HOZZÁRENDELÉSEK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

HOZZÁRENDELÉSEK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

KÉSZÍTETTE: PARÓCZAY JÓZSEF, PUSZTAI JULIANNA

134

MATEMATIKA „A” – 7. ÉVFOLYAM – 079. HOZZÁRENDELÉSEK…

TANULÓI MUNKAFÜZET

1. FELADATLAP 1. Megadtunk két halmazt. Az A halmaz néhány európai nagyváros nevét tartalmazza, a B halmaz számokat. Az A halmaz elemeihez úgy rendeltük a B halmaz elemeit, hogy azok a nagyvárosok népességét mutassák. Sorold fel mindkét halmaz elemeit! Írd le a „Ò” jelöléssel, hogy az A halmaz elemeinek melyik B halmazbeli elem felel meg! A halmaz

B halmaz

Párizs

2 millió

Budapest

1,4 millió

Róma

11 millió

Moszkva

3 millió

Stockholm

10 millió

2. Az A halmaz elemei gyümölcsök, a B halmaz elemei termések. Jelöld nyíllal a halmazábrán, hogy melyik gyümölcs melyik terméstípushoz tartozik! A = {szilva; ribizli; szőlő; alma; dió; őszibarack} B = {bogyó; alma; csonthéjas} A halmaz

B halmaz

Szilva

Bogyó

Ribizli Szőlő

Alma

Alma Dió

Csonthéjas

Őszibarack

3. Az A halmaz elemeit az első számegyenesen kék ponttal jeleztük. A B halmaz elemei a második számegyenesen vannak, ezeket nem jelöltük meg. Az A halmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a valódi osztóit! Jelöld nyíllal ezt a kapcsolatot! Sorold fel mindkét halmaz elemeit! 0 1

0

5

1

10

2

15

3

20

4

5

25

6

30

7

8

TANUNLÓI MUNKAFÜZET

0791. Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

135

4. Ebben a feladatban a hozzárendelést szám párokkal adtuk meg: minden szám pár első jelzőszámához a második jelzőszámát rendeljük hozzá. (–3; –1); (–2,5; –0,5); ( –1; 1); (1; 3); ( 2; 4); ( 2,5; 4,5). Add meg az A és B halmazt elemeik felsorolásával, és írd le, hogy milyen szabály szerint rendeltük az A halmaz elemeihez a B elemeit! Ábrázold ezt a kapcsolatot derékszögű koordinátarendszerben úgy, hogy az x tengelyen az A halmaz, az y tengelyen a B halmaz elemei legyenek! Rajzold meg halmazábrán is ezt az összefüggést! 5. Válogasd ki az előző hozzárendelések közül az egyértelműeket!

2. FELADATLAP 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek egyértelműek? Írjátok le a füzetetekbe a kapcsolódó elemeket a „Ò” jelöléssel! a) Alaphalmaz: évszakok. Képhalmaz: a hónapok. Hozzárendelés: minden évszakhoz rendeljük hozzá a hónapok közül a hozzá tartozót! b) Alaphalmaz: a tanult tantárgyak. Képhalmaz: a hét munkanapjai. Hozzárendelés: minden tantárgyhoz rendeljük hozzá azt a napot, amikor órarend szerinti óra van! c) Alaphalmaz: a háromnál kisebb abszolút értékű egész számok. Képhalmaz: az ötnél kisebb nem negatív egész számok. Hozzárendelés: minden alaphalmazbeli elemhez rendeljük hozzá a négyzetét! d) Alaphalmaz: {2,1; ; 5,3; 6}. Képhalmaz: az első 10 természetes szám. Hozzárendelés: Az alaphalmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a nála legalább hárommal nagyobb képhalmazbeli számot! e) Alaphalmaz: az 50-nél kisebb természetes számok. Képhalmaz: a 25-nél kisebb természetes számok. Hozzárendelés: Az alaphalmaz minden eleméhez rendeljük hozzá a valódi osztóinak számát! 2. A következő halmazok elemei között létesíts egyértelmű hozzárendelést! Add meg a hozzárendelés szabályát, majd szemléltesd Venn-diagramon az elemek kapcsolatát! a) A = {banán, kivi, eper, málna, meggy, narancs} B = {piros, bordó, sárga, narancs, zöld} b) A = {2; –3; 4; 3; –4} B = {2; 3; 4} c) A = {oxigén, széndioxid, levegő, limonádé} B = {elem, keverék, vegyület}

TUDNIVALÓ Az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. A hozzárendelési szabály minden alaphalmazbeli elemhez pontosan egy képhalmazbeli elemet, a függvényértéket rendeli.

136



3. FELADATLAP 1. A következő ábrákról három függvény összetartozó értékeit olvashatod le. Az első számegyenes az alaphalmaz, a második számegyenes a képhalmaz elemeit tartalmazza. Nyilakkal jelöltünk néhány összetartozó elempárt. Add meg a három hozzárendelés szabályát, rajzold be a hiányzó nyilakat, és írd be a függvényértékeket! a) –5

0

5

–5

0

5

b) –10

0

10

0 1

c)

–3

0 1

0 1

2. A különböző játékgépek különböző szabállyal dolgoznak. „Dobjuk be” a játékgépbe egyenként az alaphalmaz (A) néhány elemét! Számítsuk ki a gép saját működési szabálya alapján a bedobott számhoz tartozó, kijövő (K-beli) elemet! Töltsétek ki a táblázatot, amelynek felső sorában a bedobott számok, az alsóban pedig a kiadott számok szerepelnek! a)

x A = {8-nál kisebb nem negatív egész számok} K = {egész számok}

2x – 3

Hozzárendelési szabály: minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a kétszeresénél 3-mal kisebb számot! x y Mi lenne a függvényérték, ha a gép befogadóképessége nagyobb lenne, és elfogadná pl. a 10, 50, 100, 125 számokat is?


b)


A = {–6-nál nem kisebb negatív egész számok} K = {egész számok}

137

x

Hozzárendelési szabály: rendeljük hozzá minden A-beli számhoz az abszolút értékét! Mely számok lesznek a függvényértékek halmazában?

|x|

x y Ha a gép elfogadja a –6-nál kisebb egész számokat is, hogyan határoznád meg az alaphalmazt, és ebben az esetben mi lenne a képhalmaz? Egészítsd ki az értéktáblázatot néhány ilyen szám párral! c)

A = {sokszögek oldalszáma} K = {természetes számok}

4

Hozzárendelés: minden (adott oldalszámú) sokszöghöz rendeljük hozzá az átlóinak a számát! Az ábra a gép működésének egy pillanatfelvétele. Hány eleme lehet az alaphalmaznak, hány a képhalmaznak? Függvény-e ez a hozzárendelés? Miért? Vannak-e a a képhalmaznak „kimaradó” elemei, vagyis olyan természetes számok, amelyek nem értékei az adott függvénynek?

