J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1, Hal.: 23 - 32 ISSN 1978-1873
SOLUSI EKSAK DAN KESTABILAN SISTEM BANDUL GANDA Amanto* dan La Zakaria Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Jl. S. Brojonegoro No.1, Bandar Lampung 35145 Indonesia Alamat untuk surat menyurat e-mail :
[email protected] Diterima 28 Agustus 2007, perbaikan 10 Desember 2007, disetujui untuk diterbitkan 27 Desember 2007
ABSTRACT Simple double pendulum system is a system consisting of two objects and two pieces of strong strand of metal but light. The system sway vertical with influenced by earth gravitation. On the happening of transfer of position of silent situation, the pendulum could sway by stabilizing or unstable. This article will present stable or unstable situation of the double pendulum system that concerned using the stability condition evaluated from eigen value of the system. Keywords: stability, simple double pendulum, stable-unstable condition, eigen value
1. PENDAHULUAN Suatu fenomena alam dapat dinyatakan dalam suatu model matematis, yang berupa sistem persamaan diferensial. Teori sistem merupakan cabang ilmu matematika yang berfokus pada kajian kontrol input dan output. Teori ini telah banyak diterapkan pada bidang teknik, fisika, biologi, dan bidang ilmu lain dan telah dikembangkan secara intensif oleh para ahli teknik teoritis, terutama teori sistem linear atas bilangan real 1) . Kestabilan merupakan konsep dasar yang penting dalam teori sistem matematis, disamping konsep keterkendalian dan keterobservasian2) . Model-model dalam aplikasi matematika pada ilmu rekayasa, fisika, biologi dan lain sebagainya, banyak yang berbentuk sistem persamaan diferensial biasa. Perilaku solusi dari sistem seperti itu adalah contoh permasalahan yang dibahas dalam sistem dinamik. Sistem kerja pada Tim SAR (Search and Rescue) dan suplai makanan atau amunisi ke barak menggunakan pesawat helikopter merupakan dua contoh sistem kerja yang identik dengan sistem kerja pendulum.
L1
1
l = l1 + l2
l1
B1
m1
m1 2
L2
l2
B2
m2 m2
m2
Gambar 1. Sistem Bandul Ganda Sederhana
2008 FMIPA Universitas Lampung
23
Amanto dan La Zakaria Solusi Eksak dan Kestabilan
Sistem dinamik yang cukup realistis adalah sistem bandul ganda sederhana. Sistem bandul ini dapat merepresentasikan sistem kerja tim SAR (Search and Rescue) yang sedang mengupayakan penyelamatan dengan membawa perlengkapan penyelamatan atau korban bencana alam atau kecelakaan dengan menggunakan helikopter. Sistem bandul ganda sederhana adalah sistem yang terdiri dari dua benda B1 dan B2 dengan massa masing-masing benda adalah m1 dan
m2 . Selain itu benda tersebut masing-masing dihubungkan dengan dua helai kawat yang kuat tapi ringan L1 dan L2 dengan panjang masing-masing kawat adalah l1 dan l2 . Benda B1 terpasang pada ujung kawat L1 (ujung kawat L1 lainnya terpasang mantap pada sebuah bidang). Sementara itu benda B2 terpasang pada ujung kawat L2, di bawah pengaruh gravitasi 3) (ujung kawat L2 lainnya terpasang mantap pada benda pertama) (lihat Gambar 1). Dari Gambar 1. sistem bandul ganda memiliki 4 (empat) parameter yakni l1, l2, m1, dan m2. Dengan Dipengaruhi oleh grafitasi bandul gandaberosilasi pada bidang vertikal dengan sudut perpindahan untuk suatu waktu adalah 2
