SisteDl Pengaturan OtoDlatis

Dab

1

SisteDl Pengaturan OtoDlatis

1.1 APLIKASIPENGATURAN OTOMATIS Aplikasi pengaturan otomatis sinonim dengan teknologi modem. Teknologi ini kita dapatkan dalam spektrum lengkap produk teknologi mulai dari robot sampai alat pemanggang roti. Pengaturan otomatis berkaitan dengan masalah memperoleh kondisi yang diinginkan dari sistem dinamik yang berjalan dengan sendirinya. Penggunaan ungkapan "sistem dinamik" menyiratkan suatu agregat kuantitas dengan waktu bervariasi yang mengidentifikasi obyek yang dituju. Pilot otomatis adalah contoh sistem pengaturan otomatis dari pesawat terbang. Peluru kendali secara keseluruhan tergantung pada pengaturan otomatis. Sedangkan yang tidak begitu mengesankan namun lebih umum adalah motor dengan kecepatan tetap dan sistem pengaturan suhu udara. Contoh lain dari alat pengaturan otomatis meliputi pengaturan kecepatan dan penempatan untuk pita rekaman dan penggerak disket, sistem pendaratan otomatis pesawat terbang, sistem penghindaran tubrukan, muatan magnetik, jantung buatan dan organ buatan lain, alat pacu jantung, robot, dan berbagai sistem biologis (misalnya, perikanan). Bahkan ekonomi Amerika Serikat merupakan sistem pengaturan. Dalam kasus yang belakangan, Federal Reserve Board berusaha untuk mengatur ekonomi melalui tingkat suku bunga dan 1

2

Pengantar Sistem Pengaturan

kebijakan suplai uang. Daftar aplikasi pengaturan otomatis yang potensial hanya dibatasi oleh irnajinasi seseorangj harnpir sernua sistern dinarnik dapat rnenjadi subyek pengaturan. Untuk sistern dinarnik tertentu rnungkin ada lebih dari satu aplikasi pengaturan otornatis. Misalnya, pertirnbangkan sebatang tongkat, seperti tongkat bilyar. Ungkapan "berbicara lernbut, tetapi rnernbawa tongkat besar" hanya rnenyiratkan satu aplikasi. Namun, sebenamya rnanusia rnarnpu rnernanipulasi tongkat dengan berbagai cara, rnelebihi pemyataan yangtersirat. Misalnya, dia dapat rnengirnbangkan atau rnenggunakannya untuk rnenunjuk benda tertentu. Kedua aktivitas ini sang at wajar dan rnungkin rnerupakan reaksi intuitif karena rnendapatkan tongkat tergenggarn dalam tangan. Tindakan rnengirnbangkan rnerupakan contoh permasalahan pengaturan dasar dalarn rnenstabilkan suatu sistern yang tidak stabil, dan tindakan rnenunjuk rnerupakan salah satu dari banyak permasalahan pengaturan otornatis, seperti halnya rnencari jejak planet atau kornet dengan rnenggunakan teleskop. Dalam latar rniliter, "tongkat besar" dapat berupa senjata untuk perternpuran, yang harus dibidikkan secara akurat di laut yang bergelora. Anggaplah tongkat sebagai suatu sistern yang harus diatur dan rnanusia yang rnernegangnya sebagai pengatur. Kornbinasi tersebut rnerupakan suatu sistern pengaturan lengkap. Mata rnernainkan peran penting dalarn rnerasakan orientasi atau "posisi" tongkat. Informasi ini "diurnpanbalikkan" rnelalui otak ke tangan untuk penernpatan tongkat secara tepat. Meskipun sasaran rnungkin bergerak, sepanjang ia dapat diikuti oleh rnata, orang rnasih dapat rnernbidikkan tongkat pada sasaran tersebut. Kornpleksitas pengirnbangan tongkat biasanya juga tidak rnenirnbulkan permasalahan, asalkan tongkat tersebut rnasih dalarn dirnensi yang logis. Perhatikan bahwa rnanusia rnernbentuk "putaran pengaturan" (control loop). Dengan kata lain, informasi rnengenai posisi sistern digunakan untuk rnenyesuaikan sistern tersebut rnelalui tindakan pengaturan untuk rnencapai posisi yang diinginkan. Sasaran teori pengaturan otornatis adalah rnernperoleh jenis regulasi pengaturan tanpa rnenggunakan rnanusia dalarn putaran pengaturan. Untuk rnelakukan hal tersebut, jenis operasi yang sarna rnasih diperlukan. Pengukuran ,yang berkaitan dengan posisi sistern harus dilakukan dan informasi ini, pada gilirannya, harus digunakan untuk rnenyuplai tindakan pengaturan guna rnendapatkan posisi yang diinginkan. Sensor adalah alat yang digunakan untuk rnernbuat pengukuran. Aktuator adalah alat yang digunakan untuk rnenyuplai

Sistem Pengaturan Otomatis

3

tindakan pengaturan. Gabungan sensor, aktuator, dan aIat-aIat logik untuk mengimplementasikan tindakan pengaturan akan membangun pengatur. Jika orang dapat membangun pengatur untuk mengimbangkan sebatang tongkat atau menunjukkan tongkat pada suatu obyek, maka dimungkinkan banyak aplikasi lain dengan permasalahan dasar yang sarna. Misalnya, pembidikan presisi teleskop ruang angkasa dari pesawat ulang-aIikruang angkasa yang sedang mengorbit atau keseimbangan roket pada mesinnya ketika membawa pesawat ulang alik ke orbitnya menampilkan permasalahan pengaturan dasar yang sarna. Karena adanya waktu reaksi yang diperlukan untuk masingmasing aplikasi ini, pengatur manusia tidak dapat digunakan. Sebenaranya orang harus memahami dan dapat mengaplikasikanteori pengaturan otomatis untuk mengimplementasikan aplikasi"teknologitinggi" ini dan yang lainnya.

'.2

MODELSISTEM PENGATURAN

Definisi Umum mengenai Sistem Pengaturan Kita akan berhubungan dengan sistetn dinamik, yang terdiri atas sistem primer yang harus diatur dan mekanisme pengaturan (untuk ditentukan) untuk melakukan pengaturan. Untuk sistem sem~cam itu ada tiga konsep mendasar yang diperlukan: keadaan, output dan input. Keadaan suatu sistem secara seder:hana adalah komponen dinamik suatu sistem yang sepenuhnya mengidentifikasi sistem tersebut pada setiap waktu. Output dari suatu sistem adaIah fungsi keadaan, seperti beberapa keadaan itu sendiri atau kombinasi keadaan, yang dapat diukur. Input ke sistem dinamik adalah kuantitas yang dapat mempengaruhi evolusi baik keadaan atau output sistem tersebut. Kuantitas yang dikaitkan dengan input ke sistem mungkin berupa input pengaturan atau input tak tentu. Input pengaturan meliputi input perintah di luar sistem maupun input pengaturan otomatis di dalam sistem. Input perintah diprakarsai oleh operator manusia atau alat ekstemallainnya. Input pengaturan otomatis ditentukan oleh algoritma pengaturjifl otomatis di dalam sistem (biasanya dihitung dengan alat analog atau aIat digital) dan diimplementasikan dengan aktuator yang dianggap sebagai bagian dari sistem tersebut. Input tak tentu ke sistem juga ada dua jenis: yang berkaitan dengan ketaktentuan dinamika sistem (cacat dalam pembuatan, kekuatan yang tak

4


terduga) dan yang berkaitan deoQan ketaktentuan pengukuran output (kebisingan, kesalahan instrumen). Model sistem dinamik umum yang akan kita bahas dalam buku ini terdiri atas suatu sistem persamaan aljabar dan persamaan diferensial tingkat pertama, ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut: i

= f(x,u,v)

y = g(x,u,v,w),

(1.2-1) (1.2-2)

A

di mana (-) = d()ldt. digunakan untuk menentukan perbedaan berkaitan dengan waktu t. Persamaan (1.2-1) dan (1.2-2) disebut persamaan keadaan dan persamaan output, secara berurutan. Secara umum, f(x,u,v) dan g(x,u,v,w) adalah fungsivektor dari argumen mereka x, u, v, dan w. Pada gilirannya, ini adalah variabel vektor yang berubah-ubah menurut waktu. Variabel u, v, w sebagaimanakeadaanawal x(O) harus ditentukan sebelum x(t) d!l.n y(t) dapat ditentukan dari (1.2-1) dan (1.2-2). Baik v maupun w akan selalu dianggap sebagai fungsi waktu. Namun, u dapat berupa fungsi waktu, u(t) sebagai fUl)gsi langsung dari keadaan, u(x) , atau fungsi tidak langsung u(y) dari keadaan ketika diukur oleh output y. Demikian pula, Persamaan (1.2-1) dan (1.2-2) bisa berisi parameter (konstan) yang tidak kita peragakan secara eksplisit. Kita akan mengasumsikan bahwa fungsi f(.) dan g(.) dapat dibedakan pada semua penjelasan mereka. Variabel x menunjukkan keadaan sistem bersangkutan. Keadaan adalah vektor' yang digambarkan dalam sistem koordinat pilihan oleh matriks kolom dengan komponen Nx, (1.2-3)

di mana OTmenunjukkan perubahan urutan. Keadaan x(t) berkembang sebagai fungsi waktu sesuai dengan (1.2-1), dengan evolusi yang tergantung pada fungsi input u(-) dan v(.). Dimensi Nxdari vektor keadaan menentukan urutan sistem dinamik, angka persamaan diferensial tingkat pertama diperlukan untuk mendeskripsikan perilaku dinamik sistem tersebut. Perhatikan bahwa waktu itu sendiri tidak muncul secara eksplisit dalam (1.2-1) atau (1.2-2). Hal ini meya-


5

kinkan kita bahwa untuk input tertentu u(t) dail v(t), hanya ada satu solusi x(t) untuk (1.2-1) melewati keadaan awal x(O). Untuk menangani sistem di mana waktu muncul secara eksplisit, t dapat gabungkan dengan vektor keadaan dengan memasukkan persamaan diferensial, misalnya, ic ~ 1, di mana t = XN' Variabel u menggambarkan vektor input pengaturan dan mempuny~i komponen N u = [u s ' . . UN " V. (1.2-4) Permasalahan pengaturan dasar adalah untuk menentukan hubungan fungsional bagi u [u(t), u( x) atau u(y) yang ditandai dengan u(.), sehingga sistem tersebut berperilaku dengan cara yang sesuaL Nilai vektor pengaturan biasanya

diperlukan untuk memenuhi sekumpulan keqdala pengaturan u E 0M, di mana 0Mmerupakan himpunan tertentu nilai pengaturan yang dapat diterima. Misalnya, dalam kasus pengaturan skalar terbatas u, himpunan kendala tersebut mungkin dalam bentuk 01£={u I Iu I ~ 1}.Kecualiuntuk kendaia u E 0M, pilihan fungsi pengaturan tertentu u(.) sepenuhnya terserah pada kebijaksanaan desainer sistem pengaturan. Variabel vektor v dan w disebut ketidakpastian sistem dan vektor ketidakpastian pengukuran, secara berurutan. Vektor v mempunyai Nv komponen'dan w mempunyai Nw komponen. v

= [VI'

. . vNvV (1.2-6)

Kita akan memerlukan bahwa input tidak tertentu v dan w dibatasL Yaitu, v E ''//dan w Eo/I, di mana ',//dan 'II dibatasi pada rangkaian ruang Nv dan Nw. Batasan ini bisa atau bisa tidak dikenal. Baik v dan w benar-benar independen dari pengaturan input. Variabel y menyajikan output dari sistem tersebut, diberikan oleh (1.2-2), dan mempunyai Ny komponen. Y

=

[YI . . . YNy V.

