Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie

Prof. Dr J.J. Engelen NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF

met medewerking van Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer

Inhoudsopgave 1 Inleiding

3

2 De Galileitransformatie

5

2.1

Co¨ordinatenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Plaats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Voorkeurstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.6

Elektromagnetische golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Lorentztransformatie

11

3.1

De Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2

Bolvormige lichtgolf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3

Eenvoudige afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.1

pagina 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2

pagina 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.3

pagina 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4

Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5

Viervectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Consequenties van de Lorentztransformatie 4.1

19

Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i

ii

INHOUDSOPGAVE 4.2

Lorentzcontractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3

Niet-relativistische limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4

Kosmische stralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5

Tweelingparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6

Minkowski-diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Optellen van snelheden

25

5.1

Volgens de Galileitransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2

Volgens de Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Lorentztransformatie van impuls en energie 6.1

29

Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.1.1

Elastische botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.2

Nieuwe definitie impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1.3

Definitie relativistische impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2

Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3

De impuls-energie viervector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4

Energie en massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.5

Massaloze deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Toepassingen

37

7.1

Kernfusie en Kernsplijting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.2

Annihilatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3

Paarcreatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.4

Het relativistische Doppler-effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.5

Roodverschuiving en het uitdijende heelal

7.6

Deeltjesproductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.6.1

Impuls en energie in het zwaartepuntssysteem . . . . . . . . . . . . 41

7.6.2

Impuls en energie in het labsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

INHOUDSOPGAVE 7.6.3

Gemakkelijkere methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Het elektromagnetische veld 8.1

1

45

Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A Aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie

i

B Verdere aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie iii C Lorentztransformatie in willekeurige richting D Doppler effect

v vii

2

INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1 Inleiding In 1905 publiceerde Albert Einstein zijn grensverleggende artikel Zur Elektrodynamik bewegter K¨orper - Over de elektrodynamica van bewegende lichamen. In de inleiding van dit artikel geeft Einstein een voorbeeld van een ’asymmetrie’ in de wetten van elektriciteit en magnetisme die hij onbevredigend vindt en die hij vervolgens opheldert. Dit is het voorbeeld : Een bewegende magneet geeft aanleiding tot een elektrisch veld in de buurt van de magneet. Indien zich in dit elektrische veld een geleider bevindt gaat er in die geleider een stroom lopen. Omgekeerd: Is de magneet in rust en wordt de geleider door het magneetveld bewogen dan ontstaat er volgens de gangbare theorie geen elektrisch veld maar w´el een stroom in de geleider. Intu¨ıtief is het duidelijk, of in elk geval aantrekkelijk, dat alleen de relatieve beweging van magneet en geleider bepalen hoe groot de stroom is die in de geleider opgewekt wordt. Einstein zocht en vond de correcte manier om tegen dit probleem aan te kijken, maar niet alleen tegen d`it probleem. Zich baserend op twee postulaten vond hij het correcte kader voor de hele mechanica, de elektrodynamica en, zo is onze vaste overtuiging, voor welke natuurkundige theorie dan ook, de meest moderne theorie¨en inbegrepen. Dit kader, de speciale relativiteitstheorie, is het onderwerp van dit college. 1

1

Ge¨ınspireerd door ’Classical Electrodynamics’, J.D.Jackson (John Wiley and Sons Inc.), 3rd ed., 1999

3

4

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Hoofdstuk 2 De Galileitransformatie 2.1

Co¨ ordinatenstelsel

Gebeurtenissen spelen zich af op zekere plaatsen en tijdstippen. Een plaats beschrijven we t.o.v. een co¨ordinatenstelsel en tijd meten we met een klok.

y

P(x, y, z) r

O

x

z

Figuur 2.1: Driedimensionaal, orthogonaal co¨ordinatenstelsel

In figuur.2.1 is een rechtshandig, orthogonaal, driedimensionaal co¨ordinatenstelsel weergegeven. Een vector ~r wijst vanuit de oorsprong naar een punt waarvan de positie door drie getallen, de co¨ordinaten, x, y en z wordt aangegeven. 5

6

2.2

HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE

Plaats y

y’ v

S

O

S’

O’

x

x’

Figuur 2.2: Tweedimensionaal, orthogonaal co¨ordinatenstelsel S 0 beweegt met constante snelheid v t.o.v. co¨ordinatenstelsel S

Indien we verschijnselen beschrijven die zich in een plat vlak afspelen is een tweedimensionaal co¨ordinatenstelsel voldoende. In figuur.2.2 is een tweedimensionaal co¨ordinatenstelsel 0 S getekend en een tweedimensionaal co¨ordinatenstelsel S dat met constante snelheid v beweegt t.o.v. S, in de x-richting. We vragen ons nu af hoe we co¨ordinaten (van bijvoorbeeld de baan van een puntmassa) gemeten t.o.v. S kunnen uitdrukken in de co¨ordinaten 0 (van het zelfde verschijnsel) gemeten t.o.v. S . Het antwoord kan gemakkelijk worden verkregen: y0 = y (2.1) x0 = x − vt

(2.2)

waar t de tijd voorstelt. (Als beginvoorwaarde hebben we gekozen dat op tijd t = 0 de 0 co¨ordinatenstelsels S en S samenvallen.)

2.3

Snelheid

De snelheid in de x-richting is per definitie de afgeleide van de x-co¨ordinaat naar de tijd: Vx ≡

dx(t) dt

0

Ten opzichte van S geldt: 0

0

Vx

dx = dt

2.4. VERSNELLING

7

en dus volgt 0

Vx = Vx − v

(2.3)

We hebben als vanzelfsprekend aangenomen dat 0

t

= t 0

d.w.z. we hebben aangenomen dat de tijd in S en S op identieke wijze verloopt. Het zal in de loop van dit college blijken dat we deze ’vanzelfsprekendheid’ moeten herzien! Formules 2.1 en 2.2 zijn overigens ook volstrekt voor de hand liggend (en zullen we later ´o´ok moeten herzien!): als een fietser zich met snelheid Vx over een weg beweegt (stelsel S) en een voetganger (stelsel S 0 ) zich met een snelheid v in dezelfde richting over die weg 0 beweegt, dan beweegt de fietser t.o.v. de voetganger met snelheid Vx = Vx − v. Gaan 0 fietser en voetganger even hard, d.w.z. Vx = v, dan is hun relatieve snelheid Vx = 0. D´it resultaat zullen we niet hoeven te herzien!

2.4

Versnelling

De versnelling is per definitie de afgeleide van de snelheid naar de tijd : ax ≡

dVx dt

Omdat v constant is is nu gemakkelijk na te gaan dat: 0

ax = ax

(2.4)

0 Versnellingen, en dus krachten (F¯ = m¯ a), zijn dus gelijk in S en S . Meer in het algemeen 0 blijkt dat de wetten van de mechanica er hetzelfde uitzien in S en S . Als we hier even over nadenken is dit een heel bevredigend en gewenst resultaat. Het zou een onaantrekkelijk idee zijn dat de natuurwetten zouden afhangen van de ’toevallige’ bewegingstoestand van de natuurkundige die deze wetten opspoort.

Formules 2.1 en 2.2 staan bekend als de Galileitransformatie. Met behulp van deze formules kunnen we dus co¨ordinaten gemeten in het ene co¨ordinatenstelsel, transformeren naar co¨ordinaten in het andere co¨ordinatenstelsel. Wiskundig gezien is deze transformatie heel eenvoudig, maar natuurkundig gezien is de observatie dat de wetten van de mechanica hun vorm behouden (’gelijk blijven’) van diepgaande betekenis. We zouden het als volgt kunnen formuleren: natuurkundig gezien zijn alle co¨ordinatenstelsels 1 equivalent. Of nog anders: er is geen co¨ordinatenstelsel dat onze voorkeur verdient. Laten we nu deze stelling eens ter discussie stellen. 1

We beperken ons in dit college tot co¨ ordinatenstelsels die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen.

8

2.5

HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE

Voorkeurstelsel

Is er een co¨ordinatenstelsel dat onze voorkeur verdient? Golven, zoals geluidsgolven, bestaan dankzij een medium. Geluidsgolven zijn niets anders dan een periodieke opeenvolging van verdikkingen en verdunningen van het medium lucht. Voor golfverschijnselen blijkt er wel degelijk een co¨ordinatenstelsel te bestaan dat onze voorkeur verdient: het co¨ordinatenstelsel ten opzichte waarvan het medium in rust is. Niet alleen is de vergelijking die de plaats- en tijdsafhankelijkheid van de geluidsgolf (dus in feite van de luchtdruk) beschrijft - de wiskundige formulering slaan we over- het eenvoudigst in dit ’voorkeurs-co¨ordinatenstelsel’, de vergelijking ziet er na een Galileitransformatie wezenlijk anders uit. Strikt genomen is er in dit specifieke voorbeeld nog steeds niets aan de hand, want de mechanische wetten die op microscopische schaal geluidsgolven beschrijven voldoen nog steeds aan de eerder genoemde Galilei-invariantie. Een ander golfverschijnsel liet zich niet zo gemakkelijk verklaren.

