SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA) TESIS

SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA)

TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung

Oleh BENNY IRAWAN NIM : 20804003 Program Studi Aktuaria

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA)

Oleh BENNY IRAWAN NIM : 20804003

Program Studi Aktuaria Institut Teknologi Bandung

Menyetujui, Tim Pembimbing Tanggal 12 September 2007

Pembimbing I

Dr. Sutawanir Darwis NIP : 130515683

Pembimbing II

Dumaria R. Tampubolon M.Sc NIP : 131855593

Kupersembahkan Tesis ini untuk kedua orang tuaku tercinta dan seorang wanita yang paling aku cintai Nurita Taurisia Dasman

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Nama

:

Benny Irawan

Tempat Tanggal Lahir

:

Balikpapan, 05 Oktober 1981

NIM

:

20804003

Jenis Kelamin

:

Laki-laki

Agama

:

Islam

Anak ke

:

1 dari 2 bersaudara

Nama Ayah

:

Sudirman Benyamin

Nama Ibu

:

Mariati

Alamat

:

Jl. Kawaluyaan Indah I No. 26 Bandung 40286

Email

:

[email protected]

Pendidikan formal : 1. Taman Kanak-kanak (TK) Hang Tuah Balikpapan (1987) 2. Sekolah Dasar (SD) Kemala Bhayangkari (1993) 3. Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 2 Bandung (1996) 4. Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 5 Bandung (1999) 5. Program Khusus Diploma II ITB, Jurusan Informatika (2001) 6. Universitas ARS Internasional, Jurusan Manajemen Bisnis Internasional (2003) 7. Magister Aktuaria, Institut Teknologi Bandung (2007)

ABSTRAK SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA) Oleh BENNY IRAWAN NIM : 20804003 Kegiatan bisnis asuransi dapat diklasifikasikan menjadi: asuransi jiwa, anuitas, dana pensiun, asuransi kesehatan, dan asuransi non-jiwa yang bisa juga disebut sebagai asuransi umum atau asuransi kecelakaan dan harta benda. Akhir-akhir ini di Indonesia banyak sekali terjadi kecelakaan transportasi, seperti: kecelakaan pesawat terbang, kapal/ferri, kereta api, dan tidak terhitung banyaknya kecelakaan mobil. Penelitian di bidang asuransi kecelakaan transportasi dan penggunaan metode aktuaria untuk menangani masalah resiko keuangan akibat kecelakaan tersebut sudah berkembang pesat di banyak negara lain; tetapi belum dikembangkan secara optimal di Indonesia. Tujuan penelitian di bidang asuransi kecelakaan transportasi, antara lain, adalah untuk berkontribusi dalam memberikan perlindungan terhadap risiko kerugian finansial akibat kecelakaan transportasi; dan untuk memotivasi masyarakat dalam meningkatkan keamanan bertransportasi. Tesis ini menjadi bagian dari sebuah langkah awal penelitian untuk mencapai tujuan-tujuan tersebut. Di banyak negara maju, setiap pemilik maupun pengendara mobil diwajibkan memiliki automobile third-party liability insurance. Apabila terjadi kecelakaan mobil, automobile third-party liability insurance melindungi pemegang polis terhadap kerugian yang dialami pihak ke-tiga atas kerusakan kenderaannya maupun atas kecelakaan yang menimpa dirinya. Automobile third-party liability insurance juga melindungi pemegang polis terhadap kerugian yang dialami oleh penumpang yang berada di dalam kendaraan pemegang polis tersebut. Sistem bonus-malus merupakan suatu sistem penentuan premi yang memberikan penalti (malus) apabila pemegang polis mengajukan satu atau lebih klaim, dengan cara menaikkan premi yang bersangkutan di tahun berikutnya; dan memberikan bonus apabila pemegang polis tidak mengajukan klaim, dengan cara menurunkan premi yang bersangkutan di tahun berikutnya. Untuk memahami sistem bonus-malus, tesis ini mengusulkan pendekatan simulasi karena penulis mengalami kesulitan mendapatkan data yang representatif dari asuransi kecelakaan mobil Indonesia. Banyaknya klaim dimodelkan dengan Binomial Negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Good-risk/bad-risk. Keluaran (output) dari tesis ini adalah tabel premi berdasarkan ketiga model tersebut. Perhitungan premi dilakukan menggunakan metode Bayesian (khususnya, ekspektasi posterior) karena dengan metode ini, pengalaman mengemudi (claim history) setiap pemegang polis turut diperhitungkan. Apabila penelitian di bidang asuransi kecelakaan mobil menggunakan data Indonesia ingin dilakukan, maka tesis ini merekomendasikasikan pembentukan sistem basis data (database) terintegrasi dari bisnis asuransi kecelakaan mobil di Indonesia. Kata Kunci : Sistem Bonus Malus, Third Party Liability Insurance

ABSTRACT

SIMULATION BONUS MALUS SYSTEM (CASE STUDY BELGIUM) By BENNY IRAWAN NIM : 20804003

Insurance businesses are classified as: life insurance, annuities, pension fund, health insurance and non-life insurance (also called general insurance or casualty and property insurance). Lately, Indonesia faces so many accidents: airplanes, ships/ferries, trains; not to mention the already frequent car accidents. These are examples of the risk of financial loss from non-life insurance events. Research in actuarial studies and in using the actuarial approach to solve financial risk problems is well developed overseas; but not yet developed in Indonesia. Some of the aims of conducting research in, for example, car insurance and airline insurance, are to contribute (to the community) protection against the risk of financial loss and to increase safety. This study is part of an initial stage of research which attempt to contribute in attaining these objectives. In most developed countries, automobile third-party liability insurance has been made compulsory; as owning and/or driving a vehicle means taking risks not just for oneself but also for others. Automobile third-party liability insurance, in general, covers the insured against accidental damage to a third party vehicle, injury to third parties and liability to passengers in the policyholder's vehicle. Bonus Malus Systems (BMS) are rating systems which penalize the insured responsible for one or more accidents by an additional premium or malus, and reward claim-free policyholder, by awarding a discount or bonus. To better understand the system, and due to the inaccessibility to a representative Indonesian car insurance data, this thesis presents a simulation study of BMS based on the number of claims of each policyholder. The claim number is modeled by: NegativeBinomial; Poisson-Inverse-Gaussian; and Good-risk/bad-risk models. To evaluate the goodness of a fit, the (standard) chi-square test is used. A quantitative study of the transition matrix of BMS is carried out. To enable research in this area using Indonesian data, we recommend the development of a database system for Indonesian car insurance data. Keyword: Bonus - Malus System, Third Party Liability Insurance, Negative Binomial, Poisson-Inverse Gaussian, Good-risk/Bad-risk, Chi-square Test

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah SWT, atas segala limpahan nikmat, rahmat dan hidayahNya, khususnya kepada Penulis, sehingga Penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan sebaik-baiknya. Shalawat dan salam dilimpahkan kepada junjungan kita Nabi Allah, Muhammad SAW sebagai penyempurna akhlaq manusia. Dengan mengambil judul “SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA)”, tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan studi program strata dua (S2) pada Program Studi Aktuaria, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Institut Teknologi Bandung. Dengan segenap kerendahan hati, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang setinggi-tingginya kepada: 1. Kedua Orang Tua, yang telah membesarkan, mendidik, serta membimbing penulis dengan penuh kesabaran, pengertian, liimpahan rasa kasih kasih sayang, dan telah memberikan dorongan baik moril maupun materil serta tidak berhenti-hentinya berdoa buat penulis. 2. Nenekku dan adikku tercinta, yang telah memberikan kasih sayangnya, doa, dan perhatiannya kepada penulis untuk menyelesaikan tesis ini. 3. Bapak Dr. Sutawanir Darwis dan Ibu Dr. Dumaria Rulina Tampubolon, selaku pembimbing yang telah memberikan waktu, tenaga, pemikiran-pemikiran, dan ilmu pengetahuan kepada penulis dalam membuat tesis ini. 4. Bapak Dr. Muhammad Syamsuddin dan Bapak Dr. Rianto Ahmadi Djojosugito FSAI yang telah berkenan menjadi tim penguji pada seminar tesis penulis dan memberikan banyak masukan serta saran-saran terhadap tesis penulis. 5. Bapak Aceng Komaruddin Mutaqien S.Si, M.T yang telah memberikan kontribusi yang sangat besar kepada penulis dalam membuat tesis ini. 6. Ibu Nurtiti Sanusi, Bapak Hengky, dan Seluruh Mahasiswa Program Doktor Matematika ITB atas segala sumbangsih pemikirannya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. 7. Staf pengajar Aktuaria ITB, atas segala limpahan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama masa perkuliahan.

