•
•
•
Statistika I (Deskriptif)
Statistika 1 (DeskriptiO
r
STATISTIKA 1 (DESKRIPTIF) Oleh
: Bambang Kustituanto Rudy Badrudin
Design & Lay Out
: QX Graphic Design
Diterbitkan pertama kali oleh Gunadarma ® Hak Cipta dilindungi undang-undang Jakarta 1994
Daftar lsi
BAB I PENDAHULUAN
1
1.1
DEFINISI STATISTIKA
1
1.2
PERKEMBANGAN PEMAKAIAN STATISTIKA
2
1.3
STATISTIKA DESKRIPTIP DAN STATISTIKA INFERENSIAL
3
1.4
POPULASI DAN SAMPEL
4
-----------------
BAB II MENGHIMPUN DATA
7
2.1
PENDAHULUAN
7
2.2
KARAKTERISTIK-KARAKTERISTIK SERANGKAIAN DATA
7
2.3
MENGHIMPUN DATA MELALUI PENELITIAN SURVEI
8
2.3.1 TIPE-TIPE DATA
9
2.3.2 SKALA PENGUKURAN
9
2.4
MENYUSUN KUESIONER
10
2.5
PEMILIHAN SAMPEL
12
2.5.1 PROSES SAMPLING
17
2.5.2 PROSEDUR SAMPLING
18
2.5.3 SAMPLING NON-PROBABILITAS
19
2.5.4 SAMPLING PROBABILITAS
20
KESALAHAN DALAM SURVEI
22
---------------------
---
--
2.6
BAB III PENYAJIAN DATA
25
3.1
DATA YANGDIURUTKAN
25
3.2
DISTRIBUSI FREKUENSI
26
3.2.1 DISTRIBUSI FREKUENSI DENGAN INTERVAL KELAS SAMA
26
3.2.2 DISTRIBUSI FREKUE~SI DENGAN INTERVAL KELAS TIDAK SAMA
33
3.2.3 DISTRIBUSI FREKUENSI DENGAN KELAS TERBUKA
35
---------
3.3
3.4
--~--------
-----
3.2.4 DISTRIBUSI FREKUENSI RELA TIP
35
HISTOGRAM DAN POLIGON FREKUENSI
36
3.3.1
36
HISTOGRAM FREKUENSI
3.3.2 POLIGON FREKUENSI
39
3.3.3 KURV A FREKUENSI
39
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIP DAN OGIVE --
41
3.4.1
41
-------------------------------
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIP
3.4.2 OGIVE 3.5
BENTUK PENY AJIAN YANG LAIN 3.5.1
3.6
---
43 45 45
DIAGRAM BATANG
3.5.2 GARIS
47
3.5.3 DIAGRAM LINGKARAN
48
HASIL CETAK KOMPUTER
50
BAB IV_UKURAN PUSAT DATA
56
4.1
PENDAHULUAN
56
4.2·
RATA-RATA HITUNG
56
4.2.1
RATA-RATA DARI DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
57
4.2.2 RATA-RATA DARI DATA YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
63
MEDIAN
69
4.3
------------
MEDIAN DARI OAT A YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
69
4.3.2 MEDIAN DARI OATA YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
72
MODE
74
4.4.1
MODE DARI OATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
74
4.4.2 MODE DARI OAT A YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
75
4.5
HUBUNGAN ANTARA RATA-RATA, MEDIAN, DAN MODE
78
4.6
KUARTIL, DESIN, DAN PERSENTIL
83
4.6.1
83
4.3.1
----
4.4
KUARTIL
4.6.2 DESIL DAN PERSENTIL
85
4.7
RATA-RATA TERTIMBANG
87
4.8
RATA-RATA GEOMETRIK
91
BAB V UKURAN V ARIABILITAS
94
5.1
PENDAHULUAN
94
5.2
JANGKAUAN, INTER-KUARTIL, DAN DEVIASI KUARTIL
95
--·-·~------·········~----
5.2.1 JANGKAUAN
95
5.2.2 INTER-KUARTIL
96
97
5.2.3 DEVIASI KUARTIL ---5.3 DEVIASI RATA-RATA
5.4
98
5.3.1 DEVIASI RATA-RATA DARI DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
98
5.3.2 DEVIASI RATA-RATA DARI DATA YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
101
VARIASI DAN SIMPANGAN BAKU
104
5.4.1
VARIAS I DARI DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
104
5.4.2 V ARIAS I DAR! DATA YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
107
5.4.3 SIMPANGAN BAKU DARI DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
110
5.4.4 SIMPANGAN BAKU DARI DATA YANG TELAH DIKELOMPOKKAN
111
5.4.5 HUKUM BIENA YME-CHEBYSHEV
112
----------------------
5.5.5 --
KOEFISIEN V ARIASI ..
113
··-·---···------
115
BAB VI ANGKA INDEKS 6.1
ANOKA INDEKS SEDERHANA
6.2
ANOKA INDEKS OABUNGAN
6.3
PENGUJIAN ANOKA INDEKS
128
6.4
PERUBAHAN T AHUN DASAR ANOKA INDEKS
131
6.5
PENDEFLASIAN RUNTUT W AKTU DENGAN INDEKS HARGA
132
KOMODITI SEJUMLAH KOMODITI)
BAB VII TREND SEKULER (SECULER TREND)
115 122
134
7.1
POLA DASAR PEROFRAKAN RUNTUT WAKTU
134
7.2
TREND GARIS LURUS (STRAIGHT LINE
138
7.3
TREND NON LINIER
154
·-·······---·-·-·····~·········--
7.4
PENGUKURAN TREND DENGAN LOGARITMA
163
7.5
PEMILIHAN METODE TREND YANG TEPAT
171
7.6
PERUBAHAN PERSAMAAN TREND ----
--------·--······--
174
BAB VIII V ARIASI MUSIM
181
8.1
PENENTUAN VARIAS! MUSIM
181
8.2
METODE RATA-RATA SEDERHANA DARI DATA ASLI
184
8.3
METODE RATA-RAT A SEDERHANA YANG DISESUAIKAN DENGAN TREND 187
8.4
METODE RASIO UNTUK RATA-RATA BERGERAK
190
8.5
ANALISIS PERUBAHAN POLA MUSIM
197
8.6
PENGGUNAAN INDEKS MUSIM
201
BAB IX GERAK SIKLIS DAN GERAK YANG TIDAK BERATURAN
204
9.1
MENGUKUR GERAK SIKLIS DARI DATA TAHUNAN
204
9.2
PENGUKURAN GERAK SIKLIS DARI DATA YANG KURANG DARI1TAHUN
206
MENGUKUR GERAK TAK BERATURAN DARI DATA YANG KURANG DARI 1 TAHUN
216
PENGGUNAAN GERAK SIKLIS DAN GERAK TAK BERATURAN
218
9.3 9.4
BAB X REGRESI DAN KORELASI LINIER ANALISIS SECARA UMUM
222
10.1
ISTILAH DALAM ANALISIS HUBUNGAN
223
10.2
PERSAMAAN DAN GARIS REGRESI
224
10.3
STANDAR DEVIASI REGRESI (THE STANDAR ERROR OF ESTIMATE)
228
2
10.4
KOEFISIEN DETERMINASI (R ) DAN KOEFISIEN KORELASI (R)
231
10.5
DATA YANG DIKELOMPOKKAN
239
BAB XI REGRESI DAN KORELASI LINIER ANALISIS SAMPLING
245
11.1
MODEL REGRESI LINIER UNTUK POPULASI
245
11.2
ESTIMASI GARIS REGRESI POPULASI
249
11.3
ESTIMASI STANDAR DEVIASI REGRES I POPULASI
251
11.4
INTERVAL ESTIMASI UNTUK oYX
253
11.5
INTERVAL ESTIMASI UNTUK NILAI Y INDIVIDUAL
256
11.6
ESTIMASI KOEFISIEN DETERMINASI p~ DENGAN r
259
11.7
PENGUJIAN HIPOTESIS - KOEFISIEN POPULASI p =po DENGAN TRANSFORMASI Z
262
11.8 11.9
PENGUJIAN HIPOTESIS - KOEFISIEN POPULASI p DENGAN ANALISIS VARIANS
po 263
MENGUJI HIPOTESIS- KOEFISIEN REGRESI POPULASI B = 0
267
~--------
BAB XII REGRESI DAN KORELASI NON LINIER
269
12.1
KURVAPARABOLA PANGKATDUA
269
12.2
MENGGAMBAR SMOOTH CURVE SECARA BEBAS
277
········-~~······---~
-----
12.3
DATA YANG DIKELOMPOKKAN
277
I 2.4
MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS AUABAR
283
BAB XIII KORELASI BERGANDA, KORELASI PARSIAL, DAN KOREI:ASI JENJANG
295
13.1
REGRESI DAN KORELASI LINIER BERGANDA
295
13.2
KORELASI PARSIAL
305
13.3
KORELASI JENJANG
307
BAB XIV SOAL LATIHAN
310
14.1
PENYAJIAN DATA
310
14.2
UKURAN PUSAT DATA
3ll
········----···-········--~~--~----
14.3
UKURAN VARIABILIT AS
14.4
ANGKA INDEKS
315 ~
14.5
ANALISIS RUNTUT WAKTU, REGRESI, DAN KORELASI
.DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN TABEL
......
__
319 321
Prakata
Sejalan dengan perkemhangan zaman, orang cenderung memilib jalan atau cara yang efisien untuk memperoleb basil yang maksimal. Demikian pula balnya dengan orang yang sedang mempelajari materi Statistika Deskriptif, ingin memahami konsep dengan cara yang mudah dan cepat dan mendapatkan basil yang maksimal. Atas dasar pemikiran tersehut penulis menyusun buku materi Statistika Deskriptif ini dengan urutan: Konsep, Berbagai tipe soal terkait yang disertai uraian penyelesaian, dan berbagai tipe soal terkait yang digunakan sebagai bahan evaluasi. Buku Statistika Deskriptif ini merupakan salab satu dari Serangkaian seri diktat kuliah yang diterbitkan oleh Penerbit Gunadarma, yang ditujukan terutama bagi mahasiswa yang sedang menempub mata ~uliab Statistika Deskriptif. Penulis membagi isi buku ini ke dalam 14 Bah. Bah 1 sampai bab 13 menguraikan tentang isi materi Statistika Deskriptif, dan pada hab terakbir (Bah 14) disajikan herbagai bentuk soallatihan. Materi yang dihabas dalam Bah 1 sampai dengan Bab 13 adalah materi yang berkenaan dengan konsep dasar ilmu Statistika Deskriptif. Penulis dapat menyelesaikan penyusunan huku ini atas araban dan dorongan dari banyak sahabat. Untuk itu penulis menyampaikan rasa terima kasib yang sehesar-besarnya. Kepada Penerhit Gunadarma yang telah bersedia menerbitkan huku ini kami sampaikan terima kasib pula. Untuk menjadikan huku ini lehib haik, saran dari pemhaca dan atau pemakai akan penulis terima dengan senang bati. Walaupun ada kekurangan-kekurangan, penulis berharap semoga huku ini hermanfaat. Terima kasib atas kesediaan membaca dan atau menggunakan huku ini.
Pebruari 1994 Penulis Bambang Kustiatuanto Rudy Badrudin
Bab I Pendahuluan
1.1 DEFINISI STAT/STIKA
a.
b.
c.
.••••.•••• Pertama~tama untuk menabung dengan saldo sampai RpS.OOO.OOO,OO bunganya dibebaskan dart pajak. Jika jumlahnya melebihi RpS.OOO.OOO,OO bank ditugaskan langsung memotong pajak 15% dart seluruh bungs simpanan nasabahnya• .......... (TEMPO, No.l6, Th. XIX, hal 90). •••••.••.• MulaiSenindepan(300ktober1989-10Nopember1989)hampir60.000.000 (persisnya59.888.100) lembarsaham pabrlk semen TigaRodaitu akan dilemparkan di Bursa Efek Jakarta .......... (TEMPO, No. 35, Th. XIX, hal 90). .......... 7 ribu rumah susun akan dibangun di bekas Bandara Kemayoran .......... (SUARA PEMBAHARUAN, Senin 30 Oktober 1989, hal. II).
Tiga petikan berita tersebutrnerupakan contohinforrnasi statistika yang banyakdiberitakan df berbagai media rnassa. Di berbagai kegiatan bisnis khususnya, inforrnasi-inforrnasi sernacarn itu dihirnpun secara terus rnenerus yang selanjutnya diproses, dianalisis, dan digunakan dalam pernbuatan keputusan yang. rasional. Sernula, statistika rnerniliki pengertian tentang segala sesuatu yang berkaitan dengan informasi nurnerikal. Akan tetapi, dalarn perkernl.:>angannya statistika rnemiliki pengertian yang lebih luas yang tidak sekedar berbicara ten tang inferrnasi numerikal. Banyak definisi statistika yang dikemukakan di berbagai buku teks yang pada dasarnya sama. Dalam buku ini statistika didefinisikan sebagai:
ilmu danseni -ada juga y:angmengatakansebagai teknik-tentangpengumpulan data, penyajian data, analisis data dan pengambilan kesintpulan data yang berhasil dihimpun tersebut. Seringkali kata s&atistika dikacaukan dengan kata statistik untuk pengertian yang sama. Sebenarnya, kedua kata tersel.:>ut merupakan terjemahan dari dua kata yang merniliki pengertian yang berbeda sekali, yaitustatistics dan statistic. Statistics diterjemahkan menjadi statistika dan statistic diterjernahkan rnenjadi statistik. Akan semakin jelas perbedaan kedua istilah tersebut jika telah sarnpai pada pembahasan seksi 1.4. Sebagai metodologi, dalam buku ini akan digunakan istilah statistika.
1.2 PERKEMBANGAN PEMAKAIAN STAT/STIKA
Sebagai sesuatu yang berkenaan dengan data numerikal, sebenarnya statistika sudah banyak digunakan oleh banyak negara, misalnya untuk mendaftar jumlah penduduk, perpajakan, pencatatan personel militer, dan lain sebagainya. Dengan semakin berkembangnya jaman, dewasa ini penggunaan statistika sudah semakin meluas di berbagai bidang kegiatan. Statistika tidak lagi hanya digunakan untuk kepentingan pemerintahan saja melainkan meluas sampai pada bidang bisnis, ekonomi, kedokteran, pendidikan, c!an lain sebagainya. Di dunia bisnis dan ekonorni, masalah ketidakpastian merupakan masalah yang senantiasa dihadapi oleh para pelaku bisnis dan ekonomi, seperti; memilih satu atau sejumlah saham yang ditawarkan di bursa saham; memprediksi volume dan nilai penjualan untuk periode yang akan datang; menilai kelayakan suatu usulan investasi dan lain sebagainya. Berikut ini disajikan dua contoh tentang penggunaan statistika di bidang bisnis dan ekonomi.
Contoh 1: Sampai akhir dekade sembilanpuluhan, perkembangan pasar modal di Indonesia sudah dernikian pesatnya. Perusahaan-perusahaan yang go public sudah dernikian banyaknya. Sampai bulan Juli 1993, jumlah perusahaan yang telah go public sudah mencapai 204 perusahaan dengan jumlah dana Rpl6.765.913 juta, terbagi atas saham (168 perusahaan dengan nilai RpRp11.854.162 juta) dan obligasi (36 perusahaan dengan nilai Rp4.911.751 juta). Hampir setiap edisi, beberapa media cetak utama mempublikasikan prospektus sebuah perusahaan yang go public. Pempublikasiannya, seringkali disertai dengan informasiinformasi numerikal tentang perusahaan bersangkutan, misalnya, pangsa pasar yang dikuasainya, perkembangan volume dan nilai penjualan, perkembangan kapasitas produksi, prospek nilai penjualan di masa yang akan datang, dan lain sebagainya. Dalam hal ini, calon investor hams pandai-pandai menganalisis informasi yang disajikan dalam prospektus tersebut. Tidak cukup hanya dengan informasi yang tersedia saja, calon investor pun harus dapat menggali informasi lain yang tidak disediak~n oleh prospektus tersebut. Contoh 2: Sudah selayaknya bahwa setiap perusahaan hams dapat menyusun anggarannya untuk setiap tahunnya, kendati dalam praktik masih banyak perusahaan-perusahaan yang belum membuat anggarannya. Menyusun anggaran sebenarnya berarti menetapkan sesuatu yang belum terjadi. Berapa volume dan nilai penjualan untuk periode yang akan datang; berapa volume produksi untuk periode yang akan datang; berapa rupiah yang hams dikeluarkan untuk pembelian bahan baku, membayar tenaga kerja, biaya overhead pabrik, merupakan pertanyaan-pertanyaan yang hams dapat dijawab dalam bentukanggaran. Pimpinan perusahaan tidak dapat begitu saja dalam menjawab pertanyaan di atas. Misalnya, menetapkan volume penjualan, pimpinan perusahaan harus mengkaitkannya dengan pola penjualan periodeperiode yang lalu; mengkaitkannya dengan kekuatan pesaing; mengkaitkan dengan perkembangan permintaan; mengkaitkan berbagai faktor yang dapat mempengamhi volume penjualan baik secara langsung maupun tidak. Di sini, statistika dapat digunakan untuk 2
membantu pimpinan perusahaan dalam mengambil keputusan, misalnya dengan menggunakan analisis puntut waktu dan analisis regresi-korelasi. Apakah statistika merupakan alat bantu yang demikian penting sehingga tanpanya, keputusan yang dibuat tidak akan mencapai basil yang optimal? Tidak. Kadang-kadang hal-hal yang berkaitan dengan seni yang tentu saja tidak dapat dikuantifisir, dapat berpengaruh dalam proses pengambilan keputusan. 1.3 STAT/STIKA DESKRIPT/P DAN STAT/STIKA INFERENSIAL
Statistika dibedakan menjadi dua bagian, yaitu statistika deskriptip dan statistika inferensial. Statistika deskriptip adalah serangkaian teknik yang meliputi teknik pengumpulan, penyajian, dan peringkasan data. Contoh 3: Jumlah karyawan PT Balapan Indah yang bekerja pada departemen produksi hingga akhir tahun 1989 berjumlah 200 orang. Untuk mengetahui tingkat ketidakhadiran karyawan selama satu tahun, pimpinan dapat melihat daftar karyawan yang tidak hadir yang disediakan oleh departemen personalia. Petikan daftar tersebut, misalnya, adalah sebagai berikut: Tabell.1 Daftar Karyawan yang Tidak Hadir pada Departemen Produksi PT Balapan Indah Tahun 1993 ~o.
~ama
001 002
Kanto Rusman Ipung Rahmatindo Landung Sugiri Baldig Miswanto
003 004 I
I 199 200
.Jumlah tidak hadir
I I Danto Retnopo Sri Patmowita
20hari 15 hari 12 bari 10 hari I
I 12 hari 30 bari
Tidak mustahil bahwa pimpinan akan menjumpai kesulitan dalam membaca tabel 1.1 di atas. Apalagi jika ia ingin mengetahui apakah terdapat penurunan tingkat ketidaldiadiran pada tahun 1988. Data yang disajikan seperti pada tabel 1.1 di atas barns disajikan dalam bentuk yang lebih ringkas dan informatif seperti tabel-tabel ringkasan, diagram-diagram, atau disajikan dalam ukuran-ukuran tertentu (akan dijelaskan nanti pada bab 3 dan 4). Teknik-teknik demikian ini akan banyak dibahas dalam statistika deskriptip. Statistika inferensial adalah serangkaian teknik yang digunakan untuk mengkaji, menaksir dan mengambil kesimpulan sebagian data (data sampel) yang dipilih secara acak dari seluruh data yang menjadi subyek kajian (populasi). 3
'
'
........
'
"''
Contoh 4 Selama ini, PT Mataram Kencana senantiasa menggunakan jasa Fa. Asia Ray a untuk mengirim produk-produk yang dihasilkannya. Beberapa waktu yang lalu, bagian pengiriman PT Mataram Kencana mendapat tawaran kerjasama dari sebuah perusahaan pengiriman, Fa. Asia Raya. Pimpinan Fa. Asia Raya menjanjikan bahwa tingkat kerusakan yang mungkin terjadi hanya sebesar 5% atau kurang. Dari pengiriman percobaan sebanyak 25% dari seluruh barang yang dikirim, temyata tingkat kerusakan yang terjadi sebanyak 6%. Tidakjarang bahwa suatu kesimpulan yang menyangkut suatu keadaan sejumlah subyek harus dibuat hanya mendasarkan pada informasi yang dimiliki sebagian dari seluruh subyek yang menjadi kajian. Dari contoh di atas, pimpinan PT Mataram Kencana harus dapat membuat keputusan- menerima tawaran itu atau tidak- hanya dengan berlandaskan pada informasi sejumlah kecil barang yang dikirim. Dalam hal ini, pimpinan perusahaan dapat menggunakan teknik-teknik inferensial. Proses inferensi tersebut dapat digambarkan melalui hubungan antara populasi dan sampel pada gambar 1 pada seksi berikut ini. 1.4 POPULASI DAN SAMPEL
Dua istilah, populasi dan sampel, merupakan istilah yang harus difahami benar-benar dalam mempelajari statistika. Keduanya dapat didefinisikan sebagai berikut:
Populasi adalah seluruh obyek yang ingin diketahui besaran karakteristiknya. Sampel adalah sebagian obyek populasi yang memiliki karakteristik sama dengan karakteristik populasinya, yang ingin diketahui besaran karakteristiknya. Hubungan antara populasi dan sampel dapat dilihat melalui diagram venn berikut ini:
._____________ proses inferensi
8 ---1----___.8 Gambar 1
Hubungan antara Populasi dan Sampel Contoh 5 Pimpinan Bumi Mataram Supermarket ingin mengetahui tanggapan para pelanggan atas layanan yang diberikannya, yaitu layanan pengiriman barang belanja. Untuk itu, pihak Bumi Mataram Supermarket meminta 50 orang pelanggan yang berkunjung pada minggu terakhir 4
bulan Desember untuk mengisi sebuah daftar yang memuat beberapa pertanyaan. Selanjutnya, basil akan digunakan untuk menaksir tanggapan seluruh pelanggannya. Dalam contoh di atas, populasinya adalah seluruh pelanggan yang berkunjung selama minggu terakhir bulan Desember. Sedangkan sampelnya adalah kelimapuluh pelanggan yang menerima daftar pertanyaan. Yang menjadikan pertanyaan adalah, mengapa pimpinan supermarket hanya meminta kelimapuluh pelanggan untuk mengisi daftar pertanyaan? Mengapa tidak seluruh pelanggan yang diminta untuk mengisi daftar pertanyaan tersebut? Bukankah akan lebih baik jika informasi yang digali itu berasal dari seluruh pelanggan? Beberapa alasan mengapa seseorang menggunakan sampel dibanding dengan menggunakan seluruh sumber informasi adalah sebagai berikut: a. Sebagai lawan dari penghimpunan data melalui sampel adalah penghimpunan data melalui sensus. Biaya penyelenggaraan sensus sangat besardan mahal tentunya. Dengan menggunakan sampel, biaya-biaya yang terjadi dapat dihemat menjadijauh lebih kecil. b. Penghimpunan data melalui sensus membutuhkan waktu yang cukup lama. Pekerjaan sensus tidak dapat diselesaikan dalam waktu satu atau dua minggu, baik mulai dari persiapan penghimpunan data hingga pengolahan dan analisisnya. Karena sampel memiliki ukuran yangjauh lebih kecil, maka tentu saja waktu yang dikonsumsi punjauh lebih sedikit. c. Dalam sensus, karena sumber informasinya demikian banyak, tentu saja tenaga yang dibutuhkannya pun banyak pula. Dengan menggunakan sampel, tentu saja tenaga yang dibutuhkan menjadi jauh lebih sedikit. d. Pengujian yang sifatnya merusak, penggunaan sampel dapat dikatakan merupakan suatu keharusan. Sebagai contoh, untuk menguji usia pakai 1.000 buah bola lampu, seseorang jelas tidak mungkin menguji seluruh bola lampu. Pengujian harus dilakukan hanya terhadap sebagian (sampel) bola lampu saja. Adakalanya, penghimpunan data memang harus dilakukan terhadap seluruh obyek (populasi). Berapa jumlah penduduk sampai tanggal 31 Desember 1993? Jelas bahwa pertanyaan ini tidak dapat dijawab dengan menggunakan sampel. Da1am hal ini, pemerintah memang harus melakukan sensus. Informasi yang diperoleh jelas tidak sekedar jumlah penduduk saja, namun lebih dari itu, misalnya, status perkawinan, usia, pendidikan, pekerjaan, dan lain sebagainya. Dua istilah lainnya sehubungan dengan populasi dan sampel adalah parameter dan statistik. Keduanya dapat didefinisikan sebagai berikut:
Parameter atau lengkapnya parameter populasi adalah ukuran-ukuran tertentu yang digunakan sebagai penggambaran suatu populasi. Statistik atau statistik sampel adalah ukuran-ukur.an tertentu yang digunakan untuk menggambarkan suatu sampel. Dari definisi statistik tersebut di atas, kiranya jelas bahwa an tara statistik dan statistika memiliki perbedaan yang tegas. 5
'.
' '
Contoh 6 Lihat contoh 5 di atas. Dari sekian pertanyaan yang diajukan adalah pertanyaan tentang nilai pembelian yang mereka keluarkan. Setelah dihitung, ternyata rata-rata nilai pembelian yang mereka keluarkan adalah Rp26.500,00. Rata-rata nilai pembelian yang dihitung dari kelimapuluh pelanggan tersebut adalah salah satu contoh statistik sampel. Selanjutnya, masalah ini akan dibahas secara rinci pada bab 4 dan 5 nanti. Contoh 7 Lihat contoh 6 di atas. Dari hasil perhitungan rata-rata nilai pembelian tersebut, pimpinan supermarket menaksir bahwa rata-rata nilai pembelian seluruh pelanggan yang berbelanja selama minggu terakhir bulan Desember adalah sekitar Rp26.500,00 (± Rp26.500,00). Taksiran rata-rata nilai pembelian sebesar ± Rp26.500,00 itulah yang disebut parameter populasi.
6
Bab II Menghimpun Data
2.1 PENDAHULUAN
Bagi seorang pembuat kue atau penganan, kualitas kue sangat ditentukan _ tentu saja termasuk cara memasaknya _ oleh kualitas bahan baku yang dipakai. Jika kualitas tepung beras yang dipakai tergolong jelek, tentu saja kue apem yang dihasilkan misalnya, akan berasa asam. Tidak berbeda dengan seorang statistisi, ia juga membutuhkan bahan baku yang baik agar produk akhimya dapat dimanfaatkan dengan baik. Pada bab sebelumnya dikemukakan bahwa statistika merupakan alat bantu yang baik sekali untuk mengambil keputusan. Maka, sangatlah fatal akibatnya jika dasar pengambilan keputusannya sendiri memiliki kualitas yangjelek.
Data merupakan kumpulan fakta atau angka atau segala sesuatu yang dapat dipercaya kebenarannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar menarik suatu kesimpulan. Data dapat dijumpai di berbagai tempat. Dari surat kabar yang terbit setiap hari, akan dijumpai berbagai informasi mengenai harga sekuritas, komoditas dagangan, kurs mata uang asing, tingkat inflasi yang melanda suatu negara, dan lain sebagainya.
Contoh 1 Berikut contoh petikan publikasi harga beberapa saham perusahaan yang dikutip (telah diolah) dari harlan Jawa Post tanggal 7 April 1990 Tabel2.1
Catatan Perubahan Kurs dan Transaksi Saham di Bursa Efek Jakarta (dalam rupiah) "\o.
'\.1111.1 Pt·rusah.l.lll
I. : Semen Cibinong 2. ; Centex
h..nnis 2'!/J
.lum·at JU/J
Senin 2/.t
Sda . . a J/.t
17.QOO 73.8oo
17.000 73.800
16.600 73.800
16.400 73.800
R.du1 .ti-t
\ olunH· S,d1.1111
IJ.ms.tl..sl I'
I IIUU I
7
Contoh 2 Dari tabel 2.2 berikut dapat dilihat serangkaian informasi tentang usia, jenis kelaimin, pendapatan rata-rata per bulan, pengeluaran rata-rata per bulan, danjumlah anggota keluarga yang menjadi tanggungannya dari enam tenaga pengajar sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta. Tabel2.2 Data Usia, Jenis Kelamin, Pendapatan dan Pengeluaran Rata-rata per Bulan, dan Jumlah Anggota Keluarga yang Menjadi Tanggungannya dari 6 Tenaga Pengajar Sebuah Perguruan Tinggi Swasta di Yogyakarta Variabel
I '\am a
l sia
.knis Kl'lamin
Pt·mlapalan
Pcngduanm
29
Handokn 'Dewi Jol<.o
28 48
L p L
450.000 450.000 800.000
150.000 400.000 700.000
Doni
29
L
200.000
160.000
30 30
p L
850.000 450.QOO
400.000 300.000
Beti
I
-Bambq
Elemen/unsur
\nggola Kl'luarga
I
I
-
!
6 8
I
11 3
~ -"'c::
"'
I
Observasi
2.2 KARAKTERISTIK-KARAKTERISTIK SERANGAKAIAN DATA
Sebagai kumpulan fakta, serangkaian data memiliki karakteristik-karakteristik seperti berikut ini: Elemen atau Unsur Serangkaian data meliputi sekumpulan elemen yang untuk masing-masing elemen tersebut memiliki informasi tentang karakteristik-karakteristik elemen-elemen yang bersangkutan. Pada contoh yang disajikan pada tabel2.2 di atas, elemen adalah semua tenaga pengajar perguruan tinggi swasta tersebut. Variabel Variabel adalah karakteristik elemen yang menjadi perhatian dan memiliki nilai-nilai yang berbeda-beda. Misalnya, karakteristik yang menjadi perhatian adalah pendapatan rata8
rata per bulan. Sebagai karakteristik, variabel ini memberikan penjelasan terhadap elemenelemen tertentu. Kasus Kasus adalah informasi yang menyangkut seluruh variabel suatu elemen tertentu. Dari tabel 2.2 di atas, kasus ditunjukkan pada masing-masing baris. Kasus disebut juga sebagai vektor observasi. Dengan demikian, jumlah kasus akan sama dengan jumlah elemen _ dalam contoh di atas sebanyak enam kasus. Observasi Observasi sering pula disebut sebagai hasil (baca tentang teori probabilitas), yaitu suatu unsur dari serangkaian variabel tertentu. Dalam tabel di atas, usia Joko (48 tahun) merupakan observasi atau hasiL 2.3 MENGHIMPUN DATA MELALUI PENELITIAN SURVEI
2.3.1 Tipe-tipe Data Perhatikan contoh data yang tersaji pada tabel2.2 di atas. Di atas tersaji bahwa variabelvanabel yang ada dapat dibedakan menjadi dua, yaitu variabel yang berupa data kuantitatip dan variabel yang berupa data kualitatip. Variabel usia, pendapatan, pengeluaran, dan jumlah anggota keluarga merupakan contoh data kuantitatip dan jenis kelamin merupakar contoh data kualitatip. Data kuantitatip adalah suatu karakteristik dari suatu variabel yang nilai-nilainya dinyatakan dalam bentuk numerikal. Data kualitatip adalah suatu karakteristik dari suatu variabel yang nilai-nilainya dinyatakan dalam bentuk n.on-numerikal atau atribut-atribut. Data kuantitatip sendiri dapat dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinyu. Data kuantitatip diskrit adalah karakteristik suatu variabel yang berasal dari proses penghitungan dan berupa bilangan bulat. Data kuantitatip kontinyu adalah karakteristik suatu variabel yang berasal dari proses pengukuran dan nilai-nilainya berada dalam suatu interval ataujangkauan tertentu. Nilai-nilai data kuantitatip kontinyu dapat berupa bilangan pecahan yang tidak terhingga banyaknya. Contoh data kuantitatip diskrit, atau seringjuga disebut sebagai variabel diskrit adalah jumlah anggota keluarga yang ditanggung (kolom ke-6 tabel 2.2). Contoh lain misalnya: jumlah mobil yang terjual, jumlah bola lampu yang rusak, dan lain sebagainya. Cara yang paling mudah untuk menentukan apakah suatu variabel tergolong diskrit atau tidak, apakah nilai data tersebut dimungkinkan dalam bentuk bilangan pecahan? Jika tidak, jelas bahwa variabel tersebut adalah variabel diskrit.
9
Contoh data kontinyu dari tabel2.2 di atas adalah: usia, rata-rata pendapatan per bulan, dan rata-rata tingkat pengeluaran perbulan. Seperti halnya di atas, apakah suatu variabel tergolong kontinyu atau bukan, dapat diajukan pertanyaan, apakah nilai data dimaksud dimungkinkan dalam bentuk bilangan pecahan? Jika ya, makajelaslah bahwa data tersebut dapat digolongkan dalam variabel kontinyu. Pembahasan data diskrit dan kontinyu akan dibahas lebih mendalam nanti pacta bab distribusi probabilitas pada buku yang lain. Perbedaan data di atas dapat diikhtisarkan melalui bagan berikut ini:
TIPEDATA
TIPEPERTANYAAN
TANGGAPAN
Kualitatip
Jenis kelamin
(L) I (P)
Diskrit
-
Jumlah anggota keluarga yang menjadi tanggungan saudara sekarang:
Orang
Kuantitatip Kontinyu - Rata~rata pengeluaran per bulan setahun terakhir:
Rp
Gambar 2.1 Tipe-tipe data 2.3.2 Skala Pengukuran Dari berbagai tipe data yang dikumpulkan, tingkat pengukuran dan tipe pengukurannya pun berbeda pula. Demikian pula untuk data diskrit, kendati data tipe ini timbul dari proses penghitungan, dapat juga dikatakan bahwa data diskrit timbul dari pengukuran melalui proses penghitungan. Ada empat tingkat pengukuran data- mulai dari yang paling lemah hingga yang paling kuat- yaitu: nominal, ordinal, interval, dan rasio. a.
Skala nominal dan ordinal
Data kualitatip yang dihimpun dapat diukur dengan menggunakan skala pengukuran nominal dan ordinal. Jika data yang dihimpun dapat dibedakan menjadi beberapa kategori tanpa memperhatikan urutan tertentu, maka tingkat pengukuran yang dapat digunakan adalah tingkat pengukuran nominal. Di sisi lain, jika data yang dikumpulkan dapat dibedakan menjadi beberapa kategoti yang berbeda dengan memperhatikan urutan, maka tingkat pengukuran yang dapat digunakan adalah tingkat pengukuran ordinal. Pemberian angka pada masing-masing 10
l kategori dapat memberikan gambaran tentang urutan masing-masing kategori. Untuk kedua tingkat pengukuran tersebut, perhatikan dua contoh kuesioner kecil pada contoh 3 dan contoh 4. Pengelompokan data jenis sabun yang digunakan (contoh 3) tidak memperhatikan urutan tertentu, misalnya kualitas sabun. Peletakan sabun cuci batang pada urutan pertama bukan berarti bahwa sabun cuci batangan memiliki kualitas tertinggi daripada jenis sabun cuci yang lainnya. Demikian pula tempat pembelian sabun cuci. Peletakan supermarket pada urutan pertama bukan berarti bahwa berbelanja di supermarket lebih baik daripada berbelanja di tempat-tempat yang lain. Data yang berhasil dikumpulkan, pengukurannya dilakukan dengan menggunakan skala nominal. Jika data tersebut diberi angka-angka, maka angka-angka tersebut tidak bermanfaat dalam analisis. Angka-angka tersebut sekedar berfungsi sebagai label saja.
Contoh 3 Koesioner untuk pengukuran nominal Jenis sabun cuci yang saudara gunakan selama sebulan ter-akhir: Sabun cuci batangan. a. (_) Sabun cuci deterjen krim b. (_) Sabun cuci deterjen bubuk c. (_) Sabun cuci cair d. (_) Di mana saudara membeli sabun cuci tersebut? Supermarket a. (_) Toko kelontong b. (_) Pasar c. (_) <·.
Contoh 4 Koesioner untuk pengukuran ordinal Selama saudara berbelanja di "Mataram Jaya"' Supermarket, apakah pelayanan yang saudara terima memuaskan? · Sangat tidak memuaskan a. (_) Tidak memuaskan b. (_) Netral c. (_) Memuaskan d. (_) Sangat memuaskan e. (_) Apak.ah harga-harga yang ditawarkan di "MataramJaya" Supermarkettergolong mahal1 Sangat mahill a. (_) Cukup mahal b. (_) Netral c. (_) Cukup murah d. (_) Sangat murah e. (_)
11
Berbeda dengan contoh 4. Data yang berhasil dikumpulkan memiliki urutan tertentu. Misalnya tentang tanggapan pengunjung supermarket tersebut tentang pelayanan yang diberikan. Pengelompokan data yang berhasil dikumpulkan terlihat sekali memiliki urutan tertentu. Jika pelayanan yang sangat tidak memuaskan diberi nilai 1, maka kelompok berikutnya dapat diberi nilai yang lebih tinggi yaitu: tidak memuaskan = 2; netral = 3; memuaskan =4; dan sangat memuaskan =5. Berbeda dengan skala nominal, angka-angka yang diberikan pada masing-masing kategori memiliki manfaat tersendiri dalam analisis data selanjutnya. Kendati demikian, pemberian angka pada masing-masing kategori tersebut tidak mencerminkan adanya jarak an tar kategori. Angka 5 dan 4 memiliki jarak atau interval yang sama dengan angka 2 dan 1. Akan tetapi, ini bukan berarti bahwa antara "sangat memuaskan" dan "memuaskan" merniliki perbedaan tingkat yang sama dengan "tidak memuaskan" dan "sangat tidak memuaskan". Perbedaan demikian ini tidak dapat dijelaskan.
Skala interval dan rasio Skala interval merniliki kelebihan dibanding dengan kedua skala pengukuran yang terdahulu, dengan menambahkan berlakunya konsep interval. Jika sekelompok kategori data diberi nilai 1, 2, 3, 4, 5, makajarak antara 1 dan 2 sama denganjarak 4 dan 5. Jarak-jarak ini juga menggambarkan jarak-jarak pada kategorinya. Sebagai contoh adalah angka-angka tanggal dalam kalender,jam dan lainnya. Jarak antara tanggal25 dan 29 sama denganjarak antara tanggall6 dan 20 (29-25 =20-16). Demikianjuga bahwajarak antarajam 16.00 dan jam 19.00 samadenganjarakantarajam09.00 dan 13.00. Akan tetapi, bukan berarti bahwa tanggal20 lebih lambat dua kali dibanding dengan tanggall 0, atau jam 09.00 lebih cepat dua kali daripada jam 18.00. Hal ini disebabkan adanya penetapan titik pusat. Penetapan titik pusat di sini dapat terjadi berubah-ubah. Misalnya, tanggal27 dikatakan lebih lambat dua kali dibanding tanggal18 jika titik pusatnya ditetapkan tanggal9. Namun dapatjuga dikatakan lebih lambat tiga kali jika titik pusatnya ditetapkan tanggal 30 (atau tanggal 31) bulan sebelumnya. Sedangkan skala pengukuran rasio, lebih unggul dibanding dengan tiga skala di atas. Dalam skala rasio dikenal adanya titik pusat. Skala rasio menyajikan nilai sesungguhnya dari variabel-variabel yang dapat diukur dengan menggunakan skalarasio. Misalnya, berat badan sebesar 40 kg adalah dua kali berat badan 20 kg. Seluruh teknik analisis statistika dapat digunakan untuk menganalisis variabel-variabel yang berskala rasio. b.
2.4 MENYUSUN KUESIONER
Menyusun kuesioner - suatu daftar yang memuat berbagai pertanyaan _ merupakan salah satu tahap pengumpulan data yang sangat penting. Secara khusus, sebuah kuesioner memiliki lima bagian yaitu:
a.
12
ldentifikasi data Secara khusus, identifikasi data menempati pada bagian pertama dari sebuah kuesioner yang terdiri dari identas responden (nama, alamat, dan sebagainya). Dapat juga ditambahkan waktu wawancara, nama pewawancara. dan kode pewawancara.
b.
Permohonan kerjasama Jelas kiranya bahwa dengan adanya suatu pertanyaan permohonan kerja sama ini, pewawancara mengharapkan adanya kerjasama untuk pengumpulan data. Dalam bagian ini disebutkan identitas pewawancara (jika tidak disebutkan pada bagian pertama), organisasi asal pewawancara atau lembaga yang menyelenggarakan wawancara, maksud dan tujuan wawancara, dan waktu yang dibutuhkan dalam wawancara.
c.
Petunjuk pengisian Bagian ini memuat petunjuk penggunaan atau pengisian kuesioner baik untuk responden maupun pewawancara. Bagian ini muncul jika kuesioner disampaikan dengan menggunakan jasa pos.
d.
Inti kuesioner Bagian ini meliputi berbagai pertanyaan yang diajukan kepada responden yang berkenaan dengan segala informasi atau data yang dibutuhkan. Klasifikasi data Dari bagian ini, data yang berhasil dihimpun dapat diklasifikasikan menjadi beberapa bagian. Bagian ini lebih menunjukkan karakteristik responden. Untuk kuesioner yang disampaikan melalui pos, bagian ini secara langsung diisi oleh responden sendiri. Sedangkan untuk wawancara langsung maupun melalui telepon, dilakukan oleh pewawancara dengan mengajukan pertanyaan. Kadang-kadang, klasifikasi data dimuat pada bagian pertama dari sebuah kuesioner.
e.
Sebenamya, menyusun sebuah kuesioner merupakan pekerjaan yang lebih mengandalkan seni yang didukung pengalaman dari sebuah pekerjaan yang bersifat ilmiah. Tahap-tahap penyusunan sebuah kuesioner dapat dilihat pada bagian berikut ini: I. Persiapan 2. Penetapan isi pertanyaan 3. Penetapan tipe pertanyaan 4. Penyusunan kalimat 5. Pengurutan pertanyaan 6. Penetapan karakteristik fisikal 7. Uji pendahuluan dan perbaikan Gambar 2.3 Tahap-tahap Penyusunan sebuah Kuesioner 13
Tahap-tahap penyusunan sebuah kuesioner akan dibahas sebagai berikut:
a.
Persiapan Hal-hal yang harus dikerjakan dalam tahap persiapan penyusunan sebuah kuesioner adalah penetapan tujuan penelitian dan informasi-informasi apa saja yang dibutuhkan.
Penetapan isi pertanyaan lsi pertanyaan-pertanyaan yang diajukan sangat dipengaruhi oleh kemampuan responden dan atau kemaual} responden secara tepat. Beberapa tipe data tidak dapat dihimpun dari responden. Data-data demikian ini yang berkaitan dengan kemampuan responden dihasilkan oleh responden yang tidak mengetahui dan responden yang lupa jawaban yang akan diberikan. Katakanlah bahwa responden dapat memberikan tanggapan secara tepat. Timbul persoalan, apakah responden memiliki kesediaan untuk memberikan tanggapan atau tidak, Beberapa pendekatan yang dapat digunakan untuk menghadapi masalah tersebut, yaitu: Counterbiasing statement: Kuesioner diawali dengan suatu pertanyaan bahwa kuesioner bukanlah sesuatu yang istimewa akan tetapi sesuatu yang biasa saja. Kemudian dilanjutkan dengan pertanyaan. Indirect statement: Pertanyaan diajukan bukan untuk mendapatkan informasi responden, namun untuk orang lain. Dengan demikian, pendapat responden tentang orang lain akan mencerminkan pula tenti:mg dirinya sendiri. Randomized response technique: Teknik ini digunakan untuk pertanyaan-pertanyaan yang sangat peka sekali, atau sangat pribadi sifatnya. Di sini, responden diminta memilih salah satu dari dua pertanyaan secara acak _ dengan melontar koin misalnya dengan menjawab "ya" atau "tidak". Kedua pertanyaan tersebut berbeda satu dengan yang lainnya. Pertanyaan yang satu adalah pertanyaan yang peka sifatnya dan pertanyaan yang lain pertanyaan yang tidak peka.
b.
Contoh 5 Pilihlah salah satu dari dua pertanyaan berikut dengan menjawab "ya" atau ''tidak''. Lontarkan sekeping uang logam Rp 100,00. Jika yang muncul adalah angka 100, pilihlah pertanyaan A dan jika yang muncul adalah gambar rumah, maka pilihlah pertanyaan B. A. Apakah toko yang saudara kelola menggunakan jasa pinjaman dari Bank Niaga
selama setahun terakhir? B. Apakah toko yang saudara kelola dibuka }Jada pukul 07.00 pagi? Ya (_) Tidak (_)
14
Jawaban yang manapun yang dipilih, ya atau tidak, pewawancara tidak akan mengetahui pertanyaan mana yarig dijawab oleh responden. Untuk mengetahuinya, dapat digunakan teori probabilitas dengan rumus: Misalnya, responden menjawab "ya", maka:
P(Y I PP) =
P(Y) ~ P(PP).P(Y I PTP) P(PP)
Y : jawaban "ya" PP : pertanyaan peka PTP: pertanyaan tidak peka Untuk lebihjelasnya, pelajari bab teori probabilitas pada bagian probabilitas bersyarat.
c.
Penetapan tipe pertanyaan Satu masalah yang berhubungan dengan isi pertanyaan adalah tipe atau bentuk pertanyaan. Ada tiga bentuk pertanyaan yang dapat digunakan, yaitu:
Pertanyaan terbuka: Terhadap pertanyaan yang terbuka ini, responden diminta memberikan tanggapan secara bebas.
Contoh 6 Apa tanggapan saudara terhadap pelayanan yang diberikan oleh Bank Niaga selama saudara menjadi nasabahnya? Untuk bentuk pertanyaan seperti tersebut di atas, responden tentu saja disediakan suatu ruangan pada lembar tanggapan untuk mengisikan tanggapannya.
Pertanyaan tertutup Bentuk pertanyaan tertutup ini, untuk responden telah disediakan beberapajawaban dan responden diminta memilih jawaban yang dikehendaki. Sebagai contoh, lihat pada contoh 3 dan contoh 4 di atas.
Pertanyaan campuran Bentuk pertanyaan ini merupakan gabungan antara bentuk terbuka dan bentuk tertutup.
Contoh 7 Untuk kebutuhan sabun mandi, saudara membelinya: Sebulan sekali a. (_) Seminggu sekali b. (_) Jika membutuhkan saja c. (_) Cara lain sebutkan d. e. f. 15
Pertanyaan dikotomi Bentuk ini tidak berbeda dengan bentuk pertanyaan tertutup. Di sini responden telah disediakan jawaban yang mereka butuhkan. Hanya saja, jawaban yang disediakan hanya dua seperti: "ya" atau "tidak"; "tahu" atau "tidak tahu"; "mengerjakan" atau "tidak mengerjakan" dan lain sebagainya. Kadang-kadang dikombinasikan dengan pilihan lain. Pilihan ini disediakan untuk responden yang tidak menjumpai jawaban yang mereka butuhkan seperti "tidak tahu" dan sebagainya.
d.
Penyusunan kalimat Ada beberapa petunjuk pokok yang dapat digunakan dalam menyusun kalimat yang digunakan dalam sebuah kuesioner, yaitu:
Menggunakan kalimat yang sederhana Kata-kata yang akan digunakan hendaknya sesuai dengan tingkat pengetahuan responden dalam berbahasa. Perhatikan perbendaharaan kata yang dimiliki oleh responden. Bagi responden anak-anak, tentu saja kalimat yang digunakan lebih sederhana daripada kalimat yang digunakan untuk responden orang dewasa
Menggunakan kalimat yang jelas Apa yang dimaksud dengan kalimat yang jelas? Dalam hal ini, kalimat yang jelas adalah kalimat yang hanya memiliki makna tunggal bagi seluruh kelompok responden.
Hindari pertanyaan yang bersifat mengarahkan "Apakah saudara memiliki pesawat televisi merk Zenith?" Pertanyaan ini bersifat mengarahkan. Responden akan menilai bahwa penelitian yang tengah dilakukan disponsori oleh perusahaan televisi merk tersebut. Bandingkan dengan pertanyaan "Apa merk televisi yang saudara miliki ?"
Hindari pertanyaan ganda dalam satu kalimat Maksudnya, hindarilah menanyakan dua hal dalam satu kalimat kendati jawabannya sama. Misalnya, "Bagaimana pendapat anda tentang kekuatan kemasan dan disain kemasan produk ... ?" Dalam kalimat tersebut, peneliti in gin mengetahui dua hal. yaitu: Kekuatan kemasan dan disain kemasan. Hendaknya kedua hal tersebut dipisahkan.
e.
Pengurutan pertanyaan Jika penyusunan kalimat telah dilakukan, tahap berikutnya adalah menetapkan urutan pertanyaan. Beberapa hal yang harus diperhatikan adalah: Menggunakan pertanyaan pembuka yang sederhana dan menarik. Dahului dengan pertanyaan-pertanyaan yi,lng umum sifatnya. Letakkan pertanyaan yang sulit dan kurang menarik pada urutan terakhir. Susunlah kalimat-kalimat dengan urut-urutan yang logik.
f.
Penetapan karakteristik fisikal Hal ini bersangkutan dengan perlengkapan wawancara yang digunakan. Untuk wawancara dengan menggunakan pos, kualitas cetak kuesioner, kualitas kertas kuesioner, dan lain
16
sebagainya, berpengaruh kepada tanggapan responden dalammemberikan tanggapannya. Jika wawancara dilakukan dengan telepon, seri nomor teleponjuga harus diperhatikan. Selain dapat mempengaruhi responden dalam memberikan tanggapannya _ bersedia tidaknya _juga dapat mempengaruhi penilaian responden terhadap bonafiditas lembaga yang menyelenggarakan penelitian. g.
Uji pendahuluan dan perbaikan Sebelum kuesioner yang telah dibuat digunakan dalam operasi lapangan, kuesioner tersebut masih memerlukan uji pendahuluan dan perbaikan-perbaikan, paling tidak sebanyak satu kali.
2.5 PEMILIHAN SAMPEL
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa dalam melakukan penelitian, seseorang peneliti tidak perlu melakukan penelitian terhadap seluruh subyek penelitian. Untuk:mengetahui apakah produk yang baru dikenalkan sukses atau tidak, perusahaan tidak perlu menghimpun data dari seluruh toko (populasi) yang menjual produk tersebut. Perusahaan cukup menghubungi sebagian dari seluruh toko yang menjualnya (sampel). Beberapa konsep penting yang berkenaan dengan pemilihan sampel adalah: elemen atau unsur (lihat sub bab 2.2 ); populasi (libat sub bab 1.4); unit-unit sampling; kerangka sampling; dan populasi kajian. Dua konsep pertama telah dijelaskan sebelumnya. Di bawah ini akan dijelaskan konsep-konsep berikutnya.
a.
Unit sampling Unit sampling adalah suatu elemen atau elemen-elemen atau unsur yang tersedia untuk dipilih menjadi anggota sampel melalui beberapa tahap proses sampling. Dalam hal sampling sederhana -sampling dalam satu tahap - elemen-elemen sama dengan sampling unit. Contoh 8 Sebagian besar keputusan pembelian mobil sedan bersilinder kecil dilakukan oleb kalangan ibu. Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang perakitan mobil ingin mengetahui tanggapan para ibu ten tang model mobil keluaran terakhir. Melalui sebuah wawancara, sejumlah ibu rumahtangga dimintai pendapatnya tentang mode] mobil tersebut. Contoh 8 tersebut merupakan contoh yang menunjukkan bahwa elemen-elemen sama dengan unit samplingnya. Elemen-elemen atau unsur populasinya adalah para ibu. Sedangkan unit sampling-nya adalah sejumlah ibu rumahtangga. Ada kemungkinan bahwa antara elemen dan unit sampling-nya berbeda. Hal ini jika proses sampling dilakukan dalan beberapa tahap. Elemen dan unit sampling akan samajika telah sampai pada tahap terakhir. Contoh 9 Lihat contoh 8. Tentunya, tidak seluruh ibu rumahtangga dapat melakukan pembuatan keputusan pembelian mobil sedan bersilinder kecil. lbu-ibu yang dapat mengambil 17
keputusan seperti tersebut di atas tentunya dari keluarga yang mampu membeli mobil sedan, baik secara tunai maupun kredit, rnisalnya keluarga yang berpenghasilan Rp700.000,00 ke atas per bulan. b.
Kerangka sampling Kerangka sampling adalah sebuah daftar yang memuat seluruh unit sampling pada suatu tahap proses sampling. Kerangka sampling dapat berupa, misalnya, daftar mahasiswa yang terdaftar dalam semester tertentu; daftar nama yang ada dalam buku telepon; daftar tenaga kerja yang ada di sebuah kantor tenaga kerja, dan lain sebagainya. Contoh 10 : Laki-laki berusia 50 tahun atau lebih. Elemenlunsur : Tahap 1 : Kota berpenduduk 500.000 jiwa atau lebih Unit sampling Tahap 2: RT-RT yang adadalam kota tersebut. Tahap 3 : Rumahtangga-rumahtangga. Tahap 4 : Laki-laki berusia 50 tahun atau lebih. Dari contoh tersebut maka tahap 1, kerangka sampling-nya adalah daftar yang memuat kota-kota yang berpenduduk 500.000 jiwa atau lebih. Tahap 2, kerangk.a sampling-nya adalah daftar Rukun Tetangga (RT) yang ada dalam kota-kota yang terpilih. Tahap 3, kerangka sampling-nya adalah daftar rumah tangga pada RT-RT dan kota-kota yang terpilih, dan tahap 4, kerangka sampling-nya adalah daftar yang memuat laki-laki yang berusia 50 tahun atau lebih pada rumahtangga-rumah tangga yang terpilih.
c.
Populasi kajian Pada bab sebelumnya, populasi didefinisikan sebagai keseluruhan obyek yang ingin diketahui gambarannya (karakteristiknya). Dalam praktik, kadang-kadang muncul kesulitan-kesulitan karena beragamnya populasi. Populasi manakah yang akan ditentukan yang dari populasi tersebut akan ditarik suatu sampel. Misalnya, tentang keanggotaan suatu organisasi. Beberapa anggota tidak terdaftar alamatnya. Maka, dari manakah sampel akan diambil selanjutnya? Pada contoh 9 di atas, proses sampling bertahap. Pertama dipilih keluarga yang berpenghasilan Rp700.000,00 ke atas per bulan. Setelah itu barn ditentukan sejumlah ibu rumahtangga yang akan dimintai pendapatnya. Populasi kajian adalah keseluruhan obyek yang ingin diketahui gambarannya yang dari populasi tersebut sampel secara nyata akan diambil.
2.5 .1 Proses Sampling Beberapa tahap dalam proses sampling adalah sebagai berikut: a. b. c.
18
Penentuan populasi yang meliputi penentuan elemen, unit sampling, dan dimensi waktu. Identifikasi kerangka sampling, yang dari kerangka sampling tersebut sampel akan ditarik. Memutuskan ukuran sampel, yaitu berapa banyak elemen yang dipilih untuk menjadi anggota sampel yang dipilih.
d. f.
Pemilihan prosedur sampling. Tepatnya, bagaimana keputusan dibuatdalam menetapkan sampel. Pemilihan sampel.
2.5.2 Prosedur Sampling Ada beberapa macam prosedur sampling yang dapat dipilih oleh seorang peneliti. Akan tetapi pada dasarnya prosedur sampling dibedakan menjadi dua prosedur yang berbeda, yaitu sampling probabilitas dan sampling non-probabilitas. Dalam sampling probabilitas, masing-masing elemen populasi diketahui memiliki kesempatan menjadi anggota sampel yang akan dipilih. Kata "memiliki kesempatan" bukan berarti bahwa seluruh elemen memiliki kesempatan yang sama. Jika elemen-elemen populasi memiliki kesempatan yang sama menjadi anggota sampel, ini merupakan salah satu bentuk sampling probabilitas, yaitu sampling acak sederhana. Dalam sampling non-probabilitas, pemilihan elemen-elemen populasi yang akan dijadikan elemen-elemen sampel didasarkan padakebijaksanaan peneliti sendiri. Pada prosedur ini, masing-masing elemen tidak diketahui apakah berkesempatan menjadi elemen-elemen sampel atau tidak. Beberapa prosedur sampling dapat dilihat pada hagan berikut ini:
Proscdur
,"J'ampling non-probabilita., 1.
2. 3.
Convenience sample Judgment sampling Quota sampling
Samplin~
."ialllfJiing probahilita\
1. 2.
3.
Simple random sample Stratified sample Cluster sample a. Systematic sample b. Area sample
Gambar2.4 Prosedur Sampling 2.5.3 Sampling Non-Probabilitas
Convenience sampling. Sampel konvenien, sesuai dengan namanya, diambil berdasarkan kesukaan peneliti, misalnya dengan menghadang pengunjung yang barn keluar dari sebuah supermarket dan mewawancarainya tentang sesuatu. Teknik ini mudah diselenggarakan dan ini sering digunakan untuk penelitian yang bersifat eksplorasi.
19
' ' '!'.
'"
"'"'' .. '
''
Judgment sampling. Sampeljudgment atau kebijaksanaan diambil berdasarkan pendapat para ahli. Memang hampirmirip dengan convenience sampling, pemilihan elemen yang dipilih sangat tergantung pada peneliti. Hanya saja padajudgment sampling proses pemilihan masih mempertimbangkan hal-hal tertentu.
Quota sampling. Proses ini merupakan bentuk khusus dari proses bentuk "kebijaksanaan". Pada proses ini peneliti melakukan pengendalian terhadap beberapa karakteristik yang dimiliki elemen populasi. Misalnya, untukresponden, peneliti menetapkan setengah dari ukuran sampel yang ditetapkan berusia di atas 30 tahun dan selebihnya berusia 30 tahun atau kurang. Di sini usia merupakan karakteristik yang dikendalikan. 2.5 .4 Sampling Probabilitas Seperti dijelaskan di atas bahwa masing-masing elemen populasi diketahui memiliki kesempatan menjadi elemen sampel yang akan dibuat - walaupun kesempatan yang dimiliki masing-masing elemen dapat tidak sama.
Simple random sampling. Pada teknik ini, seluruh elemen populasi memiliki kesempatan yang sama menjadi elemen sampel yang akan dipilih. Sampel yang akan dipilih sering disebut sebagai sampel acak sederhana.
Contoh 11 Sebuah populasi memiliki elemen sebanyak 5: A, B, C, D, dan E. Sebuah sampel diambil dari elemen-elemen populasi tersebut dengan ukuran sebanyak 3 elemen. Berbagai kemungkinan sampel yang dapat dipilih adalah sebagai berikut: Ukuran populasi: 5 > A, B, C, D, E. Ukuran sampel: 3 dengan berbagai kemungkinan: Tabel2.3 Sampel
'1.
2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9. 10.
20
Susunan
ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE
Tabel2.4 Eknwn
Kt.•sempatan
Sum(ll'l
A B
6kali 6 kali 6kali 6kali 6kali
1, 2, 3. 4. 5, 6.
c D
E
l, 2, 3, 7, 8, 9. I, 4, 5, 7, 8, 10. 2, 4, 6, 7, 9, 10. 3, 5, 6. 8, 9, 10.
Tabel 2.3 menyajikan berbagai kemungkinan sampel ( 10 kemungkinan) yang dapat dipilih. Tentang jumlah kemungkinan sampel yang dapat dipilih dapat dihitung dengan menggunakan prinsip permutasi dan kombinasi yang dibahas secara mendalam pada buku yang lain. Sedangkan tabel 2.4 menyajikan pembuktian jumlah kesempatan masing-masing elemen populasi untuk menjadi elemen-elemen sampel. Metode ini tidak banyak digunakan karena akan banyak memakan waktu. Hal ini dapat dibayangkan jika jumlah elemen-elemen populasinya demikian ban yak.
Stratified sampling. Jika pada simple random sampling proses sampling dilakukan dalam satu tahap, maka dalam stratified sampling proses sampling dilakukan dalam beberapa tahap atau tingkat. Pada teknik ini, proses dibagi menjadi dua tingkat, yaitu: a.
b.
Membagi seluruh elemen populasi menjadi beberapa kelompok atau strata, dengan memperhatikan aturan tertentu. Misalnya, populasi dikelompokkan berdasarkan jenis kelamin, laki-laki dan perempuan, dibagi menjadi beberapa kelompok menurut usia dan lainnya. Masing-masing kelompok tersebut satu dengan lainnya saling asing, sehingga suatu elemen dari suatu kelompok tidak dapat menjadi elemen kelompok yang lain. Untuk masing-masing strata, dilakukan pemilihan sampel dengan tekniksimple random
sampling.
Cluster sampling. Hampir sama dengan stratified sampling, pada cluster sampling, populasi dibagi menjadi beberapa kelompok. Hanya saja, dalam cluster sampling, pembagian menjadi beberapa kelompok tersebut dilakukan dengan cara acak. Selanjutnya, dari masing-masing kelompok dipilih elen •..,u-elemen populasi untuk dijadikan elemen-elemen sampel dengan cara simple random sampling.
Sistematic sampling. Pada teknik ini, elemen-elemen yang akan dijadikan elemen-elemen sampel dipilih dengan memilih elemen-elemen pada urutan tertentu yang tersedia pada suatu kerangka sampling, setelah titik awal urutan telah ditetapkan. Antara elemen satu yang terpilih dengan elemen lain yang terpilih memiliki interval urutan yang sama. 21
Contoh 12 Sebuah populasi memiliki ukuran (N) sebesar 100. Dari populasi tersebut diambil sampel berukuran (n) 10. Misalnya, titik awal urutan ditetapkan pada elemen ke-3. Urutan elemen berikutnya dapat ditentukan dengan menentukan interval urutan yaitu membagi urutan populasi dengan ukuran sampelnya. Interval urutan = 100/10 Interval urutan 10
=
Urut-urutan elemen yang terpilih adalah: 3, 13,23,33,43,53,63, 73,83,93.
Area sampling. Dari teknik-teknik yang telah dibahas, tidak jarang muncul kesulitan-kesulitan dalam menyusun sebuah kerangka sampling, dalam hal jika elemen-elemen yang akan didaftar demikian ban yak, misalnya jumlah penduduk Indonesia yang berusia 25 tahun ke atas, data yang termuat dalam kerangka sampling telah usang, dan lain sebagainya. Kesulitan ini dapat diatasi dengan membuat daerah-daerah sampling. Contoh 13 Sebuah perusahaan shampo ingin mengetahui tanggapan konsumen (rumah tangga) yang tinggal di Kotamadya Yogyakarta terhadap shampo yang dihasilkan. Dalam rangka menetapkan sampel, perusahaan tersebut mengambillangkah-langkah: a. b.
Mendaftar seluruh kelurahan yang ada (Ns) Menetapkan sampel yang terdiri dari kelurahan-kelurahan yang telah didaftar dengan teknik sederhana atau sistematik (ns)
Selanjutnya yang menjadi elemen-elemen sampel adalah seluruh rumah tangga yang bertempat tinggal di kelurahan-kelurahan yang terpilih sebagai sampel. 2.6 KESALAHAN DALAM SURVEI
Ada dua tipe kesalahan yang dapat terjadi dalam kegiatan penelitian survei yaitu kesalahan sampling dan kesalahan non-sampling. Sebagian besar kegiatan penghimpunan data menggunakan sampel. Karakteristikkarakteristik yang dirniliki sampel ini selanjutnyadigunakan untuk menaksir atau mengambil kesimpulan karakteristik-karakteristik yang dimiliki populasi. Tidak jarang, bahwa antara karakteristik-karakteristik sampel tersebut terdapat perbedaan dengan karakteristikkarakteristik populasi yang sebenarnya. Perbedaan-perbedaan ini disebut sebagai kesalahan sampling. Contoh 14 Sebuah sampel terdiri dari 10 perusahaan yang bergerak di bidang industri mesin. Rataratalaba bersih sesudah pajak untuk tahun 1993 adalah Rp35.500.000,00. Sepuluh perusahaan 22
tersebut diambil dari 60 perusahaan (populasi) yang sejenis. Dari basil sensus terhadap keenampuluh perusahaan tersebut ternyata rata-rata laba bersih sesudah pajak untuk tahun 1993 adalah Rp42.750.000,00. Rata-rata merupakan salah satu bentuk karakteristik data. Dari contoh di atas, ternyata karakteristik sampel, yaitu rata-rata sebesar Rp35.500.000,00 berbeda dengan karakteristik populasi. Perbedaan tersebut disebut sebagai kesalahan sampling. Sehubungan dengan kesalahan sampling, ada dua hal yang harus diperhatikan bahwa pertama kesalahan sampling dapat diukur dan kedua kesalahan sampling akan semakin berkurangjika ukuran sampelnya semakin besar. Pembahasan kesalahan sampling akan dijelaskan lebih jauh pada bab distribusi sampling pada buku yang lain. Bentuk kesalahan penelitian yang kedua adalah kesalahan non-sampling. Berbeda dengan kesalahan sampling, pada kesalahan non-sampling tidak dapat diukur dan tidak dapat berkurang walaupun ukuran sampelnya dinaikkan. Ada beberapa bentuk kesalahan non-sampling, yaitu: Kesalahan dalam pendefinisian masalah: Misalnya, seorang manajer pemasaran sebuah perusahaan hendak melakukan suatu studi ten tang media mix. Jika yang menjadi masalah utama adalah harga, tentu saja basil studi.tersebut tidak dapat membantunya dalam membuat keputusan. Ketidaksempurnaan pendefinisian populasi: Sebagai sasaran suatu penelitian, populasi harus didefinisikan dengan tepat. Misalnya seorang pengusaha restoran di sebuah bandara ingin mengetahui bagaimana tanggapan konsumen tentang menu yang diberikan. Sang pengusaha mengidentifikasikan populasi yang menjadi sasaran adalah seluruh penumpang berusia 18 tahun ke atas yang mendarat di bandara tersebut. Di sini ada kekeliruan dalam mengidentifikasikan populasi sebab masih ada orang yang belum tercakup dalam populasi tersebut, yaitu penumpangpenumpang yang melakukan transit di bandara tersebut. Kerangka sampling yang tidak representatip: Dalam menetapkan sebuah kerangka sampling, harus sesuai dengan populasi yang telah diidentifikasi. Ketidaksesuaian tentu saja akan menimbulkan kesalahan survei. Misalnya, seorang manajer distributor komputer merk tertentu bermaksud mengetahui sejauh mana komputer pribadi bermanfaat bagi seseorang. Populasi yang telah ditetapkan adalah semua orang yang berpendapatan rata-rata per bulan sebesar Rp500.000,00 ke atas. Manajer tersebut menetapkan sebuah kerangka sampling dengan memanfaatkan buku telepon terbaru. Tentu saja hal ini tidak sesuai dengan populasi yang telah diidentifikasikan karena masih banyak orang-orang yang berpendapatan lebih dari Rp500.000,00, namun tidak memiliki nomor telepon. Kesalahan-kesalahan tanggapan: Kesalahan-kesalahan ini dapat timbul sebagai akibat dari kesengajaan para responden dalam memberikan tanggapan. Hal ini dimungkinkan jika, misalnya, pertanyaan yang diajukan dinilai terlalu pribadi sifatnya. 23
Kesalahan-kesalahan bukan tanggapan: Berbeda dengan kesalahan tanggapan. Unsur kesengajaan dari pihak responden tidak ada. Kesalahan ini timbul disebabkan oleh, misalnya, responden telah meninggal dunia, sakit keras, pindah alamat, dan lain sebagainya.
Kesalahan pengukuran: Di atas telah dijelaskan tentang pengukuran dan skala pengukuran. Ada kemungkinan, peneliti melakukan kesalahan dalam menetapkan skala pengukuran suatu variabel. Sebuah variabel yang semestinya merniliki skala pengukuran ordinal namun diperlakukan merniliki skala pengukuran rasio. Hal ini akan berpengaruh pada alat-alat analisis yang akan digunakan.
Kesalahan dalam menyusun koesioner: Kesalahan dalam menyusun sebuah pertanyaan akan berakibat data yang diharapkan akan tidak tercapai. Dengan demikian data yang berhasil dikumpulkan pun akan salah. Masih b~myak bentuk kesalahan lain yang dapat terjadi seperti kesalahan dalam pemrosesan data, kesalahan dalam menganalisis data, dan kesalahan dalam menafsir kesalahan-kesalahan itu sendiri. Dari kedua bentuk kesalahan dalam survei di atas dapat dirumuskan bahwa total kesalahan dalam survei merupakan penjumlahan kesalahan sampling dan kesalahan non-sampling. Atau:
TOTAL
KBSALAHAN
24
=
KESALAHAN SAMPLING
+
KESALAHAN NON-SAMPLING
Bab Ill Penyajian Data
3. 1 DATA YANG DIURUTKAN
Contoh 1 Hingga akhir tahun 1993, pelanggan PT Prima Khasandy yang belum memenuhi kewajibannya (utang) sebanyak 60 pelanggan. Adapun saldo utang keenampuluh pelanggan tersebut dapat dirinci sebagai berikut: Tabel3.1 Rincian Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy (dalam satuan Rpl.OOO,OO)
59 56 41 83 69
77 67 49 91 71
89 69 75 91 69
52 70 75 45 77
73 73
77
63
62
96
79
65 53
73 77
94
58
81 89
87 93
71'
63
51
73
83
73 ; ·~1, :'. ~1 6S ' .' '9+" .t• 7:1 I; SS. -61, 6i :·:. :;. 67 61 .. ' ~- .•"fi', 61. ",,9l ::.t,'; 65 60' '59 57 >
,
<,' '•
~
t
'r
Data yang disajikan pada tabel 3.1 di atas dikatakan sebagai data mentah (raw data). Dikatakan demikian, karena data tersebut belum diolah dan disajikan dalam bentuk yang lebih informatip, sehingga setiap orang yang membutuhkan informasi tentang saldo piutang tersebut akan dihadapkan pada kesulitan dalam membacanya. Misalnya, berapa saldo piutang terbesar dan berapa saldo piutang terkecil? Sulit tentunya dalam mencari kedua angka tersebut, apalagi jika jumlah pelanggannya banyak. Bentuk penyajian data yang paling sederhana adalah data yang disajikan dalam keadaan terurut dari angka terkecil hingga angka terbesar atau sebaliknya dari angka terbesar hingga angka terkecil. Namun demikian, data tersebut seyogyanya disusun dari angka terkecil hingga angka terbesar. Hasilnya dapat dilihat pada tabel 3.2 berikut:
25
Tabel 3.2 Rincian Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy (dalam satuan Rpl.OOO,OO)
41 57 65 69 75 83
45 58• 65 70 75 83
49 59 65 71 77 87
51 59 67 71
52 60 67 71
77
77
89
89
53 61 67 73 79 92
55 61 67 73 79 92
56 62 69 73 81 93
56 63 69 73 81 94
57 63 69 73 81
96
Kendati masih sederhana, namun ada beberapa informasi yang dapat diperoleh dari bentuk penyajian data di atas (tabel 3.2), di antaranya: a. b. c.
Diperoleh angka data terkecil dan terbesar, yaitu 41 dan 96. Diperoleh informasijangkauan antara angka terkecil dan terbesar, yaitu 55(= 96-41). Dapat.dilakukan pemilah-milahan angka data menjadi beberapa kelompokkecil, misalnya: Jumlah pelanggan yang memiliki saldo piutang antara Rp50.000,00 hingga Rp60.000,00 (50- 60) sebanyak 12 pelanggan. Jumlah pe1anggan yang memiliki saldo piutang kurang dari Rp55.000,00 (kurang dari 55) sebanyak 6 pelanggan. Dan seterusnya.
Persoalannya akan semakin rumit jika data yang disajikan semakin ban yak. Demikian juga jika akan dilakukan penghitungan-penghitungan berbagai ukuran gambaran data (dijelaskan pada bab 4 dan 5). Pembacaan data dan perhitungan akan lebih mudah dilakukan jika data mentah disajikan dalam bentuk yang lebih ringkas. Bentuk penyajian data yang lebih ringkas yang banyak digunakan adalah distribusi frekuensi. 3.2 DISTRIBUS/ FREKUENSI
3.2.1 Distribusi Frekuensi dengan Interval Kelas Sarna Distribusi frekuensi sering pula disebut sebagai tabel frekuensi. Bentuk penyajian ini, data yang semula masih mentah (termasuk data yang telah diurutkan), disusun dalam kelompok-kelompok data atau kelas-kelas data tertentu. Sebelum sampai pada cara menyusun sebuah tabel frekuensi, perhatikan terlebih dahulu contoh tabel frekuensi berikut:
26
Tabel3.3
Distribusi Frekuensi Usia 50 Karyawan PT Mrican Express l ·sin
Frckut·nsi
20-24 25-29 30~ 34 35-39
3
8 17 13 7 2
40-44 45-49 ----" "''"' ........ ,...
50
Jumlah
Ada beberapa istilah yang perlu diketahui terlebih dahulu berkenaan dengan sebuah distribusi frekuensi, yaitu:
a.
Kelas atau kelompok data Dari contoh yang disajikan pacta tabel3.3, dapat dilihat bahwa jumlah kelasnya adalah 6 kelas atau 6 kelompok data. Penentuan jumlah kelas diserahkan sepenuhnya kepada penyusun distribusi frekuensi. Berapajumlah kelas yang baik untuk sebuah distribusi frekuensi? Tidak ada pedoman baku yang dapat dijadikan sebagai cara dalam menentukan jumlah kelas. Yang jelas jangan terlalu sedikit maupun jangan terlalu banyak. Untuk distribusi frekuensi yang memiliki kelas terlalu sedikit, maka tujuan pengelompokan data tidak akan tercapai. Sedangkan untuk distribusi frekuensi yang memiliki kelas terlalu banyak, maka dimungkinkan adanya kelas-kelas yang tidak memiliki akan data. Sebagai gambaran, jumlah kelas yang dibutuhkan biasanya berkisar dari 5 hingga 15 kelas. Untuk memudahkannya dapat digunakan perumusan Sturges seperti berikut ini: Jumlah k.elas
=1 + 3,322 log n
n: jumlah data observasi Walaupun dernikian, hasil perhitungan dengan perumusan tersebut tidakharus digunakan secarn kaku. Misalnya hasil perhitungannya adalah 6,89. Lazirnnya, angka 6,89 hams dibulatkan ke atas menjadi 7. Akan tetapi, pembulatan ke bawah pun dapat dilakukan, sehingga jumlah kelasnya bukan 7 melainkan 6 kelas.
b.
Interval kelas Interval kelas adalah jangkauan atau jarak antara kelas yang satu dengan kelas yang lainnya secara berurutan. Interval kelas tersebut ditentukan dengan menentukan beda
27
--·-------
an tara batas kelas bawah suatu kelas (jika menggunakan tabel 3.2.1) dengan batas kelas bawah kelas sebelumnya atau sesudahnya. Ada juga yang menyebut interval kelas dengan Iebar kelas, yaitu jarak an tara tepi batas kelas bawah dengan tepi batas kelas atas suatu kelas. Hampir setiap distribusi frekuensi memiliki interval atau Iebar kelas yang sama seperti yang terlihat pada tabel 3.3. Namun demikian, pada situasi tertentu, dimungkinkan adanya interval atau Iebar kelas yang tidak sama. Pada kedua contoh di atas, interval atau Iebar kelasnya adalah 5. Dalam menentukan interval kelas, perlu diketahui terlebih dahulu jangkauan atau beda antara angka data terbesar dengan angka data terkecil. Selanjutnya dapat digunakan perumusan sederhana seperti berikut ini: Jangkauan Interval kelas =Jumlah kelas
c.
Batas kelas dan tepi batas kelas Batas-batas kelas (class limits) adalah dua angka yang dijadikan sebagai pembatas kelas, yang terdiri dari batas kelas atas dan batas kelas bawah. Hal ini dapat dilihat pada contoh tabel 3.3. Perhatikan kelas ke-4. Kelas ini dibatasi oleh dua angka, yaitu 35 dan 39. Dalam kelas tersebut, 35 merupakan batas kelas bawah dan 39 batas kelas atas. Dua angka ini bukanlah batas kelas yang sebenarnya. Perhatikan kelas ke em pat dan kelas ke lima. Adakah angka yang menjadi pembatas antara dua kelas tersebut? Jika dilihatjelas tidak ada. Antara batas kelas atas kelas ke empat (39) dengan batas kelas bawah kelas ke lima (40) masih terdapat jangkauan sebesar 1, yang di dalamnya terdapat sederetan angka yang tidak terbatas jumlahnya. Jika digambarkan pada suatu garis bilangan akan terlihat sebagai berikut: Kelas
Kelas IV
v
------0---0------
39 Batas kelas atas kelas ke empat
40 Batas kelas bawah kelas ke lima Gambar 3.1
Batas Kelas Atas dan Bawah dengan Garis Bilangan Tepi-tepi batas kelas (class boundaries) dika.takanjuga sebagai batas kelas nyata (actual class limit). Jika dihubungkan dengan gambar di atas, maka tepi batas kelas terletak antara batas kelas atas kelas ke empat dan tepi batas kelas bawah kelas ke lima. Selanjutnya dapat digambarkan sebagai berikut: 28
tepi batas kelas I
Kelas IV
Kelas
v
------0--0-0-----
39 Batas kelas atas kelas ke empat
39,5
40 Batas kelas bawah kelas ke lima Gambar 3.2
Tepi Batas Kelas dengan Garis Bilangan Jika tepi batas kelas dijadikan sebagai batas kelas pada sebuah distribusi frekuensi, maka contoh yang tersaji pada tabel 3.3 akan berubah seperti pada tabel 3.4. Tabel 3.4
Distribusi usia 50 karyawan PT Mrican Express Usia
d.
Fn·km•nsi
19,5- 24,5 24.5-29,5 29,5-34,5 34,5- 39,5 39,5-44,5 44,5-49,5
8 17 13 7
Jumlah
50
3
2
Titik tengah
Jika serangkaian data mentah (termasuk yang sudah diurutkan) sudah disajikan dalam bentuk terkelompok (dalam bentuk distribusi frekuensi), maka sifat keaslian data tersebut sudah hilang. Selanjutnya, bagaimanakah cara untuk menaksir data aslinya? Titik tengah setiap kelas dapat dijadikan sebagai penaksir data asli yang sudah hilang sebagai akibat proses pengelompokan. Titik tengah ini sebenarnya merupakan rata-rata hitung suatu kelas yang dihitung dengan membagi hasiljumlah batas kelas bawah dan batas kelas atas dengan angka 2. Jika digabung antara tabel3.3 dan tabel3.4 akan diperoleh bentuk seperti berikut:
29
r
'
~
,'''
'
Tabel3.5 Gabungan antara Tabel3.3 dan Tabel 3.4
20~24
25-29 30-34 35 ~ 39 40-44 45-49
19,5-24.5 24.5-29,5 29,5-34,5 34,5-39,5 39,5-44,5 44,5-49.5 50
Jumlah
Bagaimana selanjutnya cara menyusun sebuah distribusi frekuensi? Beberapa langkah yang dapat dijadikan pedoman dapat dirinci sebagai berikut:
a.
Menentukan jumlah kelas Dari 60 data yang tersaji pada contoh 1 di atas, misalnya jumlah kelas ditetapkan sebanyak 6 kelas. Bagaimana jika penetapan jumlah kelas didasarkan dengan menggunakan perumusan Sturges? Jumlah kelas
= 1 + 3,322 log 60 = 6,90701845377
Dari hasil perhitungan tersebut, maka jumlah kelas dapat ditetapkan sebanyak 7 kelas. Dalam contoh selanjutnya, kelas ditetapkan sebanyak 6 kelas.
b.
Menentukan interval kelas Jangkauan angka data terbesar dengan angka terkecil dapat dihitung: 96-41 =55 Selanjutnya interval kelasnya dapat dihitung sebagai berikut: Interval kelas
=55: 6 = 9,16666666667
Interval kelas = 10 (dibulatkan). Pembulatan angka 9,16666666667 menjadi 10 (bukan menjadi 9) hanya didasarkan pada tujuan kepraktisan saja.
c.
30
Menyusun kelas-kelas data Yang pertama adalah menentukan batas kelas bawah untuk kelas pertama. Haruskah batas kelas bawah tersebut adalah 41, yaitu angka data terkecil? Tidak. Suatu pedoman
sederhana dalam menentukan batas kelas bawah ini adalah pembulatan ke bawah terhadap angka data terkecil. Misalnya, angka data terkecil adalah 50,97. Dengan demikian, maka batas kelas bawahnya adalah 50. Jika demikian, perlukah angka 41 dibulatkan lagi? Tetap menggunakan angka tersebut pun dimungkinkan, dan seandainya dibulatkan sehingga diperoleh angka yang "praktis" pun juga dimungkinkan. Seyogyanyalah angka-angka yang digunakan adalah angka yang "praktis", sehingga angka data 41 dibulatkan menjadi 40. 40 50
60
70
80
90
100
Berikutnya adalah menyusun batas-batas kelas atas. Angka-angka ini dapat dipastikan besarnya yaitu lebih kecil dari angka batas kelas bawah kelas berikutnya. Misalnya untuk kelas pertama, maka batas kelas atasnya adalah lebih kecil dari batas kelas bawah kelas ke kedua yaitu 50. Berapa? Banyak angka yang dimungkinkan untuk dijadikan angka batas kelas atas, misalnya 44,99. Namun angka ini kurang "ringkas" dan di samping itu, tidak ada angka-angka data yang berbentuk pecahan, misalnya 49,3. Jika demikian, angka 49 sebenarnya sudah dapat dijadikan batas kelas atas untuk kelas pertama. Untuk kelas-kelas berikutnya dapat ditentukan mengikuti batas kelas yang sudah ada. Adapun susunan kelas-kelasnya adalah: Tabel3.6 Batas Kelas Bawab dan Batas Kelas Atas Batas kelas ha\\ah
Batas kelas atas
40 50 60 "70 80
49 59 69 79
90 dst d.
89 99 dst
Memasukkan data Langkah terakhir adalah memasukkan angka-angka data ke dalam kelas-kelas yang bersesuaian. Ada kemungkinan bahwa pada saat memasukkan angka-angka data terdapat angka data yang tidak dapat dimasukkan, misalnya 105. Jika diputuskan jumlah kelasnya 6 dan batas kelas paling atas sebesar 99, maka angka data sebesar 105 jelas tidak dapat dimasukkan ke dalam kelas terakhir. Dalam hal ini tentu ada kekeliruan dalam menetapkan interval kelas atau batas-batas kelas. Untuk itu, satu hal yang perlu diperhatikan dalam menyusun sebuah distribusi frekuensi, yaitu agar semua angka 31
data dapat dimasukkan tanpa mengalami keragu-raguan. Untuk itulah sebelum menetapkan interval kelas dan batas-batas kelas harus diperhatikan terlebih dahulu apakah dengan interval kelas dan batas-batas kelas yang ada semua angka data dapat dimasukkan ke kelas-kelas yang bersesuaian tanpa mengalami keragu-raguan. Jika terdapat satu data saja yang tidak dapat dimasukkan, maka semuanya harus diperbaiki. Hasil akhir penyusunan distribusi frekuensi dapat dilihat pada label 3.7. Tabel3.7 Distribusi Frekuensi Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Sahlo Piulan~
.Jumltl'h Pdanggan
40-49
3
50-59
11
17
60-69 70-79 80-89 90-99
16
8 5
60
Jumlah
Perhatikan kelas pertama distribusi frekuensi pada tabel 3.7. Batas-batas kelasnya adalah 40 dan 49. Sebenarnya, batas atas dapat juga dinyatakan dengan simbul "lebih kecil dari", yaitu "<50", sehingga distt:ibusi frekuensinya seperti terlihat pad a tabel 3.8 berikut ini: Tabel3.8 Distribusi Frekuensi Saldo Piutang 60 pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
Jumlah Pdanggan
40- <SO
3
S0-<60 60- <70
11 17 16
70- <80 80-<90 90- <100 Jumlah
8
5
60
Sebelum sampai,pada tabel3. 7 dan tabel3.8, pemasukan data dapat dipermudah dengan membuat tally terlebih dahulu seperti pada tabel3.9 berikut ini: 32
Tabel3.9
Distribusi Frekuensi Saldo Piutang 60 pelanggan PT Prima Khasandy
Ill IIIII /IIIII IIIII IIIII IIIII II 11111/llli 11/ll/ IIIII/II IIIII
40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
3
',.
11
.,,),1 '
t
\'
.'·,::,:~'1
s 60
Jumlah
Namun, perlu diperhatikan sekali lagi bahwa bentuk penyajian terakhir bukan seperti pad a tabel3. 9. Bentuk penyajian pacta tabel3. 9 merupakan salah satu tahap dalam menyajikan data dalam bentuk distribusi frekuensi dan juga bentuk tersebut tidak harus dibuat. 3.2.2 Distribusi Frekuensi dengan Interval Kelas Tidak Sarna Di depan telah dipaparkan bahwa interval kelas tidak harus sama. Hal ini terjadi jika terdapat perubahan angka data yang ekstrim. Hal ini akan berakibat bahwa pada distribusi frekuensi yang disusun akan terdapat satu kelas atau Iebih yang tidak memiliki frekuensi data atau merniliki frekuensi yang demikian kecil dibanding dengan kelas sebelum dan sesudahnya. Perhatikan contoh berikut ini: Tabel3.10
Distribusi Frekuensi Pendapatan 60 Pelanggan PT Balapan Supermarket Pt•ndapatan
100.000- < 125.000 125.000- < 150.000 150.000- < 175.000 175.000. < 200.000 225.000- < 250.000 275.000- < 300.000 325.000- < 350.000 Jumlah
l'danggan
9
11 13 0 12
10
5 60
33
Perhatikan bahwa pacta kelas ke-4 distribusi tersebut, frekuensinya nol. Kelas dengan frekuensi nol ini sebenarnya bisa dihapus. Penghapusan dilakukan dengan menggabungkan kelas yang berfrekuensi nol dengan kelas sebelumnya atau sesudahnya. Jika digabung dengan kelas sebelumnya, maka akan terlihat seperti berikut ini: Tabel 3.11 Distribusi Frekuensi Pendapatan 60 Pelanggan PT Balapan Supermarket l'l'ndapatan
Pdanggan
100.000- < 125.000 125.000- < 150.000 150.000- < 200.000 200.000 - < 225.000 225.000- < 250.000 250.000 - < 275.000
9 11 13 12 10
Jumlah
60
5
Perhatikan bahwa antara kelas ke-3 dan ke-4, memiliki interval ke1as sebesar 75.000 (= 225.000 - 150.000) dan bukan lagi sebesar 25.000. Jika digabung dengan kelas
berikutnya, maka akan terlihat seperti berikut ini: Tabe13.12 Distribusi Frekuensi Pendapatan 60 Pelanggan PT Balapan Supermarket Pl'ndapatan
.wo.ooo- < 125.000 125.000-< 150.000
34
Pelanggan
9
150.000-< 175.000
11 13
175.000- < 225.000
12
225.000 - < 250.000 250.000. < 275.000
10
Jumlah
60
5
Distribusi Frekuensi dengan Kelas Terbuka Distribusi frekuensi dengan kelas tertutup adalah distribusi frekuensi yang secara jelas memiliki batas kelas terkecil dan batas kelas terbesar. Mirip dengan kasus pada distribusi frekuensi yang memiliki interval kelas yang tidak sama, sebuah distribusi frekuensi tidak harus memiliki kelas-kelas yang tertutup. Ada kemungkinan bahwa serangkaian data memiliki sejumlah kecil angka data (awal atau terakhir jika sudah diurutkan) yang besarnya tergolong ekstrim, misalnya jauh lebih kecil atau jauh lebih besar dari sebagian besar angka-angka data yang ada. Perhatikan tabel3.2. Lima angka terakhir adalah: 91, 92, 93, 94, dan 96. Misalnya dua angka terakhir bukan 94 dan 96, melainkan 179 dan 240. Jika demikian, maka distribusi frekuensi yang dibuat akan terdapat kelas-kelas (kelas-kelas terakhir) yang tidak memiliki frekuensi. Dalam hal demikian ini, distribusi frekuensi dapat disusun dengan menggunakan kelas terbuka untuk kelas terakhir, sehingga tabel frekuensi pada tabel 3.7 dan tabel 3.8 berubah menjadi: 3.2.3
Tabel3.13 Distribusi Frekuensi Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Sal do l'iulang
40-<50 S0-<60 60- < 70 70- <80 80-<:90 90 atau lebih
lumlah
.I umlah l'l'langgan '
~,
3.