1
t dan
t . Model matematika untuk sistem bandul ganda yang diilustrasikan dalam Gambar 1. adalah sebagai berikut 4) : ( m1 m 2 l1 l 2
m 2 ) l1 1
2
m 2 l1 l 2
1
m2 l 2
2 2
2
m2 l 2 g
(m1
m 2 )l 1 g
0,
(1)
0
2
1
dengan g adalah kecepatan gravitasi. Untuk dua dekade terakhir, sejumlah matematikawan telah dan sedang menyelidiki tentang sifat-sifat struktur kualitatif pada sistem persamaan diferensial biasa. Dalam artikel ini akan paparkan hasil kajian kestabilan dari sistem bandul ganda untuk suatu waktu tertentu. Suatu sistem persamaan diferensial dapat diketahui kestabilannya dengan melakukan penyelidikan terhadap solusinya melalui pemberian nilai awal yang terletak pada persekitaran titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan adalah titik yang menyebabkan setiap persamaan penyusun sistem berniali nol6) . Suatu sistem dikatakan stabil jika diberikan suatu nilai awal yang dekat dengan titik kesetimbangan, maka solusinya juga cukup dekat dengan titik kesetimbangan tersebut. Sebaliknya, jika solusi sistem persamaan diferensial jauh dari titik kesetimbangan, maka sistem tersebut dikatakan tak stabil. Pada beberapa kasus sistem menuju titik kesetimbangannya. Jika terjadi demikian, maka sistem tersebut dikatakan stabil asimtotis. Dengan diketahui (kapan dan dimana) sistem tersebut stabil, maka akan diketahui pula prilaku sistem dan sifat-sifat nya. Sifat kualitatif yang dimaksud antara lain : kestabilan, keterkendalian dan keterobservasian6).
2. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka/literatur. Adapun langkah-langkah yang ditempuh adalah: 1. Mengubah bentuk persamaan sistem bandul ganda (1) (sistem PDB orde dua) menjadi bentuk sistem linear (sistem PDB orde satu) dengan mengambil permisalan yang sudah baku1) . 2. Menentukan matriks koefisien untuk sistem linear yang terbentuk oleh langkah 1. 3. Menetukan nilai- eigen matriks koefisien sistem linear untuk kemudian dikaji kestabilan sistem dengan menggunakan teorema kestabilan sistem linear. 4. Menentukan solusi umum dari sistem pendulum ganda yang selanjutnya digambar potret fasenya berdasarkan solusi khususnya.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Tinjau sistem bandul ganda yang direpresentasikan oleh model matematika sistem persamaan diferensial biasa orde dua (1). Misalkan a (m1 m2 )l1 g
b j h j k
24
( m1
m 2 ) l1
2
m2 l1l 2 m2 l 2 g
(2)
m 2 l1 l 2 m2 l 2
2
2008 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1
dengan a, b, j, h, dan k > 0 Oleh karena itu sistem persamaan (1) menjadi
, x2
Misalkan x1
1
x1
1
x2
1
x3
2
1
b
1
j
2
a
1
j
1
k
2
h
2
, x2
1
, x3
2
, x4
(3)
2
, dan x 4
x2
ak j 2 bk
jh j 2 bk
1
ak x1 j 2 bk
2
2
x1
jh x3 j 2 bk
(4)
x4
aj aj bh x1 1 2 2 2 j bk j bk j bk Dalam bentuk matriks sistem persamaan (4) menjadi: x4
. Persamaan (3) menjadi
2
bh x3 j bk
2
0
x1
1
x2
0 0
x3
ak j bk 0
T
2
, x2
x1 x2 x3
jh j
x4
2
bk
2
T
, x
3
x4
0
x1
0
x2
0
x3
aj j bk 0
T
2
, x4
bh j bk 0 2
x4
1
0
T
x1 x2 x3 x4
atau x
(5)
Ax
dengan 0 ak
x1 x
x2 x3
, A
x4
j
1
2
bk 0 aj 2 j bk
0 0 0
0 jh j
2
bk 0 bh 2 j bk
0
x1
0
, dan x
1 0
x2 x3
.