8. Staf tata usaha ITB dan seluruh Staf di Departemen Matematika ITB atas bantuannya kepada penulis selama penulis menjadi mahasiswa ITB. 9. Nurita Taurisia Dasman S.H, yang selalu memberikan cinta, kasih sayang, dan doa yang tulus kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. 10. Bapak dan Ibu Dasman Skanni, yang telah memotivasi dan memberi semangat penulis untuk segera menyelesaikan tesis ini. 11. Aktuaria angkatan 2004 dan 2006, yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa, dan persahabatan yang membuat penulis mendapatkan nilai yang tak terkira. 12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan namanya satu-persatu. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Hal ini disebabkan oleh keterbatasan pengetahuan, kemampuan, dan waktu yang penulis miliki. Oleh karena itu, segala kritik dan saran merupakan sesuatu yang sangat berharga bagi penulis. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan pembaca umumnya. Akhir kata dengan ketulusan dan kerendahan hati, penulis panjatkan doa semoga Allah SWT membalas budi baik serta melimpahkan rahmat-Nya kepada semua pihak yang telah memberikan bantuannya, Amin.

Bandung, September 2007

Penulis

DAFTAR ISI ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

iii

KATA PENGANTAR

iv

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR TABEL

ix

BAB 1

BAB 2

BAB 3

BAB 4

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Identifikasi Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Metodologi 1.5 Sistematika Penulisan Tesis

1 1 2 2 2

TEORI PENDUKUNG 2.1 Sistem Bonus Malus 2.2 Pemodelan Number of Claims 2.3 Simulasi Sistem Bonus Malus

3 5 7

PEMBAHASAN 3.1 Model Binomial Negatif 3.2 Model Poisson-Inverse Gaussian 3.3 Model Good-risk/Bad-risk

8 10 13

KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

15 15

DAFTAR PUSTAKA

16

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN A

Data Lemaire (1995)

LAMPIRAN B

Premi Model Binomial Negatif, Poissson-Inverse

LAMPIRAN C

17

Gaussian, dan Good-risk/Bad-Risk

19

Listing Program

24

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR 3.1

Plot perbandingan premi Lemaire dengan simulasi untuk model binomial negatif

GAMBAR 3.2

Plot perbandingan premi Lemaire dengan simulasi untuk model Poisson-Inverse Gaussian

GAMBAR 3.3

10

12

Plot perbandingan premi Lemaire dengan simulasi untuk model Good-risk/Bad-risk

14

DAFTAR TABEL

TABEL 3.1

Simulasi BN ( aˆmomen = 1, 6049,τˆmomen = 15,8778 )

8

TABEL 3.2

Premi BN ( aˆmomen = 1.8287,τˆmomen = 18,1815 )

8

TABEL 3.3

Simulasi BN ( aˆMLE = 1, 6131,τˆMLE = 16,1384 )

9

TABEL 3.4

Premi BN ( aˆ MLE = 1.5157,τˆMLE = 15, 2363)

9

TABEL 3.5

Simulasi PIG gˆ momen = 0,10108, hˆmomen = 0, 06297

TABEL 3.6

Premi PIG gˆ momen = 0,100947, hˆmomen = 0, 06875

TABEL 3.7

Simulasi PIG gˆ MLE = 0,10108, hˆMLE = 0, 06298

TABEL 3.8

Premi PIG gˆ MLE = 0,100996, hˆMLE = 0, 060975

TABEL 3.9

Simulasi GRBR aˆ1momen = 0,9112, λˆ1momen = 0, 0762, λˆ2momen = 0,3567

(

(

(

(

)

10

)

11

)

11

)

12

(

(

TABEL 3.10 Premi GRBR aˆ1momen = 0,9068, λˆ1momen = 0, 0758, λˆ2momen = 0,3462

)

)

13 13

Bab 1 Pendahuluan

1.1

Latar Belakang

Beberapa tahun belakangan ini perkembangan dunia asuransi mengalami kemajuan yang signifikan, terutama asuransi kendaraan bermotor. Asuransi ini melindungi konsumen dari risiko kecelakaan. Pada umumnya perusahaan-perusahaan asuransi kecelakaan mobil di dunia telah mewajibkan: (1) third party only (TPO), asuransi jenis ini hanya melindungi pemegang polis dari resiko kerusakan akibat kecelakaan yang disebabkan oleh pihak ketiga, kecelakaan (injury) pada pengemudi pihak ketiga, penumpang yang ikut bersama dengan kendaraan si pemegang polis, (2) third party, fire and theft (TPFT), asuransi ini memberikan manfaat kepada pihak pemegang polis terhadap resiko kebakaran, kerusakan akibat sesuatu yang berhubungan dengan listrik, ledakan, pencurian, percobaan pencurian, dan pencurian lainnya (taking without consent), (3) comprehensive car insurance, asuransi ini memberikan manfaat untuk semua resiko (all risk). Perusahaan asuransi kecelakaan mobil di Indonesia belum mewajibkan third party automobile insurance kepada setiap pemegang polis. Di lain pihak, perhitungan premi belum sepenuhnya menggunakan prinsip-prinsip aktuaria sehingga pengelolaan asuransi kecelakaan mobil di Indonesia belum maksimal. Oleh karena itu data yang representatif dari asuransi kecelakaan mobil Indonesia sulit untuk diperoleh. Sistem bonus malus merupakan salah satu sistem penentuan premi yang mempertimbangkan pengalaman mengemudi dari masing-masing pemegang polis dengan memberikan penalti kenaikan premi di tahun berikutnya jika terjadi klaim atau menurunkan premi jika tidak klaim atau mengajukan sedikit klaim di tahun berikutnya. Di negara asia lainnya seperti: Jepang, Hongkong, Malaysia, dan Singapura sudah menggunakan sistem bonus malus ini pada setiap perusahaan asuransi kecelakaan mobil sehingga premi yang dihitung lebih proporsional. Dalam tesis ini premi dihitung dengan ekspektasi posterior dan hanya melihat pengalaman mengemudi (claim history) masing-masing pemegang polis dengan melihat premi dasar yang telah ditetapkan sebelumnya. Besarnya klaim (claim severity) tidak diperhitungkan dalam menentukan premi.

1.2

Identifikasi Masalah

Untuk mempelajari sistem bonus malus diperlukan database asuransi kecelakaan mobil yang lengkap dan akurat. Di Indonesia, database untuk asuransi kecelakaan mobil tersebut belum tersedia secara lengkap dan akurat. Oleh karena itu, untuk mempelajari sistem bonus malus ini dilakukan pendekatan simulasi. Simulasi yang dilakukan adalah simulasi invers (Ross, 1997).

1.3

Tujuan Penelitian

Tujuan jangka panjang dari penelitian ini adalah membangun sistem bonus malus untuk asuransi kendaraan bermotor di Indonesia. Secara khusus, penelitian ini dilakukan untuk mempelajari sistem bonus malus melalui pendekatan simulasi terutama perhitungan premi yang menggunakan ekspektasi posterior sebagai basis perhitungannya.

1.4

Metodologi

Langkah awal yang dilakukan pada peneltian ini adalah mengenerate 106974 data untuk setiap model, yaitu: Binomial Negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Goodrisk/Bad-risk. Masing-masing model disimulasikan dengan menggunakan parameter Lemaire (1995). Langkah berikutnya adalah membuat tabel distribusi banyaknya klaim dan tabel distribusi empiris untuk setiap model dalam satu portfolio, kemudian menentukan parameter baru untuk setiap model. Langkah selanjutnya adalah menentukan premi untuk masing-masing model berdasarkan parameter yang baru. Pada tahap akhir akan dibandingkan tabel premi yang diperoleh dari simulasi dengan tabel premi yang dilaporkan oleh Lemaire dengan plot grafik premi dari masing-masing model.

