(STATISTIKA I., SMAD)

VŠB – TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky

NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY (STATISTIKA I., SMAD) Martina Litschmannová

OSTRAVA, 2008 Tyto materiály obsahují neřešené příklady vztahující se k částem statistiky, které se vyučují v rámci STATISTIKY I. na FEI a SMAD na HGF, VŠB-TU Ostrava. Příklady jsou často převzaty z internetu, z knih a skript kolegů z jiných univerzit a fakult a jsou neustále doplňovány. Zdrojové materiály jsou uvedeny v části Literatura. Datové soubory používané v příkladech jsou volně ke stažení na www.am.vsb.cz/litschmannova.

Litschmannová, Neřešené příklady

2

EXPLORAČNÍ ANALÝZA TEST 1. Test ze Statistiky píše velké množství studentů. Představte si, že každý z nich odpoví správně přesně na polovinu otázek. V tomto případě bude směrodatná odchylka počtu správných odpovědí: a) rovna průměru, b) rovna mediánu, c) rovna nule, d) Směrodatnou odchylku nelze určit bez dalších informací. 2. Největší kumulativní absolutní četnost v množině čísel se rovná: a) součtu všech absolutních četností, b) 1, c) dvojnásobku průměru, d) dvojnásobku mediánu, e) dvojnásobku módu. 3. Několik studentů píše test ze Statistiky s 10-ti otázkami. Nejhorší výsledek jsou 3 správné odpovědi, nejlepší výsledek je 10 správných odpovědí. Jakou hodnotu má medián? a) 7 ( ) b) 6,5 c)

Medián nelze určit, pokud neznáme konkrétní výsledky jednotlivých žáků.

4. Představte si, že jste absolvovali normovaný test (např. SCIO test) a že Vám sdělili, že patříte do 91. percentilu. To znamená, že: a) 90 žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo vyšších výsledků než vy. b) 90 žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo nižších výsledků než vy. c) 90% žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo vyšších výsledků než vy. d) 90% žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo nižších výsledků než vy. 5. Průměrná mzda je 60% kvantil mzdy. Lze tedy říci, že a) medián mzdy je vyšší než průměrná mzda, b) medián mzdy je nižší než průměrná mzda, c) medián mzdy je stejný jako průměrná mzda, d) o vztahu mezi mediánem mzdy a průměrnou mzdou nelze rozhodnout. 6. Průměrná mzda je 60% kvantil mzdy. Lze tedy říci, že a) mzdy mají kladnou šikmost, b) mzdy mají zápornou šikmost, c) mzdy mají kladnou špičatost, d) mzdy mají zápornou špičatost, e) vztah mezi průměrem a 60% kvantilem nevypovídá nic o šikmosti ani o špičatosti dat. 7. Lékař Petře sdělil, že patří do 3. percentilu ohledně BMI (Body mass index – poměr váhy (kg) ke kvadrátu výšky (m)). Petra má pravděpodobně: a) podváhu, b) normální váhu, c) nadváhu, d) Bez dalších informací nelze usuzovat na Petřinu váhu. 8. Představte si, že jste absolvovali normovaný test (např. SCIO test). Měl(a) jste lepší výsledek než 85 studentů ze 100. To znamená, že a) patříte do 99. decilu, b) patříte do 95. decilu, Litschmannová, Neřešené příklady

3

c) patříte do 10. decilu, d) patříte do 9. decilu, e) patříte do 2. kvartilu. 9. Pro srovnání variability váhy a výšky je možné použít a) průměr, b) rozptyl, c) směrodatnou odchylku, d) variační koeficient, e) šikmost. 10. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 100,- Kč, průměrný plat ve firmě se zvýší a) o 100,- Kč, b) o 1000,- Kč, c) Průměrný plat se nezmění. 11. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat dvojnásobně, průměrný plat ve firmě se zvýší a) dvojnásobně, b) čtyřnásobně, c) Průměrný plat se nezmění. 12. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 20%, průměrný plat ve firmě se zvýší a) o 20%, b) o 400%, c) o 40%, d) o 44%, e) Průměrný plat se nezmění. 13. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 100,- Kč, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) o 100,- Kč, b) o 1000,- Kč, c) Rozptyl platů se nezmění. 14. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat dvojnásobně, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) dvojnásobně, b) čtyřnásobně, c) Rozptyl platů se nezmění. 15. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 20%, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) o 20%, b) o 400%, c) o 40%, d) o 44%, e) Rozptyl platů se nezmění. 16. Největší kumulativní četnost se rovná a) dvojnásobku průměru, b) dvojnásobku mediánu, c) dvojnásobku módu, d) součtu všech jednotlivých hodnot absolutních četností, e) 1. 17. Určete, zda jsou následující tvrzení pravdivá. a) Geometrický průměr je definován pro proměnné, které nabývají pouze kladných hodnot. b) Jedna čtvrtina hodnot je větší než 25% kvantil, zatímco tři čtvrtiny hodnot jsou menší. c) Mají-li dvě proměnné stejný průměr a stejný rozptyl, mají stejný variační koeficient. d) Mzdy v ČR mají kladnou šikmost. (V ČR mají zhruba 2/3 lidí podprůměrný plat.) Litschmannová, Neřešené příklady

4

e) Nejčetnější hodnota v souboru se nazývá medián. f) Rozptyl má vždy kladnou hodnotu.

133

113

Data

18. V grafu na Obr. 1, modrý křížek označuje a) median, b) průměr, c) modus, d) interkvartilové rozpětí (IQR). 19. Určete zda jsou následující tvrzení pravdivá. Proměnná znázorněna na Obr. 1 a) neobsahuje odlehlá pozorování, b) má kladnou šikmost, c) je kladná, d) má více než polovinu hodnot větších než 83.

93

73

53

Obr. 1: Proměnná x

20. Na atletických závodech mládeže žáci soutěžili ve 4 kategoriích. Určete, který výrok je nepravdivý. a) Na obrázku je znázorněn histogram a nejméně soutěžících bylo ve skoku do dálky. b) Celkem ve čtyřech kategoriích soutěžilo 80 žáků. c) Modus = hod koulí. d) Modus = 30. 35

Počet soutěžících

30 25 20 15 10 5 0 běh

skok do výšky

skok do dálky

hod koulí

Obr. 2: Zastoupení žáků na atletických závodech

21. Číslicový histogram reprezentuje množství peněz, které studenti jedné třídy vybrali na humanitární účely. Které z následujících výroků jsou určitě nepravdivé? a) 10 studentů věnovalo méně než 120 Kč. b) Medián vybrané částky činí 120 Kč. c) Na humanitarní účely přispělo v této třídě 23 studentů. Obr. 3: Příspěvky na d) Přispívající studenti věnovali na humanitární účely částky od 1,- Kč do 35,- Kč. humanitární účely e) 6 studentů věnovalo nejméně 200 Kč.


5

67

150 100

20

50

0

0 B

A

C

D

E

F

80

150%

60 40

71%

94% 98% 100% 81% 88%

50%

20 0

0% B

G

A

C

Četnost

60

46%

40 20 0 A

B

C

D

E

F

120% 100% 80% 60% 40% 20% 0%

G

80 Četnost

94% 98% 100% 81% 88%

71%

D

E

F

G

b)

Kumulativní rel. četnost

a) 80

100%

46%

Kumulativní rel. četnost

40

103

200

60

137 143 146 118 129

103 67

40

200 150 100

20

50

0

0 A

c)

B

C

D

E

F

Kumulativní četnost

60

137 143 146 118 129

Četnost

Četnost

80

Kumulativní četnost

22. Určete, na kterém obrázku je zobrazen Paretův graf.

G

d)

Výsledek testu: a) 1c, 2a, 3c, 4d, 5b, 6a, 7a, 8d, 9d, 10a, 11a, 12a, 13c, 14b, 15d, 16d, pravdivá tvrzení – 17a, 17c a 17d, 18b, pravdivá tvrzení – 19b a 19c, 20d, 21b (Median je 130,- Kč.), 21d (Přispívající studenti věnovali na humanitární účely částky od 10,- Kč do 350,- Kč.), 22b.

KATEGORIÁLNÍ PROMĚNNÁ 1.

Následující data představují zemi výroby automobilu. Data vyhodnoťte (četnost, rel. četnost, resp. kum. Četnost a kum. rel. četnost, informace, modus), graficky znázorněte (histogram, výsečový graf) a výsledky okomentujte. USA Německo ČR

3.

USA Německo ČR

Německo Německo USA

ČR ČR Německo

Analyzujte proměnnou Kategorie obcí v souboru VO_spotreba.sf3. (Jde o datový soubor zaznamenávající údaje o energetické spotřebě při provozu veřejného osvětlení v obcích ČR. Uvedeny jsou Kategorie obcí 2 (podle počtu obyvatel), Spotřeba na km , Spotřeba na světelné místo (SM) a Spotřeba na obyvatele.) a) Vyplňte 2. – 4. řádek tabulky četnosti (v tabulce uveďte všechny používané číselné charakteristiky). b) Kolik obcí v získaném souboru má méně než 10 tisíc obyvatel? Uveďte absolutní i relativní četnost. c) Určete modus. d) Načrtněte výsečový graf.


6

NUMERICKÁ PROMĚNNÁ 1.

Maximální teploty měřené ve stupních Celsia v průběhu jednoho týdne byly: 16

14

18

13

20

19

19

Označte správnou odpověď: o o a) Průměrná teplota byla 18 C a medián 17 C o o b) Průměrná teplota byla 19 C a medián 18 C o o c) Průměrná teplota byla 18 C a medián 18 C o o d) Průměrná teplota byla 17 C a medián 18 C o o e) Průměrná teplota byla 17 C a medián 19 C 2.

Následující data byla získána měřením. 5

-2

0

6

-4

Určete jejich směrodatnou odchylku. 3.

Následující data představují dobu čekání *min+ zákazníka na obsluhu. Zakreslete box plot a graf stem and leaf. 120 150 100

80 5 70

100 140 110

90 130 100 4

2

4.

Tabulka uvedená v souboru Psenice.xls udává průměrné výnosy pšenice (ozimu) v kg na 10 m ve 20-ti oblastech Švédska, průměrné teploty vzduchu předchozí zimu, průměrné teploty vzduchu v probíhajícím vegetačním období a srážkový úhrn v mm ve vegetačním období ve třech meteorologických stanicích v oblasti. Data pocházejí z let 1913-1942. Spočtěte výběrovou korelační matici.

5.

Při dopravním průzkumu byla sledována vytíženost vjezdu do určité křižovatky. Student, provádějící průzkum, si vždy při naskočení zeleného světla zapsal počet aut, čekajících ve frontě u semaforu. Jeho zapsané výsledky jsou: 3 1 5 3 2 3 5 7 1 2 8 8 1 6 1 8 5 5 8 5 4 7 2 5 6 3 4 2 8 4 4 5 5 4 3 3 4 9 6 2 1 5 2 3 5 3 5 7 2 5 8 2 4 2 4 3 5 6 4 6 9 3 2 1 2 6 3 5 3 5 3 7 6 3 7 5 6 Načrtněte krabicový graf a vypočtěte následující výběrové statistiky: průměr, směrodatná odchylka, shorth, modus a rozpětí.

9.

U každé ze 70 žen byl změřen hemoglobin s přesností 0,1 g/100 ml. Naměřené hodnoty jsou v níže uvedené tabulce . Tabulka: Hladina hemoglobinu v g/100 ml pro 70 žen 10,2 13,3 10,6 12,1 9,3 12 13,4 11,9 11,2 14,6

13,7 12,9 10,5 12,9 13,5 12,9 12,1 11,4 15 11,1


10,4 12,1 13,7 11,4 14,6 11,1 10,9 12,5 10,7 13,5

14,9 9,4 11,8 12,7 11,2 8,8 11,3 13 12,9 10,9

11,5 13,2 14,1 10,6 11,7 10,2 14,7 11,6 13,4 13,1

12 10,8 10,3 11,4 10,9 11,6 10,8 13,1 12,3 11,8

11 11,7 13,6 11,9 10,4 12,5 13,3 9,7 11 12,2

7

Za pomocí statistického software data analyzujte. (Určete základní číselné charakteristiky polohy (průměr, dolní kvartil, medián, horní kvartil), charakteristiky variability (rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient), identifikujte odlehlá pozorování, data graficky znázorněte (box plot, stem & leaf, resp. histogram) a výsledky okomentujte.) 10. Analyzujte proměnnou Spotřeba_km2 v souboru VO_spotreba.sf3. (Jde o datový soubor zaznamenávající údaje o energetické spotřebě při provozu veřejného osvětlení v obcích ČR. Uvedeny jsou Kategorie obcí 2 (podle počtu obyvatel), Spotřeba na km , Spotřeba na světelné místo (SM) a Spotřeba na obyvatele.) a) Kolik odlehlých pozorování se v datech nachází? (Uveďte použité kritérium pro identifikaci outlierů.) b) Určete a komentujte 30%-ní kvantil. (konkrétně) 2 c) Určete pravdivost výroku: „Spotřeba energie VO na km více než poloviny obcí je nadprůměrná.“ 2 d) Jakou maximální spotřebu energie VO na km byste očekávali u Krmelína? Proč jste použili uvedený odhad? e) Jaká je variabilita těchto dat? (nízká, průměrná, vysoká) Uveďte číselnou charakteristiku, na jejímž základě jste rozhodli.

ČÍSELNÉ CHARAKTERIST IKY – OBECNĚ 1.

Zemědělské družstvo dostalo 1 000 kuřat s průměrnou váhou 1,37 kg. Cena byla 50,- Kč za kilogram. Během dne se prodalo 300 kuřat za 24 000,- Kč. Jaká byla průměrná váha neprodaných kuřat? (1,27 kg)

2.

V jisté společnosti je průměrný plat 13 500,- Kč. 30% pracovníků s nejnižším platem má průměrně 9 000,Kč. Na začátku roku došlo ke zvýšení platů pracovníků této skupiny jednotně o 500,- Kč. O kolik % vzrostl průměrný plat v celé společnosti následkem tohoto zvýšení platu? (1,11%)

3.

Petr, řidič zkušebního automobilu, jel z Ostravy do Olomouce rychlostí 70 km/h. Zpět jel rychlostí 90 km/h. Jaká byla průměrná rychlost zkušebního automobilu na cestě Ostrava – Olomouc – Ostrava? (78,8 km/h)

4.

V jistém supermarketu byla v jednom okamžiku na 8 pokladnách měřena doba, během které pokladní ověří platnost platební karty zákazníka v bance. U pěti zákazníků trvalo ověření 2 minuty, u zbylých tří to byly 3 minuty. Určete průměrnou dobu potřebnou k ověření platnosti karty. (2,4 min)

5.

Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že: a) vzdálenost všech úseků je stejná – 5 km. b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy. (a) 48,7 km/h, b) 53,3 km/h)

6.

Cena jedné akcie energetické společnosti vzrostla na burze XY v období od 13. do 15. března téhož roku z 952,50 Kč na 982,00 Kč. Jaký byl průměrný relativní přírůstek ceny této akcie? (1,54%)

7.

Při sledování proměnné x byl určen aritmetický průměr 110 a rozptyl 800. Dodatečně byly zjištěny chyby u dvou údajů. Místo 85 mělo být správně 95 a místo 120 má být 150. Ostatních 18 údajů bylo správných. Opravte vypočítané charakteristiky (průměr a rozptyl). (

8.

Ze čtyřiceti hodnot byl vypočítán aritmetický průměr 7,50 a rozptyl 2,25. Při kontrole bylo zjištěno, že chybí 2 hodnoty proměnné – 3,8 a 7. Opravte uvedené charakteristiky.


8

9.

V důsledku výstavby satelitního městečka poklesl průměrný věk obyvatel vesnice o 19%, jeho rozptyl vzrostl o 21%. Jak se změnil variační koeficient? (vzrostl o 35,8%) 2

10. Ze známých dat byl určen rozptyl měsíčních mezd 250 000 Kč .Určete směrodatnou odchylku mezd, zvýší-li se všechny měsíční mzdy a) o 150,- Kč b) 1,2 krát c) o 4%. (a) 500,- Kč, b) 600,- Kč, c) 520,- Kč) o

o

o 2

11. Máme n údajů o měření teploty ( C). Průměrná teplota je 20 C a rozptyl je 10 C . Určete o a) průměrnou teplotu ve stupních Fahrenheita ( F), o b) rozptyl teploty ve stupních Fahrenheita ( F), o o c) variační koeficienty teploty ve stupních Celsia ( C) a ve stupních Fahrenheita ( F). (Vztah pro převod stupňů Celsia na stupně Fahrenheita: o

o 2

(a) 68 F, b) 32 F , c)


) )

9

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI TEST 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní. e) Pravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě „panna” je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo. 2. Pravděpodobnost poruchy každé součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. (Předpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Když funguje alespoň jedna součástka, blok funguje.) a) b) c) d) e) f) g) h) 3. Pravděpodobnost poruchy každé součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. (Předpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Když se porouchá jedna součástka, blok nefunguje.) a) b) c) d) e) f) g) h) 4. Podmíněná pravděpodobnost a) b)

se vypočítá jako

c) d) 5. Mějme jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) 6. Mějme nezávislé jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) Litschmannová, Neřešené příklady

10

7. Mějme disjunktní jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost průniku jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) 8. Mějme jevy A a B. Jev C je průnik jevů A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu B a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a B se vypočítá jako a) b) c) d) e) f) 9. Mějme nezávislé jevy A a B. Jev C je doplněk jevu A. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost průniku jevu B a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a B se vypočítá jako a) b) c) d) e) f) 10. Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) Pravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) Pravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. Výsledky testu: 1c, d; 2d; 3g; 4d; 5c; 6c; 7d; 8b; 9d; 10a, d, e

KOMBINATORIKA 1.

U stolu je místo pro 4 osoby. Kolika způsoby je možno rozsadit skupinku 10 lidí?

2.

Určete počet možností, jimiž lze vybrat 4 prvky ze 12-ti prvků (v závislosti na pořadí).

3.

Kolik je možností, jak rozdělit stejnoměrně 8 lidí do 2 automobilů?

4.

Na lavici je místo pro 4 osoby. Kolika je možností k zabrání lavičky skupinou 10 osob?

5.

Kolik je možností jak vybrat tři prvky z 15 prvků v závislosti na pořadí?

6.

Pokud x je počet možností jak posadit 6 osob do řady a y je počet možností jak posadit 6 osob ke kruhovému stolu, pak: a) x =2y b) x=1/2y


11

c) x=3y d) x=6y e) x=y 7.

Sestavujeme vlajku ze 3 vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. (Vlajka nesmí mít vedle sebe 2 pruhy stejné barvy.) a) Kolik vlajek lze sestavit? b) Kolik vlajek má modrý pruh? c) Kolik vlajek nemá červený pruh uprostřed? (80; 44; 64)

12. Na večírku je n lidí. Přiťukne-li si skleničkou každý s každým, kolik Ťuknutí by mohlo být slyšet?

13. Kolik je úhlopříček v konvexním n-úhelníku?

14. Test se skládá ze 2 dějepisných, 2 zeměpisných a 1 literární otázky. Připraveno je 30 dějepisných, 25 zeměpisných a 20 literárních otázek. Kolik variant testu lze vytvořit? (2 610 000) 15. Kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček neležících v témže sloupci? b) neležících v témže sloupci ani v téže řadě? (41 216; 40 768) 16. Musí mít alespoň dva obyvatele městečka o 1000 obyvatelích stejné iniciály (jméno a příjmení začinají jedním z 32 písmen)? (ne) 17. Kolika způsoby lze vytvořit anagram slovního spojení “abrakadabra”? (83 160) 18. Ve výboru je 6 mužů a 4 ženy. Kolik je způsobů jak zvolit předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? Co když mají předseda a místopředseda být opačného pohlaví? (5040; 2688) 19. Kolikrát lze přemístit slova ve verši “Sám svobody hoden, kdo svobodu zná vážiti každou”, nemají-li se promíchat slova věty hlavní a vedlejší. (1440 – větu hlavní a vedlejší lze prohodit) 20. Kolika nulami končí číslo 258! ? (63) 21. Kolika způsoby lze z nabídky 4 druhů rybiček zakoupit 6 rybiček, kupujeme-li je od každého druhu po párech? (20) 22. Kolik je pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7? Kolik z nich je dělitelných 6-ti? (96; 42) 23. Kolika způsoby se na startu může seřadit 8 automobilů do dvou řad po 4 autech? Co když nám jde jen o rozdělení (ne seřazení) do dvou řad? (40 320; 70) 24. Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 dívek. Kolika způsoby lze vybrat 4 taneční páry? (42 296 805) Litschmannová, Neřešené příklady

12

25. Z kolika prvků lze vytvořit 90 variací druhé třídy (bez opakování) ? (10) 26. Z kolika prvků lze vytvořit 55 kombinací druhé třídy (bez opakování) ? (11) 27. Zmenší-li se počet prvků o dva, zmenší se počet permutací (bez opakování) čtyřicetdvakrát. Určete počet prvků. (7) 28. Z kolika prvků lze vytvořit padesátkrát více variací třetí třídy (bez opakování) než variací druhé třídy (bez opakování) ? (52) 29. V prodejně si můžete vybrat ze sedmi druhů pohlednic. Kolika způsoby lze koupit: a) 10 pohlednic, b) 5 pohlednic, c) 5 různých pohlednic (8008; 462; 21) 30. V knihkupectví prodávají 10 titulů knižních novinek. Kolika způsoby lze koupit a) 4 knižní novinky, b) 5 různých knižních novinek? (715; 252) 31. Na hokejovém turnaji, kterého se účastní 8 družstev, sehraje každý tým s ostatními právě 1 utkání. Kolik zápasů bude celkem sehráno? (28) 32. Z 5 bílých a 4 červených kuliček tvoříme trojice tak, aby v každé trojici byly vždy 2 bílé a 1 červená kulička. Kolik trojic splňujících tuto podmínky lze vytvořit? (40) 33. Hokejový tým odjel na OH s 23 hráči, a to s 12 útočníky, 8 obránci a 3 brankáři. Kolik různých sestav může trenér teoreticky vytvořit? (18 480) 34. Kolika přímkami lze spojit 7 bodů v rovině, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce, b) tři z nich leží v jedné přímce? (21; 19) 35. Kolik kružnic je určeno 10 body v rovině, jestliže žádné tři z nich neleží na přímce a žádné čtyři z nich neleží na kružnici? (120) 36. Kolik různých hodů můžeme provést a) dvěmi, b) třemi různobarevnými kostkami? (36; 216) 37. Kolik různých značek teoreticky existuje v Morseově abecedě, sestavují-li se tečky a čárky ve skupiny po jedné až pěti? (62) 38. Kolik prvků obsahuje množina všech pěticiferných přirozených čísel? (90 000) 39. Deset přátel si vzájemně poslalo pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic celkem rozeslali? (90)


13

40. Kolikrát více je variací k-té třídy z n prvků než kombinací k-té třídy z těchto prvků (bez opakování)? (Variací je k!-krát vice než kombinací) 41. V plně obsazené lavici sedí 6 žáků a, b, c, d, e, f. a) Kolika způsoby je lze přesadit? b) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žáci a, b seděli vedle sebe? c) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žák c seděl na kraji? d) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žák c seděl na kraji a žáci a, b seděli vedle sebe? (720; 240; 240; 96) 42. Student má v knihovně 4 různé učebnice pružnosti, 3 různé učebnice matematiky a 2 různé učebnice angličtiny. Kolika způsoby je lze seřadit, mají-li zůstat učebnice jednotlivých oborů vedle sebe? (1728) 43. Kolika způsoby lze rozdělit 8 účastníků finále v běhu na 100 m do 8 drah? (40 320) 44. Kolik různých permutací lze vytvořit použitím všech písmen slova a) statistika, b) matematika? (75 600; 151 200) 45. Četa vojáků má vyslat na stráž 4 muže. Kolik mužů má četa, je-li možno úkol splnit 210 způsoby? (10) 46. V zásobníku je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Určete, kolika způsoby lze namátkou ze zásobníku vyjmout 5 nábojů, z nichž alespoň 3 jsou ostré. (231) 47. Kolika způsoby je možno na čtvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna tři pole neměla stejnou barvu (aby nebyla všechna černá ani všechna bílá)? (31 744)

ZÁKLADNÍ AXIÓMY PRAVDĚPODOBNOSTI 1.