2.6

Elektromagnetische golven

De theorie van elektromagnetische verschijnselen, waar in de inleiding van deze syllabus reeds naar verwezen werd, zal in de verdere opleiding nog uitgebreid aan de orde komen. De theorie is gebaseerd op de zogenaamde Maxwell-vergelijkingen die aan het eind van de 19e eeuw reeds bekend waren. We gaan hier niet op de details in, maar vermelden dat de Maxwell-vergelijkingen als oplossingen hebben: elektromagnetische golven die zich voortplanten met een bepaalde snelheid c (die we alleen maar te weten kunnen komen door te meten). De eenvoudigste oplossing is een vlakke golf: wat zich als een golf voortbeweegt is een elektrisch veld E en, loodrecht daarop, een magnetisch veld B: E

voortplantingsrichting (snelheid c) B

Figuur 2.3: Elektromagnetische golf

Radiogolven, lichtgolven, R¨ontgenstralen zijn allemaal voorbeelden van elektromagnetische golven, allemaal gekarakteriseerd door dezelfde voortplantingssnelheid c (waarin

2.6. ELEKTROMAGNETISCHE GOLVEN

9

verschillen ze?). c is experimenteel bepaald : c = 299792458 m/s

(ongeveer 300000 km/s = 3 · 108 m/s) De vraag die de natuurkunde zich stelde in de periode v´o´or Einstein was: wat is het medium waarin elektromagnetische golven, zoals lichtgolven, zich bewegen? Het ’natuurlijke’ co¨ordinatenstelsel om elektromagnetische verschijnselen te beschrijven is dan het co¨ordinatenstelsel ten opzichte waarvan dit medium in rust is. Zoals Einstein zou laten zien was dit de verkeerde vraag, zo’n medium (’de ether’) bestaat eenvoudigweg niet! We komen er op terug.

10

HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE

Hoofdstuk 3 Lorentztransformatie De eerste laboratorium-metingen van de lichtsnelheid stammen uit 1849 en werden uitgevoerd door Fizeau. Ook toonde hij aan dat de lichtsnelheid in een snelstromende vloeistof, zeg met snelheid v in de voortplantingsrichting van het licht, NIET toeneemt tot c + v zoals op basis van de Galileitransformatie verwacht zou worden. Beroemde experimenten van Michelson en Morley om de beweging van de aarde door een stilstaande ether aan te tonen leverden een negatief resultaat op. De lichtsnelheid werd in twee loodrecht op elkaar staande richtingen gemeten: indien de aarde door een stilstaande ether beweegt zouden voor de snelheid van het licht in de twee richtingen verschillende waarden gemeten moeten worden. Er werd geen verschil gevonden. Einstein zette een rigoureuze stap. Hij was ervan overtuigd dat er een relativiteitsprincipe moest bestaan dat zowel gold voor mechanica als voor elektromagnetisme, maar dat de Galileitransformatie niet het antwoord was. Einsteins relativiteitstheorie is gebaseerd op twee postulaten: 1. Het relativiteitsprincipe De natuurwetten en de resultaten van alle experimenten uitgevoerd in een zeker referentiestelsel zijn onafhankelijk van de translatiebeweging van het systeem. 1 In 0 de woorden van Einstein: als co¨ordinatenstelsel S met constante snelheid rechtlijnig beweegt t.o.v. co¨ordinatenstelsel S dan verlopen natuurkundige verschijnselen t.o.v. 0 S volgens precies dezelfde natuurwetten als t.o.v. S. 2. Constantheid van de lichtsnelheid De lichtsnelheid is eindig en onafhankelijk van de bewegingstoestand van de lichtbron. Het is de limietsnelheid voor natuurkundige objecten. (In dit tweede postulaat wordt impliciet aangenomen dat de lichtsnelheid als fundamentele natuurconstante 1

We gebruiken de woorden referentiestelsel en co¨ordinatenstelsel door elkaar. De hier bedoelde equivalente co¨ordinatenstelsels worden ook wel inertiaalstelsels genoemd: dat zijn dus referentiestelsels waarin dezelfde krachten werken, c.q. ’waarop’ geen krachten werken, cf 2.4

11

12

HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE een universele rol speelt en niet alleen van belang is voor verschijnselen waar licht bij betrokken is.)

3.1

De Lorentztransformatie

Het tweede postulaat is duidelijk in tegenspraak met de Galileitransformatie en het is nu onze taak een transformatie te vinden (het eerste postulaat zegt in feite dat die er moet zijn) die in overeenstemming is met het tweede postulaat. Deze transformatie is in 1905 door Einstein gevonden en is bekend geworden onder de naam Lorentztransformatie. De afleiding ervan is wiskundig gezien zeer eenvoudig, maar vereist, zoals we zullen zien, nogal wat hersengymnastiek.

3.2

Bolvormige lichtgolf

Een opmerkelijke consequentie van het tweede postulaat wordt ge¨ıllustreerd door het volgende gedachtenexperiment. Een persoon A bevindt zich in de oorsprong van co¨ordinaten0 0 stelsel S en een persoon B in de oorsprong van S . S beweegt t.o.v. S in de positieve 0 x-richting met snelheid v. Op t = 0 valt de oorsprong van S samen met die van S , d.w.z. vallen A en B samen. Op t = 0 ontsteekt A heel eventjes een lampje waardoor zich een bolvormige lichtgolf gaat uitbreiden. A bevindt zich in het middelpunt van de bolvormige golf. Een bol met straal R en de oorsprong van het co¨ordinatenstelsel als middelpunt wordt beschreven door de formule: x2 + y 2 + z 2 = R2 (t) Voor een lichtgolf die zich uitbreidt met snelheid c geldt na een tijd t: R = ct en dus: x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0

(3.1)

Precies dezelfde redenering kunnen we echter volgen voor persoon B. Ook B denkt zich in het midden van de bolvormige lichtgolf te bevinden, het tweede postulaat zegt immers 0 dat ook voor B het licht zich met snelheid c uitbreidt. Voor B, dus t.o.v. S , geldt nu geheel in analogie met hierboven : x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = 0

(3.2) 0

0

0

In ons specifieke voorbeeld (beweging in de x-richting) geldt x 6= x (y = y , z = z ) dus 0 moeten we wel concluderen t 6= t (Aftrekken van 3.1 en 3.2 levert x2 − x02 = c2 (t2 − t02 )

3.3. EENVOUDIGE AFLEIDING

13

ct vt B

A A,B t=0

tijd t, zoals A het ziet

ct’

vt’ A

B

tijd t’, zoals B het ziet

Figuur 3.1: Bolvormige lichtgolf

en dus t2 − t02 6= 0) . We komen tot de verrassende conclusie dat de tijd voor B anders verloopt dan voor A! Bij elk referentiestelsel hoort niet alleen een eigen plaatsmeting maar ook een eigen tijdmeting. Hoe plaats en tijd van een bepaald natuurkundig verschijnsel zoals geldend in 0 S worden uitgedrukt in plaats en tijd van hetzelfde verschijnsel t.o.v. S wordt gegeven door de Lorentztransformatie, die we nu zullen afleiden. In elk geval weten we al (zie boven) dat zal moeten gelden: 02

02

02

2

02

x + y + z − c2 t = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2

(3.3)

We zeggen dat de grootheid x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 invariant is onder Lorentztransformaties.