1.5

Sistematika Penulisan Tesis

Tesis ini terdiri dari 4 (empat) bab, yaitu: (1) Bab 1 merupakan pendahuluan yang memuat latar belakang penelitian dimana penulis menguraikan alasan dilakukannya penelitian sistem bonus malus, identifikasi masalah yang memuat arah dan batasan dari masalah sistem bonus malus, tujuan penelitian yang memuat kegunaan tesis ini dan implementasinya, dan sistematika penulisan tesis ini untuk mengarahkan pembaca agar dapat memahami tesis tersebut, (2) Bab 2 menguraikan teori pendukung yang berkenaan langsung dengan sistem bonus-malus, pemodelan banyaknya klaim, dan perhitungan premi, (3) Bab 3 berisi tabel hasil simulasi, tabel premi, plot perbandingan simulasi dengan Lemaire (1995), dan (4) Bab 4 berisikan kesimpulan dan juga saran penulis tentang penelitian lebih lanjut tentang sistem bonus malus.

Bab 2 Teori Pendukung 2.1

Sistem Bonus Malus

Sistem bonus malus Belgia mulai diterapkan tahun 1971 terdiri dari 18 kelas. Tahun 1995, sistem bonus malus menjadi 23 kelas (Tabel 2.1), C = {0,1,… , 22} .

Tabel 2.1 Sistem Bonus Malus Belgia Kelas 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

Premi 200 160 140 130 123 117 111 105 100 95 90 85

Kelas 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Premi 81 77 73 69 66 63 60 57 54 54 54

Lemaire (1995;4) menjelaskan bahwa sistem bonus malus merupakan sistem yang memberikan penalti kepada pemegang polis apabila terjadi sekurang-kurangnya satu klaim dengan menaikkan premi di periode berikutnya dan memberikan penghargaan berupa penurunan premi jika tidak klaim atau mengajukan sedikit klaim. Pemegang polis dikelompokkan ke dalam satu kelas premi tertentu ( C , T ) dengan C = {C1 ,… , C j } ,

{ ( )} . T

T = Tk = tij ( k )

k

merupakan aturan transisi yang menentukan perpindahan pemegang

polis dari kelas yang satu ke kelas yang lain bila terjadi k klaim. Aturan ini diperkenalkan pada bentuk transformasi Tk = tij ( k ) , yang menjadi

( )

Tk (i ) = j jika polis berpindah dari kelas C i ke dalam kelas C j jika klaim ke- k

⎧1, jika Tk (i ) = j dilaporkan. Tk juga dapat dituliskan dalam bentuk sebuah matriks Tk = ⎨ . ⎩0, jika Tk (i ) ≠ j Pemegang polis bisa pindah ke kelas yang atas atau ke kelas yang bawah dari kelas sebelumnya. Lemaire (1995) melaporkan aturan transisi sistem bonus-malus Belgia 1995 (Tabel 2.2).

Tabel 2.2 Transisi Markov Sistem Bonus Malus Belgia

Kelas

Premi

0

22 21.0 21.1 20.0 20.1 20.2 19.0 19.1 19.2 19.3 18.0 18.1 18.2 18.3 17 17.2 17.3 16 16.3 15

200 160 160 140 140 140 130 130 130 130 123 123 123 123 117 117 117 111 111 105

21.1 20.1 20.2 19.1 19.2 19.3 18.1 18.2 18.3 14 17 17.2 17.3 14 16 16.3 14 15 14 14

Kelas setelah k klaim 1 2 Klaim 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21.0 22 21.0 22 21.0 22 20.0 22 20.0 22 19.0 22

3

4

>4

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

100 95 90 85 81 77 73 69 66 63 60 57 54 54 54

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

18.0 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

22 22 21.0 20.0 19.0 18.0 17 16 15 14 13 12 11 10 9

22 22 22 22 22 22 22 21.0 20.0 19.0 18.0 17 16 15 14

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21.0 20.0 19.0

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

Dari tabel 2.2, jika pemegang polis pertama kali masuk di kelas 14 dengan nilai premi 100 dan di tahun pertama pemegang polis tidak mengajukan klaim,maka di tahun berikutnya pemegang polis akan pindah ke kelas 13 dengan premi 95, akan tetapi jika mengajukan 1 klaim maka akan pindah ke kelas 18.0 dengan premi 123. Dari aturan transisi pada Tabel 2.2 terlihat besarnya bonus terhadap premi ketika pemegang polis tidak mengajukan klaim atau mengajukan sedikit klaim yaitu 95 ×100% = 5% dan dari Tabel 2.2 bisa dilihat juga besarnya penalti atau malus ketika 100 pemegang polis mengajukan sedikit klaim atau banyak klaim yaitu sebesar 100 ×100% = 18, 6% . 123 Peluang transisi pij(λ ) adalah peluang pergerakan polis dari kelas tarif C i ke

C j dalam satu periode tertentu, untuk setiap pemegang polis dikarakterisasikan oleh ∞

parameter λ , dengan intensitas pij (λ ) = ∑ p k (λ )t ij(k ) dengan p k (λ ) merupakan peluang k =0

∞

tertanggung mengajukan k klaim.

Matriks M (λ ) = ( pij (λ )) = ∑ p k (λ )Tk dinamakan k =0

matriks peluang transisi. Sistem bonus malus merupakan sistem penentuan premi bagi para pemegang polis jika: 1. Portfolio dapat dikelompokkan menjadi kelas-kelas tertentu sehingga premi setiap periode tergantung dari kelas dimana pemegang polis berada pada periode tersebut. 2. Kelas yang sebenarnya digambarkan secara unik oleh kelas periode sebelumnya dan banyaknya klaim yang terjadi selama periode tersebut.

2.2

Pemodelan Number of Claims

Binomial Negatif

Misalkan N ( t ) menyatakan banyaknya klaim dalam selang ( 0, t ) dan misalkan N (t ) Λ ∼ P ( Λ )

Λ ∼ G ( a,τ ) ,

dengan

⎛ k + a − 1⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛ 1 P ( N (t ) = k ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ ⎝ 1+τ Λ N ( t ) = k ∼ G ( a + k ,τ + t ) , dengan k a

maka

k

⎞ ⎛ 1 ⎞ dan posterior ⎟ ∼ BN ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ menyatakan banyaknya klaim yang dicover oleh

perusahaan asuransi dan a menyatakan banyaknya klaim yang tidak dicover ke perusahaan asuransi. Distribusi N ( t ) untuk model binomial negatif adalah k +a ⎛ τ ⎞ P ( N ( t ) = k + 1) = P ( N (t ) = k ) , P ( N (t ) = 0) = ⎜ ⎟ ( k + 1)(1 + τ ) ⎝ 1+τ ⎠

Premi model binomial negatif adalah Pt +1 ( k1 ,… , kt ) =

100

a

a+k τ + t = 100 τ ( a + k ) , a a (τ + t )

τ

dengan Pt +1 ( k1 ,… , kt ) adalah premi pada selang waktu t + 1 dengan pengalaman mengemudi

( k1 ,… , kt ) ,

E ⎡Λ ⎣ k1 ,… , kt ⎤⎦ =

a+k τ +t

100 adalah premi dasar yang ditentukan sebelumnya,

merupakan ekspektasi distribusi posterior dari Λ dengan

pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) dan

a

τ

adalah expected income perusahaan asuransi

per pemegang polis. Poisson-Inverse Gaussian

Selain model binomial negatif, pemodelan banyaknya klaim untuk portofolio asuransi yang heterogen dapat juga dimodelkan dengan model Poisson-Inverse Gaussian. Jika prior Λ ∼ IG ( g , h ) maka posterior Λ N ( t ) ∼ PIG m = g , σ 2 = g (1 + h ) . Distribusi

(

)

marginal N ( t ) untuk Poisson-Inverse Gaussian adalah: P ( N (t ) = 0) = e

1⎤ g⎡ ⎢1− (1+ 2 h ) 2 ⎥ h⎣ ⎦

;

P ( N ( t ) = 1) = gp0 (1 + 2h ) 2 , (1 + 2h ) k ( k − 1) ; −

1

P ( N ( t ) = k ) = h ( k − 1)( 2k − 3) P ( N ( t ) = k − 1) + g 2 P( N ( t ) = k − 2) k = 2,3,…

Premi model Poisson-Inverse Gaussian Q0 (u ) = 1 , Qk (u ) =

⎛μ⎞ Pt +1 ( k1 ,… , kt ) = μ Qk ⎜ ⎟ , dengan ⎝β ⎠

2k − 1 1 + . u Qk −1 (u )

Good-risk/bad-risk Pada model Good-risk/Bad-risk, portofolionya terdiri dua kategori a1 "good" drivers Poisson ( λ1 ) dan a2 = 1 − a1 "bad" drivers Poisson ( λ2 ). Distribusi marginal N ( t ) untuk Good-risk/Bad-risk adalah:

P ( N ( t ) = k ) = a1

λ1k e − λ

1

k!

