SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Lilyani Susanti NIM G54110034
ABSTRAK LILYANI SUSANTI. Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU. Sistem Bonus-Malus adalah salah satu sistem yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi, dalam perhitungan premi risiko berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis. Pada karya tulis ini dijelaskan dua jenis sistem BonusMalus yang berbeda, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Sistem Bonus-Malus klasik menetapkan perhitungan premi risiko bagi setiap pemegang polis hanya berdasarkan frekuensi klaim yang diajukan. Sedangkan sistem Bonus-Malus optimal menetapkan perhitungan premi risiko bagi setiap pemegang polis berdasarkan frekuensi klaim dan ukuran klaim. Kedua sistem Bonus-Malus tersebut dibandingkan, dengan frekuensi klaim dan ukuran klaim diasumsikan masing-masing memiliki sebaran geometrik dan Weibull. Risiko yang dihadapi oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga banyaknya klaim dan ukuran klaim yang akan diajukan setiap pemegang polis pun berbeda-beda. Dicari sebaran posterior dari parameter frekuensi dan ukuran klaim, kemudian parameter tersebut diduga menggunakan metode Bayes, sehingga diperoleh solusi kedua sistem tersebut. Solusi tersebut berupa premi yang akan datang berdasarkan sejarah klaim dari setiap pemegang polis. Kata kunci : Sistem Bonus-Malus, sebaran geometrik, sebaran Weibull.
ABSTRACT LILYANI SUSANTI. Bonus-Malus Systems with Geometric Distributed Claim Frequency and Weibull Distributed Claim Severity. Under supervision by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU. Bonus-Malus system is one of systems implemented by an insurance in calculating the risk premium based on claim history from each policyholder. In this work we discussed two different types of Bonus-Malus system namely the classical Bonus-Malus system and the optimal Bonus-Malus systems. The classical Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account only the number of accidents of each policyholder. While the optimal Bonus-Malus system sets the risk premium by taking into account both the frequency and the severity of the claims of each policyholder. Both of the Bonus-Malus systems are then compared, with the number and size of the claims and insured persons are assumed to follow respectively a geometric and a Weibull distributions. The risks faced by each policyholder are different such that the number and size of the claims experienced by each policyholder are also different. F u r t h e r m o r e , posterior distribution o f severity and frequency claim parameters is estimated by using Bayes method. Subsequently, solutions of both systems are obtained in term of future premium based on claim history from each policyholder. Keywords: Bonus-Malus systems, geometric distribution, Weibull distribution.
SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL
LILYANI SUSANTI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
Judul Skripsi : Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull Nama : Lilyani Susanti NIM : G54110034
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini ialah asuransi, dengan judul Sistem Bonus-Malus dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Geometrik dan Ukuran Klaim Berdistribusi Weibull. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. bapak Tri Susanto, ibu Tuti Gartini selaku orangtua yang sudah membesarkan, menyayangi, mendidik dan selalu mendoakan penulis, 2. bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I, bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku pembimbing II dan ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku penguji, 3. seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu dan pengalamannya, 4. seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan semangat dan doanya, 5. Abi, Sinta teman satu bimbingan yang telah memberikan masukan untuk karya ilmiah ini, 6. Resty, Widya, Firi yang telah menjadi pembahas pada seminar tugas akhir ini, 7. sahabat belajar bareng Dinita, Ari, Arli, Widya, Dyah yang telah memberikan doa, motivasi dan keceriaan selama masa kuliah dan penyusunan karya ilmiah ini, 8. teman-teman Matematika 48 terimakasih atas kebersamaannya selama ini, 9. kak Risma yang telah memberikan masukan selama bimbingan berlangsung, 10. kakak-kakak S2 Matematika 51 yang telah memberikan motivasi, 11. semua pihak yang terlibat dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan kghususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2015 Lilyani Susanti
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Penentuan Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus Penerapan Formula Premi Risiko pada Sistem Bonus-Malus SIMPULAN DAN SARAN
8 13 16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
37
DAFTAR TABEL 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim 7500) 3 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim 10000)
13 14 15
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Sebaran frekuensi klaim Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation Nilai harapan dari sebaran gamma Perolehan ̂ dengan solusi Bayes Fungsi sebaran eksponensial Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim Nilai harapan ukuran klaim Fungsi rekursif dari Premi risiko pada kasus Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi
18 20 22 23 25 26 27 29 30 31 33 34 36
PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Asuransi adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan sebuah sistem atau bisnis yang merupakan tindakan perlindungan secara finansial untuk properti dari kejadian-kejadian yang tidak dapat diduga, yang melibatkan pembayaran premi secara teratur sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan tersebut. Berbagai macam sistem digunakan oleh perusahaan asuransi untuk menarik minat masyarakat, salah satunya adalah sistem Bonus-Malus. Sistem Bonus-Malus adalah penentuan harga premi dalam asuransi yang didasarkan pada riwayat klaim pemegang polis. Dalam sistem ini bonus akan diberikan dalam bentuk pemotongan biaya premi yang harus dibayar apabila tidak ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Sedangkan malus diberikan dalam bentuk penambahan biaya premi apabila ada klaim yang diajukan pada tahun sebelumnya. Menurut Leimare (1998), setiap pemegang polis dari sebuah risk cell akan dibagi berdasarkan kelas Bonus-Malus dan riwayat klaim mereka, yang kemudian akan memodifikasi kelas tersebut ketika perpanjangan polis. Sistem Bonus-Malus yang digunakan biasanya adalah sistem Bonus-Malus klasik, sistem tersebut hanya mempertimbangkan berdasarkan frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Dalam sistem ini pemegang polis yang mendapatkan kerugian kecil atau besar mendapatkan premi yang sama. Sistem ini sudah digunakan di beberapa negara dan beberapa diantaranya sudah dimodifikasi agar dapat disesuaikan dengan kebutuhan penggunaan, seperti yang sudah diteliti oleh Lemaire dan Zi (1994) di dalam jurnalnya yang menggunakan data dari 30 perusahaan yang memberikan jasa asuransi dari berbagai negara yang berbeda. Salah satu kesalahan yang dilakukan perusahaan asuransi dalam sistem ini adalah bila pemberian bonus yang besar tidak diseimbangkan dengan pemberian malus yang sama besar. Hal ini dapat menyebabkan kerugian tidak hanya pada pemegang polis tetapi juga kepada pihak asuransi seperti yang diteliti oleh Ibiwoye et al. (2011). Kesalahan tersebut juga dapat mengakibatkan angka kecelakaan kendaraan tidak menyusut dikarenakan pemegang polis menganggap mendapatkan malus tidak memberikan dampak yang merugikan bagi mereka, seperti yang dikemukakan oleh Mamoudvand et al. (2013). Frangos dan Vrontos (2001) membuat sistem Bonus-Malus optimal, yaitu sistem yang sudah dimodifikasi sehingga bukan hanya frekuensi klaim saja yang digunakan, tetapi besar klaim dimasukkan juga ke dalam perhitungan. Mahmoudvand dan Hassani (2009) melanjutkan penelitian tersebut dengan membuat sistem Bonus-Malus optimal diperumum. Pada penulisan karya ilmiah ini, penulis akan melakukan kajian sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim berdistribusi geometrik dan ukuran klaim berdistribusi Weibull.
2 Perumusan Masalah Salah satu hal penting bagi sistem Bonus-Malus pada suatu perusahaan asuransi adalah penentuan premi risiko yang berdasarkan pada riwayat klaim pemegang polis tersebut. Terdapat dua sistem Bonus-Malus yang bisa digunakan, yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Pada sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko hanya didasarkan pada frekuensi klaim tanpa memperhitungkan besar atau kecil klaim tersebut. Sedangkan pada sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko didasarkan pada frekuensi dan ukuran klaim pemegang polis tersebut. Dari beberapa uraian diatas, dapat dirumuskan beberapa masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana menentukan premi pada sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull. 2. Bagaimana perbandingan premi risiko dari kedua sistem tersebut. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi dengan sistem sistem BonusMalus klasik dan sistem Bonus-Malus dengan frekuensi klaim memiliki sebaran geometrik dan ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dan membandingkan kedua sistem Bonus-Malus tersebut.
3
TINJAUAN PUSTAKA Definisi 1 (Percobaan Acak) Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2014). Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmett dan Stirzaker 1992). Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. , 2. Jika , maka , 3. Jika maka ⋃ (Grimmett dan Stirzaker 1992). Definisi 4 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu [ ] pada Ω , yang memenuhi: fungsi , Ω , 1. 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk ∑ setiap pasangan , maka ⋃ (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 5 (Peubah Acak) Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi : Ω → dengan sifat { Ω: () } untuk setiap (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 6 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari (Grimmet dan Stirzaker 1992). Catatan: Suatu himpunan bilangan disebut terhitung jika terdiri atas bilangan terhingga atau anggota dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
4 Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret diberikan oleh:
adalah fungsi
[
] yang
(Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 8 (Sebaran Poisson) dikatakan menyebar Poisson dengan parameter Suatu peubah acak memiliki fungsi massa peluang:
, jika
(Hogg et al. 2014). Definisi 9 (Sebaran Geometrik) Suatu peubah acak dikatakan menyebar geometrik dengan parameter , jika memiliki fungsi massa peluang: dan
dengan
(Hogg et al. 2014).
Definisi 10 ( Fungsi Sebaran) Misalkan adalah suatu peubah acak dengan ruang peubah acak dinyatakan sebagai
Fungsi sebaran dari
(Hogg et al. 2014). Definisi 11 (Fungsi Bessel Termodifikasi) adalah fungsi Bessel termodifikasi dengan indeks Jika adalah solusi dari persamaan differensial :
dan
, maka
dapat direpresentasikan sebagai berikut: ∫
(Abramowitz dan Stegun 1964). Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi dapat dinyatakan sebagai
sehingga fungsi sebaran
∫ dengan [0, ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi kepekatan peluang dari (Grimmett dan Stirzaker 1992).
disebut fungsi
5 Definisi 13 (Sebaran Eksponensial) Suatu peubah acak dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter , jika memiliki fungsi kepekatan peluang: (Ghahramani 2005). Definisi 14 (Sebaran Gamma) Suatu peubah acak dikatakan menyebar gamma dengan parameter memenuhi fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
⁄
dengan 2014).
