Spojité regulátory a regulační struktury

Spojité regulátory a regulační struktury Jaroslav Hlava

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR

Regulátory Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření

Úkolem regulátoru je zabezpečit, aby regulovaná veličina y(t) odpovídala své požadované hodnotě w(t) i přes to, že na soustavu působí vnější vlivy d(t)


Blok regulátoru na předcházejících obrázcích lze dále jemněji strukturovat:

Vedle ústředního členu regulátoru, který realizuje vlastní regulační algoritmus (dnes obvykle číslicově), je také nutné měřit regulovanou veličinu a akční zásah realizovat v reálném světě.


Typická přístrojová realizace ústředního členu regulátoru


Běžně používané typy vstupních signálů: Napěťové vstupy: typicky 0-10 V, 0-5 V, 1-5 V, ±10 V, někdy i malá napětí např. 0-10 mV, 0-50 mV Proudové vstupy: nejdůležitější 4-20 mA, dále např. 0-20 mA či 10-50 mA Vstupy pro teplotní čidla: termočlánky (J, K, S, B a další), RTD (Resistance Temperature Detector, obvykle Pt100, popř. Pt500, Pt1000 pozor na rozdíl mezi evropskou a americkou kalibrační křivkou ), méně často i další např. KTY 10 Frekvenční vstupy pro turbínkové průtokoměry a zejména pro optoelektronické snímače polohy a rychlosti otáčení (enkodéry). Úrovně TTL či HTL pro impulsní vstupy, pro absolutní snímače polohy pak rozhraní SSI či EnDat Další typy vstupů: odporové snímače polohy, speciální čidla (relativní vlhkost, rosný bod apod.)

Běžně používané typy výstupních signálů: Zdaleka nejběžnější je proudový výstup 4-20 mA popř. 0-20 mA Méně běžný je napěťový výstup: 0-10 V, 0-5 V Často jsou užívány výkonové binární výstupy: kontakty elektromechanických relé popř. relé v pevné fázi (SSR-Solid State Relays). Kontakty přepínací SPDT (Single Pole Double Throw) či pouze spínací nebo rozpínací SPST (Single Pole Single Throw). Spínací značeny N.O. (Normally Open), rozpínací N.C. (Normally Closed)


Základní typy spojitých regulátorů 1. Čím větší je odchylka od žádané hodnoty, tím větší akční zásah musíme vyvíjet, abychom žádané hodnoty dosáhli u (t ) = ro e(t ) r0 proporcionální zesílení Tzv. proporcionální čili P regulátor Vlastnosti:

GS ( s )GR ( s ) Y ( s) = W ( s) 1 + GS ( s )GR ( s ) Gd ( s ) + D( s) 1 + GS ( s )GR ( s ) GS ( s )r0 Gd ( s ) Y ( s) = W ( s) + D( s) 1 + GS ( s ) r0 1 + GS ( s ) r0


Chování v ustáleném stavu:

y (∞) = k w w(∞) + k d d (∞)

Statické zesílení kw musí být jedna a kd nula Je-li řízená soustava tzv. statická, tzn. má konečné statické zesílení, pak GS(0) je konečné číslo GS (0)r0 Gd (0) kw = kd = ⇒ k w < 1, k d > 0 1 + GS (0) r0 1 + GS (0) r0 Je-li řízená soustava astatická, tzn. má nekonečné statické zesílení (odezva má integrační charakter), pak při uvažování astatismu 1. řádu lze psát GS(s)=(1/s) Ge(s), kde Ge(0) je konečné celé číslo

Ge (0)r0 Gd (0) Gd (0) k w = lim = 1 k d = lim = ≠0 s→0 s + G (0) r s→0 s + G (0) r GS (0) r0 e 0 S 0 Z hlediska potlačení rušivých vnějších vlivů nevyhoví ani v případě astatických systémů


