Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
1) Végtelen valós számsorozatok Fogalma, megadása Definíció: A természetes számok halmazán értelmezett a: N→R egyváltozós valós függvényt végtelen valós számsorozatnak nevezzük. A hozzárendelési szabály: n →f(n) = an minden természetes számhoz a függvény egy elemét rendeli. A függvény helyettesítési értékei: a sorozat elemei/tagjai . A sorozat n. tagja: an.
A sorozat jelölése: (an) vagy {an}. A sorozat megadható:
az általános (n.) tag képletével:
pl.
2n an = 2 1+ n
rekurzióval: pl. a1 = a2 = 1, an = a n-1 + an-2 (n = 3, 4, ...)
Ábrázolható: koordinátarendszerben, vagy számegyenesen
A. A sorozatok tulajdonságai a) Monotonitás Definíció: Az (an) sorozat monoton növekvı (csökkenı), ha minden n∈N-re: an+1 ≥ an (an+1 + ≤ an). Vizsgálata: an+1 - an ≥ 0 vagy an+1 / an ≥ 1 alapján. Szigorúan monoton növekvı (csökkenı), ha > (<) egyenlıtlenségjeleket írunk az elızı képletekbe.
b) Korlátosság, szélsıérték Definíció: Az (an) sorozat felülrıl (alulról) korlátos ill. korlátos, ha mint valós függvény ilyen tulajdonságú. A sorozat felsı és alsó korlátja, szupremuma és infimuma, maximuma és minimuma a függvényekre megismert módon értelmezhetı. Pl. an = a1 + (n-1)d , n ∈ N számtani sorozat d>0 esetén: szigorúan monoton növekvı, alulról korlátos, de nem korlátos sorozat min. (an) = inf {an} = a1
Pl. bn = b1qn-1 , n∈N
mértani sorozat
b1>0, 0
1 szig. mon. növekvı |q| ≤ 1 esetén: korlátos
n −1 3 b = 2⋅ n 4
c) Határérték Definíció: Az (an) sorozat konvergens, és határértéke az "a" szám, ha ∀ ε>0 ε> esetén található olyan N(ε)∈N küszöbindex, hogy minden n>N esetén an − a< ε A határérték jelölése:
lim a = a n n →∞
Ha an nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy divergens. A határérték azt jelenti, hogy van olyan "a" szám, melynek tetszıleges kis környezetében van a sorozatnak majdnem minden tagja (kívül csak véges sok - N db - van).
A legegyszerőbb konvergens sorozatok: Konstans sorozat: Harmonikus sorozat:
lim c = c n →∞ 1 lim = 0 n →∞ n
(c ∈ R)
B. Tételek konvergens sorozatokra 1./ Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos. A korlátosságból azonban nem következik, hogy konvergens is a sorozat. A korlátosság csak szükséges feltétele a konvergencia létezésének 1 n Pl. a n = (−1) ⋅ konvergens sorozat, határértéke 0, n
a sorozat korlátos. an = (−1)n korlátos sorozat, de nem konvergens.
2./ A konvergencia létezésének elégséges feltétele: Ha egy sorozat monoton (növekvı, vagy csökkenı) és korlátos, akkor konvergens, mégpedig ha - monoton növekvı és felülrıl korlátos, akkor lim a n = sup(a n ) n →∞ 1 1 Pl. lim 5 − = sup 5 − = 5 n →∞ n n
- monoton csökkenı és alulról korlátos, akkor lim a n = inf(a n ) n →∞
1 1 Pl. lim − 2 + 2 = inf − 2 + 2 = −2 n →∞ n n
Visszafelé nem igaz az állítás: ha egy sorozat konvergens, akkor ebbıl nem következik, hogy monoton és korlátos. Pl.A már említett ( − 1 )
n
1 n
sorozat.
