PRESENTASI TUGAS AKHIR – KI091391 SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS’ MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS (Kata kunci:persamaan burgers’, metode numerik, cubic B-spline, quasiinterpolant, higher order expansions)
Penyusun Tugas Akhir : Nafanisya Desdemona Mulia (NRP : 5107.100.124) Dosen Pembimbing : Yudhi Purwananto, S.Kom, M.Kom Rully Soelaiman, S.Kom, M.Kom 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
1
LATAR BELAKANG
1. Persamaan Burgers’ merupakan persamaan differensial parsial
fundamental dari mekanika fluida. Sampai saat ini, belum ada solusi yang tepat untuk menyelesaikan persamaan Burgers’ ketika koefisien viskositasnya bernilai kecil.
2. Sebelumnya telah dikembangkan metode numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan Multiquadratics dan cubic B-spline quasi-interpolant. 3. Untuk mendapatkan solusi yang tepat, dibangun sebuah skema numerik menggunakan teknik quasi-interpolant dengan cubic Bspline serta Multi-node Higher Order Expansions untuk mendapatkan solusi terbaik dalam memecahkan persamaan Burgers’.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
2
RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana metode untuk memecahkan persamaan Burgers’ yang menghasilkan tingkat keakuratan yang tinggi untuk segala kondisi?
2. Bagaimana merancang sistem yang sesuai dengan metode yang digunakan?
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
3
BATASAN MASALAH
1. Simulasi eksperimen dilakukan menggunakan Matlab 7.6. 2. Persamaan yang digunakan adalah persamaan Burgers’ dalam bentuk umum.
3. Tingkat keakuratan metode dihitung berdasarkan perhitungan error pada dua buah metode yang dibandingkan.
4. Perhitungan solusi persamaan Burgers’ hanya untuk bilangan Reynold (R) yang bernilai 1, 10, dan 100. 5. Perhitungan solusi persamaan Burgers’ dengan nilai h ≥ 0.1. 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
4
TUJUAN
1. Membangun sebuah skema baru menggunakan metode Cubic B-Spline Quasi-Interpolant dan Multi-node higher order expansion untuk memecahkan persamaan Burgers’ dengan tingkat akurasi yang tinggi. 2. Membangun sebuah aplikasi dengan mengimplementasikan skema baru untuk memecahkan persamaan Burgers’
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
5
GAMBARAN UMUM APLIKASI (1)
Initial condition dan boundary condition Domain waktu (t), jarak antar node ruang (h), dan jarak antar node waktu (ԏ)
Diskritisasi domain ruang dan waktu
Solusi persamaan Burgers’
u(xi ,tk)
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
6
GAMBARAN UMUM APLIKASI (2)
•
Boundary condition dan initial condition yang digunakan pada aplikasi ini ada tiga macam, yaitu example 1, example 2, dan example 3.
•
Ada tiga buah solusi yang digunakan dalam aplikasi ini, yaitu solusi eksak, solusi numerik dengan metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions (metode numerik 1), dan solusi numerik dengan metode exact-explicite finite difference (metode numerik 2), sebagai solusi pembanding.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
7
DISKRITISASI DOMAIN
Diskritisasi domain ialah proses pendiskritan ruang (x) dan waktu (t) menjadi node-node, sehingga persamaan Burgers’ dapat diselesaikan dengan model perhitungan diskrit.
