Elmé Elmélet A magyará magyarázat a fü függő ggő változó ltozó teljes heterogenitá heterogenitásának ké két ré részre bontá bontását jelenti.
STATISZTIKA 12. Elő Előadá adás VarianciaVariancia-analí analízis Lineá Lineáris modellek
Lineá Lineáris modell
yij = µ + αi + eij
A teljes heterogenitá heterogenitás egyik ré része az, amelynek „okai” okai” a fü független vá változó ltozók, a má másik heterogenitá heterogenitás-rész pedig az, amelynek „okait” okait” az egyé egyéb, általunk nem vizsgá vizsgált té tényező nyezők tartalmazzá tartalmazzák. Ez utó utóbbit sokszor a vé véletlen hatá hatásaké saként, hibaké hibaként is emlegetik.
A varianciavariancia-analí analízis alkalmazá alkalmazásának felté feltételei a maradé maradék fü független a kezelé kezelés és blokk hatá hatástó stól valamint a fü függő ggő változó ltozótól (vé (véletlen mintavé mintavételezé telezés, kí kísérleti elrendezé elrendezés)
ahol: yij
a fü függő ggő változó ltozó érté rtéke
µ αi eij
a kí kísérlet fő főátlaga, fix hatá hatás fix hatá hatás, oka a fü független vá változó ltozó hiba, vagy elté eltérés
Alapfogalmak 1. Faktor: a vizsgá vizsgálatba bevont fü független vá változó ltozókat, pl. kü különbö nböző kezelé kezeléseket, té tényező nyezőket. Faktor szint: A kezelé kezelések szintjei, pl. műtrá trágyaadagok. Kvalitatí Kvalitatív és kvantitatí kvantitatív faktorok: Ha a faktorszintek nem numerikusak vagy intervallum ská skálájúak, akkor kvalitatí kvalitatív, ellenkező ellenkező esetben kvantitatí kvantitatív faktorokró faktorokról beszé beszélünk.
a maradé maradékok (hibá (hibák) normá normális eloszlá eloszlású, nulla várható rható érté rtékű sokasá sokaság a maradé maradékok szó szórásai a kezelé kezeléskombiná skombináció ciók cellá celláin belü belül egyformá egyformák
Alapfogalmak 2. Kezelé Kezelések (cellá (cellák): k): Egyfaktoros esetekben a kezelé kezelések megfelelnek a faktorok szintjeinek, többfaktoros esetben a figyelembe vett faktorok szintjeibő szintjeiből elő előálló lló kombiná kombináció ciók a kezelé kezelések. Pl. amikor a 2 faktor mű műtrá trágyaadagok és öntö ntözési módok, akkor a kezelé kezelések a (mű (műtrá trágyaadagok, öntö ntözési mó módok) összes lehetsé lehetséges kombiná kombináció ciójából áll. Interakció Interakció: Ké Két vá változó ltozó kapcsolatá kapcsolatában akkor áll fenn interakció interakció (kö (kölcsö lcsönhatá nhatás), ha vá változó ltozó hatá hatása fü függ az vá változó ltozó szintjé szintjétől és fordí fordítva.
1
Alapfogalmak 3. Egy szempontos varianciavariancia-analí analízis: zis: VarianciaVarianciaanalí analízis, zis, ahol csak egy faktor van. Több szempontos varianciavariancia-analí analí zis: zis: VarianciaVarianciaanalí analízis, zis, ahol kettő kettő vagy tö több faktor van.
Jelö Jelölések n: az adatok szá száma k: csoportok szá száma r: ismé ismétlé tlések szá száma Csoport átlag:
Egyvá Egyváltozó ltozós varianciavariancia-analí analí zis: zis: ANOVA technika, amely egy fü függő ggő változó ltozót haszná használ.
xk
Többvá bbváltozó ltozós varianciavariancia-analí analí zis: zis: ANOVA technika, amely kettő kettő vagy tö több fü függő ggő változó ltozót haszná használ.