C. Divergens sorozatok határértéke Definíció: Az (an) sorozat a +∞-hez divergál (hatérértéke +∞), ha bármilyen nagy K∈R-hez van olyan N(K)∈N, K-tól függı küszöbindex, hogy minden n>N esetén a n > K.
an = ∞ Jele: lim n →∞
Hasonlóan értelmezhetı a divergencia is.
a n = −∞ lim n →∞
Nem minden divergens sorozat határértéke +∞ ∞ (-∞ ∞) Pl. a n = (-1)n vagy bn = (-1)n ⋅ n divergens sorozatoknak nincs határértéke.
2) EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Módszer: Tetszıleges {xn} független-változó sorozattal tartunk az értelmezési tartományon oda, ahol a függvény határértékét vizsgáljuk (ez lehet a véges x0 pont vagy a +∞ ∞ vagy a -∞ ∞) és vizsgáljuk, hogy közben a függvényértékek {f(xn)} sorozatának van-e határértéke. Ha bármely {xn} sorozat esetén ugyanaz a (véges vagy +∞ ∞ vagy -∞ ∞) határérték adódik, akkor ez a függvény határértéke a vizsgált helyen. Különben nincs határérték a vizsgált helyen.
Esetei: 1. A véges x0 pontban a határérték a véges A szám Definíció: Legyen a függvény értelmezve az x0 valamely környezetében – kivéve esetleg magát az x0 pontot. Az f(x) függvény határértéke az x0 helyen a véges A szám, ha minden x0–hoz konvergáló {xn} (ahol xn∈D, xn≠x0) független-változó sorozat esetén a megfelelı függvényértékek {f(xn)} sorozata tart A-hoz, azaz minden {xn}→ →x0 (xn∈D, xn≠x0) esetén {f(xn)}→ →A Jelölése: lim f ( x ) = A x →x
0
Definíció: Legyen a függvény értelmezve az x0 valamely baloldali környezetében – kivéve esetleg magát az x0 pontot. Az f(x) függvény baloldali határértéke az x0 helyen a véges A szám, ha minden {xn}→ →x0 (xn∈D, xn<x0) esetén {f(xn)}→ →A Jelölése: lim f ( x ) = A x → x 0 −0
Hasonlóan értelmezhetı a jobboldali határérték. Jele: lim f ( x ) = A
x →x +0 0
Tétel: Egy függvénynek akkor van határértéke az x0 helyen, ha ott a bal- és a jobboldali határérték létezik, és azok megegyeznek. Egy függvény x0 pontbeli baloldali ill. jobboldali határértékének meghatározásához az {xn}=x0–1/n ill. {xn}=x0+1/n sorozatokat használjuk. Példa: 1 2 1 1 2 lim ( x + 1 ) = lim ( 2 − ) + 1 = lim ( 5 − 4 + 2)=5 x → 2 −0 n →∞ n →∞ n n n
1 2 1 1 lim (x + 1) = lim(2 + ) + 1 = lim(5 + 4 + 2 ) = 5 x→2+0 n→∞ n n n n→∞ 2
Mivel a bal- és a jobboldali határérték megegyezik, ezért 2 lim ( x + 1) = 5 x→2
2. A véges x0 pontban a határérték a végtelen Definíció: Legyen f: D→R nem korlátos függvény. Az f(x) függvény határértéke az x0 helyen +∞ ∞ (-∞ ∞), ha minden x0–hoz konvergáló {xn} (ahol xn∈D, xn≠x0) független-változó sorozat esetén a megfelelı ∞), függvényértékek {f(xn)} sorozata tart a +∞-be (-∞ azaz minden {xn}→ →x0 (xn∈D, xn≠x0) esetén {f(xn)}→ →+∞ ∞ (-∞ ∞) Jelölése: f(x)=
lim f ( x ) = +∞ (-∞ )
x→x
0
2 ( x − 3) 2
az x0=3 pontban