x4
Untuk menyelidiki kestabilan sistem (5) , digunakan teorema uji kestabilan berikut ini. Teorema Kesetabilan7) Jika diberikan sebuah sistem linear (5) dengan A adalah matriks konstan berukuran nxn dengan nilai eigen-nilai eigen n , maka berlaku pernyataan berikut: 1 , 2 ,..., n yang berbeda dan k 1. Sistem (5) stabil jika Re
i
< 0, untuk i = 1,2, ,k. Kemudian untuk setiap nilai eigen
i
dengan Re
i
=0
memiliki vektor eigen-vektor eigen yang bebas linier, maka sistem (5) stabil netral. Jika tidak demikian maka sistem (5) tak stabil. 2. Sistem (5) tak stabil jika terdapat i sedemikian hingga Re i > 0 untuk i = 1,2, ,k. 3. Sistem (5) stabil asimtotis jika dan hanya jika Re
i
< 0, untuk
i = 1,2, ,k. Tabel 1 berikut ini menampilkan hasil dari teorema di atas.
2008 FMIPA Universitas Lampung
25
Amanto dan La Zakaria Solusi Eksak dan Kestabilan
Tabel 1. Hasil dari Teorema Kestabilan Nilai eigen A. Real 1. Berbeda dan positif 2. Berbeda dan negatif 3. Berlawanan tanda 4. Sama dan positif 5. Sama dan negatif B. Kompleks ( = a + ib) 1. a < 0 2. a = 0 3. a > 0
Tipe titik kesetimbangan
Jenis kestabilan
Simpul improper Simpul improper Titik sadel Simpul proper/improper Simpul proper/improper
Tak stabil Stabil asimtotis Tak stabil Tak stabil Stabil asimtotis
Titik spiral Fokus Titik spiral
Stabil asimtotis Stabil netral Tak stabil
Adapun nilai eigen A untuk sistem (5) adalah bh
ak
ak ) 2
(bh j
2
4 ah ( j 2
bk )
bk
1
(6)
2 bh ak
ak ) 2
(bh j
2
4 ah ( j 2
bk )
bk
2
(7)
2
bh ak
ak ) 2
(bh j
2
3
4 ah ( j 2
bk )
bk
(8)
2 bh ak
(bh ak ) 2 j
2
4 ah ( j 2
bk )
bk
4
(9)
2
Mengacu pada teorema kestabilan maka sistem persamaan (5), akan menjadi suatu sistem yang stabil netral untuk nilai eigen i kompleks dengan Re i 0 . Dengan demikian sampai dengan 4 pada persamaan (6 9) akan 1 ditunjukkan bahwa hanya memiliki nilai yang imajiner. Tinjau persamaan (6) berikut: bh
ak
ak ) 2
(bh j
2
1
4 ah ( j 2
bk )
bk 2
Dengan menggunakan sifat
ab
a b atau 2
2 ab untuk a, b > 0. persamaan (6) disederhanakan
( a b)
menjadi
1
2 bh ak
j
2
1 2
26
( 2 bh ak ) 2
2 bh ak
2
4 ah ( j 2
bk )
bk
4 bh ak 4 bh ak 4 ah j 2 j2
bk
2008 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1
2 bh ak
2
j2
1
2 bh ak
2
j2
j2
2 1
ah j 2
2 bk
bk bh ak ah j 2
2
j2
2
bk
bh ak ah j 2
1
j2
bh ak ah j 2 j
bk
2 bh ak ah j 2
1
Suku
4 ah j 2
1
2
(10)
bk
bernilai imajiner dengan b a 2 h 2 j 2 k bernilai positif dan j
bk
2
bk bernilai negatif.
Substitusikan (2) ke (10) diperoleh (m1l1
1
2
2
2
2
2
2
(m 2 l1 l 2 ) [m1l1 3
4
2
(m1 l1 g 2
1
4
2
2
3
5
6
6
2
2
m1 m 2 l1 l 2
6
6
2
3
5
6
6
6
6
6
6
2
6
6
4
5
2
m 2 l1 l 2
2
6
7
6
6
6
6
6
7
6
6
2
8
3 m1 m 2 l1 l 2 g 4
6
6
6
6
6
6
m 2 l1 l 2 g 4 bernilai positif dan
8
3 m1 m 2 l1 l 2 g 4
m1 m 2 l1 l 2
8
m 2 l1 l 2 g 4
2
7
3m1 m 2 l1 l 2 g 4
2
3 m1 m 2 l1 l 2 g 4
3m1 m 2 l1 l 2 g 4
2
m1 m 2 l1 l 2 g 4
3
2
2
5
2
2
4
m1 m 2 l1 l 2 3
2
m 2 l1 (m 2 l 2 )]
3m1 m 2 l1 l 2 g 4
Karena m1 m 2 l1 l 2 g 4 negatif, maka
2
3 m1 m 2 l1 g 2 )m 2 l1 g 2 (m 2 l1 l 2 g 2 )
2
2
m1 m 2 l1 l 2 g 4
1
2
2
3m1 m 2 l1 g 2 m 2 l1 l 2
2
m 2 l1 g ) 2 (m 2 l 2 g 2 )( m 2 l1 l 2 )( m 2 l 2 )
m 2 l1 )(m1l1 g
6
bernilai imajiner.
