Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" ‐ 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau ‐ dit zijn dus opgaven die in de les of in een examen zouden kunnen voorkomen. De opgaven die met een "D" zijn aangegeven, zijn op docentenniveau. Deze opgaven zijn bedoeld om het inzicht en de kennis van de docent te verdiepen. Opgave 1 (L): Tijdsdilatatie ("Zoals het klokje thuis tikt...") Waarnemer B beweegt ten opzichte van waarnemer A met 60% van de lichtsnelheid. Waarnemer B heeft een klok bij zich die in zijn referentiekader eenmaal per seconde tikt. a) Bereken hoeveel tijd er in het referentiekader van waarnemer A zit tussen twee tikken van de klok. De Lorentzfactor voor v = 3c/5 is 1 1
5 . 4
De formule voor de tijdsdilatatie zegt dat een bewegende klok een factor γ langzamer loopt dan dezelfde klok in stilstand. Tussen twee tikken van de bewegende klok zit dus 5/4 = 1.25 seconden. b) Waarnemer A heeft een metronoom, die hij even snel laat tikken als de klok van B volgens hem tikt. (Dus met de tussenpozen die je in (a) hebt berekend.) Hoeveel tijd lijkt er in het referentiekader van B te zitten tussen twee tikken van de metronoom? De metronoom tikt in het referentiekader van A met tussenpozen van 5/4 seconde (antwoord (a) ). Waarnemer A beweegt ten opzichte van waarnemer B met een tegengestelde snelheid van v'=‐3c/5. Bij deze snelheid hoort dezelfde Lorentzfactor, γ =5/4. Voor waarnemer B loopt de metronoom met deze factor langzamer, dus met tussenpozen van 25/16 ≈ 1,56 seconden. c) Hieronder zie je een ruimtetijddiagram met in doorgetrokken lijnen het referentiekader van waarnemer A, en in gestippelde lijnen het referentiekader van waarnemer B. Geef de tikken van de klok van B en van de metronoom van A in het ruimtetijddiagram aan met stippen. Zie het diagram op de volgende pagina voor de antwoorden op opgaven (b) en (c).De donkerrode stippen zijn de tikken van de klok die waarnemer B bij zich heeft. Ze bevinden zich op de tijdlijn x'=0, op de kruisingen met de ruimtelijnen t'=0, 1, 2, enzovoort ‐ ze vinden voor waarnemer B dus om de seconde plaats. De rode stippellijnen lopen evenwijdig aan de ruimte‐as van waarnemer A; de gebeurtenissen op deze lijnen zijn voor A dus gelijktijdig met de tikken van de klok van B. Dat geldt in het bijzonder voor de blauwe stippen op de tijdlijn x=0; deze stippen geven de tikken van de metronoom aan.
De blauwe stippellijnen lopen evenwijdig aan de ruimteas van waarnemer B; de gebeurtenissen op deze lijnen zijn voor B dus gelijktijdig met de tikken van de metronoom van A. Dat geldt in het bijzonder voor de lichte rode stippen op zijn tijdas x'=0; deze stippen geven dus de gevraagde gebeurtenissen in opgave (d) weer. We zien inderdaad dat deze stippen zo'n anderhalf keer zo ver (zie antwoord (b) ) uit elkaar staan als de donkerrode stippen.
d) Teken in het diagram ook de gebeurtenissen op de wereldlijn van waarnemer B die voor hem gelijktijdig zijn met de tikken van de metronoom. Zie bovenstaand diagram en de uitleg op de vorige bladzijde. e) Is de volgende bewering waar? "Twee klokken die met verschillende snelheden bewegen, lopen voor de ene waarnemer gelijk als ze voor de andere ook gelijk lopen." Verklaar je antwoord aan de hand van de resultaten uit deze opgave. Uit deze opgave blijkt dat de bewering niet waar is. Bijvoorbeeld: voor waarnemer A lopen de klok van B en zijn eigen metronoom gelijk ‐ ze tikken allebei om de 1,25 seconden (opgave (a) ). Voor B lopen de twee allesbehalve gelijk: hij ziet zijn eigen klok elke seconde tikken, maar de metronoom van A om de 1,56 seconden (opgave (b) ). We kunnen de loopsnelheid van twee klokken dus niet op een waarnemeronafhankelijke manier vergelijken. Dat vergelijken kan alleen op een waarnemeronafhankelijke manier als de twee klokken zich op dezelfde plaats bevinden. (Of in elk geval: geen onderlinge snelheid hebben.) Alleen in dat geval heeft het begrip "gelijktijdigheid" namelijk in het referentiekader van beide klokken dezelfde betekenis.
