Simulatiestudie van technische indicatoren voor aandelenhandel

Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Voorzitter: Prof. Dr. W. Govaerts

Simulatiestudie van technische indicatoren voor aandelenhandel door Sofie Deprez

Promotor: Prof. Dr. David Vyncke

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de Wiskunde, afstudeerrichting Toegepaste Wiskunde

Academiejaar 2010 - 2011

ii

Voorwoord Er is geen ontkomen meer aan, de crisis is alomtegenwoordig. Als belegger zijn het risicovolle tijden waarbij deze meer dan ooit in de toekomst zou willen kijken om te weten wat deze brengt. Helaas bestaan teletijdmachines nog niet en blijkt een glazen bol niet zo effectief te zijn. Beleggers houden hun oren gespitst voor alle nieuws dat een invloed zou kunnen hebben op de markt, om vervolgens naar eigen gevoel te reageren. Niet verstandig, zou een technisch analist zeggen, want alle informatie zit vervat in het koersverloop van een aandeel en alle factoren eromheen doen er niet toe. Met deze kennis beslist een technisch analist te kijken naar het verleden van de koers om zo voorspellingen te maken voor de toekomst. Een crisis kan misschien vermeden worden als beleggers niet zo paniekerig reageren, maar werken volgens de regels van de technische analyse. Dat brengt ons tot de vraag: ‘Kan technische analyse de toekomst voorspellen om zo betere resultaten te krijgen dan met een simpele Buy and Hold strategie?’ Daarom worden in deze scriptie 100000 paden over verschillende perioden gecreëerd en aan de test onderworpen. Over het algemeen gebruikt men voor het genereren van de returns van de aandeelkoersen een Geometrische Brownse beweging, die dan aan de basis ligt van het Black-Scholes model. Meerdere studies toonden echter al aan dat deze geen accurate voorstelling geeft van de realiteit. Ook dit euvel kan verholpen worden door het vooropstellen van nieuwe modellen die de praktijk beter lijken te weerspiegelen, zoals o.a. het Lévy proces. Meer bepaald wordt het Variance Gamma model gebruikt. De scriptie begint met de werking van de technische analyse en zijn technische indicatoren, evenals de zin en onzin hieromtrent. Vervolgens wordt het Lévy proces gedefinieerd door te beginnen met enkele inleidende begrippen, verder te gaan met de eigenschappen en ten slotte de definitie van het Variance Gamma proces. Op het einde volgt dan de simulatiestudie die met de gebruikte dataset S&P 500 enkele antwoorden kan geven op o.a. de vraag of een Buy and Hold strategie al dan niet beter is dan een Buy and Sell strategie. Ook wordt er getest of short gaan gunstig kan zijn voor een belegger. Doorheen de jaren is mijn interesse gegroeid voor alles wat te maken had met de financiële sector. Na het volgen van de cursussen in de financiële wiskunde van professor D. Vyncke en professor M. Vanmaele leek het me dan ook logisch om hierin verder te gaan. Dit onderwerp vond ik dan ook zeer boeiend, vooral omdat vele aspecten ervan me nog onbekend waren en het fascinerend was om me erin te verdiepen. In de toekomst wil ik hierin verder gaan, want de wereld van de financiële sector heeft nog veel geheimen voor me die ik maar al te graag wil ontdekken. Rest mij dan nog om enkele mensen te bedanken die mede gezorgd hebben voor de verwezenlijking van deze scriptie. Uiteraard mijn promotor, professor D. Vyncke, die mij dit onderwerp toevertrouwde, mij bijstond als ik vragen had en zorgde voor verbeteringen. Mijn fantastische vrienden die altijd voor me klaarstaan en hierbij nog een speciale bedan-

iii

iv king voor Stephanie en Ken die mijn scriptie wilden lezen. Mijn lief Koen kan ik ook niet genoeg bedanken voor alle steun en motivatie als het al eens wat minder ging. And last but not least, mijn ouders en broers die mij doorheen de jaren zijn blijven aanmoedigen en op wie ik kon rekenen, zonder jullie was dit allemaal niet mogelijk geweest.

Sofie Deprez, september 2011

Toelating tot bruikleen “De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.”

Sofie Deprez, september 2011

v

vi

Inhoudsopgave

Voorwoord

iii

Toelating tot bruikleen

v

Inhoudsopgave

ix

Lijst van figuren

xi

Lijst van tabellen

xiv

1 Technische Analyse

1

1.1

Dow-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Technische indicatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Voortschrijdend gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Relatieve Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Trading Range break . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Voor- en nadelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Voortschrijdend gemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Relatieve kracht/volatiliteit index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3

Trading Range break . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

1.4

Zin en onzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lévy processen 2.1

13

Basisbegrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1

Markov proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Martingaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3

Processen met eindige en oneindige variatie vii

. . . . . . . . . . . . . 17

viii

INHOUDSOPGAVE

2.2

2.1.4

Karakteristieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.5

Oneindige deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.6

Stelling van Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1

Geometrische Brownse beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2

Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4

Lévy proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5

2.4.1

Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2

Lévy-Itô ontbinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1

De Brownse beweging

2.5.2

Poisson proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.3

Samengesteld Poisson proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.4

Gamma proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.5

Variance Gamma proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.6

CGMY proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Simulatie 3.1

3.3

35

Dataset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Black-Scholes model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1

Normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2

Volatiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3

Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Risicomaatstaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1

Standaardafwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2

Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.3

Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4

Short selling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5

Variance Gamma model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

INHOUDSOPGAVE

ix

3.5.1

Buy and Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.2

Buy and Sell

3.5.3

Short gaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.4

Normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Conclusie

63

A Grafieken

65

x

INHOUDSOPGAVE

Lĳst van figuren 3.1

Slotkoersen S&P 500 Index van 1990 tot 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2

Logreturns S&P Index van 1990 tot 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3

Dichtheid logreturns en normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4

QQ-plot van de dagelijkse logreturns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5

Historische volatiliteit

3.6

Absolute logreturns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7

Histogram van de logreturns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8

De jaarlijkse standaardafwijking en value at risk, met de value at risk*10 voor de aanschouwelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.1 SMAregel (1,50) toegepast op de volledige dataset . . . . . . . . . . . . . . 65 A.2 SMAregel (2,200) toegepast op de volledige dataset . . . . . . . . . . . . . 66 A.3 EMAregel (1,50) toegepast op de volledige dataset . . . . . . . . . . . . . . 66 A.4 MACDregel (12,26,9) toegepast op de volledige dataset . . . . . . . . . . . 67 A.5 RVIregel (14,10) toegepast op de volledige dataset . . . . . . . . . . . . . . 67

xi

xii

LĲST VAN FIGUREN

Lĳst van tabellen

3.1

Samenvattende statistieken voor de dagelijkse logreturns. . . . . . . . . . . 35

3.2

Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de dataset . . . . . 37

3.3

Resultaten voor de technische regels op de volledige dataset

3.4

Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de subset 1990 - 1996 38

3.5


3.6


3.7


3.8

Jarque-Bera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.9

Kolmogorov-Smirnov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

. . . . . . . . 37

3.10 Volatiliteit per jaar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.11 Samenvattende statistieken van de verschillende periodes. . . . . . . . . . . 45 3.12 Value-at-Risk voor de gehele dataset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.13 Value-at-Risk per jaar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.14 Parameterschatting VG model met ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.15 Resultaten Buy and Hold strategie voor 125 handelsdagen . . . . . . . . . 53 3.16 Resultaten Buy and Hold strategie voor 250 handelsdagen . . . . . . . . . 53 3.17 Resultaten Buy and Hold strategie voor 1250 handelsdagen . . . . . . . . . 54 3.18 Resultaten Buy and Sell strategie voor 125 handelsdagen . . . . . . . . . . 55 3.19 Resultaten Buy and Sell strategie voor 250 handelsdagen . . . . . . . . . . 55 3.20 Resultaten Buy and Sell strategie voor 1250 handelsdagen . . . . . . . . . 56 3.21 Resultaten Buy and Sell strategie voor 125 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.22 Resultaten Buy and Sell strategie voor 250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 xiii

xiv

LĲST VAN TABELLEN 3.23 Resultaten Buy and Sell strategie voor 1250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.24 Parameters normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.25 Buy and Sell strategie met normaalverdeelde logreturns voor 100000 paden over 250 handelsdagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.26 Buy and Sell strategie met normaalverdeelde logreturns voor 100000 paden over 250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan. . . . . . . . . . 61

Hoofdstuk 1 Technische Analyse 1.1

Dow-theorie

Technische analyse bestaat al lang en ondertussen zijn er al heel wat vernieuwingen, maar de basis blijft dezelfde en a.d.h.v. [1] wordt deze hier eerst herhaald. De grondlegger van de technische analyse is Charles Dow (1851-1902). Hij creëerde twee beursindexen, de ’Industrial Index’ en ’Rail Index’ met aandelen die representatief waren voor de volledige markt in een poging om zo trends te ontdekken. Deze indices worden nu, in samenwerking met Edward Jones, de ’Dow Jones Industrial Index’ genoemd. Hierbij ontwikkelde hij ook een theorie, toepasselijk genaamd de ’Dow-theorie’, gebaseerd op enkele basisbeginselen: (a) Het marktgemiddelde bevat alle relevante informatie en wordt weergegeven door een marktindex. De markt is efficiënt. (b) Voor een trend zijn er drie trendniveaus: (i) Hoofdtrend/primaire trend: looptijd van langer dan een jaar, kan een bull of bear markt aangeven. (ii) Secundaire trend: duurt drie weken tot drie maanden, toont meestal een correctiebeweging op de hoofdtrend en maakt één tot twee derden van de vorige koersbeweging ongedaan. i. Consolidatie: zijwaartse trend. ii. Technisch herstel: primaire trend is neerwaarts gericht, koers stijgt tijdelijk. iii. Technische correctie: primaire trend is opwaarts gericht, koers daalt tijdelijk. (iii) Tertiaire trend: duurt slechts enkele dagen, zelden langer dan drie weken, vaak minder dan een week met koersbewegingen zonder betekenis. En drie trendbewegingen: (i) Opgaande trend: de koersen vertonen een op- en neergaande beweging met telkens hogere toppen en hogere bodems. (ii) Neergaande trend: de koersen vertonen een op- en neergaande beweging met telkens lagere toppen en lagere bodems. 1

2

HOOFDSTUK 1. TECHNISCHE ANALYSE (iii) Zijwaartse trend: de koersen vertonen een op- en neergaande beweging met de opeenvolgende toppen en bodems ongeveer op hetzelfde niveau. (c) De hoofdtrend kan verlopen volgens drie fasen die verschillen naargelang het een ’Bull-market’ of een ’Bear-market’ is. (i) Accumulatiefase: voor de best geïnformeerde beleggers, deze beginnen geleidelijk aan te kopen, want zien verbetering op komst. (ii) Tweede fase: de trendvolgers schieten in actie. (iii) Derde fase: ook de massa volgt, terwijl de beleggers uit fase één al beginnen te verkopen, ze voelen de ommekeer aankomen. (d) Marktgemiddelden moeten elkaar bevestigen. (e) Stijgende bewegingen in een bull-market en scherpe koersdalingen in een bearmarket gaan samen met stijgende volumes. Het volume, de verhandelde hoeveelheid aandelen, is bijgevolg een belangrijke indicator in de markt, ’Volume goes with the trend’, het volume moet de trendbeweging bevestigen. (f) Een trend blijft bestaan tot de verbreking ervan bevestigd is. Dit is soms echter zeer moeilijk te bepalen aangezien het kan gaan om een nieuwe secundaire trend in de hoofdtrend, daarom wordt er het best gewacht op duidelijke signalen. Die signalen zullen komen, want bullmarkten blijven niet stijgen en bearmarkten blijven niet dalen.

In de primaire trend wordt er van Bull-market gesproken als elke stijging een hoger niveau bereikt dan een vorig toppunt en elke (dalende) secundaire trend stopt op een niveau hoger dan een vorig dieptepunt. Een ’Bear-market’ ontstaat dan als elke daling een lager niveau bereikt dan een vorig dieptepunt en elke (stijgende) secundaire trend stopt op een niveau lager dan een vorig toppunt. Met de Dow-theorie kunnen koopen verkoopsignalen worden gegenereerd voor bull- en bearmarkten. Een nadeel van deze theorie is dat de focus vooral ligt op de hoofdtrend, terwijl de dag van vandaag voor sommige beleggers de secundaire en tertiaire trend belangrijk zijn. Een ander nadeel is dat deze theorie een trendvolgend karakter heeft, de signalen komen meestal wat te laat, terwijl de echte top of bodem al voorbij is. De technische analyse bestudeert de historische prijspatronen of trends om zo toekomstige bewegingen in de markt te kunnen voorspellen. Bij het beleggen a.d.h.v. technische analyse worden er eigenlijk drie veronderstellingen gemaakt: (a) Alle relevante informatie is verdisconteerd in het marktgebeuren: alles wat een koers van een aandeel kan beïnvloeden is weerspiegeld in het koersverloop van een aandeel, het bestuderen ervan kan een beeld geven van de toekomstige koersontwikkeling. (b) De geschiedenis herhaalt zichzelf: bepaalde patronen uit het verleden komen terug, a.d.h.v. de studie hiervan kunnen eveneens toekomstige koersontwikkelingen voorspeld worden. (c) Koersen volgen een bepaalde trend: er bestaan verschillende soorten trends, een opwaartse, neerwaartse of zijwaartse trend die zich in de toekomst zal verder zetten. Een mogelijke trendommekeer wordt bepaald via sterke signalen.

1.2. TECHNISCHE INDICATOREN

3

Er zijn eigenlijk twee soorten technische analyse, één ervan is het lijnentrekken (charting), ook wel de subjectieve technische analyse genoemd aangezien de analist zelf bepaalt hoe de lijn wordt getekend. De andere is dus de objectieve technische analyse, een analyse die gemaakt wordt aan de hand van technische indicatoren. Objectief omdat deze technische indicatoren berekend worden met de computer en bijgevolg telkens hetzelfde resultaat geven. Hoewel men in het begin zeer sceptisch stond tegenover deze analyse, heeft ze toch een grote evolutie gekend, daar zijn enkele redenen voor die aangetoond werden bij verschillende studies en daar wordt verder nog dieper op ingegaan. • Het gebruik van technische indicatoren, eventueel in combinatie met andere methoden, verbetert de juistheid van de voorspellingen. • Deze analyse kan gebruikt worden voor korte termijnen, terwijl dit bij de fundamentele analyse niet zo is. • Self fulfilling prophecy. Hoe populairder deze analyse wordt, hoe meer mensen gebruik zullen maken van dezelfde technische indicatoren én ernaar handelen, wat ervoor zorgt dat de koers in die richting zal bewegen. Uiteraard staat men ook sceptisch t.o.v. een nieuwe analyse, waarbij het laatste punt van de zogenaamde succesfactoren ook een bron voor kritiek is. (a) Self fulfilling prophecy: als iedereen effectief op dezelfde manier handelt bij het eventuele herkennen van een signaal/trend van een bepaald koersverloop, zal de voorspelling aan de hand van dit signaal/trend ook werkelijkheid worden. De kans dat iedereen technische analyse gebruikt en dan nog dezelfde conclusie trekt uit een bepaald patroon, is echter niet zo groot. Bijgevolg is deze kritiek over het algemeen onterecht. (b) Bij technische analyse worden historische slotkoersen gebruikt en wordt er niet gekeken naar de toekomst, terwijl dit ook van belang kan zijn. Het is echter zo dat het algemeen marktsentiment niet zomaar doorbroken kan worden en het kijken naar historische informatie dus zeer nuttig kan zijn. Naast de technische analyse bestaat er dus ook de fundamentele analyse, het verschil tussen deze twee is groot. Bij de fundamentele analyse wordt er wel rekening gehouden met de onderliggende financiële, economische en politieke factoren en wordt er geprobeerd om voorspellingen te maken voor alle relevante factoren. Meestal gebruikt men niet één analyse, maar verschillende analyses samen om zo een beter beeld te krijgen van de toekomstige marktbewegingen. Vaak staan wetenschappers nog sceptisch tegenover technische analyse, want zij geloven in de efficiënte markthypothese (EMH). D.w.z. dat alle beschikbare informatie in de aandelenkoersen verwerkt is. Bijgevolg heeft het volgens hen geen zin om met informatie van historische koersen voorspellingen voor toekomstige koersen te maken.

1.2

Technische indicatoren

Bij technische analyse wordt het vaakst gewerkt met technische indicatoren, deze indicatoren bepalen dan ook het belangrijkste deel voor zo’n analyse. Ze worden gebruikt in

4

HOOFDSTUK 1. TECHNISCHE ANALYSE

trending (de markt is omhoog of omlaag gericht) of trading (de markt beweegt zijwaarts) markten. Elk hebben ze hun eigen methode om te voorspellen wat de markt zal doen. Er zijn twee soorten technische indicatoren • trendvolgend (lagging): gebruik je in een trending markt, ze vertellen namelijk wanneer de trend start en stopt. De signalen worden wel gegeven met wat vertraging (lagging), het signaal van instappen/uitstappen komt na de start/het aflopen van de trend. Als de aandeelprijzen onder- of overschat worden, dan kunnen deze indicatoren daar blijk van geven. • countertrend (leading): gebruik je in een trading markt, ze vertellen wanneer er een top of bodem (overbought of oversold) is. Worden leading indicatoren genoemd omdat het signaal net voor een top of bodem wordt gegeven. Deze indicatoren kunnen de richting van de beweging en de kracht van de trend bepalen. De uitwerking van deze indicatoren is gebaseerd op [4], [3] en [5].

1.2.1

Voortschrijdend gemiddelde

De naam zegt het zelf, voor het berekenen van het voortschrijdend gemiddelde wordt over een bepaalde periode het rekenkundig gemiddelde van een historische reeks genomen. Het gemiddelde wordt elke dag opnieuw berekend als er een nieuwe slotkoers aan de reeks wordt toegevoegd en de laatste valt eruit, het schuift dus op. Dit is het basisconcept en eigenlijk de berekening van het gewoon voortschrijdend gemiddelde. Ondertussen werd dit concept verder uitgewerkt met enkele aanpassingen, wat leidde tot het exponentieel voortschrijdend gemiddelde, het gewogen voortschrijdend gemiddelde, het voorschrijdend gemiddelde convergentie divergentie en nog enkele andere die hier niet besproken worden. Het voortschrijdend gemiddelde is een lagging indicator.

Gewoon voortschrijdend gemiddelde (Simple Moving Average, SMA) n−1

1X x(t − i) SM An (t) = n i=0 met xt de aandeelprijs op tijdstip t. Aangezien er elke dag een herberekening is waarbij de laatste waarneming wegvalt en die van de nieuwe dag erbij komt, kan het SMA ook op volgende manier worden berekend SM An (t) = SM An (t − 1) +

1 (x(t) − x(t − n)). n

Dit is veel eenvoudiger om toe te passen en veel sneller.

Gewogen voortschrijdend gemiddelde (Weighted Moving Average, WMA)

W M An (t) =

n−1 X i=0

w(i)x(t − i)


5

met n−1 X

w(i) = 1

i=0

waarbij wi het gewicht dat wordt gegeven aan de waarneming op tijdstip i.

Exponentieel voortschrijdend gemiddelde (Exponential Moving Average, EMA) EM An (1) = x(1) EM An (t) = x(t) ∗ α + EM An (t − 1) ∗ (1 − α) met n het aantal dagen en de exponent α=

2 n+1

Voor de startwaarde van de EMA kan ook de SMA van dat moment worden berekend. De eerste n+1 elementen dragen ongeveer 86% van het gewicht. Stel dat voor een W M An (t), n → ∞ en w(i) exponentieel dalend, dan is dit een EM An (t). De parameter α bepaalt de halfwaardetijd van het exponentieel dalend geheugen.

Voortschrijdend gemiddelde convergentie divergentie (Moving Average Convergence Divergence, MACD) Deze indicator, ontwikkeld door Gerald Appel, wordt gebruikt om trends in de bewegingen van de markt te bepalen. Het is een oscillator die berekend wordt aan de hand van voortschrijdende gemiddeldes. Voortschrijdende gemiddeldes zijn lagging indicatoren en door het verschil ervan te nemen, ontstaat er een oscillator. De MACD-waarden uitgezet in een grafiek begeven zich rond de nullijn, er is geen onder- of bovengrens. Meestal neemt men EMA waarbij degene met lange periode afgetrokken wordt van de EMA met korte periode, dus de snelle minus de trage. De meest gebruikte periodes hiervoor zijn 26 en 12, door het gebruik van deze periodes wordt er een snellere oscillator gecreëerd. Daarnaast berekent men meestal nog een signaallijn (trigger), dit is een EMA van de MACD-waarden met over het algemeen als periode 9. Zo wordt dan het zogenaamde MACD-histogram opgesteld.

