Sokszínû matematika 8. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 8.

A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

DR. SZEDERKÉNYI ANTALNÉ ny. gyakorlóiskolai vezetõtanár

Tartalom 1. ALGEBRA

....................................................................................................................................................

2. SZÖVEGES FELADATOK

.............................................................................................................

13

........................................................................................

18

........................................................................................................................................

23

3. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 4. GEOMETRIA I.

4

5. TÉRGEOMETRIA .................................................................................................................................. 29 ...........................................................................................

41

......................................................................................................................................

45

6. STATISZTIKA, VALÓSZÍNÛSÉG 7. GEOMETRIA II.

8. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK ................................................................................................. 56

S O K S Z Í N Û M AT E M AT I KA 8 – A K I T Û Z Ö T T F E L A DAT O K E R E D M É N Y E

1. Algebra 1. Algebrai kifejezések 1. a) (x + y) ¡ 5;

b) x – y ¡ 5; c) (x + 7) – y; d) (x – 0,4x) ¡ (y + 0,4 y) vagy 0,6x ¡ 1,4y; e) (x + y) + 0,1 (x + y) vagy 1,1 (x + y). Egytagúak: a, d, és e-nek a második változata. 2. a) n ¡ a + n ¡ b = n ¡ (a + b);

b) n ¡ 1,1a + n ¡ b = n ¡ (1,1a + b); c) n ¡ (0,1a + 0,1b)= 0,1n (a + b) a többletfizetés; d) n ¡ a + (n – k) ¡ b.

3. a)

6 x ◊ 10 x 6 x + 10 x = 4 x; = 15 x 2 ; b) 4 4

c) 10xy;

d) 63xy.

4. a) 5a;

b) – 9b;

c) 0;

d) 2d.

5. a) x – 2;

b) 1 – 9y;

c) – 4v + 2c + 6;

d) – 1 – 3z.

6. a) a – b + 2;

b) – 8c + 4d – 6;

c) – 5e – 8f + 12;

d) – 12g – 14h – 14.

7. a) 6a;

b) 4b;

c) 0;

d) – 6a – 4b.

8. a) 4x + 5y

b) –y;

c) – 4x – 11y;

d) 8x + y.

9. a) 4a + 20;

b) 10b – 15; f) – 15f + 10;

c) 6 – 2c; g) – 18 + 6g;

d) 8 – 12d; h) – 12 + 6h.

e) – 4e – 6; 10. a) 8x – 1;

b) 20 – 20y = 20 (1 – y); d) 5.

c) 8v – 1; 11. a) 6x – 1;

b) 1 – 19y;

12. a) yx – 4y = y ¡ (x – 4);

c)

5x2

– 7xy –

b) 99,51;

14. a) 6x2y; 15. a)

b) 4ab;

x ; 12

b)

11a ; 15 e+1 e) ; 3

3y – 1 ; 4

b)

c) 10;

c) 2x2;

d) – 8a;

c) a;

d) 1;

b ; 12 11f – 2 f) ; 15

16. a)

d) 9.

b) ax + 7ay = a (x + 7y); d) – 22b2 + 7ab.

y2;

13. a) – 1;

c) – 9v + 10;

7c + 6 ; 6 –4 g + 1 g) ; 4

c)

d) – 2. 5 xy ; 2 2c + 3 e) – ; 4

e)

7 2 x y. 2 –4 x – y f) . 6

f) –

9d + 5 ; 10 2 h) – . 15

d)

Rejtvény: A budapesti irányítószámok 1-essel kezdõdnek, ezért az irányítószám 1024. A házszám 64, az emeletszám pedig 4. 4

2. Hogyan oldunk meg egyenleteket, egyenlõtlenségeket? 1. a) x = 5, 5 Î ;

b) x = 2, x Î ;

c) x = – 3, – 3 Î ; 25 25 e) x = Ï , nincs megoldás; , 3 3

d) x = 0, x Î ;

g) x = – 2, – 2 Î ;

h) x =

i) x = – 2. a) x =

10 , 11

–

56 8 = ; 35 5

10 Ï , nincs megoldás; 11

b) x =

23 ; 5 i) x = 5;

e) x =

3.

4 ; 5

f) x = – 3;

f) x = – 1, x Î ; 25 , x Ï , nincs megoldás; 3

j) nincs megoldás (12 ¹ 20). 1 ; 2

d) x = 0;

g) x = – 3;

h) x = 4;

c) x =

j) x = 18.

x + 7 = 5x – 3

–2

(x – 1) x – 1 = x2 + 2x + 5

0

x x –2 x +7 – = 2 12 3

2,5

3(x + 2) – 5(x + 3) = 9(x – 1)

26

4. a) x < 3

c) x < 5 e) x > 4

x Î {0; 1; 2}; x Î {0; 1; 2; 3; 4}; x Î {5; 6; 7; …};

b) x £ 9 x Î {0; 1; 2; …; 9}; d) x £ 0 x = 0; f) x > – 12 x Î {0; 1; 2; 3; …} x Î .

5. a)

b)

c)

d)

e)

f)

6. a) sûrûség, tömeg, térfogat

m m V = ; ; r V b) nyomás, nyomóerõ, felület Fny Fny r = A= ; ; A p r =

m = r V.

Fny = p ◊ A.

5


c) munka, erõ, az erõ irányába esõ elmozdulás W W W = F · s; F = ; s= . s F d) hõmennyiség, fajhõ, tömeg, hõmérsékletváltozás (Dt) Q Q Q = c · m · Dt; c = ; m = ; m ◊ Dt c ◊ Dt

Dt =

Q . c◊m

Rejtvény x + 99x = 100x 1 + 99 = 100, ezért 2x + 2 + 3x + 3 + … + 98x + 98 = 0 0 0 0 x = –1

3. Többtagú algebrai kifejezések szorzása 1. a) (1 + y)(2 + x) = 1(2 + x) + y(2 + x) = (1 + y) · 2 + (1 + y)x =

= 1 · 2 + 1x + 2y + xy = 2 + x + 2y + xy; b) (a + b)(a + 2b) = a(a + 2b) + b(a + 2b) = (a + b) · a + (a + b) 2b = = a2 + a · 2b + b · a + b · 2b = a2 + 3ab + 2b2; c) (x + y)(2 + 5x) = x(2 + 5x) + y(2 + 5x) = (x + y) · 2 + (x + y) · 5x = = 2x + 2y + 5x2 + 5xy. 2. Tetszõleges téglalapokkal az elõzõhöz hasonlóan. 3. a) x2 + 3x + 2;

2x2

d) + 3x – 2; 2 g) y – 1; j) 4k2 – 1; m) x2y2 – x3 + y3 – xy;

b) e) h) k) n)

x2 + 2x – 3; ax + 2a2 + bx + 2ab; a2 + 2ab + b2; a3 + a – a2 – 1; 4a3 – 2a2b + 2ab2 – b3;

4. a) 2x2 + 2xy + 5x + 2y + 2;

2x2

2y2

c) + 4xy + xz + + zy; 3 2 2 e) x + x y – 2x – x – y + 2; 5. ax + by. 6. (n – k)(x – y). 7. (x + y)(a + b). 8.

6

c) f) i) l) o)

2x2 + 3x + 1; 2a2 + a – 2ab – b; 6a2 – 13ab + 6b2; x2y3 + x3y – y2 – x; 10x2a2 + 5xab – 2xab2 – b3.

b) a2 + 2ab + b2 + a + b; d) 30x2 + 5xy + 4x – y – 2; f) za + z2 – ya – y2.

9. A) (a + 1)(a – 1) = a 2 – 1;

C) (2a + 3)(3a + 2) = 6a2 + 13a + 6; E) (1 + 3a)(2 – a) = – 3a2 + 5a + 2 ; 10. a) m = 4;

b) m = 1; 5 b) x = ; 8

11. a) x = – 1;

B) (a + 3)(a – 2) = a2 + a – 6; D) (2a + 1)(a – 3) = 2a 2 – 5a – 3; F) (a + 2)(a + 2) = 4 + 4a + a2. c) m = 2. *c) x = 0;

d) x =

1 . 9

Rejtvény: A 60/306 jelölés – egy lehetséges magyarázat szerint – jelenti az év 60. napját, hozzávéve, hogy az évbõl még 306 nap van hátra. Tehát az év összesen 60 + 306 napból áll, azaz szökõévrõl van szó. Ennek 60. napja február 29. Ennek megfelelõen a 306/60 jelölés november 1-jét jelenti.

4. Összeg, különbség négyzete 1. a) a2 + 20a + 100;

d) 1 + 4x + 4x2; g) 9x2 + 12xy + 4y2;

b) b2 + 16b + 64; 1 e) 4y2 + 2y + ; 4 h) 100a2 + 200ab + 100b2.

c) x2 + 2xy + y2; f) a2 + 4ab + 4b2;

2. a) (x + 1)2 = x2 + x + x + 1;

b) (2a + y)(2a + y) = 4a2 + 2ay + y2a + y2 = 4a2 + 4ay + y2; c) (2a + 3)2 = (2a)2 + 2a · 3 + 3 · 2a + 3 · 3 = 4a2 + 12a + 9. 3. a) a2 – 2a + 1;

b) x2 – 8x + 16; e) 4x2 – 4x + 1; f) a2 – 4ab + 4b2;

c) x2 – 2xy + y2; d) 1 – 2z + z2; g) 16a2 – 24ab + 9b2; h) 25x2 – 50xy + 25y2.

4. a) x2 – 2 · x – 2(x – 2) = (x – 2)(x – 2) = x2 – 4x + 4;

b) (3z – y)(3z – y) = 9z2 – 3zy – 3zy + y2 = 9z2 – 6yz + y2; c) (2b – a)2 = (2b)2 – a · 2b – a · 2b + a2 = 4b2 – 4ab + a2. 5. a) a2 + 2a + 1;

d)

x2

+ 4xy +

4y2;

b) y2 – 4y + 4; e) x4 – 2x2 + 1;

6. a) (x + 2)2 = x 2 + 4x +4;

c) (2x – 3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y 2 ;

c) 4a2 – 4a + 1; f) a4 + 2a2b2 + b4. b) (x – 3)2 = x2 – 6 x + 9; d) (a2 + 2b)2 = a4 + 4a 2 b + 4b2.

7. x2 + y2 = 125

x–y= 5 ______________________ (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 25 = 125 – 2xy M : xy = 50 ____________ 8.

x+y= 7 x · y = 12 __________________________ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 49 = x2 + 2 · 12 + y2 2 + y2 = 25 M : x ________________

7


1 2 10. a) m = 0;

9. a) x = – ;

7 c) x = – ; 5 c) m = 1.

b) x = 2; b) m = 1;

d) x =

3 . 2

11. 100-ig vizsgálva 1 és 0 maradék váltakozik. A továbbiakban is igaz, mert a páros szá-

mok négyzete 4-gyel osztható. A páratlan számok 2k + 1 alakúak, (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1. 12. a = 1 cm. 13. A két szám 4 és 1. 14. 100 m2. 15. A szám 4,5.

—— ——–——— Rejtvény: A 16 jegyû szám a1 a2 a3 … a16 10 | (2a1 + a2) + (2a3 + a4) + … +(2a15 + a16) A hitelkártya azonosítója: 8543 09x6 1174 6y 38 10 | (16 + 5 + 8 + 3) + (0 + 9 + 2x + 6) + (2 + 1 + 14 + 4) + (12 + y + 6 + 8) 10 | 94 + 2x + y Û 10 | 4 + 2x + y Az x helyére mind a tíz számjegy írható és ehhez megfelelõ y értékek találhatók. Az (x ; y) párok száma 10.

5. Összeg és különbség szorzata 1. a) x2 – 81;

b) 1 – c2;

c) z2 – 16.

2. a) y2 – 1;

b) z2 – 4;

c) 4a2 – 1;

e) x2 – y2;

f) 9 – x2.

1 d) b2 – ; 4 3. Kimaradó kártyák

( a – b)( a + b)

a 2 + ab + b2

4. a) (300 – 1)(300 + 1) = 90 000 – 1 = 89 999;

b) (300 + 5)(300 – 5) = 90 000 – 25 = 89 975; c) (2000 + 2)(2000 – 2) = 4 000 000 – 4 = 3 999 996; d) (500 + 7)(500 – 7) = 250 000 – 49 = 24 951. 1449 5. a) (a – b)(a + b) = 48 · 128 = 6144; b) = 21; 69 5 6. a) x = 3; b) x = – 1; c) x = – ; 4 7. a) (n – 1) · n · (n + 1) = n · (n2 – 1); b) (n – 2)(n – 1) · n · (n + 1)(n + 2) = n(n2 – 4) · (n2 – 1).

c)

2009 = 49. 41

d) x = 2.

*8. (1002 – 952) + (952 – 902) + (902 – 852) + … + (152 – 102) + (102 – 52) = 1002 – 52 = 9975

0

8

0

0

0

0

Rejtvény: (– 9)3 + (– 8)3 + … + (– 1)3 + 0 + 13 + … + 83 + 93 + 103 = 103 0 0 0

6. Kiemelés, szorzattá alakítás 1. a)

(x +1)y = xy + y

b)

(1 + 2)z = 1z + 2z = 3z

(1 + 3)z = 1z + 3z = 4z

(2 + 3)z = 2z + 3z = 5z

(1 + 2 + 3)z = 1z + 2z + 3z = 6z

(a + b) · a = a2 + ba

c)

b(a + c) = ba + bc

2. a) 2(x + 3);

d) 6(2a2 + b); g) 5yz(2x + 3v);

b) 4(2a + 3); e) a2(b + c); h) 9ab(4a + 5b);

c) 5(a + 2b); f) b(5a + 6c); i) 3a(2b + 3c + 4d).

3. a) (a + b)(2 + x);

b) (x – y)(a + b);

c) (x + y)(a2 – b).

4. a) 2 x + 4 = 2(x + 2); b) ax + 5a = a(x + 5); d) 3x2 + x 2 y = x2(3 + y). 5. 14a + 21b = 7(2a + 3b)

igaz.

6. 15x + 20y = 5(3x + 4y)

igen.

7. a) 2(x + y) + 3(x + y) = 5(x + y);

c) xy + y2 = y (x+y);

b) 8a – 8b = 8(a – b);

c) a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). 8. a) (x + 1)2;

e) (x –

2)2;

b) (x + 3)2; f) (3 – y)2;

c) (2 + a)2; g) (n – 1)(n + 1);

d) (a – 1)2; h) (x – 4)(x + 4). 9


9. a2 – 1 = p; (a – 1)(a + 1) = p.

