SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari
Sistem Dinamik D
Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui kondisinya di masa yang akan datang jika diberikan kondisi pada masa sekarang atau pada masa yang lalu. Sistem Dinamik DISKRIT
Persamaan Beda
KONTINU Persamaan Diferensial Biasa
Sistem Dinamik Kontinu SISTEM OTONOMUS
Sistem PDB dengan yang tidak bergantung secara eksplisit pada variabel bebas t . LINEAR SISTEM OTONOMUS
NON LINEAR
Solusi Analitik
Kurva Solusi
Analisis Dinamik
Potret Fase Medan Arah
Analisis Dinamik pada Sistem Otonomus
Analisis dinamik berfungsi untuk mendapatkan informasi kualitatif mengenai solusi sistem tanpa harus menyelesaikan sistem terlebih dahulu. Tahapan analisis dinamik o Penentuan titik kesetimbangan/tetap Misalkan Titik disebut titik kesetimbangan/tetap apabila diperoleh nilai o
Penentuan kestabilan titik kesetimbangan
Sistem Otonomus Linear 1 Dimensi
Solusi Analitik Masukkan masalah nilai awal
diperoleh
Sistem Otonomus 1D Kurva Solusi x
Solusi Analitik t x
t
Sistem Otonomus 1D
Titik Tetap suatu titik yang memenuhi Maka pada SDK linear 1D titik yang memenuhi hanya pada
Potret Fase x t TAK STABIL
x
t STABIL
Sistem Otonomus 1D Memanfaatkan nilai
untuk mensketsa kurva solusi.
x
misalkan 2 1
0 -1 -2
t
Sistem Otonomus 1D
Analisa Medan Arah Memanfaatkan nilai
untuk mensketsa kurva solusi. x
misalkan 2 1
0 -1 -2
t
Sistem Otonomus 1D
Analisa Medan Arah Memanfaatkan nilai
untuk mensketsa potret fase.
x TAK STABIL
x STABIL
Sistem Otonomus Linear 2 Dimensi Bentuk umum sistem autonomous linear 2 dimensi sebagai berikut: 𝑑𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑟𝑥 + 𝑠𝑦, 𝑑𝑡
𝐴=
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑡
𝑝 𝑞 , det(𝐴) ≠ 0 𝑟 𝑠
𝑞 𝑥 𝑠 𝑦
atau
𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 𝑑𝑡
1. Solusi Analitik 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 𝑝 𝑟
𝑞 1 −𝜆 𝑠 0
𝑝−𝜆 𝑟
𝜆 1,2 =
trace(𝐴) ±
0 =0 1
𝑞 =0 𝑠−𝜆
𝑝 − 𝜆 𝑠 − 𝜆 − 𝑞𝑟 = 0
𝜆2 − 𝑝 + 𝑠 𝜆 + 𝑝𝑠 − 𝑞𝑟 = 0 𝜆2 − trace(𝐴)𝜆 + det(𝐴) = 0
Akar Real Berbeda 𝜆1 ≠ 𝜆2
trace(𝐴) 2
2
− 4det(𝐴)
𝜆1 + 𝜆2 = trace(𝐴) 𝜆1 𝜆2 = det(𝐴) Oleh karena itu: Real Akar 1. Akar 𝜆 𝜆 = det 𝐴 <0 𝜆 ⟶ 𝑣 1 2 1 1Kompleks Kembar dan𝑣𝜆2𝜆=2 α ± 𝑖𝛽 𝜆1maka = 𝜆2𝜆𝜆21⟶ berbeda tanda 2. 𝜆1 𝜆2 = det 𝐴 > 0 maka 𝜆1 dan 𝜆2 bertanda sama
Solusi analitik untuk 𝜆1 ≠ 𝜆2 : 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜆1 𝑡 𝑣1 +𝐶2 𝑒 𝜆2 𝑡 𝑣2 𝑦(𝑡)
2. Kurva Solusi Kurva solusi dapat digambarkan dengan memperhatikan lim 𝑥(𝑡) 𝑡⟶∞
dan lim 𝑦 𝑡 .
𝑡⟶∞
3. Titik Tetap Titik tetap 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ adalah pasangan titik yang memenuhi 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑡
= 0 dan
𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑡
= 0.