6

5 1. 5. 4.

2. 3.

5

sokszög oldalszáma sokszög átlóinak száma

4. FELADATLAP 1. Egy hordóba esővizet gyűjtünk öntözéshez. Egy tavaszi esős napon az alábbi grafikon szerint változott a hordóban lévő víz mennyisége. A megfigyelésünk fél órán keresztül tartott. Függvény-e az eltelt idő és a víz mennyisége közti kapcsolat? a víz mennyisége (liter)

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

idő (perc)

0

5

10

15

20

25

30

138


a)

Készíts táblázatot a grafikon alapján!

b)

Írd le, hogyan változott a hordóban lévő víz mennyisége!

c)

Mennyi víz volt a hordóban a vihar elején?


d) Leolvasható-e a grafikonról, hogy mikor állt el az eső? e)

Hány literrel nőtt a hordóban lévő víz mennyisége?

f)

10 perc elteltével mennyi víz volt a hordóban? Hogyan lehet ezt leolvasni?

g)

Mikor volt 16 liter a hordóban?

2. Emeséék biciklitúrán voltak az Őrségben. A grafikon a csoport sebességének változását mutatja az idő függvényében. Nézd meg figyelmesen az itt látható grafikont, és válaszolj az alábbi kérdésekre! sebesség (km/h)

40 35 30 25 20 15 10 5

idő (perc)

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

a) Körülbelül mikor volt a legnagyobb a csapat sebessége? b) Mikor mentek a leglassabban? c) Voltak-e olyan időpontok, amikor ugyanakkora sebességgel mentek? Írj rá példát! d) Körülbelül mekkora sebességgel mentek a 30. percben? e) Írd le, mely időszakokban növekedett a kerékpárosok sebessége? f) Az út dimbes-dombos területen halad. Lehet-e következtetni a grafikonból arra, hogy mikor kerekeztek dombra fölfelé, és mikor gurultak lefelé? 3. Meggyújtottunk egy 25 cm hosszú gyertyát. Egyenletesen égett, és azt tapasztaltuk, hogy 3 óra alatt a magassága 9 cm-t csökkent. Ábrázoljátok a gyertya magasságát az eltelt idő függvényében!



139

5. FELADATLAP 1. Ábrázold koordinátarendszerben a függvényt! A tengelyeken 2 négyzetrács legyen az egység. Hozzárendelési szabály: minden A-beli számhoz rendeljük hozzá a felét! a) A = {a 10-nél kisebb abszolút értékű páros számok} Készíts értéktáblázatot! Milyen függvényértékek szerepelnek a képhalmazban? x y=x:2 5

y

x –5

5

–5 b) A hozzárendelési szabály ugyanaz, mint az a) feladatban, de más az alaphalmaz. A = {a 10-nél kisebb abszolút értékű egész számok} Egészítsd ki az előző értéktáblázatot az alaphalmaz új elemeivel! Milyen új függvényértékek kerültek a képhalmazba? Jelöld az előző grafikonon a most kapott pontokat! c) Bővítsük tovább az alaphalmazt! A = {az egész számok}. Hány eleme van? Add meg a képhalmazt! Fel tudjuk-e sorolni az elemeit? Lehetnek-e a függvényértékek között a következő számok: 25,6;

100;

–97;

42,5;

–1206,5;

–50,25;

1 255 130,5?

d) Legyen most az alaphalmaz a racionális számok halmaza, vagyis A = {a racionális számok}. Add meg a képhalmazt! Egészítsd ki az alábbi értéktáblázatot! Lehetnek-e a függvényértékek között a következő számok: 25,6;

100;

–97;

42,5;

–1206,5;

–50,25;

Számíts ki minél több értékpárt, és ezeket is jelöld be a grafikonon! x y=x:2

–0,8 –6,5 –3,6

1,2

1,5

1,8

1 255 130,5?

140



2. Párokban dolgozzatok! A pár egyik tagja az A, másik a B feladatsorral dolgozzon! A megoldás után ellenőrizzétek egymás megoldásait, beszéljétek meg, hogy a két-két feladatot összehasonlítva milyen eltéréseket és milyen egyezéseket találtok! A a) A = {az egész számok} Minden egész számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál 2-vel kisebb számot! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést! b) A = {racionális számok} Minden számhoz rendeljük hozzá az abszolút értékét! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést! B a) A = {racionális számok} Minden egész számhoz rendeljük hozzá a háromszorosánál 2-vel kisebb számot! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést! b) A = {az egész számok} Minden számhoz rendeljük hozzá az abszolút értékét! Mi lehet a képhalmaz? Függvény-e ez a hozzárendelés? Írd le a hozzárendelési szabályt képlet formájában is! Készíts értéktáblázatot legalább 7 érték párral, és ábrázold grafikonon az összefüggést!

6. FELADATLAP Az alábbi grafikonok közül melyiket melyik „történettel” tudjátok logikai kapcsolatba hozni? Döntéseiteket indokoljátok! Írjátok fel, melyik tengelyen milyen változást jelöltünk! I.



141

II.

