ANALISIS DAN PERANCANGAN PREMI BONUS-MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRI DAN BINOMIAL-NEGATIF BERBASIS C#.NET
Denny Natanael Wijaya, Ro’fah Nur Rachmawati, Derwin Suhartono Universitas Bina Nusantara, Jalan KH. Syahdan No. 9 Palmerah, Jakarta 11480, Indonesia +6281807768996
[email protected]
ABSTRACT Bonus-Malus is a system which is used in determining the value of risk premium of nonlife insurance, where the value of risk premium is being adjusted by policy holder’s claim history. In this paper, the formula of Bonus-Malus system is made from quadratic error-loss function, Geometric distribution, and Negative-Binomial distribution. The formula that has been constructed, is simulated with C#.Net language and the result is being compared with primary data. The variable to be compared is profit and loss. The conclution is the profit in classic Bonus-Malus system will be greater than the current system. Keywords: Bonus-Malus system, Quadratic Error-Loss function, Geometri Distribution, Binomial-Negative
Distribution.
ABSTRAK Bonus-Malus adalah sebuah sistem yang digunakan dalam menentukan nilai premi risiko sebuah asuransi non-life, yang nilai premi risikonya disesuaikan dengan sejarah klaim dari pemegang polis. Dalam karya tulis ini dijelaskan bagaimana sebuah formula dari sistem Bonus-Malus dibuat dari fungsi quadratic error loss, distribusi Geometri (Poisson-Exponential) dan distribusi Binomial Negatif (Poisson-Gamma). Formula penentuan premi yang sudah dianalisa disimulasikan dengan aplikasi komputer berbasis C#.Net dan hasil simulasi dibandingkan dengan data primer, dengan variabel yang dibandingkan adalah laba dan rugi. Dapat ditarik kesimpulan bahwa perolehan laba pada sistem Bonus-Malus klasik akan lebih besar dibandingkan dengan laba yang diperoleh dengan sistem yang sudah ada sekarang. Kata kunci: Sistem Bonus-Malus, Fungsi Quadratic Error-Loss, Sebaran Geometri, Sebaran Binom-Negatif
PENDAHULUAN Di masa sekarang ini, Asuransi merupakan salah satu kebutuhan yang cukup penting ketika seseorang mulai memikirkan mengenai resiko-resiko yang ia akan alami dalam kehidupannya. Asuransi merupakan salah satu perlindungan ketika hal-hal yang tidak diinginkan terjadi. Salah satu produk asuransi yang cukup banyak digunakan adalah asuransi kendaraan bermotor. Asuransi ini melindungi kendaraan bermotor dari kecelakaan, kehilangan, dan kerusakan yang dialami oleh kendaraan bermotor pemegang polis. Dalam asuransi, ada yang dinamakan premi. Premi adalah sejumlah uang yang harus dibayarkan setiap bulannya sebagai kewajiban dari tertanggung atas keikutsertaannya di asuransi. Dalam menentukan harga premi, perusahaan asuransi menggunakan metode yang sudah ditentukan oleh pemerintah negara tersebut. Sayangnya, hal ini mengakibatkan beberapa perhitungan premi justru kurang efektif dan merugikan kedua belah pihak. Ketika pemegang polis melakukan klaim yang cukup besar, maka perusahaan asuransi akan mengalami kerugian karena premi yang dibayarkan oleh pemegang polis tidak bisa menutupi kerugian yang ditimbulkan. Sebaliknya, ketika pemegang polis tidak melakukan klaim sama sekali dan nilai premi tetap maka pemegang polis akan membuang uangnya secara sia-sia dan menjadi profit yang murni untuk perusahaan. Solusi dari semua masalah diatas adalah sistem Bonusmalus yang akan membuat nilai premi menjadi seimbang. Sistem Bonus-Malus adalah sebuah sistem yang terdapat dalam pembayaran premi risiko sebuah asuransi non-life, dengan nilai premi risiko akan disesuaikan dengan sejarah klaim dari pemegang polis. Bonus dapat direpresentasikan sebagai pemotongan premi risiko yang diberikan apabila tidak terjadi klaim sama sekali dalam jangka waktu tertentu. Sedangkan Malus dapat digambarkan sebagai penambahan premi risiko yang disebabkan