Nechť p je pravděpodobnost, že nově narozené dítě je děvče. Určete pravděpodobnost, že rodina se čtyřmi dětmi má právě dva chlapce.

2.

V šuplíku mám 4 ponožky červené a 4 ponožky bílé barvy. Vyberu si náhodně (po tmě) dvě ponožky. Která z odpovědí je správná? a) Je pravděpodobnější, že ponožky budou různých barev. b) Je nepravděpodobné, že ponožky budou téže barvy. c) Je pravděpodobnější, že ponožky budou téže barvy. d) Pravděpodobnost, že si vyberu ponožky téže barvy je stejná jako pravděpodobnost, že si vyberu ponožky různých barev.

3.

Pět bodů leží v jedné přímce. Vybereme náhodně dva z nich. Jaká je pravděpodobnost, že se nebude jednat o dva sousední body?

4.

Mezi čtyřmi studenty jsou dvě dívky. Tito studenti jsou náhodně rozděleni na dvě dvojice. Jaká je pravděpodobnost, že jednu dvojici budou tvořit dívky a druhou chlapci?

5.

6 osob (Aleš, Pavel, Marek, Honza, Tomáš a Radek) je náhodně rozděleno do tří týmů. Určete pravděpodobnost, že Aleš s Markem budou tvořit jeden tým.


14

6.

Vojenskou kolonu tvoří 2 terénní vozy UAZ, 3 auta Praga V3S a 4 Tatry 138. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném seřazení kolony pojedou stejná vozidla za sebou? (1/210)

7.

Ve třídě 20 chlapců a 12 dívek jsou losem určeni 2 mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že budou různého pohlaví? (0,484)

8.

Jaká je pravděpodobnost, že slovem náhodně sestaveným z písmen A, A, A, E, I, K, M, M, T, T bude MATEMATIKA? (24/10!)

9.

Jaká je pravděpodobnost, že z 60 lidí slaví někteří dva narozeniny ve stejný den? (0,994)

10. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 3 kartami, náhodně vytaženými z balíčku 32 karet, bude eso? (0,340) 11. Firma dodává výrobky v sadách po 10 kusech. Je-li v sadě vice než 1 vadný výrobek, sada se neúčtuje. Jestliže asi 2% výrobků jsou vadná, kolik asi procent sad nebude firma účtovat? (1,6%) 12. Nechť p je pravděpodobnost narození holčičky. Určete pravděpodobnost, že rodina se čtyřmi dětmi bude mít alespoň jednu holčičku. 13. Kulička na hracím poli může se stejnou pravděpodobností padnout do desíti různých sektorů očíslovaných 0-9. Výsledek hodu je dán číslem sektoru. Určete, co má nejvyšší pravděpodobnost: a) výsledek vyšší než 3 b) výsledek nižší než 3 c) výsledek bude sudé číslo (0 není sudé číslo) d) výsledek 9 14. Vyberte si náhodně dva z devíti čtverců na následujícím obrázku a určete pravděpodobnost, že tyto dva čtverce leží v jednom řádku nebo v jednom sloupci.

5.

n různých balónků je rozděleno náhodně do N přihrádek. V případě, že X je počet přihrádek, v nichž se nachází minimálně jeden balónek, jaká je pravděpodobnost P(X=0)?

6.

V pytlíku je B bílých kuliček a C červených kuliček. Vybereme náhodně dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že obě kuličky budou bílé?

7.

X je náhodná veličina udávající počet hodů kostkou před tím než nám poprvé padne 6. Pravděpodobnost toho, že nám padne 6 je p. Jaký je vztah mezi pravděpodobnostmi p 1=P(X>s+t | X>s) a p2=P(X>t), v případě, že s a t jsou kladná přirozená čísla? a) p1p2, nezávisle na s a t e) p1=p2, v případě, že kostka je homogenní, tj. p=1/6

8.

Uvažujme hod symetrickou stejnorodou klasickou hrací kostkou. Který z následujících výroků je správný? a) Nejčastější výsledek hodu je “3”


15

b) Pravděpodobnost, že nám padne “1” nebo “2” je stejná jako pravděpodobnost, že nám padne “5” nebo “6” c) Pravděpodobnost, že nám padne “1” nebo “2” je menší než pravděpodobnost, že nám padne “5” nebo “6” d) Pravděpodobnost, že nám padne méně než “3” je větší než pravděpodobnost, že nám padne více než “3” 9.

Kulička se může skutálet do rovnoměrně rozmístěných sektorů s čísly 0 až 9. Číslo sektorů je výsledkem hodu. Který z následujících výsledků má největší pravděpodobnost? a) méně než “3” b) “9” c) více než “3” d) všechny výše uvedené výsledky mají stejnou pravděpodobnost

10. Uvažujme hod dvěma symetrickými stejnorodými klasickými hracími kostkami. Výsledek hodu je součtem údajů na obou kostkách. Jaká je pravděpodobnost, že výsledek bude menší než 4? 11. Systém je funkční pokud funguje součástka A a nejméně jedna ze součástek B a C. Pravděpodobnost, že po 1000 hodinách je funkční součástka A je 0,8, součástka B 0,9 a součástka C 0,7. Systém pracuje nezávisle na okolních podmínkách. B A C Jaká je pravděpodobnost, že systém bude po 1000 hodinách funkční? 12. Ve velkém množství písemek se vyskytují dva typy chyb, A a B. Pravděpodobnost, že v písemce bude chyba A je 0,1 a pravděpodobnost, že tam bude chyba B je 0,2. Pravděpodobnost, že v písemce budou obě chyby zároveň je 0,05. Určete pravděpodobnost, že v písemce bude pouze chyba A, nikoliv chyba B? 13. Pražská obchodní banka má zjištěno, že na tisíc šeků, které zpravidla zpracuje během určité doby, je jich 80 znějících na částku do 5.000,-Kč (včetně), 200 znějících na částku od 5.000,-Kč do 8.000,-Kč (včetně) a 250 na částku od 8.000,- Kč do 10.000,-Kč. Jaká je pravděpodobnost, že šek podaný u jedné z poboček bude znít na hodnotu nižší než 10.000,-Kč? 14. Reklama na nový automobil Mondavia je zaměřena na jeho technickou kvalitu. Jeden z reklamních sloganů propaguje, že “s novým automobilem Mondavia najedete 100.000 km bez vážné poruchy”. Výrobce nicméně informoval své prodejce, že během prvních najetých 100.000 km může dojít k pěti “klasickým” vážným poruchám. Pravděpodobnost poruchy motoru je odhadována na 5%, převodovky na 3%, brzd na 1,3%, spojky na 1% a diferenciálu na 0,1%. Jaká je pravděpodobnost, že by např. asociace motoristických novinářů mohla po testu jediného automobilu Mondavia považovat uvedený reklamní slogan za klamavý? 15. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvouciferné číslo je dělitelné dvěma nebo pěti? 16. Tři muži sedí u baru. Aby mohli rozhodnout, kdo zaplatí útratu, každý z nic hází mincí. Muž, jehož mince ukáže jinou stranu než mince zbývajících dvou, platí útratu. Předpokládejme, že na všech mincích obě dvě strany padají se stejnou pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost, že k rozhodnutí, kdo bude platit, dojde již poté, co muži hodí poprvé? 17. Signalizační zařízení se skládá ze tří sériově zapojených okruhů, ve dvou z nich jsou paralelně zapojeny navzájem se zálohující prvky. Spolehlivosti jednotlivých prvků jsou přímo vyznačeny ve schématu:


16

0,90 0,90 0,80

0,80

0,85 0,95 Určete pravděpodobnost, že signalizační zařízení bude mít poruchu (za předpokladu, že poruchy jednotlivých prvků vznikají nezávisle na sobě. 18. Sonda má dvě kamery, které mohou pracovat nezávisle na sobě. Každá z nich je vybavena pro případ poruchy opravným mechanismem. Pravděpodobnost poruchy kamery je 0,1, pravděpodobnost úspěšné opravy případné poruchy pomocí korekčního mechanismu je 0,3. S jakou pravděpodobností se nepodaří ani jednou z kamer nic nafilmovat? 19. Tři absolventi střední školy – pan Novák, pan Svoboda a pan Dvořák skládají přijímací zkoušky na tři různé vysoké školy. Jejich šance na úspěch se odhaduje na 70% pro studenta Nováka, na 40% pro studenta Svobodu a na 60% pro studenta Dvořáka. Jaká je pravděpodobnost, že a) všichni tři uspějí, b) ani jeden neuspěje, c) uspěje jen student Novák, d) uspěje právě jeden z nich, e) neuspěje jen student Svoboda, f) uspějí právě dva z nich, g) uspěje alespoň jeden z nich. 20. V osudí je 5 černých a 15 bílých koulí. Z osudí se náhodně vytáhne jedna koule. Poté se vrátí zpět a přidá se 20 koulí téže barvy, jakou měla vytažená koule, a tah se opakuje. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude černá? 21. Účastník zapomněl poslední cifru telefonního čísla a rozhodl se, že jí bude postupně volit. S jakou pravděpodobností se dovolá nejpozději na čtvrtý pokus? (Předpokládejme, že při vytočení správného čísla se spojení uskuteční.) 22. Narozeninový problém: Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2? (23) 23. Tři střelci střílí na terč. Terč zasáhnou s pravděpodobností: 0,2; 0,4; 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že terč zasáhnou a) všichni, b) právě dva, c) nejvýše jeden, d) alespoň jeden. (0,04; 0,26; 0,70;0,76) 24. Při trojnásobném souboji se tři soupeři A, B, C postaví na rohy rovnostranného trojúhelníku. Střílí se ve vylosovaném pořadí tak dlouho, dokud nezbude jediný vítěz. Je známo, že střelec A zasáhne vždy, střelec B s pravděpodobností 0,8 a střelec C s pravděpodobností 0,5. Každý ze soupeřů použije nejvýhodnější strategii, pokud jde o volbu cíle. Jakou mají jednotliví účastníci souboje naději na vítězství? (27/90, 16/90, 47/90)


17

25. Ze šesti vajec jsou dvě prasklá. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném odebrání dvou vajec vybereme žádné, jedno, dvě prasklá vejce? (6/15, 8/15, 1/15) 26. Přístroj se skládá ze 300 stejných, nezávisle na sobě pracujících částí. Pravděpodobnost poruchy kterékoli části je: a) 0,050 b) 0,010 c) 0,001. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj přestane pracovat v důsledku poruchy alespoň jedné části? (a) 0,999 999 792; b) 0,950 959 106; c) 0,259 292 968) 27. Každý ze tří střelců vystřelí jednou do společného cíle. Pravděpodobnosti zásahu jsou u jednotlivých střelců: 0,6, 0,5 a 0,4. Při kontrole terče byly zjištěny 2 zásahy. Určete pravděpodobnost, že zasáhl druhý a třetí střelec. (0,21) 28. Na osmi stejných kartičkách jsou napsána po řadě čísla 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 a 13. Náhodně vezmeme dvě kartičky. Určete pravděpodobnost, že zlomek utvořený z těchto dvou čísel lze krátit. (5/14) 29. V sále s n+k místy náhodně zaujalo místa n lidí. Určete pravděpodobnost, že je obsazeno určitých m n míst. 30. Kolik je nutno vzít čísel z tabulky náhodných čísel, abychom s pravděpodobností alespoň 0,9 mohli tvrdit, že je mezi nimi alespoň jedno sudé číslo? (n 4) 31. V urně jsou dvě koule, bílá a černá. Provádí se výběr po jedné kouli do té doby, než se vytáhne černá koule, přičemž kdykoliv se vytáhne bílá koule, vrátí se a do urny se přidají ještě dvě bílé koule. Určete pravděpodobnost, že se při prvních padesáti tazích černá koule nevytáhne. (0,08) 32. Ve dvou urnách jsou koule, které se od sebe liší pouze barvou. V první urně je 5 bílých koulí, 11 černých a 8 červených. V druhé urně je 10 bílých, 8 černých a 6 červených koulí. Z obou uren se náhodně táhne po jedné kouli. Jaká je pravděpodobnost, že obě koule jsou stejné barvy? (0,323) 33. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 34. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými matematiky B. Pascalem a P. de Fermatem v roce 1654. Zabývali se mimo jiné problémem, se kterým přišel šlechtic Chevalier de Méré (velký milovník hazardních her). Ze zkušenosti věděl, že je výhodné sázet na to, že při 4 hodech šestistěnnou kostkou padne šestka. Usuzoval, že při 24 hodech dvěmi kostkami bude opět výhodné vsadit na to, že padnou na obou kostkách šestky. Ukázalo se však, že tomu tak není. Určete pravděpodobnost, že při 4 hodech padne aspoň jednou šestka a pravděpodobnost, že při 24 hodech dvěmi kostkami padnou aspoň jednou dvě šestky. 35. Jaká je pravděpodobnost nejvyší výhry ve hře šťastných deset? Je třeba uhodnout 10 čísel, přičemž se táhne 20 čísel z osmdesáti. 36. Ve skříni máme pět párů ponožek (černé, hnědé, bílé, modré a červené). Ponožky jsou pomíchané. Ráno náhodně vytáhneme dvě ponožky. Jaká je pravděpodobnost, že: a) je mezi nimi černá ponožka, b) jedna je bílá a druhá je modrá, c) jedna je červená a druhá není hnědá,


18

d)

obě mají stejnou barvu?

37. Úloha o vadných fotoaparátech: v továrně bylo v sadě 20 aparátů objeveno, že 3 musí být znovu seřízeny. Nedopatřením však došlo k tomu, že tyto 3 přístroje byly vráceny do série a ta se teď musí prohlédnout znovu. a) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout více než 17 přístrojů? b) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout právě 17 přístrojů? c) Jaký je nejpravděpodobnější počet přístrojů, které budeme muset prohlédnout? 38. Sekretářka má n různých dopisů a stejný počet obálek určený adresátům. Dopisy vkládá do obálek náhodně. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny dopisy se dostanou do správné obálky, b) právě dva dopisy budou ve špatné obálce, c) aspoň jeden dopis se dostane do správné obálky. 39. První skupina studentů vyřeší úlohu s pravděpodobností 2/5 a druhá s pravděpodobností 1/3. Každá skupina se snaží úlohu nezávisle vyřešit. S jakou pravděpodobností bude úloha vyřešena? 40. Házíme dvěma hracími kostkami. Jev A znamená, že na první kostce padlo liché číslo, jev B znamená, že na druhé kostce padlo sudé číslo, jev C znamená, že součet obou čísel je lichý. Jsou náhodné jevy A, B, C nezávislé? Jsou náhodné jevy A, B, C po dvou nezávislé? 41. Roztržitý pan profesor navštívil během dne 4 obchody. V každém obchodě s pravděpodobností 1/4 zapomněl deštník. Domů přišel bez deštníku. Jaká je pravděpodobnost, že ho zapomněl ve čtvrtém obchodě? 42. První dítě z dvojčat je chlapec. Jaká je pravděpodobnost toho, že i druhé dítě je chlapec, jestliže je u dvojčat pravděpodobnost narození dvou chlapců rovna p, dvou děvčat rovna q a u dvojčat obojího pohlaví je pravděpodobnost dřívějšího narození stejná pro obě pohlaví? 43. V osudí je 8 koulí (5 bílých a 3 černé). Vytáhneme postupně dvě koule (nevracíme je zpět do osudí). Určete pravděpodobnost, že právě jedna z dvou vytažených koulí je bílá. 44. Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci jménem Jakub a 2 dívky jménem Katka. Martina tvrdí, že potkala někoho ze třídy 1.A. Jaká je pravděpodobnost, že potkala: a) Jakuba? b) Katku? Martina upřesní svou výpověď. Tvrdí, že potkala chlapce ze třídy 1.A. Jak se změní odpovědi na výše položené otázky? 45. Finále soutěže Miss se účastní 12 dívek. Podle předběžných anket se zdá, že nejvyšší šance zvítězit mají dívky Kateřina, Lucie a Markéta. Kateřině je předpovídáno vítězství s pravděpodobností 0,2, Lucii s pravděpodobnosti 0,1 a Markétě s pravděpodobnosti 0,3. Těsně před začátkem finále se však Kateřina rozhodne odstoupit ze soutěže. Jak se změní pravděpodobnost vítězství Lucie a Markéty? 46. Z balíčku 32, tzv. mariášových karet vytáhneme postupně dvě karty, přičemž kartu po vytažení nevracíme zpět do balíčku. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty budou esa? (Balíček mariášových karet obsahuje 4 esa.) 47. Z balíčku 32, tzv. mariášových karet vytáhneme postupně dvě karty, přičemž první vytaženou kartu po vytažení vracíme zpět do balíčku. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty budou esa? (Balíček mariášových karet obsahuje 4 esa.)


19

48. Výstřední profesor matematiky zkouší každou hodinu jednoho chlapce a jednu dívku. Přitom používá následující metodu: Má připravenou krabici, která obsahuje 3 černé lístky s velmi obtížnými úlohami a 6 bílých lístků se snadnými otázkami. Každý ze studentů si musí se zavřenýma očima jeden z lístků vylosovat. Vylosované lístky se již do krabice nevrací. Ke zkoušeni byli vybráni Jirka a Petra. a) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si černý lístek vytáhne i Petra? b) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si Petra vytáhne bílý lístek? c) Jirka je zamilovaný do Petry a proto je ochoten přijmout obtížnou úlohu, jen aby zvýšil šanci Petry na získáni snadné úlohy. Měl by losovat jako první, nebo nechat Petru, aby jako první losovala ona? 49. V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední žalářník však dá vězni šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu, že zítra příjde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození. 50. Představte si, že vezmete sklenici vody (2 dl) a vylijete ji do oceánu. Vlivem koloběhu vody (proudy, příliv, odliv, déšť a odpařování) se postupně promíchá voda na této planetě. O 5 let později jdete k nějakému jinému oceánu a naberete z něj vodu do jiné sklenice (o stejném objemu). Kolik molekul vody z první sklenice skončí v té druhé?

(Potřebné informace najdete na: -26

http://etext.czu.cz/php/skripta/kapitola.php?titul_key=64&idkapitola=154 , molekula vody váží 2,99 s 10 kg (dle www.gjs.cz/fyzika/lab_doc/sexta/molekulova_fyzika.doc), ostatní potřebné informace jsou obecně známé, popřípadě snadno dohledatelné na internetu.)

51. Favority Wimbledonu jsou Rafael Nadal a Roger Federer. Sázkaři tipují, že Nadal vyhraje s pravděpodobnosti 0,25 a Federer s pravděpodobnosti 0,20. Představte si, že Rafael Nadal by z důvodu zranění v 1. kole musel odstoupit. Jaká by pak byla pravděpodobnost, že Wimbledon vyhraje Roger Federer?

GEOMETRICKÁ PRAVDĚPODOBNOST 1.

Struna dlouhá 1m je zcela náhodně přestřižena na dvě části. S jakou pravděpodobností je poměr délky delší části ku délce kratší části větší než 3:1?

2.

Do kruhu o poloměru R je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jaká je pravděpodobnost, že čtyři body náhodně umístěné do tohoto kruhu budou uvnitř trojúhelníka? (0,029)

3.

Na zastávku místní dopravy přijíždí autobus každých 7 minut a zdrží se 0,5 minuty. Jaká je pravděpodobnost, že příjdu a zastihnu autobus na zastávce? (0,07)


20

4.

Autobus přijíždí na zastávku každé 4 minuty, tramvaj (má zastávku vedle) každých 6 minut. Určete pravděpodobnost, že se cestující dočká: a) autobusu před tramvají b) autobusu nebo tramvaje v průběhu 2 minut (0,66; 0,66)

5.

Pacient se léčí doma a od 7 do 20 hod. je možné jej kontrolovat. Vycházky má od 13 do 15 hod. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7. a 20. hodinou bude doma k zastižení? (0,846)

6.

Hodiny, které nebyly ve stanovenou dobu nataženy, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi 6 a 9? (0,25)

7.

Tyč délky 10m je náhodně rozlomena na 2 části. Jaká je pravděpodobnost, že menší část bude delší než 4m? (0,2)

8.

Dvě osoby A a B si smluvily schůzku na daném místě v neurčitém čase mezi 13:00 a 14:00. Každý z nich je ochoten čekat na druhého maximálně 10 minut. Předpokládáme, že příjdou nezávisle na sobě a okamžiky příchodu jsou stejně možné kdykoliv během uvedené hodiny. Určete pravděpodobnost, že se opravdu sejdou.

9.

Nechť x a y (0; 1) jsou náhodně zvolená čísla. Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet je menší než 1 a součin menší než 0,09?

10. Na úsečce délky l jsou náhodně umístěny dva body, kterými je náhodně rozdělena na tři části. S jakou pravděpodobností lze z takto vzniklých tří úseček sestrojit trojúhelník? 11. Tyč dlouhá 200 mm je náhodně rozřezána na tři části. S jakou pravděpodobností je některá z těchto částí kratší než 10 mm, jestliže dva řezy jsou stejně možné v každém místě tyče? 12. (Buffonova úloha) V rovině jsou narýsovány rovnoběžky vzdálené od sebe o d. Na tuto rovinu je vržena jehla délky l (l < d). Určete pravděpodobnost toho, že jehla protne některou z rovnoběžek.

