Többszempontos variancia analízis
Statisztika I., 6. alkalom
Kétszempontos variancia analízis Ha két független változónk van, mely a csoportosítás alapját képezi, akkor kétszempontos variancia analízisrıl beszélhetünk. Példa: a szisztolés vérnyomást gyógyszeresen és biofeedback-kel csökkentik egy kísérletben.
átlag szórás
feedback és gyógyszer 158 163 173 178 168 168 7.9
csak feedback 188 183 198 178 193 188 7.9
csak gyógyszer 186 191 196 181 176 186 7.9
egyik sem 185 190 195 200 180 190 7.9
Két szempont szerint rendezhetık az átlagok:
gyógyszeres van nincs kezelés átlag
van 168 188 178
biofeedback nincs 186 190 188
átlag 177 189 183
Interakció vizsgálata Egyelıre, tegyünk úgy, mintha a populációt vizsgáltuk volna. A gyógyszeres kezelés hatása más-e, ha volt, vagy ha nem volt biofeedback ? A biofeedback hatása különbözı-e ha volt, vagy ha nem volt gyógyszeres kezelés ? Ha igen, akkor a két kezelés interakcióban van egymással, a két független változó közt interakció van. Gyógyszer mellett a feedback átlagosan 18-cal csökkenti a vérnyomást. Gyógyszer nélkül a feedback átlagosan 2-vel csökkenti a vérnyomást. Feedback mellett a gyógyszer átlagosan 20-szal csökkenti a vérnyomást. Feedback nélkül a gyógyszer átlagosan 4-gyel csökkenti a vérnyomást. Azaz a független változók közt interakció van. A független változók felerısítik egymás hatását.
Interakció vizsgálata Az elızı interakció grafikus megjelenítése: Van interakció, a független változók erısítik egymás hatását 195 190 185 180 175 170 165 160 155 gy.k.
f.b. n.f.b.
n. gy.k.
195 190 185 180 175 170 165 160 155
gy. n.gy.
f.b.
n.f.b
Interakció vizsgálata Ha az alábbi eredményeket tapasztaltuk volna, akkor a következtetés másképp alakul: 2. eset gy. n.gy.
f.b. 160 180
n.f.b 190 210
3. eset gy. ngy.
f.b. 200 170
n.f.b 180 210
Interakció vizsgálata Ha az alábbi eredményeket tapasztaltuk volna, akkor a következtetés másképp alakul: 2. eset gy. n.gy.
f.b. 160 180
n.f.b 190 210
3. eset gy. ngy.
f.b. 200 170
n.f.b 180 210
2.eset: nincs interakció. Nincs különbség a gyógyszer hatásában feedback-kel vagy anélkül, és nincs különbség a feedback hatásában gyógyszerrel vagy anélkül. 3. eset: van interakció. A gyógyszer hatása gyengébb ha van biofeedback és a biofeedback hatása gyengébb, ha van gyógyszeres kezelés. A független változók közt interakció van és gyengítik egymás hatását.
Interakció vizsgálata Nincs interakció 250
250
200 150
f.b.
100
n.f.b.
200 gy.
150
n.gy.
100
50 0
50
gy. k.
n. gy. k.
0 f.b.
n.f.b
2. eset Van interakció, gyengítik egymás hatását a függı változók 250
250
200
200
150 100
f.b.
150
gy.
n.f.b.
100
n.gy.
50
50
0 f.b.
0 gy.k.
n. gy.k.
3. eset
n.f.b
Kétszempontos variancia analízis, vizsgálat menete
Van interakció? Ha igen, akkor értelmezzük. Ha nincs, akkor a fıhatásokat vizsgáljuk. és azokat értelmezzük 2. eset gy. n.gy. átlag
f.b. 160 180 170
n.f.b 190 210 200
átlag 175 195 185
Van hatása a gyógyszeres kezelésnek?
Van hatása a biofeedbacknek?