4. Potret Fase Potret fase disketsa dengan memanfaatkan nilai eigen dan vektor eigen. Transformasi yang digunakan adalah sebagai berikut:
5. Medan Arah Medan arah disketsa dengan mencari nullcline, yaitu garis yang menyebabkan
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK REAL BERBEDA
Contoh
Potret fase:
𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑡 Jawab:
1 −1 1 𝜆2 = 4 ⟶ 𝑣2 = 2 Solusi analitik: 𝜆1 = 1 ⟶ 𝑣1 =
𝑥(𝑡) 1 1 = 𝐶1 𝑒 𝑡 +𝐶2 𝑒 4𝑡 𝑦(𝑡) −1 2
Titik tetap: 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ = (0,0) Kestabilan: (0,0) tak stabil
Medan arah:
Potret fase:
Contoh 𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑡 Jawab: 𝜆1 = −3 ⟶ 𝑣1 =
𝜆2 = 2 ⟶ 𝑣2 = Solusi analitik:
2 1
1 −2
𝑥(𝑡) 1 2 = 𝐶1 𝑒 −3𝑡 +𝐶2 𝑒 2𝑡 𝑦(𝑡) −2 1
Titik tetap: 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ = (0,0) Kestabilan: (0,0) tak stabil pelana
Medan arah:
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK KOMPLEKS
Teorema 1 Jika
adalah solusi kompleks dari maka
dan
masing-masing
adalah solusi realnya.
Bukti:
diperoleh
Terbukti bahwa
dan dan
merupakan solusi.
Teorema 1 Jika
adalah solusi kompleks dari maka
adalah solusi realnya.
Akibat 1 Solusi umum dari adalah
dan
masing-masing
Teorema 2 Jika A memiliki nilai eigen kompleks vektor eigen . Maka dan
adalah solusi real dari persamaan diferensial Oleh karena itu, diperoleh solusi umum
dengan
Bukti: Diketahui Maka diperoleh solusi
Contoh 1 Potret Fase
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Solusi Analitik
Titik Tetap Kestabilan stabil asimtotik (spiral masuk)
Contoh 2 Potret Fase
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Solusi Analitik
Titik Tetap Kestabilan tak stabil (spiral keluar)
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI DENGAN AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK REAL KEMBAR
• Contoh 1: dx 3x dt dy 3y dt
Penyelesaian dengan PDB:
dx 3t 3 x x x0 e dt dy 3t 3 y y y0 e dt
Penyelesaian dengan Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai Eigen
d x 3 0 x dt 0 3 1 0 3 0 ( I A) 0 1 0 3 0 3 0 3
det( I A) 0 3
0
0
3
0
( 3)( 3) 0 1 2 3 diperoleh dua nilai eigen yang sama yaitu 3
Vektor Eigen Untuk 3, maka:
0 0 0 33 0 3 3 0 0
diperoleh:
Sehingga: v1 p v v2 q 1 0 p q 0 1 0 1 Jelas bahwa dan 1 0
merupakan vektor eigen.
1 3t 0 x(t ) c1e c2e 0 1 3t
Kurva Solusi
x x0e
3t
x
y y0e3t y
t
t
Potret Fase
dx 3x dt dy 3y dt
Medan Arah
Kuadran I
y
dx dy 0, 0 dt dt
kanan
atas
Kuadran II dx dy 0, 0 dt dt
kiri
x
atas
Kuadran III dx dy 0, 0 dt dt
kiri bawah
Kuadran IV
Kuadran IV dx dy 0, 0 dt dt
kanan
bawah
Contoh 2: dx 5x y dt dy x 3y dt
x2 (t ) c2et (vt )
Agar menjadi solusi sistem PD dx Ax , haruslah dt memenuhi:
v ( A I )
x2 (t ) c2et (vt )
Coba: Andaikan
x2 (t )
solusi, maka: d x2 (t ) Ax2 (t ) dt
c2et (vt ) c2et v A.c2et (vt )
: c2et
(vt ) v A(vt ) t ( v Av) ( I A) v 0
Maka: v Av , jelas benar karena vektor eigen dan v nilai
eigen.
v ( A I )
Kesimpulan
Solusi Analitik 1D 2D
Titik Kesetimbangan 1D 2D
Kestabilan titik kesetimbangan 1D
Tidak Stabil
Stabil
Kestabilan titik kesetimbangan 2D
Analisa medan arah Bidan fase terbagi menjadi beberapa daerah yang dipisahkan oleh nullklin
TERIMA KASIH
Oleh: 1. Meirdania Fitri T (Slide 5-7) 2. Siti Khairun Nisa (Slide 18-24) 3. Grahani Ayu Deca F. (Slide 25-35) 4. Fira Fitriah (Slide 11-17) 5. Lisa Risfana Sari (Slide 1-4 dan 8-10)
