SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAX-PLUS BILANGAN KABUR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAX-PLUS BILANGAN KABUR M. Andy Rudhito1; Sri Wahyuni2; Ari Suparwanto3; F.Susilo, S.J4 1

Jurusan PMIPA FKIP USD, Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta [email protected] 2, 3 Jurusan Matematika FMIPA, UGM, Sekip Utara, Yogyakarta 4 Jurusan Matematika FST USD, Paingan Maguwoharjo, Yogyakarta

ABSTRACT The activity times in a network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy numbers. With max-plus algebra approach, the network dynamic could be modeled and analyzed through a related iterative system of max-plus linear equations. This paper aims to determine the existence and uniqueness of the solution of the iterative system of fuzzy number maxplus linear equations. The finding shows that if the fuzzy number square matrix of the systems is semidefinite, then the solution of system is exists. The solution of the system could be determined the solution of the alpha-cuts of the system firstly, which form the iterative system of interval max-plus linear equations. Based on the Decomposition Theorem on fuzzy set, we can determine the membership function of the elements of the solution vectors. Moreover, the solution is unique if the fuzzy number square matrix of the systems is definite. Keywords: max-plus algebra, system of linear equations, fuzzy number

ABSTRAK Waktu aktivitas dalam suatu jaringan kadang tidak dapat diketahui dengan pasti, dan dapat dinyatatakan ke dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Dengan pendekatan aljabar max-plus, dinamika jaringan dapat dimodelkan dan dianalisis melalui sistem persamaan linear iteratif max-plus yang terkait. Artikel ini bertujuan untuk menentukan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur. Dapat ditunjukkan bahwa jika matriks persegi bilangan kabur dari sistem adalah semi-definite, maka sistem mempunyai penyelesaian. Penyelesaian sistem dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan penyelesaian sistem potongan-alfa-nya, yang berupa sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. Dengan didasarkan pada Teorema Dekomposisi pada himpunan kabur, dapat ditentukan fungsi keanggotaan elemen-elemen vektor penyelesaiannya. Lebih lanjut, penyelesaian sistem tunggal jika matriks persegi bilangan kaburnya adalah definit. Kata kunci: aljabar max-plus, sistem persamaan linear, bilangan kabur

Sistem Persamaan Linear …... (M. Andy Rudhito; dkk)

1

PENDAHULUAN Aljabar max-plus (himpunan R ∪{−∞}, dengan R adalah himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dengan operasi maksimum dan penjumlahan) telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis jaringan seperti penjadwalan proyek, sistem produksi, jaringan antrian, dan sebagainya. Pemodelan dan analisis suatu jaringan dengan pendekatan ini dapat memberikan hasil analitis dan lebih mudah pada komputasinya seperti dalam Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), dan Krivulin, N.K. (2001). Pemodelan tersebut kebanyakan masih berupa model deterministik, di mana waktu aktivitas pada jaringan berupa bilangan real. Pada kenyataannya, oleh karena beberapa faktor, misalkan operator mesin, kadang waktu aktivitas pada jaringan tidak pasti. Dalam masalah ini, aljabar max-plus telah dikembangkan untuk model stokastik, di mana waktu aktivitasnya berupa peubah acak seperti dalam Bacelli, et al. (2001) dan B. Heidergott, B., et. al. (2005). Peubah acak dalam model stokastik diasumsikan mengikuti suatu distribusi peluang tertentu. Distribusi ini biasanya disusun berdasarkan data-data yang diperoleh setelah jaringan dioperasikan untuk jangka waktu tertentu. Dalam masalah pemodelan dan analisis suatu jaringan, di mana waktu aktivitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktivitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Untuk itu, waktu aktivitas jaringan dimodelkan dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Akhir-akhir ini telah berkembang pemodelan jaringan yang melibatkan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001). Sedangkan untuk masalah model jaringan antrian yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Lüthi, J., Haring, G. (1997). Pemodelan dan analisis pada masalah-masalah jaringan yang melibatkan bilangan kabur, sejauh penulis ketahui, belum ada yang menggunakan pendekatan aljabar max-plus. Dalam pemodelan dinamika suatu jaringan dengan pendekatan aljabar max-plus, graf untuk jaringan tersebut dinyatakan dengan menggunakan matriks, dengan unsur-unsurnya menyatakan waktu aktivitas antar titik pada jaringan tersebut. Selanjutnya, pemodelan terkait dengan sistem persamaan linear iteratif max-plus x = A ⊗ x ⊕ b. Pemodelan waktu aktivitas jaringan dengan menggunakan bilangan kabur dengan pendekatan aljabar max-plus akan terkait dengan sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur. Untuk itu, artikel ini akan membahas eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur.

METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian yang didasarkan pada studi literatur yang meliputi kajiankajian secara teoritis dan perhitungan-perhitungan dengan bantuan program MATLAB. Dari hasilhasil dalam sistem persamaan linear max-plus dan sistem persamaan linear max-plus interval yang sudah ada, akan digeneralisasi ke dalam sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Operasioperasi dalam bilangan kabur akan dilakukan melalui potongan-α-nya yang berupa interval. Hasilhasil peneltian akan disajikan dalam definisi, teorema, dan contoh.

HASIL DAN PEMBAHASAN Pembahasan akan dilakukan dengan sistematika berikut. Terlebih dahulu akan ditinjau konsep-konsep dasar dalam aljabar max-plus dan sistem persamaan linear iteratif max-plus. Selanjutnya akan ditinjau hasil-hasil generalisasi dari sistem persamaan linear iteratif max-plus ke

2

Jurnal Mat Stat, Vol. 10 No. 1 Januari 2010: 1-14

dalam sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. Pada bagian inti akan dibahas hasil-hasil dalam sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur.