+ a2

λ2 k e − λ

2

k!

Premi model Good-risk/Bad-risk adalah: Pt +1 (k1 ,… , k t ) = (1 + α ){a1 (k1 , …, k t )λ1 + [1 − a1 (k1 , …, k t )]λ 2 } , 1 dengan a1 (k1 ,… , k t ) = k ( 1 − a1 ) ⎛ λ 2 ⎞ −t (λ2 −λ1 ) ⎜ ⎟ e 1+ a1 ⎜⎝ λ1 ⎟⎠ 2.3

Simulasi sistem bonus malus

Untuk menghasilkan data klaim asuransi kecelakaan mobil, tesis ini menerapkan metode simulasi invers (Ross, 1997) yang akan menghasilkan data peubah acak N ( t ) , P ( N ( t ) = k ) , k = 0,1, 2,3, 4, > 4 dengan mengenerate 106974 angka acak U ( 0,1)

{

}

dan N ( t ) :

⎧ ⎪0, u ≤ P ( N ( t ) = 0 ) ⎪ k ⎪ k −1 N ( t ) = ⎨k , ∑ P ( N ( t ) = i ) < u ≤ ∑ P ( N ( t ) = i ) , k = 1, 2,3, 4 i =0 ⎪ i 4 ⎪ ⎪> 4, u > ∑ P ( N ( t ) = i ) i =0 ⎩

Bab 3 Pembahasan 3.1

Model Binomial Negatif

BN ( aˆmoment ,τˆmoment ) Tabel 3.1 Simulasi BN ( aˆmomen = 1, 6049,τˆmomen = 15,8778 )

(1) k

( 2) n ( N (t ) = k )

( 3) P ( N (t ) = k )

( 4) nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96988 9269 666 45 6 0 106974

0,907 0,086 0,0067 0,0004 0,00003 0,000002 1

96985,64 9222,31 711,68 50,67 3,46 0,25 106974

Dari Tabel 3.1 terlihat bahwa dari 106974 pemegang polis yang tidak mengajukan klaim 96988 orang dengan proporsi 0,907, mengajukan 1 klaim 9269 orang dengan proporsi 0,086, 2 klaim 666 orang dengan proporsi 0,0067, 3 klaim 45 orang dengan proporsi 0,0004, dan 4 klaim 6 orang dengan proporsi 0,00003.

t 0 1 2 3 4 5 6 7

0 100.00 94,7867 90,0899 85,8367 81,9670 78,4311 75,1877 72,2018

Tabel 3.2 Premi BN ( aˆmomen = 1.8287,τˆmomen = 18,1815 ) k 1 2 3 4 5

146,6168 139,3519 132,7730 126,7873 121,3179 116,3010 111,6825

198,4470 188,6139 179,7093 171,6075 164,2048 157,4143 151,1631

250,2772 237,8759 226,6456 216,4278 207,0916 198,5275 190,6437

302,1074 287,1379 273,5819 261,2481 249,9784 239,6408 230,1243

353,9376 336,3999 320,5181 306,0684 292,8652 280,7541 269,6049

6 405,7678 385,6619 367,4544 350,8886 335,7521 321,8674 309,0855

Tabel 3.2 memperlihatkan premi binomial negatif dengan taksiran parameter aˆmomen = 1,8287 dan τˆmomen = 18,1815 dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,79, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 405,77.

BN ( aˆMLE ,τˆMLE )

Tabel 3.3 Simulasi BN ( aˆMLE = 1, 6131,τˆMLE = 16,1384 )

(1) k

( 2) n ( N (t ) = k )

( 3) P ( N (t ) = k )

( 4) nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

97018 9190 715 45 5 1 106974

0,907 0,085 0,0065 0,0004 0,00003 0,0000021 1

97086,87 9138,01 696,64 48,95 3,46 0,23 106974

Dari Tabel 3.3 terlihat bahwa dari 106974 pemegang polis yang tidak mengajukan klaim 97018 orang dengan proporsi 0,907, mengajukan 1 klaim 9190 orang dengan proporsi 0,085, 2 klaim 715 orang dengan proporsi 0,0065, 3 klaim 45 orang dengan proporsi 0,0004, 4 klaim 5 orang dengan proporsi 0,00003, dan >4 klaim 1 orang dengan proporsi 0,0000021.

t 0 1 2 3 4 5 6 7

0 100.00 93.8409 88.3966 83.5493 79.2059 75.2919 71.7464 68.5199

1

Tabel 3.4 Premi BN ( aˆMLE = 1.5157,τˆMLE = 15, 2363) k 2 3 4 5

155.7521 146.7158 138.6705 131.4617 124.9654 119.0808 113.7256

217.6633 205.0350 193.7918 183.7175 174.6389 166.4152 158.9313

279.5744 263.3543 248.9130 235.9733 224.3124 213.7496 204.1370

341.4856 321.6735 304.0343 288.2290 273.9858 261.0841 249.3427

403.3967 379.9928 359.1556 340.4848 323.6593 308.4185 294.5484

6 465.3079 438.3120 414.2768 392.7406 373.3328 355.7529 339.7541

Tabel 3.4 memperlihatkan premi binomial negatif dengan taksiran parameter aˆ MLE = 1,5157 dan τˆMLE = 15, 2363 dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 93,84, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 465,31.

Gambar 3.1 Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model binomial negatif Lemaire vs Simulasi

450 400 350 Simulasi

300 250 200 150 100 50 0 0

100

200

300

400

500

Lemaire

Gambar 3.1 memperlihatkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model binomial negatif dengan standard residual positif 2,35.

3.2

Model Poisson-Inverse Gaussian

(

PIG gˆ momen , hˆmomen

) Tabel 3.5 Simulasi PIG gˆ momen = 0,10108, hˆmomen = 0, 06297

(

(1)

)

k

( 2) n ( N (t ) = k )

( 3) P ( N (t ) = k )

( 4) nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96942 9258 719 51 4 0 106974

0,907 0,086 0,0065 0,0005 0,00004 0,000004 1

96979,72 9238,24 698,38 53,03 4,24 0,39 106974


(

Premi PIG gˆ momen t 0 1 2 3 4 5 6 7

0 100.00 94,2075 89,3176 85,1177 81,4595 78,2357 75,3668 72,7919

1 149,5869 139,0970 130,3257 122,8652 116,4290 110,8102 105,8549

2 225,4685 206,6913 191,2158 178,2246 167,1512 157,5905 149,2449

Tabel 3.6 = 0,100947, hˆmomen = 0, 06875 k 3

4

316,2595 287,4941 263,9296 244,2603 227,5850 213,2610 200,8182

415,7181 376,2051 343,9071 317,0061 294,2477 274,7390 257,8264

)

5

6

519,7629 469,2207 427,9395 393,5834 364,5412 339,6659 318,1184

626,2481 564,5760 514,2189 472,3221 436,9167 406,6009 380,3494

Tabel 3.6 memperlihatkan premi Poisson-Inverse Gaussian dengan taksiran parameter gˆ momen = 0,100947 dan hˆmomen = 0, 06875 dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,21, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 626,25.