oleh banyaknya klaim yang diajukan oleh pemegang polis dalam jangka waktu tertentu (Mert & Saykat, 2005). Sistem ini sendiri telah ada sejak tahun 1976, kemudian banyak pengujian-pengujian yang dilakukan oleh banyak pihak, salah satunya dengan Markov Chain yang diaplikasikan ke dalam sistem Bonus-Malus ini. Ini didasarkan dari banyaknya faktor risiko yang mempengaruhi risiko yang ditanggung oleh pemegang polis. Karena seseorang bisa saja membawa berbagai macam risiko kecelakaan dilihat dari faktor masa lalunya, tetapi tidak dimasukan ke dalam sistem penilaian secara individual, sedangkan
Bonus-Malus harus memperhitungkan faktor dari pengalaman-pengalaman yang sudah dialami oleh pengguna, sehingga Bonus-Malus sangatlah efisien untuk mengatasi hal seperti ini (De Pril, 1978). Mengenai metode distribusi yang digunakan dalam Bonus-Malus itu sendiri, banyak metode distribusi yang digunakan. Salah satunya Poisson Inverse Gaussian. Metode ini sudah diuji dan diteliti pada tahun 1992, dengan menggunakan dan membandingkan dengan data yang ada pada tahun 1985. Dan hasilnya lebih baik dibandingkan metode yang dipakai pada tahun 1985, yaitu metode distribusi Negative Binomial. Meskipun sedikit lebih rumit dengan tingkat variabel yang lebih banyak. Namun hasil yang lebih akurat sangatlah menjadi pertimbangan untuk memakai metode ini (Tremblay, 1992). Poisson-Exponential sendiri banyak dipakai dan telah teruji keakuratannya untuk memperkirakan jumlah kelas yang tidak diketahui. Sebagaimana sudah dijelaskan di atas, jumlah kelas yang dipakai dalam Bonus-Malus cukup banyak, sehingga untuk memakai metode distribusi ini sangat dianjurkan. Tujuan akhir untuk memakai Mixed Exponential ini adalah untuk mencapai nilai yang maksimal pada segala kemungkinan yang ada (Jo & Barger, 2006). Penelitian ini sendiri akan mengupas bahasan dasar dari Bonus-Malus klasik, dengan penurunan rumus yang lebih rinci dan penjelasan lebih rinci mengenai fungsi Quadratic Error Loss yang digunakan dalam memperkirakan parameter-parameter yang dibutuhkan dalam Bonus-Malus. Dan juga penelitian ini akan membandingkan loss ratio yang diperoleh antara sistem asuransi non-life yang sekarang dengan sistem Bonus-Malus klasik ini. Disertai dengan program untuk menghitung premi risikonya berdasarkan kedua formula yang sudah didapatkan.
METODOLOGI PENELITIAN Metode penelitian dalam penelitian ini dibagi menjadi 2 yaitu : 1.
Metode pengumpulan data Metode pengumpulan data yang digunakan yaitu : a. Studi Literatur Melakukan studi literatur pada buku, artikel online, dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian sebagai dasar untuk mendapatkan landasan dasar penulisan penelitian ini. b. Kuisioner Metode pengumpulan data jenis ini dilakukan dengan cara membagikan kuisioner kepada sejumlah responden. Kuisioner berisi pertanyaan yang berkaitan dengan sistem yang sedang dibangun. c. Wawancara Metode pengumpulan data jenis ini dilakukan dengan cara menanyakan secara langsung pertanyaan yang telah disiapkan sebelumnya. Pertanyaannya diajukan kepada salah seorang pegawai di PT Garda Oto dimana berkaitan dengan sistem yang sedang dibangun.
2.
Metode Pengembangan piranti lunak Metode pengembangan peranti lunak yang digunakan untuk membangun aplikasi ini adalah extreme programming. Tahap-tahap pada extreme programming adalah sebagai berikut (Pressman, 2011:73-77): a. Perencanaan Tahap perencanaan, yaitu sebuah cara pengumpulan kebutuhan yang memungkinkan anggota teknikal tim XP untuk mengerti konteks bisnis untuk piranti lunak dan mendapatkan wawasan yang luas untuk hasil yang dibutuhkan dan fitur utama serta fungsionalitas. Proses mendengarkan akan mengarahkan pada pembuatan “cerita” yang menggambarkan kebutuhan akan hasil, fitur, dan fungsionalitas piranti lunak yang akan dibuat.
b.