Aljabar Max-Plus dan Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus Berikut ini ditinjau konsep-konsep dasar aljabar max-plus dan kaitannya dengan teori graf serta eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus. Pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada Baccelli et.al (1992). Diberikan Rε := R ∪{ε } dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε : = −∞. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: ∀a,b ∈ R ε, a ⊕ b := max(a, b) dan a ⊗ b : = a + b. Dapat ditunjukkan bahwa (Rε, ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = −∞ dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (Rε, ⊕, ⊗) merupakan semifield, yaitu bahwa (Rε, ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif di mana untuk setiap a ∈ R terdapat −a sehingga berlaku a ⊗ (−a) = 0. Kemudian, (Rε, ⊕, ⊗) disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan Rmax. Aljabar max-pus Rmax tidak memuat pembagi nol, yaitu ∀ x, y ∈ Rε berlaku jika x ⊗ y = ε, maka x = ε atau y = ε. Relasi “ p m ” yang didefinisikan pada Rmax dengan x p m y ⇔ x ⊕ y = y merupakan urutan parsial pada Rmax. Lebih lanjut, relasi ini merupakan urutan total pada Rmax. Dalam Rmax, operasi ⊕ dan ⊗ konsisten terhadap urutan p m , yaitu ∀a, b, c ∈ Rmax , jika a p m b , maka a ⊕ c k

p m b ⊕ c, dan a ⊗ c p m b ⊗ c. Pangkat k dari elemen x ∈ R dilambangkan dengan x ⊗ didefinisikan 0

k

sebagai berikut: x ⊗ := 0 dan x ⊗ := x ⊗ x ⊗ = 1, 2, ...

k −1

k

0

, dan didefinisikan pula ε ⊗ : = 0 dan ε ⊗ : = ε, untuk k

n Operasi ⊕ dan ⊗ pada Rmax dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam R m× max : = {A ×n = (Aij)⏐Aij ∈ Rmax, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}. Untuk α ∈ Rmax, dan A, B ∈ R mmax

didefinisikan α ⊗ A, dengan (α ⊗ A)ij = α ⊗ Aij dan A ⊕ B, dengan (A ⊕ B)ij = Aij ⊕ Bij untuk i = 1, 2, m× p p× n ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Untuk A ∈ R max , B ∈ R max didefinisikan A ⊗ B, dengan (A ⊗ B)ij = p

Aik ⊗ Bkj . Didefinisikan matriks E ∈ R ⊕ k =1

n× n max

⎧0 , jika i = j m× n dan matriks ε ∈ R max , ⎩ ε , jika i ≠ j

, (E )ij := ⎨

n (ε )ij := ε untuk setiap i dan j. Dapat ditunjukkan bahwa ( R n× max , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten ×n dengan elemen netral matriks ε dan elemen satuan matriks E. Sedangkan R mmax merupakan semimodul 0

⊗ atas Rmax. Pangkat k dari matriks A ∈ R nxn = En max dalam aljabar max-plus didefinisikan dengan A k

dan A⊗ = A ⊗ A⊗

k −1

n untuk k = 1, 2, ... . Relasi “ p m ” yang didefinisikan pada R m× max dengan A

n B ⇔ A ⊕ B = B merupakan urutan parsial pada R m× max . Perhatikan bahwa A

Aij ⊕ Bij = Bij ⇔ Aij p m Bij untuk setiap i dan j. Dalam ( R terhadap urutan B⊗C.

m× n max

pm B

pm

⇔ A⊕B=B ⇔

, ⊕, ⊗), operasi ⊕ dan ⊗ konsisten

n p m , yaitu ∀A, B, C ∈ R n× p m B , maka A ⊕ C p m B ⊕ C dan A ⊗ C p m max , jika A

Suatu graf berarah G didefinisikan sebagai suatu pasangan G = (V, A) dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong, yang anggotanya disebut titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur. Suatu lintasan dalam graf berarah G adalah suatu


3

barisan berhingga busur (i1, i2), (i2, i3), ... , (il−1, il) dengan (ik, ik+1) ∈ A untuk suatu l ∈ N (= himpunan semua bilangan asli), dan k = 1, 2, ... , l − 1. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali. Suatu graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, , ... , n} dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap i, j ∈ V , i ≠ j , terdapat suatu lintasan dari i ke j. Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) ∈ A dikawankan dengan suatu bilangan real Aij. Bilangan real Aij n disebut bobot busur (j, i), dilambangkan dengan w(j, i). Graf preseden dari matriks A ∈ R n× max adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , n}, A = {(j, i)|w(i, j) = Aij ≠ ε }. n Suatu matriks A ∈ R n× max dikatakan semi-definit jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definit jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot negatif. n ⊗ Diberikan A ∈ R n× max . Dapat ditunjukkan bahwa jika A semi-definit, maka ∀p ≥ n, A ⊗ n −1

⊕ ... ⊕ A

A⊗

n +1

p

pm

E⊕A n

n ⊗ * . Diberikan matriks semi-definit A ∈ R n× ⊕ max . Didefinisikan A : = E ⊕ A ⊕ ... ⊕ A

⊕ ... . Didefinisikan R nmax := { x = [ x1, x2, ... , xn]T | xi ∈ R max, i = 1, 2, ... , n}. Perhatikan bahwa

×1 sehingga R nmax merupakan semimodul atas Rmax. Unsur-unsur R nmax dapat dipandang sebagai R nmax

dalam R nmax disebur vektor atas Rmax. Berikut adalah teorema eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus. Teorema 1 adalah sebagai berikut. Jika A semi-definit, maka x* = A* ⊗ b merupakan suatu penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus x = A ⊗ x ⊕ b. Lebih lanjut, jika A definit, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. Buktinya dapat dilihat pada Bacelli, et.al. (2001: 109).

