3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

Érettségi, M2, I-es feladatsor, természettudomány 1. 1. Számítsd ki a C32  3! összeget!

2. Határozd meg a log5  3x  4   2 egyenlet valós megoldásait! 3. Számítsd ki az

1 1 összeg értékét, ha x1 és x2 az x 2  x  2  0 egyenlet megoldásai!  x1 x2

4. Adott az f : 0,1 

, f  x    x 2 függvény. Határozd meg az f függvény értékeinek halmazát!

5. Adottak az A 2, 1 és B  1,3 pontok. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy AB  ai  b j . 6. Az ABC háromszögben AB  4, AC  7 és BC  3. Számítsd ki a B szög mértékét! 2. 1. Adott az f :



, f  x   x  3 függvény. Számítsd ki az f  4  f  3 

 f  3  f  4 szorzat értékét!

2. Határozd meg a log2  x  2  log2 x  3 egyenlet valós megoldásait! 3. Oldd meg az x 2  5 x  5  1 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán! 4. Igazold, hogy bármely xˇ esetén a 3x  1, 3x1 és 5  3x  1 számok egy számtani haladvány egymás után következő tagjai! 5. Az xOy koordináta rendszerben adottak az A 4, 8 şi B  6,3 pontok. Határozd meg az OA  OB vektor koordinátáit!





6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AC  2, m BAC  30 és AB  4.

3. 1. Határozd meg az 1, 7, 13, 19, ... sorozat tizedik tagját! 2. Tekintsük az összes olyan háromjegyű természetes számot, amelyet az 1,2 halmaz elemeiből képezhetünk. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy ilyen szám osztható legyen 3-mal! 3. Számítsd ki a 2  x  x egyenlet valós megoldásait! 4. Adott az f :  , f  x   2x  1 függvény. Számítsd ki az f  2  f  1  f  0  f 1 összeg értékét! 5. Határozd meg az A 2, 1 és B 1, 2 pontokon átmenő egyenes egyenletét! 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB  AC  2 és m  A   30. 4. 1. Határozd meg az  x  1  x  7  0 egyenlőtlenség egész megoldásait! 2

2. Számítsd ki az  an n1 számtani haladvány első 5 tagjának összegét, ha a1  1 és a2  3. 3. Adott az f :  , f  x   mx 2  8 x  3 függvény, ahol m egy zérótól különböző valós szám. Számítsd ki az m értékét úgy, hogy az f függvény maximális értéke 5 legyen! 4. Számítsd ki a log2  x  2  log2  x  5  3 egyenlet valós megoldásait! 5. Határozd meg az a valós számot, ha az u  2i  a j és v  3i   a  2  j vektorok kollineárisak! 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha AB = 3 és m  C 5. 1. Határozd meg az A   x 

  30.

x  1  2 halmaz elemeinek számát!

2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a

3 1, 3 2, 3 3,..., 3 30

halmaz valamely eleme racionális szám

legyen! 3. Adottak az f :  , f  x   x  3 és g :  , g  x   2 x  1 függvények. Számítsd ki a 2 f ( x)  3g ( x)  5 egyenlet valós megoldását! 4. 20 % -os árcsökkentés után egy termék 320 lejbe kerül. Határozd meg a termék eredeti árát! 1

5. Az

 O, i, j  derékszögű koordináta rendszerben adottak az

u  3i  2 j és v  5i  j vektorok. Számítsd ki az

5u  3v vektor koordinátáit! 6. Az ABC derékszögű háromszögben D a BC átfogó felezőpontja. Számítsd ki az AB oldal hosszát, ha AC = 6 és AD = 5.

6. 1. Számítsd ki az a 2  b 2 összeget, ha az a és b számok összege 4 és szorzata 3. 2. Adottak az f , g :  f  x   x 2  x  1 és g  x   x  4 függvények. Határozd meg az f és g függvények grafikonjai metszéspontjainak koordinátáit! 3 3. Számítsd ki az x pozitív, valós értékeit, ha lg x , és lg x egy számtani haladvány egymásutáni tagjai! 2 4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy az A 





2, 3, 4,..., 10

halmazból kiválasztott valamely elem

racionális szám legyen! 5. Határozd meg az a valós számot, ha a 2 x  y  3  0 és az ax  2 y  5  0 egyenesek párhuzamosak egymással! 6. Adott az ABC háromszög, amelyben AB  1 , AC  2 és BC  5 . Számítsd ki cos B értékét! 7. 1. Számítsd ki x1  x2  x1x2 értékét, ha x1 és x2 az x 2  2 x  2  0 egyenlet megoldásai! 2. Adott az f : megoldásait!



, f  x   3  4 x függvény. Határozd meg az f  x   1  4 x egyenlőtlenség valós x

1    egyenlet valós megoldásait! 3. Határozd meg a 3  3 4. Számítsd ki log3 27  log 2 8 értékét! x2

5. Adottak az A1, a  , B  2, 1 , C 3,2 és D 1, 2 pontok. Határozd meg az a valós szám értékét, ha az AB és CD egyenesek párhuzamosak! 6. Az ABC háromszögben AB  5 , AC  6 és BC  7 . Számítsd ki cos A értékét! 8. 1. Határozd meg az A  1,3,5,...,13 halmaz elemeinek összegét!

2.Adott az f :  , f  x   2x  1 függvény. Határozd meg a függvény grafikonján azt a pontot, amelynek abszcisszája és ordinátája egyenlő! 3. Határozd meg a 2 x  2 x  3  36 egyenlet valós megoldásait! 4. Számítsd ki V44  C44 értékét!

5. Határozd meg az A 1,1 ponton átmenő és a 4 x  2 y  5  0 egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 6. Számítsd ki sin 2 130o  cos 2 50o értékét! 9. 1. Igazold a következő egyenlőséget: log3 9  log 2 8  log 4 2. Határozd meg az m

1 . 4

azon értékeit, amelyekre az x 2  2mx  4m  0 egyenlet gyökei valósak! 3

3. Oldd meg a valós számok halmazán a x 2  x  3  1 egyenletet! 4. Egy 1000 lejes bankbetét éves kamatja 80 lej. Számítsd ki a kamatlábat! 5. Határozd meg a B pont koordinátáit, ha A  3,4  és AB  i  j . 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha AB  3, AD  3 és m  BAD

  120

.

2

10.

1 és első tagja 27. 3 , f  x   2 x  1 függvény. Határozd meg az f 2  x   2 f  x   3  0 egyenlet valós

1. Határozd meg azon mértani haladvány negyedik tagját, amelynek állandó hányadosa 2. Adott az f : megoldásait!



3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4 x  3  2 x  2  0 egyenletet! 4. Hasonlítsd össze az a  C41  C43 és b  C30  C31  C32  C33 számokat! 5. Határozd meg a w  2 v  3u vektor koordinátáit, ha v  3i  4 j és u  2 i  3 j . 6. Az ABC háromszög területe 15. Számítsd ki sin A értékét, ha AB = 6 és AC = 10. 11. 1. Számítsd ki C54  V54 értékét! 1 1 1 1 2. Számítsd ki az 1   2  3  4 összeget! 3 3 3 3 3. Adott az f :  , f  x   ax  b függvény. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy teljesüljön a

3 f  x   2  3x  5 egyenlőség bármely x





esetén!

4. Határozd meg a log3 x 2  2 x  log3  2 x  3 egyenlet valós megoldásait! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 1,2  , B  1,1 , C  3,5 és D  5, a  , a Határozd meg az a értékét, ha AB CD .

pontok.

6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha BC = 8 és m( A )  450 .

12. 1. Adott az f :  , f  x   x 2  25 függvény. Számítsd ki az f  5  f  4  ...  f  0  ...  f  4  f 5 szorzat értékét! 2. Oldd meg az Cn2  28, n  , n  2 egyenletet! 3. Ha log3 2  a , igazold a következő egyenlőséget: log3 8  log3 100  log3 25  5a . 2x  3  1 egyenlőtlenség valós megoldásait! 4. Határozd meg az 2 x  x 1 5. Határozd meg az A  2,3 és B  3, 2  pontokon átmenő egyenes egyenletét! 6. Az ABC háromszögben AB = 3, BC = 8 és a háromszög területe 6. Számítsd ki sin B értékét! 13. 1. Határozd meg az 1,2,3,4,5 halmaz összes kételemű részhalmazainak számát! 2. Adottak az f , g :  , f  x   3 x 2  3 x  1 és g  x   x  1 függvények. Határozd meg az f ( x)   g ( x) egyenlet valós megoldásait!