VĚTA O ÚPLNÉ PRAVDĚPODOBNOSTI A BAYESŮV TEORÉM 1.

Výrobce barometrů zjistil při testování velmi jednoduchého modelu, že přístroj ukazuje občas nepřesně. Za deštivého počasí ukazuje v 10% případů jasno a za jasného počasí ukazuje ve 30% případů déšť. V ČR je v září zhruba 40% dnů deštivých. a) Jaká je pravděpodobnost, že barometr bude ukazovat 21.9.2002 “déšť”? b) Jaká je pravděpodobnost, že pokud bude barometr 21.9.2002 ukazovat “déšť”, bude skutečně pršet?

2.

U integrovaného obvodu MAA 7551 se s pravděpodobnosti 10% vyskytuje výrobní vada. U IO s touto vadou dochází během záruční doby s pravděpodobnosti 50% k poruše. U IO, které tuto vadu nemají dochází k poruše s pravděpodobnosti 1%. a) S jakou pravděpodobnosti se námi zakoupený IO MAA 7551 porouchá během záruční doby? b) Pokud se nám IO MAA 7551 porouchal, jaká je pravděpodobnost, že se jedná o IO s výrobní vadou?

3.

Počáteční stadium rakoviny se vyskytuje u každých tří z jednoho tisíce Američanů. Pro včasné zjištění byl vyvinut velmi spolehlivý test. Pouze 5% zdravých pacientů má výsledky pozitivní (falešný poplach) a pouze 2% nemocných mají výsledek negativní. Pokud by se tento test použil pro vyšetření celé americké


21

společnosti a všichni ti, kteří by měli pozitivní výsledky by byli hospitalizováni za účelem klinického vyšetření, kolik % z nich bude skutečně mít rakovinu? 4.

U pacienta je podezření na jednu ze čtyř vzájemně se vylučujících nemocí – N1, N2, N3, N4 s pravděpodobností výskytu P(N1)=0,1, P(N2)=0,2, P(N3)=0,4, P(N4)=0,3. Laboratorní zkouška A je pozitivní v případě první nemoci v 50% případů, u druhé nemoci v 75% případů, u třetí nemoci v 15% případů a u čtvrté v 20% případů. Jaká je pravděpodobnost, že výsledek laboratorní zkoušky bude pozitivní?

5.

Spojovacím kanálem A (resp. B) je přenášen signál s pravděpodobností 0,84 (resp. 0,16). Vzhledem k poruchám přenosu se 1/6 signálů A detekuje jako B. Obdobně se 1/8 signálů B detekuje jako A. Určete pravděpodobnost, že: a) signál bude na výstupu detekován jako A? b) signál, který byl na výstupu detekován jako A, byl skutečně odeslán jako A? (0,720; 0,972)

6.

Při výrobě 30% přístrojů byl použit zpřísněný technologický režim, zatímco při výrobě ostatních přístrojů standardní režim. Přitom pravděpodobnost bezporuchového chodu po dobu T je pro přístroj z první skupiny 0,97 a pro přístroj z druhé skupiny 0,82. Jaká je pravděpodobnost, že: a) přístroj bude po dobu T pracovat bezporuchově? b) přístroj, který po dobu T pracoval bezporuchově, byl vyroben ve zpřísněném režimu?

7.

V dílně pracují 3 stroje. První z nich vyrobí 24%, druhý 36% a třetí 40% produkce dílny. První stroj vyrobí zmetek s pravděpodobností 0,02, u druhého se toto stane s pravděpodobností 0,03 a u třetího s pravděpodobností 0,06. S jakou pravděpodobností: a) bude vyroben zmetek? b) byl vyrobený zmetek z produkce třetího stroje?

8.

Je známo, že 90% výrobku odpovídá standardu. Byla vypracována zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobnosti 0,95, kdežto u výrobku nestandardního s pravděpodobností 0,20. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek, u něhož zkouška dopadla kladně, je standardní?

9.

Laboratoř, která provádí rozbory krve, potvrdí s pravděpodobnosti 95% existenci protilátek na virus určité nemoci, jestliže jí pacient skutečně trpí. Zároveň test určí jako pozitivní 1% osob, které však touto nemocí netrpí. Jestliže 0,5% populace trpí zmíněnou nemocí, jaká je pravděpodobnost, že určitá osoba, jejíž test byl pozitivní, skutečně onu nemoc má?

10. Zamýšlíte koupit v autobazaru vůz jisté značky. Je ovšem známo, že 30% takových vozů má vadnou převodovku. Abyste získali více informací, najmete si mechanika, který je po projížďce schopen odhadnout stav vozu a jen s pravděpodobností 0,1 se zmýlí. Jaká je pravděpodobnost, že vůz, který chcete koupit, má vadnou převodovku: a) předtím, než si najmete mechanika? b) jestliže mechanik předpoví, že vůz je dobrý? 11. Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, zabíjí každého, který tuto nemoc dostane; bez výjimky. Žádné účinné léky pro tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce. Martin si dělá starosti o své zdraví, a proto se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů. A je už jedno, zda tuto nemoc máte, nebo nemáte. Vyšetření má vždy pouze 99% úspěšnost, v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu. Martin podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek. Výsledek je pozitivní, podle vyšetření Martin tuto zákeřnou nemoc skutečná má. Martinovi se zatmělo před očima a už si šel vybírat rakev. Opravdu je to tak nutné? Jaká je pravděpodobnost, že Martin tuto nemoc má? 12. Mobilní telefon má výrobní vadu s pravděpodobnosti 0,02. V záruční době se tato výrobní vada projeví s pravděpodobnosti 0,70. Mobilní telefon bez výrobní vady se v záruční době porouchá s pravděpodobnosti 0,01. Jaká je pravděpodobnost, že: a) náhodně vybraný mobilní telefon se v záruční době porouchá? Litschmannová, Neřešené příklady

22

b) porouchal-li se mobilní telefon v záruční době, jednalo se o telefon s výrobní vadou? 13. V distribuci mají elektronky vyrobené ve dvou závodech. 60 je z prvního a 40 z druhého závodu. Z každých 100 elektronek vyrobených 1. závodem je 90 odpovídajících normě, ze 100 elektronek vyrobených 2. závodem odpovídá normě 80. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná elektronka bude odpovídat normě. (0,86) 14. Telegrafické znaky se skládají ze signálů „tečka“, „čárka“. Je statisticky zjištěno, že se zkomolí 25 sdělení „tečka“ a 20 signálů „čárka“. Dále je známo, že signály se používají v poměru 3:2. Určete pravděpodobnost, že byl přijat správně signál, jestliže: a) byl přijat signál „tečka” b) byl přijat signál „čárka“ 17. Mezi šesti puškami jsou jenom dvě zastřílené. Pravděpodobnost zásahu ze zastřílené pušky je 0,9 a z nezastřílené 0,2. Výstřelem z jedné náhodně vybrané zbraně byl cíl zasažen. Určete pravděpodobnost, že byla vybrána: a) zastřílená puška b) nezastřílená puška 18. Potřebu smrkových sazenic kryje lesní závod produkcí dvou školek. První školka kryje 75% výsadby, přičemž ze 100 sazenic je 80 první jakosti. Druhá školka kryje výsadbu z 25% přičemž na 100 sazenic připadá 60 první jakosti. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná sazenice je první jakosti? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná sazenice první jakosti je z produkce první školky, a pravděpodobnost, že je z produkce druhé školky? (0,75; 0,80; 0,20) 19. Ze 200 ložisek je 130 první jakosti a 70 druhé jakosti. Z ložisek první jakosti bylo 80 vyrobeno na prvním stroji a 50 na druhém stroji, z ložisek druhé jakosti bylo 40 vyrobeno na prvním stroji a 30 na druhém stroji. Jev A představuje náhodné vybrání ložiska první jakosti a jev B náhodné vybrání ložiska vyrobeného na prvním stroji. Jsou jevy A a B nezávislé? (jevy A a B jsou nezávislé) 20. V zásilce 150 pytlů ořechů z Turecka je 5 pytlů se zkaženými ořechy, stejně jako v zásilce 250 pytlů ořechů z Afghánistánu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný pytel ze všech došlých pytlů obsahuje zkažené ořechy, a jaká je tato pravděpodobnost, jestliže nejdříve vybereme náhodně zásilku, a teprve z ní vybereme náhodně pytel? (0,025; 0,026) 21. V distribuci mají elektronky vyrobené ve dvou závodech. 60 je z prvního a 40 z druhého závodu. Z každých 100 elektronek vyrobených 1. závodem je 90 odpovídajících normě, ze 100 elektronek vyrobených 2. závodem odpovídá normě 80. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná elektronka bude odpovídat normě. (0,86) 22. Ve skupině 20 studentů, kteří přišli na zkoušku, je 8 připravených výborně, 6 dobře, 4 průměrně a 2 špatně. Ke zkoušce je připraveno 40 otázek. Student připravený výborně může odpovědět na všechny otázky, dobře na 35, průměrně na 25 a špatně pouze na 10. Náhodně vybraný student odpověděl na tři zadané otázky. Urči pravděpodobnost, že tento student je připraven: a) dobře b) špatně 23. Cestovatel přijede do města, kde je 30% lhářů, 15% náladových a 55% normálních lidí. Lháři lžou s pravděpodobností 0,90. Normální lidi říkají s pravděpodobností 0,75 pravdu. Náladoví lidé v polovině případů lžou a v polovině říkají pravdu. Cestovatel potkal jednoho z obyvatel města a zeptal se ho, jestli je


23

normální. Jaká je pravděpodobnost, že mu cizinec odpoví, že je normální? Jaká je pravděpodobnost, že je tato informace pravdivá? 24. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraná osoba má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to dívka? 25. V dílně pracuje 10 dělníků, kteří za směnu vyrobí stejný počet výrobků. Skupina A pěti dělníků vyrobí 96% standardních, skupina B tří dělníků 90% a skupina C dvou dělníků jen 85% standardních výrobků. Všechny výrobky jsou uložené ve skladu. Náhodně jsme vybrali jeden výrobek a zjistili, že je standardní. Jaká je pravděpodobnost, že ho vyrobila skupina A pěti dělníků? (0,522) 26. Podíl padělaných obrazů ve sbírce je 20%. Jestliže je obraz falešný, znalec to pozná s pravděpodobností 70%. Je-li obraz originál, znalec ho mylně posoudí s pravděpodobností 10%. Určete: a) pravděpodobnost, že obraz je originál, jestliže byl znalcem označen za originál, b) pravděpodobnost, že obraz je originál, jestliže byl znalcem označen za padělek, c) pravděpodobnost, že obraz je padělek, jestliže byl znalcem označen za originál, d) pravděpodobnost, že obraz je padělaný, jestliže byl znalcem označen za padělek. (0,923; 0,367; 0,077; 0,633)


24

NÁHODNÁ VELIČINA A JEJÍ ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY TEST 1. Vytvořte dvojice pojem – příklad. a) náhodný pokus

1) Doba přenosu testovacího datového souboru je delší než 30s.

b) náhodný jev

2) Měření doby přenosu testovacího datového souboru.

c) náhodná veličina

3) Doba přenosu testovacího datového souboru.

2. Určete pravdivost následujících výroků. a) Náhodnou veličinu chápeme jako výsledek náhodného pokusu. b) Diskrétní náhodná veličina může nabývat konečného nebo spočetného množství hodnot. c) Distribuční funkce náhodné veličiny X v bodě t udává pravděpodobnost, že X nabývá hodnot menších než t. d) Má-li náhodná veličina spojitou distribuční funkci, je spojitá. e) Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak . f) Oborem hodnot distribuční funkce jsou všechna reálná čísla. g) Medián je střední hodnota. h) Nabývá-li funkce f(x) hodnoty 1,3, nemůže jít o hustotu pravděpodobnosti. i) Rozdělení spojité náhodné veličiny můžeme popsat distribuční funkci, hustotou pravděpodobnosti a intenzitou poruch. j) Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu jednotlivých středních hodnot. k) Rozptyl součtu dvou náhodných veličin je roven součtu jednotlivých rozptylů. l) Střední hodnota součinu dvou náhodných veličin je rovna součinu jednotlivých středních hodnot. m) Rozptyl součinu dvou náhodných veličin je roven součinu jednotlivých rozptylů.

3.

Určete, která ze zadaných funkcí nemůže představovat pravděpodobnostní funkci. a) b) k

2 0,2 P(X=k)

3 0,4

6 0,4

1 0,8

c)

0,6

e)

0,4 0,2 0

0

2


4

6

8k

25

4. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat distribuční funkci. F(x)

1

1 F(x)

0 -2

-1

0 0

1

2

-2

-1

0

1

2

x

x

-1

-1

b)

a)

F(x)

1

1 F(x)

0 -2

-1

0 0

1

2

x

-1

1

c)

3

5

x

7

d) 1

F(x) 1 F(x)

0

0 -1

1

3

5

e)


7

x

-1

1

3

5

7

x

f)

26

5. Určete, zda by grafy znázorněných funkcí mohly představovat hustotu pravděpodobnosti. f(x) f(x)

2 1,5

1

1 0,5 0,5 0 -2

-1

0 0

1

2

3

x 4

-1

-0,5

0

0,5

1

-0,5 x -1

f(x)

a)

b)

1

f(x)

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0 -1

0 0

1

c)

2

3

-0,5

x

-0,25

0

d)

0,25

0,5 x

6. Nechť náhodná veličina X představuje životnost (dobu do poruchy) monitorů na počítačové učebně E320. Určete pravdivost následujících výroků. a) X je spojitou náhodnou veličinou. b) Rozdělení X může být popsáno pravděpodobnostní funkcí. c) Pro popis X lze použít intenzitu poruch. 7. Vyjádřete následující pravděpodobnosti pomocí distribuční funkce. a) , b) , c) . 8. Nechť X je diskrétní náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí , , , , , . a) , b) , c) , d) . 9. Nechť X je spojitá náhodná veličina. Vyjádřete co nejjednodušeji následující pravděpodobnosti pomocí , , , , , . a) , b) , c) , d) .


27

10. Nechť X je spojitá náhodná veličina. Vyjádřete následující pravděpodobnosti pomocí hustoty pravděpodobnosti. a) , b) , c) , d) . Výsledky testu 1) a-2, b-1, c-3, 2) a) NE (NV chápeme jako výsledek náhodného pokusu, který je dán reálným číslem.), b) ANO, c) ANO, d) ANO, e) ANO, f) NE , g) NE (srovnejte definici střední hodnoty a mediánu), h) NE , i) NE (intenzitu poruch lze použít pouze pro popis nezáporné NV), j) ANO, k) NE (platí pouze pro nezávislé NV), l) NE (platí pouze pro nezávislé NV), m) NE, 3c)

,

4) a) NE (F(x) není neklesající), b) NE e) ANO, f) NE (F(x) není neklesající),

, c) NE

,d) NE (F(x) není zleva spojitá),

5) a) NE (f(x) není nezáporná funkce), b) ANO, c) NE

, d) NE

6) a) ANO, b) NE (pravděpodobnostní f-ce je nulová), c) ANO, 7) a)

, b)

, c)

8) a)

, , b)

, c)

, d) 9) a) 10) a)

,

, b) , b)

, c) , c)

, d) , d)

,

.

DISKRÉTNÍ NÁHODNÁ VELIČINA 1.

Pro distribuční funkci náhodné veličiny X platí

a) Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, její střední hodnotu a směrodatnou odchylku. b) Náhodná veličina Y = 3X-2, určete F(y), P(y), EY a DY. 2.

Hráč hry Člověče, nezlob se musí házet kostkou tak dlouho, dokud mu nepadne číslo 6, jinak nesmí nasadit figurku do hry. S jakou pravděpodobností figurku nasadí právě ve čtvrtém, resp. nejpozději ve čtvrtém kole? Jaká je střední hodnota a směrodatná odchylka počtu pokusů hráče o nasazení figurky do hry?

3.

Odvoďte střední hodnotu Poissonovy náhodné veličiny.


28

4.

Odvoďte střední hodnotu binomické náhodné veličiny.

5.

Na skládce leží 20 solárních panelů. 5 z nich má skrytou vadu. a) Popište rozdělení náhodné veličiny X, kde X je počet panelů se skrytou vadou ze 4 náhodně vybraných. (pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, střední hodnota, směrodatná odchylka) b) Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4-mi náhodně vybranými panely budou méně než 3 panely se skrytou vadou?

6.

Předpokládejme, že X má diskrétní rozdělení takové, že platí P(X = k) = ck pro k = 1; 2; 3 a P(X = k) = 0 jinak. Určete: a) hodnotu c, b) c) .

7.

V průzkumu sledovanosti TV programů byl mimo jiné zjišťován počet sledovaných TV program během jednoho večera. Pravděpodobnostní funkce počtu sledovaných TV programů během jednoho večera je uvedena v tabulce.

2

xi P(xi)

0 0,10

1 0,15

2 0,25

3 0,35

4 0,10

5 ?

a) Hodnota pravděpodobnostní funkce pro 5 TV programů byla špatně čitelná. Určete ji. b) Určete distribuční funkci počtu sledovaných TV programů během jednoho večera. c) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný divák bude sledovat během večera nejvýše 3 TV programy? d) Určete střední hodnotu počtu sledovaných TV programů během jednoho večera. e) Určete směrodatnou odchylku počtu sledovaných TV programů během jednoho večera. f) Určete modus sledovaných TV programů během jednoho večera. 8.

Majitel servisního střediska nabídl prodejně automobilů, která si zřídila I autopůjčovnu své služby. Za každý automobil zapůjčený jeho prosřednictvím obdrží od autopůjčovny 500,- Kč. Zároveň se však zavázal, že každý den investuje do údržby zapůjčených automobilů 800,- Kč . Počet automobilů zapůjčených prostřednictvím servisního střediska za 1 den je popsán následující pravděpodobnostní funkci: xi P(xi)

0 0,01

1 0,40

2 0,25

3 0,15

4 0,10

5 ?

6 0,03

a) Hodnota pravděpodobnostní funkce pro 5 automobilů byla špatně čitelná. Určete ji. b) Určete pravděpodobnost, že příjem majitele servisu z půjčování automobilů převýší jeho výdaje. c) Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku a modus počtu zapůjčených automobilů během jednoho dne. d) Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku a modus příjmu majitele servisu ze zapůjčených automobilů během jednoho dne. e) Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku a modus zisku majitele servisu ze zapůjčených automobilů během jednoho dne. 9.

Najděte pravděpodobnostní a distribuční funkci pro následující náhodné veličiny. a) počet šestek, které padnou při hodu 5 kostkami; b) součet bodů na kostkách při hodu 2 kostkami; c) počet pokusů nutných k tomu, aby padla šestka; d) počet vadných výrobků ve výběru 10 výrobků z dodávky, která obsahovala 50 výrobků dobrých a 5 vadných; e) počet kontrolovaných výrobků, pokud pravděpodobnost, že výrobek projde kontrolou je 0,8 a kontrolu končíme v okamžiku, kdy najdeme dva vadné výrobky.

10. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodných veličin z předcházejícího příkladu.


29

11. V krabici je pět bílých a tři modré koule. a) Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X, popisující počet pokusů nutných k vytažení modré koule. b) Určete průměrný počet pokusů nutných k vytažení modré koule. (EX = 2, 25) 12. Pokud F je teplota ve stupních Fahrenheita, pak C odpovídá teplotě ve stupních Celsia pokud C=5(F-32)/9. 5 různých teplot bylo naměřeno ve Fahrenheitech. Střední hodnota těchto hodnot byla 77 a rozptyl 81. Které z následujících údajů vypovídají správně o naměřených hodnotách převedených na stupně Celsia. a) Střední hodnota je 25 a rozptyl 81 b) Střední hodnota je 45 a rozptyl 45 c) Střední hodnota je 25 a rozptyl 25 d) Střední hodnota je 25 a rozptyl 45 e) Střední hodnota je 45 a rozptyl 25 13. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Náhodná veličina X je definována jako počet zásahů při třech nezávislých výstřelech. Určete: a) pravděpodobnostní funkci P(X=x), b) distribuční funkci F(x) a její graf, c) EX, DX a σX, d) modus X. 14. Hážeme třikrát kostkou. Nechť náhodná veličina X znamená počet padnutí šestky. Určete: a) pravděpodobnostní funkci a její graf, b) sestrojte graf distribuční funkce, c) EX, DX d) Modus X 15. Dva hráči hrají společenskou hru. Pravděpodobnost výhry hráče A je 2/3, hráče B 1/3. Hráči opakují hru tolikrát, až vyhraje hráč A. Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny, která značí počet uskutečněných her. 16. Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 17. Střelec střílí 10-krát na cíl. Za každý zásah získává 3 body, nezasáhne-li, ztrácí 1 bod. Pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu daného střelce je 2/3. Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu bodů, které střelec může získat. 18. Pokus spočívá ve třech nezávislých hodech mincí. Pro náhodnou veličinu značící počet padnutí líců sestrojte pravděpodobnostní funkci. 19. Dokažte, že pro i=1,2,3 je výraz

pravděpodobnostní funkci. Určete pravděpodobnosti

,

. 2

20. Výsledkem určitého pokusu je celé kladné číslo n s pravděpodobností nepřímo úměrnou n . Určete zákon rozdění náhodné veličiny. 21. Která z uvedených funkcí je pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X , která nabývá hodnot 0, 2, 4, 6: a) b)


30

c) 22. Náhodná veličina X je určena tabulkou: xi -2 0 2 4 6

P(xi) 0,1 ? 0,2 0,3 0,2

Určete hodnotu pravděpodobnosti pro xi = 0, distribuční funkci a pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina nabude kladných hodnot. 23. Náhodná veličina X je dána tabulkou rozdělení pravděpodobnosti: xi pi

0 0,1

1 0,2

2 0,3

3 0,4

Určete distribuční funkci, střední hodnotu, modus, medián, rozptyl a směrodatnou odchylku náh. veličiny X. 24. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém ze čtyř výstřelů je 0,8. Nechť náhodná veličina X představuje počet zásahů cíle. a) určete rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny b) vypočtěte její střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku Náhodná veličina U je dána předpisem . Určete: c) střední hodnotu náhodné veličiny U, d) rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient náhodné veličiny U, c) pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny U, d) distribuční funkci náhodné veličiny U. 25. Ve městě byl po dobu 60 dnů evidován počet dopravních nehod v průběhu každého dne a podle počtu nehod v jednom dni vytvořena následující tabulka: Počet nehod/ den Počet dnů s uvedeným počtem nehod

0 4

Pro náhodnou veličinu počet nehod v jednom dni určete: a) pravděpodobnostní funkci b) distribuční funkci c) střední hodnotu d) směrodatnou odchylku e) modus xi 0 P(xi) 4/60 x F(x)

0

4/60

32/60

1 28

2 10

1 28/60

42/60

3 7

4 6

2 10/60

49/60

5 4

6 1

3 7/60

4 6/60

55/60

5 4/60

59/60

6 1/60

1

EX=2,0; DX=2,1; σX=1,5; mod X=1) 26. Výsledkem náhodného pokusu je náhodná veličina nabývající hodnot 1/n (n je přirozené číslo) n s pravděpodobnostmi výskytu nepřímo úměrnými 3 . Určete střední hodnotu této náhodné veličiny.