x h
x
x
u ( x, t )
t
t
t 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
8
DISKRITISASI DOMAIN
Domain Ruang (x) dan Waktu (t) x, t, h,ԏ
n = x /h K = t /ԏ
25 Juli 2011
xi= i * h
(i = 0, 1, 2, ..., n)
tk= k * ԏ
(k = 0, 1, 2, ..., K)
Tugas Akhir – KI091391
9
METODE NUMERIK 1 (1) Cubic B-pline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions B-spline quasi-interpolant
Cubic B-spline quasi-interpolant
Modifikasi cubic B-spline quasi-interpolant dengan multi-node higher order expansions
Inisialisasi matriks D1 dan D2
Skema numerik dengan cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
10
METODE NUMERIK 1 (4)
Skema numerik :
dimana
u u u
u k i t
k i t
uik 1 uik
u uih, k k i
ke-(i + 1) dari vektor
u
25 Juli 2011
k 0
k 1
k i x
,
k
D1 u h
v u
k i xx
(2-34)
(2-35)
,
k i x dan
u u , u ,..., u k
k i
SKEMA NUMERIK
u
dan
k i
xx adalah komponen k
D2 u h
k T n
2
, dengan (2-36)
Tugas Akhir – KI091391
11
METODE NUMERIK 2 (1) Exact-explicit finite difference Finite Difference Method adalah salah satu teknik numerik untuk
mendekati solusi untuk persamaan diferensial menggunakan konsep persamaan beda hingga (finite difference equation) untuk perkiraan derivatif. Metode metode formula formula
25 Juli 2011
exact-explicit finite difference disini dikembangkan dari finite difference dengan transformasi Hopf-Cole. Dimana
solusi numerik dengan metode ini hampir sama dengan solusi eksak persamaan Burgers’.
Tugas Akhir – KI091391
12
METODE NUMERIK 2 (2) Exact-explicit finite difference
s 2v sDs sin sxi 1 4r sin 2 2 n s 1 Solusi numerik : u ( x , t ) i k k s D0 Ds cos sxi 1 4r sin 2 2 n s 1 k 0,1,..., K k
i 0,1,..., n dimana
D0 exp (2v) 1 1 cos(x) dx, 1
0
Ds 2 exp (2v) 1 1 cos(x) cos(kx)dx, k 1 1
0
r v / h 2 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
13
SKENARIO UJI COBA
a.
Masukan berupa example, nilai R, t, h, dan Ԏ.
b. Uji coba memiliki tiga buah proses untuk example 1 dan 2,
yaitu proses komputasi solusi eksak, solusi numerik 1, dan solusi numerik 2. Dan dua buah proses untuk example 3, yaitu proses komputasi solusi eksak dan solusi numerik 1.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
14
UJI COBA 1 (1)
Kurva
Example 1
R=1
Solusi eksak
25 Juli 2011
t = 0.1
Ԏ = 0.00001
Solusi numerik 1
Tugas Akhir – KI091391
h = 0.05
Solusi numerik 2
15
UJI COBA 1 (2)
Tabel Nilai t x
0
0.05
0.1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
1
1
1
0.6091
0.6091
0.6097
0.3716
0.3716
0.3723
1
1.2E-16
0
0
7.9E-17
0
0
4.8E-17
0
0
║e║1
-
4.9E-13
2.8E-12
-
2.96E-5
9.41E-4
-
4.14E-5
0.0019
║e║2
-
3E-13
1.8E-12
-
1.20E-5
4.34E-4
-
9.62E-6
5.21E-4
Keterangan :
25 Juli 2011
1 : Solusi eksak 2 : Solusi numerik 1 3 : Solusi numerik 2
║e║: nilai error
Tugas Akhir – KI091391
16
UJI COBA 1 (3)
Hasil Analisis Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2.
Berdasarkan selisih error secara keseluruhan dari kedua metode, metode numerik 1 bisa mereduksi error metode numerik 2 sebesar 95.8%. 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
17
UJI COBA 2 (1)
Kurva
Example 2
R=1
Solusi eksak
25 Juli 2011
t = 0.1
Ԏ = 0.00001
Solusi numerik 1
Tugas Akhir – KI091391
h = 0.0125
Solusi numerik 2
18
UJI COBA 2 (2)
Tabel Nilai t x
0
0.05
0.1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
1
1
1
0.6281
0.6281
0.6281
0.3834
0.3834
0.3835
1
1.6E-16
0
0
8.2E-17
0
0
5E-17
0
0
║e║1
-
8.85E-6
3.8E-14
-
2.54E-5
4.07E-5
-
4.80E-5
7.74E-5
║e║2
-
2.43E-6
2E-14
-
1.09E-5
1.77E-5
-
1.31E-5
2.12E-5
Keterangan :
25 Juli 2011
1 : Solusi eksak 2 : Solusi numerik 1 3 : Solusi numerik 2
║e║: nilai error
Tugas Akhir – KI091391
19
UJI COBA 2 (3)
Hasil Analisis Ketiga kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari kedua solusi numerik tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 lebih tepat sama dibandingkan dengan solusi numerik 2. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan kedua metode, metode numerik 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode numerik 2 ketika t > 0.