Perancangan Perancangan XP mengikuti prinsip “Keep It Simple” (KIS). Desain yang sederhana selalu lebih dipilih dibandingkan dengan yang kompleks. Apabila ditemukan masalah perancangan yang sulit sebagai bagian dari perancangan cerita, XP merekomendasikan untuk membuat prototype operasional dari perancangan tersebut dengan segera. Dikenal sebagai spike solution, rancangan prototype diimplementasikan dan dievaluasi. Tujuannya adalah agar mengurangi risiko saat pengimplementasian yang sesungguhnya dimulai dan untuk memastikan perkiraan asli untuk cerita yang mengandung masalah perancangan.
c.
Coding Tahap ini akan dilakukan setelah pembuatan user stories dan perancangan pendahuluan selesai dibuat, serta dilanjutkan dengan pengembangan urutan pengujian unit pada user stories yang akan dimasukkan kedalam rilis. Pengembang sebaiknya memfokuskan pada hal yang akan diimplementasikan untuk melewati pengujian, setelah pengujian unit dibuat, sehingga akan dihasilkan umpan balik langsung bagi pengembang, konsep utama selama coding adalah pair programming, yaitu proses pembuatan kode untuk user stories yang dilakukan oleh dua orang secara bersama-sama. Hal ini menyediakan mekanisme untuk pemecahan masalah, penjaminan kualitas pada saat pengerjaan, dan membuat pengembang tetap fokus pada permasalahan yang ada. Pada tahap ini juga dilakukan refactoring. Refactoring memungkinkan pengembang aplikasi untuk meningkatkan struktur internal dari desain (source code) tanpa mengubah sifat atau fungsionalitas eksternal. Dengan kata lain refactoring dapat digunakan untuk meningkatkan efisiensi, kemampuan dibaca, atau performa dari desain atau code yang mengimplementasikan desain.
d.
Pengujian Pengujian unit yang dibuat sebelum coding dimulai adalah elemen kunci untuk pendekatan dalam XP. Pengujian unit yang dibuat harus diimplementasikan menggunakan framework yang memungkinkan pengujian unit dilakukan secara otomatis. Hal ini mendorong sebuah strategi pengujian regresi setiap saat kode diubah. Integrasi dan pengujian validasi dari sistem dapat terjadi secara harian karena pengujian unit secara individu diorganisasikan menjadi “universal testing suite”. Hal ini menyediakan indikasi dari kemajuan yang didapat dan juga memberikan peringatan dini terhadap kesalahan yg terjadi kepada tim XP. XP acceptance tests, yang disebut juga pengujian klien, ditentukan oleh klien dan berfokus pada keseluruhan fitur sistem dan fungsionalitas yang terlihat dan dapat diulas kembali oleh klien. Acceptance tests diperoleh dari cerita pengguna yang telah diimplementasikan sebagai bagian dari piranti lunak yang dirilis.
HASIL DAN BAHASAN Rumus yang digunakan dalam menghitung premi dengan menggunakan Bonus-Malus : a.
Poisson-Exponential (Sebaran Geometri) Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat t = 0 dinyatakan dengan , maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi pada tahun t + 1, dengan jumlah klaim di tahun t sebanyak K adalah :
b.
Poisson-Gamma (Sebaran Binomial-Negatif)
Jika diasumsikan premi risiko awal pada saat t = 0 dinyatakan dengan , maka premi risiko yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis asuransi pada tahun t + 1, dengan jumlah klaim di tahun t sebanyak K adalah :
Estimasi Nilai dari Parameter
dan
Estimasi Nilai Parameter Parameter adalah parameter dari sebaran Exponential yang merupakan sebaran dari frekuensi klaim pada Bonus-Malus klasik berdistribusi Geometri. Untuk memperkirakan nilai diperlukan data-data pemegang polis berupa frekuensi klaim. Dari data pemegang polis yang ada berjumlah 585 data, diambil sample menggunakan Metode Slovin dengan tingkat kesalahan 10%, (0.1) sehingga jumlah sample yang diambil berjumlah 86 data, dengan rincian : Tabel 1 Tabel Frekuensi Klaim 1 Frekuensi Klaim (K) Jumlah Data 0
23
1
18
2
16
3
11
4
10
5
8
Total
86
Di dalam R, bila sebuah variabel x berdistribusi Exponential maka bentuk fungsi kepekatan peluangnya adalah
x berdistribusi Exponential dengan parameter yang merupakan rate parameter. Fungsi fitdistr di R yang berada di library MASS akan memberikan nilai dari rate parameter yang didapat dengan menggunakan metode Maximum Likelihood. Berikut ini adalah prosedur pencariannya : 1.