3.3 3.3.1

Eenvoudige afleiding pagina 1 0

0

We defini¨eren co¨ordinatenstelsels S en S weer als voorheen: S beweegt t.o.v. S met 0 constante snelheid v in de positieve x-richting. Op t = t = 0 valt de oorsprong van Strikt genomen kunnen we op dit moment alleen concluderen dat x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = K(x2 + y + z 2 − c2 t2 ) met K een constante. Het zal blijken dat K = 1. 2

2

14

HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE 0

S samen met die van S . Een lichtflits, uitgezonden in de positieve x-richting, bevindt 0 0 zich op plaats x = ct, d.w.z. x − ct = 0. T.o.v. S geldt x0 − ct = 0 (zelfde c, tweede postulaat!). Aan beide vergelijkingen wordt voldaan als geldt; 0

0

x − ct = λ(x − ct)

(3.4)

waar λ een constante is die we nog moeten bepalen. We kunnen uiteraard dezelfde redenering volgen voor een lichtflits die wordt uitgezonden in de negatieve x-richting. Dan vinden we dat moet gelden: 0 0 x + ct = µ(x + ct) (3.5) Ook µ is een nog nader te bepalen constante. Optellen resp. aftrekken van 3.3 en 3.5 levert: λ−µ λ+µ 0 x = x− ct 2 2 0

ct =

λ+µ λ−µ ct − x 2 2

We defini¨eren twee nieuwe constanten, a = λ+µ en b = 2 vergelijkingen: 0 x = ax − bct 0

ct = act − bx

λ−µ 2

en verkrijgen de overzichtelijke (3.6) (3.7)

waar we nog steeds als taak hebben om a en b te bepalen (d.w.z. uit te drukken in v, de parameter die de transformatie defini¨eert.)

3.3.2

pagina 2 0

Voor de oorsprong van S geldt t.o.v. S: x = vt 0

en t.o.v. S uiteraard: 0

x =0 Invullen in 3.6 levert dan dat moet gelden: b v= c a

(3.8)

Nu gebruiken we het relativiteitsprincipe in de volgende redenering: een meetlat die langs 0 0 de x -as ligt, in rust t.o.v. S , heeft, gezien vanuit S dezelfde lengte als diezelfde meetlat, 0 gelegen langs de x-as, in rust t.o.v. S, gezien vanuit S !

3.3. EENVOUDIGE AFLEIDING

15

v S

S’

x’ Figuur 3.2: Meetlat

• Observatie 1 0 Op een zekere tijd t in S kunnen we dus de lengte van de meetlat t.o.v. S bepalen, bijvoorbeeld op t = 0. We vinden dan met behulp van 3.6: 0

x = ax • Observatie 2 0 Omgekeerd vinden we op t = 0, m.b.v. 3.6 en 3.7 en gebruikmakend van 3.8: 0

x = a(1 −

v2 )x c2

Wanneer we zeggen dat de lengte van de meetlat l0 is, dan bedoelen we: de lengte is l0 in 0 het systeem waarin de meetlat in rust is. Observatie 1 (meetlat in rust in S gefotografeerd vanuit S) leert dan: l0 = al waar l dus de lengte t.o.v. S is, d.w.z. ten opzichte van het co¨ordinatenstelsel waarin de 0 lat beweegt. Observatie 2 (S gefotografeerd vanuit S ) levert op: l = a(1 −

v2 )l0 c2

Het combineren van deze resultaten levert dan het volgende resultaat op: 1

a= q

1−

v2 c2

16

3.3.3

HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE

pagina 3

Degenen die achterdochtig worden van deze nogal veel woorden kostende afleiding vinden de volgende beschouwing misschien eleganter. We pikken de afleiding op na formule 3.8 en schrijven 3.6 en 3.7 als : 0

x = a(x − vt)

(3.9)

v 0 ct = a(ct − x) c

(3.10)

0

Bovenstaande transformatie geldt als S beweegt in de positieve x-richting, dus met snel0 heid +v, t.o.v. S. Maar we kunnen ook S als rustsysteem kiezen en S als het bewegende 0 systeem zien dat t.o.v. S naar links beweegt, d.w.z. met snelheid −v. De inverse transformatie wordt dan onmiddellijk uit de bovenstaande verkregen door ’accenten te verwisselen’ (de accenten slaan immers op het bewegende systeem en die rol wordt nu overgenomen door S) en door v te vervangen door −v. Dit levert: 0

0

x = a(x + vt )

(3.11)

v 0 0 ct = a(ct + x ) c

(3.12)

(Merk op dat deze redenering alleen correct is als a ongevoelig is voor het teken van v. Gelukkig blijkt dat zo te zijn volgens het eerste postulaat.) Indien we 3.11 en 3.12 0 gebruiken om t in t en x uit te drukken en het resultaat vervolgens vergelijken met 3.10 vinden we 1 a= q 2 1 − vc2 Aldus hebben we de Lorentztransformatie gevonden: x − vt 0 x =q 2 1 − vc2 t − xv 2 t =q c 2 1 − vc2 0

In ons specifieke geval, relatieve beweging langs de x-as, geldt verder 0

y =y 0

z =z Ga nu na dat formule 3.3 inderdaad klopt.

3.4. NOTATIE

3.4

17

Notatie

In de literatuur wordt vaak de volgende notatie gebruikt: β =

v c

en γ =

q 1 2 1− v2

. De

c

Lorentztransformatie wordt dan: 0

x = γ(x − βct) 0

ct = γ(ct − βx)

(3.13) (3.14)

De inverse Lorentztransformatie wordt dan 0

0

x = γ(x + βct ) 0

0

ct = γ(ct + βx )

(3.15) (3.16)

De ruimte-tijd symmetrie, d.w.z. de verwevenheid van x en ct, de volstrekt gelijkwaardige rol van beide grootheden, is in deze notatie heel duidelijk.

3.5

Viervectoren

Natuurkundige verschijnselen spelen zich dus af in een vierdimensionale wereld : 3 drie ruimte dimensies en een tijd dimensie die nauw verweven zijn. Een ’plaats’ in deze vierdimensionale wereld wordt dus aangegeven door vier getallen, een vierdimensionale vector: (x, y, z, ct). Deze vector transformeert onder Lorentztransformaties volgens de formules die we zojuist gevonden hebben. Zo’n vector noemen we een viervector. De norm (’grootte’ in deze speciale ruimte) van de viervector is gelijk aan x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 en is invariant onder Lorentztransformaties. Later zullen we zien dat impuls en energie ook een viervector vormen.

3

Moderne en uit theoretisch oogpunt aantrekkelijke natuurkundige theori¨en (’string theories’) hebben aan vier dimensies niet genoeg.

18

HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE

Hoofdstuk 4 Consequenties van de Lorentztransformatie 4.1

Tijddilatatie

We zullen nu enkele consequenties, of toepassingen zo men wil, van de Lorentztransformatie bespreken. spiegel

spiegel

spiegel

spiegel

t=0

’tik’, t=t1

Figuur 4.1: Een lichtklok 0

0

Beschouw een klok die we plaatsen in de oorsprong van S : voor deze klok geldt dus x = 0 en in systeem S (zie formule. 3.13) x = βct(= vt). Indien we dit invullen in formule. 3.14 vinden we: 0 ct = γ(ct − β 2 ct) 0

t = γt(1 − β 2 ) t γ

(4.1)

t = γt0

(4.2)

0

t =

19

20 γ=

HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE q 1 2 1− v2

0

> 1 en dus t < t. Met andere woorden: indien in systeem S 1 seconde voorbij

c

is dan is voor de bewegende klok minder dan 1 seconde verlopen: bewegende klokken lopen langzamer! Dat dit werkelijk zo is is experimenteel uit en te na aangetoond. We zullen er verderop kort op terugkomen. Er is een eenvoudige manier om formule. 4.1, die de tijddilatatie beschrijft, af te leiden. Hiertoe defini¨eren we de lichtklok: twee parallelle spiegels waar een lichtflits tussen heen en weer kaatst (figuur 4.1). Elke weerkaatsing defini¨eert een ’tik’ van de klok. spiegel

spiegel

spiegel

spiegel

t=0

’tik’, t=t1> t 2

Figuur 4.2: Bewegende lichtklok

Laat zien dat een klok, bewegend als in figuur 4.2, ’tikt’ als gegeven door formule. 4.1

4.2

Lorentzcontractie

We bekijken nu een bewegende stok, zoals we in feite al gedaan hebben bij het afleiden van de Lorentztransformatie. De stok heeft t.o.v. het co¨ordinatenstelsel waarin hij in rust is een lengte l0 . Wat is dan de lengte t.o.v. het co¨ordinatenstelsel waarin hij beweegt? 0 0 Wij nemen een stok die langs de x -as ligt, met het linker uiteinde in de oorsprong van S 0 0 en die in rust is t.o.v. S . Voor de x -co¨ordinaat van het rechter uiteinde geldt dus: 0

xR = l0 en voor het linker uiteinde geldt: 0

xL = 0 De overeenkomstige x-co¨ordinaten in S volgen uit 3.15: 0

xR = γ(l0 + βctR ) 0

xL = γβctL De lengte l t.o.v. S is: l = xR − xL

4.3. NIET-RELATIVISTISCHE LIMIET

21 0

0

l = γ{l0 + βc(tR − tL )}

(4.3)

Het is heel belangrijk dat we ons realiseren dat de lengte l t.o.v. S gelijk is aan xR − xL , waar xR en xL op dezelfde tijd t.ov. S bepaald worden, dus tR = tL . Met behulp van 3.14 volgt dan: 0 ctR = γ(ctR − βxR ) 0

ctL = γ(ctL − βxL ) Aftrekken van de vergelijkingen levert: 0

0

c(tR − tL ) = −γβ(xR − xL ) = −γβl Dit resultaat vullen we in in 4.3 en we vinden: l = γ(l0 − γβ 2 l) l(1 + β 2 γ 2 ) = γl0 Aangezien γ 2 =

1 1−β 2

(definitie) volgt nu: l=

l0 γ

(4.4)

l is dus kleiner dan l0 : de bewegende stok is korter! Het in formule 4.4 weergegeven resultaat staat bekend onder de naam Lorentz-contractie.