Oleh karena itu (6) hanya memiliki nilai imajiner, tanpa adanya suku bernilai real ( Re Untuk pembuktian
2
sampai
4
2
6
m 2 l1 l 2 g 4
2
2
m1 m 2 l1 l 2 bernilai
dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti
1
0 ).
1.
Dengan menggunakan metode matriks, maka sistem persamaan (4) dapat dicari penyelesaian umumnya. Adapun persamaan karakteristik dari sistem (4) adalah
0
1
i
ak j bk 0 aj 2 j bk 2
0
0 jh i
0
0 0
j 2 bk 0
0
2008 FMIPA Universitas Lampung
bh j bk 2
0
1
i
0
(11)
i
27
Amanto dan La Zakaria Solusi Eksak dan Kestabilan
Konstanta-konstanta A1 , A2 , A3 , A4 dari penyelesian (5) memenuhi sistem ( a11
i
a 21 A1
) A1
a12 A2
a13 A3
a14 A4
) A2
a 23 A3
a 24 A4
) A3
a 34 A4
0
(a 44
i ) A4
0
(a 22
i
a 31 A1
a 32 A2 (a 33
a 41 A1
a 42 A2
i
a 43 A3
0
(12)
0
dengan
i 1, 2, 3, 4 ak
a11 0, a12 1, a13 0 , a14 0 , a 21 a 24 0 , a 31
0 , a 32 0, a 33 ak
Misalkan,
1
j
2
0 , a 34
1
j
2
, a 22
bk
,
bk
jh , j 2 bk
0 , a 23
aj , a 42 j bk aj , 2 2 j bk
1 , a 41
jh
,
bk
j2
2
1
bh , a 44 j bk
0, a 43
2
0 .
bh . j bk 2
Kemudian substitusikan nilai-nilai a11 , a12 , a13 , ..., a44 ke (12), diperoleh d 1 ( i ) bilangan real d2 ( i )
d1 ( i ) (
1
i
1
i
2
)
2
)
2
d3 ( i )
d1 ( i ) ( 2
d4 ( i )
d1 ( i ) (
(13)
i 2 1 2
i
)(
1
i
2 2
i
)
.