,
dan Γ( ) > 0, dimana Γ( ) = ∫
(Hogg et al.
Definisi 15 (Sebaran Invers Gauss yang Diperumum (Generalized Inverse Gaussian Distribution)) Suatu peubah acak dikatakan menyebar invers gauss yang diperumum, jika memiliki fungsi kepekatan peluang: (
)
( ) dengan termodifikasi dengan indeks
dan (Tremblay 1992).
adalah
fungsi
Bessel
Definisi 16 (Sebaran Levy) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan parameter jika memiliki fungsi kepekatan peluang: √ (Ni et al. 2014). Definisi 17 (Sebaran Weibull) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Weibull dengan parameter memiliki fungsi kepekatan peluang:
dan
jika
(Gray dan Pitts 2012). Definisi 18 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak dan merupakan suatu fungsi [ ] yang didefinisikan oleh: (Grimmet dan Stirzaker 1992).
6 Definisi 19 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Marginal) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari dan adalah
dan fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak
adalah
∫ (Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 20 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan fungsi kepekatan peluang marginal . Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat adalah
(Grimmet dan Stirzaker 1992). Definisi 21 (Nilai Harapan) 1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang nilai harapan dari , dinotasikan dengan adalah
maka
∑ asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang maka nilai harapan dari adalah ∫ asalkan integral diatas konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Definisi 22 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dan kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat dengan syarat adalah
adalah fungsi . Nilai harapan dari
∫ (Hogg et al. 2014). Definisi 23 (Fungsi Kemungkinan (Likelihood Function)) Misalkan adalah contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang dengan merupakan realisasi dari peubah acak . Fungsi kepekatan peluang bersama dari (fungsi kemungkinan) adalah: ( ) (Hogg et al. 2014).
7 Definisi 24 (Penduga Kemungkinan Maksimum) Misalkan adalah contoh acak berukuran dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang . Penduga kemungkinan maksimum bagi dinotasikan dengan ̂ adalah yang memaksimumkan fungsi (Hogg et al. 2014). likelihood Definisi 25 (Sebaran Prior) Suatu peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan peluang bersama yang dan fungsi marginal dinamakan dilambangkan dengan sebaran prior (Arnold 1990). Definisi 26 (Sebaran Posterior) Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang bersama yang dilambangkan dengan dan memiliki fungsi kepekatan peluang marginal . Fungsi kepekatan peluang gabungan dari dilambangkan dengan dinamakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan ∫ (Arnold 1990). Definisi 27 (Fungsi Kerugian) Misalkan adalah suatu peubah acak dengan parameter dan penduga parameternya . Fungsi kerugian (loss function) dari parameter tersebut adalah: dan fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat dari parameter tersebut dinyatakan dengan: (Bain dan Engelhardt 1993). Definisi 28 (Fungsi Risiko) Fungsi risiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian, yang dinyatakan sebagai berikut: [ ] (Bain dan Engelhardt 1993). Definisi 29 (Solusi Bayes) Misalkan adalah suatu parameter dengan penduga parameternya ̂ , dengan fungsi kerugian ( ̂ ) dan nilai harapan fungsi tersebut [ ( ̂)], dikatakan solusi Bayes jika penduga parameter ̂ meminimumkan [ ( (Hogg et al. 2014).
̂)
]
∫
(
̂)
8 Teorema 1 (Sifat Fungsi Bessel Termodifikasi) Misalkan fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap berlaku dua sifat yaitu : 1. , 2. (Lemaire 1995). Bukti Teorema 1 ada pada Lampiran 13.