Egyté Egytényező nyezős varianciavariancia-analí analízis Segí Segítsé tségével egy té tényező nyező hatá hatását lehet vizsgá vizsgálni a fü függő ggő változó ltozó mennyisé mennyiségi alakulá alakulására. A té tényező nyező, faktor valamilyen csoportké é pző ő ismé csoportk pz ismérvvel rendelkezik, a függő ggő változó ltozó pedig legtö legtöbbszö bbször ská skála típusú pusú adat.
VarianciaVariancia-analí analízis lé lépései
H0 A nullhipoté nullhipotézis, zis, hogy az átlagok egyenlő egyenlők, nincs közöttü ttük kü különbsé nbség. Ez a technika a ké kétmintá tmintás t-teszt általá ltalánosí nosítása, kiterjeszté kiterjesztése tö több mintá mintára.
x
1
=
x
2
K
= x
k
1. A modell felá felállí llítása
1. A varianciavariancia-analí analízis modell felá felállí llítása. 2. SzignifikanciaSzignifikancia-szint megvá megválasztá lasztása 3. A varianciavariancia-analí analízis kiszá kiszámítása, az FFpró ó ba. pr 4. A modell érvé rvényessé nyességének ellenő ellenőrzé rzése.
A modellben a mé mérési, megfigyelé megfigyelési érté é keket ö sszegké é nt ké é rt sszegk k pzeljü pzeljük el. Kísérleti elrendezé elrendezésnek megfelelő megfelelő modellalkotá modellalkotás
5. Amennyiben az FF-pró próba szignifiká szignifikáns, középérté é kek tö ö bbszö ö r ö s rt t bbsz összehasonlí sszehasonlítása.
2
Lineá Lineáris modell
yij = µ + αi + eij
Példa Egy termesztő termesztő k kukorica hibrid termeszté termesztése kö között választhat. Jelö Jelöljü ljük a fajtá fajtákat A, B, C, DD-vel. Döntsü ntsük el, hogy a 4 fajta termeszté termesztése eseté esetén azonos termé terméseredmé seredményre szá számíthatunkthatunk-e. Fajta
ahol: yij µ αi eij
a fü függő ggő változó ltozó érté rtéke a kí kísérlet fő főátlaga, fix hatá hatás fix hatá hatás, oka a fü független vá változó ltozó, faktor hiba, vagy elté eltérés
2. SzignifikanciaSzignifikancia-szint
megvá megválasztá lasztása Leggyakrabban 0,05 azaz 5% Lehet: 0,1; 1; 5 és 10%
Termés (t/ha)
A
9,3
7,2
8,2
B
5,4
7,1
5,9
C
4,5
2,9
5,0
D
3,5
0,9
2,5
3. A varianciavariancia-analí analízis kiszá kiszámítása ÖSSZESÍTÉS Csoportok Darabszám Összeg Átlag Variancia A 3 24,7 8,233333 1,103333333 B 3 18,4 6,133333 0,763333333 C 3 12,4 4,133333 1,203333333 D 3 6,9 2,3 1,72
Elmé Elméletileg bá bármilyen érté rtéket vá választhatunk, ha szakmailag meg tudjuk indokolni.
Eredmé Eredménytá nytáblá blázat (Excel) Tényezők Csoportok között Csoporton belül
SS df MS F 58,86 3 19,62 16,38 9,58 8 1,1975
Összesen
68,44
11
Elté Eltérés né négyzetö gyzetösszegek (SS) Csoportok kö között: csoportá csoportátlagok elté eltérés négyzetö gyzetösszege * r Csoporton belü belül: csoportok elté eltérés négyzetö gyzetösszegeinek összege Összes: alapadatok elté eltérés né négyzetö gyzetösszege
3
Szabadsá Szabadságfokok (df (df))
Varianciá Varianciák Az elté eltérés né négyzetö gyzetösszegek osztva a szabadsá szabadságfokokkal.