III.

a) Luca barátaival kirándulni ment. 4 óra alatt értek el egy gyönyörű tisztásra. Ott megpihentek, játszottak, majd két óra elteltével hazamentek. A kirándulás során végig egyenletes 3 km/h sebességgel haladtak. b) Gergő öt napon keresztül napi 100 Ft-ot tett félre zsebpénzéből. Két napig nem tudott félretenni, és a következő napon elköltötte összes félretett pénzét. c) Egy 8 literes kannából másodpercenként 1 liter vizet öntünk ki. A 3. másodpercben 3 másodpercig megálltunk, majd kiöntöttük az összes vizet.

7. FELADATLAP 1. Négyfős csoportban oldjátok meg a feladatot! Osszátok el, hogy ki dolgozzon az a), a b), a c) illetve a d) ponttal! Ha mindenki elkészült a saját munkájával, beszéljétek meg, hogy miben egyeznek meg, miben különböznek a megoldásaitok! a) 1 m függönyanyag 2000 forintba kerül. Mennyit fizetünk, ha 2 m-t; 2,5 m-t; 2,8 m-t; 3 m-t; 3,2 m-t vásárolunk? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a vételárat! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a vételár (v) a vásárolt anyaghossztól (h)! (Az y tengelyen szerepeljen a vételár: 1 cm jelentsen 1000 forintot!)

142


h (m)

2

2,5

2,8


3

3,2

v (Ft) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

0

1

2

3

4

h (m)

1 óra; 4 2,5 óra; 3 óra alatt? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a megtett utat! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a megtett út (s) az időtől (t)!

b) Egy gépkocsi óránként átlag 80 km utat tesz meg. Mekkora utat tesz meg fél óra; 2 óra; 2

t (óra)

2

21 4

2,5

3

1

2

3

4

s (km) 3000

2000

1000

0

0

t (óra)



143

c) A gazda naponta 7 szilvafa gyümölcsét szedi le, hogy a piacra vigye. Hány szilvafát szed meg fél nap; 2 nap; 2,5 nap; 3 nap; 5 nap alatt? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani az elvégzett munkát! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a megszedett fák száma (f) a munkanapok számától (n)! n (munkanapok száma)

2

2,5

3

5

f (megszedett fák száma)

30

20

10

0

2

0

4

n (munkanapok száma)

6

d) Mekkora a négyzet kerülete, ha oldala: 2 cm; 2,5 cm; 2,8 cm; 3 cm; 3,2 cm? Írd le képlettel, hogyan kell kiszámítani a négyzet kerületét! Készíts értéktáblázatot, és ábrázold grafikonon, hogyan függ a négyzet kerülete az oldal hosszától! a (cm)

2

2,5

2,8

3

3,2

k (cm) 15

10

5

0

0

1

2

3

4

a (cm)

144



2. Ábrázold a következő összefüggésekkel megadott függvényeket! Az alaphalmaz és a képhalmaz a racionális számok halmaza. A grafikont megrajzolhatod más színnel az előző feladat megfelelő koordinátarendszerében. a) v = 2000 · h b) s = 80 · t c) f = 7 · n d) k = 4 · a

TUDNIVALÓ Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes. 3. Kerekecske falucska hegyoldalban épült. A Lejtő utcán a gyalogjárdán lépcsőkőn lehet felmenni az utca végéig.

a) Kezdetben a lépcsők 1 m szélesek és 1 dm magasak. Panni néni gyalogosan, Pali unokája mellette az úttesten kerékpáron halad fölfelé. Ábrázoljuk mindkettőjük emelkedését grafikonon úgy, hogy: az x tengelyen a lépcsők számát, az y tengelyen az emelkedést ábrázoljuk. (Elegendő 4-5 lépcső ábrázolása az emelkedés megfigyeléséhez.) y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)



145

b) A közepétől meredekebb a Lejtő utca, itt az 1 m széles lépcsők 2 dm magasak. Ábrázoljuk ezt is grafikonon! y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)

c) Az utca végén Panni néninek össze kell szednie az erejét, hiszen ezen a szakaszon 1 m-enként 3 dm magasak a lépcsők, de Palinak sem könnyű ezen a kaptatón tolni a kerékpárt. Ábrázoljuk ezt az emelkedést is, majd figyeljük meg a három grafikon meredekségét! Hogyan számítjuk ki a szintkülönbséget az a), a b) és a c) feladatban? Írjuk fel mindhárom függvény képletét! y (dm) 12 10 8 6 4 2 1 0

0

1

2

3

4

x (m)

4. Egy medencében 60 cm magasan áll a víz, amikor megnyitják a lefolyót. Ennek következtében óránként 8 cm-rel csökken a vízszint. Mit gondolsz, ennek a függvénynek is egyenes lesz a grafikonja? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold a vízszintcsökkenést az idő függvényében! Az x tengelyen 2 rács 1 óra, az y tengelyen 2 rács 10 cm legyen! Mit állapíthatsz meg ennek a függvénynek a meredekségéről? Írd le képlettel a függvényt!

146



5. Töltsd ki az értéktáblázatot, amelynek első sorába beírtunk néhány alaphalmazbeli elemet, a második, harmadik és negyedik sorba pedig az itt felsorolt három függvény értékeit kell beírnod. Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a racionális számok halmaza! a) Minden számhoz hozzárendeljük önmagát. b) Minden számhoz rendeljük hozzá a –2-szeresét! c) Minden számhoz rendeljük hozzá a felét! Számítsd ki mindegyik feladatban az összetartozó érték párok hányadosát! x

–3

–2,4

1 2

–1

1

2

3

y x

y=x y = –2x y=

1 x 2

Milyen összefüggés van az egymáshoz rendelt mennyiségek között? Ábrázold a megadott függvényeket ugyanabban a koordinátarendszerben! (Használj különböző színű ceruzát a különböző grafikonokhoz!) Figyeld meg mindegyik függvény esetében, hogy ha az x tengelyen 1 egységet pozitív irányba lépünk, akkor ez mekkora emelkedést jelent y irányban! Mennyi a függvények meredeksége?