3. Határozd meg a log3 x 2  4 x  4  2 egyenlet valós megoldásait! 4. Határozd meg az mˇ értékét, ha az f :  , f  x   x 2  mx  m  1 függvény grafikus képe érinti az Ox tengelyt! 5. Számítsd ki az ABC egyenlő oldalú háromszög területét, ha A 1,1 és B  3, 2. 6. Számítsd ki cos x értékét, ha sin x 

14. 1. Ha a 



4 és x egy hegyesszög mértékét jelöli! 5

, igazold, hogy az ax 2   2a  1 x  a  1  0 egyenletnek két különböző valós gyöke van!

2. Adott az f :



, f  x   x 2  11x  30 függvény. Számítsd ki az f  0  f 1  ...  f  6 szorzat értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 x 3  2 x  28 egyenletet! 3

4. Számítsd ki V62  2C64 értékét! 5. Számítsd ki az AB szakasz hosszát az xOy derékszögű koordináta-rendszerben, ha A(2,3) és B(5,−1). 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 2, BC = 4 és m( B )  600.

15. 1. Számítsd ki az 1,2,3,4 halmaz kételemű részhalmazainak számát!

1 egyenlet valós megoldásait! 5 , f  x   x 2  5 x  m  6 függvény. Határozd meg m azon valós értékeit, amelyekre

2. Határozd meg a 125 x  3. Adott az f :



f  x   0 , bármely x esetén! 4. Határozd meg az x valós számot, ha 2 x  1, 4 x és 2 x1  3 egy számtani haladvány három egymás utáni tagja! 5. Számítsd ki az AB  BC  CA összeget, ha A, B és C egy háromszög csúcsai! 6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 5, AC = 4 és m( A )  600 .

16. 1. Számítsd ki C83  C85 értékét!

2. Határozd meg a log2  x  5  3 egyenlet valós megoldásait! 3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, melynek x1 és x2 gyökei egyidejűleg teljesítik az x1  x2  1 és x1x2  2 összefüggéseket! 4. Adott az f :



, f  x   x 2  3x  2 függvény. Számítsd ki az f  f  0    f  2  értéket!

5. Határozd meg a C pont koordinátáit, ha C az A  5,4  pontnak a B  2,1 pont szerinti szimmetrikusa! 6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott magasságának hosszát, ha AB  3, AC  4 és BC  5 . 17. 1. Számítsd ki 2log3 4  4log3 2 értékét! 2. Határozd meg a 2x1  2x  12 egyenlet valós megoldásait! 3. Határozd meg az n, n  1 természetes számot, ha Vn1  Cn1  10. 4. Adott az f : 0,2 

, f  x   4x  3 függvény. Határozd meg a függvény értékeinek halmazát!

5. Adott az O középpontú körbe írt, egyenlő oldalú ABC háromszög. Igazold, hogy OA  OB  OC  O . 6. Számítsd ki sin135 értékét! 18. 1 értékét! 3 2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 0,1,2,3,4,5 halmaz valamely eleme teljesítse az n!  50 egyenlőtlenséget! 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 x  14  2 x  5 egyenletet! 4. Igazold, hogy bármely valós a értékre az x 2   2sin a  x  1  cos 2 a  0 másodfokú egyenletnek egyenlő valós megoldásai vannak! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az OA  2, 3 és OB 1, 2  vektorok. Határozd meg azon

1. Számítsd ki log 2 3  log 2

 és  valós számokat, amelyekre a 3OA  5OB vektor koordinátái  ,   . 3 6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara és BC  3 . Számítsd ki sin A értékét! 2 19. 1. Számítsd ki log6 24  log6 4 értékét! 4

2. Adott az f :



, f  x   x 2  3x  2 függvény. Számítsd ki az f  0  f 1 

 f  2009 szorzat értékét!

x  5  2 egyenletet!  n  3!  6. 4. Határozd meg az n, n  5 természetes számot, ha  n  5 !

3. Oldd meg a valós számok halmazában a

5. Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az A 1,2 és B  4  a,4  a  pontok által meghatározott szakasz hossza 5. 6. Számítsd ki cos 2 45  sin 2 135 értékét! 20. 1. Számítsd ki log3 6  log3 2  log3 4 értékét! 2. Határozd meg a x 2  x  2  2 egyenlet valós megoldásait! 3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek x1 és x2 gyökei egyidejűleg teljesítik az x1  x2  2 és x1x2  3 összefüggéseket! 4. Határozd meg az m \ 1 értékét, ha az f :  , f  x    m  1 x 2   m  2  x  1 függvény grafikus képe minimumpontjának abszcisszája 2. 5. Számítsd ki az A  3, 1 és B  1,2 pontok közötti távolságot! 6. Határozd meg azt az x valós számot, amelyre x, x  7 és x  8 egy derékszögű háromszög oldalai! 21. 1. Határozd meg a x  1  5  x egyenlet valós megoldásait! 2. Adott az f :  , f  x   2 x  3 függvény. Számítsd ki az f (0)  f (1)  3. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre 4  3x  2  4 . 4. Számítsd ki az f : közötti távolságot!

 f (5) szorzat értékét!

 , f  x    x 2  2 x  8 függvény grafikus képének az Ox tengellyel való metszéspontjai

AB arány értékét! BC 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 6 , AC = 8 és BC  10 .

5. Ha AB  2CB  0 , határozd meg az

22. 1. Határozd meg x valós értékeit, ha x  3, 4, x  3 egy számtani haladvány három egymás utáni tagja! 2. Adott az f :  , f  x   x 2  8 x  7 függvény. Számítsd ki az f függvény grafikus képének az Ox tengellyel való metszéspontjai közötti távolságot! 3. Igazold, hogy E  1  3  5   21 egy természetes szám! 4. Hány olyan háromjegyű természetes szám képezhető a 1,2,3,4 halmaz elemeiből, amelyek számjegyei különbözőek? 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A  2,1 és B  1,2 pontok. Határozd meg a C   AB  CA pont koordinátáit, ha 2. CB 6. Az ABC háromszögben AB = 4, BC = 2 és a C szög mértéke 60. Számítsd ki sin A értékét! 23.

2x 1  4. 2 2. Adott az f :  , f  x   x 2  6 x  5 függvény és az y  4 egyenletű egyenes. Határozd meg az f függvény grafikus képe és az egyenes metszéspontjának koordinátáit! 3. Határozd meg a log2  x  3  0 egyenlet valós megoldásait! 1. Határozd meg az x egész számot, amelyre 3 

4. Hány darab kétjegyű számot képezhetünk az 1,2,3,4 halmaz elemeivel?

5. Az xOy derékszögű koordinátarendszerben adottak az OA  2, 1 és OB 1, 2  vektorok. Határozd meg az 5

OM vektor koordinátáit, ha M az AB szakasz felezőpontja! 6. Számítsd ki sin120 értékét! 24. 1. Számítsd ki az 1  3  5  ...  19 összeget! 2. Igazold, hogy az x 2  2 x  1  a 2  0 egyenletnek nincs valós megoldása, tetszőleges a  3. Határozd meg a m valós értékeit, ha tudjuk, hogy az f :





esetén!

, f  x   x  mx  m  1 függvény minimuma 2

1  . 4 2

1 4. Helyezd növekvő sorrendbe az   , 64 és 3 8 számokat! 4 5. Adott az O középpontú körbe írt ABC egyenlő oldalú háromszög. Számítsd ki az AB  AC  3AO vektort! 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 3 , AC = 3 és az A szög mértéke 120.

25. 1. Számítsd ki lg 20  lg 3  lg 6 értékét! 2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy valamely kétjegyű szám teljes négyzet legyen! 3. Határozd meg a 7  x  1 egyenlet valós megoldásait! 4. Határozd meg az mˇ értékét ha az x 2   2m  1 x  3m  0 egyenlet x1, x2 gyökei teljesítik az

x1  x2  x1x2  11 összefüggést! 5. Igazold, hogy bármely ABC derékszögű háromszögben, melynek területe S és átfogója a, teljesül az a 2 sin B sin C  2S azonosság!