(1.2-7)

Persamaan output aljabar ini (1.2-2) memasukkan hubungan antara posisi aktual x dari sistem terse but dan observasi atau pengukuran y yang dilakukan. Pada kasus informasi yang lengkap dan sempuma, y = x. Namun seringkali

6


tidak mungkin untuk mengukur semua keadaan ini secara langsung atau sempuma. Persamaan diferensialpada (1.2-1) adalah tampilan matematis dari sistem fisiktanpa referensi ke bentuk tertentu dari input u(-). v(t), dan w(t)dan hanya dengan referensi umum ke bentuk yang tertentu untuk bagaimana sistem tersebut akan diteliti melalui pengukuran. Kita tidak akan berusaha untuk membedakan di sini antara sistem secara fisik dan model matematikanya seperti yang terlihat pada (1.2-1) dan (1.2-2). Untuk tujuan analisis, model matematis adalah sistem!Tentu saja, IOtamengenal perbedaan, dan perluasan perbedaan adalah ukuran bagaimana IOtamembuat model sistemtersebut. Dari sudut pandang ini, menelitikeadaan dinamisdari suatu sistem adalah ekuivalen dengan mempelajari solusi ke (1.2-1) dan (1.2-2). Karena banyak perbedaan sistem secara fisik dapat dideskripsikan dengan persamaan diferensial yang sarna, motivasiyang kuat ada pada pendekatan ini.

CONTOR

1.2-1

Moelel Kereta Api Malnan

Untuk menggambarkan proses mengembangkan model dari bentuk yang didiskusikan di atas, pertimbangkan permasalahan desain pada papan pengatur untuk keretea api mainan. Pengatur adalah untuk mengatur semua aspek dinamika kereta api dengan mengatur gerak yang dihasilkan oleh mesin. Dengan kata lain, ia akan digunakan untuk menghasilkan gerak permulaan yang halus, kecepatan gerak yang tetap, dan perhentian dengan halus. Untuk mendesain pengatur semacam itu, sebuah model untuk sistem harus terlebih dahulu didapatkan. Kereta api mainan sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 1.2-1 terdiri atas sebuah lokomotif (masa ml) dan satu gerbong (masa m2) yang dihubungkan ke lokomotif dengan pegas yang agak lentur (konstan k). Resistansi putaran lokomotif dan gerbong diberikan dengan Jlm19 dan Jlmzg, secara berurutan, di mana Jl adalah koefisien resistansi putaran dan g kecepatan grafitasi. Lokomotif tersebut dapat menghasilkan gerak u pada arah-arah yang dibatasi dengan hubungan (1.2-8)


7

r

Gambar 1.2-1 Membuat model kereta api mainan.

di mana

uadalah gerak positif maksimum (dan negatif) yang dapat digunakan.

Perhatikan bahwa himpunan kendala pengaturan ~didefinisikan dengan (1.28). Misalkanrl dan rz menunjukkan posisi mesin dan mobil, secara berurutan. Kemudian dengan mengaplikasikan hukum kedua Newton ke diagram badan bebas pada lokomotifdan gerbong, kita dapatkan (1.2-9) (1.2-10)

di mana fungsi sinyal (sgn) yangtelah digunakan untuk menentukan sinyal yang tepat untuk resistansi gerak berputar. Fungsi sgn ditentukan oleh

sgn(x) =

+1 0 -I {

if x> 0 jf x

= O.

if x <0

(1.2-11)

Persamaan ini dapat diletakkan dalam bentuk (1.2-1) dengan membuat

X2

= r,

Persamaan ini mengikuti definisi di atas dan (1.2-9) dan (1.2-10) yaitu

(1.2-12)

8


(1.2-13) (1.2-14)

(1.2-15)

Persamaan (1.2-13) - (1.2-15) adalah dari bentuk (1.2-1) dan menyajikan model matematik dari subyek mainan kereta api ini untuk diatur. Untuk mendesain pengatur kereta api tersebut, beberapa output harus diukur. Sensor yang memungkinkan untuk hal ini bisa sebuah akselerometer yang dilekatkan pada lokomotif dan yang lainnya dilekatkan pada gerbong. Akselerometer ini akan mengukur kenaikan mesin dan mobil sehingga output, dalam bentuk (1.2-2), didapatkan dengan (1.2-16)

(1.2-17)

Tentu saja, sensor lainnya dapat digunakan (seperti "tachometer" yang dilekatkan pada beberapa roda) yang akan menghasilkan persamaan output sangat berbeda dari yang diberikan di atas. Mudah untuk melihat dalam model ini bagaimana ketidakpastian dapat masuk pada sistem tersebut. Misalnya, anggaplah bahwa kualitas jalan sangat bervariasi sehingga ia menghasilkan koefisien variabel bagian ~. Kemudian kita dapat mengungkapkan (1.2-14) dan (1.2-15) dalam bentuk beberapa rata-rata ~ dan penyimpangan dari rata-rata yang diberikan dengan ~Il. Dalam hal ini, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(1.2-18)


9

(1.2-19)

di mana

(1.2-20) (1.2-21)

Sis.em Penga.uran Linear Persamaan keadaan (1.2-1) untuk kebanyakan sistem nyata adalah tidak linear. Mereka mungkin berisi hasil variabel keadaan, trigonometri atau fungsi akar pang kat dua, atau jenis istilah non-linear lain (seperti fungsi sgn dalam contoh di atas). Akibatnya, kita tidak dapat memperoleh solusi matematik bentuk tertutup bagi banyak model persamaan diferensial. Untuk kondisi awal tertentu dan fungsi input tertentu, kita memerlukan penggunaan algoritma numerik untuk membangkitkan gerakan bersamaan x(t). Untunglah tersedia perangkat lunak yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan umum dalam bentuk H .2-1). Akan tetapi, walaupun ada fakta ini, kita akan berfokus pada sistem linear, di mana kitadapat memperoleh solusi bentuk tertutup. Mendapatkan solusi bentuk tertutup yang tersedia akan memberi kita keuntungan yang jelas dalam analisis dan desain pengatur untuk sistem semacam itu. Dalam buku jni kita akan mempelajari sistem linear koefisien konstan. Sistem ini merupakan subkelas penting dari (1.2-1) dan (1.2-2) yang telah diuraikan dalam bentuk matrik konstan sebagai berikut: x = Ax + Bu + Rv y

= Cx

+ Du + Ev + Sw.

(1.2-22) (1.2-23)

di mana A adalah matriks kuadrat Nx x Nx, B adalah Nx x Nu, R adalah Nx x Nv, C adalah Ny x Nx, D adalah Ny x Nu, E adalah Ny x Nv , dan S adalah Ny x Nw. Meskipun himpunan kendala OM untuk pengaturan u selalu ada (dan

10

Pengantar

Sistem Pengaturan

biasanya diketahui), ia tidak dapat dimasukkan dalam analisis linear. Hal ini dikarenakan "kejenuhan" (disebabkan 0100 pengaturan untuk mencapai batas himpunan semacam itu) adalah fenomena nonlinear. .Pengabaian himpunan kendala cJ{titu logis sepanjang tindakan pengaturan tidak melanggar kendala

pengaturan. Namun demikian,kehadirannyata daTi cJ{tharus tetap diinga\ untuk implementasi dan interpretasi yang tepat daTianalisis linear yang diaplikasikan ke sistem nyata. Penjelasan yang sarna juga untuk kendala-kendala pada vektur yang tak tentu, v dan w. Namun, untuk sebagian besar, kita akan berfokus pada kasus "deterministik" (yang sudah ditentukan), di mana v(t) = w(t) == O.

CONTOH 1.2-2

Sistem Skalar Tingkat Pertama

Berbagai dinamika sistem secara luas dapat ditampilkan oleh persamaan diferensial linear tingkat :pertama tunggal. Misalnya, pertimbangkan keempat sistem yang digambarkan pada Gambar 1.2-2. Persamaan diferensial tingkat pertama:

x = bu

(1.2-24)

mendeskTipsikan keadaan masing-masing sistem, di mana keadaan x, 1nput pengaturan u, dan konstan b untuk setiap sistem adalah skalar yang dimaksud dalam Tabel1.2-1. Kita teliti bahwa kondisi dinamik daTikempat sistem yang berbeda dinyatakan dengan persamaan differensial tingkat pertama yang sarna, tergantung pada nilai parameter b. Memang, lebih banyak sistem dapat dinyatakan dengan

Tabel1.2-1

Empat Sistem dari bentuk x = bu pada Gambar 1.2-2

Sistem Dinamik InduktansiEIektrik KapasitansiEIektrik Pengatur api mekanik

Tanki hidrolik

Keadaan x

Input u

Konstan b

I E y h

E I F q

1/L 1/C 1/1-1 1/A

Sistem Pengaturan Otomatis L

(a)

£

c

(b)

£

(c)

I~

q,

(d)

T h 1 Gambar 1.2-2 Contoh sistem dinamik skalar tingkat pertama.

11

12


"\

persamaan diferensial yang sama ini. Secara umum, pemecahan persamaan diferensial yang ada menghasilkan solusi sejumlah besar sistem dinamik secara fisik. Penelitian perilaku dinamik (mungkin yang diidealkan) dari suatu komponen atau kumpulan komponen yang berinteraksi sama dengan pemeriksaar solusi ke persamaan yang berbeda. Perhatikan bahwa untuk sistem yang ditampilkan dengan persamaan (1.224), input u(.) tidak ditentukan. Solusi ke persamaan diferensial dapat diperoleh hanya setelah menentukan inputnya uOdan kondisi awal untuk tingkat x. Tentu saja, (1.2-24) hanyalah kasus khusus dari persamaan skalar urutan pertama yang lebih umum.

x = ax

+ bu,

(1.2-25)

yang meliputi sistem kelas yang lebih, besar. Misalnya, lihat Latihan 1.5-1 sampai 1.5-3.

Linearisasi Sistem Nonlinear Sistem yang menjadi perhatian kita seringkali tidak linear. Namun desain sistem semacam itu, dalam rentang operasi yang terbatas, masih dimungkinkan dengan menggunakan metode linear. Kita dengan mudah dapat menunjukkan bahwa setiap sistem nonlinear akan bertindak secara linear jika secara memadai dekat dengan kondisi acuan operasi. Pertimbangkan sistem

x = r(x,V,V) dengan output Y = g(X,V,V,W),

dan misalkan X(t) menunjukkan suatu solusi yang diturunkan dengan input tertentu U(t), V(t), dan W(t). Output yang sesuai diberikan dengan Y(t)

= g[X(t),U(t),V(t),W(t)).


13

Kita akan membiarkan kekacauan x(t), u(t), v(t), w(t) dan y(t) menunjukkan perubahan keeil dari kondisi acuan X(t), U(t), V(t), W(t), dan Y(t), seeara berurutan. Solusi yang sesuai dibangkitkan dengan U(t)

= V(t)

Vet)

= vet) + vet)

(1.2-27)

= wet)

(1.2-28)

+ u(t)

(1.2-26)

dan Wet)

+ wet)

adalah dari bentuk X(t) = X(t)",+x(t),

(1.2-29)

dengan output

= yet)

yet)

+ yet).

