Pravděpodobnost a matematická statistika I

Pravděpodobnost a matematická statistika I. Obsah kurzu: 1. Kombinatorika 2. Náhodný jev, operace s náhodnými jevy, klasická, geometrická, axiomatická definice pravděpodobnosti 3. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost jevů, úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 4. Náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, charakteristiky náhodné veličiny 5. Příklady diskrétních a spojitých rozdělení 6. Náhodný výběr, princip statistického testování 7. 2 testy, t – testy 8. princip shlukové analýzy Literatura. Calda E., Dupač V., Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, Statistika, Prometheus, 2005 Brousek, J., Ryjáček Z., Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti, ZČU Plzeň, 1992 Anděl J., Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 Mrkvička T., Petrášková V., Úvod do teorie pravděpodobnosti, PF JU, České Budějovice, 2008. http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/

Organizace kurzu. Pro udělení zápočtu je nutno splnit současně: •maximálně 3 absence na cvičeních, •maximálně 1 absence ve cvičeních, kde se píše test. •dostatečnou úspěšnost v průběžných testech. Každý test na cvičeních je hodnocen procentem úspěšnosti 0% – 100%. Pro získání zápočtu musí být průměr úspěšností všech krátkých testů na cvičeních alespoň 55%. Pokud student nezíská zápočet, nemůže skládat zkoušku  je hodnocen známkou “4“ (neprospěl)

Krátké testy se budou psát: 20.3., 24.4., 15.5. Opravný zápočtový test se píše 22.5. a je určen pro studenty s méně než 6 absencemi. Klasifikace u zkoušky řádný termín:



body pro klasifikaci jsou tvořeny  70% za zkouškový test  30% za průměr testů na cvičeních

 klasifikace: (x je dosažené procento úspěšnosti)  x < 55, známka 4  55  x < 65, známka 3  65  x < 70, známka 2 70  x < 80, známka 2  80  x < 90, známka 1 x  90, známka 1

Klasifikace u zkoušky opravné termíny:



body pro klasifikaci jsou tvořeny  100% za zkouškový test



klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti:  x < 55, známka 4  55  x < 65, známka 3  65  x < 70, známka 2 70  x < 80, známka 2  80  x < 90, známka 1 x  90, známka 1

Literatura. Calda E., Dupač V., Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, Statistika, Prometheus, 2005 Brousek, J., Ryjáček Z., Sbírka řešených příkladů z počtu pravděpodobnosti, ZČU Plzeň, 1992 Anděl J., Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 Mrkvička T., Petrášková V., Úvod do teorie pravděpodobnosti, PF JU, České Budějovice, 2008. http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/

Kombinatorika. Pravidla pro práci se skupinou: • výběr prvků • organizace podskupin

Základní pojmy. základní množina M skupina skupina k -té třídy uspořádaná skupina skupina bez opakování skupina s opakováním

konečná množina M o n prvcích je tvořena prvky z M. Nezáleží na pořadí prvků. skupina s k prvky skupina, v níž záleží na pořadí prvků každý prvek z M je zastoupen nejvýše jednou každý prvek z M může být zastoupen vícekrát

{1, 2 ,3, 4, 5} {1, 2} = {2, 1} {lichá čísla z M} je skupina 3. třídy {1, 2} se nerovná {2, 1} {lichá čísla z M} je skupina 3. třídy {1, 1, 2, 3, 5, 5}

Příklad. Kolik různých pěticiferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5, pokud: a) číslice v čísle použije jen jednou? b) Kolik z napsaných čísel bude začínat číslicí 5? c) Kolik z napsaných čísel bude sudých? Řešení: a) P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 b) P(4) = 4! = 4.3.2.1 =24 c) končících 2: P(4) = 4! =24 končících 4: P(4) = 4! = 24 dohromady : S = 2.4! = 2.24 = 48

Faktoriály a kombinační čísla.

n! n(n  1)(n  2)...3.2.1 n! n(n  1)(n  2)(n  k )!

0! 1 n n!    , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N  k  k!(n  k )!

Pravidla pro počítání s kombinačními čísly.

n n       k  n  k 

 n   n   n  1        , k  n  k   k  1  k  1

n n       1 0 n

Příklad. 10  10! 10.9.8      10.3.4  120 3 3 ! 7 ! 3 . 2 . 1    k  1  k   5      4  ?  2  5

Které přirozené číslo k vyhovuje rovnici  2 k + 1  2, k  1 k2 k2

(k  1)! k!  4 2(k  1)! 2(k  2)! k (k  1) k (k  1)  4 2 2 k = 2, protože k  N

Variace. Variace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky. Počet variací k-třídy z n prvků bez opakování:

Vk (n)  n.(n  1)....(n  k  1) 

n! , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n  N. (n  k )!

Příklad. M = {1,2,3}, určete počet dvojic bez opakování,které lze z této množiny vytvořit, pokud záleží na pořadí prvků. V2(3): (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), tedy můžeme vytvořit 6 variací 2. Třídy z 6 prvků. 3! V2 (3)   6 1!

Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice neopakují a záleží na pořadí cifer.

V3 (6) 

6!  6.5.4.  120 3!

Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá uspořádaná k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž se každý prvek může opakovat k krát. Počet variací k-té třídy z n prvků s opakováním:

Vk/ (n)  n k , k  N, n N. Příklad. Jsou dány číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kolik 3-ciferných čísel z nich lze sestavit, jestliže se číslice mohou opakovat a záleží na pořadí cifer.