'
:- -~-
''
,' /
11 17 16
8 5 60
Hanya saja, dari penyajian data seperti pada tabel 3.13 tersebut tidak dapat disajikan kembali bentuk distribusi frekuensi kumulatip, histogram frekuensi, poligon frekuensi, dan lain sebagainya (dikupas pada sub bah berikutnya). 3.2.4 Distribusi Frekuensi Relatip Seperti terlihat pada tabel-tabel frekuensi sebelumnya, frekuensi data dinyatakan dalam bilangan absolut. Sebenarnya, frekuensi data tersebut dapat saja dinyatakan dengan bilangan relatip yang dihitung dengan membagi frekuensi masing-masing kelas dengan banyaknya data. Atau dapat juga dinyatakan dalam persentase, dengan membagi frekuensi masingmasing kelas dengan banyaknya data yang selanjutnya dikali dengan 100%. Dari tabel3.13 selanjutnya dapat diubah menjadi distribusi frekuensi relatip seperti berikut ini: 35
Tabel3.14
Distribusi Frekuensi Relatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
.Jumlah Pt•langgan
40-<50 50-<60 60 -<70 70-<80 80-<-90 90 atau lebih
0,05 0,18 0,28 0,27
Jumlah
0,99
0,13 0,08
- - > 1,00
Atau dapat ,disusun seperti berikut ini: Tabel3.15
Distribusi Frekuensi Relatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saltlo Piutang
.Jumlah Pdanggan
40-<50 50-<60 60-<70 70-<80
5,00% 18,33% 28,33%
26,67%
80-<90 90 ataU lebih
13,33% 8,33%
Jumlah
99,99%
- - > 100%
3.3 HISTROGRAM DAN POLIGON FREKUENSI
3.3.1 Histogram Frekuensi Berbeda dengan penyajian-penyajian sebelumnya, pada penyajian berikut ini, data tidak lagi disajikan dalam bentuk tabel-tabel, melainkan dalam bentuk diagram-diagram. Penyajian dalam bentuk diagram-diagram ini akan memudahkan setiap orang yang in gin membaca data dengan cepat. Hanya saja, informasi yang diperoleh oleh pembaca tidak lagi jelas dan rinci. Gambar 3.3 berikut adalah histogram yang diambil dari kasus pada PT Prima Khasandy. 36
Jum1ah Pe1anggan
17 16
r---
r----
,--
11
8
5 3
t--
l 39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
Sa1do Piutang
Gambar3.3
Histogram Saldo Piutang 60 Pelanggan P'I: Prima Khasandy (dalam satuan Rpl.OOO,OO)
Histogram frekuensi, seperti yang tersaji pada gambar 3.3 merupakan sekumpulan empat persegi-panjang yang digambar dalam suatu bagan salib-sumbu. Sumbu tegak histogram menggambarkan frekuensi data dan sumbu mendatarnya menggambarkan bilanganbilangan data yang dinyatakan dalam kelas-kelas data. Adapun masing-masing bidang persegi-panjang tersebut memiliki sisi-sisi: sisi tegak menggambarkan frekuensi kelas, dan sisi lebar bidang menggambarkan interval kelas atau lebar kelas. Hal yang perlu diperhatikan dalam membuat skala pada sumbu datar _ pada kasuskasus tertentu juga pada sumbu tegaknya _ antara titik pusat hingga angka skala pertama untuk kelas harus diberi tanda potong yang dalam diagram di atas diberi tanda "If'. Hal ini dimaksudkan untuk membedakan skala an tar titik yang menggambarkan batas kelas dengan titik pusat dengan titik yang menandakan batas kelas terkecil. Pemilihan angka-angka pada sumbu mendatar, yang menggambarkan batas-batas kelas, dapat diambil dari tepi-tepi batas kelas (class boundaries) seperti yang terlihat pada gambar 3.3. Di samping itu, dapat pula diambil dari batas-batas kelas (class limits). Gambar 3.4 berikut ini adalah histogram yang dimaksud.
37
Jum1ah Pe1anggan 17 16
;---
11
-
;---
8
-
5 3 0
r-= 40
60
50
70
80
90
100
Sa1do Piutang
Gambar 3.4
Histogram Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy (dalam satuan Rpl.OOO,OO) Bagaimana halnya dengan distribusi frekuensi yang memiliki interval kelas yang tidak sama? Hal ini tidak ada perbedaan dalam menggambarkannya. Dari tabel 3.11, histogram frekuensinya dapat disajikan sebagai berikut: Jum1ah Pelanggan
13 12 11 10 9
f--r--
r---
5
100
125
150
I
200
225
250
275
Sa1do Piutang
Gambar 3.5
Histogram Frekuensi Pendapatan 60 Pelanggan PT Balapan Supermarket 38
3.3.2 Poligon Frekuensi Diagram yang dapat menggambarkan sebuah distribusi frekuensi tidak saja dapat digambarkan melalui histogram frekuensi, melainkan dapat juga digambarkan melalui poligon frekuensi. Sarna seperti pada histogram frekuensi, poligon frekuensi digambar pula dalam suatu bagan salib-sumbu dengan angka-angka ordinat dan absis yang sama. Hanya saja, masing-masing kelas berikut frekuensinya tidak dilukiskan dalam bentuk empat persegi-panjang, melainkan dalam bentuk garis yang menghubungkan tiap titik tengah masing-masing kelas. Dari data yang tersaji pada tabel 3.5, maka poligon frekuensinya adalah sebagai berikut: Jumlah Karyawan 17
13
8 7
3
2
22
27
32
37
42
47
Usia
Gambar 3.6 Poligon Frekuensi 3.3.3 Kurva Frekuensi Mirip dengan poligon frekuensi, kurva frekuensi digambarkan dalam bentuk garis yang menghubungkan tiap titik tengah untuk masing-masing kelas. Hanya saja,jika pada poligon frekuensi disajikan dalam bentuk garis-garis patah, maka pada kurva frekuensi, garis digambarkan secara hal us. Dengan demikian, frekuensi data masing-masing kelas tidak lagi nampak secara jelas. Tujuan penyajian distribusi frekuensi dalam bentuk kurva frekuensi sekedar untuk memperlihatkan bagaimana bentuk distribusi data tersebut. Di samping itu, dari sebuah kurva frekuensi dapat diperoleh kecenderungan memusatnya data (akan dibahas nanti). Dari gambar 3.6 dapat disajikan kurva frekuensi seperti berikut ini: 39
Jumlah Karyawan
17
13
8 7
3
2
22
27
32
37
42
47
Usia
Gambar 3.7 Kurva Frekuensi Dengan menggambar kurva frekuensinya, bentuk distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi beberapa bentuk yaitu bentuk miring ke kiri, simetris, dan miring ke kanan. Perhatikan diagram-diagram berikut ini:
Gambar 3.8 Bentuk-bentuk distribusi frekuensi Penyajian dalam bentuk kurva frekuensi ini - umumnya, frekuensi dinyatakan dalam angka relatip dan bukan dalam bentuk absolut - akan ban yak digunakan dalam pembahasan Statistika Inferensial. 40
'
.
3.4 0/STRIBUSI FREKUENSI KUMULA TIP DAN OGIVE
3.4.1 Distribusi Frekuensi Kumulatip Dalam distribusi frekuensi kumulatip, frekuensi tidak lagi disajikan untuk tiap kelas, namun disajikan secara kumulatip ke belakang atau ke depan. Misalnya, frekuensi pada kelas ke tiga, tidak lagi disajikan hanya untuk frekuensi kelas tersebut, namum meliputi kelas-kelas sebelumnya atau meliputi kelas-kelas berikutnya. Dengan demikian, distribusi frekuensi kumulatip dibedakan menjadi dua, yaitu: distribusi frekuensi kumulatip "kurang dari" dan distribusi frekuensi kumulatip "atau lebih". Tabel-tabel berikut menyajikan proses pembuatan ke dua distribusi frekuensi kumulatip tersebut. Tabe13.16 Menyusun Distribusi Frekuensi Kumulatip Tipe "Kurang Dari"
40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
l
i '
'
3 11 17 16 8 5
kurang dari kurang dati kurang dari kurang dari kurang dari kurang dari ~gdari
0 0+ 3= 3 3+ 11 = 14 14+ 17•31 31 + 16=47
40 50 60 70 80 90 100
'
47+ 8=55
55+ 5=60
Selanjutnya, distribusi frekuensi kumulatipnya adalah: Tabel3.17 Distribusi Frekuensi Kumulatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
Fn:km•nsi h.umulatip
Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90 Kurang dari 100
0 3 14
:n
47 55 60
41
Pada tiap distribusi frekuensi kumulatip tipe "kurang dari", frekuensi kelas terakhir senantiasa sebesar banyaknya data. Sedangkan pada kelas pertama, ada yang menyajikan frekuensi kumulatip sebesar nol seperti pada tabel di atas, ada juga langsung menyajikan frekuensi kelas pertamanya yaitu sebesar 3. Perhatikan bahwa angka-angka yang dijadikan batas kelas kumulatip adalah batas-batas kelas bawah. Di samping dapat disajikan dalam bentuk seperti pada tabel di atas, distribusi frekuensi kumulatip tipe "kurang dari" dapat juga disajikan. dengan menggunakan simbul "kurang dari" (<) seperti berikut ini: Tabel3.18 Distribusi Frekuensi Kumulatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
Frekuensi Kumulatip
. <40 <50 <60 <70 <80 <90 < 100
0 3 14 31 47 55 60
Jika pada distribusi frekuensi kumulatip tipe "kurang dari", frekuensi kumulatip bergerak dari frekuensi sebesar nol (atau sebesar frekuensi kelas pertama) hingga frekuensi sebesar banyaknya data, maka pada distribusi frekuensi kumulatip tipe "atau lebih", frekuensi kumulatip bergerak dari frekuensi sebesar banyaknya data hingga frekuensi sebesar nol atau frekuensi data pada kelas terakhir. Proses penyusunannya pun tidak berbeda. Tabel3.19 Menyusun Distribusi Frekuensi Kumulatip Tipe "atau Lebih"
40-49
3
50-59
11 17 16
60-69 70-79 80-89 90-99
42
8 5
40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau iebih 100 atau lebih
60 60- 3 =57 57-11 =46 46-17=29 29-16 ::= 13 13- 8= 5 5- 5= 0
Selanjutnya, basil akhir penyusunan distribusi frekuensi kumulatip tipe "atau lebih" adalah sebagai berikut: Tabel3.20 Distribusi Frekuensi Kumulatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
Frd-.uensi Kumulatip
40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau lebih
60 57 46 29
13 5 0
Seperti halnya pada distribusi frekuensi kumulatip tipe "kurang dari", pada distribusi frekuensi kumulatip tipe "atau lebih" dapatjuga disajikan dengan menggunakan simbul "atau lebih" seperti berikut ini: Tabel3.21 Distribusi Frekuensi Kumulatip Saldo Piutang 60 Pelanggan PT Prima Khasandy Saldo Piutang
40:5: 50S: 60S: 70s; 80S: 90S: lOO:S:
Frekuensi Kumulatip
0
3 14 31 47
55 60
3.4.2 Ogive Distribusi frekuensi kumulatip, selain disajikan dalam bentuk tabel-tabel seperti di atas, dapatjuga disajikan dalam bentuk diagram yang dinamakan ogive. Penggambarannyajuga dilakukan di atas bagan salib-sumbu seperti pada poligon frekuensi. Dari tabel3 .21, masingmasing dapat dibuat ogivenya seperti berikut ini:
43
Jumlab Pelanggan
60
55
47
14
3
40
50
60
70
80
90
100 Saldo Pius'mg
Gambar3.9
Ogive Saldo Piutang PT Prima Khasandy Jumlab Pelanggan
60
55 47 31
14
3 40
50
60
70
BO
90
100
Gambar 3.10
Ogive Saldo Piutang PT Prima Khasandy 44
Saldo Piutang
Jumlah Pelanggan
60 57 55 47 46 31
29 14 13
5 3 40
50
60
70
80
90
100
Sa1do Piutang
Gambar 3.11 Ogive Saldo Piutang PT Prima Khasandy
3.5 BENTUK PENYAJIAN YANG LAIN
3.5.1 Diagram Batang Seringkali, sebuah organisasi, organisasi bisnis misalnya, perlu menyajikan berbagai data yang menginformasikan perkembangan berbagai prestasi seperti perkembangan laba yang diperoleh, perkembangan nilai penjualan, dan lain sebagainya. Selain dapat disajikan dalam bentuk tabel-tabel, yang dapat memberikan informasi rinci, kadang-kadang, pihak-pihak tertentu ingin memperoleh informasi secara sepintas, yang tentu saja keakuratan informasi yang diperolehnya memang tidak diperhatikan. Dalam hal ini data yang telah disajikan dalam bentuk tabel-tabel perlu disajikan dalam bentuk lain yang lebih menarik. Diagram batang, atau bar chart adalah salah satu bentuk yang dimaksud. Perhatikan contoh berikut ini:
45
Rp milyar 12.000 f10.000 8.000 6.000 4.000
t---
2.000
r---0
1984
1985
1986
1987
1988
Gambar 3.12 Perkembangan Aktiva Bank Bumi Daya 1984 - 1987 Beserta Proyeksi untuk Tahun 1988 *) *)
Sumber: Laporan Tahunan 1987 Bank Bumi Daya
Pada gam bar di atas, beberapa nilai aktiva tidak disajikan secara jelas. Informasi yang diperoleh hanyalah pola perkembangan aktiva dari tahun ke tahun saja. Terlihat bahwa perkembangan dari tahun ke tahun menunjukkan adanya peningkatan. Seberapa besar kenaikannya, sekali lagi tidak disajikan. Biasanya, penyajian data dalam bentuk tabel akan diikuti penyajian dalam bentuk diagram. Hal ini, tentu saja untuk memenuhi dua kepentingan yang berbeda, yaitu informasi yang rinci dan informasi sepintas. Dalam satu kuadran diagram batang tidak saja dapat memberikan informasi satu obyek informasi saja, aktiva misalnya, namun dapat juga memvisualisasikan beberapa obyek sekaligus (dalam satu kuadran). Di samping itu, diagram batang tidak hanya dapat disajikan secara tegak saja, namun dapatjuga disajikan secara mendatar. Perhatikan contoh berikut ini:
46
1983
1984
1985
II II
I I
11111111
I
11111111
1986
1987
I
Ill Iilii II
I
11111111111
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000 Rp milyar
Gambar 3.13 Perkembangan Dana Masyarakat pada Bank Bumi Daya dan Perbankan 1983- 1987 *) *)
Sumber· Laporan Tahunan 1987, Bank Bumi Daya
[ll]
Bank Bumi Daya
[ll[]
Perbankan
Seringkali, pembuatan diagram batang menggunakan pewarnaan sehingga penyajiannya nampak lebih menarik. Di samping dengan menggunakan pewarnaan, diagramnya tidak semata-mata berujud kumpulan batang, namun disesuaikan dengan obyek yang disajikan. Misalnya, penyajian data tentang perkembangan volume produksi rokok digambar dengan ujud batang-batang rokok. 3.5.2 Garis Fungsi diagram garis sebenarnya tidak berbeda dengan fungsi diagram batang yang memberikan informasi mengenai perkembangan sesuatu dari peri ode ke peri ode. Hanya saja, seperti namanya, diagram diujudkan dengan garis-garis yang menghubungkan puncakpuncak frekuensi tiap periode. Perhatikan contoh berikut ini:
47
Volume
310;r-------------------------,,-------
274~----------------------------------~
0
83/84
84/85
85/86
86/87
87/88
Gambar 3.14 Garis Perkembangan Volume Ekspor Kopi 1983/1984 s/d 1987/1988 (Ribuan Ton) *) *)
Sumber: Bank Indonesia, Laporan Tahunan 198711988, halarnan 91, tabel 8.3.
3.5.3 Diagram Lingkaran Berbeda dengan kedua diagram di atas, diagram lingkaran (dalam satu diagram) menginformasikan perbandingan beberapa obyek yang menjadi perhatian. Misalnya volume produksi sepatu untuk berbagai tipe pada tahun 1989. Tentu saja, penggambarannya dilakukan di atas sebuah lingkaran. Selanjutnya lingkaran tersebut dibagi-bagi menjadi beberapa daerah sesuai dengan jumlah obyek yang menjadi perhatian. Proporsi daerah yang menginformasikan obyek kajian dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah yang dimaksud sebanding dengan nilai-nilai datanya. Misalnya, sepatu yang akan diinformasikan sebanyak 4 tipe. Maka lingkaran tersebut dibagi menjadi 4 daerah yang luasnya sesuai dengan masingmasing volume produksi.
Contoh 2 Volume produksi sepatu PT Khasandy selama tahun 1989 dapat disajikan sebagai berikut: 48
Tabel 3.21 Volume Produksi PT Khasandy selama Tahun 1989 Tipe Sepatu Pria Dewasa Sepatu Wanita Dewasa Sepatu Sport Pria Dewasa Sepatu Sport Wanita Dewasa Jumlah
\ olunw ( Pasang l 6.500 pasang 4.750 pasang 3.800 pasang 3.500 pasang 18.550 pasang
Penentuan proporsi daerah yang menginformasikan keempat tipe sepatu tersebut dapat dilakukan sebagai berikut: a.
Sepatu Pria Dewasa:
~~~5~~ b.
x 360 = 126,15 dibulatkan menjadi 126
Sepatu Wanita Dewasa:
1~~;5°0 x 360 =92,18 dibulatkan menjadi 92 c.
Sepatu Sport Pria Dewasa: 0
1 ~~5~ 0 3
d.
x 360 = 73,75 dibulatkan menjadi 74
Sepatu Sport Wanita Dewasa:
1 ~~5°5°0 x 360 =67,93 dibulatkan menjadi 68 3
Hasilnya dapat disajikan pada gambar 3.15 berikut. (Agar satu daerah dengan daerah yang lainnya dapat dibedakan dengan jelas, masing-masing daerah harus dibedakan dengan menggunakan arsiran yang berbeda. Agar lebih menarik, penggunaan wama pun sangat dianjurkan)
49
Gambar 3.15 Volume Produksi PT Khasandy selama Tahun 1989 dengan keterangan:
D
m
Sepatu Pria Dewasa Sepatu Wanita Dewasa
1-:-:-:-:-:-:-j Sepatu Sport Pria Dewasa
ISSSj Sepatu Sport Wanita Dewasa 3.6 HASIL CETAK KOMPUTER
Dewasa ini, sudah banyak beredar berbagai program untuk komputer yang dapat digunakan untuk menyajikan data, baik dalam bentuk tabel maupun diagram. Berikut ini akan disajikan beberapa contoh basil cetak komputer dengan menggunakan program Microstat dan Lotus 1-2-3.
Contoh 3 Contoh distribusi frekuensi dan histogram frekuensi dengan menggunakan program Microstat (lihat tabel 3.1).
50
FREQUENCY DISTRIBUTIONS HEADER DATA FOR: B: SALDO LABEL: NUMBER OF CASES: 60 NUMBER OF VARIABELS: 1 VARIABLE: I. SALDO SALDO PIUT ANG 60 PELANGGAN PT PRIMA KHASANDY (RPl.OOO,OO)
CLASS LIMITS
FREQUENCY
PERCENT
40.00 < 50.00 50.00 < 60.00 60.00 < 70.00 70.00 < 80.00 80.00 < 90.00 90.00 < 100.00
3 11 17 16 8 5
5.00 18.33 28.33 26.67 13.33 8.33
TOTAL
60
100.00
CLASS LIMITS 40.00 < 50.00 50.00 < 60.00 60.00 < 70.00 70.00 < 80.00 80.00 < 90.00 90.00 < 100.00
-CUMULATIVEFREQUENCY PERCENT 3 14 31 47 55 60
5.00 23.33 51.67 78.33 91.67 100.00
FREQUENCY 3 11 17 16 8 5
================== =====~=======================
=========================== =============
========
Contoh 4 Contoh Diagram Batang dengan menggunakan program Lotus 1-2-3.
51
Tabel3.22 Perkembangan Nilai Ekspor selama 1978-1988 (Juta $) Tahun
Nilai Ekspur
11.093,5 15.259,8 21.783,8 22.118,8 18.923,7 18.802,1 21.001,8 18.762,2 14.597,5 17.307,6 7.645,3
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 *) *)
Sampai Mei 1988. Sumber:Bank Bumi Daya, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia. 1988. ha1aman
Gambar 3.16 PERKEMBANGAN NILAI EKSPOR Tahun 1978 - 1988 (juta$)
24 22
7
...
18
;;;;; ~"
5
... ...
16
"' ~~ ~
"' 0 """ fllt:
Iii'i.
~ ...
14 12
10 8 6
4
0
52
:-
;;-;
... v:;,-., ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... >> >" > ......... "... ' > ... ,' ...
v' v'
v' v'... ...
... ...
,"
...
... ...
~
r:;;"" ... "... ... "... ... " ... ... ' ... ... "... "... 17'... "... ... ... "... "... "... ... "... "... ... "... /
'... "
",. ...... ,. ...... ,. ...... ... 1..:' '... ...... ...... ,. '... ,. ...... f7'... ... ,' ... lr' lr'... ... ... ... ... ... ... ...' " ... '... ... ' lr' ... ...... ... "... ...... ... ... ,.... "... " " ' ... ... ... ,' ... ... ... "... "... ""... ...... ... ... ,. ... ... ... '... ... ... ",. ... ' "... ... ... ... ... ... " ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... '... ... ... ... "... ... ... ....
,. ... ,. '...
"" /
>
"
... ...
/
/
/
/
/
/
/
/
/ / /
2
:-";
. ,.' "... ," ...
20
/
/
/
/
/
1978197919801981 1982 1983 19841985 1986 19871988
Contoh 5 Contoh Diagram Batang dengan menggunakan program Lotus 1-2-3. Tabel3.23 Perbandingan Perkembangan Nilai Ekspor Migas dan Nonmigas selama 1978 - 1988 (Juta $) I
Tahun
Ekspor \Iigas
Lkspor '\onmiga..,
3.659,3 5.579,1 6.079;4 4.423 4.979,9 4.992,8 5.776 5.983,2 6.626 8.455,7 4.113,8
7.343,2 9.680,7 15.704,4 17.686,8 13.943,8 13.809,3 15.225,8 12.779 7.971,5 8.851,9 3.731,5
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 **) *) **)
)
: Terdiri dari Migas dan LNG : Sampai Mei 1988
Sumber : Bank Bumi Day a, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia, 1988, halaman 29 (data diolah)
Gambar3.17 PERBANDINGAN PERKEMBANGAN NILAI EKSPOR MIGAS dan NO MIGAS Tahun 1978 - 1988 (juta$)
;;; ~
19 18 17 16 15 14 13 12
r... ...
...
... ...
~~II 8. ~ 10
~B._~
z
4
3 I
0
...
...
...
9
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. 1978
... ...
...
...
... ...
...
...
...
... ...
...
r, r, r,
'
1979
D
' ' 1980
,."' ,. ,. ,. ,. 1-',...-;. ,. I-' ,. v ,. ,. v ,. ,. ,. ,. ,. "' ,. "',. ,. "' ,. ,. "'l.t ,. "'l.t 1981
1982
Ekspor Mtgas
['<
...
... ... ...
...
...
... ...
...
... ...
...
'...
'
1983
,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,.
~
1984 1985
... ...
...
... ... ... ...
1986
' ' ' 1987
,. ,. ,. ,. 19P~
~ Ekspor Non Mtgas
53
Contoh 6 Contoh Diagram Garis dengan menggunakan program Lotus 1-2-3. Tabel3.24 Neraca Perdagangan Indonesia 1978 - 1988 (Juta $)
11.094 15.260 21.784 22.119 18.924 18.802 21.002 18.762 14.598 17.308 11.011
·1978 1979 1980 .1981 1982 1983. 1984 1985 1986 1987 1988 *) *):
6.690 7.202 10.834 13.272 16.859 16.352 13.882 10.259 10.718 12.819 5.092
4.404 8.058 10.950 8.847 2.065 2.450 7.120 8.503 3.880 4.417
Sampai Mei 1988 Sumber: Bank Bumi Daya, Statistik Ekonomi dan Keuangan Indonesia, 1988, halaman 30.
Gambar 3.18 NERACA PERDAGANGAN INDONESIA Tahun 19o/8 - 1988 (juta$) 24
23 22 21 20 19
18 17 16
Vi
15
5
14
u
12
5. ~ ~~
l3
II
~ '-' 10
z
9
TAHUN -
54
Ekspor - - -
Impor
Surplus
,_,,'
Contoh 7 Contoh Diagram Lingkaran dengan menggunakan program Lotus 1·2-3. Tabel3.25 Perbandingan Penerimaan di Luar Minyak Bumi dan Gas Alam Tahun 1988/1989 (milyar rupiah) 1. Pajak Penghasilan 2. Pajak Pertambahan Nilai 3.BeaMasuk 4.Cukai 5. Pajak Ekspor 6. Pajak Lainnya 7. Pajak Bumi dan Bangunan
3.949.4 4.505,3 1.192,0 1.389,9 155,6
8. Penerimaan Bukan Pajak.
1.568,8
292.1 424,2
Sumber: Pidato Kenegaraan Presiden Republik Indonesia Soeharto di depan Sidang Dewan Perwakilan Rakyat 16 Agustus 1989, ha1aman 196, tabel IV-4.
Gambar 3.19 PERBANDINGAN PENERIMAAN DI LUAR MIGAS Tahun 1988 • 1989 (juta$)
Pajak Bumi dan Bangunan (3,1 %)
Pajak Penghasilan (29,3%)
Pajak Lainnya (2,2%) Pajak Ekspor (I ,2%)
Cukai (10,3%)
Bea Masuk (8,8%)
Pajak Pertarnbahan Nilai (33,4%)
55
Bab IV Ukuran Pusat Data
4.1 PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan teknik penghimpunan data dan penyajian data baik dalam tabel-tabel maupun diagram-diagram. Pada bab ini akan dijelaskan ukuran deskripsi data yaitu ukuran pus at data, baik dari data mentah (data yang belum dikelompokkan dan termasuk data yang terurut) maupun data yang telah diringkas menjadi distribusi frekuensi (data yang telah dikelompokkan). Ukuran deskripsi data ini sangat bermanfaat dalam analisis dan interpretasi data. Ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu: ukuran pusat data, ukuran variabilitas data, dan ukuran bentuk distribusi data. Dua ukuran yang terakhir akan dijelaskan pada bab 5 nanti. Pada Bab I telah dij elaskan pengertian dan perbedaan statistik dan parameter. Berkaitan dengan ketiga ukuran deskripsi data terse but di atas, jika ukuran terse but dihitung dari data sampel, ukuran-ukuran tersebut disebut statistik dan jika dihitung dari data populasi disebut parameter. Pada bab ini akan banyak ditekankan pada statistik daripada parameter. Alasannya, bahwa dalam praktik, hampir keseluruhan data yang dihimpun adalah data sampel. Di samping itu, perbedaan pokok dalam menghitung statistik dan parameter tidak ada. Perbedaan yang ada hanya menyangkut penggunaan simbul dan beberapa hal yang tidak prinsip. Ada tiga ukuran pusatdata yang banyakdigunakan, yaitu: rata-rata hitung (selanjutnya disebut rata-rata), median, dan mode. Sebagai tambahan, akan dijelaskan pula mengenai kuartil, desil, persentil, rata-rata tertimbang, dan rata-rata geometrik. 4.2 RATA-RATA HITUNG
Rata-rata hi tung, atau lebih dikenal dengan rata-rata, merupakan ukuran pusat data yang paling sering digunakan, karena mudah dimengerti oleh siapa saja dan penghitungannya pun mudah. Rata-rata yang dihitung dari data sampel atau sebagai statistik sampel disimbulkan dengan X (baca: X -bar) dan jika dihitung dari data populasi atau sebagai parameter populasi disimbulkan dengan huruf Yunani f.l, (baca: myu x).
56
4.2.1 Rata-rata dari Data yang Belum Dikelompokkan Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan banyaknya (jumlah) data. Jumlah data, untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang disimbulkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbulkan dengan N. Jika X,, X 2, X3 , ••• , Xn adalah angka-angka data yang banyaknya (jumlahnya) n, maka rata-ratanya dihitung:
x= x, + x2 + x3 + ... + x" n
atau dirumuskan sebagai berikut:
~-X=--' LX n X
: Rata-rata sampel : Huruf Latin (sigma) yang menunjukkan penjumlahan :Data ke-i dari variabel acak X : Ukuran sampel (banyaknya data sampel)
I. X n
(4.1)
I
Sedangkan untuk populasi dirumuskan dengan:
I
II
rx
~.
LX N
:::--'
(4.2)
: Rata-rata populasi
I. : Huruf Latin (sigma) yang menunjukkan penjumlahan X N
I
:Data ke-i dari variabel acak X : Ukuran populasi (banyaknya data populasi)
Contoh 1 "Matararn Ray a Group" adalah sebuah perusahaan yang bergerak di bidang industri perdagangan eceran. Dewasa ini perusahaan tersebut memiliki 20 buah supermarket yang terse bar di beberapa kota besar. Tujuh di antaranya terdapat di kota Jakarta. Selama bulan Desernber 1993 ketujuh supermarket tersebut masing-masing mencapai omzet sebesar:
57
Tabel4.1
Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Desember 1993 Supennarkl't
Omsl't
''Mataram Raya 1,. "Mataram Raya 2" "Mataram Raya 3" "Mataram Raya 4" "Mataram Raya 5" "Mataram Raya 6" "Mataram Raya 7.,
Rp 65.000.000,00 Rp 80.000.000,00 Rp 85.000.000,00 Rp 90.000.000,00 Rp '95.000.000,00 Rp 115.000.000.00 Rpt7o.ooo.ooo.oq
Rata-rata omzet penjualan ketujuh supermarket tersebut dapat dihitung sebagai berikut (dalamjuta rupiah): X= 65 + 80 + 85 + 90 + 95 + 115 + 170 7 X= 100 atau RplOO.OOO.OOO,OO Rata-rata cenderung menjadi pusat serangkaian data yang tersedia dan dapat berfungsi sebagai titik penyeimbang antara data yang lebih kecil dan yang lebih besar. Perhatikan diagram berikut ini:
60
70
80
I I
90
100
110
120
130
140
150
160
170
Gambar4.1
Rata-rata Sebagai Titik Penyeimbang Antara Data yang Lebih Kecil dan yang Lebih Besar
Contoh 2 Misalnya pada bulan Januari 1994, omzet penjualan yang dicapai ketujuh perusahaan adalah sebagai berikut:
58
--------------------------
- -
--
Tabel4.2
Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Januari 1994 Supl'rmarkl'l
Omsl'l
"Mataram Raya 1.._. ..Mataram Raya 2,. •'Mataram Raya 3.. "Mataram Raya 4.. "Mataram Raya 5" "Mataram Raya 6n "Mataram Raya 7''
Rp 80.000.000.00 Rp 85.000.000,00 Rp 95.000.000,00 RplOO.OOO~OOO,OO
Rptos.ooo.ooo.oo
Rplls.ooo.ooo.oo Rp120.000.000,00
Rata-rata omzet penjualan ketujuh supermarket tersebut pada bulan Januari 1994 dapat dihitung sebagai berikut (dalamjuta rupiah):
X:= 80 + 85 + 95 + 100 + 105 + 115 + 120 7
X = 100 atau Rp 100.000.000,00 Rata-rata sebesar Rp 100.000.000,00 masih memiliki fungsi sebagai titik penyeimbang. Hanya saja, pada contoh terakhir, data lebih memusat pada lokasi rata-ratanya daripada contoh sebelumnya.
60
70
I I
80
90
I I I 100
110
I 120I
130
140
150
160
170
Gambar4.2
Rata-rata Sebagai Titik Penyeimbang Antara Data yang Lebih Keen dan yang Lebih Besar Contoh 3 Sedangkan omzet yang dicapai pada bulan Pebruari 1994, misalnya, adalah sebagai berikut:
59
Tabel4.3 Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Pebruari 1994 Sli(H.'I'Illarkct
Omsct
Rp 90.000.000,00 Rp 95.000.000,00 Rp 100.000.000,00 RpiOO.OOO.OOO,OO Rpl 00.000.000,00 Rpl05.000.000,00 RpllO.OOO.OOO,OO
"Mataram Raya 1" "Mataram Raya 2" "Mataram Raya 3., "Mataram Raya 4" "Mataram Raya 5" "Mataram Raya 6" "Mataram Raya 7"
Rata-rata omzet penjualan ketujuh supermarket tersebut pacta bulan Pebruari 1994 dapat dihitung sebagai berikut (dalamjuta rupiah):
x = 90 + 95 +100 + 100 + 100 + 105 + 110 7
X= 100 atau Rp100.000.000,00 Berbeda dengan contoh 1 dan 2, data pacta contoh pacta 3 jauh lebih memusat pacta rataratanya.
I I 60
70
80
90
t. 100
I I 110
120
130
140
150
160
170
X
Gambar4.3 Rata-rata Sebagai Titik Penyeimbang Antara Data yang Lebih Kecil dan yang Lebih Besar Ada empat kriteria atau standar matematikal yang dimiliki oleh rata-rata yaitu:
Pertama: Jumlah beda antara data observasi dan rata-ratanya adalah nol. Atau dapat dirumuskan sebagai berikut: (4.3)
60
Dari contoh l dapat dibuktikan sebagai berikut: Tabel4.4 Pembuktian Bahwa Jumlah Beda antara Data Observasi dan Rata-ratanya adalah Nol Rp 65.000.000,00 Rp 80.000.000,00 Rp 85.000.000,00 Rp 90.000.000,00 Rp 95.000.000,00 Rp 115.000.000,00 Rp170.000.000,00
-
Rp 100.000.()()(),00 Rp 100.000.000,00 Rp 100.000.000,00 Rp 100.000.000,00 Rp 100.000.000,00 Rp 100.000.000,00 Rp 100.000.000,00
= - Rp35.000.000,00
= - Rp20.000.000,00
= - Rp15.000.000,00 = - Rp 10.000.000,00
Rp 5.000.000,00 = - Rp15.000.000,00 = = Rp70.000.000,00 +
=
Rp
0,00
Kedua: Jumlah beda kuadrat antara data observasi dan rata-ratanya adalah minimum, atau:
Dari contoh 2 dapat dibuktikan sebagai berikut: Tabel4.5 Pembuktian Bahwa Jumlah Beda antara Data Observasi dan Rata-ratanya adalah Minimum ( 80- 100)2 ( 85 -100)2 ( 95 -100)2 (100- 100)2 (105- 100)2 (115- 100)2 (120- 100)2
= = = =
=
= =
=
400 225 25 0 25 225 400
+
1.300 minimum
Bagaimanajikarata-ratanya lebih besar atau lebih kecil dari 100? Tentu sajajumlah beda kuadratnya akan lebih besar dari 1.300. Misalnya, rata-rata omzet yang diperoleh adalah 105. Maka:
61
Tabel4.6 Pembuktian Bahwa Jumlah Bcda antara Data Observasi dan Rata-ratanya adalah Minimum
,,
( 80- 105)2 ( 85 - 105)2 ( 95 - 105)2 (100- 105)2 (105- 105)2 (115- 105)2 (120- 105)2 1-· ---- ------ ---''
--
= = = = = = =
625 400 100 25 0 100 225
=
1.475
+
"
Dapat dilihat bahwa temyata, jumlah beda kuadratnya lebih besar dari 1.300, yaitu 1.475. Demikianjugajika rata-ratanya lebih kecil dari 100, misalnya 80, makajumlah beda kuadratnya akan lebih besar dari 1.300. Tabel4.7 Pembuktian Bahwa Jumlah Beda antara Data Observasi dan Rata-ratanya adalah Minimum ( 80- 80) 2 ( 85- 80)2 ( 95- 80)2 (100- 80)2 (105 - 80)2 (115 - 80)2 (120- 80)2
= = =
=
=
=
=
0 25 225 400 625 1.225 1.600
+
----------------- --------·
= 4.100 Sarna seperti hasil perhitungan pada tabel4.6, bahwajumlah beda kuadratnya lebih besar dari 1.300, yaitu 4.100. Ketiga: Rata-ratadapatdigunakan untukmenaksirnilai total nilai populasi yang dirumuskan:
Total= N.X
62
(4.5)
Dari contoh L disebutkan bahwa '-Mataram Raya" memiliki 20 supermarket dengan rata-rata omzet setiap supermarket sebesar Rp 100.000.000,00. Maka total omzet penjualan seluruh supermarket dapat ditaksir sebesar: 20
X
RplOO.OOO.OOO,OO = Rp2.000.000.000.00
Keempat : Data yang digunakan untuk menghitung rata-rata adalah keseluruhan data yang ada. Dengan demikian, rata-rata yang berhasil dihitungpun tergantung pada angka-angka data itu sendiri. Oleh karena angka-angka data dapat bervariasi besarannya, maka rata-rata sangat peka terhadap angka-angka data ekstrim. 4.2.2 Rata-rata dari Data yang Telah Dikelompokkan Menghitung rata-rata memang lebih menguntungkan jika dihitung dari data yang bel urn dikelompokkan, karena hasil hitungannya lebih mencerminkan fakta yang sebenarnya. Apakah rata-rata dari data yang telah dikelompokkan tidak mencerminkan data yang sebenarnya? Dalam kehidupan sehari-hari, data yang dibutuhkan seringkali sudah disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi, seperti yang banyak disajikan dalam berbagai terbitan maupun laporan-laporan. Sehingga, perhitungan rata-ratadari data yang telah dikelompokkan harus dilakukan walaupun hasilnya tidak mencerminkan fakta yang sebenarnya. Namun, paling tidak mendekati fakta yang sebenarnya. Pada sub bab 4.1 telah dijelaskan bahwa rata-rata dihitung dengan melibatkan seluruh data observasi, baik dari sampel maupun dari populasi. Untuk data observasi yang telah disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi atau yang telah dikelompokkan, sifat keaslian data observasi telah hilang. Dengan demikian, untuk keperluan penghitungan rata-rata. diperlukan angka-angka data yang dapat digunakan untuk mengestimasi at au menaksir data observasi yang asli. Dalam hal ini, titik-titik tengah dapat dijadikan sebagai penaksir data asli yang tersebar di masing-masing kelasnya. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung rata-rata data yang telah dikelompokkan, yaitu metoda defisional dan metoda pengkodean.
a.
Metoda defisional Untuk menghitung rata-rata, titik-titik tengah masing-masing kelas, sebagai penaksir data asli, dikali dengan frekuensi masing-masing kelas. HasH perkalian pada masingmasing kelas tersebut selanjutnya dijumlah dan kemudian hasil penjumlahan tersebut dibagi dengan jumlah data atau jumlah frekuensi seluruh kelas. Metoda defisional dapat dirumuskan sebagai berikut:
X X, f1 n
: Rata-rata sampel : Titik tengah kelas ke-i : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran sampel (jumlah frekuensi data sampel) 63
J.lx :Rata-rata populasi X, : Titik tengah kelas ke-i fi : Frekuensi kelas ke-i N : Ukuran populasi (jumlah frekuensi data populasi)
Contoh 4 Selama tahun 1993, PT Asuransi Jiwa Jagat Raya telah berhasil menarik nasabah baru sebanyak 60 orang yang usianya dapat didistribusikan sebagai berikut: Tabel4.8
Distribusi Usia 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat Raya l ·sia
Frekuensi
8
25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54
14 10
18 7
3
Jumlab
60
Rata-rata usia para nasabah baru tersebut dapat dihitung sebagai berikut: Tabel4.9
Perhitungan Rata-rata dengan Menggunakan Metoda "Defisional" Titik Tengah X,
27 32 37 42 47 52 Iumlab
64
FrektH.•nsi f,
8
216
14 10 18
448 370
3
756 329 156
60
2.275
7 i
i
I
X,.f,
X=2.275/60 X= 37,92 atau 37 tahun 11 bulan.
b.
Metode Pengkodean Seringkali data yang akan dihitung rata-ratanya berbentuk angka-angka yang besar seperti nilai penjualan, pembelian, piutang, dan lain sebagainya. Jika angka-angka yang dihitung dalam satuan yang besar, maka penghitungan rata-rata dengan penggunaan metode defisional akan sedikit lebih menyulitkan. Pada bab 3 telah dijelaskan bahwa interval kelas sebuah distribusi frekuensi, secara umum senantiasa sama. Hanya dalam keadaan tertentu, interval kelas dimungkinkan tidak sama. Interval kelas yang sama ini, salah satunya dapat dilihat beda antar titik tengah senantiasa sama. Angka-angka berikut menunjukkan titik tengah yang dikutip dari tabel4.9. Titik tengah :
27
Interval kelas:
32
37
47
5
5
5
5
42
52 5
Dengan interval kelas yang sama ini, sebenarnya, angka-angka titik tengah dapat diubah menjadi suatu skala dengan interval yang sama. Skala titik tengah ini lebih sering disebut sebagai kode titik tengah. Langkah pertama dalam memberi kode titik tengah adalah menetapkan kelas yang nantinya diberi kode atau skala nol. Dalam menentukan kelas yang berkode nol ini sebenamya tidak ada pedoman yang baku. Akan tetapi, sebaiknya kelas yang akan diberi kode noI adalah kelas yang berfrekuensi tertinggi. Langkah berikutnya adalah menetapkan kode-kode untuk kelas-kelas yang lain dengan mengurutkan mulai dari kelas berkode nol dengan interval yang sama. Interval kelas ini umumnya adalah satu. Dari tabel4.9 di atas, kelas yang akan diberi kode nol adalah kelas ke-4. Dengan dernikian, titik tengah, frekuensi dan kodenya adalah sebagai berikut: Titik tengah:
27
32
37
42
47
52
Frekuensi:
8
14
10
18
7
3
Kode:
-3
-2
-1
0
1
2
Dalam literatur-literatur statistika, kode tersebut sering disimbulkan dengan huruf U. Selanjutnya, menghitung rata-rata. dengan menggunakan metoda pengkodean dapat dirumuskan sebagai berikut:
65
I X = X +t.-'-' . u .f. n
(4.8)
a
X
: Rata-rata sampel (!1, jika populasi)
x. : Titik tengah pada kelas yang berkode nol : Interval kelas U, : Kode titik tengah pada kelas ke-i f : Frekuensi kelas ke-i n : Ukuran sampel (N jika populasi) I
Dari contoh berikut dapat dibandingkan tingkat kesulitan dalam menghitung rata-rata dengan menggunakan kedua metoda di atas. Contoh 5
Lihat contoh 4. Nilai kontrak asuransi keenampuluh nasabah baru tersebut dapat didistribusikan sebagai berikut: Tabel4.10 Distribusi Nilai Kontrak Asuransi 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat Raya Nilai kontrak
Frckucnsi
< Rp 10.000.000,00 < Rp20.000.000,00 < Rp30.000.000,00 < Rp40.000.000,00 < Rp50.000.000,00 < Rp60.000.000,00 < Rp70.000.000,oo
0 5
17 31
46 54 60
Untuk bisa menghitung rata-rata nilai kontrak dengan menggunakan metoda defisional, bentuk penyajian di atas- bentuk distribusi frekuensi kumulatiftipe "kurang dari"- harus diubah menjadi bentuk distribusi frekuensi yang biasa. Hasilnya adalah:
66
Tabel4.11 Distribusi Nilai Kontrak Asuransi 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat Raya Nilai kontrak
Frckucnsi
Rp 10.000.000,00 - < Rp20.000.000,00 Rp20.000.000,00- < Rp30.000.000,00 Rp30.000.000,00- < Rp40.000.000,00 Rp40.000.000,00- < Rp50.000.000,00 Rp50.000.000,00 - < Rp60.000.000,00 Rp60.000.000,00 - < Rp70.000.000,00
5 12 14 15 8 6
Jumlah
60
Proses pengerjaan berikutnya adalah: Tabel4.12 Penghitungan Rata-rata Nilai Kontrak Asuransi 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat Raya dengan Metoda "Defisional" .
X
I
f
I
X.f I
I
Rpl5.000.000,00 Rp25.000.000,00 Rp35.000.000,00 Rp45.000.000,00 Rp55.000.000,00 Rp65 .000.000,00
5 12 14 15 8 6
Rp 75.000.000,00 Rp 300.000.000,00 Rp 490.000.000,00 Rp 675.000.000,00 Rp 440.000.000,00 Rp 390.000.000,00
Jumlah
60
Rp2.370.000.000,00
x= 2.37o.ooo.ooo.oo 60 X= Rp39.500.000,00 Dengan menggunakan metode "pengkodean" penghitungannya disajikan pada tabel 4.13.
67
Tabel4.14 Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Desember 1993 SLqll'rmarket
"Mataram Raya 1" "Mataram Raya 2" "Mataram Raya 3" "Mataram Raya 4" "Mataram Raya 5" "Mataram Raya 6" "Mataram Raya 7"
Omset
Rp 65.000.000,00 Rp 80.000.000,00 Rp 85.000.000,00 Rp 90.000.000,00 Rp 95.000.000,00 Rp 115.000.000.00 Rp 170.000.000,00
->median
Untuk data ganjil, letak median dapat ditentukan dengan mudah. Berbeda denganjumlah data genap, maka penentuan letak median tidak dapat ditetapkan begitu saja. Jika jumlah datanya 10, maka letak mediannya adalah data ke 5,5 yang dihitung dengan (10 + 1)/2. Contoh 7 Dari keduapu1uh supermarket yang dimiliki "Mataram Raya Group", enam supermarket yang mencapai omzet penjualan tertinggi pada bulan Maret 1994 secara terurut ada1ah:
Tabel4.15 Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Maret 1994 Supt:nnarket
Omset
"Mataram Raya 7" "Mataram Raya 15" •'Mataram Ray a 11"
Rp170.000.000,00 Rp179.500.000,00 Rpt92.soo.ooo.oo
"Mataram Raya 20" "Mataram Raya 8" "Mataram Raya 10"
Rp 195.500.000,00 Rp215.000.000,00 Rp225. 750.000,00
->median
Letak mediannya adalah (6 + 1)/2 = 3,5 atau pada data ke 3,5. Letak titik ini berada di an tara data ke-3 dan data ke-4 a tau an tara Rp 192.500.000,00 dan Rp 195.500.000,00. Nilai titik tersebut dapat ditentukan dengan mencari rata-rata hi tung kedua angka di atas, yaitu: 70
Rp192.500.000,00 + Rp~95.500.000,00 = Rpl 94 .000.000,00 Dengan demikian, median data tersebut adalah Rp 194.000.000,00 Sebenarnya seluruh angka yang terdapat dalaminterva1192.500.000 hingga 195.000.000 dapat menjadi median. Misalnya, di antara kedua angka tersebut terdapat angka data sebesar . 193.500.000, maka angka ini secaraotomatis dapat menjadi median. Olehkarenamenentukan angka yang pasti yang menjadi median sulit ditentukan, maka median ditentukan dengan mencari rata-rata hitung kedua angka di atas. Sebagai ukuran pusat data, median memiliki dua kriteria atau standar matematikal, yaitu: Pertama : Nilai median lebih ditentukan oleh jumlah datanya, dalam hal ini genap atau ganjil, dibanding dengan nilai-nilai datanya. Dengan demikian berbeda dengan rata-rata yang nilainya ditentukan oleh nilai-nilai datanya. Kedua : Jumlah beda absolut antara data obServasi dengan mediannya adalah minimum, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
I I. I~- Median I =minimum
'(4:tU>'j " '
*
Contoh 8 Dari contoh 6 dapat dibuktikan sebagai berikut: Tabel4.16
Pembuktian Bahwa Jumlah Beda Absolut antara Data Observasi dan Mediannya adalah Minimum (dalam satuan Rpl.OOO.OOO.OO) ~
f I
I I I I
.........
_.......
65 -90! 80·901 85-901 90-901 95-901 115 • 90 I 170-901 '""'"·'-
=
= = =
• =
=
25 10
5 0 5 25 80 --~---
150
Minimum
Jika median ditetapkan secara bebas -lebih kecil atau lebih besar dari nilai mediannya dapat dibuktikan selanjutnya bahwa beda absolutnya akan lebih besardari Rp150.000.000,00. Sebagai pembanding, jika ukuran nusat data yang digunakan adalah rata-ratanya yaitu Rp 100.000.000,00.
71
Tabel4.17
Pembuktian Bahwa Jumlah Beda Absolut antara Data Observasi dan Mediannya adalah Minimum (dalam satuan Rpl.OOO.OOO,OO) 65-1001 80- 100 I 85- 100 I 90-100 I 95- 100 I 115-1001 170- 100 I
= = = =
35 20 15 10
::::
5
::;;:
15 70
=
-~-~~---~~-~
170 Jelas babwa basil perbitungan pada tabel 4.17 lebib besar dari basil perbitungan pada tabel4.16. 4.3.2 Median dari Data yang Telah Dikelompokkan Langkab pertama dalam menetapkan median dari data yang telab dikelompokkan adalah menentukan letak sebuab titik yang nilainya akan menjadi median. Titik ini, seperti pada uraian sebelumnya, membagi deretan angka data yang terurut menjadi dua bagian yang sama banyak. Jika pada data yang belum diurutkan digunakan perumusan (n + 1)/2, maka untuk data yang telab dikelompokkan, banyak penulis menggunakan perumusan yang lebib sederbana yaitu n/2. Akan tetapi, dengan menggunakan perumusan sebelumnya pun bukanlah suatu kesalaban. Setelab diketabui posisi titit terse but, langkab berikutnya adalah menentukan kelas yang didalamnya terdapat titik tersebut. Dari contob 4 misalnya, titik tersebut terletak pada deretan data ke 30 (= 60/2). Sedangkan kelasnya adalab kelas ke-3. Dengan menggunakan interpolasi yang sederbana, angka data yang dimiliki titik tersebut dapat diketabui. Perumusannya sebagai berikut:
md Bm n fkm fm
72
Median Tepi batas kelas bawah pada kelas median (lower class boundary) Interval kelas Ukuran sampel Frekuensi kumulatip sebelum kelas median Frekuensi pada kelas median (atau frekuensi kumulatip kelas median dikurang frekuensi kumulatip sebelum kelas median).
Contoh 9 Lihat contoh 4. Selama tahun 1993, total (per nasabah) premi yang dibayar keenampuluh nasabah baru tersebut dapat didistribusikan sebagai berikut: Tabel4.18 Total Premi yang Dibayar oleh 60 Nasabah Barn selama Tahun 1993 Total Premi
Freku~:nsi
RplO.OOO,OO- Rp19.990,00 Rp20.000,00- Rp29.990,00 Rp30.000,00- Rp39.990,00 Rp40.000,00- Rp49.990,00 Rp50.000,00- Rp59.990,00 Rp60.000,00 - Rp69.990,00
2 9
20 10 3
Jumlah
60
16
Setelah diketahui titik posisi median, yaitu 30, berikutnya menentukan kelas letak median yaitu kelas ke-4. Secara rinci, penghitungan median data di atas adalah sebagai berikut:
Bm : (39.990 + 40.000)/2 = 39.995 : 10.000 fkm :2+9+16=27 fm :20
I md =39.995 + 10.000 [
30-27 20
J
(4.11)
md = 41.495 atau Rp41.495,00 Jika penetapan titik posisi median digunakan perumusan (n + 1)/2, kiranya basil perhitungannya pun tidak jauh berbeda. (4.11)
md
=41.520 atau Rp41.520,00 73
Perbedaan tersebut akan semakin kecil, dan dapat diabaikan, jika ukuran sampelnya semakin besar. Median memiliki beberapa keunggulan daripada rata-rata yaitu: Pertama : Median tidak dipengaruhi oleh adanya angka-angka ekstrim dalam data yang tersedia. Kedua : Median mudah dimengerti dan mudah menghitungnya, baik dari data yang belum dikelompokkan maupun dari data yang telah dikelompokkan. Jugadapat dihitung dari data yang telah dikelompokkan dengan kelas terbuka. Ketiga : Median dapat digunakan untuk data kuantitatip maupun data kualitatip. Di samping keunggulah-keunggulan di atas, median tidak lepas dari beberapa kelemahan: Pertama : Median hanya dapat ditentukan dari data yang telah diurutkan sehingga hal ini
Kedua
membutuhkan waktu yang tidak sedikit. Di samping itu, jika jumlah datanya demikian besar, maka pengurutan pun sulit dilakukan. : Oleh karena median dihitung bukan mendasarkan pada nilai-nilai data mendasarkan jumlah data- maka median sulit dijadikan sebagai ukuran pusat data yang dapat menggambarkan rangkaian datanya. Misalnya, dua rangkaian· data berikut memiliki median yang sama akan tetapi median pada rangkaian kedua jelas tidak representatip jika dijadikan sebagai ukuran pusat data. 6, 9, 12, 14, 17,21 6,9, 12,100,140,500
4.4 MODE
Mode, sebagai ukuran pusat data, berbeda dengan rata-rata hi tung dalam penentuannya. Mode lebih mirip median dalam penentuannya yang tidak melalui proses aritmatik seperti halnya penentuan rata-rata.
Mode adalah suatu nilai yangterdapat dalam serangkaian data yang memiliki frekuensi tertinggi. 4.4.1 Mode dari Data yang Belum Dikelompokkan Untuk data yang belum dikelompokkan, mode lebih mudah ditentukan jika data yang tersedia telah disajikan dalam keadaan terurut.
Contoh 10 Lihat contoh 3. Pada tabel berikut ini, mode dapat ditentukan dengan mudah yaitu RplOO.OOO.OOO,OOkarenanilaiomzetsebesarRplOO.OOO.OOO,OOmemilikifrekuensitertinggi daripada frekuensi nilai-nilai omzet yang lainnya.
74
Tabel4.19
Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Pebruari 1994 Supt·rnwrkl'l
Omset '
'
"Mataram Raya 1'' "Mataram,Raya 2.. , ''Mataram Raya 3'' "Mataram Raya 4" ''Mataram Raya 5" ''Mataram Raya 6.. ..Mataram Raya T'
Rp 90.000.000.00
~~~~
J
·~,.
.&"'f"
RplOO.OOO.OOlM>O
mode
Rptoo.ooo.ooo.oo Rptos.ooo.ooo.oo RpllO.OOO.OOO,OO
Mode serangkaian data dimungkinkan lebih dari satu, seperti contoh berikut ini:
Contoh 11 Misalnya, omzet penjualan pada bulan Maret 1993 dapat ditunjukkan sebagai berikut: Tabe14.20
Omzet Penjualan 7 Supermarket "Mataram Raya" selama Bulan Maret 1994
•-Mata.raln Raya i•• "Mataram Raya 2'• · "Mataram Raya 3'• ''Ma~ Raya 4.. "Matar;.un Raya 5" · ·~ "Mataram Raya 6.. ''Mataram Raya T
''
·Rp
-
.ft/k;
'
,'
90.000~000;00:,'
Rp 9S.O()(tOoo.(J0,
Rp 95.000.000,00 · RplOO.OOO.OOO,OO
Rptos.ooo.ooo.oo
RpllO.OOO.OOO,OO
Rpllo,ooo.ooo.oo
J
mode 1
J
mode2
Di samping itu, serangkaian data pun dimungkinkan tidak memiliki mode seperti yang terlihat pada contoh 1 dan 2.
4.4.2 Mode dari Data yang Telah Dikelompokkan Mode untuk data yang telah dikelompokkan diperkirakan berada pada kelas yang memiliki frekuensi tertingi. Sekali lagi, sifatnya hanya estimatip. Kendati demikian, sifat 75
estimatip mode data yang telah dikelompokkan agaknya berbeda dengan sifat estimatip untuk rata-rata dan median. Mode data yang telah dikelompokkan dapat berbeda jauh dari data yang sebenarnya. Berikut dikutip kembali distribusi usia 60nasabah baru dari tabel4.8. Tabel4.21 Distribusi Usia 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat Raya
lisia
Frekuensi
25-29 30-34 35-39
8
45-49 50-54
14 10 18 7 3
Jumlah
60
~-44
Dari tabel tersebut mode usia diperkirakan terletak pada kelas yang berfrekuensi tertinggi yaitu kelas ke-4. Akan tetapi mode yang sebenamya mungkin terletak di kelas yang lain. Misalnya, data asli usia keenampuluh nasabah tersebut dirinci sebagai berikut: Tabel4.22 Distribusi Usia 60 Nasabah Baru PT Asuransi Jagat ·Raya llsia
Frckucnsi
Rincian usia
~~~~---~~-~----~~--~~~~~~----~~--~--~~----~
25-29 30-34
8 14 ------10
f--
., _ _,_,_._ •-w
-~-·
35-39 0-
-
50-54
·----~--
_ _ ,_ _ ,_,.
! '
18 7
3
·~"
'"'- --•"'-
·-··
--···· ·--·
''-~"A~
36 37 37 37 37 37 .. 37 37 37 37 38 39 •n,,.,_ ... ---
· - - - ~~•4v-- ~·----·~·~n.""
0
40-44 45-49
25 25 25 26 26 27 27 28 30 30 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 33 34
-· •
-·-~~-·-¥-.-' •v---•~•~
----~
--·-•-
40 40 40 40 40 40 41 41 41 41 41 41 42 42 42 43 43 43 44 44 44 44 45 45 46 46 48 48 48 49 49 50 53 54
I
Jumlah
60
Dari tabel tersebut dapat dibuktikan bahwa ternyata mode tidak terletak pada kelas ke4 namun pada kelas ke-3. Sebenarnya bukan saja perbedaan kelas mode saja, namun nilai mode itu sendiri dimungkinkan berbedajauh. Dari rincian data asli tersebut, modenya adalah 76
37 dengan frekuensi terbesar yaitu 9 nasabah dan bukan angka-angka yang berada antara 40 bingga 44 pada kelas ke-4. Selanjutnya akan dibandingkan bagaimana basil perhitungan mode untuk data yang telah dikelompokkan. Mode data Y.ang dikelompokkan dirumuskan:
J mo :Mode Bm : Tepi batas kelas bawah pada kelas mode. i : Interval kelas d 1 : Frekuensi kelas mode dikurang frekuensi kelas sebelum kelas mode. d 2 : Frekuensi kelas mode dikurang frekuensi kelas sesudab kelas mode. Dari tabel4.21, mode dapat dibitung sebagai berikut: Bm : (39 + 40)/2 =39,5 1 : 5 d, :18 10=8 d2 :18-7=11
(4.12)
mo
41,61 atau mo = 41 tahun 7 bulan.
Ternyata basil perbitungan yang diperoleb berbeda jaub. Dari data yang belum dikelompokkan, modenya 37 tabun sedangkan dari data yang telah dikelompokkan, modenya 41 tahun 7 bulan. Mode memiliki beberapa keunggulan: Pertama : Seperti balnya pada median, mode dapat digunakan untuk datakualitatip sebaik penggunaannya untuk data kuantitatip. Kedua : Juga seperti pada median mode tidak dipengarubi oleb adanya angka-angka ekstrim pada data yang tersedia. Ketiga : Mode juga dapat dibitung untuk data yang telah dikelompokkan dengan kelas terbuka. Di samping keunggulan yang dimiliki, mode juga memiliki kelemahan. Dalam kasuskasus tertentu, mode tidak dijumpai dalam serangkaian data. Tentu saja sebagai nilai tunggal yang bertindak sebagai ukuran pusat data, tidak dapat digunakan. Demikian juga jika mode yang ada justru lebih dari satu, mode tidak dapat digunakan sebagai ukuran pusat data (sebagai ukuran pusat data harus merupakan angka tunggal). 77
4.5 HUBUNGAN ANTARA RATA-RATA, MEDIAN, DAN MODE
Hubungan antara rata-rata, median, dan mode dapat diikuti pada gambar 4.4, gambar 4.5, dan gambar 4.6 secara berturut-turut. Pada distribusi frekuensi yang berbentuk simetris (gambar 4.4), rata-rata, median, dan mode terletak dalam satu titik. Dengan kata lain, ratarata sama dengan median dan sama dengan mode. Sedangkan pada distribusi yang menceng ke kanan atau menceng secara positip (gambar 4.5), berturut-turut ketiga ukuran tersebut akan berurutan mode, median, dan terakhir rata-rata. Dan yang terakhir, jika distribusi frekuensinya menceng ke kiri atau menceng secara negatif, maka ketiga ukuran tersebut akan berurutan rata-rata, median, dan mode (gambar 4.6). Terlihat bahwa rata-rata dapat berubah demikian jauh dibanding dengan kedua ukuran lainnya. Hal ini tidak ter~epas dari kelemahan rata-rata itu sendiri, yaitu kuatnya pengaruh angka-angka ekstrim terhadap rata-rata. Berikut dapat diikuti tiga contoh berturut-turut yang dapat menjelaskan ketiga bentuk hubungan rata-rata, median, dan mode. X=md=mo
Xmdmo
Gambar4.4
Hubungan Rata-rata, Median, dan Mode pada Distribusi Frekuensi Berbentuk Simetris X>md>mo
mo
md
x.
Gambar4.5
Hubungan Rata-rata, Median, dan Mode pada Distribusi Frekuensi yang Menceng Secara Positip 78
X=md<mo
X
md
mo
Gambar4.6 Hubungan Rata-rata, Median, dan Mode pada Distribusi Frekuensi yang Menceng Secara Negatip Yang harus diingat bahwa median senantiasa terletak di an tara median dan mode.
Contoh 12 Dari distribusi frekuensi berikut ini, hitunglah rata-rata, median, dan modenya! Tabel4.23 Distribusi Frekuensi Usia 80 Karyawan PT Cilandung Kelas
Frekuensi
20- < 30 30- < 40 40-<50 50-< 60 60- < 70 70- < 80 80- < 90
6 9 15 20 15 9 6
Jumlah
80
79
a.
Rata-rata Tabel4.24
Penghitungan Rata-rata (Mean), Median, dan Mode Usia 80 Karyawan PT Cilandung :\
f
I
85
9 6
I
Jumlah
80
i
4.400
35
'
20 15
15
md=50+ 10
I
150 315 675 1.100 975 675 510
45 55 65
"
I
6 9 15
2S
b. Median
X.f
I
l
!
I
:X= 4.400 80 X=55
t40;030]
md=55
c.
Mode mo=50+ 10
t5~5
]
mo=55 Perhatikan bahwa perhitungan rata-rata, median, dan mode memberikan basil yang sama yaitu 55.
Contoh 13 Dari distribusi frekuensi berikut ini, hitunglah rata-rata, median, dan modenya!
80
Tabel4.25
Distribusi Frekuensi Usia 80 Karyawan PT Cibadut
a.
Kclas
Frckucnsi
20- < 30 30- < 40 40-<50 50-< 60 60- < 70 70- < 80 80- < 90
5 10 25 15 10
Jumlah
80
8
7
Rata-rata Tabel4.26
Penghitungan Rata-rata (Mean), Median, dan Mode Usia 80 Karyawan PT Cibadut X
I
fI
25 35 45 55 65 75 85
5 10 25 15 10 8 7
Jumlah
80
X.f I I I
-
;
'
!
l
!
I
i
l
J Ii I
b.
125 350 1.125 825 650 600 595
X= 4.270 80 X= 53,375
4.270
Median
md=40+ 10 [40;515] md=50
81
c.
Mode
15 ] L15 + 10
mo = 40 + 10 [ mo=46
Dapat diketahui dari basil perhitungan di atas bahwa X> md >mo. Contoh 14 Hitung1ah rata-rata, median, dan mode dari distribusi frekuensi berikut ini: Tabel4.27 Distribusi Frekuensi Usia 80 Karyawan PT Cihampel
a.
Kclas
Fn~kucnsi
20-<30 30- <40 40-<50 50- <60 60- <70 70- < 80 80-<90
7 8 10 15 25 10
Jumlah
80
5
Rata-rata Tabel4.28 Penghitungan Rata-rata (Mean), Median, dan Mode Usia 80 Karyawan PT Cihampel X
I
25 35 45
55 65 75 85 Jumlah 82
f
I
X.f I
I
5
175 280 450 825 1.625 750 425
80
4.530
7
8 10 15 25 10
x = 4.530 80
X= 56,625
b.
Median md=50+ 10
[40;015]
md=60 c.
Mode mo = 60 + 10
[10~15]
mo=64 Dapat diketahui dari basil perhitungan di atas bahwa X < md < mo. 4.6 KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL
Jika tiga ukuran di atas merupakan ukuran lokasi yang cenderung bertindak sebagai ukuran pusat data, maka ketiga ukuran ini hanya merupakan ukuran lokasi. Kendati bukan sebagai ukuran pusat data, ukuran ini banyak bermanfaat bagi para pengambil keputusan. Pada akhir sub-bab akan disajikan satu contoh penggunaan ukuran ini (contoh 18). Tiga ukuran tersebut ada1ah kuartil, desil, dan persentil. Untuk ketiga-tiganya, pembahasan akan ditekankan untuk data yang telah dikelompokkan saja. Dalam perhitung~n nanti, ketiga ukuran ini tidak berbeda dengan perhitungan median. 4.6.1 Kuartil Jika dalam menentukan titik letak median sederetan data terurut dibagi menjadi dua, maka kuartil membagi sederetan data terurut menjadi empat bagian yang sama. Dengan demikian, nantinya akan terdapat tiga kuartil yaitu kuartil pertama (Q 1}, kuartil kedua atau median, dan kuartil ketiga (Q 3). Titik lokasi ketiga kuartil (untuk data yang telah dikelompokkan) tersebut secara sederhana dapat dirumuskan_sebagai berikut:
Q2 =2n14 =n/2 =md
(4.13)
Selanjutnya, denganmemperhatikan perumusan 4.13 di atas, kuartil pertama dan kuartil ketiga (kuartil kedua sama dengan median) dapat dirumuskan sebagai berikut:
83
'),'+
Q1
Kuartil pertama· Kuartil ketiga Bq : Tepi batas kelas bawah pada kelas kuartil. : Interval kelas n : Ukuran sampel fkq : Frekuensi kumulatip sebelum kelas kuartil f q : Frekuensi pada kelas kuartil
Q3
:
:
Contoh 15 Lihat contoh 14. Tentukanlah kuartil pertama dan kuartil ketiga! Kuartil pertama: Titik kuartil pertama: 80/4 = 20 Bq :40 i : 10 fkq : 15 fq : 10
Q = 40 + 10.
t201~15]
Ql =45
Kuartil ketiga: Titik kuartil ketiga : 240/4 =60
Bq :60 fkq fq
: 10 : 40 :25
Q=60+ 10. Q3 =68
84
t60~40 j
(4.14)
4.6.2 Desil dan Persentil Jika pada kuartil deretan data terurut dibagi menjadi 4, maka pada desil, deretan data terurut dibagi menjadi 10 bagian yang sama. Perumusan yang digunakan pun tidak jauh berbeda. Yang berbeda hanya bagian rumus yang menentukan titik-titik desil. Berikut tabe1 yang memuat bagian rumus yang menentukan sembilan titik desil: Tabe14.29 Titik-titik Letak Desil Desilke-1: Desil ke-2: Desil ke-3: Desilke-4: Desil ke-5: Desil ke-6: Desil ke-7: Desil ke-8: Desilke-9:
n/10 2n/10 3nl10 4n/10 Sn/10 6n/10 7n110 8nll0 ' 9n/10
<---mectian
Adapun bagian-bagian lainnya menyesuaikan letak titik desil yang bersangkutan. Contoh 16 Lihat contoh 14. Tentukanlah desil ke-7! Letak titik desil ke-7 Bd (tepi batas bawah kelas desil) fkd (frekuensi kumulatip sebelum kelas desil) fd (frekuensi pada kelas desil)
(80 X 7)/10 =56 60 40 25
L
Desil ke-7 (d7) = 60 + 10. [562-540] Desil ke-7 = 66,4 Demikian pula dalam menentukan persentil. Bagian rumus yang berubah hanyalah bagian yang menentukan letak titik persentil, dan bagian-bagian yang lainnya menyesuaikan persentil yang dimaksud.
85
'•,',
'<4
'"','
Tabe14.30 Letak Beberapa Titik Persentil Persentil ke-1 Persentil ke-12
Persentil ke-27 Persentil ke-87 .
Persentil ke-99
n/100 12n/100 27n/100 87n1100 99n1100
Contoh 17 Lihat.contoh 14. Tentukan persentil ke-67! Letak titik persentil ke-67 Bp (tepi batas bawah kelas persentil) fkp (frekuensi kumulatip sebelum kelas persentil) fP (frekuensi pada kelas persentil)
Persentil ke-67 (p ) = 60 + 10. Persentil ke-67
53,625[
(80 X 67)/1 00 = 56 60 40 25
4~lJ
= 65,44
Contoh 18 Perusahaan Baldroc yang bergerak dalam penjualan bahan-bahan bangunan mempekerjakan 50 tenaga penjual (salesman) yang beroperasi dari rumah ke rumah. Selama semester pertama tahun 1994, total ni1ai penjua1an masing-masing tenaga penjualan dapat disajikan sebagai berikut: Tabel4.31 Total Nilai Penjualan 50 Tenaga Penjual di Perusahaan Baldroc selama Semester I 1994
86
Nilai Pcnjualan
Tcnaga Pcnjual
RplOO.OOO- < Rpl50.000 Rp150.000- < Rp200.000 Rp200.000 - < Rp250.000 Rp250.000 - < Rp300.000 Rp300.000 - < Rp350.000 Rp350.000 - < Rp400.000
4 9 11 15 7
Jumlah
50
4
'"'' ' ' ' ' '
~ '
~
,'"
Pimpinan Perusahaan Baldroc menetapkan bahwa tenaga penjual yang dapat mencapai nilai penjualan Rp275.000,00 atau lebih akan menerima bonus sebesar 10% dari nilai penjualan. Perkirakan jumlah tenaga penjual yang menerima bonus tersebut! Nilai penjualan sebesar Rp275.000,00 memiliki fungsi sebagai ukuran lokasi. Dalam kasus di atas, ukuran lokasi yang dapat digunakan adalah persentil. 275.000 =250.000 + 50.000.
ro~; 24 J
275.000 = 250.000 + 166.666,67X- 80.000 X =0,63 Keterangan: 275.000 : Persentil ke-... 250.000 : Tepi batas kelas bawah pada kelas persentil 50.000 : Interval kelas 50 : Ukuran sampel X : Rasio persentil ke-... 24 : Frekuensi kumulatip sebelum kelas persentil 15 : Frekuensi pada kelas persentil X sebesar 0,63 ini merupakan rasio jumlah tenaga penjual yang nilai penjualannya kurang dari Rp275.000,00 atau yang tidak mendapatkan bonus. Dengan demikian, yang mendapatkan bonus adalah sebesar 0,37 atau sebanyak 18,5 atau 19 orang. 4.7 RATA-RATA TERT/MBANG Adakalanya, perumusan rata-rata hitung yang sudah dibahas sebelumnya tidak dapat memberikan hasil yang tepat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 19 Untuk meningkatkan volume penjualan, toko Panen Raya sering memberikan potongan yang menarik kepada pembeli yang melakukan pembelian dalam jumlah banyak. Pada hari pertama bulan Juni 1994, jumlah pembeli yang melakukan pembelian pada toko tersebut adalah ditunjukkan pada tabel 4.32. Dengan menggunakan perumusan rata-rata hitung (4.2), maka rata-rata hargajualnya adalah: -X = Rp250 + Rp225 + Rp260 + Rp260 + Rp220 + Rp265
~----~~--~~--~6~----~----~---
X= Rp246,67
87
Tabel4.32 Harga dan Volume Penjualan Barang X dari 6 Orang Pembeli di Toko Panen Raya Pemhtli
llarga/Kg
Yolumc (Kg)
Reimon Melan dl.marto
Rp250,00 Rp225,00 Rp260,00 Rp260,00 Rp220,00 Rp265,00
300 500 250 275 550 225
I
Nining DoyokSuri BonyLartus
:
Tentukanlah rata-rata barga jual barang X tersebut! Jika digunakan untuk mengbitung total nilai penjualan, basil perbitungan sebesar Rp245,57 tersebut barns dapat memberikan basil yang sama jika perbitungan total nilai penjualan dilakukan dengan menggunakan angka-angka yang terdapat pada tabel 4.32 di atas. Total nilai penjualan yang dibitung dengan tabel 4.32 dan dengan menggunakan ratarata barga jual adalah sebagai berikut: Tabel4.33 Total Nilai Penjualan dari 6 Orang Pembeli di Toko Panen Raya Peng~itungan
Pl'll1hl'li
llarga/Kg
\ olumc (Kg)
Reimon Melan
Rp250,00 · Rp225,00 Rp26Q.OO Rp260,00 Rp220,00 Rp265,00
300 500 250 275
.Gunarto Nining :poyokSuri BonyLartus
Total nilai penjualan
550 225
Nilai
penjuala~1
Rp 75.000,00 Rpll2.500,00 Rp 65.000,00 Rp 71.500,00 Rpl21.000,00 Rp 59.625,00 Rp474.625,00
Dapat dilibat bahwa basil pengbitungan tersebut tidak sama. Dalam mengbitung barga rata-rata, dalam kasus ini barns diperbatikan faktor lainnya yaitu volume penjualan yang fungsinya sebagai timb<.mgan atau bobot. 88
Tabel4.34
Penghitungan Total Nilai Penjualan dari 6 Orang Pembeli di Toko Panen Raya Pt'mheli
Reimon Melan Gunarto Nining DoyokSuri BonyLartus
llaq~a
Rata-rata
\ olullll'
Rp246,67 Rp246,67 Rp246,67 Rp246,67 Rp246,67 Rp246,67
t h~l
NiL1i ptllju;d.•••
300
500 250
275 550
225
Total nilai penjualan Untukmenghitung rata-rata, dalam kasus seperti ini, harus digunakanrata-rata tertimbang atau rata-rata berbobot yang dirumuskan:
X = B
~I. I.B (B, X]
(4.15)
I
XB :Rata-rata tertimbanglberbobot
B X
Timbanganlbobot ke-i :Data ke-i dari variabel acak X :
1 I
I,(Bi.X) sendiri adalah total nilai penjualan (perhatikan tabel 4.33) yaitu Rp474 625,00. Dengan demikian, rata-rata harga jual dapat dihitung sebagat berikut:
X= Rp474.625,00 2.100*) XB = Rp226,01 *) 2.100 = 300 + 500 + 250 + 275 + 550 + 225
Jika digunakan untuk menghitung nilai penjualan, hasilnya harus sama dengan Rp474.625,00.
89
Tabe14.35
Penghitungan Total Nilai Penjualan dari 6 Orang Pembeli di Toko Panen Raya Pcmhcli
Harga Rata-ntta
Volume (Kg)
Nilai penjualun
Reimon Melan
Rp226,01 Rp226,01 Rp226,01 Rp226,0l Rp226,01 Rp226,01
300 500 250 275 556 225
Rp 67.803,00 Rp113.005,00 Rp 56.502,50 Rp 62.152,75 Rpl24.305,50 Rp 50.875,25
..Gunarto Nining DoyokSuri BonyLartus
Total nilai penjualan
Rp474.621,00
Hasil perhitungan tersebut memang tidak sama persis. Hal ini disebabkan pengaruh pembulatan dalam menghitung rata-rata tertimbang di atas yang seharusnyaRp226,011904762 sehinggahasilnya: Rp226,011904762(300+500+ 250+ 275 + 550+ 225)= Rp474.625,00.
Contoh 20 Seorang mahasiswa dari STIE Gadjah Mungkur pada semester kedua tahun akademik 1993/1994 berhasil menyelesaikan ujian-ujiannya dengan nilai-nilai: Tabel4.36
Daftar Matakuliah dan Nilai Ujian No.
.\Iatakuliah
1. 2.
Pengantar Akuntansi II Pengantar Ekonomi II Pengantar Ekonomi Perusahaan ll Pengantar Hukum Dagang II Bahasa Inggris II Matematika II
3. 4. 5. 6.
SKS
Nilai
4 4
B
2 2 2 2
A A
c
A
c
Tentukan indeks prestasi yang dicapai mahasiswa tersebut. Indek prestasi sebenarnya adalah rata-rata tertimbang nilai yang dicapai oleh seseorang mahasiswa pada suatu semester tertentu (atau beberapa semester secara kumulatip). Yang menjadi timbangan dalam menentukan rata-rata nilai tersebut adalah Satuan Kredit Semester (SKS)nya. Dari data di atas, maka indek prestasi - rata-rata tertimbang nilai mahasiswa tersebut dapat dihitung seperti berikut ini: 90
Tabel4.37
Perhitungan Rata-rata Tertimbang Nilai Ujian \o.
1.
2. 3. 4.
5. 6.
\latakuliah
SKS
Pengantar Akuntansi II Pengantar Bkonomi ll Pengantar Ekonomi Perusahaan ll Pengantar Hukum Dagang II Bahasa Inggris ll Statistika I
Indek Prestasi
4 4
2 2 2 2
Nilai
Komcrsi
SKS x Kon.\ilai
B
3 4 4
A
2 4
12 16 8 4 8
c
2
4
A A
c
=52/16 = 3,25
4.8 RATA-RATA GEOMETRIK
Tidak jarang, seseorang harus menghitung rata-rata pertumbuhan suatu kualitas atau nilai sesuatu, misalnya rata-rata pertumbuhan nilai penjualan, rata-rata pertumbuhan jumlah penduduk, dan lain sebagainya. Untuk menghitungnya, penggunaan rata-rata hitung tidak dapat digunakan lagi dan tentunya diperlukan cara lain, yaitu rata-rata geometrik atau rata-rata ukur. Cara penghitungan dilakukan dengan menarik akar basil kali rasio faktor pertumbuhan dari data ke data. Rasio ini dihitung dengan membagi suatu nilai pada suatu periode dengan nilai pada periode sebelumnya. Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 21 Perkembangan harga per lembar saham PT Inti Persada selama rninggu terakhir bulan Juni 1993 di Bursa Saham Surabaya adalah sebagai berikut: Tabel4.38
Perkembangan Harga per Lembar Saham PT Inti Persada Hari
Harga
Senin Selasa Rabu
Rp 9.900,00 RplO.lOO,OO Rpl0.200,00 Rpl0.550,00 Rp10.800,00 Rp 11.200,00
Kamis Jum'at Sabtu
Hitunglah rata-rata pertumbuhan harga saham perusahaan tersebut! 91
Terlebib dahulu dibitung rasio faktor pertumbuhan barga saham terse but dari bari ke bari seperti berikut: Tabe14.39 Perkembangan Darga per Lembar Saham PT Inti Persada llari
llar~a
Rasio
Rp 9.900.00 Senin Selasa · RplO.lOO.OO Rpl0.200,00 Rabu Rpl0.550,00 Kamis Rpl0.800,00 Jum'at . Rpll.200.00 Sabtu
1,0202
=10.100/9.900
1,0099 = 10.200/10.100 1,0343 == 10.550/10.200 1,0237 = 10.800/10.550 1,0370= 11.200110.200
Rasio pertumbuhannya sendiri adalah rasio faktor pertumbuban dikurang satu. Dari tabel4.39 di atas, misalnya, rasio pertumbuban pada bari Kamis adalah 0,0343 ( 1,0343 - 1). Dengan menggunakan perumusan rata-rata bitung, maka rata-rata rasio faktor pertumbuban barga saham tersebut adalab:
x=
1,o202 + 1,0099 + 1,0343 + 1,0237 + 1,0370
5
x = 1,02502 Dengan menggunakan perumusan rata-rata bitung, rata-rata pertumbuban harga saham adalah 0,02502 (1,02502- 1) atau 2,502%. Benar tidaknya basil perbitungan tersebut barns dibuktikan dengan menggunakan basil perbitungan tersebut untuk menentukan barga sabam pada akhir periode data (bari Sabtu). Jika basil perbitungannya adalah Rp11.200,00 maka basil perbitungan tersebut (1,02502) adalah benar. Perbatikan tabel perbitungan berikut ini: Tabel4.40 Pembuktian Bahwa Darga Rata-rata Pertumbuhan Darga Saham adalah 0,02502 (1,02502 -1)
9.900,00 X 10.147,70 X 10.400,88 X 10.661,11 X 10.627,85 X
1.02502 = 10.147,70 1,02502 =10.400,88 1,02502 • 10.661,11 1,025Q2 = 10.927,85 1,02502 = 10.893,76
Ternyata basil perkalian terakhir adalah Rp10.893,76. 92
Rata-rata geometrik dirumuskan sebagai berikut:
I
X.,
=fl x, X X, X X, X ••• X x.
(4.16)
Dengan menggunakan perumusan tersebut, maka rata-rata pertumbuban barga saham adalah sebagai berikut: XG = 'f/1,0202
X
1,0099 X 1,0343
X
1,0237 X 1,0370
X 0 = 1,025 (pembulatan dari 1,023\497278727).
Melalui proses pembuktian seperti pada tabel4.40, maka basil perkalian terakhir (atau barga saham pada hari Sabtu) adalah Rp 11.200,00 ( sebarusnya 11.200,941307). Perbitungan rata-rata geometrik dapat juga dilakukan dengan menggunakan perumusan:
log G = log x, +I"! X,+ ...
+~
:
~~-l~'l
Dengan menggunakan perumusan 4.17, basil perbitungannya adalah sebagai berikut: 1og G
=
log 1,0202 +log 1,0099 +log 1,0343 +log 1,0237 +log 1,0370
5
log G = 0,0107133515098 G =antilog 0,0107133515098
G = 1,0249751 (atau 1,025) Hasil perbitungan dengan menggunakan kedua perumusan di atas adalah sama.
93
Bab VUkuran Variabilitas
5.1 PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dibabas salab satu karakteristik data, yaitu ukuran pusat data atau ukuran gejala pusat. Karakteristik data yang lainnya adalah variabilitas data. Ada yang menyebutnya dengan istilah dispersi atau penyebaran data. Karakteristik data ini mengukur bagaimana data observasi tersebar. Ukuran variabilitas sangat penting artinya bagi penggambaran serangkaian data, lebiblebib jika seseorang ingin membandingkan dua atau lebib rangkaian data. Dalam usaha membandingkan beberapa rangkaian data, penggunaan ukuran pusat data saja tidak akan memberikan basil yang baik, babkan dapat memberikan basil yang menyesatkan. Ada beberapa kemungkinan yang terjadi jika an tara ukuran pusat data- misalnya rata-rata dan ukuran variabilitas data dibubungkan satu dengan lainnya. a. Beberapa rangkaian data memiliki rata-rata yang sama, namun merniliki variabilitas yang berbeda (gambar 5.1.a). b. Beberapa rangkaian data memiliki rata-rata yang berbeda, namun memiliki variabilitas yang sama (gambar 5.l.b). c. Beberapa rangkaian data memiliki rata-rata dan variabilitas yang berbeda (gambar 5.1.c). d. Beberapa rangkaian data merniliki rata-rata dan variabilitas yang sama (gambar 5.1.d). Pada gambar-gambar di atas (gambar 5.1 ), variabilitas ditunjukkan oleb keruncingan masing-masing poligon frekuensi. Semakin runcing sebuab poligon frekuensi, maka data yang digambarkan oleb poligon tersebut akan semakin kecil variabilitasnya. Dan semakin pipib poligon frekuensi data bersangkutan, maka variabilitas data tersebut semakin besar. Pada bab ini akan dijelaskan berbagai alat yang dapat digunakan untuk mengukur variabilitas serangkaian data, dari yang paling sederbana bingga sampai pada uk~ran variabilitas yang memberikan basil perbitungan yang memuaskan. Alat-alat tersebut adalah: j angkauan (range), inter-kuartil, deviasi-kuartil, deviasi rata-rata, variasi (varian), simpangan baku, dan koefisien variasi.
94
a
b
c
d
Gambar 5.1 Rangkaian Data Ditinjau dari Kondisi Rata-rata dan Variabilitas 5.2 JANGKAUAN, INTER-KUARTIL, DAN DEVIASI KUARTIL
5.2.1 Jangkauan Jangkauan atau range, adalah beda antara angka data terbesar dan angka data terkecH yang dirumuskan: Jangkauan =Angka terbesar - angka terkecil
(5.1)
Contoh 1 Berikut adalah data penjualan dari sampel tenaga penjual (salesman) CV Berlian Jaya yang melakukan penjualan di dua kota: Tabel5.1 Data Penjualan dari 6 Tenaga Penjual CV Berlian Jaya Tenaga Pcnjual
Emita Biantoro Ceceh Bony Endro Fariza
Bandung
Circhon
Rp 90.000,00 RpllO.OOO,OO Rp220.000,00 Rpl40.000,00 Rp 160.000,00 Rp180.000,00
Rp160.000,00 Rp 140.~0,00 Rp150.000,00 Rp 150.000,00 Rp 170.000,00 Rpl30.000,00 95
Jangkauan nilai penjualan tenaga penjual CV Berlian Jaya di Bandung dan Cirebon adalah: Bandung: Rp220.000,00- Rp 90.000,00 = Rp130.000,00 Cirebon: Rp 170.000,00 - Rp 130.000,00 = Rp 40.000,00 Dilihatjangkauannya, nilai penjualan di kota Bandung rnerniliki variabilitas yang lebih tinggi dibanding dengan nilai penjualan di kota Cirebon. Akan lebih jelas lagi jika angkaangka di atas dituangkan dalarn garis skala seperti berikut ini: Jangkauan nilai penjualan di kota Bandung r------------- 130.000-----------, o--A---o-B--o--o--D---o-E---o-F--o------o---o-C 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 o--~-o---o---~--F--B---C---A---E---o-o---D---D---D
D
..____ _ 40.000 --~ Jangkauan nilai penjualan di kota Cirebon Gambar 5.2 Garis Skala Nilai Penjualan di kota Bandung dan Cirebon Jangkauan merupakan alat yang rnengukur variabilitas yang paling sederhana. Dengan demikian, ukuran ini memiliki kelemahan, di antaranya, pengukuran tidak melibatkan seluruh data. 5.2.2 Inter-Kuartil Ukuran ini dihitung dengan menentukan beda antara kuartil ketiga dan kuartil pertarna yang dirumuskan:
(5.2) Q1 Q3
: :
Kuartil pertama Kuartil ketiga
Seperti halnya dengan cara pertama, jangkauan, rnaka penghitungan inter-kuartil tidak melibatkan seluruh data yang ada. Contoh 2 Lihat contoh 1. Hitunglah inter-kuartilnya! Bandung: (n + 1)
4
96
=7/4 =1 75 '
Kuartil pertama = 90.000 + (110.000- 90.000)0,75 = 105.000 (3n + 1) = 2114 = 5 25
4
'
Kuartil ketiga
= 180.000 + (220.000 - 180.000)0,25 = 190.000
lnter-kuartil
= 190.000 = 85.000
105.000
Cirebon: Kuarti1 pertama = 130.000 + (140.000- 130.000)0,75 = 137.500 Kuartil ketiga = 160.000 + (170.000 - 160.000)0,25
= 162.500 = 162.500 = 25.000
Inter-kuartil
137.500
Kesimpulan yang dapat diambil sama seperti pada cara penentuan jangkauan, bahwa nilai penjualan di kota Bandung memiliki variabilitas yang lebih tinggi dibanding dengan variabilitas nilai penjualan di kota Cirebon. Jika digambarkan pada garis skala dapat dilihat sebagai berikut: Inter-kuartil nilai penjualan kota Bandung Inter-Kuartil nilai penjualan kota Bandung , - - - - - - - - - - - 85.000 - - - - - - - - - - - - .
o----A--o-B----{}----{)---D--o-E---
--< 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
~~~~r-~~~--F--B---C---A---E--o-~-~-~-~
D
' - - - - 25.000 - - - - ' Inter-kuartil nilai penjualan di kota Cirebon Gambar 5.3 Garis Skala Nilai Penjualan di kota Bandung dan Cirebon 5.2.3 Deviasi Kuartil Deviasi kuartil mengukur variabilitas data dengan menentukan rata-rata hitung interkuartilnya. Deviasi kuartil dirumuskan sebagai berikut:
97
:-
'
'
'
'
(5.3)
Q1 Q3
: :
Kuartil pertama Kuartil ketiga
Contoh 3 Perhatikan contoh 1. Hitunglah deviasi kuartilnya! Bandung: Deviasi kuartil
=Q 1 ;
Deviasi kuartil
=(190.000- 105.000)/2 = 42.500
Q3
Cirebon: Deviasi kuartil
=Q 1 ;
Deviasi kuartil
=(162.500 - 137 .500)/2 = 12.500
Q3
Tidak berbeda dengan kedua cara sebelumnya, dengan deviasi kuartil, nilai penjualan kota Bandung menunjukkan variabilitas yang lebih tinggi. 5.3 DEVIASI RATA-RATA
5.3.1 Deviasi Rata-rata dari Data yang Belum Dikelompokkan Berbeda dengan tiga cara sebelumnya, maka deviasi rata-rata melibatkan seluruh data observasi dalam penghitungannya. Di sini, variabilitas diukur dengan membandingkan data observasi secara individual dengan pusat datanya (biasanya rata-rata). Perhitungan dilakukan dengan mencari rata-rata beda absolut antara data observasi secara individual dengan pusat datanya (sekali lagi biasanya dengan rata-ratanya). Hal ini dirumuskan: Untuk sampel (5.4) Xi
: Data ke-i dari variabel acak X
X
: Rata-rata sampel
n
: Ukuran sampel
98
Untuk populasi
I~De.v1as1. rata-rata = l:IX.-f.l N •I X ll. N I
d
•
(5.5)
:Data ke-i dari variabel acak X : Rata-rata populasi : Ukuran populasi
Perhatikan bahwa basil pengurangan data observasi dengan rata-ratanya berada dalam tanda dua garis tegak. Tanda ini menunjukkan bahwa basil pengurangan tersebut berbentuk bilangan absolut (senantiasa dalam bilangan positip). Jika basil pengurangan tersebut -19 misalnya, maka bilangan absolutnya adalah 19. Demikian seterusnya. Dengan sendirinya, sebelum menghitung deviasi rata-rata, hams dihitung terlebih dahulu rata-ratanya.
Contoh 4 Lihat contoh 1. Hitunglah deviasi rata-rata data nilai penjualan di kedua kota tersebut! Rata-rata nilai penjualan di kota Bandung: 90.000 + 110.000 + 220.000 + 140.000 + 160.000 + 180.000 6 Rata-rata (X)= Rp150.000 Rata-rata nilai penjualan di kota Cirebon: 160.000 + 140.000 + 150.000 + 150.000 + 170.000 + 130.000 6 Rata-rata (X)= Rp150.000 Perhitungan deviasi rata-rata selanjutnya adalah sebagai berikut: Tabel5.2
Perhitungan Deviasi Rata-rata Nilai Penjualan di Kota Bandung -
0
X
90.000 110.000 220.000 140.000 160.000 180.000 Jumlah
X l'
;
Il ; I
;
i
1 I ;
150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000
-
I X I -X I
60.000
4o.ooo
70.000 10.000 10.000 30.000 '220.000
•'
Deviasi rata-rata= 220.000/6 Deviasi rata-rata = 36.666,67 99
Tabel5.3
Perbitungan Deviasi Rata-rata Nilai Penjualan di Kota Cirebon X
160.000 140.000 150.000 . 150.000 170.000
l30.ooo .