Csoportok kö között: kk-1 Csoporton belü belül: n-k
SScsk/3 Összes: nn-1
SScsb/8 SSössz/11
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
0.6 0.5 0.4 0.2
0.3
4.07
0.0
MS csk F= MSerror
0.1
df(x, df1 = DF1, df2 = DF2, ncp = 0)
0.7
F-pró próba
0
2
4
6
8
0.2
0.5 0.4 0.3
4.07
16.38
0.2
0.4
0.6
0.8
df(x, df1 = DF1, df2 = DF2, ncp = 0)
4.07
0.6
0.7
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
0.0
0.1
1.0
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
0.0
pf(x, df1 = DF1, df2 = DF2, ncp = 0, lower.tail = TRUE)
x
0
2
4 x
6
8
0
5
10
15
x
4
1.0
16.38
0.8
4.07
Mi annak a való valószí színűsége?
0.4
0.6
Véletlenü letlenül 16,38 FF-érté rtékné knél nagyobbat kapunk egy 3, 8 szabadsá szabadságfokú gfokú Feloszlá eloszlás eseté esetén.
0.2
P=0,00089
0.0
pf(x, df1 = DF1, df2 = DF2, ncp = 0, lower.tail = TRUE)
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
0
5
10
15
x
Mikor szignifiká szignifikáns az FF-pró próba?
4. A modell érvé rvényessé nyességének ellenő ellenőrzé rzése 1. Függetlensé ggetlenség
Ha lé létezik legalá legalább egy szignifiká szignifikáns kontraszt a csoportok kö között.
2. Normá Normális eloszlá eloszlás 3. Azonos varianciá varianciák
A maradé maradék fü független a kezelé kezelés és blokk hatá hatástó stól valamint a fü függő ggő változó ltozótól (vé (véletlen mintavé mintavételezé telezés, kí kísérleti elrendezé elrendezés) Vizsgá Vizsgálat: Maradé Maradékok leí leíró statisztiká statisztikája kezelé kezelések szerint a maradé maradékok ábrá brázolá zolása a megfigyelt és becsü becsült érté rtékek fü függvé ggvényé nyében
Maradé Maradékok leí leíró statisztiká statisztikája Case Summaries Residual for termes hibrid A B C D Total
N 3 3 3 3 12
Mean ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000
Variance 1,103 ,763 1,203 1,720 ,871
5
Maradé Maradékok és a becsü becsült érté rtéket közötti fü függetlensé ggetlenség R e s id u a l fo r te r m e s
R e s id u a l fo r te r m e s
Maradé Maradékok és a megfigyelt érté rtékek közötti fü függetlensé ggetlenség 1 ,5 0
1 ,0 0
0 ,50
0 ,00
-0 ,5 0
-1 ,0 0
1 ,5 0
1 ,0 0
0 ,50
0 ,00
-0 ,5 0
-1 ,0 0
-1 ,5 0
-1 ,5 0 0 ,0 0
2 ,0 0
4 ,0 0
6 ,00
8 ,00
1 0 ,0 0
2 ,00
3 ,0 0
4 ,0 0
ter m e s
5 ,0 0
6 ,00
7 ,0 0
8 ,00
9 ,00
P r ed icte d V alu e fo r t er m e s
Maradé Maradék normá normális eloszlá eloszlású, nulla várható rható érté rtékű
Hisztogram 3,0
Grafikus normalitá normalitás vizsgá vizsgálat Frequ enc y
2,5
Hisztogram Q-Q plot
Numerikus normalitá normalitás vizsgá vizsgálat
2,0
1,5
1,0
KolmogorovKolmogorov-Smirnov ShapiroShapiro-Wilk
0,5 M e a n = 1 ,3 878 E -17 S td . D e v. = 0 ,9 33 23 N = 12
0,0 -1 ,5 0
-1 ,0 0
-0 ,5 0
0 ,0 0
0 ,5 0
1 ,0 0
1 ,5 0
R e sid u al fo r te rm es
E x p e c t e d N o r m a l V a lu e
Q-Q ábra
KolmogorovKolmogorov-Smirnov teszt
N o rm al Q -Q P lot of R esid ua l fo r term es
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
2
1
N
0
Normal Parameters(a,b) Most Extreme Differences
-1
Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) -2 -2
-1
0
O bserved V alue
1
2
Residual for termes 12 ,0000 ,93323 ,157 ,117 -,157 ,543 ,929
a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
6
Mintá Mintán belü belüli szó szórás azonossá azonosság tesztelé tesztelése LeveneLevene-teszt H0 a szó szórások megegyeznek
Robusztus tesztek alkalmazá alkalmazása WelchWelch-tesz BrownBrown-Forsythe
Test of Homogeneity of Variances termés t/ha Levene Statistic
df1
5.107
df2
Sig.