M ACD(t) =

t X

EM Ak (i) − EM Ad (i)

i=1

met over het algemeen k = 12 en d = 26 en als signaallijn EM An [M ACD(t)] met n = 9.

6


Interpretatie De eerste drie voortschrijdende gemiddelden kunnen als volgt geïnterpreteerd worden. Stijgen of dalen Als de MA stijgt, dan stijgen de prijzen over het algemeen ook. Bij een lange (korte) periode betekent dit dus dat we te maken hebben met een lange (korte) termijn opwaartse trend. Als de MA daalt, dan dalen, over het algemeen, de prijzen. Doorkruising (crossover) Stel dat er twee MA worden genomen, als deze elkaar doorkruisen, dan worden er signalen gegenereerd. Men neemt voor de ene MA een korte periode, voor de andere een lange periode. Als de korte MA de lange MA van onder naar boven doorkruist, ook wel gekend als een Golden cross, dan is dit een signaal om te kopen. Omgekeerd wordt er een verkoopsignaal gegenereerd en spreekt men van een Dead cross. Regels Meestal gebruikt men nog een band (1% band) rond de voortschrijdende gemiddelden, deze voorkomt dat er te veel ’whiplash’ signalen worden meegerekend die gegenereerd worden als de MA dicht bij elkaar liggen. De regel is dan om te kopen (verkopen) als het voortschrijdend gemiddelde met korte periode boven (onder) het voortschrijdend gemiddelde met lange periode gaat met een hoeveelheid die groter is dan de band. Beleggers gaan long (short) als het voortschrijdend gemiddelde met korte periode boven (onder) het voortschrijdend gemiddelde met lange periode gaat. Naar deze regel wordt verwezen als de VMA, variabele lengte voortschrijdend gemiddelde. Dan is er nog een andere regel, namelijk de FMA, vaste lengte voortschrijdend gemiddelde. Deze regel zegt dat de returns verschillend zouden moeten zijn in een bepaalde periode die volgt op een doorkruising. Signalen gegenereerd in die periode worden dan genegeerd. Voor de interpretatie van de MACD indicator ligt het wat anders. Nullijn De MACD-lijn evolueert rond de nullijn. Als deze lijn boven de nullijn blijft, betekent dit dat de koers stijgt, als de MACD-lijn boven de nullijn nog aan het stijgen is, zal de koers eveneens meer stijgen. Na het stijgen van de MACD-lijn, kan er een afbuiging naar de nullijn voorkomen, dit wil zeggen dat de koersstijging aan kracht verliest. Er vormen zich toppen en bodems in de MACD-grafiek en vervolgens ook in de grafiek van de koers. Als de MACD-lijn de nullijn doorkruist van onder naar boven, dan is dit een koopsignaal, omgekeerd wordt er een verkoopsignaal gegenereerd. Signaallijn Als zowel de MACD als zijn signaallijn zich boven de nullijn bevinden, dan geeft dit aan dat de koers hogere toppen en bodems vormt. Zolang deze twee lijnen blijven stijgen, blijft de koers ook een opwaartse trend volgen. Actieve beleggers zullen bij elke dip kopen. Als de MACD echter begint te dalen, dan toont de koers een neerwaartse trend, defensieve beleggers wachten tot een doorbraak door de nullijn om te kopen. Crossover Daarnaast kunnen ook de doorkruisingen van de MACD-lijn en signaallijn bekeken wor-


7

den. Er wordt een koopsignaal gegenereerd als de MACD-lijn zijn signaallijn van onder naar boven doorkruist, want de koers zal waarschijnlijk stijgen. Omgekeerd wordt er een verkoopsignaal gegenereerd, want de koers zal waarschijnlijk dalen. Divergentie Het histogram toont het verschil tussen de voortschrijdende gemiddelden. Als deze twee voortschrijdende gemiddelden verder uit elkaar gaan, dan wordt het histogram breder. Dus de term divergentie in voortschrijdend gemiddelde convergentie divergentie, wijst op het feit dat de voortschrijdende gemiddelden zich van elkaar verwijderen. Convergentie Eigenlijk gewoon het omgekeerde van divergentie. De voortschrijdende gemiddelden komen dichter bij elkaar en het histogram wordt dus smaller.

1.2.2

Relatieve Index

Zowel de relatieve kracht index als de relatieve volatiliteit index zijn leading indicatoren.

Relatieve kracht index (Relative Strength Index, RSI) De RSI indicator geeft inzicht in de onderliggende kracht van het koersverloop, dus de kracht van het aandeel relatief t.o.v. zichzelf. Voor de algemene berekening, via [20], ervan moeten over een bepaalde periode alle stijgende koersen worden opgeteld. Vervolgens ook de dalende koersen om dan de som van de stijgende te delen door de som van de dalende. Er bestaan verschillende mogelijkheden om deze index te berekenen, maar degene die het vaakst wordt gebruikt is die van J. Welles Wilder. Hij berekende de RSI door het gemiddelde van de slotkoersverschillen bij stijgende koersen te delen door het gemiddelde van slotkoersverschillen bij dalende koersen. A.d.h.v. de RSI kunnen eveneens koopen verkoopsignalen worden gegeven. De RSI is een verhouding die een waarde krijgt tussen 0 en 100. Er worden overbought en oversold voorwaarden bepaald. Als de aandelen overbought zijn, wil dit zeggen dat de koers door teveel koopdruk te sterk is gestegen, waardoor er waarschijnlijk een neerwaartse correctie (pullback ) zal volgen. Omgekeerd bij oversold, de koers is door teveel verkoopdruk te sterk gedaald, wat meestal een gevolg is van paniek of overdreven reacties. Dit wil over het algemeen zeggen dat de prijs van de activa ondergewaardeerd is, waardoor men gaat kopen en er een opwaartse correctie zal volgen.

RSIn (t) = 100 − RS =

100 1 + RSn (t)

gemiddelde van de slotkoersen van de hoger sluitende dagen gemiddelde van de slotkoersen van de lager sluitende dagen

Voor het aantal dagen n moet men, volgens Wilder, 14 dagen nemen. Deze formule kan aangepast worden door een gewicht te geven aan de dagen zodat de recente dagen zwaarder doorwegen bij de beslissing. Men kan dus eigenlijk ook werken met EMA’s.

8


Interpretatie De RSI-waarden worden uitgezet in de grafiek en vervolgens wordt deze grafiek in drie zones opgedeeld: • Koopzone: waarden tussen 0 en 30 • Neutrale zone: waarden tussen 30 en 70 • Verkoopzone: waarden tussen 70 en 100 Als de RSI hoger dan 50 gaat, is dit een teken voor een stijgende markt (Bull), lager dan 50 indiceert bijgevolg een dalende markt (Bear). Er wordt een koopsignaal gegenereerd als de RSI door de middenlijn (50) kruist van beneden, analoog een verkoopsignaal als de RSI door de middenlijn gaat, komende van boven de 50. Een aandeel is overbought als de RSI boven de grens van 70 gaat en oversold als de RSI onder de 30 gaat. Relatieve volatiliteit index(Relative Volatility Index, RVI) Deze indicator werd ontwikkeld door Donald Dorsey. Hij meet de standaardafwijking over een bepaalde periode van de hoogste en laagste koersen. De berekening gaat dan ook op dezelfde manier als bij de RSI, met als verschil dat deze keer niet de dagelijkse winst en het dagelijkse verlies worden berekend, maar de standaardafwijking over een periode. Meestal neemt men als periode 10 dagen. Deze indicator wordt vooral gebruikt voor de bevestiging van tradingsignalen. De waarde van de RVI ligt, net zoals bij de RSI, tussen de 0 en 100. Interpretatie Er zijn enkele regels die kunnen gebruikt worden voor het interpreteren van deze indicator • Als de RVI > 50 wordt er een koopsignaal gegenereerd. • Als de RVI < 50 wordt er een verkoopsignaal gegenereerd. Als de belegger deze signalen heeft gemist, dan is het aangeraden om • een long positie te sluiten als de RVI < 40. • een short positie te sluiten als de RVI > 60.

1.2.3

Trading Range break

Hiervoor wordt over een bepaalde periode het weerstandsniveau (resistance) of lokale maximum berekend rest (n) = max(xt−1 , . . . , xt−n ) en het ondersteuningsniveau (support) of lokale minimum supt (n) = min(xt−1 , . . . , xt−n )

1.3. VOOR- EN NADELEN

9

Interpretatie De regel hier is dat er een koopsignaal wordt gegenereerd als de prijs door het weerstandsniveau dringt, dus bij xt > rest (n) en een verkoopsignaal als de prijs door het ondersteuningsniveau gaat, xt < supt (n). De waarde van n kan hier telkens weer variëren, meestal neemt men 50, 150 en 200. Ook kan er hier opnieuw, voor dezelfde reden, een band ingevoerd worden.

1.3

Voor- en nadelen

Elke reeds besproken indicator heeft zijn voordelen, anders zou niemand ze gebruiken, maar zeker ook zijn nadelen.

1.3.1

Voortschrijdend gemiddelde

Een overduidelijk voordeel van deze indicator is het feit dat fluctuaties in de koers hiermee glad worden gemaakt. Door het gemiddelde te nemen over een bepaalde periode, krijgen eventuele uitschieters minder gewicht, krijgt de koers een vloeiender verloop en zo heeft men meer zicht op de eigenlijke trend. Met uitschieters worden tijdelijke bewegingen in de markt bedoeld die niets te maken hebben met de trend van dat moment. Deze zorgen bijgevolg voor slechte signalen. Met het voortschrijdend gemiddelde kunnen er koopen verkoopsignalen gegenereerd worden, wat zeer belangrijk is voor een belegger. Dit zijn de voordelen van elk soort voortschrijdend gemiddelde, maar er bestaan verschillende voortschrijdende gemiddeldes en elk heeft ook zijn eigen nadelen. Een gezamenlijk nadeel is wel dat het trendvolgers zijn, wat wil zeggen dat ze eigenlijk te laat reageren. Het signaal wordt meestal pas gegeven als de trend al volop bezig is. Er kan ook iets gezegd worden over de lengte van de periode bij voortschrijdende gemiddelde. Als de periode lang wordt genomen, dan zijn de signalen belangrijker dan bij een korte periode, ze geven namelijk de hoofdtrends aan. Het nadeel hiervan is dat de signalen veel later komen dan bij voortschrijdende gemiddeldes met een kortere periode. Bij een korte periode worden er meer en sneller signalen gegeven aangezien deze dichter aanleunt bij het koersverloop, het nadeel is echter dat er vaker valse signalen tussen zitten die niet wijzen op de hoofdtrend.

Gewoon voortschrijdend gemiddelde Bij dit voortschrijdend gemiddelde wordt aan de slotkoers van een heel eind geleden (bij n groot) evenveel gewicht toegekend aan de recentere slotkoersen. Dit is een groot nadeel aangezien de recente slotkoersen belangrijker kunnen zijn om een eventuele trendommekeer te voorspellen.

Gewogen voortschrijdend gemiddelde Het voordeel van dit lichtjes aangepaste voortschrijdend gemiddelde, is dat de recentste waarneming hier meer gewicht krijgt. Als er zich een trendommekeer voordoet, kan deze

10


sneller worden gedetecteerd. Ook deze indicator is niet feilloos, want als de koers sterk gaat fluctueren, kan er door die toekenning van gewicht een zeer onduidelijk trendpatroon ontstaan, opnieuw een nadeel.

Exponentieel voortschrijdend gemiddelde Bij de berekening van het exponentieel voortschrijdend gemiddelde worden de voordelen van het SMA en WMA gecombineerd, namelijk gemiddelde nemen en gewicht toekennen. Daarnaast houdt deze indicator nog rekening met slotkoersen uit het verleden, wat niet het geval was bij de andere twee aangezien die telkens verdwenen uit de berekening. Dit wordt gedaan a.d.h.v. α en is een bijkomend voordeel voor de voortschrijdende gemiddelden. Deze methode moet echter opnieuw inboeten qua reactievermogen voor de voorspelling van een trendommekeer. Zowel SMA als EMA ervaren dit nadeel t.o.v. de WMA die sneller reageert. Er kan geconcludeerd worden dat elk voortschrijdend gemiddelde zijn eigen voor- en nadelen bezit, met die reden gebruikt men dan ook meerdere van deze indicatoren samen. Een voorbeeld daarvan is het voortschrijdend gemiddelde convergentie divergentie, die verschillende exponentiële voortschrijdende gemiddelden gebruikt.

Voortschrijdend gemiddelde convergentie divergentie Voor het gebruik van een MACD is de vereiste dat de markt beweeglijk is. Het nadeel dus van een MACD is dat deze in zijwaartse trends veel valse signalen zal geven. De signaallijn maakt het wel makkelijker om een ommekeer op te merken bij de MACD lijn. De MACD is wel niet goed voor het bepalen van overbought en oversold, het heeft geen boven- en ondergrenzen. Door twee lijnen te gebruiken wordt het verloop nog gladder gemaakt.

1.3.2

Relatieve kracht/volatiliteit index

Het grote voordeel van deze indicatoren is dat het leidende indicatoren zijn, a.d.h.v. hun berekening kan een trendommekeer voorspeld worden voordat deze zich effectief voordoet. Ze werken vooral goed in zijwaartse markten, bij markten met een sterke trend worden er echter veel valse signalen gegeven. Ze filteren het ruis in de markt, grote uitschieters worden dus weggewerkt. Deze indicatoren worden echter vooral gebruikt om tradingsignalen te bevestigen, maar zijn op zich eigenlijk niet voldoende, daarom worden ze ook vaak gebruikt in combinatie met Moving Averages.

1.3.3

Trading Range break

Meestal zijn de weerstands- en ondersteuningsniveaus niet volledig correct, dit zorgt ervoor dat er valse breakouts kunnen zijn. De koers gaat dan zogezegd door de niveaus, maar keert dan terug binnen het voorgaande gebied. Eventueel kunnen filters ingevoerd worden om dit te verhelpen, maar deze valse signalen zijn zeer nadelig voor een belegger. Nog een nadeel is dat echte grote uitbraken, die kunnen leiden tot grote opbrengsten, zeldzaam

1.4. ZIN EN ONZIN

11

zijn. Het voordeel van deze methode is wel dat ze zo gemakkelijk is, aangezien deze niveaus makkelijk te berekenen zijn.

1.4

Zin en onzin

Al heel wat wetenschappers hebben zich er op toegelegd om voor eens en voor altijd aan te tonen of technische indicatoren nu al dan niet nuttig kunnen zijn, er bestaan dan ook al veel artikels die de bijdrage van deze indicatoren aantonen of weerleggen. Laat ons beginnen met het slechte nieuws om op die manier niet te moeten eindigen met een bittere nasmaak, maar met positief nieuws i.v.m. de nuttigheid van de technische indicatoren. In een artikel van Fama [29] reageert deze zich af tegen de technische analyse en wordt deze zelfs vergeleken met astrologie, eveneens pure onzin volgens hem. In een ander artikel [17] gaat hij daar nog verder op in. Een wetenschapper die hem ongeveer volgt in zijn overtuiging, Neftci [30] toont aan dat als economische tijdreeksen verondersteld worden Gaussisch te zijn, indicatoren de toekomstige prijzen niet kunnen voorspellen. Als de prijzen echter niet-lineair zijn, kunnen er wel enige voorspellingen gemaakt worden a.d.h.v. technische regels. Ook Hudson et al. [31] toonde aan dat de technische regels zoals de moving average strategie en trading range breakout geen voordeel bieden t.o.v. een simpele buy and hold strategie, toegepast op UK aandeelprijzen van 1935 tot 1994. In een recent artikel [32] heeft men zich eveneens afgevraagd of technische analyse wel nuttig is. Daar kwam men tot de conclusie dat het beter niet zou gebruikt worden omdat er vaak een vertekend beeld wordt gegeven. Er zijn ook andere artikels die het tegendeel aantonen. Zowel Brock et al. [4] en Kwon and Kish [33] concludeerden dat technische regels, in tegenstelling tot wat bovenstaande wetenschappers suggereerden, wel degelijk hun nut hadden en betere resultaten leverden dan een buy and hold strategie. Brock et al. namen de proef op de som met de Moving Average strategie en Trading Range Breakout op data van de Dow Jones index voor de periode 1897-1986. In dat artikel kon de conclusie worden genomen dat deze regels beter waren dan een buy and hold strategie. Terence en Wing-Kam [20] toonden aan dat de MACD en RSI indicatoren betere resultaten gaven dan de buy and hold strategie, toegepast op de FT30 index met waarnemingen van juli 1935 tot januari 1994. In [3] werd ook aangetoond dat de technische regels een beter resultaat gaven dan een simpele Buy and Hold strategie. Dit bleek toch zo te zijn tot de vroege jaren in de jaren 80, vanaf dan domineerde de Buy and Hold strategie des te meer. Ook in [5], waar deze keer gewerkt werd met de MACD en RVI indicator, leverde toepassing op de financiële markt van de republiek Servië nuttige koopen verkoopsignalen met als gevolg een verbetering van de opbrengst bij investeringen.

12


Hoofdstuk 2 Lévy processen Voor het prijzen van Europese opties ontwikkelden Black and Scholes [9] en Merton [10] een eerste formule, genaamd het Black-Scholes model. Het oorspronkelijke Black-Scholes model heeft echter heel wat beperkingen aangezien de drijfveer ervan een Brownse beweging is en deze heeft enkele veronderstellingen die niet consistent zijn met de realiteit. Door te werken met zo’n beweging wordt er namelijk normaliteit van de logreturns en constante volatiliteit verondersteld, wat in de praktijk over het algemeen niet het geval is. Daarom zocht men naar een nieuwe drijfveer voor dit model, processen die beter de realiteit weerspiegelen en tijdens toch nog wat eenvoudige analytische eigenschappen behouden. Lévy processen spelen hierbij een belangrijke rol. Er bestaan verschillende Lévy processen, enkele ervan zijn het variance gamma proces van Madan and Seneta [11], het normal inverse Gaussian proces van Barndorff-Nielson [12], het Meixner proces van Schoutens [13] en het CGMY proces van Carr, et al. [14]. Zo’n modellen veronderstellen niet meer dat de logreturns normaal verdeeld zijn. Er dient wel worden opgemerkt dat de veronderstelling van constante volatiliteit, indien gedefinieerd, bij de simpele Lévy processen nog steeds geldt.

2.1

Basisbegrippen

Er wordt verondersteld dat de lezer van deze scriptie de basis van de kans- en maattheorie kent. In dit deel worden enkele frequent gebruikte begrippen opgefrist a.d.h.v. de hoofdstukken 1, 2, 4 en 5 van [7]. Definitie 2.1 (σ-algebra). Zij S een niet-ledige verzameling en F een collectie van deelverzamelingen van S. F is dan een σ-algebra als geldt: (a) S ∈ F. (b) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F. (c) Als (An , n ∈ N) een rij deelverzamelingen is in F, dan is ∞ [

An ∈ F

n=1

13

14

HOOFDSTUK 2. LÉVY PROCESSEN

Het koppel (S, F) wordt een meetbare ruimte genoemd. Definitie 2.2 (Maat). Een maat op (S, F) is een afbeelding µ : F → [0, ∞] waarvoor (a) µ() = 0. (b) µ

∞ [

! An

n=1

=

∞ X

µ(An )

n=1

voor elke rij (An , n ∈ N) van onderling disjuncte verzamelingen in F. Voor kansmaten geldt dat S = Ω, de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een bepaald kansexperiment. De elementen van de bijhorende σ-algebra worden gebeurtenissen genoemd. Zij P een maat waarvoor P(Ω) = 1, dan is dit een kansmaat op (Ω, F) en (Ω, F, P) een kansruimte. Eigenschappen zijn bijna zeker (b.z.) als de verzameling van alle elementen waarvoor de eigenschap niet geldt, maat 0 heeft. Zij F een σ-algebra van deelverzamelingen van een niet-ledige verzameling Ω. Definitie 2.3 (Filtratie). Een familie (Ft , t ≥ 0) van sub-σ-algebra’s van F is dan een filtratie als ∀ s ≤ t geldt dat Fs ⊂ Ft . Een kansruimte (Ω, F, P) met een filtratie wordt een gefilterde kansruimte genoemd. Hierbij stelt Ft de informatie voor die beschikbaar is op tijdstip t en de filtratie F bijgevolg de informatiestroom die evolueert met de tijd. Zij (Ω, F, P) een gefilterde kansruimte, dan veronderstellen we dat ook nog voldaan is aan volgende voorwaarden, de zogenaamde gebruikelijke voorwaarden: • F is compleet: F0 bevat alle verzamelingen A ∈ F waarvoor P(A) = 0. \ Ft+ . • F is rechts-continu: Ft = >0

Er wordt altijd gewerkt met een gefilterde kansruimte die voldoet aan deze voorwaarden. Definitie 2.4 (Stochastische veranderlijke). Zij (Ω, F, P) een kansruimte, een stochastische veranderlijke (s.v.) is dan een meetbare afbeelding van Ω in Rd . De verdeling van de s.v. X is de kansmaat pX = P ◦ X −1 gedefinieerd in Rd . Definitie 2.5 (Stoptijd). Een s.v. T : Ω → [0, ∞[ is een stoptijd als ∀ t ∈ [0, ∞[ geldt dat (T ≤ t) ∈ Ft . Uit het feit dat F rechts-continu is, volgt er dat de veranderlijke T een stoptijd is ⇔ (T < t) ∈ Ft , ∀ t ∈ [0, ∞[.