Aljabar Max-Plus Interval dan Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus Interval Selanjutnya, ditinjau konsep-konsep dasar dalam aljabar max-plus interval dan matriks atas aljabar max-plus interval dan eksistensi serta ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. Pembahasan lebih lengkapnya dapat dilihat pada Rudhito, A. dkk (2008a, 2008b, 2008c). Interval (tertutup) x dalam Rmax adalah suatu himpunan bagian dari Rmax yang berbentuk x = [ x , x ] = {x ∈ Rmax | x p m x p m x }. Interval x dalam Rmax di atas disebut interval max-plus, yang selanjutnya akan cukup disebut interval. Suatu bilangan x ∈ Rmax dapat dinyatakan sebagai interval [x, x ]. Didefinisikan I(R)ε := { x = [ x , x ] | x , x ∈ R , ε p m x p m x } ∪ { ε }, dengan ε := [ε, ε ]. Pada I(R)ε didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ dengan: x ⊕ y = [ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗ y

= [ x ⊗ y , x ⊗ y ] , ∀ x, y ∈ I(Rε). Dapat ditunjukkan bahwa (I(R)ε, ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0, 0]. Semiring idempoten komutatif (I(R)ε , ⊕ , ⊗ ) selanjutnya disebut dengan aljabar max-plus interval yang dilambangkan dengan I(R)max.

4


m ×n Didefinisikan I(R) max = {A = (Aij)⏐Aij ∈ I(Rmax), untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}.

Matriks anggota I(R) mmax× n disebut matriks interval max-plus. Selanjutnya, matriks interval max-plus ×n cukup disebut dengan matriks interval. Untuk α ∈ I(R)max, A, B ∈ I(R) m max , didefinisikan α ⊗ A,

dengan (α ⊗ A)ij = α ⊗ Aij dan A ⊕ B, dengan (A ⊕ B)ij = Aij ⊕ Bij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Untuk A ∈

×p I(R) m max

,B∈

p ×n I(R) max ,

didefinisikan A ⊗ B dengan (A ⊗ B)ij =

p

⊕A

ik

⊗ B kj

k =1

×n untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. (I(R) nmax , ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten dengan

elemen netral matriks ε dengan (ε )ij := ε untuk setiap i , j dan elemen satuan adalah matriks E, dengan

⎧0 , jika i = j . Sedangkan I(R) mmax× n merupakan semimodul atas I(R)max, ⎩ ε , jika i ≠ j

(E )ij: = ⎨

Untuk A ∈ I(R) mmax× n didefinisikan matriks A = ( A ij) ∈ R mmax× n dan A = ( A ij) ∈ R mmax× n yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Diberikan n matriks interval A ∈ I(R) m× max , dengan A dan A berturut-turut adalah matriks batas bawah dan n matriks batas atasnya. Didefinisikan interval matriks dari A, yaitu [ A , A ] = { A ∈ R m× max ⎜ A

pm

pm

A

×n n A } dan I( R mmax )b = { [ A , A ] | A ∈ I(R) m× max }. Untuk α ∈ I(R)max, [ A , A ], [ B , B ]∈ I(

n R m× max )b, didefinisikan α ⊗ [ A , A ] = [ α ⊗ A , α ⊗ A ] dan [ A , A ] ⊕ [ B , B ] = [ A ⊕ B , A ⊕ B p p× n * ]. Untuk [ A , A ]∈ I( R m× max )b, [ B , B ] ∈ I( R max ) , didefinisikan [ A , A ] ⊗ [ B , B ]= [ A ⊗ B , A ⊗

xn B ]. (I( R nmax )b, ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah interval matriks n [ε, ε] dan elemen satuan adalah interval matriks [E, E]. Sedangkan I( R m× max )b merupakan semimodul atas I(R)max. xn ×n , ⊕ , ⊗ ) isomorfis dengan semiring (I( R nmax )b, ⊕ , ⊗ ), dengan pemetaan Semiring (I(R) nmax

×n xn ×n ×n f : I(R) nmax → I( R nmax )b, f (A) = [ A , A ], ∀A ∈ I(R) nmax . Sedangkan semimodul I(R) m max atas I(R)max n isomorfis dengan semimodul I( R m× max )b atas I(R)max. Dengan demikan, untuk setiap matriks interval A

selalu dapat ditentukan interval matriks [ A , A ] dan sebaliknya untuk setiap interval matriks [ A , A ] xn xn ×n ∈ I( R nmax )b, maka A , A ∈ R nmax , sehingga dapat ditentukan matriks interval A ∈ I(R) nmax , di mana [

×n A ij , A ij ] ∈ I(R)max , ∀i dan j. Dengan demikian, matriks interval A ∈ I(R) mmax dapat dipandang ×n xn )b. Interval matriks [ A , A ] ∈ I( R nmax )b disebut interval sebagai interval matriks [ A , A ] ∈ I( R mmax

×n dan dilambangkan dengan A ≈ [ A , matriks yang bersesuaian dengan matriks interval A ∈ I(R) nmax

A ]. Akibat isomorfisma di atas, maka berlaku α ⊗ A ≈ [ α ⊗ A , α ⊗ A ], A ⊕ B ≈ [ A ⊕ B , A ⊕ B ] dan A ⊗ B ≈ [A ⊗ B, A ⊗ B] . Berikut ini diberikan definisi semi-definit dan definit untuk dalam versi matriks interval. ×n ×n dengan, A ≈ [ A , A ], dikatakan semi-definit jika A ∈ R nmax Definisi 1, suatu matriks A ∈ I(R) nmax n semi-definit ∀A ∈ [ A , A ] dan dikatakan definit jika A ∈ R n× max definit ∀ A ∈ [ A , A ]. Berikut ini

n ×n diberikan teorema mengenai syarat perlu dan cukup suatu matriks A ∈ I(R) max semi-definit.


5

n ×n Teorema 2 adalah sebagai berikut. Diberikan A ∈ I(R) max , dengan A ≈ [ A , A ]. Matriks

interval A semi-definit jika dan hanya jika A semi-definit. Buktinya adalah sebagai berikut. (⇒): jelas menurut definisi semi-definit pada matriks atas aljabar max-plus. ×n semi-definit, maka semua sirkuit dalam G( A ) mempunyai bobot (⇐): Andaikan A ∈ R nmax takpositif. Ambil sembarang matriks A ∈ [ A , A ], maka A

pm A pm A

sehingga berlaku ( A )ij

p m (A)ij p m ( A )ij untuk setiap i dan j. Karena semua sirkuit dalam G( A ) mempunyai bobot takpositif,

maka semua sirkuit dalam G(A) juga mempunyai bobot takpositif, yang berarti matriks A semi-definit.