141
.007
2
Amennyiben a LeveneLevene-teszt szignifiká szignifikáns
Robusztus tesztek Robust Tests of Equality of Means
Post hoc analízisek
termes Statistic(a ) Welch 11,342 Brown-Forsythe 16,384 a Asymptotically F distributed.
df1 3 3
df2 4,404 7,394
Sig. ,016 ,001
5. Az FF-pró próba szignifiká szignifikáns Amennyiben az analí analízis az átlagok kö közötti egyenlő egyenlőséget nem igazolja, szü szüksé kséges az átlagok kö közötti kü különbsé nbségek kimutatá kimutatása. A varianciavariancia-analí analízist kiegé kiegészí szítő középérté rték összehasonlí sszehasonlító teszteknek ké kétfé tféle tí típusa létezik: elő előzetes, un. a priori kontrasztok és az analí analízis utá után elvé elvégezhető gezhető, un. post hoc analí analízisek
Középérté rték összehasonlí sszehasonlító tesztek
Post hoc analí analízisek A csoportok szó szórása megegyezik LSD Bonferroni StudentStudent-NewmanNewman-Keuls Tukey Duncan Dunett Scheffe
A csoportok szó szórása kü különbö nbözik Tamhane
7
Szimultá Szimultán dö dönté ntés Ha kettő kettőnél tö több összehasonlí sszehasonlítandó tandó minta van. Olyan állí llításokat fogalmaznak meg, amelyek egyidejű egyidejűleg érvé rvényesek. Ezek lehetnek: Egyidejű Egyidejűleg érvé rvényes konfidencia intervallumok vagy Szimultá Szimultán vé végzett statisztikai pró próbák.
LSDLSD-teszt (legkisebb szignifiká szignifikáns differencia) Alkalmazható Alkalmazhatóság felté feltételei: 1. A csoportok szó szórása egyenlő egyenlő 2. α: pá páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlításra vonatkozik 3. Véletlenszerű letlenszerűen kivá kiválasztott ké két csoport összehasonlí sszehasonlítására jó jó
LSDp % = t p %
2 MQhiba r
William Saely Gosset angol statisztikus (1876(1876-1937)
Sir Ronald Aylmer Fisher angol statisztikus (1890(1890-1962)
Az első elsőfajú fajú hiba csö csökkenté kkentése
BonferroniBonferroni-teszt
„holm” holm” „hochberg” hochberg” „bonferroni” bonferroni” „BH” BH” „BY” BY” „fdr” fdr”
Páronké ronkénti átlagok kü különbsé nbségének vizsgá vizsgálatá latára haszná használható lható, a ké két csoport elemszá elemszáma lehet kü különbö nböző is. α: α/m (m=fü (m=független összehasonlí sszehasonlítások szá száma)
1 1 L = t (táblázatbeli ) S p2 + n n j i
8
Carlo Emilio Bonferroni olasz matematikus (1892(1892-1960) 1960)
StudentStudent-NewmanNewman-Keuls pró próba Studentizá Studentizált terjedelmen alapuló alapuló teszt α: összehasonlí sszehasonlításonké sonként rö rögzí gzített, ezé ezért a teljes vizsgá vizsgálat első elsőfajú fajú hibá hibája n-nel együ együtt nő nő. A pró próba teszteli, hogy mely kezelé kezelés kombiná kombináció ciók tartoznak egy homogé homogén csoportba.