(1.2-30)

Jika ukuran kekacauan kedl semuanya, maka teorema Taylor menyiratkan bahwa x(t) dirata-rata dengan solusi pada persamaankekacauan keadaan

. x =

dan y(t) adalah perkiraan

y

ar ax

ar + au

[] [] [] x

solusi persamaan

= [:~]

ar + av

x+

u

kekacauan

v

(1.2-31)

output

[:~] u + [:~] v + [:~] w,

(1.2-32)

di mana matriks c;lerivatifparsial pada persamaan (1.2-32) dan (1.2-32) dievaluasi sepanjang kondisi acuan. Jika kondisi aeuan semuanya konstan, sebagaimana biasanya, sehingga matriks-matriks ini konstan, maka (1.2-31) dan (1.2-32) adalah bentuk dari (1.2-22) dan (1.2-23). Persamaan ini secara akurat mendeskripsikan gerak sistem nonlinear pada kondisi aeuan sekitamya. Asalkan sistem tersebut tetap pada posisi ini, semua analisis kontrol linear yang ditampilkan pada buku ini tetap valid. Pada persamaan (1.2-31) dan (1.2-32) kita telah menggunakan notasl pendek untuk matriks derivatif parsial. Untuk mengilustrasikan notasi ini seeara

14

Pengantar

Sistem Pengaturan

lengkap, misalkan x dan ox menjadi vektor Nx (yakni, Nx x 1 matrik kolom), ",(x) menjadi fungsi nilai skalar, dan z(x) menjadi fungsi vektor Nz. Dengan konvensi kita memperlakukan operasi gradien ao/ax ketika menghasilkan matrik baris pada saat diaplikasikanke skalar 01/1~ ax

a.jJ

. .,

01/1

[ ax,

aXNx]

.

(1.2-33)

sehingga kita dapat menulis secara rapat pengungkapan "hasil kali titik" seperti

]

01/1

[ ax

ox = 01/1ox, ax I

+ ... +

01/1 O:cN.

aXNx

x

Derivasi parsial suatu vektor (kolom) dalam hubungannya dengan vektor lain didapatkan dengan mengaplikasikan operator ke masing-masing elemen vektor kolom az, ax ax az

az, ax,

az, . . . aX2

az, ax.'1.

=

I

I

(1.2-34)

azN., azN: .. . a-....'\1:.

azN: ax

ax,

aX2

ax...,

Untuk mendapatkan derivasi parsial dari matriks baris, pertama buatlah transpose baris tersebut untuk membuat matriks kolom. Misalnya, derivasi parsial dari (1.2-33) diberikan dengan

021/1 axi

axa2

ax {[ 01/1] ax T} =

a21/1

... -

iJx2ax,

iil/1

axN.aX,

I I

a21/1

iPI/1

ax, ax N.. ax 2iJx......

...

iJ2t/J iJXN. 2

(1.2-35)


CONTOH 1.2-3

15

Pengaturan Peluncur Mobil

Alat yang dikenal untuk kebanyakan para "motoris" adalah pengatur peluncur otomatis. Setelah pengemudi menyetel kecepatan yang diinginkan, mobil tersebut dapat mempertahankan kecepatan tersebut meskipun ada perubahan posisi arah angin dan bentuk jalan raya yang dilaluinya (tentu saja, asalkan, perubahan ini tidak terlalu besar.) Gambar 1.2-3 mengilustrasikan kekuatan yang berlaku pada mobil ketika ia meluncur pada kecepatan X sepanjang jalan raya dengan kemiringan (slop) V yang tidak diketahui. Kekuatan yang berlawanan dengan gerak merupakan komponen berat mobil (mg sin \I), pergeseran putaran (Jlmg cos \I), dan resistansi angin (kX2). Mesin tersebut memberikan kekuatan pada ban, yang menghasilkan daya dorong U. Persamaan gerakan dengan demikian diberikan dengan . , mX = -mg sin V - p.mg cos V - kX~ + u. (1.2-36) Perhatikan bahwa kemiringan negatif akan memberikan kekuatan akselerasi positif dikarenakan bobot dan bahwa mesin itu sendiri dapat memberikan nilai positif maupun negatif untuk U. Dengan kata lain, jika kita mengasumsikan bahwa mobil tersebut berada pada gigi tinggi, tekanan mesin dapat memberikan daya dorong negatif tanpa menggunakan rem. Ketika katup digerakkan dari po~isi minimum ke posisi maksimum, maka daya dorongnya bervariasi dari nilai negatif minimum ke nilai positif maksimum.

Gambar 1.2-3 Sebuah mobil yang berjalan pada kecepatan X sepanjang jalan raya dengan kemiringan V.

16


Marilahkita mengasumsikan bahwa kita akan mendesain pengatur peluncur yang akan mempertahankan kecepatan mobil pada nilai tetap X = 50 mph (mobildiasumsikantetap dalam posisi gigitinggi).Karena kita tertarik gerakannya hanya pada rata-rata X, maka kita akan melinearkan (1.2-36) sekitar nilai nominal ini. Asumsikan bahwa ketika pengatur peluncur ini dipasang, kemiringan jalan raya adalah V. Kita dapatkan nilai yang sesuai untuk U dari (1.2-36) dengan meletakkan X = 0

U = mg

sin V + ILmg cos

V + kX2.

(1.2-37)

Unearisasi (1.2-36) dengan menggunakan (1.2-31), menghasilkan j-

= -

-

-

(g cos V)v + (ILg sin V)v

-

')kX

(m ) ~

x +

U "7""

m

(1.2-38)

atau ekuivalen x = Ax + BII + Rv.

(1.2-39)

di mana A = -2kXlm, B = 11m, dan R = Jlgsin V - 9 cos V. Hal ini tepat dari bentuk (1.2-22). Perhatikan bahwa untuk pennasalahan ini, semua variabel adalah skalar. Satu-satunya input tak tentu yang dipertimbangkan di sini adalah kemiringan jalan. Karena perubahan kecepatan dari kondisi acuan dapat dengan mudah diukur, maka akan digunakan untuk output, yakni y = x.

'.3 BEBERAPA MODEL

(1.2-40)

APLIKASI

Untuk mendesain sebuah pengatur untuk sistem tertentu, suatu model untuk sistem tersebut terlebih dahulu harus dikembangkan. Pad a bagian ini kita akan mengembangkan model untuk sejumlah sistem dinamik yang memerlukan pengaturan otomatis untuk operasi, keakuratan, atau kemudahan penggunaan.


17

Sistem Suspensi Magnetik Suatu model sederhana untuk rotor yang digantungkan secara magnetik didapatkan dengan mengasumsikan gerakan satu dimensi sepanjang arah poros yang tidak stabil sebagaimana digambarkan pada Gambar 1.3-1. Lebih lanjut diasumsikan bahwa medan gaya pangkat dua terbalik (inverse square force field) ada di antara jarak tersebut. Jadi, sebuah rotor dengan panjang 21, yang pusat massanya diletakkaifdengan jarak z dari garis tengah antara kedua kutub, akan berlaku sebagai gaya penarik yang diberikan dengan (1.3-1) ke kutub atas dan gaya penarik diberikan dengan k F2

= (k 2

, + I Z2)-

(1.3-2)

ke kutub bawah, di mana Zl adalah jarak antara atas rotor dan kutub atas, Z2 adalah jarak antara bawah rotor dan kutub bawah, dan k1 dan k2 adalah konstan dikaitkan dengan sistem magnetik. Misalkan 2d adalah jarak antara kedua kutub; maka

z, = d - e - z

(1.3-3)

e + z.

(1.3-4)

dan Z2 = d

Jika kita misalkan k3

= k2

-

+ d - .q:;gaya bersih pada kutub atas adalah fungsi

nonlinear yang diberikan oleh (1.3-5)

Untuk Z kedl, dari perluasan deret Taylor kira-kira z = 0, gaya bersihnya kira-kira (1.3-6)

18


t

Rotor

)~&-

I--- - -

Centerofmass

l

--

~

- -Centerline

d

D

P."

Gambar 1.3-1 Sistem Suspensi Magnetik.

Sistem Pengaturan Otomatis-

19

di mana k = 4k1lk~ menyajikan "kekakuan" rotor yang tidak stabil tersebut, Sebagai tambahan pada gaya magnetik ini, diasumsikan bahwa gaya tambahan u dapat diciptakan dengan mengaplikasikan arus ke kumparan pengatur. Oleh karenanya, akselerasi paras rotor ditentukan dari i. - 13.z = 132U.

(1.3-7)

di mana 13. =-

k m I

132

= -m

(1.3-8) (1.3-9)

dan m adalah massa rotor. Untuk sistem ini anggaplah bahwa pemindahan z dapat diukur. Dengan l1)emisalkan y = z, Xl = z, dan X2 = Z, kita dapatkan sistem persamaan ~kuivalen (1.3-10) (1.3-11) Y = XI.

(1.3-12)

yang merupakan bentuk dari (1.2-22) dan (1.2-23). Perhatikan bahwa dua persamaan tingkat pertama (1.3-10) dan (1.3-11) adalah ekuivalen pada persamaan tingkat kedua tunggal (1.3-7), dengan output y yang diidentifikasi dengan menggunakan (1.3-12)

Pemandu Rudal "Line-o'-Sight" Perhatikan rudal yang dipandu pencari garis-tembak dengan kecepatan konstan, pada Gambar 1.3-2. Rudal ini harus dipandu sehingga ia mengikuti garis tembak atau line of sight (LOS) dari titik awal ke sasarannya. Semua gerak ini

20


l.OS Gambar 1.3-2

Rudalline-of-sight.

berada pada bidang horisontal sehingga efek gravitasi tidak perlu dibuatkan modelnya. Gambar 1.3-2 adalah gambar rudal yang dilihat dari atas ketika rudal bergerak pada bidang horisontal. Tingkat di mana rudal ini menyimpang dari LOS untuk sudut kedl diberikan oleh

z=

VY.

(1.3-13)


21

di mana V adalah kecepatan rudal dan y arah dari vektor kecepatan yang dibuat oleh vektor dengan LOS. Waktu rata-rata perubahan jalur terbang sudut y memenuhi (1.3-14)

asalkan sudut serang a tetap kedl sehingga koefisien daya angkat lateral CL

dapat diperkirakan dengan relasi linear CL::::::CL.Parameter lain pada (1.3-14) adalah kerapatan udara p, wilayah permukaan yang diangkat 5, massa rudal m, dan perubahan pada koefisien daya angkat dikarenakan a, CLa..Demikian pula, waktu rata-rata perubahan momentum sudut diberikan oleh (1.3-15) di mana I adalah saat kelembaman rudal di sekitar pusat massa, d adalah karakteristik jarak (seperti rata-rata panjang tali pada sirip, atau panjang rudal), o adalah defleksi tab pengaturan, CM8adalah perubahan koefisien kelembaman terhadap a, dengan CM:::::: CMa.a+ CM80.Parameter lainnya telah didefinisikan sebelumnya. Jika kita menggunakan fakta bahwa e = a + y, Persamaan (1.3-14) dan (1.3-15) dapat dikombinasikan untuk menghasilkan (1.3-16) di mana

(1.3-17)

f3~= P

s VCI."