Ebbõl következik, hogy a – 1 = 1 és a + 1 = p, azaz a = 2, p = 3. Ez azt jelenti, hogy egyetlen ilyen négyzetszám van, a 4. Rejtvény: A pozitív egészszámok sorozatából kihagytuk a prímszámokat.

7. Algebrai törtek 1. a)

1 ; x +2

b)

1 2

1 1 + ; x 2

c)

4 B =– ; 5 2 B= ; 11

2. a) A = ;

x –1 ; x +1

d)

C = 0;

x . x +1

D = 0.

6 . 11 4 8 c) A nincs értelmezve; B = ; C nincs értelmezve; D = . 13 13 9 5 d) A = ; B nincs értelmezve; C = ; D nincs értelmezve. 13 13

b) A = – 1;

3. a) x ¹ 0; 4.

b) x ¹ 3;

C = – 3;

D=

4 d) a ¹ – . 5

c) b ¹ 0;

p 29 a különbség legnagyobb és legkisebb helyettesítési értéke között. q 42

5. a)

2x 2 = ; 3 x2 3 x

6. a)

2( x + 2) 1 = , x ¹ – 2; 4( x + 2) 2

b)

3( x – 14 y ) = 3, x ¹ 14y; x – 14 y

5( x + 2) 5 = , (a ¹ 0, x ¹ – 2); a( x + 2) a

d)

x( x + 2) = x + 2, x ¹ 0; x

ax + bx 1 = , (x ¹ 0, a ¹ – b); 2(ax + bx ) 2

f)

5x 5 , (x ¹ 0, x ¹ 1); = 2 x( x – 1) 2( x – 1)

15 x 2 5x ; = 12 xy 36 x 2 y

b)

a – 1 a2 – a ; + a + 1 a2 + a

( a – b)( a + b) = a – b, a ¹ – b; a+b

b)

x – y 1 , x ≠ y; = ( x – y )( x + y ) x + y

x +1 1 = , x ¹ –1 x +1 ( x + 1)2

d)

( x + 2)2 x + 2 x π 2. = , ( x – 2)( x + 2) x – 2

c) *e) 7. a)

c) 8. a)

c)

b)

1 ; 2y

c)

1 ; 2a4

d)

1 . 2 xy 2

3 x 2 12 x 2 y = . xz 4 xyz

9. A két szám szorzata 6.

10

Rejtvény: FOUR + FIVE = NINE R = 0, O = 9, E = 2, I = 4, N = 3 Az egyenlõség teljesül. U = 8, V = 5, F = 1 1980 +1452 A kapott szám nem osztható 9-cel. 3432

8. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással 1. a) x1 = 0; x2 = – 5;

b) y1 = 0; y2 = 7; d) y1 = 6; y2 = – 1.

c) x1 = – 3; x2 = 5; 2. a) x(x + 7) = 0

b) x(2 + 8x) = 0 1 x1 = 0; x2 = – . 4 d) 5x(5x + 1) = 0 1 x1 = 0; x2 = – . 5 b) (2 – x)(2 + x) = 0 x1 = 2; x2 = – 2. d) (x – 3) 2 = 0 x = 3.

x1 = 0; x2 = – 7. c) x(3x + 6) = 0 x1 = 0; x2 = – 2. 3. a) (x – 3)(x + 3) = 0

x1 = 3; x2 = – 3. c) (x + 2)2 = 0 x = – 2. 4. a) x1 = 3; x2 = – 2; x3 =

1 ; 2

5. a) 2x2 + 4x = 0;

b) y1 = 1; y2 = 0; y3 = – 2. b) 0 = x2 + 5x x1 = 0; x2 = – 5. d) x2 – 1 = 0 x1 = 1; x2 = – 1.

x1 = 0; x2 = – 2. c) x2 – 2x + 1 = 0 x = 1. 6. a1 = 0; a2 = – 10. 7. Igen. A szám 0 vagy – 5.

8. (x + 2) · 2x = (x + 2)(x + 1). Az oldaluk mérõszáma csak pozitív szám lehet, ezért mind-

két oldalon oszthatunk x + 2-vel. 2x = x + 1; x = 1 A) 3; 2 B) 3; 2. 9. A sárga négyzet oldala 1,5 dm.

Rejtvény: b tyúk a nap alatt tojik b tojást.

9. Vegyes feladatok 1. a) 6a2 – 13a + 6;

d)

x2

–

x4;

2. a) x2 – 10x + 25;

d)

y2

– 1;

b) a2 – 2a + 1; e) 2x3 – 2x2 – 2x;

c) 5x2 – 2xy – 3y2; f) x3 – 1.

b) 9 + 6y + y2; e) 10002 – 4 = 999 996;

c) 4a2 – b2; f) 10 0002 – 1 = 9 999 999. 11


3. a) 2(x + 5y);

d) 5x(x + 3);

b) x(x + 2); e) (3 – x)(3 + x);

c) 3y(x – 2y); f) (1 – x)(3 + x).

4. a) (x + 2)(y – 3) = 2y – 3 x + xy – 6; b) x2(2x + 3) = 2 x 3 + 3 x 2 ; c) ( 3 x – y)(2x – y2) = 6x2 – 3xy2 – 2 xy + y 3 ; d) (x – 3 )(– 2xy) = 6xy – 2 x 2 y . 5. A) h

3 6. a) x = ; 5 d) x = 5;

B) h

1 7. a) x1 = 0; x2 = – . 2

d) x1 = 2; x2 = – 1.

C) h

D) i

E) h

F) i

G) i

b) x = 0;

c) x = – 13,5;

e) x £ – 2;

f) x < 2.

b) x1 = 0; x2 = – 2.

c) x1 = 0; x2 = 2.

e) x1 = 2; x2 =

1 . 3

8. a) x = y + 3; y d) x = ; 3

b) y = x + 3; x e) y = – 2; 4

9. a) 4x + 1 = 15;

b) 12a – 2 = 258.

H) i

1 1 ;x = – . 2 4 2

f) x1 =

c) y = 3x. f) x = 4y + 2.

10. y és z átlaga x.

5 = ÊÁ d ◊ 3 ˆ˜ ◊ ÊÁ a ◊ 5 ˆ˜ Ë 8 4¯ Ë 6¯ Mindkét módszer ugyanazt eredményezi és a hasonlóság ismeretében bizonyítható, hogy helyes eredményt kapunk mindkét esetben.

11. (d · a) ·

12. A téglalap területe 66 egység. 13. a) 1; 2;

3 4 5 ; ; . 2 3 4

b) a 2010 =

12

c) a n = b) y =

14. a) (a + 1)(2a – 1)y tõ

15. A) x · y – 4;

2010 . 2009

B) a2 – 8;

n . n–1

100 700 = nap alatt. x x 7

C) a · b – 16.

2. Szöveges feladatok 1. Egyenletek alkalmazása feladatmegoldásban 1. Ádámnak 600, Briginek 3100 Ft van a zsebében. 2. Ágostonnak 45, Gergõnek 15 kitûzõje volt. 3. A fõrabló 336 aranyat, a 2. számú 63, a 3. számú 14, a 4. számú 7 aranyat kapott. 4. A torta 750 g-os volt. Eszti 300 g, Dávid 250 g tortát evett. 5. A gondolt szám 32. 6. 84 káposztát ettek meg együtt. A legkisebb 42, a középsõ 26, a legnagyobb pedig 16

káposztát evett. 7. Összesen 12 000 jegy volt és 10 500 db-ot adtak el. 8. Apa 38, Anya 36, Peti 13 éves. 9. Alsókukutyinnak 700, Nagykukutyinnak 2300, Kukutyinnak 1200 lakosa van. 10. A számok: 38; 40; 42; 44; 46.

Rejtvény: 1 plikk 5 plokkot ér.

2. Hány éves a kapitány 1. A lány 13 éves volt. 2. Az anya 19 év múlva lesz kétszer olyan idõs, mint a fia. 3. Ádám 9 éves, Barnus 5 éves. 4. Tanuló (14 éves). 5. Az apa 51 éves, fia 25 éves. 6. Balázs 12, Rex 6 éves. A legnagyobb valószínûséggel a B kép ábrázolhatja õket. 7. Az apa 40, a fia 5 éves. 8. 11 évvel ezelõtt. 9. Aki mondja a feladatot, az a gyerek 1 éves.

10. Apa 31 éves, a fiú 10 éves. Rejtvény: 172 159 = 13 · 41 · 323, ezért a kapitány 41 éves.

3. Gondoltam egy számra… 1. 13; 26; 39; 31; 62; 93. 2. a) 26 és 62

b) Kiegészítés: pl.: A felcseréléssel kapott szám a nagyobb. Ekkor a keresett szám 26. 13


3. A keresett szám 53. 4. A keresett szám 26. 5. Ha az összeg 133, nincs megfelelõ szám. Ha az összeg 129, akkor a szám 25. 6. A gondolt szám 52. 7. A szám 31. *8. A számkód 642. *9. Az elsõ számjegy 1-gyel kisebb a másodiknál, így felcserélésükkor a kapott szám

nagyobb lesz. Nincs megoldása a feladatnak. Hibás feladat. *10. A keresett szám 436.

Rejtvény: Nincs a feltételnek megfelelõ szám. Igazolás: Mivel a felcserélés után kapott szám kétszerese az eredetinek, a két háromjegyû számra teljesül, hogy: 2 · (100a + 10b + c) = 100c + 10b + a. Mivel a bal oldalon páros szám áll, a-nak párosnak kell lennie, vagyis a = 2 vagy a = 4 (a > 4 nem lehet, mert akkor az eredeti szám kétszerese négyjegyû lenne.) Ha a = 2, akkor 2 ◊ 2 bc = cb2.

Ez akkor teljesül, ha az eredeti szám utolsó jegyének kétszerese 2-vel végzõdik. Ezért c = 1 vagy c = 6, de ha c = 1, akkor 2 ◊ 2 b1 π 1b2 , mert a bal oldalon álló szám legalább 400. Ha c = 6, akkor pedig 2 ◊ 2 b6 π 6 b2 , mert a bal oldalon álló szám kisebb, mint 600. Hasonlóan, ha a = 4, akkor 2 ◊ 4 bc = cb4 , a c kétszerese 4-re végzõdõ szám, ezért c = 2 vagy c = 7 lehet. Ha c = 2, akkor 2 ◊ 4 b2 π 2 b4 , mert a bal oldalon álló szám legalább 800. Ha c = 7, akkor 2 ◊ 4 b7 π 7 b4 , mert a bal oldalon álló szám legalább 800.

4. Fogócska matematikus szemmel 1. 4 óra 45 perc alatt a csiga 5,7 méteres utat tesz meg. m 1 m 12 km km v = 1,2 = = = 0,0012 . h 3000 s 10 000 h h 2. 0,015

m . s

3. a) A nagymama háza 3 km-re van. 14

3 óra (= 18 perc) alatt ér oda. 10 600 méter elõnyt kell adni Piroskának. km km 1500 km; b) v repülõ = 750 ; v autó = 100 . h h m m v1 = 2 ; v2 = 1,5 b) 2 másodperc múlva ütköznek. s s 9 óra 14 perc 10 mp-kor találkoznak. 80 km v A = 62 89 h 10 óra 28 perc 20 mp-kor érnének Bajára, ha 0 másodperc alatt tudnának az autóba bepakolni.

b) A farkas c) 4. a) 5. a) 6. a)

b) c)

7. a) vKelén = 4

km km ; v Siófok = 16 . h h

b) Fonyód Badacsonytól 5 km-re van.

1m m sebességgel szalad. ; Andris 1 2 s s 1 km 9. a) 371 km; b) 135 ; 4 h 8. Lacika

c) 165

km (nem reális). h

*10. 2 óra alatt körözi le elõször. 19 illetve 18 kört tesznek meg ezalatt.

Rejtvény: A kutya 15 km-es utat tesz meg. (Ugyanis Balázs menetideje 1,5 óra, ezalatt a kukm tya 10 sebességgel szaladgál.) h

5. Méregkeverés – egyenletekkel 1.

2. 287

2 g víz van az adott oldatban. 9

3. 3,75 kg 100%-os alkohol van a 25%-os alkoholban.

8 liter vizet kell hozzáöntenünk. 3 5. 12 kg cukor kell. 4.

6. 7,5 kg vizet kell elpárologtatni. 7. 0,72 l 100%-os narancslevet kell hozzáönteni. 8. 17,6 l víz szükséges. 9. 68

4 %-os oldatot kapunk. 7 15


10. 10 kg 60%-os oldat kell. 11. 20%-os volt.

Rejtvény: A nyers füge szárazanyagtartalma megegyezik az aszalt füge szárazanyagtartalmával. x · 0,08 = 10 · 0,80 100 kg fügébõl lesz 10 kg aszalt füge.

6. A fénymásolástól a fûnyírásig: együttes munkavégzés 1. Kovácsné egyedül 2 óra alatt írná meg a lapokat. 2. 1 perc 12 mp alatt végeznének együtt. 3. Együtt 9,6 perc alatt hordják be a fát.

2 nap múlva találkozik a két fúrópajzs. 3 5. A második szivattyú egyedül 1,5 óra alatt végezne. 4. 6

6. Peti egyedül 6 óra 45 perc alatt lenne kész. *7. Csak melegvízzel 40 perc alatt telne meg.

Rejtvény: 1 1 1 Igen. + + > 1. 2 3 4

7. Szögek, oldalak, átlók: geometriai számítások 1. 30°; 150°. 2. 101°; 27°; 52°. 3. A háromszög legkisebb szöge 40°. 4. a) Ha a háromszög nagyobb szöge a szárszög, akkor 50°; 50°; 80° a szögek nagysága.

5° 5° 4° b) Ha a háromszög kisebb szöge a szárszög, akkor 75 ; 75 ; 28 a szögek 7 7 7 nagysága. 5. A négyszög négyzet, mivel minden szöge 90°. T = 64 cm2. 6. A négyzet oldala 6 cm, a téglalap oldalai 6 cm és 9 cm.

3f · f e·f e = 27 m. = 121,5 m2 , = 121,5, f = 9 m. 2 2 8. A négyzet oldala 120 cm, a téglalap oldalai 96 cm és 150 cm.

*7. e = 3f,

9. A szabályos sokszög 24 oldalú. 10. A sokszög 43 oldalú. 11. A sokszög 30 oldalú. 12. Az ötszög szögei: 92°; 100°; 108°; 116°; 124°. 16

Rejtvény: A feltétel szerint az A-nál lévõ szög 180° – 4g. Kössük össze AC felezõpontját (F) B-vel! Az ABF háromszög egyenlõ szárú, B-nél 2g és F-nél 2g nagyságú szög van. Így az FBC ¬ = g. Ebbõl következik, hogy a BCF háromszög is egyenlõszárú, azaz BF = 6 cm. Az ABF háromszög egyenlõ oldalú. Az A-nál lévõ szög 60° = 2g. g = 30°. A háromszög szögei: 30°; 60°; 90°.