1
Jumlah
i
X
IX-XI
150.000 150.000 150.000
10.000 10.000
150.000 150.000
0 20.000 20.000
I
0
150.000
60.000
Deviasi rata-rata = 60.000/6 Deviasi rata-rata= 10.000 Kesimpulan yang dapat diambil bahwa variabilitas nilai penjualan di kota Bandung ternyatalebih tinggi dibanding dengan variabilitas nilai penjualan di kota Cirebon. Selanjutnya, hal tersebut di atas dapat ditunjukkan melalui gambar berikut:
f----------------c A
----------------------~
F B-------------~
D-
o---A---o-B--o---
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
~~~_,r-~~~---F---B---C---A---E--~--~--4r--~--~
D
c A E
Gambar 5.4 Garis Skala Nilai Penjualan di kota Bandung dan Cirebon
100
Jika dibandingkan, terlihat bahwa untuk data yang memiliki variabilitas tinggi, letakletak data observasi tersebar lebih berjauhan terhadap rata-ratanya dibanding dengan data yang memiliki variabilitas yang lebih rendah. Dengan kata lain, data yang memiliki variabilitas kecil, letak-letak data observasinya cenderung mengelompok berdekatan dengan rata-ratanya.
5.3.2 Deviasi Rata-rata dari Data yang Telah Dikelompokkan Seperti halnya ketika menentukan ukuran pusat data dari data yang telah dikelompokkan, diperlukan penaksir data observasi (asli) dari kelas-kelas data yang terdapat dalam sebuah distribusi frekuensi, yaitu titik-titik tengah masing-masing kelas. Selanjutnya, deviasi rata-rata untuk data yang telah dikelompokkan dirumuskan sebagai berikut:
Untuk sampel Deviasi rata-rata =
I.IX.-XI.f. 'n '
X,
: Titik tengah kelas ke-i
f n
: Rata-rata sarnpel : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran sampel
I
(5.6)
Untuk populasi . . I.IX.-u l.f I rx l DeVIaSl rata-rata = N X, f.Lx f N I
(5.7)
: Titik tengah kelas ke-i : Rata-rata populasi : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran populasi
Contoh 5 Berikut disajikan data saldo piutang dagang PT Zamrud Katulistiwa yang diambil dari transaksi penjualan di kedua kantor cabang yang dimilikinya.
101
Tabel5.4 Distribusi Saldo Piutang Dagang PT Zamrud Katulistiwa Cabang Kediri dan Malang (dalam satuan Rpl.OOO,OO) Saldo Piutang
Kediri
!\Ia lang
60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau lebih 110 atau lebih 120 atau lebih
55 51 42 26 12 3 0
60 54 46 34 20 9 0
Sebelum menentukan titik-titik tengah masing-masing kelas, bentuk penyajian pada tabel5.4 harus diubah menjadi distribusi frekuensi biasa seperti berikut ini: Tabel5.5 Distribusi Saldo Piutang Dagang PT Zamrud Katulistiwa Cabang Kediri dan Malang (dalam satuan Rpl.OOO,OO) Saldo Piutang
Kediri
!\lalang
60-<70 70-<80 80-<90 90- <100 100- <110 110- <120
4 9 16 14 9 3
6 8 12 14 11 9
Jumlah
55
60
Selanjutnya, perhitungan masing-masing deviasi rata-ratanya adalah sebagai berikut:
102
Tabel5.6
Penghitungan Rata-rata
65 75 85 95 105 115
Jumlah
4
8
600
16 14 9 3
12 14 11 9
1.020 1.330 1.155 1.035
55
4.915
60
5.530
Rata-rata saldo piutang cabang Kediri:
X = 4 ·915 55
390
260 675 1.360 1.330 945 345
9
6
Rata-rata saldo piutang cabang Malang:
= 5.530 =92 17
=89 ' 36
60
X = Rp89.360,00
'
X = Rp92.170,00 Tabel5.7
Penghitungan Deviasi Rata-rata Saldo Piutang PT Zamrud Katulistiwa Cabang Kediri Saldo piuhmg X
l
65
Deviasi rata-ratanya
f
I
IX I
X I .f
75 85 95 105 115
4 9 16 14 9 3
97,44 129,24 69,76 78,96 140,76 76,92
Jumlah
55
593,00
I
= 593,08/55 10.780
103
Tabel5.8 Penghitungan Deviasi Rata-rata Saldo Piutang PT Zamrud Katulistiwa Cabang Malang Saldo piutang, \
_,
Deviasi rata-ratanya
f
I
I X- X l.f I
65
6
15
8
85 95 105 115
12 14 11 9
163,02 ' 137,36 86,04 39,62 141,13 205,47
Jumlah
60
772,64
I
=772,64/60 = 12.880
Dari basil perhitungan tersebut, diketahui bahwa variabilitas data saldo piutang dagang PT Zamrud Katulistiwa cabang Malang lebih tinggi daripada cabang Kediri. Hasil penghitungan variabilitas dengan menggunakan deviasi rata-rata ini tentu saja jauh Iebih baik daripada menggunakanjangkauan, inter-kuartil, dan deviasi-kuartil, karena penghitungan deviasi melibatkan seluruh data observasi. Akan tetapi deviasi rata-rata masih memiliki kelemahan. Untuk memperoleh nilai-nilai beda data observasi dengan rata-ratanya yang positip, metode ini mcnganggap sama antara nilai-nilai negatip dan positip. Secara matematik, kedua sifat bilangan itu, positip dan negatip, harus dibedakan dengan tegas. 5.4 VARIASI DAN SIMPANGAN BAKU
5.4.1 Variasi dari Data yang Belum Dikelompokkan Pengertian variasi mirip dengan deviasi rata-rata. Hanya saja, untuk memperoleh basil perhitungan dalam bilangan positip tidak lagi diwujudkan dalam bilangan absolut, namun dikuadratkan. Dengan kata lain bahwa: variasi adalah alat ukur variabilitas serangkaian data yang dihitung dengan mencari rata-rata selisihlbeda kuadrat an tara data observasi dengan pusat datanya (biasanya menggunakan rata-rata). Variasi untuk data populasi disimbulkan dengan cr, 2 dan untuk data sam pel disimbulkan dengan s2 • Untuk yang belum dikelompokkan, variasi dirumuskan sebagai berikut:
104
Untuk populasi {S.8)
cr / X I
).l,
N
: V ariasi populasi :Data ke-i dari variabel acak X : Rata-rata populasi : Ukuran populasi
Untuk sampel
s2 X
I
X n
: Variasi sampel :Data ke-i dari variabel acak X
: Rata-rata sampel : Ukuran sampel
Kedua perumusan di atas dapat disederhanakan seperti berikut ini:
Untuk populasi (J
(!, X.)2 2 = N.L, X2I I
N
X
(5.10)~
cr, 2 : V ariasi populasi X : Data ke-i dari variabel acak X N : Ukuran populasi I
Untuk sampel 82
s2 XI n
= N.L, X/ - (L, X/ n (n 1)
(5.11)
~1
: Variasi sampel :Data ke-i dari variabel acak X : Ukuran sampel
105
Contoh 6 Lihat contoh 1. Variasi nilai penjualan CV Berlian Jaya di kota Bandung dan Cirebon dapat dihitung seperti berikut ini: Tabel5.9 Penghitungan Variasi Nilai Penjualan CV Berlian Jaya di Kota Bandung Penjualan (X.)
Rata-rata (X)
(X. -X)
(X. - X) 2
X2
90 110 220 150 160 180
150 150 150 150 150 150
-60 -40 -70 0 10 30
3.600 1.600 4.900 0 100 900
8.100 12.100 48.400 22.500 25.600 32.400
11.200
146.200
•
I
I
I
900
I
Variasinya adalah (data di atas adalah data sampel): 2
s
=
11.200 6- 1
s2 = 2.240 s2 = 2.240.000
atau dengan perumusan yang disederhanakan: 6 . (146 . 200)- 9002 s = 6 . (6- 1) 2
s2 = 2.240 s2 = 2.240.000
Tabel5.10 Penghitungan Variasi Nilai Penjualan CV Berlian Jaya di Kota Cirebon Penjualan (X) 160 140 150 150 170 130 !
900
106
:
Rata-rata (X)
(X.- X)
150 150 150 150 150 150
10 -10 0 0 20 -20
(X.X)2 I
I
X2 I
:
100 100 0 0 400 400
25.600 19.600 22.500 22.500 28.900 16.900
!
1.000
136.000
!
Variasinya adalah (data di atas adalah data sampel): 1.200 6- 1
s2 = 200 s2 = 2000000
atau dengan perumusan yang disederhanakan:
s2 = 6 0(136 0200)- 9002 6°: (6- 1)
s2 = 200 s2 = 2000000
Dengan menggw·Raimt:l peruml!lsan yang telah disederhanakan, penghitungan rata-rata tidak lagi perlu dilakukano 5.402 Variasi dari Data yang Telah Dikelompokkan Selanjutnya bagaimana cara menghitung variasi dari data yang telah dikelompokkan? Seperti halnya ketika menghitung deviasi rata-rata untuk data yang telah dikelompokkan, maka untuk menghitung variasi data yang telah dikelompokkan diperlukan pula penaksirpenaksir data observasi yang diujudkan dalam titik tengah untuk masing-masing kelas sebuah distribusi frekuensio Baik untuk populasi maupun sampel dirumuskan sebagai "-berikut: ,..., -~· :i.f_:.Untuk populasi 0
2
= l (Xi - 11Y · fl
N
X
(5.12)
cr2 : V ariasi populasi X
X
1
:
Da~a
tengan kelas ke-i.
llx : Rata-rata populasi f N I
.......
: Frekuensi kelas ke-i · : Ukuran populasi
Untuk sampel
I
sz =
I, (Xi - X)2 • f, n-1
s2 XI
: Variasi sampel : Titik tengah kelas ke-i
X fI
: Rata-rata sampel : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran sampel
n
(5.13)
I
107
Contoh 7 PT Widuri adalah sebuah perusahaan yang menghasilkan tegel, mempekerjakan 75 karyawan untuk bagian produksi. Gaji yang mereka terima per bulan untuk tahun 1993 adalah sebagai berikut: Tabe15.11 Distribusi Gaji per Bulan yang Diterima Karyawan PT Widuri untuk Bagian Produksi Tahun 1993 Caji
Jumlah Karym\an
80.000 - < 90.000 90.000- <100.000 100.000- <110.000 110.000- <120.000 120.000- <130.000 130.000- <140.000
9 11 18 20 10 7
Jumlah
75
Variasi gaji yang diterima dapat dihitung seperti berikut ini: Rata-rata (rata-rata populasi: karena yang menjadi kajian adalah karyawan bagian produksi) gaji yang diterima: Tabel5.12 Penghitungan Rata-rata Gaji yang Diterima Karyawan PT Widuri untuk Bagian Produksi Tahun 1993 X
f
I
85.000 95.000 105.000 115.000 125.000 135.000
Jumlah
Jl
= 8.195.000
X
108
75
Jlx
= 109.266,67
I
9 11 18 20 10 7
X .. f I
I
765.000 1.045.000 1.890.000 2.300.000 1.250.000 945.000 8.195.000
Tabel5.13 Penghitungan Variasi Gaji yang Diterima Karyawan PT Widuri untuk Bagian Produksi Tahun 1993
85.000 95.000 105.000 115.000 125.000 135.000
9 11 18 20 10 7
Jumlah
5.299.841.456 2.238.916.601,78 327.680.512 657.421.457,78 2.475.376.728,89 4.635.429. 910,22 15.634.666.666,7
=15.634.666.666,7 0' 2 = 208.462.222,22 75 Seringkali angka-angka yang dihadapi tergolong besar sehingga dapat menyulitkan dalam proses perhitungan. U ntuk itu, perumusan di atas dapat diringkas dengan menggunakan cara pengkodean yang dirumuskan seperti berikut ini: 0'
2
X
X
Untuk populasi
(5.14)
cr
2
'
U f
: Variasi populasi : Interval kelas Kode U pada kelas ke-i : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran populasi :
1
I
N
Untuk sampel
.,
s2 = 1" s2 U, f n I
l
i u2 • I
f_
ulN .
(5.15)
n- 1
Variasi sampel : Interval kelas : Kode U pada kelas ke-i : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran sampel
.:
109
Tabel5.14 Penghitungan Variasi Gaji yang Diterima Karyawan PT Widuri untuk Bagian Produksi Tahun 1993 dengan Cara Pengkodean f
u .f
U2
I
I
9
-2
-27 -22 -18 0 10 14
4 1 0 1 4
-3
-43
19
Kodc U
I
I
-3 -2 -1 0 1
9 11 18 20 10 7 75
I
lJ 2.f' I
I
81 44 18 0 10 28
I
181
5.4.3 Simpangan Baku dari Data yang Belum Dikelompokkan Dalam praktisnya, ukuran variabilitas yang sering digunakan adalah simpangan baku (atau deviasi standar) yang merupakan akar kuadrat dari variasi. Hal ini disebabkan bahwa variasi tidak dapat dinyatakan dalam satuan ukur apapun seperti rupiah, kilogram, ton, dan lain sebagainya. Sedangkan simpangan baku dapat dinyatakan dalam satu satuan ukur seperti Ji atas. Untuk data yang belum dikelompokkan, baik untuk populasi maupun sampel dapat dirumuskan sebagai berikut:
Untuk populasi
(5.16)
ax : Simpangan baku populasi X 1 :Data ke-i dari variabel acak X ~x : Rata-rata populasi N : Ukuran populasi
Untuk sampel s=
110
v!
(X- X)2
n-
1
(5.17)
-I
s X
I
X n
: Simpangan baku sampel : Data ke-i dari variabel acak X : Rata-rata sampel : Ukuran sampel
Contoh 8 Lihat contoh 6. Simpangan baku nilai penjualan di kota Bandung adalah sebagai berikut: 2 s = :2.240.000. s ..J 2.240.000, s = Rp 1.496,66 5A:4 Simpangan Baku dari Data yang Telah Dikelompokkan Adapun untuk data yang telah dikelompokkan, dengan mudah dapat dirumuskan seperti berikut: Untuk populasi
cr, : Simpangan baku populasi U, f N I
: Interval kelas : Kode U pada kelas ke-i : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran populasi
Untuk sampel
s U f n'
1
: Simpangan baku sampel : Interval kelas Kode U pada kelas ke-i : Frekuensi kelas ke-i : Ukuran sampel :
Contoh 9 Lihat contoh 7. Simpangan bakunya dapat dihitung sebagai berikut: 2 cr X == 208.462.222,22 cr X = ..J 208.462.222,22
cr, =Rp14.438,22 111
5.4.5 Hukum BIENA YME-CHEBYSHEV Lebih seabad yang lalu, dua ahli matematika, Bienayme-Chebyshev secara independen telah melakukan studi tentang variabilitas serangkaian data disekitar rata-ratanya. Mereka menemukan bahwa:
tanpa memandang bagaimana serangkaian data berdistribusi, persentase data observasi yang berada dalam jarak _ k simpangan baku di sekitar rata-ratanya, sekurang-kurangnya sebesar (1-l/k2)100%. Dengan demikian, jika:
•
k = 2 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1 - 0,25)100% = 75%. k = 3 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1 - 0,11)100% = 88,89% k = 4 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1 - 0,0625)100% = 93,75% Penggunaan distribusi frekuensi yang simetrik dan berbentuk lonceng akan memberikan basil pengukuran yang lebih tepat, yang besamya masing-masing: k = 1 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1- 0,32)100% = 68%. k = 2 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1- 0,05)100% = 95% k = 3 simpangan baku, maka persentase jumlah data observasi yang berada dalam jarak tersebut adalah (1 - 0,01)100% =99% Perhatikan diagram berikut: ~--------------99%--------------~
4---------'95%--------..... ~8%_______..,..
/lx
!lx + lax !lx + 2crx !lx + 3ax
Gambar 5.4 Diagram Penyimpangan Data Invidual dari Rata-ratanya 112
Simpangan baku juga bennanfaat dalam menjelaskan sejauh mana data individual menyimpang dari rata-ratanya. Ukuran ini disebut sebagai standard score (angka baku). Jika data observasi individual disimbulkan dengan X, maka angka baku dirumuskan seperti berikut:
X
J.l.,
cr,
: Data observasi dari populasi. : Rata-rata populasi : Simpangan baku populasi
Contoh 10 Dalam penawaran perdana, saham PT Khasandy Group ditawarkan dengan kurs sebesar 3:25%. Rata-rata kurs saham pada penawaran perdana selama ini diketahui sebesar 345% dengan simpangan baku sebesar 24%. Maka, angka baku untuk kurs saham PT Khasandy Group pada penawaran perdana adalah: 324 - 345 A ng ka b a k·u = --=--:---Angka baku = -0,83. 5.5 KOEFISIEN VARIASI
Simpangan baku adalah ukuran variabilitas secara absolut yang dinyatakan sama seperti halnya satuan hitung data observasinya (data asli). Perhatikan contoh berikut ini: Contoh ll Berikut disajikan dua rangkaian data sampel gaji yang dibayarkan PT leal Nusantara dan CV Ice! Antara (Rp 1.000,00):
PT leal Khasandy: 250 275 290 300
225 325
210 300
290 281,5
350
90 80
IIO
160 99,5
75
100
CV Icel Khasandy: 100 90
110 80
Selanjutnya dapat dihitung bahwa, rata-rata gaji yang dibayar tersebut adalah Rp28l .500,00 untuk PT leal Khasandy dan Rp99 .500,00 untuk CV Ieel Khasandy. Sedangkan simpangan bakunya (rumus 5.12) adalah Rp43.143,82 untuk PT leal Khasandy dan Rp24.545,88 untuk CV Iccl Khasandy. 113
Dari angka-angka di atas dapat disimpulkan bahwa variabilitas gaji yang dibayar tcmyata lebih tinggi PT leal IDlasandy dibanding variabilitas gaji CV leel Khasandy. Apakah benar demikian? Dari data yang diketahui terlihat bahwa angka-angka data PT leal Khasandy relatit lebih besar dibanding angka-angka data pada CV leel Khasandy. Tentu saja angka rata-rata yang diperoleh pun lebih tinggi PT leal Khasandy. Padahal simpangan baku sebagai pengukur variabilitas, dihitung dari data observasi dan rata-ratanya yang telah diketahui berbeda jauh. Dengan demikian alat ukur variabilitas tersebut, simpangan baku, tentu saja tidak layak digunakan. Alat lain yang dapat digunakan adalah koefisien variasi yang merupakan rasio antara simpangan baku dengan rata-ratanya yang dirumuskan seperti berikut,ini.
Untuk populasi Koefisien V ariasi =
~: x- 100%
(5.21)
cr, : Simpangan baku populasi ~.
:Rata-rata populasi
Untuk sampel Koefisien Variasi = s X
~ x 100%
(5.22)
: Simpangan baku sampel :Rata-rata sampel
Dengan menggunakan koefisien variasi, maka:
PT leal Khasandy: Koefisien variasi
= 43.143.,82 281.500
m
X
100 ~10
= 15,33% CV Icel Khasandy: Koefisien variasi
= 24.545,88 99.500
= 24,67% Ternyata dengan koefisien variasi, variabilitas gaji yang dibayar lebih tinggi CV leel Khasandy dibanding dengan PT leal Khasandy. Demikian, untuk tujuan perbandingan variabilitas, penggunaan simpangan baku masih dirasa belum cukup. Masih dibutuhkan, atau paling tidak perlu diuji dengan menggunakan koefisien variasi. 114
Bab VI Angka lndeks
Angka indeks adalah nilai relatip dengan angka dasar 100 persen atau perkalian 100 persen. Angka indeks dipakai sebagai indikator perubahan satu atau bermacam-macam hal tertentu. Angka~angka indeks yang penting untuk kegiatan bisnis dan ekonomi dapat dikelompokkan dalam 3 jenis: 1. 2. 3.
Indeks harga Indeks kuantitas Indeks nilai
Angka indeks dapat disusun untuk suatu komoditi tunggal yang disebut angka indeks sederhana atau untuk sejumlah komoditi yang disebut angka indeks gabungan. Metode perhitungan angka indeks sederhana diberikan dalam sub bab 6.1 dan angka indeks gabungan dalam sub bab 6.2. Ada bermacam-macam rumus untuk menyusun angka indeks ini. Kriteria yang digunakan untuk menguji sebuah rumus diberikan dalam sub bab 6.3. Seringkali diperlukan suatu perubahan tahun dasar dari sekelompok angka indeks yang sudah disusun. Metode pengubahan tahun dasar dari suatu periode ke peri ode lain dijabarkan dalam sub bab 6.4. Metode penyesuaian nilai rupiah dari suatu runtut waktu dengan indeks harga yang disebut pendeflasian dibahas dalam sub bab 6.5. 6.1 ANGKA INDEKS SEDERHANA (UNTUK KOMODIT/ TUNGGAL)
. Angka indeks sederhana adalah angka indeks yang disusun dari suatu runtut waktu mengenai komoditi tunggal. Angka indeks sederhana ini disebut relatif sederhana, karena dinyatakan dalam suatu bentuk perbandingan. Suatu perbandingan mempunyai 2 bagian yaitu: (a) bagian pertama (atau bilangan yang disebut pemyataan pertama) (b) bagian kedua (atau dasar yang digunakan sebagai pembanding). Kedua bagian itu dapat ditulis: Perbandingan bagian pertama terhadap bagian kedua=w /(b) yang menunjukkan bahwa (a) adalah bagian pertama dan (b) adalah bagian kedua. Dengan demikian, apabila harga suatu jenis mobil adalah Rp3.000.000,00 pada tahun 1985 dan Rp3.750.000,00 pada tahun 1986, maka perbandingan harga tahun 1986 terhadap harga tahun 1985 adalah: 115
hargath 1986= harga th 1985
Rp3.750.000,00 = 1,25 atau 125% Rp3.000.000,00
Dan perbandingan harga tahun 1985 terhadap harga tahun 1986: harga th 1985 = harga th 1986
Rp3.000.000.00 = 0,80 atau 80% Rp3.750.000,00
Persentase yang diperoleh dalam hasil bagi dengan mengubah koma dua angka desimal di sebelah kanan menggambarkan nilai relatif bag ian dasar pertama dan 1 atau 100 persen mewakili bagian kedua atau bagian dasar dari masing-masing kasus. Jika masing-masing nilai relatif dalam suatu deret dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama (selain nol) hubungan nilai-nilai itu tidak berubah. Angka indeks itu secara berulang-ulang dinyatakan dalam 100 x tiap-tiap persen dalam suatu deret. Hal ini dapat disederhanakan dengan membuang tanda persen. Dalam contoh berikut angka dasamya adalah 100 yang menunjukkan bahwa 100 mewakili 100%. Secara umum indeks harga sederhana, kuantitas dan nilai relatif untuk suatu komoditi tunggal dapat dihitung dengan rumus berikut: Tabel 6.1 Contoh perbandingan angka indeks sederhana
1985 1986
3.000 3.750
100% 125%
100 125
80% 100%
80 100
Dari tabel tersebut dapat diketahui macam-macam angka indeks, yaitu: harga relatif: Pn/Po sesuai dengan jenis angka indeks pertama kuantitas relatif: Qn!Qo sesuai dengan jenis angka indeks kedua nilai relatif: PnQn!PoQo sesuai dengan jenis angka indeks ketiga Peri ode waktu dalam perhitungan relatif sederhana atau angka indeks lainnya biasanya · adalah satu tahun. Me ski pun demikian dapat juga seperempat tahun, satu bulan, atau dalam satuan waktu lain. Untuk sejumlah komoditi tertentu satuan harga dalam satu tahun mungkin sama untuk seluruh waktu. Dalam kasus demikian harga rata-rata pada tahun itu dapat dipakai sebagai perhitungan. Penggunaan rum us tiga angka indeks terseb'!t diberikan dalam berikut ini:
116
Contob 1: Misalkan data satuan harga dan jumlah kopi hi tam yang diproduksi di Lampung pada tahun 197 I dan 1976 disajikan dalam tabel6.2, hitunglah angka indeks dengan menggunakan tahun 1971 sebagai tahun dasar untuk angka indeks: (a) harga, (b) kuantitas. (c) nilai dalam tahun 1986. Tabel 6.2
Data dan jawaban untuk contob 1
o: 1981 (tahun dasar) n:1986
Penyelesaian: Angka indeks relatif sederhana yang digunakan sebagai angka inde:ks adalah sebagai berikut: harga relatif tahun I 986 = Pn/Po = 400/250 = 1.60 atau 160% kuantitas relatif tahun 1986 = Qn/Qo = 250/200 = 1.25 atau 125% nilai relatif tahun 1986 = PnQn/PoQo 400/250 250/200 = 2,00 atau 200% Contoh l menggambarkan metode dasar perhitungan relatif sederhana. Jika runtut waktu memuat informasi lebih dari 2 tahun. maka ada 3 cara untuk menghitung angka relatif. Cara perhitungan adalah sama. Metoda perhitungan relatif sederhana tersebut meliputi: relatif dasar tetap (fixed-base relatives) relatif penghubung (link relatil·es) perbandingan relatif (chain relatives) Karena prosedur perhitungan relatif sederhana ketiga cara terse but untuk harga, kuantitas, dan nilai suatu komoditi tunggal pada dasarnya adalah sam a, maka hanyaruntut waktu satuan harga sajalah yang dapat digunakan untuk menggambarkan yang dimaksud.
Relatif Dasar Tetap (Fixed- Base Relatives) Relatif dasar tetap satuan harga dipakai untuk menunjukkan perubahan harga relatif selama beberapa tahun yang tercakup dalam runtut waktu. Deret itu mempunyai nilai yang sama dengan 100 atau suatu perkalian 100%- (misalnya 100 x 100% 100) yang dipilih sebagai tahun dasar. Angka dasar terse but dapat berupa harga dari satu tahun atau harga dari beberapa tahun. Kriteria untuk memi Iih peri ode dasar tergantung tergantung pada macam dan pemakaian angka indeks tersebut. Sebagai contoh, apabila angka indeks dipakai secara
117
berulang-ulang untuk membandingkan dengan data yang dipublikasikan, angka indeks itu dapat dipilih sebagai periode dasamya sesuai dengan dasar yang dipublikasikan. Secara umum harga pada periode dasar harus normal apabila dibandingkan dengan harga pada periode lain. Harga relatif dasar tetap mudah untuk dihitimg. Dengan cara harga tahunan pada suatu runtut waktu tersebut dibagi dengan angka dasar yang sama untuk tiap-tiap tahun. Perhitungan tersebut dijelaskan dalam contoh berikut ini:
Contoh 2: Misalkan data satuan harga kopi hitam di Lampung dalam tahun 1981 sampai 1986 disajikan dalam kolom 2, tabel 6.3. Tabel6.3 Data dan jawaban untuk contoh 2
·..
1981 1982 1983 1984 1985 1986
Rp250,00 Rp300,00 Rp500,00 ··' Rp200,00 Rp220,00 Rp400,00 \!•
100% 120% 200% 80% 88% 160%
71,4% 85,7% 142,9% 57,1% 62,9% 114,3%
,. ; 'I
•
Hi'tinglah harga relatif untuk seti'ap tahun dengan menggunakan: (a) tahun 1981 sebagai dasar (b) rata-rata harga tahun 1981 sampai dengan 1983 sebagai dasar
Penyelesaian: (a) Harga relatif utnuk tiap-tiap tahun dengan menggunakan tahun 1981 sebagai tahun dasar dihitung menurut rumus, atau harga tahun tertentu (Pn)
Harga relatiftahun tertentu
= -----------harga tahun 1981 Rp250,00 (Po)
Dengan demikian: harga relatif tahun 1981 = 250/250 = 1 atau 100% harga relatif tahun 1982 = 300/250 = 1,2 atau 120% 118
dan seterusnya. Jawaban itu dapat dilihat pada kolom (3) tabel 6.3. (b) Rata-rata harga tahun 1981 sampai dengan 1983 diperoleh dengan menggunakan metode rata-rata hitung atau: Harga rata-rata= (250 + 300 + 500)/3 = Rp350,00 Harga relatif untuk setiap tahun dengan menggunakan harga rata-rata sebagai tahun dasar adalah: Harga tahun tertentu (Pn) Rasio harga tahun tertentu Harga rata-rata Rp350,00 (Po) Dengan demikian: rasio harga tahun 1981 =250/350 =0,714 atau 71,4% rasio harga tahun 1982 = 300/350 0,857 atau 85,7% dan seterusnya. Jawaban itu dapat dilihat pada kolom (4) tabel6.3.
Relatif Penghubung (Link Relatives) Harga relatif penghubung digunakan untuk menunjukkan perubahan hart;'_.: re1atif antara 2 tahun yang lalu berturutan dalam runtut waktu. Untuk mendapatkan relatif penghubung tahun tertentu, bagilah harga tahun tertentu itu dengan tahun yang terdahulu (tahun dasar). Contoh 3: Perhatikan runtut waktu yang diberikan dalam kolom (2) dari tabel 6.3. Hitunglah relatif penghubungnya untuk tiap-tiap tahun. Penyelesaian: Tidak ada relatif penghubung untuk tahun pertama, 1981. Relatif penghubung untuk tahun-tahun yang lain dihitung sebagai berikut: Relatifpenghubung tahun 1982 =
Relatif penghubung tahun 1983 =
300
P tahun 1982 P tahun 1981
=
P tahun 1983 = P tahun 1982
250 500
= l ,20 atau 120% 1,667 atau 166,7%
300
dan seterusnya. Jawaban ini dapat dilihat pada kolom (3) tabe16.4.
119
Tabel6.4
Data dan jawaban untuk contoh 3 Tahun
Harga (rupiah) per kg
Relatif penghubung (%)
(I)
(2)
(3)
1981 1982 1983 1984 1985 1986
250 300 500 200 220 400
120 166,7 40 110 181,8
Perbandingan Relatif (Chain Relatives) Perbandingan harga rantai seperti rasio harga dasar tetap, digunakan untuk menunjukkan perubahan harga re1atif selama beberapa tahun yang tercakup dalam runtut waktu dengan . tahun dasar tunggal. Meskipun demikian, perbandingan rantai berbeda dengan relatif dasar tetap dalam perhitungannya. Perbandingan rantai dihitung dari relatif penghubung sedangkan rasio dasar tetap dihitung langsung dari data aslinya. Hasil yang diperoleh dari dua metode yang berbeda itu haruslah sama, tetapi dapat berbeda sedikit dalam pembulatan sampai dua angka desimal. Secara umum perbandingan rantai tahun tertentu adalah basil kali relatif penghubung tahun tertentu dan tahun sebelumnya tanpa pemasukan tahun dasar. Hal ini dijelaskan dalam contoh 4 berikut.
Contoh 4: Perhatikan relatif penghubung yang diberikan pada contoh 3, hitunglah perbandingan rantai tahun 1984 dengan menggunakan tahun 1981 sebagai tahun dasar.
Penyelesaian: Perbandingan rantai tahun 1984 =relatif penghubung tahun 1984 x relatif penghubung tahun 1982
=40% X 166,7% X 120% = 0,4 X 1,667 X 1,2 = 0,800016 atau 80%
Perhatikan bahwa sebelum pembulatan,jawaban untuk perbandingan rantai tahun 1984 adalah 0,80016. Meskipun demikian, relatif dasar tetap tahun 1984 adalah sebesar 0,80 dengan tahun dasarnya harga tahun 1981 (lihat contoh 2). Perbedaan terse but menunjukkan akibat perhitungan relatif dengan dua metode yang berbeda. Perhatikan bahwa perhitungan di atas dapat ditulis dalam bentuk berikut ini: 120
Perbandingan rantai tahun 1984: Harga tahun 1984 = Harga tahun 1983
X
Harga tahun 1983 Harga tahun 1982
X
Harga tahun 1982 Harga tahun 1981
=-=----::------:--::-::--:-
tahun 1984 = Harga Harga tahun 1981
~--=----:-------::-=-=-,-
= rasio dasar tetap tahun 1984, dengan tahun dasar harga pada tahun 1981 Perbandingan rantai tahun tertentu dapat pula diperoleh dengan cara berikut, yaitu perkalian antara (relatif penghubung tahun tertentu) dengan (perbandingan rantai tahun terdahulu). Hal ini dijelaskan dalam contoh 5 berikut: Contoh 5: Perhatikan relatif penghubung yang diberikan dalam contoh 3. Hitunglah perbandingan rantai tahun 1981 dengan menggunakan tahun 1981 sebagai dasarnya. Penyelesaian: Perbandingan rantai tahun 1982 = 1 atau I 00%, karena tahun 1981 adalah tahun dasar. Perbandingan rantai tahun 1982 tahun 1981
= relatif penghubung tahun 1981 x perbandingan rantai
= 1,2 X 1 = 1,2 atau 120% Perbandingan rantai tahun 1983 =relatif penghubung tahun 1983 x perbandingan rantai tahun 1982
= 1.667 X 1,2 = 2,0004 atau 200% dan seterusnya. Jawaban tersebut dapat dilihat pada kolom (4) tabel6.5. Perhatikan bahwa penghubung relatif pada kolom (2) tabel 6.5 dinyatakan dalam angka desimal untuk memudahkan perhitungan. Perbandingan rantai yang diperoleh dari relatif penghubung di atas adalah sama seperti relatif dasar tetap ( 1981 = 100%) yang diperoleh dari harga asli dalam contoh 2. Perbandingan rantai berguna apabila data aslinya tidak tersedia tetapi relatif penghubungnya yang tersedia.
121
Tabel6.5
Data dan jawaban untuk contoh 5
1,200 1,667 0,400 1,100 1,818
'1,200 2,000 0,800 0,880 1,600
200% 80% 88% 160%
6.2 ANGKA INDEKS GABUNGAN (UNTUK s'EJUMLAH KOMODITI)
Angka indeks gabungan disusun dari sejumlah runtut waktu dari bermacam-macam komoditL Angka indeks gabungan digunak:an untuk menunjukkan perubahan harga relatif, kuantitas relatif, atau nilai relatif komoditi-komoditi yang tercakup dalam susunan itu. Kebanyakan angka indeks dalam praktiknya adalah angka indeks gabungan. Sebagai contoh, apabila kita ingin mengetahui perubahan-perubahan relatif (meningkat atau menurun) dari biaya hidup, kita tidak hanya menyelidiki harga satu barang. Kita harus mencakup harga sejumlah barang kebutuhan hidup seperti pangan, transportasL sanclang, dan perumahan dalam perhitungan angka indeks. Angka indeks gabungan dapat dihitung baik dari data asli atau relatif sederhana. Ban yak rumus yang sudah dikembangkan untuk perhitungan tersebut Rumus-rumus yang diberikan berikut beberapa di antaranya bersifat rumus dasar.
Perhitungan Dari Data Asli • Metode Agregasi Angka indeks harga atau kuantitas gabungan tahun tertcntu clapat dihitung dengan membagi agregasi harga (kuantitas) tertimbang tahun tertentu dengan tahun dasarnya. Timbangan yang ditunjukkan komoditi khusus untuk tahun tert.entu harus sama dengan tahun dasarnya. Suatu timbangan menunjukkan rasio yang penting dari komodit:i itu dengan komoditi lain yang tercakup dalam perhitl!ngan. Misalkan w adalah: L.Pn.w
L. Po . w 122
faktor penimbang, maka indeks harga (dcngan agrcga:-.i tcrtimbang)
L.Pn.Qo
=
L. Po . Qo
rumus
(l.l
Timbangan angka indeks harga gabungan harus merupakan jumlah (kuantitas) tahun terpilih. Tahun terpilih, adalah tahun dasar yang menunjukkan bahwajumlah yang dijual atau diproduksi secara wajar. Kemudian jika tidak ada hal lain yang spesifik kita misalkan w = Qo dalam rum us 6.1, maka indeks kuantitas ( dengan agregasi tettimbang) adalah:
2: Qn . w
2: Pn . Po
l:Qo.w
I Qo. Po
---=
rumus 6.2
Timbangan indeks kuantitas gabungan haru-. merupakan harga tahun terpilih. Kemudian kita misalkan w =Po dalam rum us 6.2. Perhatikan apabila timbangan merupakan angka dari tahun dasar (w = Qo atau w =Po), indeks ter;;ebut di-.;ebut Indeks Laspeyres. Jika timbangan merupakan angka tahun tertentu (w = Qn atau w = Pn), indeks tersebut disebut Indeks Paasche. Laspeyeres dan Paasche adalah ahli statistik yang pertama kali menganjurkan untuk menggunakan angka (kuantitas) tahun dasar dan kuantitas tahun tertentu sebagai timbangan. Rumus angka indeks dengan menggunakan metode agregasi adalah:
L
Indeks nilai (dengan agregasi)
Pn. Qn
=- - -
I Po. Qo
rumus 6.3
Suatu timbangan tidak ditunjukkan dalam tiap-tiap komoditi untuk indeks nilai. Harga dan kuantitas masing-masing komoditi telah tertimbang dalam perhitungan indeks nilai, karena nilai adalah basil kali harga dan kuantitas.
Contoh 6: Misalkan negara Pendawa akan menyu~un angka indeks gabungan a) harga. b) kuantitas, dan c) nilai untuk tahun 1986 dari bah an makanan dengan menggunakan 1981 sebagai dasar. Harga rata-rata per unit kuantitas penjualan. dan nilai dari penjualan makanan yang dipilih selama tahun 1981 dan 1986 di kota tersebut di~ajik.an dalam tabel 6.6.
Penyelesaian: (a) menggunakan rumus 6.1
I Pn. Qo Indeks harga 1986
~-······--
I Po. Qo
!Rp60.00xl00J+(Rp25.00xl20l+(Rp30,00x10)
=-----------------····---···----Rp7.800.00
Rp9.300.00
- - - - - = 1.192 = 119.2\~ Rp7.800.00
123
Catatan bahwajika masing-masing harga tidak tertimbang indeks harga agregatif adalah sebagai berikut: Indeks harga 1986
= 2: Pn I
Po
_ Rp60,00 + Rp25,00 + Rp30,00 Rp115,00 - Rp50,00 + Rp20,00 + Rp 110,00 Rp 110.00
= 1.045% = 104,5% Indek harga agregatif tak tertimbang tidak bias a digunakan. lndeks ini, disusun dengan asumsi bahwa tiap-tiap komoditi adalah sama pentingnya, yaitu apabila satu dosin telur, satu kuart susu, dan satu pon daging dijual dalam peri ode yang sama. Lebih Janjut apabila satuan yang berbeda, seperti misalnya susu yang diukur dengan galon (menggantikan kuart) maka indeks ini akan sangat berbeda. (b) Menggunakan rum us 6.2 Indeks harga 1986 =
L Qo . Po =
(90xRp50,00) + (140xRp20,00) + (15xRp40,00) Rp7.800,00
Rp7.900,00 Rp7.800,00
1.013
l:Qn. Po
= ---=--:-:---:--:-
= 101
Tabel6.6 Data dan jawaban untuk contoh 6
Telur Susu Daging Jumlah
Rp50,00 Rp20,00 Rp40,00
100 dosin 120 kuart lOpon
RpllO,OO • Tidak dapat dijumlah
Rp5.000,00 Rp2.400,00 Rp400,00
Rp60,00 Rp25.00 Rp30,00
90 dosin 140 kuart 15 P0.p
• Rp6.400,00 · Rp3.500,00 Rp450,00
Rp7.800,00
Rpll5,00
Tidak dapat dijumlah
Rp9.350,00
Perhatikan bahwa angka indeks agregatif tak tertimbang tidak dapat diperoleh dalam kasus ini karena agregasijumlah itu tak dapat dihitung. Kita tidak dapat menjumlahkan dosin, kuart, dan pon bersarna-sama. Jika satuan kelompok pangan yang dipilih itu sama, misalnya semua bagian yang ada dijabarkan dalarn pon, indeks kuantitas agregatif tak tertimbangnya dapat dihitung dengan rumus (L Qn I I Qo ). Meskipun demikian model indeks kuantitas ini tidak biasa digunakan. Indeks ini disusun dengan asumsi bahwa satuan harga tiap-tiap komoditi adalah sama. 124
Sebagai contoh misalnya apabila jurnlah kobis yang terjual di sebuah toko sayur adalah 500 pon pada tahun 1981 dan 400 pon pada tahun 1986 serta jurnlah daging yang terjual adalah 1.000 pon pada tahun 1981 dan 1. 100 pon pada tahun 1986. Indeks agregatif tak tertirnbang tahun 1986 didasarkan tahun 1981 adalah:
I Qn lndeks harga 1986 =I Qo
=
1.900 + 110 500 + 1.000
2.010 . = 2 atau 200% 1 500
Indeks ini menunjukkan bah\vajumlah yang terjual dalarn tahun 1986adalah 200% dari tahun 1981. Kenyataannya harga daging yang tinggi dan harga kobis yang rendah tidak dapat diketahui. Dengan dernikian jenis angka indeks ini tidak memberikan informasi yang cukup dalam analisis perubahan kuantitas sejumlah kornoditi dari suatu periode. (c) menggunakan rurnus 6.3 Indeks harga 1986
Rp9.350,00 I Pn. Qn = -:::-''-:::-c::-::-::-:::-Rp800,00 I Po. Qo
1,199 atau 119,9%
Angka indeks yang diperoleh adalah basil kali antara satuan harga dengan kuantitas yang terjual atau diproduksikan. Angka indeks nilai dengan demikian menunjukkan perubahanperubahan yang dikornbinasikan dari harga dan kuantitas. Angka indeks ini tidak begitu sering digunakan sebagaimana angka indeks yang dihitung untuk harga dan kuantitas secara terpisah dalam pengarnbilan keputusan.
Perhitungan Nilai Relatif Rata-rata Kadang-kadang data asli dari kuantitas dan harga tidak dapat disediakan tetapi nilai relatif sederhana dan nilai sebenarnya tersedia. Dalam kasus demikian angka indeks gabungan harga dan kuantitas dapat diperoleh dengan rnernbuat nilai rata-rata relatifnya atau nilai relatiftertimbangnya. Apabila ni1ai relatifnya tak tertimbang, pernbagi yang digunakan dalam proses rnernbuat rata-rata adalah jurnlah relatif yang ditunjukkan dengan N, atau: Indeks harga (rata-rata relatif tak tertirnbang) =
I (Pn I Po) N
. . . I (Qn I Qo) Indeks kuanhtas (rata-rata relattf tak terttrnbang) = -----'::-:-----"-
rumus 6.4 rumus 6.5
ApabHa nilai relatifnya tertimbang, yang digunakan dalarn proses rnernbuat rata-rata adalah jumlah tertimbangnya. Misalkan nilai sebenarnya dari tahun dasar tertimbang adalah Po Qo, rnaka: . . I (Pn I Po x Po . Qo) Indeks harga (rata-rata relatlf terttrnbang) = rurnus 6.6
125
. ., . l L(Qn/QoxPo.Qo) Indeks kuantitas (rata-rata re 1at1f tertun 1ang) = ----.""'·······:=----"-=-----'-
rumus 6.7
Pemakaian rumus-rumus tersebut dijela:-.kan dalam contoh berikut ini:
Contoh 7: Harga relatif tahun 1986 ( Pn/Po ). kuantitas relatif tahun 1986 (Qn/Qo ), dan nilai sebenarnya tahun 1981 satuan dasar (PoQo) diberikan berikut ini (yang diperoleh dari contoh 6). Hitunglah angka indeks harga dan kuantitas baik tertimbang maupun tak tertimbang dengan metode rata-rata.
Penyelesaian: (a) Indeks harga rata-rata relatif tak tertimbang. Tabe: 6.7
Data dan jawaban untuk contoh 7
1,20 1,25 25/20 0,75 = 30/40
0.900 ;;:; 90/100 1,167 = 25/20 I ,500 = 15/1 0
Rp5.000,00 Rp2.400,00 Rp400,00
3.20
3.567
Rp7.800,00
Jumlah
Pergunakan rumus 6.4:
I
(Pn/Po) = 3,2~N 3
1.067
106,7%
Contoh indeks harga ini berguna apabila kita mengasumsikan bahwa jumlah masingrnasing kornoditi sama. Bandingkan antara indeks harga tak tertimbang menggunakan data asli dengan menggunakan perbandingan. Yang disebut belakangan lebih baik dari yang pertama karena apabila :-.atuan dari bagian yang terpilih (seperti susu yang diukur dengan gallon sehagai penggami kuart) berbeda, indeksnya tidak akan berpengaruh dengan menggunakan nilai rdati f.
126
(b) lndeks kuantitas rata-rata relatif tak tertimbang. Pergunakan rum us 6.5:
Contoh indeks kuantiras ini berguna apabila kita mengasumsikan bahwa satuan harga masing-masing komoditi sama. Bandingkan indeks harga tak tertimbang menggunakan data asli dengan menggunakan nilai relatif. Yang disebut belakangan lebih baik dari yang pertama sebab jika bermacam-macam satuan jumlah dimuat dalam suatu deret (seperti dosin, kuart, dan pon) yang tak dapat dijumlahkan secara bersama, nilai relatif dapat digunakan dalam menyusun angka indeksnya. (c) In deb harga rata-rata rcldtlf tertimbang. Pergunakan runms 6.6:
I (Pn/Po x Po Qo) I (Po Qo)
=
( 1,20
X
500) + (] ,25 X 2.400) + (0,75 7.800
= 6.000 + 3.000 + 300 = I 7.800
'
19 ,., ~
400)
X
= 1 I 9 2 '7£
0
'
Hasi I yang di peroleh adalah -;am a seperti jaw a ban pada contoh 6 (a) dengan menggunakan rum us yang 6.1. Perhatikan bahwa pembilang rum us (6.6) dapat disederhanakan untuk disesuaikan dengan runms (6.1) -,ebagai berikut: Pn/Po x Po Qo = Pn . Qo (d) lndeks kuantitas rata-rata relatif tertimbang. Pergunakan rum us (6. 7)
I (Qn/Qo x Po Qo) (0.90 X 5.000) + (1,167 X 2.400) + (1,5 X 400) = I (Po Qo) 7.800
=
4.500 + 2.800,8 + 600 7.800
= I Ol3 = 101 '
'
3910
Hasilnya sama seperti jawaban pada contoh 6 (b) dengan menggunakan rumus (6.2). Perhatikan bahwa pembi1ang rumus (6.7) dapat disederhanakan untuk disesuaikan dengan rumus (6.2) sebagai berikut: Qn/Qo x Po . Qo = Qn . Po
127
6.3 PENGUJIAN ANGKA INDEKS
Kesempumaan sebuah rumus yaitu apabila dapat diuji kebenarannya. Cara pengujian secara teoritis yang paling umum untuk angka indeks adalah: (1) Tes pemb~ikan waktu (Times Reversal Test) (2) Tes pembalikan unsur (Factor Reversal Test) Perlu diperhatikan bahwa pemakaian satu atau kedua rumus pengujian ini tidak sesuai untuk pengujian-pengujian praktis. Hal ini disebabkan adanya beberapa kelemahan. Sekalipun demikian pengujian secara teoritis memberikan kriteria yang logis dalam pemilihan angka indeks untuk suatu tujuan khusus.
Tes Pembalikan Waktu (Time Reversal Test) Apabila angka indeks dari data 2 tahun disusun dengan metode yang sama tetapi dengan tahun dasar yang dibalik, kedua angka indeks itu akan berbanding terbalik satu sama lain. Hasil kali angka indeks itu dengan demikian harus merupakan satu kesatuan, atau sama dengan 1. Jadi apabila suatu indeks harga tahun 1987 adalah 200 dengan tahun 1987 = 100, atau: indeks tahun 1987 dengan tahun 1984 sebagai dasar = 200/100 = 200% sedangkan indeks yang sama untuk tahun 1984 akan sama dengan 50 dengan tahun 1987 = 100 atau indeks tahun 1984 dengan tahun 1987 sebagai dasar = 100/200 = 50/100 =50% Hasil kali kedua angka indeks itu = 200% x 50% = 2 x 0,5 = 1 Tes pembalikan waktu merupakan dasar dalam teori ini. Rumus angka indeks harga, kuantitas, dan nilai untuk angka indeks sederhana meme1"1hi test ini. Meskipun demikian beberapa rumus angka indeks gabungan tidak dapat memenuhi pengujian ini dengan baik.
Contoh 8: Perhatikan informasi yang diberikan dalam tabel6.6 contoh 6 dan rumus (6.1) (a) Pergunakan rumus itu untuk menghitung indeks harga gabungan tertimbang tahun 1981 dengan tahun 1986 sebagai dasar! (b) Apakah rumus tersebut memenuhi syarat test pebalikan waktu? Penyelesaian: (a) Pergunakan rumus (6.1). Indeks harga tertimbang tahun 1987 adalah: Agregasi harga tertimbang tahun 1981 Agregasi harga tertimbang tahun 1986
~~~~~--~~--~~--~~=
128
I.Pn. Qo I. Po. Qo
= (50x90) + (20x140) + (40x15) = 7.900 = % 84 5 0 93,50 93,50 , (b) Tes pembalikan waktu: Indeks harga gabungan tertimbang tahun 1986 dengan tabun 1981 sebagai dasar adalah 1,192 (lihat jawaban pada contoh 6 (a)). Dengan demikian basil kali kedua angka indeks itu dengan dasar yang dibalik adalab 1,192 x 0,825 1,00724 yang menunjukkan bahwa 1,00724 tidak mutlak sama dengan 1. Karena basil kalinya lebib dari 1, rumus (6.1) berbias ke atas untuk angka indeks tersebut. Meskipun demikian bias ke atas itu tidak berarti karena kesalahan. Bias tersebut banya 0,00724 atau 0,724%. Tes menunjukkan bahwa angka indeks tersebut memenubi syarat dalam menunjukkan perubahan harga relatif selama 2 tahun. Biasanya kalau ada faktor penimbang selalu ada bias dalam tes.
=
Tes Pembalikan Unsur (Faktor Reversal Test) Dalam tahun tertentu, nilai komoditi tunggal adalab basil kali kuantitas yang terjual dengan satuan harganya, atau: harga x kuantitas = nilai Karena itu kita mengharapkan bahwa dalam tahun tertentu: lndeks harga X lndeks kuantitas = Indeks nilai Tes yang didasarkan pada kenyataan ini disebut tes pembalikan unsur. Apabila indeks harga dan indeks kuantitas tidak dapat memenuhi tes pembalikan unsur, pastilah terdapat kesalahan pada salah satu atau kedua indeks tersebut. Kesalahan ini biasanya karena penggunaan timbangan. Rumus angka indeks harga, kuantitas, nilai untuk angka indeks sederhana secara jelas memenuhi tes tersebut. Hal ini digambarkan dengan menggunakan contoh, sebagai berikut: Indeks harga tahun 1986 x indeks kuantitas tahun 1986 = 1,60 x 1,25 =2 Indeks nilai tahun 1986 atau Pn/Po x Qn/Qo == (Pn. Qn)/(Po. Qo) Walaupun demikian, banyak rumus angka indeks gabungan yang tidak memenuhi pengujian, misalnya seperti rumus (6.1) dan (6.2) yang diterapkan dalam contoh 6, atau rumus (6.6) dan (6.7) yang diterapkan dalam contob 7. Dalam contoh 6 indeks harga tahun 1986 = 1,199 X 1,013 = 1,207 yang menunjukkan bahwa angka indeks tersebut tidak sama dengan indeks nilai tahun 1986 (sebesar 1, 199) sekalipun kesalahannya kecil (1,207- 1,199 =0,008 atau 0,8% ). Ada beberapa rumus yang memenuhi kedua pengujian itu. Sebagai contoh, Profesor Irving Fisher memilih salah satu di antaranya sebagai angka indeks ideal. •
Indeks harga Ideal
_1
=v
I,PnQn I,PnQn I, Po Qo x I, Po Qo
rumus 6.8
129
•
•
Indeks kuantitas Ideal =
•1 \f
I Qn Po I Qn Pn I Qo Po x I Qo Pn
rumus 6.9
Dengan demikian indeks ideal adalah rata-rata ukur dua indeks agregatif tertimbang. w = Qo dan w = Qn dalam rum us (6.1) untuk harga ideal, dan w =Po dan w = Pn dalam rum us (6.2) untuk indeks kuantitas ideal.
Contoh 9: Perhatikan data pada contoh 6. Hitunglah: (a) indeks harga ideal tahun 1986, dan (b) indeks kuantitas ideal tahun 1986 dengan tahun 1981 sebagai tahun dasar.
Penyelesaian: (a) Pergunakan rumus (6.8) - unsur pertama: I (Pn. Qn) I I (Po. Qo) = 9.300/7.800 - unsur kedua: I (Pn. Qn) I I (Po. Qo) = 9.350/7.900
lihat contoh 6( a)
Dengan demikian indeks harga ideal tahun 1986: ~ (9.300/7.800) x (9.35017.900) = 1.188 (b) Pergunakan rumus (6.9) - unsur pertama: I (Qn Po) I I (Qo Po)= 7.900/7.800 - unsur kedua: I (Qn Pn) I I (Qo Pn) = 9.35019.300
lihat contoh 6(b)
Dengan demikian indeks harga ideal tahun 1986: ~ (7.900/7.800) x (9.35019.300) =I ,009 Angka indeks ideal tersebut memenuhi tes pembalikan waktu. Dari hasil angka indeks di atas: hasil perkalian (indeks harga ideal tahun 1986 dengan tahun 1981 sebagai tahun dasar) dengan (indeks harga ideal dengan tahun 1981 dengan tahun 1986 sebagai dasar adalah sebagai berikut: [~ (9.300/7.800)
X
(9.350/7.900)] X[~ (7.900/7.800)
X
(9.35019.300)] = I
Perhatikan bahwa indeks ideal harga tahun 1981 diperoleh dengan menukar pemasukan 0 dan n dalam P dan Q pada penyelesaian a) di atas. Angka indeks ideal 1ni memenuhi tes pembalikan unsur, yaitu: hasil perkalian (indeks harga ideal tahun 1986 dengan tahun 1981 sebagai tahun dasar) dengan (indeks kuantitas ideal dengan tahun 1986 dengan tahun 1981 sebagai dasar adalah sebagai berikut: [~ (9.300/7 .800) X (9.350/7 .900)1 X[~ (7 .900/7 .800) X (9.350/7 .800)] = 93,50/7.800 = I' 199 = 119,9%. Perhatikan contoh 6(c).
130
Sekalipun demikian indeks ideal itu terlalu rumit dalam perhitungan apabila digunakan untuk penggunaan yang bersifat praktis. 6.4 PERUBAHAN TAHUN DASAR ANGKA INDEKS
Ada beberapa kemungkinan pengubahan pengubahan tahun dasar angka indeks dari satu periode ke periode lain. Sebagai contoh, mungkin kita menginginkan untuk membuat tahun dasar dengan tahun dasar yang lebih akhir. Misalnya kita menginginkan mengubah tahun dasar/periode dasar indeks harga konsumcn dari tahun 1987 1989 = 100 menjadi tahun 1993 = 100. Tahun dasar yang lebih akhir memudahkan analisis perubahan harga yang baru. Metode tahun dasar itu dijelaskan dalam contoh 10 berikut ini.
Contoh 10: Misalkan indeks harga kopi hi tam di Lampung tahun 1981 sampai tahun 1986 diberikan pada kolom (2) tabel6.8. Hitunglah indeks harga yang baru dengan mengubah tahun dasar dari 1981 == 100% menjadi tahun 1981 - 1983 100%.
Penyelesaian: lndeks harga baru untuk tiap-tiap tahun terlihat pada kolom (4) tabel yang sama. Ratarata indeks harga tahun 1981 sampai tahun 1983 diperoleh dengan menggunakan metode rata-rata hitung, atau: Indeks harga rata-rata=
100 + 120 + 200
= 140 (dalam %).
Indeks harga baru untuk tiap-tiap tahun dengan menggunakan indeks harga rata-rata sebagai dasar adalah: Indeks harga baru tahun tertentu
indeks harga baru tahun tertentu = ____ ;:_______--=-_ indeks harga rata-rata. 140
Dengan demikian indeks harga baru tahun 1981
100 140
=0.714 atau 71,4%
120 Indeks harga baru tahun 1987 = 14Q = 0,857 atau 85,7% dan seterusnya. Perhatikan bahwa jawaban itu nampak padakolom (4 ), tabel6.8, sama seperti yang diperoleh dengan menggunakan harga asli dalam contoh 2. Tanda persen (%) dihilangkan pada tiap-tiap angka indeks untuk menyederhanakan perhitungan, sebagai contoh: 100%1140% = 1001140 = 0,714 = 71,4%
131
Tabel6.8. Data dan jawaban untuk contoh 10
1981 1982 1983 1984 1985 1986
0,714 0,857 1,429 0,571 0,629 1,143
100% 120% 200% 80% 88% 160%
71,4% 85,7% 142,9% 57,1% 62,9% 114,3%
6.5 PENDEFLAS/AN RUNTUT WAKTU DENGAN /NDEKS HARGA
Suatu runtut waktu yang dinyatakan dalam nilai rupiah menggambarkan perubahan kombinasi harga dan kuantitas suatu komoditi tunggal atau sejumlah komoditi. Proses untuk menghilangkan akibat perubahan harga dalam nilai rupiah itu disebut pendeflasian. Nilai rupiah yang dideflasikan dengan demikian menggambarkan perubahan dalam jumlahnya. Pendeflasian itu dapat dilakukan dengan cara yang berikut: Nilai rupiah yang dideflasikan
=
Nilai rupiah asli Indeks harga yang sesuai
-----:-----:--:-___:c_.__ _ _--,-
Dalam beberapa kasus, nilai rupiah dapat dibagi dengan indeks harga yang sesuai. Sebagai contoh, indeks harga barang bangunan dapat dipakai sebagai faktor pembagi, jika kita menginginkan nilai rupiah yang dideflasikan, untuk mengetahui perubahan dalam bidang bangunan. Meskipun demikian pada beberapa kasus lain, suatu angka indeks yang berhubungan tidak tersedia. Dengan demikian kita harus memilih suatu indeks harga yang cocok untuk pendeflasian itu. Sebagai contoh dalam pendeflasian pendapatan upah yang diterima para pekerja. Kita dapat menggunakan indeks harga konsumen. Nilai rupiah yang dideflasikan disebut dengan bermacam-macam nama seperti: rupiah tetap, upah atau pendapatan riil, daya beli rupiah, dan sebagainya. Contoh 11: Pendapatan per minggu pekerja suatu industri pertanian untuk tahun 1980 sampai dengan tahun 1984 disajikan pada kolom (2) tabel 6.9. Hitunglah pendapatan riil yang didasarkan pada indeks harga konsumen pada kolom (3) tabel berikut. Masing-masing jawaban pada kolom (4) diperoleh dengan pembagi pendapatan per minggu dengan angka 132
indeks harga konsumen tahun terse but. Dengan demikian upah riil tahun 1980 dalam rupiah tahun 1977 sebesar: Rp162,64/l 16,3% = Rp139,85 Tabel 6.9
Data dan jawa ban untuk contoh 11 Tahun
Upah mingguan (2)
lndeks harga konsumen (3)
Upah riil tahun 1977 (dalam rupiahl 141
(1)
1981 1982 1983 1984 1985
Rpl62,64 Rp171,74 Rpl87,43 Rp200,60 Rp242,66
116,3% 121,3% 125,3% 133,1% 155,4%
Rpl39,85 Rpl41,58 Rp149,58 Rp150,71 Rp156,15
Perhatikan bahwa day a beli rupiah seperti yang dihitung indeks harga konsumen dengan tahun 1977 = 100% juga dapat dihitung untuk tiap-tiap tahun tertentu dalam contoh 11, seperti misalnya day a beli Rp I ,00 dalam tahun 1980 yang dihitung dengan indeks harga konsumen 116,3% adalah: Rp 1.00/116,3%
= Rp0.85985
Dengan dcmikian day a beli Rp 162,64 dalam tahun 1980 adalah ekuivalen dengan Rp0,85985 x Rpl62,64 Rp139,85 pada tahun 1977.
133
Bab VII Trend Sekuler (Seculer Trend)
Dalam bab ini dan dua bab berikutnya akan dianalisis perubahan dalam bisnis dan aktivitas ekonomi pada waktu yang lalu berdasarkan gerakan time series (runtut waktu). Analisis terhadap masa lampau penting karena hal ini akan memberi kesempatan pada pengusaha untuk membuat ramalan yang lebih akurat untuk aktivitas yang akan datang. Di samping itu juga akan meningkatkan keefektipan perbandingan grup data yang berbeda atau data yang sama dari periode yang berbeda. Hasil dari analisis runtut waktu akan meningkatkan ,efisiensi dalam mengambil keputusan. 7.1 POLA DASAR PERGERAKAN RUNTUT WAKTU
Runtut waktu menunjukkan aktivitas yang penting dari sebuah organisasi, seperti aktivitas penjualan dalam perusahaan atau dalam industri dan aktivitas ekonomi dalam suatu negara. Aktivitas ini merupakan hasil interaksi beberapa bentuk faktor-faktor yang mempengaruhinya. Faktor-faktor tersebut dapat berupa kegiatan ekonomi, politik, dan pengaruh faktor sosial sebagai suatu faktor alamiah. Faktor-faktor terse but umumnya diteliti untuk pengambilan keputusan setelah perubahan dari runtut waktu dipisahkan ke dalam 4 pola dasar atau komponen berikut. Gambar dan sket yang ditunjukkan pada gambar 7.1 digunakan untuk menggambarkan komponen tersebut.
Trend Sekuler Trend sekuler merupakan titik petunjuk dari gerak runtut waktu untukjangka panjang. Gerak ini dapat turun dan naik. Apabila ditunjukkan dengan grafik biasanya ditunjukkan dengan garis lurus atau dengan kurva yang halus. Beberapa aktivitas bisnis dan aktivitas ekonomi mempunyai trend yang meningkat. Sebagai contoh: GNP tahun 1985 - 1990 ditunjukkan pada gambar 7 .l.A. mempunyai trend meningkat. Penyebab utama kenaikan dan perubahan dalam jangka panjang antara lain karena pertambahan penduduk, akumulasi kapital yang sangat besar, perubahan dan kemajuan teknologi, standar hidup yang lebih baik, dan sebagainya.
Variasi Musim (Seasonal Variation) Variasi musim menunjukkan perubahan yang berulang secara periodik dalam runtut waktu. Panjang dari satu peri ode lebih kecil dari 1 tahun, yaitu dapat 1 kuartal, 1 bulan, atau 134
1 hari. Variasi musim biasanya ditunjukkan dengan angka indeks. Periode rata-rata dari angka indeks adalah 100%, ditulis 100 pada skala persentase. Sket dari variasi musim kuartalan ditunjukkan pada gambar 7.l.B. Angka indeks menunjukkan penjualan dalam kuartal pertama 10 persen di bawah rata-rata tahun. Penyebab utama variasi musim adalah iklim (seperti musim hujan yang mempengaruhi penjualan ice cream) dan tradisi atau kebiasaan (seperti Jdul Fitri menyebabkan perdagangan atau pembelian meningkat), dan sebagainya.
Gerak Siklis (Cyelical Fluctuation) Gerak siklis seringjugadisebut siklis bisnis (businesscycles). Gerak siklis menunjukkan ekspansi dan penurunan aktivitas bisnis di sekitar nilai normal. Panjang dari setiap siklis tidak tetap dan relatip pendek. Sket gerak siklis ditunjukkan pada gambar 7 .l.C. Faktor penyebab tetjadinya gerak sikHs adalah banyak dan kompleks, tetapi pada umumnya adalah faktor ekonomi. Sebagai contoh naik dan turunnya produksi, konsumsi, dan pengeluaran pemerintah. Gerak siklis dari masing-masing perusahaan merupakan suatu cerminan siklis total ekonomi dalam suatu negara.
Gerak Tidak Beraturan (Irregular Movements) Gerak tidak beraturan (erratic movements) menunj uk.kan semua bentuk gerak dari runtut waktu selain dari trend sekuler. variasi musim, dan gerak siklis. Faktor yang menyebabkan ketidakaturan dalam aktivitas bisnis banyak dan semuanya random. Beberapa kasus gerak yang tidak beraturan biasanya tidak dipisahkan tetapi dikombinasikan dengan analisis gerak siklis. Belum ada percobaan yang dibuat untuk meneliti faktor-faktor gerak tidak beraturan yang kecil. Tetapi beberapa faktor seperti pemogokan, perang, bencana alam (banjir), dan berbagai penyebab lainnya mempunyai efek yang besar dalam aktivitas bisnis. Suatu gerak tak beraturan akan menjadi pasti, apabila dapat dipisahkan dari gerak siklis. Sehingga pengaruh dari gerak tidak beraturan dapat diteliti. Hal ini ditunjukkan dalam gambar 7 .l.D. Gerak tidak beraturan dapat diabaikan jika satuan waktu yang digunakan dalam klasifikasi data sangat panjang. Misalkan, suatu grup hiburan datang ke kota kecil satu kali tiap tahun, tetapi pada bulan yang berbeda selama beberapa tahun yang lalu. Apabila penjualan di kota tersebutdiklasifikasi dalam dasar bulanan, aktivitas bisnis akan menunjukkan gambar yang tinggi tidak seperti biasanya selama bulan pertunjukkan hiburan. Tetapi bila penj ualan diklasifikasi at as dasar tahunan, gerak tidak beraturan dapat diabaikan. Gerak tidak beraturan dapat juga diabaikan karena sangat luasnya area dari aktivitas yang dicakup suatu runtut waktu. Sebagai contoh asosiasi nasional dengan anggota lebih dari I00.000 mengadakan konvensi tahunan dengan tempat yang berubah-ubah. Jika kita menganalisa penjualan tahunan di sebuah kota gerak tidak beraturan dapat menj adi pendukung bagi penjualan dalam tahun yang berbeda. Tetapi apabila penjualan seluruh negara sebagai dasar analisis, gerak tidak beraturan yang terjadi dalam satu kota selama tahun tersebut dapat dihilangkan. Secara ringkas, nilai runtut waktu dapat dihitung dari (a) atau (b). Jumlah 4 komponen tersebut dapat ditulis:
135
(a). Y = T x S x C xI, atau (b). Y=T+S+C+I yang menunjukkan bahwa: Y = nilai aktual yang tercakup dalam data asli T = nilai trend sekuler Y S = variasi musim Y C = gerak siklis Y =gerak tidak beraturan Y I Persamaan yang biasa dipakai dalam analisis runtut waktu adalah penguraian runtut waktu dalam tiap-tiap komponen. Bagian utama dari bab ini membahas metode untuk memperoleh nilai trend runtut waktu. Metode untuk mengukur variasi musim, gerak siklis, dan gerak tidak beraturan disajikan dalam Bab VIII dan IX. A. Trend Sekunder
1985
1986
1987
1988 Tahun
Gambar 7.1.A 136
1989
1990
Prosen
B. Varias1 Musim 120 . - - - - - - , - - - - - - - - , - - - - . . . . - - - - . . . . . ,
115
110 105
95
90 85
80 Pert am a
Kedua
Keuga
Keempa
Kwartal
Gambar 7.l.B C. Gerak Sikhs
Prosen
Prosen Deviasi
120
+20
-
!-
115 / _ Puncak
1-
110
105
I 1-
100 95
~
~
r\ L· v
v
-
~
I v
+10
l
I
-
v
PenJualan Normal
0
-
90
-10
85
I I I I I I I I I
80 1989
I I I I I I I I I
1990
I I I I I I I I I
1991
I I I I I I II I
1992
-20
1993
Tahun
Gambar 7.l.C 137
,---------------------
Prosen
--
D. Gerak Tidak Beraturan
Prosen Deviasi
120 . . . . - - - - - . - - - - - - . - - - - - - . - - - - - - - - - , + 20 115
110 105 0
95 90
P njua1an Norma
-10
85 80UU~LU~LU~LU~LU~LU~LU~LU-LW-20
1960
1970
1980
1985
1990
Tahun
Gambar 7.1.D 7.2 TREND GARIS LURUS (STRAIGHT LINE TRENDS)
Garis lurus yang digambarkan pada grafik menunjukkan sistem koordinasi persegi panjang yang dapat dinyatakan dengan persamaan: Y=a+bX yang menunjukkan bahwa: Y : nilai pada garis lurus berdasarkan skala vertikal atau Y aksis (juga disebut variabel dependen jika Y te,rgantung pada nilai X) X : nilai pada garis lurus berdasarkan skala horisontal atau X aksis (juga disebut variabel independen dengan variabel dependen Y) a: intersep Y, (tingginya ordinat dari titik nol sampai perpotongan antara garis lurus dan Y aksis), yang sama dengan nilai Y jika X,;, 0 b : slope garis lurus, menunjukkan rata-rata perubahan variabel Y per unit Hubungan an tara garis lurus dan persamaan ini dilukiskan dalam gambar 7 .2. Dalam gam bar tersebut disajikan: h =total perubahan unit dalam variabel Y g =total perubahan unit dalam variabel X dengan b = hig 138
''
Nilai masing-masing set g dan h dapat dihasilk:an dari 2 titik pada gar- .urus. Sebagai contoh 2 titik P 1 (dengan X 1 =0 dan Y 1 =4) dan P2 (X 2 5 dan 'Y_2 14) pada garis.
=
=
Nilai g adalah selisih antara 2 nilai X yang ditunjukkan dengan 2 titik atau g = X2 - X 1 = 5 0 5, dan nilai h adalah selisihantara2 nilai Y, atau h = Y 2 - Y 1 = 14 -4= 10. Selisih tersebut juga digunakan untuk memperoleh nilai b.
=
Titik
Nilai X
Nilai \'
5 0
14 4
g=5
h= 10
b = hlg = (Y2 - Y 1)/(X2 - X 1) = 10/5 = 2, atau b = (Y 1 - Y 2)/(X 1 - X 2) = -10/-5 = 2 Jika dua titik set P1 1 (X 1 = 1 dan Y 1 = 6) dan (P 12 = 4 dan Y 2 = 12) g dan h dihitung sebagai berikut:
,
Titik
pt
2
P' I
pt - pt 2
I
Nilai X
Nilai Y
4
12
.1
6
g=3
h=6
Nilai b yang dihasilkan dari titik P 1 dan P2 sama dengan yang dihasilkan dari titik P 11 dan P 12 • Jadi persamaan dari garis lurus dapat ditulis: Y=a+bX=4+2X Setelah garis lurus diperoleh dalam suatu persamaan, beberapa titik pada garis dapat diperiksa kembali dengan persamaan yang diperoleh. Sebagai contoh: jika kit-a menilai titik P pada garis yang ditunjukkan oleh X = 3, kita dapat menghitung nilai Y untuk ritik itu tanpa meneliti skala Y atau: y
=4 + 2 (3) =10 139
Gambar 7.3 memberikan tambahan contoh yang menunjukkan hubungan antara garis lurus dan masing-masing persamaannya. Nilai dari a dan b dapat positip atau negatip. Apabila garis lurus memotong Y aksis di atas titik 0; a positip (garis I dan III); apabila intersep Y di bawah titik 0, a negatip (garis II dan IV). Apabila trend variabel Y naik (atau nilai Y naik), nilai b positip (garis I dan II), apabila trend turun (atau nilai Y menurun), b negatip (garis Ill dan IV). Apabila persamaan garis lurus digunakan untuk menggambarkan pergerakan trend, persamaannya dapat ditulis:
Yc =a+bX y~ng
menunjukkan bahwa:
Yc : nilai trend dari waktu tertentu Y tanpa tanda sub-skrip menunjukkan nilai yang sebenamya X : angka yang menunjukkan untuk waktu tertentu, misalnya tahun
14
12 10
:
':::>"
,' 11
8
!
6
o
4 2
Oan titik P dan p2 b h/g:::: 1015 2 atau dari t1ttk P1 dan P2 b hlg 6/3 2 Persamaan gans lurus adalah : y
0 0
8X
2
Gambar7.2
Konsep Dasar Garis Lurus dan Persamaannya r- 7
/
f- 6 1-
5
=rt Vo ""' I
f- -1
yV Pt
r-S Pt 1-
-4
f- -5 f- -6 '- -7
l~-'2./
_........v
2_.......,K4
5
6
II
Gans III:
Titik
7 8X
•""'
p~- PI b=· 3/J =-I
I"'
"r---.. Pl'r--..
X
y
Garts II:
""' llii
X
y
7 4
-4
-I
3 Y = 3 + (-l)X = 3 -X
Tttik
Garis IV·
IV
X
y
P, P,
3 0
-4,5 -3
-1,5 3 P,- PI b=·' 51,= -0,5 Y = (:3) 3 (-0.5}X = -3 o.sx
Gambar 7.3
Ilustrasi Tambahan dari Garis Lurus dan Persamaannya 140
y
Tltlk
""--!'--.. ........
X
1 6 P, 2 -1 PI P 2 -P1 g=4 h=2 Y =-2 + 0,5 X b=3/4 = 0.5
4 4 0 PI h 3 P,-P 1 g=4 Y= I +0.75 X b=31, = 0.75
/
f- 2
Titik
P,
/v
~
f- "
Gans I:
/
Pz v
f-\ 1-
I
Terdapat sedikit kesukaran untuk menggunakan nilai yang sesungguhnya dari tahun dalam runtut waktu sebagai variabel X yang diterapkan dalam suatu persamaan. Dalam praktik suatu tahun ditetapkan sebagai tahun dasar atau origin dari skala X. Angka-angka yang menggambarkan tahun lainnya dapat dengan mudah diperoleh. Sebagai contoh, jika sebuah runtut waktu dari 1980 - 1986, tabun yang paling awal 1980 dipilih sebagai tahun dasar (atau l Juli 1980- pertengaban tabun- dijadikan nol (0) pada skala X). Angkadari tahun lain dapat ditulis sebagai berikut: tahun 1982 = 2, dan seterusnya. Jika pertengahan tahun (tabun 1983) dipilih sebagai tahun dasar (0), angka sebelum tahun 1983 ditulis dengan angka negatip; atau tahun 1982 = -1, tabun 1981 = -2, dan sesudah tahun 1983 menjadipositip, atau tahun 1984 = 1, atau tahun 1985 = 2, dan tahun 1983 =3. Dua ilustrasi terse but digambarkan pada tabel 7 .1. Tabel 7.1 Penetapan Angka untuk Angka Tahun Angka pnda tahun sesungguhny a
1980
1981
1982
1983
198-t
Angka yang ditetapkan (1980 = tahun dasar)
0
1
2
3
4
1985
=
·3
-2
I I
-1
0
l
1
6
5 ''
Angka yang ditetapkan (1983 tahun dasar)
l9X6
'""""'
2
!-
·----·-
3
I
Garis lurus dan persamaan yang digunakan untuk menggambarkan trend sekuler, dapat menggunakan salab satu dari 3 metode berikut ini: I. 2. 3.
Metode tangan bebas (freehand graphic method) Metode sami rata-rata (method of semiaverages) Metode kuadrat terkecil (method of least squares)
Metode Tangan Bebas Prosedur memperoleb garis lurus dengan metode tangan bebas untuk mengukur trend sekuler adalah sebagai berikut: 1. 2. 3.
Gambarkan runtut waktu pada grafik Periksa dengan seksama arab dari trend berdasarkan titik-titik dalam grafik Tarik garis lurus setepat mungkin berdasarkan penyebaran data yang ada. Garis tersebut menunjukkan arab trend. Sesudab garis tergambar, persamaan garis trend ditentukan dengan mempergunakan dua buab titik pada garis tersebut. Nilai trend untuk tahun lain dapat dibaca pada garis tersebut atau ditaksir dari persamaan.
141
Manfaat metode tangan bebas adalah caranya yang sangat sederhana dan mudah digunakan. Dengan caraini tidak begitu ban yak waktu yang diperlukan untukmenggambarkan garis lurus bagi seorang pengambil keputusan. Cara ini biasanya sangat memuaskan jika arah trend dapat ditunjukkan dari data yang tersedia. Cara ini kurang bermanfaat bagi pengambil keputusan karena cara ini bersifat subyektif. Garis yang digambar oleh orang yang berlainan untuk informasi yang sama dapat mempunyai lokasi yang berbeda pada grafik, t€rutama jika trend atau arahnya tidak jelas. Metode tangan beba~dapatdikembangkan lebih lanjut. Pertama, kitacari rata-ratadari data asli yang dihitumg daci t.itik yaNg·liPl~·wak;ili titik tet~.gah dari sl!latu periode. Dengan metode tangan bebas, ditarik sebuah garis yang melalui titik tersebut. Dengan cara ini hanya slopenya saja yang ditentukan secara subyektif oleh seorang pengambil keputusan. Metode ini didasarkan pad asumsi bahwa rata-rata data asli adalah sama dengan rata-rata dari nilai trend. Contoh pertama digunakan sebagai ilustrasi perbaikan metode ini.
Contoh 1: Tabel7 .2 menyajikan data penjualan Khasandy Department Store untuk penjualan tahun 1974-1988 (15 tahun). a. Gambarkan garis lurus yang paling sesuai dengan metode grafik tangan bebas! b. Gunakan tahun pertama 1974 sebagai tahun dasar, X unit= 1 takuPI, Y unit= Rp 1.000,00, untuk memperoleh persamaan garis lurus! c. Taksirlah nilai trend tahun 1984! Penyelesaian: a. Data asli digambarkan pada gambar 7 .4. Data tersebut menunjukkan trend yang baik. Sebuah garis lurus menunjukkan trend, digambar m~lalui rata-rata Rp15.400,00 yang terletak pada pertengahan periode runtut waktu 1 Juli 1981. b. Persamaan garis lurus digambarkan berdasarkan dua titik pada garis tersebut, yaitu: Rp15.400,00 (rata-rata) dan Rp5.000,00 (intersep Y, yang menunjukkan tahun dasar l Juli 1974). Dua titik tersebut menunjukkan kenaikan sebesar Rp10.400,00 (Rp15.400,00- Rp5.000,00 seperti terlihat pada skala Y), untuk 7 tahun unit jarak seperti yang ditunjukkan pada skala X. Jadi:
=
a 5 (per:potongan Y pada tahun dasar.) b = (l•S,4- ]i)/"1= 1,4857 (rata-rata kenaika.n tahunan dala·m R:p 1.000,00 a tau Rp 1.486,70) Yc == 5 + 1,4867X Tahun dasar: 1 Juli 1974 unit X: 1 tahun unitY: Rpl.OOO,OO c.
142
Angka yang menunjuk pada tahun 1984 adalah 10, jika tahun dasarnya (0) adalah tahun 1974. Nilai trend tahun 1984 dapat dihitung sebagai berikut:
-----------
-
Tabel 7.2 Data PeDjualaB mtasandy Department Store Tahun 1974-1988 O)ata daB perldtungan untuk contoh 1 dan 2) .('j ...
~-~
~
~-;;.--
Tahun
Penjualan I Rupiah)
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
7.000,00 6.000,00 2.000,00 4.000,00 8.000,00 16.000,00 13.000,00
= Rp56.ooo,oon =Rps.ooo.oo
1981
14.000,00
Pertengahan tahun
1982 1983 1984 1985 1986 1987
17.000,00 20.000,00 23.000,00 19.000,00 25.000,00 28.000,00 29.000,00
Sub total penjualan selama 7 tahun (1982-1988) = Rp16Lop
1~88
Ketenmgan Sub total penjualan selama 7 tahun (1974-1980) Rp56.000,00 Rata-rata penjualan adalah
=
l
Totaol
Rp 231.000,00
!
Rata-rata penjualalt tahunan (selama 15 tahun) Rp231.000,00/15 Rp15.400,00
=
Yc = 5 + 1,4857X = 5 + 1,4857 (10) = 5 + 14,857 = 19,857 atau Rp19.857,00 (jika unitY= Rpl.OOO,OO) Catatan: Jika runtut waktu mempunyai jumlah data tahun yang genap, titik tengah dari periode adalah tanggall Januari. Sebagai contohjika runtut waktunya 14 tahun (1975-1988), peri ode pertengahannya adalah 1 Januari 1982 (lihat contoh 4) Metode Semi Rata-rata Metode semi rata-rata adalah metode yang paling sederhana untuk mencari trend garis lurus dengan meninggalkan faktor subyektif dalam penggambaran. Prosedur memperoleh trend garis lurus dengan metode semi rata-rata adalah sebagai berlkut:
143
1.
2.
3.
Membagi data asli ke dalam 2 group yang sama dan menghitung rata-rata dari setiap group. Jika banyaknya tahun dari setiap data asli ganjil, ada dua metode untuk menyesaikannya, yaitu: a. Nilai pertengahan tahun dihitung dua kali dan dimasukkan baik dalam group I maupun group II. b. Nilai tahun pertengahan tidak dicantumkan. Metode ini sering digunakan karena sederhana. Gambarkan dua rata-rata pada grafik dan tarik garis lurus melalui 2 rata-rata tersebut. Metode ini didasarkan pada asumsi rata-rata dari data asli suatu periode sama dengan rata-rata nilai trend pada periode tersebut. Mencari persamaan trend yang didasarkan dua titik pada garis.
Contoh2: Dengan menggunakan data yang disajikan pada tabel 7.2: a. Gambarkan garis lurus yang paling sesuai dengan metode semi rata-rata! b. Tentukan persamaan trend garis lurus! c. Hitunglah nilai trend, dengan tahun 1984 sebagi tahun dasar persamaan! Penyelesaian: a. Data asli dibagi dalam dua group yang sama. Group I merupakan data penjualan tahun 1974- 1980 (7 tahun).
b.
Group II merupakan data penjualan tahun 1982- 1988 (7 tahun). Penjualan tahun yang berada pada periode pertengahan (tahun 1981) dari runtut waktu dihilangkan. Sub total penjualan 7 tahun pertama adalah Rp56.000,00 dengan rata-rata penjualan tahunan group I adalah Rp8.000,00. Sub total penjualan 7 tahun kedua adalah Rp161.000,00 dengan rata-rata penjualan tahunan group II adalah Rp23.000,00. Perhitungan dari sub total dan rata-rata disajikan dalam tabel 7 .2. Data asli dan titik yang menunjukkan 2 rata-rata digambarkan pada gambar 7 .4. Perhatikan bahwa Rp8.000,00 terletak di atas 1 Januari 1977 (pertengahan 7 tahun pertama) dan Rp23.000,00 terletak di atas 1 Januari 1985 (pertengahan 7 tahun kedua). Garis lurus dibuat atas dasar dua rata-rata. Persamaan trend untuk garis lurus dihasilkan dengan menggunakan 1977 sebagai tahun dasar (catatan: tahun 1977 atau 1985 dapat dipilih sebagai tahun dasar). Jadi: a= 8 (intersep Y pada tahun dasar dalam Rpl.OOO,OO) b = (23 -8)/8 = 15/8 = 1,875 Ada 8 tahun, merupakan jarak antara tahun 1977-1985. Kenaikan rata-rata tahunan adalah 1,875 dalam Rpl.OOO,OO atau Rp1.875,00.
144
Persamaannya adalah: Y:::: 8 + 1.875 X c Tahun dasar: 1 Juli 1977 unit X: 1 tahun unitY: Rpl.OOO,OO
c.
Ni1ai trend 1984: X=7 Y" = 8 + 1,875X = 8 + 1,875 (7) atau = Rp21.125,00
= 21,125 (dalam satuan Rpl.OOO,OO)
Y(.OOO Rupiah)
Prosen Deviasi
5
0 1974 75 I
0
II
-3
"
-<-
77
78
79
80
81
2
3
4
5
6
7
-1
0
2
3
4
76
82
87
88
12
13
14 X(l970
9
10
11 X(1977 = 0)
83
84
85
86
8
9
10
ll
5
6
7
8
=0)
Sumber: Tabel 7.2 dan contoh I (garis I) dan 2 (Garis II)
Gambar 7.4
Ilustrasi dari Trend Garis Lurus dengan Metode Grafik Tangan Bebas dan Metode Semi Rata-rata (Data Penjualan pada Khasandy Department Store, 1974 -1988) 145
Metode Kuadrat Terkedl Metode kuadrat terkecil digunakan untuk mencari rata-rata hitung suatu groap. Nilai rata-rata yang diperoleh digunakan sebagai wakil atau pencerminan nilai dmi.giDttp tersebwt. Rata-rata mempunyai 2 ciri matematik, yaitu: 1. Jumlah aljabar dari deviasi masing-masing data terhadap (baik di atas maupun di bawah) rata-ratanya adalah nol. 2. Jumlah deviasi kuadrat masing-masing data terhadap rata-ratanya adalah paling kecil. Misalnya nilai Y adalah 1, 4, dan 10, rata-ratanya = 5. Ciri rata-rata dapat diilustrasikan sebagai berikut: Nilai Y
1 4 1 Total Y =15 Rata-rata Total = 15/3 = 5
De\ iasi rata-rata \=Y-Y I
~
,Ji,I~I .tl~l
-4 -1
5 0 (sebagai ciri pertama)
De\ iasi kuadrat \"
16 l 25
42 (sebagai ciri kedua (kuadrat terkedl)
..
Konsep ini digunakan untuk mencari sebuah garis lurus yang harus Eli]!Jilim r>engetrapan yang terbaik. Penarikan garis lurus di sini harus dapat mewakili titikHitik sebarag. y~~X dan variabel Y pada grafik. Garis lurus untuk dependen variabel' Y [email protected] metode kuadrat terkecil, juga memiliki 2 ciri mat€matik : 1. Jumlah aljabar deviasi nilai masing-masing data terhadap masing-masing nilai yang ditunjukkan oleh garis adalah nel atau I (Y - Y) = 0 2. Jumlah deviasi kuadratnya adalah paling kecil atau _ (Y-YY =minimum. Untuk memperoleh konstanta a dan b yang tidak tliketahui dalam persamaan garis lurus: Yc =a+bX dengan metade kuaarat terkecil diperlukan 2 persamaan normal sebagai berikut: I. na + biX = IY p€rsamaan 7.1 2 II. ai,X + biX =I XY persamaan 7.2 yang menunjukkan bahwa n adalah banyaknya pasangan dari nilai X dan Y (titik pada grafik). 146
Catatan: Dua persamaan normal dibasilkan sebagai berikut: Misal Yl, Y2, ...... , yn dan XI, X2, ...... , xn yang menunjukkan variabel X dan Y, dan Y 1 =a+ bX 1; Y2 =a+ b ~ ........ . Kemudian kalikan setiap persamaan dengan n ke dalam persamaan Y = a + bX dengan koefisien pertama yang tak diketahui dari persamaan dan jumlah basil persamaan. Faktor pertama yang tidak diketahui dalam setiap persamaan yaitu a dan koefisiennya 1. Jadi persamaan tidak berubah setelah dikalikan dengan 1. Jumlab dari basil persamaan tersebut adalah: Y 1 =a+ bX 1 Y2 =a+ bX2 ... = .. + .. Yn=a+ bXn I.Y=na+b:LX
(persamaan normal 1)
Sekarang kalikan setiap persamaan dengan n dalam ¥=a+ bX dengan koefisien pertama yang tak diketahui dari persamaan ke 2 yang tidak diketahui dan jumlahkan persamaan tersebut. Faktor kedua yang tidak diketahui dalam setiap persamaan adalah b dan koefisiennya
xl, x2, ...... . Jadi: X 1Y 1 = aX 1 + b X 2 1 X 2Y 2= aX 2 + b X\ ...... = ........ + .... . XY-aX +bX 2 lCXY)= a:LX+ b 2
I.x
(persamaan normal2)
Apabila ada lebih dari 2 faktor yang tidak diketahui, prosedur yang ditunjukkan di atas dilanjutkan dengan cara seperti itu. Sehingga koefisien ketiga, keempat ... .. yang tidak diketahui digunakan dalam perkalian setiap persamaan dengan n yang terakhir. Penggunaan ini ditunjukkan dalam tabel6.4. Bagian A tabel tersebut menunjukkan basil yang dikebendaki untuk memperoleh nilai a dan b yang tidak diketahui dengan dua persamaan normal. Bagian B tabel tersebut menunjukkan ciri matematika dari persamaan garis lurus. Ilustrasi ini juga ditunjukkan dalam gambar 7.5. "~.ubsj,tesi nil~ yang dibasil'kan tabel7.4.A. dalru:n2 persamaan normal'dengan rumus a!X .fb!;X2 =·I. ~Y.
3a + 18b (a) x 6:
(2)- (3):
=15
18a + 116b:;;: 96 18a + lO~b = 90 0 + 8b =·@
Jli) .. (Zi) (3)
147
b = 6/8 = 0,75 Subsitusi nilai b dalam (1 ): 3a + 18(0,75) :;= 15 3a= 15-13,5 = 1,5 a= 1,5/3 = 0,5 Persamaan garis 1urus·dengan metode kuadrat terkecil: Yc =a+ b X= 0,5 + 0,75 X Nilai Yc dihitung dari persamaan: apabila X= 4, Yc = 0,5 + 0,75(4) = 3,5 X= 8, Yc = 0,5 + 0,75(8) = 6,5 X= 6, Yc = 0,5 + 0,75(6) = 5 Berdasarkan persamaan, ciri matematik dari garis lurus adalah: 1. 2.
Jumlah deviasi adalah 0, atau ICY- Y) =0 c Jumlah deviasi kuadrat adalah paling kecil, atau 'L(Yditunjukkan pada gambar 7.5.