3. A végtelenben a határérték a véges A szám Definíció: Legyen f olyan függvény, melynek értelmezési tartománya nem korlátos. Az f(x) függvény határértéke a +∞ ∞-ben (-∞ ∞-ben) a A szám, ha minden +∞-be (-∞-be) konvergáló {xn} (ahol xn∈D) független-változó sorozat esetén a megfelelı függvényértékek {f(xn)} sorozata tart a A-hoz, azaz →+∞ ∞ (-∞ ∞) (xn∈D) esetén {f(xn)}→ →A minden {xn}→ Jelölése:
lim f ( x ) = A
x →+∞
illetve
lim f ( x ) = A
x→ - ∞
A +∞ ∞-be konvergáláshoz az {xn}= n, a -∞ ∞ -be tartáshoz az {xn}= -n sorozatot használjuk. Pl. f(x)=
3 −2 x
a +∞-ben illetve a -∞-ben
4. A végtelenben a határérték végtelen Definíció: Legyen az f függvény értelmezési tartománya és értékkészlete nem korlátos. Az f(x) függvény határértéke a +∞ ∞-ben +∞ ∞ (-∞ ∞), ha minden +∞-be konvergáló {xn} (ahol xn∈D) független-változó sorozat esetén a megfelelı függvényértékek {f(xn)} sorozata tart a +∞ ∞-be (-∞ ∞-be), azaz minden {xn}→ →+∞ ∞ (xn∈D) esetén {f(xn)}→ →+∞ ∞ (-∞ ∞) Jelölése: lim f ( x ) = +∞ x → +∞
illetve
lim f ( x ) = −∞
x → +∞
Hasonlóképpen lehet a -∞-ben a határérték +∞ ∞ (-∞ ∞) :
lim f ( x ) = +∞
x →−∞
illetve
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
A. Határérték és a mőveletek Tétel: Ha f és g határértéke létezik az x0 helyen (+∞,-∞–ben) és ez A ill. B és c∈R, akkor lim c f ( x ) = cA
x→x
0
[ f ( x ) ± g ( x )] = A ± B lim x →x 0
[ f ( x ) g ( x )] = A B lim x →x 0
f (x) A = lim x →x B 0 g( x )
(B ≠ 0)
B. Nevezetes határértékek 1.
lim c = c
konstans függvény határértéke mindenütt konstans x →x
0
x
1 x + = e, 2. xlim → ±∞ x
3. lim (a x → ±∞
4. 5.
x
k k x + = e , lim x → ±∞ x
k k ) ( x + ... + a x + a = a x lim k ) k 1 0 x → ±∞
a k x k + ... + a 1 x + a 0 akxk = lim lim m m x →±∞ b x m + ... + b1 x + b 0 x →±∞ b m x ( x − x 0 ) f1 ( x ) f (x) f1 ( x ) = = lim lim lim x →x g ( x ) x→x ( x − x ) g ( x ) x→x g ( x ) 0 1 1 0
0
0
ha x0 mindkét függvény zérushelye 6.
sin x =1 lim x →0 x
3) EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA Definíció: Legyen f: D→R értelmezve az x0 ∈D helyen és annak valamely környezetében. Az f függvény folytonos az x0 pontban, ha lim f ( x ) = f ( x 0 ) x →x
0
azaz létezik a jobb és a baloldali határérték az x0 pontban és ezek megegyeznek az x0 pontban vett helyettesítési értékkel. Ez azt jelenti, hogy nincs ugrás, szakadás az x0 helyen a függvény görbéjén.
A definíció következménye, hogy az x0 pontban folytonos függvény • értelmezve van x0–ban • létezik itt a határérték • a határérték egyenlı a helyettesítési értékkel.
Nem folytonos a függvény x0–ban, ha a fenti pontok bármelyike nem teljesül. Ilyenkor szakadás van az x0 pontban. Definíció: Az f függvény folytonos egy H halmazon, ha annak minden pontjában folytonos.
Mőveletek és folytonosság Tétel: Adott intervallumon folytonos függvények összege, különbsége, szorzata, hányadosa (ha a nevezı itt nem nulla), konstansszorosa is folytonos. Tétel: Adott zárt intervallumon folytonos valós függvény • korlátos • felveszi szélsıértékeit és • bármely két felvett érték közötti minden számot felvesz.
pl.: f: [-1, 2]→R, f(x)= -x2+1