31

27. Hážeme dvěma hracími kostkami. Určete rozdělení pravděpodobnosti součtu hozených bodů, střední hodnotu, rozptyl, variační koeficient a modus. 28. Hážeme třikrát mincí. Náhodná veličina X znamená hození líce. Určete rozdělení pravděpodobnosti součtu hozených bodů, střední hodnotu, rozptyl, variační koeficient a modus. 29. Motýli jednoho zvláštního druhu mají na křídlech náhodně rozmístěn náhodný počet (0 až 4) teček. Pozorováním mnoha jedinců bylo zjištěno, že pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X (počet teček na křídlech motýla) má tyto hodnoty:

xi P(xi)

0 0,40

1 0,30

2 ???

3 0,10

4 0,05

a) Určete chybějící hodnotu pravděpodobnosti. b) Určete distribuční funkci, c) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný motýl bude mít: 1. Tři tečky 2. Alespoň dvě tečky 3. Alespoň jednu tečku, ale ne čtyři d) Určete střední hodnotu a modus náh. veličiny X (+slovně popište, co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě určují), e) Určete bezrozměrnou míru variability náhodné veličiny X. f) Určete pravděpodobnost, že ze tří náhodně chycených takových motýlů 1. budou mít všichni po jedné tečce 2. jeden nebude mít žádnou, jeden bude mít jednu a jeden dvě tečky 30. Tři dorostenci kopou po jednom pokutovém kopu. První bude úspěšný s pravděpodobností 0,8, druhý s pravděpodobností 0,7 a třetí s pravděpodobností 0,9. Určete rozdělení pravděpodobností celkového počtu vstřelených branek a jeho distribuční funkci, střední hodnotu a směrodatnou odchylku. 31. Student Plíva střílí do terče, přičemž má k dispozici neomezený počet nábojů. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu stejná, a to 0,9. Plíva střílí pouze do té chvíle, než poprvé zasáhne terč, pak střelbu ukončí. Označme X počet výstřelů. Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete její modus, střední hodnotu a směrodatnou odchylku. 32. Snažíme se potmě otevřít dveře svého bytu. V kapse máme deset klíčů, z toho právě jeden je od bytu. Náhodně tedy vybíráme a zkoušíme jeden klíč po druhém. Narazíme-li na klíč, který není od bytu, přendáme jej do druhé kapsy, čímž zajistíme, že žádný klíč nebude vybírán a zkoušen opakovaně. Nechť náhodná veličina X je definována jako počet testovaných klíčů potřebných k otevření bytu. a) Určete střední počet testovaných klíčů potřebných k otevření bytu (EX). b) Jak se změní řešení úlohy a), jestliže klíč vždy vrátíme do té kapsy, z níž jsme jej vyndali, a tudíž každý klíč vybíráme zcela náhodně ze stále stejné sady klíčů? c) Jak se změní řešení úlohy a), jestliže právě dva z klíčů jsou od bytu? 33. Každý z následujících tří grafů znázorňuje rozdělení pravděpodobností výsledku hodu hrací kostkou. Jednotlivé grafy přitom odpovídají různým hracím kostkám (nehomogenním). Pro kterou z kostek má modus (střední hodnota, směrodatná odchylka) výsledku nejmenší, resp. největší hodnotu?


32

1. kostka - Pravděpodobnostní funkce 5/6 4/6 P(x)

3/6 2/6 1/6 0 0

1

2

3

4

5

6

7

x

2. kostka - Pravděpodobnostní funkce 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 P(x) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

x

3. kostka - Pravděpodobnostní funkce 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 P(x) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

x

34. Nezávislé náhodné veličiny X a Y mají následující střední hodnotu a rozptyl: EX=1, EY=3, DX=4, DY=9. Definujme náhodné veličiny Z a Q jako Z=4X-2Y+12 a Q=-2X+Y-7. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodných veličin Z a Q. (EZ=10, EQ=-6, DZ=100, DQ=25) 35. Podnikatel s automaty potřebuje zjistit, jak často se má doplňovat automat na kávu novým zbožím. K tomu potřebuje určit jak střední počet prodaných šálků za den (nechť náhodná veličina X je tedy definována jako


33

počet prodaných šálků za den), tak i rozptyl náhodné veličiny X. Na základě minulých údajů o prodeji odhadl pravděpodobnostní rozdělení X takto: x P(x)

10 0,10

11 0,15

12 0,25

13 0,25

14 0,20

15 0,05

a) Určete střední hodnotu a rozptyl počtu prodaných šálků za den. b) Odhadněte v kolika dnech se v dubnu prodá více než 12 šálků za den. (EX=12,5; DX=1,9; v 15-ti dnech) 36. V loterii je každý měsíc slosováno 100 tisíc stíracích losů. Losy jsou nabízeny ve veřejném prodeji v ceně 3 Kč za kus. Seznam možných výher je popsán v následující tabulce: Počet výher Vyhraná částka

1 10 000

2 5 000

500 100

10 000 3

89 497 0

Vypočítejte střední hodnotu výhry pro jeden los a směrodatnou odchylku výher. 37. Zjistěte, zda je funkce P(x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a)

,

b)

,

c)

,

d)

,

e)

,

38. Pro jakou hodnotu c je funkce

Pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X? 39. Na základě údajů o prodeji v posledních 4 týdnech bylo spočteno, že počet zákazníků, kteří během jedné hodiny zakoupí nový nápoj v plechovce od firmy OLAC (náhodná veličina X), má rozdělení pravděpodobnosti dané tabulkou x P(x)

0 0,15

1 0,16

2 0,20

3 0,18

4 0,15

5 0,10

6 0,06

Určete: a) distribuční funkci náhodné veličiny X, b) , c) , d) , e) střední hodnotu náhodné veličiny X, f) směrodatnou odchylku náhodné veličiny X.


34

40. Známe distribuční funkci náhodné veličiny X:

Určete hodnoty pravděpodobnostní funkce P(x). 41. Favorizovaný kůň Bukaj ze stáje Ardno se zúčastnil tří dostihů, ve kterých se na základě výsledků z minulých sezón odhaduje pravděpodobnost jeho vítězství dle následující tabulky. Každý dostih je dotován cenou pro vítěze, která je rovněž uvedena v tabulce. Dostih Pravděpodobnost vítězství Cena pro vítěze v tis. Kč

Zlatá palma 0,40 500

Pohár vítězů 0,25 1 000

Zelená ratolest 0,30 750

Náhodná veličina X je celková vyhraná částka za ceny ve všech třech dostizích dohromady, přičemž výsledky v jednotlivých dostizích budeme považovat za nezávislé. Určete: a) pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X, b) hodnotu celkové částky, kterou může majitel Bukaje očekávat za vítězství v dostizích (střední hodnotu a směrodatnou odchylku X). 42. V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). Pravděpodobnost, že se porouchá 1.stroj je 0.2. Pravděpodobnost, že se porouchá 2.stroj je 0.3. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů. a) Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. b) Vypočtěte střední hodnotu a modus této náhodné veličiny. c) Vypočtěte rozptyl a směrodatnou odchylku této náhodné veličiny.

SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA 1.

Náhodná veličina X je charakterizována hustotou pravděpodobnosti ve tvaru: f ( x)

c(4 x

Určete hodnotu konstanty c, F(x), EX, DX a 2.

0

2x 2 )

0

x

2

jinde

x.

Nechť X je náhodná veličina definovaná pomocí hustoty f(x) takto:

a) Určete hodnotu c b) Určete P(X=1), P(X<3), P(X=0,5) (0,375; 0,5) 3.

Náhodná veličina Y je definována jako: Y = 3X + 1, kde X je náhodná veličina z předcházejícího příkladu. Určete f(y), F(y), EY, DY a y.

4.

Jaký je poměr mezi mediánem a střední hodnotou exponenciální náhodné veličiny?


35

5.

Určete medián náhodné veličiny s Weibullovým rozdělení, s lineárně rostoucí intenzitou poruch a s parametrem .

6.

Doba životnosti XA přístroje A (dána v rocích) má rozdělení s hustotou: 2 f x

x 0

2

2

pro x

0

pro x

0

zatímco doba životnosti XB přístroje B (dána v rocích) má rozdělení s hustotou: g x

128 3 x 8 0

pro x

0

pro x

0

Předpokládejme, že kritérium pro výběr přístroje je pravděpodobnost, že přístroj přežije funkční dobu T. V kterém případě, tj. pro jakou délku funkční doby T, je lepší zakoupit přístroj A a v kterém případě přístroj B? 7.

Náhodná veličina X má distribuční funkci

Jaké hodnoty může nabývat konstanta c? 8.

Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou hustotami: a) , b) , c) , d) , e) , f) . Mimo vymezený interval je nabízená funkce vždy rovna nule a c je vhodná konstanta. Pokud daná funkce je hustotou, tuto konstantu určete.

9.

Určete distribuční funkci náhodné veličiny, jejíž hustota pravděpodobnosti je:

10. Rozdělení náhodné veličiny X je dáno hustotou . Určete: a) b) Litschmannová, Neřešené příklady

36

c) EX, DX, σX d) modus mod X e) median x0,5 (0,25; 0; EX=-1/3=-0,333 DX=1/18=0,056 σX=0,236; 0; -0,293)

11. Náhodná veličina X má distribuční funkci

Určete její: a) hustotu pravděpodobnosti b) modus c) medián d) střední hodnotu a rozptyl e) 12. Náhodná veličina X je dána hustotou pravděpodobnosti

Určete: a) medián b) horní kvartil c) 10% ní kvantil 13. Náhodná veličina X má hustotu

Určete: a) parametr a b) distribuční funkci c) střední hodnotu a směrodatnou odchylku d) pravděpodobnost, že X se od své střední hodnoty neliší o více než 0,5; e) modus

(3/8;

; EX=1,5 σX=0,39; 0,875; 2)

14. Náhodná veličina má hustotu pravděpodobnosti:

Určete její střední hodnotu a rozptyl. (10; 100)


37

15. Náhodná veličina X je dána distribuční funkci:

Určete f(x), znázorněte graficky f(x), F(x) a P(1,5 ≤ X ≤ 4). 16. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar:

Určete distribuční funkci. 17. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar:

Určete koeficient c, distribuční funkci F(x) a P(X > 0,2). 18. Distribuční funkce náhodné veličiny X má tvar:

Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (0,1). 19. Je dána distribuční funkce:

Určete k této funkci: a) hustotu pravděpodobnosti f(x), b) 20. Určete: a) pro jaká A, B bude F(x) distribuční funkcí, b) příslušnou hustotu pravděpodobnosti. 21. Určete: a) pro jaká A, B bude F(x) distribuční funkcí,příslušnou hustotu pravděpodobnosti, b)


38

22. Určete: a) konstanty A, B tak, aby funkce

byla distribuční funkci, b) pravděpodobnost , c) hustotu pravděpodobnosti f(x). 23. Cauchyho rozdělení náhodné veličiny X definované pro všechna reálná čísla má distribuční funkci

Určete konstanty a, b, hustotu pravděpodobnosti a pravděpodobnost, že X leží v intervalu

.

24. Distribuční funkce Rayleighova rozdělení spojité náhodné veličiny má tvar:

Určete konstantu C a hustotu pravděpodobnosti f(x). 25. Distribuční funkce arkussinového rozdělení pravděpodobnosti má tvar:

Určete konstanty a, b a hustotu pravděpodobnosti f(x). 26. Je funkce a) b) ?

distribuční funkcí náhodné veličiny X v intervalu:

27. Náhodná veličina X je určena distribuční funkcí:

Určete: a) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X, b) pravděpodobnost c)

nakreslete grafy hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce.

28. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny má tvar:

Určete konstantu C,


a distribuční funkci.

39

29. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti:

Určete střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku. 30. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti:

Určete: a) b) c) d) e)

distribuční funkci střední hodnotu rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient modus median

31. Určete střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X, jejíž distribuční funkce má tvar:


Určete: a) b) c) d) e) f)

distribuční funkci pravděpodobnosti: , , střední hodnotu rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient modus 30% ní kvantil


a) b) c) d) e) f) g)

Graficky znázorněte hustotu pravděpodobnosti, Určete a zakreslete distribuční funkci, Určete pravděpodobnosti: , , Vypočtěte střední hodnotu, Vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient, Určete modus, Určete horní kvartil.


,

40

Náhodná veličina U je dána předpisem . Určete: h) střední hodnotu náhodné veličiny U, i) rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient náhodné veličiny U, j) distribuční funkci náhodné veličiny U, k) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny U. 34. Náhodná veličina X má distribuční funkci:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Načrtněte graf distribuční funkce, Určete hustotu pravděpodobnosti a načrtněte její graf, Určete a zakreslete distribuční funkci, Určete pravděpodobnosti: , , distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti. Vypočtěte střední hodnotu, Vypočtěte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient, Určete modus, Určete druhý decil.

a

35. Funkce má být hustotou rozložení pravděpodobnosti pro a) konstantu C, b) distribuční funkci F(x), c) střední hodnotu příslušné náhodné veličiny, d) rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient, e) modus, f) medián, g) pravděpodobnost P(X<1).

vyznačte v grafech

. Určete:

Náhodná veličina U je dána předpisem . Určete h) střední hodnotu náhodné veličiny U, i) rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient náhodné veličiny U, j) distribuční funkci náhodné veličiny U, k) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny U. 36. Funkce je funkcí hustoty rozložení pravděpodobnosti pro a) konstantu A, b) distribuční funkci F(x) c) střední hodnotu E(X) d) rozptyl D(X)

. Určete:

37. Distribuční funkce náhodné veličiny X má tvar

Určete: a) konstanty A, B b) hustotu pravděpodobnosti f(x) c) střední hodnotu E(X) d) rozptyl D(X).


41

38. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, která má hustotu pravděpodobnosti ve tvaru (Laplaceovo rozložení). 39. Mějme náhodnou veličinu X, jejíž hustota pravděpodobnosti je dána funkci

Určete konstantu A, střední hodnotu a směrodatnou odchylku. 40. Odvoďte střední hodnotu exponenciální náhodné veličiny. 41. Odvoďte medián exponenciální náhodné veličiny. 42. Odvoďte dolní kvartil exponenciální náhodné veličiny. 43. Určete poměr mezi mediánema střední hodnotou exponenciální náhodné veličiny. 44. Odvoďte intenzitu poruch Weibullova rozdělení. 45. Určete medián a 10%-ní kvantil náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 10s. 46. Určete šikmost náhodné veličiny, která má Poissonovo rozdělení s parametrem 1.


42

NÁHODNÝ VEKTOR TEST 1.

Určete, zda jsou pravdivé následující výroky. a) Náhodný vektor je definován jako dvourozměrný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny. b) Sdružené rozdělení popisuje rozdělení náhodného vektoru. c) Marginální rozdělení popisuje rozdělení jednotlivých složek náhodného vektoru. d) Je-li , pak . e) . f) Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují vztah mezi náhodnými veličinami, které tvoří jeho složky. g) Kovariance je mírou závislosti náhodných veličin. h) Je-li , pak jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. i) Je-li , pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. j) Je-li , pak jsou náhodné veličiny X a Y nekorelované. k) Jsou-li náhodné veličiny X a Y nekorelované, jsou lineárně nezávislé. l) . m) . n) .

Výsledky testu 1.

NE (Náhodný vektor může být i vícerozměrný.), b) ANO, c) ANO, d) NE , e) NE , f) NE (Marginální charakteristiky náhodného vektoru popisují jednotlivé složky náhodného vektoru), g) NE, h) NE (Je-li , mohou, ale nemusí být náhodné veličiny X a Y nezávislé.), i) ANO, j) ANO, k) ANO, l) NE , m) ANO, n) ANO.

DISKRÉTNÍ NÁHODNÝ VEKTOR 1.

Náhodný vektor (X,Y) má pravděpodobnostní funkci zadanou tabulkou:

X\Y -1 0 1

1 0,15 ? 0,05

2 0,05 0,10 0,10

3 0,10 0,15 0,20

Určete a) Chybějící hodnotu sdružené pravděpodobnostní funkce b) P(X = 0,Y = 3) c) P(X < 0,5,Y < 2,5) d) P(X > 0,Y > 2,5) Litschmannová, Neřešené příklady

43

e) P(X=0|Y=3) f) marginální rozdělení (marginální pravd. funkce náh. veličiny X a náh. veličiny Y) g) F(0,5; 2.3) h) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X i) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Y j) kovarianci a koeficient korelace K řešení můžete použít libovolný software. 2.


X\Y 3 5 7

1 0,01 0,04 0,12

2 0,02 0,16 0,07

3 0,03 ? 0,06

4 0,25 0,05 0,01

Určete a) Chybějící hodnotu sdružené pravděpodobnostní funkce b) P(X = 5,Y = 2) c) F(7,1;2,8) d) P(X=5|Y=4) e) P(Y<3,8) f) marginální rozdělení (marginální pravd. funkce náh. veličiny X a náh. veličiny Y) g) FX(5,3) h) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X i) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Y j) kovarianci a koeficient korelace K řešení můžete použít libovolný software. 3.


X\Y 3 5 7

1 0,01 0,04 0,12

2 0,02 0,16 0,07

3 0,03 ? 0,06

4 0,25 0,05 0,01

Určete a) Chybějící hodnotu sdružené pravděpodobnostní funkce b) P(3;3) c) F(6,1;3,8) d) P(Y=3|X=5) e) P(X<5,8) f) marginální rozdělení (marginální pravd. funkce náh. veličiny X a náh. veličiny Y) g) FY(3,3) h) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X i) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Y j) kovarianci a koeficient korelace K řešení můžete použít libovolný software. 4.


Y\X 3 5 7

1 0,06 0,04 0,12

2 0,04 0,16 0,08


3 0,03 ? 0,06

4 0,25 0,05 0,01

44

Určete: a) Chybějící hodnotu sdružené pravděpodobnostní funkce b) P(3;5) c) F(2,8;7,1) d) P(X=4|Y=5) e) P(Y<3,8) f) marginální rozdělení (marginální pravd. funkce náh. veličiny X a náh. veličiny Y) g) FX(3,3) h) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X i) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Y j) kovarianci a koeficient korelace K řešení můžete použít libovolný software. 5.

Náhodný vektor (X,Y) má pravděpodobnostní funkci zadanou tabulkou

Y\X 3 5 7

1 0,06 0,04 0,12

2 0,04 0,16 0,08

3 0,03 ? 0,06

4 0,25 0,05 0,01

Určete: a) Chybějící hodnotu sdružené pravděpodobnostní funkce b) P(3;3) c) F(3,6;4,8) d) P(Y=3|X=4) e) P(X<3,8) f) marginální rozdělení (marginální pravd. funkce náh. veličiny X a náh. veličiny Y) g) FY(5,3) h) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X i) střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny Y j) kovarianci a koeficient korelace K řešení můžete použít libovolný software.


45

ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO DISKRÉTNÍ A SPOJITOU NV 1.

Rozdělení pravděpodobnosti se nazývá aditivní v případě, že součet dvou nezávislých náhodných veličin Z=X+Y má stejné rozdělení pravděpodobnosti jako náhodné veličiny X a Y (s případnou změnou parametrů). Které z následujících rozdělení není aditivní? a) Poissonovo b) Chi-kvadrát c) Exponenciální d) Gamma e) Normální

ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ 1.

V továrně se vyrobí denně 10% vadných součástek. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme-li tři součástky z denní produkce, tak nejméně dvě budou vadné?

2.

Student složí zkoušku, jestliže v testu odpoví správně alespoň na čtyři z pěti otázek. U každé otázky jsou čtyři možné odpovědi, z nichž jediná je správná. S jakou pravděpodobností student složí zkoušku, jestliže se vůbec nepřipravoval a odpovědi volil náhodně?

3.

Student se má ke zkoušce naučit 60 otázek. Z nedostatku času se naučil jen 40. U zkoušky si vylosuje 3 otázky. S jakou pravděpodobností: a) bude umět alespoň dvě otázky? b) nebude umět ani jednu otázku?

4.

Výrobce televizorů ze zkušenosti ví, že během záruční doby (1 rok) se porouchá jeden televizor z deseti. Místo toho, aby sám na své náklady opravoval v záruční době porouchané televizory (průměrná cena opravy je 1.000,-Kč), nabízí prodejcům prémii 200,-Kč za každý prodaný televizor s tím, že prodejci zajistí potřebné opravy sami. První prodejce, který prodává v průměru 100 přijímačů za rok, je spokojen, druhý, který prodává v průměru jen 20 televizorů za rok, spokojen není. Vysvětlete proč.

5.

Bridž se hraje s 52 bridžovými kartami, které se rozdají mezi 4 hráče. Vždy 2 hráči hrají spolu. Při rozdávání jste dostali do rukou 2 esa. Jaká je pravděpodobnost, že váš partner bude mít zbývající dvě esa?

6.

Sekretářka udělá v průměru v jednom z desetitisíce úderů překlep. Předpokládejme, že stránka má 40 řádek a na každém řádku je 80 znaků. S jakou pravděpodobností sekretářka neudělá ve dvoustránkovém textu ani jeden překlep?

7.

Z dlouhodobých záznamů víme,že pravděpodobnost toho, že student složí zkoušku je 60%. Dnes se ke zkoušce dostavilo 25 studentů. a) Jaká je pravděpodobnost, že zkoušku dnes složí vice než 20 studentů? b) Kolik studentů dnes složí zkoušku nejpravděpodobněji a jaká je tato pravděpodobnost?

8.

V určité firmě bylo zjištěno, že na 33% počítačů je nainstalován nějaký nelegální software. Jaká je pravděpodobnost, že externí kontrola mezi 10-ti náhodně vybranými počítačíi nenajde více než 3 s nelegálním softwarem?

9.