Memasukan Data di tabel 1 kedalam variabel x :
2.
Menggunakan fungsi fitdistr untuk menghitung rate parameter
Berdasarkan hasil di atas, maka nilai
= 0,5276 dan
= 1,89.
Estimasi Nilai Parameter Parameter adalah parameter dari sebaran Gamma yang merupakan sebaran dari frekuensi klaim pada Bonus-Malus klasik berdistribusi Binomial Negatif. Untuk memperkirakan nilai diperlukan data-data pemegang polis berupa frekuensi klaim.
Dari data pemegang polis yang ada berjumlah 585 data, diambil sample menggunakan Metode Slovin dengan tingkat kesalahan 10%, (0.1) sehingga jumlah sample yang diambil berjumlah 86 data, dengan rincian :
Tabel 2 Tabel Frekuensi Klaim 2 Frekuensi Klaim (K) Jumlah Data 0
23
1
18
2
16
3
11
4
10
5
8
Total
86
Dengan menggunakan metode maximum likelihood, fungsi kepekatan peluang untuk sebaran Gamma :
Mean dari distribusi Gamma sesuai dengan: Sesuai dengan persamaan diatas, nilai mean dari sebaran Gamma adalah :
Varians dari sebaran Gamma (Hogg & Craig, 2005:151) : Mencari nilai
dari varians dan mean :
Subtitusikan persamaan diatas, sehingga didapat : Merubah persamaan ke dalam bentuk
Karena
:
, subtitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat :
Nilai parameter dan akan dicari dengan menggunakan R. Berikut ini adalah proses pencariannya : 1. Memasukan Data di tabel 2 kedalam variabel x :
2. Menghitung nilai mean dan varians :
3. Memasukkan nilai mean ke dalam variabel mu, dan memasukkan nilai varians ke dalam variabel v, menentukan formula parameter dan sesuai dengan persamaan terakhir:
Berdasarkan hasil di atas, maka nilai
= 1.31 dan
= 1.44.
Perancangan Aplikasi
Use Case Diagram User User dapat melakukan fungsi login. Selain login, user dapat melakukan beberapa hal, diantaranya adalah sebagai berikut : 1.
Use Calculator yang berfungsi untuk menghitung nilai premi sesuai dengan data-data yang sudah dimasukan oleh user kemudian menjabarkan hasilnya dalam bentuk tabel (Count premium). Data-data yang dimasukan akan dihitung dengan rumus yang sudah dijabarkan sebelumnya. Data-data ini akan disimpan ke database dan akan dikemas dalam bentuk tabel yang dapat di-import ke dalam berkas Microsoft Excel.
2.
Open Policy Holder Database, berfungsi sebagai tempat penyimpanan data-data yang sudah diinput oleh user. User dapat mengubah, menambahkan, dan mengurangi data-data yang sudah disimpan.
3.
View info about Bonus-Malus, berfungsi untuk mengedukasi user mengenai sistem Bonus-Malus klasik,
4.
View calculator’s guide berfungsi sebagai panduan untuk menggunakan fungsi calculator.
5.
Log out, berfungsi untuk mengeluarkan user dari aplikasi dan kembali ke fungsi login kembali.
Simulasi dan Pembahasan Pada simulasi program, program akan diuji menggunakan 2 data yang didapat dari perusahaan jasa asuransi kendaraan bermotor di Indonesia.
1.