8. Vegyes feladatok 1. A gondolt szám 28. 2. Megtakarított pénze 1040 Ft > 1000. 3. A laboratóriumi egerek 66%-a szereti az edami sajtot. 4. Vali 130 Ft-ot fizetett. 5. Az anya 36 éves, Móni 14 éves, Norbi 12 éves. 6. Laci 7 éves. 7. Kati 11 éves, édesapja 37 éves. (A köztük lévõ korkülönbség állandó). 8. A keresett szám 35. 9. A gondolt szám 74. *10. 448

(100a + 10a + 2a + 100 · 2a + 10a + a = 1292).

11. Az elsõ 1 óra alatt, a második 2 óra alatt, a harmadik 1 óra alatt tette meg a maga

50 km-ét. 12. a) 5 óra 15 perckor találkoznak.

b) 6 óra 30 perckor érkezik a hír a városba. 13. 50 dkg cukor szükséges. 14. 11 15. a)

b) c) d)

2 % -os lesz az oldat. 3 Semmit nem kell hozzáönteni. 0,25 l 40%-os oldat kell, hogy 30%-os oldatot kapjunk. 1 l 40%-os oldat kell, hogy 35%-os oldatunk legyen. A 25%-os oldathoz akármennyi 40%-ost öntünk, soha nem kapunk 40%-os oldatot.

16. 10%-osból 25 g és a 40%-osból is 25 g vagy 37,5 g 20%-os és 12,5 g 40%-os keveréke

ad 25%-os összetételt. 17. Együtt 12 óra alatt végeznek. 18. Lili egyedül 12 óra alatt lenne kész. 19. A keresett szög nagysága 130°. 20. a = 50°, b = 10°, g = 120°. 21. A sokszög 31 oldalú. 22. A szobák alapterülete: 12,96 m2 és 25 m2.

17


3. Halmazok, kombinatorika 1. Halmazok 1. a) Legkevesebb kettõt kell elvenni, a 6. és 8. sorszámút.

b) c) d) e)

Legkevesebb kettõt, az 5.-et és 7.-et kell elvenni. Legkevesebb négyet, az 5., 7., 8. és 9. sorszámút kell elvenni. Legkevesebb 6-ot kell elvenni, 1., 2., 5., 6., 7., 9. sorszámúakat. Nem kell elvenni egyet sem.

2. 1 B, 2 D, 3 A, 4 C 3. a)

b) 1 nem prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak nem többszöröse. 2 prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak nem többszöröse. 3 prím, 3-nál nem nagyobb, 3-nak többszöröse. 4 nem prím, 3-nál nagyobb, 3-nak nem többszöröse. 5 prím, 3-nál nagyobb, 3-nak nem többszöröse. 6 nem prím, 3-nál nagyobb, 3-nak többszöröse.

c) Üresen maradt két rész. Prím, 3-nak többszöröse és háromnál nagyobb (nincs ilyen szám), valamint 3 többszöröse, 3-nál nem nagyobb és nem prím. 4.

5. Legkevesebb 6 gyerek dolgozata ötös. 6. c) Korem blum plem. 7. Daninak 3 helyes válasza lehet. 8. a) 16;

b) 6;

c) 3;

d) 19;

e) 99 – 19 = 80.

9. (28 + 29) – 55 = 2. 10. Legfeljebb 80-an csak az egyik sportot ûzik rendszeresen. 11. 6 cm2. 12. 3 olyan ember van, aki szereti a virágot, a kedvenc színe nem kék és nincs autója. 13. 20%. 14. 5 gyereknek van pontosan két jó feladata.

Rejtvény: 3 állata van. (3 – 2 = 1 madár, 3 – 2 = 1 kutya, 3 – 2 = 1 macska).

18

2. Beszéljünk helyesen a matematika nyelvén! 1. Azonos jelentésûek az A), E), F), ill. a C), D).

(A B) állítás jelentése semelyik másikkal nem egyezik meg.) 2. a) Októberben lesz olyan nap, amikor nem esik az esõ.

b) A héten a postás minden nap 10 óra elõtt jött. c) Nincs olyan tyúk, amelyik naponta 1 tojást tojik. d) Nem minden nyáron van olyan nap, amikor legalább 40° van. 3. a) Minden négyzet rombusz.

Nem minden négyzet rombusz. b) Van olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. Nincs olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása. c) Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. Nem minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. d) Van olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától. Nincs olyan pont, amelyik egyenlõ távolságra van a négyszög minden csúcsától.

Igaz Hamis Igaz Hamis Hamis Igaz Igaz Hamis

4. Nóri kedd délután sportol, franciát tanul, nem járt Shakespeare szülõházában. Nóri ott

lehet a farsang szervezõi között. 5. a) Ha egy szám osztható 15-tel, akkor osztható 9-cel.

Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 15-tel. b) Ha egy pont rajta van egy szög szögfelezõjén, akkor egyenlõ távolságra van a szög két szárától. Ha egy pont egyenlõ távolságra van egy szög két szárától, akkor rajta van a szög szögfelezõjén. c) Ha egy szám pozitív, akkor nagyobb 1-nél. Ha egy szám nagyobb egynél, akkor pozitív. d) Ha egy négyszög paralelogramma, akkor a négyszög trapéz. Ha egy négyszög trapéz, akkor a négyszög paralelogramma.

Hamis Hamis Igaz Igaz Hamis Igaz Igaz Hamis

6. a) Kettõt, a pirosat és a zöldet kell elvenni.

b) c) d) e) f)

Nem kell elvenni egyet sem. Kettõt, a zöld és kék lyukas lapot. Kettõt, a kis kék háromszöget és a lyukas kék négyszöget. Egyet, a kék kört. Kettõt, a kék kört és a kék négyzetet.

7. Elegendõ az 50 + 100 feliratú dobozból egy érmét kihúzni és megnézni.

Ha 50-est húzunk, akkor abban a dobozban 50 + 50 van. Ekkor az 50 + 50 feliratúban 100 + 100, a 100 + 100 feliratúban 50 + 100 van. Ha az 50 + 100 feliratú dobozból 100-ast húzunk, akkor abban a dobozban 100 + 100 van, az 50 + 50-es feliratúban 50 + 100 és a 100 + 100 feliratúban 50 + 50 van. Rejtvény: A nõ gyalogos volt. 19


3. Hányféle útvonal lehet? Az összegzési módszer 1. a) 20;

b) 15;

c) 36.

2. a) 6;

b) 10;

c) 8;

3. a) 16;

b) 20;

c) 70.

b) 20;

c) 15.

d) 16.

4. 6 útvonal. 5. a) 10;

Rejtvény: Káró király, káró dáma, kõr dáma.

4. Hányféleképpen választhatunk? 1. 6 · 3 · 2 = 36. 2. a) 63 = 216;

b) 6 · 6 · 3 = 108;

c) 6 · 6 · 5 = 180.

3. a) Reggelihez 5-féle, ebédhez 4-féle, vacsorához 3-féle formában választhatunk

gyümölcsöt. b) Egyfajta gyümölcsbõl 60-féle „gyümölcsmenü” állítható elõ, ezért legkevesebb 7-féle gyümölcsöt kell ennünk. (Egy év 365 vagy 366 nap) 4. 24-féle háromjegyû szám, ebbõl 6 páros. 5. 10 háromszöget. 6. 3 megfelelõ paralelogramma létezik. 7. 100-féle módon választhatók ki a lift utasai. 8. a) 120-féle különbséget írhatunk fel, de ezek közül 12-nek az eredménye (kiszámított

különbség) kétszer szerepel, azaz 108 különbözõ kiszámított különbség van. b) 543 – 12 = 531. 9. a) 21;

b) 45;

c) 105.

10. A Nekeresd SC 11 pontot szerzett. 11. 6 csapat játszott. 12. 5 döntetlen (3a + 2 · (45 – a) = 130; ahol a a nyertes meccsek száma.) 13. 6 csapat játszott (1 csapat nem szerzett pontot).

Rejtvény: Nem csak egymással játszottak.

5. Válasszuk szét az eseteket! 1. 20 + 15 + 6 + 1 = 42-féle gyümölcssaláta készíthetõ. 2. 0; 1; 2; 4; 6. (0 akkor, ha mindhárom kártyán 0 áll.) 3. 3 + 90 · 2 + 43 · 3 = 312. 4. 9 + 90 · 2 + 900 · 3 + 1010 · 4 = 6929. 20

5. a) 23 oldalt;

b) 100 oldalt;

6. a) 12;

b) 36.

c) 252 oldalt.

7. 16. 8. a) 9;

b) 90;

c) 189;

d) 1089.

9. Ha az elsõ három számjegyre vonatkozik a feltétel, akkor 64 ilyen szám van, ha az utolsó

három számjegyre igaz a feltétel, akkor is 64 ilyen szám van. Összesen 128 ilyen szám van 1000 és 9999 között. Rejtvény: 1001 számban szerepel 1-es 999 és 2009 között.

6. Hány lehetõség van? 1. 7-féle színezés lehetséges. 2. 2, 4 vagy 6 egynemû pár lehetséges. 3. 5 lány (11 fiú egymás mellett, az 5 lány és a maradék 4 fiú felváltva ülnek.) 4. 429 páros, 7-tel nem osztható szám van 1 és 1000 között. (1 £ n £ 1000) 5. 18-féle. 6. 60 megfelelõ sorrend lehetséges. 7. a) MÁRTI.

b) A betûk sorában a 100. helyén M áll. Rejtvény: 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6 · 7 · 24 · 3600. A két szám egyenlõ.

7. Vegyes feladatok 1.

2. a) T Ç P = P {paralelogrammák}, mert P Ì T, {1; 2; 3; 6; 8; 9} b) T = {nem trapézok}, {4; 5}

c) R È P = P {paralelogrammák}, mert R Ì P, {1; 2; 3; 6; 8; 9} d) D Ç T = {deltoidok, amelyek trapézok is}, {1; 2; 8}. 3. 15% szép is és okos is. 4. 15 gyerek játszott pontosan kétféle labdajátékot. 5. A nézõk 13%-a 60 évnél idõsebb. 21


6. 10 oldalú a sokszög. (AF és E) átlók bontják így, ha a szokásos betûjelzést alkalmazzuk

a tízszögre. 7. a) (1) Nem igaz, hogy …

(2) A számnak vagy páros, vagy páratlan számjegye nincs. (3) A szám vagy csak páros, vagy csak páratlan számjegyekbõl áll. b) (1) Nem dobtunk mindhárom kockával hatost. (2) Valamelyik kockával nem hatost dobtunk. c) (1) A lerajzolt négyszögnek nem egyenlõ mindegyik szöge. (2) A lerajzolt négyszögnek van legalább két különbözõ szöge. d) (1) Nincs három szám, melyek közül bármely kettõnek az összege páratlan. (2) Bármely három szám között van kettõ, amelynek az összege páros. 8. Öten írtak ötös dolgozatot. 9. Soma törte be az ablakot. 10. a) 13;

b) 63;

c) 48.

11. a) Ha a délnyugati csúcsot úgy értjük, hogy az elsõ É–D irányú utca és az elsõ K–Ny

irányú utca keresztezõdése, hasonlóan értve az északkeleti csúcsot, 84-féle útvonal lehetséges. (6-ot jobbra, 3-at felfelé). b) Ha a csúcsokat az elõbbi keresztezõdéseken kívül értjük, akkor 330-féle útvonal lehetséges. (7-et jobbra, 4-et felfelé). 12. a) 36;

b) 18;

c) 6;

d) 12.

13. a) 60;

b) 24;

c) 12;

d) 18.

14. c) nem lehet (42 kézfogás nem lehetséges). 15. 8. a osztályosok közül Gáspár 8 tanulót ismert. 16. a) 48;

b) 27.

17. 5-tel több olyan kézfogás történt, amelyben két lány fogott kezet, mint olyan, amelyben

két fiú. 18. a) 901;

b) 13 501.

22

4. Geometria I. 1. A terület 1. a) 20 cm2;

b) 6 cm2;

c) 12 cm2.

2. a) 20 cm2;

b) 11 cm2;

c) 18 cm2;

2 cm. 7 4. TA = 16(p + 4)

TB = 18(p + 4)

TA < TB.

d) 24 cm2.

3. 4

5. Összekötjük a kiválasztott csúcsot a szemközti oldal felezõpontjával. 6. 20 cm2.

7 m2 . 24 8. 4 cm és 7 cm. 7.

9. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének hétszerese. (T = 7t) 10. 50 cm2. 11. TAHD = THCD = 252

TIBE = 12,5

TIJC = TGFH = 6,25 cm2 TAEGF = 12,5 cm2.

cm2

TIGHJ = 12,5 cm2

12. A kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének 18-szorosa.

Rejtvény:

2. Négyzetgyökvonás 36 = 6;

b)

81 = 9;

c)

d) – 100 = –10;

e)

–25 nincs értelmezve;

f) – –16 nincs értelmezve.

1. a)

2. a) 20;

e) 40; 7 3. a) ; 5 e) 0,6; 9 5 45 ◊ = ; 4. a) 4 7 28

144 = 12;

b) 25; f) 500;

c) 14; g) 140;

d) 30; h) 6000.

b) 3;

c)

d) 3;

f) 0,09;

g) 0,04;

b)

1 ; 4

c)

15;

3 ; 2

h) 0,03. d)

8 . 15

23


5. a)

b)

6,92 < 49 < 7,1 <

(

2

3 < 32 = ( 3 )2 < 3,5.

d) 5 =

1 < 2

0,25 =

c) 0,4 <

25 =

52 =

0,5.

( 5 )2 .

e) - 16 < - 32 < -2 < f)

7,2 ) .

1 = 100

Ê 1ˆ ÁË ˜¯ 10

2

1 . 4

.

< 0,1 <

0,09.

6. a) H;

b) H; e) H (pl.: 2 ◊ 8 = 16 = 4 ).

7. a) 10 cm;

b)

c) I;

d) H;

3 -szorosára.

8. Az oldalak megkétszerezésével a négyzet területe négyszeresére változik. Ha a területet kétszerezzük 2 -szörösre változnak az oldalak.

2 -szörös a sugár.

9. 10. 1

< 3 1,7 < 3 1,73 < 3 1,732 < 3 3 » 1,732.

< 2, < 1,8, < 1,74, < 1,733,

mert 1 <3<4 mert 2,89 < 3 < 3,24 mert 2,9929 < 3 < 3,0276 mert 2,999824 < 3 < 3,003289 . .