6

y

4

2

–4

–2

0

–2

–4

–6

2

4

x



147

6. Készíts értéktáblázatot a megadott függvényekhez, és ábrázold őket: az alaphalmaz és a képhalmaz a racionális számok halmaza! Figyeld meg mindegyik függvénynél, hogy 1 egység x irányú lépés mekkora emelkedést jelent y irányban! Mennyi a függvények meredeksége? a) y =

3 x 4

b) y = –

2 x 3

8. FELADATLAP Négyfős csoportban oldjátok meg a feladatokat! Osszátok el, hogy ki dolgozzon az a), a b), a c) illetve a d) ponttal! Minden feladatban készítsetek értéktáblázatot, majd ábrázoljátok a függvényeket! Ha mást nem adunk, az alaphalmaz és a képhalmaz minden esetben a racionális számok halmaza. Ha mindenki elkészült a saját munkájával, nézzétek meg egymás feladatait, ellenőrizzétek a megoldásokat, majd válaszoljatok a feltett kérdésekre! a) 1. Az alaphalmaz és a képhalmaz a pozitív számok halmaza. Hogyan függ a négyzet területe oldalának a hosszúságától? Írd le a függvény képletét is! 2. y = 2 · x – 4 b) 3. Minden egész számhoz rendeljük a négyzeténél 1-gyel nagyobb számot! Írd le a függvény képletét is! 4. y = 3,5 · x c) 5. Egy téglalap területe 12 cm2, hogyan függ b oldalának hossza az a oldal változásától? Legyen az alaphalmaz: {1; 2; 3; 4; 6; 12}! Írd le a függvény képletét is! 6. y = –x d) 7. Rendeljük minden számhoz az abszolút értékének az ellentettjét! Írd le a függvény képletét is! 1 8. y = – · x + 1 4 Figyeld meg az ábrázolt nyolc függvényt! Melyek grafikonja egyenes? Írd le ezek képletét! Van-e a megadott függvények között olyan, amely egyenes arányosságot fejez ki? Írd le ezek képletét! Mekkora ezeknek a függvényeknek a meredeksége? Hogyan állapítható meg a képletből a meredekség?

148



9. FELADATLAP 1. Töltsd ki az értéktáblázatot, amelynek első sorába beírtunk néhány alaphalmazbeli elemet, a második, harmadik és negyedik sorba pedig az itt felsorolt három függvény értékeit kell beírnod. Az alaphalmaz és a képhalmaz legyen a racionális számok halmaza! Ábrázold közös koordinátarendszerben a három függvényt! a) y = 2x

y = 2x + 4 x

y = 2x – 5

–3

–1,5

0

1

2,5

y = 2x y = 2x + 4 y = 2x – 5

y 10

5

–5

5

–5

–10

x

3


b) y = –3x


y = –3x + 4 x

–2

149

y = –3x – 5 –1,5

0

1

1,5

2

y = 3x y = 3x + 4 y = 3x – 5

y 10

5

–5

x

5

–5

–10

2. Ábrázold a halmazábrával megadott hozzárendelést koordinátarendszerben! Minden racionális számhoz a képhalmaz egyazon elemét rendeljük. Függvény-e ez a hozzárendelés? Alaphalmaz

Képhalmaz

y 5

3 16 –1 1000

4 –5

2,5 0

2 3

–99

5

x

150



ÖSSZEGZÉS Lineáris függvények – Elsőfokú függvény: olyan függvény, amelyben az x az első hatványon szerepel, például y = 2x + 4, y = –3x + 4, y = 3x – 2 (x az alaphalmaz, y a képhalmaz eleme). A hozzárendelés szabálya: minden x-hez valahányszorosát, + egy számot rendelünk. Általános képlete: y = a · x + b, vagy f(x) = a · x + b (a és b tetszőleges számok); „a” az a szorzószám, amely a függvény meredekségét jelöli, „b” értéke pedig megmutatja, hogy a grafikon hol metszi az y tengelyt. Grafikonja egyenes. – Konstans függvény: olyan függvény, amely bármely x-hez ugyanazt az állandó y-t rendeli. Grafikonja x tengellyel párhuzamos egyenes. 3. Ábrázold a megadott lineáris függvényeket közös koordinátarendszerben! a) x g 2x – 1

x g 3x – 1

b) x g –x + 2

x g –2x + 2

c) x g

2 x+3 3

1 x–1 3 1 xg– x+2 2 xg

2 xg– x+3 3

xg3

10. FELADATLAP Ábrázold a két függvény grafikonját közös koordinátarendszerben! Az alaphalmaz a racionális számok halmaza. 1 f(x) = –2x + 4; g(x) = x – 3 3 Olvasd le a grafikonról, hogy mekkora a függvények értéke különböző x helyeken! Írd be ezeket a táblázatba! x

–3

–2

0

1,5

3

4

5

6

f(x) = –2x + 4 g(x) =

1 x–3 3

Jelöld meg zölddel az x tengelyen azokat a pontokat, amelyeknél a két függvény értéke egyenlő! Hány ilyen pont van? Keress olyan pontokat az x tengelyen, amelyeknél az f(x) > g(x), színezd ezeket pirossal. Hány ilyen pont van? Keress olyan pontokat az x tengelyen, amelyeknél az f(x) < g(x), színezd ezeket kékkel. Hány ilyen pont van? Mi a megoldása a következő egyenletnek, egyenlőtlenségeknek: –2x + 4 =