V3/ (6)  6 3  216 Kombinace. Kombinace k-té třídy z n prvků bez opakování je každá k-prvková podmnožina základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků. Počet kombinací k-třídy z n prvků bez opakování: n C k (n)    , 0 ≤ k ≤ n, k  N, n N k 

Příklad. Kolik 4-tónových akordů lze zahrát z 7 tónů?  7  7! 7.6.5 C 4 (7)       35 4 4 ! 3 ! 3 . 2  

Kombinace k-té třídy z n prvků s opakováním je každá k-prvkový výběr (k-tice) základní množiny M s n prvky, v níž nezáleží na pořadí prvků a kde se každý prvek může opakovat (k krát). Počet kombinací k-třídy z n prvků s opakováním:  n  k  1  , k  N, n N C k/ (n)   k 

V obchodě mají 3 barvy příze v klubíčcích po 50 g. Potřebuji 500 g příze. Kolika způsoby mohu koupit 500g? Desetkrát vybíráme ze 3 barev klubíček po jednom klubíčku. Proto n = 3, k = 10.

12  12! C10/ (3)      66 10  10!2!

Příklad. Potřebujeme koupit 12 lahví minerálky. V obchodě prodávají minerálky 4 výrobců. Kolik možností nákupu máme? Základní množina M obsahuje n = 4 prvky. Z této množiny vybíráme 12-tice s opakováním (k = 12).

Příklad. Kolika způsoby lze rozdělit 20 volných vstupenek na premiéru Babovřesek mezi 10 důchodkyň? 1 osoba může uchvátit 0, …, 20 vstupenek. Jedná se tedy o kombinace s opakováním. n = 10, k = 20,

Permutace. Permutace bez opakování z n prvků je každé uspořádání n prvkové základní množiny.

P(n)  n! Příklad. Kolik přesmyček lze vytvořit z písmen m, a, t, e, m, a, t, i, k, a? P(10) = 10! = 3628800 Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují k1, k2, … , kn – krát je

Příklad. Kolika způsoby je možné mezi 30 studentů rozdat dvě volné vstupenky na koncert, pět vstupenek na plavecký stadión a deset vstupenek do posilovny, pokud každý ze studentů může dostat maximálně jednu vstupenku (i tak jich bude málo)?

máme málo lístků, na některé studenty nic nezbude ⇒ aby nebyli smutní dostanou prázdné papírky ⇒ vyřešeno a rozdáváme: 2 vstupenky na koncert, 5 lístků do bazénu, 10 lístků do posilovny a 13 prázdných, celkem 30!/(2!5!10!13! ) = 4.89109E+13 možností.

Binomická věta.  n  n  n  1 n1  n  0 n a b   a b , a  R, b  R, n  N (a  b) n   a n b 0   a n1b1  ...   0 1 n  1        n

k-tý člen řady:

 n  n ( k 1) k 1 a Ak   b k  1  

Příklad. Který člen rozvoje následujícího výrazu neobsahuje x? 3 (2 x 2  ) 6 , x 0 x

 6  2 6( k 1)  3 k 1  6  7k 2( 7k ) (2 x ) 2 x Ak   ( )   (3) k 1 x1k x  k  1  k  1

 6  7k 2 (3) k 1 x153k Pokud výraz neobsahuje x, pak x15-3k = 1, neboli 15 – 3k = 0. Ak    k  1

Odtud k = 5.

Pascalův trojúhelník. (a  b)1

1  1  a   b  0  1

1 1

(a  b) 2

 2 2 0  2 1 1  2 2 2  a b   a b   a b 0 1   2

1 2 1

(a  b) 3

 3  3 0  3 2 1  3  1 2  3 0 3  a b   a b   a b   a b  0 1   2  3

1 3 3 1

(a  b) 4

(a  b) 5

 4 4 0  4 3 1  4 2 2  4 1 3  4 0 4  a b   a b   a b   a b   a b 0 1   2 3  4

 5  5 0  5 4 1  5  3 2  5 2 3  5  1 4  5 0 5  a b   a b   a b   a b   a b   a b  0 1   2  3  4  5

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Příklad.

Určete součet

 n  n  n  n   n          ...       ,  0  1   2   n  1  n 

kde n je libovolné přirozené číslo nebo 0.

Jedná se o binomickou větu, kde a = b = 1. Proto

 n  n  n  n   n          ...        0  1   2   n  1  n 

= 2 n.

Důsledek. n   udává k 

počet všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny (k = 0 je prázdná množina. Výše odvozený součet udává počet všech podmnožin n-prvkové množiny. n-prvková množina má tedy 2n podmnožin.

Cvičení. 1. Jistý muž má 5 kabátů, 4 vesty a 6 kalhot. Kolika různými způsoby se může obléct? 2. Kolik různých hodů lze provést třemi kostkami? 3. Kolik různých šesticiferných čísel můžeme napsat z číslic 1,2,3,4,5,6 má-li se každá vyskytnout v čísle jen jednou? 4. Které přirozené číslo vyhovuje rovnici :

 x  1  x  1  x          2  0 2 2

5. n n Kterým kombinačním číslem je možno vyjádřit součet       4 5  6. (n  1)! n! Zjednodušte: n!  (n  1)! 7. Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet permutací bez opakování dvanáctkrát. Jaký byl původní počet prvků? 8. Kolik různých „slov“ lze vytvořit použitím všech písmen slova automatizace?