11. a) 2,256 racionális

d)

625 racionális

b) 3,13 racionális e) – 75 irracionális

c) 10 irracionális f) 1,1010010001 … irracionális.

Rejtvény: Elég sokszor megismételve az eljárást a 1,4142 … értéket kapja, ami értékéhez közelít.

24

2

3. Pitagorasz tétele 1. a) 17;

b) 20;

c) 8.

T = 1092 cm2.

K = 194 cm.

2. e » 11,314 m. 3. A másik oldal 84 cm. 4. a) x = 37;

b) y = 3;

c) z = 12;

d) k = 12.

5. a) 21 + 45 + 48 + 2 · 31,9 + 2 · 51 = 279,8 » 280 (cm);

b) 4 · 50 + 2 · 12 + 2 · 48,54 = 321,08 » 321,1 (cm). 6. 25,02 m hosszú a huzal. 7. 2,5 cm. (Ha középpontosan tükrözzük az átfogó felezõpontjára a derékszögû három-

szöget, akkor téglalapot kapunk.) 8. 9-féle különbözõ hosszúságú szakasz jelölhetõ ki. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 2 cm, 5 cm, 8 cm, 10 cm, 13 cm, 18 cm. 9. A kötél hossza » 100,065 m » 100 m 10 cm. 10. A park területe 2,4 ha. 11. A létra 2,96 m magasan ér a falhoz.

Rejtvény Az a oldalú négyzet B csúcsából b-t visszamértünk (F), D csúcsán túl b-vel meghoszszabbítottuk az a oldalt (E). ABFè @ FIGè @ EHGè @ ADEè, mert két oldaluk és a nagyobbikkal szemben fekvõ szögük egyenlõ. Az egybevágóságból következik, hogy FG = c. Tehát AFGE négyszög minden oldala c. A derékszögû háromszögben a + b = 90°. A G-nél lévõ a¢ = a. (váltószögek az F-nél és G-nél lévõ szögek) Az ábráról leolvasható, hogy az AFGE négyszög minden szöge derékszög és minden oldala c, tehát négyzet. Az ABF háromszöget A körül 90°-kal elforgatva ADE háromszöget kapjuk, az FIG háromszöget G körül – 90°-kal elforgatva EHG háromszöget fedjük le. A HJG háromszög helyben marad. Így a2 + b2 = c2.

25


4. A Pitagorasz-tétel alkalmazásai 1. e » 9 cm. 2. AB = 2 · 32 = 2 · 4 ·

K = 29,31 cm 3. a) CD = 3 cm;

2 » 11,31 (cm). T = 39,59 cm2.

b) BD =

4. T = 50 cm2

34 » 5,83 (cm).

K = 31,4 cm.

5. a) » 5,83;

b) » 6,71;

6. a) d = 20;

b) 0 (8; 9).

7. a) kívül;

b) rajta;

c) » 6,4;

d) » 6,08.

c) belül;

d) rajta.

8. A létra hossza » 6,32 m. 9. Ha az adott oldalak befogók, akkor a harmadik oldal, az átfogó 17,69 cm.

Ha a 13 cm-es oldal átfogó, akkor a harmadik oldal, ami így befogó 5 cm. 10. 8 cm-re van az adott húr a kör középpontjától. 11. 41 km-re van a kikötõtõl.

Rejtvény: A tévé vízszintes oldala 4x, a függõleges oldala 3x 4x = 65,6 cm (4 x )2 + (3 x )2 = 82 25 x 2 = 82

3x = 49,2 cm

5x = 82 x = 16,4 Ha a = 65 cm, akkor nem fér be a tévé. Ha a > 65 cm és b = 65 cm, akkor vehetünk ilyen tévét.

5. Vegyes feladatok 1. a) Derékszögû háromszög, amelyen az a = 10 cm az átfogó.

b) ma = 4,8 cm c) T = 24 cm2.

mb = 8 cm

2. 50 cm2.

r ◊ ( a + b + c) T = 30 cm2. 2 b) c = 5 cm, T = 6 cm2, r = 1 cm.

3. a) T =

4. a = 5 cm

K = 20 cm.

40 m » 6,32 m. » 1,1 m-rel kerül lejjebb a létra teteje.

5. A létra hossza

26

mc = 6 cm.

3 m magasan tört el. 4 7. » 1,87 m magasan van. 6.

8. A belógás » 2,78 m. *9.

r2 – (r – 2) 2 = 8,52 r » 19,06 cm r » 19 cm A labda átmérõje » 38 cm.

10.

e = 13 cm Tt = a · b

Td =

e◊f 2

f=

120 3 cm = 9 cm » 9,23 cm 13 13

11. a) T = 1920 cm2;

b) K » 191,72 cm. 12. a) T = 35,5 cm2

b) T = 40,5 cm2 13. T = 13,4 cm2

K » 25,27 cm; K » 25,44 cm. K » 14,64 cm.

14. T = 3 · t 15. a)

c)

2 m; 2

b) 1 m;

1,5 m » 1,22 m;

d)

2 m » 1,73 m. 3

27


5. Térgeometria 1. Testek csoportosítása 1. henger; henger és kúp; kúp (csonka kúp) és henger; csonkagúla; henger, gömb

és csonkakúp palástja 2. hasáb, henger, kúp; hasáb, henger, gúla, gömb; hasáb, henger, kúp, gúla; hasáb,

gúla 3. a) I;

b) I;

c) H;

d) H;

4. a) – C);

b) – G);

c) – D);

d) – H).

5. a)

e) I.

b) vagy

vagy 4 cm

4 cm

4 cm

4 cm 3 cm

3,5 cm

6 cm

7 cm

c) vagy

r= r = 4 cm

4 cm

Bármely átmérõje körül forgathatjuk.

6. Pl.:

a) Az alaplappal párhuzamos síkkal. b) Az alaplapra merõleges, az alapéllel párhuzamos, de a magasság egyenesére nem illeszkedõ síkkal. c) A magasság egyenesét tartalmazó bármely síkkal. d) Három oldalélt és az alaplapot metszhetjük a síkkal. e) Hatszög metszetet nem állíthatunk elõ, ugyanis a négy oldalélt az alaplappal nem párhuzamos síkkal metszve az alapsíkot a testen kívül fogja metszeni. 7. a) 5 cm

b) 5 cm

c) » 5,1 cm

8. a 12 cm

9.

40 000 km ª 6667 km 6 28

5 cm

M = 5 cm; a = 13 cm; d = 24 cm

Rejtvény: Ragasszuk a golyónégyeseket külön-külön a hatosokra hosszában szimmetrikusan. Az így keletkezett két egybevágó idomot egymásra merõlegesen helyezzük. Így ragasztjuk össze.

2. Nézzük több oldalról 1. 1. Ceruzák összeragasztva.

2. Spirálfüzet.

3. Talpas pohár.

2. Egy fotó alapján nem egyértelmû, ezért többféle megoldás is elfogadható.

1.

3.

felülnézet

oldalnézet

felülnézet

oldalnézet

2.

4.

felülnézet

oldalnézet

felülnézet

oldalnézet

3. A) 4

B) 6 C) 5 D) 1 E) 2 F) 3 Az A) és a D) kivételével a figurák oldalnézete az adott képekkel megegyezik. A) D)

4. 3 kör ® gömb; 3 háromszög ® tetraéder; 3 négyzet ® kocka; 2 négyzet, 1 kör ®

egyenlõ oldalú henger; 2 négyzet, 1 háromszög ® háromszög alapú hasáb; 1 kör, 2 háromszög ® kúp 5. Pl.: 2 cm

3 cm

4 cm

4 cm 4 cm 3 cm

3 cm

2 cm

4 cm 2 cm

2 cm

4 cm 3 cm

3 cm

2 cm 3 cm

29


6. a)

b)

*7. a) 5 lap (kocka esetén)

c)

b) 34 (3 ´ 4 ´ 4 élû téglatest)

Rejtvény: Pl.: vagy

vagy

vagy

3. Csúcsok, élek, lapok 1. a) é = 6; l = 4; cs = 4

b) é = 8; l = 5; cs = 5 c) é = 12; l = 7; cs = 7 d) é = 15 Nincs ilyen gúla, mert a gúlának ugyanannyi alapéle van, mint oldaléle. é = 2n 2. l = 24; é = 36; cs = 14 3. a) a = 6 cm

b) Egy 6 cm-es darabot kell levágni, ez lesz a 6. él. Vagyis egy helyen kell elvágni. 4. é = 30; cs = 20; l = 12 5. a) I

b) H

c) H

6. l = 8; é = 18; cs = 12 7. a) 1 m;

2 m;

3 m

b) 5 dm; 5 2 dm; 5 3 dm c) 100 mm; 100 2 mm; 100 3 mm 8. A téglatest két csúcsa között 7-féle távolság mérhetõ

(él 3-féle, lapátló 3-féle, testátló 1-féle). a) 1; 2;

5; 3;

30

10;

13;

14

b) 5; 12; 13; 20; 5 17 = c)

6 ; 3;

10;

425; 4 34 =

16 = 4;

15;

544;

569

25 = 5

19;

45 + 8 > 14.

73 + 6 > 14; zöld: 3 + 10 = 13; piros: A zöld a legrövidebb. b) Igen.

9. a) Kék:

G

H 6 E 3

F B

8

A

64 + 81 = 145

12 < 145 < 13

Rejtvény: é = 11; l = 7; cs = 6

Testek hálója 1. a)

b)

7

4

6

4

6 4

6

4 4

4

4 4

c)

6

6

4 6

4

4

7

6

7

4

6 4 6

4

d) 4 4

4

4

4

4

4 4

4

4

8

4

4 2

4 4

4 4

8 4 4

4

4

4 4

4

4

4

4

8

4

4

4

8

4 4

4

4

8

4 4

A négyzet átlója mentén találkozó két lap merõleges egymásra.

Szabályos hatszög alapú hasáb.

2. Csak a B)-bõl.

A) Két lap fedné egymást. C) Két-két lap fedné egymást, két alapélhez nem csatlakozna lap. D) A külsõ háromszögek magassága 3 3 =

7, a középponti háromszögek magassága

27 . Így a külsõ háromszögek szabad csúcsai nem találkoznak. 31


3. a) 4 ¡ 5 ¡ 7 = 140

b) 3 ¡ 5 ¡ 7 = 105 d) 4 ¡ 7 ¡ 6 ¡ 8 = 1344

c) 7 ¡ 9 ¡ 11 = 693 4. Pl.: 9

9

9

7

9

9

9

9

9

7 9

9 7

7 4

9

7

4

9

9 9

5. a) 2 17

b) 3 10

c)

b)

c)

9p 2 + 64 ª 12, 36

6. A 3. kockát. 7. a)

4

Legkevesebb 4 szín.

3 szín.

3 szín.

8. A négyzetlapokat összeillesztjük úgy, hogy a „leghosszabb” élek merõlegesek legyenek

egymásra. 9. Ilyen falakkal nem oldható meg. 10. a)

b)

3

c)

35 8

88

8

5

8

88

8

5

8

5

5

6

3 3

6

35 3

Rejtvény: Két szabályos tetraéder, egy oktaéder.

5. Testek felszíne 1. a)

5

100 45 2300 cm2

45 2025 cm2 45

100

5

5

4500 cm2 40 1800 cm2

2475 cm2 55

5 45

45 2300 cm2 100

32

225 cm2 45

5 5

3 3

8

3 3 7

6 8

88

3 3 3 3

3 3

b) 15 625 cm2 = 1,5625 m2 c) Feltéve, hogy a „test” minden lapját egy darabból vágjuk ki, és az egyes részeket célszerûen helyezzük el, a szabáshoz 136 cm » 140 cm anyagot kell venni az ábra 17 182, 5 ª 115 (cm), de ekkor szerint. Ha csak 10%-os ráhagyást számolunk, akkor 150 az egyes részeket több darabból hoznánk össze. 2. a = 253 cm; b = 182 cm; c = 38 cm. A doboz felszíne 12,5152 dm2 » 13 dm2. 3. a) A csomag alapterülete 180 ¡ 30 cm2, magassága 12 cm.

A =2 ¡ (180 ¡ 30 + 180 ¡ 12 + 30 ¡ 12) cm2 = 15 840 cm2 = 1,584 m2. b) a = 180 cm; b = 84 cm; c = 30 cm; A = 46 080 cm2 = 4,608 m2. 3,024 m2 papírt takarítanak meg. 4. a) 12a = 60 cm

12a = 5 cm A = 6a2 = 150 cm2 b) 4(2x + 2x + x) = 60 cm 4(2x + 2x + )x = 3 cm a = 6 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; A = 144 cm2. c) 4(3x + 2x + x) = 60 cm 4(2x + 2x + )x = 2,5 cm a = 7,5 cm; b = 5 cm; c = 2,5 cm; A = 137,5 cm2. 5. Az élek: a; 2a; 3a.

a) 4a + 4a + 6a = 168 cm; a = 12 cm; 2a = 24 cm; 3a = 36 cm; A = 2 ¡ (36 ¡ 24 + 24 ¡ 12 + 12 ¡ 36) cm2 = 3168 cm2. b) 4a + 4 ¡ 2a + 4 ¡ 3a = 168 cm; a = 7 cm; 2a = 14 cm; 3a = 21 cm; A = 1078 cm2. c . 2 a = 6 cm; b = 6 cm; c = 18 cm. A téglatest felszíne: 504 cm2. A kocka felszíne: 486 cm2. A felszín 18 cm2-rel csökkent.

6. a + 3 = 1,5b =

7. A = 2 ¡ r2p + 2rp ¡ M = 2rp(r + M) » 395,64 cm2. 8. A1 = 2 ¡ 8 ¡ p ¡ (8 +8) cm2 = 256p cm2;

A2 = 2 ¡ 4 ¡ p ¡ (4 +16) cm2 = 160p cm2. A1 > A2. Ha az átmérõt kétszerezzük (a magasság marad ugyanannyi) nagyobb felszínt kapunk, mint akkor, ha az átmérõ nem változik, de a magasságot kétszerezzük.

9. a) Akocka = 6 ¡ 82 cm2 = 384 cm2;

Ahenger = 2 ¡ 4 ¡ p ¡ (4 + 8) cm2 » 301,6 cm2. Akocka > Ahenger. A kockához kell több festék.