6. Számítsd ki sin170  cos10 értékét! 26. 1. Adott az (an )n1 számtani haladvány, amelyben a3  5 és a6  11. Számítsd ki a9 értékét! 2. Adott az f :  , f ( x)  2  x függvény. Számítsd ki f (1)  f (2)  ...  f (20) értékét! 2

3. Oldd meg a 4x2  2x 5 egyenletet az 4. Oldd meg a Cnn21  2, n  egyenletet!

halmazon!

5. Határozd meg azt az m valós számot, amelyre a v  2i  3 j és w  i  m j vektorok kollineárisak! 6. Számítsd ki cos30  cos60  cos120  cos150 értékét! 27.

1. Határozd meg az A   x 

2 x  1  1 halmaz elemeit!

2. Adott az x 2  3x  5  0 egyenlet, amelynek megoldásai x1 és x2 . Számítsd ki x12  x22 értékét! 3. Oldd meg a valós számok halmazában a

x 2  25  12 egyenletet!

4. Számítsd ki C40  C41  C42  C43  C44 értékét! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,6) és C( 1 ,1) pontok. Határozd meg az ABC háromszög C pontjából húzott oldalfelező egyenletét! 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN  6, NP  4 és m( MNP )  30 .

28. 1. Határozd meg az f :  2,1  2. Adott az f :



, f  x   3x  1 függvény legkisebb értékét!

, f  x   2 x  1 függvény. Számítsd ki az f 1  f  2  ...  f  6 összeg értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a log2 (2 x  5)  log 2 ( x2  3x  3) egyenletet! 6

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a C42 , C52 és C43 számok valamelyike osztható legyen 3-mal. 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,3), B(1,5) és C(4,2) pontok. Számítsd ki az A pont és a BC szakasz felezőpontja közötti távolságot! 6. Számítsd ki sin 60  cos30 értékét!

29. 1. Számítsd ki C52  V42  6 értékét! 

2. Adott az f :

, f  x   x  3 függvény. Számítsd ki az f (6)  f (0)  f (6)  f (12) összeg értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a log3 ( x2  1)  1 egyenletet!

  2x  y  3 4. Oldd meg a  2 egyenletrendszert, ahol x  , y  .   x  2x  7  y 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(3, 1 ) és B(1,1) pontok. Határozd meg az m és n valós számokat, amelyekre az A és B pontok az x  my  n  0 egyenesen vannak! 6. Számítsd ki

cos150

 cos30

sin120

 sin 60

 értékét!

30. 1. Számítsd ki az 1  2  22  23  ...  27 összeget! 2. Igazold, hogy

 x  1 x  2  x  3 , bármely

x esetén!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 x  3  x egyenletet! 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1, 2,3, 4,5} halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az n 2  2n egyenlőtlenséget! 5. Határozd meg az m valós számot, amelyre a d1 : 2 x  my  3  0 és d2 : mx  y  5  0 egyenletű egyenesek

párhuzamosak! 6. Számítsd ki sin 30  cos 45  sin 60 értékét!

31. 1. Adott az (an )n1 számtani haladvány, amelyben a1  1 és a5  13 . Számítsd ki a2009 értékét! 2. Adott az x 2  mx  2  0 egyenlet, amelynek gyökei x1 és x2 . Számítsd ki az m valós értékeit, amelyekre

 x1  x2 2  2 x1x2  5. 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2x



2

x

 4 egyenletet!



1 , f  x   m2  1 x  m  1 függvény. Igazold, hogy f 1   , bármely m esetén! 4 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 1 ), B(2,3) és C(3,1) pontok. Határozd meg a

4. Adott az f :



D pont koordinátáit úgy, hogy az ABCD paralelogramma legyen! 6. Számítsd ki cos80  cos100 értékét!

32. 1. Határozd meg az  an  n 1 számtani haladvány különbségét, ha a10  a2  16 . 2. Adott az f :



 

 

, f  x   x  3 függvény. Számítsd ki az f  2  f 22  ...  f 27 összeg értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a

x  1  x  1 egyenletet!

4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az 1, 2,3, 4 halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az 7

n!  n2 egyenlőtlenséget! 5. Határozd meg a d1 : 2 x  y  2  0 és d2 : x  3 y  8  0 egyenletű egyenesek metszéspontja és az O(0,0) pont

közötti távolságot! 6. Igazold, hogy egy BC átfogojú ABC derékszögű háromszögben teljesül a sin 2 B  sin 2 C  1 összefüggés!

33. 1. Adott az

 an n1 számtani haladvány, amelyben

a1  2 és a2  4 . Számítsd ki a számtani haladvány első tíz

tagjának az összegét! 2. Határozd meg azt a másodfokú f : kép csúcsának abszcisszája



, f  x   x 2   2m  1 x  3, m 

függvényt, amelynél a grafikus

7 . 2

3.Oldd meg a valós számok halmazán a 32 x 1  35 x egyenletet! 4. Számítsd ki V52  P3 értékét! 5. Adott az A(2,3) pont. Határozd meg az m valós számot, ha az A pont rajta van a d : 2 x  y  m  0 egyenesen! 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN  4 , NP  6 és m( MNP )  45.

34. 1. Oldd meg a valós számok halmazában a 2. Adott az f :

 2 x  12  9

egyenlőtlenséget!

, f  x   x  1 függvény. Számítsd ki az f (0)  f 1  f  2  ...  f 10 összeg értékét!



3. Oldd meg a valós számok halmazában a log2 ( x2  4)  log2 ( x  4) egyenletet! 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a P3 , V31 és C43 számok valamelyike osztható legyen 3-mal. 5. Határozd meg az A 2, 3 és B  3,2  pontokon átmenő egyenes egyenletét! 6. Számítsd ki annak az ABC háromszögnek a területét, amelyben AB  5, AC  6 és m  BAC

  60

.

35. 1. Számítsd ki log5 10  log5 3  log5 6 értékét! 2. Adott az f :



, f  x   2x  1 függvény. Számítsd ki az f 1  f  2  ...  f  6 összeg értékét!

3. Oldd meg valós számok halmazában az 5x  x  55 x5 egyenletet! 4. Két egymás utáni , előbb 10%-os, majd 20%-os drágulás után egy termék ára 660 lej. Számítsd ki a termék eredeti árát! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 2, 1 és B  2,2 pontok. Számítsd ki az A és B 2

pontok közötti távolságot! 6. Az MNP háromszögben MN = 3, MP = 5 és m( M )  60 . Számítsd ki az NP oldal hosszát!

36. 1. Határozd meg azon a és b valós számokat, amelyekre  a  3   b  2   0 . 2

2. Adott az f :



2

, f  x   5  x függvény. Számítsd ki az f (0)  f (1)  f (2)  ...  f (5) szorzat értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a log3 (3x  1)  log3 (2 x  1) egyenletet! 4. Igazold, hogy az f :



, f  x   x 2  2mx  m 2  1 függvényhez tartozó parabola az Ox tengely felett van,

tetszőleges m esetén! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,1) , B (2,3) és C (3, m) pontok. Határozd meg az m valós értékét, amelyre az A, B és C pontok kollineárisak! 8

6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 3 és AC  6 . Számítsd ki sin B értékét!

37. 2

1. Határozd meg az 2 x  16 egyenlet valós megoldásait! 2. Adott az f :



, f  x   2  x függvény . Számítsd ki az f (1)  f (2) 

3. Oldd meg a valós számok halmazában a

x 2  x  2  x  2 egyenletet!

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a

3,4,5,6

 f (10) szorzat értékét!

halmazból kiválasztott valamely elemre teljesüljön az

n  n  1  20 egyenlőtlenség ! 5. Határozd meg az A  2, 4  pontnak a B 1, 2 pontra vonatkozó szimmetrikusát! 6. Számítsd ki sin 2 80  sin 2 10 értékét!

38. 1. Adott a

 bn n1

2. Adott az f :

mértani haladvány, amelyben b1  2 és b2  6 . Számítsd ki b5 értékét!