1 x–3 3

–2x + 4 >

1 x–3 3

–2x + 4 <

1 x–3 3



151

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Melyik esemény mikor történt? Rajzolj két halmazt, és kösd össze nyíllal az összetartozó elemeket! A = {896; 1526; 1241; 1456; 1222} B = {Tatárjárás; Mohácsi vész; Honfoglalás; Aranybulla; Nándorfehérvári diadal} 2. Az A halmaz elemeihez rendeld hozzá a B halmaz elemeit! Rajzolj két halmazt, írd be az elemeket! Kösd össze A halmaz elemeiből kiinduló nyíllal, hogy melyik növény hol él! A = {trópusi erdő, szavanna, sivatag} B = {óriáskaktusz, majomkenyérfa, orchidea, lián, akáciák} 3. Az A halmaz elemeihez rendeld hozzá a B halmaz elemeit! Rajzolj két halmazt, és az A halmaz elemeiből kiinduló nyíl jelezze, melyik B halmazbeli elemet rendelted hozzá! A ={víz, neon, argon, grafit, hélium, szén} B ={atomkristály, molekula, nemesgáz} 4. A következő hozzárendelések közül válaszd ki, melyek az egyértelmű hozzárendelések! a) A = {13 éves tanulók } K = {iskolák} Minden tanulóhoz rendeljük hozzá azt az iskolát, ahol tanulmányait végzi. b) A = {az iskolád ablakai} K = {egész számok} Minden ablakhoz rendeljük hozzá az ablakban lévő virágok számát. c) A = {az iskolád osztálytermei} K = {egész számok} Minden osztályteremhez az ablakok számát rendeljük. d) A = {az iskolád tantermei} K = {az iskolában található számítógépek} Minden tanteremhez hozzárendeljük azt a számítógépet, ami a teremben van. e) A = {a sík egy adott P pontja} K = {a sík pontjai} A P ponthoz rendeljük hozzá a tőle 3 cm-re levő pontokat. 5. Állapítsd meg az alaphalmazt, képhalmazt! Mi lehet az ábrázolt hozzárendelés? Függvény-e a hozzárendelés?

D’

t

C

B = B’

C’

A’ A

D

152



6. Készíts számhalmazokkal hozzárendelést! Megadtuk az A halmazt, a B halmaz megadása után keress A-ból B-be hozzárendelést! A = {A 20-nál kisebb pozitív, hárommal osztható számok halmaza} 7. Készíts számhalmazokkal hozzárendelést! Megadtuk az A halmazt, a B halmaz megadása után keress A-ból B-be hozzárendelést! A = {10-nél kisebb pozitív egész számok} 8. Ábrázold koordinátarendszerben a hozzárendelést a megadott számok halmazán! Keress az ábrának megfelelő hozzárendeléseket! a)

A halmaz

B halmaz 0

1

–2 5

–3

–8

2 10

6

9

–7

11 –4

9

–6 8

10

b)

7

A halmaz

B halmaz

3 4

1 –11

–11,2 –

5 9

–1

0 0,3

0 23 8

3


c)


A halmaz

153

B halmaz

1 47 5 –3 0 0

–32,8

9. Ábrázoljátok a következő hozzárendeléseket külön koordinátarendszerben! a) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz is a racionális számok halmaza. Hozzárendelési szabály: y = 12x b) Legyen az alaphalmaz és a képhalmaz a természetes számok halmaza. Hozzárendelési szabály: a megvásárolt kiflikhez a fizetett értéket rendeljük, ha 1 kifli 12 Ft-ba kerül. Az első tengelyen a kiflik számát, a második tengelyen a kiflikért fizetett értéket ábrázoljátok! Különböző-e a két hozzárendelés grafikonja? Miért? 10. Rendeljünk természetes számokhoz ismét természetes számokat! k: Kacsák számához hozzárendeljük a lábaik számát. r: Rókák számához hozzárendeljük a lábaik számát. s: Sáskák számához hozzárendeljük a lábaik számát. a) Készíts táblázatot a k, r, s hozzárendelésekhez! b) Függvények-e ezek a hozzárendelések? Miért? Írásban válaszoljatok! c) Melyik hozzárendelést kapcsolhatjátok a fent megadottakhoz az alábbiak közül? f(x) = 6 · x;

g(x) = x + 6;

i(x) = x · 4;

j(x) = 2 · x

d) Ábrázoljátok a k; r; s függvényeket közös koordinátarendszerben! Olvass a grafikonról! e) Megrajzolhatók-e a grafikonok egy vonallal? Miért? Írásban válaszoljatok! f) Melyik függvény grafikonja a „legmeredekebb”? g) Miért az origóból indul ki mindegyik hozzárendelt grafikon? h) Hány rókának van annyi lába, mint 6 kacsának? i) Hány kacsához, rókához, sáskához tartozik 24 láb? j) Ismertek-e olyan állatot, melynél a hozzárendelés v(x) = 10 · x lenne?

154



11. Péter és Pál távirányítású autókkal játszanak. Egymástól 15 m távolságra állnak, egy egyenes útszakaszon. Péter autója 20 másodperc alatt teszi meg Pálig az utat, Pál autója 30 másodperc alatt ér Péterhez. Koordinátarendszerben ábrázoltuk a két autó mozgását. Milyen megfigyeléseket tehetünk? út (méter)

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Péter autója Pál autója

idő (másodperc)

0

4

8

12 16 20 24 28 32 36

12. Fürdéshez 5 perc alatt töltöttük meg a 100 literes kádat vízzel. Negyed óráig fürödtünk, majd leengedtük a vizet. A lefolyón percenként 10 liter víz folyik le. Ábrázold az eltelt idő függvényében a kádban levő víz térfogatát! A csap megnyitásához képest mikor volt a kádban 50 liter víz? vízmennyiség (liter)

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

idő (perc)

0

5

10

15

20

25

30

35

13. Péter kisöccse pancsol a fürdőkádban. 10 perc játék után kihúzza a dugót. 2 perc múlva észreveszi az anyukája, de addigra 10 cm-t csökkent a víz magassága. Az édesanya visszateszi a dugót, és újra enged vizet a kádba 4 percig. Ekkor a víz magassága az eredeti 30 cm-es magasság lesz. Ábrázold a kádban lévő víz magasságát az idő függvényében! h (cm)

30 20 10 0

t (perc)