Didefinisikan I(R) nmax = {x = [x1, x2, ..., xn ]T| xi ∈ I(R)max, i = 1, 2, ... , n }. Himpunan I(R) nmax n ×1 . Unsur-unsur dalam I(R) nmax disebut vektor interval atas I(R)max. dapat dipandang sebagai I(R) max

Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor [ x , x ], yaitu x ≈ [ x , x ]. Berikut adalah teorema eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. n×n Teorema 3 adalah sebagai berikut. Diberikan A ∈ I(R) max dan b ∈ I(R) nmax . Jika A semi*

definit, maka vektor interval x* ≈ [ A ⊗ b , A * ⊗ b ] merupakan penyelesaian interval sistem x = A

⊗ x ⊕ b. Lebih lanjut, jika A definit, maka penyelesaian interval tersebut adalah tunggal. Buktinya dapat dilihat pada Rudhito, dkk. (2008c: 207).

Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Matriks atas Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur Terlebih dahulu ditinjau konsep-konsep dasar himpunan dan bilangan kabur. Uraian lebih lengkap dan bukti teorema dapat dilihat dalam Zimmermann, H.J. (1991), Lee, K.H. (2005), dan Susilo, F. (2006). Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi karakteristik χA

⎧1, jika x ∈ A ⎩0, jika x ∉ A

: X → {0, 1}, yang didefinisikan dengan aturan χA (x) = ⎨

~

untuk setiap x ∈ X. Himpunan kabur K dalam semesta X dinyatakan sebagai himpunan pasangan

~

~

terurut K = {(x, μ K~ (x))| x ∈ X }, di mana μ K~ adalah fungsi keanggotaan himpunan kabur K , yang merupakan suatu pemetaan dari semesta X ke interval tertutup [0, 1]. Pendukung (support) suatu ~ ~ himpunan kabur K , dilambangkan dengan pend( K ) adalah himpunan tegas (crisp) yang memuat ~ ~ semua anggota semesta yang mempunyai derajat keanggotaan taknol dalam K , yaitu: pend( K ) = {x

~

~

∈ X | μ K~ (x) > 0}. Tinggi (height) suatu himpunan kabur K , dilambangkan dengan tinggi( K ),

~

~

didefinisikan sebagai tinggi( K ) = sup { μ K~ (x)}. Suatu himpunan kabur K dikatakan normal jika

~ tinggi( K ) = 1.

x∈ X

~

Untuk suatu bilangan α ∈ [0, 1], potongan-α suatu himpunan kabur K , yang dilambangkan ~ dengan potα( K ) = K α adalah himpunan crisp (tegas) yang memuat semua elemen semesta dengan ~ derajat keanggotaan dalam K lebih besar atau sama dengan α, yang didefinisikan sebagai K α = {x ∈

~

X | μ K~ (x) ≥ α}. Salah satu sifat potongan-α suatu himpunan kabur K adalah jika α1 ≤ α2 maka K α

α2

~

⊆ K 1 , yang disebut dengan sifat tersarang (nested). Suatu himpunan kabur K dikatakan konveks jika K α konveks ∀α ∈ [0, 1].

6


Teorema 4 (Teorema Dekomposisi) adalah sebagai berikut. Jika Aα adalah potongan-α ~ ~ himpunan kabur A dalam semesta X dan Aα adalah himpunan kabur dalam X dengan fungsi

~

keanggotaan μ A~ α (x) = α χ Aα (x) , di mana χ Aα adalah fungsi karakteristik himpunan Aα , maka A =

~

Aα . U α ∈[0, 1]

Teorema 5 (Teorema Representasi) adalah sebagai berikut. Jika { K α }, ∀α ∈ [0, 1] adalah keluarga himpunan dalam semesta X yang memenuhi sifat tersarang (nested), yaitu jika α ≤ β maka ~ berlaku K α ⊇ K β , ∀α, β ∈ [0, 1], maka terdapat dengan tunggal himpunan kabur L dalam semesta X sedemikian hingga Lα = K α , ∀α ∈ [0, 1].

~ didefinisikan sebagai himpunan kabur dalam semesta R yang memenuhi Bilangan kabur a sifat berikut: i ) normal, yaitu a1 ≠ ∅, ii ) ∀α ∈ (0, 1], aα adalah interval tertutup dalam R, yaitu ∃ aα ,

aα ∈ R dengan aα ≤ aα sedemikian sehingga aα = [ aα , aα ] = {x ∈ R | aα ≤ x ≤ aα }, iii) pend( a~ ) terbatas. Untuk α = 0, didefinisikan bahwa a0 = [inf(pend( a~ )), sup(pend( a~ ))]. Karena setiap ~ konveks. Salah interval tertutup dalam R adalah konveks, maka aα konveks ∀α ∈ [0, 1] sehingga a ~, satu tipe bilangan kabur yang sederhana adalah bilangan kabur segitiga. Bilangan kabur segitiga a yang dilambangkan dengan BKS(a1, a, a2) adalah suatu bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut.