2. Regulátor chovající se podle rovnice u (t ) = ro e(t ) vlastně ani nulovou ustálenou regulační odchylku dosáhnout nemůže, protože pak by nevytvářel žádný akční zásah, nenulový výstup při nulovém vstupu však může být na výstupu integrátoru Proporcionálně-integrační čili PI regulátor t 1 u (t ) = ro [e(t ) + ∫ e(τ )dτ ] Ti integrační časová konstanta Ti 0

Ti s + 1 1 U ( s ) = ro [1 + ]E ( s ) = ro E ( s) Ti s Ti s 1 + Ti s GS ( s )r0 Ti s Gd ( s ) Y ( s) = W ( s) + D( s) 1 + Ti s 1 + Ti s 1 + GS ( s )r0 1 + GS ( s )r0 Ti s Ti s GS ( s )r0 (1 + Ti s ) Ti sGd ( s ) Y ( s) = W (s) + D( s) Ti s + GS ( s )r0 (1 + Ti s ) Ti s + GS ( s )r0 (1 + Ti s )


GS ( s )r0 (1 + Ti s ) Ti sGd ( s ) Y ( s) = W (s) + D( s) Ti s + GS ( s )r0 (1 + Ti s ) Ti s + GS ( s )r0 (1 + Ti s ) GS (0)r0 kw = = 1 kd = 0 GS ( s )r0 PI regulátor zabezpečí dokonalé chování v ustáleném stavu bez ohledu na to, zda řízená soustava je statická či astatická (regulační obvod musí ovšem být stabilní)


3. V průběhu dynamického přechodového děje při změnách žádané hodnoty či vnějších vlivů může být užitečné průběh zrychlit přídavným signálem, který bude v ustáleném stavu nulový tzn. signálem derivační povahy (derivace konstanty je nula) Proporcionálně-integračně-derivační čili PID regulátor 1t de(t ) u (t ) = ro [e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td ] Ti 0 dt

1 U ( s ) = ro [1 + + Td s ]E ( s ) Td derivační časová konstanta Ti s Z hlediska chování v ustáleném stavu má stejné vlastnosti jako PI regulátor de(t ) u (t ) = ro [e(t ) + Td ] Občas se používá také Proporcionálnědt derivační čili PD regulátor U ( s ) = ro [1 + Td s ]E ( s ) Z hlediska chování v ustáleném stavu má stejné vlastnosti jako P regulátor


Čistě derivační přenos odpovídá fyzikálně nerealizovatelnému systému – odezva na skokovou změnu regulační odchylky je Diracův impuls. Frekvenční charakteristika derivátoru jω má navíc nežádoucí průběh – zesílení narůstá s frekvencí a rušivé vysokofrekvenční šumy malé amplitudy tak budou neúměrně zesíleny a výrazně naruší průběh regulace. Není proto ani možné ani vhodné použít PID regulátor s čistou derivací. Běžně se tedy čistě derivační přenos nahrazuje nedokonalou derivací s předřazenou dolní propustí alespoň prvního řádu roTd s D( s) = (1 + sαTd ) kde parametr α je mezi 0,05 a 0,2.

Td s 1 U ( s ) = ro [1 + + ]E ( s ) Ti s Td sα + 1


P, PI, PD, PID regulátor není jen matematická formule, ale především technické zařízení. Může být realizován jako samostatný přístroj nebo jako součást rozsáhlejšího zařízení nebo technologického procesu. Technická realizace může být analogová s využitím pneumatických nebo elektronických prvků, v současnosti je však nejběžnější realizace číslicová (digitální, diskrétní). Funkce regulátoru je tedy realizována číslicovým počítačem.


Průběhy signálů na vstupu a výstupu číslicového regulátoru s tvarovačem nultého řádu (Zero Order Hold – ZOH) A/D převod vykonává dvě základní funkce: 1. Vzorkování analogového signálu: vzniká signál diskrétní v čase 2. Kvantování analogového signálu: vzniká signál diskrétní v úrovni Chování D/A převodu obvykle odpovídá tzv. tvarovači nultého řádu (zero order hold ZOH) – po dobu periody vzorkování je výstup regulátoru konstantní.


