SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN SUDUT DAN SISI PADA SEGITIGA SPHERIS TUGAS AKHIR

SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN SUDUT DAN SISI PADA SEGITIGA SPHERIS

TUGAS AKHIR

Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh MELLYSA PUTRI ANGGRAINI NIM. 01822

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2012

Alhamdulillahirobbil’alamin..... Dengan rasa syukur yang besar dan sujud yang dalam kepada-Nya, Rabb semesta alam di mana hanya kepada-Nya segala mahluk dan elemen-elemen di bumi senantiasa mentasbihkan asma-Nya melalui hembusan angin, derak ranting hingga rinai hujan. Atas limpahan rahmat, Karunia dan Kasih sayang-Nya kita masih memiliki energi untuk dapat bergerak secara sinergis sehingga Penulis dapat berdiri tegar dan menyelesaikan tulisan sedehana ini. Kupersembahkan totalitas usaha, Karya, dan buah Pikiranku ini untuk kedua orang tua ku. Papa dan Mama tersayang,

Tiap tetes peluh, tiap gores luka, tiap detik perjuangan untuk gadis kecil mu ini menjadi saksi penuh cinta dihadapanNya atas hak mu akan surga…. Terimakasih pa.. Kau motivator dalam hidupku, Belahan jiwa yang selalu mencukupi segala kebutuhanku dengan keringatmu. Walau kini tak dapat lagi melihat sosokmu, tapi selalu hadir dalam anganku. Maaf diakhir pertemuan kita, belum sempat membuat mu bangga. Terimakasih ma, Kau merupakan kampus peradaban pertamaku, mengajarkanku mengeja arti kehidupan. Nasihatmu memberi kekuatan untukku, rangkulanmu menjadi penyangga kerapuhanku, untuk menapaki hari-hari penuh liku. Terimakasih ma,telah mencurahkan hati, perasaan, kasih sayang, waktu dan tenaga, memberikan motivasi, bimbingan dan mengingatkanku selama ini, terimakasih atas do’a yang selalu mengiringi setiap langkahku, serta menjadikan semangat untuk melangkah demi masa depan. Setiap langkahku adalah untuk membuat Papa dan Mama selalu bangga.

Saudara-ku Uda Ary, kakak laki-laki tertua sekaligus saudara kandungku satu-satunya, Magnet senama yang tolak menolak selalu menjadi perumpamaan yang terlintas dalam pikiranku, tidak pernah sejalan dan ada saja kandungan ion-ion negatif dari elektromagnetik sehingga selalu saja ada perselisihan kecil antara kita. Kata maaf adalah kata yang paling ingin terlontar dari mulutku. Maaf da, karena selalu merepotkan, menyebalkan, atau menjadi beban yang hidup yang tidak bisa dilipat atau disimpan sekadar di saku celana agar diam dan tidak berisik. makasi ya da, Nasehat uda selalu memberikan dorongan dan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini. Mudah-mudahan kita dapat menjadi anak yang sholeh dan sholehah yang dapat membuat papa dan mama bangga serta menjadi tabungan amal untuk beliau nantinya. Kakak iparku,”kak Ayu. Makasi buat support dan nasehat kakak, Makasi sepatunya ya kak. Hehe. Di tunggu Ponakannya ya kak.... Kepada Oma dan Nenek ,”terimakasih atas kelembutan hati dan kasih sayangnya. Kepada pak etek n etek Mus (terimakasih untuk semua nasehat, perhatian dan motivasi yang membuatku optimis dalam menghadapi impian), Uci ( Insyaallah Oktober nanti wisudanya lancar ya ci, capek baralek ya Ci.. Haha..), Anduang labor, Anduang khatib, Pa kak iya n Ma kak iya, Mak itam, Mak utiah, Mak Uniang, Uncu, semua keluaga Bako dan Smua Sepupu (terimakasih atas nasehat, perhatian dan dukungannya selama ini).

Untuk yang luar biasa,” dosen-dosen ku Pak Yusmet, terimakasih kepada bapak selaku dosen pembimbing utama yang senantiasa rela memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan, bantuan, motivasi, arahan serta doa dalam penyusunan skripsi ini dari awal sampai akhir. Buk Helma, terimakasih bu untuk semuanya, ibu Tidak pernah bosan memberikan bimbingan, arahan, saran, support serta kritik. Terimakasih atas nasehat yang selaluku rindukan, mengajarkan ku bagaimana makna kehidupan sesungguhnya,,, mudah-mudahan icha bisa lebih banyak belajar lagi ya bu. Do’a kan icha bu... Sekali lagi, Terimakasih untuk ilmu yang luar biasa indah yang sudah ibu berikan.