⎧ x − a1 ⎪ a − a , a1 ≤ x ≤ a 1 ⎪ ⎪ a2 − x , a < x ≤ a2 μ a~ (x) = ⎨ a a − 2 ⎪ lainnya ⎪ 0, ⎪⎩ ~ di atas adalah aα = [(a − a )α + a , −(a − di mana a1 ≠ a atau a ≠ a2 . Nampak bahwa potongan-α a 1 1 2 ~ ~ ~ a)α + a2] dan pend( a ) = (a1 , a2). Dua bilangan kabur a dan b dikatakan sama jika μ a~ = μ b~ . Karena

μ a~ = μ b~ , maka berlaku aα = bα , ∀α ∈ [0, 1]. Sebaliknya, menurut Teorema Dekomposisi jika aα = bα

~ = b~ jika dan hanya jika aα , ∀α ∈ [0, 1], maka μ a~ = μ b~ . Dengan demikan, dapat dikatakan bahwa a

= bα, ∀α ∈ [0, 1]. Operasi-operasi aritmatika bilangan kabur dapat didefinisikan dengan menggunakan prinsip perluasan atau dengan menggunakan potongan-α. Dalam pembahasan artikel ini, digunakan pendefinisian operasi bilangan kabur dengan menggunakan potongan-α. Definisi 2, diberikan F(R) ε~ = F(R) ∪ { ε~ } dengan F(R) adalah himpunan semua bilangan kabur dan ε~ = {−∞}, dengan potongan-α-nya adalah ε α = [−∞,−∞] , ∀α ∈[0, 1]. Pada (F(R)) ε~

~ , b~ ∈ F(R) ~ dengan aα = [ aα , a α ] ∈ I(R)max didefinisikan operasi sebagai berikut. Untuk setiap a ε α

dan bα = [ b , b α ]∈ I(R)max,

~ ~ ~ a~ ⊕ b = max( a~ , b ) adalah bilangan kabur dengan potongan-α-nya α α (a ⊕ b)α := [ a ⊕ b , a α ⊕ b α ], untuk setiap α ∈ (0, 1], ~ ~ ~ a~ ⊗ b = a~ + b adalah bilangan kabur dengan potongan-α-nya α

α

(a ⊗ b)α := [ a ⊗ b , a α ⊗ b α ], untuk setiap α ∈ (0, 1].


7

Suatu keluarga interval [a1(α), a2(α)] dikatakan tersarang (nested) jika untuk α ≤ β, maka berlaku [a1(α), a2(α)] ⊇ [a1(β), a2(β)] , ∀α, β ∈ [0, 1]. Berikut diberikan syarat bahwa suatu keluarga interval merupakan potongan-α suatu bilangan kabur. Akibat 6, jika keluarga interval {[a1(α), a2(α)]}∀α ∈ [0, 1] memenuhi sifat sebagai berikut [a1(1), a2(1)] ≠ ∅, [a1(α), a2(α)] tersarang dan [a1(0), a2(0)] terbatas, ~ sedemikian hingga [a (α), a (α)] = aα , ∀α ∈ [0, 1]. maka terdapat dengan tunggal bilangan kabur a 1 2

Pembahasan ~

~ = BKS(2, 3, 4) dan b = BKS(1, 4, 5), maka aα = [(3 − 2)α + 2 , −(4 − Contoh 1, misalkan a 3)α + 4] = [α + 2 , −α + 4] dan bα = [(4 − 1)α + 1, −(5 − 4)α + 5] = [3α + 1, −α + 5]. Dengan ~ , b~ (Gambar 1 menggunakan program MATLAB, berikut diberikan grafik fungsi keanggotaan dari a

~ ~ ~ ~ ~⊕ b dan a~ ⊗ b untuk α = 0, 0.1, 0.2, ..., 1 (Gambar bagian atas) dan batas-batas potongan-α dari a 1 bagian bawah).

Gambar 1 Grafik Fungsi Keanggotaan Hasil Operasi BKS (2, 3, 4) dan BKS (1, 4, 5).

Keterangan Gambar 1 :

~, : a

.

~ ~ ~ ~ ~ ~⊕ : b , +: a b , * : a~ ⊗ b .

Dengan memperhatikan gambar di atas dan bahwa titik potong dari μ a~ (x) = x − 2 dan μ b~ (x) = ⎧ 0 ⎪x − 2 adalah (2.5, 0.5), maka diperoleh μ a~ ⊕~ b~ (x) = ⎪⎪ x − 1 ⎨ ⎪ 3 ⎪5 − x ⎪⎩ 0

~ ~ ~⊗ Sementara itu, a b = BKS(3, 7, 9).

8

, x<2 , 2 ≤ x ≤ 2 ,5 , 2 ,5 < x ≤ 4

x −1 3

.

, 4< x≤5 , x>5


Dapat ditunjukkan bahwa potongan-α yang didefinisikan untuk operasi di atas, pada definisi 2, memenuhi syarat sebagai potongan-α dari suatu bilangan kabur. Selanjutnya, karena (I(Rε), ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten komutatif, dari definisi operasi pada (F(R) ε~ di atas nampak bahwa

~

~

~

~

(F(R)ε, ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten komutatif, dengan elemen netral ε~ = {−∞} dan e = {0}, dengan eα = [0, 0] , ∀α ∈ (0, 1]). Semiring idempoten komutatif F(R)max := elemen satuan ~

(F(R)ε, ⊕ , ⊗ ) disebut dengan aljabar max-plus bilangan kabur, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan F(R)max . Definisi 3, selanjutnya matriks di atas cukup disebut dengan matriks bilangan kabur. Operasi

~ ~ ⊕ dan ⊗ pada F(R)max dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks bilangan kabur pada (F(R) mmax× n . ~ ~ ×n Khususnya untuk matriks A , B ∈ F(R) nmax didefinisikan

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

( A ⊕ B )ij = A ij ⊕ B ij dan ( A ⊗ B )ij =

~~ ⊕A n

ik

~ ⊗ Bkj .

k =1

~

Untuk setiap A ∈ F(R) mmax× n , untuk suatu bilangan α ∈ [0, 1] didefinisikan matriks potongan-

~ ~ α dari A , yaitu matriks interval Aα = ( Aijα ), dengan Aijα adalah potongan-α dari A ij untuk setiap i dan

j. Perhatikan bahwa Aα ∈ I(R) mmax× n sehingga menurut hasil pada bagian pembahasan matriks interval

~ ~

α

n ×n di mana Aα di atas, diperoleh bahwa Aα ≈ [ A , A α ]. Lebih lanjut, untuk matriks A , B ∈ (F(R) max