YY = 37,5, nilai minimum yang
Jika beberapa garis lain ditarik berdasarkan titik A, B dan C pada gambar,jumlah deviasi nilai masing-masing data terhadap garis akar nol, tetapi jumlah deviasi kuadratnya akan lebih besar dibanding dengan metode kuadrat terkecil. Sebagai contoh, garis lurus yang dipilih dengan persamaan: Yc = 2 + 0,5X meskipun jumlah deviasi masing-masing nilai terhadap dari garis adalah 0, jumlah deviasi kuadratnya adalah 38, yang lebih besar dari 37,5 berdasarkan metode kuadrat terkecil. Hal ini ditunjukkan dalam tabel7.4.C dan dalam gambar 7.5. Nilai-nilai Y. adalah sebagai berikut: JikaX=4, Y.=2+0,5(4)=4 Jika X = 8, Ya = 2 + 0,5(8) = 6 Jika X= 6, Y. = 2 + 0,5(6) = 5 Metode kuadrat terkecil biasa digunakan untuk mencari garis trend yang paling sesuai dalam sebuah runtut waktu. Dalam praktiknya, rumus aiX + b'LX2 = I XY biasanya disederhanakan lebih dahulu sebelum digunakan untuk menemukan konstanta yang tidak 148
diketahui, a dan b. Penyederhanaan ini dilakukan dengan membuat jumlah nilai X, yang mewakili banyaknya tahun dalam sebuah runtut waktu menjadi nol, atau :LX = 0. Tabel7.4
Perhitungan Persamaan Garis Lurus dengan Metode Kuadrat Terkecil yang Dibandingkan dengan Persamaan Garis Lurus yang Dipilih
y
X
XY
X2
y ~
4
1
4
16
8
4
32
64
6
10
60
36
3,5 6,5 5,0
Total(!), 18
15
96
116
ts,o I
A B
c
Y-Yc
Y.
-2,5 6,25 -2,5 6,25 5,0 25.00
6 5
0,0
15
Y-Ya (Y..Y,)'t
-3 -2
4
37,00
5
9 4 25
0
38
12 Metode kuadrat terkecil (Y - Y)2 = 6.25 + 6.25 + 25 3750, minimum Yc = 0,5 + 0,75 X
1l
=
lO
9 8 7 6 5
4 3 2 I
0
0
l
2
3
Sumber: Tabel7.6.
4
5
7
6
8
9
10
ll
12
X
Gambar7.5
Garis Lurus dengan Metode Kuadrat Terkecil Dibandingkan dengan Garis Lurus yang Dipilih 149
Jika _LX = 0, persamaan normal I menjadi: a=.LY/n Jika _LX = 0, persamaan normal II menjadi: b = _L(XY)/_LX2
persamaan 7.3 .a persamaan 7.3.b
Aturan membuat .LX = 0, tahun dasar variabel X harus diletakkan dalam pertengahan pada periode yang terkandung dalam runtut waktu. Hal ini digambarkan dalam dua kasus: a). Runtut waktu yang mempunyai jumlah tahun gasal. b). Runtut waktu yang mempunyai tahun genap.
Perhitungan trend garis lurus untuk jumlah tahun ganjil Prosedur perhitungan trend garis lurus dengan metode kuadrat terkecil untuk jumlah tahun ganjil dalam runtut waktu adalah sebagai berikut: 1). Buatlah sebuah tabel untuk menghitung nilai .LY, .LX2, dan _(XY). Misalkan unit X = 1 tahun dan pertengahan (l Juli) pada pertengahan tahunnya menjadi tahun dasarnya, sehinggajumlah dari nilai X (0, -1, -2, .... , +1, +2, ... ) adalah nol, atau _LX = 0. 2). Dapatkan nilai a dan b dengan persamaan trend, Yc =a+ bX dengan mengganti nilai yang dihitung pada rumus 7.3. 3). Hitunglah ke tiga nilai trend yang diturunkan dari persamaan trend dan gambarkan hasilnya untuk menarik garis lurus. (Dua titik dipilih untuk menggambarkan garis lurus, titik ke tiga dibuat untuk mengecek kebenaran hitungan pada titik-titik tersebut). Prosedur ini ditunjukkan dalam contoh 3.
Contoh 3: Dengan menggunakan data penjualan selama tahun 1974 - 1988 (15 tahun) yang disediakan pada tabel7.5. a). Misalkan unitY= Rpl.OOO,OO. Carilah persamaan trend garis lurus dengan metode kuadrat terkecil. b). Hitunglah nilai trend tahun 1974, 1981, dan 1988. c). Gambarlah tiga nilai trend itu, kemudian tariklah garis lurus pada grafik tersebut.
Penyelesaian: a). Tabel 7.5 digunakan untuk menghitung persamaan trend garis lurus pada contoh 3. Substitusikan nilai-nilai yang diperoleh dalam tabel dari rumus 7.3 sebagai berikut: a= .LY/n=231115=15,4 ,, (Y titik potong pada origin. Pada kasus sekarang sama dengan rata-rata penjualan tahunan, Rp15.400,00). 1b
=·2,(XY)/LX =518/280 = 1,85 2
(Rata-rata kenaikan tahunan Rp1.850,00).
150
Persamaan trendnya adalah:
Yc = 15,4 + 1,85 X (dengan tahun dasar 1 Juli 1981) unit X = 1 tahun unit Y = Rp 1.000,00 b). Nilai trend yang dikehendaki dihitung dari persamaan trend: Y = 15,4 + 1,85(-7)= 2,45 dibulatkan 2,4 Y = 15,4 + 1,85(0) = 15,4 Y = 15,4 + 1,85(7) = 28,35 dibulatkan 28,4
1974-X = -7 1981-X = 0 1988-X = 7
c). Tiga titik mewakili tiga nilai trend yang dihitung pada tabel 7.5, digambarkan pada gam bar 7 .6. Garis lurusnya ditarik melalui tiga titik pada grafik (garis 1).
Y(.OOO Rupiah)
5
0
L-----~-----L--L-~--~~---L--L-~--~~--~
1974 75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
Sumber: I Tabel 7.5 (contoh 3); II, Tabel 7.7. (contoh 5)
85
86
87
88 Tahun
(1981 = 0)
Gambar7.6
Trend Garis Lurus dan Trend Parabola Pangkat Dua yang Dihitung dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk Data Penjualan Khasandy Departement Store (1974-1988)
151
Catatan dalam menghitung nilai trend dengan menggunakan persamaan trend, dapat dicari dengan jalan menambah nilai b (1,85) berturut-turut pada nilai trend pada tahun pertamaderetan itu. Nilai trend pada tahun pertama (1964) adalah 2,45 (sebelum dibulatkan). Dengan demikian nilai trend:
1975: 2,45 + 1,85 = 4,30 1976: 4,30 + 1,85 = 6,15 1977: 6,15 + 1,85 = 8,00, dan seterusnya. Nilai trend lain dapat dilihat dalam kolom (6) pada tabel 7.5. yang dapat diperoleh dengan metode sama. Tabel 7.5
Perhitungan Persamaan Trend Garis Lurus dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk Jumlah Tahun Ganjil
7
14 17 20 23 19 25 28 29
-49 -396 -10 -8 -24 -32 -13 0 34 40 69 76 125 168 203
4 9 16 25 36 49
2,9 4,3 6,2 8,0 9,8 11,7 13,6 15,4 17,2 19,1 21,0 22,8 24,6 16,5 28.4
0
231
518
280
231,0
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Total (l:)
Sumber: tabel 7.2 dan contoh 3.
152
7 6 2 4 8 16 13
49 36 25 16 9 4 1 0 I
Perhitungan trend garis lurus untuk jumlah tahun genap Prosedur perhitungan trend garis lurus dengan rnetode kuadrat terkecil untuk jumlah tahun genap dalam sebuah runtut waktu, hampir sama padajumlah tahun yang ganjil. Tetapi unit X menjadi 112 tahun, karena tahun dasamya pertengahan pada dua pertengahan tahun runtut waktu, atau 1 Januari pada pertengahan tahun ke dua. Nilai X akan mempunyai perbedaan dua (2) angka (- L -3, ..... L 3, ..... )dan jumlah nilai X akan menjadi nol, atau IX = 0. Prosedur ini diilustrasikan pada contoh 4.
Contoh 4: Dengan menggunakan data penjualan selama tahun 1975-1988 ( 14 tahun) yang tersedia pada tabel 7 .2. a). Misalkan unit Y adalah Rpl.OOO,OO. Carilah persamaan trend garis lurus dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. b). Hitunglah nilai trend untuk tahun 1975, 1981, dan 1988.
Penyelesaian: a). Tabel 7.6 digunakan menghitung persamaan trend garis lurus dalam contoh 4. Substitusikan ni1ai-ni1ai yang dipero1eh dalam tabel dari rumus 7.3 sebagai berikut: a= IY/n = 224114 = 16 b = L(XY)/IX 2 = 910/910 = 1 Persamaan trendnya adalah: Y = 16 +IX (dengan tahun dasar 1 Januari 1982) unit X = 112 tahun unit Y = Rp 1.000,00 b). Nilai trend yang dikehendaki dihitung dari persamaan trend: 1975-X = -13 Yc = 16 + 1(-13) = 3 1981-X = -1 Yc = 16 + 1(- 1) = 15 1988-X= 13 Yc= 16+ 1 ( 13)=29 Jika tiga ni1ai trend gambar da1am grafik, garis lurus akan tergambar melalui tiga nilai tersebut. Skala X pada tabel dalam contoh 4 akan terlihat sebagai berikut: (a) Y
II I I I I I I I I I I I
1975 76 77 78 79
80 81
-13 -I I -9
-3
-7
-5
-1 (1/1
82 0 I
83
84 85
86 87 88 Tahun
3
5
9
7
11
13 X
82 == Dasar)
153
Catatan: Karena b (=1 atau Rpl.OOO,OO) mewakili rata-rata kenaikan per 112 tahun (unit X), ratarata tabunan akan naik (bertambah) menjadi 2b = 2(1) = 2 atau Rp2.000,00. Nilai trend yang lain dapat diperoleh dengan menambah kenaikan rata-rata tahunan secara berturut-turut pada nilai trend pada tahun pertama pada runtut waktu tersebut. Nilai trend pada tahun pertama (1975) adalah 3. Dengan demikian nilai trend (dalam Rpl.OOO,OO) adalah: 1976:3+2=5 1977:5 + 2 = 7 1978: 7 + 2 = 9, dan seterusnya. Nilai trend lainnya dibuat dalam kolom (6) pada tabel7 .6. yang diperoleh dengan metode sama. Unit X dapat memakai satuan 112 tahun. Tetapi cara ini akan menyulitkan di dalam perhitungannya. Jika dipakai 1 tahun untuk variabel X dalam contoh 4 akan dapat digambarkan dalam diagram berikut: (b) y
I
1·~
16
1979
1980
1981
-2,5
-1,5
-0,5
I
1982
1983
1,5 0 0,5 (1/1 82 = Dasar)
1984
Tahun
2.5
X
7.3 TREND NON LINEAR
Garis lurus dalam skala perhitungan menunjukkan kenaikan atau penurunan sebuah runtut waktu dengan jumlah konstan. Ini adalah bentuk sederhana untuk melukiskan gerakan trend sekuler. Diskripsi frekuensi pada trend adalah tepat. Tetapi dalam beberapa kasus, garis lurus tidak sesuai untuk data tertentu. Sebagai contoh, sebuah runtut waktu dapat mempunyai kecepatan (kelambatan) kenaikan pada awal dan mempunyai kelambatan (kecepatan) kenaikan yang lebih pada waktu berikutnya. Dalam beberapa kasus, kurva non linear dapat menunjukkan trend runtut waktu lebih baik dibanding dengan garis lurus. Ada beberapa tipe trend non linear. Sebuah kurve yang hal us (smooth) dapat digambarkan dengan metode tangan be bas. Akan tetapi faktor subyektif akan menyebabkan kurva terse but tidak begitu akurat dalam pengambilan keputusan. Pada umumnya trend non linear diperoleh dengan metode sebagai berikut: 1. 2. 154
Sebuah trend parabola dengan persamaan polinomial pangkat dua yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Sebuah trend smooth curve diperoleh dengan metode rata-rata bergerak.
Tabel706
Perhitungan Persamaan Trend Garis Lurus dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk Juml~h Tahun Genap
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 (7/1) Dasar 1/1/82 1982 (7/1) 1983 1984 1985 1987 1987 1988
-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 7 9 11 13
4 8 16 13 14
-78 -22 -36 -56 -80 -39 -14
17 20 23 19 25 28 29
17 60 115 113 225 308 377
1 9 25 49 81 ; 121 ! 169
17 19 21 23 25 27 29
Total (2,)
0
224
910
1910
224
3 5 7 9 11
13 15
Sumber: tabel 7 02 dan contoh 40
Trend parabola pangkat dua Bentuk umum sebuah persamaan polinomial adalah: Yc =a + bX + cX 2 + dX 3 + eX 4 + 00000 Jika persamaan polinomial digunakan untuk menggambarkan gerakan trend non linear, biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana: Yc =a+ bX +cX 2
persamaan 7.4
155
yang disebut persamaan polinomial pangkat dua,juga sering disebut dengan parabola. Nama pangkat dua menunjukkan bahwa pangkat tertinggi variabel X dalam persamaan adalah dua. Karena di sini ada tiga konstanta yang tidak diketahui nilainya dalam persamaan, yaitu; a, b, dan c, maka perlu dibuat tiga persamaan untuk memecahkannya. Tiga persamaan normal yang dibuat dengan metode kuadrat terkecil adalah : na + b L (X) + c L (X2) = L (Y) a L(X) + b I,(X2) + c (X3) = L (XY) Ill a L(X2) + b L ()\3) + c I,(X4) = I,(X2Y) I. II.
persamaan 7.5
Dalam praktiknya, bentuk persamaan 7.5 biasanya disederhanakan sebelum digunakan .untuk mencari konstanta yang tidak diketahui dalam persamaan polinomial pangkat dua dalam sebuah runtut waktu. Penyederhanaan dilakukan dengan membuat jumlah nilai X, yang mewakili jumlah tahun dari runtut wak:tu menjadi nol. Jika L X
=0, L(X =0, maka tiga persamaan normal menjadi: 3
)
I. na + c L (Xl) = I,(Y) II. b L (X2) = L (XY) III. a L (X2 ) + c I (X4) =I(X 2 Y) Pemecahan persamaan I dan III akan mendapatkan nilai a dan c. Pemecahan persamaan II, akan mendapatkan nilai b atau: I(Y)- ci,(X2)
a=----n.
persamaan 7 .6.a
b= L(XY) I(X2)
persamaan 7 .6.b
L(X2Y)-L(X2) L(Y) n I,(X4)-(I,X2)2
c=
persamaan 7 .6.c
Aturan untuk membuat IX= 0 (sehingga IX3 = 0) tahun dasar variabel X harus diletakkan dalam pertengahan periode-periode yang ada dalam runtut waktu. Jika runtut waktu mempunyai jumlah tahun ganjil, nilai X dari deret itu: 1, -1, -2, .... 1, 2, .... yang ditunjukkan bahwa X dalam 1 tahun. Jika runtut waktu mempunyaijumlah tahun genap, nilai X nya: -1, -3, -5, ..... 1, 3, 5, ..... yang ditunjukkan bahwa X mewakili 1/2 tahun. Cara penghitungannya adalah sama. Runtut waktu dengan jumlah tahun ganjil diilustrasikan dalam contoh 5.
Contoh 5: Dengan menggunakan data penjualan untuk tahun 1974 - 1988 (15 tahun) yang ditunjukkan dalam tabel 7.2: a). Misalkan unit Y dalam Rpl.OOO,OO. Dapatkan persamaan polinomial pangkat dua dengan metode kuadrat terkecil. 156
b). Hitunglah nilai trend selama 15 tahun. c). Gambarkan nilai-nilai pada grafik untuk mendapatkan parabola pangkat dua. Penyelesaian: a). Tabel7. 7. dipakai untuk menghitung persamaan polinomial pangkat dua pada contoh 5. Substitusikan nilai-nilai yang diperoleh dalam tabel7. 7. dari rumus 7.6 sebagai berikut: c
= 15(4,484)- 280(231) = 0 0417 ' 15(9,352) (280) 2
a=
231 - 0,04 (280) . . = 14,62 (perhattkan bahwa a tergantung pada c) 15
b=
~!~ = 1,85 (sama dengan slope b pada garis lurus pada contoh 3)
Persamaan yang dicari, rumus 7 .4, dapat ditulis: Yc == 14,62 + 1,85X + 0,0417X2 dengan tahun dasar 1 Juli 1981 Unit X == 1 tahun UnitY= Rpl.OOO,OO
Catatan: Penyelesaian dan nilai pada lima kolom pertama tabel 7. 7 sarna dengan tabel 7.5 untuk trend garis Iurus. Tetapi tabel 7.7. mempunyai dua kolom tambahan yaitu X 2Y dan X4• b). Nilai trend (Y) ditunjukkan dalamkolom (8) pada tabel7.7 dihitung dari persamaan di atas dengan cara berikut: 1974-X=-7
1975- X= -6
Yc = = = yc= = =
14,62 + 1,85(-7) + 0,0417(-7) 2 14,62- 12,95 + 2,0435 3,7135, dibulatkan 3,7 14,62 + 1,85(-6) + 0,0417(-6)2 14,62- 11,10 + 1,5012 5,0212, dibulatkan 5,0
dan seterusnya. c). Nilai-nilai trend digambarkan pada grafik 7.6. Parabola pangkat dua digambarkan melalui ti tik yang tergantung dalam nilai-nilai trend (garis II). Trend garis lurus dan trend parabola pada grafik semuanya diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Dengan demikian jumlah deviasinya nol, atau l:(Y-Y) = 0, berarti sama untuk dua kasus tersebut. Tetapi jumlah deviasi kuadratnya atau I,(Yhanya 96.28 (dengan dasar nilai
YY
157
Yc dalam tabel7.7) untuk trend parabolanya 103,80 (dengan dasar nilai Yc dalam tabel 7.5) untuk trend garis lurus. Nilai '.L.(Y - Y )2 dihitung dengan cara yang sama seperti dalam tabel i4. (Perhitungan yang detail tidak di,cantumkan di sini). Dengan demikian trend parabola, yang mempunyai jumlah deviasi kuadrat lebih kecil, berarti lebih baik dibanding trend garis lurus karena lebih sesuai dengan data aslinya.
Trend Rata-rata Bergerak Trend sekuler juga dapat diukur dengan metode rata-rata bergerak. Metode ini digunakan untuk mendapatkan s'ebuah kurva yang halus karena adanya fluktuasi data dalam runtut waktu, dan juga untuk menunjukkan arah garis trend. Rata-rata bergerak untuk tiap tahun dala~ sebuah runtut waktu merupakan rata-rata nilai-nilai pada tahun tersebut. Prosedur perhitungan rata-rata bergerak dalam sebuah runtut waktu diilustrasikan dalam contoh 6 berikut ini. Contoh 6: Dengan menggunakan data penjualan tahun 197 4 - 1988 yang tersedia dalam tabel 7 .8. Carilah: a). Rata-rata bergerak 3 tahun b). Rata-rata bergerak 5 tahun Penyelesaian: Perhitungan rata-rata bergerak untuk contoh ini ditunjukkan dalam tabel 7 .8. Untuk perhitungan masing-masing rata-rata bergerak, pertama dicari gerak total. Kemudian bagilah gerak total dengan jumlah tahun yang ada dalam total. Hasilnya rata-rata bergerak pada pertengahan tahun pada tahun-tahun tersebut. a). Rata-rata bergerak 3 tahun dihitung sebagai berikut: Rata-rata bergerak total pertama (3 tahun) dihitung dari nilai tahun 1974, 1975, dan 1976: 7 + 6 + 2 = 15 Pertengahan tahun pada group I selama 3 tahun adalah tahun 1975. Dengan demikian rata-rata bergerak tahun 1975 adalah hasil gerak total15 tahun dibagi dengan jumlah 3 tahun atau: 15
3 =5 (dalam Rp 1.000,00) Tiga tahun yang ke dua gerak total dihitung dari ni1ai pada tahun 1975, 1976, dan 1977: 6 + 2 + 4 = 12 Pertengahan tahun pada group II adalah tahun 1976. Dengan demikian rata-rata bergerak tahun 1976 ada1ah:
158
Tabel7.7
Perhitungan Persamaan Trend Parabola Pangkat Dna dengan Metode Kuadrat Terkecil untuk Jumlah Tahun Ganjil
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
-49 -36 -4 -3 -2 -1 0 l 2 3 4 5 6 7
Total (I,)
0
2.401 1.296 625 256 81 16 l 0 1 16 81 256 625
19 25 28 29
-13 0 17 40 69 76 125 168 203
4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
17 80 207 304 625 :1.008 '1.421
2.401
3,7 5,0 6,4 7,9 9,4 11,1 12,8 14,6 16,5 18,5 20,5 22,7 24,9 27,2 29,6
231
518
280
!4.484
9.352
230,8 *)
-10 -16 -24 16
-32
13 14 17 20
23
~.296
Sumber: Tabel 7.2 dan contoh 5. *) t1dak sama dengan 231 karena adanya pembulatan.
12
=4
Rata-rata bergerak 3 tahun yang lainjllga didapatkan dengan cara ini. Tetapi di sini tidak ada rata-rata bergerak untuk tahun pertama, 1974 dan tahun terakhir, 1988. b). Dengan cara yang sama rata-rata bergerak untuk 5 talmn dapat dihitung. Catatan: Kita dapat menggunakan metode pendek untuk menghitung gerak total jika jumlah tahun yang terkandungjumlahnya besar. Dengan menggunakan metode pendek, setiap gerakan total, kecuali yang pertama, dihitung lel)ih dahufu gerakan total dengan
159
satu pengurangan (pengurangan nilai pertama pada group tahun yang mendahului) dan satu tambahan (penambahan nilai terakhir pada group tahun yang berlaku). Sebagai contoh, gerak total tahuh ke dua dan tahun ke lima dalam tabd 7.8 dapat dicari dengan metode yang biasa atau metode pendek seperti-ditunjukkan dalam tabel 7.9. Tabel7.8
Perhitungan Nilai Trend dengan Metode rata-rata Bergerak untuk Data Penjualan Khasandy Department Store, 1974 - 1988 Bt'nlasarkan Pt'riodt' 3 Talnm Tahun
Pl•njualan (dalam Rpi.OOO,OO)
3 tahun Bt'rgt'rak Total
(I)
(2)
(3)
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
1981 1982 1983 1984 1985 1986' 1987 1988
7 6 2 4 8
16 13
14 17 20 23 19 25 28 29
3 tahun Rata-rata Bt'rgcrak Kolom (3):3 (4)
Herdasarkan Pt'riodt' 5 Tahun Penjualan _3 tahun (dalam Hergerak Rp 1:000,00) Total (5)
44
5 4 42/3 9113 12 1/3 14113 142/3
6 2 4 8 16 13 14
51
17
17
60
20 202/3 22 1/3 24 27 1/3
20 23 19 25 28 29
15 12 14 28 37 43
62 67 72
82
''
I '.
3 tahun Rata-rata Hcrgcrak Koli1m (6):3
(6)
(7)
27 36 43
5 2/5 7 115 8 3/5
55 68
80 87 93 104
' 115 ! 124
11
13 3/5 16 17 2/5 18 3/5 204/S 244/5
Sumber: Tabel 7.2 dan contoh 6.
Rata-rata bergerak 3 tahun (kolom 4), rata-rata bergerak 5 tahun (kolom 7), dan data aslinya digambarkan pada gambar 7.7. Dua kurva berdasarkan metode rata-rata bergerak menunjukkan arah trend yang menaik dalam runtut waktunya. Perhatikan bahwa data aslinya berfluktuasi. Rata-rata bergerak 3 tahun fluktuasinya diperhalus ke tingkat yang lebih kecil dengan rata-rata bergerak 5 tahun. Pada umumnya,lebih panjang runtut waktunya kurva yang diperoleh akan semakin halus (smooth).
160
Tabel7.9 Perhitungan Gerak Total 5 Tahun dengan Metode Biasa dan M~tode Pendek
27 (m.tl)
1974 1975
7
1976
2 4
6
1977 1978 1979 1980
8
27
Total
36(m.t2) .
-7 -6
6 2
2
4 8 16
36
4 8 +16
36
16 13
+13
43
43
Penjualan (Rp 1000)
30
25
20
15
10
5
~974
75 Tahun
Sumber: Tabel7.8 dan contoh 6.
Gambar7.7 Trend Rata-rata Bergerak untuk Data Penjualan Khasandy Department Store, 1974 - 1988 161
Catatan: Trend yang diperoleh dengan metode rata-rata bergerak tidak selalu dapat ditunjukkan dengan persamaan matematika. Metode ini akan menunjukkan basil yang paling efektif pada trend,jika periode perhitungan rata-rata adalah sama atau kelipatan dari panjang ratarata siklis dalam fluktuasi runtut waktunya. Sebab jika rata-rata bergerak dihitung dari ratarata yang panjang, tingkat fluktuasinya dapat dijadikan minimum. Dalam kenyataannya, jika siklis fluktuasi itu sama panjangnya (banyaknya tahun) dan amplituda Uumlah kenaikan dan penurunan) rata-rata bergerak dari periode yang sama atau kelipatan panjang sama dari masing-masing siklis akan terbentuk garis lurus. Dengan demikian fluktuasi dalam runtut waktu telah dieliminir dengan sempurna. Hal ini diilustrasikan dalam tabel 7.10 dan gambar 7.8. Tabel dan gambar tersebut menunjukkan penjualan pada Ajie Clothing Store dari tahun 1978 sampai dengan tahun 1987 dengan siklis 3 tahun. Kenaikan dan penurunanjumlah setiap siklis 3 tahun adalah sama 1, 4, dan -2 (dalam Rpl.OOO,OO). Jikarata-rata bergerak 3 tahun dibuat gambarnya, garis lurus dapat ditarik melalui titik-titik pada gambar tersebut. Metode rata-rata bergerak dapat dipakai untuk menghaluskan fluktuasi suatu runtut waktu yang panjangnya selain satu tahun. Dalam dua bab berikutnya kita akan menggunakan metode rata-rata bergerak untuk menghaluskan fluktuasi dari variasi musim dan gerak siklis. Tabel 7.10 Perhitungan Nilai Trend dengan Metode Rata-rata Bergerak untuk Data Penjualan Ajie Clothing Store, 1978 - 1987 (Periode setiap gerak total =3 tahun =lamanya setiap periode, siklis mempunyai amplitudo yang sama, kolom 3)
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Sumber: Data hipotetis.
162
2 7
++1 putaran +4pertama
5 6
-2 +1
10 8 9
3
11
12
4
15
5 6
18
7
+4 putaran
21 24
-2kedua
27
9
+1 +4 putaran
30 33
10 11
-2 ketiga
8
Penjua1an (Rp 1000)
1982
1983 TallUn
1984
1985
1986
1987
Sumber : Tabel 7 .I 0
Gambar7.8
Trend Rata-rata Bergerak yang Disesuaikan untuk Data Penjualan Ajie Clothing Store, 1978 • 1987 Jumlah tahun yang digunakan dalam perhitungan rata-rata bergerak tidak perlu dihilangkan untukjumlah tahun yang ganjil. Tetapijikajumlah tahun yang genap yang digunakart, harus ditambah beberapa langkah untuk mendapatkan rata-rata bergerak untuk tiap-tiap tahun. Langkah-langkah tambahan akan dibahas pada bab berikutnya. 7.4. PENGUKURAN TREND DENGAN LOAGARITMA
Trend yang dibahas pada sub bab sebelumnya dibuat gambarnya dengan skala aritmatik. Trend dapat juga dibuat dengan gambar semi logaritma (semilog) dalam bentuk garis lurus atau kurva non linear. Jika trend tersebut merupakan garis lurus pada gambar semilog, trend menunjukkan kenaikan harga Y dari runtut waktu dengan laju konstan (garis lurus pada gambar aritmatik menunjukkan pertambahanjumlah yang konstan). Jikakurvanya non linear pada gambar semilog, kurva naik menunjukkan laju pertumbuhan pada beberapa tingkatan tergantung pada bentuk slopenya. Semakin curam bentuk slope, semakin tinggi laju pertambahannya, seperti ditunjukkan pada kurva gambar 7.9. Sub bab ini akan membahas dua macam trend yang biasanya dihitung dengan logaritma: ( 1). Trend eksponensial, dan (2). Kurva pertumbuhan
Trend Eksponensial Trend eksponensial dapat berupa garis lurus pada gambar semilog dan dapat berupa kurva pada gambar aritrnatik. Persamaan eksponensial yang digunakan untukmenggambarkan trend sekuler ditulis: Y c =ab•
persamaan 7.7.a
163
Kita ambillognya persamaan tersebut menjadi: persamaan 7. 7. b
log Yc =log a+ (log b) X
Buat LX =0 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Dua konstanta yang tidak diketahui, yaitu log a dan log b dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut: Llog Y I oga= - = - n
persarnaan 7.8.a Tabel7.11
Perhitungan Persamaan Trend Garis Lurus Logaritma (Eksponensial) dengan Metode Kuadrat Terkecil Tahun
l>ata
X (unit:
asli (I)
I tahunl
RJ> 1.111101
logY
(2)
(3)
(4)
1974 1975 1976
1977
1 2 3 4 5 6 7
8 16 ·13 14 17 20 23 19 25 28 .29
0
231
19'78 1979
-3
.. 1980
-1 0
·1981 . 1982 1983 . 1984 1985 1986 1987 1988 Total(L)
-2
Sumber: Tabel7.2 dan contoh 7.
164
Trend Pen,jualan
Penjualan Sesu nggu hnya Y (dalam
y ,. (dalam
0,8451 0,7782 0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,1139 1,1461 1,2304 1,3010 1,3617 1,2788 1,3979 1,4472 1,4624
X logY (5)
X2
logY,
Rpl.OOO,OOI
(6)
(7)
(Nl
-5,9157 -4,6692 -1,5050 -2,4084 -2,7093 -2,4082 -1,1139 0 1,2304 2,6020 4,0851 5,1152 6,9895 8,6831 18,2125
4 9 16 25 36 49
0,6365 0,7015 0,7665 0,8315 0,8965 0,9615 1,0265 1.0915 1,1565 1,2215 1,2865 1,3515 1,4165 1,4815 1,5465
18,2125
280
16,3725
4 1 0 l
4,3
5,0 5,8 6,8 7,9 9,2' 10,6 12,3 14,3 16,7 19,3 22,5 26,1 30,3 35,2 226,3
y
Penjualan (Rp 1000)
100
I
f-
90 80 f70 ff60 f50
I
I
I
I
I
I
-
-
-
r-
40
30
25
r-
Da
-~
<;;~ ~ ....._ Dala
aasli
~ / .F
15
10 9 8 7 6 ~ 4
Exponen ·al
-
In SkalaLc garitma -
-
/J. v
-
-
/_//{
""\ /
f-
l\ I
-
I
V\/
./
\I
r-1 I;
2
0-
31.8 ~ F---Batas atas Curve G ~-
'I /
/
f-
3 2,5
/
KurvaG mpertz
20
5
-
-
I
-
-
1,5 rI
1
I
I
j
I
I
I
1974 75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
I
2
3
4
5
6
7 X (Contoh 7)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 X (Contoh 8)
-7
0
88 Tahun
Sumber : Tabel 7.11. dan Contoh 7 (trend eksponensial); Tabel 7 .12. dan Contoh 8 (kurva Gompertz).
Gambar 7.9 Trend Eksponensial dan Kurva Gompertz Dihitung dari Data Penjualan Khasandy Department Store, 1974- 1988 (dalam skala logaritma) Tahun 1988, X = 7
log Yc = 1,0915 + 0,0650 (7) = 1,5465 Yc = 35,2
Log Yc, untuk setiap perubahan tahun setelah tahun 1974 dapat diperoleh dengan menambah 0,0650 (=log b) ke log Yc dari tahun sebelumnya (log Yc tahun 1974 = 0,6364), seperti: 165
c.
1975 log Yc = 0,6365 + 0,0650 = 0,7015 1976 log Yc = 0,7015 + 0,0650 = 0,7665 dan seterusnya. Nilai trend ditunjukkan pada kolom 8 dari tabel 7.11 dan digambarkan pada gambar semilog dalam bentuk garis lurus seperti yang terdapat dalam gambar 7.9. Apabila nilai trend digambarkan pada grafik aritmatika bentuknya akan berupa kurva non linear. Gambar 7.10. y Penjualan (Rp 1000) I 30 .-----~-----.-----.-----,------r-----~~--~
25
~----~-----r--~~Am~rlrl------~----~~--~
31,8 Batas atas dariKuiTa Gompertz
0 1974 75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 X (Contoh 7)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ll
12
13
14 X (Contoh 8}
0
88 Tahun
Sumber: Tabel7.11. dan Contoh 7 (trend eksponensial); Tabel 7.12. dan Contoh 8 (kurva Gompertz).
Gambar 7.10 Trend Eksponensial dan Kurva Gompertz Dihitung dari Data Penjualan Khasandy Department Store, 1974- 1988 (dalam skala aritmetik) Catatan: Bahwa persamaan eksponensial untuk trend dapat dihasilkan sebagai berikut:
Jika log a= 1,0915, antilognya a= 12,3 Jika log b = 0,0650, antilognya b = 1,16
166
Persamaan eksponensialnya adalah:
Yc
= 12,3 (1,16)'
Dapat dituliskan dalam bentuk persamaan bunga majemuk:
Berarti, tingkat kenaikan untuk setiap tahun adalah 0,16 atau 16%. Nilai trend Yc dapat diperiksa kembali seperti berikut: 1974
y
1975
y
1976
y
'
=
4,33 0,69 5,02 0,80
(4,33 X 16%) atau dibulatkan 5,0 (5,021 X 16%)
5,82
atau dibulatkan 5,8
+ c
=
+ c
=
dan seterusnya. Jika b nilainya positip, lebih kecil dari satu (1 ), pertumbuhan menurun pada tingkat konstan ( I b). Batas dari penurunan nilai trend adalah nol (0). Sebagai contoh: Jika b = 0,8 ; tingkat penurunannya adalah 1 0,8 = 0,2 atau 2%. Persamaan eksponensialnya dapat ditulis:
Yc =a b' =a (0,8)'
(1
0.2)'
Apabila x sangat besar, (0,8)' mendekati 0, jadi Yc mendekati 0 juga.
Kurva-kurva Pertumbuhan Beberapa bentuk time series (runtut waktu) mengenai kegiatan bisnis dan aktivitas ekonomi dapat digambarkan dalam 3 tahap perkembangan. Misalnya dalam aktivitas penjualan suatu basil industri seperti industri radio. Pada tahap permulaan atau apabila hasil produksi baru diperkenalkan di pasar, besamya pertumbuhan dalam penjualan produksi naik dengan lambat. pada tahap tengah. atau apabila produksi telah diperkenalkan pada masyarakat, pertumbuhan akan naik lebih besar, dan pada tahap terakhir atau produksi dijual pada pasar yang sudah jenuh, pertumbuhannya menjadi stabil. Kurva yang menggambarkan bentuk pertumbuhan biasanya ditunjukkan oleh kurva-kurva pertumbuhan. Ada 2 kurva pertumbuhan yang terkenal dan penggunaannya dalam analisis trend untuk kegiatan bisnis dan aktivitas ekonomi sejak tahun 1920-an. Kedua kurva tersebut adalah kurva Gompertz dan kurva Logistik atau kurva Pearl-Reed. Kurva Gompertz adalah dasar yang digunakan oleh Benyamin Gompertz dalam tabel konstruksi kematian, untuk harapan hidup seseorang. Kurva Logistik pertama kali digunakan oleh Raymond
167
dan L.J. Reed dalam analisis pertumbuhan penduduk. Jika kedua bentuk kurva tersebut digambarkan pada sebuah gambar skala aritmatik, seperti pada gam bar 7.10 kurvanya akan mempunyai bentuk seperti huruf S. Bentuk S menunjukkan pol a pertumbuhan yang sesungguhnya, kecil dalam tahun permulaan, naik lebih besar pada tahun pertengahan, dan besar tetapi tetap pada tahun yang berikutnya. Jika kurva-kurva digambarkan pada sebuah gam bar semi logaritma seperti gam bar 7. 9 kurva akan menunjukkan pertumbuhan yang meningkat dengan cepat dalam peride permulaan, tetapi menurun pada periode selanjutnya dalam suatu runtut waktu. Kedua kurva mempunyai bentuk serupa. Dalam bab ini hanya kurva Gomportz yang diberi penjelasan dengan absout. Persamaan kurva Gompertz adalah: y =a b c
X
(c)
persamaan 7.9.a
Jika diambillogaritmanya pada setiap sisi dari persamaan: log Yc
=log a + (log b)c'
persamaan 7. 9. b
(Simbol c pada Yc adalah tanda yang berarti nilai perhitungan, sedangkan simbol c di sebelah kanan adalah konstanta yang tidak diketahui nilainya). Nilai-nilai dari 3 konstanta yang tidak diketahui, yaitu: log a, log b, dan c dalam rumus 7.9 .b tidak dihitung dengan metode kuadrat terkecil tetapi dapat dihasilkan dengan beberapa cara yang berbeda. Metode obyektif yang paling sederhana adalah dengan menggunakan 3 sub kelompok dari logaritma nilai Y dalam serial tersebut. Ambil I., logY, L. 2 log Y, dan L.3 log Y. Jumlah logaritma dari nilai Y penama, kedua, dan ketiga masing-masing sub kelompok ukurannya sama dengan m (jadi, 3n = n, ukuran serial tersebut). Kemudian hitung :
=L.2 log Y- I., logY 0 2 =L.3 log Y- L,2 log Y 0
1
dan tahun pertama dalam serial sebagian tahun dasar. Kemudian 3 konstanta yang tidak diketahui dalam rumus (7.9.b) adalah:
1 log a =- - (L 1 log Y m
1og
b _ 0 1 (c- 1) - (em- 1)2
persamaan 7.1 O.a persamaan 7.10.b persamaan 7.10.c
168
Catatan: Rum us 7.10 dapat dihasilkan dengan cara sebagai berikut: Asumsi bahwa ada 15 pasang data X dan Y, seperti dalam contoh 8. Misalkan nilai trendY adalah Y0 • Y,, ... , Y 14 yangmenunjukkan bahwaX=O, 1,2 ........ 14. Bagilahnilai 15 Ykedalam 3 sub group atau 5 nilai dalam setiap group. Kemudian berdasarkan persamaan log Yc =log a+ (log b)c', kita dapat membuat persamaan untuk setiap nilai dari 15 Yc berikut ini: log Y0 =log a+ (log b) c0 log Y 1 =log a+ (log b) c 1 = ·············~····
Juml.l, subgrup I (m
= 5)
log Y 4 =log a+ (log b) c~ logY-= 5(log a)+(log b}c0 (1+c 1+c 2+c 3+c4 )
..
1
log Y5 =log a+ (log b) c5
= ................. .
~
Juml.L, 2 subgrup II
- log a + (log b) c2 logY= Slog a+(log b)c 5(l+c 1+c 2+c 3+c 4 )
....
2
(m = 5)
log Y 10= log a+ (log b) c 10
= .................. ,.
Juml.l 3 subgrup III (m=S)
log Y 1:1= log a+ (log b) cH log Y = S(log a)+(log b )c 10(1 +c 1+c 2 +c 3+c 4 .. .3
Rumus (7.10) dipakai untuk menyelesaikan persamaan (1), (2), dan (3).
Contoh 8: Dengan menggunakan data penjualan dari tahun 1974 sampai 1978, dalam tabel6.2: a. b. c.
Misalkan unit Y = Rpl.OOO,OO. Tentukan persamaan trend untuk kurva Gompertz dengan metode jumlah 3 sub kelompok logaritma. Hitung nilai trend untuk setiap tahun. Gambar nilai trend pada grafik semilog dan pada grafik aritmatik. Juga gambar kurva yang halus menunjukkan trend pada setiap grafik.
Penyelesaian: a.
Tabel (6.12) disusun untuk menghitung persamaan trend kurve Gompertz dan nilai trend. Tahun pertama ( 197 4) dipilih sebagai tahun dasar. Substitusi nilai tabel dalam rumus (7.10) adalah sebagai berikut:
169
=2,5660 =0,9525 = 3,4295
m=-1 = 15tahun 3 3 (subgrup)
c
5
=5
= 0,9525 ::::0 3712 2,5660
'
Nilai yang dihitung dengan menggunakan logaritma seperti tertera berikut ini (juga, kita dapat menghitung nilai c~ dalam tabel 6.12. dengan logaritma atau dengan metode perkalian biasa). Nilai c digunakan perhitungan lebih lanjut. Tabellog 6 desimal di sini digunakan untuk menghindari proses interpolasi dari tabellog 4 desimal. log a=
1
(log 0,3712)
=
1
( -1 + 0,569608)
= -0,06078 = 9,913922- 10
cari anti log (9,913922- 10). c = 0,8202
I og
b = 2,5660 (0,8202- 1) = -l 1669 2 (0,3712- 1)
1 log a = T (3,4295-
'
2,5660 • _ 0 3712 1
=1,5021
Persamaan kurva Gompertz adalah: = 1,5021 - 1, 1669 (0,820 P)
Tahun dasar: 1 Juli 1974 Unit X: 1 tahun UnitY: Rpl.OOO,OO b.
Nilai trend tahun 1974 (X=O) dapat dihitung dengan persamaan trend: log Yc = 1,5021- 1,1669 (0,8202°) = 1,5021 - 1,1669 (1) =0,3352 Cari anti log (0,3352) Yc = 2,16, atau dibulatkan 2,2
170
c.
Metode interpolasi tidak digunakan di sini dalam menemukan anti log dari tabel log karena Yc tidak dibitung lagi untuk perbitungan lebib lanjut dan dibulatkan menjadi satu desimal. Nilai Yc yang lain dibitung dengan cara yang sama. Perbitungan ditunjukkan dalam kolom (5) sampai (8) dari tabel 6.12. Nilai trend digambarkan pada gambar 7.9. (gambar semi log) dan pada gambar 7.10 (garis aritmatik).
Catatan: Babwa basil c biasanya lebib kecil dari 1, atau D2 1, atau 0 2>0 1, tingkat pertumbuban runtut waktu rendab dalam tahun pertama, tetapi tinggi dalam tabun berikutnya. Bentuk pertumbuban ini biasanya jarang dalam bidang bisnis dan. aktivitas ekonomi.
7.5 PEMILIHAN METODE TREND YANG TEPAT Tiga sub bab yang terdahulu menunjukkan bahwa analisis runtut waktu seperti tabel7 .12 dapatdianalisis dengan metode trend yang berbeda. Tugaskita adalah memilibmetode trend mana yang paling sesuai untuk menganalisis data runtut waktu yang tersedia. Sebelum menjawab pertanyaan ini kita barus mengakui bahwa tak ada suatu metode, yang selalu lebib baik dibanding yang lain. Meskipun, jika kita periksa alasan kita yang pertama dalam menentukan trend pada runtut waktu adalah memilib metode yang relatif terbaik atau yang paling sesuai. Pada urnurnnya ada 3 alasan yang penting untuk pemiliban metode analisis yang paling tepat.
Trend Historis Kita dapat mengetabui trend dari aktivitas tertentu selama periode tertentu. Jika kita membutuhkan jawaban yang cepat dan perkiraan kasar dari trend, metode grafik tang an bebas dengan garis lurus dapat digunakan. Untuk penggambaran grafiknya dapat diserahkan pada abli statistik yang berpengalaman. Jika tidak berpengalaman metode semi rata-rata atau metode rata-rata bergerak dapat digunakan. Jika kita menginginkan trend yang sesuai dengan data, metode kuadrat terkecil untuk trend garis lurus, atau untuk kurva parabola pangkat 2, atau kurva non linier dengan persamaan yang pangkatnya lebib tinggi, dapat digunakan. Jika pangkat persamaan trend lebib tinggi, jumlah deviasi kuadrat dari garis trend menjadi lebib kecil atau L,(Ymenjadi lebib kecil dan garis trend lebib mendekati datanya. Tetapi jika ada beberapa konstanta dalam persamaan trend sama dengan nilai Y, garis trend akan melalui setiap titik yangmenunjukkan nilai Y yang sesungguhnya pada grafik. Dalambal ini persamaan trend menjadi tak berarti jikakita tidak dapatmengeliminir bc.\\berapa bagian dari runtut waktu yang berfluktua<:>i.
YY
Jika kita akan memeriksa tingkat perubaban dari suatu jumlab yang berubah, grafik logaritma yang sebarusnya digunakan. Pertama data digambar dulu ke dalam grafik, kemudian kita pilib garis lurus atau kurva Gompertz untuk metode trendnya. 171
Membandingkan Trend Kita dapat rnembandingkan trend dari rnacam-rnacarn grup data. Jika ingin rnernbandingkan jurnlah perubahan, kita dapat rnenggunakan trend garis lurus (aritrnatik) dengan rnetode kuadrat terkecil. Perbandingan ini dibuat dengan rnelihat nilai b dari grup data yang berbeda. Kita rnenyarankan rnetode trend ini karena ketepatannya (jurnlah kuadrat deviasinya paling kecil bila dibandingkan dengan bentuk lain dari trend garis lurus), disamping itu juga sederhana lebih sederhana dalam perhitungan dibanding dengan kurva non linier). Sebagai ~ontoh persarnaan trend garis lurus dengan metode kuadrat terkecil, dalam contoh 3: Yc = 15,4 + 1,84 X Tahun dasar 1 Juli 1981 Unit X= 1 tahun unit Y = Rp 1.000,00 unit b = 1,85 dalarn satuan Rpl.OOO,OO Persamaan ini menunjukkan kenaikan jumlah dalarn setiap tahun yaitu: Rp1.850,00. Persarnaan lain dapat dihasilkan dengan rnetode yang sama untuk runtut waktu yang lain rnisalnyarnenunjukkan nilai b yang lebih tinggi; katakan kenaikannya Rp2.000,00 tiap tahun. Perbandingan dari 2 jurnlah kenaikan akan rnernperlihatkan perbedaan rata-rata Rp150,00 (Rp2.000,00 - Rp 1.850,00) per tahun. Jika kita tertarik dengan tingkat perubahan, persamaan trend logaritrna garis lurus dan metode kuadrat terkecil dapat digunakan, kesirnpulannya dapat dihasilkan dengan perbandingan nilai b dari masing-rnasing grup data. Sebagai contoh: persamaan trend logaritrna garis lurus dengan metode least square dalarn contoh 7. log Yc = 1,0915 + 0,0650 X dengan tahun dasar: 1 Juli 1981 unit X = 1 tahun unitY= Rpl.OOO,OO dan log b = 0,0650 dalam suatu b
Rp 1,16
Persarnaan ini akan menunjukkan peningkatan setiap tahun 86% (2,76 - 12). Jika persamaan lain dihasilkan dengan metode yang sarna untuk runtut waktu yang lain rnisalnya menunjukkan nilai b yang lebih tinggi, katakan b = 1,20 atau tingkat kenaikan tahunan 20 %. Perbandingan dari dua rata-rata kenaikan menunjukkan perbedaan rata-rata 4% (20%- 16%) setiap tahun. Prosedur yang sama dapat digunakan untuk rnembandingkan trend-trend dari periode yang berbeda untuk data yang sama.
172
Meramalkan Aktivitas yang Akan Datang Jika kita ingin meramal aktivitas tertentu pada masa yang akan datang, berdasarkan kuantitas informasi yang lalu, pemilihan metode trend yang tepat akan bertambah kompleks. Dalam peri ode jangka panjang digunakan trend yang dibuat berdasarkan tingkat variasi siklis yang terkecil. Trend yang demikian dalam digunakan sebagai forecast di masa yang akan datang. Setelah data yang asli digambar dalam grafik dan penggambaran data tersebut diperiksa dengan teliti, kemudian dipilih metode untuk menggambarkan trendnya. Ramalan kegiatan yang akan datang dapat dibuat dengan metode ekstrapolasi. Metode ekstrapolasi digunakan untuk menghitung nilai trend pada masa yang akan datang berdasarkan persamaan trend. Sebagai contoh, perkiraan nilai trend untuk tahun 1989 dan 1994 berdasarkan persamaan trend. Yc = 15,4+ 1,85 X dengan tahun dasar: 1 Juli 1981 atau tahun 1981 = 0, diperoleh dari data pada tabel 7.12. Dengan metode ekstrapolasi perhitungannya adalah sebagai berikut: Tahun 1989: X= 8 dari (1989- 1981) = 8
Yc = 15,4 + 1,85(8) = 30,20 atau = Rp30.200,00 Tahun 1989: X = 13 dari (1984-1971) = 13
Yc = 15,4 + 1,85(13) = 39,45 atau = Rp39.450,00 Jika ramalan ini didasarkan pada trend: log Yc = 1,0915 + 0,0650X dengan tahun dasar: 1 Juli 1981 runtut waktu 1981 = 0, diperoleh data yang sama (tabel7.12), perhitungannya adalah sebagai berikut: Tahun 1989, log Yc = 1,0915 + 0,0650 (8) = 1,16115 Yc =40,9 atau Rp40.900,00 Tahun 1994, log Yc = 1.0915 + 0,0650 (13) = 1,9265 Yc = 86,4 atau Rp. 86.400,00
Catatan: Pemilihan persamaan trend mempunyai efek yang besarpada peramalan dengan metode ekstrapolasi, khususnya jika peramalan ini mempunyai jarak waktu yang lama dengan data terakhir dalam suatu runtut waktu. Trend garis lurus (aritmatik) menunjukkan ramalan untuk tahun 1989 sebesar Rp30.200,00 dan tahun 1994 = Rp30.200,00 dantahun 1994 menunjukkan sebesar Rp39.450,00. Sedang trend garis lurus menunjukkan ramalan untuk tahun 1989 = 173
Rp40. 900,00 dan pacta tahun 1994 sebesar Rp86.400,00. J adi ramal an yanj fepat tidak dttpat dicapai jika hanya berdasar pada metode ekstrapolasi. Faktor lain yang berpengarult pada aktivitas yang akan datangjuga harus dipertimbangkan baik-baik dalam pem.malan bebebrapa aktivitas. 7.6 PERUBAHAN PERSAMAAN TREND
Dalam penggunaan persamaan trend harus diberi batasan mengenai 3 faktor: tahun dasar, unit X, dan unitY. Setiap faktor dapat diberi batasan kembali untuk menghitung nilai trend. Perubahan ini seharusnya tidak mempengaruhi nilai trend. Umuk memudahkan persamaan linier (berpangkat satu) yang digunakan dalam contoh.
· Pergeseran Tahun Dasar Sebagai ganti tahun dasar dalam pertengahan tahun dari runtut waik:tu; dtpat dip'Hittabvn dasar berdasarkan waktu yang dimaksud. Untuk menggesertahun dasar, pettarna ll'lenghitung nilai trend dari tahun yang dimaksud berdasarkan persamaan trend yang lama. Nilai trend yang dihitung ini adalah nilai a. Selanjutnya dengan menggunakan nilai a baru dan b (slope) tidak terpengaruh penggantian lahun dasar. sebagai contoh persamaan: Yc = 15,4 + 1,85X tahun dasar: 1 Juli 1981 Unit X= 1 tahun UnitY= Rpl.OOO,OO dapat diubah dengan tahun dasar 1974 sebagai berikut: pertama: nilai trend 1974 dihitung d~ri persamaan lama. Tahun 1974, X= -7 Yc = 15,4 + 1,85(-7) = 2,45 kemudian masukkan basil penaksiran 2,45 = a ke dalam persamaan baru. Persamaan baru dengan b yang sama (1 ,85) adalah: Yc = 2,45 + 1,85X tahun dasar: 1 Juli 1974 Unit X= 1 tahun UnitY= Rpl.OOO,OO Pergeseran tahun dasar dari 1981-1974 digambarkan pada gam bar 7 .11.
Mengnbah Unit X Gerakan trend jangka panjang (sekuler trend) biasanya menggunakan data tahunan. Garis trend berdasarkan data tahunan dapat diubah untuk menggambarkan basil trend kuartalan atau bulanan. Untuk mengubah ini harus dibuat lagi batasan unit X dan perubahan 174
I-
persamaan trend. Batasan unit X dalam satu tahun, kita ubah menjadi unit waktu dalam kuartal (1/2 tahun) atau satu bulan (1112 tahun). Metode perubahan persamaan trend data tahunan, menjadi data kuartalan atau bulanan diberikan dalam dua contoh yang berbeda.
Nilai Y sesungguhnya dinyatakan dalam total tahunan Pertama, ubahlah tiap-tiap nilai (a,b, dan X) pada sisi kanan persamaan trend dengan dasar tahunan unit waktu yang diinginkan. Jika diu bah dengan dasar kuartalan tiap-tiap nilai dibagi dengan 4; Jika diubah dengan dasar bulanan tiap-tiap nilai dibagi dengan 12. Kemudian masukkan basil substitusi dalam persamaan Yc = a+ bX untuk memperoleh persamaan baru. Cara mengubah persamaan trend lama menjadi persamaan trend baru adalah sebagai berikut:
15
10 ; a= 15,4
5
0 ~--~--~----~--~--~----~------~ 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 o.--------------------- (7 tahun) ----------------0
1987
(dasar lama)
(dasar baru)
Gambar 7.11
Ilustrasi Perubahan Tahun Dasar Trend Misa1kan: Yc = 15,4 + 1,85 X dengan tahun dasar: 1 Juli 1981 unit X = 1 tahun unit Y = Rp 1.000,00 1.
Mengubah unit X dari tahunan ke kuartalan. Pertama bagi1ah tiap-tiap nilai: a= 15,4; b = 1,85; dan X= 1 tahun dengan 4 atau:
175
Yc =3,85 +
1,85 X atau Yc 16
=3,85 + 0,115625 X
Tahun dasar: 1 Juli 1981 unit X= 1/ 4 tahun (kuartalan) unit Y = Rp 1.000,00 Hasil yang kita peroleh adalah dengan tahun dasar pada awal kuartal ketiga tahun 1981 (1 Juli 1981). Sehingga harus kita ubah dengan tahun dasar pada pertengahan kuartalan, yaitu pada tanggal 15 Agustus 1981. Sehingga persamaan yang diperbaiki menjadi: Yc
=3,84 + 0,115625 (1/2) + 0,115625 X atau
Yc = 3,9078115 + 0,115625 X tahun dasar: 15 Agustus 1981 unit X= kuartalan unit Y = Rp 1.000,00 Sebagai contoh, basil trend tanggal15 Mei 1982 (atau 3 kuartalan sesudah tahun dasar, 15 Agustus 1981) yang dihitung dari persamaan yang diperbaiki:
=
X 3 kuartal y c = 3,9078125 + 0,115625 (3)::: 4,2546875 atau Rp4.254,6875 2.
Mengubah unit X dari tahunan ke bulanan. Pertarna, bagilah tiap-tiap nilai a, b, dan X dengan 12 atau: yc
= 1~24 + lis; ( 1~)
Yc = 1,2833 +
\~x
atau
y c = 1,2833 + 0,01284722
tahun dasar: 1 J uli 1981 unit X: 1 bulan unit Y: Rp 1.000,00 Kita geser tahun dasar ke pertengahan bulan, atau 112 bulan dari 1 Juli atau pada 15 Juli 1981.
176
Persamaan yang diperbaiki menjadi: Yc
1,2833 + 0,01284722 (1/2) + 0,01284722 X
atau Yc 1,128975699 + 0,01284722 X tab un dasar: 15 J uli 1981 unit X: 1 bulan unitY: Rpl.OOO,OO Hasil trend tangga115 Mei 1982 (atau 10 bulan sesudah tabun dasar 15 Juli 1981) yang dibitung dari persamaan yang diperbaiki: X = 10 (bulan) Y c = 1,28975699 + 0,01284722 (10) = 1,41822916 atau = Rpl.418,29916 Hasil trend bulanan tanggal 15 Mei 1982 dapat diubab ke nilai trend kuartalan pada tanggal yang sama dengan mengalikan Yc dengan 3 atau: Rp. 1.1418,22916 X 3 = Rp. 4.254,6875 yang menunjukkan babwa basil yang diperoleb sama dengan persamaan trend kuartalan. Juga, basil trend bulanan tanggal15 Mei 1982 dapat diubah ke nilai trend tahunan tanggal yang sama dengan mengalikan Yc 12 atau: Rpl.418,22916 X 12 = Rp17.018,75 yang menunjukkan babwa basil yang sama dapat juga diperoleb dengan persamaan trend tabunan. Perbitungan ini dapat diperiksa kembali sebagai berikut: X=
10 5 • = 0 875 12 '
(15 Mei 1982 adalab 10,5 bulan sesudab l Juli 1981 sebagai tahun dasar persamaan). Y c = 15,4 + 1,85 (0,875) = 17,01875 atau Rp17.018,75 Ilustrasi untuk mengubab unit X dari satu tabun ke kuartalan dan bulanan digambarkan pada gambar 7.12.
Nilai Y Sesungguhnya Dinyatakan dalam Rata-rata Kuartalan atau Rata-Rata Bulanan Jika nilai Y dinyatakan dalam rata-rata, banya nilai X yang berubah sesuai dengan 177
petpbahan unit waktu. Jika I!lta-ratariy<\ !iata.ku~al;m, urtiiX tahunan dibagi dengan 4; jika rata-ratanya· ada}ah data bulanan, dibagi dengan 12. Sebagai contoh, jika persamaan aslinya adalah: Y c :4,36 + 12,72X tahun dasar 1 Juli 1981 unit X: 1 tahun ·unitY: Rp1.000,00 (rata-rata bulanan)
Persamaan baru dan unit waktu bulanan adalah: . X
·Yc =4,36 + 12,72 (12) = 4,36 + 1,06 X Tahun dasar: 1 Juli 1981 unit X: 1 bulan unitY: Rpl.OOO,OO (rata-rata bulanan)
Catatun: Bahwa nilai b (slope) adalah tidak dipengaruhi oleh perubahan persamaan aslinya. Slope menunjukkan angka 12,72 (dalam Rpl.OOO,OO) kenaikkan tiap tahun dalam persamaan asli. Da.P ini akan sama dengan slope sebesar 1,06 ( kenaikkan per bulan) dalam persamaan baru. Lihat diagram pada gambar 7.13. Jika tahun dasar dari persamaan baru diubah ke pertengahan bulan atau 15 Juli maka:
198~,
Yc = 4,36 + 1,06(112) + 1,06 X= 4,89 + 1,06 X Tahun dasar: 15 Juli 1981 untuk X: 1 bulan untuk Y: Rpl.OOO,OO (rata-rata bulanan)
Perubahan Unit Y Unit Y dari persamaan trend dapat diubah menjadi unit Y yang diinginkan dengan mengalikan konstanta a dan b dengan rasio dari unitY asli menjadi unitY yang diinginkan. Sebagai contoh unitY dari Rp1.000,00 dalam persamaan: Yc = 15,4 + 1,85 X tahun dasar: 1 Juli 1981 unit X: 1 tahun unitY: Rpl.OOO,OO 178
y
Penjualan (Rp 1000) 20 18
1.85 16
]4
12
- - 1,4375 (bulanan)
Dasar
Gambar7.12 llustrasi Pernbaban Unit X dari Tabunan ke Kuartalan dan Bulanan untuk Nilai Y Sesungguhnya Dinyatakan dalam Total Tahunan y (Rp 1.000)
20r-----------------------------------.20 Yc=4,36+ 12,72 17,08 18 16
14 12
10
(Rata-rata bulanan untuk Tahun 1982)
14
Yc=4.36+ 1,06 5.42 (Rata-rata bulanan untuk Bulan dan
1517
-
18 16
12 10
1518
8
8
6
6
4 --_-_-.-. 01 I 2
0
117/81 0 Dasar
4
2 3
""a= 4,36
(unit X I ulan) ln/82 (umtX: I tahun)
2 117183
Gambar7.13 Ilustrasi Perubahan Unit X dari Tabunan Menjadi Bulanan untuk Nilai Y Sesungguhnya Dinyatakan dalam Rata-rata Bulanan 179
dapat diubah menjadi unitY baru RplOO,OO dengan cara berikut: R
. _ UnitY (asli) asJO- UnitY. (yang diinginkan) =
Persamaan baru menjadi:
= 15,4(10) + 1,85(10)X = 154 + 18,5 X Tahun dasar: 1 Juli 1981 Y~
unit X: 1 tahun unitY: Rp100,00
180
Rp. 1.000,- = l O Rp. 100,-
Bab VIII Variasi Musim
Runtut waktu yang diklasifikasikan ke dalam periode-periode kurang dari satu tahun seperti kuartalan, bulanan, atau harlan, mungkin mempunyai gerakan periodik yang berulang. Gerakan tersebut disebut variasi musim. Sebagai contoh, kegiatan bisnis tertentu yang diklasifikasikan ke dalam bulanan secara terus menerus menunjukan jumlah kegiatan yang paling tinggi pada bulan J uli dan paling kecil bulan Mei pada tiap-tiap tahun selama 15 tahun. Metode penentuan adanya variasi musim dalam suatu seri dibicarakan dalam sub bab 8.1. Ukuran variasi musim disebut indeks musim (persentase). Metode untuk mencari indeks rnusim disajikan dalam sub bab 8.2 sampai sub bab 8.5. Dalam praktik, data kuartalan atau bulanan biasanya digunakan untuk pengukuran variasi musirn. Untuk penyederhanaan, data kuartalan digunakan dalam penggambaran prinsip-prinsip dasar untuk rnenghitung indeks rnusim dalam bab ini. Data bulanan hanya digunakan untuk penggambaran tarnbahan. Penerapan-penerapan dan pemakaian-pemakaian indeks musim disajikan dalam bagian akhir dari bab ini (8.6). 8.1 PENENTUAN VARIASI MUSIM
Sebuah runtut waktu dapat mempunyai atau tidak mempunyai variasi musim. Oleh sebab itu, sebelum perhitungan, indeks runtut waktu harus diuji terlebih dahulu variasinya dengan tujuan penghematan waktu. Metode yang sederhana untuk menguji variasi adalah mernbandingkan nilai individual dengan nilai rata-rata untuk tiap tahun. Ini dapat dilakukan dengan tabel atau grafik. Tabel8.1 dan gambar 8.1 menunjukkan penjualan kuartalan dari Khasandy Department Store tahun 1984 sampai 1988. Tabel dan grafikjuga rnenunjukkan perbandingan penjualan kuartalan secara individual dengan penjualan rata-rata kuartalan untuk tiap tahun. Penjualan untuk kuartal pertama ada di bawah rata-rata, penjualan untuk kuartal kedua dan keempat dekat dengan rata-rata, penjualan pada kuartal ketiga agak jauh di atas rata-rata. Hal ini dengan jelas menunjukkan adanya variasi musim dalam runtut waktu. Banyak runtut waktu dipengaruhi oleh jumlah tanggal atau jumlah hari -hari kerja dalam satuan waktu (seperti Januari mempunyai 31 hari dan Februari 28 hari). Dalam kasus seperti ini runtut waktu harus disesuaikan dengan variasi tanggal atau hari kerja sebelum diputuskan apakah ada variasi musim dalam runtut waktu tersebut. Penyesuaian boleh dilakukan dengan mengklasifikasikan serialnya ke dalarn rata-rataharian seperti dalam tabel8.2. Tabel tersebut menunjukkan produksi PT Rodenso setiap bulannya dalam tahun 1988. 181
Tabe18.1 Data Penjualan Khasandy Department Store untuk Setiap Kuartal Tabun 1984-1988
.. Total '
~~ta Y.
13 (SB'S)
(2A'S) 20(3B'S)
29(5A'S)
(4A'S) 23(1B)
85
21,25
2.6
4
5.8
4,6
17
4,25
Sumber: Data Hipotesis
Qatatan:
(A) menunjukkan di atas rata-rata kuartalan (B) menunjukkan di bawah rata-rata kuartalan Jumlah hari kerja bervariasi tiap bulan, karena adanya hari Sabtu, Minggu, hari-hari libur, dan sebagainya. Jumlah rata-rata hari keija per bulan dalam setahun adalah 21 hari, atau (Total hari kerja setahun/12 bulan)= 252/12 = 21 hari Sebagai contoh produksi rata-rata per hari dalam bulan Januari adalah: Gumlah produksilhari kerja)
=520/22 =23,64 (unit dalam ribuan)
Jika tidak ada variasi hari kerja, ada 21 hari kerja selama Januari. Maka produksi disesuaikan menjadi: 2-3,64 x 21
=
496,44 atau dibulatkan menjadi 496 (dalam ribuan unit)
Jika perhitungan ini dikombinasikan produksi yang telah disesuaikan dapat dihitung sebagai berikut: (520/22) x 21 182 ·~
=496 (dalam ribuan unit)
Penjualan (Rp 1.000) 10~----r-----~-----.-----,------,10
9
9 8
8 7 6
5
5
4
4
3
3
2
2
1 01234 1984
1234 1985
Sumber : Tabel 8.1.
1234 1986
1234 1987
1234 1988
Tahun
Gambar8.1 Data Penjualan dan Rata-rata kuartal per tahun Khasandy Department Store Tahun 1984-1988 Faktor, ~
Jumlah rata-rata kerja per bulan/Jumlah hari kerja sebenamya dalam bulan Januari = 21122 = 0,9545
disebut dengan penyesuaian untuk produksi bulan J anuari, terdapat di kolom 4 tabel8.2 untnk penyederhanaan penghitungan. Bandingkan unit yang diproduksikan sesungguhnya dengan unit-unit yang disesuaikan untuk bulan Januari dan Februari. Produksi sesungguhnya bulan Februari (480.000 unit). Produksi yang rendhh dalam bulan Februari disebabkan jumlah hari kerja yang lebih kecil (19). Apabila produksi tidak dipengaruhi oleh variasi hari kerja, produksi yang diharapkan dalam bulan Februari (532.000 unit) lebih tinggi dari bulan Januari. Data penjualan dipengaruhi oleh tanggal dan variasi hari kerja dengan tingkat yang lebih kecil dari data produksi. Meskipun dalam beberapa kasus penyesuaian untuk variasi pada data penjualan diinginkan untuk analisis musiman, penyesuaian dihilangkan di dalam contob berikut untuk penyederhanaan. Pola-pola variasi musim dapat diklasifikasikan ke dalam dua bentuk, yaitu spesifik dan tipical. Pola spesifik menunjukkan varial?i musim dalam periode khu~us seperti vari~i penjualan kuartalan tahun 1984 dalam tabel 8, 1. Pola tipical melukiskln rata; rata variasi musim dalam sejumlah periode, seperti 5 tabun ( 1984-1988) dalam tabel YaoJ~a. Apabiht
pola-pola spesifik musiman selama periode tertentu dapat dipercaya, maka nilainya akan mendekati nilai indeks untuk pola tipical. Akan tetapi, jika variasi di antara pola spesifik musim besar, nilainya kurang dapat dipercaya sebab tidak ada perubahan musim yang khas. Dalam hal demikian, lebih baik untuk menggunakan indeks musim spesifik jangka waktu tertentu dalam penganalisisan variasi musim. Tabel8.2
Produksi Bulanan PT Rodenso yang Disesuaikan dengan Variasi Hari Kerja Tahun 1988
Januari
Februari Maret April Mei Juni Juli
Agustus September Oktober Nopember Desember
Total Rata--rata (Y)
520 480 500 550 500 600
450 580 490 510 560 470
22 19 21 21 22 20 21 23 20 22 21 20
0,9545 1,1053 1,0000 1,0000 0,9545 1,0500 1,0000 0,9130 1,0500 0,9545 1,0000 1,0500
496 531 500 550 477 630 450 530 514 487 560 494
252 21
Sumber: Data Hipotesis.
8.2 METODE RATA-RATA SEDERHANA DAR/ DATA ASLI
V ariasi musim dari runtut waktu diukur sesudah efek trend, siklis, dan gerak yang tidak beraturan pada runtut waktu tersebut dihilangkan. Didasari pada ide tersebut, terdapat bermacam-macam metode menghitung indeks musim runtut waktu tertentu. Tiga metode yang biasa dipergunakan adalah: ( I) Metode rata-rata sederhana dari data asli
184
(2) Metode rata-rata sederhana yang disesuaikan dengan perubahan trend, dan (3) Metode rasio rata-rata bergerak. Metode yang pertama akan dijelaskan dalam bagian ini. Dua metode lainnya disajikan di dua bagian lain secara terpisah. ·Metode rata-rata sederhana dari data asli adalah cara yang paling sederhana untuk menghitung indeks variasi musim. Dengan metode ini, perubahan trend diasumsikan mempunyai pengaruh kecil dalam runtut waktu. Juga diasumsikan bahwa naik dan turunnya siklis dalam runtut waktu diseimbangkan, sehingga siklis mempunyai jangka waktu dan amplitudo yang sama. Jika sejumlah sikHs cukup untuk dibuat rata-rata dalam tiap satuan waktu (kuartal atau bulan), fluktuasi siklis dapat dihapuskan. Demikianjuga proses penghapusan efek-efek dari gerak yang tidak beraturan dengan mengasumsikan bahwa efek-efek di atas periode diseimbangkan dalam suatu runtut waktu. Asumsi ini tidak selalu benar. Akan tetapi indeks yang diperoleh dengan metode-metode yang sederhana ini biasanya menghasilkan penaksiran yang kasar mengenai pola variasi musim. Prosedur penghitungan indeks variasi musim untuk runtut waktu dengan metode ini sebagai berikut: 1) Carilah rata-rata untuk tiap kuartal (pertama, kedua, dan seterusnya) untuk data kuartalan atau tiap bulan (Januari, Februari, dan seterusnya) untuk data bulanan. 2) Hitunglah indeks musim dari rata-rata kuartalan atau bulanan, indeks musim biasanya dinyatakan dalam bentuk persen (%). Jumlah = 400% untuk prosedur indeks musim kuartalan dan 1.200% untuk indeks musim bulanan. Prosedur ini dijelaskan dalam contoh: Contoh 1: Dengan menggunakan penjualan kuartalan dari Khasandy Department Store untuk tahun 1984 sampai 1988 yang tercantum dalam tabel 8.1, hitunglah indeks musim dengan metode rata-rata sederhana dari data asli. Penyelesaian: 1. Carilah penjualan rata-rata untuk tiap kuartal. Rata-rata (Y.) dihitung dalam tabel8.1. Rata-rata kuartal pertama diperoleh dengan membagi total penjualan kuartal-kuartal pertama diperoleh dengan membagi total penjualan kuartal-kuartal pertama 13 : 5 =2,6 (dalam ribuan unit). Pengaruh gerak siklis dan gerak tak beraturan dihilangkan dengan proses rata-rata. Efek perubahan trend diabaikan. Rata-rata dipakai sebagai nilai-nilai dari pola musiman tipical. Nilai tipical sekarang digunakan untuk menghitung indeks dari runtut waktu. 2. Perhitungan dan indeks disajikan dalam tabel8.3. Rata-rata untuk setiap kuartal terdapat dalam kolom (2) dari tabel. Indeks dalam bentuk desimal, (kolom 4) dapat dihitung dengan salah satu dari dua cara. ,
185
Tabel8.3 Perhitungan Indeks Musiman dengan Metode Rata-rata Sederhana dari Data Asli untuk Penjualan Kuartalan Khasandy Department Store Tahun 1984-1988 Rata-rata Penjualan Kuartal ', dalam Kuartal I
I
J{asio dengan Total Kolom !2):17
lndeks dalam desimal Kolom (2):4,24
lndeks dalam )ll'J"Sl'll
( I{ p I.IHHl,OO l
lndeks di alas (+)ataudi hawah (-) IOOC'k
(I)
(2)
(J)
(4)
(5)
(6)
Pertama
2,6 4,0
0,153 0,235 0,341 0,271
0,612 0,940 1,084
61,2 94,0 136,4 108,4
-38,8 --6,0 +36,4 +8,4
1,000
4,000 1,000
400,0 100,0
0,0 0,0
Kedua Ketiga
5,8
Keempat
4,6
Total
17,0 4,25
Rata-rata
1,364
Sumber: Tabel 8.1 dan Contoh 1 Proses (Indeks)
Persen Deviasi dari rata-rata
140.---------------~--------.+40
130
+30
120
+20
110
+10 0
90
80 70
-10
'~~,,',','
-20
(c)II ~/ (c)l '(a)
-30 -40
60 Pertama
Kedua
Ketiga
Keempat
Gambar 8.2 lndeks Musim Dihitung dengan Beberapa Metoda untuk Penjualan Kuartalan Tahun 1984-1988 Sumber: (a) Contoh 1, Tabel 8.3 (b) Contoh 2, Tabel 8.4. (c) Contoh 3, Tabel 8.10 untuk I dan Tabel 8.12, untuk II.
186
Keterangan dalam gambar: (a) Dengan metoda rata-rata sederhana dari data asli (b) Dengan metoda rata-rata sederhana disesuaikan dengan perubahan trend (c) Dengan metoda rata-rata bergerak.
I. Rata-rata hitung dari Rasio. II. Rata-rata hitung dan Medium yang dimodifikasi dari Rasio. a). Pertama, hitunglah tiap rata-rata kuartalan sebagai rasio dari total. Hal ini ditunjukkan di dalam kolom 3. Contoh, rasio kuartal pertama diperoleh dari pembagian 2,6 : 17 = 0,1529 dibulatkan 0,153 dalam tabel. Jumlah dari ke 4 rasio harus satu. Berikutnya kalikan tiap rasio dengan 4 untuk mendapatkan indeks dalam bentuk desimal. Maka 0,153 x 4 = 0,612 (indeks kuartal pertama). b). Carilah rata-rata ke 4 rata-rata kuartal atau 17 : 4 == 4,25. Kemudian nyatakan rata-rata tiap kuartalan sebagai rasio dari rata-rata tiap kuartal untuk mendapatkan indeks dalam bentuk desimal. Contoh, rasio kuartal pertama diperoleh: 2,6:4,25 = 0,612. Untuk lebih memudahkan, indeks desimal diganti menjadi indeks persen (kolom 5) dengan pemindahan 2 angka desimal ke kanan dan menambahkan tanda %, seperti 0,612% atau ditulis 61,2 dalam kolom persen. Indeks musim dalam bentuk% bolehjuga ditulis di atas atau di bawah rata-rata dari 4 kuartal ( l 00% ). Hal ini ditunjukkan dalam kolom 6 tabel 8.3 dan gambar 8.2. 8.3 METODE RATA-RATA SEDERHANA YANG DISESUAIKAN DENGAN TREND
Prosedur perhitungan indeks musim dengan metode rata-rata sederhana yang disesuaikan dengan perubahan trend pada dasamya sama dengan metode yang disajikan dalam sub bab 8.2. Efek-efek sikhs dan gerak tak beraturan dihilangkan dengan proses rata-rata data untuk tiap satuan waktu (seperti dalam metode sebelumnya). Sekali lagi diasumsikan bahwa gerak siklis dan gerak tak beraturan dalam runtut waktu diseimbangkan sehingga dapat diabaikan dengan memasukkan jumlah tahun yang cukup dalam proses pengrata-rataan. Akan tetapi efek perubahan trend tidak dihilangkan dalam metode ini. Diasumsikan bahwa pengaruh yang bermacam-macam pada runtut waktu didasarkan pada metode penambahan: Y=T+S+C+I Sesudah penghilangan siklis (C) dan gerak tak beraturan (I) dengan proses pengratarataan, model dapat ditulis: Y=T+S=Y-T a a a a a
187
yang rnenunjukkan bahwa Y. adalah rata-rata sederhana dari nilai-nilai Y untuk satu kuartal (pertarna, kedua, dan seterusnya) dan T. adalah deviasi rata-rata yang naik atau turun. Hasil pengurangan (Sa= Ya - T .) adalah rata-rata yang disesuaikan dengan perubahan trend. Nilainilai s. dipakai untuk rnenghitung indeks rnusirn. Deviasi rata-rata T. dihitung dari persarnaan trend. Persamaan trend dapat dicari dengan berrnacam-rnacarn rnetode seperti yang dicanturnkan dalarn bab yang rnernbahas tentang trend. Dalarn penjelasan berikut, hanya persarnaan trend garis lurus dengan rnetode kuadrat terkecil yang digunakan. Deviasi rata-rata untuk tiap kuartal dihitung dari nilai b dalam persarnaan Yc =a +bX. Asurnsi-asurnsi yang berkaitan dengan gerak siklis dan gerak tak beraturan dalarn suatu runtut waktu tidaklah tepat benar. Lebih lanjut, rnetode ini hanya terbatas untuk perubahan trend dalarn bentuk linier. Indeks yang diperoleh dengan rnetode ini biasanya nilainya rnendekati nilai indeks yang diperoleh dengan metode yang paling tepat, apabila dibandingkan dengan rnetode rata-rata yang telah didiskusikan sebelurnnya. Metode ratarata sederhana yang disesuaikan dengan trend dijelaskan dalam contoh 2.
Contoh 2: Dengan rnenggunakan penjualan kuartalan dari Khasandy Department Store tahun 1984 sarnpai dengan 1988 yang ada dalarn tabel8.1, hitunglah indeks musim dengan rnetode ratarata sederhana yang disesuaikan dengan perubahan trend. Penyelesaian: Tabel 8.1 menunjukkan perhitungan indeks musim dengan rnetode ini. Perhitungannya adalah sebagai berikut: 1. Carilah penjualan rata-rata tiap kuartal. Rata-rata (Y) diperoleh dari tabel 8.1 dan disajikan dalarn kolom 2. Pengaruh gerak siklis dan gerak tak beraturan kernudian dihilangkan dengan proses pengrata-rataan. Kemudian rata-rata yang diperoleh dibentuk pola musim tipikal sebelum disesuaikan dengan perubahan trend. 2. Carilah variasi rata-rata untuk tiap kuartal akibat perubahan trend. Pertama menentukan persamaan garis lurus trend untuk data kuartalan dari tahun 1984 sampai 1988 dengan rnetode kuadrat terkecil seperti yang ditunjukkan dalam tabel 8.5. Persarnaan trendnya adalah:
Yc =4,25 + lX dengan tahun dasar 1 Juli 1986 X unit: 1 Tahun Y unit: Rpl.OOO,OO (untuk data kuartalan) Nilai b rnenunjukkan kenaikan tahunan sebes::rr X unit di dalarn satu tahun sehingga kenaikan per kuartal adalah 250 atau 1/4 = 0,25 dari Rpl.OOO,OO. Kenaikan rata-rata 188
3.
4.
kuartalan untuk perubahan trend (T) dapat dilihat dalam kolom 3 dari tabel 8.4. Penjualan rata-rata untuk kuartal pertama (dipakai sebagai tahun dasar) adalah 0,25. Rata-rata penjualan untuk kuartal selanjutnya terdapat kenaikan 0,25 per kuartal atau 2 (0,25) = 0,50 untuk kuartal ketiga, dan 3 (0,25) = 0, 75 untuk kuartal keempat. Kurangkan Y .. dengan T" untuk memperoleh S,. Hasil pengurangan ini dapat dilihat dari kolom (4). Nilai dalam kolom menunjukkan pola variasi musim tipikal sesudah trend, gerak siklis, dan gerak tak beraturan dihilangkan. Rata-rata variasi musim adalah 15,50/ 4 == 3,875 per kuartal (dalam ribuan rupiah). Membagi setiap penjualan rata-rata yang disesuaikan dengan 3,875. Hasilnya adalah seperti yang terlihat dalam kolom (5) yang merupakan indeks musim dalam bentuk desimal. Desimal tersebut diubah dalam bentuk persentase dalam kolom (6). Indeks dalam persentase di atas a tau di bawah rata-rata 100% dapat dilihat dalam kolom (7) dari tabel dan juga ditunjukkan dalam gambar.
Tabel8.4
Perhitungan Indeks Musim dengan Metode Rata-rata Sederhana yang Disesuaikan dengan Perubahan Trend untuk Penjualan Kuartalan Khasandy Department Store Tahun 1984-1988
0,25 0,50 0,75
Ketiga Keempat Total
Rata-rata
17,0
1,50 3.875
1,3687* 0,994
15,50 1,000
Sumber: Tabel 8.1 dan Contoh 2 Nilai I ,3687 dtsesuaikan menjadi 1.367 sehmgga nilai total kolom
4,001 * 100,0
400,0
0,0
4.000.
189
Tabel8.5 Perhitungan Persamaan Trend Garis Lurus dengan Metode Kuadrat Terkecil Didasarkan pada Rata-rata Penjualan Kuartalan di Khasandy Department Store Tahun 1984-1988
a= I,Y/n = 21.25/S = =4,25 b = 2.(XY)/2,(X2) = 10/10;;:: 1
1 0 1 2
=
1 4
Yc=4,25+ IX dengan tahun dasar 1 Juli 1982 X unit: 1 tahun Y unit: Rp 1.000,00 0
21,75
10,00
10
21,25
8.4 METODE RASIO UNTUK RATA-RATA BERGERAK {THE METHOD OF RATIOS TO MOVING AVERAGES)
Metode ini berdasarkan asumsi bahwa pengaruh keempat proses dalam sebuah runtut waktu adalah sebuah perkalian bukan penambahan. Hasilnya ditulis dalam model sebagai berikut:
Y=TxSxCxi Indeks musim dapat ditentukan dengan eliminasi T, C, dan I. Bentuknya seperti berikut:
TxSxCxi ----:T=--x--:::c=-x----=-1- == S yang menunjukkan bahwa S adalah nilai relatif. Nilai relatif S digunakan dalam menentukan indeks musim. Metode perhitungan indeks musim didasarkan pada nilai absolut dari data, seperti yang dijelaskan di bagian muka. Beberapa nilai yang besar di dalam deret (series), mungkin mempunyai efek yang tidak sebanding dengan pola variasi musim yang diperoleh 190
dengan proses pengrata-rataan. Indeks yang dihasilkan dari nilai relatif akan lebih menggambarkan pola variasi musim tipikal. Eliminasi dari T x C x I dapat dilakukan dengan berbagai metode. Metode yang paling baik dari berbagai jenis metode tersebut yang digunakan dalam statistik adalah metode rasio dari data orisinil (nilai Y) dengan rata-rata bergerak, atau metode rata-rata bergerak. Panjangnya waktu penentuan setiap rata-rata bergerak adalah setahun, yaitu 4 kuartal untuk data kuartalan dan 12 bulan untuk data bulanan. Seperti yang dijelaskan dalam bab sebelumnya, metode rata-rata bergerak mempunyai fluktuasi yang halus. Yang paling efektif jika periode dari perhitungan rata-rata bergerak adalah sama. V ariasi musim berf.luktuasi secara teratur tahun demi tahun dengan kemungkinan berbagai jenis variasi untuk setiap tahun. Oleh sebab itu, 4 kuartal atau 12 bulan rata-rata bergerak akan menghapuskan variasi musim. Telah dijelaskan di bagian muka bahwa gerak tak beraturan (irregular movements) dapat dihilangkan pengaruhnya, jika unit waktu dari data ditambah seperti perpanjangan 1 kuartal atau 1 bulan ke periode yang panjang misalnya 1 tahun. Sehingga sebagian besar tak beraturan dihilangkan rata-rata bergerak (4 kuartal atau 12 bulan). Jika lamanya perputaran tidak begitu panjang atau hanya dalam periode satu tahun, ratarata bergerak akan menghilangkan sebagian besar gerak siklis. Akan tetapi siklis bisnis biasanya adalah lebih dari satu tahun. Dalam keadaan normal rata-rata bergerak dapat ditunjukkan oleh basil kali trend dan gerak siklis. Rata-rata bergerak =T x C
TC
Penggunaan TC untuk rata-rata bergerak dapat dilihat dalam gambar 8.3. Perlu diperhatikan smoth curve dalam gambar 8.3 menunjukkan fluktuasi rata-rata bergerak yang mengarah ke atas. . Setelah rata-rata bergerak didapat, rasio dari Y (nilai asli) untuk rata-rata bergerak dalam waktu tertentu (umumnya dalam pertengahan kuartal atau bulan) dapat dicari. Dengan demikian rasio yang menunjukkan variasi musim dan gerak tak beraturan dapat dirumuskan sebagai: Rasio dari Y untuk rata-rata bergerak = TSCI
=SI
Dengan rumus itu, hasil dari gerak tak beraturan (I) tidak dapat dicari. Sebagai pengganti I (atau bagian kecil dari I) dieliminasi dengan proses pengrata-rataan dengan rasio setiap bulan atau kuartal. Rata-rata dari rasio dapat berupa rata-rata hitung, rata-rata tertimbang, atau median. Rata-rata dari rasio ini digunakan untuk memperoleh indeks.
Contoh 3: Dengan menggunakan penjualan kuartalan dari Khasandy Department Store untuk 191
tahun 1984-1988 seperti dalam tabel8.1, hitunglah indeks musim dengan metode rasio untuk rata-rata bergerak (metode rata-rata bergerak). Penyelesaian: 1. Kita cari nilai dari sikliskal trend (TC) untuk setiap kuartal dengan metode rata-rata bergerak. Rata-rata bergerak untuk 4 kuartal dapat dilihat dalam kolom (5) tabel8.6 dan digambarkan dalam gambar 8.3. Metode rata-rata bergerak untuk angka-angka ganjil, seperti 3 tahun dan 5 tahun rata-rata bergerak telah disajikan dalam bab terdahulu. Sekarang kita menyusun unit waktu (4 kuartal) dalam perhitungan rata-rata bergerak. Rata-rata dari 4 kuartal pertama penjualan di dalam deret (didasarkan penjualan pacta 1984) adalah: 10 1+2 +3 +4 - - -- - =- 4 4
2.
3.
192
= 2,5 atau Rp2.500,00
yang menunjukkan bahwa nilai trend siklis (TC) kuartalan dengan menggunakan tahun dasar 1 Juli 1984, atau tengah antara 4 kuartal pertama. Tetapi angka 2,5 dari TC tidak sama angka 2 pada penjualan kuartalan kedua dengan tahun dasar pertengahan tahun kedua, atau 15 Mei 1984. Juga berbeda dengan angka 4 pada penjualan kuartal ketiga (dengan tahun dasar 15 Agustus 1984). Oleh karena itu diperlukan suatu cara baru untuk mencari penyesuaian nilai TC untuk setiap kuartal. Suatu metode yang lazim yang digunakan dengan cara mencari jumlah dari 112 penjualan kuartal yang pertama, seluruh penjualan kuartal kedua, ketiga, keempat, dan 112 penjualan kuartal kelima untuk mencari rata-rata bergerak untuk pertengahan dari lima kuartal, atau dipusatkan pada kuartal ketiga, sehingga rata-rata bergerak akan sesuai dengan angka pada penjualan kuartal. Hal ini dapat dilihat pada tabel8.7. Penggunaan metode sederhana akan mendapatkan basil yang sama. Metode sederhana dihasilkan dari penjumlahan 1 x penjualan pertama, 2 x kedua, 2 x ketiga, 2 x keempat, dan 1 x penjualan kuartalan kelima (lihat tabel8.8 ). Perhatikan bahwa ratarata bergerak untuk kuartal ketiga tahun 1984 dengan menggunakan kedua metode di atas akan menghasilkan angka yang sama yaitu 2,625. Perubahan total untuk 4 kuartal adalah 10,5 yang untuk rata-rata bergeraknya dibagi dengan 4. Begitu juga untuk 2 kali 4 kuartal rata-rata bergerak jumlahnya sama dengan 21 dibagi dengan 8. Rata-rata bergerak dalam tabel 8.6 dihitung dengan metode sederhana (simplified method). Mencari rasio untuk penjualan kuartalan dengan rata-rata bergerak (SI). Sebagai contoh pacta penjualan kuartalan ketiga tahun 1984 rasio dihitung dengan membagi nilai Y pacta penjualan kuartal dengan rata-rata bergerak 4: 2,625 = 1,524. Rasio-rasio yang dihitung ini dapat dilihat pacta kolom 6 tabel 8.6. Menghitung indeks musim. Pertama mencari ratio rata-rata (SI). Kemudian menghitung indeks dari rata-rata. Rata-rata ini dapat berbentukrata-rata hi tung, rata-rata disesuaikan,
Tabel8.6
Perhitungan Ratio untuk Penjualan Kuartalan dengan 4 Kuartal Rata-rata Bergerak Khasandy Department Store Tahun 1984-1978
Kuartal
Tahun
(Ia)
(lb)
Penjualan Kuartalan (dalam Rpl.OOO,OOl Y=TSCI 12)
4 4 1985
I
10 ll
1
2
2 3
3 5
14
4
4
14
2 2
4
15 15
3
5
14
4
3
15
1986
1987
3
4 Kuartal , Jumlah , 4 Km1rtal Bergerak ' dari Dua Rata-rata Total Kali Bergerak Kuartal Kolt4l: llergerak 8=TC Total (4) (3) (5)
12 l3
1,524
23 25 27 28
2,875 3,125 3,375 3,500
0,640 0,889 1,429
29 30 29 29
3,625 3,750 3,625 3,625
1,103 0,553 1,103 1,379
30 32 37 42
3,750 4,000 4,625
0,800 0,750 0,865 1,333
5,875 6,375 6,625
IS
17
3 4
6
20 22
5 7
25 26
47
3
8
27
53
4
7
')
<..
16)
2,625
3
1988
Knlt2l:
Koli.Sl=SI
21
4 7
1 2
Rasin dari \ tt·rlmdatJ Rata-rata Brrgl'rak
51
5,250
1,043
1,021 0,784
1,057
Sumber: Tabel 8.1
a. b.
atau median. Perhitungan indeks berdasarkan bentuk rata-rata yang berbeda tersebut akan dibicarakan berikut: Indeks musim berdasarkan rata-rata hi tung dihitung dalam tabel 8.9 dan tabel 8.1 0. Perhitungannya juga dapat dilihat pada gambar 8.2. Indeks musim berdasarkan rata-rata disesuaikan dihitung pad a tabe18.11 dan tabel8.12. Perhitungan ini juga terlihat pada gam bar 8.2. Untuk rata-rata disesuaikan didapat tidak 193
Penjualan (Rp 1.000) 10.-----.------.------.-------,-----,
9
4
8
TC ==Rata-rata bergerak
7
6
5 4 3
2
01234 1984
1234 1985
1234 1986
1234 1987
Sumber : Tabel 8.1.