wr = qα , k ,ν
Studentizá Studentizált terjedelem x − xmin q = max s xmax:
legnagyobb csoport átlag
xmin:
legkisebb csoport átlag
S:
csoporton belüli szórás, a maradékok szórása
MSE r
StudentStudent-NewmanNewman-Keuls teszt k-1 kritikus tartomá tartomány meghatá meghatározá rozása Egyes vé vélemé lemények szerint a SNKSNK-teszt a Tukey teszttel áll rokonsá á gban, de anná rokons annál sokkal kevé é sbé é konzervatí í v (tö ö bb kev sb konzervat (t elté eltérést mutat ki).
Tukey-eloszlás
John Wilder Tukey amerikai matematikus (1915(1915-2000)
TukeyTukey-teszt Studentizá Studentizált terjedelmen alapuló alapuló teszt, a p-elemű elemű részcsoportokat ugyanazzal a kritikus érté rtékkel hasonlí hasonlítja össze. α: a teljes vizsgá vizsgálatra rö rögzí gzített, ezé ezért a pá páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlítások első elsőfajú fajú hibá hibája n növekedé vekedésével csö csökken, s így a má másodfajú sodfajú hiba nő nő.
( xi − x j ) ± qα , k ,ν
MSE r
9
Duncan többszö bbszörös rang teszt David B. Duncan, 1955, 1965 Studentizált terjedelmen alapul α: nem a kísérlet egészére rögzített, így a próba nem annyira konzervatív, mint a hasonló tesztek. k-1 kritikus érték
DuncanDuncan-teszt Experiment wise error rate = 1 − (1 − α )( k −1) ahol k: csoportok szá száma
wr = qEer , k ,ν
MSE r
Henry Scheffé Scheffé amerikai statisztikus (1907(1907-1977)
DunnettDunnett-teszt A DunnettDunnett-teszt (1955) egy kijelö kijelölt csoportot (kontroll) hasonlí hasonlít össze a tö többivel. Eredetileg egyenlő egyenlő elemszá elemszámokra volt érvé rvényes, de ké később elké elkészü szült az általá ltalánosí nosítása kü különbö nböző elemszá elemszámokra is. Lé Lényegé nyegét tekintve pá páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlítást vé végez szimultá szimultán, de meg kell adni egy kezdő kezdő, kontroll csoportot, és ehhez hasonlí hasonlítja a tö többi csoport átlagá tlagát. Statisztiká Statisztikája:
( xi − x0 ) ± qα , k ,ν
MSE r
xo =kontroll csoport
Scheffé Scheffé-teszt
TamhaneTamhane-teszt
A hagyomá hagyományos tesztek kö közé tartozik. Ez má már való valóban a Hg hipoté hipotéziseket vizsgá vizsgálja. Az egyszerű egyszerű F-pró próba akkor utasí utasítja el a H0-hipoté hipotézist, ha lé létezik egy a<>0 vektor, amelyné amelynél a konfidenciakonfidencia-intervallum nem tartalmazza a 00-t. Ha k darab összehasonlí sszehasonlítandó tandó csoport van, akkor k(kk(k-1)/2 összehasonlí sszehasonlítást kell végezni. A statisztiká statisztikája:
L=
Alkalmazható Alkalmazhatóság felté feltételei: 1. A csoportok szó szórása kü különbö nbözhet 2. Véletlenszerű letlenszerűen kivá kiválasztott ké két csoport összehasonlí sszehasonlítására jó jó
(k − 1)Fα , k −1, N −k MSE 1 + 1 ri
rj
10
Az LSD és TukeyTukey-teszt eredmé eredménye
Homogé Homogén csoportok ké képzé pzése Tukey módszerrel
