Sistem Kendali dengan Format Vektor - Matriks Oleh
: Rohani Jahja Widodo
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta © 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-4462135; 0274-882262 Fax. : 0274-4462136 E-mail :
[email protected]
Widodo, Rohani Jahja Sistem Kendali dengan Format Vektor – Matriks /Rohani Jahja widodo - Edisi Pertama – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008 viii + 160 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN:
978-979-756-334-9
1. Teknik
I. Judul
KATA PENGANTAR
D
iktat ini disusun untuk menunjang pelaksanaan kuliah Sistem Pengaturan II (EL 434) pada semester 8, di jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Bandung.
Materi yang dibahas pada diktat ini Analisa dan Perancangan Sistem Pengaturan dengan pendekatan variable keadaan. Bab I memuat konsepsi analisa sistem dengan variable keadaan. Bab II diuraikan metode mencari solusi persamaan keadaan dan output. Bab III membicarakan proses transformasi persamaan bentuk umum ke bentuk khusus (kanonik dan diagonal). Didalam bab IV dibahas konsepsi system dapat dikontrol dan dapat diamati. Bab V memuat metode analisa kestabilan menurut Liapunov. Pada setiap bab disertai beberapa contoh penyelesaian soal dan kumpulan soal. Daftar pustaka juga dicantumkan pada diktat ini. Diktat ini diterbitkan berkat kerjasama dan bantuan berbagai pihak, antara lain, Fakultas Teknologi Industri ITB, staf pengajar
vi
Sistem Pengaturan Modern
dan karyawan di Laboratorium Sistem Pengaturan dan Komputer FTI-ITB. Atas segala bantuan dan kerjasama tersebut penulis mengucapkan terima kasih. Harapan penulis, semoga diktat ini bermanfaat dan saran saran perbaikan dari pembaca akan dapat menyempurnakan diktat ini.
Bandung, September 2007 Penulis,
R.J. Widodo
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 1.1 1.2 1.3 1.4 BAB 2
KONSEP VARIABEL KEADAAN Pendahuluan Pengertian Keadaan Pembentukan Persamaan Kumpulan Soal-soal
1 4 7 24
MENCARI SOLUSI PERSAMAAN KEADAAN DAN OUTPUT
29
2.1 2.2 2.3 2.4
Pendahuluan Solusi dari Persamaan Keadaan Solusi Persamaan Keadaan Non-Homogen Beberapa Contoh Penyelesaian Solusi Persamaan Keadaan dan Output 2.5 Kumpulan Soal-soal BAB 3
1
BENTUK-BENTUK KHUSUS PERSAMAAN KEADAAN
3.1 Pendahuluan 3.2 Transformasi Linier
29 29 40 43 49 53 53 54
viii
Sistem Pengaturan Modern
3.3 3.4 3.5 3.6
Transformasi ke Bentuk Kanonik Variabel Fasa Nilai Eigen dan Vektor Eigen Transformasi ke Bentuk Diagonal Matriks Transisi dan Solusi Persamaan Keadaan Pada Bentuk Diagonal 3.7 Transformasi dari Bentuk Kanonik ke Bentuk Diagonal 3.8 Bentuk Kanonik Jordan 3.9 Kumpulan Soal-soal BAB 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 BAB 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
DAPAT DIKONTROL DAN DAPAT DIAMATI
54 60 62 66 75 78 82 87
Pendahuluan Dapat Dikontrol Dapat Diamati Bentuk Lain Syarat Dapat Dikontrol Bentuk Lain Syarat Dapat Diamati Kumpulan Soal-soal
87 87 94 99 103 106
METODA LIAPUNOV
109
Pendahuluan Berapa Pengertian Dasar Kestabilan Menurut Liapunov Tanda Suatu Fungsi Dalil Metode Liapunov Menentukan Fungsi Liapunov Fungsi Liapunov untuk Menghitung Waktu Transisi Kumpulan Soal-soal
109 110 113 117 121 130 146 151
DAFTAR PUSTAKA -oo0oo-
Bab Satu
KONSEP VARIABEL KEADAAN
1.1 PENDAHULUAN
U
ntuk menganalisa suatu system dapat dilakukan berbagai cara, antara lain dengan metode input output. Sebagai contoh adalah suatu system linier invariant waktu orde n yang dinyatakan dengan persamaan diferensial berikut:
n dy + boy = u bn d y + ⁄⁄. + b1 n dt dt
(1.1)
Untuk suatu input u (t), maka output y (t) dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan diferensial di atas. Dengan transformasi Laplace, persamaan (1.1) ditransformasikan menjadi: (bn sn + ⁄⁄⁄..+ b1s + bo) = U (s) + [ bny (n-1) (0) + (bns + bn-1) y (n-2) (0) + ⁄⁄. + (bnsn-1 + b1) y (0) ] dimana y(k) adalah
dk y , k = 1, 2, ⁄⁄, n dt k
(1.2)
2
Sistem Pengaturan Modern
Hal khusus dimana kondisi mula y (0), y (1) (0), ⁄⁄⁄., y adalah nol, maka persamaan (1.2) dapat ditulis:
(n-1)
(0)
(bnsn + ⁄ + b1s + bo) Y (s) = U (s) atau
Y (s) 1 = n U (s) b n s + K + b 1 s + b o
1.3)
Perbandingan Y(s) dengan U(s) (dengan kondisi mula sama dengan nol) dikenal sebagai transfer function (fungsi pindah). Output time responsenya dapat dicari sebagai berikut: Y (s) =
1 b n s + K + b1s + b o n
Y (t) = L-1 [Y (s)]
U (s) (1.4)
Metode input-output ini mempunyai beberapa kelemahan antara lain: 1.
2. 3.
Dalam analisa dan disain: multi-input multi-output system, time variant system, non-linear system, system dengan kondisi mula tidak nol, sampled data system, system dengan time delay, stochastic system, dan sebagainya. Dalam analisa dan disain system pengaturan yang optimal. Tidak diketahuinya proses sebenarnya yang terjadi di dalam system, karena peninjauan dilakukan semata-mata terhadap input dan outputnya saja.
Untuk itu maka akan diperkenalkan suatu metode lain, yaitu metode variable keadaan. Metode ini didasarkan atas kenyataan bahwa ada informasi lain yang menentukan output dari system selain inputnya, yakni keadaan dari system.