d j ( i , i ) adalah eigen vektor kolom, dengan i = j = 1, 2, 3, 4 Sehingga penyelesaian umum dari sistem persamaan (4) berbentuk x1 d1 ( 3 ) e t d1 ( 1 ) e t d1 ( 2 ) e t x2 d ( )e t d ( )e t d2 ( 3 )e t C1 2 1 t C 2 2 2 C C4 3 x3 d3 ( 3 ) e t d3 ( 1 ) e d3 ( 2 ) e t x4 d4 ( 1)e t d4 ( 2 )e t d3 ( 3 ) e t 1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
t
d1 ( 4 ) e d2 ( 4 )e
4
4
t
d3 ( 4 ) e d4 ( 4 )e
4
t
4
t
dengan C1 , C 2 , C 3 , C 4 konstanta-konstanta sebarang. Contoh Kasus Untuk mengetahui kestabilan pada sistem bandul ganda, diberikan contoh sebagai berikut. Diketahui m1 937.5 slugs , m2 312.5 slugs, l1 16 kaki, l 2 16 kaki , g 32 ft sec
2
dan
, (0) 2.0 rad . Dengan mensubstitusikan nilai-nilai sec 2 sec yang diketahui ke (2) didapatkan a = 64 , b = 32 , j = 8 , h = 16 , j = 8 , dan k = 8. Dari nilai-nilai tersebut dapat dicari 1
(0)
0.5 rad ,
2
(0) 1.0 rad ,
1
1.0 rad
(0)
solusi 1 dan 2 dengan cara sebagai berikut. Aturan Crammer memberlakukan a h 1
b
1
j
64
1
8
2
k
16
2
8
j
j k
28
=
32 8 8
=
512 192
1
+
128 192
2
8
2008 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1
atau
512 x1 192
= x2
1
128 x3 . 192
Selain itu, aturan Crammer juga memberlakukan 32 b a 1 j h 2 8 2
b
64 16 32 8
j
j k
8
1
512 192
2
1
512 192
2
8
atau 512 x1 192
x4
2
Dengan notasi matriks persamaan 512 192 0 128 , x 3 192 0
0 1 , x2 0
x1
1
0
512 x3 . 192
dan
2
dapat ditulis sebagai berikut: 512 192 0 152 . 192 0
0 0 , x4 0 1
Sehingga 0 512 192 0 512 192
A
1
0 128 192 0 512 192
0 0 0
0 0 1 0
Nilai eigen A diperoleh dari perhitungan det ( A I ) 0
( 2i
) ( 2i 2i ,
1
2i 3
)(
) 2i
2i ,
2
2i 3
3
0
, dan
2i 4
3 3 0 , maka berdasarkan teorema kestabilan dapat disimpulkan kasus (1) stabil netral.
i
Karena Re
)(
Dengan mengunakan metode matriks, maka kasus di atas dapat dicari penyelesian umumnya. Adapun persamaan karakteristiknya adalah 0
1
i
512 192 0 512 192
0
i
0 0
0 128 192 0 i 512 192
0 0 1 0
i
dan akar-akar karakteristiknya adalah
1
2i ,
2
2i ,
2i 3
, dan
3
2i 4
3
. Konstanta-konstanta A1 , A2 , A3 , A4
memenuhi sistem (12), dengan a11 0, a12 1, a13
2008 FMIPA Universitas Lampung
dari penyelesian di atas
0 , a14 0 ,
29
Amanto dan La Zakaria Solusi Eksak dan Kestabilan
512 128 512 , a 22 0 , a 23 , a 24 0 , a 31 0 , a 32 0, a 33 0 , a 34 1, a 41 , 192 192 192 512 Substitusikan nilai-nilai a11 , a12 , a13 , ..., a44 ke (12). Kemudian pilih 0 , a 43 , a 44 0 . 192
a 21 a 42
1 , d1 ( 2 ) 8
d1 ( 1 )
1 , d1 ( 3 ) 8
1 , d1 ( 4 ) 8
1 lalu disubstitusikan ke (13) diperoleh penyelesaian 8
umumnya
x1 x2
C1
x3 x4
1 e 8
x1[t ] 1 e 8
1 2i t e 8 1 2i t e 4 i 2i t e 8 i 2i t e 16
2 it 3
1 e 4
C2
1 e 4
2i t
2 it
3e
C3
i e 8
2i t
2 it
i 8
3
1 2i t e 8 1 2i t e 4 i 2i t e 8 i 2i t e 16
2 it 3
i e 16
2 it 3
2 it
C4
2 it
2 it 3
1 2i t e 8
C1 2 it
1 e 4
3
2 it
i 3e 3 8 2 it i 3e 3 16
3
2i t
1 e 8
C3
1 3 e 8 2 it 1 3 e 4
3
i 3e 8 i 3e 16
2i t
i 3e 16
3
2 it
1 e 8 1 e 4
2 it
2 it
i 8
3
1 2i t e 4
3e
Untuk x3 dengan menggunakan MATHEMATICA dan memilih d1 (
1
i 2i t e 8
i 3e 16
3
i 2i t e C2 16
2 it 3
C4
) d1 ( 2 ) d1 ( 3 ) d1 ( 4 )
1 , lalu 4
disubstitusikan ke (10) diperoleh penyelesaian umumnya 1 e 4
x3[t ]
1 e 4
2 it 3
1 e 2
2i t
2 it
1 e 2
3
2i t
i 4
i e 4
2i t
2 it
3e
3
i e 8
2i t
i 3e 8
1 2i t e 4
C1
2 it 3
1 e 4
C3
1 2i t e 2
i 2i t e 4
2 it
2 it
1 e 2
3
3
i 2i t e C2 8 2 it
i 4
3e
i 3e 8
3
2 it 3
C4
dengan C1 , C2 , C3 , C4 konstanta-konstanta sebarang. Karena pada (4) x1
1
dan x 3
2
maka
x1 dan x3 adalah solusi dari
Gambar 2 berikut merupakan visualisasi kestabilan pada
1
dan
2.
