Lekce 3
Spojitá náhodná veličina Případ spojité náhodné veličiny je komplikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní. Je to dáno především tím, že jednotková pravděpodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně mnoho realizací spojité náhodné veličiny (každý interval reálné osy obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel). To neumožňuje použít pravděpodobnostní funkci, která sloužila jako jeden z prostředků popisu rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. Pravděpodobnostní funkce byla analogií četnostní funkce při bodovém třídění datového souboru. Alternativou četnostní funkce při intervalovém třídění datového souboru byla četnostní hustota. V souvislosti se spojitou náhodnou veličinou budeme hovořit o hustotě pravděpodobnosti. Vedle hustoty pravděpodobnosti lze k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny využít také distribuční funkci, jejíž definice je na typu náhodné veličiny nezávislá.
distribuční funkce; exponenciální rozdělení; Gaussova křivka; hustota pravděpodobnosti; medián; nezávislost; normální rozdělení; normované normální rozdělení; normování; p–kvantil; pravděpodobnostní element; parametry; rovnoměrné rozdělení; rozdělení pravděpodobnosti; spojitá veličina; směrodatná odchylka; střední hodnota; variační koeficient; zákon rozdělení pravděpodobnosti
3.1
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
U spojitých náhodných veličin přejdeme od pravděpodobnosti k hustotě pravděpodobnosti, což je „množství“ pravděpodobnosti připadající na jednu (určitou) jednotku šířky intervalu možných hodnot spojité náhodné veličiny. Hustota pravděpodobnosti je ovšem spojitou veličinou, takže její jednotkovou hodnotu (příslušející jistému jevu) vyjadřujeme jako určitý integrál. Hustota pravděpodobnosti nemá vlastnosti pravděpodobnosti. Označíme-li hustotu pravděpodobnosti jako f (x ) , platí f ( x ) ≥ 0 (hustota tedy může nabýt i hodnoty větší než jedna, což uvidíme později). Pomocí hustoty pravděpodobnosti může být rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny vyjádřeno vzorcem nebo graficky. Příklad 3.1 Dobu trvání výrobní operace považujeme za konstantní s délkou trvání 5 minut. Pozorovatel přichází v náhodně zvoleném okamžiku. Spojitou náhodnou veličinou X je doba, která uplyne od příchodu pozorovatele do skončení operace. Náhodná veličina se může realizovat v intervalu x ∈ (0; 5) a její výskyt na celém intervalu je všude stejně možný. Pravděpodobnost, připadající na jednotku intervalu če-
1 . 5 1 pro 0 < x < 5 Hustota pravděpodobnosti f ( x) = 5 a její grafické znázornění je na obr. 3.1. 0 jinak kací doby, je konstantní a je rovna
Všimněme si ještě hranic intervalu pro spojitou náhodnou veličinu. Nezáleží na tom, zda jedna či obě krajní hodnoty do intervalu patří či nepatří, takže pro spojitou (ale výhradně pro spojitou!) náhodnou veličinu jsou zápisy P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) a P ( x1 < X < x2 ) naprosto ekvivalentní.
Co můžeme říci o náhodné veličině, pro kterou
22
P (2 ≤ X ≤ 3) > P (2 < X < 3) . (3–1)
Obr. 3.1 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
f(x)
x Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je (analogicky jako pro diskrétní veličinu) definována jako pravděpodobnost F ( x ) = P ( X ≤ x ) , tentokrát ovšem pro − ∞ < x < +∞ . Doplníme nyní příklad 3.1 o distribuční funkci, která (podobně jako hustota) pro spojitou náhodnou veličinu se vyskytuje v podobě vzorce nebo grafu. Příklad 3.1 — pokračování Distribuční funkce na intervalu (0; 5) lineárně roste, zatímco pro x ≤ 0 nabývá nulové hodnoty a pro
0 pro x ≤ 0 x 5 ≤ x hodnoty jedna, tj. F ( x) = pro 0 < x < 5 . 5 1 pro x ≥ 5 Obr. 3.2 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny
F(x)
x Vlastnosti distribuční funkce (společné pro d.f. diskrétní i spojité n.v.) Distribuční funkce je pravděpodobnost, z čehož plyne 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 .