Data dengan frekuensi klaim bernilai 0 Tabel 3 Data Pemegang Polis 1 Data Pemegang Polis Nomor Pemegang Polis
0903646939
Nama Pemegang Polis
Aulia Danardana
Premi Awal
Rp 6.062.250,00
Jumlah Tahun
4
Jumlah Klaim
0
Claim Ratio
0%
Severity
Rp 0,-
Data yang dipakai dalam perhitungan dengan menggunakan aplikasi : Tabel 4 Tabel Perhitungan Poisson-Exponential 1 Data Perhitungan Nomor Pemegang Polis
0903646939
Nama Pemegang Polis
Aulia Danardana
Premi Awal
Rp 6.062.250,00
Jumlah Tahun
4
Rata-rata klaim / tahun
1,89
Tabel 5 Tabel Perhitungan Poisson-Gamma Data Perhitungan Nomor Polis
Pemegang
0903646939
Nama Pemegang Polis
Aulia Danardana
Premi Awal
Rp 6.062.250,00
Jumlah Tahun
4
Rata-rata klaim / tahun
1,31
Alpha
1,44
Tabel 6 Tabel Poisson-Exponential Percobaan 1 Claim/Time 0 1
Rp3.964.585
2
Rp2.945.411
3
Rp2.343.078
Tabel 7 Tabel Poisson-Gamma Percobaan 1 Claim/Time 0 1
Rp4.158.483
2
Rp2.729.314
3
Rp2.031.230
Dari data di atas, akan dibandingkan dengan jumlah premi yang dibayar oleh pemegang polis setiap tahunnya dalam 3 tahun berikutnya : Tabel 8 Tabel Perbandingan Nilai Premi Percobaan 1 Tahun kePoisson – Gamma Poisson – Exponential Old System 2
Rp4.158.483
Rp3.964.585
Rp4.849.800
3
Rp2.729.314
Rp2.945.411
Rp4.849.800
4
Rp2.031.230
Rp2.343.078
Rp4.531.275
Total
Rp8.919.027
Rp9.253.074
Rp14.230.875
Dari data di atas, terlihat bahwa dengan sistem yang lama, pemegang polis akan membayar premi lebih mahal dibanding dengan kedua sistem Bonus-Malus klasik. Hal ini tentunya dapat diperhitungkan oleh pemegang polis karena selisih yang cukup jauh dapat menguntungkan bagi pemegang polis. Sedangkan di sisi perusahaan tidak mengalami kerugian apapun, karena rasio klaim yang bernilai 0%, laba yang diperolah murni 100% sesuai dengan nilai premi yang dibayarkan oleh pemegang polis. 2.
Data dengan frekuensi klaim bernilai 3 Tabel 9 Data Pemegang Polis 2 Data Pemegang Polis Nomor Pemegang Polis
1005845118
Nama Pemegang Polis
Drs. Abdul Chair, M.Si
Premi Awal
Rp 5.202.325,00
Jumlah Tahun
3
Jumlah Klaim
3
Claim Ratio
131,95320%
Severity
Rp 19.034.097,00
Klaim di tahun ke -
2
Data yang dipakai dalam perhitungan dengan menggunakan aplikasi : Tabel 10 Perhitungan Poisson-Exponential 2
Data Perhitungan Nomor Pemegang Polis
1005845118
Nama Pemegang Polis
Drs. Abdul Chair, M.Si
Premi Awal
Rp 5.202.325,00
Jumlah Tahun
3
Rata-rata klaim / tahun
1,89
Tabel 11 Perhitungan Poisson-Gamma 2 Data Perhitungan
Claim/Time
Nomor Pemegang Polis
1005845118
Nama Pemegang Polis
Drs. Abdul Chair, M.Si
Premi Awal
Rp 5.202.325,00
Jumlah Tahun
3
Rata-rata klaim / tahun
1,31
Alpha
1,44
Tabel 12 Tabel Poisson-Exponential Percobaan 2 0 1 2 3
1
Rp3.402.212
Rp6.804.425
Rp10.206.637
Rp13.608.850
2
Rp2.527.607
Rp5.055.215
Rp7.582.823
Rp10.110.431
Claim/Time
Tabel 13 Tabel Poisson-Gamma Percobaan 2 0 1 2 3
1
Rp3.568.605
Rp6.046.804
Rp8.525.002
Rp11.003.201
2
Rp2.342.163
Rp3.968.666
Rp5.595.168
Rp7.221.671
Dari data di atas, akan dibandingkan dengan jumlah premi yang dibayar oleh pemegang polis setiap tahunnya dalam 2 tahun berikutnya : Tabel 14 Tabel Perbandingan Nilai Premi Percobaan 2 Tahun ke - Poisson – Gamma Poisson – Exponential Old System
2
Rp3.568.605
Rp3.402.212
Rp4.444.020
3
Rp7.221.671
Rp10.110.431
Rp4.444.020
Total
Rp10.790.276
Rp13.512.643
Rp8.888.040
Untuk melihat laba/rugi, total premi di atas harus ditambah dengan premi awal dan dikurangi dengan severity yang dilakukan oleh pemegang polis.