2.1. BASISBEGRIPPEN

15

Definitie 2.6 (Integreerbaar). Een s.p. X = (X(t), t ≥ 0) is integreerbaar als E(|X(t)|) < ∞, ∀ t ≥ 0. Definitie 2.7 (Verwachtingswaarde). Zij X een integreerbare s.v. op (Ω, F, P). De verwachtingswaarde van X is dan Z Z E(X) = µX = X(ω)P(dω) = xpX (dx) Ω

Rd

Definitie 2.8 (Variantie en standaardafwijking). Zij X een integreerbare s.v. op (Ω, F, P). De verwachtingswaarde van X is gedefinieerd op deze kansruimte. Dan is de variantie de verwachtingswaarde van het kwadraat van de afwijking tussen X en E(X) van X 2 V ar(X) = σX = E[(X − E(X))2 )]

of wegens de lineariteit van de verwachtingswaarden V ar(X) = E[X 2 ] − (E(X))2 . De standaardafwijking is de wortel van de variantie : σX =

p V ar(X)

En hieruit volgt nog de covariantie. Definitie 2.9 (Covariantie). Zij X en Y twee s.v. op (Ω, F, P), dan is de covariantie tussen deze twee Cov(X, Y ) = E[(X − µX )(Y − µY )] met Cov(X,X) = Var(X). Definitie 2.10 (Stochastisch proces). Zij (X(t), t ≥ 0) een familie van s.v. gedefinieerd op dezelfde kansruimte (Ω, F, P), dan is X = (X(t), t ≥ 0) een stochastisch proces, s.p.. De afbeeldingen R+ → Rd : t → X(t)(ω) met ω ∈ Ω worden de paden van X genoemd. Een stochastisch proces speelt zich af in de tijd met grootheden die op toeval gebaseerd zijn, de stochastische veranderlijken. Aan de hand van dit proces kan men dus de evolutie van een kans in de tijd bekijken. Definitie 2.11 (Aangepast proces). Een s.p. X = (X(t), t ≥ 0) gedefinieerd op (Ω, F, P)is een aangepast proces als de s.v. X(t) Ft -meetbaar is, ∀ t ≥ 0. De definitie van een aangepast proces vertelt dus eigenlijk dat X(t) gekend is op het tijdstip t.

2.1.1

Markov proces

Een Markov proces is een stochastisch proces waarbij enkel de recente waarde van een stochastisch veranderlijke meetelt bij het voorspellen van de toekomst. Dit wil dus eigenlijk zeggen dat bv. de aandeelprijs van een week of een maand geleden er niet toe doet bij het bepalen van toekomstige aandeelprijzen. Zij (Ω, F, P) een kansruimte en Ft , 0 ≤ t < ∞, een filtratie van sub-σ-algebra’s van F. Beschouw een aangepast stochastisch proces X. Onderstel dat voor alle 0 ≤ s ≤ t ≤ ∞ en

16


voor alle niet-negatieve, Borelmeetbare functies f , er een andere Borelmeetbare functie g bestaat zodat E[f (X(t))|Fs ] = g(X(s)) dan is X een Markov proces.

2.1.2

Martingaal

Een integreerbaar aangepast stochastisch proces M is een martingaal op de kansruimte (Ω, F, P) als ∀ 0 ≤ s < t < ∞ geldt dat E[M (t)|Fs ] = M (s) b.z. Dit betekent dat de beste voorspelling van de onbekende M (t) gebaseerd op de informatie die beschikbaar is op het tijdstip s, eigenlijk de waarde M (s) is. Uit de definitie van M als aangepast stochastisch proces volgt dat deze M (s) gekend is. Er is geen tendens om te stijgen en geen tendens om te dalen, bijgevolg zal de martingaal een constante verwachtingswaarde hebben, want E(M (t)) = E(M (t)|F0 ) = M (0) b.z. Mochten die tendensen er wel zijn, dan hebben we te maken met respectievelijk een submartingaal en een supermartingaal. Als E[X(t)|Fs ] ≥ X(s), ∀ 0 ≤ s ≤ t < ∞ dan is het proces X een submartingaal, er kan een tendens zijn om te stijgen. Als E[X(t)|Fs ] ≤ X(s), ∀ 0 ≤ s ≤ t < ∞ dan is het proces X een supermartingaal en kan er een tendens zijn om te dalen. Een voorbeeld van een martingaal is de Brownse beweging. Definitie 2.12 (Lokale martingaal). Zij M = (M (t), t ≥ 0) een aangepast proces waarvoor er een rij stoptijden, τ1 ≤ · · · ≤ τn → ∞ b.z., bestaat zodat elk proces (M (t∧τn ), t ≥ 0) een martingaal is, dan is X een lokale martingaal. Elke martingaal is een lokale martingaal, omgekeerd geldt dit niet altijd. Stelling 2.13. Elke lokale martingaal met M (0) = 0 heeft een unieke decompositie in M = Mc + Md waarbij M c een lokale martingaal is met continue paden en M d een zuiver discontinue lokale martingaal. Bewĳs. zie [27].

2.1. BASISBEGRIPPEN

2.1.3

17

Processen met eindige en oneindige variatie

Definitie 2.14 (Càdlàg). Een stochastisch proces (X(t), t ≥ 0) wordt een càdlàg proces genoemd als het bijna zeker paden heeft die rechts-continu zijn en linkerlimieten hebben. Zij (X(t), t ≥ 0) een stochastisch proces en definieer de linkerlimiet als X(t−) := lim X(s) s↑t

bijgevolg kan een sprong op tijdstip t genoteerd worden als ∆X(t) = X(t) − X(t−) Zij nu P = {a = t1 < t2 < · · · < tn+1 = b} een partitie van het interval [a, b] ⊂ R. De variatie van de functie f over de partitie P wordt dan gedefinieerd als varP (f ) =

n X

|f (ti+1 ) − f (ti )|

i=1

Definitie 2.15 (Eindige/oneindige variatie). Als supP varP (f ) < ∞, dan heeft f een eindige variatie op [a, b]. Is dit niet het geval, dan heeft f een oneindige variatie op [a, b]. Een functie f die gedefinieerd is op R of op [0, ∞) is van eindige variatie als deze van eindige variatie is over elk compact interval. Er valt bijgevolg op te merken dat elke niet-dalende functie f van eindige variatie is. Als omgekeerd f niet van eindige variatie is, dan kan deze altijd geschreven worden als het verschil van twee niet-dalende functies. Zij nu X = (X(t), t ≥ 0) een stochastisch proces, dan is dit proces van eindige variatie als de paden (X(t)(ω), t ≥ 0) van eindige variatie zijn, voor bijna alle ω ∈ Ω. Als dit niet het geval is, dan is X van eindige variatie. Vervolgens kan er nog een martingaal worden gedefinieerd, meer bepaald de semimartingaal. Definitie 2.16 (Semimartingaal). Zij X = (X(t), t ≥ 0) een aangepast proces en ∀ t ≥ 0 kan X(t) geschreven worden als X(t) = X(0) + M (t) + V (t) dan is X een semimartingaal waarbij M = (M (t), t ≥ 0) een lokale martingaal is en V = (V (t), t ≥ 0) een aangepast proces met eindige variatie. Stelling 2.17 (Doob-Meyer-decompositie). Zij X een càdlàg en aangepast proces. Dan zijn volgende uitspraken equivalent: (a) X is een semimartingaal, (b) X heeft een decompositie X = X(0) + M + V met M (0) = V (0) = 0, waarbij M = (M (t), t ≥ 0) een lokale kwadratisch integreerbare martingaal is en V = (V (t), t ≥ 0) een proces met eindige variatie. (c) X heeft een decompositie X = X(0) + M + V met M (0) = V (0) = 0, waarbij M = (M (t), t ≥ 0) een lokale martingaal is en V = (V (t), t ≥ 0) een proces met eindige variatie.

18


(d) X heeft een decompositie X = X(0) + M + V met M (0) = V (0) = 0, waarbij M = (M (t), t ≥ 0) een lokale martingaal is met begrensde sprongen en de paden van V = (V (t), t ≥ 0) een eindige variatie hebben. Als X een semimartingaal is met begrensde sprongen, dan heeft X een unieke decompositie X = X(0) + M + V met M (0) = V (0) = 0, waarbij M een lokale martingaal is en V een aangepast proces met eindige variatie. Er wordt dan gesproken van een speciale semimartingaal. Definitie 2.18 (Speciale semimartingaal). Het proces X wordt een speciale semimartingaal genoemd als deze de unieke canonische decompositie X = X(0) + M + V bezit.

2.1.4

Karakteristieke functies

Zij X een stochastisch veranderlijke op de kansruimte (Ω, F, P) met kansverdeling pX . De karakteristieke functie φX : Rd → C wordt dan gedefinieerd door Z i(u,X) φX (u) = E e = ei(u,X(ω)) P(dω) Ω Z ei(u,y) pX (dy), = Rd

voor alle u ∈ Rd . Enkele elementaire eigenschappen: • |φX (u)| ≤ 1, • φX (−u) = φX (u), • X is symmetrisch a.s.a. φX (u) een reëelwaardige functie is, • als X = (X1 , . . . , Xd ) en E(|Xjn |) < ∞ voor 1 ≤ j ≤ d en n ∈ N, dan is n n −n ∂ E(Xj ) = i φ (u) X ∂jn u=0 Als MX (u) = φX (−iu) bestaat in een omgeving van u = O, dan wordt dit de momentgenererende functie van X genoemd. In dit geval bestaan alle momenten van X en door partiële differentiatie op MX toe te passen zoals hierboven, kunnen deze momenten berekend worden. Voor gegeven u1 , . . . , ud ∈ Rd , wordt ΦX genoteerd als de d × d matrix waarbij op de (i, j)-de plaats φX (ui − uj ) staat. Lemma 2.19. Voor φX en ΦX geldt: (a) ΦX is positief definiet, ∀ u1 , . . . , ud ∈ Rd . (b) φX (0) = 1. (c) De afbeelding u → φX (u) is continu in de oorsprong. Bewĳs. zie [7] p. 15-16

2.1. BASISBEGRIPPEN

2.1.5

19

Oneindige deelbaarheid

Zij M1 (Rd ) een verzameling van alle Borel kansmaten op Rd . Definitie 2.20 (Convolutie). De convolutie van twee kansmaten is Z µ1 (A − x)µ2 (dx) (µ1 ∗ µ2 )(A) = Rd

voor elke µi ∈ M1 (Rd ), i = 1,2 en elke A ∈ B(Rd ), waarbij A − x = {y − x, y ∈ A}. Definitie 2.21 (Oneindige deelbaarheid). Zij X een s.v. met als verdeling µX , dan is X oneindig deelbaar als er ∀ n ∈ N onafhankelijke, identiek verdeelde (i.i.d.) s.v. (n) (n) Y1 , . . . , Yn bestaan zodat d (n) X = Y1 + . . . + Yn(n) i(u,X) Stel φX (u) = E(e ) de karakteristieke functie van X, met u ∈ Rd . Als µ ∈ M1 (Rd ), R dan is φµ (u) = Rd ei(u,y) µ(dy).

Stelling 2.22. De volgende beweringen zijn equivalent: (a) X is oneindig deelbaar. (b) µX heeft een convolutie n-de machtswortel die zelf de verdeling is van een s.v., ∀ n ∈ N. (c) φX heeft een n-de machtswortel die zelf de karakteristieke functie is van een s.v., ∀ n ∈ N. Bewĳs. zie [7] p. 23-24

2.1.6

Stelling van Lévy-Khintchine

Deze formule werd opgesteld door Paul Lévy en A.Ya. Khintchine, ze geeft een karakterisatie van oneindig deelbare s.v. via hun karakteristieke functies. Definitie 2.23 (Lévy maat). Zij ν een Borelmaat gedefinieerd op Rd − {0}, dan is ν een Lévy maat als Z (|y|2 ∧ 1)ν(dy) < ∞ Rd −{0}

Elke eindige maat op Rd − {0} is een Lévy maat. Door te stellen dat ν({0}) = 0 kunnen de Lévy maten op heel Rd worden gedefinieerd. Stelling 2.24 (Lévy-Khintchine). µ ∈ M1 (Rd ) is oneindig deelbaar als er een vector b ∈ Rd , een positief definitie (d × d)-matrix A en een Lévy maat ν op Rd − ({0}) bestaan, zodat ∀ u ∈ Rd geldt dat Z 1 i(u,y) [e − 1 − i(u, y)χBˆ (y)]ν(dy) φµ (u) = exp i(b, u) − (u, Au) + 2 Rd −({0}) ˆ = B1 (0) en χ ˆ de bijhorende indicatorfunctie. met B B Bewĳs. zie [7] p.28

20

2.2 2.2.1


Black-Scholes Geometrische Brownse beweging

Zij (S(t), t ≥ 0) een stochastisch prijsproces dat verandert over een kleine tijdstap dt, ook vaak naar verwezen als δ. Deze verandering S(t + δ) − S(t) is gedefinieerd als dS. Zij (W (t), t ≥ 0) een standaard Brownse beweging, dan wordt de prijs van de onderliggende waarde bepaald door volgende stochastische differentiaalvergelijking dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW (t) = S(t+δ)−S(t) de relatieve verandering (return) van de aandeelprijs is. Daarwaarbij dS S S(t) naast is σ > 0 de volatiliteit die de beweeglijkheid van de aandeelprijs toont, µ ∈ R de drift die de gemiddelde groei voorstelt en beide parameters zijn in dit geval constant. Het proces S = (St )t≥0 wordt dan de Geometrische Brownse beweging genoemd. Toepassing van Ito’s lemma voor Brownse beweging met f (S) = ln(S) en vervolgens integratie levert dan 1 2 S(t) = S(0) exp σW (t) + µ − σ t 2 Via transformaties en opnieuw Ito’s lemma 1 2 d(ln S(t)) = µ − σ dt + σdW (t) 2 en hieruit 1 2 X(t) = ln S(t) − ln S(t − 1) = µ − σ ∆t + σ(W (t) − W (t − 1)). 2 Dit is een logaritmische return, waarbij ∆t in dit geval gelijk is aan 1. Aangezien voor t ≥ 0, W (t) ∼ N (0, t) is de verwachtingswaarde 1 E(X(t)) = µ − σ 2 2 en de variantie V ar(X(t)) = σ 2 . De GBM is dus een log-normaal verdeeld proces, met normaal verdeelde logreturns ∼ N (µ − σ 2 /2, σ 2 ). In het vervolg worden bij de processen telkens de logreturns S(t + δ) r(t + δ) = ln S(t + δ) − ln S(t) = ln S(t) beschouwd i.p.v. de relatieve returns R(t) =

S(t + δ) − S(t) . S(t)

omdat deze als eigenschap hebben dat de som van de logreturns over n perioden met lengte δ gelijk is aan de logreturn van één periode met lengte nδ. Dit is niet het geval voor de relatieve returns. Bij het werken met de logreturns kan er ook gecontroleerd worden of we te maken hebben met een normale verdeling, terwijl we bij relatieve returns

2.3. PROBLEMEN

21

moeten controleren op een lognormale verdeling, wat moeilijker is. Er is wel een relatie tussen de twee, namelijk S(t + δ) ln = r(t + δ) = ln (1 + R(t + δ)) S(t) uit deze relatie en het feit dat voor kleine waarden van x geldt dat ln(1 + x) ∼ = x, is duidelijk dat het gebruiken van de logreturns geen problemen zal opleveren.

2.2.2

Definitie

Zij (Ω, F, P) een gefilterde kansruimte en veronderstel een frictieloze markt met twee assets. (a) Een risicoloze asset. Het prijsproces hiervan is gegeven door B = (B(t) = exp(rt), t ≥ 0) (b) Een risicovolle asset. Het prijsproces S = (S(t), t ≥ 0) wordt bepaald door een geometrische Brownse beweging. Het Black-Scholes marktmodel is compleet, bijgevolg bestaat er slechts één equivalente martingaalmaat Q. Uit de stelling van Girsanov volgt dat de aandeelprijzen opnieuw een geometrische Brownse beweging volgen. Het zo opgestelde risico-neutrale aandeelprijsproces heeft dezelfde volatiliteit σ, maar de drift parameter µ is nu gelijk aan de continu samengestelde risicovrije intrest r minus de dividend opbrengst q. Dus 1 S(t) = S(0) exp((r − q − σ 2 )t + σW (t)) 2 en de stochastische differentiaalvergelijking is dS(t) = S(t)((r − q)dt + σdW (t)), S(0) > 0 In een risiconeutrale wereld is de totale return van een aandeel dan r en een return q voor de dividenden.

2.3

Problemen

Deze samenstelling bepaalt het Black-Scholes model en hiermee worden er ook enkele veronderstellingen gemaakt: Veronderstelling 1: Er is geen mogelijkheid tot arbitrage. Veronderstelling 2: Er zijn geen transactiekosten. Veronderstelling 3: Er worden geen dividenden betaald.

22


Veronderstelling 4: De intrestvoet is gekend en constant. Veronderstelling 5: De aandeelprijzen volgen een GBM met constante drift en volatiliteit. Veronderstelling 6: Ook short sellen is mogelijk. Deze assumpties brengen uiteraard beperkingen met zich mee en er blijkt echter dat ze niet in overeenstemming zijn met de realiteit en dit zorgt dus voor een vertekend beeld. De voornaamste problemen hierbij zijn: • (Volatiliteitsclustering) Verschillende studies hebben aangetoond dat er perioden zijn met hoge volatiliteit (turbulente perioden) en met lage volatiliteit (rustigere perioden), er zijn dus clusters met verschillende volatiliteit, daarom de naam volatiliteitsclustering. Dit in tegenstelling tot dit Black-Scholesmodel die een constante volatiliteit veronderstelt. Vandaar ook dat men op geïmpliceerde volatiliteit grafieken meestal iets tegenkomt wat de volatiliteitsglimlach of volatility smile wordt genoemd. Dit is het fenomeen dat verschijnt als opties waarvan de uitoefenprijs ongeveer gelijk is aan de beurskoers, at the money opties, lagere geïmpliceerde volatiliteit hebben dan opties die ofwel een uitoefenprijs hebben die lager (call)/hoger (put) ligt dan de beurskoers, in the money opties, ofwel nog geen waarde hebben als ze uitgeoefend worden, out the money opties. Op de grafiek met uitoefenprijzen verschijnt er dan geen mooie rechte, maar een boog. • (Zware staarten) Het Black-Scholes model baseert zich op een normale verdeling voor de prijsveranderingen, wat wil zeggen dat de prijzen zelf worden verondersteld een lognormale verdeling te hebben. In werkelijkheid verschilt de verdeling van de prijzen echter significant van een lognormale verdeling. Meestal heeft men te maken met zwaardere staarten, de verdeling is leptokurtosisch, wat duidt op meer kans voor uitschieters, gevaarlijk voor beleggers.