1234 1988 Tahun
Gambar 8.3 Rata-rata Bergerak 4 Kuartalan dari Penjualan Kuartalan Data Khasandy Department Store Tahun 1984-1988 Tabel8.7 Perhitungan 4 Kuartal Pertama Rata-rata Bergerak dalam Tabel 8.6 dengan Metode Biasa
1984
1985
1 2 3 4 1
1 2 4
(112) 1=1/2 2 4
3
3
2
(1/2) 2 = 1
10,5
2,625
dari rasio yang terendah maupun tertinggi. Sebagai contohjika ada 7 angka rasio dengan rasio tertinggi dan 2 rasio terendah. Rata-rata disesuaikan akan dicari pertengahan di antara 3 rasio yang tersisa. Di dalam contoh, rata-rata disesuaikan dihitung dari rasio selain rasio yang terendah atau tertinggi untuk setiap kuartal. Rasio-rasio untuk setiap kuartal mula-mula diatur dalam suatu deret 194
Tabe18.8 Perhitungan 4 Kuartal Pertama Rata-rata Bergerak dalam Tabel 8.6 dengan Metode Disederhanakan
2 4
3 2
4
1985
c.
10 11
1
21
2,625
menurut tingkatan ni1ai, seperti terlihat pada tabe1 8.11. Langkah berikut ia1ah menge1iminir rasio tertinggi dan rasio terendah. Indeks musim yang didasarkan pada rata-rata disesuaikan, perhitungannya nampak pada tabe1 8.12. Indeks musim yang didasarkan atas median dihitung pada tabe1 8.11 dan 8.12 serta terlihat pada gambar 8.2. Median yang didapat dari tabel8.11 adalah sama dengan ratarata disesuaikan. Rata-ratanya diperoleh dari rasio tengah pada tiap kolom. Dengan demikian indeks musim yang diperoleh dengan median menghasilkan nilai yang sama dengan metode yang didasarkan pada rata-rata disesuaikan. Tabel8.9 Perhitungan Rasio Rata-rata Hitung untuk 4 Kuartal Rata-rata Bergerak Ditunjukkan Dalam Persen (%) Kuartal t-
Tahun
I
--
---
--
---~
-~-----
2
1
I
------
-
3
4
152,4 142,9 137,9 133,3
104,3 110,3 80,0 102,1
-
-
566,5 141,6
396,7 99,2
I
1984 1985 1986 1987 1988
i I
I
!
-
64,0 53,3 75.0 78,4
/
I I
I I
! i
:
-
88,9 110,3 86,5 105,7
! I I
i
I
!
'
I
:
Total Rata-rata
I
1
270,7 67,7
I i
391,4 97,8
Sumber: Tabel 8.6 kolom (6)
195
Tabel 8.10 Perhitungan lndeks Musim, Didasarkan pada Rasio Rata-rata Hitung pada Khasandy Department Store Tahun 1984-1988
Kuartal (l)
Rasio Rata-rata yang Disesuaikan untuk4 Kuartal Rata-nita Bergerak (2)
lndeks Musim (%) (2) X 0,9845 (3)
67,7 97,8 141,6 99,2
66,7 96,3 139,3*) 97,7
1
2 3 4
'«'>
'Total *)
406,3
"""'"~-"'-o_o_
>o""
o~~
....
-~
400,0
Angka 139,40 dmbah menjadi 139,30 supaya JUmlahnya = 400% Faktor penyesuai = 400/406,3 = 0.9~45
Total bergerak untuk 12 bulan pertama dalam tahun 1987 dari runtut waktu tersebut adalah 36,36 yang didasarkan pada pertengahan tahun yaitu 1 Juli 1987. Total bergerak berturut-turut dapat dihitung dari total dengan cara yang pendek. Tabel8.12 Perhitungan Indeks Musim Didasarkan Rasio Rata-rata yang Disesuaikan pada Khasandy Department Store, Tahun 1984-1978
I 2
3 4 Total Rata-rata . Faktor Penyesuman
196
4 =41400 OA =97 7
69,5 97,3 140,4 103,2
67,7 94,8 136,9 100,6
410,4
400,0 100,0
Caranya adalah sebagai berikut: 36.36 (total gerak pertama) 36.41 (total gerak kedua) - 2,58 (Januari 1987) - 2,47 (Februari 1987) 2,63 (Januari 1988) 2,68 (Februari 1988) 36,41 (Total gerak kedua) 36,62 (Total gerak ketiga) dan seterusnya. Tabel8.13 Perhitungan lndeks Musim Penjualan Kuartalan pada Khasandy Department Store Tahun 1984-1988 Dengan Beberapa Metode
Sumber: Tabel 8.3, 8.4, 8.10, dan 8.12.
8.5 ANAL/SIS PERUBAHAN POLA MUSIM
Jika indeks musim tipical digunakan untuk menjelaskan variasi musim suatu runtut waktu, diasumsikan tidak ada perubahan yang timbul dalam pola musim. Namun suatu pola musim dapat berubah baik secara drastis maupun secara bertahap, karena perubahan praktikpraktik usaha, kebiasaan membeli yang dilakukan oleh para pelanggan, penemuan teknologi, dan kegiatan pemerintah. Sebagai contoh, kampanye promosi kusus dan perubahan waktu untuk memperkenalkan model-model baru di dalam industri televisi dan mobil dapat mengubah pola-pola musim dari permintaan. Jika pola musim dari suatu runtut waktu berubah secara drastis akan lebih baik menggunakan indeks musim spesifik untuk waktu tertentu dalam analisis variasi musim. Jika variasi musim berubah secara bertahap biasanya ada dua cara untuk menjelaskan variasi terse but: 197
Tabel8.14 Perhitungan Rasio Tenaga Bulanan dalam Industri Kontruksi dengan 12 Bulan Rata-rata Bergerak Tahun 1987-1988 Tahun
Bulan
(Ia)
(lh)
••• - I
.
Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober Nopember Desember 1988
198
'
Kerja 12 bulan: Jumlah Kerja Bcrgerak: Dua Kali Total 12 Bulan : (000 orangl I Y=TSCI: ' Bergerak Total
Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September! Oktober i Nopernber Desember
(2)
2,58 2,47 2,56 2,86 3,05 3,23 3,36 3,44 3,38 3,33 3,18 '2,93 2,63 2,68 2,76 2,98 3,29 3,37
12 bulan Rata-rata Bergerak Kol (4): 24=TC
rasio Y terh:1dap Rata-rata Bcrgl'rak (Srwsitlk Muslim) Kol (2): Kol (5) = SI
(3)
(4)
(5)
(6)
36,36 36,41 36,62 36,82 36,95 37,09
72,77 73,03 73,44 73,77 74,04 74,32
3,032 3,043 3,060 3,740 3,085 3,097
1,108 1,130 1,130 1,083 1,031 0,946
37,23 37,36 37,47 37,54 37,74 37,74 3,49
74,59 74,83 75,01 75,18 75,38 75,58 37,84
3,108 3,118 3,125 3,132 3,141 3,149
0,846 0,860 0,883 1,019 1,073 1,108
Total
12,~92"
3,55 3,45 3,43 3,28 3,03
(1) Menghitung kembali indeks musim tipical agar supaya mendekati indeks musim
spesifik. (2) Menghitung perubahan indeks musim yang didasarkan pacta garis trend sebagai ganti dari rata-rata tunggal dari musim spesifik untuk tiap unit waktu. Cara menghitung perubahan indeks musim diberikan pacta contoh 4 berikut.
Contoh: Dengan menggunakan data penjualan kuartalan Khasandy Department Store untuk tahun penjualan 1984-1988 dalam tabel 8.1, hitunglah perubahan indeks musim tiap tahun. Penyelesaian: ( 1). Kita susun indek musim spesifik relatif (a tau ratio rata-rata gerak 4 kwartal), untuk tiap kwartal kedalam deret individual. Langkah ini ditunjukkan dalam tabel8.15. dan gambar 8.4. Tabel 8.15. merupakan ulangan dari tabel 8.4. kecuali relatif kwartal pertama dan kwartal kedua tahun 1974 dan kwartal ketiga dan keempat tahun 1978. Pengecualian tersebut diperkirakan sebagai berikut dan disajikan dalam tabel 8.16. Tabel 8.15 Penyusunan Indeks Musim Spesifik Relatif (Rasio Rata-rata Bergerak 4 Kuartal) dengan Kuartalan dan Tahunan Kuartal ( c1c) -
Tahun
I
1984 1985 1986 1987 1988
50,0 64,0 53,3 75,0 78,4
Total Rata-rata
320,7 64,1
I
~
i
I I I
I
'
--
--
J
...
87,0 88,9 110,3 86,5 105,7
152,4 142,9 137,9 133,3 118,0
104,3 110,3 80,0 102,1 97,0
478,4 95,7
684,5 136,9
493,7 98,7
2
Sumber: Tabel8.9 dan 8.16
Pertama, memperpanjang garis rata-rata bergerak pacta gambar 8.3 dengan garis titiktitik pacta ujungnya. Perkirakan rata-rata bergerak dari garis titik-titik tersebut. Kemudian, hitunglah rasio data asli terhadap 4 kuartal rata-rata bergerak yang diperkirakan. Kedua, mencari garis trend yang bersesuaian dengan spesifik relatif untuk tiap kuartal. Beberapa metode dalam bab di muka dapat digunakan untuk menghitung nilai trend relatif. Untuk penyederhanaan, metode grafik tangan bebas yang digunakan untuk garis trend dalam gambar 8.4. 199
Tabel8.16 Perhitungan untuk Rasio Perkiraan 4 Kuartal Rata-rata Bergerak
1984
1988
:2,00 2,30 6,80 7,20
1 2 8 7
1 2 3 4
0,500 0,870 1,180 0,970
Sumber: Tabel 8.9 dan 8.16 Gambar 8.3 untuk perkiraan 4 kuartal rata-rata bergerak dalam kolom (4).
%
%
80
120
70
110
60
100
50
90
40 1984
1985
1986
1988
1987
80 1984
1986
1987
1988
Kwartal Kedua
Kwartal Pertama %
%
155
115
145
105
135
95
125 115 1984
1985
"'-
1985
1986
1987
Kwartal Ketiga
1988
85 75 1984
1985
1986
1987
1988
Kwartal Keempat
Gambar 8.4 Analisis Perubahan Pola Musim untuk Penjualan Kuartalan Tahun 1984-1988 pada Khasandy Department Store (unit: Rasio Persentase 4 Kuartal Rata-rata Bergerak) 200
Ketiga, membaca nilai trend garis trend. Nilai trend untuk tiap-tiap kuartal ditabulasikan pacta tabel 8.17 dan digunakan sebagai perubahan indeks musim untuk tahun-tahun yang berbeda tahun 1984-1988. Total indeks untuk tiap tahun adalah adalah 400%. Perhatikan,jika total untuk tiap tahun tidak tepat sama dengan 400%, garis trend dapat disesuaikan sedikit ke atas atau ke bawah agar totalnya sama dengan 400%. Tabel8.17
Perubahan lndeks Musim Penjualan Kuartal Tahun 1984-1988 pada Khasandy Department Store
1 2 3 4
49 91 154 106
65 97 138 100
73 100 130 97
81
+8
94 146 103
103 122 94
-8
Total Rata-rata
400 100
400 100
400 100
400 100
400 100
57
+3 -3 0 0
Sumber: Gambar 8.4.
8.6 PENGGUNAAN INDEKS MUSIM
Indeks musim dapat digunakan dalam tiga hal yang penting, yaitu: (1) Menunjukkan jalannya operasi yang sedang berjalan
(2) Meramal aktifitas musim yang akan datang, dan (3) Memperoleh data musim yang disesuaikan.
Menunjukkan jalannya operasi yang sedang berjalan Dengan mengetahui pola tipical atau pola perubahan musim dari aktifitas suatu usaha, manajemen seharusnya dapat merencanakan dan mengendalikan operasi usaha yang sedang berjalan dengan cara yang rasional. Sebagai contoh,jika manajemen suatu department store mengetahui bahwa pola musim tipical untuk penjualan bulan Desember adalah 20% di atas rata-rata penjualan bulanan dalam satu tahun (indeks menjadi 120%) ia dapat merencanakan lebih dahulu di masa mendatang bagi pembelian, penjualan, personalia, finansial, dan masalah lain mengenai operasi selama bulan tersebut.
Meramal aktifitas musim yang akan datang Apabila pola musim stabil selama waktu yang lalu dan stabilitas diharapkan akan berlanjut di masa mendatang. maka indeks tipical dapat digunakan di dalam meramalkan 201
aktifitas musim. Apabila ada perubahan yang mendadak dalam pola musim, indeks tipical tidak dapat digunakan dalam peramalan. Faktor-faktor lainnya yang mempengaruhi aktifitas musim harus diteliti dengan cermat. Jika pola musim diharapkan berubah secara bertahap, indeks yang paling baru seharusnya digunakan sebagai forecast dari pola musim tahun berikutnya. Penerapan indeks musim dalam meramal aktifitas yang akan datang diberikan dalam contoh 5.
Contoh 5: Khasandy Department Store membuat suatu forecast tahunan untuk penjualan dalam tahun 1989 sebesar Rp30.000,00. Dengan menggunakan perubahan indeks tahun 1988 dalam tabel8.17, hitunglahforecast atas dasar kuartalan. Penyelesaian: Perhitungan forecast disajikan dalam tabel 8.18. Penjualan rata-rata kuartalan dari forecast adalah Rp7.500,00. Estimasi penjualan kuartalan bermacam-macam sesuai dengan indeks estimasi tahun 1989. Tabel8.18 Perhitungan untuk Forecast Penjualan Kuartalan Khasandy Department Store Tahun 1989 (Forecast Penjualan Tahun Rp30.000,00)
Kuat·tal
Pcrkiraan lndcks l\lusim 1989 ( Didasarkan lndcks 1988, Tahcl8.17)
Forecast Pcnjualan Kuartalan Rp7.500,00 x Kol (2)
(I)
(2)
(3)
1 2 3
81% 103'% 122%
4
94%
6.075 7.725 9.150 7.050
Total
400%
30.000
Rata-rata
100%
7.500
Sumber: Contoh 5.
Memperoleh data musiman yang disesuaikan Apabila pengaruh variasi musim dihilangkan dari runtut waktu, disebut data musim yang disesuaikan atau data yang disesuaikan dengan variasi musim. Runtut waktu yang 202
disesuaikan dengan variasi musim menunjukkan apakah aktifitas usaha akan ada jika dipengauhi oleh trend, siklis, dan gerak tak beraturan. Secara simbolis ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Data musim yang disesuaikan =
Data asli = Index musim
TSCI S
= TCI
Jika suatu runtut waktu benar-benar dipengaruhi oleh variasi musim dengan penyesuaian rata-rata musim, pengaruh trend yang sedang berjalan dan gerak siklis atas runtut waktu dapat diukur dengan tingkat ketelitian yang tinggi. Metode pengukuran pengaruh siklis terhadap runtut waktu dengan menggunakan data yang disesuaikan dengan variasi musim akan dibahas dalam bab selanjutnya. Manfaat pengukuran trend yang sedang berjalan di dasarkan atas data musim yang disesuaikan akan diberikan dalam contoh 6. Contoh 6: Penjulan kuartal pertama I 978 pada Khasandy Department Store adalah Rp5.000,00 (tabel8.1). Gunakan penjualan kuartalan untuk mengestimasikan penjualan tahun 1988. Penyelesaian: 1. Gunakan penjualan aktual kuartal pertama sebagai penjualan rata-rata kuartalan tahun 1988 dalam estimasi. Tingkat penjualan tahunan diperkirakan Rp20.000,00 atau Rp5.000,00 x 4 kuartal = Rp20.000,00. 2. Gunakan penjualan kuartal pertama yang disesuaikan dengan variasi musim sebagai penjualan rata-rata kuartalan tahun 1988 dalam estimasi. Tingkat penjualan tahunan diperkirakan Rp27 .396,00. Estimasi dihitung sebagai berikut; Perubahan indeks kuartal pertama tahun sebelumnya 1987, yaitu 73% atau 0,73 diterapkan untuk penyesuaian musim. Penyesuaian musim: Rp5.000,00/0,73 = Rp6.849,00 (rata-rata kuartalan) Estimasitingkatpenjualantahunan=Rp6.849,00x4=Rp27.396,00yangmenunjukkan bahwa angka terse but lebih mendekati penjualan tahunan sesungguhnya dibanding estimasi yang didasarkan atas penjualan sesungguhnya pada kuartal pertama. Perhatikan bahwa penjualan sesungguhnya untuk tahun 1988 sebesar Rp27.000,00 (tabel 8.1).
203
'.
Bab IX Gerak Siklis dan Gerak yang Tak Beraturan
Dalam bah sebelumn'ya telah dibicarakan bermacam-macam metode mengenai pengukuran trend dan variasi musim. Dalam bah ini akan dibahas 2 bagian terakhir dan analisis runtut waktu yaitu geraksiklis dan gerak yang tak beraturan. Gerak siklis fluktuasinya tidak sama dan tidak mudah untuk dikontrol. Oleh karena itu studi tentang kemungkinan gerak siklis lebih menarik dibanding studi ten tang bagian runtut waktu yang lain. Gerak siklis diukur dari data tahunan atau data yang dikelompokkan dalam unit waktu yang lebih kecil dari f tahun. Pengukuran gerak siklis dibahas dalam sub bah 9.1 dan 9 .2. Gerak yang tidak beraturan umumnya diukur dengan data yang lebih kecil dari 1 tahun dan ini dibahas dalam sub bah 9.3. Penggunaan gerak siklis dan gerak yang tidak beraturan akan disajikan dalam sub bah 9.4. 9.1 MENGUKUR GERAK SIKLIS DAR/ DATA TAHUNAN
V ariasi musim menunjukkan periode fluktuasi yang berulang-ulang dari tahun ke tahun. Apabila runtut waktu dikelompokkan dalam tahun maka variasi musim akan hilang. Juga efek gerak tak beraturan umumnya dieliminasi apabila data untuk waktu dikelompokkan dalam tahunan. Model perkalian runtut waktu dari data tahunan kemudian menjadi:
Y=TxC Efek gerak siklis diukur dengan menggunakan rasio antara Y (data sesungguhnya) dan T (nilai trend), menjadi: y
C=T
Perbandingan tersebut disebut penyesuaian data dengan trend sekuler. Nilai trend (T) didapat dari bermacam-macam metode yang disajikan dalam bah 2. Sebagai contoh kita gunakan metode trend kuadrat terkecil untuk garis lurus.
Contoh 1: Kita gunakan data penjualan tahunan dari tahun 1984 sampai 1988, dari Khasandy Department Store yang ditunjukkan dalam kolom 2 tabel9.1. 204
(a). Carilah nilai trend untuk masing-masing tahun dengan metode trend kuadrat terkecil untuk garis lurus. (b). Gambarkan dalam grafik, untuk menunjukkan akibat gerak siklis dengan menggunakan data tersebut. Penyelesaian:
Y) dihitung dengan menggunakan metode seperti dalam tabel 7.5. Nilai trend ditunjukkan dalam kolom 3 tabel9.1. (2). Akibat dari gerak siklis dari data ditunjukkan dalam gambar 9.1. Gambar 9.1 meliputi 2 bagian, yaitu: (1). Nilai trend (T atau
(a). Efek yang diobservasi dari data yang sesungguhnya. Kita lihat nilai trend dalam penjualan normal untuk tiap-tiap tahun. Bentuk siklis data yang sesungguhnya berfluktuasi di sekitar penjualan normal atau trend garis. Grafik ini menunjukkan fluktuasi nilai yang mutlak. Sebagai perbandingan, nilai relatif dipakai untuk menunjukkan fluktuasi. Hal ini ditunjukkan dalam bagian b gambar 9.1. (b). Efek diukur dari data yang disesuaikan dengan trend. Data yang disesuaikan dengan trend atau ratio data yang sesungguhnya dengan nilai trend ditunjukkan dalam bentuk desimal atau bentuk persen. Sebagai contoh, perbandingan tahun pertama 1984 dihitung sebagai berikut: y C = -T- =
7 24
= 2.916 atau 2,92 = 292%
Perbandingan dalam bentuk desimal ditunjukkan dalam kolom 4 dan bentuk persentase dalam kolom 5 tabel 9 .1. Rasia persen juga terdapat dalam bagian b gambar 9.1. Pengamatan ten tang trend garis pada bagian a ~i atas dig anti nilai yang terdapat pada bagian b dengan dasar 100% untuk masing-masing tahun. Gerak siklis dapat juga diukur dengan dasar model penambahan, Y=T+C
atau
C=Y -T
yang akan menunjukkan hasil sama. Penyimpangan data yang sesungguhnya dari nilai trend dapat ditunjukkan dengan angka mutlak atau relatif. Sebagai contoh, penyimpangan dalam jumlah mutlak untuk tahun pertama ( 1984) dihitung sebagai berikut: Y = Y- T = 7-2,4 = 4,6 (dalam Rp1.000,00). Penyimpangan relatif didasarkan pada nilai trend.
~:~
= 1,92 atau 192%
205
Tabel9.1
Perhitungan Gerak Siklis (Data yang Disesuaikan) dengan Trend Penjualan dari Khasandy Department Store Tahun 1984-1988
Tahun
Penjualan Sesungguhnya Y (dalam Rp 1.000,00)
I
Trend Penjualan T atau Y c (dalam Rp 1.000,00)
Penjualan )ang Disesuaikan dengan Trend (\In I ~--------
----·
I
dalam I ,-------,---desimal persen (4) (5) --
I
(I)
(2)
(3)
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
7 6 2 4 8 16 13 14 17 20 23 19 25 28 29
2,4 4,3 6,2 8,0 9,8 11,7 13,6 15,4 17,2 19,1 21,0 22,8 24,6 26,5 28,4
Total
231
231,0
I
2,92 1,40 0,32 0,50 0,82 1,37 0,96 0,91 0,99 1,05 1,10
0,83 1,02 1,06 1,02
292 140 32 50 82 137 96 91 99 105 110 83 102 106 102
Persentase DeYiasi Trend (Trend:::: I 00 '!( l
-·
-1 I
(6)
+192% +40% -68% -50% -18% +37% -4% -9% -1% +5% +10% -17% +2% +6% +2%
Sumber: Tabel 7.2 dan Contoh 1.
sama dengan perbedaan antara data yang disesuaikan untuk trend (Yrr = 292%) dl).n nilai trend (100% atau nilai dasar). Deviasi absolut dapat dilihat pacta bagian a dan yang dalam persen dapat dilihat pacta bagian b dari gambar 9.1 dan kolom (6) tabel9.1. 9.2 PENGUKURAN GERAK SIKLIS DAR/ DATA YANG KURANG DAR/1 TAHUN
Apabila runtut waktu (time series) dikelompokkan dalam periode kurang dari 1 tahun, misall/4 bulan atau 1 minggu, maka akan dipengaruhi oleh trend (T), musim (S), s4klis (C), dan gerak yang tak beraturan (I). Jika kita asumsikan bahwa trend dan dan variasi musim dari
206
- - - - - - -
Y (000 rupiah)
30 D~
\
25
\ <1
/-
-/
20
/
15
?
'
VA
v'>' , T end gru 's lurus
/:
10 '-,, /
5
a asli
V',,
'
0 1974 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Sumber: Tabel9.1
Gam bar 9 .l.a Efek Gerak Siklis dalam Penjualan Khasandy Department Store Tahun 1974-1988 (Diobservasi dari Data Sesungguhnya)
Persentase trend
Persentase deviasi dari trend +200
300 280 160 140 120 100
80 60 40
+180
'?-, '' ''
,Jf
' ' '
' ''
' ' ' ' ' '
Data ang dis suaikru denga ~Trend
'' Trend P,'enjil{t an Non ral).--, '
, , ' ''
20
--- -- --
''
'
',-
" ---- -
+60 +40
+20 0
-20 -40 -60 -80
0 -100 1974 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Sumber: Tabel9.1
Gambar 9.1.b Efek Gerak Siklis dalam Penjualan Khasandy Department Store Tahun 1974-1988 (Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Trend) 207
tahun ke tahun dalam keadaan normal, maka kita meneliti efek gerak siklis di atas atau di bawah kegiatan normal. Sebagai dasar asumsi, gerak siklis akan diukur dengan 3 tipe data sebagai berikut: (1). Pengukuran data yang disesuaikan dengan variasi musim (TCI). Setelah efek variasi musim dihapuskan dengan data yang sesungguhnya, maka efek gerakan trend dipakai sebagai operasi normal. Gerakan trend (di atas, di tengah, atau di bawah) biasanya dapat dilihat pada grafik. Sedangkan gerakan yang tak beraturan dapat diabaikan atau diobservasi dari grafik. Beberapa data yang disesuaikan untuk variasi musim, dapat beiupa nilai mutlak atau relatif, dipakai untuk mengukur gerak siklis maupun gerakan trend. Contoh dari beberapa data yang dipakai tampak dalam gambar 9.2. Ilustrasi yang lebih rinci dari pengukuran gerak siklis dengan data yang disesuaikan dengan variasi musim disajikan dalam contoh 2 (lihat gambar 9.3.a). Trend garis dalam gambar dipakai untuk membantu di dalam mengobservasi gerak siklis di atas atau di bawah penjualan normal dalam sesuatu runtut waktu. (2). Pengukuran data yang disesuaikan dengan variasi musim dan trend (CI). Efek gerak yang tidak beraturan dapat diabaikan atau dapat diperoleh dalam grafik data yang disesuaikan. Ada 3 metode untuk memperoleh data yang disesuaikan dengan variasi musim dan trend. Ide dasarmetode ini adalah untuk mengeliminasi efek trend (T) dan musim (S) dari data yang sesungguhnya (TSCI) untuk mendapatkan gerak siklis (C) dan gerakan tak beraturan (1).
Metode A. Pertarna, cari data yang disesuaikan dengan variasi musim, atau: Cl= TCI T (Nop) (Nop)
Jam
41
40 39 38
T
p
42 ~~
m_f1\ v-v
L)'- ~ V'v
~
~
~ 1'--V
0
-
j
~
~
IV )
-
Gambar 9.2.a
Contoh Data yang Dipakai untuk Rangkaian Siklis Bisnis (yang Ditunjukkan Bahwa Siklis Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim) (Rata-rata Kerja per Minggu dari Bagian Produksi Suatu lndustri (data bulanan) 208
140%
~
130
120
v
110
100
90 80
1--
-----
v
I~
/
~ ~
---- ~ r---
~--~
(
/
~ ~
Gambar 9.2.b
Contoh Data yang Dipakai untuk Rangkaian Siklis Bisnis (yang Ditunjukkan Bahwa Siklis Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim) (Produksi Suatu lndustri (lndeks data bulanan) 120
~
110
~ ~
100
90 80 70 60
v
50 40 30
I/
~
_,)
lt:
t-'"
~
J I' )_
Li_
t-'"
~ _/ lL ~
~
~ ~
~
II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I I 1972 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85
Gambar 9.2.c
Contoh Data yang Dipakai untuk Rangkaian Siklis Bisnis (yang Ditunjukkan Bahwa Siklis Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim) (Pengeluaran Usaha untuk Peralatan Baru, Data Kuartalan pada Tingkat Tahunan dalam Satuan Rp/.000,00) P adalah puncak siklis yang menunjukkan akhir ekspansi dan mulainya resesi.(ditunjukkan dalam daerah arsiran. T adalah lembah siklis yang menunjukkan akhir resesi dan mulainya ekspansi.
209
10.---~----~----~----~-----,
8
01234 1984
1234 1985
1234 1986
1234 1987
1234 0 1988
Gambar 9.3.a
Efek Gerak Siklis dan Gerak Tak Beraturan pada Penjuahin.Kuartalan dari Khasandy Department Store, Tahun 1984 - 1988 Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim (TCI) dan Nilai Trend (T) 10.---~----~----~----~----~
TS
01234 1984
1234 1985
1234 1986
1234 1987
1234 0 1988
Gambar 9.3.b Efek Gerak Siklis dan Gerak Tak Beraturan pada Penjualan Kuartalan dari Khasandy Department Store, Tahun 1984 - 1988 Diukur dari Data yang Sesungguhnya (TSCI) dengan Nilai Trend Musin (TS) 120% ..-----.....------.------.------.----~ 110 TS - 100 1--':........-+--"""'~,.......,._.-+----h-'-+----~
90 80 70 601234 1984
1234 1985
1234 1986
1234 1987
1234 60 1988
Gambar 9.3.c Efek Gerak Siklis dan Gerak Tak Beraturan pada Penjualan Kuartalan dari Khasandy Department Store, Tahun 1984 - 1988 Diukur dari Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim dan Trend (Cl) dengan Nilai Trend Musiman =100% Sumber gambar 9.3.a sampai dengan gambar 9.3.c adalah tabel 9.2 dan 9.3. 210
Metode B.
Pert~a, cari nilai trend musiman atau T x S Kemudian, cari data yang disesuaikan dengan vaiasi musim dan trend atau: CI = TSCI TS Metode ini jelas dan sederhana untuk mengukur efek gerak siklis. Sederhana karena hanya meliputi satu perkalian dan satu penyimpangan. Jelas karena didasarkan pada rasio (TSCI)ffS) atau TS yang menunjukkan operasi normal. Juga menunjukkan mengapa efek gerak siklis didasarkan pada penjualan normal ( 1 atau 100% ). Metode ini ditunjukkan dalam contoh 2 (Tabel 9.2 kolom 7 dan 8).
Metode C. Pertama, cari data yang disesuaikan dengan trend atau SCI= TSCI T Kemudian, cari data yang disesuaikan dengan trend dan variasi musim, atau CI=-s_c_I_
s
Indeks musim dapat diperoleh dari rasio rata-rata data yang sesungguhnya dengan nilai trend (atau SCI), termasuk rata-rata bergerak (SI). Hal ini digunakan jika efek siklis dan gerak yang tak beraturan diabaikan dalam perhitungan indeks. Metode ini tidak diberikan contohnya dalam contoh 2, karena hanya sedikit berbeda dengan 2 metode sebelumnya (Metode A dan B). Jawaban yang diperoleh dari 3 metode di atas adalah sama, mungkin perbedaannya hanya pada pembulatan angka desimalnya. (3). Diukur dengan data setelah trend, variasi musim, dan gerak yang tidak beraturan dielirninasi. Metode ini hanya teoritis saja. Bagaimanapun tidak ada cara yang sempuma dalam menghapus efek gerak yang tak beraturan. Metode mengelirninasi efek gerak yang tak . beraturan dari data yang disesuaikan dengan variasi musim dan trend dipakai dalam contoh 2 (lihat kolom 5 tabel9.3).
Contoh 2: Dengan menggunakan penjualan kuartalan dari tahun 1984-1988 di Khasandy Department Store dalam kolom 2 tabel 9 .2. Carilah efek gerak siklis dengan menggunakan: 211
(a). data yang disesuaikan dengan variasi musim (b). data yang disesuaikan dengan variasi musim dan trend (c). data setelah trend, variasi musim, dan gerak yang tak beraturan dieliminasi.
Penyelesaian: (a) Dengan data yang disesuaikan dengan variasi musim. Rangkaian ini sama dengan rangkaian yang disajikan dalam tabel8.1. Perubahan indeks musim, ditunjukkan dalam kolom 3 tabel9 .2. Rangkaian ini digunakan untuk menghitung data yang disesuaikan dengan variasi musim. Sebagai contoh, nilai yang disesuaikan dari kuartal pertama tahun 1984 dihitung sebagai berikut: TSCI 1 1 TSCI = - - = - - = - - = 2,041 (dalam Rp1.000,00) s 49% 0,49 Data yang disesuaikan dengan variasi musim pada kuartal-kuartal yang lain dihitung dengan cara yang sama dan ditunjukkan dalam kolom 5 tabel 9.2 dan pada bagian a gambar 9.3. Nilai trend dari data yang sesungguhnya ditunjukkan dalam kolom 4 (lihat catatan di bawah) dan pada gambar. Dengan mengobservasi garis terputus-putus (mewakili data yang disesuaikan dengan variasi musim) dan garis trend yang tebal (menggambarkan penjualan normal), maka kita dapat melihat dengan jelas efek siklis dan gerak yang tak beraturan. (b). Dengan data yang disesuaikan dengan variasi musim dan gerak yang tak beraturan. Data yang disesuaikan dihitung dengan 2 metode berikut ini:
MetodeA: Contoh, nilai yang disesuaikan dari kuartal pertama tahun 1984 adalah dihitung sebagai berikut: TSCI 1 1 TCI = - - = - - = - - = 2,041 (dalam 1.000 Rp.) s 49% 0,49 TCI 2,041 CI = - - = - - = 1,08853 dibulatkan 1,09 = 109% 1,875 T Perhitungan data CI ditunjukkan dalam kolom 6 tabel 9.2 dan pada gambar 9.3.c.
212
Tabel9.2 Perhitungan Gerak Siklis (C) dan Gerak Tak Beraturan (I) dengan Data yang Disesuaikan dengan Variasi Musim dan Trend Penjualan Kuartalan pada Khasandy Department Store Tahun 1984-1988 (unit: Rp1.000,00)
Talnm dan Kuartal
I
'
Data ScPcruhahan sungguh- ' lndcks i\lusim( cit) nya Y=TSCI s (Rupiah)
I
!\jilai Trend T !Rupiah)
-,
-
I
Pcn~l'-
suaian dcngan "usim TCI = TSCI/S
I
ill
\ll'lock II
"l'lock .\ --
Pl•nycsuaian dcngan \lusim dan Tn•nd Cl= TCIIT
-
-
-
'\ilai
~uaian
"usim
dt:ngan Trl'nd dan
T'\S
\ltl\illl I'< I
l'l=
!Rupiah)
( '!( )
(50
(6)
(7)
2,041 2,198 2,597 2,830
109 103 109 108
0,91875 1,93375 3,657$0 2,78250
3,509 3,191 3,425 3,883
122 102 107
1,63875 2,93750 4,92750 3,73375
101 107
3,077 4,124 3,623 3,000
79 100 83 65
2,51875 4,00125 6,03750 4,62500
79 100 83 65
84 78
TS< '1/TS
(3)
pertama kedua ketiga keempat
1 2 4 3
49 91 154 106
1985, pertama kedua ketiga keempat
2 3 5 4
57 94 146 103
1986, pertama kedua ketiga keempat
2 4 5 3
65 97 138 100
1987, pertama kedua ketiga keempat
3 4 7 6
73 100 130 97
4,875 5,125 5,375 5,625
4,110 4,000 5,385 6,186
84 78 100 110
3,55875 5,12500 6,98750 5,45625
1988, pertama kedua ketiga keempat
5 7 8 7
81 103 122 94
5,875 6,125 6,375 6,625
6,173 6,796 6,557 7,447
105 111 103 112
4,75875 6,30875 7,77750 6,22750
. :
l'l'lll l'-
Tn·nd
12)
(-I)
-
tSI
~
2,875 3,125 3.375 3,625
101
109 103
109 108
122 102
100
liO 105
111 103
112
Sumber: Kolom (2) tabe18.1, kolom (3) tabel8.17, dan kolom (4) tabel8.5.
213
Metode B: Contoh, nilai yang disesuaikan dari kuartal pertama tahun 1984 dihitung sebagai berikut: T x S = 1,875 x 49% = 0,91875 (dalam Rpl.OOO,OO) CI =
T~~I
=
0,9 ~ 875 = 1,08844 dibulatkan 1,09 = 109%
Perhitungan nilai TS ditunjukkan dalam kolom 7 tabet 9.2 dan dalam gambar 9.3.b dengan data yang sesungguhnya. Perkalian gerak siklis didasarkan pada data yang sesungguhnya dan pada penjualan normal, sekarang menjadi garis lurus. Nilai relatif pada bagian c lebih baik dibandingkan nilai absolut yang ditunjukkan pada bagian b dalam mengukur fluktuasi. (c). Dengan data setelah trend, variasi musim, dan gerak tak beraturan dieliminasi. Data yang disesuaikan dihitung dengan metode rata-ratakuartalan bergerak. Perhitungan data(C ataurata-rata3 kuartalan bergerak) ditunjukkandalamkolom4 tabel9.3 dan pada gambar 9.3.c. Kurva C yang dihaluskan menggambarkan siklis bisnis setehih efek gerak yang tak beraturan dieliminasikan dari data yang disesuaikan dengan variasi musim data trend.
Catatan: Nilai trend dalam kolom 4 tabel 9.4 dan gambar 9.3.a, diperoleh dengan persamaan trend: Yc =4,25 +IX dengan tahun dasar: 1 Juli 1986 Unit X = 1 tahun UnitY= Rpl.OOO,OO (lihat tabel 8.5). Cara terbaik untuk menghitung nilai trend adalah dengan persamaan. Kita dapat mengubah unit X dalam persamaan dari 1 tahun ke kuartalan dengan mengubah dasar pertengahan kuaital, Juli-September 1986. Apabila unit X diubah dari 1 tahun menjadi seperempat tahun (kuartal), dengan dasar yang sama dan Y unit, maka persamaannya menjadi: (lihat juga sub bab 7 .6). Yc = 4,25 + 114 (X)= 4,25 + 0,25 X Apabila dasarnya diubah ke pertengahan kuartal, maka persamaannya menjadi: Yc = 4,25 + 0,25 (112) + 0,25 X = 4,375 + 0,25 X 214
Tabel9.3 Perhitungan Gerak Siklis (C) dan Gerak Tak Beraturan (I) Tahun dan Kuartal
. :
3 Kuartal
( ;er.tk ., ak
Bergt•t·ak Total
lkrgerak Rata-ntta ( (')
Bl•ratur
(2)
n)
(-')
(5)
109 103 109 108
321 320 339
107 107 113
102 96
122 102 101 107
332 325 310 287
111 108 103 96
79 100
286 262
115
83 65
248
95 87 83
232
77
84
227 262 288 316
76 87 96 105
111
326 319 326
106
lOS.
109
94
~
pertama kedua ketiga, keempat ~
•
3 Kuartal
Penjualan Disesuaikan dengan Yariasi dan Tn·nd (('I)
96
1985, pertama kedua ketiga keempat
.,,
110 94
.<98
111
1986, pertama kedua ketiga keempat
83 100
1987, pertama kedua ketiga keempat
84 78 100
HO
~
90
104 105
1988, pertama kedua ketiga keempat
105 111 103 112
109
96
Sumber: Tabel 8.2.
215
dengan tahun dasar: 15 Agustus 1986 (pertengahan kuartal ketiga tahun 1986) X unit= 1 kuartal Y unit = Rp 1.000,00 Nilai trend kuartal pertarna dari tahun pertarna dalarn rangkaian (15 Pebruari 1984) adalah Rpl,875 (dalarn Rpl.OOO,OO) atau: X=- 10 kuartal, dari 15 Februari 1984-15 Agustus 1976). Bulan 8 .(-) 2 6 bulan+
Hari 15 15 0 hari +
Tahun 1986 1984 2 tahun = 10 kuartal
Y c = 4,375 + 0,25(-10) = 4,375-2,500 = 1,875 (dalarn Rpl.OOO,OO). Dengan rnenarnbahkan 0,25 secara berturut-turut ke 1,87 5, kita dapat rnernperoleh nilai trend untuk kuartal kedua setelah kuartal pertarna tahun 1984, seperti berikut: Kuartal pertarna: Kuartal kedua: Kuartal ketiga:
1984 = 1,875 1984 = + 0.25 2,125 1984 =+ 0.25 2,375 dan seterusnya.
9.3 MENGUKUR GERAK TAK BERATURAN DAR/ DATA YANG KURANG DARI1 TAHUN
Untuk rnernisahkan akibat gerakan tak beraturan dari suatu runtut waktu, kita harus rnengelirninasi efek gerak siklis (C) dari perhitungan nilai gerak tak beraturan (CI) suatu runtut waktu. Nilai CI dihitung setelah nilai T danS ditentukan. Penentuan T danS lebih bebas. Ada beberapa rnetode yang berbeda yang dapat digunakan untuk rnenghitung nilai T danS. Seperti bermacarn-rnacarn rnetode untuk rnernperoleh trend garis lurus (straight line trend) dan kurva non linear. Juga bermacarn metode untuk mernperoleh tipe indeks rnusim dan rnengubah indeks rnusirn. Nilai CI dipengaruhi oleh pernilihan rnetode penghitungan nilai T danS. Panjang suatu periode dalarn runtut waktu akan rnengubah gerakan T danS. Lagi pula, gerakan tak beraturan biasanya disebabkan oleh kekuatan random dan tak terkontrol. Sehingga tidak ada metode yang sernpurna untuk rnernisahkan efek gerakan tak beraturan dari nilai CI. Pernisahan gerak siklis dalarn contoh 2, diperoleh dengan rnetode rata-rata 3 kuartalan bergerak. Periode pendek, panjangnya 3 kuartal atau kurang dari 1 tahun. Untuk data bulanan, 3 bulan, atau 5 bulan rata-rata bergerak sering digubahkan untuk rnernisahkan gerak siklis. Metode pernisahan gerak sikHs dengan rnetode rata-rata bergerak rnerupakan salah satu rnetode yang tidak sernpurna. Akan tetapi rnetode ini adalah rnetode yang logis dan dipergunakan secara luas dalarn statistik. 216
':~
,,, '
Pada nilai CI, jika nilai C dipisahkan atau ditentukan, nilai I dapat dipisahkan atau dihitung sebagai berikut: I=_Q_
c
Contoh: Efek gerakan tak beraturan untuk kuartal kedua tahun 1984 adalah:
I=~=
c
103 % =0,96=96% 107%
Nilai I ditunjukkan dalam kolom 5 tabel9.3. Kita sekarang dapat menarik kesimpulan dari analisis runtut waktu yang menggunakan dasar 4 komponen terpisah dengan model perkalian. Dengan asumsi metode perkalian, dapat diketahui bahwa pengaruh kekuatan 4 komponen adalah berhubungan. Contoh diperoleh dari tabel9.2 dan 9.3 adalah sebagai berikut: ( 1). Nilai trend dan variasi musim yang tidak menguntungkan, memberikan penjualan normal Rp1.934,00 atau TS = Rp2.125,00 x 91% = Rp1.934,00 (2). Perubahan yang tiba-tiba dari gerakan siklis menaikkan penjualan ke Rp2.069,00 atau TSC = Rp1.934,00 x 107% = Rp2.069,00 (3). Gerak tak beraturan yang tidak menguntungkan, seperti kondisi buruk dalam suatu kuartal, menurunkan penjualan akhir ke Rp 1.986,00 atau TSCI = Rp2.069,00 x 96% = Rpl.986,00 Perbedaan antara perhitungan akhir Rp 1.986,00 dan penjualan sesungguhnya Rp2.000,00 disebabkan karena adanya pembulatan dalam proses pengrata-rataan. Atau dapat diringkas:
y = T X s X c X I= Rp2.125,00 X 91% X 107% X 96% = Rp1.986,00 Komponen relatif yang terpisah, S, C, dan I dapat juga ditunjukkan dengan nilai absolut atau dalam rupiah: (1). Nilai trend memberikan penjualan normal dalam tiap kuartal Rp2.125,00 (2). Adanya variasi musim yang tidak menguntungkan memperkecil penjualan dengan 9% ( 100%-91%) atau Rp 191,00 (Rp2.125,00 x 9% ). Penjualan normal menjadi Rp2.125,00 - Rpl91,00 = Rp1.934,00 (3). Perubahan yang tiba-tiba dari gerakan siklis menaikkan penjualan normal dengan 7% (107%-IOU%) atau Rp135,00 (Rp1.934,00 x 7%). Penjualan Rp1.934,00 Rp135,00 = Rp2.069,00 (4 ). Gerak tak beraturan yang tak menguntungkan menurunkan penjualan (setelah pengaruh trend, musim, dan gerakan siklis) dengan 4% (100%-96%) atau Rp83,00 (Rp2.069,00
+
217
x 4%). Penjualan akhir adalah Rp2.069,00- Rpl.986,00. Jumlah penjualan total dapat ditulis dalam model penambahan, atau: Y =T+S+C+I = Rp2.125,00 + (Rp191,00) + Rpl35,00 + (Rp83,00) = Rpl.986,00 Dengan asumsi model penambahan, dapat ditunjukkan bahwa pengaruh kekuatan keempat komponen. masing-masing independen terhadap yang lain. Pada umumnya para ekonom lebih menyukai asumsi model perkalian dalam menganalisis runtut waktu karena lebih logis. 9.4 PENGGUNAAN GERAK S/KL/S DAN GERAK TAK BERATURAN
.
Komponen gerak siklis dan gerak tak beraturan (CI) biasanya digunakan untuk mengukur gerak>siklis runtut waktu. Komponen gerak siklis yang disempumakan (C) yang diperoleh dengan metode penjumlahan waktu (time consuming method) dari rata-rata bergerak sering tidak digunakan dalam praktik. Pengukuran siklis dan gerak tak beraturan dapaf digunakan dalam 3 hal yang penting, yaitu:
Guiding Current Operation Kondisi bisnis pada umumnya di antara kemakmuran atau depresiasi. Kondisi industri swasta atau pemerintah secara keseluruhan mempunyai efek langsung terhadap 1y§'ihil individu. Gerak siklis yang menggambarkan kegiatan bisnis digunakan s~cara ekstensi{~~h industri-industri maupun pemerintah sebagai petunjuk kondisi bisnis secara :tfwuin. Pengetahuan dari siklis sangat penting untuk seorang manajer. Apabila kondisi utnum industri atau seluruh ekonomi mecapai puncak perluasan atau awal resesi, m;:tnflj~~ ~-~s membatasi perluasan usahan~a: Jika i~ t~tap dalam kegiatannya untuk ~~~~~j~;g~Wt~' menambah peralatan atau fasthtas fasthtas baru, atau memperluas keguitari~uscffia lam, akan mengalami kerugian akibat adanya depresi. Di samping itu, apablla keadaan mendekati berakhimya resesi atau mulainya ekspansi, manajer harus siap dalam melebarkan usaha untuk memperoleh keuntungan yang maksimum.
Controlling Business Cycles Dalam periode depresi, seperti selama peri ode depresi yang gawat dalam tahun 1930-an, membuktikan adanya kerugian materiil dan kerugian dalam bentuk lain. ~anyak badan menggunakan berbagai kebijaksanaan untuk mengontrol siklis bisnis. Contoh, periode resesi tahun 1970 dan 197 5, pemerintah menyelenggarakan kebijaksanaan moneter lunak. Total kredit bank diperluas secara cepat untuk menaikkan kegiatan ekonomi. Pada kegiatan ekonomi tinggi, seperti tahun 1959, 1969, dan 1973, ~emerintah membatasi cadangan bank. Kredit bank akan naik lebih lambat dan akan mengerem perkembangan selanjutnya. 218
'',
Forecasting Business Cycles ,Efek gerak siklis suatu runtut waktu sangat penting untuk perencanaan kemudian hari ba~~rus~aan, industri, dan pemerintah. Untuk membuat forecast yang lengkap dan baik, :harus'dipertimbangkan gerak siklis pada waktu lalu. Akan tetapi apabila didasarkan analisis catatan lalu dari runtut waktu, dapat diketahui gerak siklis suatu bisnis tidak sama. ifidak ada metode yang sempuma, apakah kuantitatif atau non kuantitatif, yang dapat digunakan untuk meramalkan secara komplit dan secara teliti gerak siklis yang tidak sama. ~kalipun demikian, ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk meramalkan perkiraan h~oungan dari gerak siklis pada masa yang akan datang. J!ua .meted~ berikut ini, adalah di antara beberapa metode yang digunakan untuk meramaikal'llmbungan dari gerak siklis pada masa yang akan datang. Lead - ()oincident - Lag Series
Slklis darilberbagai usaha dan rangkaian ekonomi dapat diperbandingkan dengan siklis dari total kegiatan e1conomi. IJntuk itu suatu runtut waktu dibedakan menjadi 3 tipe, yaitu "'· sebagai berikut: (a). Leading indimtor (indikator utama). Rangkaian ini bias~nya'mencapai puncak atau terendah diukur sebelum total kegiatan ekonomi. Cont@il indikator utama adalah rata-rata kerja mingguan dari karyawan produksi, perusahaan (gambar 9.2.a), pesanan baru,industri, dan seterusnya. (b). Roughly coincident indicators Rangkaian ini diukur langsung dari total kegiatan ekonomi. Contoh, produksi industri (gambar9.2.b ), tenagakerjadi luarpertanian, GNP, pendapatan individual, penjualan eceran, dan sebagainya. (c). Lagging indicator Rangkaian ini biasa!J.ya mencapai titik balik diukur setelah total kegiatan ekonomi. Contoh perluasan usaha, peralatan barn (gambar 9.2.c), biaya tenaga kerja per unit dari . output, nilai buku persediaan, piutang penjualan cicilan, tingkat bunga bank dalam hutang jangka }l>endek, dan sebagainya. Lagging indicator dapat digunakan dalam perkiraan titik balik dari kenaikan dan penurunan siklis total kegiatan ekonomi.
I!Jiflus"ion f.Nie!Xes · .Di}rusif9n,_i~dex seringkali digunakan sebagai pelengkap dalam memperkirakan titik balik dan siklis total kegiatan ekonomi. Diffusion index adalah persentase kenaikan usah atau keq;iatan (6isebut komponen) suatu group di atas waktu yang tersedia. Sebagai contoh, diffusion 'index dari rata-rata kerja mingguan suatu kelompok pabrik dihitung dari 21 komponen, termasuk peralatan dan supplies listrik, Pt1ralatan transportasi, mencetak mempvblikasikan, dan sebagainya. Perubahanjam rata-rata per minggu kerja dari Pebruari ke Maret 1985, adalah sebagai berikut (data hipotesis).
219
Ada 4 kenaikan komponen, pada Pebruari dari 39,9 jam menjadi 40,3 jam pada Maret. Ada 15 penurunan komponen, dari 40,5 jam pada Pebruari menjadi 40,4 jam pada Maret. Ada 2 komponen tak berubah, yaitu 39,0 jam Pebruari tetap 39,0 jam pada Maret. Ada 2 komponen tak berubah, yaitu 39,0 jam pada Pebruari tetap 39,0 jam pada Maret. Persentase kenaikan komponen, atau diffusion index, Maret 1985 adalah (Pebruari Maret, indeks bulan pertama terletak dalam bulan terak.hir): 23,8% atau 5 (4 kenaikan komponen dan 2 komponen tak berubah) 21 (21 komponen kegiatan)
= 0,238 atau 23,8% Nilai 0,5 menunjuk.kan masing-masing komponen yang tidak berubah. Total nilai kenaikan komponen adalah 4 + (0,5) 2 5. Diffusion index yang dipilih dari kegiatan yang sama pada gambar 9.2. ditunjuk.kan pada gambar 9.4. Diffusion index berkisar dari 0 (0% jika semua komponen turun) sampai 1 (atau 100%) jika komponen naik).
=
Penyebaran kenaikan indeks sering tergantung kecepatan pertumbuhan dalam total kecepatan ekonomi, demikian juga pada penurunan juga tergantung dari total kegiatan ekonomi. A. Rata-rata'minggu kerja dari karyawan produksi suatu perusahaan -21 kegiatan (leading indicator). p
T
Gambar 9.4.a Seleksi Diffusion Index, 1972-1985 *)
B. Produksi industri -24 industri (roughly coincident indicator).
Gambar 9.4.b Seleksi Diffusion Index, 1972-1985 *) 220
C. Pengeluaran bisnis untuk peralatan baru semua industri (lagging indicator).
75~~~~~~~--+-~~~d-~~~~~~
50~H--+--~~~r4~~1P~~~~~~-4--4 zsr-,_-+--+-~_,~+--+--~N--+--~~-4--4 oL-~~--~-L~--~~--~~~--L--L~~
Gambar 9.4.c SeleksiDiffusion Index, 1972-1985 *)
*)
Data hipotetis.
221
Bab XRegresi dan Korelasi Linear Ana/isis Secara Umum
Analisis regresi dan korelasi mengenai dua variabel yang didasarkan pada garis lurus akan dibicarakan dalam dua bagian, yaitu bagian pertama analisis secara umum dan bagian kedua analisis dengan sampel. Pada bab ini dibicarakan analisis secara umum yang menggambarkan hubungan antara dua variabel tertentu. Dalam analisis sampling, data tertentu digunakan sebagai sampel untuk mengestimasi parameter populasi dan testing hipotesis. Tehnik sampling akan diberikan pada bab 11. Dua variabel sering ber-relasi atau ber-asosiasi dalam beberapa cara atau tingkatan. Contoh relasi dua variabel misalnya antcra berat dan tinggi para pegawai, jumlah penerimaan dan besarnya uang yang dibelanjakan untuk rekreasi, dan sebagainya. Beberapa istilah baru yang biasanya digunakan dalam analisis relasi diterangkan pada sub bab 10.1. Metoda untuk memperoleh persamaan garis lurus dan ukuran dispersi di sekitar garis lurus disajikan pada sub bab 10.2. dan sub bab 10.3. Tingkat keeratan hubungan berdasarkan garis lurus disajikan pada sub bab 10.4. Dan metoda untuk data yang dikelompokkan disajikan pada sub bab 10.5. 10.1 STILAH DALAM ANAL/SIS HUBUNGAN DIAGRAM PENCARAN (SCATTER DIAGRAM)
Jika dua variabel berhubungan, disebut data bivariat. Apabila data bivariat disusun dalam grafik dengan bentuk titik-titik dan angka -angka, grafik tersebut disebut diagram pencaran, seperti ditunjukkan dalam gambar 10.1. Tiap titik dalam gambar menunjukkan sepasang nilai, satu didasarkan pada skala X dan yang lain didasarkan pada skala Y. Diagram semacam ini biasanya dibuat sebagai•laN~~ah pertama dari penyelidikan hubungan antara dua variabel, sebab dengan diagram ini dapat diperkirakan tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Sebagai contoh, diagram A dan B dalam gambar 10.1 menunjukkan garis lurus dan indikasi bahwa dua variabel berhubungan. Diagram C menunjukkan hubungan berupa garis lengkung. Diagram A dan B menunjukkan tingkat keeratan hubungan yang tinggi. Diagram C menunjukkan hubungan yang berbentuk garis lengkung, sedang diagram D menunjukkan 222
tidak ada hubungan karena tidak ada garis lurus ataupun lengkung untuk menjelaskan antara dua variabel. Diagram pencaran juga menunjukkan apakah hubungan antara dua variabel positip atau negatip. Jika dalarn pasangan an tara besarnya nilai Y dan nilai X searah (apabila X bertambah besar maka akan diikuti Y yang bertambah besar pula) seperti ditunjukkan diagram A maka hubungan antara variabel X dan variabel Y disebut positip. Sebaliknyajika tendensi variabel X bertambah besar sedang variabel Y bertambah kecil seperti ditunjukkan diagram B, maka hubungan antara variabel X dan variabel Y dikatakan negatip.
Y (Nilai dependent)
Y (Nilai dependent) B = Hubungan Liner Negatif
A= Hubungan Liner Positif X (Nilai independent) y
X
y B = Tak ada Hubungan
.• •••-~··.·• • • ••
X
X
Gambar 10.1
Contoh Diagram Pencaran Unit Data Bivariat
Analisis Regresi Analisis regresi dapat digunakan untuk dua hal pokok yaitu untuk memperoleh suatu persamaan dan garis yang menunjukkan persarnaan hubungan antara dua variabel. Persamaan dan garis yang didapat disebut dengan persamaan regresi, yang berbentuk linear maupun non linear. Di samping itu dapat juga digunakan untuk menaksir satu variabel, yang disebut dependent variabel, yang dalam bab ini adalah variabel Y, dengan variabellain yang disebut independentvariabel atau variabel X, berdasarkan hubungan yang ditunjukkan oleh persamaan regresi. 223
Analisis Korelasi Analisis korelasi merupakan alat yang dipakai untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel. Perhitungan dari derajad keeratan didasarkan pada persamaan regresi. Akan tetapi analisis korelasi dapat dilakukan tanpa adanya persamaan regresi. Suatu catatan, bahwa tingginya tingkat korelasi tidak menunjukkan hubungan sebab akibat an tara variabel. Mungkin diperoleh korelasi yang tinggi antara dua variabel tetapi tidak menunjukkan hubungan antara dua variabel tersebut. Sebagai contoh naiknya produksi telur dihubungkan dengan naiknya jumlah kecelakaan. Kita tidak dapat menyimpulkan naiknya produksi telur sebagai penyebab nailffiyajumlah kecelakaan. Tingkat korelasi yang tinggi hanya menunjukkan hasil matematis. Kitaharus menarik kesimpulan berdasarkan pandangan yang logis berdasarkan penelitian ~lmiah. Analisis regresi dan korelasi dapat sederhana, berganda, dan parsial. Analisis sederhana menunjukkan hubungan 2 variabel, yaitu antara variabel dependen dan variabel independen. Analisis berganda dan analisis parsial, menggunakan tiga atau lebih variabel, yaitu antara satu variabel dependen dan dua atau lebih variabel independen. 10.2 PERSAMAAN DAN GARIS REGRESI
Dalam bab ini hanya garis lurus yang digunakan sebagai garis regresi untuk menerangkan bentuk hubungan an tara dua variabel. Garis lurus dapat dinyatakan dalam persamaan linear: Y c =a+ bX
Metoda untuk memperoleh persamaan regresi dan garis regresi analog dengan analisis runtut waktu yang menggunakan trend sekuler. Kita dapat menyatakan analisis regresi. V ariabel independen (X) dalam analisis trend menunjukkan unit waktu, sedang analisis regresi menunjukkan unit yang dipakai (bukan variabel waktu). Suatu garis lurus dapat dip~.-. 'lleh dengan beberapa macam cara. Sebagai contoh, garis lurus yang digambarkan pada diagram 1O.l.a diperoleh dengan "metoda tang an be bas" (free hand graphic method). Metoda yang terbaik untuk memperoleh persamaan linear adalah menggunakan metoda "least squares" atau jumlah kuadrat terkecil. Persamaan ini merupakan petunjuk yang terbaik untuk menerangkan diagram pencaran data. Seperti dapat dilihat dalam diagram pencaran, setiap garis yang ditarik belum tentu melalui semua titik dalam diagram pencaran. Apabila garis lurus tadi tidak tepat pada titik-titik diagram pencaran, akan terdapat deviasi antara tiap-tiap nilai Y dan nilai yang ditunjukkan oleh garis Yc. Garis regresi yang didasarkan metodakuadrat terkecil, menunjukkan penyimpangan tiap nilai dengan garis regresi sama dengan rata-rata hitungnya. Penyimpangan ini dapat ditunjukkan: 1. Jumlah penyimpangan dari tiap-tiap nilai Y dari garis regresinya Yc adalah nol, kecuali kalau ada kekeliruan dalam pembulatan angka desimal.
I,(Y- Y) =0 c 224
2.
Jumlah deviasi kuadrat tiap-tiap data terhadap garis regresi paling kecil. L,(Y- Y/ < L,(Y- nilai garis lurus yang lain)2 = 0
Dua persamaan normal garis lurus dengan metode kuadrat terkecil adalah: I. L.Y=na+bL.X II. L,(XY) = a L,X + b L,X2 Penyelesaian kedua persamaan secara simultan, akan didapat konstanta a dan b yang disebut koefisien regresi. L,X 2 L,Y - L,X L,(XY) a = --n-;L.=x=2=-_-(=L,=x""")2,-----
persamaan lO.l.a
b = n L,(XY) - L,X L,Y n LX2 - (L,X) 2
persamaan 10.2.a
Dari persamaan I kita mendapatkan konstanta a. L.Y L,X a = - - - b--=Y- bX n
n
Aplikasi dari persamaan untuk menemukan persamaan dan garis regresi diberikan dalam contoh 1. Contoh 1 juga memberikan cara estimasi variabel dependen memakai variabel independen berdasar persamaan yang diperoleh.
Contoh 1: Tiga kolom pertama tabell 0.1 menunjukkan jumlah penjualan (Y) dari 8 orang penjual selama periode waktu tertentu dan pengalaman dalam berjualan (X) dari tiap penjual. a). Buatlah diagram pencarannya. b). Hi tung persamaan regresi linear dengan metoda kuadrat terkecil. c). Gambarkan garis regresinya. d). Taksirlah jumlah penjualan jika penjual mempunyai pengalaman berjualan selama 4 tahun. Penyelesaian: a). Diagram pencaran dapat dilihat dalam gambar 10.2. Tiap titik (n = 8) menunjukkan jumlah penjualan dan pengalaman berjualan setiap penjual. b). Dari kolom 4 dan 5 tabel1 0.1 dapat diperoleh :L (XY) dan :L(X)2. Dengan menggunakan persamaan tersebut diperoleh: b=8(178)-30(40) = 4576 8(136)- (30) 2
=1,19
(persamaan 10.2.b) 225
TabellO.l.
Data dan Perhitungan untuk Contoh 1
Pt·njual
Pcngalaman .I umlah Pt•njualan ; lkrj ualan (dalam (dalam l"i huan tahun; rupiah 1 y X
XY
x~
Y'
(I I
(21
(3)
(4)
(5)
\6)
B
6 4
5 3 l 4 3 6
30
25 9 1 16 9 36 4
36 16 9 9 25 64' 4
244
c
12
D B F G .H
2
2
3 12 15 48 4
Jumlah
'40
30
178
a=
3 3 5
8
:
'
136(40)- 30 (1781~= 0 53 8(136)- (30) 2 47 '
(persamaan lO.l.a)
atau:
IY
IX
n
n
a=--- b - - = Y- bX = 40/8- 56/47 (30/8) = 25/47 = 0,53 (persamaan IO.l.b) Persamaan regresi dapat ditulis Yc =a+ bX = 0,53 + 1,19X c). Garis regresi Yc = 0,53 + 1,19X dapat dilihat dalam gambar 10.2.
d). Estimasijumlah penjualan untuk penjual yang mempunyai pengalaman 4 tahun berjualan didapat dengan memasukkan nilai X = 4 ke dalam persamaan regresi. Yc = 0,53 + 1,19 (4) = 5,29 Rstimasi jumlah penjualan berdasarkan persamaan regresi sebesar Rp5.290,00 C!:at:atan: Persamaan regresi dari niali X terhadap nilai Y ditulis: X=a+bY C ll X 226
y Penjualan (Rp 1000)
10
r-
.
/
/
i
9
A
Xc .57+ .64 y
8
F~
5
.// c
4 D
3 2
//
(X=3. 5, Y=5) ~
/
v
"/
//
vo/
~/ /~
I
7 6
//
/
/
-
B
-
-
E
H
/
L/
0
0
4
3
2
6
5
7
Gambar 10.2
Diagram Pencaran, Garis Regresi Yc dan X., Berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil tidak akan memberikan garis regresi yang sama dengan Yc untuk data yang sama. Nilai b xdan ax dari persamaan Xc dapat dihitung dengan rumus, setelah berubah X menjadi Y dan sebaliknya. Dengan data yang diberikan dalam contoh 1 diperoleh:
b = n I(YX) - IY LX x n IY 2 - (LY)2
!:X
ax =- n
8( 178) - 40(30) 8(244)- (40)2
=
=70/11 = 0 64 '
- bx - IY = X - bY =30/8 - 7/11 (40/8) =0,57 n
XC = 0,57 + @,64Y
C!Jafis FIJ!!:ssi-~' yaNg m~~l.utjl:Mian·peFsimaaa·XC EligMR@arkan da:J.UR.gam'bar [email protected] sebagai .,-"'"-1:,.~.'-w ~ ~rlPandhtgan. Garis regresi- X: terhadap Y dip~roleh· deagan meteda kuach:at ter:kecil s
''
-
.... ,;
•
melalui rata-ratanilai X. D~mikian juga dengan garis Y ter-hadap X ~¥) selalu melalui r-am-ra~_!rl~ Y. K~RS8f> ini akan sangat membantu untuk menarik garis regresi berdasarkan "metoda bebas".
Dua garis regresi Yc dan Xc dalam gambar 10.2 saling berpotongan pada (X= 3,75 dan Y = 5). 227
10.3. STANDAR DEVIASI REGRESI {THE STANDARD ERROR OF ESTIMATE)
Standar deviasi nilai Y terhadap garis regresi (Y c) disebut standar deviasi regresi, atau sering disebut juga "standard error of estimate", karena digunakan untuk mengukur kesalahan dari setiap nilai Y terhadap garis regresi. Standar deviasi dari nilai yang dihitung (atau distribusi sampling) disebut standard error. Apabila nilai Y merupakan nilai yang asli, bukan nilai yang dihitung, istilah standard error of estimate akan bertentangan dengan pemyataan di atas. Untuk menjaga konsistensi kita akan gunakan standar deviasi regresi, dan juga istilah-istilah berikut ini menunjukkan: SY Sx Syx sxy
= Standar deviasi nilai Y rata-rata (Y) = Standar deviasi nilai X dari nilai X rata-rata (X) = Standar deviasi regresi nilai Y dari Yc = Standar deviasi regresi nilai X dari XC
Standar deviasi nilai Y dari garis regresi Yc dapat dihitung dengan cara seperti menghitung standar deviasi nilai Y terhadap rata-ratanya Y. Perhitungan ini didasarkan pada penyebaran titik-titk nilai Y di sekitar garis regresi. Semakin dekat titik-titik tersebut terpencar di sekitar garis regresi, semakin kecil pula nilai standar deviasi regresi. Berarti estimasi dari Y berdasarkan garis regresi semakin reliable. Sebaliknya semakin besar pencaran titik-titik menjauhi garis regresi, semakin besar pula standar deviasi regresi. Berarti semakin kecil realibilitas garis regresi. Persamaan umum standar deviasi garis regresi nilai Y terhadap X adalah: S = .../ yx
I,(Y- y )2 n
persamaan (10.3.a)
Metoda perhitungan yang lebih sederhana adalah dengan persamaan: S = .../ yx
I.Y2 - a I,Y - b I,(XY) n
persamaan (10.3.b)
Pembuktian persamaan (10.3.b) adalah sebagai berikut: I,(Y - Yc) 2 = I,Y2 - a I,Y - b I,(XY) (Y - Yc)2 = Y2 - 2YYc + Yc2 I,(Y - Yc)2 = Y2 - 2 I.YYc + Yc2 YYc = Y(a + bX) = aY +bXY I,YYc = I,Y(a + bX) = a I,Y +b I,XY Yc2 = (a+ bX) 2 = a2 + 2abX + b2X 2 I.Yc2 = na2 + 2ab I.X + b2 I,X2 =a(na + b I.X) + b(a I.X + b I,X2) =a I.Y + b I,XY 228
Koefisien a dan b merupakan dua titik dalam persamaan normal.
I.YYc =I,Yc2 =a I,Y + b I,XY I,(Y - Yc)2 = I,Y2 - 2 (a I,Y + b I.XY) +(a I,Y + b I,XY) I,(Y - Yc)2 = I,Y2 - a I,Y - b I,(XY) Terbukti. Apabila menggunakan persamaan (10.3.b), nilai yang diperoleh dari persamaan regresi dapat dimanfaatkan. Hanya penjumlahan dari I. Y2 yang harus ditambahkan dalam perhitungan dan hal ini dapat dihitung dengan mudah seperti ditunjukkan dalam tabellO.l. Suatu pekerjaan yang membosankan apabila kita menghitung Yc dan (Yseries datanya panjang.
YY apabila
Contoh 2: Hi tung standar deviasi regresi nilai Y berdasarkan data dalam contoh 1. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (10.3.a) yang perhitungannya dapat dilihat dalam tabel10.2. Catatan: Jumlah nilai Y seharusnya samadenganjumlah nilai Yc atau I.Y = I.Yc =40, hal ini dapat dilihat dalam persamaan normal: Yc =a+ bX I,Yc = na + b I,X =I,Y Tabell0.2 Data dan Perhitungan untuk Contoh 2 Penjual (I)
'
\
\ (11
(Jj
\ I
'
=11,5J+ 1.19.\
\
-\ (5)
(..J)
'
{\ - \ y ( (})
I
A B
c D
E F G H Jumlah
;
'' ' :
' :
9 6 4 3 3 5
.I
l
I I
8 2 40
!
6
s
3 1 4 3 6 2
30
''
!
7,67 6,48 4,10 1,72 5,69 4,10 7,67 2,91 39,94
!
i
i !
; I
' I'
i' :
1,33 -0,48 -0,10 1,28 -2,29 0,90
1,77 0.23 0,01 1,64
5,24 0,81
0,91
0,11 0,83
0,06
10,64*)
0,33
*) dibulatkan dua desimal
229
Perbedaan nilai 40 - 39,94 = 0,06 merupakan perbedaan karena adanya pembulatan angka di dalam persamaan garis regresi. Dengan menggunakan nilai yang diperoleh dalam tabel 10.2 standar deviasi regresi dapat dihitung: Syx =-../ L.(Yn
YY =-../ 10,64/8 =-../ 1,33 = 1,15 (dalam ribNan rupiah)
Metoda perhitungan yang lebih sederhana adalah dengan persamaan 10.3.b:
=·-../
S
=-../
L,Y2 - a L.Y- b L,(XY)
244- 25/47 (40)- 56/47 (178) 8
n
yx
= 1 15 '
dalam ribuan rupiah.
y Penjualan (Rp 1000) 10
/
/ /
9
fr//
8 Yc + 1 Sy
/ /
7
/
/
/
5 /
~~f ;):
1 j
2
0
v /
i
0
/-i '
,/
..
4 3
/
//
6
/.·:;; /
,
~= '
/
7/
~
~J
:><
v
./
B
/
A
,a/ /
/
/
-
/
k:~53 + 1.1 /'fc Iris Regresi
~X
/ / (gl ~ y - Sux
C/' /
E
-:
/
-
//
//
-
/ /
-
.
//
'1
2
-
3
4
5
6
7
X(Pengalaman berjualan dalam tahun)
Gambar 10.3 Diagram Pencaran, Garis Regresi Yc, dan Standar Deviasi Regresi Sp 230
Nilai Syx menunjukkan "jarak kesalahan" estimasi dari tiap-tiap nilai Y. Interpretasi dari S yx terhadap garis Y c adalah sama dengan S yterhadap rata-rata Y. Jika nilai Y didistribusikan secara normal, 68 persen dari nilai akan terletak pada jarak 1 standar deviasi dari regresi atau 1 Syx di atas atau di bawah garis, atau kira-kira 99% atau 3 standar deviasi dari garis. Luas 68 persen dalam contoh 2 digambarkan dalam gambar 10.3, dengan garis titik-titik. Garis titiktitik menunjukkan Yc + I Syx dapat ditemukan dengan mencari dua titik untuk setiap garis. Untuk garis yang menunjukkan Yc + I Syx untuk K = I ' Yc + S yx = 1' 72 = I ' 15 = 2 ' 87 untuk X= 4, Y c + S yx = 5,29 + 1,15 = 6,44 Untuk garis yang menunJ"ukkan Yc - I S yx untukX= LY c -S yx = 1,72-1,15=0,57 untuk X= 4, Yc - S Y' = 5.29- 1,I5 = 4,14
Catatan: Dalam kenyataan ada 5 (B, C, F, G, H) titik dari 8 atau 5/8 = 62,5% di dalam range Yc + 1 Syx· Ketepatan (akurasi) 62,5% adalah mendekati akurasi teori sebesar 68%. Jikajumlah titik ditambah, persentase dari ketetapan yang diharapkan mendekati nilai teoritis jika distribusinya normal. Standar deviasi regresi dihitung dari titik-titik yang mewakili nilai Y yang berpencar di sekitar garis regresi. Jadi nilai SY, dapat dipakai sebagai ukuran tingkat keeratan hubungan an tara 2 variabel. Sebagai contoh, standar deviasi regresi yang tinggi, menunjukkan lebarnya pencaran dari garis regresi ?an menunjukkan rendahnya tingkat keeratan hubungan. Penggunaan standar deviasi regresi sebagai pengukur tingkat keeratan hubungan akan lebih sulit apabila ditunjukkan dalam satuan asli seperti rupiah, kilometer. Cara yang Iebih cocok untuk mengukur tingkat keeratan hubungan adalah dengan menggunakan angka relatif seperti diterangkan dalam bagian berikut. 10.4. KOEFISIEN DETERMINASI (p2) DAN KOEFIS/EN KORELASI (p)
Tiqgkat keeratan hubungan antara g~a variabel dapat dihitung dengan suatu nilai relatif yang dapat berbentuk: ( 1) koefisien determinasi dengan simbol r2 (2) koefisien korelasi dengan simbol r (akar dari r 2) Konsep dasar dari dua ukuran relatif dapat diterangkan sebagai berikut:
•
231
,,
,,
'
y 10 (Total Deviasi)
}
Y- Yc = 9-7,67 = 1,33 (tidak dijelaskan)
8 Yc=7,67} y c - y = 7,67 - 5 = 2,67 _ (dijelaskan dengan variabel X) Y =5
6
4 2
2 3 4 5 Sumber : Didasarkan titik A, contoh 1 dan 2. Catatan : 40/8 =5
6
7
X
Gambar 10.4 Koefisien Determinasi dan Korelasi Korelasi Diagram Total Deviasi (Y- Y) yang sama dengan deviasi yang tidak dijelaskan (Y- Y) ditambah deviasi yang dijelaskan (Yc- Y). Y- merupakan rata-rata hi tung dari nilai Y =(I,Y)/n, diperoleh tanpa ditentukannya nilai X. Yc yang menunjukkan garis regresi dari regresi dari nilai Y - a+ bX diperoleh dengan memasukkan nilai X. Jika nilai Y dihubungkan dengan nilai X pada tingkat yang sama deviasi nilai Y terhadap Y merupakan penjumlahan penyimpangan nilai Yc terhadap Y dan Y terhadap Yc seperti ditunjukkan oleh gambar 10.4. Gambar tersebut menunjukkan apabila nilai X tertentu diberi simbul Xg , total deviasi dari Y terhadap Y dibagi dalam 2 bagian: Total deviasi = deviasi yang tak dijelaskan + deviasi yang dijelaskan Y - Y = (Y-Yc) + (Y c-Y) Istilah "dijelaskan" dan "tidak dijelaskan" di sini untuk menunjukkan ada tidaknya bagi~n dari total deviasi (Y- Y) yang dijelaskan oleh garis regresi. Deviasi yang dijelaskan
(Yc-Y) apabila dijumlahkan deviasi dapat diterangkan oleh garis regresi. Sedang deviasi yang tidak dijelaskan (Y-Y) merupakan jumlah deviasi yang tidak dapat dijelaskan oleh garis regresi. Lebih lanjut hubungan ini dapat ditulis: Total variasi = variasi yang tidak dijelaskan + variasi yang dijelaskan. persamaan (10.4) 232
Pembuktian persamaan (10.4) ~dalah sebagai berikut: L(Y - Y)2 = L,(Y - y c) 2 + L,(Yc - Y) 2
Sisi kiri persamaan di atas dapat ditulis: L,(Y - Y) 2 = L,Y 2
iY L,Y + n Y = L,¥2 - 2Y (nY) + nY = L.Y2 - nY2
Sisi kanan persamaan di atas dapat ditulis:
L(Y - y c)2 + L,(Yc - Yf = L(¥2 - 2YYc + y c2) + L,(Yc2 - 2Ycy + Y2) = (L,Y2 - 2 L,YYc + L.Y/ + (L.Y/- 2Y L.Yc + L.Y 2) Kita ketahui bahwa: YY c =Yc2 dani.Y=I.Yc Kemudian: 2Y- L,Yc = 2Y- L.Y
=2Y- (nY-) =2 n Y
2
Jadi: L,(Y- Yc2) + L, (Yc- Y)2
= :r,yz - 2Ycz + L.Yc)2 + (L,Yc2 +. 2 n yz + n)'2) = L yz - n yz Terbukti bahwa ruas kiri = ruas kanan Berdasarkan pemyataan di atas koefisien determinasi (r) dapat didefinisikan sebagai rasio antara variasi yang dijelaskan dan total variasi. Koefisien determinasi= V ariasi yang Dijelaskan Total Variasi L,(Y,- Y) 2 r - L,(Y- Y)z 2 _
persamaan (10.5.a)
Jika titik Y semuanya terletak dalamgarisregresi, berarti, yc= Yatau(Yc- Y-)2 = I,(YY)2, nilai dari r2 = 1, yang menunjukkan "korelasi sempuma". Sebalikknya jika nilai Y terpencar jauh dari garis regresi Yc' sehingga L,(Y - Yy menjadi sangat besar. Apabila total variasi tetap, I. (Yc- Y) akan menjadi sangat kecil. Nilai rata-rata r2 akan mendekati 0, yang menunjukkan tidak adanya korelasi yang didasarkan pada garis lurus. Range r2 berkisar an tara 0 sampai 1. Dengan kata lain apabila r2 mendekati 1, nilai Y sangat dekat dengan garis
233
regresi. Jadi total variasi dari Y lebih dijelaskan oleh garis regresinya dan nilai varibel Y berhubungan erat dengan variabel X. Apabila r mendekati 0, nilai Y tidak dekat dengan.garis regresi. Jadi total variasi nilai Y tidak dijelaskan oleh garis regresinya dan variabel~Ci~ ·~", berhubungan erat dengan variabel X. Nilai r selalu positip, sehingga tidak dapat untuk menerangkan hubungan antara 2 variabel positip atau negatip. Oleh sebab itu akar r atau .Vr = + r , sering dihitung untuk menunjukkan arah dan tingkat keeratan hubungan. Apabila range r2 berkisar antara 0 sampai 1, koefisien korelasi r bervariasi di antara range .Vo sampai "-1 1, atau dari 0 sampai + 1. Tanda + (positip) r menunjukkan korelasi positip, sedang tanda- (negatip) menunjukkan korelasi negatip. Tanda r adalah sama dengan tanda koefisien b (slope) dari persamaan regresi. Koefisien determinasi r 2 dapat juga ditulis dalam istilah varians (atau standar deviasi) sebagai pengganti variasi, yang persamaannya: . . _ V arians yang Dijelaskan . d Koefitsten etermmas1 T V . ota1 anans Persamaan ini diturunkan dari rumus (1 0.5.a). Apabila pembilang dan penyebut masingmasing dibagi dengan n, variasi yang dijelaskan dan total variasi berubah menjadi varians yang dijelaskan dan total varians. l:(Y - Y)2 n r2=(Y-Y)2
Varians yang Dijelaskan Total V arians
=
n Simbol ~y(cJ ~enunjukkan varians nilai Yc· Rata-rata nilai Y adalah sama dengan rat-rata nilai Y, atau Yc Y- apabila l:Yc l:Y. Lebih lanjut, apabila tiap sisi dalam persamaan atau persamaan (10.4) dibagi dengan n, basil baginya dapat ditulis:
=
sz = sz y
yx
=
+ S2y(c)
Yang menunjukkan total varians = varians yang tidak dijelaskan + varians yang dijelaskan. Jadi:
r2
L(Y - Y)2 n l:(Y- Y)2 n
=
S2
szll!il y
=
sz - S2 sz ~
sebagai persamaan bentuk (10.5.b).
234
y
~~
sz sz
=1-__n_ y
Pembuktian persamaan (lO.S.b) adalah sebagai berikut: L(Y - Y) 2 L(Y - Y) 2 - L(Y - Y )2 r = L(Y - Y) 2 = L(Y - Y) 2 c 2
L(Y - Y )2 1 = - L(Y - Y) 2
Tabel10.3
. Data dan Perhitungan untuk Contoh 3
'
Pt'njual (I)
' -y L\l
(2) I
A
9
4
B
6 4 3 3 5
1 -1
c
D E
F 0 H
,, !
l
t
Total
-2 -2
8 2
0 3 -3
40
0
I I I I I
(Y-' l' (-l)
16 1 1 4 4 0
9 9
44
Y=4018 =5 Rasio antara S2 (varians yang tidak dijelaskan) dan S2y (total varians) dalam persamaan (5.5.b) sering disebut koefisien non determinasi yang diberi simbul k2 atau k2 =S2yx I S2Y ~
Akar k 2 disebut "koehsien alienasi" atau k = SyxIS y J• k2 dan k dapat juga digunakan sebagai pengukur tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Akan tetapi, r2 dan r lebih disukai sebagai interpretasi hasil analisis korelasi. Aplikasi persamaan (10.5.a) dan (10.5.b) ditunjukkan dalam contoh 3. Dalam praktik persamaan (10.5.b) lebih disukai dibanding persamaan (10.5.a). lli:i ·•I'>J.. .
. ..
~-""'··O.,o_!C?,Il ~:.
, •.. ,.Hitung koefisien . deterniinasi r2 dan koefisien korelasi n dari data yang diberikan pada contoh 1.
235
'1
Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (10.5.a). Nilai I.(Y-
Y) 2 =44
Dengan menggunakan persamaan (10.4.) Nilai (Yc-
Y)2 = I.(Y- Y)2 - I.(Y- Yc)2 = 44- 10,64 = 33,36
(kolom 6 tabel 10.2)
I,(Y - Y) 2 r·= I,(Yc- Y) 2 = 33,36/44 = 0,7582 r = -../r = -../0,7582 = 0,87 Dengan menggunakan persamaan (10.5.b), r2 dapat diperoleh dengan cara: varians regresi Y terhadap X sudah dihitung dalam contoh-contoh: S2yx = 1,33. V arians nilai Y: = 44/8 = 5,5 r = 1 - 1,33/5,5 = 0,7582 dibulatk'an menjadi 76%. Jadi, 76% variasi nilai Y telah diterangkan atau dijelaskan oleh garis regresi. Atau dengan kata lain 76% variasi dalam jumlah penjual (Y) dihubungkan secara linear dengan variasi pengalaman berjualan (X) para penjual. Tanda b dalam persamaan regresi Yc = 0,53 + 1,119 X adalah positip (b= + 1, 119), maka nilai r, atau penunjuk korelasi harus positip. Metode ketiga untuk menghitung r2 dan r, adalah menggunakan persamaan product moment untuk r. I,(XY) r=-=-=n s,
sy
persamaan (10.5.c)
yang menunjukkan bahwa: x = X - X dan y = Y - Y
Pembuktian persamaan lO.S.c adalah sebagai berikut: Kita geser lokasi titik origin dari X = 0 dan Y = 0 menjadi X = X dan Y = Y, seperti ditunjukkan dalam gambar 10.5. Pergeseran ini tidak mempengaruhi lokasi garis regresi dan nilai-nilai r, b, Sy , S x , dan Syx . Apabilakitagunakanorigin baru, persamaan Yc =a+ bXberubahmenjadi Yc = bxkarena garis regresi melalui origin baru yang menunjukkan bahwa a = 0, sehingga persamaan (10.5.a) menjadi: ·
236
2- l(Yc- Y)2 r - l(Y- Y) 2
dan r= bS XIS y Dari persamaan normal II: lXY = a lX + b lX2 dengan origin baru: lxy =a lx + b lx2 Jika lx =dan a lx =0, maka: lxy =blx2 b = lxy/lx2 Oleb karena itu: _ lxy Sx _ lxy Sx _ lxy r- lx2 -S--· nS 2 -S-- nS S y
X
y
X
y
Perbatikan keterangan gambar 10.5 berikut ini: y
Y=Y-Y
(Origin lama)
0
X
(Origin lama)
Gambar 10.5 Pembuktian persamaan atau rumus lO.S.c Rata-rata basil [l(xy)/n], yang menunjukkanjumlab basil dari pasangan nilai x dan y dibagi jumlab pasangan n disebut kovarians dari distribusi bivariat variabel X dan Y. Kovarians juga diberi istilabfirst product moment dari suatu distribusi dengan rata-rata Y dan Y.
237
Persamaan product moment dapat ditunjukkan lebih rinci dengan prosedure perhitungan sebagai berikut: n l(XY)- (LX) (L.Y)
persamaan (10.~.d)
Pembuktian persamaan (lO.S.d) adalah sebagai berikut:
= l(X- X) (Y- Y) = L. [XY- X Y - XY + X Y] = L,XY - X L.Y - Y L.X + n X Y
L,(xy)
=L.XY -XnY- YnX+nXY =L.XY -nXY
L.xy n (L.XY- n XY) 2/n--c=L.=Y::-:-/n-:-)= 2]r =-S-S =-n~[\f"'L.=x=2:-:-/n----,(=l=X/:-:-n""""'"')2::-\f""'"'L.=Y=-::::;-:x
y
n (L.XY- n XY) r =-n-[\f..,.,L.=X"'2"!-n "' -_-=cl=X/,--n)"""""2]_n_[\f..--::L.=-Y-,2::-/n---(=L.,_Y-/n-----=)2] nL,XY -L.XL.Y r =----,-\1-[n--=L.=-x--:2:-_-:(L,=-X-)~2]-[-n=L.:-Y-2-_(-=L,=---Y-)2=-] Persamaan (10.5.d) menghindari perhitungan dengan menggunakan deviasi x dan Y. Persamaan ini memberikan metoda lang sung untuk menghitung nilai r. Tanda r yang dihitung dengan persamaan ini mempunyai kesamaan dengan tanda koefisien b dalam persamaan regresi. Nilai-nilai yang diinginkan sama dengan nilai yang digunakan untuk menghitung persamaan regresi kecuali penjumlahan nilai Y2 untuk L.Y 2.
Catatan: Pembilang dan faktor pertama pada penyebut dari persamaan (lO.S.d) smna dengan persamaan (10.2.a) untuk koefisien b. Contoh 3, dapat dihitung dengan persamaan (lO.~.d.). Nilai-nilai yang diinginkan dapat diperoleh dalam tabel 10.1. r=
8 (178)- 30 (40) \1 I 8(136)- 302 ] [ 8(244)- 402
=
224 \1 [ 188] [352]
=0 •87
Jadi r2 =0,87 2 =0,7569 berbeda sedikit dari jawaban sebelumnya r perhitungan r. 238
= 0,7582
karena ada pembulatan dalam
Dari persamaan (1 0.5.b) kita dapat memperoleh rumus barn untuk standardeviasi regresi dari Y terhadap X:
s =s yx
y
-J1-r
persamaan (10.3.c)
Jika kita mengetahui nilai-nilai r dan SY, kita dapat menghitung dihitung dengan menggunakan persamaan (10.3.c) adalah: r2
=0,7582
s2
= 5,5
y
Sy = -J5,5
Syx·
Contoh 2 apabila
= 2,35
Syx = 2,35 -J1 - 0,7582 = 2,35 (0,49) = 1,15
(sama dengan jawaban di muka).
Rumus standar deviasi regresi dari X terhadap Y adalah:
s
xy
= sx -J1-r
Hal ini je1as, karena S yx adalah berbeda dengan Sxy apabila Sy berbeda dengan S x . Dalam kasus korelasi linear nilai r akan tetap sama, tanpa terpengaruh variabel X dan Y yang menjadi variabel dependen atau indenpenden. Kenyataan ini dapat dilihat dari persamaan product moment. Persamaan denganjelas menunjukkan kesamaan antara nilai x dan y. Makar (atau r) dapat dilihat sebagai ukuran tingkat keeratan hubungan an tara X dan Y dalam dua cara, yaitu:
1.
Berdasarkan analisis korelasi Merupakan ukuran hubungan timbal balik antara dua variabel, yang bivariat berdistribusi normal. Jika hanya ada 1 variabel dan lainnya konstan berarti tidak ada korelasi atau r = 0. Sebagai contohjika (Y = 2, X= 5); (Y = 3, X= 5), (Y = 7, X= 5), dan seterusnya, X bilangan konstan 5, nilai r akan nol (r = 0) karena x =X- X= 5 - 5 = 0 dan I,(xy) = 0.
2.
Berdasarkan analisis regresi Menunjukkan ukuran ketepatan garis regresi. Ukuran tersebut menunjukkan ketepatan penaksiran variabel dependen dari variabel independen yang didasarkan pada garis regresi. Kita biasanya menggunakan huruf Y untuk variabel dependen dan X untuk variabel indenpenden. Jika kita ubah aturan tersebut, Y untuk variabel indenpenden dan X untuk variabel dependen, ukuran ketepatan (r atau r) akan tetap sama.
10.5 DATA YANG DIKELOMPOKKAN
Pembahasan pada bagian terdahulu hanya membicarakan data yang tidak dikeJompokkan. Jika teknik yang dipakai dalam regresi dan korelasi diperluas untuk data yang dikelompokkan, akan kita peroleh faktor f dalam tiap kelas interval baik dari variabel X maupun variabel Y.
239
Persamaan yang digunakan untuk menghitung beberapa ukuran data yang dikelompokkan, disusun sebagai berikut: A = n I fd X d y - (IfX d X ) (Ify d y )
yang menunjukkan bahwa: f =banyaknya frekuensi pasangan kelas variabel X dan Y f X =banyaknya frekuensi dalam kelas variabel X fy = banyaknya frekuensi dalam kelas variabel Y n = total frekuensi = If = If = Ify dx = deviasi dalam unit untuk variabel X dY = deviasi dalam unit untuk variabel Y X
Rumus untuk koefisien b dari persamaan regresi, persamaan (10.2.a) dapat ditulis: b =AlB iii y X
persamaan (10.2.b)
yang menunjukkan bahwa iY dan ix adalah angka yang menunjukkan besarnya kelas interval variabel Y dan variabel X. Rumus untuk koefisien a dari persamaan regresi, persamaan (lO.l.b) dapat ditulis:
a= Y- bXBerdasarkan persamaan (10.3.) c
dan X-= A + ( Ifx dx ) i persamaan (10.5.c) X n X A adalah rata-rata diasumsikan: Persamaan product moment untuk koefisien korelasi, persamaan ( 10.3.c) dapat ditulis: r =A I ...JBC persamaan (10.5.e) Rumus untuk standar deviasi regresi, persamaan (10.3.c) dapat ditulis: i ...J co-r) Syx = -...~:..____:____;~ n
240
persamaan (10.3.d)
Pembuktian persamaan (10.3.d) adalah sebagai berikut:
Untuk memudahkan perhitungan data yang dikelompokkan, dibuat terlebih dahulu tabel korelasi. Tabel korelasi ini sering disebut dengan tabel frekuensi bivariat (bivariate frequency table). Tabel ini menunjukkan distribusi frekuensi dari dua variabel. Pemakaian tabel ini dapat dilihat dalam contoh berikut.