Pak Atus, bu Dewi, dan bu Mirna, terimakasih untuk semua arahan, masukan, dan nasehat yang telah bapak/ibu berikan.

Untuk orang-orang yang selalu memotivasiku Teman-teman terbaikku Matematika 2008. Untuk semua teman-teman calon wisudawan sept2012. Nurhaida (terimakasih untuk semua bantuan eda,bercerita dengan eda mmbuat hati tenang), pipit ( teman bercerita wejangan yang baik.hehe), ilen (makasih untuk do’a penenang yang ilen ajarkan), reni( makasi untuk wawasan yang reni berikan), winda, Tika, fani, sivia n Fanez (mudah2an kita dapat membawa kesuksesan ditangan masing-masing, Amin....), Kak beti( dari kakak icha banyak belajar kesabaran yang sesugguhnya). Sahabat-sahabatku yang akan menyusul insyaAllah di bulan maret nanti, Sorta Purnawanti,” makasi untuk semua bantuan ta selama penulisan skripsi ini. Cepat nyusul ya ta. icha doakan. Venny n Iyank,” ( makasi lah nio jadi seksi konsumsi dalam acara sminar n kompre ca kemaren.... hehe. Kalau ndak do kalian mungkin lah kalang kabut ca ma. Bilo waq karokean lae??? Haha.), nina ( maaf ya na, ca sering ngrepotin nina aja), minori (alias lusi),mia, nova (udah dapat judulnya va???), yesi,Ika Queen, ika jubir, Elvi, radi ( Keep spirit yo ya,, jgn lupakan bisnis kita), rahma, selly, fifi, yongki, riki (makasih buat semua bantuannya ya ki..), kokom (alias Hari), arif, ridho, Hendri, Musfil ( terimakasih teman, kesuksesan menanti kita semua). Terimakasih untuk senior Math 2007 yang mengajarkanku segala hal tentang penulisan skripsi ini, kak vivi (makasi Ppt nya ya kak), da Zet (makasi untuk semua nasehat uda 4 tahun ini da), bg Farid (terimakasih masukannya bg, masukan abg juga menjadi salah satu bekal dalam menghadapi kompre). Math 2009, khususnya wimi n fera ( semangat ya dek, skripsi menanti kalian.. Fighting !), Math 2010 dan generasi selanjutnya.

Spesial to Seseorang yang selalu ada saat ku butuhkan, motivator pribadi, mengungkapkan segala resah gulana, kegelisahan, setumpuk permasalahan, meminta advice, bantuan, serta selalu memberikan dukungan dan semangat. Nasehat dan saran yang kamu berikan adalah hal yang menolong dan membuatku tersadar untuk berusaha lebih baik.

Kalimat penenang yang kamu berikan adalah hal yang membuatku dapat bangkit dan tidak takut lagi ketika berbagai tamparan dan teguran menghampiriku dan membuatku merasa putus asa. Terimakasih atas kesabaran dan kesetiaanmu mendampingiku dalam penulisan skripsi ini.Thank you for being who you are and for being with me. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat. Jika hidup bisa kuceritakan di atas kertas, entah berapa banyak yang dibutuhkan hanya untuk kuucapkan terima kasih.

Padang, 29 Agustus 2012

Mellysa Putri Anggraini

ABSTRAK Mellysa Putri Anggraini : Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut Dan Sisi Pada Segitiga Spheris Segitiga Spheris terbentuk dari suatu bagian permukaan bola yang diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola. Besaran sisi pada Segitiga Spheris dinyatakan dalam sudut atau radian. Pada Segitiga Euclid terdapat sifat-sifat dan aturan-aturan seperti aturan sinus, cosinus dan rumus sudut. Berdasarkan hal ini, dilakukan penelitian yang bertujuan untuk mengkaji sifat-sifat pada Segitiga Spheris, khususnya yang berhubungan dengan sudut dan sisi. Penelitian ini merupakan penelitian dasar (teoritis). Metode yang digunakan adalah metode deskriptif dengan menganalisis teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dan berlandaskan kepada studi kepustakaan. Berdasarkan hasil studi kepustakaan yang dilakukan, maka didapatkan sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris yaitu 1. Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris a. Jika panjang dua sisi sama, maka besar sudut di depan kedua sisi tersebut juga sama dan sebaliknya b. Aturan sinus yaitu : c. Aturan cosinus untuk sisi yaitu : d. Aturan cosinus untuk sudut yaitu : 2. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga Spheris a. Jumlah dari dua sisi lebih besar dari sisi ketiga b. Jumlah ketiga sisi kurang dari c. Rumus