, f  x   x 2  mx  2 függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre a

1 függvény minimuma  . 4 3. Oldd meg a valós számok halmazában a 32 x5  3x 4. Oldd meg a

Cn2

2

8

egyenletet!

 21, n  , n  2 egyenletet!

5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az A 1,1 ponton, és iránytényezője egyenlő 1gyel! 6. Az ABC háromszögben AB  AC  6 és BC  6 3 . Számítsd ki cos B értékét!

39.

1 1. Számítsd ki log 2 4    2 2. Adott az f :

1

 3 8 értékét!

 , f  x   3  2 x függvény. Számítsd ki az f (0)  f 1  f  2  ...  f  6 összeg értékét!

3.Oldd meg a valós számok halmazában a

169  x 2  12 egyenletet!

4. Adott az A  1,2,3,4 halmaz. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből, amelynek számjegyei különbözőek? 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,4), B(1,1), C(3, 1 ) pontok. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjének hosszát! 6. Számítsd ki annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelyben az egyik szög mértéke 60 és átfogójának hossza 8.

40. 1. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az x1  2 és az x2  3 számok!

 x  y  2  0 2. Oldd meg az  2 egyenletrendszert, ahol x  , y  .  x  2 x  y  0 3. Oldd meg a valós számok halmazában a log5 (9  x2 )  1 egyenletet! 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A  1,2,3,4 halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az n!  5 egyenlőtlenséget!

9

5. Számítsd ki

sin135

értékét! cos 45 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB  8, AC  4 és m( A )  45.

41. 1. Határozd meg az x 2  9  0 egyenlőtlenség valós megoldásait! 2. Adott az f :



 2010  , f  x   2009x  2008 függvény. Igazold, hogy az A  , 2  pont rajta van a függvény  2009 

grafikus képén! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 9x  4  3x  3  0 egyenletet! 4. Határozd meg az x valós számot, ha az 1, 2 x  1, 9,13, sorozat egy számtani haladvány! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az M(1,2) és N(2,1) pontok. Határozd meg az MN egyenes egyenletét! 6. Számítsd ki tg 2 30  ctg 2 45 értékét!

42. 1. Adott az (an )n1 számtani haladvány, amelyben a1  6 és a2  5 . Számítsd ki a7 értékét! 2. Adott az f :



, f  x   x 2  3 függvény. Oldd meg az f ( x)  12 egyenlőtlenséget!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a 4 x  6  2 x  8  0 egyenletet! 4. Adott az A  1,2,3,4,5 halmaz. Hány olyan 4 jegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből, amelyek számjegyei különbözőek? 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 1 ), B(1,1) és C(0, 2 ) pontok. Igazold, hogy az

ABC háromszög A-ban derékszögű! 6. Számítsd ki cos10  cos20  cos160  cos170 értékét! 43. x  y  3 1. Határozd meg az  egyenletrendszer valós megoldásait! x  y 1

2. Adott az f :



 

 

, f  x   x  5 függvény. Számítsd ki f  2   f 22  ...  f 25 értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 x 3 x2  8 egyenletet! 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a {2,3, 4,5} halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse az 2

n 2  n  n ! egyenlőtlenséget! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2, 1 ) és B(2, a ), a 

pontok. Határozd meg az

a valós számot úgy, hogy az AB egyenes tartalmazza az O(0,0) pontot! 3 6. Számítsd ki cos x értékét, ha sin x  és x egy hegyesszög mértéke! 5

44. 1. Adott az  an n1 számtani haladvány, amelyben a2  5 és r  3 . Számítsd ki a8 értékét! 2. Adott az f :



 

, f ( x)  x  2 függvény. Számítsd ki az f  3  f 32 

 

 f 35 összeget!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a log5 (2 x  1)  1 egyenletet! 4. Számítsd ki egy 6 elemű halmaz kételemű részhalmazainak a számát! 5. Határozd meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha A 5, 4 és B  3,6 . 10

6. Számítsd ki sin 2 150  cos 2 30 értékét!

45. 1. Határozd meg az f : 2. Adott az f :



 , f ( x)  x2  4x  5 függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!

, f ( x)  3 x  4 függvény. Számítsd ki az f 1  f  2  ...  f 10 összeg értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a log3 (10  x)  2 egyenletet! 4. Oldd meg a Vn2  12, n  , n  2 egyenletet! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,2) és C(3, 1 ) pontok. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét!





6. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az A  sin 300 , sin 450 , sin 600 halmaz valamely eleme racionális szám legyen?

46. 1. Adott a  bn n1 mértani haladvány, amelyben b1  1 és b2  3 . Számítsd ki b4 értékét! 2. Adott az x 2  x  m  0 egyenlet, amelynek megoldásai x1 és x2 . Határozd meg az m valós számot úgy, hogy teljesüljön az

1 1 3    egyenlőség! x1  1 x2  1 4

3. Oldd meg a valós számok halmazában a

x 2  4  x  2  0 egyenletet!

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az 1,2,3,4 halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse a 3n  n3 egyenlőtlenséget! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(5, 1 ) és B(3,1) pontok. Határozd meg az A

pontnak a B pont szerinti szimmetrikusának koordinátáit! 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN = 10, NP = 4 és m( MNP )  60 .

47. 1. Adott az (an )n1 számtani haladvány, amelyben a1  7 és a7  37 . Számítsd ki a haladvány első tíz tagjának összegét! 2. Adott az f :



, f  x   7  x függvény. Számítsd ki az f 1  f  2 

3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2

x1

 f  7  szorzat értékét!

 4 egyenletet!

4. Számítsd ki C75  C65  C64 értékét! 5. Határozd meg azt a pozitív valós a számot, amelyre az A 2, 1 és B  1, a  pontok közötti távolság egyenlő 5-tel! 6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek magassága 3 3 .

48. 1. Adott az

 an n1 számtani haladvány, amelyben

a1  3 és a3  7 . Számítsd ki a haladvány első 10 tagjának

összegét! 2. Adott az f :



, f  x   x 2  3 x  1 függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre az

A(m, 1) pont rajta van az f függvény grafikus képén!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a log5 (2 x  3)  2 egyenletet! 4. Számítsd ki egy 5 elemű halmaz 3 elemű részhalmazainak számát! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 2 ), B(1,2) és C(2, 1 pontok. Számítsd ki a 11

C pont és az AB szakasz felezőpontja közötti távolságot! 6. Az ABC háromszögben AB  8, AC  8 és m( A )  30 . Számítsd ki az ABC háromszög területét!

49. 1. Számítsd ki az 1  11  21  31  ...  111 összeg értékét! 2. Adott az f :



, f  x   x 2  2 x  4 függvény. Határozd meg az m valós szám azon értékeit, amelyekre az

A( m, 4) pont rajta van az f függvény grafikus képén!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 x  x 1  8 egyenletet! 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1, 2,3, 4} halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse a 2

2n  n! egyenlőtlenséget!

5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az A(m2 , m) pont és a d : x  y  m  0 egyenletű egyenes. Határozd meg az m azon valós értékeit, amelyekre az A pont rajta van a d egyenesen! 6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN  NP  6 és m( MNP )  120 .

50.

1. Határozd meg az A   x 

3 x  2  4 x  1 halmaz elemeit!

2. Határozd meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyekben az f :



, f  x   2 x  3 függvény

grafikonja metszi a koordinátatengelyeket! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a x 2  4  2 egyenletet! 4. Egy 500 lejes összeget letétbe helyeztek 8% -os kamatlábbal. Számítsd ki az egy éves kamat értékét! 5. Határozd meg a v  OA  OB vektor koordinátáit, ha A  2,3 és B  1,5 . 6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek kerülete egyenlő 6-tal!

51. 1. Határozd meg az x valós számot, ha az x + 1, 2x – 3 és x – 3 számok egy számtani haladvány egymás utáni tagjai! 2. Egy termék 10%-os árcsökkentés után 99 lej. Határozd meg a termék eredeti árát! 2 2007  C2009 3. Számítsd ki C2009 értékét!