0

2

5

10

15



155

14. A felsorolt lineáris függvényeket a racionális számok halmazán értelmezzük. Ábrázold a függvényeket koordinátarendszerben, állapítsd meg, hol metszik a grafikonok az x, y tengelyeket! a) a(x) = 2x b) b(x) = –x + 8 1 x–2 3 d) d(x) = 4 – 3x

c) c(x) =

15. Válaszd ki a lineáris függvényeket a felsoroltak közül! f(x) = x –

2 3

g(x) =

5 x

h(x) = |x – 3|

l(x) =

x+7 3

16. Mely függvények grafikonjai párhuzamosak egymással? f(x) = x + 9

g(x) = 9

i(x) = 5 + 9x

h(x) = 9x

l(x) =

1 x 9

k(x) =

1 9

j(x) = x – 9

17. Van-e olyan lineáris függvény, amelynek grafikonja párhuzamos az y tengellyel? Indokolj! 1 18. Hol metszi egymást az f(x) = 7 és a g(x) = – · x + 5 függvény grafikonja, ha a függvényeket a 2 racionális számok halmazán értelmezzük? 19. Ábrázold közös koordinátarendszerben a lineáris függvényeket! Készíthetsz táblázatot az ábrázoláshoz! Az ábrázoláshoz használj különböző színeket! a) f(x) =

2 ·x 3

és

g(x) =

2 ·x–4 2

Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a g(x) függvény grafikonja az f(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért? b) v(x) = –

3 ·x+1 4

és

u(x) = –

3 ·x–2 4

Hol metszi egymást a két függvény grafikonja? Miért? Van-e egyenes arányosság a megadott függvények között? Igaz-e, hogy a v(x) függvény grafikonja az u(x) függvény grafikonja alatt halad? Miért? 20. A következő hozzárendelési szabályok is lineáris függvényt határoznak meg? Táblázat készítése és ábrázolás után tudsz válaszolni erre a kérdésre. Próbáld megadni a hozzárendelési szabályt a legegyszerűbb alakban! x+6 2 b) b(x) = 3(x + 2) – (x + 5)

a) a(x) =

c) c(x) =

2x – 2 x–1

156



21. Add meg a hozzárendelési szabályát annak a lineáris függvénynek, amely a P (–5; 8) és Q (–1; 0) pontokon halad át! 22. Adj meg olyan lineáris függvényt, melynek grafikonja párhuzamos az f(x) = grafikonjával, és olyat is, amely az y tengelyt ugyanott metszi!

8·x–3 függvény 5

HOZZÁRENDELÉSEK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0792. Sorozatok

KÉSZÍTETTE: PARÓCZAY JÓZSEF, PUSZTAI JULIANNA

158



1. FELADATLAP 1. Hol találkozunk a mindennapi életünkben sorozatokkal? Gyűjtsetek minél több példát az otthon, iskolában, üzletekben, intézményekben, tévében, sportversenyeken, fizikában, kémiában, biológiában, az élet bármilyen területén előforduló sorozatokra! 2. Nagymama kincses dobozában sok ilyen gyöngy van. Szívesen ad Neked belőlük, amennyit kérsz, ezért úgy gondolod, hogy egy szép gyöngysorral fogod barátnődet születésnapján meglepni. Tervezd meg és rajzold le, milyen lesz ajándékodban a gyöngyök sora! 3. A fiúk faragott botot készítenek a kiránduláson. Rovátkás díszítést vésnek végig a bot hosszában. Háromféle jelet használnak: > < +. Ezeket elforgatva is alkalmazzák. Tervezz ilyen díszítést, rajzold le, milyen legyen a rovásjelek egymásutánja! 4. Figyeld meg az ábrák sorozatát! Keress hozzájuk valamilyen szabályt, és folytasd aszerint! Írd mindegyik alá, hogy hány pötty van az egyes elemekben! Rajzolj és folytasd a számsorozatot még 3-4 taggal! Rajz nélkül is folytathatod a sorozatot, ha találtál szabályt, amely szerint követik egymást a számok az adott sorban. Hány eleme van ezeknek a sorozatoknak? a)

b) c) 5. Figyeld meg a számok sorozatát! Találj ki hozzá szabályt! Ha találtál szabályt, folytasd mindegyik sorozatot még 3-4 elemmel! Írd le, melyik szám van a 25., 52., 100. helyen! a) 1; 2; 3; 0; 1; 2; 3; 0 … b) 1; –1; 1; –1; 1; –1 … c)

1 2 3 4 5 ; ; ; ; … 2 3 4 5 6

d) 11; 21; 31; 41 … e) 3,3; 3,03; 3,003; 3,0003 … f) 1; 4; 9; 16; 25 …


0792. Sorozatok

159

2. FELADATLAP 1. Egy sorozat első eleme 1, a második 3. Keress minél több szabályt, amely szerint folytatni lehet a sorozatot! Írd is le a különböző szabállyal képzett sorozatok első 5 elemét! 2. Folytasd négy elemmel a számok sorozatát a megadott szabály szerint! a) 3-mal osztva 1 maradékot adnak: 1; 4; 7; A sorozat elemeit az ábécé kisbetűivel jelöljük, a jobb alsó index utal arra, hogy a sorozat hányadik eleméről van szó. Ebben a feladatban a1 = 1; a2 = 4; a3 = 7. Írd fel ezzel a jelöléssel a sorozat 10.; 15.; 51. elemét! b) a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; an= 2n

2; 4; 6;