Multiple Comparisons Dependent Variable: termés t/ha Mean Difference (I) Talajművelés (J) Talajművelés (I-J) Std. Error Tukey HSD őszi szántás tavaszi szántás 1,19685* ,437141 tárcsás 1,94640* ,437141 tavaszi szántás őszi szántás -1,19685* ,437141 tárcsás ,74954 ,437141 tárcsás őszi szántás -1,94640* ,437141 tavaszi szántás -,74954 ,437141 LSD őszi szántás tavaszi szántás 1,19685* ,437141 tárcsás 1,94640* ,437141 tavaszi szántás őszi szántás -1,19685* ,437141 tárcsás ,74954* ,437141 tárcsás őszi szántás -1,94640* ,437141 tavaszi szántás -,74954* ,437141
termés t/ha Sig. ,019 ,000 ,019 ,203 ,000 ,203 ,007 ,000 ,007 ,089 ,000 ,089
90% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound ,29235 2,10136 1,04189 2,85090 -2,10136 -,29235 -,15497 1,65405 -2,85090 -1,04189 -1,65405 ,15497 ,47307 1,92064 1,22261 2,67018 -1,92064 -,47307 ,02575 1,47333 -2,67018 -1,22261 -1,47333 -,02575
Tukey HSDa
Talajművelés tárcsás tavaszi szántás őszi szántás Sig.
N 48 48 48
Subset for alpha = .10 1 2 9,56033 10,30988 11,50673 ,203 1,000
Means for groups in homogeneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 48,000.
*. The mean difference is significant at the .10 level.
A DunnettDunnett-teszt eredmé eredménye Multiple Comparisons
A kontrasztok az egyes csoportok vá várható rható érté rtékeinek lineá lineáris kombiná kombináció ciói
Dependent Variable: TERMÉS Dunnett t (2-sided) a
(I) HIBRIDEK Debreceni 351 Debreceni 377 Ella (Sze 361) Mv 370 Hunor Norma Occitán DKC 3511 DKC 4626 Goldacord LG 3362 Szegedi 352 PR38A24
(J) HIBRIDEK Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha Alpha
Mean Difference (I-J) -3.0217* -2.5845* -.5730 -1.6240 -1.7915 -.7653 .0128 -.1147 -.6185 .2450 -.8767 -1.2873
Std. Error .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697 .87697
Kontrasztok
Sig. .013 .045 .998 .406 .297 .977 1.000 1.000 .996 1.000 .945 .675
95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -5.5696 -.4739 -5.1323 -.0367 -3.1208 1.9748 -4.1718 .9238 -4.3393 .7563 -3.3131 1.7826 -2.5351 2.5606 -2.6626 2.4331 -3.1663 1.9293 -2.3028 2.7928 -3.4246 1.6711 -3.8351 1.2606
λg = cg1x1. + cg2x2. + ... + cgpxp. és ha teljesü teljesül a cg1 + cg2 + ... cgp = 0
*. The mean difference is significant at the .05 level. a. Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups against it.
Összefoglalá sszefoglalás, eloszlá eloszlások t
StudentStudent-féle t-eloszlá eloszlás
q
Studentizá Studentizált terjedelem eloszlá eloszlása
F
FisherFisher-féle F-eloszlá eloszlás
Az első elsőfajú fajú hiba elkö elköveté vetésének való valószí színűsége • egyetlen pá pár összehasonlí sszehasonlítására (pl. LSD) • az összes lehetsé lehetséges pá páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlításra • összes kontrasztra
11
Hány pá páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlítást akarunk vé végezni?