Contoh 4: Perhitungan "tally" dalam tabell 0.4 menunjukkan jumlah penjualan (Y) yang dihasilkan oleh 40 orang penjual selama periode tertentu dan lamanya pengalaman berjualan (X) tiap penjual. Dari data tabell0.4, hitunglah: (a) Persamaan regresi dan buatlah garis regresi dalam tabel berdasarkan persamaan tersebut (b) Koefisien korelasinya, dan (c) Standar deviasi regresi Tabel10.4
Tabel Klasifikasi Silang Data dan Perhitungan untuk Contoh 4 Kclas lntcnal
16- 18 13-15 10-12 7-9 4-6 1-3
I I I
0
(p)
2
2
(o
4
I
4
(o
6
(l (a
H
S
(u
I
I
I
m
mn m
nrn
mni
8
16
I Illll
IIDI
n
.lumlah P~..·nj ual ( f, i
1 5 7 21
I 2
II
Ill
4
Jumlah Penjual (f)
·2
10
4·
40
X (pengalaman berjualan dalam tahun)
241
--····------
Penyelesaian: 1.
Tabell0.5 disusun menurut data yang disajikan pada tabel10.4. Jumlah tally dalam tiap sel dihitung dan dimasukkan ke dalam sel tabel10.5 dan diberi simbol huruf f.
2.
Rata-rata dipilih dan diasumsikan sebagai berikut: A X, rata-rata asumsi untuk variabel X= 5 tahun, merupakan mid point dari kelas 4 sampai di bawah6. A4 , rata-rata asumsi untuk variabel4 = Rp8.000,00 mid point kelas 7 - 9. Angka-angka di dalam baris dx dan kolom dY, ditentukan +1, +2, dan seterusnya untuk angka-angka unit interval kelas di atas rata-ratakelas yang diasumsikan (yang menunjukkan bahwa dx atau d y = 0) dan -1, -2, -3, dan seterusnya untuk angka unit interval kelas di bawah rata-rata kelas yang diasumsikan.
3.
Nilai fdX dy dihitung untuk masing-masing sel. Hasil dari dX dan dy diletakaan dalam baris pertama tiap sel. Hasil dari f, dx, dan dY ada dalam baris ketiga. Sebagai contoh angkaangka pada sel terakhir kolom pertama nilainya adalah sebagai berikut:
baris pertama [ -2 (dX dalam kelas X antara 0- kurang 2] [ -2 (d y dalam kelas Y antara 1 -3] = 4. atau dX dy = 4.
baris kedua 2 = frekuensi dalam pasangan kelas X antara 0- kurang 2 dari kelas Y (kelas 1 - 3). atau f= 2.
baris ketiga 8=4. 2 fd X d y = 8 n=f =fy =f=40 X
~ f d = 12.'yy f d 2 = 48.' fxd y d = 3.2 "-yy
Penjumlahan dari basil tiap-tiap baris dimasukkan ke dalam kolom terakhir (paling kanan), denganjudul fd Xd.y Angka kedua dalam kolom fd Xd y adalah 14 = 0 + 2 + 12.
Catatan: Nilai fdxdy pada tiap sel dalam baris atau kolom adalah dengan asumsi bahwa rat-rata kelas selalu sama dengan nol apabila dx dandY= 0 di dalam kelas. Perhitungan di dalam bris atau kolom untuk suatu nilai tidak begitu penting, hanya untuk menunjukkan maksudnya. 4.
242
Perhitungan dan penjumlahan nilai-nilai yang dimaksud, ditunjukkan dalam tabel10.5. Nilai yang diperoleh dalam tabell0.5. diringkas dan ditulis di bawah tabel. Nilai-nilai yang sudah diringkas diganti dengan persamaan sebagai berikut:
A= II L fd. dy- (lfJe d)(Lfy dy) = 40(32)- 6(12)
=1.208
B = n L f X dX2 - (LfX d )2 ::.40(43)- 62 = 1.644 ~
C = nf. f y d y2 - (Lfy d y )2 = 40(48)- 122 = 1.776
a.
Persamaan regresi dengan menggunakan persamaan (10.2.b) untuk b adalah: b =~Vi.= [1.208 (3)] I [1.644 (2)] 151/137 = 1,1 ~=~'-bOC=&,9 -l..l(,S,l~. = 3,1
=
Nilai ¥daD' X dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (lO.l.c), yaitu:
x
=A.+<
rr.n d.
) i = s + r (6t40)t2 1= s,3 •
Persamaan regresinya adalah:
Yc -= 3,1 + 1,1 X Dua titik di bawah ini dihitung dari persamaan untuk menggambarkan garis regresi dalam tabel 10.4. Jika X = 0, batas kelas bawah dari kelas X pertama "0 sampai kurang dari 2". yc
=3,1 + 1,1(0) = 3,1
Jika X= 10, batas kelas atas dari kelas X terakhir "8 sampai kurang dari 10". yc b.
=3,1 + 1,1(10) =14,1
Koefisien korelasi dengan menggunakan persamaan (10.5.e) adalah: p
= -~ = 1.208/..J(1.644)(1.776) = 1.208/1.709 =0,71 vBC
r =(0,71)2 =0;5041 atau 50,41% .Jadi S0,41% variasi dari jumlah penjualan diterangkan oleh variasi tahun pengalarnan beijualan dari 40 kelompok penjual. c.
Standar deviasi regresi dengan menggunakan persamaan ( 10.3.d) adalah:
s
y~
= [ iy ..Jc (l-r2) ] 1 n = (3 ..JL776(1-0,5041)]/40 = 2,226
Syx = Rp2.226,00
243
Tabel5.5 Tabel Korelasi Data dan Perhitungan untuk Contoh 4 '
Kdas lntl'n ul
'
I 1
lla!
I
1a-l
'
-l a fl
H a HI
6aR
I
I
'
I
I
r,
'
16 18
;'
6
!
0
10-12
xl 2
x3 12
x5 0
t
-l. 0=0
xiO
:
x6
0
i
0
I
fd \ d
'
~
2 ! 10 '
20
6
7
7
14
0
0
-4
4
-4
8
;
i
'! 5
! ;
' 1 'l
7
i
'
0.0=0 '1.0=0
x5 0
\
9
I
7-9 Ay :::8
\
3
x2 2
rd 2
I 3
1
0.1=0 11.1=1 :
r,d,
'
2. 2='4
0.2=0 !t.2=2
xi
d
2 3 6 xl
:
13 ~ 15
' ' '
21
0
i I
I I
i
2
I
4·6
1-3
~1.-1=-11 : x1 '
-I. -1 = 1 x3 3
-2. 2=4
I
4
-1
-1
'
x2 8
l
I
l
I
I
•
d,
~
-2
8 -1
I'
•
16
-2
40
- I
!
I
-4
8
f,d/
8
8
!
a: menunjukkan kurang dari X: pengalaman beljualan dalam tahun Y: jumlah penjualan dalam Rp 1.000,00
244
I
I
0
!
1
l
f,d,
4
10
I
2
I
f
0
0
i i
1
0•
I
10
10
I
2
-
8
6
16
42
I
12 : 48 1 22
I
!
I
l
!
I I
i
8
i
\
Bab XI Regresi dan Korelasi Linier Ana/isis Sampling
11.1 MODEL REGRESI LINIER UNTUK POPULAS/
Ada beberapa tipe model populasi untuk analisis regresi. Untuk menyederhanakan, kita batasi untuk populasi yang dapat dijelaskan dengan garis regresi linier atau model regresi linier. Model regresi ini ditunjukkan dalam gambar 11.1, dan dapat digeneralisir dengan asumsi-asumsi sebagai berikut: ( 1) Nilai variabel independen X diketahui atau tetap. Nilai variabel dependen Y untuk setiap nilai X ada beberapa dan didistribusikan secara normal. Distribusi nilai Y untuk setiap nilai X dianggap sebagai sub populasi. Populasi terdiri atas semua sub populasi.
~Yx=A+BX
(Garis regresi ....- populasi) ~.U>,--- 't---r--
/
/
____ ______ ______...__········---
.._ 0
/
_...
.......
Xt
X2
....
X3
X (Nilai independen)
Gambar 11.1 Model Regresi Linier (Model Populasi) 245
(2) Setiap sub populasi dari nilai Y untuk X tertentu mempunyai rata-rata hitung (mean) yang ditunjukkan oleh flyx· Nilai flyx terletak dalam garis lurus, dan disebut garis regresi populasi. Garis tersebut dapat ditunjukkan dengan persamaan regresi linier:
J.1yx =A+ BX yang menunjukkan bahwa A dan B adalah koefisien regresi populasi. Nilai flyx adalah nilai yang diharapkan dari setiap nilai Y. Misalkan setiap penyimpangan nilai Y dari flyx adalah E (epsilon). Maka: Kita asumsikan bahwa distribusi nilai E adalah normal dan rata-rata nilai E adalah 0 (nol). (3) Setiap sub populasi dari nilai Y untuk X tertentu mempunyai varians cr2 dan standar deviasi cr. Nilai cr adalah sama untuk semua sub populasi. Dengan demikian standar deviasi cr sama dengan standar deviasi dari nilai Y di sekitar garis regresi dan diberi simbol cry,· Nilai cryx juga disebut standar deviasi regresi populasi. Misalkan kita beri subskrip 1, 2, 3 ... untuk menunjukkan sub populasi.
Catatan: Asumsi dari model populasi mungkin tidak tepat benar untuk data bisnis aan ekonomi. Akan tetapi model tersebut memberikan basil yang memuaskan jika hubungan antara nilai X dan Y mendekati linier. Aplikasi dari model di atas diberikan dalam con_~~,b(!ri~ut. Sebagai pengganti nilai Y yang banyak untuk setiap sub populasi, hanya dig-l!~aka:fi.4.nilai Y untuk setiap nilai X sebagai penyederhanaan. ,.,~. Contoh 1: Mtult.an nflai (Y) tlari 20 mahasiswa dalam tes matematika merupakan fungsi dati lamanya jam semester mahasiswa tersebut menempuh kuliah matematika (X) seperti yang ditunjukkan dalam tabelll.l. Kalau nilai dari 20 mahasiswa tadi sebagai populasi, hitunglah: a. b.
Persamaan regresi populasi Standar deviasi populasi
Penyelesaian: a) Persamaan regresi populasi yang didasarkan pada rata-rata nilai Y untakrsetiap nilai atau nilai fl,y· Diagram pencaran (scatter diagram) dalam gambar 11.2 menunjukkan nilai Y untuk setiap X yaitu rata-rata flyx· Jika titik yang menunjukkan flyx terletak dalam garis, persamaan regresi linier dapat ditunjukkan oleh persamaan:
»
J.1yx = A + BX = 2 + lX 246
Tabel11.1
Data dan Perhitungan untuk Contoh 1 :\ (.Jam Senwsll'r 1 -
--
-
I
-
' '
2
-
-
-
-
'
-~
-l
;:"
!
!
5
'
4 2
l
Y(NILAI)
l !
i I ['
Jumlah nilai Y tiap kolom = l:Yx
I
!'
8
l
6 5 3 2
7 6 4 3
4
9 8* 6 5
12
16
20
24
28
3
4
5
6
7
7
5
'
Rata-rata nilai Y tiap kolom J.lyx (=l:YX : 4)
*
i
l
!
Nilai Y yang diberi lingkaran adalah sampel yang dipilih untuk contoh 2. Konstanta A adalah ordinat Y pada X = 0. Koefisien B merupakan slope, atau B = 1 nilai per 1 jam semester = 1.
~-12 10
8 6 4 2
•
• •
• •
• •
• • JlYX = 2 +IX
0
2
4 3 X - Jam Semester
5
6
Gambar 11.2
Diagram Pencaran untuk Distribusi dan Rata-rata Sub Populasi (untuk Contoh 1) 247
Catatan: Nilai A dan B dapat diperoleh juga dari metode least square (kuadrat terkecil) dari seluruh nilai Y. b)
Standar deviasi regresi populasi (standar error estimasi populasi) adalah sama dengan standar deviasi nilai Y untuk tiap X dari rata-rata llyx' Juga varians populasi 0'\x sama dengan varians biasa Jl2• sehingga:
cr2 (dari Y pada X= 1) = cr2(dari Y pada X= 2) = ....... = cr2yx (pada populasi). Apabila varians dan standar deviasi dari 5 sub populasi di dalam contoh sama, kita dapat menghitung hanya satu nilai untuk sub populasi. Varians dan standar deviasi nilai Y untuk X = 1 dihitung untuk memperkirakan standar deviasi populasi, seperti contoh berikut: ' I'
y
I I
Y-p"': (Y-p"/ I
Total
5 4 2 1
2 1 -1
-2
·4 1 1 4
12
0
10
cr2 = L,(Y - llyY = _!Q_ = 3 1
0'1
N1
4
= .Y2,5 = 1,58
Jadi:
cr2yx =25dan ' 0'
yx
= 1' 5
Catatan: Varians regresi populasi dapat juga dihitung dari kelima sub populasi, seperti yang ditunjukkan berikut:
248
I I
Banyaknya nilai Y di dalam 5 sub populasi hanya 4 dalam contoh 1. Jika kita mempunyai sejumlah besar nilai Y dalam tiap sub populasi dan nilai Y ini berdistribusi normal dengan Gyx = 1,58 kita dapat menarik kurva normal untuk setiap sup populasi sama seperti yang ditunjukkan dalam gam bar 11.1. Dan kita dapat menyatakan apabila X= 1, maka68% dari nilai Y akan terletakdi antara11l""'yx + lGyx atau samadengan 3 ± 1,58 =1,42 sampai 4,58 nilai, dan seterusnya. 11.2 EST/MAS/ GARIS REGRESI POPULASI (EST/MAS/ T/TIK Jlyx DENGAN YJ
Estimasi titik untuk parameter populasi ditunjukkan oleh statistik sampel, seperti ukuran-ukuran yang ditunjukkan dalam tabelll.2. Estimasi interval menggunakan batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (confidence interval), yang dihitung dari statistik sampel dan standar error statistik. Con vidence interval= statistik sampel± Z (atau t untuk sampel kecil) dikalikan standar error statistik Estimasi garis regresi populasi diperoleh dari garis regresi sampel. Persamaan regresi populasi dapat ditulis: II l""' yx =A+BX
Tabel11.2
Simbol untuk Menunjukkan Statistik dan Parameter Simhol Lntuk Panmll'tl'r Simhol l ntuk Stati-.tik (Popula'>i) ' (Sam pel I
likuran:
I
Rata-rata sub populasi nilai Y untuk X tertentu Koefisien regresi populasi
A B
a b
p
r
Standar deviasi regresi populasi Koefisien korelasi populasi Sedang persamaan regresi sampel dapat ditulis. Yc =a+ bX yang menunjukkan bahwa: Yc adalah estimator titik dari
~
~
249
a adalah estimator yang tidak bias untuk A dan b adalah estimator yang tidak bias untuk B. Estimasi akan ditunjukkan dalam contoh berikut:
Contoh 2: Misalkan suatu sampel diambil dari populasi yang diberikan dalam contoh 1 (lihat nilai Y yang dilingkari dalam tabelll.1) dan ditunjukkan dalam tabe111.3. b = ni(XY)- IX IY = 5(92)- 15(26) = .:!!}__ = 1 4 niX 2 - (LX) 2 5(55)- 15 2 50 ' a= IY -b IX =l_L-1,4(_!1_)=1 n n 5 5
Penyelesaian: Koefisien regresi sampel a dan b dihitung dengan menggunakan rumus (lO.l.b) dan (10.2.a) sebagai berikut: Tabe111.3
Data dan Perhitungan untuk Contoh 2 I
Semester X
I
Nilai Y
' '
XY
I I
X2
1
2
2
2 3 4 5
5 4 7
10 12
5
28
16
8
40
25
Total= 15
26
92
55
1 4
Persamaan regresi sampel:
Yc = 1 + 1,4X yang digunakan untuk mengestimasi persamaan regresi populasi, atau Y c merupakan estimator dari llyx· Garis 1 ~gresi populasi yang diestimasi berdasarkan persamaan ditunjukkan dalam gambar 11.3 bet .ama dengan garis regresi populasi yang sesungguhnya untuk diperbandingkan. Tentu ~ ija dalam praktik garis regresi populasi yang sesungguhnya tidak diketahui dan hanya dipetkirakan.
250
Y (Nilai)
14
95% Interval kepercayaan Daerah untuk garis yang sesungguhnya. J.lyx.
12
10 8
--- ---- ------r- --- ---- -
6
4
/
/
./
/
J.lyx =2+ lX
/
2
/
/
/ o~----~----,-----~------~----~----~
2
3
4
6
5
X(jam semester)
Gambar 11.3
Garis Regresi yang Diestimasi Berdasark.an Persamaan
11.3 ESTI.MASI STANDAR DEVIASI REGRESI POPULASI (ESTIMASI TITIK a1"DENGANS,.)
Estimator yang tidak bias untuk varians regresi populasi (0'2Y.) yang didasarkan sampd adalah:
s2 = I.(Y - y Y'
)2
(n- m)
Estimator untuk standar deviasi regresi populasi (0' y) dengan demikian dapat ditulis: y )2 s ==}I.
(ll.l.a)
yx
yang menunjukkan bahwa m adalah banyaknya konstanta dalam persamaan estimasi. Dalam persamaan regresi linier, terdapat konstanta a dan b, jadi m 2.
=
Rumus (ll.l.a) mirip denganrumus (10.3.a) untuk S:r, k~ali n diganti dengan (n- m) untuk penyebutnya di dalam rumus ( I-l.l.a). Sehingga rumus S Y' kalau dinyatakan deagan rumus Syx meniadi: :J 251
=V 2-(Y - Y ) x -n 2
S A
yx
n
c
n-m
Diagram Pencaran Data Sampel, Estimator Garis Regresi Populasi (Y) dibandingkan dengan Garis Yang Sesungguhnya (!1y) dengan Interval Estimate dari llyx· atau
g
syx = syx n-m A
Nilai dari Syx dengan mudah dapat dihitung dengan rumus (10.3.b).
Contoh 3: Perkirakan (estimasi) standar deviasi regresi populasi dengan menggunakan sampel yang diberikan dalam contoh 2.
Penyelesaian: Tabel 11.4 dibuat untuk menghitung dengan menggunakan rumus (ll.l.a). Nilai Yc dihitung dari perkiraan persamaan regresi populasi, Yc = 1 + 1,4X. Sebagai contoh, apabila X= 3, Yc = 1 + 1,4(3) = 5,2. Jawaban yang sama dapat diperoleh apabila digunakan rumus (1l.l.b) dan (10.3.b). Tabel11.4
Data dan Perhitungan untuk Contoh 3 '
Lama Semestl'r X
; 1
Nilai Y
: I
Y
l
= I + I ,4X
'
l 2 3 4
1
l
2
2;4 3,8
5,2
5
4 7 8
6,6 8,0
Total= 15
26
26,0
0,0
Syx = 1,07 = 1,03 (nilai)
:
( Y - Y )2 l
'
0,4 1,2 -1,2 0,4 0,0
Y )2 3,20 §2 yx = 2-(Y=...:_n__-:2:-=-- x -S---2-
252
I
Y-Y
5
0,16 1,44 1,44 0,16 0,00 3,20
r 11.4 INTERVAL EST/MAS/ UNTUK arx
Nilai Yc merupakan estimator titik dari llyx pada X tertentu. Nilai ini merupakan statistik sampel untuk setiap sampel. Standar error dari Yc diberi simbol dengan ayc , atau disebut standar deviasi distribusi sampling dari statistik YC pada X tertentu, yang berbantung pada standar deviasi regresi populasi a~ . Apabila a~ diestimate dengan S ~ estimasi standar error Yc dituniukkan oleh S~ , dan dapat ditulis: ~ A
A
S =S yx yx
j
1
(X- X) 2
n
I(X - X) 2
(11.2.a)
-X--'---
Varian dari distribusi Y c (yang ditunjukkan dengan cr2y) adalah :
*)
Jika a= Y- bX maka Yc = a = bX =(Y - bX) = bX =Y =b(X - X) Varian Yc =Varian (Y = b(X- X)]= VarY+ Var B(X- X). Faktor (X -X) merupakan angka tetap. Jika setiap nilai (b) suatu distribusi dikalikan dengan angka tetap, varians dari distribusi dikalian dengan kuadrat angka tetap sehingga persamaan di atas dapat ditulis : 0
~
2
=a y z + (X _X)2 0 b2
Seperti pada varians rata-rata sampel berhubungan dentan X adalah :
X atau ax2 =
02
n
varians rata-rata sampel Y yang
0' 2
0'
2=~
v
n
Karena varian dari Y= varians dari (IY/n), di mana n adalah angka tetap, atau ukuran sampel. Vaiians Y = (1/n 2)(Varians IY) atau: a
2 v
= _1_ (a 2 (X = 1) + a 2 (X = 2 + ... + a 2 (X = n) n2
Y
Y
az
az
n2
n
Y
=n~=~
Catatan: Estimasi stand~ error Yc atau Syx juga bergantung pada nilai ukuran sampel n, nilai X tertentu (untuk(X- Xf) danjumlah variasi I(X- X) 2• Distribusi dari nilai Yc yang didasarkan pada persamaan garis lurus berdistribus.i t dengan (n - 2) derajad kebebasan. Rata-rata atau nilai yang diharapkan dari distribusi 253
sampling Yc adalah ~~ 11 **. Berdasarkan hal tersebut dapat dikatakan, interval estimasi J.l dari ~ Y.c berdasarkan distribusi t adalah: Batas kepercayaan (confidence limits)= Y c + t.S yc
Contoh 4: Kembali ke contoh yang diberikan untuk contoh 2. Taksirlah (Estimate) rata-rata nilai untuk setiap semester dengan interval kepercayaan 95%. Penyelesaian: ( 1) Kita carl standar error estimasi dari Y c atau Syc dengan...., menggunakan rumus ( 11.2.a). Perhitungan ini ditunjukkan dalam..... tabel11.5. Setiap Syc diperoleh dengan mengganti ..... Syx = 1,03 (Contoh 3) n =5, (X- X?= 4, 1, 0, 1, 4 berturut-turut ditunjukkan dalam kolom (3) dan dan L(X- X)2 = 10. (2) Kemudian, tentukan batas atas dan batas bawah kepercayaan untuk Yc. Batas ini tergantung pada koefisien kepercayaan t. Pada 95% interval kepercayaan, nilai t dengan derajad kebebasan 3 (= n- 2 =5-2= 3) adalah 3,182 (5% atau 0,05 untuk dua sisi atau 0,025 untuk tiap sisi). Nilai batas dihitung dalam tabel 11.6 dan digambar dalam gambar 11.3. A
Nilai batas simetris di sekitar X= X= 3. Apabila titik-titik yang menunjukkan batas dalam gambar 11.3 dihubungkan akan didapat2 garis yang menunjukkan interval kepercayaan. Lebar interval kepercayaan pada X = X =3 adalah paling kecil. Semakin jauh X dari X = 3 semakin Iebar interval kepercayaan pada X.
V arians dari slope b adalah :
=
s2 b
cr2 x
L(X- X) 2
Sehingga: 02
= cr2
cr2yc
=cr\c (n +
yc
~
n
-
(X _ X)2 .
1
cr2 yx L(X- X) 2
(X-X) L(X- X)2 )
**) Rata-rata atau nilai yang diharapkan dari distribusi sampling Yc adalah:
Yc
LY
L(a+ bX) N
LY
LbX
n
n
=N=
=~=--=A+
BX = J.lYX
di mana N menunjukkan jumla):l sampel yang mungkin (l
254
Tabel11.5 Data dan Perhitungan untuk Contoh 4 I I I
X
I
s 1/
\
I
: (X- X)
I
I
1 -:-(\_-_:\I'_ ' " ,I n Y (X - :\ 12
( :\ - X 12
I
=S
"
'
i
1 2 3 4
I
I I
I
5
l I
Total= 15 !
2 1 0 1 2
4 1 0 1 4
0
10
1,03 "' 115 + 4/10 = 0,80 1,03 "' 115 + 1/10 = 0,80 1,03"' 1/5 + 0/10 0,80 1,03" 115 + 1/10 0,80 1,03"' 115 + 4/10 = 0,80
= =
!
X= 15/5 = 3
Tabel11.6 Data dan Perhitungan untuk Contoh 4 I
I
X
1 2 3 4 5
: y :::) ' '
2,4 3,8 5,2 6,6 8,0
'
I
t.S
"
3,182(0,80) 3,182(0,56) 3,182(0,46) 3,182(0,56) 3,182(0,80)
'
Bat as Ba\\ ah Y - t.S ' "
2,05 3,74 4,85 5,45
I
I
Batas atas ) + t '
I
"
'
4,95 5,55 6,66 8,35 10,55
*) Tabel 11.4
Daerah interval kepercayaan ditunjukkan dengan garis titik-titik dalam gambar 6.3 yang dibuat dari sampel tunggal. Apabila kita mengambil beberapa sampel dari populasi yang besar, kita dapat membuat daerah interval kepercayaan untuk tiap sampel. Interpretasi dari daerah interval kepercayaan katakan (95%) adalah 95 dari 100 kemungkinan garis regresi populasi (j..ty) akan terletak dalam daerah batas kepercayaan yang didasarkan sampel. Dengan kata lain, jika kita membuat 100 sampel daerah interval kepercayaan, kita mengharapkan 95 dari daerah tersebut memuat (mengandung) garis regresi populasi yang betul. Apabila ukuran sampel besar, katakan n = 1000 atau lebih, rasio dari (X- X)ldengan (X- X) 2 akan menjadi kecil. Demikian pula apabila n besar, Syx akan mendekati Syx , rumus ( 11.2.a) dapat ditulis:
255
Syc =S yx'l./n fl=~ --./n
(11.2.b)
Juga, apabila ukuran sampel besar, nilai dari t akan mendekati deviasi normal Z, seperti pada 95% interval kepercayaan (Z =1,96) yang mana merupakan batas dari t dengan derajat kebebasan tak terbatas. Jadi interval estimate l""yx 11 untuk sampel besar dapat ditulis: Batas kepercayaan =•Yc ± Z.S yc
s =Yc ± Z. -+ ~\Ill
Perhitungan dari rumus di atas didasarkan pada tabel daerah di bawah kurva normal. 11.5/NTERVAL EST/MAS/ UNTUK NILAI Y INDIVIDUAL
Kadang-kadang kita ingin meramalkan nilai Y individual pada X tertentu, misalnya ingin memperkirakan nilai tes matematika seorang mahasiswa yang sudah menempuh 4 jam semester (X = 4) dalam matematika._ Nilai Y pada X tertentu berdistribusi normal,jika diketahui dengan pasti besarnya ratarata llyx.' maka interval estimate dari nilai Y pada X tertentu, adalah llyx ± a (angka stan dar deviasi nilai Y pada interval kepercayaan tertentu). Akan tetapi, biasanya kita tidak tahu nilai Jlyx , akan tetapi yang diketahui adalah nilai estimasinya Yc , yang berasal dari sam pel. Distribusi dari nilai sampel Yc pada X tertentu adalah normal. Apabila kita hendak mengestimasi nilai Y tersendiri, kita harus mempertimbangkan baik varians (atau standar deviasi) nilai Y maupun varians (a tau standar deviasi) nilai Yc" Pada kenyataannya, jumlah dari 2 varians tadi, adalah sama dengan varians dari perbedaan Y dan Yc, atau: ~
Varians (Y - Yc) = Varians Y + Varians Yc o-2(y-yc) = o-2yx + 82yc
Apabila varians Y dan Yc diestimate dari sampel. persamaan di atas dapat ditulis: s2(y-yc) = §2 yx + s2 yc
Jadi varians dari perbedaan (Y- Yc) diperoleh dengan mengkombinasikan varians dari regresi dan varians dari estimasi rata-rata Y pada X tertentu (S 2Y). Dengan memasukkan nilai S2yc dari rumus (11.2.a) ke dalam rumus (11.3.a) diperoleh: S2
= S2 + §2 yx
yc .
G_!_ + n
2 (X - X) I,(X - X)z
(X-XY I,(X- X) 2
256
J
Distribusi perbedaan (Y- Y) untuk sampel kecil merupakan distribusi t dengan n- 2 derajad kebebasan.
Contoh 5: Lihat sampel yang diberikan pacta Contoh 2. Perkirakan nilai individual untuk setiap jam semester dengan interval kepercayaan sebesar 95%.
Penyelesaian: ( 1) Kita tentukan standar error estimate (Y- Yc ), atau S" Nilai dari S 2yc dapat dihitung dari contoh 4, dengan rumus (11.3.a) dapat kita selesaikan masa1ah ini. Hasilnya ditunjukkan dalam tabel 11.7. Tabel11.7
Data dan Perhitungan untuk Contoh 5 X
'
())
' '
S2 "
( contoh J) (2)
S2 "
( contoh -') (J)
S2 \
\{1
=(2)+(J)' (..J)
I
s
'"
=
1-Ji
(.::;I
'
1 2 3 4
5
1,07 1,07 1,07 1,07 1,07
(0,80)2 =0,64 (0,56)2 = 0,64 (0,46) 2 =0,64 (0,56)2 =0,64 (0,80)2 =0,64
1,71 1,38 1,28 1,38 1,71
1,31
1.17 1.13 1.17 1,31
(2) Kita tentukan batas atas dan batas bawah, batas kepercayaan untuk Y. Sekali lagi batasbatas ini tergantung pacta koefisien kepercayaan t. Pacta 95% interval kepercayaan, nilai dari t dengan 3 (=n-2 =5-2) derajad kebebasan adalah 3,182. Batas ini dihitung dalam tabel 11.8 dan digambarkan dalam gambar 11.4.
Catatan: Interval kepercayaan untuk nilai Y individuallebih Iebar bila dibanding dengan interval kepercayaan rata-rata nilai Y untuk X tertentu. Hal ini disebabkan interval estimate dari nilai Y spesifik harus mempertimbangkan standar deviasi distribusi Y (Sy) di samping standar error distribusi Y c (S yc ). Jadi, perkiraan nilai mahasiswa yang menempuh 3 jam semester semester berkisar antara 1,60 sampai 8,80. Apabila kita mengambil beberapa sam pel dari populasi yang besar, kita dapat membuat daerah interval kepercayaan dari Y untuk tiap sampel. Apabila kita membuat 100 daerah interval kepercayaan, kita akan menerima bahwa 95 di antaranya mengandung nilai Y pacta X tertentu.
257
, ......
, ,, ,','
Tabel11.8 Data dan Perhitungan untuk Contoh 6
''
.\
I I
.
'
t.S ,,
)
I
I
Batas Ba\\ ah
I
I I
\
'
- t.S
' ;
1
2
2,4 3,8 5,2
;
3 4
6,6
s
8,0
!
I
3,182(1.31) =4.17 3.182(1,17) 3,72 3,182(1,13) =3,60 3.182(1,71) 3,72 3,182(1,31) 4,17
Bahls atas I
"
'
I
I
-1,77 0.08 1,60 ' 2,88 3,83
= = =
I
+I "
5.67 7.52 8,80 10,32 12,17
*) Tabel 11.4
Catatan:
=
Apabila ukuran sampel sangat besar, varians Yc atau S\c S\x~n (rumus 11.2.b), akan menjadi sangat kecil. Dan apabila n sangat besar 2p akan mendekati S2p (Rumus ll.l.b). . 2 Apabila diabaikan dan 2p diganti dengan S2p , rumus (6.1.a) dapat ditulis: ~
S2(y-yc)
=S2
yx
Y(Nilai) 95% Interval keyakinan untuk nilai Y yang sesungguhny~ _.
12 10
8 6
4 2
0
--
..- ----- --
------ -- -•
•
•
• 2
-- -- --
• ------ -- --
3 4 X (Jam Semester)
5
6
Gambar 11.4 . Interval Estimate Nilai Y Individual pada X Tertentu, Dibandingkan dengan Nilai Y yang Sesunggubnya 258
Apabila ukuran sampel sangat besar, nilai dari t akan mendekati deviasi normal Z. Jadi interval estimate dari Y untuk sampel besar dapat didekati dengan: Batas kepercayaan = Yc ± Z S yx Perhitungan pemyataan di atas didasarkan pada tabel daerah di bawah kurva normal. Jika batas atas dan batas bawah pacta 68% batas kepercayaan digambar, titik-titik yang menunjukkan batas tadi akan berupa dua buah garis terputus-putus seperti yang digambarkan pada gambar 10.3. 11.6 EST/MAS/ KOEF/SIEN DETERM/NASI p2 DENGAN
r
Koefisien korelasi populasi dari distribusi normal bivariat diberi simbul dengan p (rho). Koefisien determinasi populasi merupakan kuadrat dari koefisien korelasi populasi dan diberi simbol p2, dapat dicari dengan cara yang sama seperti mencari r2 (rumus 10.5.b). Biasanya ditulis sebagai berikut: 0'2
p2 = 1--;;? cry
(11.4)
Apabila kita menggunakan sampel untuk mengestimate p2 , rumusnya menjadi:
§z
i
= 1- ----YL
(11.5.a)
§2
y
atau i
(~) n-m
= 1 - (1 - R2)
(11.5.b)
Contoh 6: Perkirakan koefisien determinasi populasi dan koefisien korelasi populasi berdasarkan sampel yang diberikan pada contoh 2. Penyelesaian: Dengan menggunakan rumus (11.5.a) 3 20
• §2 yx = 5-2
i\x = 1 *)
80 • = 5 7 (tabel11.9) S2 = 225-2 '
= 1'07
yx
J.fJ- =0,81 atau 81% sz
Bukti: S2 (n/(n-m)) i =1 - ~ = 1 yx = 1 - (1 - r) S2 S2 (nl(n-m))
~
1 = 1 - (1 r)
l
n- {
n
n-1
n-m
n
J
\_n-m) 259
Tabel11.9 Data dan Perhitungan untuk Contoh 6 \
(\'-\I'
- \ I
t\
'
I
4 7 8
~
-3,2 -0,2 -1,2 1,8
i
3.24
2,8
7,84
IY = 26,Y=5,2
i
0
22,80
2
s
l
10,24 0,04 1,44
I
; I
i
Dengan menggunakan rumus (11.5.b) -2-1 I--
S2yx
-
-
~-
1 -
3,20/5 - 1 3,20 -9 859 22 80/5 - - 22 80 - '
y
'
'
r= ..J 0,8596 = 0;}27 dibulatkan 0,93 i 2 = 1 - (1-0,8596) (
;~~ J
= 0,81
(sama dengan di atas)
Untuk sampel kecil faktor (n-1)/(n-2) dalam rumus (11.5.b) penting artinya, dalam hal penyesuaian r2 untuk r, seperti r2 = 0,86 dan 2 = 0,81 dengan r = 0,93 dan= 0,90 dalam contoh 6 untuk n = 5. Untuk sampel besar faktor ini biasanya diabaikan karena nilainya akan mendekati 1. Bila faktor tersebut diabaikan, 12 sama dengan r2 , yaitu apabila i 2 = 1 - (1-r2 ) = r2 yang dihitung dengan rumus (11.5.b). Contoh 7: Taksirlah koefisien determinasi populasi jika koefisien determinasi sampel adalah 0,64 dan banyaknya sampellOl. Penyelesaian: Dengan menggunakan rumus (11.5.b), r2 = 0,64; n = 101. 1A2
= 1- (1 -0 64) •
r:cw1-2 101-1 )
i 2 = 1 - 0,36 (0,99) = 0,6436
Jadi:
r2 = i 2 = 0,64
dan
1 = 1 = ..J0,64 = 0,80
260
dibulatkan menjadi 0,64
Standar error dari korelasi r dapat diperkirakan dengan sampel besar yang didasarkan pada rumus berikut:
S= 1-r r
..JnT
Dalam rumus ( 11.6), r2 dipakai sebagai pengganti 12 jika sampelnya besar, merupakan koefisien determinasi populasi yang diperkirakan.
Catatan: Distribusi sampel dari r hanya mendekati normal untuk sampel yang besar. Sehingga rumus di atas tidak sesuai untuk sampel kecil. Untuk sampel besar, distribusi dari r adalab menceng sedikit apabila nilai sesungguhnya dari koefisien korelasi mendekati ± 1. Hal ini jelas, karena batas dari p adalab -1 sampai + 1. Apabila p mendekati + 1, misa1nya +0,99 sampel r akan mempunyai maksimumjarak (range) hanya 0,01 ke arab batas atas dan 1,99 ke arab batas bawab. Contoh 6 dan 7 memberikan cara memperoleh estimasi titik untuk p 2 dan p, sedang contoh 8 berikut akan memberikan contoh cara menemukan interval estimate dari p.
Contoh 8: Berdasarkan contoh 7 carilab interval estimate koefisien korelasi populasi dengan 95% interval kepercayaan.
Penyelesaian: Dengan menggunakan rumus ( 11.6):
= 1 - 0,64
rtol-1
= 0,036
Batas atas kepercayaan
=r + z.sr = 0,80 + 1,960(0,036) = 0,87.
Batas bawab kepercayaan
= r- z.sr = 0,80- 1,960(0,036) = 0,73
Hal ini menunjukkan babwa 95 dari kemungkinan koetlsien korelasi populasi yang sesungguhnya p terletak di antara angka 0, 73 sampai 0,87.
*
Standar error populasi r adalab : 1 - p2 ar =---.,...---'-~
261
11.1 PENGUJIAN HIPOTESIS • KOEFISIEN POPULASI p TRANSFORMASI Z
= Po
DENGAN
Distribusi r mendekati normal hanya untuk sampel besar dan tidak normal untuk sampel kecil. Fisher mentransformasikan r menjadi Z dengan menggunakan logaritma, sebagai berikut: O'z
= 1,1513log 10
•
l+r j ( 1-r)
(11.7) 1
Contoh 9: Koefisien korelasi yang didasarkan pada sampel sebanyak 101 sudah dihitung dalam contoh 7, mendapatkan r = 0,80. Dapatkah kita menerima suatu hipotesis yang menyatakan bahwa koefisien populasinya p adalah;::: 0,85 dengan level of significance (a)= 5%. Penyelesaian: ( 1) Ho : Tidak ada perbedaan antara koefisien korelasi populasi yang diasrimsikan po = O;S~ dan koefisien korelasi sampel r = 0,80. r merupakan nilai estimate dari p (kOefisien korelasi populasi sesungguhnya). (2) Tentukan nilai Z, Standar deviasi normal. Transformasikan r ke Z dengan rumus ( 11. 7) (.1+0 80
J =1,1513log (9)
Z, =1,1513log ~ l-O,S )
z, = 1,1513 (0,954243) z, =1,0986 Transformasikan po ke Z juga dengan rum us ( 11. 7)
*
Rum us ( 11.7) serin.g iiitulis dalam 'bentuk:
z
1
log e. (
~~:) di mana e = 2,71828
Logaritma biasa dengan bilan.gan pokok 10 dapat diubah dengan logaritma natural dengan bilan:gan pokok e dengan cara dikalikan dengan faktor 2,3026. Sebagai contoh, 2,3026log 10 X= loge X di mana X menunjukkan bilangan positip. Kita men.ggunakan (1/)(2,3026) = 1,513 yang ditulis dengan rumus (11. 7) di atas adalah untuk memudahkan perhitungan. Rumus ini dapat digunakan untuk korelasi parsial akan tetapi tidak dapat untuk korelasi berganda. Akan tetapi rumus Standar error• tmtuk , koefisien korelasi parsial berbeda yaitu : 0'
262
-FE
z 12.J -
--
3n-l
l+0,85j
zpo = l,l513log ( 1-0,85) zpo = 1,1513 (0,089905) zpo = 1,2548 Standar error Z = crz =
= 1,1513log (12,3)
1 _ = 0,1010 101 3
(11.8)
Sehingga kita peroleh : Z=
Z-Z r po
_
O"z
-
1,0986 - 1;2548 = -1,55 0,1010
(3) Mengambil keputusan. Pada a= 5% untuk tes satu sisi sebelah kiri, nilai kritis Z adalah -1 ,64. Kita akan menolak hipotesis hanya jika Z lebih kecil dari -1 ,64. Nilai hitung Z = -1,55 lebih besar dari -1 ,64. Jadi kita menerima hipotesis bahwa koefisien korelasi populasi adalah lebih besar atau sama dengan 0,85. Atau dengan kata lain perbedaan antara po dan r adalah tidak signifikan. Untuk lebih memperjeJas contoh di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
z =-1.64
-1.55
Gambar 11.5
Diagram untuk Contoh 9 Kesimpulan dari contoh di atas adalah konsisten dengan interval estimate dari _ yang dihitung dalam contoh 8 dengan data yang sama (r = 0,73 sampai 0,87). 11.8 PENGUJIAN- KORELASI POPULASI p
= po DENGAN ANAL/SIS VARIANS
Koefisien korelasi populasi p menunjukkan derajad hubungan antara variabel X dan variabel Y dari populasi bivariat. Apabila kita asumsikan p =0 kita membuat hipotesis bahwa 263
tidak ada hubungan antara dua variabel. Hipotesis ini dapat diterima atau ditolak dengan F tes atau t tes. Kita tabu kalau sampel ditarik dari populasi bivariat akan diperoleh: Total Variasi = Variasi yang tidak dijelaskan + Variasi yang dijelaskan.
Variasi yang tidak dijelaskan dan variasi yang dijelaskan merupakan penaksiryang tidak bias bagi varians populasi, oleh sebab itu kita dapat menulis rasio F sebagai berikut: F=
Varians yang dijelaskan V arians yang tidak dijelaskan
2;(Yc- Yf m-1 F = L(Y- y c)z n-m Kalau disederhanakan:
F=
§zy(c)
§z
(11.9)
yx
yang menunjukkan bahwa: = banyaknya nilai Y dalam sampel. n m banyaknya konstanta di dalam persamaan regresi sampel. m- 1 D 1 = derajat kebebasan pembilang dari F rasio. m - n = D 2 =derajat kebebasan penyebut.
= =
Catatan: Simbul Sy dalam rumus (11.9) (lihat juga rumus 10.5.a dan 10.5.b) dan simbul Syc dalam rumus (11.2.a) menunjukkan pengertian yang berbeda. V arians sampel tidak dapat ditambahkan, tetapi derajad kebebasan dapat ditambahkan: total (n- 1) =yang tidak dijelaskan (n - m) +yang dijelaskan (m - 1) Jika varians yang dijelaskan tidak berbeda secara signifikan dengan varians yang tidak dijelaskan, dua penaksir yang idependen dari varians populasi cenderung untuk sama. Berarti F akan mendekati 1, hal ini teljadi apabila derajad korelasinya lemah. Jika varians yang *)
264
Teknik analisa varians dengan rasio F yang digunakan dalam korelasi sederhana untuk menguji signifikasi, dapat digunakan dalam korelasi parsial dan korelasi berganda, juga dalam koefisien persamaan regresi.
dijelaskan berbeda secara signifikan dengan varians yang tidak dijelaskan, nilai dari F dapat terjadi dengan salah satu dari dua kemungkinan berikut: ( 1) Rasio F kurang dari satu atau mendekati nol berarti varians yang dijelaskan (pembilang) lebih kecil bila dibanding dengan varians yang tidak dijelaskan (penyebut). Hal ini berarti hipotesisnya betul, tidak ada korelasi an tara dua variabel. Jika tidak ada korelasi Yc akan mendekati atau sama dengan Y. Variasi yang dijelaskan I,(Yc Y )2 mendekati atau sama dengan noI. Akibatnya ~ariasi yang tidak dijelaskan I,(Y- Y/ menjadi relatif besar jika total variasinya I,(Y - Y) tetap. Varians dihitung dari variasi, sehingga rasio F akan mendekati atau sama dengan nol apabila korelasinya rendah atau tidak ada korelasi. (2) Rasio F lebih besardari satu, berarti varians yang dijelaskan (pembilang) lebih besardari varians yang tidak dijelaskan (penyebut). Hal ini menunjukkan hipotesisnya tidak betul, berarti ada korelasi yang tinggi antaradua variabel. Apabila korelasinya tinggi, variasi yang dijelaskan menjadi besar jika Yc berbeda j auh dari Y. Implikasinya variasi yang tidak dijelaskan relatif kecil. Sehingga nilai F, diharapkan menjadi besar jika korelasinya tinggi. Di dalam pengujian hipotesis, kita tertarik untuk mengetahui benar atau tidaknya nilai F terse but signifikan berdasarkan F tabel pada tingkat signifikan tertentu. Jika besarnya nilai F signifikan, kita tolak hipotesis yang menyatakan tidak ada korelasi. Altematifnya kita menerima hipotesis yang menyatakan ada korelasi yang tinggi antara 2 variabel. Jika besamya nilai F tidak signifikan, kita menerima hipotesis, atau mungkin ada korelasi tetapi sangat lemah. Jika F sangat kecil atau mendekati nol, kita dapat menerima hipotesis tanpa ragu-ragu. Banyaknya konstanta dalam persamaan regresi tinier adalah 2 atau m = 2 (konstanta a dan b). Sehingga, D 1 =m- 1 =2- 1 danD 2 =n- m n- 2. JikaD 1 1, padatingkatsignifikasi tertentu nilai t adalah:
=
=
(ll.lO.a) yang menunjukkan bahwa t merupakan tes dua sisi dengan n- 2 (atau D 2) derajad kebebasan.·
*)
t test tidak dapat digunakan untuk koefisien korelasi berganda karena banyaknya konstanta (m) di dalam persamaan regresi berganda adalah 3 atau lebih dan D 1 = m- 1 tidak sama dengan 1. Akan tetapi t test dapat digunakan untuk koefisien korelasi parsial Rumus untuk koefisien korelasi parsial antara XI = x3 dengan x2 konstant adalah
Distribusi t mempunyai nm - 3 derajat
265
Rumus di atas juga dapat ditulis dalam bentuk lain, yang dapat dilihat hubungan antara t, r, dan r2 sebagai berikut;
t
/i1T
= r V--r::rz
(ll.IO.b)
Sekarang kita dapat menggunakan tabel t dengan n- 2 derajad kebebasan untuk memperoleh basil yang sama sebagai pengganti tabel F dalam analisis varians. Tabel t mempunyai faedah Iebih banyak karena mempunyai ban yak "entries" dan tingkat kepercayaan dibanding tabel F.
Contoh 10: Dengan menggunakan sampel yang diberikan dalam contoh 2: (a) Hitung nilai F. (b) Dengan menggunakan rasio F, tentukan benar tidaknya variabel Y berhubungan dengan variabel X dalam populasi dengan a= 5%.
Penyelesaian: a)
Penaksir yang tidak bias untuk varians populasi dapat diperoleh dalam tabelll.IO. Tabelll.IO Data dan Perhitungan untuk Contoh 10 \hu:am \ ariasi
I I
Vm·iasi
I
'
I I
-
=
: Derajat kehrhasan ' Estimasi \ arians ' : populasi I
'
!(Y-Y)2 22,80
Total
I
Perhitungan \'ariasi
Contoh6
n-1 =5-1 =4
: S2y =22,8/4 =5,70 I
Tidak. dijelaskan
I.(Y-Y/-=3,20
Contoh3
D2 = n-m =5-2= 3 ;'
Dijelaskan
!(Yc-Y)l= 19,60
Total dikurangi yang tidak dijelaskan
D1 =m-1=2-l=l
§2 F=~=19,60 =1832 §2 1,07 '
S2y = 3,2013 = 1,07
; s2-}'{•l
=19,611 = 19,60
I
(rumus 11.9)
yx
b)
266
Pada a= 5% dengan D 1 = 1 dan D 2 == 3, besamya nilai F signifikan apabila lebih besar dari 10,13. Berdasarkan perhitungan nilai F == 18,32lebih besar dari 10,13. Kita dapat menyatakan bahwa varians yang dijelaskan adalah lebih besar dari varians yang tidak dijelaskan dengan signifikan. Kemudian kita tolak hipotesis yang menyatakan tidak ada korelasi dalam populasi. Dengan kata lain, ada hubungan antara variabel X dan variabel
Y. Oleh karena itu hubungan antara dua variabel yang dinyatakan dengan koefisien korelasi r signifikan pada a= 5%. Akan tetapi jika kita gunakan a= 1% besarnya nilai F signifikan apabila lebih besar dari 34, 12. Berarti kita menerima hipotesis. Oleh karena itu kesimpulan terbaik yang dapat ditarik dalam contoh 10 adalah menyatakan bahwa korelasinya "mungkin" (probably) signifikan. Contoh 10 juga dapat dikerjakan dengan t tes sebagai berikut: t=
--/F =18,32 = 4,28
(rumus ll.lO.a)
a tau t=r"
{0:2
n
= 0,927
J
5-2 1-0,8596
= 4,28
(rumus ll.lO.b)
Dengan menggunakan tabel t dengan D = 0 2 = 3 pada a== 5%, t = 3,182 pada a= l %, t == 5,841. Nila:i t hitung == 4,28 berarti di antara 2 nilai dalam tabel. Jadi kesimpulan yang dapat ditarik adalah sama dengan menggunakan F tes. 11.9 MENGUJI HIPOTESIS- KOEFISIEN REGRES/ POPULASI 8
=0
Koefisien regresi populasi B, atau slope dari garis regresi populasi, juga menunjukkan hubungan antara variabel X dan variabel Y. Sebagai contoh B = 1 dalam persamaan regresi populasi Contoh 1,
Jlyx =A+ BX = 2 + IX menunjukkan kenaikan dalam rata-rata nilai Jly,jika jam semester yang diambil dalam kuliah matematika bertambah. Jika B = 0, garis regresi populasi menjadi mendatar karena:
Jlyx =A+ OX=A Garis horisontal menunjukkan tidak ada hubungan antara variabel X dan variabel Y. Dengan kata lain kenaikan atau penurunan dalam variabel X tidak diikuti perubahan dalam variabel Y. Jika kita tertarik pada hubungan an tara dua variabel, kita dapat memeriksa apakah B sama atau tidak dengan nol. Kita dapat menggunakan uji hipotesis bahwa B 0. Standar error dari b, atau standar deviasi distribusi sampling b, yang diberi simbol <\• dapat ditaksir dengan sampel dengan menggunakan rumus:
=
sb--
(
)2
Distribusi b adalah distribusi t dengan n- 2 derajat kebebasan. Contoh 11 akan menunjukkan metode testing hipotesis yang didasarkan pada Standar error dari b. *)
Untuk varians distribusi sampling dari b, lihat catatan kaki rumus (11.2.a) 267
Contob 11: Berdasarkan koefisien regresi sampel b = 1,4 dalam contoh 2, tentukan apakah Y berhubungan atau tidak dengan variabel X, dengan menggunakan a= 5%. Penyelesaian: 1) Menentukan hipotesis nol. Ho: B = 0 tidak ada hubungan antara variabel X dan variabel Y. 2) Tunjukkan perbedaan antara statistik sampel b dan parameter populasi B dalam unit standar error dari'Statistik, atau: b -B t. = sb
Standar error dari b dihitung dengan menggunakan rumus ( 11.111)
rsz:: bv~2
s
t=
=
=)
1 07 • 10
= 0,327
14-0 0,327 = 4,281
Nilai t sama dengan yang diperoleh dalam Contoh 102 3)
Mengambil keputusan. Pada a= 0,05 nilai kritis dari t dengan n-2 (=5-2= 3) derajat kebebasan adalah 3,1982 (dua sisi). Nilai t hitung = 4,281lebih besar dari nilai kritis 3, 182. Berarti kita tolak hipotesis bahwa B = 0. Kita dapat menarik kesimpulan jika B -:t 0 ada hubungan antara variabel X dan variabel Y.
Catatan: Jika ukuran sampel besar, kita dapat menggunakan distribusi normal sebagai pengganti distribusi t dalam langkah ke 2 dari Contoh 11, atau t didekati dengan Z dan dapat ditulis: Kesimpulan yang sama dapat diperoleh dengan mencari interval estimate dari :8 didasarkan pada sampel b. Pada interval kepercayaan sebesar 95%, atau a= 5%, interval estimasi B untuk contoh 11 adalah sebagai berikut: Batas kepercayaan = b ± t.Sb = 1,40 + 3,182(0,327) = 1,40 ± 1,04 = 0,36 sampai 2,44 Sehlngga nilai B tidak sama dengan nol, akan tetapi di antara angka 0,36 sampai 2,44. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa terdapat hubungan antara variabel X dan variabel Y. Nilai B sesungguhnya adalah sama dengan 1 (Contoh 1). Kemungkinan dalam praktik kita tidak dapat memperoleh koefisien regresi populasi B yang sesungguhnya sebagai pembanding. **) Kita dapat membuktikanjika D 1 = m- 1 = 2- 1, t yang diperoleh dari --.IF (rumus 6.9 dan 6.10.a) akan sama dengan yang diperoleh dari (b-0)/Sb sehingga t =--.IF= b/Sb. 268
',•'
Bab XII Regresi dan Korelasi Non Linier
Analisis yang disajikan dalam Bab 10 dan Bab 11 didasarkan pada anggapan bahwa hubungan rata-rata antara dua variabel dapat dilukiskan dengan garis lurus. Akan tetapi, anggapan ini boleh jadi tidak sesuai untuk beberapa data. Kerap kali hubungan dalam dunia bisnis dan kegiatan ilmu ekonomi dapat diterangkan secara lebih baik dengan kurve dibanding dengan garis lurus. Pada bagian satu sampai tiga dari bab ini akan disajikan analisis regresi dan korelasi non linier yang didasarkan pada: ( 1) Sebuah kurve parabola yang ditentukan oleh persamaan po1inomina1 pangkat dua. (2) Menggambar smooth curve dengan metodefreehand graphic. (3) Sebuah garis yang terputus-purus dihitung dari kelompok data dari tabel korelasi. Penerapan dari matriks aljabar terhadap bidang statistik, akhir-akhir ini semakin meningkat. Matriks aljabar terutama digunakan di dalam mempelajari lebih lanjut terhadap masalah analisis korelasi. Sub bab 12.4 pertama akan mengemukakan istilah dasar dan operasi dari matriks. Selanjutnya akan disajikan metode yang dipilih untuk menyelesaikan · persamaan linier dengan matriks aljabar. 12.1 KURVA PARABOLA PANGKAT DUA Kurva regresi yang didasarkan pada persamaan polinominal pangkat dua adalah set· Jai berikut: Y c =a+ bX + cX 2
(rumus 7.4)
Karena dalam persamaan ada tiga bilangan tetap a, b, dan c yang tidak diketahui, maka untuk menyelesaikannya perlu dibuat tiga persamaan. Untuk mempermudah penyelesaian, dibuat tiga persamaan normal didasarkan pada metode kuadrat terkecil (rumus 7.5) sebagai berikut:
I. I(Y) = na + b I( X) + c I(X2) II. I(XY) = a I,(X) + b I(X 2) + c I(X 3 ) III. I(X 2Y) = a I(X 2) + b I(X3) + c I(X 4)
269
Tiga persamaan normal dapat disederhanakan dengan lambang X sehingga menjadi IX = 0. Akan tetapi jumlah nilai X seringkali tidak sama dengan nol di dalam analisis regresi. Dalam hal demikian (bahwa IX * 0) untuk memperoleh bilangan tetap a, b, dan c yang tidak diketahui, maka tiga persamaan normal harus diselesaikan secara simultan. Metode yang digunakan untuk menghitung standar deviasi dari regresi non linier, sama seperti yang digunakan pada sebuah persamaan regresi garis lurus. Koefisien korelasi sebagai akar kuadrat dari koefisien determinasi untuk korelasi non linier, juga dapat disebut sebagai indeks korelasi. Koefisien untuk korelasi non linier ditunjukkan oleh subcripts, disusun dalam ordo dari variabel dependen dan variabel independen. Sebagai contoh, koefisien korelasi variabel Y (variabel dependen) pada variabel X (variabel independen) ditunjukkan oleh subcripts ryx. Subscripts di dalam bab yang terdahulu nilai r untuk koefisien sama, yaitu Y atau X sebagai variabel dependen. Subcripts perlu sekali dalam menghitung korelasi non linier pangkat dua karena ryx adalah tidak sama dengan rxy (X sebagai variabel dependen dan Y sebagai variabel independen). Kita boleh menganggap r untuk korelasi linier sebagai hal yang khusus dari korelasi non linier. Nilai r2 yx untuk korelasi non linier dapat ditaksirkan dalam cara yang sama seperti r2 untuk korelasi linier. Perhitungan nilai dari ryx atau r xy tidak menunjukkan tanda + atau -.Slope dari garis regresi non linier atau sebuah kurve dapat positip untuk beberapa bagian tertentu dan negatip untuk bagian kurve yang lain. Kenyataan ini dapat dengan mudah dilihat pada scatter plot diagram dengan sebuah kurve yang sesuai untuk suatu data. Penyelesaian masalah yang biasanya dilakukan dalam analisis regresi dan korelasi berdasarkan pada kurve parabola pangkat dua, adalah sebagai berikut: (a) (b) (c) (d)
Merencanakan sebuah scatter plot diagram pada sebuah peta. Menghitung persamaan regresi Yc =a+ bX + cX 2 • Menggambarkan kurve regresi didasarkan pada persamaan di atas pada tabel. Dihitung standar deviasi dari regresi dengan rum us yang disajikan dalam sub bab 10.3.a. Syx =
I(Y- y )2
n
(Rumus 10.3.a)*
c
(e) Menghitung koefisien determinasi r 2~ dan koefisien korelasi r~ (dengan rumus 10.5.a) yang dapat ditulis 2
_
V ariasi yang dijelaskan
r yx -
*)
Dapatjuga diperoleh dengan meHgubah rumus (10.3.b) sebagai berikut:
syx 270
Total variasi
=J
IY 2 - aiXY - ciX2 Y n
= L,(Y
r2
- Y)2 L,(Y- Yf
yx
C 2.l.a)
atau dengan rumus (10.5.b) yang dapat ditulis sebagai berikut: r2
yx
S2
= 1. _____u. S2 y
Contoh 1: Tiga kolom pertama dari tabel 12.1. menunjukkan jumlah penjualan (Y) dari 8 orang penjual selama peri ode waktu tertentu dan pengalaman dalam berjualan (X) dari tiap penj ual. Buatlah analisis regresi dan korelasi dengan regresi dan korelasi non linier.
(Catatan: contoh ini menggunakan data yang sama seperti contoh 1, 2, dan 3 dalam Bab 10). Tabel 12.1 Data dan Perhitungan untuk Persamaan Polinomial Pangkat Dua dengan Menggunakan Metoda Kuadrat Terkecil untuk Contoh l(b) Penjual
.Jumlah Penjualan , (dalam Rpl.OOO,OO)
Pengalaman Berjualan (dalam tahun)
y
X
(1)
(2)
(3)
A
G H
9 6 4 3 3 5 8 2
6 5 3 1 4 3 6 2
11 16 9 36 4
27 216 8
81 1 256 81 1.296 16
n=8 Total
40
30
136
684
3.652
B
c D E
F
xz
xz
(4)
(5)
I
XY
xzy
(6)
(7)
I
•• 125 27 I
64
.
'•
.• .• 902
Penyelesaian: (a) Scatter plot diagram dibuat dalam gam bar 12.1 (b) Persamaan regresi parabola dihitung dengan metode kuadrat terkecil. Nilai yang diperoleh dari penerapan tiga persamaan normal adalah sebagai berikut:
271
I. 8a + 30b + 136c = 40 II. 30a + 136b + 684c = 178 Ill. 136a + 684b + 3.652c =902 Tiga persamaan ini dapat diselesaikan bersama dengan metode eliminasi seperti yang dibicarakan pada bab sebelumnya atau dengan menggunakan matriks aljabar (yang disajikan dalam sub bab 12.4 contoh 10). Perhitungan dapat disederhanakan jika masing-masing persamaan dikurangi, sampai terendah. Sebagai contoh, persamaan pertama dibagi dengan dua, sehingga kita peroleh persamaan I yang sederhana. I. 4a + 15b + 68c = 20 y Penjua1an (Rp 1000) 10
9 8 7 6
5 4 Yc == .5914-9.1 7 X+ .28 (Garis Lurus Regr si)
3
x2
2
0
~-----L------L-----~------~----~-------~----~
0
3
2
4
5
6
X (Penga1aman berjua1an) Sumber: Contoh 1 dan gambar 10.3
Gambar 12.1 Diagram Pencar dan Garis Regresi Parabola dengan Perbandingan Garis Regresi Lurus
272
7
Tabel12.2
.
Pcrhitungan untuk Y dan Standar Deviasi Regresi S . untuk Contoh 1 (C) dan 1 (D) Penjualan
y
j
~
y ,.
X
Y-Y ,.
IY- Y,. )2
(4)
(5)
( 6)
0,65 -0,13 0,59
0.42 0,02 0,35
= 3,5914- 0,9127X
I I.
+ 0,2842X I
(1)
(2)
B
6
c
4
D E
3 , ..)
F G
5 8
6
8,35 6,13 3,41 2,96 4,49 3,41 8,35
H
')
2
2,90
-90
0,12 0,81
Total
40
30
40,00
0,00
6,41
(3)
3 I
4 3
0,04
0,00
-1,49 1,59 -6,35
2,22 2,53
Penyelesaian: a==3.59!4:b
-0.9127: c
0.2841
Per:-.amaan yang diperlukan: Y, *l
= 3.5914- 0.9 I '27 X+ 0.2842 X 2 Jawaban diperokh dengan menyelesaikan dua persamaan untuk b dan c Ixy = b IX+ c Ixt dimana x = X X : y Ity b It + c If' t T - T dan T = X 2
(1)
Y -Y
(2)
Nilai yang diperlukan untuk dua persamaan ditunjukkan bahwa di bawah dan dapat diperoleh dari Tabel 12.1.
l:X 2 = 2:.X 2 (L,:)"
136
Ixt =IX' __2:.X.2:.X' n
Ixv •
= 2:.XY-
2:.X.2:.}'_ n
~ = 23,5
3 2
684- 30036) = 174
= 178
30 (40> 8
= 28
(bersambung ... )
273
( ...bersambung) 62
~)2 = l,X4 - (2:~ ) = 3,652- 1 ~ =1,340 2 2
Ity =I.X2Y-
IX~IY =902-
t
136 0
)
=22222
Subtitusikan lima persamaan di atas ke dalam persamaan (1) dan (2) 23,5b + 174c =· 28 174,0b + 134c = 222
Penyelesaian Membagi persamaan normal I dengan n
a = IY _b IX _c 2:X n
= ~0
n
2
n
1 6 3 - (-0,912689) ( 8°)- 0,284185 ( : )
= 3,591439 Kelima persamaan di atas dapat dibuktikan dibawah ini:
=IX2
2X.IX + nX 2 =I,X 2 - 2X.nX + nX 2
=I.Xz - nX2 =I.Xz - (I,X)2 n I,xt =l:(X - X)(T - T) =l:(XT- XT - ST + XT)
=l,XT- X.IT - T.I.X + nXT =IXT - X.nT- TnX + nXT =I.XT - nXT Bila T=X 2
I.Xt =2:XX2 - nXX2 =I.X3 - IX.IX
2
n
Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan untuk Ixy ; t2 dan Ity.
274
(1)
(2)
(c) Garis regresi yang didasarkan pada persamaan yang dihitung juga digambarkan pada gambar 12.1. Titik pada garis yang ditentukan oleh nilai Yc diperoleh sebagai berikut: Untuk penjual A, X= 6 Yc = 3,5914- 0,9127(6) + 0,2842(62) = 3,5914- 5,4762- 10,2312 = 8,3464 dibulatkan menjadi 8,35 Dalam cara yang serupa, nilai Yc dari penjuallain dihitung dan disajikan dalam kolom (4) dari tabel 12.2. Nilai Yc menunjukkan taksiran jumlah penjualan. Sebagai contoh taksiran jumlah penjualan dari penjual yang mempunyai pengalaman 4 tahun (X= 4) dalam berjualan adalan Rp4.490,00 (4,49 x Rpl.OOO,- tiap Y unit). Catatan: Dari regresi garis lurus memberi perkiraan kepada penjual yang mempunyai pengalaman berjualan selama 4 tahun adalah Rp5.290,00. Regresi garis lurus yang dihitung dalam contoh 1 pada Bab 10 juga digambarkan pada gambar sebagai pembanding.
(d) Standar deviasi dari regresi dihitung dengan menggunakan rumus (10.3.a): S =JI(Y- Y) yx
2
n
=J 6,478
= -J 0,80875 = 0,90 (dalam satuan Rpl.OOO,OO) Nilai di~persi Syx yang didasarkan kurve para bola(= 0,90 di atas) adalah lebih kecil dibanding berdasarkan garis lurus (=1,15). (e) Menentukan koefisien determinasi dengan menggunakan rumus (12.l.b): 2
r2 yx
S = 1- __ yx_ =S2 yx
0,80875 55
= 1-0,14705
'
=0,85295 atau 85% (S y2 = 44/8 = 5,5) koefisien korelasinya adalah: ryx = -J 0,85295 = 0,92
r
Nilai r2yx dan ryx dapat ditafsirkan dalam cara yang sama, masing-masing seperti dan r. Dengan demikian 85% dari variasi jumlah penjualan (Y) adalah saling berhubungan atau
275
dijelaskan oleb variasi dari pengalaman berjualan (X) yang didasarkan garis regresi yang berbentuk parabola. Perbandingan dua ukuran dari tingkat korelasi yang didasarkan pada persamaan parabola dengan garis lurus dari data yang sama dalam contoh I, r2yx menunjukkan bahwa kurve parabola memberikan -pengetrapan yang lebib baik daripada dengan garis lurus. Hal ini didukung kenyataan bahwa basil SY, semakin kecil, sedangkan basil koefisien r 2Y, semakin tinggi (juga koefisien korelasi rYJ Apabila data yang diberikan dianggap sebagai sampel untuk perkiraan parameter populasi, perkiraan parameter yang tidak bias barus digunakan. Rum us umum dari perkiraan itu dapat diperoleb dengan cara yang sama seperti yang disajikan dalam Bab 11. Sebagai contoh, rumus (didasarkan pada rumus 11. 1) dan perhitungannya (didasarkan pada data yang diberikan pada contob 1) untuk menaksir standar deviasi dari regresi populasi adalah sebagai berikut:
syx
=Jn~m =0,90)8~3
=0,90.V1,6=1,14
m=3 Karena di dalam persamaan parabola ada tiga bilangan tetap a, b, dan c. Menurut rumus ( didasarkan pada rumus 11.5) dan perbitungannya (didasarkan pada data yang sama seperti di atas) untuk menaksir koefisien determinasi populasi sebagai berikut: S2
y
12
yx
=
l:(Y Y)z n-1
=
44
TT
S2 1,2940 1 - ___}'_'<_ = 1 S2 6,2857 yx
6,2857
= 1-0,2059
= 0, 7941 atau 79% atau 12
yx
1 (l- r2
yx
)(~) n- m
1 = 1 (1 - 0,85295) (JL_8) =0,7941 -3 Estimasi koefisien korelasi populasi adalab: i yx = -v 0,7941 = 0,89 276
12.2 MENGGAMBAR SMOOTH CURVE SECARA BEBAS
Perhitungan dan persamaan polinomial derajat pangkat dua atau lebih didasarkan pada metode kuadrat terkecil sangat sulit untuk beberapa data. Sebagai gantiny.a gambar sebuah smooth curve dengan metode freehand graphic sering dipakai dalam praktik untuk analis::; regresi dan korelasi. Selanjutnya bermanfaat atau tidaknya sebuahfreehand regression curve dapat dilihat dari besarnya dispersi di sekitar kurve regresi. Prosedur untuk mendapatkan ukuran-ukuran yang penting dari analisis regresi dan korelasi dengan metode freehand graphic secara garis besar sebagai berikut: (1) Menggambar smooth curve pada scatter plot diagram sesuai dengan data yang ada. Kurva ini dapat menyerupai kurva parabola seperti gambar 10.1 dan garis regresi yang diinginkan. (2) Membaca nilai Yc dari smooth curve dari masing-masing nilai X yang ada. (3) Menghitung masing-masing (Y - Y0 ) perbedaan antara masing-masing Y dan Yc pada nilai X tertentu. Kalau perbedaan itu dikuadratkan dan ditambahkan atau I.(Y- Yc) 2, Standardeviasi dari regresi Syx' koefisien determinasi r2yx' dan koefisien korelasi ryx dapat dihitung seperti pada bagian terdahulu. 12.3 DATA YANG 0/KELOMPOKKAN
Prosedur penerapan dari kurva parabola dengan metode kuadrat terkecil untuk data yang tak dikelompokkan dapat diperluas untuk data yang dikelompokkan. Akan tetapi nilai data tersebut akan mempersulit dan tidak dapat digunakan secara praktis. Prosedur rinci untuk data yang dikelompokkan tidak dibicarakan dalam bagian ini. Metode freehand graphic untuk data yang dikelompokkan mempunyai kelemahan subyektif dalam penggambaran kurva yang sesuai. Cara praktis untuk mengukur korelasi non linier dari susunan data tertentu adalah menggunakan tabel korelasi yang disajikan dalam data bivariat yang dikelompokkan. Garis yang terputus-putus sebagai pengganti smooth curve digunakan untuk menggambarkan hubungan rata-rata antara dua variabel. Tidak diperlukan persamaan regresi, untuk garis yang terputus-putus tersebut ditentukan dengan titik pusat kolomkelas \nterval X. Yang ditunjukkan bahwa untuk setiap titik untuk masing-masing kolom ditunjukkan d;llam tabel korelasi (tabel 12.3). Masing-masing titik di dalam kolom mewakili nilai Y rata-rata dalam kolom X, yan•· ditunjukkan dengan Y•. Dengan demikian jumlah angka akan sama dengan jumlah koi•Jffi yang mempunyai nilai Y. Koefisien determinasi ditunjukkan dalam korelasi untuk data yang dikelompokkan, yang menunjukkan bahwa Y adalah variabel dependen dan X variabel independen, diberi simbol T) 2 • Tulisan Greek Tl (eta) disebut sebagai rasio korelasi dan ditafsirkan sama seperti koefisien korelasi yang didasarkan pada hubungan garis lurus. Cara yang sederhana untuk menghitung T) 2 adalah sebagai berikut: . d . . Viasi yang dijelaskan Koe fiISien etermmast = . . T ota1vanas1. 277
Karena garis regresi dalam bentuk garis yang terputus-putus melalui setiap titik yang menunjukkan nilai Y. di dalam tabel korelasi, maka rumus (10.5.a) untuk data yang dikelompokkan dapat ditulis sebagai berikut: (12.2.a)
yang menunjukkan bahwa:
= Frekuensi dari nilai Y dalam masing-masing kolom X dari tabel korelasi . = Frekuensi dari nilai Y dalam masing-masing baris Y. _x = Nilai rata-rata Y dalam masing-masing kolom X atau Yc pada garis regresi. Y =Rata-rata dari seluruh nilai Y dalam tabel (grand mean). Y =Midpoint dari masing-masing kelas interval Y.
f. . .xyf
Untuk mempermudah perhitungan dengan rumus (12.2.a) dapat ditulis: 112
=IJ. (Yx - Y)2
(12.2.b)
nS 2 y
Karena Ify (Y- Y)2 = nS 2y , maka variance nilai Y, S 2y dapat dihitung dengan rumus terdahulu. Untuk data yang dikelompokkan ditulis sebagai berikut:
S'' =i'' . [
Lf~d', _ tLf~d',j J
(12.3)
Contoh 2: Tabel 12.3 adalah tabel korelasi yang menunjukkan jumlah penjualan (Y) dari 40 penjual selama periode tertentu dan pengalaman berjualan (X) (sama seperti contoh 4). Hitunglah koefisien determinasi dan rasio korelasi. Penyelesaian: (1) Menghitung Y•. nilai rata-rata Y dalam masing-masing kolom X, dari tabel korelasi. Total dari nilai Y ditulis dalam masing-masing kolom. Masing-masingjumlah diperoleh dengan mengalikan midpoint dari klas interval Y pada baris dengan frekuensi dalam kolomjumlah nilai Y masing-masing kolom kemudian ditambahkan. Setelah dijumlah dibagi dengan frekuensi di dalam kolom untuk memperoley Y .- Sebagai contoh Yx dalam kolom X dari klas "2@4" dihitung sebagai berikut: Y dalam kolom "7-9" = 8 (Midpoint) x 5 (frekuensi) = 40 Y dalam kolom "4-6" =5 (Midpoint) x 3 (frekuensi) = 15 Jumlah nilai Y dalam kolom = 55
278
Tabell2.3
Tabel Korelasi untuk Contoh 2 Kclas X
Kclas Y 1
-
--
~--
Kclas In ten al : \lid point : O(a --2
2
-
-
-
-
.teo 6
MaS
I'
S(n Ill
'
(17) 1 (42)
1
I
y
16-18
17 14 11
13·15 10-12
(40)
7-9
8 5 2
4-6
1·3
@
X Y
5
(14) 1 5 (80) 10
(14) I 2
3
s
7
(48)
21
6
Yx
4
(11)2
2
Jumlah dari nilai y
(4)
(55)
(140)
(89)
(59)
(356)=t\'
fx
2
8
16
10
4
n=40
Yx
2
6,87
9,312
8,9
14,7
Y=8,9
5
5
menunjukk:an "kurang dari" : menunjukk:an pengalaman berjualan, i y = 2 tahun) : menunjukk:anjumlah penjualan (dalam satuan Rpl.OOO,OO, i y = 3) :
F, (jumlah frekuensi dalam kolom X)= 5 + 3 = 8
Y, =
i=
5
6,875 atau dibulatkan 6,9
(2) Menghitung variasi yang dijelaskan. Variasi yang dijelaskan, l:f,(Y, Y) 2 = 269,02 dihitung dari tabel 12.4. Tabel ini didasarkan pada tabel korelasi (tabel 12.3). (3) Menghitung total variasi. Total variasi sebesar 399,60 dapat dihitung dengan dua cara: (a) Dengan menggunakan l:f.(Y -Y)2 seperti ditunjukk:an dalam rumus (12.2.a). Penggunaan rumus tersebut ditunjukk:an dalam kelas (12.5). Nilai dalam tabel mewakili midpoint dari masing-masing kelas interval Y.
279
(b) Dengan menggunakan S 2y yang ditunjukkan dalam rumus (l2.2.b). Penggunaan rumus (12.3), Varians S\ dapat dihitung dari nilai yang sudah diberikan dalam tabel10.5.
S',
=
i', . [ :Ef~d',-
=9(1,20- 0,09) =9,99 nS\ =40(9,99) =399,60 Tabel12.4 Data dan Perhitungan untuk Variasi yang Dijelaskan Contoh 2 (2) 1\.l'las inlcnal :\ Oahun l
Fn·kuensi d:u·i kolom X I penjual 1 f
I
Rata-rata nilai \' dalam lwlom X
.• .•
I
8@ 10
\
(4)
(Y - Yl 2 '(5)
••
•
4@6.
Total
I
(])'
0@2 2@4
6@8
Rata-rata dcviasi
kolom dad : gmnd m~~m (l{p I.OOO.OU) I ( \' == 8,9 J* I y y
' (2)
(I I
I
>
40
f (\' - Y)" · \_
\_I
(6)
•
• I
I
•
2.56 0,00 139,24 269,02
Sumber: Tabell2.3. * grand mean dari semua nilai Y = 36
4
g=8,9 =Y
(4) Menghitung koefisien deterrninasi dari variasi yang diperoleh dari (2) dan (3) di atas:
112 _ Variasi yang dijelaskan _ 269,02 -
Total
= 0,6732 atau 67%
280
-
399,60 (Rumus 12.2.a atau 12.2.b)
Tabel12.5 Data dan Perhitungan untuk Variasi yang Dijelaskan Contoh 2 (2)
1~3
4-6
9-9 10- 12 13- 15 16-18
14 17
Total
40
-0,9 2,1 8.1 8.1
40
Somber: Tabel 12.3 Rasia korelasi adalah:
11
*)
=" 0,6732 =0,82*)
Jika data contoh 2 dianggap sebagai sampel yang dapat dipakai untuk menaksir koefisien determinasi populasi, perhitungan untuk penaksiran didasarkan pada rumus (10 5.b) adalah:
11 2
= 1 - (1 -11 2).
(
1 n- ) = 1 - (1 - 0,6732). ( n-m
:~
-
!)
=0,6359 atau 64% di mana m = jumlah dari kolom X dalam tabel korelasi
=5.
Estimasi dari ratio korelasi populasi dalah :
Tl 2 = "
0,6359 = 0,80
Estimasi 11 2 dan
ft adalah lebih kecil dari nilai 11 2 dan 11· 281
Dengan demikian, koefisien determinasi T1 2 menunjukkan bahwa 67% variasi jumlah penjualan (Y) dijelaskan oleh variasi dari pengalaman penjual dalam berjualan (X) yang didasarkan pada garis terputus-putus yang diiunjukkan dalam tabel korelasi. Pada angka ini, memungkinkan untuk menghitung deviasi standar regresi Syx untuk contoh 2 dalam cara biasa.) Akan tetapi penggunaan standar deviasi yang didasarkan pada garis yang terputus-putus pada tabel ko~elasi adalah terbatas. Komentar mengenai koefisien determinasi T1 2 dan rasio korelasi T'l· (1) Nilai dari T1 2 menunjukkan korelasi maksimum dari data bivariat, yang disajikan dalam tabel korelasi. Dengan kata lain, T1 2 adalah batas paling atas untuk bentuk koefisien determinasi (f untuk garis lurus dan r2yx untuk beberapa kurva parabola). Kita ketahui bahwa: (Total Variasi) = (variasi yang tidak dijelaskan) + (variasi yang dijelaskan) atau I,fy (Y - Y)2 = I,f(Y - Y)l + I,fx(Y - Y) 2 Karena YX adalah rata-rata aritmatika dari nilai Y dalam masing-masing- kolom, variasi yang tidak dijelaskan atau jumlah dari variasi yang dikuadratkan I,f(Y- Y adalah paling kecil, huruf f adalah frekuensi nilai Y dalam masing-masing kolom
y,
*)
Karena garis regresi dalam bentuk yang terputus-putus merupakan rata-rata Yx, kita harus mengganti Yc dalam rumus (1.3.a) menjadi:
syx = =
J J
V ariasi yang tidak dijelaskan n I,f(Y- YX)2 n
Di mana f = frekuensi nilai Y dalam masing-masing sel tabel korelasi. Variasi yang tidak dijelaskan dapat diperoleh dengan menyusun sebuah tabel yang menunjukkan I,f(Y- Yy. Akan tetapi, cara yang sederhana untuk menghitung variasi yang tidak dijelaskan adalah dengan menggunakan perhitungan variasi yang ditunjukkan pada tabel12.4 dan 12.5. Variasi yang tidak dijelaskan =Total Variasi- Variasi yang dijelaskan = 399,60 - 269,02 = 130,58 maka, Syx = ..J 130,58)/140 = ..J3,2645 = 1,81 282
dari tabel korelasi. Total variasi adalah tetap atau tidak dipengaruhi variabel X. Jika variasi yang dijelaskan dipengaruhi oleh variabel X sangat besar, maka 11 2, rasio dari variasi yang dijelaskan dengan total variasinya juga akan besar. (2) Jika kolom rata-rata Y, jatuh pada garis lurus, 11 2 akan sama dengan r, seperti hubungan antara variabel X dan Y dalam barian yang linear. Akan tetapi nilai 11 2 berbeda dengan r2, 11 2 lebih besar dari r. Perbandingan 11 2 (= 67%) dan r (=50%) untuk data yang sama yang diberikan dalam contoh 2. Dalam kenyataan koefisien determinasi yang didasarkan pada garis yang terputus-putus, 11 2 adalah jauh lebih besar daripada yang didasarkan pada garis lurus, r. Begitu pula,jika kolomrata-rata ,jatuh pada sebuah Curve, 11 2 akan sama dengan ryx· Seperti hubungan antara dua variabel yang merupakan bagian dari Curve linear, 11 2 akan lebih besar daripada r yx· (3) Jika nilai Y dalam masing-masing kolom X hanya dipusatkan pada satu kolom, Y =Y•. Garis yang terputus-putus akan melalui semua nilai Y pada tabel korelasi. Karena tidak ada scatter di sekeliling garis yang terputus-putus itu, maka korelasi itu adalah serrq)Urna, atau 11 2 = 1. Akan tetapi, dalam ilmu ekonomi korelasi yang sempuma jarang sekali terjadi dalam hubungan antara dua variabel. Menurut pengalaman menunjukkan, kita selalu dapat menggambar garis yang terputus-putus yang melalui atau mendekati setiap titik pada scatter diagram. Maka dari itu kita dapat memilih garis lurus atau kurva yang sesuai, untuk analisis regresi dan korelasi. 12.4MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS AWABAR
Sistern dari n Persamaan Linier untuk n yang tidak diketahui dapat diselesaikan dengan metode aljabar biasa. Akan tetapi, sistem penyelesaian dari tiga a tau lebih persamaan menjadi bertambah sulit dengan metode aljabar biasa. Matriks aljabar merupakan cara yang sederhana dan sistematis yang memudahkan dalam penggunaan komputeruntuk memecahkan persamaan terse but.
Istilah dan Operasi-operasi Dasar dalam Matriks Matriks adalah segi empat yang disusun dari angka-angka atau elemen, yang dibatasi dengan tanda kurung (atau dalam bentuk selang tebal). Untuk menggambarkan matriks biasanya digunakan simbol huruf besar seperti:
A=[I2],B=[~ Jc=[~ ~2] D=G;
n. E=[H] 'I=[ ~ ! ~l 283
Matriks dapat dikelompokkan dengan menggunakan ordo matriks. Ordo pertama didasarkan pada jumlah baris dan kemudian jumlah kolom. Dengan demikian Ordo dari matriks D adalah 2 x 3 (baca 2 kali 3) dan E adalah 3 x 2. Sebuah matriks yang hanya mempunyai sebuah baris (kolom) disebut vektor. Dengan demikian matriks A, matrix ordo 1 x 2 disebut vektor baris dan matriks B, matriks ordo 3 x 1 disebut vektor kolom. Apabila jumlah baris dan kolom dan kolom dalam matriks sama, disebut matriks bujur sangkar, seperti matriks C dan matriks I. Matriks I disebut juga matriks identitas dari matriks ordo 3. Sebuah matriks identitas (biasanya diberi simbol I), adalah matriks bujur sangkar yang menunjukkan bahwa semua elemen pada diagonal utama (garis sudut kiri paling atas ke sudut kanan bawah), menunjukkan angka 1 dan elemen yang lain menunjukkan angka 0. Operasi dasar dalam matriks adalah penambahan, pengurangan, dan perkalian. Operasi ini adalah dijelaskan sebagai berikut: Penambahan
Dalam penambahan, dua matriks harus mempunyai jumlah baris dan kolom sama. Elemen dari dua matriks ditambahkan untuk mendapatkan jumlah elemen.
Contoh 3: Penjumlahan dua matriks: matriks ordo 2 x 2. Penyelesaikan:
Pengurangan Dalam pengurangan, dua matriks harus mempunyai jumlah baris dan jurnlah kolom sama. Pengurangan ditunjukkan oleh hubungan elemen-elemen dari dua matriks agar diperoleh sisanya.
Contoh 4: Mengurangkan matriks 2 x 2 dengan matriks 2 x 2. Penyelesaikan:
2 1] [1 3 ] [ 3 -2 - 2 4
284
= [23-- 11
1-3] [1 -2 ]
(-2)- 4
-
1 -6
Perkalian Apabila sebuah matriks dikalikan dengan sebuah angka (skalar) maka setiap elemen matriks harus dikalikan dengan angka tersebut. Contoh 5: Mengalikan matriks 2 x 3 dengan 2. Penyelesaian:
Dua vektor dengan jumlah elemen yang sama dapat dikalikan jika, pertama (bilangan yang harus dikalikan) adalah sebuah vektor baris dan yang kedua (angka yang harus dikalikan) adalah sebuah vektor kolom. Masing-masing elemen dari vektor baris dikalikan dengan elemen vektor kolom sehingga diperoleh hasil parsial. Jumlah seluruh hasil parsial adalah hasil dari perkalian, hasilnya merupakan sebuah angka bukan sebuah vektor. Contoh 6: Mengalikan vektor baris (3 elemen) dengan vektor kolom (juga 3 elemen)
(2 [ 3}. [
~
l
= (2 X 3) + (l
X
4) + (( -3)
X
[j
=7
Penyelesaian: Dalam perkalian dua matriks, jumlah kolom matriks pertama harus sama denganjumlah baris matriks kedua. Masing-masing baris dari matriks pertama dikalikan dengan masingmasing kolom dari matriks kedua sehingga diperoleh hasilnya. Hasilnya jumlah baris sama dengan baris matriks pertama se.dang jumlah kolomnya sama dengan kolom matriks kedua. Contoh 7: Mengalikan matrix 2 x 2 dengan matriks 2 x 3. Penyelesaian:
[; -~ l [~ 0} 3
4
1 -
[2
1] . [
[3 -2]
~]
.[~]
[2
[!] .[!]
1] .
[3 -2]
[2 1]
·[~]
[3 -2]
.[~] 285
40 1]
= l2 + 2 6 + + l_3-4 9-8 0-2
=
r~ ~~ -~J
Ordo dati masing-masing matriks dalam perkalian itu dituliskan (ditunjukkan) pada sudut kanan bawah dati matriks itu. Misalnya perkalian matriks 2 x 2 dan matriks 2 x 3, basilnya adalah matriks 2 x 3. Seperti ditunjukkan diagram di bawah ini: Perkalian Dua Matriks Matriks Pertama Baris Kolom
2 X 2
L
Matriks kedua Baris Kolom
2 X 3
L=~
I
2x3 _j (Hasil matriks yang barn)
Contoh 8: Matrik A= [
2 1 ] 3 -2
dan matrik A
1
=[
217 7 11 ] 317-2/7
Dapatkan basil A.A 1
Penyelesaian: A.A'
l
=[; -~ ]· [~ -~ = ; -[;
~
l[; ;j
=H~ ~w ~1 Hasilnya adalah matriks identitas 2 x 2, yang mempunyai ordo yang sama dengan matriks A dan matriks A 1, disebut juga sebagai invers dati matriks bujur sangkar A karena basil dati dua matriks tersebut adalah matriks identitas. 286
Menyelesaikan Persamaan Linier Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan linier dengan menggunakan matriks aljabar. Biasanya masing-masing metode menggunakan cara mencari invers dari matriks bujur sangkar untuk penyelesaiannya. Untuk itu kita bahas konsep dasar, kemudian dengan metode sistematis yang disebut Metode Gauss, sistem persamaan linear akan diselesaikan. Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks, seperti sistem dari dua persamaan berikut: 2X=Y=5 3X- 2Y = 11
Dapat dituliskan:
Mengalikan dua matriks pada sisi kiri dari persamaan hasilnya adalah sarna dengan seperti yang dinyatakan sisi kiri dari dua persamaan yang diberikan.
Catatan: Bahwa matriks pertarna pada sisi kiri dari persamaan di atas ditunjukkan oleh koefisien x dan y yang tidak diketahui, dan matriks pada sisi kanan adalah konstan. A= Koefisien matriks, atau dan A = [; _; A
1
Jdan
=Invers dari matriks bujur sangkar A.
Subtitusikan A dalam persamaan di atas dan kalikan kedua sisi dengan A 1•
Ini dapat dibuktikan bahwa:
Dengan demikian :
287
Gunakan informasi yang diberikan contoh 8 :
_, [5]- ~17 j2n 111] [ 5]- j1on + tl/7] _[3] -217 11 - L3/7 - 217 - -1
A . 11 atau:
Elemen dalam dua matriks adalah sama. Maka diperoleh basil nilai X= 3; dan y = -1 Pacta umumnya, X adalah bentuk matriks yang tidak diketahui, dan C adalah matriks konstan. Sistem penyelesaian persamaan itu dapat ditulis: X=A 1 .C Oleh sebab itu penyelesaian sistem persamaan linear dapat dipergunakan untuk memeriksa basil matriks (A) dan matriks Constan (C).
Metode Gauss Metode Gauss dipergunakan untuk memperoleh invers dan sistem penyelesaian persamaan dengan simultan. Langkah-langkahnya: (1) Menyusun bentuk matriks A dan matriks identitas dari order yang sama seperti A dan matriks konstan C, atau:
[2 11 0~
[A I I I C] = 3 -2
5]
o1 I 11
(2) The elementary row operations (lihat bagian bawah) pacta tiga matriks dalam bagan sehingga matriks A menjadi matriks I. Matriks I dan C yang lama, sekarang masing-masing disubstitusikan dengan A atau A- 1dan penyelesaiannya ditunjukkan dengan X, dengan demikian kita dapat mengubah bentuk bagan pertama: [A I I I C] ke dalam bagan akhir [I I A 1 I X]
atau, kita transformasikan dalam bagan pertama
288
~-------------------------
2 [3
1
1
2
1
0
oI 1
--
5]
11
1 0 1217 1/71 3 [ 0 1 317 -2/7 -1
J
The Elementary Row Operations dapat dibentuk dalam dua cara: (a) Baris dalam bagan boleh dikalikan atau dibagi dengan angka riil k (selain angka nol). Baris pertama dalam bagan pertama di atas: 2, 1, 1, 0, 5, boleh diubah menjadi baris baru dengan membagi masing-masing elemen dengan 2. Baris baru ke satu menjadi: 212 = 1, 1/2, 1/2, 0/2 = 512 2 112.