Sudut yaitu

3. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga Spheris 1. Jumlah ketiga sudut lebih dari dan kurang dari 2. Rumus

sisi yaitu ,

Beserta metode segitiga siku-siku yang digunakan untuk solusi alternatif dalam menyelesaikan kasus-kasus yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris . i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut dan sisi Pada Segitiga Spheris ”. Tugas akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Padang. Dalam menyelesaikan tugas akhir ini penulis banyak mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada : 1.

Bapak Drs. Yusmet Rizal, M.Si. Pembimbing I dan Penasehat Akademik.

2.

Ibu Dra. Hj. Helma, M.Si. Pembimbing II.

3.

Bapak Drs. Atus Amadi Putra, M.Si, Ibu Dra. Dewi Murni, M.Si, dan Ibu Mirna, S.Pd., M.Pd, Tim Penguji pada Tugas Akhir ini.

4.

Ibu Dr. Armiati, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNP.

5.

Bapak Muhammad Subhan, M. Si, Sekretaris jurusan dan Ketua Prodi Matematika FMIPA UNP.

6.

Bapak dan Ibu staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA UNP

7.

Seluruh Staf Administrasi dan Staf Labor Komputer Matematika FMIPA UNP.

8.

Rekan-rekan serta semua pihak yang telah ikut berpartisipasi membantu dalam menyelesaikan tugas akhir ini. ii

Semoga segala bimbingan, bantuan dan motivasi yang telah diberikan menjadi amal ibadah dan mendapat balasan di sisi-Nya. Amin. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritikan dan saran yang sifatnya membangun demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca.

Padang, Juli 2012

Penulis

iii

DAFTAR ISI Halaman i

ABSTRAK KATA PENGANTAR ……………………………………………………….

ii

DAFTAR ISI……………………………………………………….................

iv

DAFTAR GAMBAR………………………………………………………….

vi

DAFTAR LAMPIRAN………………………………………………………..

vii

BAB I

PENDAHULUAN. A. Latar Belakang…………………………………………………...

1

B. Rumusan Masalah……………………………………………......

4

C. Tujuan Penelitian………………………………………………...

5

D. Manfaat Penelitian………. ……………………………………...

5

E. Metodologi Penelitian……………………………………………

5

BAB II KAJIAN TEORI A. Segitiga Euclid…………………………………………………...

7

1.

Sifat Dasar Segitiga Euclid………………………………….

9

2.

Rumus Sudut Rangkap Pada Segitiga Euclid………………

10

3.

Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid…………………………

10

4.

Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid………………………

11

5.

Aturan Sudut Pada Segitiga Euclid………………………

11

B. Segitiga Spheris………………………………………………….. 1.

Sudut Dihedral………………………………………………

2.

Sudut Trihedral………………………………………………

3.

Segitiga Siku-Siku Spheris…………………………………

13 13 15 15

BAB III PEMBAHASAN A. Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut dan Sisi pada Segitiga Spheris…………………………………………………

22

1. Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris…………………………………………….. iv

22

13

2. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga Spheris…...…………………………………………………

28

3. Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga Spheris...……………………………………………………

33

B. Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga Spheris…………………………………………………………

37

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan………………………………………………………..

47

B. Saran………………………………………………………………

49

DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………………

50

LAMPIRAN…………………………………………………………………...