4.3

Niet-relativistische limiet

We zien dat wanneer v  c de Lorentz-factor γ =

r

1 2 1− v2

vrijwel gelijk is aan 1 en

c

relativistische effecten geen rol van betekenis spelen. Een voertuig met een lengte van 4 m dat met 100 km/uur beweegt is 2 · 10−18 m korter dan wanneer het in rust is. Dat is 0.2 % van de diameter van een proton...

4.4

Kosmische stralen

Onze atmosfeer wordt voortdurend gebombardeerd door kosmische straling. Kosmische stralen zijn deeltjes van vaak hoge energie die ons uit het heelal bereiken, o.a. (in feite voornamelijk) protonen 1 . Deze protonen raken stikstof- of zuurstofkernen op grote hoogte, tientallen kilometers boven het aardoppervlak. We weten dat bij die botsingen 1

Oorsprong, energiespectrum en samenstelling van kosmische stralen vormen interessante, nog lang niet opgehelderde onderwerpen van wetenschappelijk onderzoek.

22

HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE

o.a. muonen (symbool voor een muon: µ) geproduceerd worden. We weten 2 ook dat muonen in rust in ons laboratorium een (gemiddelde) levensduur hebben van τ = 2.2 µs = 2.2 · 10−6 s. Volgens de niet-relativistische formule zou een µ, zelfs als het met de lichtsnelheid c bewoog, slechts (gemiddeld) een afstand cτ = 659 m afleggen. We nemen de muonen echter op het aardoppervlak waar, dus ze reizen pakweg 30 km. Dus hun levensduur, gezien door een waarnemer op aarde, is een factor 30000 / 659 groter dan de levensduur in het rustsysteem van het muon. Dus: γ = 30000 / 659 = 45.5 waaruit volgt v = 0.9995 c. De muonen reizen dus vrijwel met de lichtsnelheid en leven dankzij de tijddilatatie lang genoeg om 30 km te overbruggen.

4.5

Tweelingparadox

De resultaten van de relativiteitstheorie kunnen aanleiding geven tot ’tegenstellingen’ die de theorie ter discussie stellen. Het gaat hier dan om schijnbare tegenstellingen, paradoxen, die ons er alleen maar voor waarschuwen dat de theorie zorgvuldig en correct ge¨ınterpreteerd dient te worden. Laten we als voorbeeld nemen: tijddilatie, ’bewegende klokken lopen langzamer’. 0 0 Vanuit S zien we een met S meebewegende klok langzamer lopen, vanuit S zien we een in S in rust zijnde klok langzamer lopen. 0 Dat lijkt in tegenspraak, wie heeft er nu gelijk, de waarnemer in S of die in S ? Natuurlijk hebben ze allebei gelijk en is er geen tegenspraak. Wanneer we twee klokken willen vergelijken moeten we dat in hetzelfde referentiestelsel op dezelfde plaats doen. Indien we de klokken uit het voorbeeld vervangen door leden van een tweeling, waarvan er ´e´en op aarde blijft en de ander vertrekt in een ruimteschip dan doet zich dezelfde situatie voor: beiden nemen waar dat de ander minder snel oud wordt en dat is volkomen in orde. Het ’probleem’ ontstaat wanneer de ruimtereiziger besluit om huiswaarts te keren om de andere helft van de tweeling te bezoeken. Dan blijkt de ruimtereiziger wel degelijk jonger te zijn. (Dit is geverifi¨eerd met aan boord van vliegtuigen vervoerde nauwkeurige klokken.) Maar: het omkeren van de ruimtereiziger is niet te beschrijven als een eenvoudige Lorentztransformatie, anders gezegd: het rustsysteem van de ruimtereiziger, 0 S , is geen inertiaalsysteem. Systeem S is dat wel en daarom is het correct de situatie vanuit S te beschrijven en in S is de ruimtereiziger inderdaad langzamer verouderd dan de achterblijver.

4.6

Minkowski-diagrammen

Een aardige manier om de Lorentztransformatie te illustreren is via zogenaamde Minkowskidiagrammen. Indien we het x−ct vlak voorstellen m.b.v. twee loodrecht op elkaar staande 2

Vakgebied : hoge-energiefysica

4.6. MINKOWSKI-DIAGRAMMEN

23 0

assen zoals in fig. 4.3 dan wordt in deze figuur de x -as beschreven door een lijn die volgt 0 uit de eis ct = 0, dus (zie formule 3.14.) ct = βx, m.a.w. door een lijn met rich0 tingsco¨effici¨ent β. Op analoge wijze vinden we de lijn die de ct as beschrijft uit de eis 0 x = 0, dus (zie formule 3.13.) x = βct, of ct = βx . Dit is een lijn met richtingsco¨effici¨ent 0 0 1 . D.w.z. de x -as maakt met de x-as een hoek α z´o, dat tgα = β en de ct -as maakt met β de ct-as dezelfde hoek α zoals in figuur 4.3 (Ga na.). ct

ct’ lichtkegel: x=ct

B x’ A

α α −βγ

x

Figuur 4.3: Minkowski diagram

In figuur 4.3 is ook aangegeven de lijn x = ct: de relatie tussen plaats en tijd voor een lichtstraal. Deze lijn wordt ook wel als de lichtkegel aangeduid. Twee ’gebeurtenissen’ A en B worden verbonden door een zogenaamde wereldlijn. De lijn AB in figuur 4.3 zou een eenparig bewegend deeltje kunnen voorstellen. Verder is in de figuur aangegeven 0 0 hoe het punt (x, ct) = (0, 1) transformeert naar (x , ct ) = (−βγ, γ). (Ga na m.b.v. de Lorentztransformatie.) Minkowski-diagrammen illustreren op heldere wijze allerlei kwalitatieve eigenschappen van de Lorentztransformatie, zoals de betrekkelijkheid van het begrip gelijktijdigheid (ga na) e.d. In zeker zin zijn deze diagrammen echter ook verraderlijk, omdat de meetkunde van ruimte-tijd niet dezelfde is als de meetkunde van depruimte alleen. In het bijzonder is de grootte van een plaatsvector ~r = (x, y, z)pgelijk aan x2 + y 2 + z 2 . De grootte van de ruimte-tijd vector ~r = (x, y, z, ct) is echter x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 . Deze grootte wordt dus berekend volgens een andere metriek. Om dit te ondervangen zette Minkowski zelf niet ct maar ict op de tijdas uit ((ict)2 = −c2 t2 ). Dan is de standaard metriek te gebruiken. Deze truc is echter niet altijd vol te houden. We zullen de discussie hier niet verder voeren.

24

HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE

Hoofdstuk 5 Optellen van snelheden 5.1

Volgens de Galileitransformatie y

y’

S

S’

v

V’

x

x’

Figuur 5.1:

Stel een snelheid snelheid

object heeft een snelheid V~ 0 t.o.v. referentiestelsel S 0 . S 0 beweegt t.o.v. S met v in de positieve x-richting (zie figuur 5.1). T.o.v. S beweegt dit object met ~ V en de vraag is nu: wat is de samenhang tussen V~ 0 en V~ ?

Volgens de Galileitransformatie is het antwoord simpel : Vx0 = Vx − v Vy0 = Vy Vz0 = Vz 25

26

HOOFDSTUK 5. OPTELLEN VAN SNELHEDEN

We hebben echter gezien dat de Galileitransformatie niet in overeenstemming is met de relativiteitstheorie. Daarom gaan we uit van de Lorentztransformatie om de correcte formules voor de snelheidtransformatie te vinden.