2m

( 1.3-18)

( 1.3-19)

Sistem total, yang dideskripsikan oleh dua persamaan tingkat pertama (1.3-13) dan (1.3-14) dan persamaan tingkat kedua (1.3-16) adalah sistem dinamik tingkat keempat. Misalkan bahwa z adalah satu-satunya ukuran (output). Ke-

22


mudian dengan memisalkan Xl = a, X2 = a, X3 = y, X4= z, u = <>,dan y = z, kita dapatkan sistem ekuivalen dari persamaan tingkat pertama

(1.3-20) (1.3-21) (1.3-22) (1.3-23) (1.3-24)

Perhatikan bahwa asumsi keeepatan konstan, asumsi sudut keeil, dan asumsi lain yang dilekatkan dengan penggunaan CL , dan seterusnya, memungkinkan kita mengembangkan model linear untuk sistem ini seeara langsung. Jika salah satu asumsi ini tidak valid, maka model-linear tidak lagi valid. Misalnya, jika keeepatannya tidak konstan, urutan sistem ini akan ditingkatkan dengan tambahan persamaan diferensial untuk perubahan keeepatan dan sistem seeara total menjadi nonlinear pada V (lihat Latihan 1.5-12). Perhatikan bahwa (1.3-20) dan (1.3-21) tidak berisi X3atau X4, dan bahwa evolusi dari X3dan X4sepenuhnya ditangani oleh Xl(t) = a(t). Jadi, jika a dapat diukur, kita hanya memerlukan (1.3-20) dan (1.3-21) dengan (1.3-22) - (1.324) diganti dengan Y = XI'

(1.3-25)

untuk mendesain pengatur untuk sistem tersebut. Dengan kata lain, (1.3-22) dan (1.3-23) dapat digunakan setelah fakta untuk menghitung sudut jalur terbang dan deviasi dari LOS. Ini merupakan eontoh kasus di mana memungkinkan untuk mengurangi urutan model sistem, asalkan output baru daTipada z menyajikan variabel dinamik yang menjadi perhatian kita. Sebaliknya seperti pada kasus tujuan yang dinyatakan pada awalnya dati z(t) ~ 01, kita harus berurusan dengan sistem tingkat keempat.


23

Cierakan Longitudinal pada 'esawat terbang Perhatikan pesawat terbang yang digambarkan pada Gambar 1.3-3. Gerakan akan ditentukan dengan mempertimbangkan serangkaian koordinat "fixedbody" x, y, z. Sudut antara horizon dan vektor kecepatan disebut sudut jalur terbang, dan sudut A antara sumbu x dan vektor kecepatan disebut sudut serang. Sudut e antara sumbu x dan garis mendatar disebut sudut ketinggian. Untuk dapat menggunakan hukum Newton guna memformulasikan persamaan gerak, kita memerlukan ekspresi untuk vektor kecepatan dan akeselerasi dari pesawat terbang tersebut berkaitan dengan sistem koordinat nonrotasi. Hal ini dapat ditemukan dengan menggunakan teorema Chasle, yang menyatakan bahwa gerakan umum dari badan yang kaku adalah jumlah vektor translasi mumi dan rotasi mumi. Akibat wajar dari teorema Chasle adalah bahwa untuk setiap vektor a(t), rata-rata waktu perubahan pada sistem koordinat nonrotasi dikaitkan dengan tingkat perubahan dilihat dari pengamat yang berotasi dengan rumus .{

Ho"zon

Gambar

1.3-3

Gerak longitudinal pesawat terbang.

24


da

= da

£It

£It

+ I

n

x a,

(1.3-26)

rot

di mana x menunjukkanvektor "hasilkalisilang"dan 0 adalah kecepatan sudut dari rotasi sistem koordinat. Untuk permasalahan ini kecepatan sudut rotasi sistem koordinat diberikan dengan dengan ej, di mana j adalah unit vektor yang diarahkan keluar dan tegak lurus dengan sumbu x dan z. Jika kita misalkan U menjadi komponen kecepatan yang diarahkan sepanjang sumbu x dan W menjadi komponen kecepatan yang diarahkan sepanjang sumbu z, maka vektor kecepatan total diberikan dengan

v = Vi +

Wk,

di mana i dan k adalah vektor unit pada arah sumbu positif x dan z. Dengan mengaplikasikan akibat wajar tersebut kita dapatkan

dV = !!..(Vi + Wk) £It

£It

I

rot

+ 0j x (Vi + Wk)

atau dV £It

= (V.

+

A \':I

"

W)i + (W

-

0 V)k

'

di mana "titik" sekarang menandakan derivasi waktu pada rotasi sistem koordinat. Sebagai tambahan pada gaya gravitasi sebagaimana terlihat pada Gambar 1.3-3, gaya aerodinamik dan gaya dorong juga berlaku pada pesawat terbang. Misalkan X menunjukkan komponen x dan Z menunjukkan komponen z dari semua gaya tambahan ini. Dari hukum kedua Newton kita dapatkan m(U + 0W)

m( W-

0 V)

= X - mgsin0 = Z + mgcos 0.

Sebagai tambahan, gerakan rotasi ditentukan dari

Ie = M, di mana I adalah saat kelembaman pesawat terbang di sekitar awal koordinat "body-fixed" dan M jumlah semua kelembaman pada titik yang sarna. Jika kita definisikan


e = Q,

25

(1.3-27)

maka persamaan tersebut di atas dapat difulissebagai mil = X mW IQ

=Z

-

-

mQW

(1.3-28)

+ mgcosE> + mQU

(1.3-29)

mgsinE>

= M.

(1.3-30)

Persamaan (1.3-27) - (1:3-30) menentukan gerakan longitUdtnaldari pesawat terbang dalam bentuk empat variabel keadaan e, U, W dan Q. Variabel keadaan Q disebut tingkat lemparan (pitch rate). Secara umum, daya pengaturan dapat masuk melaluiX, Z dan M. Kita akan menyederhanakan sistem tersebut di sini dengan mengasumsikanbahwa pengaturan akan masuk melalui term M saja. Secara khusus, kita akan mengasumsikan bahwa daya dan momen dapat dinyatakan secara fungsionalsebagai

x = X(U,W) Z = Z(U,W) M = M(U,W,Q,N), di mana N, input pengaturan, berkorespondensi dengan defleksi pengangkat pada stabilisatorhorizontal. Secara umum, X, Z dan M lebihmerupakan fungsi kompleks dari daya dorong, daya angkat, pengerem dan momen yang berlaku pada pesawat terbang. Daya angkat, pengerem dan momen semuanya akan tergantung pada sudut serang A. Karena W sinA.=

V' U-

+ w"-

(1.3-31)

kita lihat bahwa ketergantungan semacam itu telah dimasukkan. Namun, kita telah mengabaikan ketergantungan kuantitas lain seperti tingkat perubahan A dan e yang pada beberapa pesawat terbang mungkin penting. Misalkan bahwa tujuan kita adalah untuk mendesain pengatur yang akan mempertahankan pesawat terbang di sekitar kondisi nominal yang berkaitan

26


dengan penerbangan tingkat tetap. Dengan katalain, berkorespondensi dengan iJ

= W= Q =

e=r

kondisi nominal yang

= o.

Dengan mensubstitusikanpersyaratan ini menjadi (1.3-27) - (1.3-30) menghasilkan Q=0 X(U.W) - mg sin E>= 0 Z(U.W) + mgcosE> ::: 0 M(U. W.Q.N) = O. Hasil tersebut mengikuti dari Gambar 1.3-3 ketika r = 0 e :::A, dari (1.3-31) merupakan fungsi dari U dan W. Jadi, persamaan di atas, melibatkan hanya empat Q, U, W, dan N yang tak diketahui, bisa diselesaikan untuk mendapatkan nilai nominal untuk \/, W, dan N bersama dengan Q = O. Jika koordinat "body-fixed" dipilih sehingga nilai nominal untuk W::: 0 [di mana dari (1.3-31) menyiratkan A = Q = 0], maka koordinat ini disebut sumbu stabilitas. Kita ambil pilihan ini tidak hanya karena pilihan ini lazim, namun juga karena pilihan ini akan menyederhanakan analisis berikutnya. Hubungan antara nilai aktual, nominal, dan nilai kekacauan [lihat (1.2-26) - 1.3-30) diberikan dengan

U=U+u W = W +

II'

Q=Q+q E>=0+e N

=N

+

1]. .

di mana huruf-huruf kedl digunakan untuk menandakan kekacauan. Dengan mengaplikasikan persamaan kekacauan keadaan (1.2-31) pada sistem tersebut (1.3-27) - (1.3-30) yang dievaluasi pada kondisi acuan menghasilkan

8=q

( 1.3-32)


27

= X"II + X...II'- mgO

( 1.3-33)

mlv = Z"II + Z...II'+ mUq

(1.3-34)

nlli

(1.3-35)

di mana Xu menandakan derivatif parsial dari X dalam kaitan dengan U yang dievaluasi pada kondisi aeuan. Notasi yang sarna digunakan untuk menentukan Xw, dan seterusnya. Sistem tersebut sekarang merupakan sistem linear. Namun, masih saja belum sungguh-sungguh dalam bentuk yang didukung oleh stabilitas pesawat terbang dan mesin pengatu;. Maka dari (1.3-31) untukA dan W keeil

A=\V U'

Karena

-

W + -U

1\'

_ A+

-

1\'

=. U

ia mengikuti a =-

1\'

IX

Dengan menggantikan w dengan U pada (1.3-33) - (1.3-35) bersama dengan beberapa rangkaian, kita dapatkan

.

II

X"

= -m

II

+

-UX... a m

gO

(1.3-36)

. ZIt Z.. a=-=u+-a+q mU m

(1.3-37)

iJ=q

(1.3-38)

. M" q = -u /

u/\1... Mq M" + -a + -q +-T/ /

/

J'

(1.3-39)

28

Pengantar Sistem Peng~turan

yang bentuknya i

di mana

= Ax

+ B1},

x = [u,a,8,q)T, Xu

rn Z" A =

IUrn 0 M" I

-UX... -g

0

rn

Z... rn

0

0

0

UM... I

0

(1.3-40)

Mti

I

dan

B = [0.0,0,

]T

(1.3-41)

Elemen-elemen matrik A dikenal sebagain derivatif stabilitas. Nilai untuk pesawat terbang tertentu ditentukan dari hasil uji penerbangan yang diestimosikan dari data gerak angin. Kecepatan Rotasi Motor DC

Elemen dasar dari motor DC yang diatur dengan armatur diilustrasikanpada Gambar 1.3-4. Suatu voltaseE diaplikasikanke input yang menghasilkan arus IAmelaluiarmatur tersebut yaitu resistan RAdan induktan LA.Arus ini menghasilkanmomen puntir yang sebanding dengan hasilfluksmagnetik e dari medan tersebut dan arus armatur lA' yakni

di mana k 1 adalah konstan motor. Fluks magnetik E>mungkin dapat diproduksi baik oleh arus medan konstan IF melalui kumparan sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 1.3-4, dengan e proporsional dengan IF, atau mungkin dihasilkan dengan menggunakan magnet permanen. Pada kasus lain, E>adalah konstan untuk motor de yang


29

E

Armature

Gambar 1.3-4

Field

Motor de yang diatur dengan arrnatur.

dikontrol annatur. Jadi, momen puntir sebanding dengan arus annatur yang diberikan oleh (1.3-42)

di mana k = kIE>.Voltase EBadalah emf belakang yang disebabkan oleh rotasi lilitan annatur pada bidang megnetik. "emf" belakang sebanding dengan kecepatan rotasi annatur e dan kekuatan medan e, yaitu B= k2ee, di mana k2 ai;lalahkonstan motor lainnya. Karena kekuatan medan konstan, kita dapat menggantikan hasil konstan tersebut dengan kB = k2e untuk mendapatkan (1.3-43) Pengaplikasian hukum voltase Kirchoff di sekitar ikatan annatur menghasilkan ll.3-44) di mana RA dan LA adalah resistan dan induktan annatur, secara berurutan. Dengan menggunakan (1.3-42) untuk menghilangkan IA pada (1.3-44), kita dapatkan

E=

RA . -k.. r + -LA. r + ks(). k,.