Összefoglalá sszefoglalás Teszt LSD LSDBonferroni SNK
egy maximum k-1, amelyet az összehasonlí sszehasonlítások dimenzió dimenziójának nevezzü nevezzük, és m-mel jelö jelöljü ljük az összes pá párt, k(kk(k-1)/2
A pontossá pontosság fokozá fokozása a kí kísérlet pontosabb kivitelezé kivitelezésével az ismé ismétlé tlésszá sszám nö növelé velésével a parcellá parcellák csoportosí csoportosításával, blokkblokkképzé pzéssel
Év 1935 1939
Szerző R.A Fisher Bonferroni
Eloszlás t t
1939
Newman
q
alfa egy pár összes páronkénti m összehasonlításra
SzD5% 1,206 1,63 1,206 (2)
q
1955; 1965
Tukey; Kramer Duncan
1,443 (3) 1,582 (4) egész vizsgálatra 1,582
q
párokra
1959
H.Scheffé
F
összes kontrasztra
Tukey
1953
Duncan
Scheffé
1,206 (2) 1,27 (3) 1,312 (4) 1,72
Torzí Torzítás Randomizá Randomizáció ció az adott kí kísérleti elrendezé elrendezésnek és elmé é leti modellnek megfelelő elm megfelelő statisztikai érté é kelé é s (Svá á b, 1981) rt kel (Sv
Hipoté Hipotézisek
Példa
H0: A kü különbö nböző kefirek átlagos fogyasztó fogyasztói ára megegyezik.
xMilli = xDanone = xJogobella = xMüller
12
Szignifikancia szint megvá megválasztá lasztása
Adatok
5% H1: A kü különbö nböző kefirek átlagos fogyasztó fogyasztói ára nem egyezik meg.
xMilli ≠ xDanone ≠ xJogobella ≠ xMüller
Modell felá felállí llítása Egyté Egytényező nyezős teljesen vé véletlen elrendezé elrendezés Egyté Egytényező nyezős varianciavariancia-analí analízis
Egyté Egytényező nyezős varianciavariancia-analí analízis
marka Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli Milli
bolt Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco Tesco
Muller Muller Muller Muller
CBA CBA CBA CBA
ar 79 82 80 77 73 73 72 76 75 85 82 79 76 74 80 74
Szá Számítás 1. Adatbá Adatbázis rendezé rendezése, szű szűrése Milli 79 82 80 77 73 73 72 76 75 85 82 79 67 75
Danone 70 82 70 75 70 84 84 70 73 78 83 83 81 78
Jogobelle 75 82 92 84 80 74 72 90 85 81 79 81 76 82
Müller 78 89 74 79 76 81 84 84 78 86 80 82 80 75
Eredmé Eredménytá nytáblá blázat 1. ÖSSZESÍTÉS Csoportok Darabszám Összeg Átlag Variancia Milli 120 9298 77,48333 23,22661 Danone 120 9412 78,43333 22,48291 Jogobelle 120 9603 80,025 21,30189 Müller 120 9447 78,725 23,41113
13
F-eloszlás sűrűségfüggvénye
df
MS F p-érték F krit. 132,13 5,844904 0,000632 2,623637 22,61
3 476
0.4
VARIANCIAANALÍZIS Tényezők SS Csoportok között 396,38 Csoporton belül 10760,28
0.6
Eredmé Eredménytá nytáblá blázat 2.
2.62
11156,67
479
0.0
0.2
Összesen
0
2
4
6
8
x
1.0
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
F-eloszlás eloszlásfüggvénye
0.8
0.6
2.62
0.4
0.6
5.84
0.0
0.0
0.2
0.2
0.4
2.62
0
5
10
15
0
2
x
LSDLSD-teszt (legkisebb szignifiká szignifikáns differencia) LSD = t p %
2 MQhiba r
t5% = 1,965 LSD = 1,965
2 * 22,61 = 1,2 120
4
6
8
x
Páronké ronkénti összehasonlí sszehasonlítás Csoportok Milli Danone Jogobella Müller
Milli
LSD = 1,965
Danone Jogobella Müller 0,95 2,541667 1,241667 1,591667 0,291667 -1,3
2 * 22,61 = 1,2 120
14
Jelö Jelölések *** ** * . vagy +
0,1% 1% 5% 10%
15