Distribuční funkce je neklesající (pravděpodobnost je nezáporná) a tudíž pro x2 > x1 je F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) . Z toho plyne užitečný vztah: P ( x1 < X ≤ x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 ) . V bodech plus a mínus nekonečno je distribuční funkce F ( −∞) = 0, F ( +∞) = 1 , i když z našich příkladů vidíme, že je běžné, že těchto hodnot distribuční funkce nabývá podstatně dříve, než v nekonečnu.
Pokud je na nějakém intervalu náhodná veličina X spojitá, je spojitá i distribuční funkce. Na grafu distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny vidíme, že do libovolných bodů na distribuční funkci lze dospět z jejich pravého (nikoli již levého) okolí. Z toho plyne formulace, že distribuční funkce je vždy alespoň zprava spojitá.
23
Nyní zbývá zabývat se vztahem distribuční funkce a hustoty spojité náhodné veličiny. Je-li distribuční funkce F (x ) spojitá, tudíž k ní existuje derivace. Derivací F (x ) je hustota pravděpodobnosti
f ( x) =
dF ( x ) . A opačně — distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě. Mezi oběma funkcemi dx
je tedy vzájemně jednoznačný vztah a F (t ) =
t
∫ f ( x )dx .
−∞
Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Hustota je derivace neklesající funkce, nemůže tedy být záporná a f ( x ) ≥ 0 . Shora není hodnota hustoty pravděpodobnosti nijak omezena. +∞
∫ f ( x )dx = 1 . Jde o pravděpodobnost jistého jevu, která odpovídá jednotkové ploše pod −∞
křivkou hustoty pravděpodobnosti. x2
P( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = ∫ f ( x )dx . Pravděpodobnost realizace spojité náhodné veličiny na inx1
tervalu ( x1 ;x 2 ) nebo x1 ; x2 je určitým integrálem v hranicích x1 , x 2 .
Plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti lze interpretovat jako součet ploch elementárních obdélníků, tzv. pravděpodobnostních elementů f ( x )dx ≈ f ( x ) ⋅ ∆x , kde ∆x → 0 je délka vodorovné strany obdélníku.
3.2
Charakteristiky spojité náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita. Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která pro spojitou náhodnou veličinu
X je definována jako E ( X ) =
+∞
∫ xf ( x )dx .
−∞
Charakteristikou variability náhodné veličiny je rozptyl, který je pro spojitou náhodnou veličinu X definován jako D 2 ( X ) = E [x − E ( X )] = 2
+∞
∫ [x − E ( X )]
2
f ( x )dx . Alternativně lze rozptyl vyjádřit
−∞
2
+∞
+∞ po úpravě jako E ( X ) − E ( X ) = ∫ x f ( x )dx − ∫ xf ( x ) dx . −∞ −∞ 2
2
2
Druhou odmocninou rozptylu je směrodatná odchylka D ( X ) . Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) =
D( X ) . E( X )
Pro spojitou náhodnou veličinu z odstavce 3.1 vypočteme hodnoty charakteristik. Příklad 3.2 Charakteristiky spojité náhodné veličiny +∞
5
x2 1 Střední hodnota E ( X ) = ∫ xf ( x )dx = ∫ x dx = = 2,5 . 5 10 0 −∞ 0 5
24
5
x3 1 Rozptyl (po úpravě vzorce) D ( X ) = ∫ x dx − 2,52 = − 2,52 = 2,0833 . 5 15 O 0 Směrodatná odchylka D ( X ) = 2,0833 = 1,4434 . 5
2
2
Čemu je roven variační koeficient z náhodné veličiny z příkladu 3.2? (3–2)
Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme pomocí střední hodnoty a rozptylu, případně od něj odvozených charakteristik — směrodatné odchylky a variačního koeficientu.
Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu Tyto jsou pro spojitou náhodnou veličinu identické s vlastnostmi charakteristik diskrétní náhodné veličiny.
Kvantily spojitých náhodných veličin Pojem kvantilu je nám nepochybně znám (včetně pojmů jako medián, dolní kvartil, prostřední decil, horní percentil apod.). Omezíme se pouze na kvantily spojitých náhodných veličin (pro diskrétní náhodné veličiny kvantily existují také, ale my je nebudeme v žádné souvislosti používat). S kvantily některých spojitých náhodných veličin budeme naopak později pracovat zcela běžně. p–kvantil (nebo také 100p% kvantil) spojité náhodné veličiny X je číslo x p , které dělí obor možných hodnot této veličiny na dvě části, z nichž do levé padá tato veličina s pravděpodobností p a do pravé s pravděpodobností 1–p, tj. P ( X ≤ x p ) = p, P ( X ≥ x p ) = 1 − p . Přitom pravděpodobnost p můžeme chápat jako plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti nebo jako bod na křivce distribuční funkce. Situace je znázorněna na obr. 3.3, kde má součastně průběh hustoty pravděpodobnosti a jí odpovídající distribuční funkce reálnou podobu (my jsme se ovšem s podobným rozdělením zatím nesetkali). Obr. 3.3 p–kvantil spojité náhodné veličiny
F ( x)
f (x)
p
1− p
p xp
x
xp
Situaci na obr. 3.3 můžeme současně vyjádřit: xp
Pomocí hustoty pravděpodobnosti P ( X ≤ x p ) = ∫ f ( x )dx = p . −∞
Pomocí distribuční funkce P ( X ≤ x p ) = F ( x p ) = p .
25
Příklad 3.3 Vypočteme libovolný p–kvantil spojité náhodné veličiny z odst. 3.1 (zatím žádnou jinou k dispozici x0 , 25 1 nemáme). Zvolíme-li např. p = 0,25 (tj. určíme 25% kvantil — dolní kvartil), bude ∫0 5 dx = 0,25 . x0 , 25
Z toho x 5 0
= 0,25 a nakonec x 0, 25 = 1,25 .
Pro příklad 3.3 určete 90% kvantil.
Zatímco medián ( x0,50 ) může být vhodnou charakteristikou úrovně, tak krajní kvantily mohou sloužit k vymezení intervalu, kam náhodná veličina padá prakticky jistě (např. 1% a 99% kvantil společně vymezí interval, kam náhodná veličina padá s pravděpodobností 0,98 — pro představu si to ukažte na obr. 3.3). Pokud je pravděpodobnost 0,98 pro daný případ stanovenou pravděpodobností prakticky jistého jevu, můžeme předpokládat, že jev „padnutí náhodné veličiny mimo interval vymezený oběma kvantily“ je jevem prakticky nemožným a nekalkulujeme, že skutečně nastane, i když je např. − ∞ ≤ X ≤ +∞ , a náhodná veličina může ve skutečnosti (ovšem velmi vzácně) nabýt jakkoli velké záporné či kladné hodnoty. Tento „trik“ s náhodnou veličinou budeme využívat později.
Nezávislost spojitých náhodných veličin V případě dvojice spojitých náhodných veličin X, Y je jejich společné rozdělení popsáno hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí, funkcemi dvou proměnných f ( x, y ), F ( x, y ) , které se opět nazývají sdružené. Platí-li f ( x, y ) = f ( x ) f ( y ) a F ( x, y ) = F ( x ) F ( y ) , jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny.