4. Határozd meg azt a másodfokú függvényt, amelynek grafikus képe tartalmazza az A 1;3 , B  0;5 és C  1;11 pontokat! 5. Az ABC háromszögben jelölje rendre M, N, P az AB, BC, illetve AC oldalak felezőpontját. Igazold, hogy

AM  AP  AN . 6. Az ABC háromszögben AB  BC  3 és AC  3 2 . Határozd meg cos A értékét!

52. 3 értékét! 2 2. Határozd meg a 2 x  y  4  0 és az x  y  3  0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

1. Számítsd ki log 2 3  log 2

3. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre x  5 megoldása az m 2  x  1  x  3m  2 egyenletnek! 4. Oldd meg a valós számok halmazában a

4 x 2  6 x  3  x  2 egyenletet!

5. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha csúcsai az A 1;3 , B  2;0 és C  0;3 pontok! 6. Ha a BC  2 , m  BAC

  30

és m  ABC

  45

, számítsd ki az ABC háromszög AC oldalának hosszát!

12

53.

1 2 9 1. Igazold a lg  lg  ...  lg  1 egyenlőséget! 2 3 10 2 998 2. Számítsd ki C1000 értékét!  C1000

3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3x  3 x 

10 egyenletet! 3

számot úgy, hogy teljesüljön az x 2   m  3 x  m  3  0 egyenlőtlenség bármely x

4. Határozd meg az m

valós szám esetén! 5. Számítsd ki az A szög koszinuszát az ABC háromszögben, ha AB  3 , AC  5 és BC  6 . 6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 0; a  , B  1;2  és C  4;5 pontok, ahol a valós szám. Határozd meg a azon értékeit, amelyekre az ABC háromszög A-ban derékszögű!

54. 1. Számítsd ki log3 5  log3 6  log3 10 értékét! 2. Határozd meg az f :  1,1 

,

f  x   2x  3 függvény legnagyobb értékét!

3. Határozd meg m valós paraméter értékeit úgy, hogy az x 2   m  1 x  3  0 egyenlet x1 és x2 megoldásaira teljesüljön az x1  3x2 egyenlőség! 4. Számítsd ki Cnn1  Cn11 , n

értékét!

5. Számítsd ki sin10  cos80 értékét! 6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 2,2 és B  4,4 pontok. Határozd meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!

55. 1. Hasonlítsd össze a 22 és log 2 32 számokat! 2. Határozd meg m 



értékét úgy, hogy az A  2,3 pont legyen rajta az f :



, f  x   mx 2  x  1

függvény grafikus képén! 3. Határozd meg azon x valós számokat, amelyekre teljesül a

x 2  1  2 egyenlőség!

4. Oldd meg a Cn2  Cn1  2, n  , n  2 egyenletet! 5. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha BC  10 és m  BAC

  60

.

6. Számítsd ki sin 60  cos150 értékét!

56. 1. Bizonyítsd be, hogy

3 2

log 2 8

természetes szám!

2. Határozd meg a 4 x  6 y  2  0 és a 2 x  3 y  7  0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit!





3. Határozd meg az m valós paraméter értékeit, ha az x 2  m2  3 x  3  0 egyenlet x1 és x2 megoldásai teljesítik az x1  x2  x1x2  7 egyenlőséget! 4. Oldd meg az

 n  2 !  56, n  n!

egyenletet!

5. Igazold, hogy egy A –ban derékszögű ABC háromszögben igaz a cos 2 B  cos 2 C  1 egyenlőség! 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB  AC  4 és m  A

  60

.

13

57. 1. Határozd meg az  an  n 1 számtani haladvány első 6 tagjának összegét, ha a1  2 és a2  5 . 2. Határozd meg az m valós paraméter értékeit úgy, hogy az x 2  mx  9  0 egyenletnek egyenlő valós gyökei legyenek!





3. Oldd meg a valós számok halmazában a log 2 x 2  3x  10  3 egyenletet! 4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A  7,11,15,19,...,35 halmaz valamely elemét kiválasztva, az osztható legyen 5-tel! 5. Határozd meg az A  4;0  és B  0;2  pontokon átmenő egyenes egyenletét! 6. Számítsd ki cos B értékét, ha az ABC háromszögben AB  6 , AC  8 és BC  10 . 58. 1. Számítsd ki log5 25  log3 9 értékét! 2. Határozd meg azt az f :

 , f  x   ax  b függvényt, amelynek grafikus képe átmegy az A  2;7  és

B  1; 2  pontokon! 3. Igazold, hogy az x 2  x  1  0 egyenlet x1 és x2 megoldásai teljesítik az x12  x22  x1  x2  2 összefüggést! 4. Határozd meg azon n természetes számokat, amelyekre az E  n   10  3n kifejezés értelmezett! 5. Határozd meg az ABC háromszög A-ból húzott oldalfelezőjének hosszát, ha a háromszög csúcsai az A  0;4  ,

B  2;0  és C 8;0  pontok! 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha m  A

  90

, mB

  30

és AB  4 3 .

59. 1. Határozd meg x szám valós érékeit, ha az 5  x ; x  7 és 3x  11 számok egy mértani haladvány egymás utáni tagjai! 2. Számítsd ki egy termék ÁFA - ját, ha az eladási ár 238 lej ( az ÁFA 19% -os). 3. Igazold, hogy log2 4  log3 9  36 . 4. Adott az f :

 , f  x   3x  4 függvény. Határozd meg azokat az x értékeket, amelyekre f  x   f 1  1 .

5. Határozd meg egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha ezeknek összege 23 és a háromszög területe 60. 6. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét amely átmegy az A1, 2 ponton és iránytényezője 2.

60. 1. Oldd meg a valós számok halmazában a 3x 2. Határozd meg az f : D 

2

x

 9 egyenletet!

f  x   lg  2x  3 függvény D maximális értelmezési tartományát!

3. Határozd meg az m valós szám értékeit, ha az f :



, f  x   x 2  2mx  3m függvény minimuma egyenlő

2-vel! 2 2  C2008  C12008 értékét! 4. Számítsd ki C2009

5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalának hosszát, ha az AB  10 , BC  15 és m  B

  60

.

6. Határozd meg annak az M pontnak a koordinátáit, amely rajta van az AB egyenesen és egyenlő távolságra található az A1; 1 és B 5; 3 pontoktól!

61. 1. Számítsd ki log6 3  log6 10  log6 5 értékét! 14



2. Határozd meg azokat a nullától különböző m valós értékeket, amelyekre az f :

,

f  x   mx 2   m  1 x  1 függvény grafikonja érinti az Ox tengelyt!

3. Oldd meg a valós számok halmazában az  x  2 x  1  3 x  1 egyenlőtlenséget! 4. Igazold, hogy

8! 9!  természetes szám! 3!  5! 2!  7!









5. Igazold, hogy bármely x mértékű hegyesszög esetén teljesül a sin x  cos 90  x  cos2 180  x  1 összefüggés! 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB  AC  10 és m  A

  30

.

62. 1. Oldd meg a valós számok halmazán a 2. Határozd meg az m

x  2  3 egyenletet!

értékét úgy, hogy az f :



, f  x    x 2  2 x  m  3 függvény maximuma 10

legyen! 3. Határozd meg a log7  2 x  1  2 egyenlet valós megoldásait! 4. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget: 2Cn2  n  8, ahol n  , n  2 . 5. Határozd meg az a valós számot, ha az A 2;1 és B  7; a  pontok közötti távolság 13. 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha BC  20 és m  A

  30

.

63. 1. Határozd meg egy számtani haladvány első tagját, ha az állandó különbség 4, és az első két tag összege 10. 2. Határozd meg az m szám valós értékeit, ha az x 2  mx  m  2  0 egyenlet x1 és x2 megoldásai teljesítik a

2x1x2  x1  x2 egyenlőtlenséget! 3. Oldd meg a valós számok halmazában a log2  x  2  log2  x  1  1 egyenletet! 4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a 11,12,

,20 halmaz egy elemét kiválasztva, az prímszám

legyen! 5. Határozd meg az A pontnak a BC szakasz M felezőpontjára vonatkozó szimmetrikusát, ha A  3;0  , B  0;2  és

C  3;2 . 6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AC  10 , BC  16 és m  C

  60

.