V zásilce 100 výrobků je 80 výrobků 1. jakosti a 20 výrobků 2. jakosti. Vybíráme třikrát po jednom výrobku a výrobek vždy vracíme zpět. Určete pravděpodobnost, že všechny vybrané výrobky budou 1. jakosti. (0,512)


46

10. Najděte pravděpodobnost toho, že mezi 200 výrobky se vyskytnou více než tři zmetky, když v průměru je zmetkovitost výroby těchto výrobků 1 %. (0,142) 11. 8 dělníků potřebuje někdy k práci elektrický přístroj. Napětí v síti je určeno pro 5 jednotek energie . Každý dělník se stejnou pravděpodobností může potřebovat jednotku energie. Určete pravděpodobnost přetížení sítě, jestliže nezávisle na sobě pracují a každý z nich potřebuje přístroj průměrně 10 minut během hodiny. 12. Automobil má na trase 4 semafory. Každý z nich přikazuje zastavit s pravděpodobností 0,7. Určete, za předpokladu, že se semafory zapínají nezávisle na sobě, střední hodnotu počtu semaforů projetých do prvního zastavení. 13. V radioaparatuře se za 10 000 hodin nepřetržitého provozu mění 10 součástek . Určete pravděpodobnost, že během 100 hodin nepřetržitého provozu dojde k poruše. 14. Co je pravděpodobnější - vyhrát se stejně silným soupeřem ve hře bez remíz alespoň 4 partie z 5 nebo alespoň 5 z 8? 15. Zařízení se skládá ze stejně spolehlivých 1000 částí. Pravděpodobnost poruchy každé části je 0,001. Jaká je pravděpodobnost poruchy, která nastane při poruše alespoň 1 části? 16. Pravděpodobnost, že libovolný abonent zavolá na ústřednu během hodiny, je 0,005. Ústředna obsluhuje 600 abonentů . Jaká je pravděpodobnost, že během hodiny zavolá 5 účastníků? 17. Závod produkuje v průměru 99,8% kvalitních výrobků a 0,2% zmetků. Jaká je pravděpodobnost , že mezi 500 náhodně vybranými výrobky je počet zmetků větší než 3? (0,019) 18. Dělo vystřelí 6x na cíl . Pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu je 0,25. Na zničení cíle stačí 2 zásahy, při jednom zásahu je cíl zničen s pravděpodobností 0,7. Určete pravděpodobnost zničení cíle. 19. Jaká musí být pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu , aby pro 4 výstřely platilo : P(X=0) = P(X=1) ? 20. Zkušební lístek se skládá z 5 otázek. U každé jsou uvedeny 3 odpovědi, z nichž je třeba vybrat jednu správnou. Jaká je pravděpodobnost, že se metodou hádání podaří zodpovědět aspoň 4 otázky dobře? 21. Určete pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu a počet provedených výstřelů, jestliže průměrný počet zásahů je 240 a směrodatná odchylka veličiny, která charakterizuje počet zásahů, je 12. (0,4;600) 22. Na stůl vysypeme 15 mincí. Jaká je pravděpodobnost, že počet mincí ležících lícem nahoře, je od 8 do 15? 2

23. Oblast o rozloze 200 km je ostřelována s rovnoměrným rozdělením bodů dopadu střel. Uvnitř oblasti 2 náhodně vybereme území o rozloze 0,5 km . Určete pravděpodobnost, že na zvolené území nepadnou méně než 4 střely, jestliže bude vystřeleno celkem 600 krát. 24. Přístroj se skládá z 1000 dílů. Během jednoho roku se jeden díl porouchá s pravděpodobností 0,001. Tato pravděpodobnost nezávisí na stavu ostatních dílů. Jaká je pravděpodobnost, že se za rok porouchají dva díly resp. aspoň dva díly. ( 0,184; 0,264 ) 25. Zahradnictví prodává sazenice dosud nevykvetlých růží. Z dlouhodobých zkušeností je známo, že 95% takových sazenic vykvete bíle, ale zbylých 5% nikoliv. Růže jsou prodávány v krabicích po 5 kusech, celkové náklady na jednu krabici jsou 100 Kč. Zahradnictví se zavázalo, že v případě, že z jedné krabice vykvetou


47

aspoň dvě růže jinak než bíle, vrátí zákazníkovi peníze za všech 5 sazenic. Jakou cenu jedné krabice by mělo za těchto podmínek zahradnictví stanovit? (vyšší než 102,3 Kč)

HYPERGEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ 1.

Určitý typ součástek je dodáván v sériích po 200 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků? Kontrola je prováděna tak, že výrobek je podroben destrukční zkoušce.

2.

Kamarád vás pošle do sklepa, abyste donesl(a) 4 lahvová piva – z toho dvě desítky a dvě dvanáctky. Nevíte, kde rozsvítit, proto vezmete z basy poslepu 4 láhve. S jakou pravděpodobností jste vyhověl(a), víte-li, že v base bylo celkem 10 desítek a 6 dvanáctek?

3.

Velkoobchod přebírá dodávky akumulátoru tak, že z každé dodávky náhodně vybere a zkontroluje 5%. Celou dodávku pak vrátí výrobci jako nevyhovující, obsahuje-li kontrolovaný vzorek více než 6% nevyhovujících akumulátorů. S jakou pravděpodobností bude dodávka 600 akumulátorů, obsahující 30 nevyhovujících převzata jako vyhovující?

4.

Ve městě, které má 150.000 obyvatel, bydlí v určité ulici 250 osob. Za účelem sociologického průzkumu bylo náhodně vybráno 300 osob. S jakou pravděpodobností jsou mezi vybranými dva nebo více osob ze zmiňované ulice?

5.

V balíčku 100 CD je 9 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že se nám data nepodaří zálohovat ani na jedno z náhodně vybraných 6-ti CD?

6.

Předpokládejme, že v zásilce 1000 výrobku je 1% vadných výrobku. Odběratel vybere a zkontroluje 50 výrobků. a) Určete pravděpodobnost, že ve výběru nebude žádný vadný výrobek. b) Určete pravděpodobnost, že ve výběru bude právě jeden vadný výrobek. c) Určete pravděpodobnost, že ve výběru budou nejvýše dva vadné výrobky. d) Kolik výrobků musí odběratel vybrat, aby pravděpodobnost nalezení alespoň jednoho vadného výrobku byla 60%? (60,5%; 30, 6%; 98,6%; 92)

7.

Jaká je pravděpodobnost, že odběratel příjme zásilku 1000 výrobků obsahující 5% vadných výrobku, pokud kontrolu provádí následujícím postupem? Odběratel vybere 20 výrobků a pokud není ve výběru vadný zásilku přijme, pokud jsou ve výběru 2 a více vadných výrobků - zásilku odmítne, jinak provede další výběr rozsahu 20 a zásilku přijme pouze v případě, že jsou všechny výrobky v druhém výběru bezvadné. (49,38%)

8.

Při výstupní kontrole se z každých 100ks výrobků vybírá 30. Určete střední hodnotu a rozptyl počtu nekvalitních výrobků mezi těmito 30 kusy, je-li zmetkovitost výroby 2 %. (0,6; 0,416)

9.

Ke 400 šroubům M10 bylo omylem přimícháno 100 šroubů M8. a) Jaké bude rozdělení pravděpodobnosti, že při náhodném výběru 5 šroubů bude m = 1, 2, ..., 5 šroubů správného rozměru? b) Pro montáž přístroje potřebuje pracovník 4 šrouby rozměru M10. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými 5 šrouby budou alespoň 4 s požadovanými vlastnostmi?

10. V dodávce 80 polotovarů je 8 (tj. 10 %) vadných. Náhodně vybereme (najednou, tj. "bez vracení") 5 kusů polotovarů k další kompletaci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými prvky bude maximálně jeden vadný? (0,92437)


48

11. Ke kontrole v továrně je připraveno 100 výrobků. Z nich se náhodně vybírá 20 kusů. Určete střední hodnotu a rozptyl počtu zmetků ve vybraných dvaceti výrobcích, víme-li, že zmetkovitost výroby je 3 %. 2 (p(x) = Cx(3).C20-x(100-3), n = 20, p = 0,03, x = n.p = 0,6, σ = n.p.q.(N-n)/(N-1)=0,470) 12. Každá dodávka výrobků má 100 kusů. Při přejímce výrobků se z každé dodávky náhodně bez vracení vybere 15 výrobků. Dodávka bude přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky bude nejvýše 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že dodávka bude přijata, jestliže obsahuje 20 zmetků ? (0,1453) 13. Z 50 000 vysavačů je 47 500 vysavačů bezvadných , zbytek vyžaduje určitou úpravu. Náhodně zkontrolujeme 10 vysavačů . Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň 1 vysavač, který bude vyžadovat úpravu, jestliže výběr provedeme bez vracení? ( 0,401 )

NEGATIVNĚ BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ (RESP. GEOMETRICKÉ ROZDĚLENÍ) 1.

Revizor ze zkušenosti ví, že zhruba v 26% tramvají při kontrole najde černého pasažéra. Kolik tramvají musí zkontrolovat, aby alespoň s 95% pravděpodobností našel alespoň jednoho černého pasažéra?

2.

Pravděpodobnost, že se dovoláme do studia rozhlasové stanice, která právě vyhlásila telefonickou soutěž je 0,08. Jaká je pravděpodobnost, že se dovoláme nejvýše na 4. pokus?

3.

Dva hráči se střídají a házejí hrací kostkou. Vyhrává ten, kterému padne šestka. Jaká je pravděpodobnost výhry jednotlivých hráčů? (ten, kdo začíná vyhraje s pravděpodobností 0,545)

POISSONOVO ROZDĚLENÍ 1.

Průměrný počet nehod během víkendu (na určitém úseku dálnice) je 1. Jaká je pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně zvolenými víkendy bude alespoň jeden, v němž se stala alespoň jedna nehoda? (Počty nehod v jednotlivých víkendech jsou nezávislé.)

2.

K holiči chodí v průměru čtyři zákazníci za hodinu. S jakou pravděpodobností během půl hodiny přijde alespoň jeden zákazník?

3.

V jednom mililitru určitého dokonale rozmíchaného roztoku se v průměru nachází 15 určitých mikroorganismů. Určete pravděpodobnost, že při náhodném výběru vzorku o objemu 1/2 mililitru bude ve zkumavce méně než 5 těchto mikroorganismu.

4.

Hodinová dopravní intenzita na určitém místě dálnice v určitou denní dobu je 300 vozidel. S jakou pravděpodobností projede tímto místem během jedné minuty více než 6 vozidel?

5.

Telefonní ústředna spojí za hodinu v průměru 30 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že během dvouminutového výpadku proudu nepřijde do ústředny ani jeden hovor.

6.

Při provozu balícího automatu vznikají během směny náhodné poruchy. Ze zkušenosti víme, že během směny dochází v průměru ke 2 poruchám. Jaká je pravděpodobnost, že během 24 hodin (třísměnného provozu) nedojde ani jednou k poruše?

7.

Pracovníci přicházejí k terminálu nezávisle na sobě, v průměru dva za hodinu. Jaká je pravděpodobnost příchodu více než dvou pracovníků během dvouhodinového intervalu?

8.

Televizní přijímač od určitého výrobce má v průměru 10 poruch za 10.000 hodin provozu. S jakou pravděpodobností nastane alespoň jedna porucha během 200 hodin provozu?


49

9.

V období silného provozu spojí telefonní ústředna za určitý časový interval t průměrně 8 hovorů. Určete pravděpodobnost, že během intervalu t spojí ústředna a) nejvýše 5 hovorů; b) alespoň 10 hovorů; c) nejvýše 12 hovorů, pokud víme, že hovorů bylo nejméně 5. (19,1%; 28,3%; 92,89%)

10. Předpokládejme, že počet obsloužených zákazníků během 1 hodiny v jisté prodejně je náhodná veličina X s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti se střední hodnotou 15. Určete, s pravděpodobností alespoň 95%, maximální počet zákazníku obsloužených během 1 hodiny. (22) 11. Během první půlhodiny bylo obslouženo 10 zákazníků. Jaká je pravděpodobnost, že během první hodiny bude obslouženo více než 20 zákazníků? (44,1%) 12. Za jasných letních nocí můžeme v průměru každých 10 minut vidět "padat hvězdu". Jaká je pravděpodobnost, že během 15 minut uvidíme dvě "padající hvězdy"? 13. Při výrobě aluminiových odlitků byla zkoumána bublinatost na vymezené ploše odlitků. Zkoumání bylo provedeno na souboru 250 odlitků, u nichž bylo zjištěno celkem 340 bublin. Vyjádřete rozdělení pravděpodobnosti počtu bublin na jednom odlitku. (λ = 340/250 =1,4, Poissonovo rozložení) 13. Televizor má za 10 000 hodin chodu v průměru 10 poruch. Určete pravděpodobnost poruchy za 200 hodin chodu. (P(x ≠0) = 0,181269) 14. Průměrný počet poruch elektronické aparatury za 10 000 hodin provozu je 10. Určete pravděpodobnost poruchy aparatury za 100 hodin práce. (1 - e-0,1 = 0,095) 15. Aparatura obsahuje 2 000 stejně spolehlivých součástek, u nichž je pravděpodobnost poruchy p = 0,0005. Jaká je pravděpodobnost poruchy aparatury, která přestane pracovat i při poruše jediné součástky? (1 - e-1 ≈ 0,63) 16. Pravděpodobnost toho, že výrobek nevydrží zátěž, je 0,001. Najděte pravděpodobnost toho, že z 5 000 výrobků více než jeden nevydrží zatížení. Srovnejte výsledky získané pomocí rozložení binomického a Poissonova. (0,960) 17. Korektura 500 stránek obsahuje 500 nalezených tiskových chyb. Najděte pravděpodobnost toho, že na stránce jsou nejméně tři chyby. (0,080) 18. Při pokusech vyzářila radioaktivní látka během 7,5s průměrně 3,87 α - částice. Určete pravděpodobnost, že za 1s vyzáří tato látka alespoň jednu α - částici. (0,4) 19. Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele. Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy: a) Nebude žádný plevel, b) Vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele, c) Vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele. (0,018; 0,434; 0,32)


50

20. Čerpací stanice obslouží v průměru 72 automobilů za 1 hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během příštích 5 minut obslouží stanice aspoň 7 automobilů ? (0,3937)

ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 1.

Hustota rozdělení pravděpodobnosti je definována vztahem :

Určete : a) hodnotu parametru a b) distribuční funkci c) 2.

Hustota rozdělení pravděpodobnosti NV X je dána vztahem :

Určete : a) konstantu a b) střední hodnotu, modus, medián a rozptyl NV X 3.

Určete distribuční funkci, střední hodnotu, medián a směrodatnou odchylku náhodné veličiny definované pomocí své hustoty f(x).

ROVNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ 1.

Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,2). Určete: a) f(x) b) F(x) c) d) EX, DX, σX

2.

Tramvajová linka číslo 8 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 10 minut. Vypočtěte pravděpodobnost, že na ni budete dopoledne čekat: a) déle než 7 minut, b) méně než 2 minuty, c) přesně 5 minut.

3.

Náhodná veličina X má rovnoměrného rozdělení na intervalu (0; 2). Určete hustotu pravd2podobnosti f(x), distribuční funkci F(x) a pravděpodobnost P(0 < X < 0,5).

4.

Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s EX=1 a DX=3. Určete hustotu pravděpodobnosti NV X.

5.

Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení a EX=3 a DX= 4/3. Určete distribuční funkci NV X.


51

6.

Trolejbusy MHD odjíždějí ze stanice v pětiminutových intervalech. Cestující může přijít na stanici v libovolný okamžik. Určete střední hodnotu a rozptyl doby čekání na odjezd ze stanice. Spočítejte dále pravděpodobnost, že bude cestující čekat nejvýše 0,5 minuty. (2,5; 25/12; 0,1)

EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ 1.

Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat déle než 550 hodin?

2.

Životnost žárovky má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 400h. S jakou pravděpodobností bude žárovka svítit dalších 100 hodin, jestliže již svítila 600 hodin?

3.

Odhadujeme, že střední životnost určitého přístroje je 110 dnů. S jakou pravděpodobností bude životnost náhodně vybraného přístroje mezi 100 a 150 dny?

4.

Průměrná doba mezi příjezdy nákladních automobilů s betonovou směsí je 10 minut. Jaká je pravděpodobnost, že doba mezi příjezdy dvou vozidel bude kratší než 7 minut?

5.

Doba do vybití baterie se řídí exponenciálním rozdělením. a) Jaká je střední doba do vybití, víme-li, že 4000 hodin přežije 1% těchto baterií? b) Je-li střední doba do vybití 3.150 hodin, kolik procent těchto baterii přežije 4000 hodin?

6.

Životnost integrovaného obvodu XX podléhá exponenciálnímu rozdělení Exp(0,2). Jaká je pravděpodobnost, že životnost náhodně vybraného integrovaného obvodu XX bude kratší než je průměrná životnost tohoto int. obvodu?

7.

Doba do poruchy má intenzitu poruch 0,02. Určete: a) Střední dobu do poruchy b) Pravděpodobnost, že po dobu 80 hodin nedojde k poruše

8.

Doba bezporuchového chodu zařízení má střední hodnotu 700 hodin. Zařízení se nachází v období stabilního života. Určete dobu, během níž nedojde s pravděpodobností 0,8 k poruše.

9.

Životnost zařízení se řídí exponenciálním rozdělením s distribuční funkcí

a) Jaká je střední životnost tohoto zařízení? b) Jakou záruční dobu stanoví výrobce, nemá-li počet reklamovaných výrobků překročit 10%? 10. Do 60 minut je v opravně pana Malého opraveno 30% televizorů. Jaká je průměrná doba opravy televizoru v této opravně? 11. Jaký je podíl střední hodnoty a mediánu u exponenciálního rozdělení? 12. Doba do poruchy má exponenciální rozdělení s parametrem λ. Porouchané zařízení je za dobu t opraveno a znovu uvedeno do provozu. Jaká je pravděpodobnost, že mezi sousedními poruchami uběhne více času než 3t? 13. Střední doba bezporuchové práce dvou zařízení pracujících nezávisle s exponenciálním rozdělením je 750 a 800 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že obě vydrží pracovat déle než 1000 hodin? 14. Doba čekání hosta na pivo je v restauraci U Hodže průměrně 5 minut. Určete: a) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny, která je dána dobou čekání na pivo b) pravděpodobnost, že budeme čekat na pivo déle než 10 minut Litschmannová, Neřešené příklady

52

c)

dobu čekání, během které bude zákazník obsloužen s pravděpodobností 95%

WEIBULLOVO ROZDĚLENÍ

NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ 1.

Roční úhrn srážek (v mm) má normální rozdělení se střední hodnotou 300mm a směrodatnou odchylkou 25mm. Jaká je pravděpodobnost, že letos bude roční úhrn srážek nižší než 250mm a příští rok vyšší než 350mm? (Roční úhrny srážek v jednotlivých letech jsou nezávislé).

2.

Nechť X je normální náhodná veličina se střední hodnotou a s rozptylem pravděpodobnost, že při měření dané veličiny se dopustíme chyby menší než 2 ?

3.

Doba vypracování testu má normální rozdělení se střední hodnotou 60minut a směrodatnou odchylkou 10minut. Kolik % studentů dokončí test do hodiny a čtvrt?

4.

Doba vypracování testu má normální rozdělení se střední hodnotou 60 minut a směrodatnou odchylkou 10 minut. Jaká doba by měla být stanovena, aby test dokončilo průměrně 95% studentů?

5.

Při kontrole jakosti přebíráme součástku pouze tehdy, jestliže se její rozměr pohybuje v mezích 26-27mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou 26,4mm a směrodatnou odchylkou 0,2mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky náhodně vybrané ke kontrole bude v požadovaných mezích?

6.

Firma získá z každého prodaného výrobku 100,-Kč. Za výměnu během záruční lhůty zaplatí 300,-Kč. Životnost výrobku v letech má normální rozdělení N(3;1). Jakou záruční dobu v měsících má firma stanovit, aby střední (průměrný) zisk byl alespoň 60,-Kč/výrobek?

7.

Chybu při měření určité veličiny modelujeme normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou a s rozptylem 1,5. Určete interval (souměrný podle počátku), ve kterém se bude nacházet chyba v 90% měření.

8.

Obsah nečistot v odpadních vodách je popsán normálním rozdělením se střední hodnotou 0,18 a směrodatnou odchylkou 0,03. Vypočtěte: a) procento zkoušek, při kterých obsah nečistot překročí hodnotu 0,24. b) hodnotu obsahu nečistot, která bude překročena v 1% zkoušek.

9.

Váha výrobků je hodnocena jako vyhovující, pohybuje-li se v rozmezí 0,85 kg až 1,10 kg. Za standardních podmínek váha výrobku podléhá normálnímu rozdělení se střední hodnotou 1,00 kg a směrodatnou odchylkou 0,05 kg. Jaká je pravděpodobnost, že váha náhodně vybraného výrobku bude v předepsaných mezích?

2

. Jak odhadnete

10. Ve strojírenském závodě se vyrábějí určité součástky, jejichž rozměry mají nahodilé odchylky řídící se normálním zákonem rozložení s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou 4 mm. Výrobky s odchylkou menší než 5 mm se zařazují do vyšší jakostní třídy. Určete střední hodnotu počtu výrobků zařazených do vyšší jakostní třídy z daných 4 výrobků. (normální + binomické r., 3,1552 ≈ 3) 11. Náhodná veličina X má rozdělení N(0, 1). Určete: a) P(X < 2,31) b) P(X < -1,1) c) P(-0,41 < X < 2,92) (0,98956; 0,13567; 0,65735) Litschmannová, Neřešené příklady

53

12. Náhodná veličina má rozdělení pravděpodobnosti: a) N(0, 1) b) N(0, 4) c) N(1, 4) Určete v případě a) P(|X| < 0,7); b), c) P(X < -0,5). Načrtněte graf f(x) a vypočtené pravděpodobnosti znázorněte. (0,51608; 0,40129; 0,22663) 13. Délka výrobku v mm má N(68,3; 0,04). Jaká je pravděpodobnost, že délka náhodně vybraného výrobku bude mezi 68 a 69 mm? 14. Výsledky měření jsou zatíženy jen normálně rozdělenou chybou s nulovou střední hodnotou a se směrodatnou odchylkou 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že při 3 měřeních bude alespoň jednou chyba v intervalu (0; 2,4)? (normální rozdělení + binomické rozdělení; 0,639) 15. Výsledky radarového měření jsou zatíženy chybou s nulovou střední hodnotou, která s pravděpodobností 95% nepřesahuje ±20m. Určete směrodatnou odchylku měření. 16. Výrobky jsou považovány za prvotřídní, pokud odchylka od předepsané délky nepřekročí 1,5 mm. Jestliže odchylka má rozdělení N(0; 2), kolik prvotřídních výrobků lze očekávat mezi 100 výrobky? 17. Chyba při měření vzdálenosti má N(0; 1370). Kolikrát je třeba měření opakovat, má-li s pravděpodobností 0,9 být alespoň jedna chyba menší než 5? (normální rozdělení + binomické rozdělení) 18. Jaký rozptyl mají normálně rozdělená měření, která se s pravděpodobností 0,45 neodchylují od správné hodnoty o více než 30m?