,
HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan premi risiko pada sistem Bonus-Malus Seseorang yang menjadi pemegang polis suatu perusahaan asuransi diharuskan membayar premi risiko atas klaim yang dibuat, penetapan besarnya premi risiko dihitung berdasarkan sistem yang ada pada perusahaan asuransi tersebut. Salah satu sistem yang digunakan oleh suatu perusahaan asuransi adalah sistem Bonus-Malus. Terdapat dua jenis sistem Bonus-Malus yaitu sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal. Kedua sistem tersebut berbeda, karena hal yang akan mempengaruhi perhitungan premi risiko setiap pemegang polis berbeda pula. Sistem Bonus-Malus klasik Dalam sistem Bonus-Malus klasik, perhitungan premi risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi hanya bergantung pada frekuensi klaim.Frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis berbeda-beda sehingga nilai harapan dari banyaknya klaim yang diajukan pun berbeda-beda. Misalkan pada asuransi mobil yang memiliki portofolio yang berbeda (heterogen), setiap pemegang polis memiliki risiko dasar yang tidak sama atas kejadian yang dialaminya. Willmot (1993) menyebutkan bahwa sebaran Poisson campuran memberikan hasil yang baik untuk data frekuensi klaim yang heterogen. Maka pada karya tulis ini digunakan sebaran Poisson campuran sebagai sebaran dari frekuensi klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis tersebut yaitu sebaran geometrik. Parameter dari frekuensi klaim dilambangkan dengan yang menyebar eksponensial, sehingga frekuensi klaim untuk setiap pemegang polis merupakan sebaran geometrik. Diasumsikan banyaknya klaim yang diajukan dinyatakan dengan yang menyebar Poisson dengan parameter . (1) Dengan menyatakan perbedaan risiko yang mendasari atas klaim dari setiap pemegang polis tersebut. Asumsikan menyebar eksponensial dengan parameter , maka fungsi kepekatan peluangnya adalah: (2)
9 Kemudian sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran geometrik dengan parameter ( ) (diuraikan pada Lampiran 1) adalah: =∫ =∫ =
∫ ∫
= = = = =(
)(
)
(3)
dengan dan . Misalkan menyatakan banyaknya klaim dari setiap pemegang polis dalamtahun , dengan . Jika total banyaknya klaim yang terjadi ∑ maka total banyaknya klaim dalam tahun dalam tahun adalah menyebar Poisson dengan parameter . ∏
(4)
Untuk menduga parameter dari frekuensi klaim tersebut, digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari kumpulan klaim pemegang polis dalam tahun, dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut , karena proporsional dengan sehingga sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim dapat ditulis sebagai:
Jika ∫
, maka diperoleh
(perhitungan pada
Lampiran 2), sehingga (5) yang merupakan sebaran gamma( ). Misalkan penduga parameter atau banyaknya klaim pada tahun adalah ̂ . Fungsi kerugian dari penduga parameter itu adalah ( ̂ ) . Penduga ̂ yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut [ ( ̂ )] karena menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ̂ ( ̂ ) , didapatkan solusi Bayes ̂ sama dengan nilai harapan dari banyaknya klaim (dibuktikan pada Lampiran 5): ̂ (̅ ) ̅ ̅ (6) ̅
10 Nilai harapan dari sebaran gamma dibuktikan pada Lampiran 4. Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation (dijelaskan pada Lampiran 3). Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat dinyatakan dengan , maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada tahun , adalah: (7) ̅ Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa premi risiko yang harus dibayarkan pada tahun hanya bergantung pada banyaknya klaim yang diajukan setiap pemegang polis. Sistem Bonus-Malus optimal Dalam sistem Bonus-Malus optimal, perhitungan premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi selain berdasarkan frekuensi klaimtetapi juga berdasarkan ukuran klaim. diasumsikan memiliki sebaran Ukuran klaim dilambangkan dengan eksponensial dan parameter tersebut merupakan nilai dari peubah acak yang memiliki sebaran Levy, maka ukuran klaim memiliki sebaran Weibull dengan parameter . Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan peluangnya adalah: (8) dan fungsi sebarannya adalah (dibuktikan pada Lampiran 6): .
(9)
Sebaran dari adalah Levy yang juga disebut sebagai sebaran stabil dengan parameter yang memiliki fungsi kepekatan peluang: (10) √ Fungsi sebaran tak bersyarat dari (diuraikan pada Lampiran 7):
yang merupakan sebaran Weibull adalah ∫
∫
√ √
(11) Misalkan dinotasikan sebagai ukuran dari klaim setiap pemegang polis pada frekuensi klaim , . Total ukuran klaim yang terjadi untuk setiap ∑ pemegang polis dalam tahun adalah . Fungsi kemungkinannya menyebar eksponensial dengan parameter , ∑
(12)
11 Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function). Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun, , dan fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut: (13) ∫
∫
(
*
(
*
atau dapat ditulis sebagai berikut: *
( (
)
dengan , , . Persamaan tersebut adalah bentuk dari sebaran Invers Gauss yang diperumum. Dengan mengembalikan ke persamaan (13) didapat: ( ∫ (
√
√
)
(
)
( √
*
(
√ √
)
)
. (
√
(14)
*
Integral pada bagian penyebut dapat diubah ke fungsi Bessel yang representasinya adalah sebagai berikut: ∫
,
(15)
atau representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi (dibuktikan pada Lampiran 8): ∫
(
)
(16)
12 Dengan mengubah integral pada persamaan (14) menjadi bentuk fungsi Bessel, maka sebaran posteriornya adalah: (
)
√
)
(
(
*
( √ ) atau (17) (
( )
*
)
(√
dengan , , . Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss yang diperumum (Gaussian Inverse Generalized) adalah (diuraikan pada Lampiran 9): [
√
√
]
.
√
(18)
Karena pada model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter , maka nilai harapan yang diberikan . Dengan mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan: [
√
]
(
( √ ) ( √ )
+
(19)
(lihat Lampiran 10). Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim , tetapi juga bergantung pada ukuran klaim , maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
(
√
(
( √ )
+).
(20)
√
(21)
( √ )
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah: √
√ √
maka fungsi rekursif dari
√
adalah (diuraikan pada Lampiran 11): √
√
( √ )
(22)
13 Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat ukuran klaim atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan ( ) sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus (dijelaskan pada Lampiran 12): (
) ( ).