5.2

Volgens de Lorentztransformatie

Per definitie geldt: Vx0

dx0 = 0 dt

Vul nu in (formule 3.13): x0 = γ(x − βct) dan vinden we: Vx0 = γ

dx dt − βγc 0 0 dt dt

Verder geldt (’kettingregel’): dx dx dt = 0 dt dt dt0 en dus vinden we: Vx0 = (γ

dt dx − βγc) 0 dt dt

en aangezien Vx =

dx dt

wordt dit Vx0 = (γVx − βγc)

dt dt0

(5.1)

Nu gebruiken we (formule 3.16): ct = γ(ct0 + βx0 ) waaruit volgt: βγ 0 dt =γ+ V 0 dt c x invullen hiervan in formule 5.1 levert dan: Vx0 =

Vx − βc 1 − βc Vx

Merk op, dat als Vx = c we vinden dat ook Vx0 = c. We kunnen een lichtstraal dus niet inhalen, geheel en al in overeenstemming met het eerste postulaat!

5.2. VOLGENS DE LORENTZTRANSFORMATIE

27

Ook Vy0 en Vz0 blijken (anders dan y 0 en z 0 ) onder een Lorentztransformatie in de x-richting te veranderen: Vy0 =

dy 0 dy dy dt = = dt0 dt0 dt dt0

= Vy (γ +

βγ 0 V ) c x

Hieruit vinden we m.b.v. de transformatieformule voor Vx0 hierboven: Vy0 =

Vy γ(1 − βc Vx )

Vz0 =

Vz γ(1 − βc Vx )

en net zo:

28

HOOFDSTUK 5. OPTELLEN VAN SNELHEDEN

Hoofdstuk 6 Lorentztransformatie van impuls en energie 6.1

Impuls

Een ’object’, denk voor het gemak aan een puntmassa, met massa m en snelheid ~v heeft, per definitie, een impuls p~ = m~v Een belangrijke reden om de grootheid impuls in de mechanica in te voeren is het feit dat impuls een behouden grootheid is. Dit betekent dat een mechanisch systeem dat aan zijn lot overgelaten wordt (een enkel deeltje; twee botsende deeltjes; het heelal) of iets preciezer geformuleerd: een gesloten 1 mechanisch systeem steeds dezelfde impuls heeft.

6.1.1

Elastische botsing

We bekijken als voorbeeld twee elastisch botsende puntmassa’s ieder met massa M zoals aangegeven in figuur 6.1. In systeem S 0 dat met puntmassa 2 mee beweegt in de x-richting ziet de situatie er uit als in figuur 6.2 In systeem S betekent impulsbehoud: {px (1) + px (2)}voor = {px (1) + px (2)}na {py (1) + py (2)}voor = {py (1) + py (2)}na 1

D.w.z. niet wisselwerkend met de omgeving.

29

30

HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE S y

y

S

1

1

vvoor

vy

vx

2

na botsing

voor botsing

- vy

vna

vx

2

x

x

Figuur 6.1: Botsende deeltjes in S

y’

S’ v

y’

S’ v’

x

x

1

-v’(1) y

v’(1) y

-v’(1) x v’(2) y

-v’(1) x

1

2

-v’(2) y

voor botsing

na botsing

2

x’

x’

Figuur 6.2: Botsende deeltjes in rustsysteem S’ van deeltje 2 (zie fig. 6.1)

(We hebben ons voorbeeld z´o gekozen dat de totale impuls in zowel de x-richting als de y-richting gelijk is aan 0.) Uit impulsbehoud volgt dat de impulsverandering van puntmassa 1 gelijk is in grootte en tegengesteld in richting aan de impulsverandering van puntmassa 2: px (1)voor − px (1)na = −(px (2)voor − px (2)na ) py (1)voor − py (1)na = −(py (2)voor − py (2)na ) In S 0 moet impulsbehoud ook gelden (2de postulaat). In de x-richting geldt dit zonder meer: zowel de impulsverandering van 1 als 2 is nul. In de y-richting lijken we echter op een probleem te stuiten. M.b.v. de transformatieformules voor de snelheid vinden we: r −v vx2 y vy0 (1) = 1 − (6.1) 2 c2 1 + vx2 c

vy0 (2) =

vy 1−

vx2 c2

r

1−

vx2 c2

(6.2)

6.1. IMPULS

31

Indien we de impuls weer defini¨eren als M vy0 (1) resp. M vy0 (2) dan zien we dat de impulsverandering van puntmassa 1, 2M vy0 (1), niet gelijk is in grootte aan die van puntmassa 2, 2M vy0 (2). M.a.w. impulsbehoud impliceert dat we onze definitie van impuls moeten herzien!

6.1.2

Nieuwe definitie impuls

We zien dat de Lorentztransformatie in de x-richting de snelheid in de y-richting doet veranderen en dat is de bron van onze ’moeilijkheden’. We proberen nu een definitie van impuls te vinden z´o dat een transformatie in de x-richting de impuls in de y-richting onveranderd laat. Terugkerend naar ons voorbeeld willen we dus: p0y (2) = py (2) We schrijven formeel (het is maar een poging): M20 vy0 (2) = M2 vy en invullen van 6.2 levert nu: M20

r

vx2 c2

(6.3)

1 + vcx2 =q M1 vx2 1 − c2

(6.4)

= M2

1−

Een analoge redenering voor puntmassa 1 levert: 2

M10

We zien dus dat een correcte definitie van impuls de volgende vorm zal hebben: p = fs M v waar fs een kinematische factor is die samenhangt met het referentiesysteem waarin we kijken, M de massa is en v de snelheid. Hierdoor ge¨ınspireerd schrijven we nu: M20 = aM M2 = bM M10 = qM M1 = rM Omdat de puntmassa’s 1 en 2 t.o.v. S in feite dezelfde beweging uitvoeren (’verwisselbaar zijn’) zal moeten gelden b = r.

32

HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE

Maken we nu gebruik van 6.3 en 6.4 dan zien we: r

1−

a = b

vx2 c2 2

1 + vx2 q = bq c 2 1 − vcx2 Dit zijn twee vergelijkingen met drie onbekenden en zonder extra inspiratie kunnen we niet verder komen dan: r v2 M20 = b 1 − 2x M c M2 = bM 2

M10

1 + vx2 = bq c M 2 1 − vcx2

M1 = bM We zouden de massa nu kunnen herdefini¨eren als M = bM maar dat is onbevredigend want dan zou M de massa zijn zoals die geldt in systeem S en we willen de massa defini¨eren als een eigenschap van een object (deeltje), onafhankelijk van de bewegingstoestand.

6.1.3

Definitie relativistische impuls

Zonder een meer volledige beschouwing, waarin we ook energie betrekken, zitten we vast. We gaan daarom een redelijke gok maken van b en laten zien dat deze gok in overeenstemming is met een consistente definitie van impuls en energie. Bekijk nog eens: M1 = M2 = bM b hangt af van v (niet van de richting van v) en we vermoeden dat b → 1 als v → 0, of liever vc → 0. Hier is onze gok (weliswaar met voorkennis....): 1

b= q

1−

vx2 +vy2 c2

Dit leidt tot de definitie van relativistische impuls: M~v

p~ = q

1−

(6.5) v2 c2

6.2. ENERGIE

33

M.a.w. een massa M met snelheid ~v = (vx , vy , vz ), dus v 2 = vx2 + vy2 + vz2 , heeft een impuls als in formule 6.5 aangegeven. Als vc → 0 is p~ = M~v . Voor de grootte van de impuls geldt dus: Mv p= q 2 1 − vc2 of p = M βγc

6.2

(6.6)

Energie

Net als impuls (px , py , pz ) blijkt het mogelijk een andere fundamentele, behouden grootheid te defini¨eren, de energie. Zo is de energie van een vrij bewegende puntmassa M en snelheid v, in de niet-relativistische mechanica gelijk aan 21 M v 2 , ook wel de kinetische energie genoemd. Indien we ook energiebehoud willen laten gelden onafhankelijk van het referentiestelsel waarin we kijken, dan moet ook de definitie van energie herzien worden en natuurlijk ook weer z´o, dat in de limiet vc → 0 de formule 12 M v 2 teruggevonden wordt. We zullen hier geen poging doen de goede formule ’af te leiden’ maar, omgekeerd, de goede formule aan de litteratuur ontlenen en aantonen dat ze werkt. 2 We schrijven: M c2 E=q 2 1 − vc2 of E = M γc2 Indien

v c

(6.7)

 1 dan geldt: 1 q

1−

v2 c2

v2 ∼ =1+ 2 2c

en in de niet-relativistische limiet vinden we dus: 1 E = M c2 + M v 2 2 Dit is precies de bekende kinematische energie plus een constante, M c2 . (Energiebehoud wordt door dergelijke constanten uiteraard netjes in tact gelaten.) 2

De oorspronkelijke afleiding van Einstein maakt gebruik van elementaire maar in dit stadium van het curriculum nog niet behandelde theorie van elektrodynamica.