3. Fibonacci (1170–1250?) olasz matematikus híres sorozata a következő: a1 = 1; a2 = 1; a3 és minden következő elem az őt megelőző két szám összege. Írd fel a sorozat első 12 elemét! Nézz utána, hogyan fogalmazta meg az eredeti problémát Fibonacci! (Internet, Sain Márton: Matamatika-történeti ABC) 4. Tekintsük a négyzetszámok sorozatát: a1 = 12, a2 = 22, a3 = 32 … an= n2 Nézd meg az 1. feladatlap 4. feladatában is ezt a sorozatot! Írd le egy sorba az első 10 elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét, és írd az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Számítsd ki ebben a sorozatban is a különbségeket, és írd alá a következő sorba! Milyen sorozatot kaptál? 5. 2 m mély kiszáradt kútban egy csiga mászik felfelé. 1 óra alatt 4 dm-t halad, de 1 dm-t visszacsúszik. Mennyi idő alatt jut ki a kútból? Írd fel azt a számsorozatot, amely leírja, hogy az 1, 2… óra alatt mekkora utat tett meg a csiga! Milyen szabály határozza meg ezt a sorozatot? Írd fel a sorozat különbségsorozatát! 6. Írd fel a megadott sorozat első 10 elemét, majd képezd ezek különbségsorozatát! Csoportban dolgozzatok úgy, hogy mindenki egy feladatot oldjon meg, majd összehasonlítva munkátokat, beszéljétek meg a tapasztaltakat! a) a sorozat elemei azok a számok, amelyeket 4-gyel osztva, a maradék: 2. b) a sorozat elemei azok a számok, amelyeket 8-cal osztva, a maradék: 2. c) a1 = 17, a2 = 14, a3 = 11 a sorozat további elemei is 3-mal osztva, 2 maradékot adnak. d) a1 = 20, a2 = 14, a3 = 8 a sorozat további elemei is 6-tal osztva, 2 maradékot adnak.

TUDNIVALÓ: Számtani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatot, amelyben a második elemtől kezdve bármely elem és az előtte levő különbsége állandó.

160



3. FELADATLAP 1. Párban dolgozzatok! Készíts számsorozatot a párodnak! Add meg a sorozat első elemét és egy szabályt úgy, hogy a sorozat a) számtani sorozat legyen; b) biztosan ne számtani sorozat legyen! Oldd meg azt a feladatot, amit kaptál! Beszéljétek meg! 2. Válaszd ki, melyik lehet számtani sorozat! Indokolj! A számtani sorozatokban írd le a d értékét! 41; 44; 41; 44; 41; 44; 41 … 41; 31; 21; 11; 1; –9 … 1 1 1 1 1 ; ; ; ; … 2 3 4 5 6 4 5 1 2 ; ; 1; ; ; 2… 3 3 3 3 3; 9; 27; 81; 243 … 3. Imre 2 éve telket vásárolt. Évente 3 fát ültet, mert szeretne szép gyümölcsöskertet létesíteni. Most 7 szilvafája van. Hány fával vette a telket, és hány gyümölcsfája lesz 5 év múlva? 4. A következő számtani sorozatokban az első négy tagot és a differenciát szeretnénk tudni. Határozd meg az első négy tag és a differencia közül azokat, melyek nincsenek megadva! a) a1 = –12;

a2 = –8;

b) a1 = 100;

d = 10

c) a3 = 1,4;

d = 0,1

d) a1 = 32;

a4 = 65

e) a2 = 25;

a4 = 13

a3 = –4

4. FELADATLAP 1. Figyeljétek meg a következő sorozatot és írjátok le az első 6 elemét! a1 = 1; a2 = 1 + 2; a3 = 1 + 2 · 2; a4 = 1 + 3 · 2; a5 = 1 + 4 · 2… a) Állapítsátok meg és indokoljátok, hogy számtani sorozat-e? – Mennyi a sorozat 51. eleme? Milyen módszerrel számoltátok ki? – Hogyan számítanátok ki a sorozat n. elemét? Keressetek képletet a számítási eljárásra: an= ? b) Írjátok fel a sorozat 31. tagjától kezdve 9 elemét! – Keressetek olyan elem párokat, amelyek különbsége azonos! Mit tapasztaltok? – Számítsátok ki az első három elem átlagát (számtani közepét), bármelyik egymás melletti három elem átlagát! Mit tapasztaltok? – Számítsátok ki az első és harmadik elem számtani közepét, bármelyik második szomszéd elem-pár számtani közepét! Mit tapasztaltok? – Számítsátok ki az első és ötödik elem átlagát, bármelyik negyedik szomszéd elem-pár átlagát! Mit tapasztaltok? – Számítsátok ki a kilenc szám átlagát! Mit tapasztaltok? – Keress olyan elem párokat, amelyek számtani közepe a 69! – Keressetek minél több olyan elempárt, amelyben a két szám összege 138! Mit tapasztaltatok?


0792. Sorozatok

161

c) Számítsd ki a kilenc szám összegét! Segít a következő felírás: 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 + 73 + 75 + 77 77 + 75 + 73 + 71 + 69 + 67 + 65 + 63 + 61 138 +138 +

+138 +

= ……… · 138 = ………

Vigyázz, ez két sorozat elemeinek összege! 2. Egy híres történet minden idők egyik legnagyobb matemetikusáról, Carl Friedrich Gaussról szól. A szájhagyomány szerint a 6 éves kis Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással. Nézd az órát! Neked mennyi időre van szükséged a feladat elvégzéséhez? 3. A következő sorozatok közül válaszd ki, melyik lehet számtani sorozat! Add meg a kiválasztott sorozatok differenciáját és a 15. elemét! a) 7; 77; 777; 7777… b) 34; 24; 14; 4… c) 2; 4; 8; 16… d) 1; 2; 1; 2; 1; 2… e) 55; 66; 77; 88… 4. A körcsarnokban a pályához legközelebbi kör mentén 520-an ülnek. Hány férőhelyes a csarnok, ha 25 körgyűrűben ülnek a szurkolók, és minden sorban 20-szal többen, mint a közvetlen előtte levőben? 5. A következő sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük. Ha felismerted a szabályt, folytasd mindegyiket 3-3 elemmel! Írd fel a sorozatok különbségsorozatát, felírhatod a különbségsorozatok különbségsorozatát is. Írd fel a sorozatok hányados sorozatát! Hányados sorozat: a szomszédos elemek hányadosainak sorozata. a) 3; 6; 12; 24; b) 1; 3; 9; 27; c) 5; –10; 20; –40; d) Fogalmazd meg, hogy mit nevezünk mértani sorozatnak. e) A 3. feladatban is van egy mértani sorozat. Melyik? Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhindpapirusz, amely körülbelül Kr.e. 1750-ből való. Nevét felfedezőjéről, Henry Rhind skót régiségkereskedőről kapta. Ez a mű az elsőként megismert, ókori egyiptomi matematikával foglalkozó írás.