α

α

~ ~ ~

α

~ ~ ~

≈ [ A , A α ] dan Bα ≈ [ B , B ], diperoleh bahwa A ⊕ B dan A ⊗ B berturut-turut adalah α

α

matriks bilangan kabur dengan matriks potongan-α-nya adalah (A ⊕ B)α ≈ [ A ⊕ B , A α ⊕ B α ] dan α

α

(A ⊗ B)α ≈ [ A ⊗ B , A α ⊗ B α ]. Berikut diberikan definisi semi-definit dan definit untuk suatu matriks bilangan kabur. ~ n ×n ×n dikatakan semi-definit jika Aα ∈ I(R) nmax semi-definit ∀α ∈ Definisi 4, suatu matriks A ∈ F(R) max [0,1] dan dikatakan definit jika Aα definit ∀α ∈ [0,1].

~

Berikut diberikan Teorema mengenai syarat perlu dan cukup suatu matriks A semi-definit.

~

~

n ×n . Matriks A semi-definit jika dan hanya Teorema 7 adalah sebagai berikut. Diberikan A ∈ F(R) max

×n semi-definit. Buktinya adalah (⇒): jelas menurut Definisi 4 dan Definisi 1. jika A0 ∈ R nmax ×n (⇐): Andaikan A0 ∈ R nmax semi-definit, maka menurut Teorema 2, A0 semi-definit. Hal ini berarti ∀

A ∈ [ A0 , A0 ] semi-definit. Kemudian, ∀α ≥ 0, berlaku Aijα ⊆ Aij0 untuk setiap i dan j. Hal ini

berakibat [ Aα , Aα ] ⊆ [ A0 , A0 ] sehingga ∀ A ∈ [ Aα , Aα ] semi-definit. Akibatnya, Aα semi-

~

definit ∀α ∈ [0,1]. Jadi, terbukti A semi-definit.

x =[ ~ x1 , ~ x2 , ... , ~ xn ]T | ~ xi ∈ F(R)max, i = 1, 2, ... , n }. Perhatikan Didefinisikan F(R) nmax = { ~ n ×1 . Unsur-unsur dalam F(R) nmax disebut vektor bahwa F(R) nmax dapat dipandang sebagai F(R) max bilangan kabur.


9

Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus Bilangan Kabur Terlebih dahulu diberikan definisi penyelesaian bilangan kabur sistem persamaan linear

~

~

×n dan b ∈ F(R) nmax . Vektor iteratif max-plus bilangan kabur. Definisi 5, diberikan A ∈ F(R) nmax

~ ~ ~ ~ * n bilangan kabur ~ x ∈ F(R) max disebut penyelesaian bilangan kabur sistem ~ x = A⊗ ~ x ⊕ b jika ~ ~ * ~ ~ * * ~ x memenuhi sistem tersebut, yaitu berlaku ~ x = A⊗ ~ x ⊕b.

Dari Definisi 5 di atas, dengan menggunakan konsep kesamaan dua buah bilangan kabur dapat

α α ~ ~ * ~ ~ * dinyatakan bahwa ~ x = A⊗ ~ x ⊕ b jika dan hanya jika x* = Aα ⊗ x* ⊕ bα, ∀α ∈ [0,1].

Berikut diberikan Teorema mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian bilangan kabur sistem ~ ~ ~ ~ ~ x = A⊗ ~ x ⊕b.

~

~

~

n ×n dan b ∈ F(R) nmax . Jika A semiTeorema 8 adalah sebagai berikut. Diberikan A ∈ F(R) max

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ n ~ ~ n +1 ~ * definit maka vektor bilangan kabur ~ x = A* ⊗ b dengan A* = E ⊕ A ⊕ ... ⊕ A ⊗ ⊕ A ⊗ ⊕

~ ~ ~ ~ ~ ... merupakan penyelesaian bilangan kabur sistem ~ x = A⊗ ~ x ⊕ b . Lebih lanjut jika A definit, ~

×n maka penyelesaian tersebut tunggal. Buktinya adalah andaikan A semi-definit, maka Aα ∈ I(R) nmax

semi-definit ∀α ∈ [0,1] sehingga menurut Teorema 3, vektor interval x(α) ≈ [( Aα )*⊗ bα , ( Aα )* ⊗

bα ] merupakan penyelesaian interval sistem interval xα = Aα ⊗ xα ⊕ bα, ∀α ∈ [0,1]. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa keluarga interval [(( Aα )*⊗ bα )i , (( Aα )*⊗ bα )i], ∀α ∈ [0,1] dan ∀i = 1, 2, ..., n, merupakan keluarga potongan-α suatu bilangan kabur. Perhatikan bahwa Aα

pm

Aα dan bα

konsisten terhadap urutan “ p m ”, maka (( Aα )* ⊗

p m bα . Karena operasi ⊕ dan ⊗ pada matriks bα ) p m (( Aα )* ⊗ bα ) sehingga (( Aα )* ⊗ bα )i

p m (( Aα )* ⊗ bα )i. Jadi, [(( Aα )* ⊗ bα )i , (( Aα )* ⊗ bα )i ] adalah suatu interval, ∀α ∈ [0,1].