Opgave 2 (L): Lorentzcontractie Waarnemer B beweegt ten opzichte van waarnemer A met 80% van de lichtsnelheid. Waarnemer B heeft een (extreem lange) liniaal bij zich met een lengte van 1 ls. a) Bereken hoe lang de liniaal is volgens waarnemer A. De Lorentzfactor voor v = 4c/5 is 1 1
5 . 3
De formule voor de Lorentzcontractie zegt dat een bewegende liniaal een factor γ korter is dan dezelfde liniaal in stilstand. De bewegende liniaal is dus voor de stilstaande waarnemer 3/5 = 0.60 lichtseconden lang. b) Waarnemer A heeft twee stoelen, die hij neerzet op de plaatsen waar hij de uiteinden van de liniaal op t=0 s ziet. Hoe ver ziet waarnemer B deze stoelen van elkaar af staan? De stoelen staan in het referentiekader van A 3/5 lichtseconden van elkaar (antwoord (a) ). Waarnemer A beweegt ten opzichte van waarnemer B met een tegengestelde snelheid van v'=‐4c/5. Bij deze snelheid hoort dezelfde Lorentzfactor, γ =5/3. Voor waarnemer B staan de stoelen dus een factor γ dichter bij elkaar, dus op een afstand van 9/25 = 0,36 lichtseconden. c) Hieronder zie je een ruimtetijddiagram met in dikke lijnen het referentiekader van waarnemer A, en in dunne lijnen het referentiekader van waarnemer B. Geef wereldlijnen van de uiteinden van de liniaal en van de twee stoelen in het diagram weer. Zie het diagram op de volgende pagina voor de antwoorden op opgaven (b) en (c).De groene lijnen zijn de wereldlijnen van de uiteinden van de liniaal die waarnemer B bij zich heeft. Ze bevinden zich op de tijdlijnen x'=0 en x'=1 ‐ de uiteinden bevinden zich voor waarnemer B dus op een afstand van 1 lichtseconde. De blauwe lijnen lopen evenwijdig aan de tijdas van waarnemer A en snijden zijn ruimteas t=0 op dezelfde plaatsen als de groene lijnen; deze lijnen geven dus de wereldlijnen van de twee stoelen weer. Waarnemer B meet afstanden langs zijn ruimtelijnen ‐ bijvoorbeeld de lijn t'=0 die door de punten A, B en C gaat. Het lijnstuk AB geeft voor hem dus de afstand tussen de stoelen weer; het lijnstuk AC de afstand tussen de uiteinden van de liniaal. We zien (zie antwoord (b) ) dat de afstand tussen de stoelen voor hem inderdaad ongeveer een derde is van de afstand tussen de uiteinden van de liniaal.
d) Geef met een lijnstuk in het diagram aan hoe ver de stoelen voor waarnemer B uit elkaar lijken te staan. Geef ter vergelijking ook een lijnstuk weer dat voor hem een lengte van 1 lichtseconde heeft. Zie bovenstaand diagram en de uitleg op de vorige bladzijde. e) Is de volgende bewering waar? "Als twee voorwerpen een onderlinge snelheid hebben, zullen twee waarnemers het altijd eens zijn over welk voorwerp langer is." Licht je antwoord toe aan de hand van de resultaten uit deze opgave. Uit deze opgave blijkt dat de bewering niet waar is. Bijvoorbeeld: voor waarnemer A is de afstand tussen de twee stoelen en tussen de twee uiteinden van de liniaal gelijk ‐ ze bevinden zich allebei 0,60 lichtseconden van elkaar af (opgave (a) ). Voor B zijn de afstanden allesbehalve gelijk: hij ziet de liniaal met een lengte van 1 lichtseconde, maar de stoelen met een onderlinge afstand van 0,36 lichtseconden (opgave (b) ). A zal dus zeggen dat de beide afstanden even groot zijn; B zal zeggen dat de lengte van de liniaal ruimschoots de grootste afstand is. We kunnen de lengte van de liniaal en de afstand tussen de stoelen dus niet op een waarnemeronafhankelijke manier vergelijken. Vergelijken van lengtes kan alleen op een waarnemeronafhankelijke manier als twee voorwerpen zich op dezelfde plaats bevinden. (Of in elk geval: geen onderlinge snelheid hebben.) Voor een lengtemeting meten we namelijk de afstand tussen twee (eind)punten op hetzelfde tijdstip. Ook voor een lengtemeting speelt het begrip gelijktijdigheid daarom een centrale rol. Alleen als twee voorwerpen met dezelfde snelheid bewegen, heeft het begrip gelijktijdigheid in het referentiekader van beide voorwerpen dezelfde betekenis en kunnen we de twee lengtes dus op een waarnemeronafhankelijke wijze vergelijken.
Opgave 3 (L): Relativiteit in het dagelijks leven. a) Een vliegtuig vliegt met 1000 km/u. Het vliegtuig is in stilstand 20m lang. Hoe lang lijkt het vliegtuig als het vliegt? Uitgedrukt in meters per seconde vliegt het vliegtuig met ongeveer v=278 m/s. Het licht beweegt met c=300.000.000 m/s. De Lorentzfactor voor deze snelheid is 1
1.000 000 000 000 43.
