
45,0
66,0
39,0
86,67
59,0
22,0
34,0
19,0
86,36
2007. December bázis időszak „0” lebeszélt percek megoszlása %
beszélgetés
B0 Csúcsidő Csúcsidőn kívül Összesen
2008. Január tárgy időszak „1”
tarifa Ft/perc
V0
lebeszélt percek megoszlása % B1
tarifa Ft/perc
V1
41,0
45,0
66,0
39,0
59,0
22,0
34,0
19,0
100,0
32,2
100,0
31,43
2007. dec.-ben az átlagos tarifa (Ft/perc): ∑ B ⋅V = 0,41⋅ 45 + 0,59 ⋅ 22 = 32,2 V = Bázis időszak 1 B ∑ intenzitási 0
0
0
0
viszonyszáma
2008. jan.-ban az átlagos tarifa (Ft/perc):Tárgy időszak B ⋅V 0,66 ⋅ 39 + 0,34 ⋅19 ∑ intenzitási = = 31,43 V = 1 viszonyszáma ∑B 1
1
1
1
Főátlagindex (összhatásindex): B ⋅V ∑ B ⋅V ∑ I= : ∑B ∑B 1
1
1
0
0
0
32,2 = V 1 :V 0 = = 1,0245 = 102,45% 31,43
Az átlagos tarifa 2,45%-kal növekedett 2007. dec.-ről 2008. jan.-ra.
Ezt az változást két tényező hatása okozza
Az
időszakonkénti tarifák (intenzitási részviszonyszámok) változásának hatása (I’ részhatás index)
Az eltérő tarifájú beszélgetések összetételének (összetétel-változás) hatása (I”- összetételhatás index)
Az növekedés összetevőinek kimutatása
Részviszonyszámok
változásának hatása standard súlyarányok használatával: Bst=B1
B ⋅V ∑ B ⋅V ∑ : I′ = ∑B ∑B 1
1
1
1
0
1
B ⋅V ∑ B ⋅V ⋅ i ∑ B ⋅V ∑ = = = ∑ B ⋅V ∑ B ⋅V ∑ B ⋅V 1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
i
számtani átlag-forma Aggregált forma
harmonikus átlag forma
Az növekedés összetevőinek kimutatása
Összetétel-változás
hatása Standard részviszonyszámok használatával: Vst=V0
B ⋅V ∑ B ⋅V ∑ I"= : ∑B ∑B 1
0
1
0
0
0
2007. December bázis időszak „0” beszélgetés
Csúcsidő Csúcsidőn kívül Összesen
B ⋅V ∑ I'= ∑ B ⋅V
I"=
1
1
1
0
0
1
=
lebeszélt percek megoszlása %
tarifa Ft/perc
lebeszélt percek megoszlása %
tarifa Ft/perc
B0
V0
B1
V1
41,0
45,0
66,0
39,0
59,0
22,0
34,0
19,0
100,0
32,2
100,0
31,43
0,66 ⋅ 39 + 0,34 ⋅19 = = 0,8861 = 88,61% 0,66 ⋅ 45 + 0,34 ⋅ 22
∑ B ⋅V : ∑ B ⋅V ∑B ∑B 1
2008. Január tárgy időszak „1”
0
0
=
0
0,66 ⋅ 45 + 0,34 ⋅ 22 0,41 ⋅ 45 + 0,59 ⋅ 22 = 1,1829 = 118,29% : 1 1
I’=88,61%
Az átlagos telefontarifa 13,39%-kal csökkent azért, mert mindkét (csúcsidő, csúcsidőn kívüli) tarifa változott (csökkent).
I”=118,29% 18,29%-kal nőtt az átlagos telefontarifa abból adódóan, hogy megnőtt a csúcsidejű beszélgetések aránya.