=
(b) Sebuah baris boleh ditambah atau dikurangi dengan basil dari angka riil, yang dikalikan dengan baris lainnya. Baris kedua dalam bagan pertama: 3, -2, 0, 1, 11, boleh diubah menjadi baris baru dengan mengurangkan basil dari angka rill 3 dikalikan dengan baris baru yang kesatu (baris lama yang ke satu jika diinginkan), atau: ..... (1) 3 -2 0 1 11 Baris ke dua yang lama 3(1) 3( 112) 3(1/2) 3(0) 3(5/2) 3 x baris ke satu yang baru ..... (2) Baris kedua yang baru
0
-712
-312
1
7/2
..... (1)- (2)
Cara mengubah bentuk matriks bujur sangkar ke dalam matriks identitas (I) telah diselesaikan secara sistematik. Sistem untuk mengubah elemen matriks A dari kolom ke kolom, dari kiri ke kanan. Dalam masing-masing kolom. Pertama mengubah elemen-elemen yang sesuai untuk mempero1eh diagonal utama dari matriks identitas menggunakan row operation (a). Selanjutnya semua elemen yang lain dijadikan 0 dengan menggunakan row operation (b). Contoh 9: Misalkan sistem dari dua persamaan: 2x +y = 5 3x- 2y = 11 Koefisien matriks
A=[~ -~ JDapatkan invers A dan penyelesaian persamaan.
Penyelesaian: ( 1) Bagan pertama ditulis:
289
2
1
[A I I I C] = [ 3 -2
o1 I 115]
1
1
0
.... (1) ..... (2)
(2) Row operationnya adalah: 1. Mengubah elemen-elemen dalam kolom ke-satu A dari: 2 1 menjadi: 3 0 a.
Mengubah elemen ke-satu yaitu angka 2 ke dalam baris ( 1) menjadi angka 1. Lihat penjelasan dari operasi (a) di atas. Baris (1) + (2) ; 1 1/2 1/2 0 5/2 ........ (1)
b.
Mengubah elemen ke-satu yaitu angka 3 ke dalam baris (2) menjadi 0. Lihat penjelasan dari operasi (b) di atas. Baris (2)- [3 x baris (1)]; 0-7/2-3/2 1 7/2 ........ (2) Maka bila bagan pertama diubah ke dalam bagan kedua sebagai berikut: 1 1 2
1 2
0
5 2
.... (1)'
7 2
3 2
0
7 2
.... (2)'
1
i.
Mengubah elemen-elemen dalam kolom kedua dari bagian dua dari:
j_ 0 2 menjadi 7 -2 a.
1 Mengubahelemenkeduayaitu(-7/2)kedalambaris(2)' menjadi 1 menggunakan operasi (a). Baris (2)' x (-7/2) atau Baris (2)' x (-217}: 0 1 317 -217 -1 ........ (2)"
b.
290
Mengubah elemen kedua yaitu 112 ke dalam baris (1)' menjadi 0. Menggunakan operasi (b).
,--------------
--
Malca:
A-1=
2 7
1 7
3 7
2 7
Periksalah A.A-1 =I (lihat contoh 8)
X=[;] =[-i] ataux=3dany=-l Contoh 9 menjelaskan mengenai prosedur penemuan invers dari koefisien matriks dan sistem penyelesaian persamaan linear dengan simultan. Bila invers tidak diperlukan maka prosedur penemuan sistem persamaan dapat disederhanakan atau hanya mengubah bentuk bagan. [ A I C ] ke dalam bagan baru l I I X ] Prosedur penyederhanaan dijelaskan dalam contoh l 0. Contoh 10: Selesaikan sistem dari tiga persamaan (sama seperti tiga persamaan normal dalam contoh 1). 8a + 30b + 136c = 40 30a + 136b + 684c = 178 136a + 684b + 3652c = 902
291
Penyelesaian: (1) Bagan pertama ditulis:
[AIC] =
~
8a 30h 136c I 40 30a 136h 684c I 178 136a 684h 3652c 1902
l ..
(1)
.... (2) .... (3)
(2) Pemakaian row operation. R mewakili "haris". 1. Menguhah elemen-elemen dalam kolom satu matriks A dari: 8 1 30 menjadi 0 136 0 Ordo dari tiga perhitungan tersehut peruhahannya adalah : R( 1)', R(2)', R(3)'. Hasil dari perhitungan ini ditunjukkan dalam hagan dua di hawah ini. R(l) + 8 R(2)- 30 x R(l)' R(3)- 136 x R(l)'
3,75 23,50 174,00
u
17 174 1340
5l
28 222
..... R(l)' ..... R(2)' .....R(3)'
Perhitungan untuk R(2)' R(2) 30 X R(l)' Kurangkan
30 136,00 30 112,50
684 510
178 150
23,50
174
28
--0
Perhitungan untuk R(3)'
2.
R(3) 136xR(l)'
136 136
684 510
3652 2312
902 680
Kurangkan
0
174
134
222
Menguhah elemen dalam kolom 2 dari hagan dua di atas: dari 3,75 0 23,50 menjadi 1 Tiga perhitungan itu 114,00 0 peruhahannya adalah: R(2)", dan R(3)". Hasil perhitungan itu ditunjukkan dalam hagan di hawah ini:
292
------------·
-
R(1)' - 3,75 x R(2)" R(2)' + 23,50 R(3)'- 174,00 x R(2)"
D
-10,765956 7,404255 51,659630
0 1 0
J
0,531916 1,191489 14,680914
.....R(l)" .....R(2)" ..... R(3)"
Perhitungan untuk R(l)"
5
R(1)' 3,75 x R(2)"
1 0
3,75 3,75
17 27,765956
4,468084
Kurangkan
1
0
-10,765956
0,531916
Perhitungan untuk R(3)'
3.
R(3)' 174 x (R2)"
0 0
174 174
1340 1288,340370
222 207,319086
Kurangkan
0
0
51,659630
14,680914
Mengubah elemen dalam kolom 3 dari bagan tiga di atas: dari -10,765956 7,404255 51,699655
0 0 1
menjadi
Ordo dari tiga perhitungan itu perubahannya adalah:
R(3)"', R( 1)'" dan R(2)"'. Hasil perhitungan itu ditunjukkan dalam [ I X ]. Bagan akhimya adalah: R(l)"- (-10,765956) R(3)'" R(2)"- ( 7,404255) R(3)"' R(3)" + 51,656930
[1
0 1 0
0 0
0 0 1
3,591439] -0,912689 0,284185
.....R(l)"'
.....R(2)"' .....R(3)"'
Perhitungan untuk R(l)"' R(l)'' (-10,765956) R(2)"'
1 0
0 0
-10,765956 -10,765956
0,531916 -3,059523
Kurangkan
1
0
0
3,591439
293
Perhitungan untuk R(2)'" R(2)" (7,404255) R(3)"
0 0
1 1
7,404255 7,404255
1,191489 2,104178
Kurangkan
0
1
0
-0,912689
a Bagan akhir mempunyai: X= b [c
l[
3,591439] = -0,912689 0,284185
Maka: a= 3,591439; b = -0,912689; c = 0,284185
.
294
Bab XIII Korelasi Berganda, Korelasi Parsial, dan Korelasi Jenjang
Dalam bab ini kita teruskan pembahasan tentang analisis korelasi dan regresi. Suatu variabel dependen mungkin bertalian atau dihubungkan tidak hanya dengan satu variabel independen tetapi juga dengan dua atau lebih variabel independen. Analisis hubungan antara dua atau lebih variabel yang menyangkut korelasi berganda dan korelasi parsial, dijelaskan pada sub bab 13.1 dan 13.2. Sebagai tambahan, hubungan dua variabel dinyatakan dalam jenjang nilai diberikan dalam bab ini. Penjelasan korelasi jenjang dibicarakan di sub bab 13.3. 13.1 REGRESI DAN KORELASI LINtER BERGANDA
Pada bagian ini akan dibicarakan metode-metode untuk menghitung hubungan linier tiga atau lebih variabel. Jika variabel dependen dihubungkan dengan dua variabel independen atau lebih, akan banyak hal yang dapat dicapai (dijabarkan) dari analisis bersama variabel tersebut pada waktu bersamaan. Dalam analisis regresi dan korelasi sederhana, hanya dua variabel di dalamnya, yaitu variabel dependen dinyatakan dengan Y dan variabel independen dinyatakan dengan X. Dalam analisis berganda, akan digunakan X yang menggambarkan seluruh variabel yang tenp.asuk di dalam analisis. Hanya ada satu variabel dependen tetap yang dinyatakan dengan XI. Variabel independen dinyatakan dengan X2, X3, x4, ... ,dan seterusnya. Berdasar simbul yang baru, regresi linear sederhana: Yc =a+ bX dapat ditulis:
Untuk menyederhanakan dalam ilustrasi, hanya hubungan tiga variabel saja yang dibahas dalam analisis berikut. Persamaan regresi dari X 1 pada dua variabel independen ~ dan x3 adalah: 295
Contoh hubungan tiga variabel atau lebih sebagai berikut: \ \1{1 \BLL DFPFNDLN !X 1 1
..
_J~ ~ oleh tiap--tiap pen-
jual (pramllniaga) dalam perusaaan.
.· kat anak.lelaki dalam group. ; 8asi1 padi, . , tabun per hektar. . ~ dijalan raya tiap negara
.·.:~~·ttrtentU. '
'
~··
I'
't
>
Tahun pengalaman berjualan 09 dan tingkat kecerdasan (~) tiap-tiap salesman/ pramuniaga. Tinggi (X2), 'dan umum ~)
Jumlah curah hujan (~), jumlah ~mupukan (~. suhu rata-rata (X4)
•'''
'
Hl Bl"NG \N \ \RL\BEL INI>EPENDEN 1X~· X,. X J' ••• l
"
•
.
Kartu SIM (XJ, jarak tempuh (~)• besarnya jumlah penduduk (X4) dan biaya pemeliharaan jalan raya (X5) (13.1)*
*)
Persamaan regresi ini dapat dengan mudah diperluas pada dua independent variabel atau lebih. Sebagai contoh, persamaan regresi berganda dari X 1 dan variabel-variabel independen x2, x3 dan x4 dapat ditulis :
x,c =a+ b
2
X2 + b 3 X 3 dan b 4 X4
Empat persamaan normal untuk memecahkan empat konstanta yang tak diketahui a, b2 , b3 , dan b4 , dapat ditulis sebagai berikut: I. L(X 1) = na + b2 L(~) + b 3 I,(X3) + b4 2:(X4 ) II. 2:(X 1 X2) = a2:(X2) + b 2 I,(X 22) + b 3 I,I,(X2 X3) + b4 I,(X2X4 ) ill. I,(X 1 X 3) =ai,(X3) + b2 I,(X2 X 3) + b 3 I,(X\) + b4 2:(X3 X4) IV. I,(X 1 X4 ) = ai,(X4 ) + b2I,(X 2 X4) + b3I,(X3 X4 ) + b4 I,(X24) Atau J.L1 =X, - X2 ; J.L2 = ~- X2 ; Jl3 =~ - ~; dan Jl4 =X4 - X4 Kemudian pemecahan tiga persamaan secara simultan untuk konstanta b 2, b 3, dan b 4 • (Persamaan normal I menjadi 0 = 0) Dari II -- I,(x 1x 2) = b 22:(x\) + b 3 L(Xz x3) + b42:(x2 X4) ..... (1) 2 ..... (2) Dari L(XIX3) = b2I,(x2x3) + b3 I,(x 3) + b4I,(x3 x4) Dari IV -- I,(x x) = b2 2:(x x) + b I,(x x) + b I,(x2) ..... (3)
m --
(bersambung ... ) 296
Dari rumus di atas notasi variabel dependen X dan konstanta 'a' adalah sama. Huruf 'c' menunjukkan nilai terhitung, sama seperti yang ditunjukkan oleh 'Y/. Angka dalam kurung (23) menunjukkan (mewakili) variabel independen X2 dan X3 dalam analisis berganda. Notasi dari koefisien b dipisahkan ke dalam dua kelompok yang terinci. Dua angka di sebelah kiri titik disebut dengan notasi utama dan digunakan untuk menunjukkan variabel dependen dan variabel independen yang berkoefisien b. Beberapa angka yang terletak di sebelah kanan titik disebut notasi kedua dan digunakan untuk mengetahui variabel-variabel independen yang lain yang termasuk di dalam persamaan regresi ganda. Dengan demikian b 12 3 merupakan koefisien dari variabel independen X 2 yang menunjukkan bahwa variabel dependennya adalah X 1 dan variabel independen yang lain dalam persamaan adalah X 3• Jika ada dua variabel independen, X 3 dan X4 , di dalam persamaan, koefisien dari X2 akan ditulis h 12.34 • Seperti halnya h 13 .2 menunjukkan koefisien dari variabel independen X3, variabel independen lainnya dalam persamaan adalah X2. Kita akan menggunakan simbul yang disederhanakan agartidak menimbulkan kekacauan. Untuk: bt23 = b2 dan bt32 = bJ. Apabila konstanta a, b2 , dan b3 dalam persamaan (rumus 13.1), belum/atau tidak diketahui, kita memerlukan tiga persamaan untuk pemecahannya. Tiga persamaan normal berdasar pada metode least square dapat dikembangkan dengan cara yang sama seperti pada kurva pangkat dua. Misalkan: XI= Y,
x2 =X, x3 =X2, a= a, b2 = b, dan b3 =c
Rumus untuk regresi berganda dapat ditulis sebagai berikut: I.
= na + b 2 _L(X2) + b3 L(X3)
L(X 1)
II. 1:(X 1 X2)
= al:(X) + b2 1:(X22) + b3 l:(X X)
III. 1:(X 1 X 3)
= a_L(X 3) + b 2 1:(X2 X3) + b3 _L(X\)
}
(13.2)
(... sambungan)
2
14
24
34
3
4
4
Penjumlahan tiga di atas dihitung dari dua persamaan umum sebagai berikut : 1:(x2 ) = 1:(X2 ) I
I
-
.Lcxy dan l:(x n '
x) = .Lex I
J
l
x)J - l:Xil:Xi n
Konstanta a dapat diperoleh dengan cara membagi persamaan normal I (asli/mula-m,ula) dengan n. 297
Standar deviasi (nilai) X 1 dari nilai terhitung X 1c dinyatakan dengan simbol S 1 23 , yang menunjukkan bahwa angka pertama menunjukkan variabel dependen dan yang kedua menunjukkan variabel independen. Nilai tersebut dihitung seperti cara menghitung deviasi standar pada regresi sederhana, atau: (13.3.a) Ada metode lebjh mudah untuk menghitung standar deviasi tanpa perhitungan nilai (X 1 Metode ini diasajikan dalam rumus (10.3.b) dan dapat dinyatakan seperti berikut:
~X,/·
=
S 1.23
J
l:X 2 1 - al:X 1 - b 2L(X 1 X 2) - b3L(X 1 X3) n
(l3.3.b)*
Koefisien determinasi untuk korelasi berganda dapat dihitung dari varians S2 1 23 dengan cara yang sama seperti untuk korelasi sederhana. Biasanya dinyatakan dengan hurufbesar R dengan notasi yang sama seperti pada varian. Standar deviasi nilai X 1 dari rata-rata X 1, dinotasikan dengan simbul S 1. Dengan demikian:
=l _
s2 1.23
sz t23
(1 3.4)
s2 I
Standar deviasi atau varian regresi berganda, selalu digunakan sebagai alat pendekatan estimasi (taksiran) yang didasarkan pada persamaan regresi. Nilai L(X 1 - X 1Y menunjukkan variasi yang tidak dapat dijelaskan atau tidak dapat diterangkan dengan memasukkan variabel independen. Koefisien determinasi korelasi berganda sebagai halnya dalam korelasi sederhana merupakanrasiodari variasiyangdijelaskanl:(X 1cX 1)2dari total variasinya.l:(X 1 X l· seperti ditulis dalam rumus (13.4). Dengan demikian semakin kecil deviasi standar nilai X 1 dari nilai terhitung xlc berarti semakin kecil pula standar deviasi s I 23' Akan tetapi koefisien determinasi R2 123 akan semakin besar, demikian pula koefisien korelasinya R 123 •
Contoh 1: Empatkolom pertamadari tabel13.1 menunjukkanjumlah penjualan (X), pengalaman betjualan (X2 ) dan IQ test (X3) dari 8 orang penjual pada suatu periode waktu tertentu. Hitunglah: (a) Persamaan regresi berganda. (b) Standar deviasi dari regresi. (c) Koefisien determinasi dan koefisien korelasi. *)
Jika diperluas dengan memasukkan lebih dari satu variabel independe X4, standar deviasinya adalah :
LX21 - al:X 1 - b 2l:(X 1 X)- b3l:(X 1 X3) - b4l:(X 1 X 4) n
298
Catatan: X 1 dan X 2 dalam contoh ini sama seperti variabel-variabel X dan Y dalam contoh 1 bab 12). Tabel 13.1
Data dan Perhitungan Persamaan Regresi Berganda dengan Metode Least Square (Contoh 1) Penjualan an
II I
Tatum PengI ala man , \lenjual
IQ test
XI
x2
X,
X' . I
12)
(3)
(~)
(5)
5
2
3
2
4
l 1
.Jumlah (Rp )_1)()0,0()
4
G
3 3 5 8
H
Total
D
E
F
I·
3 3
2
3 6 2
1
9 9 25 64 4
40
30
16
224
'
I I
x,z
xzJ
XIX,
XIX\
X", X,
(6)
(7)
(Xi
I ')I
I lUi
36
9
54
16 9
36 4 136
1 1
9 9
38
18 !j. 10 ' 6 ,\ 1 4 ,'
12 15
9
48
18
4
• 2 ...
178
94
68
Penyelesaian: Subtitusikan jumlah yang diperoleh pada tabel (13.1 ), ke dalam tiga persamaan normal, rumus (13.2) sebagai berikut: I. 8a + 30b2 + 16b3 = 40 II. 30a + 136b2 + 68b 3 = 178 III. 16a + 68b2 + 38 b 3 = 94 Tiga persamaan di atas dapat dipecahkan dengan metode eliminasi seperti yang dibicarakan pada bab terdahulu atau dengan matrik aljabar. Penyelesaiannya adalah: Jawaban untuk mencari b 2 dan b 3 dapat dipecahkan dengan memasukkan dua persamaan berikut: 2,(x 1 x 2) = b2 (x\) + b3 (x 2 x 3) ..... (1) 2,(x 1 x 3) = b 2 (x 2 x 3) + b 3 (x\) ..... (2) xl
= xl -XI ; XI =xl - X2; dan x3 =x3 - x3 299
Nilai yang diminta ditunjukkan dari dua persamaan dan terdapat pada tabel 13.1.
LX22 = LX22
L(X
X ) 1
2
(LX/= 136 n
302
= 178 -
= L(X X ) - LXz-LX2 n
z
1
= 23 ,5
40(30) 8
= 28
Subtitusikan 5 nilai dalam persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:. 28 = 23,5b2 + 8b2 ....... (1) 14 = 8b2 + 6b3 ....... (2) Hasil subtitusinya adalah:
8 4 b2 =-11 =0,7273; b = 111 = 1,3636 Bagilah persamaan normal I dengan n. a
= L(XI)- b L(X2)- b L(X3) n
40
2
8
n
3
30
15
=s--u·(g-)-Tf.
=a
n
16
5
= -0,4545 =- 0,4545; b2 =0, 7273; b3 = 1,3636
Persamaan yang diminta adalah: xlc = -0,045 + 0,7273 X2 + 1,3636 X3 Apabila standar deviasi regresi dihitung dengan rumus (13.3.a) nilai X 1c pertama-tama dihitung dengan persamaan regresi berganda: Untuk salesman A:
X2
xlc
300
= 6, dan X3 = 3 = -0,4545 + 0,7273(6) + 1,3636(3)
= -0,4545 + 4,3638 + 4,0908 = 8,0001, dibulatkan menjadi 8,00.
Dengan cara yang sama nilai X 1c untuk salesman yang lain dapat dihitung dan tampak dalam kolom (5) tabel 13.2. Standar deviasi dari regresi dihitung dari variasi seperti terlihat pada kolom (7) tabel 13.2. Tabel8.2 Data dan Perhitungan untuk X1c dan Standar Deviasi dari Regresi S 1.23- Contoh 1 (b) Penjual '
x,
IIl
(2)
A B
F
9 6 4 3 3 5
G H
8 2
Total.
40
c
D E
I
'I
X, !3)
xl ("')
-0,-'5-15 + 0, 727 J X2 + 1,."\636 X,= X 1, !5)
x,-( (J)'"
i\: 1
- \
'
6 5
3
3 1
2 l 1
2
8,00 5,91 4,45
1.64
1.00 0,09 -0,45
1,36 ' -0,82 -0,82 0,00
2
3 1
3,82 5,82 8,00 2,36
30
16
40,00
0,00
4
3 6
3
-0,36
1,00
0,01' 0.20 1,85
,,
0,67''
0,67 '0;00. ,, 0,13, "·
'
·4,53
S~.23 = ~ = ...J 0,56625 = 0,75 (dalam Rpl.OOO,OO) Jika standar deviasi regresi dihitung dengan rumus ( 13.3 .b), maka nilai yang tertera pada tabel 13.1 digunakan untuk menghitung:
J =J
SJ 23 =
244- (-0,4545)(40)- 0,87273(178)- 1,3636(94)
4 5 22 •: =,; 0,56778 = 0,75
301
Ini merupak:an ukuran dispersi yang berdasarkan pada hubungan linier antara penjualan dan dua variabel independen, yaitu lama (tahun) pengalaman berjualan dan tingkat kecerdasar (IQ) para penjual. Nilai (S 1 23 =0,75) lebih kecil dari hubungan linear yang didasarkan pacta satu variabel, antara jumlah penjualan dengan pengalaman berjualan (Syx = 1,15). Pacta umumnya persamaan regresi berganda memberikan penafsiran yang lebih baik daripada persamaan regresi sederhana.
Y
Lebih lanjut kita bandingkan individual deviasi kuadrat (X 1 - X 1 yang didasarkan pada regresi berganda pada tabel 13.2 dengan deviasi kuadrat yang didasarkan pacta regresi sederhana pacta tabel 10.2. Estimasi menggunakan Yc untuk salesman C dan D, lebih mendekati kenyataan penjualan (Y atau XI) daripada estimasi dengan xlc· Akan tetapi estimasi dengan X 1c untuk keenam salesman yang lain lebih mendekati kenyataan dibanding dengan Yc. Sebagai contoh, perkiraan jumlah salesman E yang mempunyai 4 tahun pengalaman berjualan (X2 = 4) dan nilai tes kecerdasan IQ (X3 = 1) adalah Rp3.820,00 (Xlc 3,82 x Rpl.OOO,OO X unit). Taksiran/estimasi ini mendekati kenyataan penjualan salesman E (X 1 = Rp3.000,00) daripada estimasi yang dibuat pada Bab 10 (Yc 5,29 = Rp5.290,00) tanpa memasukkan nilai tes kecerdasan ke dalam persamaan.
=
Koefisien determinasi R\ 23 dan koefisien korelasi R 1 23 dihitung dengan rumus (13.4). R2
$2
=~ ::= 1 !.23 S2,
0,56625 5,5
=0,8970 dibulatkan 0,9
(s 2 = sy2 = 44/8 =5 ' 5) RL23 0,8970 =0,95 I
="
Nilai R 123 2 dan R 1 23 dapat ditafsirkan sama sebagai r2 dan r untuk korelasi sederhan a. J adi variasi 90% dari jumlah penjualan (X 1) berhubunganldijelaskan oleh variasi pengalaman berjualan (X 2) dan nilai tes kecerdasan (X3) penjual berdasarkan persamaan regresi berganda. Hubungan linier antara X 1 dan dua variabel independen X2 dan X 3 untuk contoh 1 (digambarkan pada diagram 1). Bagian I dari diagram terlihat satu porsi dari variabel X 1c dua syarat utama persamaan regresi atau -0,4545 + 0,7273 X 2 (= X 1c- 1,3636 X 3 ) di mana variabel X2 menunjukkan 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Sebagai contoh: Jika x2 =0 X2 1 _ X2 = 6 _
-0,4545 + 0,7273(0) -0,4545 -0,4545 + 0,7273(1) = 0,2728 -0,4545 + o,7273(6) = 3,9093
Bagian II dari diagram menunjukkan 6 gambar. Setiap gambar menunjukkan nilai X 1c pada X2 tertentu dan varia bel X3 ( =0, 1, 2, dan ~ ). Nilai sebenarnya dari X, dibuat plotnya di dalam diagram untuk dibandingkan dengan nilai yang ditunjukkan oleh X 1c. Untuk contoh, gambar II-6 memperlihatkan nilai dari Xtc pacta X 2 = 6 dan pada variabel
x3.
302
Jika X 3
=3, xlc =3,9093 + 1,3636 X
3
= 3,9093 + 1,3636(3) = 3,9093 + 4,0908 = 8,0001 atau dibulatkan menjadi 8.
Hubungan nilai sebenarnya dari X 1c diletakkan dalam gambar yang sama.
=8 atau X
1
= 9 angka basil penjualan salesman A,
Apabila data tertentu dipakai sebagai sampel untuk estimasi parameter populasi, estimator yang tidak bias dari parameter dapat digunakan. Juga rumus umum untuk estimator yang tidak bias akan diperoleh dalarn cara yang sama seperti tertera pada Bab 11.*)
*)
Sebagai contoh, rumus (yang didasarkan pada rumus 11.1) dan perhitungan (berdasarkan data yang diberikan contoh 1 sebagai sampel) sebagai estimator standar deviasi populasi dari regresi berganda adalah :
J
l<Xl - xly = n- rn
J
J n~m J 8 ~ 3
4,53 = o906 = o 95 8-3
'
'
=0,75.v'1,60=0,95
m=3 bilamana konstantan dalarn persamaan regresi (a, b2 dan b). Rumus (yang didasarkan pada rumus 11.5) dan perhitungan (berdasar pada data di atas) untuk mengestimate koetisien determinasi populasi pada korelasi berganda adalah : A
S2 L23 = 1 -
S2
s~
23
0,906 = 1- 6 2857
l
0,85586 dibulatkan jadi 86%
'
S2123 = 0,906 (lihat perhitungan di atas) S2 1 -- l(Xl n _- 1X)l -A
S
2 1 23
44 - 6 2857 (h 1 d - , a .... engan X 1 -- Y)
~
= v'0,85586 = 0,93
Atau dengan perhitungan nilai dari R\_ 23 = 0,8970 di atas, A
szt23
n- 1
= 1- (1- R2123). (n-m --) 8- I = 1 - (1 - 0,8970). (---s:-3) = 0,86 (bersarnbung ...) 303
Dustrasi Hubungan Linier Ganda - Contoh 1: X,c =-0,4545 + 0,7373X2 + 1,3635X3 Bagian I_ Menggambarkan setiap porsi dari setiap nilai Xlc (pengaruh X3 tidak termasuk) atau porsi dari X,c = X,c- 1,3636X3 = -0,4545 + 0,7273X 2). XI- l,3636X 3 4
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = " " 3,9093
3 2
2
3
5
4
6
X2
Bagan II_ menyajikan seluruh nilai X,c (pengaruh dari X3 termasuk) atau X,c = (-0,4545 + 0,7273X2 + 1,3636X3 =Bag. I+ 1,3636X). x, 8 ,----,----,-------,
x,
Xi 6 X2=6 eA 8 ,------,,-----,,-----,.
8 ,----,--,-----,
X 10 =3, 820+1.3 6XJ
(... sambungan) Untuksampel besar, standar kesalahan taksiran koefisien korelasi adalah Uuga lihat rumus 11.6).
1- R2 SR = n _ mdi mana R menunjukkan Rl.23 dan m = 3. 304
13.2 KORELASI PARSIAL
Apabila tiga atau lebih variabel terlibat dalam analisis korelasi, korelasi antara varibel dependen hanya dengan satu variabel independen khusus disebut korelasi parsial atau korelasi neto. Pengaruh variabel independen yang lain bersifat konstanta dalam analisis korelasi parsial. Koefisien deterrninsai parsial untuk pengukuran korelasi antaraX 1 dan X3, dan X 2 adalah konstan, dinotasikan dengan simbol r2 13_2• Hasil dari pengakarannya disebut dengan koefisien korelasi parsial atau r 13 2• Suku pertama menunjukkan variabel-variabel untukkorelasi parsial yang dihitung, dan suku ke dua menunjukkan variabel yang (dianggap) konstanta. Rumusnya adalah: r 2 132
S2
=1- ~ sz
(13.5)*
12
yang menunjukkan bahwa S 2 1 2 sama dengan S 2Y x dalam analisis korelasi sederhana. Rumus dapat juga ditulis: r2 13.2
= 1_
sz 1.2 - S2 t.23 sz 1.2
yang menunjukkan bahwa: S21 2 = variabel XI tidak dijelaskan dengan ~ di dalam analisa korelasi sederhana, dan S 2 ~.23 = variabel X 1 tidak dijelaskan oleh ~dan X 3 di dalam analisa korelasi berganda. Perbedaan S 2 1 2 dengan S 2 ~. 23 dalam numerator, merupakan porsi pengurangan dari varian yang tidak dijelaskan oleh X2 • Pengurangan harus ditambahkan pada variabel X 3 dalam analisis berganda. Jika perbedaan nol, r 13_2 = 0, maka indikator yang tidak dijelaskan varian mempunyai sisa yang sama. Kontribusi penambahan variabel X 3 tidak berpengaruh dalam varian variabel XI dalam analisis berganda. Dengan demikian tidak ada korelasi parsial antara xl dan x3, sepanjang X 2 merupakan konstanta. Jika perbedaan sama dengan S 2 ~.2 • denominator f 13 _2 = 1. Nilai 1 menunjukkan bahwa varian yang tidak dijelaskan oleh X2 di dalam analisis korelasi sederhana, sekarang secara ·lengkap dijelaskan oleh penambahan X 3 di dalam analisis
*)
Koefisien deterrninasi parsial untuk mengukur korelasi antara X 1 dan X 2 di mana X 3 merupakan konstanta adalah :
f
12.3
=1-
sz 123
Lebih Ianjut, jika
x3 dan x4 merupakan konstanta, ditulis:
sz
r 12 34 =1- sz1.234 134 305
berganda. Dalarnhal ini korelasi parsial sempurna antara X 1 dan X 3 dan nilai X 2 konstan. Jika varian yang tidak dijelaskan X 2 12 besar, memasukkan X 3 mempunyai harapan tinggi (sepanjang dapat dikontribusikan) untuk dapat menerangkan varian X1 dalam analisis korelasi berganda.
Contoh 2: Berdasarkan data yang diberikan pada contoh 1, hitunglah korelasi parsial antara X 1 (jumlah penjualan) dan~ (tingkat kecerdasan) apabila (pengalaman beijualan) merupakan konstanta.
x2
Penyelesaian: S\_23 = 0,56625 dan S\_2 = 1,33 Substitusikan rumus di atas (13.5)
r2 132 =1- 0 •56625 '
2,33
=1-0,4258 =0,5742, dibulatkan menjadi 57%.
r 13.2 = --.1 0,5742 = +0,76 *)
*)
Untuk mengetes signiftkasi dari korelasi parsial antara X 1 dan X3 di mana X2 merupakan faktor bilangan konstan, seperti data pada contoh 2, menggunakan rumus pada halarnan 265. t
~
j
8-3
=r,3.2. V~ =0,76. 1 - 0 5742 = 0,76.--./ 11,7426 =0,76(3,427) = 2,605 13.2
,
Pengujian dengan alfa (5%) t =2,571 di mana D =n- 3 =5. Nilai t hitung =2,605 lebih besar dari nilai t tabel. Dengan demikian koefisien dari korelasi parsial r 13 2 = 0, 76 signifikan. Dapat ditrik kesimpulan variabel X 3 (nilai IQ) dapat dimasukkan untuk mengestimasi jumlah jumlah penjualan dari tiap-tiap penjual. Standar error dari koefisien korelasi parsial yang didasarkan rumus ( 11.6) dapat ditulis sebagai berikut : Sr 13.2
=
Jt -
r2!32
n _2
di mana n- = (n- 1)- 1 Standar error dapat digunakan untuk membuat estimate koefisien populasi korelasi parrsial. Rumus seperti di atas ini hanya tepat untuk sampel yang besar, seperti pada rumus ( 11.6) tidak begitu tepat untuk sarnpel yang kecil.
306
Tanda koefisien korelasi parsial r diambil dari tanda hubungan koefisien regresi b. Tanda r 13 .2 sama dengan b 13 .2 atau b 3 dan tanda positip seperti contoh ini (b 3 = +1,3636), seperti halnya tanda r 12 3 akan sama seperti b 12 3 atau bzKoefisien determinasi parsial dapat dihitung dengan cara yang berbeda, sebagai berikut: r 213.2 =
1,33 - 0,56625 1,33
=
·i
0 6 6 25 =atau dibulatkan menjadi 57% 33
'
Nilai0,76375adalahpenguranganjumlahvarianyangtidakdijelaskandenganmenambah variabel X 3 pada regresi ganda. Dengan kata lain, bagian varian X 1 yang tidak dijelaskan oleh X 3 , apabila X 2 konstan atau tidak berubah dalam analisis berganda. Kemudian, interpretasi dari r\ 3.2 adalah 57% dari jumlah varian penjualan, dijelaskan oleh tingkat kecerdasan (IQ test) dari penjual dan bukan oleh lama pengalaman berjualan. 13.3 KORELASI JENJANG
Hubungan an tara dua variabel dapat dianalisis dengan mencatat jenjang dari nilai-nilai setiap variabel. Penilaian dapat diukur berdasar kuantitas, kualitas, atau standar keselarasan masing-masing. Keuntungan menggunakan data yang diurutkan dalam analisis hubungan antara lain: (1) Cara perhitungan untuk hubungan data yang diurutkan dinamakan Koefisien Korelasi
Jenjang dan diberi simbol rk, relatif mudah. (2) Keterbatasan dari sampel yang diambil dari populasi, mungkin tidak berdistribusi normal atau mungkin tidak mempunyai distribusi, dapat dihindari. Tidak ada asumsi mengenai tipe dari parameter pada populasi ini. Metoda yang digunakan dalam korelasi berjenjang dinamakan metoda non parametric. (3) Data yang diurutkan mungkin didapat dari barian yang sulit untuk dihitung dengan perhitungan yang pasti, misalnya kondisi dari tiap penjual dalam kelompoknya. Akan tetapi pekerjaan ini dapat disederhanakan oleh manajer penjualan dengan membuat jenjang (urutan) kondisi tiap penjual. Koefisien yang digunakan pada korelasi jenjang (rank correlation) adalah koefisien Spearman's. Hal ini dapat ditulis: 6L,d2 r=1---=-k
n(n2- 1)
(13.6)*
yang menunjukkan bahwa: d = perbedaan an tara dua pasangan jenjang (rank) n = besarnya sampel. *)
Distribusi sampling dari rk simetris di sekitar nol dan an tara -1 dan +1. Untuk sampel kecil, distribusinya tidak normal. Akan mendekati kurve normal, apabilajumlahjumlah (bersambung ... ) sampel (n) diperbesar. Standar error dari rk adalah: 307
Contoh 3: Tabel berikut ini menunjukkan basil tes pertama dan kedua dari tujub mahasiswa yang menempub ujian statistika ekonomi (diberikan pada kolom 2 dan 3 pada tabell3.3). Urutan nilai dari dua tes diberikan dalam kolom 4 dan 5, diurutkan dari nilai tertinggi ke nilai terendab. Hitunglah koefisien korelasi jenjangnya. Tabell3.3
Data dan Perhitungan Koefisien Korelasi Jenjang (Contoh 3) Nilai
Crutan Nilai ..
~-~--~~---
-----~
I
Pel ajar
I
I
Tes I I Pertama, y
Tes Kcdua X
i
Tes Pcrtama y (4)
Tcs Kcdua X (5)
d=Y-X = (4)- (5)
d2
(6)
(7)
3
2
4.
-2 l 2
4 1 4
-2
4
-1 0
1 0
0
18
{I)
(2)
(3)
A
90 81 65 69 94 97 60
94 66 69 87 72 89
4 6 5 2
1 6 5 3 4
1
2
64
7
7
B
c 0
E F
G Total
Penyelesaian: Nilai basil perbitungan didapat dari tabel 13.3. Besarnya .l,d2 (13.6): rk = 1 -
= 18 dan n =7. Rumus
1 ~ \ 7 7 ~)1 ) = 1 - 0,32 =0,68
Nilai rk adalab an tara+ 1 dan -1. Apabilarangking dari basil nilai ujian pertama dan kedua identik bagi setiap mabasiswa, atau d = Y - X = 0, _d 2 akan nol, dan rk = + 1. Berarti rk menunjukkan korelasi positif sempurna an tara dua kelompok jenjang nilai. Apabi!a jenjang
yang dapat digunakan analisa sampling apabila n besar, katakan 20 atau lebib. 308
=
=
=
=
ini urutannya terbalik untuk setiap pasangan, misalnya d Y - X 1 - 7 -6, d = 2 - 6 -4, d = 3 5 = -2, dan seterusnya, 2,d2 akan memberikan nilai maksimum dan rk = -1. Jika rk = 0, hal ini menunjukkan tidak ada korelasi antara dua kelompok jenjang. Apabila dua atau lebih nilai mempunyai angka yang sama dalam satu jenjang, diberi bobot yang sama dalamjenjang. Sebagai contoh,jumlah penjualan penjualan D danE dalam contoh 4 berikut ini menunjukkan jumlah yang sama dan. dalam jenjang pada jenjang 6 dan 7, maka harus diberi bobot yang sama yaitu (6 + 7)/2 =6,5. Apabila 3 nilai yang sama terletak dalamjenjang kedua, ketiga, dan keempat, harus diberi bobot sama yaitu (2 + 3 + 4)/3 =3.
Contoh 4: V ariabel Y dan X dalam kolom (2) dan (3) pada tabel di bawah menunjukkan data yang sama pada contoh 1, Bab 12. Hitunglah koefisien korelasi jenjangnya. Tabel13.4
Data dan Perhitungan Koefisien Korelasi Jenjang (Contoh 4) Data \sli Pcnjual
.)umlah J>cnjualan
Pen gala man Bcrjualan
y
X
.Jumlah Pcnjualmi y
())
(2)
(J)
(.tl
A B
Rp9.000
6
6.000 4.000 3.000 3.000 5.000 8.000 2.000
5 3 1 4 3
c D
E F
G
H *) **) ***)
Data yang diurutkan
6
2
1,0
3,0 5,0 6,5* 6,5* 4,0 2,0 8,0
Pcngalanmn Berjualan (5)
d
Y-\ (.ti-
d'
(5)
\
1,5** 3,0 5,5***
8,0 4,0 5,5*** 1,5** 7,0
((l)
OJ
-0.5 0,0
0,2S 0,00
-0,5
0,25
-1,5 2,5 -1,5 0,5 1,0
2,25 6,25.
2,25 0,25
1.00
Jenjang enam dan tujuh =(6 + 7)/2 =6,5 Jenjang pertama dan kedua = (1 + 2)/2 = 1,5 Jenjang kelima dan keenam =(5 + 6)/2 = 5,5
Penyelesaian: Substitusikan 2.d 2 = 12,5 dan n
= 8 pada rumus (13.6).
6<1•25 ) =I- 0 1488 = 8 8512 8(82 - 1) ' ' 309
BAS XIV Soal Latihan
14.1PENYAJIAN DATA
1.
Pemeriksaan yang dilakukan terhadap 100 bukti transaksi penjualan PT Mrican Berdikari yang dipilih secara acak dihasilkan data yang dapat dirinci seperti berikut:
45
22
~22
35 41
··20·· .. . ·34· . 33 37 . 23 21 48 39 20 18 53 32 30 15 40
43 23
22
45
21 22 33
27 16
29 22 17 25
12
17
15
34 23 29 14
19 36 11
12 24 19 24 16 31 21
20 18 9 7 27 10 19 24 30 24
27 49 22 23
24 20 21 10
44
13 31
47 25
52 28 23
23 28 44
17
23 38 24 27 32 42 13 37 20 28
21 21 38 59 36
22 40
25 35 27
(dalam satuan Rpl.OOO,OO) a. b. c. d. e. f. g. 2.
310
Tentukan nilai transaksi terbesar dan terkecil Tentukanjangkauan (jarak atau range) data-data tersebut. Dengan jumlah kelas sebanyak 7 (tujuh), tentukanlah interval kelas (Iebar kelas) yang dapat digunakan dalam penyusunan distribusi frekuensi. Dengan menggunakan perumusan Sturges, tentukanlah jumlah kelasnya. Dari jawaban pertanyaan d. di atas, susunlah sebuah distribusi frekuensi yang dilengkapi dengan titik-titik tengah, tepi-tepi batas kelas pada masing-masing kelas. Gambarkan histogram frekuensinya (lihatjawaban pertanyaan e). Gambarkan poligon frekuensinya (lihatjawaban pertanyaan e).
Hingga tanggal31 Desember 1993, jumlah pelanggan PT Buana Lang-lang yang belurn memenuhi kewajibannya (hutang) berjumlalr-25 pelanggan. Nilai sal do piutang dari para pelanggan tersebut dapat dirinci seperti berikut ini: .
195.000 127.000 78.000 143.000 . 156.000
205.000 154.000 169.000 134.000 . 88.000 a.
b. c. 3.
184.000 168.000
170.000 118.000 92.000 126.000 286.0()()
54.000 233.000 192.000 208.000 241.000
:,
221.000
99.000 159.000
Dengan menggunakan batas kelas paling bawah sebesar 50.000 dan interval kelas sebesar 40.000 susunlah distribusi frekuensi yang dilengkapi dengan frekuensi relatipnya. Susunlah distribusi frekuensi kumulatip "kurang dari" Gambarkan ogivenya (lihat jawaban pertanyaan b).
Gaji yang dibayar PT Rahmatindo kepada 100 karyawannyadapatdiringkas seperti yang disajikan pada tabel berikut:
Distribusi Frekuensi Gaji 100 Karyawan PT Rahmatindo Gaji
50.000 60.00070.000 80.00090.000100.000110.000
.Jumlah
59.500 69.500 79.500 89.500 99.500 109.500 119.500
Kar~a\\an
3 10 20
25 15 12
3
88
Jurnlah
Dari ringkasan data di atas: a. Susunlah distribusi frekuensi kumulatip "atau lebih". b. Gambarkan ogivenya (lihat jawaban pertanyaan a). 14.2UKURAN PUSAT DATA
1.
Tigapuluh perusahaan yang tergabung dalam Perhimpunan Pengusaha Industri Semen tahun 1993 berhasil meraih laba sesudah pajak seperti berikut ini: 17 5 28
57 86 13
10
35
26
5
21
6
20 28
104
40
45
8
14 19
19
11 42 21
7 12 38
72 32 20
311
Dari informasi di atas: a. Tentukan rata-rata laba sesudah pajak yang diterima 30 perusahaan tersebut. b. Dengan menggunakan batas kelas paling bawah sebesar 5 dan interval kelas sebesar 20, susunlah distribusi frekuensinya. Lengkapi pula dengan titik-titik tengah. c. Dari jawaban pertanyaan b. di atas, Anda diminta menentukan rata-rata hitungnya. Dalam hal ini, Anda diminta menggunakan titik-titik tengah sebagai penaksir data asal. d. Perhatikan jawaban pertanyaan a dan c di atas. Apakah ada perbedaan basil perhitungan? Jelaskan. 2.
Limapuluh rekening tabungan harlan pada PT Bank Artha Rodeo yang dipilih secara acak diperoleh saldo yang qitunjukkan melalui diagram berikut ini:
Ogive Saldo SO Rekening Tabungan Harlan pada PT Bank Artha Rodeo
25
12
4 0
99,5
312
109,5
119,5
129,5
139,5
149,5
159,5
Dengan menggunakan data yang disajikan dalam diagram tersebut: a. Ubahlah diagaram tersebut dalam bentuk distribusi frekuensi. b. Hitunglah rata-ratasaldo rekening tabungan harian di atas. Gunakan cara pengkodean. 3.
Suatu sampel yang terdiri dari 20 karyawan unit produksi perusahaan Balapanos. menerima gaji per bulan seperti yang ditunjukan berikut ini:
112.000 112.000 112.000 112.000
112.000 112.000 112.000 112.000
124.000 124.000 132.000 132.000
144.000 144.000 152.000 160.000
164JJOO ->
180.000 -_-
184.000 ·,, 192.0®
Dari informasi di atas: a. Tulislah perumusan untuk menentukan letak median data yang bel urn dikelompokkan dan tentukan pula letak medium data tersebut di atas. b. Dari jawaban a, tentukan mediannya. 4.
Distribusi usia 60 pelamar karyawan PT Seturan Indah dapat diringkas sebagai berikut:
Distribusi Usia 60 Pelamar Karyawan pada PT Seturan Indah l sia
.lumlah Pdamar
18 ~ 19,5 20-21,5 22-23.5 24-25,5 26-27,5 28-29,5
10%
Jumlah
lS~
20%
''
'
25% 20% 10% 100%
Dari informasi di atas: a. Ubahlah tabel di atas menjadi tabel frekuensi atau dari frekuensi relatip menjadi frekuensi absolut. b. Tulislah perumusan letak median dan tentukan pula letak median untuk data di atas. c. Tulislah perumusan median dan tentukan pula median data pada tabel di atas.
313
5.
Selama semester pertama tahun 1993, 70 tenaga penjual jasa pada PT Asuransi Selayang Pandang berhasil menarik sejumlah nasabah yang menandatangani kontrak asuransi. Total nilai kontrak yang diraih keenampuluh tenaga penjual tersebut ditunjukkan berikut ini:
Distribusi Nilai Kontrak yang Diraih 70 Tenaga Penjual PT Asuransi Selayang Pandang Nilai Kontrak
,
Tenaga Penjual 6 11 15
5.000.000- 14.500.000 15.000.000- 24.500.000 25.000.000- 34.500.000 35.000.000 - 44.500.000 45.000.000- 54.500.000 55.000.000 - 64.500.000
16 15 7
~--------~--~-------4~
Jumlah 6.
PT Globe Dunia adalah sebuah perusahaan yang bergerak di bidang jasa pengiriman barang (paket) internasional. Dalam menentukan tarip per kilogram kiriman, PT Globe Dunia mengklasifikasikan menurut kelas pengiriman. Berikut disajikan data kelas pengiriman, tarip berat, dan berat kiriman selama tahun 1993:
Tarip
Berat
Kelasiii
Rp 1.500,00/kg
4.500kg
Kelasll
Rp2.200,00/kg
7.650kg
Kelasl
Rp2.900,00/kg
4.100 kg
PaketUdara
Rp5.300,00/kg
2.900kg
Paket Udara Tercatat
Rp6.300,00/kg
1.300kg
Paket Udara Berasuransi
Rp9.600,00/kg
970kg
Kdus
314
70
Dari informasi di atas: a. Tulislah perumusan yang digunakan untuk menentukan rata-rata tertimbang. b. Tentukan berat keseluruhan paket yang dikirim selama tahun 1993. c. Tentukan pendapatan yang diperoleh dari basil pengiriman paket selama tahun 1993. d. Tentukan pula rata-rata tarip per kilogram yang dikenakan pada kiriman selama tahun 1993. 7.
Perkembangan volume penjualan yang dicapai PT Transmalindo selama 6 tahun ditunjukkan melalui diagram berikut ini:
Perkembangan Volume Penjualan yang Dicapai PT Transmalindo
1988 ~ssssssssss~ 2.300 ton 1989
1-.."-"-"""~""""""~
2.000 ton
1990 ~"----~"-SSSSSS1 2.700 ton 1991 ~"-"-SSSSSSSSSSSSS"-"-~ 3.100 ton 1992 l ..................................."-S"-.. . . . . . .""-.. . . . . . ."-S"-.. . . . . . . . . . 'J 2.600 ton 1993
a. b. c.
rsssss':'ssss".......SSSSSSSSSSSSSSJ
3.700 ton
Tentukan faktor pertumbuhan volume penjualan tiap tahun. Gunakan kerangka tabel yang tersedia. Darijawaban pertanyaan a di atas, tentukan rata-rata tingkat pertumbuhan volume penjualan peru~ahaan tersebut. Jika diperkirakan bahwa volume penjualan tahun 1994 naik sebesar rata-rata pertumbuhannya, tentukan perkiraan volume penjualan tersebut.
14.3UKURAN VARIABILITAS
1.
PT Denpasar Munika Sun yang berkedudukan di Denpasartelah membukacabang di dua kota, Bandung dan Surabaya. Selama tahun 1993, kedua cabang tersebut telah membayar komisi penjualan masing-masing sebesar Rp8.923.500.00 dan Rp8.675.000,00 kepada 10 orang tenaga penjual yang dirinci seperti berikut:
315
Cabang Bandung:
260.000 . 726.500
870.000 826.500
400.000 795.000
1.600.000 505.000
980.000
1.960.000
797.500
885.500 1.152.500
856.000
797.000
Cabang Surabaya:
785.000 . 826.000 810.500 896.000
879.500
Dari informasi data komisi penjualan di kedua cabang tersebut: a. Tentukan rata-rata hitung data komisi di kedua cabang tersebut. b. Tentukan deviasi rata-rata data komisi di kedua cabang tersebut. c. Lebih merata manakah dua rangkaian data di atas? Jelaskan.
2.
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui rata-rata pengeluaran per bulan sekelompok keluarga yang menempati kompleks perumahan Graha Pogung. Penelitian dilakukan terhadap 50 keluarga dan hasilnya dapat dirinci seperti berikut:
Distribusi Usia 60 Pelamar Karyawan pada PT Seturan Indah Rata-rata Pengl'luaran
.Jumlah Kelum·ga
75.000 atau Iebih 85.000 atau lebih 95.000 atau lebih 105.000 atau lebih 115.000 atau lebih
so 46 39
29 14
125.000 atau lebih
6
Jumlah
so
Dari informasi di atas: a. Susunlah ringkasan data di atas dalam bentuk distribusi frekuensi (absolut). b. Dari jawaban permintaan a di atas, tentukan rata-rata pengeluaran kelimapuluh keluarga tersebut. c. Tentukan deviasi rata-ratanya.
316
3.
Perhatikan Soal 1. Dari soal tersebut Anda diminta menentukan deviasi standar untuk kedua rangkaian di atas.
4.
Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui variabilitas gaji yang dibayarkan kepada 100 karyawan di dua perusahaan. Ringkasan datanya ditunjukkan pada tabel. Dari ringkasan data tersebut: a. Dengan menggunakan metode pengkodean, tentukan rata-rata gaji di kedua perusahaan tersebut. b. Dengan menggunakan titik-titik tengah sebagai penaksir data asal, tentukanlah variasi, dan deviasi standar ringkasan data di atas. c. Lihat jawaban pertanyaan b di atas. Manakah yang lebih merata antara gaji karyawan PT Arum Manis dan PT Pring Indah? Jelaskan. Distribusi Frekuensi Gaji yang Diterima 100 Karyawan PT Arum Manis Gaji
.Jumlah
Kar~<man
5
50.000- 59.900 • 60.000- 69.900 70.000- 79.900 80.000- 89.900 90.000- 99.900 100.000- 109.900 110.000- 119.900
30
Jumlah
100
12 18 18 12 5
Distribusi Frekuensi Gaji yang Diterima 100 Karyawan PT Pring Indah
2 9
50.000- 59.900 60.000- 69.900 70.000- 79.900 80.000- 89.900 90.000- 99.900 100.000- 109.900 110.000- 119.900
38
Jumlah
100
20 20 9 2
317
5.
PT Otista Swalayan adalah sebuah perusahaan besar yang bergerak di bidang pengelolaan pasar swalayan. Untuk keperluan strategi penjualan, rnanajer pernasaran PT Otista Swalayan ingin rnengetahui besar pengeluaran pelanggan Pasar Swalayan Otista cabang Yogyakarta dan Malang. Hasil penelitiannya ditunjukkan pada tabel. Berdasarkan dua tabel tersebut: a. Tentukan rata-rata pengeluaran pelanggan di kedua pasar swalayan tersebut. b. Tentukan deviasi standar kedua ringkasan data tersebut. c. Dari jawaban pertanyaan b di atas, rnanakah ringkasan data yang lebih rnerata? Jelaskan. · d. Tentukan koefisien variasi kedua ringkasan data di atas. Apa kesirnpulan basil perhitungan Anda?
Besar Pengeluaran 50 Pelanggan Pasar Swalayan Otista Yogyakarta I
Bcsar Pcngduaran •
.Jumlah Pelanggan I
10.000- 19.900 20.000-29.900 30.000-39.900 40.000- 49.900 50.000 - 59.900 60.000- 69.900
4 9 11 13 9 4
Jumlah
50
Besar Pengeluaran 50 Pelanggan Pasar Swalayan Otista Malang I
Besar Pcngeluaran
318
:
.Jumlah Pelanggan
30.000- 39.900 40.000-49.900 50.000- 59.900 60.000- 69.900 70.000- 79.900 80.000- 89.900
2 4 16 19 6 4
Jumlah
50
14.4ANGKA INDEKS
1.
Dari catatan PT Indah Kopi Manis, produsen kopi bubuk cap Indah Manis, berhasil diperoleh data perkembangan harga dan volume penjualan kopi bubuk kemasan 1 kilogram selama tujuh tahun terakhir ( 1987 - 1993 ). Perkembangan harga dan volume disajikan berikut ini:
1987 1988 .1989 1990 1991 1992 1993
12,000,00 11500,00 12.000,00 13.500,00 15.600,00 17.250,00 20.500,00
10.200 11.600 10.100 12.670 14.100 13.900 14.000
Dari informasi di atas: a. Jika indeks harga tahun 1989 = 100%, tentukan indeks harga tahun lainnya. b. Jika tahun 1988 adalah tahun dasar, tentukan indeks kuantitas tahun lainnya. c. Jika tahun dasarnya adalah 1990, tentukan indeks nilai tahun lainnya. 2.
Harga em pat merk teh yang dijual Fa. Teh Sedap selama empat tahun terakhir disajikan pada tabel berikut ini:
l\lerk
1990
1991
191J2
199.~
DandanPeni
450
425
475
550
Kembang Indah
375
375
425
400
Apelanis
400
425
400
475
Bentang Indah
525
625
600
575
Berdasarkan data di atas: a. Tentukan indeks harga tahun 1990, 1991, dan 1992 jika diketahui 1991 100%. Gunakan metode agregatip sederhana. b. Jika tahun 1992 = 100%, tentukan indeks harga tahun lainnya dengan menggunakan metode rata-rata harga relatip.
=
319
3.
Berikut disajikan informasi perkembangan harga dan volume penjualan kopi bubuk (k.ernasan 500 gram) yang dijual Pasar Swalayan Hera: 1991
\lui, -
1992 t
---~
--
----~
t9'H -
-~
----
Barga
\ olume
Haq~a
Volume
llarga
\ olunw
Maracana
2.200
8.270
2.200
10.100
2.600
9.850
Robistana
1.800
9.800
2.100
9.700
2.300
10.000
Khaliana
2.300
6.200
2.200
9.200
2.400
8.900 '
Berdasarkan data di atas: a. Jikadiketahui indeks harga tahun 1991 =100%, tentukan indeks harga tahun 1993. Gunakan metode Laspeyres. b. Jikadiketahui indeks harga tahun 1992 = 100%, tentukan indeksharga tahun 1986. Gunakan metode Paasche. c. Tentukan indeks harga tahun 1992 jika diketahui bahwa indeks harga tahun 1991 100%. Gunakan metode Drobisch dan metode Irving Fisher.
=
4.
Dari catatan Balapan Stationary, perkembangan harga dan volume penjualan ditunjukkan sebagai berikut:
Barga Jual Rata-rata per rim Kertas HVS .lt>nis
19X7
19SX
19X9
1990
HVS 40 miligram
800
1.050
1.150
1.550
HVS 60 miligram
1.050
1.250
1.600
1.950
HVS 80 miligram
1.400
1.600
2.000
2.400
Volume Penjualan Kertas HVS (rim) .knis
320
19X7
1988
19X9
1990
HVS 40 miligram
4.600
3.950
4.300
4.600
HVS 60 miligram
5.200
5.000
5.500
5.400
HVS 80 miligram
6.100
7.200
7.100
8.000
Dari informasi tersebut: a. Hitunglah indeks harga rantai agregatip sederhana. b. Tentukan indeks harga rantai ketiga jenis kertas tersebut dengan menggunakan metode agregatip tertimbang. c. Jika tahun 1987 adalah tahun dasar, tentukan indeks harga relatip rata-rata tertimbang untuk tahun 1989 dengan menggunakan timbangan nilai tahun 1990. 5.
Berikut ini disajikan serangkaian data rata-rata gaji yang diterima karyawan PT Nirwana per bulan dan indeks harga konsumen selama enam tahun: Tahun
Rata-rata (;aji 1wr Bulan
lnckks llarga Knn-,unlt'
trupiahJ
(19XS:::IOOJ
126.500,00 132.600,00 140.500,00 182.200,00 185.700,00 189.500,00
100 108
1988 1989 1990
1991 1992 1993
118
ll6 120 127
Dengan menggunakan tabel tersebut, tentukan rata-rata upah nyata (upah riil) yang diterima karyawan PT Nirwana. 14.5ANALISIS RUNTUT WAKTU, REGRESI, DAN KORELASI
1.
PT Baldroc menggunakan data penjualan tahunan untuk memprediksi volume penjualan tahun-tahun mendatang. Untuk keperluan tersebut, perusahaan memutuskan menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menentukan garis trend linier. Berikut ini disajikan serangkaian data volume penjualan:
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1.200
1.100
1.400
1.750
1.600
1.700
1.850
2.100
Dari informasi di atas: a. Jika Y =a+ bX adalah persamaan trendlinier, tulislah perumusan untukmenentukan konstanta a dan b (dengan metoda kuadrat terkecil) dan selanjutnya tentukanlah kedua konstanta tersebut. b. Dari jawaban a, susunlah persamaan trend liniernya. c. Prediksilah volume penjualan tahun 1989.
321
2.
Untuk memprediksi volume penjualan, salah satu data penting yang harus diketahui adalah perkembangan permintaan produk tersebut. Dari catatan BAPPEDA suatu kabupaten diperoleh informasi bahwa perkembangan permintaan rumah sederhana tipe RSS 21 selama tujuh tahun terakhir seperti yang di:;ajikan pada tabel berikut ini:
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
4.250
5.260
. 5.100
5.400
5.700
5.600
5.950
Dari data perkembangan permintaan rumah tipe RSS 21, prediksilah permintaan rumah tahun 1989. 3.
Berikut disajikan data perkembangan deviden yang dibayarkan kepada para pemegang saham oleh PT Wulansari: 1990 - 1.890 1985 - 1.800 1980 - 1.650 1986 - 1.850 1991 - 1.880 1981 - 1.760 1992 - 1.830 1982 - 1.700 1987 - 1.950 1988 1.900 1993 - 1.800 1983 - 1.780 1989 - 1.980 1984 - 1.880 Semakin banyak data yang digunakan untuk memprediksi, seperti yang terlihat pada rincian deviden yang dibayarkan tersebut, maka kecenderunagan linier akan semakin berkurang. Kecenderungan tersebut berubah menjadi secaranonlinier, misalnyakuadratik yang memiliki bentuk umum persamaan Y =a+ bX + c.X2 • a. Ada tiga persamaan normal yang digunakan untuk menentukan konstanta a, b, dan c. Tulislah ketiga persamaan tersebut. b. Jika X dalam ketiga persamaan normal tersebut adalah skala kode tahun yang jumlahnya sama dengan nol (0), maka tentukan perubahan yang terjadi pada ketiga persamaan normal tersebut di atas. c. Dari jawaban b, tentukan ketiga konstanta tersebut, dan susunlah persamaannya.
4.
Ada anggapan sementara bahwa jumlah lembar karcis gedung bioskop Balapan Theatre dipengaruhi oleh masa-masa ujian bagi mahsiswa, karena sebagian penonton Bapalan Theatre adalah mahasiswa. Hal ini dibuktikan dengan pola perkembangan penjualan lembar karcis seperti berikut: Tl'i\\ ulan
1985
1986
1987
1988
I
21.500 13.600 26.750 12.100
21.700 15.850 27.000 14.450
24.120 16.600 30.900 16.650
26.550 18.800 33.750 18.450
n m IV 322
--------------------------
--
' '
' '
,,
'
''
'::' ''' ~ '
Untuk keperluan perencanaan dan pengendalian laba dimas a yang akan datang, manajer Bapalan Theatre memutuskan untuk menggunakan Metode Rasio untuk Rata-rata Bergerak selama tiga triwulanan. Dari informasi-informasi di atas: a. Tentukan rasio (persentase) data asli terhadap rata-rata bergerak 3 triwulan. b. Dengan menghilangkan rasio tertinggi dan terendah, tentukan rata-rata persentase per triwulannya. c. Jumlah rata-rata persentase per triwulan tersebut harus sama dengan 400%. Jika tidak, sesuaikanlah agar jumlahnya menjadi 400%. 5.
Perhatikan soal4. Berdasarkan data tersebut: a. b.
6.
Tentukan persamaan trend linier triwulannya. Prediksilahjumlah lembar karcis yang terjual untuk tahun 1989 (triwulanan). Dan selanjutnya, sesuaikankanlah basil predikat tersebut dengan variasi musim yang telah dihitung (soal4).
Manajer Karoaku Supermarket ingin mengetahui apakah nilai pembelian pelanggannya dipengaruhi oleh tingkat penghasilan mereka. Untuk itu manajemen Karoaku Supermarket membentuk tim untuk melakukan penelitian. Hasil penelitian disajikan pada tabel berikut: Pclanggan
A
B
c D
E F G H
I J K L M N 0
'
Pcnghasilan
:
1\ilai Pcmlwlian
(rupiahl
'
(ntpiahl
312.000 164.000 280.000 190.000 200.000 288.000 146.000 361.000 361.000 149.000 252.000
48.000
32.000 40.000 34.000 30.000 50.000 26.000 50.000
48.000 22.000 43.000,
187.000 202.000
29.000
235.000
41.000
289.000
40.000
35.000
323
Berdasarkan informasi di atas: a. Gambarkan diagram pancarnya. b. Tentukan variabel dependen dan variabel independen. c. Jika Y =a+ bX adalah persamaan regresi linier sederhana, tulislah perumusan yang digunakan untuk menentukan konstanta a dan b, dan selanjutnya tentukan kedua konstanta tersebut. d. Susunlah persamaan garis regresinya, dan jika diketahui seorang pelanggan memiliki tingkat penghasilan sebesar Rp400.000,00, prediksilah nilai pembelian pelanggan tersebut. 7.
Dari pengamatan manajer pemasaran PT Mataram Raya, biaya iklan yang dikeluarkan berhubungan dengan nilai pembelian yang diperoleh. Untuk nieyakinkan pengamatan manajer tersebut, dikumpulkanlah data historis tentang biaya iklan dan nilai penjualan selama sepuluh tahun seperti berikut ini:
l'ahun
Bia~
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
3.600.000 2.600.000 1.200.000 4.000.000 2.400.000 1.800.000 3.000.000 3.000.000 1.400.000 16.000.000
a I klan (rupiah)
1\ilai Pl'njualan (ntpiah)
54.000.000
30.000.000 28.000.000 40.000.000 36.000.000 30.000.000 38.000.000 46.000.000 3.400.000 42.000.000
Dari informasi di atas: a. Rumuskan dan tentukan variasi yang dijelaskan (explained variation) data di atas. b. Rumuskan dan tentukan pula variasi total (total variation) data di atas. c. Tentukan koefisien determinasinya. 8.
324
Perhatikan soal 7. Berdasarkan informasi tersebut: a. Dari koefisien determinasi dapat dihitung pula koefisien korelasi. Dari koefisien determinasi pada soal 7, tentukan koefisien korelasinya. b. Koefisien korelasi dapat juga dihitung melalui data observasi (tanpa mencari koefisien determinasi). Tentukan koefisien korelasi data pada soal 7.
OAFTAR PUSTAKA
1. 2. 3. 4.
Mendenhall, William, etc., Statistics for Management and Economics, Sevent Edition, Duxbury Press, Belmont, California, 1993. Sanders, Donald H., Statistics: A Fresh Approach, Fourth Edition, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1990. Spiegel, Murray R., Theory and Problems of Statistics in Sf Units, Me-Hill Book Company, Singapore, 1972. Triola, Mario F., Elementary Statistics, The Benjamin/Cummings Publishing Company Inc., Menlo Park, California, 1980.
325
TABEL 1 Tabelluaskurva normal standar
(Lampiran)
0
7
%
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.o7
.08
.09
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
.0000
.0040 .0438 .0832 .1217 .1591
.0080 .0478 .0871 .1255 .1628
.0120 .0517 .0910 .1293 .1664
.0160 .0557 .0948 .1331 .1700
.0199 .0596 .0987 .1368 .1730
.0239 .0636 .1026 .1406 .1772
.0279 .0675 .106 .1443 .1808
.0319 .0714 .1103 .1480 .1844
.0359 .0745 .1141 .4512 .1879
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
.1915 .2257 .2881 .3159
.1950 .2291 .2612 .2910 .3186
.1985 .2324 .2642 .2939 .3212
.2019 .2357 .2673 .2967 .3258
.2054 .2389 .2704 .2995 .3264
.2058 .2423 .2734 .3023 .3289
.2125 .2434 .2764 .3051 .3315
.2157 .2486 .2794 .3078 .3340
.2190 .2518 .2823 .3106 .3365
.2224 .2549 .2852 .3133 .3389
1.1 1.2 1.3 1.4
.3413 .3645 .3849 .4052 .4192
.3458 .3665 .3869 .4049 .4207
.3461 .36865 .3888 .4222
.3485 .3708 .3907 .4082 .4236
.3508 .3729 .39235 .4098 .4251
.3331 .3749 .3944 .4115 .4265
.3554 .3770 .3962 .4131 .4239
.3577 .3790 .3941 .4147 .4292
.3399 .5810 .3991 .4162 .4306
.3671 .3830 .4015 .4177 .4319
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
.4332 .4452 4534 .4641 .4713
.4345 .4463 .4564 .4649 .4719
.4357 .4474 .4457 .4346 .4726
.4370 .4484 .4582 .4664 .4732
.4382 .4495 .4391 .4671 .4738
.4394 .4305 .4399 .4678 .4744
.4406 .4515 .4608 .4686 .4730
.4418 .4325 .4616 .4693 .4736
.4429 .4335 .4625 .4699 .4761
.4441 .4545 .4633 .4706 .4767
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
.4772 .4821 .4861 .4893 .4918
.4778 .4826 .4864 .4896 .4920
.4783 .4830 .4868 .4898 .4922
.4788 .4834 .4871 .4901 .4923
.4795 .4838 .4875 .4904 .49227
.4798 .4842 .4878 .4906 .4929
.4803 .4846 .4881 .4909 .4931
.4808 .4830 .4884 .49ll .4932
.4812 .4834 .4887 .4913 .4954
.4817 .4857 .4890 .4916 .4936
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
.4938 .4953 .4965 .4974 .4981 .4987
.4940 .4955 .4966 .4975 .4982 .4987
.4941 .4956 .4967 .4976 .4982 .4987
.4943 .4957 .4968 .4977 .4983 .4988
.4945 .4959 .4969 .4977 .4984 .4988
.4946 .4960 .4970 .4978 .4984 .4989
.4938 .4961 .4971 .4979 .4985 .4989
.4949 .4962 .4972 .4979 .4985 .4989
.4951 .4963 .4973 .4980 .4986 .4990
.4952 .4964 .4974 .4981 .4986 .4990
.0398 .0793 .1179 .1334
I
1.0
.2540
.4066
Sumber: Paul G. Hoel and Raymond T. Tessen: Basic Statistics for Business and Economics Table IV: Areas of a Standard Normal Distribution.
326
TABEL II. Distribusi Normal Kumulatif X
Luas
)l-4.763 Q J.1-3.090Q J.l- 2.576Q J.1-2.326Q
.0001 .0001 .001 0.05 .01
-2.054 - 1.960 - 1.881 - 1.751 - 1.643
J.1-2.034Q J.1-1.960Q J.l-1.881 Q J.l-1.751 Q J.l- 1.645 Q
.02 .025 .03 .04 .05
-
).!).!).!).!).!-
.06
%
X
Luas
%
1.05 1.10 1.16 1.20 1.25
Jl + 1.05 Q Jl+ l.IOQ J.1+1.15Q J.l+ 1.20Q J.l+ 1.25 Q
.8531 .8643 .8749 .8849 .8944
-4.265 -3.719 -3.090 -2.576 -2.326
1.30 1.35 1.40 1.45 1.50
Jl+ 1.30Q Jl + 1.35 Q Jl + 1.40 Q J.l+ 1.,45 Q Jl +' 1.50 Q
.9032 .9115 .9192 .9265 .9332
1.55 1.60 1.65 1.70 1.75
Jl + Jl+ Jl + Jl+ Jl +
1.55 Q 1.60Q 1.65 Q 1.70Q 1.75 Q
.9394 .9452 .9505 .9554 .9599
1.80 1.85 1.90 1.95 2.00
Jl+ 1.80Q Jl + 1.85 Q Jl+ 1.90Q Jl + 1.95 Q ).!+2.00Q
.9641 .9678 .9713 .9744 .9772
2.05 2.10 2.15 2.20 2.25
Jl+ 2.05 Q Jl+ 2.10Q )l+2.15Q Jl+ 2.20 Q Jl + 2.25 Q
.9798 .9821 .9842 .9861 .9878
.253 .126 0 .126 .253
Jl Jl+ .126Q Jl + .253 Q
.40 ,45 .50 .55 .60
2.50 2.35 2.40 2.45 2.50
Jl + 2.30 Q Jl + 2.35 Q Jl + 2.40 Q Jl + 2.45 Q Jl+ 2.50 Q
.9895 .9906 .9918 .9929 .9938
.385 .324 .674 .842 1.036
Jl + .385 Q Jl + .324 Q Jl+ .674Q Jl+ .842 Q Jl + 1.036 Q
.65 .70 .75 .80 .85
2.55 2.60 2.65 2.70 2.75
Jl + 2.55 Q Jl + 2.60 Q Jl + 2.65 Q Jl + 2.70 Q )l+2.75 Q
.9946 .9953 .9960 .9965 .9970
1.282 1.341 1.405 1.476 1.555
Jl + Jl + Jl + Jl + Jl +
.90
2.80 2.85 2.90 2.95 3.00
Jl + 2.80 Q Jl + 2.85 Q )l+2.90Q Jl+ 2.95 Q )l+3.00Q
.9974 .9978 .9981 .9984 .9987
1.645 1.731 1.881 1.960 2.054
Jl+l.645Q ji+ 1.751 Q Jl + 1.881 Q Jl + 1.960 Q J.!+2.054Q
3.05 3.10 3.15 3.20 3.25
Jl+ 3.05 Q )l+3.10Q Jl+ 3.15 Q Jl+3.20Q )l+3.25Q
.9989 .9990 .9992 .9993 .9994
2.326 2.576 3.090 3.719 4.265
Jl+ 2.326Q Jl+ 2.576Q Jl+3.090Q J.!+3.719Q Jl+4.265Q
1.555 1.476 1.405 1.341 1.282
- 1.036 .842 - .674 - .524 .385
-
'
1.1- 3.719Q
1.555 Q 1.476 Q 1.405 Q 1.341 Q 1.282 Q
1.1- 1.036Q 1.1- .842 Q ).!- .674 Q ).!- .524 Q ).!- .385 Q ).!- .253 Q
JL- .126Q
1.282 Q 1.341 Q 1.405 Q 1.476 Q 1.555 Q
.07 .08 .09 .10
.15 .20
.25
.30 .35
.91 .92 .93 .94
.95 .96 .97 .975 .98
.99 .995
.999 .9999 .99999
327
Distribusi Normal Kumulatif
(Lampiran)
%
X
Luas
-3.25 -3.20 -3.15 -3.10 -3.05
jl- 3.25 Q jl- 3.20Q ll- 3.15 Q jl-3.10Q jl- 3.05 Q
.0006 .0007 .0008 .0010 .0011
-3.00 -2.95 -2.90 -2.85 -2.80
jl- 3.00 Q jl- 2.95 Q jl- 2.90 Q jl- 2.85 Q jl- 2.80 Q
-2.75 -2.70 -2.65 -2.60 -2.55
%
X
Luas
- 1.00 .95 .90 - .85 - .80
jljljljljl-
1.00 Q .95Q .90Q .85Q .80Q
.1587 .1711 .1841 .1977 .2119
.0013 .0016 .0019 .002 .0026
-
.75 .70 .65 .60 .55
jljljljljl-
.75Q .70Q .65Q .60Q 55Q
.2266 2420 .2578 .2743 2912
jl- 2.75 Q jl-2.70Q jl- 2.65 Q jl- 2.60 Q jl- 2.55 Q
.0030 .0035 .0040 .0047 .0054
-
.50 .45 .40 .35 .30
jljljljljl-
.50Q .45 Q .40Q .35Q .30Q
.3085 .3264 3445 .3632 3821
-2.50 -2.45 -2.40 -2.35 -2.30
jl- 2.50Q jl- 2.45 Q jl- 2.40Q jl- 2.35 Q jl- 2.30Q
.0062 .0071 .0082 .0094 .0107
.25 - .20 .15 - .10 - .05
jljljljljl-
.25Q .20Q .15Q .lOQ .05Q
.4013 .4207 .4404 .4602 .4801
-2.25 -2.20 -2.15 -2.10 -2.05
jl- 2.25 Q jl- 2.20 Q j.1-2.15Q jl-2.10Q jl- 2.05 Q
.0122 .0139 .0158 .0179 .0202
00
ll
5000
-2.00 - 1.95 - 1.90 - 1.85 - 1.80
jl- 2.00 Q jl- 1.95 Q jl- 1.90Q jl- 1.85 Q j.1-I.80Q
.0228 .0256 .0287 .0322 0359
.05 .10 .15 .20 .25
jl+ jl+ jl+ jl+ jl+
.05Q .IOQ .15Q .20Q .25Q
.5199 .5398 .5596 .5793 .5987
-
1.75 1.70 1.65 1.60 1.55
jl- 1.75 Q j.1-I.70Q jl- 1.65 Q jl- 1.60 Q jl- 1.55 Q
.0401 .0446 .0495 .0548 .0606
.30 .35 .40 .45 .50
jl+ ll + jl+ ll + ll +
.30Q .35 Q .40Q .45 Q .50 Q
.6179 .6368 .6554 .6736 .6915
-
1.50 1.45 1.40 1.35 1.30
jl- 1.50 Q jl- 1.45 Q jl- 1.40 Q jl- 1.35 Q jl- 1.30Q
0668 .0735 .0808 .0885 .0968
.55 .60 .65 .70 .75
ll + jl+ jl+ jl+ ll +
.55 Q .60Q .65Q .70Q .75 Q
.7088 .7257 .7422 .7580 .7734
-
1.25 1.20 1.15 1.10 1.05
jl- 1.25 Q 1.20Q j.1-I.I5Q jl-I.IOQ ll- 1.05 Q
.1056 .1131 .1251 .1357 .1469
.80 .85 .90 .95 1.00
ll + .80 Q ll + .85 Q jl+ .90Q jl+ .95Q ll + 1.00 Q
.7881 .8023 .8139 .8289 .8413
jl-
-
Sumber: Willred J Dixon and Frank J Massey. Jr Introduction to Statistic a Analysis. Tahun A-4 : Cummulative Normal D1stributwn
328
TABEL III
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) = (n) px (1-p) '
n
~
.01
.05
.10
2
0
.9801
.9025
.8100
.7225
.6400
.5625
I
.0198
.0950
.1800
.2550
.3200
.3750
2
.0001
.0025
.0100
.0225
.0400
.0625
0
.9703
.8574
.7290
.6141
.5120
.4219
I
.0294
.1354
.2430
.3251
.3840
.4219
2
.0003
.0071
.0270
.0574
.0960
.1406
3
.0000
.0001
.0010
.0034
.0080
.0156
0
.9606
.8145
.6561
.5220
.4096
.3164 .4219
3
4
5
6
7
.15
.20
.25
I
.0388
.1715
.2916
.3685
.4096
2
.0006
.0135
.0486
.0975
.1536
.2109
3
.0000
.0005
.0036
.0115
.0256
.0469
4
.0000
.0000
.0001
.0005
.0016
.0039
0
.9510
.7738
.5905
.4437
.3277
.2373
I
.0480
.2036
.3280
.3915
.4096
.3955
2
.0010
.0214
.0729
.1382
.2048
.2637
.0244
.0512
.0879
3
.0000
.0011
.0081
4
.0000
.0000
.0004
.002
.0064
.0146
5
.0000
.0000
.0000
.0001
.0003
.0010
0
.9415
.7351
.5314
.3771
.2621
.1780
I
.0571
.2321
.3543
.3993
.3932
.3560
2
.0014
.0305
.0984
.1762
.2458
.2966
3
.0000
.0021
.0146
.0415
.0819
.1318
4
.0000
.0001
.0012
.0055
.0154
.0330
.0004
.0015
.0044
.001
.0003
5
.0000
.0000
.0001
6
.0000
.0000
.0000
.0000
0
.9321
.6983
.4783
.3206
.2097
.1335
I
.0659
.2573
.3720
.3960
.3670
.3115
2
.0020
.0406
.1240
.2097
.2753
.3115
3
.0000
.0036
.0230
.0617
.1147
.1730
4
.0000
.0002
.0026
.0109
.0287
.0577 .0115
5
.0000
.0000
.0002
.0012
.0043
6
.0000
.0000
.0000
.0001
.0004
.0013
7
.0000
.0000
.0000
.0000
.0000
.0001
329
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) = ("x) px G-p) n-x n
2
3
4
5
~
.30
1/2
.35
.40
.45
.50
0 -1
.4900
.4444
.4225
.3600
.3025
.2500
.4200
.4444
.4530
.4800
.4950
.5000
2
.0900
.1111
.1225
.1600
.2025
.2500 .1250
0
.3430
.2963
.2746
.2160
.1664
1
.4410
.4444
.4436
.4320
.4084
.3750
2
.1890
.2222
.2389
.2880
.3341
.3750
3
.0270
.0370
.0429
.0640
.0911
.1250
0
.2401
.0975
.1785
.1296
.0915
.0625
1
.4116
.3951
.3845
.3456
.2995
.2500
2
.2646
.2963
.3105
.3456
.3567
.3750
3
.0756
.0988
.1115
.1536
.2005
.2500
4
.0081
.0123
.0150
.0256
.0410
.0625
0
.1681
.1317
.1160
.0778
.0503
.0312
.3602
.3292
.3124
.0592
.2059
.1562
.3369
.3125
1
6
7
330
(Lampiran)
2
.3087
.3292
.3364
.3456
3
.1323
.1646
.1811
.2304
.2757
.3125
4
.0284
.0412
.0488
.0768
.1128
.1562
5
.0024
.0041
.0053
.0102
.0185
.0312
0
'.1176
.0878
.0754
.0467
.0277
.0156
1
.3025
.2634
.2437
.1866
.1359
.0933
2
.3241
.3292
.3280
.3110
.2780
.2344
3
.1852
.2195
.2355
.2765
.3032
.3125
.1861
.2344
4
.0595
.0823
.0951
.1382
5
.0102
.0165
.0205
.0369
.0609
.0938
6
.0007
.0014
.0018
.0041
.0083
.0156
0
.0824
.0585
.0490
.0280
.0152
.0078
1
.2471
.2048
.1848
.1306
.0872
.0547
2
.3177
.3073
.2985
.2613
.2140
.1641
3
.2269
.2561
.2679
.2903
.2918
.2734
.2388
.2734
4
.0972
.1280
.1442
.1935
5
.0250
.0384
.0466
.0774
.1172
.1641
6
.0036
.0064
.0084
.0172
.0320
.0547
7
.0002
.0005
.0006
.0016
.0037
.0078
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) =(0 x) px (1-p) n-x n
~
8
9
.01
.OS
.10
.15
0
.9227
.6634
.4305
.2725
.1678
.1001
l
.0746
.2793
.3847
.3355
2
.0026
.0515
.2376
.2936
.2670 .3115
3 4
.0001
.0054
.0331
.0839
.1468
.2076
.0000
.0046
.0185
.0459
.0865
5
.0000
.0002
.0092 .0011
.0231
.0000
7
.0000
.0000
.0001
8
.0000
.0004 .0000 .0000 .0000
.0026
6
.0004 .0000 .0000 .0000 .0000
.0000
.0000
.0038 .0004 .0000
0 1
.9135
.3874
.2316
.1342
.0751
2
.0034 .0001
.6302 .2985 .0629
.3874 .1722
.3679 .2597
.3020 .3020
.2253 .3003
.0077
.1069
.1762
.0000
.0006
.0283
.0661
.2336 .1168
.0000 .0000
.0000
.0050
.0165 .0028
.0000
.0000
.0000 .0000
.0000
.0446 .0074 .0008 .0001 .0000 .0000 .0000
.9044 .0914 .0042
.5987 .3151 .0746
.0001
.0105 .0010
5
.0000 .0000
6 7
.0000 .0000
8
.0000 .0000 .0000
5
6 7 8 9 0
1 2 3 4
9
I
.25
.3826 .1488
3 4
10
.20
10
.0830
.0000
.0000
.0001
.0000 .0000 .0000 .0000 .0000
.0006 .0000
.0389 .0087 .0012
.0000
.0003 .0000
.0001
.0000
.0000
.0000
.1074 .2684
.0563 .1877
.3487
.1969
.3874
.3474
.1937 .0574
.2759 .1298
.3020
.2816
.201-3
.2503
.0112 .0015
.0401 .0085
.0881 .0264
.1460 .0584
.0001 .0001
.0012
.0055 .0055
.0162
.0000
.0000 .0000 .0000
.0000 .0000
.0012
.0001 .0000 .0000
.0031 .0004 .0000 .0000
331
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) =ex) p" (1-p) n-x n
~
.60
2
I
0 1
3
I 4
5
6
7
332
(Lampiran) .90
.95
.99
.70
.80
.160
.090
.040
.010
.002
.000
.480
.420
.320
.180
.095
.020
2
.360
.490
.640
.810
.902
.950
0
.064
.027
.008
.001
.000
.000
I
.288
.189
.096
.027
.007
.000
2
.432
.441
.384
.243
.135
.029
3
.216
.343
.512
.729
.857
.970
0
.026
.008
.002
.000
.000
.000
1
154
.076
.026
.004
.000
.000
2
.346
.265
.154
.049
.014
.001
3
.346
.412
.410
.292
.171
.039
4
.130
.240
.410
.656
.815
.961
0
.010
.002
.000
.000
.000
.000
1
.077
.028
.006
.000
.000
.000
2
.230
.132
.051
.008
.001
.000
3
.346
.309
.205
.073
.021
.001
4
.259
.360
.410
.328
.204
.048
s
.078
.168
.328
.390
.774
.951 .000
0
.004
.001
.000
.000
.000
I
.037
.010
.002
.000
.000
.000
2
.138
.060
.015
.001
.000
.000 .000
3
.276
.185
.082
.015
.002
4
.3ll
.3245
.246
.098
.051
.001
5
.187
.303
.393
.354
.232
.057
6
.047
.118
.262
.531
.735
.951
0
.002
.000
.000
.000
.000
.000
I
.017
.004
.000
.000
.000
.000
2
.077
.025
.004
.000
.000
.000
3
.194
.097
.029
.003
.000
.000
4
.290
.227
.115
.023
.004
.000
5
.261
.318
.275
.124
.041
.002
6
.131
.247
.367
.372
.257
.066
7
.028
.082
.210
.475
.695
.932
M' 111- , . . .