3.3
Některé zákony rozdělení spojitých náhodných veličin
Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení jsme již poznali, protože nám posloužilo jako modelový případ spojité náhodné veličiny v odst. 3.1. Nabývá-li spojitá náhodná veličina X hodnot z intervalu α ; β a její výskyt na tomto intervalu je všude stejně možný, má rovnoměrné rozdělení s hustotou pravděpodobnosti
1 f ( x) = β − α 0
pro α ≤ x ≤ β
. Čísla α , β , kterými se jednotlivé rovnoměrně rozdělené ná-
jinak
hodné veličiny vzájemně liší, jsou parametry. Rovnoměrné rozdělení označíme R[α ; β ] . Řekli jsme sice, že se používá např. při stanovení doby čekání na v pravidelných intervalech se opakující jevy nebo že si jím vypomáháme za situace, kdy skutečný tvar rozdělení spojité veličiny není znám, ale jeho význam je hlavně metodický, protože je nejjednodušším spojitým rozdělením. Z tohoto titulu není obtížné na něm ukázat např. výpočet charakteristik pomocí integrálů (příklad 3.2). Tento výpočet není ovšem nutné provádět, protože jeho charakteristiky lze snadno určit z parametrů:
E( X ) =
α+β
, D2 ( X ) =
( β − α )2 . p–kvantil rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny určíme ze 12
2 vztahu x p = α + p( β − α ) .
26
Jaká je pravděpodobnost, že rovnoměrně rozdělená náhodná veličina
E ( X ) ± D( X ) ? (3–3)
R[0;100] padne do intervalu
Exponenciální rozdělení Podobně jako Poissonovo rozdělení, má i exponenciální rozdělení význam především pro technické jevy. Tak jako diskrétní Poissonovský proud jevů charakterizuje toky událostí pokud jde o četnost jejich výskytů (počet poruch za jednotku času, počet požadavků na obsluhu, počet průjezdů vozidel, počet vad na výrobcích), exponenciální rozdělení spojité náhodné veličiny X ( x > 0) charakterizuje dobu (případně vzdálenost), která uplyne mezi výskyty těchto událostí (doba mezi dvěma poruchami, doba od objevení do odstranění poruchy, doba mezi průjezdy vozidel, ale také vzdálenost sousedních vad na pásu tkaniny apod.). Za exponenciálně rozdělenou můžeme za jistých okolností považovat i životnost součástí a výrobků (zejména pokud k ukončení „života“ výrobku dojde v důsledku náhodné události — typicky žárovky, akumulátory automobilů a další elektrické součástky, k jejichž „smrti“ dochází v důsledku zkratu, přepětí elektrické sítě apod.). Hustota pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení je monotónní klesající funkce
1 −x δ f ( x) = e δ 0
pro x > 0 ,
kde δ > 0 je jediný parametr tohoto rozdělení. Jeho význam je
jinak
E( X ) = δ , D2 ( X ) = δ 2 . Distribuční funkcí exponenciálního rozdělení je funkce
pro x ≤ 0 0 x F ( x) = − 1 − e δ pro x > 0
.
Příklad 3.4 50 % součástek neselže ani po dosažení 36 měsíců provozu. Doba, za kterou součástka selže, je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Jaká část součástek selže až po uplynutí dvou let provozu? Při řešení místo určitých integrálů hustoty pravděpodobnosti využijeme rovnou dosazení do vzorce distribuční funkce:
F(36) =1− e
36 −
δ
= 0,50 , z čehož δ = 52 a 1 − F (24) = e
−
24 52
= 0,6303 .
Hranici 24 měsíců překoná 63 % součástek (37 % součástek selže před uplynutímm 24 měsíců). Jakou střední hodnotu by musela náhodná veličina mít, aby hranici dvou let provozu překonalo 90 % součástek? Obr. 3.4 Distribuční funkce dvou exponenciálních rozdělení −
1 − F (24) = 0,90 = e δ , z čehož získáme δ = 228 měsíců, což je 19 let. Obě exponenciální rozdělení (skutečné a ideální) viz obr. 3.4, kde je pro první rozdělení vyznačena hodnota F (36) = 0,50 a pro druhé F ( 24) = 0,10 .