64. 1. Határozd meg egy mértani haladvány első tagját, ha az első és negyedik tag aránya 2. Számítsd ki

1 és b2  3 . 8

1 1 értékét, ha x1 és x2 az x 2  2008 x  1  0 egyenlet megoldásai!  x1 x2

3. Határozd meg a log 2 ( x 2  x  2)  2 egyenlet valós megoldásait! n n2  C17 , n  , n  2, n  17 egyenlőtlenséget! 4. Oldd meg a C17

5. Határozd meg az x  3 y  1  0 és 3x  2 y  4  0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 6. Számítsd ki az ABC háromszög AB oldalának hosszát, ha BC  6 , AC  3 2 és m  C

  45

.

65. 1. Igazold, hogy

3

27  12  2 3 természetes szám!

15

2. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 x

2

4 x



1 egyenletet! 8

3. Határozd meg azon m valós értékeket, amelyekre az x 2  mx  m  6  0 egyenlet x1 és x2 gyökei teljesítik a

4  x1  x2   x1x2  0 összefüggést!

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy kétjegyű természetes számot kiválasztva, az egy természetes szám köbe legyen! 5. Számítsd ki az f :

, f  x   3x  5 függvény grafikus képe és a koordinátatengelyek által meghatározott



háromszög területét! 6. Számítsd ki sin 2 120  cos 2 60 értékét!

66. 1. Igazold, hogy log2 2 , C31 és 5 egy számtani haladvány egymásutáni tagjai! 2. Határozd meg az f :



, f  x   3x 1  1 függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való

metszéspontjait! 3. Határozd meg az m

számot úgy, hogy az x 2  2 x  6m  1  0 egyenlet x1 és x2 megoldásai teljesítsék az

x1  x2  x1x2 összefüggést! 4. Számítsd ki 0! 1! 2! 3! értékét! 5. Számítsd ki az ABC háromszög befogóinak hosszát ha m  A

  90

, mB

  60

és az átfogó hossza egyenlő

8-cal! 6. Számítsd ki az A  2;0  , B  0;4  és C 1;6 pontok által meghatározott háromszög területét!

67. 1. Igazold a C51  1  P3 egyenlőséget! 2. Határozd meg az f :



, f  x   x 2  1 függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való

metszéspontjait! 3. Igazold, hogy bármely m értékre az x 2  mx  m2  1  0 egyenletnek két különböző valós gyöke van! 4. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának összegét, ha az első két tag összege 8, a második és első tag különbsége pedig 4. 5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalát, ha m  B

  45

, m C

  30

és AB=10.

6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 5, 4 és B  0,8 pontok. Számítsd ki AM szakasz hosszát, ahol M az AB szakasz felezőpontja!

68. 1. Határozd meg az x valós értékeinek halmazát, amelyekre teljesül: 4  3x  2  4 . 2. Oldd meg a valós számok halmazában a

3x  4  2 x egyenletet!

3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3  2  3x1  7 egyenletet! 4. Határozd meg , hogy a  b számnak hány százaléka az a szám, ha az a a b-nek 25%-a.. x

5. Számítsd ki egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha területe 18 és egyik szögének mértéke 45 . 6. Igazold, hogy a  sin x  cos x   2sin x  cos x kifejezés állandó, bármely x valós szám esetén! 2

69. 1. Számítsd ki a C62  C64 értékét! 2. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre teljesül az x  x  1  x  15 egyenlőtlenség! 16

3. Határozd meg az m szám valós értékeit úgy, hogy az f :



, f  x   x 2   m  1 x  m függvény grafikus

képe érintse az Ox tengelyt! 2 3 4  log3  log3  1 2 3

4. Igazold, hogy az A  log3

 log3

9 természetes szám! 8

5. Számítsd ki sin10  cos80 értékét! 6. Igazold, hogy az az MNPQ négyszög, amelynek csúcsai az M  2;0 , N  6;4  , P  4;6  és Q  0;2 pontok, egy téglalap!

70. 1. Határozd meg az x 2  5 x  6  0 egyenlőtlenség valós megoldásait! 2. Határozd meg az m

értékét úgy, hogy az f :

 , f  x   x 2  mx  m függvény minimuma 1 legyen!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a log 2 x 2  2 egyenletet! 4. Számítsd ki C42  C43 értékét! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 1;1 , B  1;0  és C  3; 4 pontok. Számítsd ki az AM szakasz hosszát, ha M a  BC  felezőpontja!





6. Számítsd ki cos 180  x értékét tudva, hogy x egy hegyesszög mértéke és cos x 

1 . 2

71. 1. Igazold a C51  C53  C55  24 egyenlőséget! 2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 x  3x  36 egyenletet! 3. Igazold, hogy az x 2  2mx  m2  1  0 egyenlet x1 és x2 gyökei teljesítik az x1x2   x1  x2   2  0 összefüggést, bármely m

esetén!





4. Oldd meg a valós számok halmazán a log5 x 2  2 x  3  1 egyenletet! 5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja és M a BC szakasz felezőpontja. Határozd meg az a valós szám értékét úgy, hogy AG  a  MA legyen! 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha AB  8, AC  10 és m  BCD

1 72. 1. Számítsd ki   2 2. Adott az f :



  150

.

3

 log5 25 értékét!

, f  x   x 2  2 x  2 függvény. Igazold, hogy a függvényhez tartozó parabola csúcsának

koordinátái egyenlőek! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a

3

x3  x  1  x egyenletet!

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A  1,2,3,4,...,91 halmaz valamely elemét kiválasztva, az osztható legyen 13-mal! 5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által alkotott hegyesszög koszinuszát, ha AB  16 és BC  12 . 6. Számítsd ki sin 2 30  cos 2 60 értékét! 73. 1. Számítsd ki egy számtani haladvány ötödik tagját, ha a haladvány első tagja 7 és a második tagja 9. 2. Oldd meg a Cn2  6, n  , n  2 egyenletet!

17



3. Igazold, hogy az x 



x 2   2m  1 x  m2  m  0 halmaznak két eleme van, bármely m

esetén.

4. Oldd meg a valós számok halmazán a lg  x  4  lg  2x  3  lg 1  2 x  egyenletet! 5. Igazold, hogy ha AB  2 AC , akkor a C pont az AB szakasz felezőpontja! 6. Határozd meg ABC derékszögű háromszög AB és AC befogóinak a hosszát, ha sin B 

3 és BC  15 . 5

74. 1. Számítsd ki C85  C83 értékét! 2. Határozd meg a  bn n1 mértani haladvány hányadosát, ha b1  3 és b2  b1  3 . 3. Oldd meg a valós számok halmazán a log2 x  1  1 egyenletet! 4. Írd fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek x1 és x2 gyökei teljesítik a következő összefüggéseket:

 x1  x2  11   1 1 11 .  x  x  30 2  1 5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az A  2;5 ponton és párhuzamos az x  y  2  0 egyenletű egyenessel!

6. Számítsd ki az ABCD téglalap területét, ha AC  10 és m  BAC

  30 .

75. 1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az 1, x, x  2, 7,... sorozat egy számtani haladvány! 2. Határozd meg az f , g :

 ,

f  x   x 2  3 x  1 és g  x   x  4 függvények grafikus képei

metszéspontjainak koordinátáit! 3

x3  x 2  x  2  x egyenletet! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4. Egy személy 1500 lejt letétbe helyezett. Mennyi pénzt kapott egy év múlva, ha a kamatláb 8 %?

5. Legyen O az MNP egyenlő oldalú háromszög köré írt kör középpontja. Igazold, hogy: OM  ON  OP  0 . 6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha AB  6 3 , AD  4 és m  DAB

  150

.

76. 1. Igazold, hogy az 1, log3 9 és 2. Adott az f :

3

64 számok egy mértani haladvány egymást követő tagjai!

 , f  x   2  x függvény. Számítsd ki az f 1  f  2 

3. Oldd meg a valós számok halmazán a

 f  6 szorzat értékét!

x 2  2 x  3  2 3 egyenletet!

5 egyenletet! 2 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(3,0) és B(5, 2) pontok. Határozd meg az AB

4. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 x  2 x 

szakasz felezőpontjának koordinátáit! 6. Számítsd ki sin 2 135  cos 2 45 értékét!