Összefüggés:
Megjegyzések:
I’=I
I = I ′ ⋅ I ′′
az alábbi esetekben:
A standardnak választott részviszonyszámok nem szóródnak és/vagy Nem történt összetétel-változás (B1/B0 viszonyszámok nem szóródnak) és/vagy Vo és B1/B0 sorozat között nincs korreláció (az összetétel változása nem tendenciózus)
Az összetétel hatás index (I”) nem az összetétel megváltozását jelzi, hanem azt, hogy az összetétel a kisebb vagy nagyobb átlagolandó értékek felé mozdul el.
V. Indexszámítás
Valamilyen szempontból összetartozó változók összességének időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgál.
Jelölések
q: mennyiség p: egységár v=p*q érték (árösszeg) 0: bázis időszak 1: tárgy időszak I: index i: egyedi index
Az árindex:
p1 ip = p0
Súlyozatlan árindex
Ip=?
Súlyozott árindex (q:súly)
Ip=Σp1/Σp0
p1 1 I =
p ∑p n 0
I =n p
∏
p1 p0
Ip
qp ∑ = ∑ qp
1 0
q=? (q0 vagy q1) Olyan értékeket aggregátumokat vetünk össze, melyek az ár szempontjából különböznek.
Árindexek
Laspeyres (bázisidőszaki súlyozású) Ip
0
q ∑ = ∑q
0
p1
0
p0
Paasche (bázisidőszaki súlyozású) Ip
1
q p ∑ = ∑q p 1
1
1
0
Mintapélda: Egy négytagú budapesti család fogyasztása a főbb élelmiszerekből 2005. és 2007. januárjában ill. a termékek egységárai: 2005. január Termék
mérték‐ egység
2007. január
fogyasztás mennyisége
egységár Ft
fogyasztás mennyisége
egységár Ft
tej
l
18
156
17
187
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
tojás
db
51
20
48
26
Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy a hány százalékkal változott a család fogyasztásának értéke és ebből mennyi köszönhető az árváltozásnak ill. a fogyasztásnak?
Jelölések: 2005. január
2007. január
mérték‐ egység
fogyasztás mennyisége q0
egységár Ft p0
fogyasztás mennyisége q1
egységár Ft p1
tej
l
18
156
17
187
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
tojás
db
51
20
48
26
Termék
Egyedi árindexek: ip=p1/p0 2005. január
Termék
mérték‐ egység
fogyasztás mennyisége q0
2007. január egységár Ft p0
fogyasztás mennyisége q1
egységár Ft p1
ip (%)
tej
l
18
156
17
187
119,87
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
tojás
db
51
20
48
26
130,00
Árindexek – táblázat előkészítése: 2005. január
Termék
mérték‐ egység
2007. január
q0
p0
q1
p1
ip (%)
v0=q0q0
v1=q1p1
tej
l
18
156
17
187
119,87
2808,0
3179,0
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
745,3
856,8
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
2792,4
2988,5
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
2865,5
3317,8
tojás
db
51
20
48
26
130,00
1020,0
1248,0
10231,2
11590,1
Összesen:
Árindexek – táblázat előkészítése: 2005. január
Termék
mérték‐ egység
2007. január
q0
p0
q1
p1
ip (%)
v0= =q0p0
v1= =q1p1
q1p0
q0p1
tej
l
18
156
17
187
119,87
2808,0
3179,0
2652,0
3366,0
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
745,3
856,8
719,6
887,4
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
2792,4
2988,5
2488,1
3354,0
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
2865,5
3317,8
2761,3
3443,0
tojás
db
51
20
48
26
130,00
1020,0
1248,0
960,0
1326,0
10231,2
11590,1
9581,0
12376,4
Összesen:
A g g r e g á t u m o k
Árindex (árszínvonal változás):
mérték‐ egység
Termék
2005. január
2007. január
q0
p0
q1
p1
ip (%)
v0= =q0p0
v1= =q1p1
q1p0
q0p1
tej
l
18
156
17
187
119,87
2808,0
3179,0
2652,0
3366,0
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
745,3
856,8
719,6
887,4
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
2792,4
2988,5
2488,1
3354,0
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
2865,5
3317,8
2761,3
3443,0
tojás
db
51
20
48
26
130,00
1020,0
1248,0
960,0
1326,0
10231,2
11590,1
9581,0
12376,4
Összesen:
Ip
Ip
0
1
q p ∑ = ∑q p
=
qp ∑ = ∑q p
11590,1 = = 1,20970 = 120,970% 9581
0
1
0
0
1 1
1
0
12376,4 = 1,20967 = 120,967% 10231,2
A család fogyasztásának értéke 20, 967%kal nőtt az árak növekedésének köszönhetően 2005-ről 2007-re. A termékek ára átlagosan 20,967%-kal nőtt.