19. Měření je zatíženo chybou -0,3 cm. Náhodné chyby měření mají normální rozdělení pravděpodobnosti se směrodatnou odchylkou σ = 0,5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že chyba měření nepřekročí v absolutní hodnotě trojnásobek směrodatné odchylky? (0,99164) 20. Kolik procent hodnot náhodné veličiny X s rozdělením N(0, 1) leží mimo interval (-2, 2)? (4,55) 21. Jakou je nutno stanovit toleranci, aby pravděpodobnost, že průměr pískového zrna překročí toleranční -2 hranici, byla maximálně 0,45326, jestliže odchylky od středu tolerance (v 10 mm) mají normální rozdělení N(0, 144). (7,2.10-2) 22. Váha v uhelných skladech váží s chybou 30 kg, přičemž snižuje váhu. Náhodné chyby mají normální rozdělení pravděpodobnosti se = 100kg. Jaká je pravděpodobnost, že chyba zjištěné váhy nepřekročí v absolutní hodnotě 90kg? (0,61068) 23. Doba potřebná k uzavření láhve s kompotem na automatickém stroji má normální rozdělení se střední hodnotou 2 sekundy a se směrodatnou odchylkou 0,9 s. S jakou pravděpodobností bude tato doba převyšovat 3 sekundy? (0,1335) 24. Firma dodává své výrobky se záruční dobou 5 let. Na každém výrobku, který prodá , má firma zisk 450 Kč. Pokud se výrobek v záruční době porouchá, firma výrobek vymění, čímž ztratí 1 000 Kč. Předpokládejme, že životnost výrobku se řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 7 let a se směrodatnou odchylkou dva roky a že více než jedna výměna nepřichází v úvahu. Vypočítejte : Litschmannová, Neřešené příklady

54

a) Průměrný zisk za prodaný kus, b) Délku záruční doby, aby průměrný zisk z prodaného výrobku činil 400 Kč. ( 291,3 Kč; 3,71 let ) 25. Při prodeji vánočních kaprů má hmotnost kapra v jedné kádi přibližně normální rozdělení se střední hodnotou 2,3 kg a se směrodatnou odchylkou 0,3 kg. Jaký podíl kaprů přesáhne v této kádi svojí hmotností 2,5 kg. (0,251) 26. Bylo zjištěno, že pevnost v tahu určitého druhu výrobku má normální rozdělení se střední hodnotou 200 jednotek a se směrodatnou odchylkou 40 jednotek. Každý výrobek je před expedicí testován a ty výrobky , jejichž pevnost v tahu je větší než 220 jednotek, jsou označovány za velmi kvalitní. Vypočítejte pravděpodobnost vyrobení velmi kvalitního výrobku. (0,3085) 27. Náhodná veličina X představující chybu měření má normální rozdělení N(3;4) . Určete: a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota náhodné veličiny X bude menší než 5 b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,99 (0,841 ; 7,65) 28. Osobní váha je zatížena systematickou a náhodnou chybou. Systematická chyba představuje 1 kg náhodné váhy , náhodné chyby jsou normálně rozdělené se směrodatnou odchylkou 0,5 kg. Vypočítejte , v jakých mezích bude s pravděpodobností 0,99 celková chyba při jednom vážení. (-0,288;0,288) 29. Rodina se nemůže rozhodnout, zda koupit dům tento nebo příští rok. Odhadují, že růst cen bude přibližně normální rozdělení se střední hodnotou 8% a se směrodatnou odchylkou 10%. a) Jestliže nárůst cen přesáhne 25% manželé se patrně nebudou moci dovolit dům koupit. Jaká je pravděpodobnost, že se to stane? b) Jaká je pravděpodobnost, že ceny klesnou pod dnešní úroveň? (0,045; 0,212) 30. Má-li doba, za kterou písařka napíše jednu stránku textu, normální rozdělení se střední hodnotou 12 minut a směrodatnou odchylkou 3 minut, jaká je pravděpodobnost, že text o 15 stránkách stihne napsat za 3,5 hodiny? (0,9951) 31. Výrobce nealkoholických nápojů dodávaných na trh ve 2 l lahvích uvádí směrodatnou odchylku 0,05 l. Za předpokladu normálního rozdělení objemu nápoje stanovte pravděpodobnost , že směrodatná odchylka s v náhodném výběru 10 lahví bude větší než 0,05 l. (0,437) 32. Určete směrodatnou odchylku chyby přístroje , který nemá systematickou chybu a jehož náhodná chyba má normální rozdělení, přičemž s pravděpodobností 0,8 je v absolutní hodnotě nejvýše rovna 20 m. (10,5 m) 33. Jaká je pravděpodobnost, že k přípravě 28 porcí kávy stačí 200 g , považujeme - li hmotnost porce kávy za náhodnou veličinu s normálním rozdělením se střední hodnotou 7 g a směrodatnou odchylkou 0,5 g a náhodné veličiny představující hmotnost jednotlivých porcí za nezávislé? (0,9345) 2

34. Náhodná veličina X je normální rozdělení N( m , s ). Určete následující pravděpodobnosti: a) , b) c) (0,6827; 0,9545; 0,9973)


55

CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA

APROXIMACE SOUČTU NV 1.

Dlouhodobým průzkumem bylo zjištěno, že doba potřebná k objevení a odstranění poruchy stroje má střední hodnotu 40 minut a směrodatnou odchylku 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k objevení a opravení 100 poruch stroje nepřekročí 9 hodin?

2.

Při zásahu jádra atomu určitého prvku dojde s pravděpodobnosti 0,1 k vyzáření jisté částice. Kolem jaké hodnoty a s jakou směrodatnou odchylkou bude kolísat celkový počet vyzářených částic po zásahu 100 jader?

3.

Výletní člun má nosnost 5000kg. Hmotnost cestujících je náhodná veličina se střední hodnotou 70kg a směrodatnou odchylkou 20kg. Kolik cestujících může člunem cestovat, aby pravděpodobnost přetížení člunu byla menší než 0,001?

4.

Předpokládejme, že průměrná spotřeba elektrické energie domácností v určitém městě v lednu je 120 kWh a směrodatná odchylka spotřeby je 100 kWh. Určete pravděpodobnost, že celková spotřeba 100 náhodně vybraných domácností bude větší než 14 000 kWh.

5.

Z úmrtnostních tabulek vyplývá pravděpodobnost 0,99 , že se 35 - letý muž dožije dalšího roku. Roční pojistné této věkové skupiny činí 700 Kč, v případě úmrtí pojišťovna vyplatí 10 000 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že zisk z 500 pojištěných mužů ve věku 35 let bude aspoň 300 000 Kč?

6.

Lyžařský vlek je projektován pro 100 lyžařů a celkové zatížení 9 000 kg. a) Stanovte pravděpodobnost, že plně obsazený vlek bude přetížen, předpokládáme - li, že hmotnost lyžaře je náhodná veličina se střední hodnotou 82 kg a směrodatnou odchylkou 10 kg? b) Jaká je pravděpodobnost přetížení, kdyby se na vlek zavěsilo 107 lyžařů? ( 0; 0,0146 )

7.

Dlouhodobým pozorováním stavu vody v řece byla určena pravděpodobnost jarní povodně na 4/15. Určete EX a DX počtu povodní v nejbližších 100 letech. (26,6; 19,5)

8.

Zatížení letadla s 64 místy nemá překročit 6000kg. Jaká je pravděpodobnost, že při plném obsazení bude tato hodnota překročena, má-li hmotnost cestujících střední hodnotu 90kg a směrodatnou odchylku 10kg? (0,0015)

9.

Počet chyb na jedné straně textu má střední hodnotu 8 a rozptyl 4. Jaká je pravděpodobnost, že na 100 stranách textu bude méně než 750 chyb? (0,0062)

10. Pan Alois cestuje do práce a z práce tramvají, která jezdí v interval 5 minut, přičemž příchod na zastávku je zcela náhodný, S jakou pravděpodobností pročeká pan Alois během 20 pracovních dní méně než 2 hodiny? (0,9857) 11. Stokrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet padlých ok bude mezi 320 a 380? (0,92) 12. Jaký je nejvyšší možný počet vkladatelů, jestliže žádný vklad neklesne pod 100 Kč, úhrn vkladů je 20 milionů Kč a pravděpodobnost toho, že náhodný vklad činí alespoň 1100 Kč, je 0,7? (25 000) 13. Přístroj se skládá z 50 částí, které nezávisle na sobě mohou mít poruchu. Bylo zjištěno, že střední hodnoty a rozptyly počtu poruch jednotlivých částí během jistého časového intervalu, tj. náhodných veličin X1, X2, ...., X50, jsou: EXi = 0,05 a DXi = 0,02 pro i = 1, 2, ..., 50. Jaká je pravděpodobnost, že celkový počet poruch částí přístroje během tohoto časového intervalu nebude větší 74? (0,97882) Litschmannová, Neřešené příklady

56

14. Cestující pravidelně jezdí do zaměstnání a zpět MHD. Je známo, že doba čekání na příjezd MHD se pohybuje v mezích od 0 do 3 minut. Jaká je pravděpodobnost, že celková doba čekání zaměstnance na příjezd MHD během 23 pracovních dnů bude kratší než 80 minut ? (0,96926) 15. Velkoobchod doplní zásobu určitého zboží, zjistí - li průzkumem, že průměrný počet kusů tohoto zboží v 36ti vybraných prodejnách klesne pod 20. Předpokládejme, že počet kusů ve vybraných prodejnách je náhodná veličina se střední hodnotou 16 ks a směrodatnou odchylkou 8 kusů. Stanovte pravděpodobnost, že po ukončení průzkumu velkoobchod objedná další zboží ! (0,9987) 16. Při předběžném odhadu volebních výsledků ( při dvou kandidátech ) označíme za předpokládaného vítěze toho kandidáta, který získá ve výběru volebních lístků aspoň 55% hlasů. Stanovte pravděpodobnost, že na základě n náhodně vybraných lístků označíme za vítěze kandidáta, který celkově (po zpracování všech lístků) obdržel p100% hlasů. Řešte pro hodnoty: a) n=100; p = 0,501 b) n=400; p=0,501 Návod : Nejdříve řešte přesně pomocí binomického rozdělení, posléze pomocí Moivre - Laplaceovy věty ( 0,189 ; 0,028 ) 17. Předpokládejme, že voleb z předchozího příkladu se zúčastnilo pouze 2 000 voličů a že pro předběžný odhad výsledků vybereme náhodně 200 volebních lístků. Jaká je pravděpodobnost, že za stejných podmínek jako v předchozím příkladě správně odhadneme vítěze? Návod : Centrální limitní věta, aproximace hypergeometrického rozdělení binomickým a pak normálním (0,0808)

18. Předpokládejme, že průměrná spotřeba elektrické energie domácností v určitém městě v lednu je 120 kWh a směrodatná odchylka spotřeby je 100 kWh. Určete pravděpodobnost, že celková spotřeba 100 náhodně vybraných domácností bude větší než 14 000 kWh! (0,0228)

APROXIMACE PRŮMĚRU NV 1.

Předpokládejme, že žák má při písemce stejnou šanci dostat kteroukoliv ze známek 1 – 5. Jaká je pravděpodobnost, že průměrná známka ve třídě se 40 žáky bude lepší než 2,5? (0,013)

2.

S jakou pravděpodobností bude při 100 hodech kostkou relativní četnost padnutí šestky větší než 1/12 ? (0,987)

3.

200x hodíme mincí. Jaká je pravděpodobnost, že podíl líců bude větší než 0,55? (0,08)

4.

Stanovte pravděpodobnost, že průměrný věk ve skupině 50-ti žáků autoškoly bude v intervalu od 20 do 23 let, pokládáme - li věk žáků za náhodnou veličinu se střední hodnotou 22 let a směrodatnou odchylkou 6 let. (0,8719)

APROXIMACE BINOMICKÉHO ROZDĚLENÍ 1.

Před volbami je v populaci státu 45% příznivců koaličních stran. Jaká je pravděpodobnost, že průzkum veřejného mínění o rozsahu 1500 respondentu ukáže převahu opozice?


57

2.

Na telefonní ústřednu je napojeno 3000 účastníků. Každý z nich bude volat ústřednu během hodiny s pravděpodobností 0,1. Jaká je pravděpodobnost toho, že během hodiny zavolá ústřednu více než 400 účastníků?

3.

Wildcat Oil Exploration podnikla zoufalý hazardní pokus – veškeré zbylé fondy vynaložila na 90 pokusných vrtů. Šance, že vrt narazí na ropu je u všech vrtů 20% a jednotlivé vrty jsou navzájem nezávislé. Před bankrotem může firmu zachránit jen úspěch 20-ti a více vrtů. Jaká je šance na úspěch?

4.

Pravděpodobnost narození chlapce je 0.515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 000 novorozenci bude více děvčat než chlapců?

5.

Letecká společnost ví ze svých údajů, že zpravidla 4% osob, které mají rezervovány letenky se nedostaví k odletu. Společnost proto prodává 75 letenek na let, v němž má místo pro 73 osob. Určete pravděpodobnost, že všichni pasažéři, kteří se dostaví k odletu budou mít místo.

6.

Házíme dokonale symetrickou, homogenní kostkou. S jakou pravděpodobností padne v 600 hodech více než 110 šestek?

7.

Zdravotní stav pacientů trpících ekzémem se obvykle střídavě zlepšuje a zhoršuje. Kožní lékař, který provádí test nového léku, předepsal tento lék 100 pacientům. Rozhodl se doporučit lék pro léčení ekzému, jestliže alespoň u 65% pacientů dojde ke zlepšení. S jakou pravděpodobností se zmýlí, tj. doporučí lék, i když je zkoušený lék bez žádoucího účinku?

8.

Jaká je pravděpodobnost, že při 100 hodech mincí padne lev aspoň čtyřicetkrát a maximálně padesátkrát?

9.

Jaká je pravděpodobnost, že při 60 hodech kostkou nepadne 6 ani jednou? (1,77.10 )

-5

10. Basketbalista dá koš s pravděpodobností 0,6. a) Jaká je pravděpodobnost, že při 60 hodech bude úspěšný aspoň třicetkrát a nejvýše čtyřicetkrát? (0,84) b) Jaká je pravděpodobnost, že při 60 hodech bude úspěšný právě čtyřicetkrát? (0,06) 11. Pravděpodobnost, že se anketní lístek vrátí vyplněný, je 0,7. a) Jaká je pravděpodobnost, že ze 160 rozeslaných se jich vrátí alespoň 100 vyplněných? (0,984) b) Kolik anketních lístků je třeba rozeslat, aby se tato pravděpodobnost zvýšila na 0,99? (162) 12. V osudí je 16 bílých a 14 černých koulí. Jaká je pravděpodobnost, že při 150-ti tazích jedné koule (s vracením) vytáhnéme bílou právě 77x ? (0,058) 13. Jaká je pravděpodobnost, že při 100 hodech kostkou padne šestka nejvýše 20x ? (0,85) 14. V určité oblasti je 3% nemocných malárií. Jaká je pravděpodobnost, že při kontrole 5000 lidí najdeme (3,0±0,5)% nemocných malarií? (0,9615) 15. Kolikrát musíme opakovat poku, aby pravděpodobnost, že jev (vyskytující se při jednom pokusu s pravděpodobností 0,05) nastal alespoň 5x, byla vyšší než 0,8? (144) 16. Kolikrát nejméně musíme hodit kostkou, aby s pravděpodobností 0,995 (nejméně) padla šestka alespoň 2x? (121) 17. Zásilka obsahuje 3 000 výrobků určitého typu. Je známo, že pravděpodobnost zhotovení vadného výrobku tohoto typu je 0,04. a) Určete pravděpodobnost, že absolutní odchylka podílu vadných výrobků v zásilce a pravděpodobnost vyrobení vadného výrobku bude menší než 1%.


58

b) Jak se změní výsledek, jestliže pravděpodobnost vyrobení zmetku bude 0,004 a jestliže zásilka bude obsahovat 30 000 výrobků? (0,872 0,998672) 18. Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 000 novorozenci bude: a) více děvčat než chlapců b) chlapců od 5 000 do 5 300 c) relativní četnost chlapců v mezích od 0,515 do 0,517. (0,00135 0,99730 0,15542) 19. V zásilce 10 000 párů punčoch je 10% nižší jakosti, zatímco zbývajících 90% je bezvadných. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodném vzorku 1 000 párů bude více než 100 párů nižší jakosti, a tedy méně než 900 párů bezvadných ? Návod: Aproximace binomickým rozdělením + Moivre-Laplaceova věta (0,4778) 20. Z úmrtnostních tabulek vyplývá pravděpodobnost 0,99 , že se 35 - letý muž dožije dalšího roku. Roční pojistné této věkové skupiny činí 700 Kč, v případě úmrtí pojišťovna vyplatí 10 000 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že zisk z 500 pojištěných mužů ve věku 35 let bude aspoň 300 000 Kč? (0,616)

APROXIMACE POISSONOVA ROZDĚLENÍ 1.

Sekretářka Jana píše na stroji rychlostí 250 úhozu/min. Při této rychlosti udělá průměrně 2 chyby za minutu. Jaká je pravděpodobnost, že při opisování textu o délce 5 stran (30řádek, 1 řádek = 60 úhozů) udělá Jana více než 70 chyb?

2.

Firma ORFA nabízí jako domácí práci expedici dopisů (vložení dopisu do obálky, zalepení obálky), přičemž za expedici deseti dopisů platí 5,- Kč. Paní M. průměrně trvá expedice jednoho dopisu 30 sekund. Předpokládejme, že paní M. bude tuto činnost provádět 4 hodiny denně, 20 dní měsíčně. Jaká je pravděpodobnost, že její výdělek za příští měsíc bude vyšší než 5 000,- Kč?

3.

Předpokládejme, že počet chyb na stránce jisté knihy je náhodná veličina s Poissonovým rozdělením s parametrem = 0,9. Určete pravděpodobnost, že na 30 náhodně vybraných stranách bude celkem maximálně 20 chyb a) Přesně b) Přibližně pomocí CLV. (0,01015; 0,0885, s opravou na spojitost 0,1056 )

APROXIMACE PRŮMĚRNÉHO POČTU UDÁLOSTI ZA ČASOVOU JEDNOTKU


59

INTERVALOVÉ ODHADY A TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ

INTERVALOVÉ ODHADY

INTERVALOVÉ ODHADY PRO JEDEN PARAMETER 1.

Podnik Canard chce za účelem snížení odchylek od předem stanovených (režijních) nákladů v jednotlivých střediscích majících k dispozici výkonnou reprografickou techniku získat informace o denní spotřebě fotokopii. Výzkum potřeby ve srovnatelných střediscích ukázal, že potřeba fotokopií během pracovního dne je náhodnou veličinou mající normální rozdělení se střední hodnotou 1200 a směrodatnou odchylkou 200 fotokopií. Odhadněte s 95%-ní spolehlivostí průměrnou denní potřebu fotokopií ve středisku během jednoho měsíce (20 pracovních dní) a dále tří měsíců (60 pracovních dní). Jaké závěry týkající se případného snížení odchylek od režijních nákladů můžete z výsledků vyvodit?

2.

Při provádění auditu ve velkém průmyslovém podniku jsme ze souboru 2000 účetních položek náhodně vybrali 50 a nesoulad proti správné hodnotě jsme zjistili u 5 položek. Souhrnná částka těchto rozdílů činila 1242,- Kč, směrodatná odchylka 72,60Kč. Určete se spolehlivosti 0,95, v jakém intervalu lze očekávat průměrnou a úhrnnou chybu účtování v základním souboru.

3.

Pro realizaci rozsáhlého šetření o diferenciaci mezd ve velkém průmyslovém podniku musíme velmi rychle získat určitou představu o průměrné odchylce mezd. Z celkového počtu 5.000 zaměstnanců jsme jich náhodně vybrali 30 a určili průměrnou mzdu 9.450,-Kč a směrodatnou odchylku ve výši 1.200,-Kč. V jakém intervalu lze s 95% pravděpodobnosti očekávat směrodatnou odchylku mezd v celém podniku? Předpokládáme, že rozdělení mezd v základním souboru všech pracovníků podniku je normální.

4.

Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 320 konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro odhad procenta konzerv s prošlou záruční lhůtou.

5.

Ze základního souboru 10.000 automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1% sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Určete se spolehlivosti 0,99, v jakých mezích lze očekávat průměrnou váhu balíčků piškotů.

6.

Hypermarket Hyper chce pro zkvalitnění služeb poskytovaných zákazníkům zkrátit dobu jejich čekání u pokladen. Náhodně bylo vybráno 10 zákazníků a byla změřena doba jejich čekání u pokladny (předpokládáme normalitu rozdělení dob čekání). Výsledky šetření (v sekundách): 50, 65, 30, 45, 35, 55, 70, 65, 50. a) V jakých mezích lze s pravděpodobnosti 0,95 očekávat průměrnou dobu čekání zákazníka na obsluhu? b) Jaká je horní hranice doby čekání, která nebude s pravděpodobností 0,95 překročena?

7.

Z 90 zkoušek meze kluzu konstrukční oceli z produkce určité ocelárny byl vypočten výběrový průměr 251,3384MPa a výběrový rozptyl 319,4818. Najděte 80% intervaly spolehlivosti pro střední hodnotu a směrodatnou odchylku meze kluzu. (za předpokladu normality dat)

8.

Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců – MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro počet vadných součástek firmy MM.

9.

Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo


60

zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro obsah nikotinu v cigaretách TAB. 10. Radnice menšího města chce znát názor obyvatel na stavbu podzemního parkoviště v historickém centru. Ve výběrovém šetření odpovídali respondenti jen “ano” nebo “ne” na otázku, zda souhlasí se zamýšlenou stavbou. Z 500 dotazovaných jich 280 odpovědělo kladně. Odhadněte s pravděpodobnosti 0,95 podíl obyvatel města, kteří souhlasí se stavbou podzemního parkoviště v centru města. 11. Se spolehlivostí 0,95 odhadněte relativní četnost výrobků první jakosti v zásilce 10000 výrobků, bylo-li v náhodném výběru 500 výrobků zjištěno 378 výrobků první jakosti. (0,718; 0,793) 12. Při zjišťování přesnosti nově zavedené metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést 4 nezávislá měření u oceli se známým obsahem manganu, který je roven 0,30%. Stanovte odhad pro na hladině významnosti 0,1, když výsledky měření byly : 0,31% 0,3% 0,29% 0,32%. Údaje o obsahu manganu v oceli považujte za realizaci z normálního rozdělení.

INTERVALOVÉ ODHADY PRO ROZDÍL, RESP. PODÍL PARAMETRŮ 1.

Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců – MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. Otestujte tvrzení firmy MM prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05.