51

v

DAFTAR GAMBAR Gambar

Hal

1. Lingkaran Besar dan Lingkaran Kecil ........................................................

2

2. Sudut Spheris ..............................................................................................

2

3. Segitiga Spheris ...........................................................................................

3

4. Sudut Trihedral ............................................................................................

4

5. Segitiga Euclid Sebarang ............................................................................

7

6. Segitga Euclid .............................................................................................

8

7. Segitga Spheris ............................................................................................

13

8. Sudut Dihedral ............................................................................................

14

9. Sudut Trihedral ............................................................................................

15

10. Segitiga Siku-siku Spheris ........................................................................

16

11. Proyeksi Segitiga Siku-siku Spheris .........................................................

16

12. Segitiga Polar ............................................................................................

20

13. Segitiga Spheris .........................................................................................

22


23


24

16. Sudut Trihedral ..........................................................................................

28

17. Sudut Trihedral ..........................................................................................

29


38


38

20. Segitiga Euclid ..........................................................................................

51

21. Segitiga Euclid ..........................................................................................

52

vi

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran

Hal

1. Bukti Teorema 1 ......................................................................................

51

2. Bukti Teorema 2 ......................................................................................

52

3. Bukti Teorema 3 ......................................................................................

53

4. Bukti Sifat Dasar pada Segitiga Euclid ....................................................

54

5. Bukti Aturan Sinus pada Segitiga Euclid ................................................

59

6. Bukti Aturan Cosinus pada Segitiga Euclid ............................................

61

vii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Pada Geometri Euclid dikenal berbagai macam segitiga. Menurut Kusno (2004:71), pada Geometri Euclid, segitiga merupakan gabungan tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang. Berdasarkan besar sudut yang dimilikinya, terdapat segitiga lancip, segitiga siku-siku, segitiga tumpul dan segitiga sembarang. Berdasarkan sisinya, terdapat segitiga sama kaki, segitiga sebarang dan segitiga sama sisi. Pada Geometri Spheris dikenal dengan Segitiga Spheris. Adapun Geometri Spheris merupakan geometri yang mengkaji mengenai permukaan suatu bola (Brannan dkk.,1999:328). Menurut Kusno (2004:209), apabila sebuah bola dipotong oleh sebuah bidang, maka akan membentuk sebuah lingkaran. Lingkaran akibat perpotongan bola oleh bidang ini dibedakan atas dua jenis yaitu lingkaran besar dan lingkaran kecil. Lingkaran besar merupakan lingkaran yang terbentuk dari perpotongan bidang melewati pusat bola. Sebaliknya, jika tidak memotong pusat bola disebut lingkaran kecil. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 1. Misalkan O pusat sebuah bola, perpotongan bola oleh bidang melewati pusat

membentuk lingkaran besar

tidak melewati pusat O membentuk lingkaran kecil

1

yang

. Sebaliknya, bidang .

2

Lingkaran Kecil

K

l

Lingkaran Besar Gambar 1. Lingkaran Besar dan Lingkaran Kecil Menurut Ayres (1954:147), kutup dari sebuah lingkaran adalah dua titik perpotongan bola dengan diameter yang tegak lurus bidang lingkaran. Dengan demikian, Kutub dari lingkaran besar adalah

dan

.

dan

merupakan kutub untuk semua lingkaran kecil

yang sejajar dengan bidang . Akan tetapi lingkaran besar

dan lingkaran kecil

dan

hanya kutub untuk satu

.

Sudut yang terbentuk dari perpotongan dua busur lingkaran besar pada bola disebut sudut spheris (Ayres,1954:147). Dimana busur-busur lingkaran besar merupakan sisi dari sudut spheris. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 2.

Gambar 2. Sudut Spheris

3

merupakan sudut spheris pada bola dengan pusat O yang diperoleh dari perpotongan busur

dan

. Sudut spheris diukur dengan

sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang AOP dan BOP. Penjelasan mengenai sudut dihedral dapat dilihat pada Bab II. Menurut Ayres (1954:148), apabila suatu bagian dari permukaan bola diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola, maka dapat membentuk segitiga spheris. Segmen busur yang membatasi segitiga tersebut disebut sisi dan titik sudut spheris yang terbentuk merupakan titik sudut dari segitiga spheris.

Segitiga Spheris

Gambar 3. Segitiga Spheris Titik sudut Segitiga Spheris biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, misal sudut kecil seperti

dan untuk sisi-sisinya dilambangkan dengan huruf . Apabila titik sudut

dan

dari segitiga spheris

(Gambar 3.) dihubungkan dengan pusat bola, maka akan terbentuk sudut trihedral

. Sudut trihedral merupakan sudut yang terbentuk oleh

perpotongan tiga buah bidang yang mempunyai satu dan hanya satu titik persekutuan (perhatikan Gambar 4).