2.4

Lévy proces

De Franse wiskundige Paul Lévy (1886 - 1971) verdiepte zich in de studie van oneindige deelbaarheid en van processen met onafhankelijke en stationaire toenames. Hij zocht naar een model dat net zoals de Brownse beweging simpele analytische eigenschappen had, maar tegelijkertijd de assumptie van normaal verdeelde data uit de weg ging en zo de data realistischer weerspiegelde. Als resultaat vond hij een proces dat hieraan voldeed en dit werd het Lévy proces genoemd. De dag van vandaag zijn ze zeer populair en er bestaan al verschillende Lévy processen. De meest fundamentele en simpele processen zijn het Wiener proces en het Poisson proces. Eigenlijk zijn alle Lévy processen een samenstelling van een Wiener proces en een eindig/oneindig aantal onafhankelijke Poisson processen. Ondertussen speelt ook het gebruik van oneindig deelbare verdelingen een belangrijke rol. Een proces dat hierbij uitvoerig wordt bekeken, is het proces van Madan and Seneta [11], namelijk het variance gamma proces. Dit deel is hoofdzakelijk gebaseerd op [7], [22] en [6]. Er wordt gewerkt in R, dus d=1. Definitie 2.25 (Lévy proces). Een aangepast proces X = (X(t), t ≥ 0) op (Ω, F, P ) met X(0) = 0 is een Lévy proces als het voldoet aan

2.4. LÉVY PROCES

23

• Onafhankelijke toenames: X(t) − X(s) is onafhankelijk van Fs , ∀ 0 ≤ s < t • Stationaire toenames: d

X(t) − X(s) = X(t − s), ∀ 0 ≤ s < t • Stochastisch continu: lim P(|X(t + h) − X(t)| ≥ ) = 0, ∀ > 0, t > 0

h→0

Uit de laatste voorwaarde volgt niet dat de paden van (X(t), t ≥ 0) continu zijn, maar zorgt er wel voor dat processen met sprongen op vaste tijdstippen uitgesloten worden. De kans op een sprong bij een Lévy proces op een gegeven tijdstip t is bijgevolg (b.z.) gelijk aan nul. Stelling 2.26. Elk Lévy proces heeft een càdlàg aanpassing die zelf ook een Lévy proces is. Bewĳs. zie [7] p.74 Uit bovenstaande stelling volgt dus dat er een aanpassing van het Lévy proces met càdlàg paden bestaat die ook een Lévy proces is. In het vervolg wordt een Lévy proces beschouwd met càdlàg paden. Een Lévy proces wordt volledig bepaald door zijn karakteristieke triplet (σ 2 , υ, γ), met σ 2 ∈ [0, ∞) de Gaussische variantie (Brownse beweging), γ ∈ R de drift en Π een Lévy maat. Definitie 2.27 (Subordinator). Een subordinator is een niet-dalend (b.z.) één-dimensionaal Lévy proces. Er geldt dat: • T (t) ≥ 0 b.z. voor alle t > 0. • T (t1 ) ≤ T (t2 ) b.z. als t1 ≤ t2 Hieruit volgt dat een subordinator geen diffusie component heeft, maar enkel positieve sprongen en een niet-negatieve drift [16]. Stel dat St een subordinator is met karakteristieke triplet (0, ρ, b). De momentgenererende functie van St is dan E[euSt ] = etl(u) ∀u ≤ 0 met

Z l(u) = bu +

(2.1)

∞

(eux − 1)ρ(dx).

0

De functie l(u) wordt de Laplace exponent van de subordinator genoemd. Hier volgt een voorbeeld dat verderop wordt gebruikt bij het Variance Gamma proces. Subordinators kunnen gebruikt worden voor tijdsveranderlijke Lévy processen. Eerst volgt een belangrijke stelling i.v.m. subordinators.

24


Stelling 2.28 (Subordinatie van een Lévy proces). Zij (Ω, F, P) een kansruimte, Xt een Lévy proces gedefinieerd op R met karakteristieke exponent Ψ(u) en triplet (σ 2 , Π, γ) en St een subordinator met Laplace exponent l(u) en karakteristiek triplet (0, ρ, b). We veronderstellen dat Xt en St onafhankelijk zijn, dan is het proces Yt gedefinieerd voor elke ω ∈ Ω door Y (t, ω) = X(S(t, ω), ω) een Lévy proces en zijn karakteristieke functie is gegeven door P[eiuYt ] = etl(Ψ(u)) . (2.2) Bewĳs. zie [7]

2.4.1

Eigenschappen

Stelling 2.29. Zij (X(t), t ≥ 0) een Lévy proces, dan is X(t) oneindig deelbaar ∀ t ≥ 0. Bewĳs. Uit de definitie van een Lévy proces volgt dat de toenames (k + 1)t kt X −X n n onafhankelijk en identiek verdeeld zijn. Stel kt (k + 1)t (n) −X , Yk+1 (t) = X n n dan kan X(t) geschreven worden als (n)

X(t) = Y1 (t) + . . . + Yn(n) (t).

Stelling 2.30. Een Lévy proces X = (X(t), t ≥ 0 is een Markov proces. Bewĳs. Zij X = een Lévy proces op de kansruimte (Ω, F, P), dan is X(s) Fs -meetbaar en de toename X(t)-X(s) onafhankelijk van Fs , er volgt dan, door toepassing van het onafhankelijkheidslemma, dat E(f (X(t))|Fs ) = E(f ([X(t) − X(s)] + X(s))|Fs ) Z = f (X(s) + y) p(t − s; x, y)(dy) R

= g (X(s)) met g : R → R : x 7−→ E[f (x + Y )] =

R R

f (x + y)p(t − s; x, y)(dy).

Stelling 2.31. Elk Lévy proces is een semimartingaal. Bewĳs. zie [7], p.115

(2.3)

2.4. LÉVY PROCES

2.4.2

25

Lévy-Itô ontbinding

Elk Lévy proces is een semimartingaal, er kan dan ook een canonieke representatie voor semimartingalen opgesteld worden voor het Lévy proces. Stel Y = (Y (t), t ≥ 0) een semimartingaal en trek hiervan de som van de grote sprongen af, dus de som van de sprongen met absolute spronggrootte groter dan 1 X Y (t) − ∆Y (s)1{|∆Y (s)|>1} s≤t

Aangezien dit proces begrensde sprongen heeft, wordt het een speciale semimartingaal genoemd. Uit de stelling van Doob-Meyer volgt dat deze speciale semimartingaal een unieke decompositie bevat, namelijk X Y (t) − ∆Y (s)1{|∆Y (s)|>1} = M (t) + V (t) s≤t

waarbij M een lokale martingaal is met M (0) = 0 en V een proces met eindige variatie. Uit stelling 2.13 i.v.m. lokale martingaal volgt dat er een unieke decompositie bestaat van M in M = M c + M d zodat Y (t) −

X

∆Y (s)1{|∆Y (s)|>1} = M c (t) + M d (t) + V (t)

s≤t

Voor het Lévy proces wordt de zuiver discontinue lokale martingaal M d genoteerd als Z, c de continue component √ M is de standaard Brownse beweging W die verschaald is met een constante factor c en het aangepast proces V met eindige variatie is de lineaire functie bt, met b ∈ R. Hieruit volgt dan onderstaande stelling. Stelling 2.32 (Lévy-Itô). Als X een Lévy proces is, dan bestaan er b, c ∈ R, met c ≥ 0 een standaard Brownse beweging W = (W (t), t ≥ 0) en een zuiver discontinue martingaal Z = (Z(t), t ≥ 0) zodat ∀ t ≥ 0 X √ ∆X(s)1{|∆X(s)|>1} . X(t) = bt + cW (t) + Z(t) + s≤t

Voor een functie die càdlàg is kunnen er ten hoogste een aftelbaar aantal discontinuïteiten worden gevonden. De paden zijn càdlàg en dus, over eindige intervallen [0, t], heeft elk pad een eindig aantal sprongen met absolute spronggrootte groter dan , met > 0. De som van sprongen in [0, t] met absolute spronggrootte groter dan 1 is duidelijk een eindige som voor elk pad, neem namelijk = 1. Het probleem ligt echter bij de som van de kleine sprongen X

∆X(s)1{|∆X(s)|≤1}

s≤t

deze convergeren meestal niet. Door de gemiddelde stijging van dit proces langs [0, t] ervan af te trekken, kan er wel voor convergentie gezorgd worden. Dit gemiddelde wordt de intensiteit genoemd en noteert men als F (dx), waardoor, voor → 0, dit wel convergeert

26


X

∆X(s)1{≤|∆X(s)|≤1} − t

Z

x1{≤|y|≤1} F (dx)

s≤t

Vervolgens wordt de sprongmaat geïntroduceerd om dit wat beter voor te stellen. Definitie 2.33 (Sprongmaat). Zij X een càdlàg proces, dan is µX de sprongmaat waarvoor geldt X µX (ω; dt, dx) = 1{∆X(s)6=0} (s,∆X(s)(ω)) (dt, dx). s>0

Zij ω een pad van X = (X(t), t ≥ 0) en met spronggrootte ∆X(s)(ω) = x op tijdstip s, dan plaatst de random maat µX (ω; ·, ·) een massa-eenheid (s,x) op het punt (s, x) in R+ ×R. Neem nu een tijdsinterval [0, t] en een verzameling A ⊂ R, dan telt µX (ω; [0, t]×A) hoeveel sprongen er, met een spronggrootte die behoort tot verzameling A, voorkomen voor het pad ω van 0 tot t, µX (ω; [0, t] × A) = |{(s, x) ∈ [0, t] × A|∆X(s)(ω) = x}| . Dit aantal wordt vergeleken met het gemiddelde aantal sprongen met spronggrootte in A. Het voorgaande kan voorgesteld worden door een intensiteitsmaat F (A) zodat E[µX (·; [0, t] × A)] = tF (A) De som van de sprongen met absolute spronggrootte groter dan 1 kan dan genoteerd worden als X

∆X(s)1{|∆X(s)|>1} =

Z tZ 0

s≤t

x1{|x|>1} µX (ds, dx)

R

De zuivere discontinue martingaal Z is eigenlijk de martingaal van de sprongen van absolute spronggrootte < 1 en kan door de sprongmaat geschreven worden als Z tZ 0

x1{|x|≤1} (µX (ds, dx) − dsF (dx)).

R

Opmerking: µX (ω; ds, dx) is een random maat en hangt bijgevolg af van ω. dsF (dx) daarentegen is een productmaat op R+ × R die niet afhankelijk is van ω. Het Lévy proces X kan dan geschreven worden als

X(t) = bt +

√

Z tZ cW (t) + 0

x1{|x|≤1} (µ (ds, dx) − dsF (dx)) + X

Z tZ 0

R

x1{|x|>1} µX (ds, dx)

R

Stel nu dus dat X een Lévy proces is en (S = S(t), t ≥ 0) een prijsproces, dan is S(t) = S(0) exp(X(t)) het exponentieel Lévy model.

2.5. VOORBEELDEN

2.5

27

Voorbeelden

De uitwerking van de voorbeelden is gebaseerd op [6] en [7], hierbij worden het Wiener, Poisson, samengesteld Poisson, Gamma en CMGY proces kort vermeld, maar dieper ingegaan op het Variance Gamma proces.

2.5.1

De Brownse beweging

Een zeer bekend stochastisch proces, ontwikkeld door Bachelier, is de Brownse beweging of ook nog het Wiener proces genoemd. Dit proces ligt eveneens aan de basis van het Black-Scholes model, want het drijft de logaritmische prijs van een aandeel in dat model. Definitie 2.34 (Brownse beweging). Een (standaard) Brownse beweging in R is een Lévy proces W = (Wt )t≥0 waarvoor (a) W0 = 0 (b.z.); (b) Wt ∼ N (0, t) voor elke t ≥ 0; (c) W heeft continue steekproefpaden. De karakteristieke triplet van een standaard Brownse beweging is dus [1, 0, 0]. Men kan nu ook een Brownse beweging b = (bt )t≥0 met drift ontwikkelen, er wordt dan van een Geometrische Brownse beweging gesproken. Deze beweging wordt gebruikt in het Black-Scholes model. bt = θt + σWt . (2.4) b is een Lévy proces met elke bt ∼ N (θt, σ 2 t) en als karakteristiek triplet [σ 2 , 0, θ]. De Brownse beweging (met drift) is het enige Lévy proces met continue steekproefpaden en het is een proces van eindige variatie.

2.5.2

Poisson proces

Het Poisson proces met intensiteit λ > 0 is een Lévy proces N die waarden in N ∪ {0} heeft, waarbij elke N (t) ∼ π(λt), zodat (λt)n −λt e P(N (t) = n) = n! voor elke n = 0, 1, 2, . . .. Zoals reeds vermeld is het Poisson proces één van de bekendste en overigens ook één van de makkelijkste Lévy processen. De naam zegt het al, dit proces is gebaseerd op de Poisson(λ) verdeling, λ > 0 met als karakteristieke functie iu −1))

φP oisson (u; λ) = e(λ(e

De Poisson(λ) verdeling heeft als eigenschap dat deze oneindig deelbaar is.

28

2.5.3


Samengesteld Poisson proces

Zij N = (N (t), t ≥ 0) een Poisson proces met intensiteit λ > 0 en Z(i), i = 1, 2, . . ., een reeks van onafhankelijke en identiek verdeelde stochastische veranderlijken die onafhankelijk zijn van N en een verdeling volgen, stel L, met karakteristieke functie φZ (u). Dan geldt er dat N (t) X X(t) = Z(i), t ≥ 0, k=1

een samengesteld Poisson proces is. X(t) is een stochastische wandeling met een willekeurig aantal stappen. Om dus het gewoon Poisson proces te verkrijgen, moet Z(i) = 1, i = 1, 2, . . .. De distributiefunctie voor L is P(Z(i) ∈ A) =

ν(A) λ

met ν(R) = λ < ∞. Stel hierbij dat ν({0}) = 0. De karakteristieke functie van X(t) is dan gegeven door E(iuX(t)) = exp(tλ(φZ (u) − 1)) en de Lévy triplet Z

+1

xν(dx), 0, ν(dx)

−1

2.5.4

Gamma proces

Het Gamma proces is een Lévy proces met een exponentiële verdeling. De verdeling van een Gamma proces is dan gedefinieerd als Definitie 2.35 (Gamma verdeling). De Gamma verdeling is een verdeling met twee parameters en wordt gegeven door f (x) =

−x 1 α−1 β x e x>0 β α Γ(α)

met Γ de Gamma functie, β, α > 0 de parameters voor de schaal en de vorm, en f (x) = 0 voor x < 0. Deze verdeling heeft een semi-zware (rechter) staart. De karakteristieke functie wordt gegeven door φ(u) = (1 − iuβ)−α Deze karakteristieke functie is oneindig deelbaar. Stel dat Xi een γ(αi , β) verdeling heeft voor i = 1, 2, . . . , N , dan is N X i=1

Xi ∼

N X

! αi , β

,

i=1

als alle Xi onafhankelijk zijn. Hieruit volgt dus dat de Gamma verdeling oneindige deelbaarheid vertoont, zoals al duidelijk was uit de karakteristieke functie. Bijgevolg kan de

2.5. VOORBEELDEN

29

Gamma verdeling geassocieerd worden met een Lévy proces. Vervolgens kunnen via de karakteristieke functie gemiddelde, variantie, scheefheid en kurtosis bepaald worden van de Gamma verdeling. gemiddelde variantie scheefheid kurtosis

βα β 2α 2α−1/2 3(1 + 2α−1

Een Gamma proces kan dan gedefinieerd worden als volgt Definitie 2.36 (Gamma proces). Een Gamma proces G(t; α, β), t ≥ 0 is een lévy proces met onafhankelijke Gamma toenames. Het is een stijgend Lévy sprongproces met als Lévy maat ν(x) = αx−1 e−βx , x > 0. De parameter α staat voor de snelheid waarmee de sprongen aankomen en de parameter β is de geïnverteerde parameter voor de spronggrootte. Het Gamma proces kan geschreven worden als de som van twee onafhankelijke processen, bijgevolg is de som van twee Gamma processen eveneens een Gamma proces. G(t; α1 , β) + G(t; α2 , β) = G(t; α1 + α2 , β) De momenten van het Gamma proces zijn gegeven door P(Xtn = β −n

G(αt + n) , n ≥ 0. G(αt)

en de Lévy triplet van het Gamma proces is [α(1 − e−1/β )/b, 0, αe−x/β x−1 1(x>0) dx]

2.5.5

Variance Gamma proces

Dit model is een veralgemening van de Brownse beweging en heeft drie parameters. Het proces is tot stand gekomen door een Brownse beweging op een willekeurig tijdstip te evaluaren met een Gamma proces, voor de uitwerking worden dus Madan et al. [23] en Seneta [8] gevolgd. Het is dus eigenlijk een veralgemening van de Brownse beweging. De twee extra parameters stellen de drift van de Brownse beweging voor en de volatiliteit van de tijdsverandering. Door de scheefheid en kurtosis van de data was het verlangen naar een model dat hiermee kan omgaan groot en de twee extra parameters van het VG model zorgen voor controle over de scheefheid en kurtosis van de verdeling van de returns. Er zijn twee representaties mogelijk voor dit proces • als een Brownse beweging met drift, tijdsveranderlijk door een gamma proces • als het verschil van twee gamma processen Beide representaties worden hier bekeken.

30


Brownse beweging met drift, tijdsveranderlijk door een gamma proces Zij W = (W (t), t ≥ 0) een standaard Brownse beweging en b(t; θ, σ) = θt + σW (t). een Brownse beweging met drift θ en volatiliteit σ. Beschouw de Gamma subordinator G(t; 1, ν) met gemiddelde 1 en variantie ν. De dichtheid ervan wordt dan gegeven door νt t −1 g ν exp − ν1 g 1 ,g ≥ 0 f (g) = ν Γ νt met als karakteristieke functie φG (u, t) = E eiuG(t) =

1 1 − iνu

t/ν

Het Variance Gamma proces heeft drie parameters, namelijk σ, ν en θ, het proces XV G (t; σ, ν, θ) is gegeven door XV G (t; σ, ν, θ) = θG(t; 1, ν) + σW (G(t; 1, ν)).

(2.5)

met als karakteristieke functie φV G (u, t) = E eiuXV G (t) =

1 1 − iθνu + σ 2 νu2 /2

t/ν (2.6)

Deze karakteristieke functie kan behaald worden uit de vorige door te conditioneren op gamma tijd en gebruik te maken van het feit dat de geconditioneerde s.v. Gaussisch is.