1 Het vliegende vliegtuig lijkt vanwege de Lorentzcontractie een factor γ korter. Het vliegtuig lijkt dus 19,999 999 999 991 4 meter lang ‐ zo'n 8,6 picometer korter dan in stilstand. Dit afstandsverschil is zo'n 100.000 maal kleiner dan de golflengte van zichtbaar licht ‐ het effect van de relativiteitstheorie is bij deze "alledaagse" snelheid dus enorm klein. b) Iemand rijdt met 40 km/u in de auto naar zijn werk, dat 20 km bij hem vandaan is. Aan het eind van de dag rijdt hij met dezelfde snelheid weer terug. Hoeveel jonger is hij na deze dag dan hij zou zijn als hij was thuisgebleven? Uitgedrukt in meters per seconde rijdt de auto met ongeveer v=11,1 m/s. Het licht beweegt met c=300.000.000 m/s. De Lorentzfactor voor deze snelheid is 1
1.000 000 000 000 000 69.
1 Ten opzichte van een stilstaande waarnemer lijkt de tijd in de auto een factor γ langzamer te lopen. Voor de stilstaande waarnemer is de auto in totaal een uur onderweg; voor de bewegende waarnemer duurt de totale reis dus 0,999 999 999 999 999 31 uur ‐ omgerekend in seconden zo'n 2,4 picoseconden korter dan een uur. Ter vergelijking: dit is ongeveer twee maal de snelst mogelijke schakeltijd die we tegenwoordig met transistoren kunnen bereiken. We zien dus wederom dat het effect van de relativiteitstheorie is bij deze alledaagse snelheid enorm klein is.
Opgave 4 (D): Lorentztransformaties De Lorentztransformaties zijn ′ 1
′ 1
Herschrijf deze formules zodat ze t en x uitdrukken in t' en x'. Hint: gebruik de afkorting 1 1
Laat zien dat de resulterende formules gelijk zijn aan de oorspronkelijke Lorentztransformaties, maar met v vervangen door ‐v. Leg aan de hand van het relativiteitsbeginsel uit dat dit antwoord te verwachten was. Als we de Lorentzfactor γ gebruiken, kunnen we de Lorentztransformaties schrijven als
′ ′
We kunnen nu bijvoorbeeld beide vergelijkingen omschrijven zodat t aan de linkerkant staat:
′
Gelijkstellen van de rechterleden geeft ′
We kunnen deze vergelijking oplossen voor x: ′
Invullen van deze vergelijking in één van de vergelijkingen voor t geeft ′ ′ We zien dat we in de laatste twee vergelijkingen de oorspronkelijke Lorentztransformaties terugvinden, met de accenten nu aan de rechterkant, en v vervangen door de tegengestelde snelheid ‐v. Dit is in overeenstemming met het relativiteitsbeginsel: B moet dezelfde Lorentztransformaties kunnen toepassen als A om coördinaten in elkaar om te rekenen. (Merk op dat zowel v als ‐v tot dezelfde Lorentzfactor γ leiden.) Opgave 5 (D): Lorentzcontractie in meer dimensies In deze opgave is de ruimte tweedimensionaal, en heeft dus een x‐ en een y‐richting. Waarnemer B beweegt ten opzichte van waarnemer A in de x‐richting. Zoals we weten ervaren beide waarnemers een Lorentzcontractie in die richting. Beredeneer dat er, bij beweging in de x‐richting, in de y‐richting geen Lorentzcontractie zal zijn. Er zijn veel argumenten denkbaar; we geven hier het argument van Taylor en Wheeler dat ook in de NiNa‐module "relativiteitstheorie" wordt genoemd. Een trein rijdt in de x‐richting langs een muur, waarop op twee meter hoogte (de hoogte is de y‐richting) een blauwe lijn is getrokken. Iemand steekt op twee meter hoogte (in zijn eigen, bewegende referentiekader) een kwast met rode verf uit de trein. Komt de rode lijn dat hoger, lager of even hoog als de blauwe lijn op de muur terecht? Het antwoord kan niet "hoger" zijn, omdat de gemeten twee meter in de bewegende trein dan voor de stilstaande waarnemer meer dan twee meter zouden moeten zijn. Maar omgekeerd zou uit het relativiteitsbeginsel volgen dat voor de bewegende waarnemer de twee meter gemeten langs de muur ook meer dan twee meter zouden moeten zijn ‐ en dat de blauwe lijn dus juist hoger op de muur staat. Dit leidt tot een tegenspraak, en op precies dezelfde manier leidt het antwoord "lager" tot een tegenspraak. De rode lijn moet dus wel precies even hoog op de muur terechtkomen als de blauwe lijn ‐ twee meter in de y‐richting is dus in beide frames precies even ver. Kortom: in de loodrechte richting is geen sprake van Lorentzcontractie.