2.

Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Otestujte tvrzení firmy TAB prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05.

3.

Abychom odhadli rozdíl v cenách určitého druhu zboží dodávaného na trh dvěma výrobci, vybereme náhodně 6 prodejen nabízejících zboží od prvního výrobce, 4 od druhého. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů cen obou výrobců. 1. výrobce : 110 112 2. výrobce : 113 94

98 123 99 106 125 108 164 ,7 1 * 86 7 ,764

6.

2 2 2 1

164 ,7 * 14 ,89 86

Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot pevnosti dvou typů plastikových nákupních tašek, máte-li k dispozici hodnoty maximálního zatížení v kg. I. typ 5,4 5,6 5,1 4,1 5,3 3,7 5,8 5,3 II.typ 5,5 4,2 6,1 5,8 4,6 6,5 Hodnoty považujte za výběry z normálního rozdělení.

ODHAD ROZSAHU VÝBĚRU 1.

Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla


61

750,-Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlivosti a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost? 2.

Jaký minimální rozsah výběru pro odhad podílu chybně zúčtovaných položek musíme navrhnout, chceme-li při 90% spolehlivosti zajistit přípustnou chybu 3 %. O možném podílu chybných položek nemáme při prováděném auditu žádnou informaci.

3.

Ze základního souboru 10.000 automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1% sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Šíři intervalu pro odhad střední váhy balíčků piškot považuje vedení podniku za příliš velkou a požaduje při zachování stejné spolehlivosti (0,99), aby šíře intervalu nepřesáhla 1g. Určete, jaký by pro zajištění těchto podmínek musel být rozsah výběrového rozsahu.

4.

Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou 2 m. Kolik měření je nutno provést, aby se hloubka stanovila s chybou nejvýše 0,4 m se spolehlivostí 0,9.

5.

Kolik měření výnosnosti je nutno provést, abychom s přesností nejvýše 0,15 m při hladině významnosti 0,05 mohli odhadnout výnosnost pšenice, pokud víme, že směrodatná odchylka je 0,5. (43)

6.

Agentura provádějící průzkum veřejného mínění plánuje šetření, na základě kterého chce odhadnout, kolik procent voličů podporuje současnou vládní koalici. Předpokládejme (v praxi tomu tak ovšem není), že jsou dotazování vybírání zcela náhodně. Kolik dotazovaných by mělo být do výběru zařazeno, jestliže si vedení agentury přeje, aby se odhad z výběru nelišil od skutečného podílu příznivců koalice o více než 3%? (Volte hladinu významnosti 0,05.)

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY – PARAMETRICKÉ Test střední hodnoty 1.

Mlýny Hrušov udávají na balících mouky váhu 1kg. Potravinářská inspekce otestovala 20 balíků mouky a zjistila váhu (0,95 0,08)kg. Může potravinářská inspekce na základě tohoto testu stíhat Mlýny Hrušov pro nedodržení udávané váhy výrobku? Ověřte čistým testem významnosti.

2.

Výrobce garantuje, že jím vyrobené žárovky mají životnost v průměru 1.000 hodin. Aby útvar kontroly zjistil, že tomuto konstatování odpovídá i v daném období vyrobená a expedovaná část produkce, vybral z připravené dodávky náhodně 50 žárovek a došel k závěru, že průměrná doba životnosti je 950 hodin a směrodatná odchylka doby životnosti pak 100 hodin. Je možné zjištěný rozdíl doby životnosti ve výběru připsat náhodě nebo je známkou nekvality produkce?

3.

Automatická balící linka na ovoce má být seřízena na hmotnost balíčku 1000g. Zvážili jsme 7 náhodně vybraných balíčků a zjistili jsme tyto hodnoty: 1015, 982, 965, 970, 1006, 958, 950. Za předpokladu, že 0,05 , že linka je správně seřízena. hmotnost balíčku má normální rozdělení, ověřte pro

4.

Spotřeba téhož auta byla testována 11-ti řidiči s výsledky: 8,8;

8,9;

9,0;

8,7;

9,3;

9,0;

8,7;

8,8;

9,4;

8,6;

8,9 (l/100 km)

Lze výrobcem udávanou spotřebu 8,8 l/100 km považovat za pravdivou? Můžeme popřít tvrzení, že rozptyl 2 získaných údajů je 0,1 (l/100 km) ? Litschmannová, Neřešené příklady

62

5.

Potvrzuje náhodný výběr rozsahu 240, průměru 9 720 a směrodatné odchylky 2 300, že průměrný příjem je 10 000?

Test rozptylu 1.

Automat vyrábí pístové kroužky o daném průměru. Výrobce udává, že směrodatná odchylka průměru kroužku je 0,05mm. K ověření této informace bylo náhodně vybráno 80 kroužků (Krouzky.xls). Lze zjištěný rozdíl variability považovat za významný ve smyslu zlepšení kvality produkce?

2.

Při analýze diferenciace mezd ve velkém podniku bylo zjištěno, že průměrná měsíční mzda činila 9.386,-Kč a směrodatná odchylka mezd 1.562,- Kč. Po rozsáhlých organizačních změnách bylo nutné rychle posoudit, zda došlo ke změnám v diferenciaci mezd. Náhodně bylo vybráno 30 pracovníků a byla zjištěna směrodatná odchylka mezd 1.708,-Kč. Je možné na 5% hladině významnosti tvrdit, že organizační změny prohloubily diferenciaci mezd?

3.

Pro deset náhodně vybraných balíčků kávy byly naměřeny tyto hodnoty hmotnosti: 1005, 998, 975, 1001, 999, 984, 1002, 995, 988, 993 g. Na 1% hladině významnosti: 2 a) Ověřte hypotézu, že rozptyl hmotnosti balíčků kávy je 100 g . b) Ověřte předpoklad, že balíčky kávy mají střední hmotnost 1000 g.

4.

Pro bavlněnou přízi je předepsaná horní mez variability pevnosti vlákna. Rozptyl pevnosti (která má normální rozdělení) nemá překročit 0,36. Při zkoušce 16-ti vzorků byly zjištěny výsledky: 2,22 3,48

3,54 3,89

2,37 4,90

1,66 5,37

4,74

4,82

3,21

5,44

3,23

4,79

4,85

4,05

Je důvod k podezření na vyšší variabilitu než je stanoveno? Ověřte na 5%-ní hladině významnosti? 5.

Zácvik laboranta je úspěšný, pokud laborant při měření dosahuje směrodatné odchylky menší než 0,14. Jaký závěr učiníte z měření: 6,42

6,44

6,38

6,60

6,50

6,51 ?

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY – NEPARAMETRICKÉ Test relativní četnosti 1.

Když házíme pětkrát mincí a pětkrát nám padne panna, můžeme tvrdit, že mince je falešná? Otestujte čistým testem významnosti na hladině významnosti 0,05.

2.

Firma TT udává, že 1% jejich rezistorů nesplňuje požadovaná kritéria. V testované dodávce 1000ks bylo nalezeno 15 nevyhovujících rezistorů. Potvrzuje tento výsledek tvrzení TT? Ověřte čistým testem významnosti.

3.

Představenstvo velké akciové společnosti zvažuje odprodat část akcií zaměstnancům této společnosti. Odhaduje se, že zájem o nákup by mohlo projevit asi 20% z nich. Proto personální útvar připravil předběžný průzkum, v němž oslovil 400 náhodně vybraných pracovníků společnosti, z nichž zájem o nákup akcií projevilo 66 lidí. Je úvaha představenstva reálná? (Zvolte hladinu významnosti 0,05).

4.

Při rozboru kvalifikace pracovníků podniku bylo zjištěno, že 30% pracovníků nemá kvalifikaci pro práci, kterou vykonávají. Podnik provedl určitou reorganizaci a realizoval systém školení. K posouzení účinnosti těchto opatření bylo náhodně vybráno 100 pracovníků, z nichž 25 nemělo požadovanou kvalifikaci. Rozhodněte na hladině významnosti 5%, zda opatření ke zvýšení kvalifikace byla účinná.


63

5.

Je možno považovat za znalce vín člověka, který z 8 předložených druhů vína pozná více než polovinu? (Ví, kterých 8 druhů mu bude předloženo, ale neví v jakém pořadí.) Ověřte na 5% ní hladině významnosti.

6.

Závod obdržel zásilku 10 000 součástek, v níž by podle smlouvy mělo být nejvýše 1% zmetků. Náhodně byl vybrán a zkontrolován vzorek 500 ks. Pro jaký počet zmetků v něm můžeme hypotézu, že v celé zásilce je nejvýše 1% zmetků, zamítnout na hladině významnosti 0,05?

7.

Je padnutí 22 líců při 40 hodech mincí důkazem její nevyváženosti? Od jakého výběru je 55% líců již významný výsledek?

8.

Výrobce předpokládel, že bude reklamováno 15% výrobků. Je tomu tak, jestliže z 900 výrobků bylo reklamováno 150?

9.

Starosta obdržel při posledních volbách 60% hlasů. Bude stejně úspěšný i v příštích volbách, když ze 100 náhodně vybraných občanů je pro něj 48?

10. Při 200 hodech mincí byl rub zaznamenán 90 krát. Je důvod se domívat, že rub nepadá stejně často jako líc? 11. „Kdyby se konaly volby do parlamentu letos v březnu, zvítězili by sociální demokraté před občanskými demokraty téměř o tři procenta.“ Kroměřížský deník.cz; 7. 4. 2009 ( http://www.denik.cz/z_domova/median_preference_volby_brezen20090407.html ) a) Přečtěte si daný článek a ověřte čistým testem významnosti, zda průzkum skutečně vypovídá o tom, že: „Kdyby se konaly volby do parlamentu letos v březnu, zvítězili by sociální demokraté před občanskými demokraty.“ b) V grafické prezentaci výsledků předvolebního průzkumu se uvádí, že vzhledem ke „statistické chybě“ není jisté, zda se SZ dostane do parlamentu. Jak velká je „statistická chyba“ pro SZ? Odhadněte s 95% spolehlivosti procentuální zisk SZ v případě, že by se volby do parlamentu konaly letos v březnu. c) A jak to vypadá s KDU-ČSL? Vypovídají výsledky průzkumu o tom, že pokud by se volby do parlamentu konaly letos v březnu, že by se KDU-ČSL dostala do parlamentu? Ověřte čistým testem významnosti. Ověřte na základě levostranného odhadu. (Hladinu významnosti volte 5%)

Průzkumu se zúčastnilo 1248 respondentů.


64

Test mediánu 1.

0,05 ověřte hypotézu, že polovina jistých elektronických součástek má Na hladině významnosti životnost nižší než 3000 hodin. Zjištěné hodnoty životnosti pro 20 náhodně vybraných součástek : 2850, 960, 2730, 2050, 3120, 1990, 2870, 2600, 1700, 4350, 920, 1960, 3020, 760, 5330, 1270, 110, 2310, 4070, 870.

Test dobré shody, resp. Kolmogorovův-Smirnovův test 1.

Při opakovaném házení hrací kostkou byly z 60 hodů zjištěny tyto výsledky : Xi 1 2 3 4 5 6 ni 9 8 11 12 9 11 Ověřte pro

2.

0,01, že kostka má těžiště v geometrickém středu.

Ověřte na hladině významnosti 0,01 hypotézu, že počet prodaných knih na výstavě má rovnoměrné rozdělení. Čas návštěvy [h] 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18

Počet prodaných knih 70 99 112 134 95

Čas návštěvy [h] 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 2

3.

n 70 99 112 134 95

n´ 102 102 102 102 102

21,62

Náhodná veličina popisuje počet prodaných knih za 1 den. Na 5% hladině významnosti otestujte hypotézu, že tyto hodnoty pochází z Poissonova rozdělení. V tabulce je uvedeno, kolikrát za dané období se vyskytl daný počet prodaných knih. Počet knih 0 1 2 3 4 5 6 a víc Četnost 6 8 7 8 8 6 7

1 0 8 50 0 1 2 6 8 7 0,050 0,149 0,224 2,489 7,468 11,202 9,957 11,202

(Nutno odhadnout parametr X n P(x) n´


14 24 32 30 42

3

3 4 5 6 a víc 8 8 6 7 0,224 0,168 0,101 0,050 11,202 8,402 5,041 2,520 11,202 8,402 7,561

65

2

4.

1,64 1,58 0,92 0,02 1,53 5,69

Otestujte, pro 1% riziko, že následující hodnoty pochází z rovnoměrného rozdělení s parametry 0 a 100. Získaný náhodný výběr je: 12, 89, 34, 67, 88, 57, 95, 8, 77, 24.

DVOUVÝBĚROVÉ TESTY DVOUVÝBĚROVÉ TESTY – PARAMETRICKÉ Test shody středních hodnot 1.

Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. Ověřte tvrzení firmy TAB čistým testem významnosti.

2.

Na základě testu chceme ověřit, zda výkon pracovníků v jistém podniku obuvnického průmyslu je významně vyšší než v jiném, kde se vyrábí stejný typ obuvi. Je znám rozptyl výkonů v obou podnicích 2 2 1 =20 a 2 =18. K ověření této hypotézy byl proveden náhodný výběr v prvním podniku o rozsahu 60 pracovníků a ve druhém podniku o rozsahu 50 pracovníků a byly vypočteny průměrné výkony v počtu páru za směnu 140 (pro první podnik) a 137 (pro druhý podnik).

3.

Prodejna potravin odebírá uzenářské výrobky od dvou dodavatelů a za důležitou považuje dobu, která uplyne od předání objednávky do okamžiku dodání objednaného zboží. První dodavatel byl testován ve 14 případech: průměrná doba čekání na objednané zboží byla 51,25 hodin při rozptylu 7,47. U druhého dodavatele uzenin bylo provedeno deset pozorování: průměrná doba čekání na zboží byla 49,32 hodin oři výběrovém rozptylu 4,98. Na hladině významnosti 5% ověřte hypotézu, zda mezi oběma dodavateli existuje takový rozdíl v rychlosti dodávek uzenin, který by byl pro vedení prodejny potravin podstatný. Uveďte za jakého předpokladu je test důvěryhodný.

4.

Ropná společnost chce postavit novou čerpací stanici na severním nebo jižním okraji menšího města. Projekt předpokládá, že bude vybrán ten výjezd z města, kde je vyšší intenzita provozu. Na severním výjezdu z města probíhalo šetření během 50 dní a byl zjištěn počet 4.000 projíždějících vozidel (se směrodatnou odchylkou 70 vozidel). Na jižním výjezdu z města bylo za 45 dní zaznamenáno v průměru 3.900 projíždějících vozidel (směrodatná odchylka 60 vozidel). Lze tento rozdíl považovat za statisticky významný? (Volte hladinu významnosti 0,05).

5.

Denní přírustky váhy selat při krmení směsi A, resp. B jsou uvedeny v tabulce: A B

62 52

54 56

55 50

60 49

53 51

58

Je mezi nimi rozdíl? Test shody rozptylů 1.

Podnik Čoko používá dva typy strojů pro automatické balení sušenek. Vedoucí střediska je přesvědčen, že variabilita vah sáčků sušenek balených na těchto dvou strojích není stejná. Bylo tedy náhodně vybráno 14 balíčků sušenek balených na prvním stroji a 8 balených na druhém stroji. Předpokládáme-li, že váha balíčků sušenek má normální rozdělení, lze potvrdit empirický názor vedoucího střediska? (Volte hladinu významnosti 0,05).

STROJ 1 (g)

243,2

244,8

253,1

247,5


251,0

251,7

254,0

252,8

252,5

250,1

247,3

250,9

253,2

252,7

66

STROJ 2 (g)

250,2

250,1

251,3

249,1

249,9

250,8

251,9

252,2

Párové testy 1.

Rozhodněte, zda dva měřící přístroje poskytují naměřené hodnoty se stejnou směrodatnou odchylkou. Test proveďte na 10% hladině spolehlivosti. K dispozici jsou dvě skupiny po 5 opakovaných měřeních prováděných souběžně na obou přístrojích. Pro tyto hodnoty otestujte i shodu středních hodnot. (Nezapomeňte ověřit předpoklady testu.) 11,3 9,8

2.

10,9 10,1

11,1 9,9

12,0 10,3

10,8 10,1

U 6 aut bylo zjištěno ojetí předních pneumatik v (mm): Pravá Levá

1,8 1,5

1,0 1,1

2,2 2,0

0,9 1,1

1,5 1,4

1,6 1,4

Ojíždějí se levá a pravá pneumatika stejně?

DVOUVÝBĚROVÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ Test shody relativních četností 1.

Podnik Čoko vyrábějící čokoládové výrobky se rozhoduje, zda jako nezbytnou podmínku při dodávce prodejcům bude požadovat uchovávání výrobků (konkrétně čokoládových oplatek) před jejich prodejem v temnu. Provedl si proto test kvality oplatek po 30 dnech od jejich výroby. Celkem bylo zkontrolováno 14 balíčků čokoládových oplatek skladovaných v temné místnosti a 7 vystavených světlu. Závadnými se ukázaly po dvou balíčcích z každé skupiny. Ověřte na 5% hladině významnosti hypotézu, že kvalita čokoládových oplatek není ovlivněna skladováním na světle.

2.

Mezi 60 náhodně vybranými muži bylo zjištěno 42 držitelů řidičského oprávnění. Mezi 45 ženami vlastnilo řidičák 16 žen. Ověřte předpoklad, že výskyt řidičáku je stejný jak u mužů, tak u žen.

3.

Ověřte na 5% hladině významnosti předpoklad, že dvě výrobní dávky se neliší v podílu výrobků první jakosti. V prvním výběru bylo mezi 300 výrobky 180 výrobků první jakosti a v druhém výběru bylo mezi 400 výrobky 260 výrobků první jakosti.

4.

V roce 1970 se narodilo 117 137 chlapců a 111 394 děvčat. Jsou pravděpodobnosti narození chlapce a děvčete stejné?

Test nezávislosti v kontingenční tabulce 1.

Pro diferencovaný přístup v personální politice potřebuje vedení podniku vědět, zda spokojenost v práci závisí na tom, jedná-li se o pražský závod či závody mimopražské. Výsledky šetření jsou v následující tabulce. Rozhodněte Stupeň spokojenosti MÍSTO Velmi spokojen Spíše spokojen Spíše nespokojen Velmi nespokojen


Praha Venkov 15 40 50 130 25 10 10 20

67

2.

Podnik uspořádal školení výpočetní techniky na aplikaci Excel MS Office ’97, jímž jsou vybaveny všechny počítače pracovníků ekonomického oddělení. Pokuste se prokázat, že školení ovlivnilo podíl pracovníků používajících tuto aplikaci pravidelně ve své práci. Výsledky šetření jsou v tabulce. Před školením Používá Nepoužívá

Po školení Používá Nepoužívá 28 4 23 15

3.

V průzkumu veřejného mínění byla sledována závislost mezi názorem na odstoupení vlády a věkem dotazovaných. Určete, zda daná závislost existuje (čistým testem závislosti) a nakreslete mozaikový graf pro tento případ. Věk. skupina Názor na odstoupení vlády ANO NE NEVÍM Do 20-ti let 20 5 10 (20-35) let 40 5 10 (36-55) let 30 0 20 Nad 55 let 10 30 10

4.

Společnost vyrábějící automobily Mondavia chce nabídnout svým klientům speciální výbavu za velmi výhodných podmínek. Pro správnou orientaci reklamní kampaně ji zajímá, zda na tuto nabídku budou reagovat spíše soukromí majitelé nebo firmy. Marketingové oddělení společnosti proto oslovilo 100 soukromých majitelů a 150 firem s otázkou, zda by si za nabízených podmínek speciální výbavu objednali. Výsledky šetření jsou v následující tabulce. Rozhodněte o orientaci reklamní kampaně.

Soukromý majitel Firma

ANO NE 58 42 70 80

V závodě byly vyzkoušeny dva technologické postupy. Je rozdíl mezi nimi z hlediska počtu nekvalitních výrobků statisticky významný, jestliže testy objevily 950 a 485 (resp. 50 a 15) kvalitních (resp. nekvalitních) výrobků?

6.

Mezi 60 americkými studenty bylo zjištěno, že marihuanu kouří (resp. nekouří) 15 (resp. 20) mužů a 8 (resp. 17) žen. Lze prokázat souvislost mezi kouřením marihuany a pohlavím respondentů?

7.

Byla zjišťována souvislost mezi hladinou alkoholu v krvi (nízká, střední, vysoká) a rychlostí reakce (dobrá, špatná) u 100 náhodně vybraných lidí. Existuje souvislost?

Hladina alkoholu

5.

Na základě údajů o 100 žácích rozhodněte, zda je souvislost mezi známkou z chování a z matematiky.

Chování

8.

9.

Nízká Střední Vysoká

Rychlost reakce Dobrá Špatná 53 12 5 15 2 13

Matematika 1 2 >2 1 >1

28 2

34 6

18 12

Lze z údajů o 91 059 manželstvích uzavřených v roce 1957 prokázat závislost mezi stavem ženicha a stavem nevěsty při vstupu do manželství?


68

Svobodný Vdovec Rozvedený

Svobodná 75 564 1 370 4 603

Vdova 824 904 590

Rozvedená 3 463 798 2 943

10. U 100 plodů neošetřených postřikem byla zaznamenána prvotřídní kvalita plodů v 58 případech, u 200 ošetřených ve 134 případech. Má postřik nějaký vliv na kvalitu plodů? 11. U 31 pacientů trpících chorobou bylo zjišťováno, zda byli očkováni a jaký průběh choroba má. Závisí průběh choroby na tom, zda pacient byl očkován?

očkován neočkován

těžký

lehký

11 5

3 12

Syn

12. Je souvislost mezi barvou očí u syna a u otce? (1 000 údajů o kombinacích barev modrá, zelená-šedá, tmavě šedá-světle hnědá, hnědá.)

Modrá Zelená-šedá Tmavě šedá-světle hnědá Hnědá

Modrá 194 83 25 56

Zelená-šedá 70 124 34 36

Otec Tmavě šedá-světle hnědá 41 41 55 43

Hnědá 30 36 23 109

Dvouvýběrový Kolmogorovův Smirnovův test 1.

Na 1% hladině významnosti ověřte předpoklad, že elektronické součásti určitého typu, pocházející od dvou výrobců, mají stejné rozdělení životnosti. Zjištěné hodnoty životnosti pro 20 náhodně vybraných součástek od prvního výrobce: 2850, 960, 2730, 2050, 3120, 1990, 2870, 2600, 1700, 4350, 920, 1960, 3020, 760, 5330, 1270, 110, 2310, 4070, 870. Životnost zjištěná pro deset součástek od druhého výrobce: 2980, 1850, 3150, 4310, 2880, 3260, 4430, 3730, 4490, 1900. Rozdělení náhodné veličiny neznáme.