33


3◊3◊ b) Ahasáb = 2 ¡

3 2 + 9 ¡ 8 cm2 » 79,8 cm2;

2 Ahenger = 2 ¡ 2 ¡ p ¡ (2 + 8) cm2 » 125,7 cm2. Akocka < Ahenger.

A háromszög alapú hasábhoz kell kevesebb festék. 10. A’ = Akocka – 2Tkör + Kkör ¡ 6 » 266,24 cm2. 11. A’ = Akocka – 6 ¡ 102 + 6 ¡ (4 ¡ 10) ¡ 5 cm2 = 3000 cm2. 12. a) A’ =

Akocka 2

+ Ttéglalap » 4,41 dm2.

b) A’ = 3a2 + 3 13. a) A =2 ¡

a2 a◊a◊ 3 + » 5,36 dm2. 2 2

e◊f + 4a ¡ M = 248 cm2. 2

b) e = 4 2; f1 = A =2 ¡

8; f2 =

28;

f = f1 + f2.

e◊f + 2(a + b) ¡ M » 245,82 cm2. 2

14. » 273 cm2.

Rejtvény: 2009 = 72 ¡ 41 1 ¡ 1 ¡ 2009; 1 ¡ 7 ¡ 287; 7 ¡ 7 ¡ 41; 1 ¡ 41 ¡ 49. 4-féle téglatest rakható ki 2009 egységkockából.

6. A gúla felszíne 1. 75 142,5 m2. 2. 4 3 dm2 . 3. 56,25%-kal nõ a felszín. 4. » 3,37 cm élû kocka felszínével egyezik meg. 5.

1 része. 4

*6. a) 4 cm 4 cm

4 cm 8 cm

5 cm

8 cm

5 cm

8 cm

5 cm

A téglatestnek 3 különbözõ lapja van. Egy ilyen lapnak a csúcsait bármely más csúccsal összekötve egybevágó testeket kapunk. Összesen 3-féle gúlát kaphatunk. 34

b) (1)

(2)

(3) 80

105

41 41 5

4 5

8

80

8 5

105

89

4

105

8

41

5

105

8

89 89

105

41

105

89

4

4

80 80

(2) A » 97,2 cm2 (3) A » 113,96 cm2 c) (1) A » 106,5 cm2 Pitagorasz-tétellel meg kell vizsgálni, hogy a háromszögek derékszögû háromszögek. 7. A sátortetõ területe 130,93 m2, a nyeregtetõ területe 134,6 m2.

A tetõfedéskor több hulladék keletkezik a sátortetõnél. 8. a) A tetraéder felszíne 37,84 cm2.

b) A kapott két test felszínének összege a kocka felszínénél 16 ¡ 3 cm2-rel nagyobb. (+ két háromszög területe) 6 ¡ 64 + 16 ¡ 3 » 411,7 cm2. Rejtvény: Kakukktojás a középsõ, mert a piros, zöld, kék sorrend (forgás) itt ellenkezõ.

7. Testek térfogata 1. Egyedi eredmények. Mérjék az edény átmérõjét és magasságát. 2. V = 216 cm3. Ekkora a térfogata egy 6 cm élû kockának. 3. Az akváriumba 144 l víznek kell beférni, tehát

a) Vakvárium > 144 dm3. Az elsõ nem jó. A második akváriumban 38 cm magasan álljon a víz. A harmadikban 43,1 cm lenne a vízmagasság. A második a jobb. b) m1 = 11,5375 kg; m2 = 28,13312 kg; m3 = 37,16 kg. 4. A) 156,1 cm3;

C) 468 cm3;

B) 2962,1 cm3 » 3 dm3; D) 424,35 cm3.

5. V = 108p dm3 > 300 l. Elegendõ 1 napra a hordó víz. 6. I. M1 = 5 cm; d1 = 15 cm; V1 = 281,25p;

II. M2 = 15 cm; d2 = 5 cm; V2 = 93,75p. V1 > V2. 7. Vk = 3,52 ¡ 12 ¡ p; Vp = 152 ¡ p ¡ m.

3,52 ¡ 12 ¡ p = 152 ¡ p ¡ m; m = 0,65 cm. 6,5 mm vastagon fedi le a pizzát.

R2 = 1,69. r2 A hozzávalókból 1,69-szoros kell.

8. r2p ¡ M; R2p ¡ M;

35


9. 1, 36

g kg = 1360 3 . cm3 m

Rejtvény: Feltöltjük a hengert a labda átlagsûrûségénél nagyobb sûrûségû folyadékkal. Így a labda kikerül a hengerbõl.

8. A gúla térfogata *1.

Alaplap területe (Talap) Testmagasság (M)

*2.

15 cm2

3 dm2

150 cm2

27 cm2

250 dm2

4,8 dm2

4 cm

25 cm

9 cm

20 cm

12 dm

2 dm

Térfogat (V)

20

Alaplapél (cm)

7

10

2

8

4 2

5 2

5

10,6

9,4

59

6

5

5

13

7,9

8,1

8

3

34

–

3

12

7,05

3

171,22

216,6

27,66

–

78,64

226,4

100

243

130,67

100

7,7

–

32

200

58,75

113,12

Oldalél (cm) Testmagasság (cm) Felszín (cm2) Térfogat

(cm3)

cm3

2,5

dm3

450

cm3

180

*3. Vg = 72 cm3. *4. a) V = 30 cm3; A = 65,4 cm2.

b) V = 320 cm3; A = 310,5 cm2. c) V = 64,8 cm3; A » 110 cm2. *5. (Vt – Vg)r = *6. a)

2 V ¡ r. A levágott rész tömege 32,256 kg. 3 t

2 cm.

b) 2 2

2

c)

4 cm3. 3

d) 4 3 cm2. 7. Szabályos tetraéder.

a = 4 2 cm; M = a

36

2 64 ; A = 32 3 cm2 ; V = cm3 . 3 3

cm3

1

m3

3200 cm3

8. a) RI =4,12 cm; RO = 6 cm = DO; AO = 5,2 cm = IO.

b)

D

R

c) V = 23,04 cm3. 9. a) A » 56,4 cm2; V = 24 cm3.

b) A = 96 cm2; V = 48 cm3.

10. Nyolcad része. 11. a) Oktaédert kapunk.

b) A maradék test felszíne az eredetinek a fele. c) A maradék test térfogata fele az eredetinek. 12. a) Négyszeresére;

b) kétszeresére;

c) nyolcszorosára nõ.

Rejtvény: Egyenlõ oldalú henger (magasság = átmérõ)-bõl olyan test alakítása, mint a csavarhúzó feje.

9. Testek felszíne és térfogata 1. 125 kis kockát kapunk. 2. a) A térfogat az eredetinek 7-szerese.

b) A felszín az eredetinek 5-szöröse.

3. A doboz hossza 20 cm, szélessége 10 cm, magassága 2 cm.

A = 520 cm2; V = 400 cm3. 4. Thulladék = 104 cm2; Ttéglalap = 18 ¡ 16 cm2 = 288 cm2.

104 ¡ 100% » 36%. 288

A veszteség

5. a) A = 180 cm2; V = 162 cm3. 6. 6 =

N a3 a = = Æ a = 36. 2 M 6 6a

7.

t a

t a

b

b) b = 3a;

A =3 B

b

a) b2p ¡ a = A; a2p ¡ b = B;

8. A =

b) A = 352 cm2; V = 384 cm3.

b2p a b = = 3. 2 a a pb

2 ◊ ( 3 a )2 ◊ p + 2 ◊ 3 a ◊ p a 9 a2 + 3 a2 12 a 2 = 2 = = 3. 2 2 2 ◊ a ◊ p + 2 ap ◊ 3 a a + 3a 4 a2

25 125 ◊ 4 + 2 ◊ 2, 5 ◊ 31, 25 cm2 ª 106 cm2 ; V = cm3 . 2 2 37


*9. a) Egy félegyenesre, melynek kezdõpontja (8; 200p).

b) Egy parabolára, melynek értelmezési tartománya a nemnegatív számok halmaza. Rejtvény: Ha elég „szoros” a doboz, akkor a ilyen elhelyezés esetén még nem zörögnek a golyók. Legfeljebb 6 golyó hiányozhat.

10. Vegyes feladatok 1. Csak a tetõrész nézeteit ábrázoljuk.

Félnyeregtetõ: derékszögû háromszög alapú hasáb.

Nyeregtetõ: derékszögû háromszög alapú hasáb.

Üstökös tetõ:

Kontyos tetõ: egy háromszög alapú hasáb + két téglalap alapú gúla.

Sátortetõ: téglalap alapú gúla.

Manzárdtetõ: ötszög alapú hasáb.

2. Legfeljebb 5 él mentén sétálhat a feltételnek megfelelõen. 3. A maradék testnek 14 lapja, 24 éle és 12 csúcsa van. 4. Szabályos dobókockát véve

a) élekre írt számok összege: 11 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 3 = 84. b) testátlók végpontjaiba írt számok összege: (28 + 14) + (24 + 18) + (20 + 22) + (12 + 30) = 168. c) csúcsokba írt számok összege: 30 + 24 + 14 + 20 + 28 + 18 + 22 + 12 = 168. 5. a) Az alapsíkkal párhuzamos síkkal.

b) Az alaplapra merõleges, két oldalélre illeszkedõ síkkal metsszük el. 6. a) Kétféle.

b) (1) 8a + 4 ¡

a = 10a = 120 cm ® a = 12 cm; A = 576 cm2; V = 864 cm3. 2

(2) 8a + 4 ¡ 2a = 16a = 120 cm ® a = 7,5 cm; A = 562,5 cm2; V = 843,75 cm3. 38

7. a) Ha a rövidebb oldal körül forgatunk, a lehetõ legnagyobb a felszíne. Ekkor a térfogat:

V = 75p cm3. b) Ha a hosszabb oldal körül forgatunk, akkor a lehetõ legkisebb a felszíne. Ekkor a térfogat: V = 45p cm3. 8. a) a = 1 cm; A = 6 cm2; V = 1 cm3.

b) a =

3 27 2 cm3. cm; A = 27 cm2; V = 4 2

c) a = 3 cm; A = 18 cm2; V = 3 3 cm3.

39


6. Statisztika, valószínûség 1. Adatok elemzése 1. a) A Vörös-tenger a legmelegebb, a Balti-tenger a leghidegebb.

b) 4 tenger nem melegebb 25 °C-nál. c) Módusz 24, medián 24,5. 2. A szavazatok megoszlása (tankönyvi adatok javítva)

1. 16%; 2. 30%; 3. 20%; 4. 17%; 5. 17%. a) 16% ® 57,6°; 30% ® 108°; 20% ® 72°; 17% ® 61,2°; 17% ® 61,2°. 2.

1.

3.

5. 4.

b) 30%-a. c) 1,7375 ¡ 109 t » 1,7 milliárd tonna. d) 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,8; 2; 2,5; 2,6. 1, 4 + 1, 8 Medián: = 1,6. 2 3. A tankönyvi adat hibás, helyesen: Dóm tér 5235. szavazat

Magyarország hét csodája

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

Országház

Dóm tér (Szeged)

4. A) I;

Mátyás-templom, Érseki Halászbástya pincerendszer (Eger)

B) H;

C) H;

Pannonhalmi fõapatság

Esztergomi bazilika

Lánchíd

D) I.

*5. a) Az októberi számrejtvényt beküldõk száma novemberben 192-vel csökkent.

b)

Okt. (500) Szept. (515)

x

d

b 312

a

c e

Nov. (401)

40

a + b + x £ 515 – 312; x akkor maximális, ha a = b = 0. Legfeljebb 203 olyan tanuló lehetett, aki csak szeptemberben küldött be megoldást.

c) Hasonló ábrával és meggondolással kapjuk, hogy legfeljebb 266 tanuló lehet. d) Pl.: A sudoku hibátlan megoldásainak száma hány %-a a sudokura beküldött összes megoldás számának? 6. a) 20%

d) 1,9-szeresére nõtt. 7. a) 2004-ben.

b) nem c) 2006., 2007., 2008. és a 2009. évben. e) 159,12 km. f) 4,12-szorosára. b) 2007-ben.

c) » 30%.

d) Déli gy. 20,5% Hazai gy. 79,5%

Déli gy. 23,1% Hazai gy. 76,9%

e) 81,6%. *f) Kisebb a termés, nagyobb az ár, ezért kevesebbet vásárolnak. g) • 2002– 2004, 2005– 2006, 2007– 2008 között mindkettõ nõtt. • 2004– 2005 között mindkettõ csökkent. • 1996 április-tól1999 végéig a zöldségtermelés nõtt, a gyümölcstermelés csökkent, • 2000– 2002 ugyancsak. • 1995 közepétõl 1996-ig és 1999– 2000 között a zöldségtermelés csökkent, a gyü• mölcstermelés nõtt. . 8. a) Az átlag 103,3. b) Módusz 80, medián 90. c) A középértéket ebben a feladatban a medián jellemzi legjobban. (7-szer fizetett 80 Ft-ot, 4-szer 90 Ft-ot és 4-szer fizetett 100 Ft feletti összeget.) d) gyakoriság 8 7 6 5 4 3 2 1 0

80

90 120 130 260

adatok

9. a) A Fanyûvõ Bt. 15 000 Ft/m3 egységáron, a Favágó Társaság 16 000 Ft/m3-ért árulta.

b) 6,25 m3 fáért 96 000 Ft-ot fizettek. Átlagár: 15 360 Ft/m3. 10. a) Módusz: 5; medián: 5; átlag: 4,57.

. b) Szeptember: 4,5; október: 5; november: 4,25; december: 4,5; január: 4,6. c) Nem. A félévi átlag 4,57. A havi átlagok átlaga » 4,58.

11. a) 20;

b) 29;

c) 39.

12. (2009 + 2009 + x) : 3 = 2010; x = 2012.

41


13. a) 79;

b) 85.

14. A hátralévõ 11 nap átlaghõmérséklete 16,25 °F volt. 15. 25 ponttal számolt kevesebbet a tanár. 25 fõs az osztály, tehát a helyes eredmény 43. 16. Átlag: x.

(102 + 120 + 210 + 2x) : 4 = x; átlaguk x = 216. 17. Az öt szám átlaga 38. 18. a) Az A elmélet szerint 115 m magasságig » 330 m3/nap az épülési sebesség, ezután

rohamosan csökken, majd az utolsó 15 m-en kisebb lesz a csökkenés üteme. A B elmélet szerint egyenletesen csökken az épülési sebesség. A C elmélet szerint 10 m magasságig ugyanakkora az épülési sebesség, 40 m-ig lassan csökken. 40 m és 105 m között a csökkenés gyorsabb ütemû, majd lassabban csökken az épülési sebesség. b) 115 m-nél. 19. a) 60 m-nél 2380 munkás.

b) A szállításhoz szükséges munkások száma csökken, mert egyre kevesebb kõ kell. c) Körülbelül 45 m-ig.