(1.3-45)

30


Sekarang pertimbangkan rotor dan batang (shaft) motor tersebut. Akselerasi (percepatan) sudut pada rotor dan batang akan sebanding dengan momen puntir r yang diberikan oleh motor ditambah setiap tenaga putaran ekstemal rex (seperti reaksi tenaga putaran dari alat ekstemal yang dilekatkan dengan katrol dan pengikat) sebagaimana diberikan oleh (1.3-46) di mana J adalah momen kelembamam rotor dan batang ditambah semua alat pelengkap. Jadi,

Pensubstitusian ke (1.3-45) dan pemakaian 8(3)untuk menunjukkan derivasi waktu ketiga dari 8 menghasilkan

E

= R.4 (Jij K,"

rex)

+ L.4[JOm- txl + KsiJ. Kr

Jika kita menandakan tingkat rotasi dengan e, maka kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai sistem tingkat kedua

(1.3-47) ~.

Untuk motor dengan induktan kedl, LA ~ 0, maka persamaan ini seringkali dirata-rata dengan (1.3-48)

Dengan menetapkan w = x, E = u, rex = v, -kBkr/(RAJ) = A, kr/(RAJ)= B, dan 11J = R, kita observasi bahwa (1.3-48) adalah bentuk skalar dari (1.2-22). Akhimya kita akan menunjukkan bahwa kr dan kB adalah konstan yang sarna, yang dinyatakan pada unit yang berbeda. Pada keadaan tetap, dengan rex = 0, kita lihat dari (1.3-48) bahwa


E

31

= kBw = EB-

Dengan kata lain, tanpa momen puntir ekstemal, voltase yang disuplai ke motor sarna dengan emf belakang. Pada situasi keadaan tetap ini, input tenaga ke motor diberikan dengan

dan output power motor diberikan dengan Power out = fw = krwIATanpa [ex, input tenaga keadaan tetap sarna dengan output tenaga, dan kita menyimpulkan bahwa

Misalnya, jika k.. diungkapkan dalam bentuk ft-lb/amp dan kB dinyatakan dalam bentuk V-see/rad, maka faktor konversinya diberikan dengan V-see -x-=rad

2655

ft-Ib

3600

amp'

di mana 1 kW-hr = 2.655 x 106 ftlb. Pendulum Terbalik

Perhatikan suatu versi masalah pengimbangan tongkat yang disebutkan di muka. Gambar 1.3-5 menggambarkan bentuk batang silindris yang diletakkan pada pangkal dan beroperasi di bawah pengaruh gravitasi dan momen puntir r yang diaplikasikan pada pangkal. Momen kelembaman batang silindris di sekitar pusat rotasi diberikan dengan 4ml/3, di mana I adalah setengah panjang dan Jm menjadi momen kelembaman batang rotor sehingga

32


Gambar 1.3-5

J

PendulumTerbalik.

= J m+- 4m(2 3

merupakan momen kelembaman rotasi total dari sistem tersebut. Dengan menyamakan tingkat perubahan momentum bersudut di sekitar pangkal ke momen puntir yang diaplikasikanmenghasilkan Jjj

=r

+ mg( sin fJ,

(1.3-49)

di mana e adalah sudut pemindahan dari vertikal. Jika kita menganggap momen puntir r sebagai input pengaturan, kita dapat berhenti di sini, dan (1.3-49) akan menghasilkansistem tingkat kedua. Analisis pengaturan akan menentukan fungsir(.) untuk mengatur sistem. Hal ini akan membuat kita tidak saja menggunakan model tingkat rendah namun juga memfokuskan pada kuantitas r yang secara langsung mengatur sistem tersebut. Namun, beberapa aktuator akan diperlukan untuk menghasilkan momen puntir pengaturan. Secara umum, aktuator juga merupakan subsistemdinamik, sehingga masalahnya yang aktual adalah menentukan input aktuator untuk menghasilkan momen puntir yang dikehendaki. Misalkan bahwa untuk balok


33

terbalik, momen puntimya dibangkitkan dengan motor de yang diatur oleh armatur, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 1.3-4. Penggabungan (1.3-49) dan (1.3-45) menghasilkan model berikut ini'untuk kombinasi motorbalok: L

RA."

k.-

k..

21001 + -10

+

LA.

(

kB - -mgecosO

kr

.

RA.

)0 - -mgesinO k.-

= E. (1.3-50)

Persamaan diferensial nonlinear (1.3-50) mendeskripsikan gerakan umum dari sistem motor-balok untuk kasus di mana momen puntir aktuator dibangkitkan dengan motor de yang diatur oleh armatur. Persamaan nonlinear ini dapat digunakan, misalnya, untuk memeriksa masalah pengaturan pengembalian batang terse but ke posisi vertikal ke atas e = 0, dimulai dari beberapa posisi arbriter, seperti e = 1t,atau dari beberapa posisi yang memungkinkan lebih dari satu putaran dari e = O. Namun, andaikan saja masalah pengaturan hanyalah untuk mengembalikan batang tersebut ke posisi e = 0 asalkan pada pada sekitar posisi yang diinginkan. Jika kita membuat asumsi sudut keeil sin e:::::e dan eos e:::::1, maka (1.3-50) setelah mengkalikan melalui 133sebagaimana ditentukan di bawah ini menghasilkan persamaan diferensiallinear (1.3-51) di mana 13.

=

mgt 1

(1.3-52)

(1.3-53 )

( 1.3-54)

34


(1.3-56)

Andaikan bahwa pemindahan sudut e adalah satu-sarunya kuantitas yang diukur (y = e). Dengan memisalkanXl = e, X2 = a, X3 = e, dan u = E, kitalihat bahwa (1.3-51) ekuivalendengan persamaan sistem

(1.3-57) (1.3-58) (1.3-59) Y = XI.

(1.3-60)

Sistem linear tingkat ketiga ini dapat dibuat dalam bentuk (1.2-22) dan (1.2-23) dengan membagi (1.3-59) dengan EI = LAlRA, asalkan EI * O. Namun misalkan bahwa induktansi armatur LA sangat kedl, yang seringkali ,benar. Maka setelah kita membagi dengan EI, sisi sebelah kanan dari persamaan baru biasanya akan sangat besar dibandingkan dengan (1.3-57) dan (1.3-58), yang berarti bahwa X3 berubah dengan sangat eepat. Hal ini bukan merupakan persoalan pokok, karena kita akan dapat mengembangkan solusi bentuk tertutup untuk sistem linear ini. Namun demikian, jika kita harus menggunakan teknik integrasi numerik, kita harus mengambil langkah-langkah keeil untuk mengakuratkan integrasi (1.3-59) atau menggunakan beberapa teknik khusus yang ditentukan untuk menangani sistem kaku, yakni sistem persamaan diferensial yang mempunyai dua atau lebih skala waktu (misalnya, eepat dan lambat) sekarang. Di pihak lain, perubahan eepat (pada prakteknya sangat mendadak) pada x3 berarti bahwa x3 harus seeara esensial memenuhi persamaan aljabar (El = 0), dan bukan persamaan diferensial (El * 0). Memang, jika LA benar-benar nol, maka demikian pula El dan EZdan kita d<;ipatmemeeahkan (1.3-59) untuk X3, dengan menghasilkan sistem tingkat kedua (1.3-61)


35

(1.3-62) Y = XI.

(1.3-63)

Untuk induktansi keeil, maka kita dapat mengurangi urutan model sistem tersebut dan masih tetap memperoleh penyajian yang lurnayan dari sistem yang nyata. Satelit Geosinkronis Perhatikan masalah mendesain pengatur daya dorong ke atas otomatis untuk satelit, dengan tugas pengaturan untuk mempertahankan satelit pada orbit sirkuler geosinkronis, langsung di atas titik tertentu pada ekuator burni. Kita akan berusaha keras di sini untuk mendapatkan model sistem dinamik sesederhana mungkin yang dapat menangkap ciri-ciri penting dari masalah tersebut. Gambar 1.3-6 menunjukkan sistem koordinat rotasi ortogonal dengan vektor unit er. ea. ez di mana ez menunjuk ke luar kertas dan berimpitan dengan sumbu bumi sampai Kutub Utara. Sistem koordinat berpusat pada burni dan berotasi sehingga er selalu menunjuk pada satelit. Bersama vektor unit er dan ~ menentukan bidang orbit satelit, yang berisikan ekuator Bumi. Burni berotasi b~rlawanan arah jarum jam di sekitar sumbu ez dengan keeepatan bersudut w dan sate lit bergerak berlawanan arah jarum jam pada orbitnya, namun dapat mengubah orbitnya dengan daya dorong. Kita misalkan r adalah jarak dari pusat bumi ke satelit dan kita misalkan

e adalah

sudut ke satelit dari arah garis

dasar tertentu, terutama, arah dari pusat Bumi melalui posisi sasaran pada ekuator pada saat t = O. Kita akan mengasumsikan bahwa massa satelit adalah konstan di bawah pengaruh daya gravitasi bumi saja. Bumi diasurnsikan merupakan bulatan homogen yang berotasi pada keeepatan sudut konstan, dengan pusat Bumi yang diasumsikan pada titik tetap di angkasa. Masalah pengaturan dalam kasus ini adalah mempertahankan satelit tersebut pada orbit sirkuler dengan posisi yang diinginkan di atas permukaan bumi yang menjadi sasaran semua penyimpangan yang rnengarah untuk memindahkan satelit dari posisi semaeam itu (misalnya, pertimbangkan asumsi yang digunakan pda model ini). Yaitu, kita lihat TrOclan TO sedemikian sehingga r(t) ~ konstan dan e(t) ~ rot.

36


Gambar 1.3-6 Satelit dalam orbit bumi.

Vektor posisi untuk satelit terse but diberikan dengan r = re,

(1.3-64)

dan kecepatan bertingkat dari sistem koordinat berotasi adalah n = iJe~.

(1.3-65)

Dengan menggunakan "akibat wajar"-nya Chasle (1.3-26), kita dapatkan vektor kecepatan V dalam sistem koordinat nonrotasi sebagai berikut

yang menjadi

Dengan mengaplikasikan "akibat wajar"-nya Chasle lagi, untuk vektor kecepatan, menghasilkan vektor percepatan


A

= (f

37

- r02)e, + (r8 + 2rO)ef/.