F(x)
δ = 52
0.75
δ = 228
0.5
0.25
0
0
50
100
150
200
250
24
x
27
Znázorněte graficky hustoty pravděpodobností náhodných veličin, jejichž distribuční funkce jsou na obr. 3.4!
Normální rozdělení Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení ve zcela obecném případě je dána jako funkce − 1 f ( x) = e σ 2π
(x−µ)2 2σ 2
, pro − ∞ < x < +∞ . Funkce má symetrický zvonovitý tvar se dvěma in-
flexními body a jmenuje se Gaussova křivka (viz obr. 3.5). Konstanty ve vzorci hustoty pravděpodobnosti, tj. čísla µ , σ 2 , jsou parametry normálního rozdělení. Jejich geometrický význam je patrný z obr. 3.5 a jejich vztah k charakteristikám rozdělení je jednoduchý: E ( X ) = µ , D 2 ( X ) = σ 2 . Obr. 3.5 Normální rozdělení N [ −2;2 2 ], N [0;1], N [1;0,52 ] F(x)
f(x) 0.75
0.75
µ = −2
σ =2 0.5
0.5
0.25
0.25
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
První z parametrů tedy reprezentuje střední hodnotu (parametr polohy) a druhý je rozptyl. Je zřejmé, že σ = D (X ) (parametr měřítka, vzdálenost souřadnice inflexního bodu od souřadnice vrcholu křivky) je směrodatnou odchylkou. Obecné normální rozdělení zapisujeme jako N [ µ ;σ 2 ] . Vzorec distribuční funkce (vyjadřuje plochu pod křivkou hustoty), která je pravidelnou esovitou křivkou s inflexním bodem o souřadnici [ µ ; 0,5] (viz obr. 3.5), neuvádíme (i když tabelované hodnoty této funkce budeme často využívat). Z grafů hustot i distribučních funkcí na obr. 3.5 vyplývá, že pravděpodobnost odlehlých hodnot je skutečně zanedbatelná a za „odlehlou“ můžeme např. prohlásit už hodnotu, která je od střední hodnoty vzdálena více než ± 2σ .
Normované normální rozdělení Je zřejmé, že obecných normálních rozdělení je nekonečně mnoho, protože každé kombinaci parametrů µ a σ 2 > 0 vyhovuje nějaké normální rozdělení. Při normování zavedeme normovanou veliči-
X − E( X ) X − µ = , která má (pokud veličina X má obecné normální rozdělení) normované D( X ) σ normální rozdělení N [0;1] . Prostřední z normálních rozdělení na obr. 3.5 je současně normovaným normálním rozdělením. Jeho hustotu pravděpodobnosti (kterou označujeme φ (u ) ) znázorníme samostatně na obr. 3.6. Distribuční funkci normovaného normálního rozdělení budeme označovat Φ (u ) . nu U =
Z obr. 3.6 znovu vyplývá, že za odlehlé (a tudíž zanedbatelné) je možno prohlásit např. už i hodnoty, které se od střední hodnoty liší o více než ± 2 (když budeme hodně přísní, tak ± 3 ). Smysl
28
normování je v tom, že nekonečně mnoho náhodných veličin s obecným normálním rozdělením převedeme na náhodnou veličinu, která se pro zadané u vyznačuje stálou hodnotou vzdálenosti křivky od osy x a stálou plochou pod křivkou, zatímco pro zadanou hodnotu p obdržíme vždy stejnou hodnotu p–kvantilu. Tyto hodnoty, které lze „ručně“ vypočítat jen obtížně (srovnejme např. s rovnoměrným rozdělením!), je proto vhodné tabelovat, a to dokonce i v dnešní době, která umožňuje jejich stanovení pomocí k tomu určených počítačových programů (v MS Excelu např. funkce NORMDIST a NORMINV pro obecné a NORMSDIST a NORMSINV pro normované normální rozdělení).
