Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox! De theorie kan in één regel samengevat worden: of je nu stilstaat of beweegt, de lichtsnelheid heeft voor elke waarnemer dezelfde waarde. Om het verschil tussen een stilstaande en een meebewegende waarnemer duidelijk te maken wordt in de meeste teksten voor beginners uitgegaan van gedachte-experimenten zoals in fig.1 en 2. Hierbij weerkaatst een lichtstraal tussen twee spiegels in een rijdende trein (ruimteschip enz.) De experimenten leveren de formules voor de tijddilatatie en de Lorentzcontractie: t2 (1) t1 = 1 − (v c)2 L1 = L2 ∗ 1 − (v c)2 (2)
In proef 1 zijn de spiegels loodrecht op de bewegingsrichting opgesteld. Als v = 0,6c : t1 = t2/0,8 = 1,25t2; als W2 voor een bepaalde gebeurtenis een tijd van 10 s meet, meet W1 12,5 s
fig.1
Bij proef 2 zijn de spiegels 90° gedraaid zodat de lichtstraal evenwijdig aan de bewegingsrichting van de trein loopt. Als v = 0,6c: L1 = 0,8L2 ;d e stilstaande waarnemer W1 ziet bewegende voorwerpen korter (“gekrompen”in de bewegingsrichting).
1
fig.2
Veel van het bovenstaande wordt duidelijker als je met x – t grafieken gaat werken waarbij zoals gebruikelijk in de relativiteitstheorie de tijd op de y-as uitgezet wordt (dus net andersom dan normaal). Met deze grafieken gaan we in 5 stappen naar de beroemde “tweelingparadox”. Bij elke stap hoort een apart computerprogramma1.
Stap 1. Twee assenstelsels (assenstelsel.exe) In het vervolg zullen we werken met twee verschillende assenstelsels voor W1 en W2. Fig.3 is bedoeld om leerlingen te laten zien hoe je in dat geval een punt van de grafiek afleest (vanuit het punt lijnen trekken evenwijdig aan de x- en de t-as). In dit geval meet W2 voor hetzelfde punt van de grafiek andere waarden voor x en t, en berekent hij een andere waarde van de snelheid.
fig.3
2
Stap 2 Galileitransformatie (Galilei.exe) Al lang voor de relativiteitstheorie van Einstein was er een ander soort relativiteit bekend: zolang de snelheden constant zijn maakt het niet uit of W1 stilstaat en W2 beweegt, of andersom. Het gaat alleen om de relatieve snelheid van W2 t.o.v. W1. W1 en W2 zullen voor dezelfde gebeurtenis dezelfde waarden van t meten, maar verschillende waarden van x. In fig.4 zit W2 in een trein die met een snelheid van 7 m/s t.o.v. W1 beweegt. In de trein schopt W2 de bal naar rechts (in de bewegingsrichting van de trein) met een snelheid van 3 m/s. x2 en t2 zijn plaats en tijd in het bewegende assenstelsel van W2, x1 en t1 in het stilstaande assenstelsel van W1. In de grafiek (fig. 4) kun je dezelfde lijn gebruiken om de beweging van de bal te beschrijven voor W1 en W2 als je de t-as van W2 een stukje draait. Het verband tussen x1 en x2 wordt gegeven door de Galilei-transformatie x2 = x1 − vt met v = de snelheid van de trein.
fig.4
3
Stap 3: Van Galilei naar Lorentz (GalileiLorentz.exe) Stel dat je in een universum zou leven waar de lichtsnelheid c veel lager is, bijv. 10 m/s in plaats van 3,0.108 m/s. De lijn in fig.4 geeft dan het verloop van een lichtstraal met inderdaad volgens W1 een snelheid van 10 m/s. Maar nu klopt er iets niet met de regel van Einstein dat de lichtsnelheid voor elke waarnemer dezelfde waarde heeft! Volgens W2 heeft de straal nl. een lagere snelheid (3 m/s). Met andere woorden: bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid merken we dat de Galileitransformatie niet klopt. De vraag is nu: hoe kan een x-t grafiek van een lichtstraal dezelfde waarde voor c geven voor W1 en W2? De oplossing is te zien in de fig.5. (In de volgende grafieken nemen we x in lichtseconde (ls)= de afstand die het licht in één seconde aflegt. De waarde van c wordt dan natuurlijk 1 (lichtseconde per seconde), wat de formules een stuk vereenvoudigt.)
fig.5
De richtingscoëfficiënt van de streepjeslijn in de figuur is gelijk aan de waarde van c; in dit geval dus 1. In het assenstelsel van W1 klopt dat. In het geval van W2 klopt het ook als je de horizontale as net zo draait als de verticale as: de streepjeslijn loopt dan inderdaad midden tussen de assen door en ook W2 vindt een waarde c = 1. De draaiing van de verticale as (de t-as) werd beschreven met x2 = x1 − v1t. Als de horizontale as (de x-as) op dezelfde manier moet draaien hoef je alleen de letters x en t om te wisselen: x2 = x1 − vt1 (3) t2 = t1 − vx1 (we noemen dit maar even de GLtransformatie) Merk op dat bij deze transformatie automatisch de schaalverdeling van de x2 en de t2 assen uitgerekt wordt.