(

PIG gˆ MLE , hˆMLE

) Tabel 3.7 Simulasi PIG gˆ MLE = 0,10108, hˆMLE = 0, 06298

(

(1)

)

k

( 2) n ( N (t ) = k )

( 3) P ( N (t ) = k )

( 4) nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

97011 9200 695 62 6 0 106974

0,907 0,086 0,0065 0,0005 0,00004 0,000004 1

96979,73 9238,23 698,39 53,04 4,24 0,39 106974


(

Premi PIG gˆ MLE

Tabel 3.8 = 0,100996, hˆMLE = 0, 060975

)

k

t 0 1 2 3 4 5 6 7

0 100.00 94,4089 89,6616 85,5653 81,9835 78,8169 75,9910 73,4488

1

2

148,2207 138,1978 129,7678 122,5629 116,3221 110,8550 106,0190

221,5691 203,7802 189,0270 176,5777 165,9199 156,6837 148,5953

3

4

5

6

309,2862 282,1312 259,7449 240,9612 224,9663 211,1752 199,1562

405,5011 368,2477 337,6049 311,9494 290,1498 271,3930 255,0798

506,2870 458,6565 419,5094 386,7606 358,9566 335,0534 314,2816

609,5352 551,4255 503,6805 463,7517 429,8630 400,7385 375,4382

Tabel 3.8 memperlihatkan premi Poisson-Inverse Gaussian dengan taksiran parameter gˆ MLE = 0,100996 dan hˆmomen = 0, 060975 dengan premi dasar 100. Jika pemegang polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,41, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 609,54.

Gambar 3.2 Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Poisson-Inverse Gaussian Lemaire vs Simulasi 700 600

Simulasi

500 400 300 200 100 0 0

100

200

300

400

500

600

700

Lemaire

Gambar 3.2 menunjukkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Poisson-Inverse Gaussian dengan standard residual positif 2,29.

3.3

Model Good-risk/Bad-risk

(

GRBR aˆ1momen , λˆ1momen , λˆ2momen

) (

Simulasi GRBR aˆ1momen

(1)

Tabel 3.9 = 0,9112, λˆ1momen = 0, 0762, λˆ2momen = 0,3567

)

k

( 2) n ( N (t ) = k )

( 3) P ( N (t ) = k )

( 4) nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96981 9245 696 44 8 0 106974

0,907 0,086 0,0064 0,0005 0,00004 0,0000032 1

96972,41 9254,44 685,24 56,96 4,61 0,34 106974


(

Premi GRBR aˆ1momen

Tabel 3.10 = 0,9068, λˆ1momen = 0, 0758, λˆ2momen = 0,3462

)

k

t 0 1 2 3 4 5 6 7

0 100,00 94,5132 90,1568 86,7286 84,0496 81,9674 80,3559 79,1129

1 145,7162 132,5637 121,2843 111,8293 104,0538 97,7596 92,7291

2 241,3641 223,8472 205,7989 187,8647 170,6740 154,7554 140,4793

3

4

311,3282 335,2814 302,9873 333,0066 292,9082 330,0848 280,9745 326,3544 267,1815 321,6276 251,6765 315,6956 234,7825 308,3403

5 341,1850 340,6608 339,9770 339,0861 337,9276 336,4246 334,4807

6 342,5127 342,3967 342,2448 342,0460 341,7859 341,4457 341,0013

Tabel 3.10 memperlihatkan premi Good-risk/Bad-risk dengan taksiran parameter aˆ1momen = 0,9068, λˆ1momen = 0, 0758, λˆ2momen = 0,3462 dengan premi dasar 100. Jika pemegang

(

)

polis di tahun ke-0 tidak mengajukan klaim, maka di tahun berikutnya preminya turun menjadi 94,51, akan tetapi jika di tahun ke-0 mengajukan 6 klaim maka di tahun berikutnya preminya naik menjadi 342,51.

Gambar 3.3 Plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model Good-risk/Bad-risk Lemaire vs Simulasi 400 350

Simulasi

300 250 200 150 100 50 0 0

100

200

300

400

Lemaire

Gambar 3.3 memperlihatkan plot grafik perbandingan premi Lemaire dan simulasi untuk model GRBR dengan standard residual positif 2,55.

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1

Kesimpulan

Hal yang dapat disimpulkan penelitian ini yaitu: 1. Sistem bonus malus merupakan sistem penentuan premi yang memberikan penalti kepada pemegang polis yang mengalami satu atau lebih kecelakaan dengan tambahan premi atau disebut juga malus, dan penghargaan kepada pemegang polis yang tidak pernah klaim dengan memberikan penurunan premi atau bonus. 2. Pemodelan banyaknya klaim dengan model Binomial negatif, Poisson-Inverse Gaussian, dan Good-risk/Bad-risk cocok untuk merepresentasikan model portfolio asuransi yang heterogen (beraneka ragam) yang artinya bisa merepresentasikan pengalaman mengemudi masing-masing Individu dalam portfolio tersebut. 3. Premi model Good-risk/bad-risk merupakan financially balanced dilhat dari plot grafik perbandingan premi dari ketiga model tersebut dengan melihat standard residual positif terbesar 2,55 sehingga simulasi model GRBR cukup dekat dengan hasil Lemaire(1995).

4.2

Saran

Dari beberapa hal yang bisa disimpulkan sebelumnya, penulis dapat memberikan saran atau rekomendasi sebagai berikut : 1. Membangun jaringan database yang terintegrasi untuk merepresentasikan data asuransi mobil di Indonesia. 2. Melakukan proses underwriting yang baik dan terintegrasi. 3. Simulasi program Matlab yang telah dibangun dalam tesis ini (dalam prosesnya akan mengalami banyak pengembangan) dapat digunakan untuk menghitung premi untuk kasus asuransi kecelakaan mobil Indonesia. 4. Sebagai bahan penelitian selanjutnya, model untuk severity claim (besarnya klaim) juga dapat diperhitungkan dengan model Bayesian. 5. Kita dapat menghitung risk profile dari sistem bonus malus yang kita bangun ini.

DAFTAR PUSTAKA 1. KLUGMAN, S.A., PANJER, H.H, WILLMOT,G.E. (2004) Loss Model from Data to

Decisions, John Wiley & Sons, New York. 2. LEMAIRE, J. (1995) Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts. 3. ROSS, S. (1997) Simulation, Statistical Modeling and Decision Science, Harcourt Academic Press.

Lampiran A Data Lemaire (1995)

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Negative Binomial Model, Moments Method k

n ( N (t ) = k )

nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96978 9240 704 43 9 0 106974

96985,5 9222,5 711,7 50,7 3,6 0 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Negative Binomial Model, Maximum Likelihood Method k

n ( N (t ) = k )

nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96978 9240 704 43 9 0 106974

96980,5 9230,5 708,6 50,1 3,4 0,2 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Poisson-Inverse Gaussian Model, Moments Method k

n ( N (t ) = k )

nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96978 9240 704 43 9 0 106974

96979,8 9238,5 698,4 53,0 4,2 0,4 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Poisson-Inverse Gaussian, Maximum Likelihood Method k

n ( N (t ) = k )

nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96978 9240 704 43 9 0 106974

96978,5 9240,4 697,6 52,9 4,2 0,4 106974,0

Observed and Fitted Distribution of Number of Claims: Good-risk/Bad-risk Model, Moments Method k

n ( N (t ) = k )

nP ( N ( t ) = k )

0 1 2 3 4 >4 Total

96978 9240 704 43 9 0 106974

96975,0 9252,5 685,0 56,9 4,6 0,3 106974,0

Lampiran B 1. Prior dan posterior P ( N ( t ) = k ) dari model binomial negatif

{

}

Misalkan P ( N ( t ) = k ) ; k = 0,1,… , k merupakan banyaknya klaim model binomial negatif maka: ∞

e − λ λ k τ a e−τλ λ a −1 ⋅ P ( N (t ) = k ) = ∫ dλ Γ (a) k! 0 = =

τa

∞

τa

∞

Γ ( a ) k ! ∫0

λ k + a −1e − λ −τλ d λ

λ Γ (a) k ! ∫

k + a −1 −(1+τ )

e

dλ

0

Kita misalkan z = (1 + τ ) λ ; dz = (1 + τ ) d λ ; λ =

λ → 0 ⇒ z → 0; λ → ∞ ⇒ z → ∞ sehingga : τa

∞

⎛ z ⎞ P ( N (t ) = k ) = ⎜ ⎟ ∫ Γ (a) k ! 0 ⎝ 1+τ ⎠

z dz dengan batas-batas ; dλ = 1+τ 1+τ

k + a −1

e− z

dz 1+τ

=

∞ τa z k + a −1e− z dz k + a −1 ∫ Γ ( a ) k !(1 + τ ) (1 + τ ) 0

=

τa ⋅ Γ (k + a) k + a −1 Γ ( a ) k !(1 + τ ) (1 + τ )