t
r'itt'(fUJM
u ••••
i
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) = (nx) p(l-p) II-X
II
8
9
~
.30
l/2
.35
0
.0576
.0390
I
.1977
.1561
2
.2965
3
.40
.45
.50
.0319
.0168
.0084
.0039
.1373
.0896
.0548
.0312
.2731
.2587
.2090
.1569
.1094
.2541
.2731
.2786
.2787
.2568
.2188 .2734
4
.1361
.1707
.1875
.2322
.2627
5
.0467
.0685
.0808
.1239
.1719
.2188
6
.0100
.0171
.0217
.0413
.0703
.1094
7
.0012
.0024
.0033
.0079
.0164
.0312
8
.0001
.0002
.0002
.0007
.0017
.00399
0
.0404
.0260
.0207
.0101
.0046
.0020
I
.1556
.1171
.1004
.0605
.0339
.0176
2
.2668
.2341
.2162
.1612
.llO
.0703
3
.2668
.2731
.2716
.2508
.2119
.1641
4
.1715
.2048
2194
.2508
.2600
.2461
5
.0735
.1024
.ll81
.1672
.2128
.2461
6
.0210
.0341
.0424
.0743
.1160
1641
7
.0039
.0073
.0098
.0212
.0407
0703
8
.0004
.0009
.0013
.0035
.0083
.0176
9
.0000
.0001
.0001
.0003
.0008
.0020
10 0
.0282
.0173
.0135
.0060
.0025
.0010
1
.1211
.0867
.0725
.0403
.0207
.0098
2
.2335
.1951
.1757
.1209
.0763
.0439
3
.2668
.2601
.2522
.2150
.1665
.1172
4
.2001
.2276
.2377
.2508
.2384
.2051
5
.1029
.1366
.1536
.2007
.2340
.2461
6
.0368
.0569
.0689
.1115
.1596
.2051
7
.0090
.0163
.0212
.0425
.0746
.1172
8
.0014
.0030
.0043
.0106
.0229
.0439
9
.0001
.0003
.0005
.0016
.0042
.0098
10
.0000
.0000
.0000
.0001
.0003
.0010
333
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) =e.) px(l-p) n
~
8
0
.001
1
.008
2
.041
3
.124
9
.60
(Lampiran)
O·X
.80
.90
.95
.000
.000
.000
.000
.000
.001
.000
.000
.000
.000
.010
.001
.000
.000
.000
.047
.009
.000
.000
.000 .000
.70
.95
4
.232
.136
.046
.005
.000
5
.279
.254
.147
.033
005
000
6
.209
.296
.294
.149
.051
.003
7
.090
.198
.336
.383
.279
.075
8
.017
.058
.168
.430
.663
.923
0
.000
.000
.000
.000
.000
.000
I
.004
.000
.000
.000
.000
.000
2
.021
.004
.000
.000
.000
.000
3
.074
.021
.003
.000
.000
.000
4
.167
.074
.017
.001
.000
.000
5
.251
.172
.066
.007
.001
.000
6
.251
.267
.176
.045
.008
.000
7
.161
.267
.302
.172
.063
.003
8
.060
.156
.302
.387
.299
.083
9
.010
.040
.134
.387
.630
.914
0
:000
.000
.000
.000
.000
.000
I
.002
.000
.000
.000
.000
.000
2
.Oil
.001
.000
.000
.000
.000
10
334
3
.042
.009
.001
.000
.000
000
4
.Ill
.037
.006
.000
.000
.000
5
.201
.103
.026
.001
.000
.000
6
.251
.200
.088
.011
.001
.000
7
.215
.267
.201
.057
.010
.000
8
.121
.233
.302
.194
.o75
.004
9
.040
.121
.268
.387
.315
.091
10
.006
.028
.107
.349
.599
.904
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) =e) px(l-p)
n
I~
II
0 I 2 3 4
12
I I
.01
.05
.10
.20
.30
40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
.895 .099 .005
.314 384 .213 07 .016
.086 .235 .295 .221 .Ill
020 .093 .200 .257 .220
.004 027 049 .177 .236
.000
.000
.005 .027 .081 161
.001 .005 023 .070
.000 .000
.000 .000
.569 .329 .087 .014 001
.001 .004 .017
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 000
.002 .000 .000
.039 .010 .002 .000 .000
.132 057 .017 .004 .001
.221 .147 .070 .023 .005
.226 .226 .161 .081 .027
.147 .221 .236 .177 .089
.057 .132 .220 .257 .200
.010 .039 .Ill .221 .295
.000 .002 .016 .071 .213
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.005
.005
.027 .004
.093 .020
.236 .086
.384 .314
.099 .895
.099 .895
.000 .000 .002 .012 .042
.000
.003 .016 .054 .121
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.001
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 000 .000
.193 079 .193 .121 .054 .016 .003 000
.101 .016 .227 .213 .142 .064 .017 .002
.029
.003
.000
.000
.000
.158 .231 .240 168 .071 .014
.053 .133 .236 .283 .206 .069
.000 .004 .021 .085 .230 377 .282
.000 .000 .000 .000
.000
.000
.000
.002 .010 .035 .087 .157 .209 .209 .157 .087 .035 .010 002 .000
.000 .001 .006 .024
000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000
.000 .000
000 .000 .000
.000 .000 .000
10 II
.000 .000
.000 .000
.000
.005
.000
000 .000
.001
000
.000
.000
0 I
.886 107 .006 .000
.540 .341 .099 .017 002
282 377 .230 .085 .021
.069 .206 283 .236 .133
014 071 .168 .240 .231
.002 .017 .064 142 .213
.000
800
.004
.000 .000 .000
.000
.053 .016 .003 .001 .000 .000 .000 .000
.158 079 029 .008 .001 .000
.227 .177 .101 .042 .012 .002
000 000
.000 .000
.055 .179 .268 .246 .154 .069 .023 .006 .001 .000 .000 000 000 .000
.010 .054 .139 .218 .234 .180 103 .044 .014 .003 001 000 000 .000
.001 .011 .045 .Ill .184 .221 .197 131 .066 .024 006 .001 .000 .000
2
13
n-'
3 4
.000
5 6 7 8 9 10 II 12
.000 .000 .000 .000 .000 .000 000 .000
0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13
.878 .115 .007 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 000 .000 .000 .000
000
.000 .000
000 000 000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 000
.513 351 Ill 021 .003 .000 .000
254 .367 .245 .100 028 .006 001
.000 .000
.000 .000
.000 000 .000 .000
.000 .000 000 .000 .000
.000
.066 .131 .197 .221 .184 Ill .045 .011 .001
.000 000 001 008
.001 .003 .014 .044 .103 .180 234 .218 .139 .054 .010
.002
.001 .006 .023 .069 !54 .246 .268 .179 .055
.000 .000 .000 .000 .000 .00<.1 .000 .001 .006 .028 .100 .245 .367 .254
000
.000 .006 107 .886
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .007 115 .878
.000 .000 .000 .000 .000 .006 .107 .886
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .007 115 .878
335
---------------------l"'!!""oi!OIIt:t~!~JbtiOIII&~~s~~--~\Sll!t¥a
TABEL Distribusi Binomial b(x n.p) = ( x) px(l-p) n-x
(Lampiran)
0
I~
n
14
'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 l3 14
15
0 I 2 3 4
336
.01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
.869 .123 .008
.488 .359 .123 .026 .004
.229 .356 .257 .114 .035
.044 .154 .250 .250 .172
.007. 041 .113 .194 .229
.001 .007 .052 .085 .155
.000 .001 .006 .022 .061
.000 .000 .001 .005 .014
.000 .000 .000 .000 .001
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.008 .001 .000 .000 .000 .000 .000
.086 .032 .009 .002 .000 .000 .000
.000 .000
.000 .000
.000
.000
.000
.207 .207 .157 .092 .041 .014 .003 .001 .000 .000
.122 .183
.000
.196 .126 .062 .023 .007 .001 .000 .000 .000 .000
.041 .092 .209: .157 .183 .207 .122 .207 .155 .061 .022 .085 .006 .032 .001 .007 .000 .001
.007 .023 .062 .126 .196 .229 .194 .113 .041 .007
.000 .002 .009 .032 .086 .132 .250 .250 .154 .044
.000 .000 .000 .001 .008 .035 .114 .257 .356 .229
.000 .000 .000 .000 .000 .004 .026 .123 .359 .488
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .125 .865
.463 .366 .135 .051 .005
.206 .343 .267 .129 .043
.035 .132 .231 .250 .188
.005 .051 .092 .170 .219
.000 .005 .022 .063 .127
.000 .000 .003 .014 .042
.001 .000 .000 .002 .007
.000 .000 .000 .000 .001
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001
.010 .002 .000 .000 .000
.105 .043 .014 .003 .001
.206 .147 .081 .055 .012
.186 .207 .177 .118 .061
.092 .153 .196 .196 .153
.024 .061 .118 .177 .207
.003 .012 .035 .081 .147
.000 .001 .003 .014 .043
.000 .000 .000 .000 .002
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.003 .001 .000 .000 .000
.024 .007 .002 .000 .000
.092 .042 .014 .003 .000
.186 .127 .063 .022 .005
.206 .219 .170 .092 .031
.103 .188 .250 .231 .132
.010 .043 .129 .267 .343
.001 .005 .031 .135 .366
.000 .000 .000 .005 .30
.000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .860 .130 .009
.000 .000
.000 .000 .000 .000
.000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000
10 11 12 l3 14
.000 .000
.000
.000
.000 .000 .000
15
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.005
.035
.206
.465
.860
0 I 2 3 4
.851 .138 .010 .000 .000
.440 .371 .146 .036 .006
.185 .329 .275 .142 .051
.028 .113 .211 .246 .200
.003 .023 .073 .146 .204
.000 .005 .015 .047 .101
.000 .000 .002 .009 .028
.000 .000 .000 .001 .004
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .001 .00 .000 .000
.014 .003 .000 .000 .000
.120 .055 .020 .006 .001
.210 .165 .101 .049 .019
.162 .198 .189 .142 .084
.067 .122 .175 .196 .175
.014 .039 .084 .142 .189
.001 .006 .019 .049 .101
.000 .000 .001 .006 .020
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
10 II 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.006 .001 .000 .000 .000
.039 .014 .004 .001 .000
.122 .067 .028 .009 .002
.198 .162 .101 .047 .015
.165 .210 .204 .146 .073
.055 .120 .200 .246 .211
.003 .014 .051 .142 .275
.000 .001 .006 .036 .146
.000 .000 .000 .000 .010
15 16
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.003 .000
.023 .003
.113 .028
.329 .185
.371 .440
.138 .851
5 6 7 8 9
16
!1!$i!1ii'
.000
.000
.000 .000
TABEL Distribusi Binomial b(x n.p) =(D) px(l-p) n-x n
17
18
~
.01
.05
.10
0 I 2 3 4
.843 .145 .012 .001
.167 .315 .280 .156
.000
.418 .374 .158 .041 .908
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
15 16 17
.000 .000 .000
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
.001
.060 .017 .004 .001
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
.025
.002
.096
.017 .058 .125 .187
.000 .002
.000 .000
.010 .034 .080
.001 .005 .018
.000 .000 .000 .000 .002
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.008 .024 .057 .107 .161 .193 .184 .138 .080 .034
.001 .003
.000 .000 .000 .002
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.191 .239 .209 .136
.068 .027 .008
.208 .178 .120
.138 .184 .193 .161 .107 .057 .024
.047
.094
.094 .148 .185 .185 .148
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.002 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .000
.008 .002 .000
.047 .018 .005
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.001
.010
.000 .000
.002 .000
.835 .152 .013 .001
.397 .376 .168 .047
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.002 .013 .046 .105 .168 .202 .187 .138 .081 .039 .015 .005 .001 .000
.000 .000
.009
.018 .081 .172 .250 .215 .151 .082 .035 .012 .003 .001
.000
.000 .000 .000 .000
.150 .300 .284 .168 .070 .022 .005 .001 .000 .000 .000 .000
.001
.000 .000
.000
.000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000
.000
.000
.000
.000
.000
.000 .000 .000
.000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.377 .377 .179 .053 .011
.135 .285 .285 .180 .080
.014 .068 .154 .218 .218
.002
.027 .007 .001
.164 .095
.044
.000 .000
.017 .005
.000 .000
0 1 2 3 4
.826 .159 .014 .001
5 6 7 8
.000 .000 .000 .000
9
.000
.000
.000 .000 .000 .000
.064 .028
.009 .003 .001
.000
.001 .007 .025 .061 .115 .166 .189 .173 .128 .077 .037 .015 .004 .001
.001 .003 .012 .033 .71 .121 .167 .185 .167 .121 .071 .033 .012
.000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.003 .001
.001
.000
.009 .036 .087 .149
.001 .005 .017 .047
.000 .000 .000 .002 .007
.192 .192 .153 .098 .051
.093 .145 .180 .180 .146
.000
.000 .000
.022 .052
.096 .144 .175
.009 .028 .064
.060
.008
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.156
.141
.001
.023
.280 .315 .167
.158 .374 .418
.012 .145 .843
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.001 .003 .012 .035 .082 .151 .215
.000 .000 .000 .001 .005 .022 .070
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.009
.000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.168 .284 .300 .150
.047 .168 .376 .397
.001 .013 .152 .835
.120 .178 .208 .187 .125
.808 .027 .068 .136 .209 .239
.058 .017
.096
.002 .000 .000 .000 .000
.001
.001 .004 .015 .037 .077 .128 .173 .189 .155 .115 .061
.001 .005 .015 .039 .081 .138 .187 .202 .168
.025 .007 .001
.105 .046 .013
.000
.002
.230 .172 .081 .018
.000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000
.000 .000
.002 .008
.000 .000 .000 .000
.022
.001
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .001 .002 .008 .024 .053 .098
.00
.191
.001 .004 .017
.000
.001
.000
.000 .000
.000
.000 .000 .001
337
TABEL Distribusi Binomial b(x n.p) = (".) p•(l-p) n-x n
19
20
21
338
(Lampiran)
~
-01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
10 11 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.022 .008 .002 .001 .000
.098 .053 .024 .008 .002
.176 .144 .096 .052 .022
.146 .180 .180 .145 .097
.051 .098 .153 .192 .192
.005 .017 .044 .095 .164
.000 .000 .001 .007 .027
.000 .000 .000 .000 .002
.000 .000 .000 .000 .000
15 16 17 18 19 0 I 2 3 4
.000 .000 .000 .000 .000 .818 .165 .016 .001 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .358 .877 .189 .060 .013
.000 .000 .000 .000 .000 .122 .270 .285 .190 .090
.000 .000 .000 .000 .000 .012 .058 .137 .205 .218
.001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .005 .012 .055
.001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .005 .012 .055
.007 .002 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .005
.047 .017 .,005 :oo1 .000 .000 .000 .000 .000 .000
.149 .087 .036 .009 .001 .000 .000 .000 .000 .000
.218 .218 .154 .068 .014 .000 .000 .000 .000 .000
.080 .180 .285 .285 .135 .000 .000 .000 .000 .000
.011 .055 .179 .377 .377 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .001 .014 .159 526 .000 .000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.002 .000 .000 .000 .000
.032 .009 .002 .000 .000
.175 .109 .055 .022 .007
.075 .124 .166 .180 .160
.075 .124 .166 .180 .160
.015 .037 .074 .120 .160
.001 .005 .015 .055 .071
.000 .000 .001 .004 .012
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
10 II 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.002 .000 .000 .000 .000
.117 .071 .055 .015 .005
.117 .071 .055 .015 .005
.176 .160 .120 .074 .037
.117 .160 .180 .166 .124
.031 .065 .114 .164 .192
.002 .007 .022 .055 .109
.000 .000 .000 .002 .009
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
15 16 17 18 19
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.015 .005 .001 .000 .000
.075 .035 .012 .003 .000
.179 .130 .072 .028 .007
.175 .218 .205 .137 .058
.032 .090 .190 .285 .270
.002 .015 .060 .189 .377
.000 .000 .001 .016 .165
20
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.001
.012
.122
.358
.818
0 I 2 3 4
.810 .172 .017 .001 .000
.341 .376 .198 .066 .016
.109 .255 .284 .200 .100
.009 .048 .121 .192 .216
.001 .005 .022 .058 .113
.000 .000 .002 .009 .026
.000 .000 .000 .001 .005
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.003 .000 .000 .000 .000
.038 .011 .003 .001 .000
.183 .122 .065 .029 .010
.164 .188 .172 .129 .080
.059 .105 .149 .174 .168
.010 .026 .055 .097 .140
.001 .003 .009 .023 .050
.000 .000 .000 .002 .006
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
10 11 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.003 .001 .000 .000 .000
.041 .018 .006 .002 .000
.134 .089 .050 .025 .009
.168 .168 .140 .097 .055
.089 .134 .168 .174 .149
.018 .081 .080 .129 .172
.001 .003 .010 .029 .065
.000 .000 .000 .001 .003
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
TABEL Distribusi Binomial b(x I n.p) =e) px(l-p) n
21
22
23
X
n-x
,01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
15 16 17 18 19
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.003 .001
.188 .164 .113 .058 .022
.122 .183 .216 .192 .121
.011 .038 .100 .200 .284
.000 .000 .000
.000
.105 .059 .026 .009 .002
.000
.000 .000 .000
.026 .010 .003 .001
20 21
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000
.005 .001
.048 .009
.255 .109
.376 .341
.172 .810
0 I 2
.007 .041 .107 .178 .211
.004 .017 .047 .096
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000
.000 .000
.001 .006 .019
.000 .000 .000 .000 .002
.000 .000
.000
.000 .000
.000 .000
.000
.098 .241 .281 .208 .110
.000 .000
4
.324 .375 .207 .073 .018
.000
3
.802 .178 .019 .001
5
.000 .000 .000 .000 .000
.003 .001
.149 .181 .177 .142 .095
.000
.086 .131 .164 .170
.018 .041 .076 .119
.001 .005 .014 .034
.000 .000
.000
.190 .134 .077 .036 .014
.006
.000 .000 .000
.044 .014 .004 .001
.046
6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
10 II 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.005 .001
.000 .000 .000
.053 .025 .010 .003 .001
.148 .107 .066 .034 .014
.154 .168 .154 .119 .076
.066 .107 .148 .170 .164
15 16 17 18 19
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.005 .001
.131 .086
.000 .000 .000
.041 .018 .006
20 21 22
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
.000 .000 .000
0 I 2 3 4
.794 .184 .020 .001
.307 .372 .215 .079 .021
.089 .226 .277 .215 .120
.006 .034 .093 .163 .204
.000 .003 .013 .038 .082
.000 .000
.000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.004 .001
.051 .017 .005 .001
.000
.194 .145 .088 .044 018
.133 171 178 .153 .109
.035 .070 .113 .151 .168
10 11 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.065 .033 .014 .005 .002
.157 .123 .082
.000
.000 .000 .000
.000
.000 .000
.000 .000 .000
.000
.000
.006
.000
.000
.000 .000 .000
.000
.002 .000 .000 .000
.000 000
.001 .004 .014
.046 .022
.000 .001 .003 .010 .025 .053
.000 .000
.000 .000 .000 .000 .000 .000
.000
.142
.001 .005 .014 .036
.019 .006
.177 .181 .149 .096 .047
.077 .134 .190 .211 .178
.001 .00
.017 .004
.000
.095
.000 .000 .000 .000 .001 .004 .014 .044
.003 .016 .066 .198
.000
.001 .017
.000 .000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000
.000 .000
.000 .000
.208
.001 .003 .018 .073
.000
.107 .041 .007
.281 .241 .098
.207 .375 .324
.019 .178 .802
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000
.000 .000 .000
.000 .000
.004 .012 .029 .058 .097
.000
.000 .000 .000
.136
.046
.161 .161 .136 .097
.082 .123 .157 .168
.002
:ooo
.001
.046
.001 .003 .009 .022
.000 .002 .005 .014 .033 .065 .109
.llO
.001
.000
.000 .000
.000
.000
.000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000
.000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000
.000
.002
.006 .018
.000 .000
.000 .000 .000
.000 .000
.000 .000 .000 .000
.000
339
11
TABEL Distribusi Binomial b(x n.p) =(0 X) px(l-p)• n-x n
23
24
25
340
(Lampiran)
~
.OJ
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
15 16 17 18 19
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.009 .003 .001 .000 .000
.058 .029 .012 .004 .001
.151 .113 .070 .035 .014
.153 .178 .171 .133 .082
.044 .088 .145 .194 .204
.001 .005 .017 .051 .120
20 21 22 23
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000
.004 .001 .000 .000
.058 .013 .003 .000
.163 .093 .034
0 I 2 3 4
.786 .190 .022 .002 .000
.292 .369 .223 .086 .024
.080 .213 .272 .221 .129
.005 .028 .081 .149 .196
.000 .002 .010 .031 .069
.000 .000 .001 .003 .010
.000 .000 .000 .000 .001
.000 .000 .000 .000 .000
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.005 .001 .000 .000 .000
.057 .020
.006 .001 .000
.196 .155 .100 .053 .024
.118 .160 .176 .160 .122
.027 .056 .096 .136 .161
.003 .008 .021 .044 .078
10 11 12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.009 .003 .001 .000 .000
.079 .043 .020 .008 .003
.161 .137 .09 .061 .032
15 16 17 18 19
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
20 21 22 23 24
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
0 I 2 3 4
.778 .196 .024 .002 .000
.277 .365 .231 .093 .027
.072 .199 .266 .226 .138
5 6 7 8 9
.000 .000 .000 .000 .000
.006
.065 .024 .007 .002 .000
.001 .000 .000 .000
.95
.99
.000 .001 .004 .021
.000 .000 .000 .000 .000
.006
.. 215 ·,277 .226 .089
.079 .215 .372 .307
.001 .020 .184 .794
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .002 .005 .014
.000 .000 .000 .000 .001
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.117 .149 .161 .149 .117
.032 .061 .099 .137 .161
.003 .008 .020 .043 .079
.000 .000 .001 .003 .009
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.014 .005 .002 .000 .000
.078 .044 .021 .008 .003
.161 .136 .096 .056 .027
.122 .160 .176 .160 .118
.024 .053 .100 .155 .196
.000 .001 .020 .057
.000 .000 .000 .001 .005
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.010 .003 .001 .000 .000
.069 .031 .010 .002 .000
.196 .149 .081 .028 .005
.129 .221 .272 .213 .080
.024 .086 .223 .369 .292
.000 .002 .022 .190 .788
.004 .024 .071 .136 .187
.000 .001 .007 .024 .057
.000 .000
.000 .002 .007
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.196 .163 .111 .062 .029
.103 .147 .171 .165 .134
.020 .044 .080 .120 .151
.002 .005 .014 .032 .061
.000 .000 .001 .003 .009
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.006
.000
lf"''<:.'~:>'>O"'!'Ji.o!WiM_I_IIIilllll
___
-lllllllll!lllll_ _ _ _llllll-1!11111111111111111!11111111!1111111_ _ _ _ _ _ __
~lllilll--1-~-~
TABEL Distribusi Binomial b(x n.p) n
I~
25
10
=(\) px (1-p)
n-x
.01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.012 .004 .001 .000 .000
.092 .054 .027 .011 .004
.161 .147 .114 .076 .043
.em
12 13 14
.000 .000 .000 .000 .000
.133 .ISS .155 .133
.021 .043 .076 .114 .147
.001 .004 .011 .027 .054
15 16
.ooo·
000
.000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.001 .000 .000 .000 .000
.021 .009 .003 .001 .000
.097 .061 .032 .014 .005
.161 .151 .120
23 24
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
25
.000
.000
.000
.000
.000
.000
11
17
18 19 20 21
22
.80
.90
.95
.99
.000
.000 .001 .004
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.000 .000 .000 .000 .000
.044
.092 .134 .165 .171 .147
.012 .029 .062 .111 .163
.000 .000 .002 .007 .024
.000 .000 .000 .000 .001
.000 .000 .000 .000 .000
.002 .000 .000 .000 .000
.020 .007 .002 .000 .000
.103 .057 .024 .007 .001
.196 .187 .136 .071 .024
.065 .138 .226 .266 .199
.006 .027 .093 .231 .265
.000 .000 .002 .024 .196
.000
.000
.000
.004
.072
.277
.778
.080
.ooo·
Sumber: Frederick Mosteller, Robert E.K. Rourke and George B.Thomas: Probability, a First Course, Table IV: Binomial Table, Part A: Individual Tenn
341
n
(Lampiran)
T ABEL IV Distribusi Binomial Kumulatif l: b(x I n.p) x:=;r
n
2
3
I~
.OJ
.05
.10
.20
.30
.40
.so
.60
.70
.80
.90
95
.99
0 I 2
I 020 .0+
I .098 .002
I .190 .010
I .360 040
I 510 090
I .640 .160
I .750 250
I
I 910 490
I .960 .640
I .990 .810
I .998 .902
I I.980
0
I
I 271 .028 .001
I .488 104 .008
I .657 .216 027
I .784 .352 .064
I .875
I .936
.500
.648
.125
.216
I .973 784 .343
I .992 .896 512
I .999 972 729
I 1993 .857
I
3
I .030 .0+ .0+
0 I 2 3 4
I .039 .001 .0+ .0+
I
I .344 .052 004 .0+
I
I 870 .525 .179 .026
I 958 .688 .312 .062
.974 .821 .475 130
I .992 .916 .652 240
I 998 .973 .819 .410
I 1996 .948 .656
I
590 .181 .027 .002
I 760 348 084 .008
I
185 014 .0+ .0+
1.986 .815
0 2 3 4
I .059 .001 .0+ .0+
I .226 .023 .001 .0+
I .410 .081 ,009 .0+
I 672 .263 .058 .007
I .832 .472 163 .031
I .922 .663 .317 .087
I .969 .812 500 188
I 990 913 683 .337
I 998 .969 .837 .328
5
.0+
0+
.0+
0+
002
.010
.031
.078
0
I
I 738 .345 .099 .017
I .955
767 456 .179
I 984 891 656 .344
I
.265 .033 .002 .0+
I .469 .114 .016 .001
I
2 3 4
I .059 .001 .0+ .0+
5 6
0+ 0+
0+ .0+
.0+ .0+
.002 .0+
.011 .001
.041 004
0 I 2 3 4
I .068 002 .0+ .0+
I
I
I
.302 .044 .004 .0+
.522 .150 .026 003
.790 .425 148 033
I .918 .671
5 6 7
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
0 I 2 3 4
I
.077 .003 .0+ .0+
I .337 .057 .006 .0+
5 6 7 8
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
I 2 4
5
I
6
I
7
8
I
143 .007 .0+
840 .360
I
1I970
I I I .999 .961
I
I
I
I
1-
I-
.993 .942 .737
I-
I I
11-
991 .919
999 .977
I
.168
.328
.590
.774
951
I .999 .989 .930 .744
I
1998 .983 .901
I I 1999 .984
I I 11.998
I
.996 .959 .821 .544
.109 .016
233 047
.420 ll8
.655 262
.886 .531
.967 .735
.999 .941
I .992 .938 .773 300
I 998 .981 .904 .710
I
1996 .971 .874
I II.995 .967
I
I I I
I I1I-
126
I .972 .841 .580 .290
.005 .0+ .0+
.029 .004 0+
.096 .019 .002
227 062 008
.420 .159 .028
.647 .329 .082
I .570 .187 .038 .005
I .832 .497 .203 .056
I .942 .745 .448 .194
I 983 .894 .685 .406
I .996 .965 .855 .637
I .999 991 950 .826
.0+ .0+ .0+ .0+
.010 .001 .0+ .0+
.038 .Oil 001 .0+
.174 .050 .009 .001
.363 145 .035 .004
.594 .315 .106 .017
.882 .580 256 .070
353
I I I
.999
II-
1I-
.997
I I
.852 577 .210
974 .850 478
.996 .956 698
.998 .952
I I999 .989 .942
I II.999 :990
I I 1-
I I1-
I I I-
.806 .552 .255 .053
.944 .797 .303 .168
1-
I-
I
1-
1-
1-
I
1-
.995 .962 .813 .430
I 994 943 .663
I I 997 .923
Pada tabel ini. 1- berarti probabilita binomial > 0.995 tetapt < I sedangkan 0.000 atau 0.0+ berarti probab!lita-nya <0.0005 tetapi> 0.
342
Distribusi Binomial Kumulatif I
b(x I n.p)
x=r
n
~'
I I
01
05
10
.20
.30
40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
I
9
i
10 i I
I
0 I 2 3 4
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
086 .003 0+ .0+
.370 071 008 001
613 225 .053 .008
866 .364 .262 .086
960 804 .537 .270
.990 .929 .768 .317
.998 .980 .910 .746
1.996 .975 .901
11.996 975
111.997
1111-
I 1111-
1111-
5 6 7 8 9
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
0+ 0+ .0+ 0+ 0+
.001 0+ .0+ 0+ .0+
.020 005 0+ .0+ 0+
.099 .025 .004 0+ .0+
267 .099 025 004 .0+
.500 .254 .090 .020 .002
.733 .483 .232 .071 .010
.901 .730 .463 .196 .040
.980 .914 .738 436 .134
.999 .992 .947 .775 387
1.999 .992 .929 .630
111.997 .914
0 I 2 3 4
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
.096 004 ,0+ 0+
401 086 012 001
.651 .264 070 .013
893 .624 322 .121
.972 .851 .617 350
.994 .954 .833 618
.999 .989 .943 828
1.998 988 .945
11998 989
111.999
1111-
I 1111-
1111-
5 6 7 8 9
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
002 0+ .0+ .0+ .0+
033 006 .01 .0+ 0+
150 047 011 002 0+
.367 166 055 012 .002
.623 .377 .172 .055 .011
.834 .633 .382 .167 .046
953 .850 .650 .383 .149
.94 .967 .879 .678 .376
1.998 .987 .930 736
11.999 .988 .914
1111.996
10
0+
0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.001
.006
.028
.107
349
.399
.904
I
I
I
' ' I
II
I
i
12
0 I 2 3 4
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
.105 .005 0+ 0+
431 102 015 002
686 303 .090 .019
.914 678 .383 .161
980 887 .687 .430
.996 970 881 704
1994 .967 .87
1.999 994 971
11999 .996
1111-
1111-
1111-
I 1111-
5 6 7 8 9
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
0+ 0+ .0+ 0+ 0+
.003 0+ 0+ 0+ 0+
.030 .012 002 0+ 0+
.210 078 022 004 001
.467 .247 099 029 006
.726 500 274 113 033
901 .753 .533 .296 .119
.978 .922 .790 570 313
.998 .988 .950 .839 .617
11.897 .981 .910
111.998 .985
11111-
10 II
0+ 0+
0+ .0+
0+ .0+
0+ .0+
.0+ 0+
001 0+
.006 0+
.030 .004
.113 020
322 086
.697 .314
.989 369
.995 .895
0 I 2 3 4
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
.114 006 0+ 0+
.460 118 .020 002
.718 341 Ill 026
931 725 442 205
986 915 747 .507
.998 980 917 775
1997 981 927
11.997 985
111.998
1111-
1111-
1111-
1111-
9
0+ .0+ .0+ .0+ 0+
0+ 0+ 0+ .0+ 0+
.004 00/ 0+ 0+ 0+
.073 .019 .004 001 0+
276 .118 .059 .009 002
562 .335 .158 .057 015
.806 613 387 194 073
943 842 .665 .438 .225
.991 .961 .882 724 .495
.999 .996 .981 .927 .795
11.999 .996 .974
1111.998
11111-
10 II 12
0+ 0+ .0+
0+ 0+ 0+
.0+ 0+ 0+
0+ 0+ 0+
0+ 0+ .0+
.003 0+ .0+
.019 .03 .0+
.083 020 002
.253 .085 014
.358 .275 .069
889 .659 .282
.980 .882 .540
.994 .886
5 6 7 X
I
1-
I
343
n
(Lampiran)
Distribusi Binomial Kumulatifi. b(x In.p) x=r
n
13
14
15
344
I~
.01
.OS
.10
.20
.30
.40
50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
0 1 2 3 4
I .122 .007 .0+ .0+
I .487 .135 .025 .003
I .746 .379 .134 .034
I .945 .766 .498 .253
I .990 .936 .798 .379
I .999 .987 .942 .831
I 1.998 .989 .954
I 11.999 .992
I I 11.999
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
5
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.006
6 7 8 9
.001 .0+ .0+ .0+
.099 .030 .007 .001 .0+
.346 .165 .062 .018 .004
.647 .426 .229 .098 .032
.867 .709 .500 .291 .133
.968 .902 .771 .574 .353
.996 .982 .938 .835 .654
I .999 .993 .970 .901
111.999 .994
11111-
11111-
10 ll 12 13
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.001 .0+ .0+ .0+
.008 .001 .0+ .0+
.046
.421 .202
.002 .0+
.169 .058 .013 .001
.010
.747 .302 .234 .055
.966 .866 .621 .254
.997 .975 .865 .513
11.993 .878
0 1 2 3 4
I .131 .008 .0+ .0+
I .512 .153 .030
I .771 .415 .158
.004
.044
I .956 .802 .552 .302
I .993 .953 .839 .645
I .999 .992 .960 .876
I 1.999 .994 .971
I 11.999 .996
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
s
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.009
6 7 8 9
.001 .0+ .0+ .0+
.130 .044 .012 .002 .0+
.416 .219 .093 .031 .008
.721 .514 .308 .150 .058
.910 .788 .605 .395 .212
.982 .942 .850 .692 .486
.998 .992 .969 .907 .781
11.998 .988 .956
1111.999
11111-
11111-
10 ll 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.002 .0+ .0+ .0+ .0+
.018 .004 .001 .0+ .0+
.090 .001 .0+
.279 .124 .040 .008. 001
.584 .355 .161 .047 .007
.870 .698 .448 .198
.044
.991 .956 .842 .585 .229
1.996 .970 .847 .488
111.992 .869
0 1 2 3 4
I .140 .010 .0+ .0+
I .537 .171 .036 .005
I .794 .451 .184 .056
I .965 .833 .357
I .995 .965 .873 .705
I I .995 .973 .909
I 11.996 .982
I 111.998
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
11111-
5 6 7 8 9
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.001 .0+ .0+ .0+ .0+
.013 .002 .0+ .0+ .0+
.164 .061 .018 .004 .001
.485 .278 .131 .050 .015
.783 .597 .390 .213 .095
.941 .849 .696 .500 .304
.991 .966 .905 .787 .610
.999 .997 .985 .950 .869
11.99 .996 .982
11111-
11111-
11111-
10 ll 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.004 .001 .0+ .0+ .0+
.054 .009 .002 .0+ .0+
.151 .059 .018 .004 .0+
.403 .217 .091 .027 .005
.722 .515 .297 .127 .035
.939 .836 .648 .398 .167
.998 .987 .944 .816 .549
1999 .995 .964 .829
1111.990
15
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
005
.035
.206
.463
.860
.602
.Oil
.029
.006
.664
Distribusi Binomial Kumulatif I. b(x I n.p) x=r
n
16
1~\ I
I
17
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
I
I
I
.999
I 1I 11-
1I II
I~
I.998 .989
I I III
I
.997 .974 .901 .754
I I II
I
.972 .859 .648 .402
i I.997 982 .935
I
.815 .485 .211 .068
I I1I1-
.017 .003 .001 .0+ .0+
.202 .082 .027 .007 .001
.550 .340 .175 .074 .026
.833 .671 .473 .284 .142
.962 .895 .773 .598 .402
.995 .981 .942 .858 .716
1.998 .993 .974 .926
II1.999 .993
I I11-
f•
1111-
I•
1-
I
.0+ .0+ .0+ .0+ 0+
.0+ .0+ .0+ 0+ .0+
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
.007
.227 .105 .038 .002
.527 .329 .167 .065 .018
.825 .660 .450 .246 .099
.973 .918 .798 .598 .352
.999 .997 .983 .932 .789
1-
.0+ .0+ .0+
.058 .019 .005 .001 .0+
.999 .993 .957
1I1I.999
0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.003 .0+
.026 .003
.141 .028
.515 .185
.811 .440
.989 .851
I
I .582 .208 .050
I .833 .518
I 1.998 .988 .954
I II.999 .994
I I I II-
I I. I II
I I111-
I 1-
I 1-
,_
I 1-
I-
.083
I .998 .981 .923 .798
I
009
I .977 .882 .690 .451
.001 .0+ .0+ .0+ .0+
.02 .005 .001 .0+ .0+
.242 .106 .038 .011 .003
.611 .403 .225 .105
874 .738 .552 .359 .199
.975 .928 .834 .685 .500
997 989 .965 .908 801
1.999 997 .987 .960
1I I I.997
II1-
I I1-
11I-
I
1I.
1I. I-
.999 .991
1-
.950 .792 .418
.999 .988 .843
I III 1-
I I• I1-
I
I II-
I
.149 .011 .001 .0+
.560 .189 .043 007
9
.0+ .0+ .0+ .0+ 0+
.001 .0+ .0+ 0+ 0+
10 II 12 13 14
.0+ 0+ 0+ .0+ .0+
IS 16
0 I
4 5 6 7
8
157 .012 .001 .0+
3 4
5
.0+ .0+ .0+ 0+ 0+
6 7
8 9
.10
38
.002
.040
,_
.Otl
111-
,_
10 II 12 13 14
.0+ 0+ .0+ 0+ 0+
0+ 0+ .0+ 0+ .0+
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
.0+ .0+ 0+ 0+ .0+
.013 .003 .001 0+ .0+
.092 035 011 .003 .0+
.315 166 .072 .025 .006
.641 .448 264 .126 .046
895 .775 .597 .389 .202
.989 .962 .894 .758 .549
1-
15 16 17
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+ 0+ 0+
.0+ .0+ .0+
.0+ 0+ .0+
.0+ 0+ .0+
.001 .0+ .0+
.012 002 0+
.077 .019 002
.310 .118 023
.762 .482 .167
0 1 2
I .165 .014 001 0+
I .605 .226 058 .011
I
I
.850 .550 266 .098
982 .901 .729 .499
I .998 .986 .940 .833
I I .999 992 .967
I II999 .996
I I II1-
I I1II
I 11II
I I1II-
3 4
5
.0+ 0+ .0+ .0+ .0+
6 7
8
I
.40
I
0 I 2
2
18
.30
05
3
I
.20
.01
9
.002 .0+ .0+ .0+ .0+
.028 006 .001 .0+ .0+
.284 .133 .051 016 .004
.667 .466 .278 141 .060
.906 .791 .626 437 .263
.985 952 .88!. .760 .593
.999 .994 .980 .942 865
1I999 .994 .979
1I 11.999
.999 .995 .978 .917
1I I II
1-
111I
1-
,_
,_
,_
11-
,_
1-
I-
1-
I-
I-
11-
111-
1-
1
345
n
(wmpiran)
Distribusi Binomial Kumulatif I. b(x I n.p) x=r
n
18
19
I~
.01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
10 11 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.001 .0+ .0+ .0+ .0+
.021 .006 .001 .0+ .0+
.135 .058 .020 .006 .001
.407 .240 .119 .048 .015
.737 .563 .374 .209 .094
.940 .859 .722 .534 .333
.996 .984 .949 .867 .716
11.999 .972
1111.998
11111-
15 16 17 18
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.004 .001 .0+ .0+
.033 .008 .001 .0+
.165 .060 .014
.002
.501 .271 .099 .018
.902 .754 .450 .150
.989 .942 .774 .397
1.999 .986 .835
0
I .174 .015 .001 .0+
I .623 .245 .067 .013
I .865 .580 .295 .115
I .986 .917 .763 .545
I .999 .990 .954 .867
I 1.999 .995 .977
I 111.998
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.002 .0+ .0+ .0+ .0+
.035
6 7 8 9
.02 .0+ .0+
.327 .163 .068 .023 .007
.718 .526 .334 .182 .084
.930 .837 .692 .512 .333
.990 .968 .916 .820 .676
.999 .997 .988 .965 .912
11.999 .997 .989
11111-
11111-
11111-
11111-
10 11 12 13 \4
cO+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.002 .0+ .0+ .0+ .0+
.033
.0+ .0+ .0+ .0+
.003 .001 .0+
.186 .088 .035 .012 .003
.500 .324 .180 .054 .032
.814 .667 .483 .308 .263
.967 .916 .818 .666 .475
.998 .993 .977 .932 .837
111.998 .991
11111-
11111-
15 16 17 18 19
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.001 .0+ .0+ .0+ .0+
.010 .002 .0+ .0+ .0+
.070 .025 .005 .001 .0+
.282 .133 .046 .010 .001
.673 .455 .257 .083 .014
.965 .885 .705 .420 .135
.998 .987 .933 .755 .377
11.999 .985 .826
0 1 2 3 4
I .182 .017 .001 .0+
I .642 .264 .075 .016
I .878 .608 .323 .133
I .988 .931 .794 .589
I .999 .992 .965 .893
I 1.999 .996 .984
I 111.999
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
5
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.003 .0+ .0+ .0+ .0+
.043
6 7 8 9
.0+ .0+
.370 .196 .087 .052 .010
.762 .584 .392 .228 .113
.949 .874 .750 .584 .404
.994 .979 .942 .868 .748
1.998 .994 .979 .943
111.999 .995
11111-
11111-
11111-
11111-
10 11 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.003 .001 .0+ .0+ .0+
.048 .017 .005 .001 .0+
.245 .128 .057 .021
.588 .412 .252 .132 .058
.872 .755 .596 .416 .250
.983 .952 .887 .772 .608
.999 .997 .990 .968 .913
1111.998
11111-
11111-
I
2 3 4
5
20
346
.009
.Oll
.002
.Oll
.006
.994
;
'
n
Distribusi Binomial Kumulatif I. b(x I n.p) x =r
n
20
21
I~
.01
.05
15 16 17 18 19
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
20
.0+
0 1 2
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
.95
.99
.0+
.0+ .0+
.0+
.002
.021
.804 .630 .411
.008
.()69
.989 .957 .867 .677 .392
.997 .984 .925 .736
1I
.0+
.001 .0+ .0+
.416 .238 .107 .035
1-
.006
.126 .051 .016 .004 .001
1-
.0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.001
.012
.122
.358
.818
I .190 .019 .001 .0+
I .639 .283 .0985 .019
I .891 .635 .352 .152
I .991 .942 .821 .630
I
I 11.998 .989
I 111-
.999
I 1111-
I I 11I
I 111I.
I 11I. 1-
I I 111-
I 1111-
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.003 .0+ .0+ .0+ .0+
.052 .014 .003 .001 .0+
.414 .231 .109 .043 .014
.802 .637 .449 .277 .148
.963
.996
1-
6 7 8 9
.904
.987 .961 .905
.999 .996
111-
.988
.999
.808
.965
.998
111I. 1-
11I. 11-
1111I.
11111-
10 ll 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.004 .001 .0+ .0+ .0+
.068 .026
.915 .826 .691 .524 .350
.991 .974 .932 .852 .723
11I I
.001
.668 .500 .332 .192 .095
1-
.174 .085 .035 .012
I 111I
11I. I. 1-
15 16 17
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.004 .001 .0+ .0+ .0+
.039 .013 .004 .001 .0+
.200 .096
.551 .363 .198 .086 .027
.891 .769 .586 .370 .179
.648
11.997 .981 .915
11-
19
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
20 21
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.006 .001
.058 .009
.365 .109
.717 .341
.981 .810
0
I .198 .020 ..001 .0+
I .676 .302 .045 .022
I .902 .661 .380 .172
I .993 .952 .846 .668
I 1.996 .979 .932
I I 1.998 .992
I 1111-
I I I. 1I-
I 11I 1-
I 11I 1-
I 11-
I I. I 11-
.004 .001 .0+ .0+ .0+
.062 .018 .004 .001 .0+
.457 .267 .133 .056 .020
.835 .687 .506 .329 .186
.973 .928 .842 .710 .546
.998 .992 .974 .933 .857
I· 1.998 .993 .979
111I-
9
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
111I I-
11I 11-
10 ll 12 13 14
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.006
.092 .039 .014
.376 .228 .121 .055 .021
.738 .584 .416 .262 .143
.945 .879 .772 .624
.996
I
.986 .961 .908 .814
1.998 .994 .989
1I. I1-
3 4
5
IS
22
.0+
.10
I
2 3 4 5 6 7
8
.002 .0+ .0+ .0+
.999 .994 .973 .914
.009
.002
.004 .001
.0+
.800 .650 .476
.309
-
.037
.Oil .002
.454
.999
.20fi
.999 .996 .986 .957
.999 .997 .986 .948 .848
1I
,_
I. 1-
1I 1-
11111-
.999 .983
I. I.999
I 1-
111I. 1111111-
11-
347
n
(Lampi ran)
Distribusi Binomial Kumulatif L. b(x I n.p) x =r
n
22
23
I~
.20
.30
.40
.50
60
.70
.80
.90
.95
.99
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
0+ 0+ .0+ 0+ .0+
.007 .002 .0+ .0+ .0+
.067 .026 .008 .002 .0+
.290 .158 072 .027 .008
.671 .494 .313 .165 .068
.944 .867 .733 .543 .32
.999 .996 .982 .938 .828
11.999 .996 .978
11111-
.0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ 0+
20 21 22
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ 0+
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+
0+ .0+ .0+
.0+ 0+ .0+
.002 .0+ .0+
.021 .004 .0+
.154 .048 007
.620 .339 .098
.905 698 .324
.999 980 .802
0 1 2 3 4
I .206 .022 .002 .0+
I .693 .321 .105 .026
I 911 .685 .408 .193
I .994 .960 .867 .703
I 1.997 .984 946
I 11.999 .995
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
5 6 7 8. 9
.0+ .0+
.0+
.005 .001 .0+ .0+ .0+
.073 .IJ23 .006 .001 .0+
.499 .305 .160 .072 .027
.864 .731 .560 .382 .229
.981 .946 .876 .763 .612
.999 .995 .983 .953 .895
11.999 .996 .987
1111.999
11111-
11111-
11111-
11111-
.0+
.0+
.0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.009 .003 .001 .0+ .0+
.120 .055 .021 .007 .002
.444 .287 .164 081 .035
.798 .661 500 .339 .202
.965 .919 .836 .713 .556
.998 .993 .979 .945 .880
11.999 .997 .991
11111-
11111-
11111-
.0+ 0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.001 .0+ .0+ .0+ .0+
.013 .004 .001 .0+
.0+
.105 .047 .017 .005 .001
.388 .237 .124 .054 .019
.771 .618 .440 .269 .136
.973 928 .840 .695 501
1.999 .994 .977 .927
111.999 .995
11111-
.0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+
.005 .001 .0+ .Oi'
.054 .016 .003 .0+
.297 133 .040 .006
.807 .592 315 089
.974 .895 679 .307
1.998 .978 .794
15 16 17 18 19
348
.10
15 16 17 18 19
10 11 12 13 14
24
.05
.01
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+
.0+ .0+ .0+
.0+
20 21 22 23
.0+ .0+ .0+ .0+
0 I 2 3 4
I .214 .024 .002 .0+
I .708 .339 .116 .030
I .920 .708 .436 .214
I .995 .967 .885 .736
I 1.998 .988 .958
I 11.999 .996
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
I 1111-
5 6 7 8 9
.0+ .0+
.085 .028 .007 .002
.0+
.0+
.0+
.540 .344 .189 .089 .036
.889 .771 .611 .435 .275
.987 .960 .904 .808 .672
.999
.0+
.006 .001 .0+ .0+
11.999 .998 .992
11111-
11111-
11111-
11111-
11111-
.0+
.0+
.997 .989 .968 .924
n
Distribusi Binomial Kumulatif I. b(x I n.p) x r
n
24
25
K
01
.05
.10
.20
.30
.40
.50
.60
70
.80
.90
.95
.99
10 II 12 13 14
0+ .0+ .0+ 0+ 0+
0+ .0+ .0+ .0+ 0+
.0+ 0+ 0+ .0+ .0+
.013 .004 .001 .0+ .0+
.153 .074 031 .012 .004
.511 350 .213 .114 .053
.846 .729 .581 .419 .271
.978 .947 886 .787 650
999 .996 .988 .969 .926
11I999 .996
I 1III
1-
111I-
1I-
15 16 17 18 19
.0+ 0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ 0+ 0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
001 .0+ .0+ 0+ .0+
.022 .008 .002 .001 .0+
.154 .076 .032 .Oil 003
.489 .328 192 .096 .040
.847 .725 .565 .389 .229
.987 .964 .911 .811 .636
I1.998 993 .972
I I1I.999
1I
20 21 22 23 24
.0+ .0+ .0+ 0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ 0+
0+ 0+ .0+ .0+ .0+
0+ .0+ .0+ .0+ 0+
.0+ .0+ .0+ 0+ .0+
.001 0+ .0+ .0+ .0+
.013 .004 .001 .0+ .0+
.Ill .042 .012 .002 .0+
.460 .264 .115 .033 .005
.915 .786 .564 .292 .080
.994 .970 .884 .661 .292
I.998 .976 .786
0 I 2 3 4
I .222 .026 002 .0+
I .723 .358 .127 .034
I 928 .719 .463 .236
I 996 .973 .902 .766
I I. .998 .991 .967
I I I1998
I 11I-
I 1I• 11-
I 11I I
I 1I1I
I
I
I I I I 1-
1-
1-
5 6
.007 .001 .0+ .0+ 0+
.098 .0.33
910 .807 .659 .488 323
.991 .971 .926 846 .726
I .998 .993 .978 .946
1I I.999 .996
I11-
I 1-
.002 .0+
579 .383 .220 .109 .047
I• II1-
1-
9
.0+ 0+ .0+ .0+ 0+
1I
10 II 12 13 14
.0+ 0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.017 006 002 .0+ .0+
.189 098 .044 .017 .006
.575 .414 .268 .154 078
.885 .788 .655 .500 .345
.987 966 .922 .846 .732
I.998 .994 983 .956
15 16 17 18 19
.0+ .0+ 0+ 0+ 0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ 0+ .0+ .0+ 0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.002 .0+ 0+ .0+ .0+
034 .013 .004 .001 .0+
.212 .115 .054 .022 .007
.586 .425 274 .154 .074
902 .811 .677 .512 .341
20 21 22 23 24
.0+ 0+ 0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ 0+ 0+ .0+
0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ .0+ .0+ .0+ .0+
.0+ 0+ .0+ .0+ .0+
.002 .0+ .0+ .0+ .0+
25
.0+
0+
.0+
.0+
.0+
.0+
.0+
7 8
009
I-
I-
I-
1-
1-
I II-
I1I-
I I1-
I
I.998
I. II-
I 1I-
I1I. 1-
1-
1I-
1I. 11-
1-
I 1I
1-
1-
111I1-
1-
I-
.983
I1-
.953 .891 .780
1.998 .991
I I I-
11-
.967 .902 .764 .637 .271
.999 .993 .966 .873 .642
I I I-
.072
.277
.778
.994
.029
.193
.009
.090
.002 .0+ 0+
.033 .009
.002
.617 .421 .334 .098 .027
.0+
0+
.004
I 111I.
.998 .974
349
(Lampiran)
TABEL V Nilai c f.l dan c 1l c j.1
c j.1
c-J.l
J.l
0.00
1.0000
1.000
0.40
1.4915
.67032
0.01 O.Q2 0.03
1.0101 1.0202 1.0305
.99005 .98020 .97045
0.41 0.42 0.43
1.5068 1.5220 1.5373
.66365 .65705 .65051
0.04 0.05 0.06
1.0408 1.0513 1.0618
.96079 .95123 .94176
0.44 0.45 0.46
1.5527 1.5683 1.5841
.64404
O.Q7 0~08 0.09
1.0725 1.0833 1.0942
.93239 .92312 .91393
0.47 0.48 0.49
1.6000 1.6161 1.6323
.62500 .61878 61263
0.10
J.J052
.90484
0.50
1.6487
.60653
0.11 0.12 0.13
J.ll63 l.l275 1.1388
.89583 .88692 .87810
0.51 0.52 0.53
1.6653 1.6520 1.6989
.60050 .59452 58860
0.14 0.15 0.16
1.1503 1.1618 1.1735
.86956 .86071 .85214
0.54 0.55 0.56
1.7160 1.7333 1.7507
.53275 .57695 37121
0.17 0.18 0.19
1.1853 1.1972 1.2092
.84366 .83527 .82696
0.57 0.58 0.59
1.7655 1.7860 1.8040
.56333 .55990 .55433
0.20
1.2214
.81873
0.60
1.821
.54881
0.21 0.22 0.23
1.2337 1.2461 1.2586
.81058 .80252 .79453
0.61 0.62 0.63
1.8404 1.8589 1.8776
.54335 .53794 .53259
0.24 0.25 0.26
1.2712 1.2840 1.2969
.78663 .77880 .77105
0.64 0.65 0.66
1.8965 1.9155 1.9348
.52729 I .51685
0.27 0.28 0.29
1.3100 1.3231 1.3364
.76338 .75578 .74826
0.67 0.68 0.69
1.9542 1.9739 1.9937
.51171 .50662 .50158
0.30
1.3499
.74882
0.70
2.0138
.49659
0.31 0.32 0.33
1.3694 1.3771 1.3910
.73345 .72615 .71892
0.71 0.72 0.73
2.0340 2.0544 2.0751
.49164 .48675 .48191
0.34 0.35 0.36
1.4049 1.4191 1.4333
.71177 .70469 .69768
0.74 0.75 0.76
2.0959 2.1l70 2.1385
.47711 .47237 46767
0.37 0.38 0.39
1.4477 1.4623 1.4770
.69073 .68386 .67706
0.77 0.78 0.79
2.1598 2.1815 2.2034
.46301 45841 .45384
j.1
350
ci1
.63763 63128
Nilai c J.l dan c il 1.1
c J.l
c-J.l
ll
c J.l
c-J.l
0.80
2.2255
.44933
1.20
3.3201
.30119
0.81 0.82 0.83
2.2479 2.2705 2.2933
.44486 .44043 .43605
1.21 1.22 1.23
3.3535 3.3872 3.4212
.29820 .29523 .29229
0.84 0.85 0.86
2.3164 2.3396 2.3632
.43171 .42741 .42316
1.24 1.25 1.26
3.4556 3.4903 3.5254
.28938 .28650 .28365
0.87 0.88 0.89
2.3869 2.4109 2.4351
.41895 .41478 .41066
1.27 1.28 1.29
3.5609 3.5966 3.6328
.28083 .27804 .27527
0.90
2.4596
.40657
1.30
3.6693
.27253
0.91 0.92 0.93
2.4843 2.5093 2.5345
.40252 .39852 .39455
1.31 1.32 1.33
3.7062 3.7434 3.7810
.26982 .26714 .16448
0.94 0.95 0.96
2.5600 2.5857 2.6117
.39063 .38674 .38289
1.34 1.35 1.36
3.8190 3.8574 3.8962
.26185 .25924 .25666
0.97 0.98 0.99
2.6379 2.6645 2.6912
.37908 .37531 .37158
1.37 1.38 1.39
3.9354 3.9749 4.0149
.25411 .25158 .24908
1.00
2.7183
.36788
1.40
4.0552
.24660
1.01 1.02 1.03
2.7456 2.7732 2.0811
.36422 .36060 .35701
1.41 1.42 1.43
4.0960 4.1371 4.1787
.24414 .24171 .23931
1.04
.35345 .34994
1.06
2.8292 2.8577 2.8864
.34646
1.44 1.45 1.46
4.2207 4.2631 4.3060
.23693 .23457 .23224
1.07 1.08 1.09
2.9154 2.9447 2.9743
.34301 .33960 .33622
1.47 1.48 1.49
4.3492 4.3929 4.4371
.22993 .22764 .22537
l.IO
3.0042
.33287
1.50
4.4817
.22313
1.11 l.l2 1.13
3.0344 3.0649 3.0957
.32956 .32628 .32303
1.51 1.52 1.53
4.5267 4.5722 4.6182
.22091 .21871 .21654
1.14 1.15 1.16
3.1268 3.1582 3.1899
.31982 .31664 .31349
1.54 1.55 1.56
4.6646 4.7115 4.7588
.21438 .21225 .21014
1.17 l.l8 l.l9
3.2220 3.2544 3.2871
.31037 .30728 .30422
1.57 1.58 1.59
4.8066 4.8550 4.9037
.20805 .20598 .20393
LOS
351
(Lampiran)
Nilai c f..l dan c il Jl
352
c Jl
cil
Jl
c Jl
cil
1.60
4.9530
.20190
2.00
7.3891
13534
1.61 1.62 1.63
5.0028 5.0531 5.1039
.19989 .19790 .19593
2.01 2.02 2.03
7.4633 7.5385 7.6141
13399 .13266 .13134
1.64 1.65 1.66
5.1552 5.2070 5.2593
.19398 .19205 .19014
2.04 2.05 2.06
7.6906 7.7679 7.8460
.13003 .12873 .12745
1.67 1.68 1.69
5.3122 5.3656 5.4195
.18825 .18637 .18452
2.07 2.08 2.09
7.9248 8.0045 8.0849
.12619 12493 12369
1.70
5.4739
.18268
2.10
8.1662
12246
1.71 1.72 1.73
5.5290 5.5845 5.6407
.18087 .17907 .17728
2.11 2.12 2.13
8.2482 8 3311 8.4149
12124 .12003 .11884
1.74 1.75 1.76
5.6973 5.7546 5.8124
.\7552 17377 .17204
2.14 2.15 2.16
8.4994 8.5849 8.0711
.11765 .11648 .11533
1.77 1.78 1.79
5.8709 5.9299 5.9895
17033 16864 16696
2.17 2.18 2.19
8.7583 8.8463 8.9352
.11418 .11304 .11192
1.80
6.0496
16530
2.20
90250
.11080
1.81 1.82 1.83
6.1104 6.1719 6.2339
.16365 .16203 .16041
2.21 2 22 2.23
9.1157 9.2073 9.2999
.10970 .10861 10753
1.84 1.85 1.86
6.2965 6.3598 6.4237
.15882 .15724 .15567
2.24 2.25 2.26
9 3955 9.4877 9.5831
.10546 10540 10435
1.87 1.88 1.89
6.4883 6.5535 6.6194
.15412 .15259 .15107
2.27 2.28 2.29
9.6794 9.7767 9 8749
10331 10228 10127
1.90
6.6859
.14957
2.30
9.9742
10026
1.91 1.92 1.93
6.7531 6.8210 6.8895
14808 14661 14515
2 31 2 32 2.33
10.074 10.176 10.278
.09926 09827 .09730
1.94 1.95 1.96
6.9588 7.0287 7.0993
.14370 .14227 .14086
2.34 2.35 2.36
10.381 10 486 10 591
.09633 .09537 .09442
1.97 1.98 1.99
7.1707 7.2427 7.3155
.13946 .13807 .13670
2.37 2.38 2.39
10.697 10 805 10.913
.09348 .09255 .09163
Nilai c ll dan c 1.1 ll
c ll
e-ll
ll
c ll
cil
2.40
11.025
.09072
2.70
14.880
.06721
2.41 2.42 2.43
11.134 11.246 11.359
.08982 08892 .08804
2.71 2.72 2.73
15.029. 15.180 15.333
.06654 .06587 .06522
2.44 2.45 2.46
11.473 11.588 11.705
.08716 .08629 .08543
2.74 2.75 2.76
15.487 15.643 15.800
.05457 .06393 .06329
2.47 2.48 2.49
11.822 I 1.941 12.061
.08458 .08374 03291
2.77 2.78 2.79
15.959 16.119 16.281
.06266 .06204 .06142
2.50
12.182
.08208
2.80
16.445
.06081
2.51 2.52 2.53
12.305 12429 12.554
.08127 .08046 .09366
2.81 2.82 2.83
16.610 16.777 16.945
.06020 .05961 .05901
2.54 2 55 2.56
12.680 12.807 12.936
.07887 .07808 .07730
2.84 2.85 2.86
17.117 17.288 17.462
.05843 .05784 .05727
2.57 2.58. 2.59
13.066 13.197 13.330
.07654 .07577 .07502
2.87 2.88 2.89
17.637 17.814 17.293
.05670 .05613 .25558
2.60
15.464
.07427
2.90
18.174
.05502
2.61 2.62 2.63
13.599 13.736 13.874
.07353 .07280 .07208
2.91 2.92 2.93
18.357 18.541 18.728
.05448 .05393 .05340
2.64 2.65 2.66
14.013 14.154 14.296
.07136 .07065 .06995
2.94 2.95 2.96
18.916 19.106 19.298
.02287 .05234 .05182
2.67 2.68 2.69
14.440 14.585 14 732
.06925 .06856 .06788
2.97 2.98 2.99
19.492 19.688 19.886
.05130 .05079 .05029
353
(Lampiran)
Nilai c ll dan c il ll
354
c ll
cil
ll
c ll
cil
3.0
20.086
0.0498
4.5
90.017
0.0111
3.1 3.2 3.3 3.4
22.198 24.533 27.113 29.964
0.0450 0.0408 00369 0.0334
4.6 4.7 4.8 49
99484 109.95 121.51 134.29
0.0101 0.0091 0.0081 00074
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
33".115 36.598 40.447 44.701 49.402
0.0302 0.0273 0.0247 0.0224 0.0202
5 6 7 8 9
148.41 403.45 1096 6 2981 0 8103.1
0.0067 0.0025 00004 0.0003 0.0001
4.0 4.1 4.2 4.3 4.4
34.598 60.340 66.686 73.700 81.451
0 0183 0.0166 0.0150 0.0136 0.0123
10
22026
0.00005
T ABEL VI Tabel titik persentasi distribusi
Bagi d.f.
= l 0 derajat be bas
p(t> 1.812)-0.05
p ( t <- 1.812)- 0.05 0
I 812
IX
.25
20
I 812
.15
10
.025
01
.005
.0005
6.314 2.920 2.353 2.132 2 015
12.706 4.303 3.182 2.776 2 571
31.821 6.965 4.541 3.747 3.365
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032
636.619 31.598 12.941 8.610 6.859
1.943 1.895 1860 1.833 1.8I2
2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
3.143 2.998 2.896 2 821 2.764
3.707 3.499 3.355 3.250 3.169
5.959 5.405 5.041 4.781 4.587
2 201 2.179 2.160 2145 2 131
2.718 2681 2.650 2.624 2602
3.106 3.055 3.012 2.977 2.947
4.437 4.318 4.221 4.140 4.073
2.120 2.101 2.093 2.086
2.583 2.567 2.552 2.539 2.528
2.921 2.898 2.878 2.861 2.845
4.015 5.965 3.922 3.883 3.850
2.831 2.819 2.807 2.397 2.787
3.819 3.792 3.767 3.745 3.752
2.779
.05
I 2 3 4 5
1.000 .816 765 741 .727
1.376 1.061 978 .9941 920
1.963 I 386 1.250 1.190 1.156
3.078 I 886 1.638
6
718 .711 .706 .703
1.134 1.119 1 108 1.100 1 093
1.440 I 415 1.397 I 383
.700
906 .896 .889 883 .879 876 .873 .870 .868 866
I 088 1.083 I 079 1.076 1.074
1.345
1.796 I 782 1.771 1 761
15
.692 695 694 .692 .691
I 341
1.753
16 l7 18 19 20
.690 .689 688 688 .687
.865 .863 .862 .86I 860
I 071 1.069 1.067 I 066 l 064
1.337 I 333 1.330 1.328 l 325
1.746 1.740 1 734 1.729 I 725
21 22
.859
24 25
.686 .686 .685 685 .684
858 .857 856
1.063 1 061 1.060 1.059 I 058 ·
1.323 1.321 1.319 I 318 1.316
1.721 1.717 I 714 I 711 1.708
2.080 2.074 2.069 2064 2060
2 518 2 508 2.500 2.492 2.485
26 27 28 29 30
.684 684 .683 .683 683
856 .855 .855 854 .854
1.058 I 057 I 056 1.055 I 055
1315 1.314 1.313 1.311
1.310
1.706 1.703 1 701 I 699 1.697
2 056 2.052 2.018 2045 2042
2.479 2.473 2.467 2462 2.457
2.763 \ 2.756 2.750
3.707 3.690 3.674 3.658 ' 3.646
40 60 120 =
.681 679 677 .674
.851 .843 .845 .842
I 050 1.046 I 041 I 036
I 303 I 296 1.289 1.282
1684 1.671 1.658 1.645
2.021 2000 1.980 1.960
2423 2.390 2.358 2.326
2.704 2.660 2.617 2.576
3.551 3.460 3.375 3.291
7 8 9 10 ll 12 13 14
23
858
1.533 1.476
1.372 I 363 1.356 1.350
2ll0
2.771
Sumber Fl'her and Yate!. Stansucal Tables for Bmlog•cal. Agricultural and Medical Resurch. Table Ill
355
T ABEL VII T ABEL Bilanganrandom (8000 angka) Ribuan Pertama
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2315 0534 1487 3897 9731 ll74 4336 9380 4954 3676 0709 4331 6157 3135 5704 0924 9795 9575 7262 6102 9785 8916 2596 8144 1132
7548 5550 1603 6749 2617 2693 1288 6204 0131 8726 2523 0010 0063 2837 8865 3442 5350 2595 112 0744 9854 0971 6882 3317 2549
9 12
15- 16
17-20
21 24
25 28
29-32
33-36
37-40
5901 4510 5052 5194 1899 8144 5911 7858 8108 3337 9224 8144 6006 9910 2627 0068 1840 7045 2500 1845 7433 9222 2062 1905 3142
8372 5374
5993 3508 6223 5853 0870 0872 5623 4491 4187 1569 2607 0307 3775 8941 3682 7137 8329 8889 8264 0794 1718 0657 9265 4806 4386
7624 9061 5005 7880 9425 3279 9500 5575 6955 4195 0655 5255 6314 3157 9052 3072 5223 5667 3566 9591 4547 3505 0282 7469 0862
9708 1837 1003 5901 1258 7331 9004 1189 8296 9686 8455 5161 8951 9764 9565 9757 0825 1668 6394 7578 3541 5454 3528 0075 4967
8695 4410 2211 9432 4154 1822 9943 3258 6177 7045 4467 4889 2355 4862 4635 5609 2122 2695 3471 6699 4422 898 6284 6765 6742
2305 9622 5438 4287 8821 6470 6407 4755 7380 2748 3384 7429 0174 5848 0653 2982 5326 9964 6875 5361 0342 4381 9195 0171 2452
6744 1343 0834 1695 0513 6850 4036 2571 9527 3880 5320 4647 6993 6919 2254 7650 1587 4569 1867 9378
21-24
25-28
1769 3811 6659 7965 4827 6062 3932 3666 2062 6206 6622 9096 0852 0022 3574 3144 4829 2344 5107 0264 4105 1437 4064 1057 5718
6156 2490 1028 5901 4547 6128 3493 9502 8373 9929 4240 6336 8263 1501 2836 6802 6383 4124 3010 1850 4105 2851 4171 5765 8791
8753 6978 5544 2234 2488 9556 1952 7595 1596 7469 7292 9399 3673 . 3731 5223 6333 7060 6465 3187 6727 7013 1562 0754
7656 8000 5536 6916
9149
4043
0517 7553 3395 0164 2680 4298 9482 6271 8638 1736 7791 7959 7210 8948 7819 9226 3712 0559 2329 8717 0495 3623
3000
6361 4883 6545 3245
Ribuan Kedua
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
356
6475 1030 7101 6001 3733 4786 3804 7350 3262 9759 7401 5675 4980 4358 1665 4850 9676 3892 7795 1792 9403 4746 4785 5761 0230
5835 2522 7984 2556 0946 9870 0427 8309 3464 1995 2319 4264 0499 4896 3796 2690 5546 3613 8816 8280 6859 0504 6560 6346 0927
8584 8977 9551 0588 5649 0131 3764 0883 7484 4936 5559 5713 0454 4724 6460 5565 9236 5020 9425 6525 7802 7956 8851 5392 0465
1222 4363 3085 4103 1614 5911 1678 0548 0610 6303 7909 3510 8515 8785 3257 3225 3168 3578 2250 3860 3180 2304 9928 2986 7526
5920 4430 0374 4879 2802 2273 9578 0078 4324 5106 6982 5014 1998 6670 1301 8748 6230 1784 5587 8771 4499 8417 2439 2018 ,6610
4343
4604 3564 3205 7490 0963 9236 5916 0588 2529 8166 9922 2186 7964 '4312 5580 4651 9869 2222
3666
5090 1212 8706 5336 3969 7754 7589 3488 5026 2377 7229 6367 4094 8128 1961 8170 1596
T ABEL VII Bilangan random (8000 angka)
-Ribuan ke-tiga 1-4
5-8
9- 12
15- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
I
8922
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0400
1023 5998 6380 9844 3724 3839 3126 8690 2997 2322 3487 3685 5225 5218 3271 3759 1537 9783 0416 8659 9391 5855 4384 0037 5689
6263 1863 6650 0159 8900 2777 7890 8073 1849 5445 9247 0156 9997 2654 4944 0856 8981 5904 5707 2325 2304 5514 3167 6713 7625
7877 9182 8567 2260 7852 7620 9069 0298 7577 8792 3148 6389 9778 6550 2936 2381 3830 4020 4680 0788 5484 3885 1252 5611 4989
4733 9032 5045 1314 5843 3086
5127 9401
2302 2423 5228 1405 3497 2243 0262 2782 7763 0059 7053 9551 8995 0170 8639 1763 2961 6886 3975 1976 2066 7948 4115 0925 8038
1392 6301 4153 9849 9785 9568 1769 3156 7347 8118 3682 4856 6032 3356 6215 1447 8207 6308 4920 5391 4128 8767 6253 5202 0504
4415 2611 2544 9886 5778 4768 9005 9869 2629 0678 5799 5410 4106 2580 8643 2520 0098 0182 7754 5008 7264 8317 2798 5915 1166
9651 0650 4125 5579 4471 5792 1205 2998 1612 7137 1582 7232 7614 5584 5431 6547 6432 2546 5091 0786 6473 0819 2268 8755 3514
9854 4171 2873 6521 6555 0566 3930 6459 0751 6559 8373 0859 4127 0047 0613 3384 6187 4389 2993 3850 3182 9143 3863
0466
5746 9519 9431 3660 9800 1248 8204 9458 2242 7868 3586
8612 6129 5985 5077 3511 5597 7526
4064
5458 2461 8074 4367 5833 2738 3832 6890 8285 3683 8799 1682 7263 8915 0517 9808 7849 6095 1865 7204 0675 9643
Ribuan ke-empat
I
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1-4
5-8
9- 12
15- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
0249 1196 4825 2724 3253 6675 1126 1787 6256 6279 7551 8743 9774 9881 5126 4023 2693 8850 6349 3637 9380 2985 9772 8323 7574
0541 7364 6834 6760 2772 7989 6845 2891 1803 6307 0217 9016 2026 1060 4018 6033 6591 2117 9380 9812 1223 6371 0879 1091 6432
2227 6960 6549 8021 6572 5592 4573 4245 6505 7955 7104 9163 2110 0121 5264 7610 8651 1698 9325 0603 2247 2056 3188 0574 6851
9443 6278 6992 4812 4307 3759 5059 5618 4081 4977 3393 5172 7487 5710 6079 4196 6672 2994 5936 3177 4795 3115 2651 6014 7279
9364 3701 4079 3536 0722 3431 7746 0146 4754 0501 3660 6390 8803 2875 2553 8610 7645 0974 1995 8710 7017 0053 3050 6377 5773
0423 0925 0540 0488 9652 4320 3466 9313 3179 3010 4275 4443 3833 2182 2900 4912 4632 4239 7986 7382 5933 2539 7101 5993 7236
0720 3302 3351 1899 9184 4558 8269 7489 8081 5081 7622 7072 7652 8839 4266 0029 9446 4622 7805 8310 4306 5812 7151 8156 4875
7411 0801 5439 7749 5792 2545 9926 2464 3361 3300 2387 1798 2692 1285 9578 4180 8194 0069 6901 8360 4743 6522 7706 4734 2436
6795 3853 6130 4849 6571 4436 7429 2575 0109 9979 5654 7063 1495 1886 5836 0359 1906 0948 0233 5094 0612 4140 9579 1779 8750
4082 7482 3136 3071 0011 9263 7516 9284 7730 1970 8468 9032 9051 1624 2998 9317 6647 1646 8374 4091 6660
2331 2919 2755 6402
357
Lampiran
TABEL VII Bilangan random (8000 angka) Ribuan ke-lima
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II
12 13 14 IS 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2S
1-4
S-8
9-12
IS- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
2993 1511 0387 7939 3003 2903 7819 1584 3661 40S4 4087 1022 IS91 1340 6652 9166 6741 76S2 1981 2S59 5590 0247 1863 8967 6298
5069 4071 0432 0391 5069 9998 6081 7854 4622 9548 8089 9492 8767 3187 394S S364 S875 7969 5477 2535 245S 0583 0582 3382 6673
7163 2651 2510 8840 1579 6129 0824 9391 4849 8491 9714 8241 8730 9649 9674 6968 1508 9623 8974 8776 3963 4979 6313 3016 6406
1755 8907 5898 7564 1965 7597 1074 4429 1949 4654 2860 1733 6242 9099 9089 3461 2077 7243 3481 3847 6463 7942 8199 0639 5951
2579 7787 7629 S269 4428 9802 9777 1351 7209 3862 9982 1468 S928 4404 0271 7870 3729 3448 7147 257S 1609 2482 7619 2007 7427
1047 75Sl 2203 6595 6481 6858 0959 8013 92S8 35S4 9030 594S 4412 6497 1000 2597 7320 6339 109S 8434 9S99 4242 358S S950 8462
8893 0131 9941 9206 9523 1391 9435 0737 7920 1441 8780 5187 4250 9414 9986 S046 157S 2323 4343 7689 9828 3961 9123 3384 5145
7961 0342 2438 4014 1448 9838 6964 5221 S341 6688 07S1 5608 8813 6218 4817 6221 9396 9460 5581 !80S 8740 6247 S014 0276 6582
4282 9424 1276 2842 7218 1372 8209 S391 0218 8747 S871 9080 1377 ISS9 6406 2725 9176 8879 194S 739S 6666 4911 6328 4S08 8603
1363 8111 5022 2960 1594 4373 4956 0986 0064 4180 6658 6660 1614 8335 8909 9620 9699 0617 4407 7222 6692 7264 86S9 3333 7300
Ribuan ke-enam
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
358
1-4
5-8
9- 12
15- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
2750 0261 3743 8356 0681 3915 8445 8247 9804 1933 3392 4866 8585 0827 5961 1745 1126 4808 7627 9889 8869 12S8 0886 3381 OS IS
130S 5757 1283 6554 5627 0360 7193 0577 0670 4904 1993 7430 0754 0808 2214 7779 3708 1398 7222 2225 6163 1375 9636 0551 9928
4634 6289 6639 1933 4932 1556 1027 0689 2421 1433 3827 4481 2150 3587 2605 3166 0771 1652 9961 7293 0167 8098 1409 8248 8713
6385 4009 7733 3542 1242 7316 1583 4713 6902 4850 4340 0680 3180 9657 967S 36S4 9595 4115 7215 52SS 6188 0135 4385 6012 0708
8760 6601 6326 9212 9242 4874 8420 9285 6542 1564 2772 2909 1079 3312 1794 9285 3975 7396 0025 0798 5879 9116 5120 S244 3392
3S5S 6988 5399 3714 0596 5027 5742 6012 3513 5826 7974 5031 5665 0177 SI08 6360 9218 3355 2154 6671 3565 1836 6518 0812 5381
0567 9283 4865 7075 8294 4342 4128 3289 1195 1491 8657 6961 8232 5276 4191 5398 9978 0312 4779 5329 084S 9054 0640 8900 6942
881S 5570 2306 1858 7025 5836 4206 2522 7255 4802 41883 2464 2658 0989 4S94 6350 2333 3830 1814 6171 6338 9917 5217 9882 0227
4700 7639 9429 9857 4549 7516 1590 4238 7323 7215 5871 2889 5512 7112 8048 1120 1956 8877 5850 S696 6986 6836 4810 7917 65SS
5092 0258 5304 1252 1816 3990 7047 8737 5726 4862 5699 9779 2634 1769 5992 9663 0667 1705 5766 4178 7947 8S06 6897 9722 5769
TABEL VII Bilangan random (8000 angka)
1-
Ribuan ke-tujuh I- 4
5-8
9- 12
15- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
8030 6129 2333 9421 8761 3756 6486 2269 2322 4238 1718 3945 4318 5944 0150 7914 0156 2576 2352 9164 8086 3171 0583 9870 3270
2364 8961 6101 3292 9269 1918 6631 5845 1422 5964 0134 6953 1142 0643 3432 6055 6368 1871 1083 0864 0727 3760 5036 0290 3545
6796 3208 0221 9350 0160 0342 5504 4923 6490 7296 1098 9489 5619 6855 3800 4795 8026 2925 4506 2574 2670 9560 0904 3063 6453
2133 1262 1181 7267 2879 8603 8840 0981 1026 4657 3748 5897 4844 1663 3757 9017 1497 1551 4985 1610 0865 9495 3915 6259 9324
3690 2608 3132 2320 7479 8574 1030 9884 7423 8967 9386 2<(33 4502 6615 4782 3105 2588 9226 3545 9731 8520 5445 6655 2604 8633
0391 4200 3610 7459 8606 4481 8438 0504 3391 2281 8859 2919 8429 5800 6659 8537 5922 0101 8408 1027 3123 2797 8036 9720 4872
6955 3173 2574 3050 3929 8645 0613 7599 2775 9456 6953 3094 0178 9576 1950 3870 8239 2818 8113 2448 2890 0367 3971 0091 1957
9013 3130 3031 4866 7385 7116 5883 2770 7819 6984 7886 8057 6577 5067 8714 3416 7085 0555 5257 8906 3963 3054 2410 2880 0519
3448 3061 9011 7532 0527 1352 6204 7279 9243 1851 3726 3199 7684 6765 3539 6455 4834 1110 2125 4281 3203 8604 6222 4023 2009
0219 3411 2353 2797 5057 3556 6552 3219 6810 0639 8548 3891 8885 1883 7947 6649 4648 2784 6702 2910 7191 1241 2153 0991 3146
-
I 2 3
4 5 6 7 8 9 10 II
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Ribuan ke-delapan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1-4
5-8
9-12
15- 16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
3752 4816 5043 8931 6329 7168 0506 0335 1304 4996 2436 5519 0228 9050 3371 7058 0968 1936 0475 7989 8099 4883 2845 5207 3914
4955 6963. 0639 6279 9061 9394 9663 3895 3767 4394 2408 9720 3460 1373 3243 2849 9610 6085 4449 3239 4243 6499 3585 6515 5218
4063 6902 3653 4573 3639 0872 5824 4644 7477 5604 4477 0111 2835 2220 2958 3432 5778 3504 6426 4677 0858 8694 2220 8230 3507
2761 0883 3061 7172 0738 3627 0595 2570 5335 0279 3707 4745 3294 3756 4738 9770 8500 1287 5146 5683 4551 4878 1301 6623 4855
0859 0803 4021 7711 3885 8589 5664 3166 9351 5578 5441 7979 3674 9795 3996 2781 8981 8388 8050 4221 9805 7920 7396 1426 4111
9123 6837 2906 28880 7706 4059 7753 0105 8283 0144 0456 0672 5163 4995 6751 6469 9830 6654 5391 6003 5439 6223 7005 6661 0311
2618 0096 4960 7233 1023 8337 8564
9504 1359 9038 7577 3084 9385 1595 6291 6216 8334 3058 8697 0415 5273 4991 0256 7628 3020 6736 0701 9747 9263 6859 4197 0380
9820 1216 2143 2472 0795 7397 9391 3631 0448 0181 2445 3409 3043 1293 6458 6157 6299 0530 6866 6685 3833 36366 9638 4027 0884
9952 1793 1923 9843 3076
4444
2738 7526 0944 1281 9690 9115 6447 7152 1940 3200 0055 1447 3442 5634 8450 1130 2699
8405
3903 4304 7523 3282 3736 0653 1014 7894 9307 0458 9983 4263 0829 4922 5940
8302 1663 2480 5042
359
Lampiran
TABEL VITI (a) Daerah keyakinan bagi proporsi (koefisien keyakinan 0.80) l.O
0.9
0.8
0.7
0.6 ~
~
0.5
0.4
0.3 0.2 0.1
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.5
0.7
0.8
0.9
1.0
Skala~ n
Sumber CJ. Clopper and E.S. pearson: The Use of Confidence or Fiducal Limtts Illustrated in The Case ofThe Binomial, Binomial. Vol. 26 (1934)
360
TABEL VIII Daerah keyakinan bagi proporsi (koefisien keyakinan 0.90) 1.0
0.9
0.8
0.7
0.6 "-
~"
0.5
0.4
0.3
0.2 0.1
0 0.1
0.2
03
0.4
0.6
0.5 Skala
0.7
0.8
0.9
1.0
x
n
Sumber C.J. Clopper andES. pearson: op. at
361
Lampiran
TABEL VIII (c) Daerah keyakinan bagi proporsi (koefisien keyakinan 0.95) 1.0
... v
0.9
v
0.8
/
0.7
/
/
0.6
....""..><"' Cll
/
0.5
/ 0.4
/
v /
/ / /
v / v/ /
/
"'/
/
/ /; V; /. ...... ~ ~ ~ / v/ l;j 'l: vJ '/ / 1/ ~ / V; / I/ ~ ~
~ '/
v
/ / / ~
z z v z I; ·v. . .
0.2
0.1
~ ~ ~ :?
/
/ V/
v/
V;
v
/ / / / 1': v
/
v
/ v/ / .hv/ £ / v / / /. Vv / / I
v_, .L / v
v: /'l v
;/ I / / Vj / / / ~ [// Vjvv '/ . . . 'l. / / I / ~ / v '/ // / / / / l j / ~ v / v/ // / / ~ ~ /. 0 v / /. VI // / / ~ ? ~ ~ / / 'h / / /,.... ~ ~ ~ v /
0.3
r;
/ / / / ~~/
v v: ~ v v: v/ /' v
v / ~v / / v v 1/ v / v v v // "'/ v / /
/
v
~/
v
'L.
/
/
/ /
/
.,...... I-'
~~~~~
0 0
0.1
0.3
0.4
0.5
0.6
Skala ~ n
Sumber C.J. Clopper and E.S. pearson: op. at
362
,,
~ .....-:: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ba ~ ~) VI / h ~~ / ~
0.7
0.8
0.9
1.0
Lampi ran
TABEL VIII (d) Daerah keyakinan bagi proporsi (koefisien keyakinan 0.99) 1.0
0.9
v
0.8
v
0.7 (:!.,
,.,.""
"
/
0.6
1/ /
/ /
0.5
I
I
/
v
L
/
v /
/
v v
/ /
/.
" /
v
.....
-
~~ ~~~ ~
~ ~ ~ ;" If; ..Q_ ~ t/ / / / /) :? / /' / / /, lj 1/ ~/ / / Vj J !/.
v
/
v
;;.-"
/
v v
v
v.
,"
/ / ( J 0 v v v v /' v / / / / / / v / v 1'/ v v/ / / / / '/ v v v /' /' / / v / / / / v / v / v / / vL / IV / v / v / / ," / VL / '/ / 1/ v v / / / / I> / / / / / v / / / / v./ / / / / /
/
/
/'
/
/
v
v v v
v
v v
v L/ v vv v I / / / ,..." / '> / /. v I; Lv / / v; / v / / / / ../ / / ~ v/ v v I v" / VJ rL 1/ v,... v / v. ~ Y: v / V; ;; v v. 0 ~ ~ v vi ~ ~ ~ ~ .....~ ~ v
0.4
I
/
0.3
I
/
.//'/
/
0.2
./
/
0.1
1£. ~ ~
0 0
0.1
............
~~
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Skala ~ n
Sumber C.J. Clopper and E.S. pearson: op. at
363
T ABEL XI Hubungan an tara z denga.n r atau 11, dengan p
t
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 19 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 4.0 5.0
.00 .0000 0.997 .1974 .2913 .3800 .4621 .5370 .6044 .6640 .7163 .7616 .8005 .8337 .8617 .8854 .9052 .9217 .9354 .9468 .9562 .9640 .9705 .9757 .9801 .9837 .9866 .9890 .9910 .9926 .9940 .9951 .9993 .9999
.01 .0100 .1096 .2070 .3004 .3885 .4700 .5441 .6107 .6696 .7211 .7658 .8041 .8367 .8643 .8875 .9069 .9232 9367 .9478 9571 .9647 .9710 .9762 .9805 .9840 .9869 9892 .9912 .9928 .9941
.02 .0200 .1194 .2165 .3095 .3969 .4777 .5511 .6169 .6751 .7259 .7699 .8076 .8397 8668 .8896 .9087 .9246 .9379 .9498 .9579 .9654 .9716 .9767 .9809 .9843 .9871 .9895 .9914 .9929 .9942
.03
.04
05
.0300 .1293 .2260 .3185 .4053 .4854 .5581 .6231 .3805 .7306 .7739 .8110 .8426 .9593 .8917 .9104 .9261 .9391 .9488 9587 .9661 .9722 .9771 .9812 .9846 .9874 .9897 .9915 .9931 .9943
.0400 .1391 .2355 .3275 .4136 .4930 .3649 .6291 .6858 .7352 .7779 .8144 .8455 .8717 .8937 .9121 .9275 .9402 .9508 .9595 .9668 .9727 .9776 9816 98!l9 9876 .9899 .9917 .9932 .9944
.0500 .1489 .2449 .3364 .4219 .5005 .5717 .6352 .6911 .7398 .7818 .8178 .8483 .8741 .8957 .9138 .9289 .9414 .9318 .9603 9674 .9732 9780 .9820 .9852 .9879 .9901 .9919 .9933 .9945
Sumber : Frederik c. Mtlls : StattsticalMethods Table of r Valuesfor gtven z values.
366
.06
.07
.0599 .0699 .1587 .1684 .2543 .2636 .3452 .3540 .4301 .4382 .5080 .5154 .5784 .5850 .6411 .6469 .6963 .7014 .7443 .7487 .7857 .7895 .3210 .8243 .8511 .8538 .8764 .8787 .8977 .8996 .9154 9170 9302 .9316 .9425 .9436 .9527 .9536 .9611 .9619 9680 .9687 .9738 .9743 .9785 .9789 .9823 .. 9827 .9855 .9858 .9881 .9884 .9903 .9905 .9920 .9922 .9935 .9936 .9946 .9947
.08 .0798 .1781 .2729 .3627 .4462 .5227 .5915 .6527 .7064 .7531 .7932 .8275 .8565 .8810 .9015 .9186 .9329 .9447 .9545 .9626 .9693 .9748 .9793 .9830 .9861 .9886 .9906 .9923 9937 9949
.09 .0898 .1878 :2821 .3714 .4542 .5299 .5980 .6584 .7114 .7574 .7969 .9306 .9591 8832 .9033 .9202 .9342 9458 .9554 .9633 .9699 .9753 .9797 .9834 .9863 .9888 .9908 .9925 .9938 .9950
Tabel Xlla. Valuesof F.05
'
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
~
4 5
161 18 5 10 I 7 71 6 61
200 19 0 9 55 694 5 79
216 19 2 9 28 6 59 5 41
225 19 2 9 12 6 39 5 196
230 19 3 901 6 26 5 05
234 19 3 894 6 16 4 95
237 19 4 8 89 609 4 88
239 194 8 85 64 4 82
241 19 4 8 81 600 477
242 194 8 79 5 96 4 74
244 194 8 74 5 91 468
246 !9 4 8 70 5 80 4 02
248 19 4 8 66 5 80 4 56
249 19 5 864 5.77 4 53
250 19 5 802 5 75 4 50
251 19 5 8.59 572 446
252 19 5 8 57 5 69 443
253 19.5 8 55 5.66 440
254 19 5 8 83 5 63 4 37
0 7 8 9 10
5 99 5 59 5 32 5 12 496
5 14 4 74 446 4 26 4 10
4 76 4 35 4 07 3 80 3 71
4 53 412 3 84 3 63 3 48
4 39 3 97 3 69 3 48 3 33
4 28 3 87 3 58 3 37 3 22
421 3 79 3 50 3 29 3 14
415 3 13 344 3 23 3 07
4 )() 6 6h. _j 39 3 18 3 02
400 364 3 35 3 14 298
400 3 57 3 28 3 07 291
3 94 3 51 3 22 3 OJ 2 85
3 87 344 3 15 294 277
384 3 41 3 12 290 2 74
J 81 3 38 3 08 2 80 2 70
377 3 34 204 2 83 266
3 74 3 30 3 OJ 2.79 262
3 70 3 27 2.97 2.75 2.58
3 67 3 23 2 93 2 71 2.54
II 12 13 14 15
4 84 4 75 467 460 4 54
3 08 3 89 3 81 3 74 3 68
3 59 3 49 341 3 34 3 29
3 36 3 26 3 18 3 II 300
3 20 3 II 3 03 2 96 2 90
309 30 292 2 85 2 79
3 OJ 291 2 83 2 76 2 71
2 95 2 85 277 2 70 264
290 2 80 2 71 2 65 2 59
2 85 2 75 2 67 260 2 54
2 79 2 69 260 2 53 248
272 2 62 2 53 246 240
2 65 254 246 2 39 2 33
2.61 2 51 242 2.35 2 29
2 57 247 2 38 2 31 2 25
2 53 2 43 2 34 2 27 2 20
249 2 38 2 30 2 22 2.16
245 2 34 2 25 2.18 2 II
240 2 30 2 21 213 207
16
449 4 45 441 4 38 4 35
3 63 3 59 3.55 3 52 3 49
3 24 3 20 3 16 3 13 310
3 OJ 2 96 2 93 2 90 2 87
2 85 2 81 277 2 74 2 71 I
2 74 2 70 2 66 2 63 260
2 66 2 61 2 58 254 2 51
2 59 2 55 2 51 2 48 2 45
2 54 2 49 2 46 2.42 2 39
2 49 2 45 241 2 38 2 35
242 2 38 2 34 2 31 2 28
2 35 2.31 2 23 2 20
2 28 2 23 219 2 16 212
2.24 2.19 2.15 2 II 208
2 19 215 2 II 207 204
2 15 210 206 203 199
211 206 202 198 195
206 201 197 193 190
201 I 96 192 I 88 184
4 32 4 30 4 28 4 26 4 24
3 47 344
2 84 2 82 2 80 2 78 2.76
2 68 266 264 262 260
2 57 2 55 2 53 2 51 249
249 246 244 2 42 240
242 240 2 37 2 36 2 34
2 37 2 32 2 30 2 28
2 32 2 30 2 27 2 25 2 24
2 25
2 18 2 15 2 13
210 207 2 05
3 40 3 39
3 07 3 05 3 03 3 01 2 99
2 II
2 03
209
2 01
2 05 2 03 2 OJ I 98 196
201 I 98 196 194 192
196 194 I 91 I 89 I 87
192 I 89 1.86 184 I 82
1.87 184 181 I 79 177
I I I I I
417 408 400 3 92 384
3 32 3 23 3 15 3 07 300
2 92 2 84 2 76 2 68 2 60
269 261 2 53 245 2 37
2 53 2 45 2 37 2 29 2 21
2 42 2 34 2 25 2 18
2 33~ 2 25 21,209 2~1
2 27 218 2 IQ 2<& 194
2 21 2 12 204 I 96 I 88
216 208 199 I 83 1 75
2 01 192 I 81 I 75 1 67
I 93 I 84 I 75 I 66 I 57
I 89 1.79 I 70 I 61 1 52
184 1374 165 I 55 146
I I I I I
I 74 164 163 143 1 32
168 1.58 1.47 I 35 1.22
162 1.51 I 39 1.25 100
I 2 3
17
19 19 20 21 22
23 24 25 30 40 60 120 =
3 42
2 ID
2 34
I
2 23
2 20 2 18 2 16 209 200 192 I 83 1.75
2 27
79 69 59 50 39
81 78 76 73 71
This table is reproduced from AL Merrington and C.M. Thompson "Tables of percentage point of the mverted beta(~) distribution" Biometrika Vol. 33 (1913) by permission of the Biometrika trustees.
367
Tabel Xlla. ValuesofF.Ol Degree of freedom for numerator
10
9
4 052 5.000 i 5 403 98.5 ' 990 ,.992 3 · 34 I 1 30,8 29.5 4 212 180 16.7 5 163 133 121 1:
0
137
7
122
8
113 10.6
9 10
10.0
109: 978 955 'i 845 865 759
915
8 75
185
6.55
7 OJ 642 599
746 663 606 564
532
8.02 . 6 99 1 56
5625 5704 5 859 s 928 99.2 993 993: 994 28 7 28 2 279,277 160 15 5 15 2 15.0 II 0 ' 107 : lOS 114
II 12
965
7 21 1 6.22
567
9 33
5.95
54!
506
13
9.07 886 8.68
6 93 670 651 6 36
5.74 556 5 42
5 21
4.86 4 70 4,56
14 15
16 17 19 19 20
8.53 840 8 26 8 I9 . 810
623 611 6.01 5 93
529 519 5.09 5 OJ 494
802 7 95 788
4,1!1 4.82 473
24: 782
472
25
4 38
21 22 23
i
777
504 4 89
437
404 3.99 3.76 3 94 ' 3 71 390 367 386 363
431
426 4 22 4 18
3 81
6 235
! 6 261
995 266 139 947
995 205 138
6.287 6 313 995 995 264 263 137
13 7
995 26.2 13 6
9 38
929
920
911
697 5 74 495 440
740 316 5 36 4 81 441
731 607 528 473 433
723 5.99 520 465 425
714 591 5.12 457 411
706
4.94
756 681 552 4 96 456
4 63 4 39 4 19 403 3.89
454 4 30 410 3,94 3 80
440 4 16 396 3 80 3 67
425 4 01 3 82 3 66 3 52
410 3 86 3.66 3 51
402 378 359
394 370 351
386 362 343
378 354 334
3 43 3 29
3 35 3.21
3 27 3 13
3 18 3.05
389 379 371 363 356
378 368 3.60 352 346
3 69
3 55
3 41
3 26
359 3.51 3 43 337
346 3 37 3 30 ' 323 j
3.31 3 23 3 15 3.09
3 !6 3 08
3 18 3 08
3 10
300
292 2.84 278
3 02 2 92 284 2 76 2.69
3 64 3 51 3 59 ' 3.45 354 3 41 350 3 36 3.46 3 32
3.40
3 31
3 35 3 30
3 26 3 21 3 17 313
3 17 3 12
3 03 2 98 2 93
2 88 2 83 2 78
2 89
2 74
2 85
2 70
507 4 82 462 446 432 ' 420 410 401 394 387
6 !57 6209 994 9934 26 9 26 7 14 2 140 972 955
772 347 5 67 5.11 4 71
8 26 699 6.18
444 434 425! 417 410
: 27 5127.3 ' 14 8 147 10.3 : 102
6056 6106 994 994 27 2 27 I 145 14 4 10 I 989
787 662 5 81 5 26 4 85
847 7 19 637 5 80 539:
417 467 458 450 443
t~.023
5.982 : 994 . 994
12
8101798
5 61 520
634 6 03 5 47
5 35
5%
489 4 64 444 428 4.14
4 74 4 50 4 30 4 14 4 00
403 393 .34 377 370
I
672 5 91
3 26 3 22
3 07 3 03 299
3 37
30 2 94
292
300
;·;; I 297
272
2 70 266 262
262 2 58
253
582 503 448 408
261' 135 902
688 565 468
4.00
4 31 : 391 '
3 69
360
3 45 325 309 293
336
2.93 2 83 2.75 2 67 2 61
2 84 2 75 266 2.58
2 75 265
2.64
2 55
258
250
2 54 249 2 45
2 45 240 2 36
246 240 2 35 23!
252
227
3 17
3 00' 2 87
257 249 242
236 231
226 2.21 217
This table IS reproduced from AL Merringron and C.M. Thompson "Tables of percentage point of the inverted beta((}) distribution" Biometrika VoL 33 (1913) by penniss1on of the Bwmetrika trustees.
368
i