Untuk medan gravitasi pangkat dua terbalik, pengaplikasian hukum Newton kedua pada arah r dan menghasilkan persamaan gerak m(f

-

r02)

= T, _ p.Mm

(1.3-66)

r2

(1.3-67)

di mana m adalah massa satelit, M adalah massa Burni, dan J.1adalah konstan gravitasi universal. Input pada sistem tersebut, yang mengatur orbit satelit, adalah komponen daya dorong (Tl) dan Tl) pada arah r dan a, secara

berurutan. Kita memperhatikan input tak tentu yang implisitdalam persamaan gerak. Misalnya, istilahgravitasi dalam (1.3-66) adalah tidak eksak. Istilahini mengabaikan fakta bahwa Burni bukan lingkunganyang seragam dan mengabaikan gerak Bulan terhadap burni. Untuk menyederhanakan, kita akan membuat model semua efek ini dengan memperlakukan massa Bumisebagai M + dM, di mana dM adalah fluktuasinilaitidak tentu yang jaraknya diasumsikanmerupakan beberapa pecahan M, katakanlah, 16-6M.Maka (1.3-66) menjadi "

m(f - r02) = T, _ p.(M + -t!.M)m

r

.

(1.3-68)

Karena persamaan gerak ini terdiri atas dua persamaan diferensial tingkat kedua, setiap penyajian keadaan akan memerlukan empat persamaan diferensial tingkat pertama, yang meliputi empat variabel keadaan. Karena kita berharap untuk mempertahankan satelit dalam orbit geosinkronis, lebih baik mendefinisikan variabel keadaan x, variabel pengatur u, dan ketidakpastian sistem skalar v dengan T, x, = r. II, = m

x) = 8 - wI. X4= 9.

v"= t!.M

38


di mana coadalah tingkat rotasi sudut burni. Persamaan keadaannya adalah = f.(x,u,v)

(1.3-69) (1.3-70) (1.3-71)

x4

=-

2x~4 + U2 XI

= fix,u,v).

(1.3-72)

XI

Sekarang, misalkan kita menggunakan radar untuk membuat pengukuran. Secara umurn, kita hanya akan dapat mengukur bagian posisi atau beberapa fungsiyang hanya meliputibagian posisitersebut. Misalnya,radar dengan basis di bumi mungkin mengukur jarak, ukuran sudut, dan ketinggian,yang merupakan fungsi trigonometri dari r dan e. Radar Doppler mungkin juga mengukur tingkat jarak, namun mungkin tidak sangat akurat pada jarak orbit. Untuk penyederhanaan, asurnsikan bahwa radar tersebut, setelah beberapa penghitungan, menghasilkan pengukuran yang eksak untuk r dan e - cot(deviasisudut dari lokasiyang diinginkan).Maka persamaan observasi tersebut menjadi

Untuk membuat model pengukuran kebisingan, kita dapat menggunakan (1.3-73) (1.3-74)

di mana w [WI WZ]T adalah pengukuran vektor ketidakpastian. Secara umurn, variabel input u,v dan w pada sistem dinamik mempunyai pembatasan tertentu yang dikaitkan dengan mereka. Untuk contoh satelit te~ebut, daya dorong yang besar mungkindapat dihilangkandengan beberapa


39

nilai maksimum, misalkan, Tmax,sehingga vektor kontrol u = [Trim, Talm] T akan mempunyai serangkaian pembatasan dari bentuk (1.3-75)

Ketidakpastian sistem v

=~

diasumsikan mempunyai batasan dari bentuk v E 'Y

= {vi

Ivl:s 1O-6M}.

(1.3-76)

Akhimya, jika masing-masing komponen pengukuran vektor ketidakpastian w dibatasi dalam nilai absolut, maka batasan yang berkorespondensi akan menjadi bentuk (1.3-77)

Sekarang kita akan mengilustrasikan proses linearisasi dalam bentuk vektor pengatur U = [Trim, Te/m] Tdan vektor keadaan X = [ r, r, - rot, ef. Dengan meHgabaikan setiap ketidakpastian dalam masa bumi, kita dapat menulis persamaan gerak (1.3-69)-(1.3-72) sebagai berikut

= f.(X,U)

(1.3-78) (1.3-79) (1.3-80)

= fiX,U).

(1.3-81)

Untuk U = 0 dan orbit sirkulargeosinkronis, kita mempunyai solusi acuan 6(1)= wI

40


r(t)

= R = konstan,

di mana R ditentukan dari (1.3-66) sebagai

R

= [jLw~J/).

Keadaan acuan konstan X = [R, 0, 0, colTyang sesuai adalah solusi pada persamaan ekuilibrium X = {(X,V) = 0, dengan U = O. Perhatikan bahwa seperti halnya pada kasus ini, suatu ekuilibrium (keadaan konstan) tidak selalu menyiratkan ketiadaan gerak pada sistem fisik yang mendasari dan yang sesuai dengan model sistem dinamik keadaan-ruang~ Misalkan Xl>Xz, X3,dan X4menunjukkan perubahan kedl pada r, r(dengan titik), , dan (dengan titik) secara berurutan, dengan X(t) = X(t) + x(t). Kemudian persamaan yang dilinearkan adalah XI

Xz X) x4

=

0

I

0

3wz

0

o 2Rw

Xz

0

0 -2w

0

I

X)

0

0

X4

0

-

R

0

o 0

XI

+

oI

0

llz' I[ ulJ

(1.3-82)

o R

1.4 PRINSlp.PRINSIP PENCiATURAN OTOMATIS .

Pengaturan LingkarTerbukadan LingkarTertutup Gambar 1.4-1 mengilustrasikan diagram blok dari suatu sistem dinamik. Diagram blok secara sederhana merupakan penyajian bergambar dari proses dinamik yang dideskripsikan dengan (1.2-1) dan (1.2-2). Anak panah menunjukkan arus informasi ke dalam dan ke luar blok. Karena sistem ini sangat umum, "blok" tersebut juga sangat umum. Selanjutnya kita akan menjadikannya lebih khusus ketika kita membahas sistem linear. Pada diagram blok "sistem primer" Guga disebut "plant") sesuai dengan (1.2-1) dan merupakan sasaran yang harus diatur. Permasalahan mendasar. pada desain sistem pengaturan otomatis adalah menentukan algoritma untuk input pengaturan u(.). Tujuannya adalah untuk


Uncertain input v

Uncertain input w

Control inE,ut u

Gambar 1.4-1

,

41

OU!E.ut 'f

Diagram blok sistem dinamik

ruhan diarahkan ke input perintah, seperti posisi atau kecepatan yang diinginkan, walaupun mungkin ada input tak tentu mana pun yang mungkin hadir dalam dinamik dan pengukuran. Dengan kata lain, kita berharap untuk menentukan hubungan fungsional untuk input pengaturan u sehingga integrasi (1.21), yang tunduk pada input perintah dan kemungkinan input tak tentu, akan menghasilkan respon x(t) dengan ciri-ciri ditlamik tertentu. Hubungan fungsional untuk u(.) ini disebut pengatur. Kita akan menggunakan notasi r(t) dan frasa input perintah untuk menunjukkan input ekstemal ke pengatur, seperti perintah yang diturunkan oleh operator, yang tersedia pada pengatur, namun tidak dapat dipilih oleh pengatur. Misalnya, r(t) dapat menjadi posisi sudut dari kemudi otomobil atau posisi tongkat pada pesawat terbang. Memang, r(t)dapat menjadi vektor dari berbagai input perintah ekstemal. Tujuan dari desain pengaturan otomatis ini adalah untuk mencari bentuk fungsional untuk pengatur (harus diimplementasikan dalam bentuk komponenkomponen fisik dalam sistem nyata) yang akan menghasilkan keadaan sistem yang dapat diterima. Bentuk fungsi ini mungkin berbeda-beda tergantung pada aplikasinya. Misalnya, pada beberapa aplikasi pengatur dengan sederhana dapat sarna dengan sinyal perintah [yaitu, u = r(t)), atau mungkin menjadi fungsi yang lebih rumit dari sinyal perintah dan waktu {yaitu, u = u[r(t},tJ},atau bisa menjadi fungsi output dan input perintah (yaitu, u = u[r(t), yJ}. Pada dua situasi pertama, di mana input pengaturan tidak tergantung secara eksplisit pada output, pengaturah terse but disebut pengaturan lingkar terbuka. Situasi ketiga, di mana input pengaturan lebih tergantung kepada output

42


dibandingkan pada waktu, disebut pengaturan tingkar tertutup. Ungkapan "lingkar tertutup" menunjuk pada kenyataan bahwa output ini digunakan untuk "mengumpan balik" informasi pengukuran ke dalam sistem sebagai bagian dari algoritma pengaturan. Pengaturan lingkar tertutup selanjutnya diklasifikasikan sesuai dengan sifat eksak sinyal balik. Jika input pengaturan lingkar tertutup u ini secara eksplisit tergantung kepada output y, {yaitu , u = u[r(t), y]}, ia dirujuk sebagai umpan balik output. Pengaturan lingkar tertutup disebut umpan batik variabel keadaan jika semua keadaannya diukur (atau diestimasi oleh beberapa proses lainnya) dan dimasukkan ke dalam sistem tersebut, sehingga input u tergantung secara eksplisit pada keadaan x {yaitu, u = u[r(t), x]}. Perbedaan antara pengaturan lingkar tertutup dan lingkar terbuka merupakan konsep dasar yang sang at kuat dalam pengaturan otomatis. Bayangkan mengendarai mobil dengan mata tertutup (pengaturan lingkar terbuka). Ini benar-benar mustahil. Akan tetapi, tanpa penutup mata (pengaturan lingkar terbuka), ini mudah. Pada kenyataannya, anda bahk~m tidak memerlukan banyak model untuk sistem dinamik untuk menjaga mobil tetap di jalurnya. Anda hanya memonitor posisi mobil dan memutar kemudi mobil sampai mobil tersebut tiba di tempat yang anda kehendaki. Tentu ,saja, mengemudi juga bisa dilakukan oleh pengatur otomatis, namun hal ini akan memerlukan instrumen yang mahal, baik jalannya maupun mobilnya, seperti kabel pemandu elektromagnetik yang ditanam di dalam tanah. Untuk alas an inilah, diragukan bahwa kita akan mendelegasikan kemudi mobil secara keseluruhan pada pengaturan sistem otomatis, sebagaimana dilakukan dengan pilot otomatis pesawat terbang. Pengaturan lingkar terbuka ada terutama karena lebih mudah untuk dibuat dan lebih mudah untuk diimplementasikan daripada pengaturan lingkar tertutup. Ini karena pengaturan lingkar terbuka tidak memerlukan sensor untuk memonitor outputnya, dan juga tidak memerlukan ban yak perangkat keras berteknologi tinggi untuk mengimplementasikan algoritma pengaturan. Pengaturan lingkar terbuka hanya memerlukan sebuah jam. Sebagai akibatnya, pengaturan ini mengabaikan apa yang terjadi dengan respon sistem dan tidak pernah dapat beradaptasi. Agar pengaturan lingkar terbuka dapat efektif, pendesain pengaturan tersebut harus dapat memprediksi secara sempurna perilaku mendatang dari sistem dinamik tersebut. Oleh karenanya. model tersebut harus sempurna, dan tugas


43

analisis pada dasamya tugas dari salah satu dinamik, bukan pengaturan. Namun, tidak ada model yang sempuma, bahkan jika pun ada, semua sistem dinamik adalah sasaran dari gangguan luar (ekstemal), seperti halnya hembusan angin, yang dapat menyebabkan slstem bergerak dari model yang diprediksi. Namun, ada banyak contoh sistem pengaturan lingkarterbuka yang sangat efektif. Peralatan robot yang melakukan gerakan "memungut dan meletakkan" bekerja dengan baik, sepanjang semua bagiannya ada pada tempat yang tepat dan pada waktu yang tepat. Namun lucu rasanya untuk mengawasi robot semacam itu "menjalanigerakannya" mengelas udara hanya karena bagian yang harusnya dilas tidak berada tepat pada tempat yang "dipikirkan"oleh robot tadi. Di lain pihak, kemajuan sistem penglihatan robot, sistem peka sentuhan, dan sistem sensor lainnyamemperluas prospek aplikasi pengaturan umpan balik lingkar tertutup dalam bidang robot dan bidang lainnya. Struktur Sistem Pengaturan Kepedulian utama kita adalah dengan persoalan mendesain sistem pengaturan umpan balik lingkar tertutup. Gambar 1.4-2 menunjukkan diagram blok dari sistem pengaturan lingkar umpan balik tertutup output. Jika garis putus-putus tersebut tidak ada, sistem tersebut akan menjadi sistem pengaturan lingkar ~terbuka.

