Statistika Farmasi

Distribusi Data

613.123.15 Statistika Farmasi Bab 3: Distribusi Data Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

613.123.15 Statistika Farmasi

Distribusi Data

Pendahuluan Ruang Sampel dan Kejadian Peubah Acak dan Distribusi Data

Pendahuluan

Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu fungsi matematika yang menentukan peluang kemunculan pada domain dari distribusi tersebut Peluang distribusi yang akan dibahas adalah 1 2

Distribusi Binomial Distribusi Normal



Distribusi Data


Ruang Sampel dan Kejadian

Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Biasanya dinotasikan dengan huruf S. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap dari pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.



Distribusi Data


Gabungan Kejadian A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}

Irisan Kejadian A ∩ B = {a ∈ S : a ∈ A dan a ∈ B}



Distribusi Data


Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jika A ∩ B = φ. Komplemen ¯ = {a ∈ S : a ∈ Ac = A / A}



Distribusi Data


Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A1 , A2 , . . .} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1

2

Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’, Ai ∩ Aj = φ jika i 6= j. ∪i Ai = S



Distribusi Data


Peluang

Peluang kejadian A adalah P(A) =

n(A) n(S)

di mana n(A) : banyaknya keluaran A n(S) : banyaknya anggota ruang sampel S



Distribusi Data


Sifat-sifat peluang 1 2 3

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 P(∅) = 0 Untuk himpunan kejadian A1 , A2 , . . . yang ’mutually exclusive, ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ) n=1

4 5 6

n=1

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(Ac ) = 1 − P(A) Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)



Distribusi Data


Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh: Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan 2 dengan peluang munculnya P(X = 0) = P(BB) =

1 4

P(X = 1) = P(MB, BM) = P(X = 2) = P(MM) =


1 2

1 4


Distribusi Data


Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian dari suatu wadah yang terdiri atas 4 bola merah dan 3 bola hitam. Misalkan peubah acak Y menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka ruang sampel dan nilai untuk Y adalah S = {RR, RB, BR, BB} Y = {2, 1, 1, 0} dan 1 4 1 P(Y = 1) = 2 1 P(Y = 2) = 4 P(Y = 0) =



Distribusi Data


Peubah Acak Diskrit

Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {xi , i = 1, 2, . . .} sedemikian sehingga ! [ X P {X = xi } = P(X = xi ) = 1 i


i


Distribusi Data


Fungsi peluang ( pi , p(x) = P(X = x) = 0,


jika x = xi . lainnya


Distribusi Data


Fungsi distribusi FX (x) =

X

p(xi )

i



Distribusi Data


Distribusi Binomial

Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P(X = 0) = 1 − p p(1) = P(X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.



Distribusi Data


Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya n x p(x) = p (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . x Mean, E (X ) = np Variansi, Var (X ) = npq = np(1 − p)



Distribusi Data


Contoh: Kemungkinan hasil dari seorang pasien yang mengikuti suatu treatment adalah sembuh dengan peluang 0.75 atau tidak sembuh dengan peluang 0.25. Misalkan X = 1 jika hasilnya sembuh dan X = 0 jika hasilnya tidak sembuh, maka peluang distribusinya adalah p(0) = 0.25 p(1) = 0.75



Distribusi Data


Beberapa contoh lain dari data yang berdistribusi Binomial pada riset farmasi adalah sebagai berikut



Distribusi Data


Misalkan sebuah antibiotik diberikan kepada 4 pasien dengan peluang sembuh sebesar p = 0.74. Misalkan X menyatakan banyaknya pasien yang sembuh, maka X = {0, 1, 2, 3, 4} Peluang bahwa tiga dari empat pasien akan sembuh dapat dihitung sbb 4 p(3) = (0.75)3 (1 − 0.75)4−3 3 4! (0.75)3 (0.25)1 = 3!1! 4·3·2·1 = (0.42188)(0.25) = 0.42188 3·2·1·1



Distribusi Data


Jika peluangnya dihitung satu-satu maka akan diperoleh hasil Banyaknya pasien sembuh 0 1 2 3 4


Peluang 0.00391 0.04688 0.21094 0.42188 0.31641



Distribusi Data

Peubah Acak Kontinu X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞, ∞) sehingga Zx F (x) =

f (t)dt −∞



Distribusi Data

atau fX (x) =



d FX (x) dx


Distribusi Data


Distribusi Normal

X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan 1 x−µ 2 1 f (x) = √ e − 2 ( σ ) , ∞ < x < ∞ σ 2π



Distribusi Data


Distribusi Normal merupakan distribusi data yang paling dikenal sebagai distribusi yang simetris dan berbentuk lonceng. Daerah di bawah kurva merupakan nilai peluangnya.



Distribusi Data


Ketika µ dan σ diberikan, maka kurva normal dapat ditentukan. Misalkan, jika µ = 50 dan σ = 5, maka nilai f (x) dapat ditentukan untuk berbagai nilai x. Berikut adalah beberapa contoh kurva normal dengan spesifikasi masing-masing. Dua kurva normal dengan standar deviasi yang sama tapi mean yang berbeda



Distribusi Data


Dua kurva normal dengan mean yang sama tapi standar deviasi yang berbeda



Distribusi Data


Dua kurva normal dengan mean dan standar deviasi yang berbeda



Distribusi Data


Contoh: Misalkan sekelompok tablet dikategorikan berdasarkan beratnya dan ditunjukkan oleh histogram berikut




Distribusi Data

Daerah di Bawah Kurva Normal

Maka, berdasarkan kurva di atas Zx2 1 x−µ 2 1 √ e − 2 ( σ ) dx P(x1 < X < x2 ) = σ 2π x1




Distribusi Data

Untuk memudahkan perhitungan integral di atas, kita dapat mentransformasikan semua nilai observasi dari peubah acak X menjadi suatu himpunan observasi baru dari suatu peubah acak Z yang berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1 (normal standar). Transformasi tersebut adalah Z −µ Z= σ Sehingga Zx2 1 x−µ 2 1 √ e − 2 ( σ ) dx P(x1 < X < x2 ) = σ 2π x1

1 =√ 2π

Zz2

1 2

e − 2 z dz

z1

= P(z1 < Z < z2 ) (Nilai peluang Z diperoleh dari tabel kurva normal standar) Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Distribusi Data


Berikut adalah kurva normal dan kurva normal standar



Distribusi Data




Distribusi Data




Distribusi Data


Contoh: Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10, tentukan peluang X yang berada di antara 45 dan 62. Solusi: Nilai z yang berkaitan dengan x1 = 45 dan x2 = 62 adalah z1 =

45 − 50 62 − 50 = −0.5 dan z2 = = 1.2 10 10



Distribusi Data


Maka, P(45 < X < 62) = P(−0.5 < Z < 1.2) = P(Z < 1.2) − P(Z < −0.5) = 0.8849 − 0.3085 = 0.5764 Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Distribusi Data


Latihan

1. Determine the probability that three of six mice will live after dosing if the probability of a fail is 0.4. 2. A research scientist reports that mice will live an average of 40 months when their diets are sharply restricted and then enriched with vitamins and proteins. Assuming that the lifetimes of such mice are normally distributed with standard deviation of 6.3 months, find the probability that a given mouse will live a. more than 32 months b. less than 28 months c. between 37 and 49 months



Statistika Farmasi

Recommend Documents