~

~

m

m ×n dan b ∈ F(R) max , maka Aij1 ≠ ∅ dan bi1 ≠ ∅ sehingga [(( A1 )* ⊗ b1 Karena A ∈ F(R) max

~

~

×n )i, (( A1 )* ⊗ b1 )i ] ≠ ∅. Karena A ∈ F(R) nmax dan b ∈ F(R) nmax , maka untuk α ≤ β berlaku Aα

pm

Aβ p m Aβ p m Aα dan bα p m b β p m b β p m bα . Karena operasi ⊕ dan ⊗ pada matriks konsisten terhadap urutan “ p m ”, maka (( Aα )* ⊗ bα )

pm (( Aβ )* ⊗ b β ) pm (( Aβ )* ⊗ b β ) pm (( Aα )* ⊗

bα ). Jadi, diperoleh (( Aα )* ⊗ bα )i p m (( Aβ )* ⊗ b β )i p m (( Aβ )* ⊗ b β )i p m (( Aα )* ⊗ bα )i , ∀α, β ∈ [0, 1]. Dengan demikian, keluarga interval [(( Aα )* ⊗ bα )i , (( Aα )* ⊗ bα )i ] merupakan

~

~

m ×n keluarga interval tersarang. Karena A ∈ F(R) max dan b ∈ F(R) max , maka Aij0 dan bi0 masingm

masing terbatas sehingga [(( A0 )* ⊗ b 01 )i , (( A0 )* ⊗ b 0 )i ] terbatas. Jadi, keluarga vektor interval x(α) ≈ [( Aα )* ⊗ bα , ( Aα )* ⊗ bα ] merupakan potongan* x , ∀α ∈ [0,1]. Sementara itu, potongan-α vektor bilangan kabur potongan-α vektor bilangan kabur ~

α n α ~ ~ ~ A* ⊗ b , untuk ∀α ∈ [0,1] adalah ( A* ⊗ b)α ≈ [ A* ⊗ bα , A* ⊗ bα ] = [( E α ⊕ Aα ⊕ ... ⊕ ( Aα )⊗

10


⊕ ( Aα )⊗

n +1

n

⊕ ... ) ⊗ bα , [( E α ⊕ Aα ⊕ ... ⊕ ( Aα )⊗ ⊕ ( Aα )⊗

n +1

⊕ ... ) ⊗ bα = [( Aα )* ⊗ bα , ( Aα

α

)* ⊗ bα ]. Dengan demikian, x * = ( A* ⊗ b)α, untuk setiap α ∈ [0,1]. Jadi, dapat disimpulkan bahwa

~ ~ ~ * ~ x = A* ⊗ b .

~ ×n Lebih lanjut, jika A definit, maka Aα ∈ I(R) nmax definit ∀α ∈ [0,1]. Misalkan bahwa ~ x′

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ merupakan penyelesaian sistem ~ x = A⊗ ~ x ⊕ b , maka ~ x′ = A ⊗ ~ x′ ⊕ b atau x′α = Aα ⊗ x′α ⊕ bα, ∀α ∈ [0,1]; yang berarti, untuk x′α ≈ [ x′α , x′α ], dipenuhi x′α = Aα ⊗ x′α ⊕ bα dan x′α = Aα ⊗ x′α ⊕ bα . Karena Aα definit ∀α ∈ [0,1], maka haruslah x′α = ( Aα )* ⊗ bα dan x′α = ( Aα )* ⊗ bα , ∀α ∈ [0,1]. Jadi, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal. Contoh 2, dalam matriks berikut, BKS(a1, a, a2) cukup dituliskan dengan (a1, a, a2). (0,1, 3) (3, 4, 5) (1, 2,4) ⎤ ~ ⎡⎢ ~ ⎡(−1, 0, 1)⎤ Misalkan A = (3, 4,5) (−2, − 1, 0) (ε , ε , ε )⎥ dan b = ⎢ (0,1, 3) ⎥ , akan ditentukan vektor ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣(ε , ε , ε ) (0,1, 2) (1, 3, 5) ⎥⎦ ⎣⎢ (1, 2, 3) ⎦⎥

~ ~

~ ~

x * untuk sistem ~ x = A⊗ ~ x ⊕ b . Dengan bantuan program yang penyelesaian bilangan kabur ~ disusun dengan MATLAB, diperoleh hasil dalam Tabel 1 berikut. α

xi* pada Contoh 2

Tabel 1 Hasil Perhitungan Batas-batas α 0,00 0,01 0,02 0,03

M

0,48 0,49 0,50 0,51 0,52

M

0,64 0,65 0,66 0,67 0,68

M

0,97 0,98 0,99 1,00

α

α

x1*

x1*

9,00 9,04 9,08 9,12

18,00 17,95 17,90 17,85

M

10,92 10,96 11,00 11,04 11,08

M

11,56 11,60 11,64 11,68 11,72

M

12,88 12,92 12,96 13,00

M

15,60 15,55 15,50 15,45 15,40

M

14,80 14,75 14,70 14,65 14,60

M

13,15 13,10 13,05 13,00

α

α

α

α

x2*

x2*

x3*

x3*

8,00 8,04 8,08 8,12

17,00 16,94 16,88 16,82

6,00 6,04 6,08 6,12

18,00 17,93 17,86 17,79

M

9,92 9,96 10,00 10,04 10,08

M

10,56 10,60 10,64 10,68 10,72

M

11,880 11,920 11,96 12,00

M

14,12 14,06 14,00 13,96 13,92

M

13,44 13,40 13,36 13,32 13,28

M

12,12 12,08 12,04 12,00

M

7,92 7,96 8,00 8,04 8,08

M

8,56 8,60 8,64 8,69 8,76

M

10,79 10,86 10,93 11,00

M

14,64 14,57 14,50 14,43 14,36

M

13,52 13,45 13,38 13,31 13,24

M

11,21 11,14 11,07 11,00 α

Dengan bantuan program yang disusun dengan MATLAB, diperoleh grafik batas-batas x*i seperti dalam Gambar 2 berikut.


11

α

α

x*1

α

x* 2

x *3

Gambar 2 Grafik Titik-titik Batas

α

x*i pada Contoh 2 α

Berikut diberikan tabel perubahan gradien grafik batas-batas x*i di atas. Untuk k = 0, 1, 2, ..., N−1, dengan N ∈ N (N = himpunan semua bilangan asli), αk =

α k +1 − α k α k +1

x *i

αk

− x *i

α − αk k . Δ k mi = αkk++11 α dan Δ k mi = N x *i − x *i

.

Tabel 2 Perubahan Gradien Grafik Batas-batas

α

x*i pada Contoh 2.