2. Mennyi a valószínûsége? 1. a)

gyakoriság 40 30 20 10 0

0 fej

1 fej

2 fej

esemény

b) 0 fej: 0,24; 1 fej: 0,54; 2 fej: 0,22. c) 1. H. 2. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I. 3. Elmélet szerint I, kísérletnél közelítõleg I (0,24 » 0,2; 0,22 » 0,2). 2. a) Kék: 0,1; sárga: 0,26; piros: 0,24; zöld: 0,4.

b) A zöld színû golyóból lehet a legtöbb, és a kékbõl lehet a legkevesebb. 3. a) Elmélet szerint

1 . 2

b) A relatív gyakoriságok átlaga jobban megközelíti az

1 -et. 2

4. Az osztályba 26 tanuló jár.

a)

14 ª 0, 54; 26

42

b)

12 ª 0, 46; 26

c)

4 ª 0,15; 26

d)

22 ª 0, 85. 26

5. b) A : 6. a)

1 1 2 5 ; B: ; C : ; D: . 2 6 3 6

18 1 = ; 90 5

b)

50 5 = ; 90 9

c)

10 1 = ; 90 9

d)

6 1 = ; 90 15

c)

35 = 0, 7; 50

d)

22 = 0, 44. 50

e)

42 7 = . 90 15

7. 50 féle párosítás lehetséges.

19 = 0, 38; 50

b)

15 = 0, 3; 50

8. a)

5◊4 4 = ; 5◊5 5

b)

5 ◊ 4 ◊ 3 ◊ 2 ◊1 24 = ; 625 55

9. a)

1 ; 12

b)

1 ; 6

6 1 = ; 12 2

b)

3 1 = . 12 4

a)

10.

1 . 4

11.

1 . 4

* 12. a)

c)

c) 0.

1 . 4

* 13.

6 3 a valószínûsége, hogy valamelyik nyer. = 8 4

* 14.

3 . 4

* 15.

1 . 3

Rejtvény: Nincs igaza, mert páros szám+páratlan szám és páratlan szám+páros szám ugyanannyiszor fordul elõ (igen sok kísérlet esetén) mint a páros+páros és páratlan+páratlan (2-2 esemény).

43


7. Geometria II. 1. Az eltolás 1. Az elsõ két egymással szembe nézõ madár-minta együtt a legegyszerûbb sablon. Ezt

a sablont vonalzó mellett mozgatta. (A 2-szerese, 3-szorosa és 6-szorosa is elfogadható.) 2.

y

C’’’

11 10 9

b)

8 7

F

6

d)

C = A’’’ 5

C’ = B’’’

4 3 2

A = C’’

D a)

1

E 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

c)

2

3

4

5

6

8 x

B = A’

–3

B’

–4

A’’

7

–5

B’’ –6

3. a)

y 7

D’

6

D

5 4

A

3 2

P’ A’ P

C’

C

1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

B

1

–2 –3

b) A(– 5; 3) A’(1; 4) B(– 2; – 2) B’(4; – 1) C(1; 3) C’(7; 4) D(– 2; 5) D’(4; 6) P(x; y) ® P’(x + 6; y + 1)

44

2

3

4

B’

5

6

7

8 x

4.

y

C’’

C

8 7

C’

6

b)

5 4 3

A

A’’

a)

2 1

A’ = B’’ = C’’’ 1

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

B 5

6

7

8

9 x

–2

B’

–3 –4 –5 –6

A’’’ c)

–7 –8

B’’’

–9

5. a) I;

b) H;

d) I; Rejtvény:

c) I (az irányított szakasszal párhuzamos egyenest ugyanabba az egyenesbe viszi át); f) I.

e) I; 0; 3

1; 1

1; 1 2; 1 2; 0

2. A vektorok 1. a) Egyenlõ irányúak:

° (1) AB ; ° (2) AH ; ° (3) BA ; ° (4) HA;

° BC ; ° HG; ° CA; ° GH;

° AC ; ° AG ; ° CB ; ° GA ;

° HI ; ° BI ; ° DI ; ° IB ;

° ID ; ° IF ; ° IH ; ° FI ;

° ° HD ; GF ; ° ° BF ; CD; ° ° DH; EF ; ° ° FB; DC;

° FE ; ° DE ; ° FG ; ° ED ;

° GE . ° CE . ° EG . ° EC .

b) Egyenlõ hosszúak: ° ° ° ° ° ° (1) ¥ AB ¥ = ¥ BC ¥ = ¥ HI ¥ = ¥ ID ¥ = ¥ GF ¥ = ¥ FE ¥ = ° ° ° ° ° ° (1)= ¥ AH ¥ = ¥ HG ¥ = ¥ BI ¥ = ¥ IF ¥ = ¥ CD ¥ = ¥ DE ¥ (1) és az ellenkezõ irányúak. ° ° ° ° ° ° (2) ¥ AC ¥ = ¥ CE ¥ = ¥ EG ¥ = ¥ GA ¥ = ¥ BF ¥ = ¥ HD ¥ (2) és az ellenkezõ irányúak.

° (1) AB ; ° (2) BA ; ° (3) AF ; ° (4) FA ; ° (5) CD; ° (6) DC;

° BC ; ° CB ; ° FE ; ° EF ; ° DE ; ° ED;

° AC ; ° CA ; ° AE ; ° EA ; ° CE ; ° EC ;

° FD. ° DF . ° BD. ° DB. ° BF. ° FB.

° ° ° ° (1) ¥ AB ¥ = ¥ BC ¥ = ¥ FD ¥ = ¥ CD ¥ = ° ° ° ° ° (1)= ¥ DE ¥ = ¥ EF ¥ = ¥ FA ¥ = ¥ BD ¥ = ¥ FB ¥ (1) és az ellenkezõ irányúak. ° ° ° (2) ¥ AC ¥ = ¥ CE ¥ = ¥ AE ¥ (2) és az ellenkezõ irányúak. 45


c) Azonos vektorok: ° ° ° ° ° ° ° ° ° (1) AB = BC = HI = ID = GF = FE . (1) AB = BC = FD. ° ° ° ° ° ° ° ° ° (2) BA = CB = IH = DI = FG = EF . (2) BA = CB = DF. ° ° ° ° ° ° ° ° ° (3) AH = HG = BI = IF = CD = DE . (3) AF = FE = BD. ° ° ° ° ° ° ° ° ° (4) HA = GH = IB = FI = DC = ED. (4) FA = EF = DB. ° ° ° ° ° ° (5) AC = HD = GE. (5) CD = DE = BF. ° ° ° ° ° ° (6) CA = DH = EG. (6) DC = ED = FB. ° ° ° (7) AG = BF = CE. ° ° ° (8) GA = FB = EC. ° ° ° ° ° ° ° 2. a) c = d ; ¥ a ¥ = 4; ¥ b ¥ = 20; ¥ c ¥ = 20; ¥ d ¥ = 20; ¥ e ¥ = 20 . ° ° ° ° ° ° ° ° ° b) b = e ; c = d ; ¥ a ¥ = 29; ¥ b ¥ = 34; ¥ c ¥ = 34; ¥ d ¥ = 34; ¥ e ¥ = 34 . 3.

y

° a

4 3

b)

°2 a 1

° a 1

–5 –4 –3 –2 –1

° a

–1

d)

a) 2

3

5 x

4

° a c)

–2 –3 –4

4.

y 7 6

O’(–3; 5) A’

° v

5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1

–1

–2 –3 –4 –5

46

° v

B

O 1

2

3

A ° –v

4

5 x

5.

y 7

C

6

A

5 4 3 2

C’

1

A’

B 1

–5 –4 –3 –2 –1

–1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

–2 –3 –4 –5

B’

6.

y 3

D’

C’

2 1

D

B’

A’

–5 –4 –3 –2 –1

–1

C1

2

3

4

5 x

–2 –3

A

B

a) A(– 5; – 3) A’(0; 0) B(0; – 3) B’(5; 0) C(0; 0) C’(5; 3) D(– 5; 0) D’(0; 3) b) A képpontok x koordinátája 5-tel, y koordinátája 3-mal nagyobb. 7.

y

S’’

S*

6 5

P’’

4 3 2

S = Q’’

R’’ = P* R* ° b S’ = Q* ° a

1

R = P’

P

–5 –4 –3 –2 –1

Q

–1

–2

1

2

3

R’ 4

5 x

Q’

P(– 4; 0) Q(– 2; – 2) R(0; 0) S(– 2; 2) a) P’(0; 0) Q’(2; – 2) R’(4; 0) S’(2; 2) b) P’’(– 4; 4) Q’’(– 2; 2) R’’(0; 4) S’’(– 2; 6) c)=d) P*(0; 4) Q*(2; 2) R*(4; 4) S*(2; 6) ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 8. a = AB; b = AD; BC = b ; CD = – a ; AC = a + b ; CB = – b .

47


9. a) (– 2; 2) pontba érkezik.

° ° ° ° b) P(8; 9)-ba, pl. a , a , a , b , ° ° ° ° O(0; 0)-ba, pl. a , b , b , c , ° ° ° R(– 2; – 5)-ba, pl. c , c , d ,

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° b, b, b, b, b, a , b, a , b, c . ° ° c, d. ° ° ° c, c, c.

Rejtvény: A

D

B

C

3. A párhuzamos eltolás alkalmazása, szerkesztések 1. a)

D

C

D’

C’

b)

D’ C

D

C’

C

D

C’

D’

A

A’

B

B’

° v

A

A’ B

B’

° v

A

B

° v A’

G JJG v ª AB JJG G AB v = 2

G JJG v ª AB G 3 JJG v = AB 4

B’

G JJJG v ª DB JJJG G DB v = 2

2. 144 cm2 (a szélen lévõ két félkör rátolható a kivágott körre).

°

3. AA’ adott, AA’-ral eltoljuk C-t. A’-n keresztül az AB egyenesével, C’-n keresztül a CB

egyenesével párhuzamost húzunk. Ezek metszéspontja B’. C’

C B’

A’ A

5. 1. B ponton át húzzunk a-val párhuzamost (e), ez a kört két pontban metszi, B’ és B’’

pontokban. Ezeken keresztül AB-vel párhuzamost húzunk és az AB szakasz hosszát a képpontokból a megfelelõ irányban rámérjük ezekre az egyenesekre. 2. Lehetséges, hogy csak egy közös pontja lesz az a ª e egyenesnek és a k körnek. Ekkor egy megoldást kapunk. 3. Lehet, hogy nincs közös pont, ekkor nincs megoldás. 48

6. a) 2 megoldás. 7. a)

8.

b) 1 megoldás.

1 -szorosa. 3

c) 0 megoldás.

5 . 3

b)

c)

K 8a 4 = = . k 6a 3

4 2 = . 6 3

9. A szerkesztésekhez vázlatot készítünk, elõször a színessel jelzett háromszöget

szerkesztjük meg. a) D

b)

C = D’

2,5 cm

D 2,5 cm

3,5 cm 2 cm 2,5 cm

A

D

A

B

6 cm

2 cm 5 cm

A’

B

AD ª A’C A vázlat azonos az a) vázlattal.

D 3,5 cm

C

4 cm

3,5 cm 2 cm

A

2 cm

d)

C

2 cm

2 cm 3 cm

3,5 cm

A’

AD ª A’C 1. AB kijelölése. 2. A’BCè-et szerkesztünk. 3. C-n keresztül AB-vel, A-n keresztül 3. A’C-vel párhuzamost húzunk (D). c)

C

3 cm

B

4 cm

A

2 cm 4 cm 5 cm

2 cm 1 cm

A’

B

Rejtvény: k1-en tetszõlegesen kiválasztott P pontból (k1, k2 egységsugarú körök, O2 a k1-re illeszkedik) az ábrán látható módon egységnyi oldallal rombuszt szerkesztünk. k1

k2 S O1

1 1

P

1

R

O2

1

1

Q

1 = ¥ O1P ¥ = ¥ O1O2 ¥ = ¥ O1S ¥; ¥ PO1 ¥ = ¥ PS ¥ = ¥ PQ ¥ = 1; ¥ QP ¥ = ¥ QO2 ¥ = ¥ QR ¥ = 1; ¥ RQ ¥ = ¥ RO2 ¥ = ¥ RS ¥ = 1; ¥ SR ¥ = ¥ SO1 ¥ = ¥ SP ¥ = 1; ¥ O2 R ¥ = ¥ O2Q ¥ = ¥ O2 O1 ¥ = 1. 49


4. Egybevágósági transzformációk 1. a)

b) C = B’

B’ C

D

D A

A = A’

C’

B

A’

Az egyesített két háromszög az ABDB’ konkáv deltoid lesz. c)

B = C’

Egy konkáv ötszöget kapunk. d)

B’

C = C’ C = C’ B’ A A = A’

A’

B

B

AB’ = AB’; CB’ = CB’. ABCB’ négyszög deltoid.

B’BC egyenlõszárú háromszög. B’C = BC.

2. a) Szabályos hatszöget, amelynek 6 szimmetriatengelye van. A kerülete 18 cm. A kelet-

kezett szabályos hatszög szögei 120°-osak. b) Egy nem konvex hatszöget. Egy szimmetriatengelye van. Kerülete 24 cm. Szögei: 60°; 120°; 60°; 120°; 240°; 120°. 3. a) 60°; 60°. Az eredeti háromszög szögei: 30°; 60°; 90°.

b) 5 cm; c)

10 ◊

3 = 5 3; 2

10 cm.

5◊5 3 cm2 = 12, 5 3 cm2 . 2

4. Az A csúcsot tükrözzük fg-ra. BA’ egyenes és fg metszéspontja a háromszög C csúcsa.

50

*5. A’

A a

B b B’

6. AD és CB metszéspontja O. 7. b egyenest O-ra középpontosan tükrözzük (a Ç b’ = P’). Az a és b’ metszéspontja lesz b

egy pontjának tükörképe. 8. a) A’(3; – 2) B’(4; – 7) C’(– 2; – 1);

b) A’’(– 3; 2) B’’(– 4; 7) C’’(2; 1); d) A*(– 1; 4) B*(– 2; – 1) C*(4; 5). ° 9. Az e egyenest B-be párhuzamosan eltoljuk (e’). Az e’ és f metszéspontja B’. BB’ az eltolás vektora. c) A’’’(– 3; – 2) B’’’(– 4; – 7) C’’’(2; – 1);

Rejtvény: Tükrözzük a biliárdasztalt a golyó helyével együtt O1-re, utána O2-re. A rajz szerinti szögek egyenlõk. P1; P2; P3; P4 az ütközés helyei. A négy ütjözési hely egy paralelogrammát határoz meg. P2

a

a

b

P1

b

b b

A a

a

P3 O1

P4 A’

O2

A’’

51


5. A középpontos hasonlóság 1. Az a), b), f) nagyítás, a c), d) kicsinyítés, e) középpontos tükrözés. a), b), c)-ben külsõ

hasonlósági pont, d), e), f)-ben belsõ hasonlósági pont. 2. a)

b) Kétszer annyi cérna kell. c) A kis háromszög területe negyede a nagyénak. 3. a)

1.