Verschil van twee gamma processen Hier wordt het Variance Gamma proces dus geïnterpreteerd als het verschil van twee onafhankelijke gamma processen. Dit volgt uit 1 1 1 = 1 − iθνu + σ 2 νu2 /2 1 − iηp u 1 + iηn u met ηp , ηn die voldoen aan ηp − ηn = θν ηp ηn =

σ2ν 2

ηp , −ηn zijn de wortels van de vergelijking x2 − θνx − σ 2 ν/2 = 0 waarbij r

θ2 ν 2 σ 2 ν θν + + 4 2 2

r

θ2 ν 2 σ 2 ν θν + − 4 2 2

ηp = ηn =

2.5. VOORBEELDEN

31

De twee gamma processen noteren we als Gp (t; µp , νp ) en Gn (t; µn , νn ) met respectievelijke gemiddelden µp , µn en varianties νp , νn . Er geldt dat µp =

ηn ηp en µn = ν ν

terwijl νp = µ2p ν en νn2 = µ2n ν Hieruit kunnen dus de parameters voor de twee gamma processen worden afgeleid: r 1 2σ 2 θ θ2 + + (2.7) µp = 2 ν 2 r 2σ 2 θ 1 θ2 + − (2.8) µn = 2 ν 2 !2 r 2 1 2σ θ νp = µ2p ν = θ2 + + ν (2.9) 2 ν 2 νn = µ2n ν =

1 2

r

2σ 2 θ θ2 + − ν 2

!2 ν

(2.10)

Het VG proces noteren we dan als XV G (t; σ, ν, θ) = Gp (t; µp , νp ) − Gn (t; µn , νn )

(2.11)

Lévy maat De Lévy maat voor het VG proces heeft drie representaties. Eerst wordt de representatie in geval van het VG proces als verschil van twee gamma processen bekeken. De Lévy maat is dan  2 µn  µn exp(− νn |x|) dx voor x < 0 νn |x| (2.12) kV G (x)dx = µp 2 exp − x µ  p νp dx voor x > 0 νp x Delen door de absolute waarde van x zorgt voor een proces van oneindige activiteit, aangezien de Lévy maat integreert tot oneindig. Aangezien |x| integreerbaar is met respect tot de Lévy maat, is duidelijk dat het proces van eindige variatie is. Een oneindige activiteit sprongproces heeft een oneindig aantal sprongen (meestal kleine) in elk eindig interval. Daardoor kunnen zowel kleine sprongen als grote sprongen opgenomen worden. Dit zorgt ervoor dat een deel met Brownse beweging eigenlijk overbodig is. Aangezien het proces van eindige variatie is, kan het prijsproces ontbonden worden in het verschil van twee stijgende processen die de stijging en daling van prijzen voorstelt. Bijgevolg zijn de statistische en risico-neutrale processen volgens Carr, Geman, Madan en Yor zuivere sprong processen van oneindige activiteit en eindige variatie. Om de rol van de originele parameters (σ, ν, θ) te kunnen waarnemen, wordt de Lévy maat door gebruik te maken van vorige relaties, geschreven i.f.v. deze parameters.  q  2 θ2 2 + exp(θx/σ ) ν σ2 kV G (x)dx = exp − |x| dx (2.13) ν|x| σ

32


Stel θ = 0, dan is de Lévy maat symmetrisch rond 0 en geeft dit bijgevolg aanleiding tot een symmetrisch VG proces. Stel dat θ < 0, dan valt er op te merken dat negatieve xwaarden een grotere relatieve kans krijgen dan de corresponderende positieve x-waarden. Dit leidt toch negatieve scheefheid. Grote waarden van ν verhogen de staartkansen en kurtosis. Er is dan nog een derde representatie mogelijk, namelijk de risico-neutrale voorstelling. Deze is gegeven door ! √ 2 exp(−ςx) exp − √ |x| . kV G (x)dx = ν|x| s ν

(2.14)

Hierbij is ς gedefinieerd als ς=− en

θ σ2

σ s= q 2 1 + σθ

(2.15)

(2.16) ν 2

Aandeelprijzen De aandeelprijzen kunnen op twee manieren gemodelleerd worden, statistisch en risiconeutraal. Het statistische koersverloop is gegeven door

S(t) = S(0) exp(mt + ωt + Xt (σ, θ, ν))

(2.17)

Met Xt een VG proces, m het statistisch gemiddelde en ω Door de sprongen is er meestal geen unieke martingaalmaat voor een Lévy proces, bijgevolg is dit ook het geval bij het VG proces. Stel dat er geen dividenden uitgekeerd worden en de risico-vrije intrest constant is, dan wordt het verloop van de aandeelprijzen voor een Lévy proces X = (X(t), t ≥ 0 gegeven door S(t) = S(0) exp((r + ω)t + X(t)).

(2.18)

Hierbij is ω constant en zodanig gekozen dat de verdisconteerde aandeelprijs een martingaal is E[e−rt S(t)] = S(0) en bijgevolg e−ω = φ(−i) met φ de karakteristieke functie van het Lévy proces. Bij een VG proces is ω dan gelijk aan

ω = ln(1 − θν − σ 2 ν/2)/ν.

(2.19)

2.5. VOORBEELDEN

33

Scheefheid en kurtosis

E[X(t)] E[(X(t) − E[X(t)])2 ] E[(X(t) − E[X(t)])3 ] E[(X(t) − E[X(t)])4 ]

= = = =

θt (θ2 ν + σ 2 )t (2θ3 ν 2 + 3σ 2 θν)t (3σ 4 ν + 12σ 2 θ2 ν 2 + 6θ4 ν 3 )t +(3σ 4 + 6σ 2 θ2 ν + 3θ4 ν 2 )t2

(2.20) (2.21) (2.22) (2.23)

Stel dat θ = 0, dan wordt duidelijk uit de vergelijking dat er geen scheefheid is en eveneens dat het teken van de scheefheid eigenlijk het teken van θ is. Ook valt er op te merken dat het vierde centrale moment gedeeld door het tweede centrale moment gelijk is aan 3(1 + ν), wat bijgevolg wil zeggen dat ν het percentage excess kurtosis in de verdeling voorstelt.

Alternatief model Over het algemeen wordt dus begonnen met bovenstaand model met drie parameters. Er bestaat echter ook een alternatief waarbij er vier parameters voorop gesteld worden. Zij opnieuw W = W (t), t ≥ 0, het prijsproces van een risicovolle asset wordt gegeven door S(t) = S(0) exp(ct + θT (t) + σW (T (t))) met c, θ en σ constanten > 0 en {T (t)} is een willekeurig positief stijgend proces met stationaire verschillen τ (t) = T (t) − T (t − 1), t ≥ 1. De corresponderende logreturns worden dan gegeven door X(t) = ln(S(t)) − ln(S(t − 1)) = c + θ(T (t) − T (t − 1)) + σ(W (T (t) − W (T (t − 1))). Als T(t) = t, dan is dit het geval van de Geometrische Brownse beweging. Stel nu dat θ willekeurig is, er onafhankelijke toenames zijn en voor τ (t) een specifieke gamma verdeling zodat de logreturns een Variance Gamma verdeling hebben. De momenten voor het Variance Gamma proces zijn dan

E[X(t)] E[(X(t) − E[X(t)])2 ] E[(X(t) − E[X(t)])3 ] E[(X(t) − E[X(t)])4 ]

2.5.6

= = = =

(θ + c)t (θ2 ν + σ 2 )t (2θ3 ν 2 + 3σ 2 θν)t (3σ 4 ν + 12σ 2 θ2 ν 2 + 6θ4 ν 3 )t +(3σ 4 + 6σ 2 θ2 ν + 3θ4 ν 2 )t2

(2.24) (2.25) (2.26) (2.27)

CGMY proces

Het VG proces is eigenlijk een speciaal geval van het CGMY proces. De CGMY distributie heeft 4 parameters, nl. C, G, M en Y en de karakteristieke functie is gegeven door φCGM Y (u; C, G, M, Y ) = exp(CΓ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY )).

34


Deze distributie is ook oneindig deelbaar. Zij XCGM Y = (XCGM Y (t), t ≥ 0) het CGMY Lévy proces, dan is de karakteristieke functie E(exp(iuXCGM Y (t))) = exp(CtΓ(−Y )((M − iu)Y − M Y + (G + iu)Y − GY )). Ten slotte is de Lévy maat voor het CGMY proces dan gegeven door C exp(Gx)(−x)−1−Y dx voor x < 0 kCGM Y (x)dx = C exp(−M x)x−1−Y dx voor x > 0 met C > 0, G ≥ 0, M ≥ 0 en Y < 2. Om het VG proces te verkrijgen, moet Y = 0, C = 1/ν, G = 1/ηn en M = 1/ηp .

Hoofdstuk 3 Simulatie 3.1

Dataset

Voor de simulatiestudie werd er data gebruikt van de S&P 500 index over de periode 1/01/1990 t.e.m. 1/01/2011, dit levert een totaal van 5295 waarnemingen. De S&P 500 index geeft een betrouwbaar beeld van de ontwikkelingen op de aandelenmarkt, daarom werd deze index gekozen. Het is een beursindex van de Verenigde Staten en werd opgesteld in 1957 door de kredietbeoordelaar Standard & Poor. De 500 grootste Amerikaanse bedrijven, volgens hun marktkapitalisatie, zijn opgenomen in deze index. De Dow Jones Industrial Average geniet misschien een grotere bekendheid, maar heeft enkele grote nadelen, o.a. dat het een prijsgewogen index is. Aandelen met een hoge absolute beurskoers hebben bijgevolg meer invloed op de beweging van de markt. De S&P 500 daarentegen is een gewogen index bestaande uit 500 aandelen die geselecteerd zijn op basis van marktaandeel, liquiditeit en bedrijfstak. Het gewicht in de index is dus eigenlijk in verhouding met het marktaandeel. Het S&P Index Committee is verantwoordelijk voor de opstelling ervan. Net zoals andere indexen heeft ook de S&P 500 goeie én slechte tijden gekend. In de periode die we beschouwen was er een grote beurscrash waarbij de index zo’n 20 % daalde in de week van 6 oktober 2008 t.e.m. 10 oktober 2008. Men verwijst naar deze week ook wel als de zwarte week. In Figuur 3.1, die de slotkoersen toont, de crash is duidelijk zichtbaar. In de grafiek van de logaritmische returns, Figuur 3.2 is de piek in 2008 ook een indicatie van de beurscrash. Vervolgens worden enkele statistieken berekend die een idee kunnen geven van hoe de verdeling van de dataset eruit ziet. Gemiddelde 0.0002364

Std.Afw. Scheefheid Kurtosis 0.0117072 -0.1993 11.87

Min Max -0.0947 0.1096

Tabel 3.1: Samenvattende statistieken voor de dagelijkse logreturns. Uit de samenvattende statistieken in Tabel 3.1 valt op te merken dat het gemiddelde positief is, dit kan wijzen op meer stijgingen dan dalingen of dat de stijgingen groter zijn. Dalingen tijdens een crash zijn groter dan stijgingen tijdens de periode van herstel, maar deze periode zal over het algemeen langer aanhouden, met als gevolg dat er dus meer stijgingen worden genoteerd dan dalingen. 35

36

HOOFDSTUK 3. SIMULATIE

Figuur 3.1: Slotkoersen S&P 500 Index van 1990 tot 2011

Figuur 3.2: Logreturns S&P Index van 1990 tot 2011

3.1.1

Strategie

Stel dat er in het begin van de periode een passieve of actieve strategie werd toegepast, wat was dan de eindwaarde in de portefeuille en welke strategie zorgde voor meer winst? De proef wordt op de som genomen met een startbedrag van 2000 euro. Voor de Buy and Hold strategie worden er in het begin aandelen gekocht om die op het einde weer te verkopen. Er worden enkele technische indicatoren berekend voor de actieve Buy and Sell strategie, namelijk de SMA, EMA, MACD en RVI. Met deze technische indicatoren worden er telkens technische regels gemaakt die dan koopen verkoopsignalen genereren. De actieve Buy and Sell strategie blijkt met bepaalde technische indicatoren duidelijk zijn vruchten af te werpen, Tabel 3.2. Met de SMAregels (5,150), (1,200) en EMAregels (1,150), (5,150), (1,200) en (2,200) worden er betere resultaten behaald dan met de Buy and Hold strategie. Actief beleggen door te kopen- en verkopen op de gegenereerde signalen heeft hier zijn voordelen. Elke strategie heeft ook positieve opbrengsten, al scoort de MACD toch behoorlijk slecht. De logaritmische returns bij de koopen verkoopsignalen en het aantal signalen die gegenereerd worden van de Moving Average regels worden grondiger bekeken.

3.1. DATASET

37

Buy and Hold

Opbrengst

4489.75

Buy and Sell SMA MACD (1,50) (1,150) (5,150) (1,200) (2,200) (12,26,9) 2214.21 3371.55 4948.96 4882.89 5220.65 747.35 EMA RVI (1,50) (1,150) (5,150) (1,200) (2,200) (14,10) 2179.07 5005.98 5809.95 4860.27 5383.36 2050.38

Tabel 3.2: Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de dataset SMA

EMA

MACD

(1, 50) (1, 150) (5, 150) (1, 200) (2, 200) (1, 50) (1, 150) (5, 150) (1, 200) (2, 200) (12, 26, 9)

N(buy) 2640 2612 2666 2589 2597 2647 2617 2775 2601 2704 2587

N(sell) 2606 2534 2480 2507 2499 2599 2529 2371 2495 2392 2675

Buy 0.00802 0.00803 0.00349 0.00802 0.00571 0.00803 0.00803 0.00461 0.00799 0.00659 0.00614

Sell Buy > 0 -0.00762 0.9171 -0.00777 0.9181 -0.00323 0.6197 -0.00771 0.9117 -0.00536 0.7075 -0.00767 0.9288 -0.00780 0.9231 -0.00487 0.6962 -0.00776 0.9181 -0.00685 0.7911 -0.00544 0.7171

Sell > 0 Buy-Sell 0.0751 0.0156 0.0534 0.0158 0.3518 0.0067 0.0512 0.0157 0.2554 0.0111 0.0633 0.0157 0.0484 0.0158 0.2753 0.0095 0.0448 0.0157 0.1718 0.0134 0.2778 0.0116

Tabel 3.3: Resultaten voor de technische regels op de volledige dataset In Tabel 3.3 staan de kolommen Buy en Sell voor de gemiddelde returns gedurende koopen verkoopperiodes, waarbij een periode loopt tot er een ander signaal komt. De kolom Buy-Sell geeft het verschil tussen deze twee gemiddelden. N(buy) en N(sell) staan voor het aantal koopen verkoopsignalen. Er zijn telkens meer koop- dan verkoopsignalen, wat kan wijzen op een markt met een opwaartse trend. De fractie van koopsignalen groter dan 0, Buy > 0, is telkens veel groter dan de fractie van verkoopsignalen groter dan 0, Sell > 0. Aangezien deze fracties niet gelijk zijn aan elkaar, kan dit een indicatie zijn dat de technische regels nuttige signalen leveren. Deze dataset kan nog opgedeeld worden in verschillende periodes van volatiliteit, de opdeling hiervan wordt besproken in het deel over risicomaatstaven. Op deze 4 subsets worden nu dezelfde strategiën toegepast, zo kan duidelijk worden welke strategie er werkt in volatiele of rustige periodes en indien kan geopteerd worden voor een actieve Buy and Sell strategie, welke indicator dan de beste resultaten geeft. De eerste periode loopt van 1990 t.e.m. 1996 en kan gezien worden als een relatief rustige periode. Terwijl bij de volledige dataset sommige technische regels het beter deden dan de Buy and Hold strategie, kan dat voor deze periode , Tabel 3.4, niet gezegd worden. Een passief belegger die rustig wacht tot het einde om te zien wat de eindwaarde dan is, haalt zijn voordeel uit deze strategie t.o.v. een actieve strategie. De opbrengst is wel telkens hoog en de EMAregel (1,150) doet het ongeveer even goed. Opnieuw ligt de opbrengst bij de MACD regel veel lager.

38

HOOFDSTUK 3. SIMULATIE Buy and Hold

Opbrengst

1905.25

Buy and Sell SMA (1,50) (1,150) (5,150) (1,200) 1043.6 1592.17 1175.62 1737.5 EMA (1,50) (1,150) (5,150) (1,200) 1553.48 1898.38 1773.05 1843.15

MACD (2,200) (12,26,9) 1574.41 625.51 RVI (2,200) (14,10) 1763.2 1328.41

Tabel 3.4: Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de subset 1990 - 1996 De tweede periode is een periode van zeer veel beweeglijkheid in de markt en bijgevolg hoge volatiliteit, ze loopt van 1997 - 2002. Buy and Hold

285.62

Strategie Regels (1,50) Opbrengst 184.82 Regels Opbrengst

(1,50) 30.6

Buy and Sell SMA (1,150) (5,150) (1,200) -256.71 241.16 41.12 EMA (1,150) (5,150) (1,200) 300.35 247.21 173.37

(2,200) 152.16 (2,200) 103.39

MACD (12,26,9) -103.3 RVI (14,10) 106.55

Tabel 3.5: Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de subset 1997 - 2002 De volatiliteit in deze periode, Tabel 3.5, is hoog en dit veroorzaakt voor deze steekproef duidelijk lage opbrengsten. Deze keer kan er zelfs van verlies gesproken worden, namelijk bij de SMAregel (1,150) en MACDregel. De EMAregel (1,150) daarentegen doet het beter dan de Buy and Hold strategie. Vanaf 2003 t.e.m. 2006 kalmeert de markt, dit is de derde periode, een periode met lage volatiliteit. Buy and Hold

1018.54

Strategie Regels (1,50) Opbrengst 423.37 Regels (1,50) Opbrengst 503.38

Buy and Sell SMA MACD (1,150) (5,150) (1,200) (2,200) (12,26,9) 386.22 345 167.2 171.88 391.67 EMA RVI (1,150) (5,150) (1,200) (2,200) (14,10) 413.28 902.44 361.88 368.23 627.62

Tabel 3.6: Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de subset 2003 - 2006 Uit de resultaten in Tabel 3.6 kunnen ongeveer dezelfde conclusies genomen worden als bij de eerste periode die ook een lage volatiliteit had. De Buy and Hold strategie domineert en opnieuw een EMAregel, deze keer de (5,150), komt in de buurt van deze opbrengst. De opbrengsten liggen wel lager dan die van de eerste periode, dit kan erop wijzen dat 2003-2006 toch nog iets volatieler is dan 1990-1996. Ten slotte de vierde en laatste periode die loopt van 2007 t.e.m. 2010. Een uiterst volatiele periode met de bekende beurscrash van 2008.

3.2. BLACK-SCHOLES MODEL Buy and Hold

-158.96

Strategie

Buy SMA Regels (1,50) (1,150) (5,150) Opbrengst -77.38 246.7 380.48 EMA Regels (1,50) (1,150) (5,150) Opbrengst 27.67 -69.76 -88.68

39 and Sell (1,200) 10.33 (1,200) -157.11

MACD (12,26,9) 141.27 RVI (2,200) (14,10) -195.33 104.51 (2,200) 244.27

Tabel 3.7: Resultaten Buy and Hold en Buy and Sell strategie op de subset 2007 - 2010 Zeer slechte resultaten in deze periode, Tabel 3.7, voor de Buy and Hold strategie en bijna alle technische regels behalen betere resultaten, enkel de EMAregel (2,200) niet. Sommige geven zelfs winst in deze turbulente periode. De SMAregel (5,150) scoort het best door een opbrengst van 380.48 euro te verwezenlijken in tijden van een grote crash. Uit deze steekproef kan enigzins het volgende worden besloten: • Rustige periodes: – brengen hogere opbrengsten met zich mee bij zowel de Buy and Hold als Buy and Sell strategie. – geeft betere resultaten voor een Buy and Hold strategie. • Volatiele periodes: – brengen lage opbrengsten met zich mee of zelfs verlies. – geeft bij een zéér volatiele periode betere resultaten voor sommige Buy and Sell strategiën. • Over het algemeen scoort de MACD regel slecht.

3.2

Black-Scholes model

In het Black-Scholes model met als basis de Geometrische Brownse beweging, wordt verondersteld dat de logreturns een normale verdeling volgen. Is dit in overeenstemming met de werkelijkheid? Daarnaast wordt ook een constante volatiliteit verondersteld, is dit een realistische aanname?

3.2.1

Normale verdeling

In het Black-Scholes model wordt er dus verondersteld dat de logreturns verlopen volgens een normale verdeling. Men gebruikt graag een normale verdeling omdat deze mooie eigenschappen heeft en makkelijk is om mee te werken. Hoewel men zich dus bewust is van deze voordelen, moet er uiteraard ook gecontroleerd worden of dit wel consistent is met de realiteit. Bij een normale verdeling geldt dat de dagelijkse logreturns ∼ N (µ, σ 2 ) of toegepast op de dataset die we gebruiken ∼ N (0.0002364, 0.0001370). Uit Figuur 3.3 is duidelijk dat de

40


dichtheid van de logreturns (zwart) niet overeenstemt met de dichtheid van een normale verdeling (rood) met dezelfde verwachtingswaarde en standaardafwijking. De staarten zijn zwaarder, er is een steilere piek en de verdeling is scheef. Deze bevindingen op zicht worden vervolgens ook getoetst.

Figuur 3.3: Dichtheid logreturns en normale verdeling

Scheefheid De scheefheid (S) geeft aan in welke mate de verdeling van de logreturns scheef is t.o.v. de normale verdeling. n 1 X (Yi − µ ˆ )3 S= n i=1 σ ˆ3 met Yi de logreturns. Uit de dataset wordt er een schatting gemaakt voor de scheefheid, S = -0.1993451. De scheefheid is dus kleiner dan 0, d.w.z. dat er negatieve scheefheid is en de verdeling van de logreturns bijgevolg een langere staart heeft links dan rechts. De verdeling is scheef naar links. Voor een normale verdeling zou S gelijk moeten zijn aan 0, dan hebben we te maken met een symmetrische verdeling. Dit is bijgevolg een eerste indicatie om de assumptie van een normale verdeling te verwerpen.

Kurtosis De kurtosis (K) geeft aan in welke mate de verdeling van de logreturns steiler is t.o.v. de normale verdeling. n ˆ)4 1 X (Yi − µ K= n i=1 σ ˆ4 Ook voor de kurtosis kan er een schatting gemaakt worden uit de dataset, er volgt dat K = 11.87416. De kurtosis is > 3, d.w.z. dat de verdeling een hoge piek heeft, wat wijst op relatief veel waarden rond het gemiddelde t.o.v. de normale verdeling. Het geeft ook aan dat de verdeling dikke staarten heeft, wat niet goed is voor het koersverloop. Hiernaar wordt ook verwezen als leptokurtic. Voor een normale verdeling zou K moeten gelijk zijn aan 3, dit is hier dus duidelijk niet het geval.