Tabel 15 Tabel Laba/Rugi Percobaan 3 Poisson – Gamma Poisson – Exponential Old System Total Premi
Rp15.992.601
Rp18.714.968
Rp14.420.365
Claim Severity
Rp19.034.097
Rp19.034.097
Rp19.034.097
Laba/Rugi
(-)Rp3.041.496
(-)Rp.319.129
(-)Rp4.613.732
Dari data di atas, perusahaan asuransi akan dapat mengurangi nilai piutang dalam jumlah yang cukup besar jika menerapkan sistem bonus-malus klasik.
SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan penelitian yang sudah dilakukan maka didapatkan beberapa kesimpulan yaitu 1. Sistem Bonus-Malus klasik dapat menghasilkan perhitungan premi risiko secara optimal dan adil. 2. Dalam menghadapi klaim yang cukup besar, distribusi Poisson-Exponential dapat meminimalisasi jumlah kerugian yang diderita oleh perusahaan. Sedangkan distribusi PoissonGamma akan meminimalisasi jumlah premi yang harus dibayar oleh pemegang polis kepada perusahaan penyedia jasa asuransi. 3. Aplikasi yang sudah dibuat sangat membantu dalam menghitung nilai premi dari setiap pemegang polis. Hasil yang cepat dan akurat, serta kemudahan navigasi dalam pemakaiannya membuat aplikasi ini dapat dipercaya sebagai pengambil keputusan untuk menentukan nilai premi risiko. 4. Terdapat perbedaan yang cukup signifikan pada loss-ratio pada produk jasa asuransi non-life jika menerapkan sistem Bonus-Malus. Perusahaan tidak akan dirugikan ketika menerapkan sistem ini. Beberapa saran yang dapat diajukan untuk penelitian dan pengembangan penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut: 1. Untuk penelitian selanjutnya, disarankan peneliti dapat menyempurnakan rumus yang sudah ada agar dapat menghasilkan nilai premi risiko yang lebih optimal dan seimbang. 2. Untuk penelitian selanjutnya, diharapkan peneliti selanjutnya dapat memasukkan faktor-faktor lainnya yang dapat menyebabkan kenaikan atau penurunan harga premi. 3. Untuk pengembangan aplikasi selanjutnya, aplikasi yang digunakan dapat mensimulasikan perhitungan sistem Bonus-Malus secara lebih terperinci.
REFRENSI Arnold, S. F. (1990). Mathematical Statistics. New Jersey: Prentice Hall,Inc. Bain, J. L., & Max, E. (2000). Introduction to Probability and Mathematical Statistics (2nd ed.). Boston: Cengage Learning. Barger, K. J.-A. (2006). Mixtures of Exponential Distributions to Describe The Distribution of Poisson Means in Estimating The Number of Unobserved Classes. New York: Cornell University. Barreto-Souza, W., & Cribari-Neto, F. (2009). A Generalization of The Exponential-Poisson Distribution. Satistics & Probability Letters, 79(24), 2493-2500.