B’ B

2. O

3.

O

2 cm

B’

B

B’

3 cm

A

9 cm

5 cm

10 cm

A

4. B

B

3 cm

A’

O

B’ 5 cm

O

15 cm

A’

A’

A A’ A

b)

1.

A’

2.

B

2 cm

3 cm

A

O A

B O

3. A’

A’

3 cm

A’

O

10 cm

5 cm

5 cm

B’

9 cm

4. B

B

B’

O

15 cm

B’

A B’ A

c) l1 = 3; l2 =

3 ; 2

l3 =

3 l1 = – 3; l2 = - ; 2 4. a) l =

. 10 15 = » 1,1; 9 13, 5

d) 9 cm

O

13,5 cm

52

1 ; 2

l4 =

1 l3 = - ; 2 b)

1 3

az a)-ban.

l4 = -

1 3

10 -szeresére; 9

a b)-ben. c)

100 -szeresére. 81

5.

y

C’’

8 7 6 5

A’ A’’’ A

4

b)

3 2

1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2

–2

B’’

c)

–3

3

4

5

B’

B’’’

B

1

6

7

8

9

10 x

a)

–4

C = A’’

–5

C’’’

–6 –7

C’

–8

a) A’(2; 4) B’(10; 2) C’(– 4; – 8); b) A’’(– 2; – 4) B’’(– 10; – 2) C’’(4; 8); c) A’’’(1,5; 3) B’’’(7,5; 1,5) C’’’(– 3; – 6). 6. Rajzoljunk mindkét körbe egymással párhuzamos átmérõket! K1K2 és a két átmérõ

végpontját (amely K-tól ugyanabba az irányba esik) összekötõ egyenes metszéspontja 3ˆ Ê külsõ hasonlósági pontot ad Ë l = ¯ . Az ellenkezõ irányba esõ végpontokat össze2 3ˆ Ê kötve belsõ hasonlósági pontot kapunk Ë l = - ¯ . 2 7. AB = 75 cm; A’B’ = 75 cm ¡ 1,5 = 112,5 cm; 112,5 cm = 12,5 cm ¡ 9.

54 begóniát ültethetnek. Rejtvény: Csak a c) állítás igaz. Pl. l1 = – 2; l2 =

1 ; 2

l3 = – 1.

6. Vegyes feladatok 1. a)

y 7 6

A’(4; 7) (2; 6)

5

° c

4 3

° v

2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

A(2; 1) 1

2

3

4

5 x

b) Az eltolás a (2; 6) pontba viszi az origót. ° ° c) c = AA’. 53


° ° d) v (3; 5)

° b) v (2; – 2) ° e) v (5; – 3)

2. a) v (0; 3)

° c) v (4; 6) ° f) v (0; – 1)

3. a) 500 m.

b) Csak az utcán mehet, ezért legalább 700 m utat kell megtennie. Pl.: jjjffff. c) Pl.: jjffffj. Az egyirányú utcán a megadott irányban haladhat. Így is legalább 700 m az út. 4. El kell tolni az A város helyét a folyóra merõlegesen, a folyó szélességével egyenlõ

nagyságú vektorral. Az A’B egyenes metszi ki B oldalán a partból a híd helyét. A

A’ híd B

5. a)

D

2 cm

3 cm

C = D’ 2 cm

3 cm 4 cm

A

6 cm

A’

B

b) Ha a b oldalt csökkentjük (b £ 1). ° ° 6. OC-ral eltoljuk a másik határoló sugarat. A körív és e metszéspontján (B) keresztül CB-ral eltoljuk az OC szakaszt. e

A

B 4 cm

O

5 cm

C

7. Az egyik sugárra szerkesztünk egy négyzetet az ábrán látható módon (XYVZ), majd ezt

a négyzetet O-ból felnagyítjuk.

C

D V

Z

O

X A

54

Y

B

8. a) Az asztal síkját jelképezõ e félegyenesre merõleges, 42 mm hosszú szakaszt

szerkesztünk tetszõleges helyen, majd ennek végpontján keresztül e-vel párhuzamost húzunk (e’). e’ metszi ki a 60°-os szög másik szárából a támaszkodási pontot. Ide toljuk el a 42 mm-es szakaszt. b) 42 mm oldallal szabályos háromszöget szerkesztünk. 9. Az átfogó felezõpontja lesz a köré írható kör középpontja. Az erre vonatkozó l = – 1

együtthatójú középpontosan hasonló képe és az eredeti háromszög együtt egy téglalapot alkot. 10. a)

b)

A = A’ B

D’

F E’

F’

B’

C’

A

O B

E

F

C D

O E C D

F’

E’

C’

D’

B’

A’

Alkalmazhatjuk a középpontos hasonlóság tulajdonságait is c)

D’

C’

E’

A B

F

O E C D

B’

F’

A’

11. A)

22 h = ﬁ h = 11 m; 2 1

B)

x 22 = 1 2

h = 11 + 2 ﬁ h = 13 m.

55


8. Függvények, sorozatok 1. Függvények, lineáris függvények 1. a) függvény;

b) nem függvény, mert az alaphalmaz egy eleméhez végtelen sok értéket rendel a képhalmazból; c) függvény; d) nem függvény, mert az alaphalmaz elemeihez (kivéve a 0-t) két képhalmazbeli elemet rendel. e) függvény (konstans); f ) függvény. 2. a) h;

b) g, h;

c) g, h;

d) egyikre sem; e) egyikre sem.

3. 1. B) g;

2. D) h;

3. A) k;

4. C) f.

4. f: x ® 2x µ 4, a = 2, b = µ4;

g: x ® µx + 3, a = µ1, b = 3;

y

y

1

1

–1

1

x

–1

–1

1

h: x ® 3x + 6; a = 3, b = 6;

k: x ® 4 µ 3x, a = µ3, b = 4.

y

y 5

5

1 –1

1 1

x

–1

5. a) a = 1

–1

1

x

–1

c) a = 1 f(x) = 0 f(x) = 0 x = µ1 x=3 f(0) = 1 f(0) = µ3 y=1 y = µ3 f(x) = x + 1 f(x) = x µ 3 A hozzárendelést különbözõ jelöléssel adhatjuk meg.

56

x

–1

b) a = 0 f(x) ¹ 0 f(0) = µ2 y = µ2 x ® µ2

d) a = µ1 f(x) = 0 x=1 f(0) = 1 y=1 y = µx + 1

6. a)

x

Egyik hegyesszög (a )

20°

45°

10°

67,5°

60°

y

Másik hegyesszög (b )

70°

45°

80°

22,5°

30°

b = 90° µ a b) y = 90° µ x c) Értelmezési tartomány: 0° < x < 90° Értékkészlet: 0° < y < 90° d) y

x ® 90° µ x

50

10 10

*7. a)

50

T (°C) N(T)

b) N(T )

( cirip perc )

x

15

20

25

30

35

40

45

85

115

145

175

205

235

265

cirip ( perc ) 270 240 210 180 150 120 90 60 30

10 20 30 40 50

T (°C)

30 5 Az ábráról csak akkor látjuk a meredekséget, ha a tengelyeken az egység ugyanakkora.

c) meredekség 6 =

57


cirip perc cirip 1 °C ® 6 perc cirip 26 °C ® 151 perc

d) 5 °C ® 30

e) A hozzárendelési szabály: N = 6T µ 5 Értelmezési tartomány 15 £ T £ 45 Értékkészlet: 85 £ N £ 265 „Tücsökhõmérõ” T = (N + 5) ¢ 6 *8. a)

b) x = 20, ez azt jelentené, hogy 20 eurós egységár esetén nem tudna egy mézeskalácsot sem eladni naponta. c) y = 40. Ha 0 eurót kérne egy mézeskalácsért, 40 db-ot adhatna oda. d) a = µ2. 1 eurós növelés esetén 2 darabbal csökken az eladható mennyiség. e) Értelmezési tartomány: 0 < x < 20 Értékkészlet: 0 < y < 40 *9. a)

F (°F)

F(C) = 1,8 ¡ C + 32 50 40 30 20 10

1

5

10

15 C (°C)

b) 32 °F-on fagy meg a víz. 212 °F-on forr a víz. 58

c) 10 °F = µ12,2 °C Rejtvény: A számítógép közelítõ értékekkel dolgozik. Ha egyenes lenne, akkor a [0; 2] inf( 2) f( 25) = 0, 96; a [0; 25] intervallumon tervallumon a „meredekség” = 1, 075. Ezek 2 25 az értékek nem egyeznek meg, tehát nincs igaza Balázsnak.

2. Függvények tulajdonságai 1. a) értékkészlete: 0-nál nem kisebb valós számok halmaza y ³ 0,

tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ1; x2 = 5, y tengelymetszete: y = 1, menete: ha x £ µ1, akkor csökkenõ, ha µ1 < x £ 2, akkor növekvõ, ha 2 < x £ 5, akkor csökkenõ és ha 5 < x, akkor növekvõ. szélsõértéke: minimuma van az x = µ1 helyen, értéke y = 0, maximuma van az x = 2 helyen, értéke y = 3, (helyi maximum) minimuma van az x = 5 helyen, értéke y = 0. b) értékkészlete: a 4-nél nem nagyobb valós számok halmaza y £ 4, tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ2 és x2 = 2, y tengelymetszete: y = 4, menete: x = 0-ig növekvõ; 0-nál nagyobb x esetén csökkenõ, szélsõértéke: maximuma van az x = 0 helyen, értéke y = 4. c) értékkészlete: µ4 £ y £ 4, tengelymetszetei: zérushelyei: x1 = µ4; x2 = 0, x3 = 4, y tengelymetszete y = 0, menete: µ4-nél nem kisebb és 2-nél nem nagyobb x-ekre csökkenõ, ha µ2 < x £ 2, akkor növekvõ, ha 2 < x £ 4, akkor csökkenõ, szélsõértéke: minimuma van az x = µ2 helyen, értéke y = µ4, maximuma van az x = 2 helyen, értéke y = 4. A grafikon az origóra szimmetrikus, d) értékkészlete: a 6-nál nem nagyobb számok, y £ 6, tengelymetszetei: zérushelye x = µ21 (az ábrán nem látható), y tengelymetszete: y = 3, menete: µ¥-tõl µ3-ig növekvõ, µ3 < x £ 1 csökkenõ; 1 < x £ 4 növekvõ; 4 < x konstans, szélsõértéke: maximuma van az x = µ3 helyen, értéke y = 6, minimuma van az x = 1 helyen, értéke y = 2. (helyi)

59


2. y 13

f(x)

1 1

5

x

µ2

f: értékkészlet: µ2-nél nem kisebb és 13-nál nem nagyobb valós számok, 2 tengelymetszetei: zérushelye: x = (számítással pontosítson), 3 y tengelymetszete: y = µ2, menete: ha 0 < x £ 5, akkor növekvõ, szélsõértéke: minimuma van x = 0 helyen, értéke y = µ2, maximuma van x = 5 helyen, értéke y = 13. y

g(x) 4 3 2 1 1

2

x

µ2

g: értékkészlet: a valós számok halmaza, 2 tengelymetszetei: zérushelye: x = , 3 y tengelymetszete: y = µ2, menete: µ¥-tõl +¥-ig növekvõ, szélsõértéke: nincs.

60

y

h(x) 2 1 1

2

4

x

µ2

h: értékkészlete: a valós számok halmaza, tengelymetszetei: zérushelye: x = 0, y tengelymetszete: y = 0, menete: minden x valós számra növekvõ, szélsõértéke: nincs. 3. a) pl.:

b) pl.:

61


c) pl.:

d) pl.:

*4.

y

y

g(x)

f(x)

1 1

1 1

62

x

x

Jellemzõi

f(x)

g(x)

1. Értékkészlete

µ1-nél nem kisebb valós számok f(x) ³ µ1

µ3-nál nem kisebb valós számok g(x) ³ µ3

1 x2 = 2 2 y = 1-nél

2. Tengelymetszetei zérushelye: az y tengelyt metszi:

x1 =

3. Menete

x = µ3 y = µ3-nál

Ha x < 1, akkor csökken, ha x ³ 1, akkor növekszik.

Ha x < 0, akkor csökken, ha 0 £ x £ 2, akkor növekszik, ha x > 2, akkor konstans.

x = 1-nél y = µ1 nincs

x = 0-nál y = µ3 nincs

4. Szélsõértéke minimuma: maximuma:

µ2x µ 1, ha x < 1

*5.

f: \ ® \, f(x) =

µ3,

ha 1 £ x < 2

2x µ 7,

ha x ³ 2

pl. Az x ³ 2 esetén a meredekség a képrõl leolvasható a = 2 A b értékét számítással határozzuk meg. P(3; µ1) µy = ax + b b = µ7 µ1 = 2 ¡ 3 + b Rejtvény: Igen. f: \ ® \, x ® 0

3. Az abszolútérték-függvény 1. y

g(x)

k(x) f(x) h(x)

1 1

2. a) f: \ ® \, x ® |x| + 3

c) f: \ ® \, x ® |x| µ 2

x

b) f: \ ® \, x ® µ|x + 1| d) f: \ ® \, x ® |x µ 2|+ 1

63


3.

y

h(x)

f(x)

g(x)

k(x)

1 µ4

f(x)

Jellemzõi

2. Tengelymetszetei zérushelye: az y tengelyt metszi:

f(x) ³ 0

g(x) ³ 0

h(x) ³ 0

x=1 y = 1-nél

x = µ2 y = 2-nél

x = µ4 y = 4-nél

csökken, ha x < µ2 növekszik, ha x ³ µ2

csökken, ha x < µ4 növekszik, ha x ³ µ4

x = 1-nél y = 0 nincs

x = µ2-nél y = 0 nincs

x = µ4-nél y = 0 nincs

4. f: \ ® \, x ® |x + 9|

h: \ ® \, x ® |x µ 4|

64

h( x)

csökken, ha x < 1, növekszik, ha x ³ 1

3. Menete

*5.

g(x)

k(x)

A nem negatív valós számok

1. Értékkészlete

4. Szélsõértéke minimuma: maximuma:

x

1

g: \ ® \, x ® |x + 3| k: \ ® \, x ® |x µ 6|

k(x) ³ 0 x = 1,5 y = 1,5-nél csökken, ha x < 1,5 növekszik, ha x ³ 1,5 x = 1,5-nél y = 0 nincs

y

x ®|x| – 3

µ5

µ1 µ4

1

5

x

µ3

Rejtvény: Az f(x) = |x µ 2| + |x + 4| sehol nem veszi fel a µ6 értéket, mert |x µ 2| ³ 0 és |x + 4| ³ 0. Két nem negatív szám összege nem lehet negatív.