77. 1. Igazold a log2 5  log2 12  log2 30  1 egyenlőséget! 2. Igazold, hogy tetszőleges m

szám esetén az f :

 , f ( x)  x 2  mx  m2  1 függvényhez tartozó

parabola az Ox tengely fölött helyezkedik el! 18

3. Határozd meg az a valós számot, ha a 2a , 4a  1 és 2a 2 egy számtani haladvány egymást követő tagjai! 4. Oldd meg a természetes számok halmazán a C1n1  n2  1 egyenletet! 5. Bizonyítsd be, hogy az MNPQ négyszögben teljesül az MN  PQ  MQ  PN összefüggés!









6. Igazold, hogy bármely x hegyesszög esetén teljesül a sin x  cos 90  x  cos 2 180  x  1 egyenlőség!

78. 1.. Számítsd ki

2  C41 V31

2. Határozd meg x

értékét! értékét, ha az x  1, x  1 és 2x 1 egy számtani haladvány egymás utáni tagjai! x

3. Adott az f :

1  , f ( x)    függvény. Számítsd ki az f  0  f 1  2

 f  4 szorzat értékét!

4. Határozd meg az m valós paraméter értékét, ha az x 2   m  1 x  m  0 egyenlet x1 és x2 gyökei teljesítik az

x1  x2  2  x1x2  4 összefüggést! 5. Határozd meg az A  2,1 és B 1, 2 pontokon átmenő egyenes egyenletét! 6. Az ABC derékszögű háromszögben m( A )  90 . Igazold, hogy teljesül az AD2  AB  AC  sin B sin C összefüggés, ahol D az A -ból húzott magasság talppontja!

79. 1. Számítsd ki

log5 18  log5 2 értékét! log5 3

2. Adottak az f , g , h :

 , f ( x)  x  1, g ( x)  2 x  2, h( x)  3 x  3 függvények. Határozd meg az a valós

szám értékét úgy, hogy teljesüljön az a  f  x   h  x    g  x  egyenlőség, bármely x esetén! 4x egyenletet! 8 2x 4. Hány olyan négyjegyű természetes szám képezhető az {1, 2,3, 4} halmaz elemeiből, amelyeknek számjegyei

3. Oldd meg a valós számok halmazán az

1



különbözőek? 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,0) és B(m2  1,0) pontok, ahol m . Határozd meg m valós értékeit úgy, hogy a C (5,0) pont az AB szakasz felezőpontja legyen! 6. Adott az ABCD négyszög, amelyben DC  BC  AC . Igazold, hogy ABCD paralelogramma!

80. 1. Számítsd ki 2. Adott az f :

2!  3! C81 

értékét! , f ( x)  2 x  3 függvény. Igazold, hogy f (1), f  0 és f  3 egy mértani haladvány

egymás utáni tagjai!  x  y  3 3. Oldd meg az  2 egyenletrendszert, ahol x, y   x  x  y

.

4. Határozd meg a log5 3x  1  1  log5  x  1 egyenlet valós megoldásait! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben legyen N az M (2,3) pont O szerinti szimmetrikusa. Számítsd ki az MN szakasz hosszát! 6. Határozd meg az ABC hegyesszögű háromszög A szögének mértékét, ha BC  6 és a háromszög köré írt kör

19

sugarának hossza 2 3 .

81. 1 3  8 értékét! 4

1. Számítsd ki log 2

 2x 1 x  1  x  11 egyenlőtlenséget! , f  x    x 2  4 x  6 függvény. Igazold, hogy f  x   f  2 , bármely x

2. Oldd meg a valós számok halmazán az 3. Adott az f :



esetén!

4. Egy termék árát egymásután kétszer csökkentették, először 10%-kal, majd 25%-kal. Most 540 lejbe kerül. Számítsd ki a termék eredeti árát! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az M (2, m) pont, ahol m egy valós szám. Határozd meg az

m azon valós értékeit, amelyekre OM  5 . 6. Határozd meg az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha AC  6, AB  4 és m  BAC

  60

.

82. 1. Számítsd ki

3

9

3 . 3

3

2. Legyenek x1 és x2 az x 2  ax  a  1  0 , a

egyenlet gyökei. Igazold, hogy az x1  x2  x1x2 összefüggés

független az a számtól! 3. Oldd meg a valós számok halmazán az

2x 3  egyenletet! 3x 2

4. Ha az AB vektor hossza 12 és AC  2CB , számítsd ki a CB vektor hossszát! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A 1,1 , B  0,1 ,C 11 ,  és D  2,3 pontok. Igazold., hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak! 6. Ha sin80  cos80  a , számítsd ki sin100  cos100  a értékét!

83. 1. Számítsd ki 2C31  V32 értékét! 2. Igazold a log2 14  log2 3  log2 6  log2 7 egyenlőséget! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a

x  1  x 2  x  2 egyenletet!

4. Igazold, hogy az x 2   m  1 x  m  0 , m

egyenlet x1 és x2 gyökei teljesítik az x1  x2  x1x2  1

összefüggést! 5. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB  4, AC  6 és m  BAC

  45

.

6. Számítsd ki sin135  tg45  cos45 értékét!

84. 1. Hasonlítsd össze az a  2 és b  2. Igazold, hogy az f :

1 számokat! 3 2

 , f ( x)  x2  4x  4 függvényhez tartozó parabola érinti az Ox tengelyt!

3. Oldd meg a valós számok halmazán az 3x  5x  15 egyenletet! 4. Számítsd ki egy termék ÁFA-ját ha az eladási ár 357 lej. (az ÁFA 19 %-os). 5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által meghatározott hegyesszög koszinuszát, ha AB  8 és BC  6 . 6. Legyen O az ABCD négyzet középpontja. Számítsd ki az OA  OB  OC  OD összeg értékét! 20

85. 1.Határozd meg egy mértani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 16 és a hányados

1 . 2

 x  y  6 2. Oldd meg az  egyenletrendszert, ahol x, y  .  xy  8 1 3. Oldd meg a valós számok halmazán az x  4 egyenletet! 2 4. Adott az A  1,2,3 halmaz. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A halmaz elemeivel képezett

kétjegyű számok közül kiválasztva egyet, annak számjegyei egyenlőek legyenek! 5. Igazold, hogy az ABCD paralelogrammában teljesül az AC  BD  2 AD egyenlőség! 4 6. Számítsd ki sin 180  x értékét, ha sin x  . 5





86. x  y  5 1. Oldd meg az  egyenletrendszert, ahol x, y   xy  6

2. Adott az f :

.

 (0,) , f ( x)  5 x függvény. Számítsd ki f  1  f  0  5 f 1 értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a (3  2 2) x  (1  2)2 egyenletet! 4. Hány darab két elemű részhalmaza van az A  1,2,3,4,5,6 halmaznak ? 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A  2,1 és B  4, 3 pontok. Határozd meg az AB szakasz M felezőpontjának koordinátáit!





6. Számítsd ki cos 180  x értékét, ha cos x 

1 . 3

87. 1. Határozd meg egy számtani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 2 és az állandó különbség 3. 2. Határozd meg az m

értékét úgy, hogy az x 2  x  m  0 egyenletnek ellentétes előjelű gyökei legyenek!





3. Oldd meg a valós számok halmazán a log 2 x 2  x  2  log 2 (2 x  4)  1 egyenletet! 4. Oldd meg a C1n  Vn2  4, n  , n  2 egyenletet! 5. Határozd meg az ABC háromszög területét ha AB  AC  2 és m  A

  30

.

6. Számítsd ki 2sin 2 135 értékét!

88. 1. Határozd meg egy számtani haladvány állandó különbségét, ha első tagja 10 és negyedik tagja 19. 2. Határozd meg az f :  2,1  , f  x    x  1 függvény legkisebb értékét! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a lg 2 x  3lg x  2  0 egyenletet! 4. Határozd meg egy termék eredeti árát, ha az egy 15 %-os drágítás után 460 lejbe kerül! 5. Határozd meg az AB szakasz M felezőpontjának koordinátáit, ha OA  3i  4 j és OB  7 i  2 j . 6. Számítsd ki sin100  cos100  sin80  cos80 értékét!