4

Titik Persekutuan Gambar 4. Sudut trihedral Untuk sisi

dari Segitiga Spheris (Gambar 3.) diukur dengan

sudut pusat dihadapannya yaitu masing-masing sama dengan besar sudut ,

dan

. Dengan demikian, sisi pada Segitiga Spheris bukanlah

berbentuk garis lurus seperti pada Segitiga Euclid, akan tetapi besaran sisi pada Segitiga Spheris dinyatakan dalam sudut atau radian. Pada Segitiga Euclid berlaku teorema phytagoras, aturan sinus, aturan cosinus, dan rumus

sudut yang merupakan solusi untuk memecahkan kasus

pada Segitiga Euclid, yaitu untuk memperoleh panjang sisi maupun besar sudut suatu segitiga. Selain itu, jumlah sudut dalam sebuah Segitiga Euclid adalah

. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji

bagaimana dengan sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah “Bagaimana sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris?”

5

C. Tujuan Penelitian Sesuai dengan masalah yang dibahas, maka tujuan penelitian ini adalah menunjukkan sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris.

D. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah 1. Memberikan tambahan wawasan dan ilmu pengetahuan bagi penulis mengenai Segitiga Spheris. Beserta sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris. 2. Memberi Informasi dan masukan kepada pembaca tentang Segitiga Spheris 3. Menjadi masukan untuk perhitungan dalam bidang astronomi dan permukaan bumi dalam menentukan jarak antara setiap pasangan titik pada permukaan bumi. 4. Menjadi

bahan

masukan

bagi

para

peneliti

berikutnya

dalam

mengembangkan dan memperluas hasil cakupan.

E. Metodologi Penelitian Penelitian ini adalah penelitian dasar. Adapun metode yang digunakan adalah analisis teori-teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dengan berlandaskan pada kajian kepustakaan. Langkah kerja yang di lakukan adalah meninjau permasalahan yang dihadapi, kemudian mencari

6

teori-teori yang dapat dijadikan penunjang untuk menjawab permasalahan tersebut. Adapun

langkah-langkah

untuk

mendapatkan

jawaban

dari

permasalahan adalah sebagai berikut: 1. Mempelajari literatur yang mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada Segitiga Euclid dan pembuktiannya. Seperti hukum sinus, cosinus dan rumus sudut. 2. Menelaah tentang definisi Segitiga Spheris. 3. Menelaah tentang sudut dihedral dan trihedral beserta teorema-teorema yang berlaku pada sudut tersebut. Kemudian mengkaitkan antara sudut dihedral dan trihedral tersebut dengan definisi Segitiga Spheris. 4. Menelaah hubungan sudut dan sisi berdasarkan teorema ataupun sifat dasar yang telah diperoleh sebelumnya.

BAB II KAJIAN TEORI

A. Segitiga Euclid Segitiga Euclid adalah segitiga yang terbentuk dari gabungan tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang (Kusno, 2004:71). Perhatikan Gambar 5. B

C A

Gambar 5. Segitiga Euclid Sebarang Pada sebarang Segitiga Euclid ABC, besar sudut-sudutnya dinyatakan dalam derajat atau radian, yaitu sisinya,

dan

dan

, serta panjang

.

Berikut sifat-sifat pada Segitiga Euclid terkait dengan sudut dan sisi. Teorema 1 Untuk sebarang Segitiga Euclid, jumlah besar sudut dalam sebuah segitiga adalah

( Lewis,1973:386) .

Adapun bukti teorema dapat dilihat pada lampiran 1.

7

8

Teorema 2 Untuk sebarang Segitiga Euclid, jumlah panjang sebarang dua sisinya lebih besar dari pada panjang sisi yang ketiga (Budi,2004:195). Dengan demikian pada segitiga ABC dengan sisi

dan

berlaku ketidaksamaan

berikut 1. 2. 3. Adapun bukti teorema dapat dilihat pada lampiran 2. Teorema 3 Untuk sebarang segitiga euclid, jika besar dua sudut sama, maka besar sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut juga sama dan sebaliknya (Kusno,2004:76). Perhatikan Gambar 6. berikut ini. A

B

C

Gambar 6. Segitiga Euclid Misalkan pada Segitiga Euclid ABC di atas, jika dihadapan kedua sudut tersebut sama, yaitu

.