3.2. BLACK-SCHOLES MODEL

41

Statistische testen Nu is het niet voldoende om alleen aan te tonen dat de scheefheid afwijkt van 0 en de kurtosis van 3 aangezien hier een steekproef wordt genomen van alle waarnemingen en er bijgevolg niet direct een veralgemening mag gedaan worden a.d.h.v. slechts twee criteria. Er bestaan echter statistische testen die de normaliteit van een verdeling kunnen onderzoeken en hier worden er enkele besproken. Er wordt eerst een QQ-plot opgesteld, die kan iets meer vertellen over de normaliteit. QQ-plot De QQ-plot of Quantile-Quantile plot laat bij een normale verdeling waarden zien die op een rechte lijn liggen. Toegepast op deze dataset is er van een rechte lijn helemaal geen sprake, Figuur 3.4, opnieuw een teken dat de logreturns niet normaal verdeeld zijn.

Figuur 3.4: QQ-plot van de dagelijkse logreturns

Jarque-Bera test Voor het testen van de normaliteit werden reeds de scheefheid en kurtosis berekend. Met de Jarque-bera test kan men nu de scheefheid en kurtosis van de data gaan vergelijken met de normale verdeling. Dus eigenlijk gebeurt er een schatting van de scheefheid S en kurtosis K. Jarque-Bera is dan 2 S (K − 3)2 + JB = n 6 24 die getest wordt onder H0 : Yi ∼ N of bijgevolg dat JB χ22 verdeeld is. De resultaten verkregen met de dataset S&P 500 tonen aan dat de nulhypothese duidelijk verworpen wordt, er is een grote afwijking van nul in de χ2 -test en de p-waarde is zeer klein, Tabel 3.8, dus ook hier kan de conclusie genomen worden dat de logreturns niet normaal verdeeld zijn. Kolmogorov-Smirnov test

42

HOOFDSTUK 3. SIMULATIE χ2 df 17409.45 2

p-waarde < 2.2e-16

Tabel 3.8: Jarque-Bera. Voor de Kolmogorov-Smirnov test zijn er twee verdelingen nodig, degene van de logreturns (aangeduid met F) en de normale verdeling. Deze verdelingen worden t.o.v. elkaar getest, de nulhypothese is dus H0 : F = N tegenover de alternatieve hypothese HA : F 6= N en de toetsingsgrootheid is dan Dn = supx |Fn (x) − N (x)| Deze toetsingsgrootheid berekent een bepaalde afstandsmaat tussen beide verdelingen en moet bijgevolg naar 0 convergeren. Er valt op te merken dat de nulhypothese wordt verworpen aangezien er een afwijking is van nul en de p-waarde zeer klein is, Tabel 3.9, wat er opnieuw op wijst dat de logreturns niet normaal verdeeld zijn. D p-waarde 0.0876 < 2.2e-16 Tabel 3.9: Kolmogorov-Smirnov.

3.2.2

Volatiliteit

Historische volatiliteit De historische volatiliteit wordt berekend a.d.h.v. historische data, deze toont bijgevolg hoe volatiel de marktbewegingen in het verleden waren. Een jaar telt ongeveer 250 handelsdagen, voor de periode van de dataset werd dan telkens de standaardafwijking berekend over 250 dagen. Om de jaarlijkse √ standaardafwijking te berekenen werd die standaardafwijking vermenigvuldigd met 250. Deze wordt de historische volatiliteit genoemd. Uit Figuur 3.5 valt duidelijk op te merken dat er veel fluctuaties zijn in de historische volatiliteit. Op het einde is een grote piek zichtbaar, consistent met de beurscrash in oktober 2008. Het is dan ook logisch dat deze week zeer hoge volatiliteit met zich meebracht. Van een constante volatiliteit is hier geen sprake.

Volatiliteitsclusters Volatiliteitsclustering wil zeggen dat er perioden zijn met hoge variantie en perioden met lage variantie voor de returns. Hiervoor worden de absolute logreturns in een grafiek, Figuur 3.6, gezet. Ook daar is er een piek waar de beurscrash was.

3.2. BLACK-SCHOLES MODEL

43

Figuur 3.5: Historische volatiliteit

Figuur 3.6: Absolute logreturns

3.2.3

Conclusie

Er kan geconcludeerd worden dat de verdeling van de logreturns niet voldoet aan de normaliteitshypothese en dat de volatiliteit niet constant is. Hieruit volgt logischerwijs dat de keuze van het oorspronkelijke Black-Scholes model met onderliggende geometrische brownse beweging voor de data geen goeie optie is en er moet uitgekeken worden naar een ander model. In het verloop van de simulatiestudie wordt de proef op de som genomen met logreturns volgens het Variance Gamma model dat een betere compatibiliteit vertoont met de realiteit. Er moet echter opgemerkt worden dat er bij de simpele Lévy processen nog steeds geen volatiliteitsclustering is, er bestaan wel modellen die hiermee omgaan en zo stochastische volatiliteit verwezenlijken. Enkele mogelijkheden zijn: • Het BNS model • Stochastische tijdsveranderlijken • Het Lévy SV Marktmodel

44


3.3 3.3.1

Risicomaatstaven Standaardafwijking

De standaardafwijking wordt het vaakst gebruikt als risicomaatstaf, deze meet de schommeling van het aandeel t.o.v. de gemiddelde opbrengst. In het Black-Scholes model wordt enkel de standaardafwijking gebruikt als risicomaatstaf aangezien er vanuit gegaan wordt dat de logreturns normaal verdeeld zijn. Dit zorgt er echter voor dat extreme verliezen zwaar onderschat kunnen worden. In Tabel 3.10 worden de jaarlijkse volatiliteiten uitgezet om zo de dataset op te delen in perioden die iets meer kunnen vertellen over de beweeglijkheid van de markt. De jaarlijkse volatiliteit is de volatiliteit genomen van de logreturns over een jaar vermenigvuldigd met √ 250. Periode Volatiliteit 1990 0.158 1991 0.142 1992 0.096 1993 0.086 1994 0.098 1995 0.078 1996 0.118 1997 0.181 1998 0.203 1999 0.180 2000 0.221

Periode Volatiliteit 2001 0.215 2002 0.259 2003 0.170 2004 0.110 2005 0.102 2006 0.100 2007 0.160 2008 0.409 2009 0.272 2010 0.180

Tabel 3.10: Volatiliteit per jaar. Aan de hand van de tabel en met de kennis dat een volatiliteit van minder dan 15 % laag is, rond 20 % gemiddeld en meer dan 25 % hoog, kunnen volgende conclusies worden gemaakt: • Vanaf 1990 t.e.m. 1996 is de markt behoorlijk rustig, de volatiliteit is laag tot gemiddeld. • Na deze periode volgt echter een plotselinge grote toename, de markt blijft zeer beweeglijk t.e.m. 2002, gemiddelde tot hoge volatiliteit. Dit wijst op een markt met veel risico. • Het wordt opnieuw rustig tussen 2003 en 2006. • Tot in 2007, dan is de volatiliteit nog gemiddeld, maar later schiet deze de lucht in, een gevolg van stijgende onrust met een zeer beweeglijke markt tot die onrust zijn ’toppunt’ bereikt, de beurscrash van 2008. Een volatiliteit van maar liefst 0.409 is daar het bewijs van. • De jaren na de crash zijn jaren van herstel, de markten stabilizeren zich, maar van rustige perioden kan er nog niet worden gesproken.

3.3. RISICOMAATSTAVEN

45

De dataset kan nu naargelang van die perioden van rust of risico nog ingedeeld worden in 4 niet-overlappende deelverzamelingen. Voor deze 4 perioden worden het gemiddelde, de standaardafwijking, de scheefheid, kurtosis en autocorrelatie met lag i, i=1,. . . ,5, berekend en deze zijn terug te vinden in Tabel 3.11.

Gemiddelde Standaardafwijking Scheefheid Kurtosis ρ(1) ρ(2) ρ(3) ρ(4) ρ(5) ρ2 (1) ρ2 (2) ρ2 (3) ρ2 (4) ρ2 (5)

1990-1996 0.000408 0.007229 -0.1775 2.3054 0.063 0.004 -0.049 -0.004 -0.004 0.082 0.130 0.089 0.100 0.116

1997-2002 0.000114 0.013372 -0.0649 2.1177 -0.009 -0.037 -0.033 0.003 -0.037 0.166 0.147 0.147 0.089 0.146

2003-2006 0.000474 0.007836 -0.0761 1.5238 -0.079 -0.027 0.020 0.027 -0.055 0.053 0.188 0.112 0.141 0.280

2007-2010 -0.000119 0.017301 -0.2008 6.8438 -0.130 -0.097 0.088 -0.033 -0.026 0.175 0.379 0.149 0.305 0.337

Tabel 3.11: Samenvattende statistieken van de verschillende periodes. In alle perioden zijn de logreturns negatief scheef. De kurtosis is in elke periode leptokurtosisch, er is dus een piekvorm en zware staarten, maar dit vooral in de vierde periode. Dit is duidelijk een gevaarlijke periode voor beleggers aangezien er daar zware staarten zijn en bijgevolg veel extreme waarden. De gemiddelde return in de volatiele periodes is ook lager dan in de rustige periodes en de standaardafwijking is in die volatiele periodes groter dan in de rustige periodes.

3.3.2

Value at Risk

De populairste en traditionele risicomaat werd reeds besproken, namelijk de standaardafwijking, het probleem hiermee is dat deze geen rekening houdt met de richting van de marktbewegingen. Een aandeel kan bv. een hoge volatiliteit hebben omdat het plots hoger springt, maar daar zien de beleggers die verlangen naar stijgende aandeelprijzen uiteraard geen bedreiging in. De standaardafwijking beschouwt de onzekerheid in de positieve, maar ook in de negatieve richting. Daarom werd er ook gezocht naar andere risicomaten, de Value-at-Risk, de vertaling potentiële verlieswaarde zegt al genoeg, meet het marktrisico in termen van potentieel verlies op een positie of portefeuille, dus enkel het neerwaarts risico. Veel beleggers stellen zich namelijk de vragen ’Wat is de kans op een worst case scenario?’, ’Hoeveel kan ik in een echt slechte maand verliezen?’, ’Wat is het grootste verlies, met 95% kans, dat ik kan maken over een volgende maand?’, . . .. Aangezien men deze vragen niet onbeantwoord wil laten, werden daar methodes voor ontwikkeld en één ervan is de VaR. De Value at risk werd voor het eerst gebruikt bij grote financiële bedrijven eind 1980 om de risico’s van hun beleggingsportefeuilles te berekenen. Sindsdien is deze maatstaf niet meer weg te denken als risicomaatstaf. In 1994 probeerde Morgan met zijn RiskMetrics systeem dat gebruik maakte van de VaR een marktstandaard naar voor te brengen. Terwijl deze maatstaf dus vroeger werd gebruikt door grote bedrijven, zijn ook kleine bedrijven er ondertussen goed vertrouwd mee. Institutionele beleggers gebruiken

46


de VaR om hun portfolio risico te bekijken, maar in deze studie wordt het risico van één index, namelijk de S&P 500 Index, berekend. De VaR houdt rekening met drie componenten, de tijdsperiode, de betrouwbaarheidsgrens en de verlieshoeveelheid. Er zijn drie mogelijkheden voor het bepalen van deze VaR, deze worden verderop besproken a.d.h.v. [24] en [25]. Ook wordt er nog een vierde manier vermeld. De Value-at-risk is een maat voor het bepalen van de financiële risico’s gedurende een bepaalde periode, a.d.h.v. de VaR kan een instelling inschatten welk risico een bepaalde handeling teweeg brengt. De VaR is eigenlijk een maat voor verlies die men kan lijden veroorzaakt door normale marktbewegingen. De verliezen die groter zijn dan de VaR komen slechts voor met een vooraf bepaalde kleine kans. Definitie 3.1 (Value-at-Risk). De Value-at-Risk is het verwachte maximale verlies gebaseerd op historische data over een vooraf bepaalde tijdsperiode (t), waarbij er slechts α% kans is dat het verlies groter is. Voor de bepaling van de VaR moet dus de grootte van de overschrijdingskans (α) gekozen worden, dit is de kans dat de werkelijke waarde groter is dan de VaR waarde. Meestal gebruikt men hiervoor de waarden 1%, 2.5% en 5%. Daarnaast moet ook de lengte van de tijdsperiode (t) worden bepaald, deze is afhankelijk van de tijd waarop men resultaat wil berekenen.

3.3.3

Methoden

Voor het berekenen van de VaR bestaan er verschillende methoden, deze worden hieronder besproken om dan vervolgens verder te gaan met één ervan. Er zijn drie basismethoden, binnenin elke methode zijn er wel nog verschillende benaderingen mogelijk. Er wordt verondersteld dat er met periodes gewerkt worden in termen van dagen. De maat kan berekend worden door veronderstellingen te maken over de return verdelingen voor marktrisico’s en door varianties en covarianties hiervan te berekenen. Een andere manier is om de VaR te schatten door hypothetische portefeuilles te laten lopen met historische data of Monte Carlo simulaties.

Historische simulatie Dit is eigenlijk de meest simpele methode met amper veronderstellingen die moeten gemaakt worden voor de statistische verdeling van de onderliggende marktfactoren. De berekening voor de VaR op deze manier vereist enkel historische veranderingen in de marktfactoren om zo een verdeling van potentiële toekomstige resultaten te construeren. De verdeling van winst en verlies wordt dus geconstrueerd door de huidige portefeuille te nemen en toe te passen op de historische veranderingen in de marktfactoren gedurende de laatste N perioden. Zo’n historische simulatie kan beschreven worden in 5 stappen: (a) Identificeer de marktfactoren die aan de basis liggen en bepaal een formule die de waarde van de portefeuille in termen van de marktfactoren bepaalt. (b) Verzamel historische waarden van de marktfactoren voor de laatste N perioden. (c) Bereken voor iedere periode de dagelijkse winsten en verlies van de portefeuille en zo de huidige waarde ervan.


47

(d) Orden de resultaten van grootste winst naar grootste verlies. (e) Bepaal het verlies dat in α% van de gevallen overschreden wordt. Dit is het resultaat behorende bij waarneming α∗(totaal aantal waarnemingen). Historische simulaties zijn populair en gemakkelijk te gebruiken, maar er zijn ook nadelen aan. • De berekening van de VaR volgens historische simulatie maakt enkel gebruik van de historische prijsveranderingen. Bijgevolg worden er geen veronderstellingen gemaakt voor de verdeling of rekening gehouden met andere subjectieve informatie. • Alle waarnemingen krijgen daarbovenop hetzelfde gewicht, dus prijsveranderingen van lang geleden tellen evenveel mee als recente prijsveranderingen. Dit kan ervoor zorgen dat, terwijl er een trend is van stijgende volatiliteit, de VaR geminimaliseerd wordt. • Als er nieuwe risico’s en assets zijn, dan is er nog geen historische data hiervoor beschikbaar, met als gevolg dat de VaR hiervoor niet kan berekend worden. Er zijn echter enkele aanpassingen mogelijk om te kunnen omgaan met deze nadelen, deze worden hier kort opgesomd. • Meer gewicht geven aan recente waarnemingen. • Historische simulatie combineren met tijdreeksmodellen. • Volatiliteit updaten.

Variantie Covariantie De VaR meet de kans dat een waarde van een asset of portefeuille lager dan een bepaalde waarde in een bepaalde periode zou gaan, dus kan de vraag gesteld worden of het mogelijk is om een kansverdeling van potentiële waarden te berekenen. Voor deze methode wordt er verondersteld dat de onderliggende marktfactoren een multivariate normale verdeling hebben, op deze manier kan er een normale verdeling bepaald worden van de resultaten. Een normale verdeling heeft heel wat mooie eigenschappen en die kunnen gebruikt worden om de VaR te bepalen. Hier zijn er 4 stappen: (a) Identificeer de marktfactoren en bereken de huidige waarde van de portefeuille. (b) Neem aan dat de procentuele prijsveranderingen een multivariate normale verdeling hebben met gemiddelden nul en schat de parameters van die verdeling. Op dit punt wordt gekeken hoe variabel de marktfactoren zijn. (c) Schat de standaardafwijkingen en correlatiecoëfficiënten van de marktfactoren. (d) Bereken de variantie en standaardafwijking van de portefeuille en bepaal zijn winsten verliesverdeling, de value at risk is dan gelijk aan N (α) ∗ σ.

48


met N (α) het α-kwantiel van de normale verdeling. Zoals elke methode heeft ook deze zijn specifieke nadelen.

• Als de conditionele returns niet normaal verdeeld zijn, zal de berekende VaR een onderschatting zijn van de echte VaR. • Stel dat de verdeling wel correct is, dan is het nog mogelijk dat de varianties en covarianties die gebruikt worden zelf niet correct zijn. • Het is mogelijk dat de veranderlijken niet stationair zijn, dus veranderen over de tijd. Dit kan zorgen voor problemen bij de berekening van de VaR. • Deze methode is ontworpen voor portefeuilles waar er een lineair verband is tussen risico en je positie. Als er bijgevolg opties worden opgenomen kan dit problemen opleveren door hun niet-lineaire payoff.

Monte Carlo De Monte Carlo simulatie lijkt voor een groot deel op de historische simulatie. Voor deze simulatie gebruikt men echter geen historische gegevens, maar wordt er vooraf een verdeling gekozen waarvan verondersteld wordt dat deze de veranderingen in de marktfactoren goed beschrijft. Er moeten opnieuw 5 stappen worden doorlopen:

(a) Identificeer de marktfactoren die aan de basis liggen en bepaal een formule die de waarde van de portefeuille bepaalt. (b) Bepaal of veronderstel een verdeling voor de veranderingen in deze marktfactoren. Schat vervolgens de parameters van deze verdeling. (c) Genereer N hypothetische waarden of veranderingen in de marktfactoren. (d) Orden de resultaten van grootste winst naar grootste verlies. (e) Bepaal het verlies dat in α% van de gevallen overschreden wordt. Dit is het resultaat behorende bij waarneming α∗(totaal aantal waarnemingen).

Er wordt vaak gezegd dat de Monte Carlo simulatie een gesophisticeerde methode is, beter dan een simpele historische simulatie. Dit terwijl men vaak eigenlijk de historische data gebruikt om zo veronderstellingen te maken voor de verdeling uit de Monte Carlo simulatie. In tegenstelling tot de variantie covariantie methode hoeft men bij de Monte Carlo simulatie geen onrealistische veronderstellingen te maken over de normaliteit van de returns, dit is een duidelijk voordeel. En terwijl bij de historische simulatie enkel historische data wordt gebruikt, kan dit bij een Monte Carlo simulatie nog aangevuld worden met extra informatie.


49

Extreme waarde theorie Naast deze drie methoden die frequent worden gebruikt, bestaat er nog een vierde methode die hier even kort wordt vermeld. Het gebeurt namelijk vaak dat extreme gebeurtenissen eigenlijk genegeerd worden en daarom werd er een nieuwe theorie bedacht voor de berekening van de VaR die hier wel rekening mee houdt. Voor meer info wordt er verwezen naar [26].

Welke methode? Het is niet makkelijk om zomaar een methode te kiezen aangezien ze elk hun eigenschappen hebben met hun duidelijke voor- en nadelen. Op de dataset wordt de methode van de historische simulatie gebruikt voor het bepalen van de VaR, hier wordt eigenlijk de VaR berekend van de dagelijkse logreturns. In de simulatiestudie daarentegen wordt de VaR van de opbrengst van de portefeuille berekend a.d.h.v. de absolute rendementen, dit zal een 6-maandelijkse, jaarlijkse en 5-jaarlijkse VaR zijn. De historische simulatie is de makkelijkste methode en ze veronderstelt niet dat de returns normaal verdeeld zijn. Er moet echter worden opgemerkt dat de VaR geen absolute zekerheid biedt, maar een schatting. De keuze voor α = 1%, 2.5% of 5% hangt af van je eigen betrouwbaarheidsgrens die je wil geven. De logreturns kunnen eerst eens in een histogram worden uitgezet om zo op zicht al ongeveer te zien waar de grenzen liggen.