Következtetés a mintából a populációra
átlag szórás
feedback és gyógyszer 158 163 173 178 168 168 7.9
gyógyszeres van nincs kezelés átlag
csak feedback 188 183 198 178 193 188 7.9
van 168 188 178
csak gyógyszer 186 191 196 181 176 186 7.9
biofeedback nincs 186 190 188
egyik sem 185 190 195 200 180 190 7.9
átlag 177 189 183
Következtetés a mintából a populációra
Interakciós hatás:
NÖ AB / df AB → F (df AB , df CSB ) NÖCSB / df CSB
Gyógyszer-hatás
NÖ A / df A → F (df A , df CSB ) NÖCSB / df CSB
Feedback-hatás
NÖB / df B → F (df B , df CSB ) NÖCSB / df CSB NÖ
Interakció Gyógyszer Feedback Csoporton belüli
320 720 500 1000
df 1 1 1 16
NÖ/df
F érték
320 320/62.5 = 5.12 720 720/62.5 = 11.52 500 500/62.5 = 8.00 62.5
szignifikancia P(F>5.12) = 0.038 P(F>11.52) = 0.004 P(F>8.00) = 0.012
Következtetés a mintából a populációra Csoporton belüli ingadozás :hibavariancia. Az 1. táblázatot tekintve: NÖCSB = ∑∑ ( xik − xi + ) 2 = i
k
(158 − 168) 2 + (163 − 168) 2 + ... + (188 − 188) 2 + (183 − 188) 2 + ... + (186 − 186) 2 + (191 − 186) 2 + ... + (180 − 190) 2 = 1000
df CSB = N1 − 1 + N 2 − 1 + N 3 − 1 + N 4 − 1 = 5 − 1 + 5 − 1 + 5 − 1 + 5 − 1 = 16
VarCSB = NÖCSB / df CSB = 1000 / 16 = 62,5
Következtetés a mintából a populációra Csoportok közötti ingadozás :hatásvariancia. A gyógyszer hatása
NÖA = ∑ ni ( xi + − x+ + ) 2 = i
10(177 − 183) 2 + 10(189 − 183) 2 = 720 df A = m A − 1 = 2 − 1 = 1
VarA = NÖA / df A = 720 / 1 = 720
Következtetés a mintából a populációra Csoportok közötti ingadozás :hatásvariancia. A feedback hatása Az 2. táblázatot tekintve:
NÖB = ∑ n j ( x+ j − x+ + ) 2 = j
10(178 − 183) 2 + 10(188 − 183) 2 = 500 df B = mB − 1 = 2 − 1 = 1
VarB = NÖB / df B = 500 / 1 = 500
Következtetés a mintából a populációra Csoportok közötti ingadozás :hatásvariancia. Az interakció hatása Elvárt értékek a marginálisok alapján: biofeedback van nincs gyógyszeres kezelés
van nincs
172
182
184
194
Következtetés a mintából a populációra Csoportok közötti ingadozás :hatásvariancia. Az interakció hatása Az 2. táblázatot tekintve:
NÖAB = ∑ nij ( xij − E ( xij )) 2 = ij
5(168 − 172) 2 + 5(186 − 182) 2 + 5(188 − 184) 2 + 5(190 − 194) 2 = 320
df A = (m A − 1)(mB − 1) = (2 − 1)(2 − 1) = 1
VarAB = NÖAB / df AB = 320 / 1 = 320
Következtetés a mintából a populációra
Interakciós hatás:
NÖ AB / df AB → F (df AB , df CSB ) NÖCSB / df CSB
Gyógyszer-hatás
NÖ A / df A → F (df A , df CSB ) NÖCSB / df CSB
Feedback-hatás
NÖB / df B → F (df B , df CSB ) NÖCSB / df CSB NÖ
Interakció Gyógyszer Feedback Csoporton belüli
320 720 500 1000
df 1 1 1 16
NÖ/df
F érték
320 320/62.5 = 5.12 720 720/62.5 = 11.52 500 500/62.5 = 8.00 62.5
szignifikancia P(F>5.12) = 0.038 P(F>11.52) = 0.004 P(F>8.00) = 0.012