(23)
Penerapan formula premi risiko pada sistem Bonus-Malus Sistem Bonus-Malus klasik Misalkan pada suatu perusahaan asuransi, banyaknya klaim diasumsikan menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Dalam perhitungan premi risiko ini digunakan Prinsip Premi Bersih (Net Premium Principle). Asumsikan premi risiko yang harus dibayarkan setiap pemegang polis setara dengan tahun pertama. Misalkan premi risiko pada tahun adalah 100. Jika pemegang polis mengajukan satu klaim ( ) di tahun pertama, maka premi risiko yang harus dibayarkan adalah . Seorang pemegang polis dengan klaim ( ) di tahun ke-3 ( oleh setiap pemegang polis adalah
), premi risiko yang harus dibayarkan . Jika pemegang polis tidak
mengajukan klaim sama sekali selama tahun yang ditetapkan maka ia akan mendapatkan bonus yang cukup tinggi. Sedangkan jika pemegang polis mengajukan banyak klaim pada tahun pertama maka ia akan mendapatkan malus yang cukup tinggi. Pada tabel berikut dapat dilihat perhitungan premi risiko dalam 7 tahun dengan variasi klaim menggunakan persamaan (7) dengan perangkat lunak Microsoft Excel. Tabel 1 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi klaim Tahun
0 1 2 3 4 5 6 7
Banyaknya Klaim 0 100 56 38 29 24 20 17 15
1
2
3
4
5
111 77 59 48 40 34 30
167 115 88 71 60 52 45
222 154 118 95 80 69 61
278 192 147 119 100 86 76
333 231 176 143 120 103 91
Dari Tabel 1 dapat dilihat, bonus akan didapatkan pada tahun pertama oleh seorang pemegang polis yang tidak mengajukan klaim, pemegang polis tersebut akan mendapatkan bonus 44% dari premi risiko awal.
14 Sedangkan jika pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka pemegang polis tersebut harus membayar malus sebesar 11% dari premi risiko awal. Sistem Bonus-Malus optimal Misalkan pada perusahaan asuransi seperti di aplikasi sebelumnya, kita gunakan sistem Bonus-Malus yang dalam perhitungan premi risikonya berdasarkan dua komponen yaitu komponen frekuensi dan ukuran klaim. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan sistem BonusMalus optimal dihitung dengan menggunakan persamaan (20), dan apabila tidak ada klaim yang diajukan ( ) atau ukuran klaim premi risiko dihitung dengan menggunakan persamaan (23). Seperti pada aplikasi sebelumnya, frekuensi klaim menyebar geometrik dengan parameter sebesar 1,25. Total ukuran klaim diasumsikan menyebar Weibull dengan fungsi sebaran pada persamaan (11) dan dipilih parameter sebesar 0,05. Total ukuran klaim dipilih sebesar 7500 dan 10000, diambil dua total ukuran klaim yang berbeda untuk membandingkan efek dari total ukuran klim terhadap premi risiko. Dengan ukuran klaim 7500, jika pemegang polis mengajukan satu klaim di tahun pertama, maka ia harus membayar premi risiko sebesar 3079 (lihat Tabel 2), jadi ia mendapatkan malus dari perusahaan asuransi tersebut. Sedangkan jika total ukuran klaim 10000, seorang pemegang polis mengajukan satu klaim pada tahun pertama, ia harus membayar premi risiko sebesar 3556 (lihat Tabel 3), ia membayar malus yang lebih tinggi. Pada Tabel 2 dan 3, dapat dilihat perhitungan premi risiko dari beberapa contoh kasus pemegang polis dengan variasi klaim, , dan total ukuran klaim sebesar 7500 dan 10000, sampai tahun ke-7 menggunakan dan menggunakan persamaan (23) untuk persamaan (20) untuk . Tabel 2 Sistem Bonus-Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 7500) Tahun
0 1 2 3 4 5 6 7
Banyaknya Klaim 0 640 356 246 188 152 128 110 97
1
2
3
4
5
3079 2132 1630 1320 1109 956 840
3752 2598 1986 1608 1351 1164 1023
4091 2833 2166 1753 1473 1270 1116
4232 2930 2240 1814 1523 1313 1154
4264 2952 2258 1828 1535 1323 1163
15 Tabel 3 Sistem Bonus Malus berdasarkan komponen frekuensi dan ukuran klaim (Total ukuran klaim sebesar 10000) Tahun
0 1 2 3 4 5 6 7
Banyaknya Klaim 0 640 356 246 188 152 128 110 97
1
2
3
4
5
3556 2462 1882 1524 1280 1103 970
4444 3077 2353 1905 1600 1379 1212
4961 3435 2627 2126 1786 1540 1353
5236 3625 2772 2244 1885 1625 1428
5363 3713 2839 2298 1931 1664 1463
Dari kedua tabel di atas dapat dilihat bahwa bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim 7500, jika mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia akan membayar premi risiko yang lebih tinggi dari premi risiko awal. Sedangkan bagi seorang pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim sebesar 10000, jika ia mengajukan satu klaim pada tahun pertama maka ia harus membayar premi risiko yang jauh lebih tinggi dari premi risiko awal. Kedua pemegang polis yang memiliki total ukuran klaim yang berbeda akan sama-sama mendapat bonus dari perusahaan asuransi tersebut, apabila pemegang polis tidak mengajukan klaim sama sekali selama 7 tahun. Oleh karena itu setiap pemegang polis membayar premi risiko yang berbeda-beda bergantung pada banyaknya klaim dari setiap pemegang polis asuransi tersebut.