A család fogyasztásának értéke 20, 97%kal nőtt az árak növekedésének köszönhetően 2005-ről 2007-re. A termékek ára átlagosan 20,97%-kal nőtt
Aggregált formák az árindex átlagformái: Laspeyres: I = ∑ q p ∑q p 0
0
1
0
0
p
q pi ∑ = ∑q p
0 p
0
0
0
q p ∑ = q p ∑ i 0
1
0
1
p
Számtani átlagforma
Paasche:
Ip
1
q p ∑ = ∑q p 1
1
1
0
q pi ∑ = ∑q p
0 p
1
1
0
Harmonikus átlagforma
q p ∑ = q p ∑ i 1
1
1
1
p
Keresztezett árindex-formula Fischer-féle árindex Ip = Ip ⋅Ip F
0
1
I p = I p ⋅ I p = 1,20967 ⋅1,20970 = 1,20968 = 120,968%
A család fogyasztásának értéke 20, 968%-kal nőtt az árak növekedésének köszönhetően 2005-ről 2007-re.
F
0
1
A volumenindex:
q1 iq = q0
Iq=Σq1/Σq0
egyedi index
súlyozatlan volumenindex egynemű mennyiségek együttes volumenváltozásai.
Iq nem egynemű mennyiségek esetén: (súlyozott volumenindex p:súly)
Iq
qp ∑ = ∑q p 1
0
p=? (p0 vagy p1)
Volumenindexek
Laspeyres (bázisidőszaki súlyozású) Iq
0
qp ∑ = ∑q p 1
0
0
0
Paasche (bázisidőszaki súlyozású) Iq
1
qp ∑ = ∑q p
1 1 0
1
Egyedi volumenindexek: iq=q1/q0 2005. január
Termék
mérték‐ egység
fogyasztás mennyisége q0
2007. január egységár Ft p0
fogyasztás mennyisége q1
egységár Ft p1
iq (%)
tej
l
18
156
17
187
94,44
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
96,55
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
89,10
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
96,36
tojás
db
51
20
48
26
94,12
Volumenindex: 2005. január
Termék
2007. január
q0
p0
q1
p1
ip (%)
iq (%)
v0= =q0p0
v1= =q1p1
q1p0
q0p1
tej
l
18
156
17
187
119,87
94,44
2808,0
3179,0
2652,0
3366, 0
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
96,55
745,3
856,8
719,6
887,4
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
89,10
2792,4
2988,5
2488,1
3354, 0
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
96,36
2865,5
3317,8
2761,3
3443, 0
tojás
db
51
20
48
26
130,00
94,12
1020,0
1248,0
960,0
1326, 0
10231,2
11590,1
9581,0
12376 ,4
Összesen:
Iq Iq
0
1
qp 9581 ∑ = = = 0,93645 = 93,645% ∑ q p 10231,2 qp 11590,1 ∑ = = = 0,93647 = 93,647% ∑ q p 12376,4 1
0
0
0
1 1 0
1
A család fogyasztásának értéke 6,355%kal csökkent, annak köszönhetően, hogy a vizsgált termékek fogyasztása csökkent 2005-ről 2007-re.
A család fogyasztásának értéke 6,353%kal csökkent, annak köszönhetően, hogy a vizsgált termékek fogyasztása csökkent 2005-ről 2007-re.