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Gambar 9. Kondisi Kestabilan pada 0
0.5
1
1.5
2
1
2.5
3
Gambar 2. menunjukkan bahwa 1 < 0.5 sistem menuju titik kestabilan pada titik 0.2 ,dan pada 0.5 < menuju titik kestabilan pada titik 2.
30
1
< 3 sistem
2008 FMIPA Universitas Lampung
J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1
Gambar 3 berikut merupakan visualisasi kestabilan pada
2
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
Gambar 3. Kondisi kestabilan pada Gambar 3 menunjukkan bahwa 0 <
2
3
2
< 2 Sistem menuju titik kestabilan pada titik 0.4 , sedangkan
menjauhi titik kestabilan. Kestabilan antara
1
dan
2
2
> 2 Sistem
, dapat dilihat dari gambar berikut:
1
2
Gambar 4. Visualisasi grafik fungsi solusi Gambar 4 Menunjukkan bahwa 0.5, maka
2
2
= -2
berayun sejauh dua kali
1
1
sehingga
1
dan
1
=-
2 2
2
. Ini berarti bahwa pada saat
1
berayun sejauh
.
4. KESIMPULAN Sifat kestabilan sistem bandul ganda dapat diketahui melalui nilai eigen dari matriks sistem PDB linear yang terbentuk dengan menggunakan teorema uji kestabilan sistem. Sistem bandul ganda yang dapat merepresentasikan sistem kerja Tim SAR dan suplai makanan atau amunisi ke barak menggunakan Helikopter merupakan sistem yang stabil netral, sebab nilai eigennya berupa bilangan kompleks dengan bagian real bernilai nol . Hal ini berarti sistem bandul ganda pada suatu waktu tertentu akan mendekati titik kesetimbangannya.
UCAPAN TERIMAKASIH Penelitian ini dapat dilaksananakan dengan baik berdasarkan bantuan dana dari Hibah Penelitian (Research Grant) yang diprogramkan Program Hibah Kompetisi (PHK) A2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pengelola PHK A2 Jurusan Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan.
DAFTAR PUSTAKA 1.
Amanto, 2005. Analisis Keterobservasian Sistem Gerak Kereta Sederhana Dengan Dua Pendulum Terbalik. Jurnal Sains dan Teknologi 11(2) : 101 104.
2008 FMIPA Universitas Lampung
31
Amanto dan La Zakaria Solusi Eksak dan Kestabilan
2.
Cobb, J.D. 1984. Controllability, observability and duality in singular syastem. IEEE Trans Aut. Control, AC-29 (12) : 1076 1082.
3.
Shinbrot, 1992. Chaos in a double pendulum. Am. J. Phys. 6 (60) : 491 499.
4.
iordano dan Weir. 1994. Differential Equations A Modeling Approach. Addison-Wesley, Publishing Company.
5.
Amanto, La Zakaria dan Saidi, S. 2003. Uji kestabilan sistem perang gerilya. Prosiding Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta : 107 111.
6.
Olsder, G.J. 1994. Mathematical Systems Theory First Edition. Delftse Uitgevers Maatschappij, Delft, Netherlands.
7.
Braun, M. 1983. Diffrential Equation And Their applications. Third Edition. Springer-Verlag, New York.
32
2008 FMIPA Universitas Lampung