34

6.3

HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE

De impuls-energie viervector

Het is nu gemakkelijk om na te gaan hoe impuls en energie transformeren onder een Lorentztransformatie. Een puntmassa heeft een impuls p~ (snelheid ~v ) en energie E in S. S 0 beweegt met snelheid V (het symbool v is al vergeven aan de snelheid van de puntmassa t.o.v. S) in de positieve x-richting t.o.v. S. T.o.v. S 0 zijn impuls p~0 en energie E 0 dan: p0x = γ(px − β

E ) c

p0y = py p0z = pz E0 E = γ( − βpx ) c c waar γ =

q 1 2 1− V 2

= √1

c

1−β 2

Merk op, dat dit precies dezelfde transformatie is als die van (~r, ct) met de rol van ~r overgenomen door p~ en die van ct door Ec . Net zoals c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 = c2 t02 − x02 − y 02 − z 02 , d.w.z. c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 invariant is onder Lorentztransformaties, geldt dit nu ook voor E2 E 02 2 2 2 02 02 − p − p − p = − p02 x y z x − py − pz c2 c2 Uitrekenen levert: E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2 = M 2 c4 of M c2 =

6.4

p

E 2 − p~2 c2

Energie en massa

Voor een deeltje in rust geldt dus de beroemde formule E = M c2 Een spectaculaire consequentie van deze ’equivalentie van massa en energie’ is dat massa, in principe, in energie kan worden omgezet.

6.5. MASSALOZE DEELTJES

6.5

35

Massaloze deeltjes

We zien dat de relativiteitstheorie massaloze deeltjes toelaat: E = pc leidt tot M =0 Aangezien uit formules 6.6 en 6.7 volgt dat p=

E β c

(ga na) geldt voor massaloze deeltjes dus: p=

pc β = pβ c

Hieruit volgt dat β = 1, dus v = c. M.a.w. massaloze deeltjes bewegen met de lichtsnelheid.

36

HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE

Hoofdstuk 7 Toepassingen 7.1

Kernfusie en Kernsplijting

Wanneer een proton p en een neutron n bij elkaar gebracht worden kunnen ze een verbinding aangaan en een kern van deuterium (’zwaar waterstof’) d vormen. De massa’s van p, n, en d zijn nauwkeurig gemeten: mp = 938.27231 MeV/c2 mn = 939.56563 MeV/c2 md = 1875.61339 MeV/c2 De gebruikte eenheid, MeV/c2 , verdient een nadere toelichting. Uit de relatie E = mc2 volgt dat massa kan worden uitgedrukt in eenheden van energie gedeeld door c2 , een constante. In ’MKSA’ eenheden is de eenheid van energie de Joule, maar het is ook mogelijk - en in de hoge-energiefysica gebruikelijk - de elektronvolt, eV, te kiezen. Een elektronvolt is de hoeveelheid energie die een eenheidslading oppikt bij het doorlopen van een potentiaalverschil van 1 Volt. De eenheidslading (lading van het elektron) is gelijk aan 1.6 · 10−19 Coulomb, dus 1 eV = 1.6 · 10−19 J, 1 MeV = 106 eV.

Voor:

Na:

p

n

d

gamma

Figuur 7.1: Omdat de massa van het deuteron (= deuteriumkern) kleiner is dan de som van de massa’s van de samestellende delen, proton en neutron, moet er bij de vorming van het deuteron 37

38

HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN

dus energie zijn vrijgekomen! Indien p en n bij elkaar gevoegd worden met verwaarloosbare snelheid, dan moet gelden dat de energie die vrijkomt gelijk is aan E = m p c2 + mn c2 − md c2 = 2.22455 MeV Deze energie komt vrij in de vorm van een foton: p+n→d+γ (Een foton is massaloos; het is een kwantum van het elektromagnetische veld; cf. fotoelectrisch effect.) Strikt genomen komt niet alle ’ontbrekende massa’ ten goede aan de energie van het foton. Zelfs als v´o´or de reactie p en n t.o.v. elkaar in rust zijn, zal na de reactie het γ wegschieten (met de lichtsnelheid) en om impulsbehoud te garanderen moet d in tegengestelde richting bewegen, met dezelfde impuls (zie figuur 7.1). Door de grootte van de d massa is dep met deze impuls samenhangende energie erg klein. (Immers, indien 2 pc  mc , dan E = p2 c2 + m2 c4 ' mc2 ). De hierboven besproken reactie is een voorbeeld van kernfusie. Meer in het algemeen blijkt dat lichte kernen kunnen samensmelten tot zwaardere terwijl er, net als in het voorbeeld hierboven, energie vrijkomt. Alle kernen tot en met ijzer kunnen op deze manier via fusie met ’energiewinst’ geproduceerd worden (cf. het ’opbranden’ van sterren). Omgekeerd blijken zwaardere kernen (een bekend voorbeeld is Uranium) zwaarder te zijn dan de ’som der delen’ en komt er bij splijting van deze kernen energie vrij.

7.2

Annihilatie

In 1932 werd door Anderson in kosmische stralen een nieuw deeltje ontdekt, met een massa gelijk aan die van het elektron, maar met tegengestelde en dus positieve, lading: het positron (e+ ). Het positron is het anti-deeltje van het elektron. Een precieze omschrijving van het begrip anti-deeltje vereist een voltooide academische natuurkunde-opleiding en meer, hier volstaan we met de vaststelling dat e+ en e− elkaar kunnen ’annihileren’ tot twee (massaloze!) fotonen: e+ + e− → γ + γ (Vraag: Waarom kan de reactie e+ + e− → γ, d.w.z. annihilatie naar ´e´en foton niet plaatsvinden?). Indien het ’annihilatie in rust’ betreft zal gelden Eγ1 = Eγ2 = me c2 (= 511 keV), waar Eγ1,2 de energie van de fotonen is en me de elektronmassa (= positronmassa).

7.3. PAARCREATIE

7.3

39

Paarcreatie

Omgekeerd is het ook mogelijk dat een foton een elektron-positron paar cre¨eert (’paarcreatie’): γ + Z → e+ + e− + Z Z staat hier voor een atoomkern. Een foton kan niet spontaan in een e+ e− -paar vervallen, maar heeft een ander object nodig om mee te wisselwerken. Dit object moet elektrisch geladen zijn, anders ’voelt’ het foton het niet. De wisselwerking is nodig, omdat het proces γ → e+ e− alleen, energie- en impulsbehoud schendt.

7.4

Het relativistische Doppler-effect

Wanneer een geluidsbron zich naar ons toe beweegt zal de toonhoogte toenemen in vergelijking met de situatie waarin de bron in rust is. Van een zich verwijderende geluidsbron is de toonhoogte juist lager. Dit ’Doppler-effect’ is gemakkelijk te verklaren. De opgewekte geluidsgolven zijn niets anders dan elkaar opvolgende verdikkingen en verdunnigen van de lucht. Beweegt de bron naar ons toe dan volgen deze verdikkingen en verdunnigen elkaar sneller op, de geluidsgolf heeft dus een hogere frequentie (hogere toonhoogte) en voor een zich verwijderende bron geldt precies het omgekeerde. We hebben gezien dat voor lichtgolven geen medium bestaat en dat de lichtsnelheid constant is. Toch is wel degelijk vast te stellen of een gegeven lichtbron 1 zich t.o.v. ons beweegt of niet. We hebben gezien dat voor licht per definitie de relatie E = pc moet gelden (Deze relatie geldt immers als v = c.). De Lorentztransformatie voor een lichtstraal die zich in de x-richting beweegt ziet er dan als volgt uit (ga na): E 0 = γ(1 − β)E Dit kunnen we ook schrijven als: E0 =

s

1−β E 1+β

D.w.z. in co¨ordinatenstelsel S 0 dat met snelheid βc in de richting van de lichtstraal meebeweegt is de qenergie van de lichtstraal kleiner (het licht is verschoven naar het rood) met een factor

1−β , 1+β

Omgekeerd, bewegen we met snelheid βc naar een lichtbron toe, q dan neemt de energie van het licht toe met een factor 1+β (het licht is verschoven naar 1−β het violet). Met behulp van de relatie E = hν (de energie van een lichtquantum, een 1

D.w.z. een lichtbron met een in het rustsysteem van die lichtbron gegeven frequentie.