4
Stap 4: Lorentztransformatie (Lorentztransformatie.exe) In de GLtransformatie is de lichtsnelheid voor beide waarnemers W1 en W2 even groot. Bovendien klopt het dat in het voorbeeld van proef 1 de stilstaande waarnemer W1 een langere tijd meet dan W2: zie fig.6.
fig.6
Fig.6 geeft de grafiek voor de proef van fig.1. Bij deze proef beweegt de lichtstraal niet in de x-richting (= de bewegingsrichting van de trein) maar loodrecht hier op ( in de y-richting). Volgens de GLtransformatie meet W2 voor de heenweg een tijd t2 = 5 s en een verplaatsing x2 = 0. W1 meet een langere tijd t1 = 7,81 s en een extra horizontale verplaatsing vt1 = 4,69 ls (lichtsec.). Voor de tijd heen + terug meet W1 dus 15,62 s tegen W2 10 s. W1 meet inderdaad een langere tijd. Alleen is het verschil tussen t1 en t2 te groot: met formule (1) berekenden we een tijd t1 = 12,5 s. Er moet dus nog iets aan de transformatieregels van formule (3) veranderd worden. Je kunt afleiden dat de tijden wel kloppen als rechts in (3) onder de streep dezelfde factor 1 − (v c)2 komt te staan als in formule (1). Omdat we werken met c = 1 kunnen we dat nog iets eenvoudiger schrijven: x − vt 1 t − vx 1 x2 = 1 t2 = 1 (4) 2 1- v 1- v 2
Dit is de beroemde Lorentztransformatie uit de relativiteitstheorie.
5
Fig. 7 geeft de figuur voor proef 1 zoals die wordt met de Lorentztransformatie. De tijd die W1 meet is nu heen en terug 6,25, dus totaal 12,5: precies zoals berekend met formule (1). fig.7
Fig.8 laat zien wat er gebeurt als je snelheden optelt in de relativiteitstheorie: Waarnemer W2 beweegt in een ruimteschip met een snelheid van 0,6 ls/s t.o.v. W1. Bovendien lanceert W2 een raket met (voor hem gezien) een snelheid van 0,8 ls/s.
fig.8
6
De figuur illustreert de formule voor het optellen van snelheden v + v2 v totaal = 1 (5) 1 + v 1v 2 Met de getallen van fig.10: vtotaal = (0,6 + 0,8)/(1 + 0,6.0,8) = 1,4/1,48 = 0,95; klopt! Daarnaast blijkt nog iets bijzonders aan de getallen in fig.8 hoewel de waarden voor x en t verschillen voor W1 en W2 is er één getal dat voor beiden hetzelfde is: de uitkomst van t2 − x2! De Lorentztransformatie voor de proef met de twee spiegels van fig.2:
fig.9
De twee evenwijdige lijnen stellen de beweging van de twee spiegels voor. Voor W2 staan de spiegels stil op plaats x2 = 0 en x2 = 3,5; voor W1 bewegen de spiegels met een snelheid van 0,6. Voor W2 is de afstand en de tijd heen en terug gelijk. Voor W1 is de afstand heen veel groter dan terug (omdat de lichtstraal op de heenweg de spiegel in moet halen. De totale tijd heen + terug is voor W1 langer (8,75 s tegen 7 s); het verschil is precies de factor 1,25 die je met (1) berekent. De afstand tussen de twee spiegels vind je door te kijken waar de lijn evenwijdig aan de t2-as de x-as snijdt. In stelsel 2 is dat bij 3,5, in stelsel 1 bij 2,8. W1 meet voor die afstand dus een waarde die een factor 2,8/3,5 = 0,8 kleiner is; dat klopt met (2)!