16
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Karya tulis ini telah membandingkan sistem Bonus-Malus klasik dan sistem Bonus-Malus optimal, yang biasa digunakan beberapa perusahaan asuransi seperti perusahaan asuransi mobil. Kedua sistem Bonus-Malus ini memiliki dasar perhitungan premi yang berbeda. Dapat dilihat dari aplikasinya, sistem Bonus-Malus klasik ini bisa dikatakan tidak adil karena perhitungan premi risiko dari setiap pemegang polis tidak bergantung pada ukuran klaim setiap pemegang polis. Sedangkan perusahaan asuransi dengan sistem Bonus-Malus optimal cukup adil karena premi risiko yang harus dibayarkan oleh pemegang polis asuransi proporsional dengan risiko yang dihadapi. Premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis dengan kerugian kecil dan besar adalah berbeda. Sistem Bonus-Malus ini bergantung pada frekuensi dan ukuran klaim dari setiap pemegang polis. Oleh karena itu, beban premi yang harus dibayarkan pada sistem BonusMalus optimal jauh lebih adil dibandingkan dengan sistem Bonus-Malus klasik
Saran Penelitian ini memberikan perbandingan antara premi risiko sistem BonusMalus klasik dengan sistem Bonus-Malus optimal dengan sebaran frekuensi klaim adalah geometrik dan sebaran ukuran klaim adalah Weibull. Telah dibuktikan bahwa sistem Bonus-Malus optimal memberikan premi risiko yang lebih adil karena sistem ini memperhitungkan besar atau kecil klaim yang diajukan oleh pemegang polis. Pada penelitian ini menggunakan distribusi ukuran klaim Weibull sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan distribusi ukuran klaim lain. Selain itu, penelitian dapat dikembangkan dengan pembagian kelas-kelas sesuai dengan karakteristik pemegang polis, seperti usia, jenis kelamin, pekerjaan sehingga penentuan premi menjadi lebih adil karena karakteristik dari setiap pemegang polis yang berbeda.
17
DAFTAR PUSTAKA Abramowitz M, Stegun IA. 1964. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover. Albrecher H, Constantinescu C, Loisel S. 2011. Explicit ruin formulas for models with dependence among risks. Insurance: Mathematics andEconomics 48(2):265-270. Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Bain LJ, Engelhardt M. 1992. Introduction to Probability andMathematical Statistics. Ed ke-2. PWS-KENT publishing Company.Boston. Frangos NE, Vrontos SD.2001. Design of an optimal bonus–malus systems with a frequency and a severity component on an individual basis in automobile insurance. ASTIN Bulletin 31. 1-22. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-3. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Gray RJ, Pitts SM. 2012. Risk Modelling in General Insurance: From Principle to Practice. Cambridge University Press. New York. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed ke-2. Clarendon Press.Oxford. New York. Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Ibiwoye A, Adeleke IA, Aduloju S. 2011. Quest for optimal bonus-malus in automobile insurance in developing economies: an actuarial prespective. International Business Research Vol.4 No. 4. Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE.1949. Loss Models.John Willey &Sons. New York. Lemaire J. 1995. Bonus-malus Systems in Automobile Insurance. MA Kluwer Academic Publishers. Boston. Lemaire J. 1998. Bonus-malus systems : the european and asian approach to merit-rating. The Society of Actuaries. Lemaire J, Zi H. 1994. A comparative analysis of 30 bonus-malus systems. Astin Bulletin Vol.24No. 2. Mahmoudvand R, Hassani H. 2009. Generalized bonus-malus systems with a frequency and a severity component on an individual basis in automobile insurance. ASTIN Bulletin 39, 307-315. Mahmoudvand R, Edalati A, Shokoohi F. 2013. Bonus-malus system in Iran: an empirical evaluation. Journal of Data Science 11, 29-41. Ni W, Constantinescu C, Pantelous AA. 2014. Bonus-malus systems with weibull distributed claim severities. Annals of Actuarial Science 8(2): 217-233. Tremblay L. 1992. Using the poisson inverse gaussian in bonus-malussystems. ASTIN Bulletin 22(1): 97-106. Willmot G. 1993. Mixed compound distributions. ASTIN Bulletin 16, 59-79.
18
LAMPIRAN Lampiran 1 Sebaran frekuensi klaim Sebaran tak bersyarat dari (banyaknya klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh: ∫ ∫ ∫ Dengan memisalkan
dan
maka:
∫ Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini sehingga diperoleh: [⏞
∫
[ ∫
]
]
Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh: [⏞ [
∫ ∫
] ]
19 Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh [⏞ [
(
)(
) , dengan
∫
]
]
dan
.