= = =

Γ ( k + a )τ a Γ ( a ) k !(1 + τ )

k + a −1+1

Γ ( k + a )τ a Γ ( a ) k !(1 + τ )

k +a

Γ (k + a) τa ⋅ Γ ( k + 1) Γ ( a ) (1 + τ )k + a

⎛ k + a − 1⎞ τ a =⎜ ⎟ k +a ⎝ k ⎠ (1 + τ ) ⎛ k + a − 1⎞ τ a ⋅1k =⎜ ⎟ a k ⎝ k ⎠ (1 + τ ) ⋅ (1 + τ ) ⎛ k + a − 1⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ a

k

1 + τ −τ 1 = = q , maka diperoleh: 1+τ 1+τ 1+τ 1+τ ⎛ k + a − 1⎞ a k P ( N (t ) = k ) = ⎜ ⎟p q ⎝ k ⎠ 2. Premi model binomial negatif

Kita misalkan

τ

τ

= p; 1 − p = 1 −

=

Prinsip perhitungan premi didasarkan pada ekspektasi posterior dari banyaknya klaim dengan menggunakan Teorema Bayes sebagai berikut: P ( k1 ,… , kt λ ) = P ( k1 λ )… P ( kt λ )

= =

λ k e− λ 1

…

k1 !

λ k e−λ t

kt !

λ k e− tλ

∏ ( k !) t

j =1

j

λ k e − tλ

=

∏ ( k !) λ k e− tλ

τ a e −τλ λ a −1

Γ (a)

j

∞

∫ ∏ ( k !) 0

=

τ a e −τλ λ a −1

⋅

⋅

Γ (a)

j

dλ

λ k + a −1e −(t +τ )λ ∞

∫λ

k + a −1 − ( t +τ )λ

e

dλ

0

=

a+k (τ + t ) λ a + k −1e−(τ +t )λ ∞

∫ ⎡⎣λ (τ + t )⎤⎦

a + k −1

e−(τ +t )λ d ⎡⎣(τ + t ) λ ⎤⎦

0

a+k τ + t ) λ a + k −1e−(τ +t )λ ( = Γ (a + k )

Akibatnya, rataan banyaknya klaim dari pemegang polis dengan pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) adalah:

λt +1 ( k1 ,… , kt ) = E ( Λ k1 ,… , kt ) =

a+k τ +t

Maka premi model binomial negatif: Pt +1 ( k1 ,… , kt ) = (1 + α ) λt +1 ( k1 ,… , kt ) a+k τ +t a+k 100 τ + t = 100 τ ( a + k ) = a a (τ + t )

= (1 + α )

τ

3. Premi model Poisson-Inverse Gaussian Structure function dari model Poisson-Inverse Gaussian adalah: g 2 ⎡ 1 u (λ ) = exp ⎢ − ( λ − g ) ⎤⎥ 3 ⎣ 2hλ ⎦ 2π hλ 2 Setelah diketahui pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) , structure function tersebut menjadi : u ( λ k1 ,… , kt ) =

P ( k1 ,… , kt λ ) u ( λ ) ∞

∫ P ( k ,… , k λ ) u ( λ ) d λ t

1

0

λ k e − tλ

=

∏ ( k !) j

∞

k − tλ

λ e

∫ ∏ ( k !)

g 2π hλ g 3 2

3 2

2 ⎡ 1 exp ⎢ − ( λ − g ) ⎤⎥ ⎣ 2hλ ⎦

2 ⎡ 1 exp ⎢ − ( λ − g ) ⎤⎥ d λ ⎣ 2hλ ⎦

2π hλ Akibatnya, rataan banyaknya klaim dari pemegang polis diketahui pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) adalah: 0

j

λt +1 ( k1 ,… , kt ) = E ( Λ k1 ,… , kt ) ∞

= ∫ λ ⋅ u ( λ k1 ,… , kt ) d λ 0

∞

= ∫λ

λ e v −1

λ 2β

−

μ2 2 βλ

e dλ ⎛μ⎞ v 2μ Kv ⎜ ⎟ ⎝β ⎠

0

=

−

1

∞

⎛μ⎞∫ 2μ K v ⎜ ⎟ 0 ⎝β ⎠

λ

v +1−1

λ

v +1−1

λ

μ2

−

− 2 β 2 βλ

−

μ ⎛λ μ⎞ ⎜ + ⎟ 2β ⎝ μ λ ⎠

e

dλ

v

=

1

∞

⎛μ⎞∫ 2μ K v ⎜ ⎟ 0 ⎝β ⎠

e

dλ

v

=

1

∞

⎛μ⎞∫ 2μ K v ⎜ ⎟ 0 ⎝β ⎠

( μ x)

v +1−1

−

e

μ ⎛ 1⎞ ⎜ x+ ⎟ 2β ⎝ x ⎠

μ dx

v

=

μ v +1

∞

⎛μ⎞∫ 2μ K v ⎜ ⎟ 0 ⎝β ⎠

x

v +1−1

e

−

μ ⎛ 1⎞ ⎜ x+ ⎟ 2β ⎝ x ⎠

dx

v

⎛μ⎞ 2⋅ K v+1 ⎜ ⎟ ⎝β ⎠

⎛μ⎞ ⎛μ⎞ K 1⎜ ⎟ K v +1 ⎜ ⎟ ⎝ β ⎠ = μ k+2 ⎝ β ⎠ =μ ⎛μ⎞ ⎛μ⎞ Kv ⎜ ⎟ K 1⎜ ⎟ k− β⎠ ⎝β ⎠ 2 ⎝ Maka premi model PIG menjadi : Pt +1 ( k1 ,… , kt ) = (1 + α ) λt +1 ( k1 ,… , kt ) ⎛μ⎞ = (1 + α ) μ Qk ⎜ ⎟ ⎝β ⎠ 2k − 1 1 dengan Q0 ( u ) = 1 dan Qk ( u ) = + u Qk −1 ( u )

4. Premi model Good-risk/Bad-risk Misalkan seorang pemegang polis dengan pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) dengan menerapkan teorema Bayes, maka peluang posterior a1 ( k1 ,… , kt ) untuk “good” driver adalah:

a1 ( k1 ,… , kt ) = P ⎡⎣GR k1 ,… , kt ⎤⎦ =

P ⎡⎣ k1 ,… , kt GR ⎤⎦ ⋅ P [GR ] P ⎡⎣ k1 ,… , kt GR ⎤⎦ + P ⎡⎣ k1 ,… , kt BR ⎤⎦ ⋅ P [ BR ]

e − λ1 λ1k1 e − λ1 λ1k1 a1 … k1 ! kt ! = − λ1 k1 e λ1 e− λ1 λ1k1 e− λ2 λ2 k1 e − λ2 λ2 k1 … a1 + … (1 − a1 ) k1 ! kt ! k1 ! kt !

λ1k e − tλ

1

=

λ1k e −tλ

1

∏k

=

j

!

∏k

a1 +

a

1 j k − t λ2 2

!