αk

Δ k m1

Δ k m1

Δ k m2

Δ k m2

Δ k m3

Δ k m3

0,00 0,01 0,02 0,03

0,250 0,250 0,250 0,250

−0,200 −0,200 −0,200 −0,200

0,250 0,250 0,250 0,250

−0,167 −0,167 −0,167 −0,167

0,250 0,250 0,250 0,250

−0,143 −0,143 −0,143 −0,143

M

0,48 0,49 0,50 0,51 0,52

M

0,64 0,65 0,66 0,67 0,68

M

0,97 0,98 0,99

M

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

M

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

M

0,250 0,250 0,250

M

−0,200 −0,200 −0,200 −0,200 −0,200

M

−0,200 −0,200 −0,200 −0,200 −0,200

M

−0,200 −0,200 −0,200

M

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

M

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

M

0,250 0,250 0,250

M

−0,167 −0,167 −0,250 −0,250 −0,250

M

−0,250 −0,250 −0,250 −0,250 −0,250

M

−0,250 −0,250 −0,250

M

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

M

0,250 0,250 0,250 0,143 0,143

M

0,143 0,143 0,143

M

−0,143 −0,143 −0,143 −0,143 −0,143

M

−0,143 −0,143 −0,143 −0,143 −0,143

M

−0,143 −0,143 −0,143

Dari grafik pada Gambar 2 dan Tabel 2 di atas, diperoleh bahwa ~ x1* = BKS(9, 13, 18);

sedangkan untuk ~ x2* dan ~ x3* pendekatan fungsi keanggotaannya, dengan selisih nilai α = 0.01, berturut-turut sebagai berikut.

12


μ ~x

* 2

⎧ x −8 ⎪ 4 , 8 ≤ x ≤ 12 ⎪12 − x , 12 ≤ x ≤ 14 (x) ≅ ⎪ ⎨ 2 ⎪14 − x ⎪ 3 , 14 ≤ x ≤ 17 ⎪ 0 , lainnya ⎩

dan μ ~x * 3

⎧ x−6 ⎪ 2,64 , 6 ≤ x ≤ 8,64 ⎪ x − 8,64 , 8,64 < x ≤ 11 . (x) ≅ ⎪ ⎨ 2,36 ⎪ 11 − x , 11 < x ≤ 8 ⎪ 7 ⎪ 0 , lainnya ⎩

PENUTUP Dari hasil dan pembahasan di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa jika matriks persegi bilangan kabur dari sistem adalah semi-definite, maka sistem mempunyai penyelesaian. Penyelesaian sistem dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan penyelesaian sistem potongan-alfa-nya, yang berupa sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. Dengan didasarkan pada Teorema Dekomposisi pada himpunan kabur, dapat ditentukan fungsi keanggotaan elemen-elemen vektor penyelesaiannya. Lebih lanjut, penyelesaian suatu sistem tunggal jika matriks persegi bilangan kaburnya adalah definit.

DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F., et al. (2001). Synchronization and linearity, New York: John Wiley & Sons. Boom, T.J.J., et al. (2003). Identification of stochastic max-plus-linear systems. Proceedings of the 2003 European Control Conference (ECC'03), Cambridge, UK, 6 pp., Sept. 2003. Paper 104. B. Heidergott, B., et. al. (2005). Max plus at work. Princeton: Princeton University Press. Chanas, S., and Zielinski, P. (2001). Critical path analysis in the network with fuzzy activity times. Fuzzy Sets and Systems, 122, 195–204. Lüthi, J., and Haring, G. (1997). Fuzzy queueing network models of computing systems. Proceedings of the 13th UK Performance Engineering Workshop, Ilkley, UK: Edinburgh University Press, July 1997. Rudhito, A. (2003). Sistem linear max-plus waktu-invariant. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Rudhito, A., Wahyuni, S., Suparwanto, A., dan Susilo, F. (2008a). Aljabar max-plus interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika S3, 14-22, UGM, Yogyakarta. Rudhito, A., Wahyuni, S., Suparwanto, A., dan Susilo, F. (2008b). Matriks atas aljabar max-plus interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika S3, 23-32, UGM, Yogyakarta. Rudhito, A., Wahyuni, S., Suparwanto, A., dan Susilo, F. (2008c). Sistem persamaan linear iteratif max-plus interval. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan and Penerapan MIPA, 263-272, UNY, Yogyakarta. Susilo, F. (2006). Himpunan dan logika kabur serta aplikasinya, edisi kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.


13

RIWAYAT PENULIS M. Andy Rudhito lahir di kota Purworejo pada 2 Juni 1971. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Sanata Dharma dalam bidang Pendidikan Matematika pada tahun 1995. Menamatkan pendidikan S2 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika pada tahun 2003. Saat ini penulis sedang menempuh studi S3 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika sejak tahun 2007. Saat ini bekerja sebagai dosen di JPMIPA FKIP Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Sri Wahyuni lahir di Banyumas, 19 Juni 1959. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika pada tahun 1982. Menamatkan pendidikan S2 di Insitut Teknologi Bandung dalam bidang Matematika pada tahun 1989. Menamatkan pendidikan S3 di University of Graz, Austria dalam bidang Matematika pada tahun 1996. Saat ini bekerja sebagai dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Ari Suparwanto lahir di kota Yogyakarta 27 September 1967. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika pada tahun 1991. Menamatkan pendidikan S2 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika pada tahun 1999. Menamatkan pendidikan S3 di Graz University, Austria dalam bidang Matematika pada tahun 2001. Saat ini bekerja sebagai dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Frans Susilo lahir di kota Semarang pada 12 Desember 1946. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Gadjah Mada dalam bidang Matematika pada tahun 1973. Menamatkan pendidikan S3 Catholic University of America, Washington DC, USA, dalam bidang Matematika pada tahun 1990. Saat ini bekerja sebagai dosen di Jurusan Matematika FST Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

14


SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAX-PLUS BILANGAN KABUR

Recommend Documents