Maka yang dinyatakan sebagai frekuensi klaim dalam sistem Bonus-Malus ini memiliki sebaran geometrik dengan parameter ( ).
20 Lampiran 2 Sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim Kita gunakan pendekatan Bayes untuk menduga parameter dari sistem Bonus-Malus klasik yaitu , dengan fungsi struktur posterior dari kumpulan frekuensi klaim pemegang polis dalam tahun, , maka diperoleh sebaran posterior dari parameter frekuensi klaim tersebut : Sebaran awal (prior distribution): Fungsi kepekatan peluang bersama dari total frekuensi klaim adalah ∏ dan fungsi kepekatan peluang dari : Sebaran akhir (posterior distribution) :
. Jika ∫ ∫ ∫
Dengan memisalkan
dan
maka: ∫ Dengan memisalkan kembali
Kita gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan ini, maka: [⏞ [ ∫
∫
] ]
21 Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali, maka: [⏞
∫
[
]
∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang dari persamaan di atas, maka : [⏞ [
∫
]
]
Sehingga diperoleh,
).
yang merupakan sebaran gamma(
Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik yaitu ( ̂ diperoleh solusi Bayes: ̂ (̅ ) ̅ Sehingga ̂
̅
̅
̅
̅
̅
)
̂
,
22 Lampiran 3 Nilai ̅ diperoleh dengan Maximum Likelihood Estimation Pada karya tulis ini digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk menduga parameter terhadap . Sehingga penduga parameter terhadap adalah :
∑
∏ (
(
) (
)
(
+ +
( ∑
Dengan MLE maka
)
+
( ∑ (∑
∑
+
∑ ̅ Penduga ̅ memaksimumkan fungsi likelihood. Bukti: ( ) ̅ ̅
memaksimumkan fungsi likelihood
Sehingga penduga parameter
terhadap
adalah ̅
23 Lampiran 4 Nilai harapan dari sebaran gamma Jika suatu peubah acak memiliki sebaran gamma dengan parameter dan dengan dan , maka nilai harapan dari peubah acak tersebut adalah . Bukti : (
*
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah :
Maka, ∫ ∫ ∫
Dimisalkan
;
∫( * ∫ Dengan memisalkan kembali :
Gunakan pengintegralan parsial untuk persamaan tersebut: [⏞ [ ∫
∫ ]
]
24 Dilakukan pengintegralan parsial dan dimisalkan kembali sehingga diperoleh : [⏞
∫
]
[∫
]
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial berulang sampai diperoleh : [⏞ [
Terbukti
]
∫
]
25 Lampiran 5 Perolehan ̂ dengan solusi Bayes Jika kita menggunakan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function), penduga parameter akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian tersebut. Maka dengan solusi Bayes, penduga parameternya sama dengan nilai harapan dari sebaran posterior parameter tersebut. Bukti: Misalkan suatu peubah acak merupakan sebaran posterior dengan parameter dan nilai penduga parameter adalah . Jika fungsi kerugian kuadratik dinyatakan : [ ] [ ] maka nilai harapan dari fungsi kerugian kuadratik adalah: { [ ] {[ ] { [ {[ { [
] ] ]
[
]
Karena yang akan meminimumkan nilai harapan dari fungsi kerugian ]] [ [ kuadratik maka dengan turunan fungsi: , [ ]
{ [ [
]
]
[
[
[
]
]
]
Terbukti. Sehingga diperoleh penduga parameter tersebut sama dengan nilai harapan dari sebaran posterior parameter tersebut.
26 Lampiran 6 Fungsi sebaran eksponensial Jika suatu peubah acak memiliki sebaran eksponensial dengan parameter , maka fungsi sebaran dari peubah acak adalah :
Bukti :
Fungsi kepekatan peluang dari sebaran tersebut adalah : Sehingga fungsi sebaran dari peubah acak
adalah : ∫ ∫
Terbukti.
27 Lampiran 7 Fungsi sebaran tak bersyarat dari yang merupakan sebaran Weibull Fungsi sebaran tak bersyarat dari (ukuran klaim) adalah dengan mengintegralkan persamaan (9) dengan (10), sehingga diperoleh: ∫
∫
√
Dimisalkan
√
∫(
)( * √
∫( * √
( * √ √
Karena ∫ √
∫
(
∫
(
, *
Misal √
√
)
(
∫
)
Misal: ∫ ∫ ∫
(
√
*
(
√
*
(
√
(
√
∫ *
) (
√
*
√
28 √
Misalkan juga : ∫ ∫
√
(
(
*
√
√
( *
)
∫ (
∫
√
√
(
,
)
√ √
*
Sehingga √
√
∫
(
√
*
√ √
√
29 Lampiran 8 Representasi alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi Representasi integral alternatif dari fungsi Bessel termodifikasi adalah : (
∫
)
Bukti : ∫ ∫
*
(
Misal (
)
∫
(
∫
(
)
∫
(
∫
(
)
∫
)
Misalkan
Terbukti.