Figuur 3.7: Histogram van de logreturns

In Tabel zijn de waarden van de VaR op de gehele dataset terug te vinden voor de verschillende betrouwbaarheidsgrenzen. 1% VaR -0.0316

2.5% VaR -0.0239

5% VaR -0.0179

Tabel 3.12: Value-at-Risk voor de gehele dataset. Interpretatie

50

HOOFDSTUK 3. SIMULATIE • Er is slechts 1% kans om meer dan 3.16% van je startkapitaal te verliezen op één dag. • Er is slechts 2.5% kans om meer dan 2.39% te verliezen op één dag. • Er is slechts 5% kans om meer dan 1.79% te verliezen op één dag.

Net zoals bij de volatiliteit werd gedaan, kunnen ook de jaarlijkse VaR waarden worden berekend, dit keer enkel de 5% VaR. Uit de waarde van de 5% VaR in het jaar 2008 is ook duidelijk dat dit een zeer turbulent jaar was en bijgevolg het mogelijke maximaal verlies hoog. Periode 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

VaR Periode VaR 5% 5% -0.0169 2001 -0.0218 -0.0119 2002 -0.0251 -0.0094 2003 -0.0152 -0.0078 2004 -0.0123 -0.0105 2005 -0.0102 -0.007 2006 -0.0102 -0.0112 2007 -0.0180 -0.0162 2008 -0.0449 -0.0198 2009 -0.0289 -0.0181 2010 -0.0172 -0.0215

Tabel 3.13: Value-at-Risk per jaar. Het beste jaar, wat betreft risico om geld te verliezen, is 1995, daar is er 5% kans dat het verlies meer dan 0.7% van je startkapitaal. Het slechtste jaar is duidelijk 2008 met de crash, daar is er 5% dat het verlies meer dan 4.5% van je startkapitaal bedraagt. Maar er is dus wel 95% kans dat je minder dan die 4.5% aan geld verliest, wat toch nog een hoge grens is. Zowel standaardafwijking als value at risk zijn risicomaatstaven, maar vertellen zij hetzelfde verhaal? Als de standaardafwijking groot is, wat wijst op een beweeglijke markt, moet de value at risk hier over het algemeen mee overeenstemmen en een groot potentieel maximaal verlies tonen. Daarom werden deze twee eens samengezet in een grafiek. Uit Figuur 3.8 is duidelijk dat deze twee dezelfde indicaties geven, het is zelfs zo dat als er een horizontale lijn door 0 wordt getrokken en gaat spiegelen, dat deze lijnen praktisch overlappen.

Voor- en nadelen De standaardafwijking als risicomaatstaf had zijn voor- en nadelen en dit is niet anders bij de VaR. Enkele voordelen zijn: • Het is een zeer eenvoudige maatstaf om mee te werken. Als uitkomst krijgt men één getal en deze geeft een maat van hoeveel verlies een belegger mogelijk kan lijden.

3.4. SHORT SELLING

51

Figuur 3.8: De jaarlijkse standaardafwijking en value at risk, met de value at risk*10 voor de aanschouwelijkheid • De VaR kan voor meerdere doeleinden gebruikt worden, dit afhankelijk van welke methode gebruikt wordt. Er zijn echter ook nadelen. • Bij het berekenen van de VaR krijgt men een schatting van het maximale verlies met een zekere kans over een bepaalde periode. Stel bv. met 95% kans een bepaald maximaal verlies, dan weet je echter niet wat er achter die grens is, daar kunnen zich namelijk nog extreme waarden bevinden. • Het is een maatstaf die minder goed werkt over langere termijnen, aangezien de berekening dan telkens ingewikkelder wordt.

3.4

Short selling

Aangezien er tijdens de simulatie mogelijkheid is om short te gaan, wordt er dan hier ook even wat uitleg omtrent dit fenomeen gegeven, gebaseerd op [28]. Short selling of short gaan wordt gebruikt als verwacht wordt dat het aandeel zal dalen. Actieve beleggers verkopen dan aandelen die eigenlijk niet in hun bezit zijn om ze vervolgens later aan een lagere prijs in te kopen en zo een winst te realiseren. Er wordt verondersteld dat dit lenen van deze aandelen gratis is en onbegrensd in de tijd. Er worden dus posities à la baisse ingenomen op aandelen met dalingspotentieel. Omgekeerd neemt men posities à la hausse in op aandelen met dalingspotentieel. Het terugkopen van de aandelen noemt men coveren. Er kan niet op alle aandelen short worden gegaan, aandelen op de niet-gereglementeerde markt mogen niet geshort worden. Ook aandelen waarvan de koers tot onder 5 USD gaat, mogen niet worden geshort. Meestal wordt er ook een dekking gevraagd door de persoon die de aandelen uitleent, de broker. Deze wil uiteraard dat de belegger aan zijn verplichting kan voldoen en dus de aandelen kan terugkopen, zelfs al daalt de markt niet,

52


de short positie moet kunnen worden afgesloten. Het is bijgevolg de truc om verliesposities snel af te sluiten om succesvol actief te beleggen. Men kan een aandeel niet altijd shorten, mocht iedereen bij een sterke daling van de koers van het aandeel direct short sellen, dan wordt de koers nog meer onder druk gezet en dit wil men voorkomen. Daarom heeft men een regel ingevoerd, de uptick regel, pas als de koers even met een fractie of meer stijgt kan een short order uitgevoerd worden. Een fenomeen dat vaak voorkomt, is de short squeeze. Het gebeurt namelijk frequent dat short sellers dezelfde aandelen gaan shorten, aandelen waarvan men verwacht dat die zeker gaan dalen. Stel dat echter, tegen alle verwachtingen in, het aandeel toch gaat stijgen, probeert men snel hun verlies te beperken en de aandelen te kopen om zo hun positie af te sluiten. Resultaat: koopdruk, het aandeel stijgt verder en ook andere shortsellers willen hun positie afsluiten. Dit gaat zo verder waardoor de koers een grote opstoot krijgt. In de berenmarkt, of dus de dalende markten, worden de aandelen vooral geshort door institutionele en kleinere beleggers. Dit in tegenstelling tot de daytraders en swingtraders die de te sterk gestegen aandelen shorten om zo winst te maken.

3.5

Variance Gamma model

Om het gedrag van aandeelprijzen te modelleren werd als stochastisch proces vooral een Brownse beweging gebruikt. Er is al aangetoond dat dit proces allesbehalve voldoet aan de realiteit en bijgevolg kwam de introductie van een Lévy proces. Aan de hand van zo’n Lévy proces zullen de aandeelprijzen nu gemodelleerd worden, namelijk het Variance Gamma model. Dit model houdt rekening met de scheefheid en kurtosis, op deze manier is er een betere fit met de verdeling van de historische data. Eerst worden aan de hand van de maximum likelihood methode de parameters geschat voor het VG proces. Hierbij ligt het artikel van Seneta aan de basis van de schatting en werd er gewerkt met het VarianceGamma pakket. De schatting voor de parameters zijn te vinden in Tabel 3.14. c σ θ ν

0.0007903 0.0136524 -0.0005822 1.7690647

Tabel 3.14: Parameterschatting VG model met ML Deze parameters worden vervolgens gebruikt voor het genereren van random VG returns, die vervolgens omgezet worden naar bijhorende paden voor aandeelprijzen met als beginwaarde S(0) = 100. In totaal worden er op deze manier zo’n 100000 paden gemaakt om er dan of een buy and hold strategie op toe te passen of een actieve buy and sell strategie. De paden lopen over een periode van 6 maanden, 1 jaar of 5 jaar.

3.5.1

Buy and Hold

De Buy and Hold strategie is een strategie waarbij er gekocht wordt aan het begin van een periode, er vervolgens niets meer wordt gedaan om dan op het einde van de periode

3.5. VARIANCE GAMMA MODEL

53

weer te verkopen aan de prijs op dat moment. Het is dus een passieve strategie waarbij er gewoon wordt gewacht in de hoop dat de prijzen op het einde gestegen zijn. Er is een minimum van activiteit door de belegger om zo op het einde een bepaald rendement te ontvangen.

6 maanden Er werden 100000 paden gegenereerd a.d.h.v. bovenstaande paramaters met als startwaarde 100 euro over 125 handelsdagen. Voor elk pad wordt vervolgens de eindwaarde berekend van een portefeuille met als startkapitaal 1000 euro. Winst Procentueel Gemiddeld 56.90 % 144.79 Gem. Opbrengst St. Afw. 37.65 158.74

Verlies Procentueel Gemiddeld 43.10 % -103.79 5% VaR -0.202

Tabel 3.15: Resultaten Buy and Hold strategie voor 125 handelsdagen Uit de resultaten in Tabel 3.15 is duidelijk dat er met deze strategie meer kans is op winst dan op verlies en die winst is hier gemiddeld 144,79 euro. De totale gemiddelde opbrengst is ook positief en de 5% VaR toont dat aan dat er slechts 5% kans is om meer dan 20.2% te verliezen. Toegepast op de startwaarde van 1000 euro betekent dit dat er slechts 5% kans is om meer dan 202 euro te verliezen. De 5% VaR werd berekend a.h.v.d. absolute returns en dit is dus een 6-maandelijkse VaR gebaseerd op de eindwaarden en startwaarde van de portefeuille die loopt over 125 dagen. De vraag is uiteraard of men bereid is om dat geld op het spel te zetten voor uiteindelijk maar een gemiddelde opbrengst van 37.65 euro.

1 jaar Analoog aan de methode bij 6 maanden, behalve dat er nu 100000 paden werden gegenereerd voor telkens 250 handelsdagen. De startwaarde S(0) is gelijk aan 100 en het startkapitaal is 1000 euro. Winst Procentueel Gemiddeld 59.49 % 223.68 Gem. Opbrengst St. Afw. 77.01 235.19


Tabel 3.16: Resultaten Buy and Hold strategie voor 250 handelsdagen Hier, Tabel 3.16, kunnen ongeveer dezelfde conclusies worden genomen als bij de paden over 125 handelsdagen. De gemiddelde opbrengst is wel het dubbele, maar de 5% VaR ligt ook hoger, deze keer is er 5% kans dat het verlies meer dan 264 euro bedaagt. Wat betekent dat er 95% kans is om tot 264 euro te verliezen, behoorlijk veel aangezien het startkapitaal 1000 euro bedraagt, dit is ongeveer een vierde ervan. Opnieuw moet de belegger het risico afwegen t.o.v. de mogelijke opbrengst.

54


5 jaar Ook worden er 100000 paden gegenereerd voor telkens een periode van 5 jaar, 1250 handelsdagen. De startwaarde van die paden is 100 euro en het startbedrag in de portefeuille 1000 euro. Winst Procentueel Gemiddeld 70.29 % 753.26 Gem. Opbrengst St. Afw. 457.88 751.69


Tabel 3.17: Resultaten Buy and Hold strategie voor 1250 handelsdagen Hoe langer de tijdsperiode, hoe hoger de gemiddelde opbrengst blijkbaar is. Ondertussen is de gemiddelde opbrengst hier, Tabel 3.17, al 457.88 euro, maar daar moet duidelijk een kanttekening bij worden gemaakt aangezien de 5% VaR hier zeer hoog ligt. Bijna de helft van het startkapitaal wordt geriskeerd. De gemiddelde opbrengst is in de 400 euro, maar met wat pech kan een belegger evengoed 400 euro kwijt zijn van zijn initiële portefeuille met 1000 euro, niet bepaald het gewenste resultaat.

3.5.2

Buy and Sell

Naast de Buy and Hold strategie wordt er ook een actieve Buy and Sell strategie toegepast. De belegger begint opnieuw met een startkapitaal van 1000 euro in zijn portefeuille. In tegenstelling tot de Buy en Hold strategie zal de belegger nu een actieve rol spelen en bij koopen verkoopsignalen telkens aandelen kopen en verkopen. Deze koopen verkoopsignalen werden gegenereerd via enkele technische regels. Er dient wel worden opgemerkt dat er géén transactiekosten worden aangerekend bij het verhandelen van de aandelen.

6 maanden Op de 100000 paden met 125 handelsdagen worden volgende technische regels getest: SMAregels (1,50), (5,50), EMAregels (1,50), (5,50), MACDregel (12,26,9) en RVIregel (14,10). Bij de regels van de voortschrijdende gemiddelden in Tabel 3.18 valt op dat de kans op winst kleiner is dan de kans op verlies, in minder dan 50 % van de gevallen is er winst. Dit is het geval bij SMAregels (1,50) en (5,50) en EMAregel (1,50). Bij de andere technische regels ligt de score iets hoger, maar het feit dat de kans op verlies ongeveer even groot is als de kans op winst, blijft. De gemiddelde opbrengst is wel telkens positief en ligt rond de 12 euro. De gemiddelde opbrengst bij de Buy and Hold strategie over 6 maanden is 3 keer zo groot, maar dit groter rendement brengt ook meer risico met zich mee aangezien de 5% VaR telkens groter is bij deze strategie dan bij de verschillende Buy and Sell strategiën. Er is bij de technische regels 5% kans dat het verlies meer dan 100-125 euro zal bedragen, beduidend minder dan de 202 euro bij de Buy and Hold strategie. De keuze is dus aan de belegger, de gemiddelde opbrengst ligt bij de Buy Hold strategie hoger, maar de kans op meer verlies is ook groter. Een reden van een slechter resultaat kan zijn dat de MA


55

Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 46.96 % 82.66 53.03 % -51.26 (5,50) 47.81% 80.78 52.19 % -51.79 EMA (1,50) 47.91% 80.47 52.09% -51.22 (5,50) 51.00% 75.25 48.99% -54.22 MACD (12,26,9) 53.40% 79.68 46.60% -62.66 RVI (14,10) 54.14% 78.41 45.86% -63.64 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 11.63 88.98 -0.101 (5,50) 11.59 88.98 -0.102 EMA (1,50) 11.86 89.89 -0.101 (5,50) 11.81 89.93 -0.102 MACD (12,26,9) 13.35 91.06 -0.125 RVI (14,10) 13.27 90.05 -0.126 Tabel 3.18: Resultaten Buy and Sell strategie voor 125 handelsdagen te dicht tegen de koers ligt en er teveel valse signale doorkomen die een nefaste invloed hebben op het beleggen.

1 jaar Op de 100000 paden met 250 handelsdagen worden volgende technische regels getest: SMAregels (1,50), (1,150), (5,150) ,EMAregels (1,50), (1,150) , (5,150), MACDregel (12,26,9) en RVIregel (14,10). Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 51.33 % 141.99 48.66% 84.55 (1,150) 50.31 % 92.64 49.68 % -61.01 (5,150) 51.94 % 89.55 48.06% -62.65 EMA (1,50) 48.70 % 152.00 51.29% -80.22 (1,150) 53.08% 86.89 46.92% -63.28 (5,150) 56.49% 81.29 43.51% -67.67 MACD (12,26,9) 56.15% 128.53 43.84% -93.11 RVI (14,10) 56.21% 123.34 43.78% -91.42 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 31.74 150.77 -0.161 (1,150) 16.29 106.44 -0.118 (5,150) 16.41 106.23 -0.117 EMA (1,50) 32.88 156.87 -0.155 (1,150) 16.43 106.47 -0.122 (5,150) 16.48 106.28 -0.123 MACD (12,26,9) 31.36 141.78 -0.183 RVI (14,10) 29.31 136.74 -0.180 Tabel 3.19: Resultaten Buy and Sell strategie voor 250 handelsdagen Uit de resultaten in Tabel 3.19 blijkt dat bij elke technische regel er meer kans is op

56


winst dan op verlies, behalve bij de EMAregel (1, 50). De reden hiervan kan zijn dat deze dicht tegenaan de koers beweegt, bijgevolg veel valse signalen oppikt en al deze waarnemingen blijven in de berekening. Nochtans is de gemiddelde opbrengst daar wel hoger. De gemiddelde opbrengst ligt overal behoorlijk laag, hoewel de SMAregel (1, 50), EMAregel (1, 50), MACDregel (12, 26, 9) en RVIregel (14, 10) daar toch beter in scoren. Maar zoals reeds vermeld, betere opbrengsten brengen ook meestal meer risico met zich mee en dat valt ook te zien aan de 5% VaR. Bij deze regels riskeert men meer dan 150 euro te verliezen, terwijl dit bij de andere beperkt wordt tot zo’n 120 euro. Bij vergelijking met de Buy and Hold strategie over een periode van een jaar, moet opnieuw besloten worden dat het resultaat, qua gemiddelde opbrengst, hier slechter is. De Buy and Hold strategie bereikte namelijk een gemiddelde opbrengst van 77.01 euro, maar het risico bij deze strategie is wel dat de belegger 202 euro kan verliezen i.p.v. 150 euro bij de technische regels.

5 jaar Op de 100000 paden met 1250 handelsdagen ten slotte, worden volgende technische regels getest: SMAregels (1,50), (1,150), (5,150), (1,200), EMAregels (1,50), (1,150), (5,150), (1,200), MACDregel (12,26,9) en RVIregel (14,10). Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 63.42% 436.77 36.58% -182.48 (1,150) 61.54 % 443.09 38.46 % -176.53 (5,150) 61.47 % 443.13 38.53% -175.27 (1,200) 60.77% 440.13 39.22% -172.36 EMA (1,50) 62.54 % 465.51 37.46% -182.42 (1,150) 59.56% 487.24 40.43% -173.08 (5,150) 59.66% 488.68 40.33% -172.94 (1,200) 58.36% 487.85 41.64% -167.76 MACD (12,26,9) 65.24% 395.21 34.76% -183.74 RVI (14,10) 64.59% 366.90 35.41% -176.97 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 210.25 448.39 -0.331 (1,150) 204.81 463.54 -0.318 (5,150) 204.84 463.35 -0.318 (1,200) 199.88 461.84 -0.312 EMA (1,50) 222.79 487.27 -0.331 (1,150) 220.24 512.30 -0.312 (5,150) 221.79 515.28 -0.311 (1,200) 214.84 508.32 -0.303 MACD (12,26,9) 193.95 393.82 -0.333 RVI (14,10) 174.31 368.376 -0.323 Tabel 3.20: Resultaten Buy and Sell strategie voor 1250 handelsdagen Net zoals bij de Buy and Hold strategie over een periode van 1250 handelsdagen, is ook hier in Tabel 3.20 de gemiddelde opbrengst veel groter dan bij de kortere periodes. Deze gemiddelde opbrengsten zijn wel nog steeds maar de helft van wat een Buy and Hold strategie kan opbrengen. En ook het risico dat hierbij komt kijken is niet min, de 5%


57

VaR weet te vertellen dat er slechts 5% kans is dat het verlies meer dan ongeveer 300 euro bedraagt. Dit wil dus zeggen dat er wel tot 300 euro kan verloren worden op het startbedrag van 1000 euro, terwijl de gemiddelde opbrenst maar rond de 200 euro is. Er dient worden opgemerkt dat de MACDregel (12, 26, 9) en RVIregel (14, 10) slechtere resultaten leveren dan anders. Zoals bij de andere technische regels ligt het winstpercentage rond de 60%, maar de gemiddelde opbrengst is lager dan bij de andere technische regels. Blijkbaar zijn deze twee regels minder efficiënt op langere termijn. De EMAregels daarentegen scoren beter dan de rest, dit kan zijn omdat er over een langere termijn wordt gewerkt en deze regels nog steeds rekening houden met waarnemingen van lang geleden.

3.5.3

Short gaan

Naast een gewone Buy and Sell strategie die eerder werd besproken, kan er ook de mogelijkheid worden geboden om short te gaan. Op de 100000 paden die reeds gecreëerd zijn ,wordt nu een actieve Buy and Sell strategie toegepast en de belegger kan daarbovenop ook short gaan. Dit betekent dat er opnieuw wordt begonnen met een startkapitaal van 1000 euro en dezelfde technische regels worden toegepast, maar daarnaast kunnen er nu bij een verkoopsignaal ook aandelen worden verkocht die eigenlijk niet in je bezit zijn. Hierbij wordt er in dit geval omwille van de symmetrie een limiet opgelegd, namelijk de waarde van je portefeuille op dat moment. Stel bv. dat je voor 1000 euro aandelen hebt en 0 euro cash, dan kun je short gaan tot -1000 euro aandelen en 2000 euro cash. Op het einde wordt opnieuw de waarde van de portefeuille berekend.