Berdasarkan selisih error secara keseluruhan untuk t > 0 dari kedua metode, metode numerik 1 bisa mereduksi error metode numerik 2 sebesar 38%. 25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
20
UJI COBA 3 (1)
Kurva
Example 3
R = 100
Solusi eksak
25 Juli 2011
t=1
Ԏ = 0.001
h = 0.025
Solusi numerik 1
Tugas Akhir – KI091391
21
UJI COBA 3 (2)
Tabel Nilai t x
0
0.5
1
1
2
1
2
1
2
0
0.9946
1
1
1
1
1
0.5
0.2
0.2
0.2379
0.238
0.9999
0.9999
1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
║e║1
9.64E-4
0.0015
0.0017
║e║1
0.0012
0.0026
0.0029
Keterangan :
25 Juli 2011
1 : Solusi eksak 2 : Solusi numerik 1
║e║: nilai error
Tugas Akhir – KI091391
22
UJI COBA 3 (3)
Hasil Analisis Kedua kurva yang dihasilkan berbentuk sama, yang berarti hasil dari solusi numerik 1 tidak jauh berbeda dengan hasil solusi eksak. Berdasarkan tabel, nilai yang dihasilkan oleh solusi numerik 1 tidak semua tepat sama dengan nilai yang dihasilkan solusi eksak. Berdasarkan nilai error yang dihasilkan oleh metode numerik 1, dapat disimpulkan bahwa metode numerik 1 untuk example 3 memiliki tingkat akurasi yang rendah dibandingkan dengan metode numerik 1 untuk example 1 dan 2.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
23
KESIMPULAN (1)
a. Pemilihan nilai h dan τ berpengaruh terhadap solusi aproksimasi yang dihasilkan. Semakin kecil jarak diskritisasi ruang (h) yang
digunakan, aproksimasi yang dihasilkan semakin mendekati nilai solusi eksak dan kurva yang dihasilkan akan semakin halus. Begitu pula jarak diskritisasi waktu yang digunakan (τ), semakin kecil τ yang digunakan maka kurva yang terbentuk semakin stabil. Pada uji coba dapat dilihat bahwa skenario yang menghasilkan solusi aproksimasi terbaik didapatkan dari nilai skenario pertama dengan example 1 serta nilai h = 0.05, t = 0.1, τ = 0.00001, dan R = 1.
b. Semakin besar nilai R yang diberikan, maka akan mempengaruhi bentuk kurva serta tingkat akurasi yang dihasilkan.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
24
KESIMPULAN (2)
c. Boundary condition dan intial condition mempengaruhi solusi
yang dihasilkan. Menurut hasil uji coba, boundary condition dan intial condition pada example 1 memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi.
d. Metode cubic B-spline quasi-interpolant dan multi-node higher order expansions menghasilkan tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode exact-explicit finite difference.
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
25
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
26
METODE NUMERIK 1 (2) INISIALISASI MATRIKS D1 -25/12
48/12
-36/12
16/12
-3/12
0
0
...
0
-3/12
-10/12
18/12
-6/12
1/12
0
0
...
0
7/144
-71/144
-50/144
146/144
-37/144
5/144
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
7/144
-71/144
-50/144
146/144
-37/144
5/144
0
...
0
0
7/144
-71/144
-50/144
141/144
-27/144
0
...
0
0
0
1/12
-8/12
1/12
6/12
0
...
0
0
0
-1/12
6/12
-21/12
16/12
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
35
METODE NUMERIK 1 (3) INISIALISASI MATRIKS D2 35/12
-104/12
114/12
-56/12
11/12
0
0
...
0
11/12
-20/12
6/12
4/12
-1/12
0
0
...
0
-3/24
37/24
-70/24
42/24
-7/24
1/24
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
0
-3/24
37/24
-70/24
42/24
-7/24
1/24
0
...
0
0
-3/24
37/24
-70/24
41/24
-5/24
0
...
0
0
0
-1/12
16/12
-29/12
14/12
0
...
0
0
0
-1/12
4/12
-5/12
2/12
25 Juli 2011
Tugas Akhir – KI091391
36