Coene, G., & Doray, L. G. (1996). A Financially Balanced Bonus-Malus System. ASTIN Bulletin, 26(1), 107-116. Deitel, P., & Deitel, H. (2012). C++ How to Program (9th ed.). USA: Pearson Prentice Hall. Deitel, P., & Deitel, H. (2012). Visual C# 2012 How to Program. USA: Pearson Prentice Hall. Diningrum, T., Wilandari, Y., & Santoso, R. (2012). Model Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixed Poisson. Jurnal Gaussian, 1(1), 229-240. Djojoseodarso, S. (2003). Prinsip-Prinsip Manajemen Resiko Asuransi. Jakarta: Salemba Empat. Effendi, H. (1994). Model Distribusi Kecelakaan Lalu Lintas Jalan Raya di Wilayah Hukum Poltabes Semarang Uji Kecocokan Chi Kuadrat. Semarang: Diponegoro University. Frangos, N. E., & Vrontos, S. D. (2001). Design of Optimal Bonus-Malus Systems with a Frequency and a Severity Component on an Individual Basis in Automobile Insurance. ASTIN Bulletin, 31(1), 1-22. Ghahramani, S. (2005). Fundamentals of Probability (3rd ed.). New Jersey: Prentice Hall,Inc. Grimmet, G., & Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). New York: Clarendon Press.Oxford. Hogg, R., & Craig, A. (2005). Introduction to Mathematical Statistics (6th ed.). New jersey: Prentice Hall, Inc. Ibiwoye, A., Adeleke, I. A., & Aduloju, S. A. (2011, October). Quest for Optimal Bonus-Malus in Automobile Insurance in Developing Economies: An Actuarial Perspective. International Business Research, 4(4), 74-84. Lemaire, J. (1999). Bonus-Malus Systems: The European and Asian Approach to Merit-Rating. North American Actuarial Journal, 2(1), 26-55. Lemaire, J., & Zi, H. (1994). A Comparative Analysis of 30 Bonus-Malus Systems. ASTIN Bulletin, 24(2), 287-311. Mahmoudvand, R., & Hassani, H. (2009). Generalized Bonus-Malus Systems with a Frequency and a Severity Component on an Individual Basis in Automobile Insurance. ASTIN Bulletin, 39(1), 307-315. Mamhmoudvand, R., Edalati, A., & Shokoohi, F. (2013). Bonus-Malus System in Iran: An Empirical Evaluation. Journal of Data Science, 11, 29-41. Mert, M., & Saykat, Y. (2005). On A Bonus-Malus System where The Claim Frequency Distribution is Geometric and The Claim Severity Distribution is Pareto. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 75-81. Mulyadi. (2001). Sistem Akuntansi. Jakarta: Salemba Empat. Munawir. (2002). Analisa Laporan Keuangan. Yogyakarta: Liberty. Nilawati, A. R. (2009, October 10). Gunadarma. Diambil kembali dari Gunadarma Staff: http://rama.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/14921/2+definisi+dan+simbol+Flowchart.pdf Pitrebois, S., Walhin, J.-F., & Denuit, M. (2005). Bonus-Malus Systems with Varying Deductibles. ASTIN Bulletin, 35(1), 261-276. Pressman, R. S. (2011). Software Engineering: A Practitioners Approach (7th ed.). New York: McGrawHill Science. Pril, N. D. (1978). The Efficiency of A Bonus-Malus System. ASTIN Bulletin, 10(1), 59-72. Sevilla, C. G., Ochave, J. A., Punsalan, T. G., Regala, B. P., & Uriarte, G. G. (1984). An Introduction to Research Methods. Quezon City: Rex Printing Company. Shneiderman, B., & Plaisant, C. (2010). Designing The User Interface (6th ed.). Boston: Pearson. Tremblay, L. (1992). Using The Poisson Inverse Gaussian in Bonus-Malus Systems. ASTIN Bulletin, 22(1), 97-106. Venables, W. N., & Smith, D. M. (2009). An Introduction to R (2nd ed.). United Kingdom: Network Theory Limited. Whitehead, G. H. (1991). No Claim Discount or Bonus-Malus Systems In Europe. CAS Discussion Papers, 305-387. Whitten, J. L., & Bentley, L. D. (2007). System Analysis and Design for The Global Enterprise (7th ed.). California: Irwin/McGraw-Hill.
RIWAYAT PENULIS
Denny Natanael Wijaya lahir di kota Palembang pada 18 Desember 1990. Penulis menamatkan pendidikan S1 di Universitas Bina Nusantara dalam bidang ilmu Teknik Informatika dan Matematika pada tahun 2013.