6 maanden Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 74.98 % 549.20 25.02 % -79.05 (5,50) 74.79% 540.55 25.21 % -78.26 EMA (1,50) 76.68% 460.66 23.32% -78.82 (5,50) 78.62% 399.41 21.38% -80.85 MACD (12,26,9) 74.27 % 653.02 25.73% -91.47 RVI (14,10) 76.30% 712.89 23.69% -101.54 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 392.03 440.79 -0.128 (5,50) 384.57 441.27 -0.127 EMA (1,50) 334.87 408.24 -0.123 (5,50) 296.74 391.31 -0.119 MACD (12,26,9) 461.45 508.18 -0.165 RVI (14,10) 519.89 510.30 -0.159 Tabel 3.21: Resultaten Buy and Sell strategie voor 125 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan Hoewel veel mensen het short gaan zien als een criminele activiteit omdat dit de markt naar beneden kan trekken, blijkt toch uit Tabel 3.21 dat het zijn voordelen heeft. Bij alle technische regels ligt de kans op winst immers hoger dan de kans op verlies en dit zelfs in bijna 80% van de gevallen. Ook brengen deze strategiën gemiddeld meer op dan een

58


gewone Buy and Sell strategie en zelfs veel meer dan een simpele Buy and Hold strategie. Dit laatste was niet het geval bij een gewone Buy and Sell strategie. Daarbovenop is de 5% VaR bij elke regel lager dan deze van de Buy and Hold strategie. Hier kan er dus besloten worden dat de belegger een groter rendement kan realiseren met minder risico. Dit is voor slechts 125 handelsdagen, dus de mogelijkheid bestaat dat er andere resultaten zijn over een langere termijn. 1 jaar In onderstaande Tabel 3.22 zijn de resultaten terug te vinden voor de technische regels waarbij short gaan eveneens mogelijk is, maar nu voor een periode van 250 handelsdagen. Aangezien de periode langer is, worden er opnieuw twee extra regels getest, nl. SMA(5,150) en EMA(5,150). Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 73.78% 613.43 26.21 % -132.88 (1,150) 78.26 % 409.35 21.73% -89.50 (5,150) 79.24 % 390.54 20.75% -88.96 EMA (1,50) 74.35% 563.58 25.65% -130.32 (1,150) 77.76% 353.67 22.24 % -87.80 (5,150) 79.24 % 309.53 20.75% -87.36 MACD (12,26,9) 73.84% 686.03 26.15 % -143.83 RVI (14,10) 75.75% 739.86 24.25% -153.16 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 417.77 491.88 -0.218 (1,150) 300.93 383.24 -0.136 (5,150) 290.99 378.40 -0.133 EMA (1,50) 385.61 449.89 -0.212 (1,150) 255.49 363.62 -0.135 (5,150) 227.17 344.82 -0.136 MACD (12,26,9) 469.02 538.94 -0.236 RVI (14,10) 523.26 551.68 -0.242 Tabel 3.22: Resultaten Buy and Sell strategie voor 250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan De MACD en RVI regels behalen de beste resultaten met een gemiddelde opbrengst die ongeveer de helft bedraagt van het startkapitaal. Ook de SMA(1,50) en EMA(1,50) regels leveren goeie scores, de voortschrijdende gemiddelden die het dichtst bij het koersverloop bewegen. Het short gaan biedt voordelen voor deze strategiën, misschien kan de snelle reactie op marktbewegingen hier de oorzaak van zijn. De Buy and Hold strategie verbleekt hierbij, want zowel gemiddeld rendement als het risico dat de investeringen met zich meebrengen is over het algemeen beter bij deze strategiën. 5 jaar Ten slotte worden de technische regels met mogelijkheid tot short gaan nog getest voor een periode van 1250 handelsdagen. Er wordt weer begonnen met een startkapitaal van 1000 euro en er zijn twee extra regels, nl. SMAregel (1,200) en EMAregel (1,200).


59

Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld SMA (1,50) 70.39% 891.63 29.61% -314.27 (1,150) 71.21 % 821.25 28.79 % -286.32 (5,150) 71.23 % 826.56 28.77% -287.39 (1,200) 71.62% 792.35 28.38% -276.37 EMA (1,50) 70.74 % 869.57 29.25% -307.09 (1,150) 71.69% 770.17 28.31% -277.73 (5,150) 71.89% 773.31 28.10% -276.31 (1,200) 72.23% 726.88 27.77% -269.46 MACD (12,26,9) 70.23% 928.50 29.77% -334.74 RVI (14,10) 71.12% 939.24 28.88% -350.69 Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR SMA (1,50) 534.61 857.16 -0.539 (1,150) 502.412 798.30 -0.489 (5,150) 506.12 803.10 -0.488 (1,200) 489.07 769.75 -0.470 EMA (1,50) 525.3 849.04 -0.524 1,150) 473.51 754.84 -0.471 (5,150) 478.35 757.07 -0.466 (1,200) 450.18 701.91 -0.453 MACD (12,26,9) 552.45 866.39 -0.572 RVI (14,10) 566.73 865.07 -0.594 Tabel 3.23: Resultaten Buy and Sell strategie voor 1250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan Hier, Tabel 3.23 ligt het winstpercentage wat lager dan over de periode van 1 jaar, maar nog steeds rond de 70%. Vergeleken met de Buy and Hold strategie, brengen deze strategiën gemiddeld meer op, behalve de EMAregel (1,200), al scheelt het niet veel. Deze resultaten zijn wel sowieso beter dan bij de gewone Buy and Sell strategie over 5 jaar. Er is een keerzijde aan deze hoge opbrengsten, het risico is ook zeer hoog. Een belegger zet de helft van zijn startkapitaal op het spel, soms zelfs bijna 600 euro. De vraag die bijgevolg opnieuw kan worden gesteld is of investeren op deze manier het wel waard is. Het valt op dat hoe langer de periode is, hoe meer winst er kan gemaakt worden, maar er is telkens ook een groter risico aan verbonden. Dit kan verklaard worden door het feit dat er een drift aanwezig is in het Variance Gamma model, namelijk c + θ. Deze drift is niet gelijk aan nul, bijgevolg is de verwachte gemiddelde opbrengst ook niet gelijk aan nul. Hoe langer bijgevolg de termijn, hoe groter ook de gemiddelde opbrengst zal zijn, maar ook hoe groter de afwijkingen tussen deze opbrengsten kunnen zijn, dus meer risico.

3.5.4

Normale verdeling

Stel dat de logreturns, tegen beter weten in, toch een normale verdeling hebben. Wat betekent dit dan voor de voortschrijdende gemiddelden? Om dit te testen werden er eveneens 100000 paden gegenereerd, deze keer met willekeurige normaalverdeelde returns ∼ N (µ, σ 2 ), met µ en σ bepaald uit de dataset, zie Tabel 3.24. De periode is 1 jaar, dus 250 handelsdagen en de resultaten van volgende techni-

60

HOOFDSTUK 3. SIMULATIE µ σ

0.0002364 0.0117072

Tabel 3.24: Parameters normale verdeling sche regels worden gecontroleerd: SMA(1,50), SMA(1,150), SMA(5,150), EMA(1,50), EMA(1,150) en EMA(5,150). Er wordt gestart met een portefueille waar 1000 euro in zit.

SMA

EMA

SMA

EMA

(1,50) (1,150) (5,150) (1,50) (1,150) (5,150) (1,50) (1,150) (5,150) (1,50) (1,150) (5,150)

Winst Procentueel Gemiddeld 53.86% 124.25 50.99 % 84.02 52.71 % 81.09 51.29% 133.65 53.36% 79.96 56.86% 74.55 Gem. Opbrengst St. Afw. 33.31 130.92 17.32 92.99 17.34 92.84 17.54 136.91 17.43 93.22 17.43 93.05

Verlies Procentueel Gemiddeld 46.14 % -72.852 49.01% -52.066 47.29% -53.719 48.71% -69.832 46.64 % -53.877 43.14% -57.873 5% VaR -0.138 -0.100 -0.101 -0.133 -0.104 -0.105

Tabel 3.25: Buy and Sell strategie met normaalverdeelde logreturns voor 100000 paden over 250 handelsdagen Bij het vergelijken van voorgaande resultaten uit Tabel 3.19, die behaald werden door te veronderstellen dat de logreturns een Variance Gamma verdeling hebben, valt er op te merken dat de resultaten hier in Tabel 3.25 wat beter zijn. De gemiddelde opbrengst ligt over het algemeen overal iets hoger en daar komt nog bij dat de 5% VaR lager ligt. Dus een ietwat hoger gemiddeld rendement, met een lager risico. Hieruit kan besloten worden, zoals er verwacht werd, dat als logreturns een normale verdeling zouden hebben, de voortschrijdende gemiddelden beter zouden werken. Ten slotte wordt ook nog de mogelijkheid bekeken waarbij men kan short gaan. Uit de resultaten in Tabel 3.26 kan dezelfde conclusie worden genomen als je vergelijkt met de resultaten in Tabel 3.22, een rendement dat gemiddeld wat hoger ligt, waarbij een lager risico hoort. Helaas is het zo dat er in de praktijk amper kan gesproken worden van normaalverdeelde logreturns. De resultaten kunnen nu dus wel beter zijn, maar met die kennis komt een belegger niet vooruit. Er werden ook 100000 paden gegenereerd voor een periode van 6 maanden en voor een periode van 5 jaar met dezelfde startvoorwaarden. De resultaten ervan zijn hier niet opgenomen, maar dezelfde conclusie kon worden genomen. Dit betekent dus dat er telkens een hogere gemiddelde opbrengst was, gecombineerd met lager potentieel maximaal verlies. Enkele verklaringen hiervoor zijn: • Een normale verdeling veronderstelt dat er amper uitschieters zijn. De bedoeling van de voortschrijdende gemiddelden is om de aandeelprijzen te egaliseren en eventuele uitschieters weg te werken zodat de hoofdbeweging in de markt duidelijk wordt.


SMA

EMA

SMA

EMA

Winst Verlies Procentueel Gemiddeld Procentueel Gemiddeld (1,50) 74.26% 604.49 25.74% (1,150) 77.82% 410.40 22.18% (5,150) 78.64 % 389.32 21.35% (1,50) 74.29% 549.72 25.70% (1,150) 77.09% 353.19 22.92 % (5,150) 78.55% 306.52 21.45% Gem. Opbrengst St. Afw. 5% VaR (1,50) 419.32 483.14 -0.186 (1,150) 302.32 387.61 -0.118 (5,150) 289.61 382.94 -0.117 (1,50) 379.53 444.55 -0.182 (1,150) 254.98 366.79 -0.118 (5,150) 224.58 347.50 -0.115

61

-114.86 -76.83 -77.59 -112.46 -75.39 -75.54

Tabel 3.26: Buy and Sell strategie met normaalverdeelde logreturns voor 100000 paden over 250 handelsdagen met mogelijkheid om short te gaan. De uitschieters in een bepaalde periode worden wel meegerekend in dit gemiddelde, waardoor ze toch zorgen voor een bepaald effect, maar hier zijn uitschieters echter zeldzaam. Dit zorgt ervoor dat de voortschrijdende gemiddelden beter zullen aanleunen bij het echte koersverloop en nuttige signalen geven. • Een Variance Gamma verdeling daarentegen laat zowel grote als kleine sprongen toe. De grote sprongen, extreme waarden, worden ook opgenomen in de berekening van de voortschrijdende gemiddelden en zorgen dus wel voor een vertekend beeld, want het gemiddelde wordt daardoor sterk omhoog of omlaag getrokken. Deze uitschieters zijn namelijk geen goeie voorspellingen voor de hoofdtrend, bijgevolg kan het zijn dat er zo verkeerde voorspellingen worden gemaakt over toekomstige aandeelprijzen. Een exponentieel voortschrijdend gemiddelde kan hier al verbetering geven t.o.v. een gewoon voortschrijdend gemiddelde. • Bij een normale verdeling vallen het gemiddelde, modus en mediaan van de logreturns samen. Er is ook geweten dat 50% van de waarden zich boven/onder het gemiddelde zullen bevinden. De normale verdeling wordt eigenlijk bepaald door zijn gemiddelde en de standaardafwijking en veronderstelt dat in 95% van de gevallen de logreturns binnen ongeveer twee standaardafwijkingen van het gemiddelde vallen. Voor de paden met de aandeelprijzen betekent dit dat de opbrengst telkens rond de gemiddelde opbrengst zal liggen. De afwijking ervan is niet zo groot, het risico om meer te verliezen wordt nagenoeg ook kleiner. • Voor logreturns verdeeld volgens een Variance Gamma proces is dit helemaal niet het geval, de verdeling is scheef en heeft zware staarten. Er zijn grote afwijkingen mogelijk en daarmee verbonden meer kans op een groter verlies.

62


Hoofdstuk 4 Conclusie Is, gebaseerd op deze steekproef, een Buy and Hold strategie nu beter dan een Buy and Sell strategie? Het antwoord op deze vraag hangt eigenlijk ook af van de persoon die erop antwoordt. Hebben we te maken met een belegger die niet bang is van risico’s en vol overtuiging voor de hoogst mogelijke opbrengst gaat, dan zal deze ongetwijfeld kiezen voor de Buy and Hold strategie. Ook is het dan aangeraden om te beleggen over een langere termijn, aangezien de gemiddelde opbrengst dan hoger ligt. Hebben we echter te maken met een belegger die liever op veilig speelt en tevreden is met een lagere opbrengst, dan zal deze een actieve Buy and Sell strategie passender vinden voor de portefeuille. Als een belegger kiest voor een Buy and Sell strategie, welke is dan de beste? Op korte termijn is gebleken dat de MACDregel en RVIregel het best scoorden, maar dit veranderde naarmate de termijn langer werd. Een langetermijnbelegging met de MACD- of RVIregel gaf lagere opbrengsten dan de andere regels, met zelfs een hoger risico. Bijgevolg hangt het antwoord hier af van de termijn waarover een belegger wil werken. Hoe langer de termijn, hoe beter de SMAregel (1,50) en EMAregel (1,50) scoorden en dan vooral de EMAregels bij een periode van 5 jaar. Ten slotte kon er ook nog short worden gegaan. Velen zijn daar geen voorstander van en soms, bij een crisis, wordt het short gaan zelfs niet toegelaten omdat het een gevaar voor de markt kan betekenen. Toch wordt hier eens de proef op de som genomen wat zo’n strategie effectief kan betekenen voor een belegger. En, hoewel ik moet zeggen dat ik er eveneens sceptisch tegenover stond, de resultaten spreken voor zich. De gemiddelde opbrengsten zijn veel hoger, maar het bijhorende risico is daarbovenop zelfs lager. Een win-win situatie zou men zeggen, behalve dat erbij moet vermeld worden dat de spreiding t.o.v. dit gemiddelde wel veel groter is dan bij een Buy and Hold of gewone Buy and Sell strategie. Dus het is mogelijk dat de opbrengst na een belegging serieus kan afwijken van wat er verwacht werd en dus eigenlijk helemaal niet zo hoog is. Over het algemeen kan geconcludeerd worden dat geen enkele strategie die hier op deze steekproef werd getest een afdoend antwoord kan geven op de vraag naar de beste strategie. Elk hebben ze wel hun eigen voor- en nadelen en afhankelijk van de belegger kan elke strategie gebruikt worden. Een actieve Buy and Sell strategie, met eventueel mogelijkheid om short te gaan, vereist uiteraard meer energie en dat is ook een keuze die de belegger moet maken.

63

64

HOOFDSTUK 4. CONCLUSIE

Bĳlage A Grafieken

Figuur A.1: SMAregel (1,50) toegepast op de volledige dataset

65

66

BĲLAGE A. GRAFIEKEN

Figuur A.2: SMAregel (2,200) toegepast op de volledige dataset

Figuur A.3: EMAregel (1,50) toegepast op de volledige dataset

67

Figuur A.4: MACDregel (12,26,9) toegepast op de volledige dataset

Figuur A.5: RVIregel (14,10) toegepast op de volledige dataset

68

BĲLAGE A. GRAFIEKEN

Bibliografie [1] P. Van de Velde, Technische Analyse, (1986) [2] Blake LeBaron, The Stability of Moving Average Technical Trading Rules on the Dow Jones Index, (1999) [3] Terence C. Mills, Technical Analysis and the London Stock Exchange: Testing Trading Rules Using the FT30, Int.J.Fin.Econ.2, 319-331 (1997) [4] William Brock, Josef Lakonishok & Blake LeBaron, Simple Technical Trading Rules and the Stochastic Properties of Stock Returns, The Journal of finance, vol. XLVII, no.5, 1731-1764 (1992) [5] Dejan Eric, Goran Andjelic & Srdjan Redzepagic, Application of MACD and RVI indicators as functions of investment strategy optimization on the financial market, vol. 27, 171-196 (2009) [6] Wim Schoutens, Lévy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives, (2003) [7] David Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, (2004) [8] Eugene Seneta, Fitting the Variance-Gamma model to financial data, Journal of Applied Probability, Vol. 41, Stochastic Methods and Their Applications, 177-187 (2004) [9] Black, F., Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities, The journal of political economy, Vol. 81, No. 3, 637-654 (1973) [10] Merton, R.C., Theory of rational option pricing, The Bell journal of economics and management sience, Vol. 4, No. 1, 141-183 (1973) [11] Madan, D.B. and Seneta, E. The VG model for share market returns, Journal of business, Vol. 63, No. 4, 511-524 (1990) [12] Barndorff-Nielsen, O.E. Normal inverse Gaussian distributions and the modeling of stock returns, Research report No. 300, Department of statistics, Aarhus university (1995) [13] Schoutens, W. The Meixner proces in finance, EURANDOM Report 2001-002. EURANDOM, Eindhoven (2001) [14] P. Carr, H. Geman, D.B. Madan & M. Yor The fine structure of asset returns: An empirical investigation, Journal of business, Vol. 75, 305-332 (2002) [15] M. Loève Paul Lévy, 1886-1971, The annals of probability, Vol. 1, No.1, 1-18 (1973) [16] R. Cont & P. Tankov Financial modeling with jump processes, New York: Chapman & Hall/CRC Press (2003) 69

70

BIBLIOGRAFIE

[17] Eugene F. Fama, The behavior of stock market prices, Journal of Business, 34: 420429 (1965) [18] E. Eberlein & U. Keller, Hyperbolic distributions in finance, Bernoulli, 1(3): 281- 299 (1995) [19] G. Bakshi, C. Cao & Z. Chen, Empirical Performance of Alternative Option Pricing Models, Journal Of Finance, 52(5): 2003-2049 (1997) [20] Terence Tai-Leung Chong & Wing-Kam Ng, Technical analysis and the London stock exchange: testing the MACD and RSI rules using the FT30, Applied Economics Letters, 15, 1111Ű1114 (2008) [21] Mieko Tanaka-Yamawaki & Seiji Tokuoka, Adaptive use of technical indicators for the prediction of intra-day stock prices, Physica A, 383, 125-133 (2007) [22] E. Eberlein, Jump-type Lévy processes, Department of Mathematical Stochastics, University of Freiburg [23] Dilip B. Madan, Peter P. Carr & Eric C. Chang, The Variance Gamma Process and Option Pricing, European Finance Review 2: 79-105 (1998) [24] Thomas J. Linsmeier & Neil D. Pearson, Risk Measurement: An Introduction to Value at Risk, University of Illinois at Urbana-Champaign (1996) [25] Philippe Jorion, Risk 2 : Measuring the Risk in Value at Risk, Financial Analysts Journal (1996) [26] Erik Brodin & Claudia Klüppelberg, Extreme Value Theorie in Finance [27] Jan H. Van Schuppen & Eugene Wong, Transformation of Local Martingales Under a Change of Law, The Annals of Probability, Vol.2, No.5, 879-888 (1974) [28] Kathryn F. Staley, The Art of Short Selling, (1997) [29] Eugene F. Fama, Random Walks in Stock-Market prices, Graduate School of Business University of Chicago, Selected papers, No.16 [30] Salih N. Neftci, Naive Trading Rules in Financial Markets and Wiener-Kolmogorov Prediction Theorie: A Study of ‘Technical Analysisť, Journal of Business, vol. 64, no. 4 (1991) [31] Robert Hudson, Michael Dempsey & Kevin Keasey, A note on the weak form efficiency of capital markets: The application of simple technical trading rules to UK stock prices - 1935 to 1994, Journal of Banking & Finance 20, 1121-1132 (1996) [32] Avner Kalay, Orly Sade & Avi Wohl, Profits are hard to find: an investigation of the effect of illiquidity on the profitability of trading rules, Working Paper No. 10/2004 (2004) [33] Ki-Yeol Kwon, Richard J. Kish, Technical trading strategies and return predictability: NYSE, Applied Financial Economics, Vol. 12, 9 (2002)

Simulatiestudie van technische indicatoren voor aandelenhandel

Recommend Documents