Číslicová aproximace PID regulátorů t

1 de( t ) 1 u( t ) = ro [e( t ) + ∫ e( τ )dτ + Td ] ⇒ U ( s ) = ro [1 + + Td s ]E( s ) dt Ti s Ti 0

Proporcionální člen je čistě statický (nikoliv dynamický) a zvláštní diskrétní aproximaci nevyžaduje, jde vlastně jen o násobení konstantou. Integrační složka: obdélníková metoda, lichoběžníková metoda Levá obdélníková metoda:

ro t roTv k e( τ ) ≈ e( i ) = I O ( k ) ∑ ∫ Ti 0 Ti i =1

(vhodnější než pravá, neboť reaguje na právě provedenou změnu žádané hodnoty) Lichoběžníková metoda:

ro t roTv k e( τ ) ≈ ( e( i ) + e( i − 1 )) = I L ( k ) ∑ ∫ Ti 0 2Ti i =1


Vztah pro výpočet integrační složky je třeba převést do podoby rekurzivně počítané diferenční rovnice (bylo by nerozumné počítat pokaždé znovu sumu od 0 či 1). Pro lichoběžníkovou metodu lze převod provést takto:

roTv k I L (k ) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv k −1 I L (k − 1) = ∑ (e(i) + e(i − 1)) 2Ti i=1 roTv ⇒ I L (k ) − I L (k − 1) = (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti roTv a konečně I L (k ) = I L (k − 1) + (e(k ) + e(k − 1)) 2Ti


Derivační složka: Nejjednodušší varianta: náhrada první diferencí de roTd ≈ roTd (e(k ) − e(k − 1)) Tv = D( k ) dt Tato jednoduchá náhrada je velmi citlivá na šum a v kombinaci s tím, že průběh regulované veličiny je diskrétní i v úrovni, mohou vzniknou problémy při malých hodnotách periody vzorkování (odezva na rampu pak není konstantou, ale posloupností krátkých impulsů o vysoké amplitudě)

1. Alternativa: Vyjít z přenosu filtrované derivace:

roTd s D( s) = (1 + sαTd )

kde parametr α je mezi 0,05 a 0,2. Ten lze diskretizovat např. pomocí Tustinovy aproximace


Metody přibližné diskretizace Výpočet integrálu levou (zpětnou) obdélníkovou metodou: Spojitý přenos integrálu:

Y (s) 1 = U (s) s

k

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv ) i =1

k −1

y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k )

y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv ) i =1

Y ( z )(1 − z

−1

Tv Y ( z) = U ( z ) (1 − z −1 )

) = T U ( z)

Srovnáním se spojitým přenosem dostaneme

v

(1 − z ) = z − 1 s← −1

Tv

Tv z

zpětná diference


Obdobně pro pravou (dopřednou) obdélníkovou metodu: k −2

k −1

y (kTv ) = Tv ∑ u (iTv ) y ((k − 1)Tv ) = Tv ∑ u (iTv ) y (k ) − y (k − 1) = Tv u (k − 1) i =0

i =0

Y ( z )(1 − z

−1

)= T z v

−1

−1

U ( z)

( 1− z ) z −1 s← =

Y ( z) Tv z = U ( z ) (1 − z −1 )

−1

Tv z −1

Tv

dopředná diference


Výpočet integrálu lichoběžníkovou metodou Tv k −1 y ((k − 1)Tv ) = ∑ {u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1 Tv Tv -1 y (k ) − y (k − 1) = {u (k ) + u ( k − 1)} Y ( z )(1 - z ) = U (z )(1 + z -1 ) 2 2

Tv k y (kTv ) = ∑{u (iTv ) + u ((i − 1)Tv )} 2 i =1

( (

) )

Y ( z ) Tv 1 + z −1 Tv ( z + 1) = = −1 U( z ) 2 1− z 2 ( z − 1)