Obr. 3.6 Hustota pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení φ(u) 0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
1
2
u
3.4 Výpočty s normálním rozdělením Při práci s normálním rozdělením přichází v úvahu tyto tři typy úloh:
k zadané hodnotě náhodné veličiny určit hustotu pravděpodobnosti, k zadané hodnotě náhodné veličiny určit distribuční funkci (plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti), k zadané pravděpodobnosti p určit hodnotu p–kvantilu náhodné veličiny. Úlohy pro obecné normální rozdělení se tradičně řeší s využitím rozdělení normovaného. Proto se při řešení všech tří typů úloh setkáváme s tabelovanými hodnotami normovaného normálního rozdělení. Stručné výtahy z těchto tabulek (které dnes už nejsou nutně jen v papírové podobě) jsou v tabulkách 3.1 až 3.3.
Tab. 3.1 Hustota normovaného normálního rozdělení u 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 φ (u ) 0,399 0,352 0,242 0,130 0,054 0,018 0,004 Obr. 3.7 Náčrt k tab. 3.1 φ(u)
φ ( −u ) = φ ( u ) 0.4
Z hodnot v tab. 3.1 plyne, že vrchol křivky má souřadnici 0,399 a že vlevo i vpravo od vrcholu křivka rychle klesá k vodorovné ose. Ze symetrie křivky vyplývá, že není třeba tabelovat pro záporné hodnoty náhodné veličiny.
0.2
0
-3
-u
-1
0
1
u
3
29
Tab. 3.2 Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení U 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 Φ (u ) 0,500 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999 Z tabulky vyplývá, že s rostoucím u se hodnoty distribuční funkce se velmi rychle blíží jedné. Při tom ze symetrie plyne Φ ( −u ) = 1 − Φ (u ) . Tabulkové hodnoty využijeme, pokud k zadané hodnotě (hodnotám) hledáme pravděpodobnost.
Příklad 3.5 Plnicí linka při správné funkci plní lahve takovým způsobem, že množství produktu v obalu je náhodná veličina s normálním rozdělením N [500;52 ] . Jaká část lahví vykáže obsah nižší než 495 ml nebo vyšší než 510 ml? Hledáme součet P ( X ≤ 495) + P ( X ≥ 510) pro náhodnou veličinu N [500;52 ] . Provedeme normování obou hodnot a pro normované hodnoty stanovíme pravděpodobnosti:
495 − 500 ) = P (U ≤ −1) = Φ ( −1) = 1 − Φ (1) = 0,159 , 5 510 − 500 P( X ≥ 510) = 1 − P( X ≤ 510) = 1 − P(U ≤ ) = 1 − P(U ≤ 2) = 1 − Φ( 2) = 0,023 5 Součet obou pravděpodobností je 0,183. Takže je to přibližně téměř každá pátá láhev. P ( X ≤ 495) = P (U ≤
Na grafu hustoty pravděpodobnosti normovaného normálního rozdělení 3.7 vyznačte obě vypočtené pravděpodobnosti!
Tab. 3.3 Kvantily normovaného normálního rozdělení P 0,500 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 u p 0,000 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 Tab. 3.3 je inverzní k tab. 3.2, protože k zadaným pravděpodobnostem (plochám pod křivkou hustoty pravděpodobnosti, hodnotám distribuční funkce) uvádí hodnotu příslušného kvantilu, tj. up
P (U ≤ u p ) = Φ(u p ) = ∫ φ (u )du = p . Vzhledem k symetrii je tentokrát −∞
u1− p = −u p (např. u 0,01 = −u 0,99 = −2,326 ), takže není nutno tabelovat hodnoty pro p < 0,5 . Příklad 3.6 Určíme interval symetrický kolem střední hodnoty, ve kterém se z hlediska obsahu nachází 95 % naplněných lahví. Náhodná veličina má opět N [500;52 ] . Ze zadání vyplývá, že hledáme 2,5% a 97,5% kvantil této náhodné veličiny (mezi nimi leží náhodná veličina s pravděpodobností 0,95). Provedeme normování: u0,025 =
x0, 025 − 500
u 0,025 = −u 0,975 = −1,96, u 0,975
, u0,975 =
x0,975 − 500
a z tab. 3.3 určíme
5 5 = 1,96 . Dosazením do vztahů pro normované hodnoty získáme
x0,025 = 490, x0,975 = 510 . Takže P ( 490 ≤ X ≤ 510) = 0,95 .