λ e

∏k

j

(1 − a1 )

!

a1λ1k e −tλ1 a1λ1k e − tλ1 + (1 − a1 ) λ2 k e− tλ2 1

= 1+

(1− a1 ) ⎛ λ2 a1

k

⎞ − t ( λ2 −λ1 ) ⎜ ⎟ e ⎝ λ1 ⎠

Sedangkan peluang Bad-risk: P ( BR k1 ,… , kt ) = 1 − P ( GR k1 ,… , kt ) = 1 − a1 ( k1 ,… , kt ) Maka premi model GRBR adalah : Pt +1 ( k1 ,… , kt ) = (1 − α ) E ( policy holder k1 ,… , kt )

{ } = (1 + α ) {a ( k ,… , k ) λ + ⎡⎣1 − a ( k ,… , k ) ⎤⎦ λ } = (1 + α ) λ1 P ( GR k1 ,… , kt ) + λ2 P ( BR k1 ,… , kt ) 1

1

t

1

1

1

t

2

Lampiran C 1. Listing program untuk simulasi model binomial negatif dengan penaksir momen clear all; clc; global xbar s2 atopi tautopi nk pk data a = 1.6049; tau = 15.8778; data = 106974;

nk(1) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim pk(1) = (tau/(1+tau))^a; % peluang pemegang polis mengajukan 0 klaim pk(2) = ((0+a)/((0+1)*(1+tau)))*pk(1); pk(3) = ((1+a)/((1+1)*(1+tau)))*pk(2); pk(4) = ((2+a)/((2+1)*(1+tau)))*pk(3); pk(5) = ((3+a)/((3+1)*(1+tau)))*pk(4); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); % peluang pemegang polis mengajukan >4 klaim pktot = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan bilangan random yang mirip dengan data Lemaire dengan model negative binomial for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else

nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) npk(2) npk(3) npk(4) npk(5) npk(6) npktotal

= data*pk(1); % npk0 = data*pk(2); % npk1 = data*pk(3); % npk2 = data*pk(4); % npk3 = data*pk(5); % npk4 = data*pk(6); % npk>4 = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6);

%perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6);

% nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6);

% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end

for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5);

% Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5);

%perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter dari data simulasi untuk model negative binomial xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; s2 = ((0-xbar)^2*nk(1)+(1-xbar)^2*nk(2)+(2-xbar)^2*nk(3)+(3-xbar)^2*nk(4)+(4xbar)^2*nk(5))/(data-1); atopi = xbar^2/(s2-xbar); tautopi = xbar/(s2-xbar); %perhitungan expected premi for t=1:7 for k=0:6 premi(t,k+1)=100*tautopi*(atopi+k)/(atopi*(tautopi+t)); end end

format short nk format short 'e' pk format bank npk disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank

npkB disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') chiB chiBtotal format long xbar s2 atopi tautopi format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' label2 = 't 0 1 label3 = '0 100.00';

2

k 3

'

; 4

5

6';

tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPTNBBELGIA(databelgia);

2. Listing program untuk simulasi model binomial negatif dengan penaksir maximum likelihood clear all; clc; global nk xbar atopiMLE tautopiMLE a = 1.6131; tau = 16.1384; data = 106974;

nk(1) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; % inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim pk(1) = (tau/(1+tau))^a; % peluang pemegang polis mengajukan 0 klaim pk(2) = ((0+a)/((0+1)*(1+tau)))*pk(1); pk(3) = ((1+a)/((1+1)*(1+tau)))*pk(2); pk(4) = ((2+a)/((2+1)*(1+tau)))*pk(3); pk(5) = ((3+a)/((3+1)*(1+tau)))*pk(4); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); % peluang pemegang polis mengajukan >4 klaim pktot = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan bilangan random yang mirip dengan data Lemaire dengan model negative binomial for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) npk(2) npk(3) npk(4) npk(5) npk(6) npktotal


%perhitungan nilai-nilai chi-square sebelum dilakukan grouping chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1);

chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6);


% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5);

chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5);

% Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter dari data simulasi untuk model negative binomial A0 = zeros(nk(1),1); A1 = ones(nk(2),1); A2 = 2*ones(nk(3),1); A3 = 3*ones(nk(4),1); A4 = 4*ones(nk(5),1); DAT = [A0;A1;A2;A3;A4];

MLE = nbinfit(DAT); atopiMLE = MLE(1); tautopiMLE = MLE(2)/(1-MLE(2));

% perhitungan expected premi for t=1:7 for k=0:6 premi(t,k+1)=100*tautopiMLE*(atopiMLE+k)/(atopiMLE*(tautopiMLE+t)); end end

format short nk sum(nk) format short 'e' pk format bank npk disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') chiB chiBtotal format short atopiMLE tautopiMLE

t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' label2 = 't 0 1 label3 = '0 100.00';

2

k 3

'

; 4

5

6';

tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_NB_MLE_BELGIA(databelgia);

3. Listing program untuk simulasi model Poisson-Inverse Gaussian dengan penaksir momen clear all; clc; global xbar s2 g_sim h_sim pk nk data g = 0.101081; h = 0.062979; data = 106974;

nk(1) = 0; %nk0 nk(2) = 0; %nk1 nk(3) = 0; %nk2 nk(4) = 0; %nk3 nk(5) = 0; %nk4 nk(6) = 0; %nk>4 pk(1) pk(2) pk(3) pk(4)

= exp((g/h)*(1-(1+2*h)^0.5)); %pk(0) = g*pk(1)*((1+2*h)^-0.5); %pk(1) = (h*(2-1)*(2*2-3)*pk(2)+(g^2)*pk(1))/((1+2*h)*2*(2-1)); %pk(2) = (h*(3-1)*(2*3-3)*pk(3)+(g^2)*pk(2))/((1+2*h)*3*(3-1)); %pk(3)

pk(5) = (h*(4-1)*(2*4-3)*pk(4)+(g^2)*pk(3))/((1+2*h)*4*(4-1)); %pk(4) pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); %pk.4 pktotal = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan data yang mirip dengan data Lemaire for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) npk(2) npk(3) npk(4) npk(5) npk(6) npktotal




% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5);

% Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0;

for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter PIG Moment simulasi xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; s2 = ((0-xbar)^2*nk(1)+(1-xbar)^2*nk(2)+(2-xbar)^2*nk(3)+(3xbar)^2*nk(4)+(4-xbar)^2*nk(5))/(data-1); g_sim = xbar; h_sim = (s2/xbar)-1; %perhitungan expected premi Q(1)=1; for t=1:7 for k=0:6 mu = g_sim/sqrt(2*h_sim*(t+1/(2*h_sim))); beta = 1/(2*(t+1/(2*h_sim))); Q(k+2) = (2*(k+1)-1)/(mu/beta)+1/Q(k+1); premi(t,k+1)= 100*mu*Q(k+1)/g_sim; end end format short nk format short 'e' pk

format bank npk npktotal disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA npkA_total = sum(npkA) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB npkB_total = sum(npkB) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format long xbar s2 g_sim h_sim format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = [];

for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' label2 = 't 0 1 label3 = '0 100.00';

2

k 3

'

; 4

5

6';

tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_PIG_Moment_BELGIA(databelgia);

4. Listing program untuk simulasi model Poisson-Inverse Gaussian dengan penaksir maximum likelihood clear all; clc; global nk g_sim htopi data pk g = 0.101081; h = 0.062981; data = 106974;

nk(1) = 0; %nk0 nk(2) = 0; %nk1 nk(3) = 0; %nk2 nk(4) = 0; %nk3 nk(5) = 0; %nk4 nk(6) = 0; %nk>4 pk(1) = exp((g/h)*(1-(1+2*h)^0.5)); %pk(0) pk(2) = g*pk(1)*((1+2*h)^-0.5); %pk(1) pk(3) = (h*(2-1)*(2*2-3)*pk(2)+(g^2)*pk(1))/((1+2*h)*2*(2-1)); %pk(2) pk(4) = (h*(3-1)*(2*3-3)*pk(3)+(g^2)*pk(2))/((1+2*h)*3*(3-1)); %pk(3) pk(5) = (h*(4-1)*(2*4-3)*pk(4)+(g^2)*pk(3))/((1+2*h)*4*(4-1)); %pk(4) pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)); %pk.4 pktotal = pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6); %iterasi untuk menghasilkan data yang mirip dengan data Lemaire for j=1:data

u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1) = nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2) = nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3) = nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4) = nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5) = nk(5)+1; else nk(6) = nk(6)+1; end % if end % for npk(1) npk(2) npk(3) npk(4) npk(5) npk(6) npktotal




% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i);

if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5);

% Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1

npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter PIG MLE hasil simulasi xbar = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; g_sim = xbar; htopi = fzero(@maxlike,0) %perhitungan expected premi Q(1)=1; for t=1:7 for k=0:6 mu = g_sim/sqrt(2*htopi*(t+1/(2*htopi))); beta = 1/(2*(t+1/(2*htopi))); Q(k+2) = (2*(k+1)-1)/(mu/beta)+1/Q(k+1); premi(t,k+1) = 100*mu*Q(k+1)/g_sim; end end format short nk format short 'e' pk format bank npk npktotal disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :')

disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA npkA_total = sum(npkA) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB npkB_total = sum(npkB) disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format long g_sim htopi format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7 temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' label2 = 't 0

1

2

k 3

'

; 4

5

6';

label3 = '0 100.00'; tempstring = num2str(temp); Expected_Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_PIG_MLE_BELGIA(databelgia);

5. Listing program untuk simulasi model Good-risk/Bad-risk dengan penaksir momen clear all; clc; global a1topi lambda1 lambda2 a2topi data a1_taksiran a2_taksiran lambda1_taksiran lambda2_taksiran

a1topi = 0.9112; lambda1 = 0.0762; lambda2 = 0.3567; a2topi =(1-a1topi); data = 106974; nk(1) = 0; %inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan 0 klaim atau nk0 nk(2) = 0; nk(3) = 0; nk(4) = 0; nk(5) = 0; nk(6) = 0; %inisialisasi awal untuk jumlah pemegang polis yang mengajukan >4 klaim atau nk>4 pk(1) = a1topi*(lambda1^0*exp(-lambda1)/factorial(0))+a2topi*(lambda2^0*exp(lambda2)/factorial(0)); %peluang mengajukan 0 klaim/pk0 pk(2) = a1topi*(lambda1^1*exp(-lambda1)/factorial(1))+a2topi*(lambda2^1*exp(lambda2)/factorial(1)); pk(3) = a1topi*(lambda1^2*exp(-lambda1)/factorial(2))+a2topi*(lambda2^2*exp(lambda2)/factorial(2)); pk(4) = a1topi*(lambda1^3*exp(-lambda1)/factorial(3))+a2topi*(lambda2^3*exp(lambda2)/factorial(3)); pk(5) = a1topi*(lambda1^4*exp(-lambda1)/factorial(4))+a2topi*(lambda2^4*exp(lambda2)/factorial(4)); pk(6) = 1-(pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5));%peluang mengajukan >4 klaim atau pk >4

pktotal = (pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5)+pk(6));

%iterasi untuk mengenerate bilangan acak untuk mendapatkan data yang mirip data Lemaire (1995) for j=1:data u=rand(1,1); if u < pk(1) nk(1)=nk(1)+1; elseif u < pk(1)+pk(2) nk(2)=nk(2)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3) nk(3)=nk(3)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4) nk(4)=nk(4)+1; elseif u < pk(1)+pk(2)+pk(3)+pk(4)+pk(5) nk(5)=nk(5)+1; else nk(6)=nk(6)+1; end % if end % for npk(1) = data*pk(1); %npk0 npk(2) = data*pk(2); %npk1 npk(3) = data*pk(3); %npk2 npk(4) = data*pk(4); %npk3 npk(5) = data*pk(5); %npk4 npk(6) = data*pk(6); %npk>4 npktotal = npk(1)+npk(2)+npk(3)+npk(4)+npk(5)+npk(6); %menghitung nilai-nilai chi-square sebelum digabung chi(1) = (nk(1)-npk(1))^2/npk(1); chi(2) = (nk(2)-npk(2))^2/npk(2); chi(3) = (nk(3)-npk(3))^2/npk(3); chi(4) = (nk(4)-npk(4))^2/npk(4); chi(5) = (nk(5)-npk(5))^2/npk(5); chi(6) = (nk(6)-npk(6))^2/npk(6); chitotal = (chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5)+chi(6)); % nkgabungan untuk rule A nkgabA(1) = nk(1); nkgabA(2) = nk(2); nkgabA(3) = nk(3); nkgabA(4) = nk(4); nkgabA(5) = nk(5)+nk(6);

% Rule A for i = 1 : 6 temp = 0.8*npk(i); if npk(i) < 1 && temp < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end for i = 1 : indeks - 1 if i == indeks - 1 npkA(i) = npkgab; else npkA(i) = npk(i); end end %menghitung nilai-nilai chi-square dengan rule A chiA(1) = (nkgabA(1)-npkA(1))^2/npkA(1); chiA(2) = (nkgabA(2)-npkA(2))^2/npkA(2); chiA(3) = (nkgabA(3)-npkA(3))^2/npkA(3); chiA(4) = (nkgabA(4)-npkA(4))^2/npkA(4); chiA(5) = (nkgabA(5)-npkA(5))^2/npkA(5); chiAtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4)+chi(5); % Rule B for i = 1 : 6 if npk(i) < 5 indeks = i; % perlu digabung mulai indeks - 1 break end end % for npkgab = 0; for i = indeks-1 : 6 npkgab = npkgab + npk(i); end

for i = 1 : indeks-1 if i == indeks - 1 npkB(i) = npkgab; else npkB(i) = npk(i); end end %nk gabungan untuk rule B nkgabB(1) = nkgabA(1); nkgabB(2) = nkgabA(2); nkgabB(3) = nkgabA(3); nkgabB(4) = nkgabA(4)+nkgabA(5); %perhitungan nilai-nilai chi-square dengan rule B chiB(1) = (nkgabB(1)-npkB(1))^2/npkB(1); chiB(2) = (nkgabB(2)-npkB(2))^2/npkB(2); chiB(3) = (nkgabB(3)-npkB(3))^2/npkB(3); chiB(4) = (nkgabB(4)-npkB(4))^2/npkB(4); chiBtotal = chi(1)+chi(2)+chi(3)+chi(4); %perhitungan parameter-parameter model GRBR dari data simulasi a = (0*nk(1)+1*nk(2)+2*nk(3)+3*nk(4)+4*nk(5))/data; alpa2 = (0^2*nk(1)+1^2*nk(2)+2^2*nk(3)+3^2*nk(4)+4^2*nk(5))/data; alpa3 = (0^3*nk(1)+1^3*nk(2)+2^3*nk(3)+3^3*nk(4)+4^3*nk(5))/data; b = alpa2-a; c = alpa3-3*alpa2+2*a; S = (c-a*b)/(b-a^2); P = (a*c-b^2)/(b-a^2); lambda1_taksiran = (S-sqrt(S^2-4*P))/2; lambda2_taksiran = (S+sqrt(S^2-4*P))/2; a1_taksiran = (a-lambda2_taksiran)/(lambda1_taksiran-lambda2_taksiran); a2_taksiran = 1-a1_taksiran; % perhitungan expected premium for t=1:7 for k=0:6 posterior(t,k+1) = 1/(1+((1a1_taksiran)/a1_taksiran)*(lambda2_taksiran/lambda1_taksiran)^k*exp(t*(lambda2_taksiran-lambda1_taksiran))); premi(t,k+1)=100*(posterior(t,k+1)*lambda1_taksiran+(1posterior(t,k+1))*lambda2_taksiran)/(a1_taksiran*lambda1_taksiran+a2_taksiran*la mbda2_taksiran); end end

format short nk format short 'e' pk format bank npk disp('-----------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square sebelum grouping :') disp('-----------------------------------------') chi chitotal format short nkgabA format bank npkA disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule A :') disp('-------------------------------------------------------') chiA chiAtotal format short nkgabB format bank npkB disp('-------------------------------------------------------') disp('nilai-nilai chi-square setelah grouping dengan rule B :') disp('-------------------------------------------------------') chiB chiBtotal format short t = [1 2 3 4 5 6 7]'; temppremi = [t premi]; temp = []; for i = 1 : 7

temp = [temp; sprintf('%1.0f %5.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f', temppremi(i,:))]; end label1 = ' label2 = 't 0 1 label3 = '0 100.00';

2

k 3

'

; 4

5

6';

tempstring = num2str(temp); Premi = strvcat(label1, label2, label3, tempstring) load ws; [T0,T1,T2,T3,T4,Tbsr4,P]=MPT_GRBR_Moment_BELGIA(databelgia);

SIMULASI SISTEM BONUS MALUS (STUDI KASUS BELGIA) TESIS

Recommend Documents