162



6. megtett út (km)

6

5

unoka

4

3

2

1 nagypapa

0

idő (perc)

0

6

10

20

30

40

50

Két szomszédos, 6 km-re lévő faluból egyszerre indult el nagyapa és unokája, hogy találkozzanak. Egyenletes sebességgel mennek, és 6 perc után már 750 m-rel vannak közelebb, mint induláskor (most távolságuk a kék szakasz a grafikonon). Elég-e ennyi, hogy megtudjuk: mennyi idő múlva fognak találkozni? Írd be a táblázatba, hogy útjuk minden újabb 6 percével hogyan változik a távolság köztük! eltelt idő (perc)

0

6

nagyapa és unoka távolsága (km)

6

5,25

távolságváltozás köztük (km)

12

–0,75

Milyen sorozatot alkotnak ezek az egyre csökkenő távolságok? Hosszabbítsd meg a koordinátarendszerben a grafikonjaikat! Húzd be közöttük is – új kék szakaszokkal – a 6 percenkénti távolságaikat!


0792. Sorozatok

163

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Folytasd a sorozatot! Egy – megérett a meggy, Kettő – feneketlen teknő, Három – 2. Találj szabályt, és folytasd a sorozatot 4-4 elemmel! a) 7; 10; 13; 16… b) 1; 2; 4; 7; 11; 16… c) 96; 48; 24; 12… d) 2; 2; 4; 6; 10; 16… 3. Megadjuk a sorozat szabályát, írd fel az első 6 elemét! a) Az első eleme 2, a második és minden következő eleme 12-vel nagyobb, mint az őt megelőző elem. b) 17-nél nem kisebb páratlan számok sorozata. c) Az első eleme 100, a második 5-tel kisebb, mint az első, ugyanígy minden eleme 5-tel kisebb, mint az előző elem. d) Minden elem háromszorosa a sorszámának. e) Az ötödik tagja –6, és a sorozat minden eleme fele az előző elemnek. f) Minden eleme a sorszáma kétszeresénél 1-gyel kisebb. 4. Írd fel a megadott sorozatok első öt tagját! a) a1= 8.

A másodiktól kezdve minden tag az előzőnél hárommal kisebb.

b) a1 = a2 = 2 A harmadik tagtól kezdve, minden tag a kettővel előtte lévő tag kétszeresének és az előtte lévő tagnak az összege. 3 1 c) an = n– 2 2 5. Írd fel a következő sorozat különbségsorozatát, majd a különbségsorozat különbségsorozatát (második különbségsorozat)! Mit tapasztalsz? 1;

2;

5;

10;

17;

26;

37;

50;

…

6. a1= 2. A sorozat minden eleme 3-szorosa az őt megelőzőnek! Írd le egy sorba az első 8 elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét, és írd a különbségsorozatot az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Milyen sorozat lenne a második, harmadik különbségsorozat? 7. a1= 1. A sorozat minden eleme –3-szorosa az őt megelőzőnek! Írd le egy sorba az első 7elemét! Számítsd ki minden szomszédos elem különbségét (a másodiktól kezdve minden elemből vond ki az előtte állót), és írd a különbségsorozatot az eredeti sorozat számai alá! Milyen sorozatot kaptál? Milyen sorozat lenne a második, harmadik különbségsorozat?

164



8. Döntsétek el az alábbi sorozatokról, melyik számtani sorozat, melyik nem! A számtani sorozatokat és szabályaikat írjátok le a füzetbe! a) Ez egy olyan sorozat, melynek minden eleme a 0. b) Ez egy olyan sorozat, melyben van három egymás utáni, 0-tól különböző, váltakozó előjelű elem. c) A sorozat bármely elemét megkapjuk, ha az elemsorszám kétszereséből elveszünk 2-t. d) a1 = 4; a2 = 32; a3 = 54; … e) A sorozat bármely tagját úgy kapjuk meg, hogy a tag sorszámát megszorozzuk a következő tag sorszámával. 9. Tornyoska település templomának toronyórája csak az egész órákat üti. Mindig annyit, ahány óra van 1-től 12-ig. Egy nap alatt hány ütés hangzik a faluban? 10. Válasszátok ki az állítások közül az igaz állításokat, majd írjátok le a füzetbe azokat! Minden esetben készüljetek fel az érvelésre! a) A számtani sorozatoknál bármely elem – a másodiktól kezdve – nagyobb az őt megelőző elemeknél. b) Nincs olyan számtani sorozat, amelyben 3 elem értéke megegyezik, a többi ezektől különböző. c) Három egymást követő elem közül a középső mindig egyenlő a két szomszédjának átlagával. 11. Sorold fel az alábbi sorozatok első 4 elemét! Milyen sorozatok ezek? a) an = 7 · n – 1 2 5 c) an = (n + 0,5) · 2 b) an = n +

12. Számítsd ki a számtani sorozat kérdezett elemeit! a) a1 = –9

d = 11

1 3 c) a1 = 0,3

2 3 d = –0,8

b) a1 =

d=

a5 =

a11 =

a4 =

a10 =

a3 =

a8 =

13. A megadott két adat segítségével számítsd ki a számtani sorozat differenciáját és a kérdezett tagokat! a) a1 = 100

a3 = 130

d=

a7 =

b) a1 = 5

a7 = –61

d=

a4 =

c) a4 = 6

a9 = 16

d=

a1 =

d) a13 = 20,5

a6 = 47,1

d=

a10 =

14. Összeadtuk egy számtani sorozat első öt elemét. Az összeg 75. a) Hány ilyen számtani sorozat létezhet? Keress több megoldást! b) Van-e a sorozatoknak közös eleme? c) Add meg a tagokat, ha a differencia 4!

HOZZÁRENDELÉSEK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Függvények fogalma, ábrázolása; lineáris függvények

Recommend Documents