4. Másodfokú függvény 1. f(x), g(x), k(x), mert a változó második hatványon (négyzeten) szerepel. 2. a)

b)

65


2. c)

3. f(x) ® C,

g(x) ® B,

h(x) ® D,

k(x) ® A

4. Nincs minimuma f(x) és h(x) függvényeknek, mert elõbb növekszik, azután csökken.

Az ilyen folytonos függvényeknek maximuma vagy helyi maximuma van. Nincs maximuma g(x) és i(x) függvényeknek, ezek elõbb csökkennek, azután növekszenek. Ezeknek minimuma van. 5. f: [µ2; 2] ® \, f(x)= x2 + 1.

Másképpen: f: {a µ2-nél nem kisebb, 2-nél nem nagyobb valós számok} ® \, x ® x2 + 1 Rejtvény: x

0

20

40

80

99

100

101

120

160

180

200

f(x)

0

72

128

192

199,98

200

199,98

192

128

72

0

200 m magas és 200 m-re van egymástól a két lába.

66

5. Egyéb függvények (kiegészítõ anyag) 1. a) Jelölje x a szeletek számát, y a szeletek tömegét!

b) f: ` ® \, f(x) =

2000 x

2. a) fordított arányosság

b) A napozási idõ a faktorszámmal lineáris függvénykapcsolatban áll.

67


3. a)

*4. a) f : \ + Æ \,

x 6 x2

g : \+ Æ \, x 6 h:

\+

Æ \, x 6

y (cm2)

x f(x)

2◊x

h(x)

g(x)

1 1

x (cm)

Rejtvény:

y

f(x) 1 x 1

6. Sorozatok, számtani sorozat 1. a) 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1; 4.

b) a10 = 1, mert 10 = 3 ¡ 3 + 1. c) 8 + 3 ¡ (4 + 2 + 1) = 29. d) 8 + 33 ¡ (4 + 2 + 1) = 239. 2. 1; 3; 2; 5; 9. 68

3. a) 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; n ® (n µ 1)2

b) 21; 17; 13; 9; 5; 1; µ3; µ7; µ11; n ® 21 + (n µ 1) ¡ (µ4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n c) ; ; ; ; ; ; ; ; ; n6 6 7 8 9 10 n+1 2 3 4 5 7 1 3 1 1 3 4; 4 ; 5 ; 6 ; 7; n 6 1 + ( n - 1) ◊ d) 1; ; 2, 5; 3 4 2 4 4 4 4 4. a1 = 25 a) a15 = 25 + 14 ¡ 4 = 81 A 15. sorban 81 ülõhely van. d=4

b) S15 =

15( 25 + 81) = 795 2

A nézõtéren 795 ülõhely van.

5. a1 = 5 a2 = 9

a) d = 4 b) 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29 c) a20 = a1 + 19d; a20 = 81 6. d = 11

a5 = 72 7. a4 = 7

a7 = 25 8. a1 = 2

d=3

9. a1 = 1

28; 39; 50; 61; 72 a) d = 6 b) µ11; µ5; 1; 7; 13; 19; 25 c) a50 = µ11 + 49 ¡ 6 = 283 a) 2; 5; 8; 11; 14 b) a40 = 119 ( 2 + 119) ◊ 40 c) S40 = = 2420 2 a) 1275 b) 5050 c) 2850

d) 6216

d=1 10. a1 = 10

n = 90 a90 = 99 11. a1 = 10

n = 45 a45 = 98 12. a1 = 3

an = 993 n = 100

d=1 S90 = 4905 d=2 S45 = 2430 d = 10 S100= 49 800

*13. a) A 10. napon 29 cm-t, a 100. napon 299 cm-t nõtt.

b) 10 nap elteltével 156 cm-es lesz. A 100 nap elteltével 15 050 cm-t nõtt. 14. A kilenc egymást követõ természetes szám: n; n + 1; n + 2; ...; n + 7; n + 8

(n + 8) µ n = 8 Rejtvény: Egyetlen ilyen n természetes szám sem létezik, mert: Egy természetes szám akkor és csak akkor végzõdhet 4-re, ha 10-zel osztva 4-et ad maradékul.

69


Ha az összeg 4-et ad maradékul, akkor az n (n + 1) maradéka 10-zel osztva 8 lenne, de a 8 nem szerepel a maradékok között.

7. Mértani sorozatok 1. b) a1 = 16; q = 2. A), b);

B), c);

1 d) a1 = µ5; q = 1 4 C), a); D), d)

3. Igen. Pl. 3; 3; 3; ... q = 1, d = 0, a1 = 3 4. a) Ha másfélszer olyan magasra nõ, mint az elõzõ héten volt, akkor mértani sorozat.

1 19 19 részt elolvas, maradék x. Következõ héten ennek része marad. 20 20 20 Ê 19 ˆ 19 x˜ ◊ és így tovább. ÁË 20 ¯ 20 b) és c) számtani sorozatot ad. 1 5. a) a1 = ,q=2 d) a1 = µ2, q = µ1 2 6. a) 3; 6; 12; 24; 48 b) 5; µ5; 5; µ5; 5 c) 16; 8; 4; 2; 1 d) 8; 12; 18; 27; 40,5 n -1 n -1 4 5 5 1 1 Ê 1ˆ 1 Ê 1ˆ Ê 1ˆ Ê 1ˆ ; Á ˜ = 7. 105 ◊ Á ˜ < = < 5 ◊ 103 ; Á ˜ ; Á ˜ < Ë 2¯ Ë 2¯ 100 20 Ë 2 ¯ 16 Ë 2 ¯ 20 4 nap után, azaz jan. 5-én lesz 5000 Ft-nál kevesebb pénze. d)

8. 1 év múlva 120 peták, 2 év múlva (100 ¡ 1,2) ¡ 1,2 = 144 peták,

3 év múlva 100 ¡ 1,23 = 172,8 peták lesz 1 kg kenyér ára. *9. a) elsõ: 1 000 000 ¡ 1,104

1 464 100 Ft b) elsõ: 1 000 000 ¡ 1,18 2 143 588 Ft

<

második: 1 000 000 + 4 ¡ 150 000 1 600 000 Ft

<

második: 1 000 000 + 8 ¡ 150 000 2 200 000 Ft

A második bank ajánlata elõnyösebb mindkét esetben. *10. 2010-ben 100 ¡ 1,061009 Ft = 3,416788149 ¡ 1027 Ft lenne.

Rejtvény: 219 = 524 288 220 = 1 048 576 A 20. napon fedi be az egész tavat.

70

8. Vegyes feladatok 1. 1. a) a = µ2

1 2. a) a = 3 3. a) a = µ 4. a) a =

2 5

3 2

b) x = µ1

c) y = µ2

b) x = 3

c) y = µ1

b) x = 5

c) y = 2

b) x =

2. növekvõ: f, h

4 3

d) x ® µ2x µ 2 1 d) x ® xµ1 3 2 d) x ® µ x + 2 5 3 d) x ® xµ2 2

c) y = µ2

Közös a függvényekben, hogy az y tengelyt az y = 3-nál metszik.

csökkenõ: g, i állandó: e 3. 1.

2. y

f(x)

y

g(x) 1 1 1

x 1

Értékkészlete: \ f: \ ® \, x ® 3x µ 2

x

Értékkészlete: y ³ 0 valós számok g: \ ® \, x ® |x µ 3|

3.

4. y

i(x)

y

h(x) 1 1 1

x 1

Értékkészlete: \ h: \ ® \, x ® µ

x

Értékkészlete: y ³ µ2 valós számok 1 1 x+ 2 2

i: \ ® \, x ® x2 µ 2 71


4. a) f: \ ® \, x ® 2x

b) g: \ ® \, x ® 2x + 3 c) h: \ ® \, x ® 2x µ 3

y 3

g(x)

h(x) f(x)

A grafikonok párhuzamosak, a meredekség mindhárom függvényben 2. 1

x

–3

5. f: \ ® \, x ® x µ 5

6. f: \ ® \, x ® 3x y

f(x)

1 1

72

x

7. a) f: \ ® \, x ® 1,25x

b) g: \ ® \, x ® 0,8x

Mindkét grafikon az origón halad át és növekvõ. 8. 1. f: \ ® \, (zöld) x ® x2 + 4

x2

g: \ ® \, (kék) x ® h: \ ® \, (piros) x ® x2 µ 4 a) Közös, hogy az alapfüggvény x2. y értéket változtatjuk. b) Szimmetrikusak az új tengelyre és ugyanolyan alakúak. Az y tengellyel párhuzamos irányban eltolt képek. 9. 1. x ® 2x

Q

2. x ® x2 µ 3 P, Q, R, S

2. f: \ ® \, (piros) x ® (x + 3)2 g: \ ® \, (kék) x ® x2 h: \ ® \, (zöld) x ® (x µ 2)2 a) Az alapfüggvény az x2. A változót (x) változtatjuk. b) Ugyanolyan alakúak és az x tengelylyel párhuzamos irányban eltolt képek. 3. x ® µ|x| µ 1 S, T

4. x ® 1 P, R

*10. Értelmezési tartománya:

2-nél nem nagyobb valós számok Tengelymetszetei: zérushelye: x1 = 0, x2 = 5 az y tengelyt metszi: y = 0-nál Menete: növekszik, ha x £ 1 állandó, ha 1 < x £ 3, csökken, ha x > 3 Szélsõértéke: maximuma van, ha 1 < x £ 3, értéke y = 2 minimuma nincs.

y

1 1

x

f(x)

73


11.

a) b) 12. a)

A) B) C) D) E) F)

Négyszög n Ê 1ˆ n® T ◊Á ˜ Ë 2¯ 1 2 cm 2 Számtani sorozat 3; 6; 9; 12; 15; 18 µ3; 6; 15; 24; 33; 42 3; µ6; µ15; µ24; µ33; µ42 µ3; µ6;µ9; µ12; µ15; µ18 µ3; µ3; µ3; µ3; µ3; µ3 (d = 0) 3; 0; µ3; µ6; µ9; µ12

1 1 3 1 5 3 ; ; ; ; ; 8 4 8 2 8 4 1 d= 8 4 3 7 13 3 11 H) ; ; ; ; ; 5 4 10 20 5 20 1 d= 20

G)

Háromszög n Ê 1ˆ n® T ◊Á ˜ Ë 4¯ 1 2 cm 4 b) Mértani sorozat 3; 6; 12; 24; 48; 96 µ3; 6; µ12; 24; µ48; 96 3; µ6; 12; µ24; 48; µ96 µ3; µ6; µ12; µ24; µ48; µ96 µ3; µ3; µ3; µ3; µ3; µ3 (q = 1) Nem lehet. A mértani sorozat egyetlen tagja sem lehet 0. 1 1 1 ; ; ; 1; 2; 4 8 4 2 q=2 4 3 45 675 10 125 151 875 ; ; ; ; ; 5 4 64 1024 16 384 262 144

q=

15 16

13. 9 db: azonos számjegybõl álló 4-jegyû szám, 1111, 2222, ... 9999 (d = 0)

18 db: 1234; 1357; 2345; 2468; ...; 6789 és ezek fordított sorrendben. 3 db: 3210; 6420; 9630 0-ra végzõdõ van. 30 db: ilyen szám létezik. 14. 9 db: azonos jegyekbõl álló és az 1248; 8421, azaz 11 ilyen szám van. 15. Csak 9 db, a jegyek azonosak (q = 1). 16. Segítség a tanár részére.

(a1 + a n ) ◊ n

[a + a1 + ( n - 1)d ] ◊ n ; 2a + ( n - 1)d = 2 Sn = 1 1 2 2 n Az n csak 36 osztója lehet. (2a1+0 ◊ d ) ◊ 1 = 18, 2a = 36 n=1 1 2 a1 = 18 d bármilyen egész szám lehet. A sorozatnak csak az elsõ tagja képezi az összeget.

a) Sn =

n=2

2a1 + d = 18 Az a1 helyére bármilyen egész szám írható. pl.: a1 = 1, d = 16 1; 17; 33;... pl.: a1 = 9, d=0 9; 9; 9;... pl.: a1 = 10, d = µ2 10; 8; 6;... . . . pl.: a1 = 2, d=4 2; 6; 10; 14;...

n=3 74

n=4 n=6 n=9 n = 18

pl.: 2a1 + 3d = 9 pl.: a1 = 0, d=3 pl.: 2a1 + 5d = 6 pl.: a1 = µ2, d=2 pl.: 2a1 + 8d = 4 pl.: a1 = µ2, d=1 2a1 + 17d = 2 pl.: a1 = 18, d = µ2

0; 3; 6; 9;... µ2; 0; 2; 4; 6; 8;... µ2; µ1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;... 18; 16; 14; 12; ...; ...; 0; ...; µ14; µ16;...

2a1 + 35d = 1 pl.: a1 = 18, d = µ1 18; 17; 16; 15; ...; 0; ...; µ16; µ17;... a1+ a n ) ◊ n ( = 24 b) 2 [2a1 + ( n - 1)d ] ◊ n = 24 48 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 2 n = 36

[2a1 + ( n - 1)d ] ◊ n = 48

48 n a1 = 24, d bármilyen egész szám. a1 = 1, d = 22 a2 = 2, d = 20 2; 22; 42;...

2a1 + ( n - 1)d ◊ n = Ha n = 1 n=2

n=3

a2 =

a1 + a 3 2

a2 = 8, d bármilyen egész szám lehet.

pl.: µ4; 8; 20;... A továbbiakban az a) részben leírtak szerint számolva példákat adok a lehetséges sorozatokra. n=4 pl.: a1 = µ6, d=8 µ6; 2; 10; 18... n=6 pl.: a1 = 1, d=2 µ1; 1; 3; 5; 7; 9;... n=8 pl.: a1 = 10, d = µ2 10; 8; 6; 4; 2; 0; µ2; µ4;... n = 12 pl.: a1 = µ9, d=2 µ9; µ7; µ5; µ3; µ1; 1;... n = 16 pl.: a1 = 9, d = µ1 9; 8; 7; 6; 5;... n = 24 pl.: a1 = 1, d=0 vagy a1 = 24, d = µ2 n = 48 pl.: a1 = µ24, d = 1 17. 20, 21, 22, 23, 24

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 31 prímszám. A gyerekek életkora: 1; 2; 4; 8; 16 év. 18. a) 3; 8; 13; 18; 23

b) 2; 6; 12; 20; 30 c) 2; 4; 8; 16; 32 d) 6; 12; 24; 48; 96

75

Sokszínû matematika 8. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Recommend Documents