)
(
*
30 Lampiran 9 Nilai harapan dari sebaran posterior parameter ukuran klaim Nilai harapan dari sebaran posterior yang merupakan sebaran Invers Gauss diperumum (Generalized Inverse Gaussian) adalah: [ [
] ]
√
√ ∫
.
√
(
( ) (√
)
(
∫ ( )
*
(√
√
∫
√
, (
(√ (
√
)
√
Misal
√
*
)
) )
√ √
31 Lampiran 10 Nilai harapan dari ukuran klaim Jika misalkan model awal diasumsikan menyebar eksponensial dengan parameter maka nilai harapan yang diberikan . Dengan mengintegralkan dengan sebaran posterior didapatkan:
[
√
]
( √ )
(
( √ )
)
Diasumsikan ukuran klaim dinyatakan dengan . Untuk setiap pemegang polis, menyebar eksponensial dengan parameter , fungsi kepekatan peluangnya adalah:
∫ Misalkan (
)
∫
∫ Untuk menghitung atau mengukur kerugian dari aset yang diasuransikan menggunakan fungsi kerugian kuadratik. Digunakan pendekatan Bayes dengan fungsi kerugian kuadratik (quadratic loss function) untuk menduga parameter dari ukuran klaim tersebut. Dengan fungsi kepekatan peluang bersama dari total , dan ukuran klaim dari setiap polis dengan klaim sampai tahun, fungsi kepekatan peluang dari maka diperoleh sebaran posterior dari parameter ukuran klaim tersebut: (
√
(
)
)
(
*
( √ ) atau (
( ) (√ dengan
,
,
.
*
)
32 [
]
∫ ∫
(
( ) (√
*
) (
∫ ( )
*
(√ ∫ (√
) (
) (√ √
Misal
) √
, √
∫
(√
) (√
√
(
∫
√
(√
(
√
)
(√
(
) )
(√ √
*
) )
( √ ) ( √ )
)
)
√
33 Lampiran 11 Fungsi rekursif dari Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel termodifikasi adalah: √
√
maka fungsi rekursif dari
√
√
√ adalah :
√
( √ )
√
karena (
)
( √ )
( √ ) √
(
) (
√ )
(
(
√
√
√
)
) √
√
( √ )
( √ ) (
( √
)
)
( (
( √ ) √ √
( √ )
√
) )
√
34 Lampiran 12 Premi pada kasus Jika premi risiko ditetapkan tidak hanya bergantung pada banyaknya klaim , tetapi juga bergantung pada ukuran klaim , maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis adalah:
(
√
( √ )
(
( √ )
+).
(20)
Jika kita misalkan rasio dari dua fungsi Bessel adalah: (21) √
√
√
√
√ maka fungsi rekursif dari
adalah (diuraikan pada Lampiran 11): (22) √
( √ )
√
Dari persamaan (21) dan (22) dapat dilihat bahwa premi tidak terdefinisi pada saat ukuran klaim atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan ( ) sehingga perlu adanya pendefinisan ulang untuk premi risiko pada kasus . Karena
, jika ( √ )
Pada
,
√
maka ( √ )
√
√
√
bisa diperoleh dari bentuk rekursif dari
√ ( √ ) Premi pada saat ukuran klaim ( ): (
(
√
√
( √ )
√
√
(
(
( √ ) √ √ atau pada saat tidak ada klaim yang diajukan ( √ ) ( √ )
),
( √ )))
35 (
( (
√
(
√
*( *
√
))
√ √
(
√
*)
36 Lampiran 13 Bukti sifat fungsi Bessel termodifikasi Misalkan fungsi Bessel termodifikasi maka untuk setiap berlaku dua sifat yaitu : 1. , 2.
,
Bukti: 1. (
∫
)
Misalkan (
∫
(
∫
)
)
2. (
∫
)
(
Misalkan
⏞ [
∫ [∫ [
(
)
(
)
(
)
(
(
∫
(
)
)
(
(
)
*
]
*
)
∫ ]
(
)
] [
]
37
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tangerang, Banten, pada tanggal 27 Agustus 1994. Penulis merupakan putri tunggal dari Bapak Tri Susanto, Ibu Tuti gartini. Tahun 2011, penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bawang Banjarnegara dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Penulis tercatat sebagai mahasiswa Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif pada berbagai kegiatan. Penulis tergabung dalam Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) pada tahun 2013. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan Pesta Sains Nasional pada tahun 2012, Matematika Ria pada tahun 2013 dan 2014 dan IPB Mathematics Challenge pada tahun 2013. Selain itu, penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Persamaan Differensial Parsial pada tahun 2014 dan Persamaan Differensial Biasa pada tahun 2015. Selama masa kuliah, penulis mendapat beasiswa Persatuan Orang tua Mahasiswa (POM) IPB pada tahun 2011 dan 2012, beasiswa Badan Usaha Milik Negara (BUMN) pada tahun 2013 dan beasiswa Yayasan Toyota Astra pada tahun 2014.