7
Stap 5: de Tweelingparadox (Tweeling.exe) Tot nu toe bewogen W1 en W2 eenparig t.o.v. elkaar. Terwijl W1 ziet dat de klok van W2 langzamer loopt ziet W2 precies hetzelfde bij W1. Hier zit de paradox: als W1 en W2 achteraf hun leeftijden vergelijken kan er maar één van de twee de oudste zijn! De oplossing van de paradox is dat W1 en W2 elkaar nooit meer zullen tegenkomen om hun leeftijden te vergelijken: ze bewegen immers t.o.v. elkaar met constante snelheid in een rechte lijn. Hun paden kruisen elkaar dus maar één keer. Wat in het geval dat W2 besluit om te keren en terug te gaan naar W1? In dat geval zijn de bewegingen van W1 en W2 niet meer relatief. Tijdens de verandering van zijn snelheid voelt W2 krachten op zich werken. W1 met zijn constante snelheid voelt die krachten niet. Het is nu dus duidelijk wie van de twee degene is die weer teruggekomen is. Om de niet-eenparige beweging van W2 te kunnen beschrijven met de Lorentztransformatie splitsen we de beweging op in stukken met constante snelheid; zie fig.10. Van de tweeling W1 en W2 blijft W1 achter op aarde, en vertrekt W2 met zijn ruimteschip. De grafiek links geeft aan hoe W2 zijn snelheid verandert (op de heenweg is v positief, op de terugweg negatief). t2 is de tijd die in het ruimteschip verstrijkt, t1 op aarde. x1 is de afstand van het ruimteschip tot de aarde zoals gemeten door W1. Je ziet dat na afloop W2 inderdaad minder oud geworden is. Het verschil hangt af van de grootte van de snelheid en de manier waarop de snelheid veranderd is.
fig.10
8
Toegift: relativistisch model van een eenparig versnelde beweging. In het boekje “Niks Relatief” behandelt Vincent Icke het geval van een ruimteschip dat zich eenparig versneld van de aarde verwijdert2 . Hij geeft een ingewikkelde afleiding voor de verplaatsing, snelheid en tijd zoals gemeten door de achtergebleven waarnemer op aarde. Dezelfde resultaten kun je verkrijgen met een eenvoudig model (bijv. in Coach). We gebruiken weer twee assenstelsels: stelsel 1 met x1 = 0 op aarde, en stelsel 2 dat meebeweegt met het ruimteschip (x2 = 0 in het ruimteschip). De grootte van de versnelling wordt door W2 die in het ruimteschip achter de knoppen zit zo geregeld dat steeds a2 = 10 m/s2. Volgens het equivalentieprincipe van Einstein lijkt het dan alsof in het ruimteschip een zwaartekracht werkt met g = 10 m/s2 (tegengesteld aan de richting van a). In het model gebruiken we de eenheden lichtjaar en jaar; een versnelling van 10 m/s2 blijkt toevallig nagenoeg gelijk aan 1 ljr/jr2. Hoe groot is de versnelling die W1 op aarde meet? Versnelling heeft de dimensie [lengte] / [tijd]2. Maar die worden beide door W1 anders waargenomen dan door W2! Gebruik formules (1) en (2) en kort 1/ 1 − (v c)2 voor het gemak af met de letter γ (gamma). Dat geeft voor L/t2:
L1 L γ L = 2 2 2 = 22 ∗ γ −3 of a1 = a2.γ−3 2 t1 t2 ∗ γ t2
(6)
In stelsel 1 hebben we een versnelling a1 die we berekenen uit a2 via (6). De tijd t1 verandert met stapjes dt1. Daarna berekenen we op de gewone manier de snelheid v1 en de plaats x1. Assenstelsel 2 beweegt mee met het ruimteschip: x2 en v2 zijn dus steeds nul. De versnelling a2 is constant (1 ljr/jr2); de enige grootheid die in stelsel 2 verandert is de tijd t2 . We laten t2 veranderen met stapjes dt2 die we bereken uit dt1 met (1). Hieronder naast elkaar een “gewoon”model voor een eenparig versnelde beweging en het relativistische model. gewoon model t=t+dt
v=v+a*dt x=x+v*dt
relativistisch t1=t1+dt1 gam = 1/sqrt(1-v1^2) dt2= dt1/gam t2=t2+dt2 a1=a2/gam^3 v1=v1+a1*dt1 x1=x1+v1*dt1
opmerkingen de tijd van W1 op aarde γ met c = 1 omrekenen dt met formule (1) de tijd van W2 in het ruimteschip formule (6) Startwaarden: a2=1 dt1=0,005 t1, t2, x1 en v1: 0
Als voorbeeld fig.11 met op de x-as de de tijd in het ruimteschip (t2). OP de y-as de snelheid v1, de afgelegde weg x1 en de tijd op aarde (t1).
9
fig.11
Overigens merk je het verschil in kloksnelheid op aarde en in het ruimteschip ook aan de tijd die het programma nodig heeft bij grotere waarden van t2. Om t2 bijv. tot 6 te laten lopen moet t1 ver boven de 100 komen. Om de hele grafiek te tekenen zijn dus veel stappen dt1 nodig.
Noten 1. Een uitgebreide leerlingentekst en de vijf programma’s zijn te krijgen via
[email protected]. 2. Icke, Vincent (2005). Niks Relatief. Amsterdam: Contact. Helaas wordt het boekje ontsierd door het grote aantal drukfouten in de formules.
10