DALŠÍ PŘÍKLADY 1.

Při testování hypotéz stojí nulová hypotéza proti alternativní hypotéze. Chyba I. druhu je: a) skutečnost, že H0 je chybná b) nesprávné zamítnutí H0, která je ve skutečnosti správná c) pravděpodobnost zamítnutí H0 , která je ve skutečnosti správná d) zamítnutí HA v případě, že H0 je chybná e) pravděpodobnost zamítnutí H0 , která je ve skutečnosti chybná

2.

Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců – MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek. a) Otestujte tvrzení firmy MM čistým testem významnosti. b) Otestujte tvrzení firmy MM prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro počet vadných součástek firmy MM.

3.

Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo


69

zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu. a) Ověřte tvrzení firmy TAB čistým testem významnosti. b) Otestujte tvrzení firmy TAB prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro obsah nikotinu v cigaretách TAB. 4.

Agentura STAT udává, že v lednu 1999 byla v populaci České republiky 30% podpora ČSSD (1000 respondentů) a při průzkumu v květnu 1999 (1600 respondentů) zjistili pouze 25% podporu této strany. Lze z těchto výsledků usuzovat na klesající podporu ČSSD? a) Ověřte čistým testem významnosti. b) Na základě květnového průzkumu učiňte 90% intervalový odhad ohledně procentuálního zastoupení voličů ČSSD v celé populaci.

5.

Byly testovány magnetofony od dvou výrobců – SONIE a PHILL. SONIE prohlašuje, že jejich magnetofony mají nižší procento reklamací. Pro ověření tohoto prohlášení bylo dotazováno několik prodejců magnetofonů a bylo zjištěno, že ze 150 prodaných magnetofonů firmy SONIE bylo v průběhu záruční doby reklamováno 5 výrobků a ze 220 prodaných magnetofonů PHILL bylo v záruční době reklamováno 9 výrobků. a) Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE čistým testem významnosti. b) Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Najděte 95% interval spolehlivosti pro relativní počet reklamovaných magnetofonů firmy SONY.

6.

Společnost EDUCO provádí každoročně srovnávání úrovně studentů různých středních škol. Nás v tuto chvíli zajímá srovnání úrovně studentů gymnázii a SPŚ. Srovnávacím kritériem byl test obecných znalostí. Tento test byl hodnocen (0 – 100) bodů. Pro orientační výsledek byly vyhodnoceny 24 testy studentů gymnázii s výsledky (78 9) bodů a 26 testů studentů SPŠ s výsledky (64 14) bodů. a) Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte čistým testem významnosti. b) Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05. c) Najděte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu bodů studentů SPŠ.

7.

200 lidí uvedlo, jakou číslici mají nejraději: Číslice Počet

0 35

1 16

2 15

3 17

4 17

5 19

6 11

7 16

8 30

9 24

Lze tvrdit, že žádné číslici není dávána přednost?


70

ANOVA

JEDNOFAKTOROVÁ ANOVA 1.

Byl proveden průzkum závislosti příjmu na vzdělání lidi. V tabulce jsou uvedeny příjmy v tisících Kč u náhodně vybraných devíti mužů. Proveďte test ANOVA a na jeho základě rozhodněte, zda má vzdělání vliv na příjem. Základní vzdělání Středoškolské vzdělání Vysokoškolské vzdělání 10 8 14 6 12 12 5 10 13

2.

Při výzkumu účinnosti různých metod zácviku nových pracovníků se při nácviku určitého pracovního úkonu užilo čtyř různých metod (B1, B2, B3, B4). Dělníci (celkem jich bylo 220) si sami mohli zvolit jednu z nich. Po určitém časovém období byli všichni dělníci přezkoušeni v kontrolním pokuse a celkový pokrok každého z nich byl oceněn pomocí 5-ti bodové stupnice. Chceme zjistit, zda rozvoj schopnosti provádět sledovaný úkon závisí na metodě zácviku. Výsledky pokusu jsou uvedeny v následující tabulce.

ZLEPŠENÍ VÝKONU

METODA

3.

1 2 3 4 5

B1 7 16 18 10 8

B2 3 9 10 16 8

B3 13 19 16 9 6

B4 8 11 8 9 6

Z velkého souboru domácnosti bylo náhodně vybráno 5 jednočlenných domácnosti, 8 dvoučlenných, 10 tříčlenných, 10 čtyřčlenných a 7 pětičlenných domácnosti, dohromady tedy 40 domácnosti a byly sledovány jejich měsíční výdaje za potraviny a nápoje připadající na jednoho člena domácnosti (v Kč). Ověřte na 5% hladině významnosti, zda se měsíční výdaje za potraviny (na osobu) liší podle počtu členů domácnosti. Nezapomeňte ověřit předpoklady testu. Výdaje na jednoho člena domácnosti (v Kč) Počet čl. domácnosti 1 2 3 4 5 3.440 2.350 2.529 2.137 2.062 4.044 3.031 2.325 2.201 2.239 4.014 2.143 2.731 2.786 2.448 3.776 2.236 2.313 2.132 2.137 3.672 2.800 2.303 2.223 2.032 2.901 2.565 2.433 2.101 2.656 2.777 2.224 2.121 2.878 2.899 2.763 2.755 2.232 3.254 2.661

4.

Při rozboru efektivnosti bytové výstavby byly u náhodně vybraných dokončených mimopražských bytů 2 třech typů zaznamenány náklady na 1m bytové plochy. Výsledky šetření: Typ X (Kč) 6 825 7 100 7 555 6 890 7 175 7 300 6 905 Typ Y (Kč) 6 405 6 570 6 325 6 895 6 905 6 550 6 750 6 965 Typ Z (Kč) 7 050 7 355 6 810 6 910 6 700 Pokuste se prokázat existenci rozdílů v nákladech mezi jednotlivými typy bytů.


71

5.

Byla sledována chybovost počítačového programátora. V náhodně vybraných dnech byl počítán počet chyb při sestavování program u čtyř testovaných programátorů. Zjištěné výsledky naleznete v souboru programator.xls. Vyšetřete na hladině významnosti 5%, zda se chybovost testovaných programátorů statisticky významně liší.

6.

Byl vyšetřován vliv 3 druhů penicilínů na růst kolonií Baccilus subtilis. Jednotlivé hodnoty uvádějí průměrnou velikost kolonií na příslušné plotně. Na 5 náhodně vybraných ploten byl aplikován penicilin 1, podobně i pro peniciliny 2 a 3. Plotny byly na začátku pokusu umístěny náhodně do růstové komory a testovány po uplynutí 1 týdne. Výsledek je v souboru Penicilin.sf3. Liší se účinky různých druhů penicilínu na růst kolonií? Otestujte. (Nezapomeňte ověřit předpoklady testu, v případě potřeby proveďte post hoc analýzu.)

7.

V sociologickém průzkumu bylo vyšetřováno sociální postavení, které je vyjádřeno v bodech- Sociologie.xls. Rodiny byly rozděleny na stabilní, rozvedené a rodiny v přechodu A1 až A3 (faktor A). Na hladině významnosti 5% vyšetřete, zda všechny rodiny pocházejí ze statistického hlediska svého postavení z jednoho souboru. Existují významné rozdíly mezi stabilními a rozvedenými rodinami?

8.

Ověřte, zda se liší střední hodnoty BMI (Váha*kg+/Výška *m+) pro zadané věkové kategorie. (Biometrie.sf3). (Návod: Vygenerujte novou proměnnou BMI a proveďte analýzu.)

9.

Dosažené vzdělání ovlivňuje finanční příjem v zaměstnání. Byl proveden náhodný výběr zaměstnanců a zjišťován počet let strávených na studiích a celoživotní příjem v tis. $ (Vzdelani.xls). Na hladině významnosti 5% ověřte, zda délka vzdělání statisticky významně ovlivňuje příjem.

2

10. Jet-lag je anglické označení pro obtíže vznikající při rychlém přechodu časových pásem (zejm. při mezikontinentálních letech). Projevuje se spavostí ve dne, nespavostí v noci, nevýkonností, rozmrzelostí aj. (cit. dle Vokurka, Hugo, Velký lékařský slovník, Maxdorf 2005). Existuje mnoho studií na vliv jet-lag na organismus. Obecně studie tvrdí, že cestování východním směrem (tj. například z Japonska do USA - hodiny +) působí na člověka nejhůř. Zkoumá se, kolik dnů po příletu trvá adaptace na časový posuv. Máme výsledky od 18 lidí - 6 osob v každé ze 3 skupin: letících na západ, východ a v tomtéž časovém pásmu (přibližně stejnou vzdálenost) – Jetlag.xls. Na hladině významnosti 5% ověřte, má-li směr letu vliv na délku adaptace (zotavení se). 11. Určete, zda existuje statisticky významný rozdíl mezi šířkou kalištních lístků (SKL) u jednotlivých tříd kosatců (Setosa, Versicolor, Virginica). (Má tento parametr květu kosatců podstatný vliv na zařazení do příslušné třídy?) - Kosatce.sf3 12. Pro stanovení obsahu ceru v neznámém vzorku horniny bylo použito čtyř metod (1 – hmotnostní spektroskopie, 2 – rentgenová fluorescenční spektrometrie, 3 – emisní spektroskopie a 4 – nukleární metody) – Cer.xls. Ověřte na hladině významnosti 5%, zda všechny čtyři metody vedou ke stejnému výsledku. Dosáhla některá z metod statistický významně odlišných výsledků od ostatních metod? (Poznámka: Pro zvýšení homogenity rozptylů použijte mocninnou transformaci ).

DVOUFAKTOROVÁ ANOVA

1.

Při výzkumu účinnosti různých metod zácviku nových pracovníků se při nácviku určitého pracovního úkonu užilo čtyř různých metod (B1, B2, B3, B4). Dělníci (celkem jich bylo 220) si sami mohli zvolit jednu z nich. Po určitém časovém období byli všichni dělníci přezkoušeni v kontrolním pokuse a celkový pokrok každého z nich byl oceněn pomocí 5-ti bodové stupnice. Chceme zjistit, zda rozvoj schopnosti provádět sledovaný úkon závisí na metodě zácviku. Výsledky pokusu jsou uvedeny v následující tabulce. Data analyzujte, výsledky komentujte, doplňte vhodnými grafy.


72

ZLEPŠENÍ VÝKONU Litschmannová, Neřešené příklady

1 2 3 4 5

METODA B1 B2 B3 B4 7 3 13 8 16 9 19 11 18 10 16 8 10 16 9 9 8 8 6 6

73

REGRESE

JEDNODUCHÁ REGRESE 1.

Metodou nejmenších čtverců odvoďte koeficienty lineární regresní funkce.

2.

Metodou nejmenších čtverců odvoďte koeficienty kvadratické regresní funkce.

3.

V letech 1931-1961 byly měřeny průtoky v profilu nádrže Šance na Ostravici a v profilu nádrže 3 Morávka na Morávce. Roční průměry v m /s jsou dány v následující tabulce:

rok 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945

Šance 4,130 2,386 2,576 2,466 3,576 2,822 3,863 3,706 3,710 4,049 4,466 2,584 2,318 3,721 3,290

Morávka 2,476 1,352 1,238 1,725 1,820 1,913 2,354 2,268 2,534 2,308 2,517 1,726 1,631 2,028 2,423

rok 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

Šance 2,608 2,045 3,543 4,055 2,224 2,740 3,792 3,087 1,677 2,862 3,802 2,509 3,656 2,447 2,717

Morávka 1,374 1,194 1,799 2,402 1,019 1,552 1,929 1,488 0,803 1,878 1,241 1,165 1,872 1,381 1,679

Spočtěte výběrový korelační koeficient. Předpokládejte, že v jednom z následujících let chybí hodnota průměrného ročního průtoku pro nádrž Morávka. V tomto roce činil průměrný roční průtok v profilu 3 nádrže Šance na Ostravici 2,910 m /s. Na základě lineární regrese odhadněte hodnotu průměrného ročního průtoku nádrže Morávka. 4.

Při kontrolních měřeních rozměrů silikátových štítových dílců bylo náhodně vybráno 8 dílců vykazujících vesměs kladné odchylky v délce i výšce od normovaných hodnot: odchylka délky *mm+ odchylka výšky *mm+

3 4

4 6

4 5

5 6

8 7

10 13

6 9

3 4

Najděte lineární regresní model závislosti odchylky výšky na odchylce délky. 5.

Procentuální obsah křemíku v surovém železe Y závisí na teplotě strusky x (kremik.xls). Navrhněte pro tuto závislost regresní model. a) Napište rovnici nalezeného regresního modelu. b) Komentujte výsledky dílčích t testů významnosti c) Ověřte předpoklady pro použití lineární regresní funkce (exploratorní analýzou ověřte nulovost kovariance reziduí a homoskedasticitu reziduí, exaktně ověřte normalitu a nulovost střední hodnoty reziduí) d) Ověřte kvalitu modelu na základě indexu determinace a vysvětlete co toto číslo znamená. o e) Odhadněte procentuální obsah křemíku v surovém železe pro teplotu strusky 1350 C. (včetně příslušného intervalu spolehlivosti). Výsledný intervalový odhad vysvětlete konkrétně. f) Pojednejte o věrohodnosti extrapolace provedené v předcházejícím bodě.


74

6.

Během několika let byla sledována vybavenost 100 domácnosti CD přehrávači. Výsledky měření jsou uvedeny v souboru Vybavenost.sf3. a) Odhadněte parametry jednoduché lineární regrese b0, b1. b) Otestujte na 5%-ní hladině významnosti významnost parametrů vyrovnávací přímky (dílčí t-testy). c) Ověřte oprávněnost použití lineárního regresního modelu (celkový F-test + analýza reziduí). d) Ověřte kvalitu modelu (index determinace) a index determinace definujte. e) Vyberte nejvhodnější lin. regresní model pro popis dané závislosti a odhadněte jeho parametry. (rovnice) f) Odhadněte pomocí vybraného modelu, kolik bude CD přehrávačů ve 100 domácnostech (včetně příslušného 95% ního intervalu) v roce 2008. g) Pojednejte o oprávněnosti predikce (odhadu) v bodě f)

7.

Data uvedena v souboru Nezamestnani.sf3 byla převzata z informačního serveru BusinessInfo.cz a reprezentují nezaměstnanost a volná pracovní místa v ČR v období 2004-2005. Legenda: PN 2004 (2005) … počet nezaměstnaných v roce 2004 (2005) (v tisících) VPM 2004 (2005) … počet volných pracovních míst v roce 2004 (2005) (v tisících) a) Odhadněte koeficienty regresní přímky pro vývoj počtu nezaměstnaných v roce 2005 b) Komentujte výsledky dílčích t testů významnosti c) Ověřte předpoklady pro použití lineární regresní funkci (exploratorní analýzou ověřte nulovost kovariance reziduí, exaktně ověřte normalitu a nulovost střední hodnoty reziduí) d) Ověřte kvalitu modelu na základě indexu determinace a vysvětlete co toto číslo znamená. e) Odhadněte koeficienty nejvhodnější lineární regresní funkce (+napište její typ) f) Pomoci vybrané funkce odhadněte počet nezaměstnaných v únoru 2006 (včetně příslušného intervalu spolehlivosti) g) Pojednejte o věrohodnosti extrapolace provedené v předcházejícím bodě.

8. U náhodného vzorku 20 mužů byla provedena analýza krve a sledována denní spotřeba tuků ve stravě *g+ a hodnota celkového cholesterolu [mg/100 ml] – Chol_muzi.xls. a) Nalezněte vhodný regresní model pro závislost obsahu cholesterol v krvi na denní spotřebě tuků. b) Model optimalizujte. (Celkový F-test, Dílčí t-testy) c) Model verifikujte. (Analýza reziduí) d) Jaký je korelační koeficient mezi celkovým obsahem cholesterol v krvi a denní spotřebou tuku? e) Ověřte kvalitu modelu. (Index determinace + jeho význam) f) Na základě nalezeného modelu odhadněte hodnotu celkového cholesterol u Petra Nováka, který má denní spotřebu tuků cca 0,1 kg (včetně intervalového odhadu). Zhodnoťte oprávněnost predikce.

VÍCENÁSOBNÁ REGRESE 1.

Byla vyšetřována výška 20-ti 18letých mladíků y a výška jejich rodičů a prarodičů, žijících izolovaně v horské vesnici po několik generací a hledaná lineární závislost mezi závisle proměnnou y a nezávisle proměnnými x1 až x7. Mladici.xls a) Sestavte vhodný lineární model a testujte statistickou významnost parametrů β 0 , ..., β7. b) Rozhodněte mezi dvěma navrženými regresními modely: Model A: y = f(β0 , ..., β7), Model B: y = f(β0 , ..., β3). c) Verifikujte vybraný model. d) Predikujte výšku 18-ti letého mladíka z dat jeho rodičů a prarodičů: x1=50.8 cm, x2=152.4 cm, x3=182.9 cm, x4=154.9 cm, x5=180.3 cm, x6=157.7 cm, x7=177.8 cm. e) Jaká je průměrná výška 18-ti letého mladíka?


75

2.

Zprostředkovatel náhodně vybral vzorek 11 úředních budov z 1 500 možných a získal data uvedená 2 v souboru Budovy.xls. „Poloviční vchod“ znamená vchod pouze pro přejímku zboží, plocha je uvedena v m a stáří budovy je uvedeno v měsících. Nalezněte regresní model, verifikujte jej (F-test, dílčí t-testy, autokorelace reziduí, normalita reziduí a nulová střední hodnota reziduí) a odhadněte s 95% spolehlivostí 2 cenu budovy, která má 3 000 m , 6 kanceláří, 3 vchody a je stará 2 roky. Komentujte důvěryhodnost tohoto odhadu.


76

ČASOVÉ ŘADY 1.

V souboru Obyv_SR.xls jsou uvedeny střední počty obyvatel Slovenska v letech 1924 - 1997. Určete: a) Průměrné střední počty obyvatel SR v 50. a 80. letech 20. století. b) O kolik procent ročně se průměrně měnil střední počet obyvatel v 50. a 80. letech 20. století. c) Jaký byl průměrný absolutní přírustek středního stavu obyvatelstva v 50. a 80. letech 20. století. d) Průměrné koeficienty růstu v 50. a 80. letech 20. století. e) Jak se změnil stav obyvatelstva SR v roce 1997 vůči roku 1950? f) Časovou řadu (1924 – 1997) vyrovnejte klouzavými průměry vhodného řádu, konce časové řady vyrovnejte metodou Končák. Zapište vyrovnané hodnoty pro roky: 1925, 1945 a 1997. (Uveďte, který řád klouzavých průměrů jste použili a proč.)


77

LITERATURA

1.

Briš R., Litschmannová M., Statistika I. pro kombinované a distanční studium, Ostrava 2004, dostupné na: www.am.vsb.cz/litschmannova

2.

Friesl. M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky, 2004, dostupné na: http://home.zcu.cz/~friesl/Archiv/PosbPsa.pdf

3.

Kohout, P.: Příklady z teorie pravděpodobnosti, dostupné na: http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/exam1.htm

4.

Litschmannová, M.: Statistika I. - řešené příklady, 2007, dostupné na: www.am.vsb.cz/litschmannova

5.

Otipka, P., Šmajstrla, V.: Pravděpodobnost a statistika, dostupné na: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/index.htm

6.

Schindler, M.: Příklady, dostupné na: http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~schim9am/priklady06.pdf


78

OBSAH Explorační analýza ................................................................................................................................................... 3 Test ...................................................................................................................................................................... 3 Kategoriální proměnná ....................................................................................................................................... 6 Numerická proměnná ......................................................................................................................................... 7 Číselné charakteristiky – obecně ......................................................................................................................... 8 Teorie pravděpodobnosti ...................................................................................................................................... 10 Test .................................................................................................................................................................... 10 Kombinatorika ................................................................................................................................................... 11 Základní axiómy pravděpodobnosti .................................................................................................................. 14 Geometrická pravděpodobnost ........................................................................................................................ 20 Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův teorém .......................................................................................... 21 Náhodná veličina a její číselné charakteristiky ...................................................................................................... 25 Test .................................................................................................................................................................... 25 Diskrétní náhodná veličina ................................................................................................................................ 28 Spojitá náhodná veličina ................................................................................................................................... 35 Náhodný vektor..................................................................................................................................................... 43 Test .................................................................................................................................................................... 43 Diskrétní náhodný vektor .................................................................................................................................. 43 Rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní a spojitou NV .................................................................................... 46 Rozdělení diskrétní náhodné veličiny ................................................................................................................ 46 Binomické rozdělení ...................................................................................................................................... 46 Hypergeometrické rozdělení ......................................................................................................................... 48 Negativně binomické rozdělení (resp. Geometrické rozdělení) .................................................................... 49 Poissonovo rozdělení .................................................................................................................................... 49 Rozdělení spojité náhodné veličiny ................................................................................................................... 51 Rovnoměrné rozdělení .................................................................................................................................. 51 Exponenciální rozdělení ................................................................................................................................ 52 Weibullovo rozdělení .................................................................................................................................... 53 Normální rozdělení........................................................................................................................................ 53 Centrální limitní věta ............................................................................................................................................. 56 Aproximace součtu NV .................................................................................................................................. 56 Aproximace průměru NV .............................................................................................................................. 57 Aproximace binomického rozdělení .............................................................................................................. 57 Aproximace Poissonova rozdělení ................................................................................................................ 59 Aproximace průměrného počtu události za časovou jednotku .................................................................... 59 Intervalové odhady a testování hypotéz ............................................................................................................... 60 Intervalové odhady ........................................................................................................................................... 60 Intervalové odhady pro jeden parameter ..................................................................................................... 60 Intervalové odhady pro rozdíl, resp. podíl parametrů .................................................................................. 61 Odhad rozsahu výběru .................................................................................................................................. 61 Jednovýběrové testy ......................................................................................................................................... 62 Jednovýběrové testy – parametrické ............................................................................................................ 62 Jednovýběrové testy – neparametrické ........................................................................................................ 63 Dvouvýběrové testy .......................................................................................................................................... 66 Dvouvýběrové testy – parametrické ............................................................................................................. 66 Dvouvýběrové testy neparametrické ............................................................................................................ 67 Další příklady ................................................................................................................................................. 69


79

ANOVA .................................................................................................................................................................. 71 Jednofaktorová ANOVA..................................................................................................................................... 71 Dvoufaktorová ANOVA ...................................................................................................................................... 72 Regrese.................................................................................................................................................................. 74 Jednoduchá regrese .......................................................................................................................................... 74 Vícenásobná regrese ......................................................................................................................................... 75 Časové řady ........................................................................................................................................................... 77 Literatura............................................................................................................................................................... 78 Obsah .................................................................................................................................................................... 79


80

(STATISTIKA I., SMAD)

Recommend Documents