Ukažte tento interval na náčrtu hustoty pravděpodobnosti rozdělení
30
N [500;52 ] !
Σ
1. Spojitá náhodná veličina může nabývat jakékoli reálné hodnoty z celé číselné osy, případně libovolné její části. 2. Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny může být popsáno pomocí hustoty pravděpodobnosti, která určuje pravděpodobnost, připadající na jednotku intervalu možných hodnot náhodné veličiny. 3. Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny může být rovněž popsáno pomocí distribuční funkce, která pro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví pravidlo, že se náhodná veličina realizuje nejvýše v této hodnotě. 4. Pro distribuční funkci i hustotu pravděpodobnosti jsme uvedli řadu důležitých vlastností. 5. Úroveň a variabilita spojité náhodné veličiny se měří pomocí stejných charakteristik jako veličiny diskrétní. 6. Pro spojité náhodné veličiny jsme zavedli rovněž systém kvantilů. 7. Poznali jsme rovnoměrné, exponenciální, normální a normované normální rozdělení. 8. Normální rozdělení je vůbec nejdůležitějším rozdělením a má mnoho aplikací, mj. i v oblastech, do kterých je směrován tento text.
(3–1)
Jde o diskrétní náhodnou veličinu, nabývající nejméně jednu z hodnot 2, 3.
(3–2)
V (X ) =
(3–3)
P ( 21,13 ≤ X ≤ 78,87) = 0,7887 − 0,2113 = 0,5774 .
1.
2.
1,4434 = 0,5774 2,5
Spojitá náhodná veličina X , x ∈ (1;10) má distribuční funkci F ( x ) = log x . Stanovte a graficky znázorněte její hustotu pravděpodobnosti, vypočtěte střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny. Určete všechny její kvartily. Stanovte pravděpodobnost P ( 4 ≤ X ≤ 6) . Rovnoměrné rozdělení má střední hodnotu a rozptyl Určete jeho parametry
α, β
E ( X ) = 30, D 2 ( X ) = 33, 3 .
.
3.
Stanovte pravděpodobnost, že veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem δ = 10 nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D( X ) .
4.
Stanovte pravděpodobnost, že náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D ( X ) .
5.
Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením platí
P ( X ≤ 115) = 0,841 a sou-
časně P ( X ≤ 70) = 0,023 . Určete parametry µ , σ . Pořiďte náčrt hustoty pravděpodobnosti tohoto rozdělení a zadané pravděpodobnosti na něm vyznačte. 2
6.
V návaznosti na příklad 3.6 v textu lekce určete intervaly rovněž pro pravděpodobnosti 0,90 a 0,99.
7.
Šířka stavebního otvoru má normální rozdělení se střední hodnotou 81 cm a směrodatnou odchylkou 2 cm. Šířka rámu určeného ke vsazení do tohoto otvoru má nor-
31
mální rozdělení se střední hodnotou 80 cm a směrodatnou odchylkou 0,5 cm. Určete pravděpodobnost, s jakou půjde náhodně vybraný rám vsadit do náhodně vybraného otvoru. Pro jednoduchost stačí, aby rozměr rámu X byl menší než rozměr otvoru Y. X, Y budeme považovat za nezávislé náhodné veličiny a označíme-li Z = X − Y , hledáme P ( Z < 0). 8.
Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný rám z úlohy 7 se podaří usadit do náhodně vybraného otvoru nejvýše na třetí pokus.
32