40

HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN

foton, van licht met frequentie ν; h is een natuurconstante, de constante van Planck) volgt: s 1−β ν0 = ν 1+β en voor de golflengte λ =

c ν

volgt λ0 =

7.5

s

1+β λ 1−β

Roodverschuiving en het uitdijende heelal

Het licht uitgezonden door de vele duizenden melkwegstelsels in het heelal blijkt verschoven te zijn naar lagere golflengtes (’roodverschuiving’) t.o.v. wat verwacht zou worden op basis van standaard spectra. M.a.w. deze melkwegstelsels verwijderen zich van onze eigen Melkweg, met een snelheid die te bepalen is m.b.v. bovenstaande formule voor relativistische Dopplerverschuiving. Het heelal dijt uit! Deze observatie was een belangrijke bron van inspiratie voor de ’Big Bang’ theorie van het ontstaan van het heelal.

7.6

Deeltjesproductie p, E

voor

na Lab-systeem Figuur 7.2:

Een spectaculair voorbeeld van een typisch relativistisch effect is de productie van ’elementaire’ deeltjes bij botsingen tussen dergelijke deeltjes. We geven een voorbeeld: p + p → p + p + π0 of, in een meer gebruikelijke notatie pp → ppπ 0

7.6. DEELTJESPRODUCTIE

41

Betekenis: twee protonen botsen op elkaar en er komen uit de botsing weer twee protonen te voorschijn plus een ander deeltje (’Er wordt massa gecre¨eerd’). We stellen ons het experiment als volgt voor: een bundel protonen wordt versneld tot een zekere energie en valt in op een doelwit bestaande uit protonen 2 . Gegeven is dat protonen een massa Mp = 938 MeV/c2 hebben en dat het π 0 deeltje een massa Mπ = 135 MeV/c2 heeft. De vraag is nu: welke energie, resp. welke impuls moet de protonbundel minstens hebben, opdat bovenstaande reactie kan verlopen? In figuur 7.2 is de reactie schematisch weergegeven.

7.6.1

Impuls en energie in het zwaartepuntssysteem

Het inkomende proton heeft impuls p~ en energie E, die we willen bepalen. De overeenkomstige viervector is dus: Pb = (~pc, E). Het doelwit heeft een vierimpuls: Pd = (~0, Mp c2 ). Om Pb kwantatitief te bepalen realiseren we ons het volgende: vanuit het zwaartepuntssysteem bezien is de minimale impuls p~∗ , resp. energie E ∗ waarbij de reactie kan verlopen die impuls waarbij - in het zwaartepuntssysteem - de deeltjes in de eindtoestand in rust zijn. Zie figuur 7.3.

p*, E*

-p*, E*

p pi0 p

voor

na CM-systeem Figuur 7.3:

We kiezen ons assenstelsel z´o, dat p~∗ = (p∗ , 0, 0) en (dus) p~ = (p, 0, 0). In het CMsysteem geldt dat de viervector van het bundel-proton gelijk is aan Pb∗ = (p∗ , 0, 0, E ∗ ) en die van het doelwit is Pd∗ = (−p∗ , 0, 0, E ∗ ). De totale vierimpuls v´oo´r de botsing in het CM-systeem is dus: P ∗ = Pb∗ + Pd∗ = (0, 0, 0, 2E ∗ ) De totale vierimpuls na de botsing in het CM-systeem is, in de ’minimale’ situatie die wij beschouwen: P 0∗ = (0, 0, 0, 2Mp c2 + Mπ c2 ) Uit energie- en impulsbehoud volgt P ∗ = P 0∗ 2

In de praktijk: waterstof, bestaande uit protonen en elektronen. Elektronen zijn echter veel kleiner dan protonen, zodat het ingaande proton vrijwel altijd een proton in het waterstof raakt.

42

HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN

en dus:

1 E ∗ = Mp c 2 + Mπ c 2 2

p∗ volgt verder uit: p∗ =

7.6.2

1 q ∗2 E − Mp2 c4 c

Impuls en energie in het labsysteem

Nu kunnen we de gevraagde energie en impuls, E en p, in het Lab-systeem bepalen via een Lorentztransformatie. Dat is de ’moeilijke’ manier die we eerst zullen illustreren. Vervolgens doen we het op de gemakkelijke manier. De Lorentztransformatie die we zoeken moet −p∗ transformeren naar 0 en moet de bijbehorende E ∗ transformeren naar Mp c2 : ! ! ! 0 γ βγ −p∗ c = Mp c 2 βγ γ E∗ 0 = −γp∗ c + βγE ∗ Mp c2 = −βγp∗ c + γE ∗ We hebben in feite slechts ´e´en van deze vergelijkingen nodig om te vinden: p∗ c E∗ E∗ γ = Mp c 2

β =

Nu vinden we p en E uit: pc E

!

=

γ

βγ

βγ

γ

1 = Mp c 2

!

p∗ c E∗

E ∗ p∗ c p∗ c E ∗

pc =

2E ∗ p∗ c Mp c 2

E =

p∗ c2 + E ∗2 Mp c 2

!

!

p∗ c E∗

!

7.6. DEELTJESPRODUCTIE

43

M.b.v. de eerder gevonden uitdrukkingen voor E ∗ en p∗ vinden we nu: p (Mp + 12 Mπ ) Mπ2 + 4Mp Mπ p = c Mp = 777 MeV (Bepaal nu de bijbehorende energie E; bepaal de snelheid van de protonen.)

7.6.3

Gemakkelijkere methode

Nu de meer rechtstreekse, gemakkelijkere methode: Pb + Pd = (pc, 0, 0, E + Mp c2 ) is een viervector Pb∗ + Pd∗ = (0, 0, 0, 2E ∗ ) is de getranformeerde van deze viervector De norm (de ’grootte’) van een viervector is invariant onder Lorentztransformaties, dus: (Pb + Pd )2 = (Pb∗ + Pd∗ )2 (E + Mp c2 )2 − p2 c2 = 4E ∗2 (Let op het − teken!) Uitwerken hiervan levert hetzelfde resultaat als hierboven (ga na).

44

HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN

Hoofdstuk 8 Het elektromagnetische veld De fundamentele wetten van elektriciteit en magnetisme, zoals die reeds in de 19e eeuw bekend waren, zijn de volgende: • de wet van Coulomb (kracht tussen elektrische ladingen; elektrisch veld opgewekt door elektrische lading); • de wet van Amp`ere (elektrische stroom wekt een magneetveld op); • de wet van Faraday (’inductie’; veranderend magneetveld wekt elektrisch veld op). Verder nam men waar dat er kennelijk wel elektrische maar geen magnetische ladingen (’monopolen’) in de natuur voorkomen. Al deze kennis, uitgebreid met een wezenlijke uitbreiding van de wet van Amp`ere (namelijk dat een veranderend elektrisch veld een magneetveld opwekt) leidde J.C. Maxwell in 1865 tot de formulering van de Maxwellvergelijkingen waarin alle fundamentele kennis over elektriciteit en magnetisme in samenhang is weergegeven. Zoals uit de wet van Faraday en de (verbeterde) wet van Amp`ere al blijkt, kunnen elektrische en magnetische velden niet onafhankelijk van elkaar beschreven worden: we spreken dan ook van elektromagnetische velden. Voor de lege ruimte (die geen lading bevat, niet polarizeerbaar en niet magnetiseerbaar is) zien de Maxwell-vergelijkingen er heel een~ = (Ex , Ey , Ez ) en het magnetische veld voudig uit. Nemen we het elektrische veld E ~ = (Bx , By , Bz ), dan geldt: B ∂Bz ∂By ∂Ex = − ∂t ∂y ∂z Voordat we verder gaan maken we twee opmerkingen: • de afgeleiden naar tijd en plaats zijn parti¨ele afgeleiden (zie Methoden en Technieken) 45

46

HOOFDSTUK 8. HET ELEKTROMAGNETISCHE VELD • de vergelijking zoals hier opgeschreven geldt in het SI (Syst`eme International) van eenheden. De vergelijkingen worden mooier in Gaussische eenheden, en daarop zullen we nu overgaan. 1 ∂Ex ∂Bz ∂By 1 ∂Bx ∂Ey ∂Ez = − ; = − c ∂t ∂y ∂z c ∂t ∂z ∂y 1 ∂Ey ∂Bx ∂Bz 1 ∂By ∂Ez ∂Ex = − ; = − c ∂t ∂z ∂x c ∂t ∂x ∂z 1 ∂Ez c ∂t

=

∂By ∂Bx 1 ∂Bz ∂Ex ∂Ey − ; = − ∂x ∂y c ∂t ∂y ∂x

Deze vergelijkingen kunnen als volgt heel compact worden opgeschreven: ~ ~ 1 ∂E ~ B ~ ; 1 ∂ B = −∇x ~ E ~ = ∇x c ∂t c ∂t Oplossen van deze vergelijkingen levert een elektromagnetische golf, zoals weergegeven in figuur 2.3.