89. 1. Számítsd ki az 1  2  22 

 26 összeget!

2. Oldd meg a valós számok halmazán az ( x2  1)( x  1)  0 egyenlőtlenséget! 21

3. Igazold, hogy az mx2  2008x  m  0 egyenlet valós gyökeinek szorzata állandó, bármely m  4. Oldd meg a

Cn0

 Cn1

 8, n 





esetén!

egyenletet!

5. Legyen O az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja. Igazold, hogy AO  DO  DC .



 







6. Számítsd ki lg tg40o  lg tg41o  … lg tg45o értékét!

90. 1. Számítsd ki az S  1  5  9  ...  25 összeget!



2. Határozd meg az A  x 



x 2  x  2  0 halmazt!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3x 1  2 x  108 egyenletet! 4. Hány háromjegyű természetes szám képezhető az {1, 2} halmaz elemeivel? 5. Adottak az A, B, C, D különböző, nem mind kollineáris pontok. Ha AB  CD  0 , igazold, hogy az ABCD négyszög paralelogramma! 6. Számítsd ki sin A értékét az ABC háromszögben, ha BC  10 és a háromszög köré írt kör sugara 10.

91. 1. Határozd meg az A  {1, 4,7, 2. Adott az f :



, 40} halmaz elemeinek számát!

, f ( x)  2 x függvény. Számítsd ki az f (3)  f (2)  ...  f (3) szorzat értékét!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a log2 3 x  1 egyenletet! 4. Hány darab, különböző számjegyekből álló háromjegyű természetes szám képezhető a {1, 2,3} halmaz elemeivel? 5. Határozd meg az a, b 

számokat, ha az A(a, b) és B(a  1, 4) pontok az x  y  5  0 egyenletű egyenesen

vannak! 6. Számítsd ki a (cos10  cos90 )  (cos20  cos80 )  ...  (cos90  cos10 ) szorzat értékét!

92. 1.Számítsd ki egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha első tagja 2. Adottak az f , g :

2 és állandó hányadosa  2 .

 , f ( x)  4 x 2  4 x  1, g ( x)  2 x  1 függvények. Oldd meg a valós számok halmazán az

f ( x)  2 g ( x)  1 egyenletet!

3. Oldd meg a valós számok halmazán a

32 x  2  3x  3  0 egyenletet!

4. Számítsd ki 3! C42 értékét! 5. Számítsd ki az A 6,8 pont távolságát az xOy derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontjától! 6. Ha az ABC háromszög A-ban derékszögű, igazold, hogy teljesül a sin B  cos B 

AB  AC összefüggés! BC

93. 1. Adott az f :

 , f ( x)  x2  3x  2 függvény. Számítsd ki az f (2)  f (1)  f (0)  f (1)  f (2) szorzat

értékét! 2. Határozd meg az m

értékét úgy, hogy az f :

 ,

f ( x)  x 2  mx  2 függvény minimuma 2

legyen! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2log2 x  4 egyenletet!  n  2 !  n2  5, n  egyenletet! 4. Oldd meg a C1n 2   n  1! 22

5. Számítsd ki a BC szakasz hosszát, ha a B és C pontok az A(2,3) pontnak az Ox valamint az Oy tengelyek szerinti szimmetrikusai! 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha sin A 

1 és a háromszög köré írt kör sugarának 2

hossza 4.

94. 1. Adott az a  log2 3 szám. Igazold, hogy log2 18  2a  1. 2. Határozd meg az f :

 , f ( x)  ax  b függvényt, ahol a és b valós számok, amelyekre

f (1)  f (2)  f (3)  6a  2b és f  4   8 .

3. Határozd meg az f :

 , f ( x)  2 x 3  2 függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való

metszéspontjainak koordinátáit! 4. Egy termék ára 5400 lej. Hány százalékkal kell csökkenteni az árát ahhoz, hogy 4860 lejbe kerüljön? 5. Adottak a d1 : ax  2 y  2 és d2 :8x  ay  4 egyenletű különböző egyenesek. Határozd meg az a valós paraméter értékeit úgy, hogy a d1 és d 2 egyenesek párhuzamosak legyenek! 6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjének hosszát, ha a háromszög csúcsai

A 2,3 , B  2,0 és C  0,2 .

95. 1. Igazold, hogy (1  2)2  (1  2)2 természetes szám! 2. Adott az f :

 , f ( x)  x 2  4 x  3 függvény. Igazold, hogy f  x   1, bármely x valós szám esetén!

 2 x  2 y  16 3. Oldd meg a  egyenletrendszert, ahol x, y  . .  xy  12 n!  (n  2)!, n  , n  2 egyenletet! 4. Oldd meg az 12 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1, 1) és B (3,5) pontok. Határozd meg azon síkbeli C pont koordinátáit, amelyre OA  OB  OC . 6. Számítsd ki cos A értékét az ABC háromszögben, ha AB  2, BC  3 és AC  4 .

96. 1. Határozd meg az x valós számot, ha x  1, 2 x  2 és x  3 egy számtani haladvány egymás utáni tagjai! 2. Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az x 2  mx  1  0 egyenlet gyökei ellentétes valós számok legyenek! x

1 3. Oldd meg a valós számok halmazán az    2 x2 egyenletet! 2 9  C98 értékét! 4. Számítsd ki C10

5. Határozd meg az m valós szám azon értékét, amelyre az A 2,4 , B  3,3 és C  m,5 pontok kollineárisak! 6. Az ABC derékszögű háromszögben m( A )  90 és cos B 

3 . Számítsd ki sinC értékét! 5

97. 1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az x  1, x  1 és 2x  5 számok egy számtani haladvány egymás utáni tagjai! 23

2. Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az x 2  3x  m  0 egyenlet gyökei egymás inverzei legyenek! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a lg 2 x  4lg x  3  0 egyenletet! 4. Egy 15 % -os árcsökkentés után egy termék 680 lejbe kerül. Számítsd ki a termék eredeti árát! azon értékét, amelyre az A  2, m  és B  m, 2 pontok közötti távolság 4 2 .

5. Határozd meg m

6. Ha az ABC háromszögben BC  10,AC  5 és AB  5 3 , számítsd ki cos A értékét!

98. 1. Igazold, hogy log3 24  1  3a , ahol a  log3 2 . 2. Adottak az f , g :



, f ( x)  ax  b, g ( x)  bx  a függvények, ahol a és b valós számok. Ha

f ( 1)  g ( 1) , igazold, hogy f  g .

1 egyenletet! 4 4. Határozd meg az n zérótól különböző természetes számot úgy, hogy az n elemű halmaz összes 2 elemű részhalmazainak a száma 6-tal legyen egyenlő! 5. Határozd meg az A(3,0) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely az Oy tengelyt 4 ordinátájú pontban metszi! 3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4 x1 

6. Határozd meg az MON háromszög O csúcsából húzott magasságának hosszát, ha M  4,0 , N  0,3 és O  0,0 .

99. 1. Határozd meg az A  x  | 2x  1  3x  1 halmazt! 2. Adott az f : (0, )  , f ( x)  log 2 x függvény. Számítsd ki f 1  f (4)  f (2) értékét! 3. Határozd meg m 



értékét úgy, hogy az x 2  3x  m  0 egyenlet gyökei ellentétes előjelűek legyenek!

4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy n elemet kiválasztva a 2,3,4,5 halmazból, az teljesítse a 2n  n 2 egyenlőséget! 5. Határozd meg az m valós értékeit úgy, hogy az A(1,3), B(2,5) és C (3, m) pontok kollineárisak legyenek!

6. Számítsd ki a B pont koordinátáit tudva, hogy C  3,5 az AB szakasz felezőpontja és A 2,4 .

100. 1. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha a haladvány első tagja 1 és hányadosa 2. 2. Adott az f :  0,   , f ( x)  2 x  log3 x függvény. Számítsd ki f 1  f  3 értékét! 3. Határozd meg az f :

 , f  x   4 x 2  12 x  9 függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!

4. Számítsd ki C50  C51  2V51 értékét! 5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(3, 2) , B (2,3) pontok, és M az AB szakasz felezőpontja. Határozd meg az OM szakasz hosszát! 6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha BC = 4 és az A szög mértéke 30 .

24