Adapun bukti teorema dapat dilihat pada lampiran 3.

maka sisi

9

1. Sifat Dasar Segitiga Euclid Sifat-sifat dasar pada trigonometri dengan

merupakan sudut

pada suatu segitiga adalah sebagai berikut (Siswanto,2005:132). a. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut 1) 2) 3) 4) 5) b. Rumus Perkalian Sinus Dan Cosinus 1) 2) 3) 4) c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus 1) 2) 3) 4) Adapun buktinya dapat dilihat pada lampiran 4

10

2. Rumus Sudut Rangkap Pada Segitiga Euclid Berdasarkan sifat dasar Segitiga Euclid dapat diperoleh sinus sudut rangkap sebagai berikut :

Jika dilakukan substitusi

Jadi, diperoleh rumus untuk

diperoleh

yaitu

Dengan cara yang sama dapat diperoleh a. b.

3. Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid Apabila dikaitkan antara sisi dan sudut pada Segitiga Euclid, dapat diperoleh perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadap sisi itu adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut, yang disebut dengan aturan sinus.

(Sukino,2007:117) Adapun buktinya dapat dilihat pada lampiran 5

11

4. Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid Untuk sebarang Segitiga Euclid ABC, apabila diketahui panjang dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut dapat dituliskan hubungan sebagai berikut yang disebut dengan aturan cosinus. a. b. c. (Sukino,2007:121) Adapun buktinya dapat dilihat pada lampiran 6 5. Aturan Sudut Pada Segitiga Euclid Berdasarkan rumus sudut rangkap dapat diperoleh rumus sebagai berikut

Dengan demikian a. Dengan demikian 1) 2)

12

3) b. Dengan demikian 1) 2) c. Dari uraian a dan b diperoleh

d. Dengan demikian 1) 2)

3) 4) e.

13

B. Segitiga Spheris Menurut Ayres(1954:147), suatu bagian dari permukaan bola yang diperoleh dari perpotongan tiga lingkaran besar pada bola disebut Segitiga Spheris. Segmen busur yang membatasi segitiga tersebut disebut sisi dan titik sudut spheris yang terbentuk merupakan titik sudut dari Segitiga Spheris.

Segitiga Spheris

Gambar 7. Segitiga Spheris Untuk mengukur sudut dan sisi pada Segitiga Spheris perlu diketahui terlebih dahulu mengenai sudut dihedral dan sudut trihedral. Sudut dihedral dan sudut trihedral merupakan dasar dari mengukur sudut dan sisi dari Segitiga Spheris. 1. Sudut Dihedral Sudut dihedral adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan dua buah bidang dan membentuk sebuah garis persekutuan atau garis potong (Lewis,1973:376). Perhatikan Gambar 8. berikut ini.

14

Gambar 8. Sudut Dihedral Perpotongan bidang atau garis potong dihedral

dan

membentuk sebuah garis persekutuan

. Perpotongan dua bidang ini membentuk sudut .

Sudut dihedral atau sudut perpotongan dua bidang, diukur dengan sudut antara dua garis yang berpotongan dan tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang. Dimana kedua garis ini masing-masing terletak pada dua bidang yang saling berpotongan tersebut. Pada Gambar 8, dua garis yang berpotongan adalah dapat diukur oleh sudut

dan

. Jadi sudut dihedral

.

Berdasarkan hal di atas, maka untuk sudut spheris diukur dengan sudut dihedral yang terbentuk oleh perpotongan bidang-bidang dari lingkaran besar yang busur-busurnya merupakan sisi dari sudut spheris. Pada Gambar 7, untuk mengukur sudut A dapat diukur dengan sudut dihedral yang terbentuk oleh bidang OAC dan OAB yaitu dengan membuat dua garis yang berpotongan tegak lurus OA. Sehingga, sudut yang terletak antara kedua garis merupakan besar sudut

.

15

2. Sudut Trihedral Menurut Ayres (1954,146), sudut trihedral adalah sudut yang terbentuk dari perpotongan tiga bidang yang mempunyai satu dan hanya satu titik persekutuan. Perhatikan gambar 9.

Titik Persekutuan

Gambar 9. Sudut Trihedral Perpotongan bidang membentuk sudut trihedral

dan

dengan titik persekutuan O

. Dengan demikian, untuk sudut dari

Segitiga Spheris dapat diukur berdasarkan sudut dihedral sedangkan untuk sisi diukur berdasarkan sudut trihedral.

3. Segitiga Siku-Siku Spheris Sebuah segitiga spheris yang salah satu sudutnya terdapat sudut siku-siku disebut dengan segitiga siku-siku spheris (Ayres, 1954: 147).