Uncertain input y

Uncertain input w

Command in£.ut

r

I I I I

---------

Gambar 1.4-2

J

Sistem pengaturan umpan balikoutput

Ou~ut 'f

44


Input pada blok sistem dinamik primer pada Gambar 1.4-2 masuk ke dalam dua kategori: 'input pengaturan u dan r, dan input tak tentu v dan w. Input perintah r ~rasal dari operator (manusia atau yang Iainnya) secara eksternal ke dalam sistem. Input pengaturan otomatis u ditentukan sepenuhnya oleh pengatur yang internal di dalam sistem. Input tak tentu v dan w bjasanya tidak diketahui dan independen terhadap pengatur. Namun, ikatan mereka mungkin dapat diketahui..Fungsi perintah r(t) diasumsikan diketahui untuk tujuan desain (seringkalidiasumsikankonstan), sedangkan input tak tentu v(t) dan w(t) selalu dianggap tidak diketahui. Input tak tentu meliputi kejadian acak, kerusakan pabrik pembuatnya, operatqr yang tertegun-tegun, atau input Iainnyayang biasanya tidak diketahuiyang mernpengaruhi sistern tersebut. Input ke blok pengukuran pada Garnbar 1.4-2 adalah keadaan x dan kernungkinan pengaturan u dan input tak tentu v dan w. Pada umumnya, w adalah kesalahan kebisingan atau kesalahan pengukuran atau keduanya. Berbagai sensor digunakan untuk mengukur'fungsi, kornponen, atau kombinasi komponen tertentu dari keadaan yang diketahui sebagai output y, kaitannya dengan (1.2-2). Pengukuran ini tidak akan tepat karena kesalahan instrumen dan kebisingan sinyal. Efek sernacarn itu diringkasdengan istilah input eksternal w(t) sebagairnana ditunjukkanpada Gambar 1.4-2. Apakah ketidakpastian sistern v atau input pengaturan u memindahkan ke blok pengukuran akan tergantung pada kuantitas yang sedang diukur. Hal ini akan diujisecara terinci nanti. Jika garis putus-putus pada Gambar 1.4-2 ada, output masuk kernbali rneIaIui blok yang rnenentukan input internal ke blok pengatur. Jalur \ni "rnenutup tingkar", dan tampilan yang memuaskan dari keseluruhan sistem biasanya dapat diperoleh rnelaluidesain yang tepat dari blok umpan batikdan blok pengatur. Kita dapat juga rnenggunakan pengatur umpan batik variabel keadaan dari bentuk u = u(r,x), daripada pengatur umpan batik output dari bentuk u= u(r,y). Gambar 1.4-3 menunjukkan struktur sistem pengatur umpan batik variabel keadaan. Jika y =t:. x, keadaannya harus diestimasi, dengan menggunakan x(t) ~ ~t), sebagainiana ditunjukkan dengan blok estimator. Sebagai contoh, hal ini akan berlaku ketika output y berisi hanya beberapa komponen vektor keadaan x. Pada umumnya, estimator akan memerlukan input dan juga output y dan pengaturan u. Berdasarkan pada input pengaturan u(t), output yang diukur y(t), dan model untuk sistem dinamik, estimator menghasilkan


Uncertain input v

45

Uncertain input W

Command inE,ut r

Output 'f .

Gambar 1.4-3

Umpan balikclanestimasikeaclaan.

estimasi keadaan ~t), yang digunakan dalam sistem umpan batik "keadaan sebagai pengganti keadaan aktual x(t) untuk menghasilkan input ke pengatur. Jika keadaan penuhnya diukur secara tepat, y = x, maka estimator tidak diperlukan. Topik Mendasar dalam Analisis Sistem Pengaturan Masalah pengaturan mendasar dikaitkan dengan pemindahan keadaan sistem x(t) ke beberapa sasaran yang ada pada ruang keadaan atau mempertahankan keadaan sistem pada atau dekat dengan sasaran. Pada kasus pengaturan peluncur mobil, Contoh 1.2-3 kecepatan X merupakan variabel keadaan yang rnenjadi sasaran untuk diatur. Dalam kasus ini, sasaran yang ditetapkan adalah beberapa kecepatan X yang ditetapkan sebelumnya. Pengaturan peluncur otomatis harus dapat meningkatkan atau menurunkan kecepatan ke kecepatan sebelumnya dan kemudian mempertahankannya pada titik toleransi tertentu yang dapat diterima di sekitar kecepatan yang diinginkan. Untuk rudal anti pesawat terbang, rangkaian sasaran rudal mungkin berkorespondensi dengan posisi pesawat terbang atau kemungkinan pada ekor salah satu mesh). pesawat terbang. Sebagai contoh lain, perhatikan seorang perenang di sebuah sungai yang sedang terhanyut dengan cepat menuju air terjun. Sasaran dalam contoh ini bisa jadi pulau kecil di atas air terjun. Jika rangkaian sasaran merupakan rangkaian konstan (biasanya titik tertentu) pada ruang keadaan, permasalahan pengaturan disebut permasalahan

46


pengaturan regulator. Jika rangkaian sasaran adalah perbedaan waktu, sebagaimana ditentukan dengan input perintah perbedaan waktu, maka permasalahannya disebut persoalan pengaturan pelacak (tracker) atau servomekanisme. Kita akan me/TIeriksa kedua jenis permasalahan. Topik kontrolabihtas (kemungkinan untuk diatur) berkaitan dengan apakah ada sebuah pengaturan u(.) yang akan mentransfer keadaan tersebut ke sasaran tertentu. Keberadaan pengaturan semacam itu tergantung pada keadaan sekarang, persamaan gerak, kendala pengaturan u E 6lt, setiap input tak tentu yang memungkinkari, dan sasaran itu sendiri. Misalnya, jika perenang tidak dapat berenang melawan arus ke hulu, maka jelas ada posisi tertentu di sungai itu yang darinya ia tidak dapat mencapai p~au. Persyaratan primer dalam desain sistem pengaturan otomatis adalah mempunyai sistem yang dapat diatur. Tergantung kepada himpunan sasaran yang ditetapkan, hal ini mung kin memerlukan atau tidak memerlukan perubahan signifikan dalam struktur sistem dinamik itu sendiri. Dalam olahraga, pelompat tinggi yang ingin melompati ketinggian 15 kaki harus berganti ke lompat galah. Selanjutnya kita akan menampilkan beberapa tes konstruktif untuk kemungkinan pengaturan yang tidak hanya menentukan apakah sistem tersebut dapat diatur namun juga akan menunjukkan perubahan struktural yang diperlukan untuk membuat sistem tersebut dapat diatur. Spesifikasi himpunan sasaran secara sederhana mewujudkan tujuan mengenai sasaran, seperti dengan peluru senapan. Seringkali, tujuannya juga untuk tinggal di sekitar sasaran tersebut setelah sasarannya dicapai. Secara khusus, himpunan sasaran seringkali berkorespondensi dengan rangkaian kondisi operasi y~ng diinginkan. Hal ini bisa berubah dari waktu ke waktu, karena input operator, dan mereka dapat berbeda waktunya. Input perintah r(t) yang terlihat pada Gambar 1.4-2 dan 1.4-3 menyatakan kondisi operasi yang diinginkan bagi pengatur. Dalam kasus ini, tujuannya adalah untuk membuat output y(t) mendekati, atau "melacak", input perintah r(t). Misalkan bahwa beberapa kondisi operasi yang diinginkan telah ditentukan bahwa mereka berkorespondensi dengan gerak acuan nominal untuk sistem dinamik. Seringkali hal ini merupakan kondisi keadaan konstan. Selanjutnya, misalkan bahwa sistem tersebut saat ini tidak berada pada kondisi yang diinginkan. Tugas pengatur adalah menggerakkan sistem tersebut ke keadaan yang diinginkan. Jika sistem dinamiknya dapat diatur, tujuan desain berkorespondensi dengan pembuatan sistem secara keseluruhan stabil di sekitar kondisi


47

operasi. Jika keadaannya dekat dengan kondisi operasi, kita tidak hanya ingin ia tetap dekat (stabilitas) namun juga akhimya mencapai kondisi pengoperasian acuan (stabilitas asimtotik). Topik observabilitas (kemungkinan untuk diobservasi) berfokus pada permasalahan menentukan keadaan x (t) dari pengukuran y(t). Seringkali, pengukuran hanya berisi beberapa keadaan. Suatu sistem dikatakan dapat diobservasi jika ia memungkinkan untuk memasukkan keadaan awal x(O), pengukuran yang sempuma y(t) meliputi beberapa interval waktu tertentu [0, t]. Misalnya, pengukura{l posisi radar pada obyek bergerak, dilengkapi dengan model sistem dinamik,:membuat kita dapat menentukan kecepatan obyek. Untuk sistem yang dapat diobservasi, kita akan dapat mendesain estimator untuk menghitung suatu estimasi ~t) dari keadaan x(t) yang didasarkan pada pengukuran y(t) dan model sistem dinamik. Kita akan kembali ke topik-topik kontrolabilitas, stabilitas, dan observabilitas pada bab-babselanjutnya. Akan tetapi, kita akan memulai dengan mendiskusikan permasalahan dalam mendapatkan solusi bagi persamaan diferensial yang mengatur gerak sistem dinamik.

'.5 LAYIHAN 1.5-1

Pertimbangkan massa yang dilekatkan pada penyerap guncangan (shock absorber), dengan gaya ekstemal F seperti terlihat pada Gambar 1.5-1. Keadaan sistem tersebut harus ditampilkan dengan kecepatan massa. Dapatkan persamaan tingkat pertama dari bentuk

Force

".

Gambar 1.5-1

Sistem untuk Latihan 1.5-1.

48


1.5-2

(1.2-25) yang akan membuat model sistem tersebut. Penyerap guncangan menghasilkangaya proporsional dengan kecepatan. Penurunan voltase melintasi resistor, kapasitor, atau induktor yarig diberikan oleh IR, fldt/C atau L dVdt, secara berurutan, di mana I = arus melaluielemen, R = resistansi, C = kapasitas, atau L = induktasi elemen. Muatan Q dikaitkan dengan arus oleh I = dQldt. Untuk keadaan x dan input u tersebut, sistem yang ditentukan dalam Gambar 1.5-2 memenuhi persamaan diferensialdari bentuk (1.2-25); C

R '¥'NY-

- ~ £

(a) RC circuil with.f

=charge Q.u =vollagc

£

R "I'M

r £

t

= =

1c J

(bl RC circuit wilh x vohagc drop acro" capacitor C. u vohagc J-:

6ambar 1.5-2 Sirkuituntuk Latihan 1.5-2.