Aggregált formák a volumenindex átlagformái: q1 p 0 ∑ q 0 p 0 iq ∑ 0 Laspeyres: I q = =
∑q
p0
0
∑q
0
p0
q p ∑ = q p ∑ i 1
0
1
0
q
Számtani átlagforma
Paasche: I 1 = q
∑q p ∑q p 1
1
0
1
q pi ∑ = ∑q p 0
1 q
0
1
Harmonikus átlagforma
q p ∑ = q p ∑ i 1
1
1
1
q
Keresztezett volumenindex-formula Fischer-féle volumenindex
Iq = Iq ⋅ Iq F
0
1
I q = I q ⋅ I q = 0,93645 ⋅ 0,93647 = 0,93646 = 93,646% F
0
1
A család fogyasztásának értéke 6,354%-kal csökkent, annak köszönhetően, hogy a vizsgált termékek fogyasztása csökkent 2005-ről 2007-re.
Az értékindex:
v1 iv = v0
Iv
egyedi index
v qp ∑ ∑ = = ∑v ∑q p 1
1 1
0
0
0
q pi ∑ = ∑q p 0
0
0 v 0
qp ∑ = ∑q p i
1 1
1 1 v
Egyedi értékindexek: iv=v1/v0=ip*iq 2005. január
Termék
2007. január
q0
p0
q1
p1
ip (%)
iq (%)
iv(%)
tej
l
18
156
17
187
119,87
94,44
113,21
napraforgó étolaj
l
2,9
257
2,8
306
119,07
96,55
114,96
fehér kenyér
kg
15,6
179
13,9
215
120,11
89,10
107,02
csirkehús
kg
5,5
521
5,3
626
120,15
96,36
115,78
tojás
db
51
20
48
26
130,00
94,12
122,35
Összesen:
Az értékindex:
Iv
qp ∑ = ∑q p
1 1
0
0
11590,1 = = 1,1328 = 113,28% 10231,2
A család fogyasztásának értéke 13,28%kal nőtt 2005-ről 2007-re.
Összefüggés:
Iv = Ip ⋅ Iq = Ip ⋅ Iq = Ip ⋅ Iq 0
1
1
0
F
F
Aggregátumok és indexek az összes vásárlás 2005 A vásárlás éve 2005 2007
Iq (%)
2007
Ip (%)
évi árakon 10231,2
12376,4
120,967
9581,0
11590,1
120,970
93,645
93,647
113,282
Az indexszámítás alkalmazásának néhány kérdése árolló: egymással összefüggő termékcsoportokra vonatkozó árindexek összehasonlítása Cserearányindex: exp. term. árindexe/imp. term. Árindexe Agrárolló: mezőgazdasági termelésben felhasznált termékek árindexe
Fogyasztói árindex
Hazai
fogyasztói árindexszámítás: Tartalma: a lakosság által fogyasztási célra vásárolt termékek és szolgáltatások fogyasztói árának átlagos változását méri. Az indexszámítás adatforrásai: - ármegfigyelések - súlyadatok (családi költségvetés, háztartásstatisztika) - reprezentánsok: ármegfigyelésre kiválasztott termékek, szolgáltatások.
egy-egy reprezentánsra havonta 30-150 árfelírás kerül. Ebből:
reprezentáns havi átlagára p
(az ármegfigyelések súlyozatlan átlaga)
egyedi árindexe p1/p0
A fogyasztói árindexszámítás menete 1. 2.
3.
Reprezentánsok egyedi árindexei: ip Alcsoportok indexei:reprezentánsok egyedi árindexeinek súlyozatlan vagy szakértők által becsült súlyokkal súlyozott átlagai Ipj A fogyasztói árindex: az alcsoportok árindexeinek a bázis időszaki fogyasztási szerkezettel súlyozott átlaga: (w0: a bázis Ip=Σw0Ipj / Σw0 fogyasztási szerkezet) (2 évvel korábbi időszak súlyait használják fel.)
A fogyasztói árindex minden hónapban 3 bázishoz viszonyítva készül
Előző
év dec.
Közvetlenül megelőző hónap
Előző év azonos hónapja
Köszönöm a figyelmet!
