STATISTIKA LINGKUNGAN TEORI PROBABILITAS
Probabilitas - pendahuluan • Statistika deskriptif : menggambarkan data • Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel •
Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens
Konsep Probabilitas Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan S
S
A
Kategori Probabilitas • Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S) • Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen • Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang
Contoh: 1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu yang menderita campak Jerman saat hamil? 2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan tidak kidal? 3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.
PERANAN PROBABILITAS • Pembuatan model, analisis matematis, simulasi komputer banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal model kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi sebenarnya. • Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan pada ketidakpastian banyak keputusan terpaksa harus diambil: * tanpa memandang kelengkapan informasi * fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu
PERANAN PROBABILITAS • Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian pengaruhnya pada perilaku dan perancangan suatu sistem melibatkan konsep atau metode probabilitas (kemungkinan). • Variabel acak variabel yang tidak dapat diramalkan dengan pasti nilainya hanya dapat diramalkan dengan probabilitas.
PERANAN PROBABILITAS • Ketidakpastian yang lain pemodelan atau penaksiran tidak sempurna nilai rerata tidak akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas. • Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli
DASAR-DASAR PROBABILITAS • Probabilitas mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa lain ada lebih dari satu kemungkinan masalah menjadi tidak tertentu (non deterministik). sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain. memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau
DASAR-DASAR PROBABILITAS •
Contoh : aerator taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%. Digunakan 3 aerator pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?
Aerator 1
B
B
B
R
R
R
B
R
Aerator 2
B
B
R
R
B
R
R
B
Aerator 3
B
R
R
R
B
B
B
R
Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%
ELEMEN TEORI HIMPUNAN • Ruang sampel (sample space) gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas secara individu titik sampel. • Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang sampel. • Ruang sampel bisa bersifat : * diskrit atau kontinu * berhingga (finite) atau tak berhingga
Variabel Diskrit Distribusi probabilitas variabel acak diskrit: gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta probabilitas untuk terjadi. Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx) semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau probabilitas 12
12/23/2012
Dwina Roosmini
ELEMEN TEORI HIMPUNAN • Peristiwa mustahil (impossible event) φ peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong. • Peristiwa tertentu (certain event) S peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel. • Peristiwa komplementer (complementary event) E semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung dalam E
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
Pasien hipertensi
Pasien kelebihan berat badan
Not mutually exclusive
Pasien perokok
Binatang Mamalia
Mutually exclusive
Unggas
Independen Peristiwa terjadi dengan bebas Kelinci yang diinokulasi virus polio Darah kelinci mengandung antibodi cacar Kelinci yang diinokulasi virus polio Darah kelinci mengandung antibodi polio
Aturan Probabilitas 1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil suatu proses atau eksperimen/pengamatan 2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka P(A’)= 1- P(A) 18
3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan terjadi bersama adalah 0 12/23/2012
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.) 4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing P(A atau B) = P(A) + P (B) 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah P(A atauB)= P(A) + P(B) – P(A dan B) 6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A) 19
12/23/2012
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.) 7.
Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah: P(A dan B) = P(A) x P(B)
8.
Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah: P(A dan B)= P (A) x P(B/A)
12/23/2012 20
Dwina Roosmini
Aturan Penjumlahan • Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) • Not Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B)-P(A dan B)
Contoh: • Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb? • Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?
Lokasi produksi mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian
Jumlah
Ya
Tidak
US
7
293
300
Non US
13
187
200
20
480
500
a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ? b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US? c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US? e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?
a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan/jumlah mobil baru = 20/500 = 0,04 = 4%
total
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru = 7/500 = 0,014 = 0,14%
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru = 7/500 = 0,014 = 0,14%
Mutually Exclusive c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1
Not Mutually Exclusive d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di USA P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) = 0,626 = 62,6 %
Independen • Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali pelemparan dadu? P(A dan B) = P(A) x P(B)
Distribusi Probabilitas Terdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu
30
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Probabilitas Diskrit • • • • •
31
Distribusi Probabilitas Kontinu
• • • • •
Binomial Hypergeometrik Poisson Geometrik Multinomial
12/23/2012
Normal Binomial Uniform Log Normal Gamma
Dwina Roosmini
Expected Value µx=E(x)=∑ Xi P(Xi) X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,….,n Varians = σx2=∑(Xi-µx)2 P(Xi) Standard Deviasi = σx 32
12/23/2012
Dwina Roosmini
Contoh: Data kecelakaan lalu lintas X
Frek. Relatif
P(X)
Nilai rata-rata/Expected value?
0 1 2 3 4 5
6 12 27 9 3 3
0,10 0,20 0,45 0,15 0,05 0,05
Varians dan standard deviasi?
12/23/2012
Dwina Roosmini
33
Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)= (0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,0 5)+(5)*(0,05)= 2 Varians= (0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (32)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4 Standard Deviasi= √1,4=1,18 34
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: 1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak 2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 3. Hanya ada dua kemungkinan hasil 4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya
35
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
12/23/2012
Dwina Roosmini
36
Distribusi Binomial x n x n ! p b ( x; n , p ) = p (1 − p ) n − x = (1 − p ) n − x x! ( n − x )! x
Dimana x= 0,1,2,3,:n n!=n(n-1)(n-2)(n-3)::.. 0!=1
Rerata= µ=n*p Simpangan baku=
12/23/2012
σ = np (1 − p ) Dwina Roosmini
37
Distribusi Binomial Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3. 4 2 b ( 2;4,0,3) = 0,3 (1 − 0,3) 4 − 2 = 0, 2646 2
38
12/23/2012
Dwina Roosmini
Tabel Distribusi Binomial n
x
p 0,05
16
0
1
0,8108
2
0,9571
3
0,9930
0,1
0,5
b ( x; n , p ) = B ( x; n , p ) − B ( x − 1; n , p )
39
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometris • Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali • Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak • Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N • Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak: 1. 2.
•
a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan (a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak
Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h 40
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi hipergeometrik
a N − a
h( x; n, a, N ) = P ( x) = x n − x N n
dimana : x ≤ a dan (n − x) ≤ ( N − a) x = 0,1,2,...n Rata − rata = µ = n(a / N )
σ 2 = n.a( N − a)( N − n) N 2 ( N −1)
41
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometrik Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat
42
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson •
Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll
•
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p ≤10
•
Batasan: 1. µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang 2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang adalah 0 3. peristiwa satu dengan lainnya independen
43
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson P ( x; µ ) =
e
−µ x µ x!
untuk x = 0,1,2,3,...
µ = rata - rata peristiwa = λ s
Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil sebagai berikut: 3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb? 44
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Geometris • Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x percobaan, gagal= x-1. • Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1) pada percobaan (x-1) adalah g g ( x; p ) = P ( x ) = p (1 − p ) x − 1 dengan
µ = 1/ p 45
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Multinomial Sampel n bersifat bebas Semua hasil merupakan mutually exclusive Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D n! m( x1, x 2, x3,..., xk ) = = p1x1 p 2 x 2... pk xk x1!x2!x3!...xk! 46
12/23/2012
Dwina Roosmini