2  1 − z −1  2  z − 1  =  s ←   −1  Tv  1 + z  Tv  z + 1 

Tustinova aproximace resp. bilineární transformace


Konkrétně, při použití Tustinovy metody dostaneme aproximaci filtrované derivace, která je popsána spojitým přenosem roTd s D( s ) = (1 + sαTd )

v podobě diferenční rovnice 2roTd (2roTd α − Tv ) d (k ) = d (k − 1) ( e(k ) − e(k − 1) ) + (Tv + 2Td α ) (Tv + 2Td α )


2. Alternativa: Náhrada derivace průměrnou diferencí: Derivaci v okamžiku kTv nahradíme průměrnou rychlostí změn regulační odchylky za několik intervalů vzorkování Průměrná odchylka

ek + ek −1 + ek −2 + ek −3 ek = 4

∆ek 1  ek − ek ek −1 − ek ek − ek −2 ek − ek −3   = =  + + + D(k ) = Tv 4  1,5Tv 0,5Tv 0,5Tv 1,5Tv  ek + 3ek −1 − 3ek −2 − ek −3 = 6Tv


Polohový tvar rovnic číslicového PID regulátoru (PSD regulátoru): Tv k Td u (k ) = ro e(k ) + I L (k ) + D(k ) = ro [e(k ) + ( e ( i ) + e ( i − 1 )) + (e(k ) − e(k − 1))] ∑ 2Ti i=1 Tv

Přírůstkový (také rychlostní) tvar: ∆u (k ) = u (k ) − u (k − 1) = Tv Td Tv Td Td = ro {e(k )[1 + + ] + e(k − 1)[ − 1 − 2 ] + e(k − 2) } 2Ti Tv 2Ti Tv Tv


V praxi se lze často setkat s použitím složitějších struktur regulačních obvodů, než je pouhá jednoduchá regulační smyčka. K nim patří zejména kaskádní regulace a kompenzace dopravního zpoždění (Smithův prediktor) Připomeňme již zmíněnou kaskádní strukturu


Kompenzace dopravního zpoždění Smithův prediktor

Přenos uzavřené smyčky je

Y( s ) GR ( s )GS ( s ) = W ( s ) 1 + GR ( s ) ⋅ ( Gm* ( s ) − Gm ( s ) + GS ( s ))

V případě dokonalé shody mezi chováním modelu a Y( s ) GR ( s )GS ( s ) GR ( s )G* ( s )e −sτ = = * řízené soustavy Gm(s)=GS(s) W ( s ) 1 + GR ( s ) ⋅ Gm ( s ) 1 + GR ( s ) ⋅ Gm* ( s ) Naopak v případě klasické zpětnovazební struktury bychom dostali

Y( s ) GR ( s )G* ( s )e −sτ = W ( s ) 1 + GR ( s ) ⋅ G* ( s )e −sτ


Konkretizaci tohoto přístupu si lze ukázat na jiné variantě regulace anestesie. Již dříve jsme ukázali model dynamiky pacienta, kterému je dávkován propofol byl to stavový model 4. řádu s dopravním zpožděním. Možná řešení automatického řízení. Nejjednodušší varianta PI regulátor

požadovaná hodnota BIS=50



U PI regulátoru vznikají velké problémy s oscilacemi kolem žádané hodnoty je tedy žádoucí kompenzovat dopravní zpoždění





Struktura regulátoru jedná se kombinaci verze MPC regulátoru (EPSAC) se Smithovým prediktorem


Podrobnější popis regulátoru lze najít v Hodrea R., Ionescu C., De Keyser R. (2010), Predictive control strategy with online time delay estimation applied in general anaesthesia, Proccedings of the 9th IFAC Workshop on Time Delay Systems, June 2010, Prague, Czech Republic. volně dostupné (po registraci) z oficiálních stránek obsahujících úplné texty příspěvků z konferencí pořádaných Mezinárodní federací automatického řízení (IFAC) http://www.ifac-papersonline.net/

Spojité regulátory a regulační struktury

Recommend Documents