8.1

Lorentztransformatie

Door nu te eisen (eerste en tweede postulaat) dat in systeem S 0 , bewegend langs de x-as van S met snelheid v, geldt: ~0 ~0 1 ∂E ~ 0 xB ~ 0 ; 1 ∂ B = −∇ ~ 0 xE ~0 = ∇ c ∂t0 c ∂t0 en door gebruik te maken van de Lorentztransformatie voor x, y, z, t zoals we die reeds hebben gevonden, kunnen we nu vinden: Ex0 = Ex

; Bx0 = Bx

Ey0 = γ(Ey − βBz ) ; By0 = γ(By + βEz ) Ez0 = γ(Ez + βBy ) ; Bz0 = γ(Bz − βEy ) Laten we nu terugkeren naar het voorbeeld in Hoofdstuk 1. We vervangen ’geleider’ door ’eenheidslading’, waarmee we niets afdoen aan de essentie van het voorbeeld. ~ waar E ~ het elektrische veld is ter De kracht uitgeoefend op een puntlading is F~ = q E, plekke van de puntlading, in het systeem waarin de puntlading in rust is. Indien de ~ een snelheid v heeft, vinden we dus puntlading t.o.v. het magneetveld B Fy = −qγβBz en Fz = qγβBy

8.1. LORENTZTRANSFORMATIE

47

Het uitrekenen van het elektrisch veld op de plaats van de puntlading in het rustsysteem van de puntlading is dus de correcte en unieke manier om dit probleem te benaderen. (Merk op, dat de Lorentzkracht op lading q, die met snelheid v in de x-richting een Bveld By , Bz doorloopt, gelijk is aan Fy = −qβBz en Fz = qβBy . We zien dus dat de relativistische correcte beschrijving, hierboven, een extra factor γ oplevert.)

48

HOOFDSTUK 8. HET ELEKTROMAGNETISCHE VELD

Bijlage A Aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie We zoeken een transformatie die zowel geldt voor een naar rechts lopende lichtgolf als voor een naar links lopende lichtgolf. Daarom moet zowel aan vergelijking 3.3 als aan vergelijking 3.5 voldaan zijn. Verder moet de transformatie elke co¨ordinaat (x, ct) van een proces beschreven t.o.v. S transformeren in een co¨ordinaat (x0 , ct0 ) beschreven t.o.v. S 0 . In het bijzonder kunnen we de beweging van de oorsprong van S 0 (x0 = 0) beschouwen beschreven t.o.v. S: als x0 = 0, dan x = vt. Deze laatste conditie, samen met vergelijkingen 3.3 en 3.5 (of samen met vergelijkingen 3.6 en 3.7) levert dan: x0 = a(x − vt) v ct0 = a(ct − x) c In paragraaf 3.1.2 staan twee redeneringen om uiteindelijk a te bepalen. Indien we zouden postuleren : x02 − c2 t02 = x2 − c2 t2 dan zouden we, via invullen van bovenstaande transformaties, ´o´ok het juiste resultaat vinden (ga na): a = q

i

1 1−

v2 c2

iiBIJLAGE A. AANVULLENDE UITLEG BIJ DE AFLEIDING VAN DE LORENTZTRANSFORMAT

Bijlage B Verdere aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie S

S’ v

x,x’ Figuur B.1:

Voor het front van een lichtgolf geldt in S: x = ct en in S 0 : x0 = ct0 (zie figuur B.1) Waarom mag je dan niet concluderen dat geldt: x − vt = x0 , waar x = ct en x0 = ct0 dus waarom geldt niet: ct − vt = ct0 terwijl wel aan het uitgangspunt van de constantheid van de lichtsnelheid is voldaan? Bekijk nu de situatie in figuur B.2. Nu zouden we concluderen: ct0 + vt0 = ct iii

ivBIJLAGE B. VERDERE AANVULLENDE UITLEG BIJ DE AFLEIDING VAN DE LORENTZTRA

S’

S v

x,x’ Figuur B.2:

Beide situaties zijn equivalent (de ’inverse’ van elkaar) en leiden tot de conclusie t = t0 , maar deze conclusie is in tegenspraak met de constantheid van de lichtsnelheid. Als we proberen: ct − vt = act0 ct0 + vt0 = act dan vinden we: a =

r

1−

v2 c2

en dus: v (1 − )ct 2 c 1 − vc2

t0 = q 0

t

=

s

1

1 − vc t 1 + vc

Dit betekent dat licht, dat in S 0 (d.w.z. licht uit een bron in rust in S 0 ) een frequentie ν0 heeft, in S een kleinere frequentie heeft: s 1 − vc ν = ν0 1 + vc Dit is precies het Doppler effect. (Let op: de in paragraaf 7.4 gegeven formule slaat op een lichtbron in rust in S, gezien vanuit S 0 .)

Bijlage C Lorentztransformatie in willekeurige richting S’ S SR

S’R vy v vx Figuur C.1:

Indien S 0 beweegt t.o.v. S met snelheid ~v = (vx , vy , vz ), hoe ziet dan de Lorentztransformatie eruit? In het voorgaande hebben we steeds gewerkt met ~v = (v, 0, 0). Hier geven we de afleiding van de Lorentztransformatie voor ~v = (vx , vy , 0) en generaliseren dan naar ~v = (vx , vy , vz ). Bepaal de co¨ordinaten x, y t.o.v. co¨ordinatenstelsel SR dat volgt uit S door S z´o te draaien, dat de x-as langs ~v komt te liggen (zie figuur C.1). Dan geldt: ! ! ! vy vx xR x v v = yR − vvy vvx y De Lorentztransformatie van SR naar SR0 is nu de bekende Lorentztransformatie langs de v

vi

BIJLAGE C. LORENTZTRANSFORMATIE IN WILLEKEURIGE RICHTING

x-as: x0R = γ(xr − βctR ) ct0R = γ(ctR − βxR ) yR0 = yR √ met β =

v c

=

vx2 +vy2 c

en γ = √ 1

1−β 2

. Natuurlijk geldt tR = t en t0R = t0 . We bepalen nu

x0 en y 0 door x0R en yR0 terug te roteren, d.w.z. ! ! vx − vvy x0 v = vy vx y0 v v

x0R yR0

!

Invullen en doorrekenen levert nu: ct0 = γ(ct − βx x − βy y) x0 = x +

(γ − 1) (βx x + βy y)βx − γβx ct β2

y0 = y +

(γ − 1) (βx x + βy y)βy − γβy ct β2

Het is nu gemakkelijk het meest algemene resultaat, voor ~v = (vx , vy , vz ), op te schrijven: (γ − 1) ~ (β · ~r)β~ − γctβ~ r~0 = ~r + β2 ct0 = γ(ct − β~ · ~r) met ~r = (x, y, z) en r~0 = (x0 , y 0 , z 0 ).

Bijlage D Doppler effect S

v

Figuur D.1:

Een lichtbron die zich voortbeweegt met snelheid v loodrecht op de richting van het uitgezonden licht (zie figuur D.1) heeft in het eigen rustsysteem een frequentie ν0 . Als gevolg van tijddilatatie is de waargenomen frequentie ν1 dan: ν1 =

r

1−

v2 ν0 c2

Men noemt dit ook wel het transversale Doppler effect. Anders gezegd: de trillingstijd (de tijd gedurende welke ´e´en golflengte wordt uitgezonden) is T0 voor de bron en T1 voor de waarnemer: T0

T1 = q

1−

v2 c2

Meer in het algemeen kan de lichtbron een snelheid v1 loodrecht op de richting van het uitgezonden licht hebben en een snelheid vr in de richting ervan (zie figuur D.2). Indien de trillingstijd van het uitgezonden licht in het rustsysteem van de lichtbron gelijk vii

viii

BIJLAGE D. DOPPLER EFFECT

S

vr

v v1

Figuur D.2:

is aan T0 dan is deze in S nu gelijk aan: T1 = q ν1 = ν0

T0

1− r

v12 +vr2 c2

1−

vr2 + v12 c2

Gedurende deze tijd beweegt de bron over een afstand vr T1 van de waarnemer af. De golf (´e´en trilling) moet daarom een afstand cT1 + vr T1 afleggen en dit kost een tijd T2 : cT1 + vr T1 c vr = (1 + )T1 c vr T0 = (1 + ) q c v 2 +v 2 1 − 1 c2 r r vr −1 v2 + v2 = (1 + ) (1 − 1 2 r )ν0 c c

T2 =

ν2

In het speciale geval dat v1 = 0, vr = v: ν2

r v −1 v2 = (1 + ) (1 − 2 )ν0 c c s 1−β = ν0 1+β

de bekende Doppler verschuiving.