1.5-3

Panas yang dipindahkan ke cairan yang diaduk bersuhu T dplam

wadah tersekat bersuhu Tu diberikandengan Q = hA(T"- T) dan perubahan suhu dikarenakan perpindahan panas diberikan dengan Q

= mC dT dr'

di mana Q = tingkat arus panas, h. = koefisien perpindahan panas, A =-

wilayah permukaan, m = massa cairan, dan C = panas khusus.

Tunjukkan bahwa sistem ini dapat dibuatkan modelnya dengan (1.225).


1.5-4

49

Misalkan Xl = muatanQ, Xz= arusI, u = voltaseE. Tunjukkanbahwa

untuk matriks A dan vektor B yang tepat sistem pada Gambar 1.5-3 dapat dinyatakan dalam bentuk (1.2-22). Gunakan informasiyang ada di dalam latihan 1.5-2 dan asumsikanbahwa v = O. c

L

£

Gambar 1.5-3

1.5-5

sirkuitRCL untuk Latihan 1.5-4.

Misalkan x adalah vektor Nx x 1 dan pertimbangkan fungsi nilai skalar (bentuk kuadrat)

di mana P adalah matriks konstan kuadrat. Tunjukkan bahwa iJljI(x) =

ax

+ pTJ

XT[p

= 2xTp

Jika P simetris.

Petunjuk: Aplikasikan rangkaian aturan untuk membedakan bentuk bilinear skalar
1.5-7

Dari kalkulus, dengan kondisi bagainamakah matriks dalam Persamaan (1.2-35) simetris, yaitu sehingga rangkaian diferensiasi dapat dipertukarkan? Untuk sistem

.

,

XI = Xi - V

50


X2

= - XI + X~

(a) Tentukan semua titik keseimbangan (nyata) (titik keadaan konstan) ketika input U = 1. (b) Dalam bentuk matriks, tulislah persamaan gerak ruang keadaan dalam bentuk penyimpangan pada X dan U dari titik keseimbangan positif yang ada pada (a). 1.5-8

Asumsikan bahwa kondisi pengoperasian acuan nominal untuk kereta api mainan pada Contoh 1.2-1 diberikan dengan kondisi kecepatan konstan. X2 dan X3,= konstan > O. (a) Tentukan Xl dan U dari persamaan gerak, dengan semua waktu menderivasikan rangkaian sarna dengan nol. (b) Linearkan persamaan gerak sebagaimana diberikan oleh (1.2-13) - (1.2-15) mengenai kondisi nominal ini.

1.5-9

Formulasikan kembali Contoh 1.2-3 termasuk angin Vwsebagai input tak tentu. Linearkan hasil rangkaian persamaan mengenai kecepatan pengoperasian nominal 65 mph pada tingkat jalan tanpa angin. Asumsikan mg = 2000 lb, J.1= 0.01, k = 0.005 lb-sec2/ft2.

1.5-10

Sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 1.5-4a, sebuah bola dengan massa m, radius R, dan momen kelembaman J di sekitat pusat massa berputar (tanpa peluncuran) pada puncak balok segi empat, di bawah pengaruh gravitasi dan gerak balok. Salok tersebut mempunyai momen kelembaman I di sekitar pusat massanya, di mana ia dipaku dan bebas untuk berotasi dikarenakan momen puntir yang diaplikasikan. (a) Tulislah vektor posisi r untuk pusat massa bola dan gunakan "akibat wajar" menurut Chastle (1.3-26) untuk menunjukkan bahwa percepatan bola tersebut diberikan dengan

(b) Dengan menggunakan hukum Newton dan diagram kelompok bebas pada Gambar 1.5-4, tunjukkan bahwa, setelah kita menghilangkan gaya internal Fr dan F, persamaan gerak tersebut dapat ditulis sebagai berikut


9

.~:..:-.~':,... ",

(a) Ball and beam system

(b) Ball free body diagram

(e) Beam free body diagram

Gambar 1.5-4

P~ralatanBola clanBalok

51

52


[

11/

1 .. + R1 ] r -

hl

~ ;: + [ I

+

11/r

l

..

[R+ 'hl -

"

m(R + h) ] (} - mr(j- + 11//.:sin (J = 0

...

Ii ]

(J + '2mrj'(j - mr(R

. + hJ (J1

+ l1//.:rcos (J =

r.

(c) Dengan mengasumsikan bahwa (r, r, e, a) adalah kw:tntitas kecil, tulislah hasilnya pada (b)sebagai dua persamaan diferensial tingkat kedua yang dilinearkan. Konversikan hasil ini ke persamaan gerak linear dalam bentuk(1.2-22) dan (1.2-23) dengan x = [r, r, e, aJT, u = r, y = [r,] dan tanpa input tak tentu ke dalam sistem tersebut (v = w = 0). 1.5-11

Sebuah lift sedang bergerak ke atas pada suatu bangunan dan massa m dihubungkan ke atap lift tersebut melalui tali nonlinear dan penyerap guncangan sebagaimana terlihat pada Gambar 1.5-5. Tali nonlinear menghasilkan gaya yang diperoleh dengan _ky2, di mana y adalah perpindahan massa dari posisinya pada lift pada saat turun bebas. Penyerap guncangan ini linear dan akan menghasilkan gaya yang diberikan dengan -j3y. (a) Dapatkan penyajian keadaan ruang sistem ini dari bentuk XI = f.(X,'x1'U.v) X1 = f2(X..X1.U. V).

T

Gambar 1.5-5

Sistem liftuntuk Latihan 1.5-11.


53

di mana X I = y, X2 = y, U = gaya pengaturan, V= g + a,g = percepatan gravitasi, dan a = percepatan ke atas dari lift ini dengan mempertimbangkan bangunan. (b) Unearkan sistem ini di sekitar keadaan tetap yang didapatkan dengan X2 = 0, Xl = posisi pengimbang massa ketika a = U = 0, untuk mendapatkan sistem dalam bentuk x = Ax + Bu + Rv. 1.5-12

Dapatkan persamaan keadaan, yang berkorespondensi dengan (1.320) - (1.3-24) untuk kecepatan variabel rudal penembak. Asumsikan bahwa daya dorong konstan sepanjang vektor kecepatan, dengan tarikan, berlawanan dengan vektor kecepatan, didapatkan oleh D= pSCov2 . 2

di mana CD adalah koefisien tarikan konstan. Asumsikan bahwa semua sudut kedl dan bahwa pengangkat aerodinamik dan koefisien momen adalah linear sebagaimana pada Bagian 1.3. Yakni, CL (a) = CL,IX CM(a, 0) = CMIXa + CMo. 6 1.5-13

Suatu aktuator dengan kumparan-suara menghasilkan daya dengan mensuplai arus ke kumparan pada bidang yang dihasilkan dengan magnet permanen. Daya tersebut proporsional dengan arus kumparan sebagaimana diberikan dengan

di mana F adalah daya pada kumparan, kF adalah konstan yang dikaitkan dengan desain tertentu, dan Ie adalah arus pada kumparan. Gerakan kumparan melalui medan magnetik menghasilkan emf belakang sesuai dengan £B

= kBy.

di mana Es adalah voltase emf belakang, ks konstan yang dikaitkan dengan desain, dan y adalah kecepatan kawat melalui bidang. Jika kumparan ini mempunyai resistansi Re dan induktansi Le, tunjukkan

54


bahwa perubahan y ini dikaitkan dengan input voltase yang melintasi kumparan E dengan L R E =' m oS.Yl31 + m oS.Yo. + k BY. kF

kF

.

di mana m adalah massa kumparan dan y(3) ~d3y/dt3. 1.5-14

Untuk pendulum terbalik pada Bagian 1.3, derivasikan kembali persamaan gerak untuk kasus di mana momen puntir diaplikasikan dengan bidang yang dikontrol motor dc, sebagaimana terlihat pada Gambar 1.5-6, di mana arus armatur adalah konstan dan pengaturannya adalah voltase yang diaplikasikan 1<ebidang resistansi RF dan induktasi LF, yang menyebabkan perubahan magnetik terus menerus. Dalam jarak pengoperasian motor, perubahan magnetik Er adalah proporsional dengan arus bidang. R,.

c,.

Gambar 1.5-6

Bidang yang dikontrol motor de untuk Latihan 1.5-14.

1.5-15 Untuk satelit geosinkronis pada Bagian 1.3, buktikan bahwa Persamaan (1.3-82) mengikuti dari Persamaan (1.3-78) - (1.3-81) pada keseimbangan. Satelit Westar (diluneurkan pada 13 April 1974) adalah satelit komunikasigeosinkronisdengah stasiun penjaga periede waktu 7 tahun. Ia mempunyai massa pada orbit m = 297 kg. Dengan menggunakan M = 5976 x 1024Kg, Jl= 6673 x 10-11m3/ (Kg.see), dan (0 = 0.7292 x 10-4 rad/see, tentukan radius orbit


55

sirkuler dan tulislah persamaan gerak linear nyata (1.3-82) untuk satelit ini. 1.5-16

Suatu motor yang diatur dengan armatur harus digunakansebagai aktuator untuk pendulum terbalik. Pabriknya telah memberikan kepada kita dengan data berikut ini: RA

= 7.7 n

LA = 0.011 H (0 see).

Namun demikian, mereka tidak memasukkan konstan motor K B. Desainlah dua eksperimen laboratorium yang akan menentukan secara independen parameter-parameter ini.

Bab

2

Sistem Dinamik Linear

2.1 PENYAJIAN SISTEMLINEAR Dalam aplikasi sistem pengaturan, sebuah model untuk sistem dinamik dapat digambarkan dalam berbagai jalan. Karena teori pengaturan "klasik" dikembangkan terlebih dahulu daripad komputer digital dan konsep sistem dinamik "keadaan", metodenya memfokuskan pada sistem dinamik yang dipandang sebagai sistem input - output. Pendekatan ini mengkonsentrasikan pada single input, single output, persamaan diferensial tingkat ke-n skalar yang mendeskripsikan bagaimana output ini berubah dikarenakan input. Berbagai teknik analisis telah dikembangkan untuk sistem linear single-input dan single output semacam itu. Kebanyakan teknik bersandar pada transfomlasi LaPlace untuk mengkonversikan persamaan diferensial ke persamaan aljabar. Perumusan aljabar mendasarkan diri 'pada gambaran gratis sistem dinamik. Khususnya, diagram blok (dengan menggunakan "fungsi transfer" transformasi Laplace) memberikan deskripsi visual dari interaksi berbagai elemen yang membangun sistem pengaturan dinamik. Diagram ini juga sesuai dengan penggunaan dengan analogi komputer; pada berbagai contoh, pada dasamya mereka' adalah diagram arus listrik untuk simulasi komputer analog meng€mai sistem dinamik. Teori pengaturan "modem" yang akhir-akhir ini dikembangkan memfokuskan pada metode matriks dan pada model ruang-keadaan untuk mendeskripsikan kelas sistem dinamik yang lebih umum daripada yang dianggap dalam metode pengaturan klasik, termasuk sistem yang mungkin mempunyai 56

SisteDl Pengaturan OtoDlatis

Recommend Documents