16

Gambar 10 . Segitiga Siku-Siku Spheris Perhatikan Gambar 11. di bawah ini

Gambar 11. Proyeksi Segitiga Siku-Siku Spheris Misalkan O pusat sebuah bola, dan ABC merupakan segitiga sikusiku spheris dengan sisi-sisi a dan b kurang dari

. Hubungkan O dengan

titik sudut dari segitiga untuk membentuk sudut trihedral O-ABC. Melalui B dibuat bidang tegak lurus terhadap OC dan OA, sehingga memotong OC di D dan OA di E. karena OE tegak lurus terhadap bidang BDE, maka OE tegak lurus terhadap garis EB dan ED. Jadi segitiga BEO dan DEO adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di E. Juga sudut BED merupakan sudut dihedral B-OA-C yang diukur menurut sudut A pada segitiga spheris.

17

Karena bidang BDE tegak lurus terhadap OE, maka bidang BDE tegak lurus terhadap bidang OAC melalui DE. BD merupakan irisan dari dua bidang OBC dan BDE yang keduanya tegak lurus terhadap bidang OAC. Dengan demikian BD tegak lurus terhadap bidang OAC. Jadi, segitiga BDO dan BDE merupakan segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku di D. Pada segitiga siku-siku BDO, BDE dan BEO, berlaku:

Pada segitiga siku-siku BDO, BOE dan DEO, berlaku :

Pada segitiga siku-siku BEO, DEO, dan BDO, berlaku :

Pada segitiga siku-siku DEO,BDE, dan BEO, berlaku :

Dengan melewatkan sebuah bidang melalui A tegak lurus terhadap OB dengan cara yang sama akan didapatkan rumus-rumus yang dapat diturunkan dari keempat rumus diatas dengan mengubah a dengan b, A dengan B. Seperti dengan mengganti a dengan b dan A dengan B dari formula (1) diperoleh :

Dari formula (2) diperoleh

18

Dan dari (4) pada segitiga siku-siku spheris diperoleh

Maka, Karena

dan

Maka

,

dengan

membagi

dengan

maka

didapatkan

Substitusikan sehingga diperoleh, Atau

Dari

dan

Dengan cara yang sama dan menggunakan diperoleh

diperoleh

dan

19

Dengan demikian, untuk setiap segitiga spheris ABC dengan sudut siku-sikunya di C, maka berlaku 10 formula berikut ini. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

Berikut akan dibahas sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris, beserta metode segitiga siku-siku yang digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus yang dapat terjadi pada Segitiga Spheris. Sebelum membahas mengenai sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris, maka diperlukan hal berikut ini. Perhatikan Gambar 12. berikut

Misalkan dengan sisi

Gambar 12. Segitiga Polar pusat sebuah bola, dan merupakan Segitiga Spheris, dan

serta besar sudut-sudutnya adalah

. Perpanjang segmen busur masing sampai

dan

masingdan

adalah kutub dari lingkaran besar yang melalui

Dengan cara yang sama diperoleh pula, .

hingga

. dan bentuk sebuah lingkaran besar melalui

Sedemikian sehingga

melalui

dan

dan

. .

adalah kutub dari lingkaran besar yang


20

.

21

Sehingga diperoleh suatu segitiga yang terbentuk dari tiga busur lingkaran besar yang melalui

,

dan

. Misalkan sudut yang terbentuk dari

lingkaran besar

dan

dinyatakan dengan

, sudut yang terbentuk dari

lingkaran besar

dan

dinyatakan dengan

, dan sudut yang terbentuk

dari lingkaran besar

dan

terbentuk segitiga spheris dari segitiga spheris

yang untuk selanjutnya dinamakan segitiga polar


dan

yang melalui

sebesar . Tetapi

dengan

jadi

dan

merupakan pusat bola.

bidang busur

.

. Dengan demikian

berada pada lingkaran besar

. Dengan cara yang sama,

Dengan mempertimbangkan

dan OAC, maka

.

adalah kutub dari lingkaran besar dan

adalah sudut yang terbentuk dari

sama dengan

diukur berdasarkan

maka panjang busur

Dengan demikian diperoleh

Maka Dengan cara yang sama diperoleh 1. 2. Selanjutnya, karena

,

juga berada pada lingkaran besar

sebagai kutub. Maka

adalah kutup dari lingkaran besar dengan kutub

. Dengan demikian

.

Oleh karena maka panjang

dinyatakan dengan

dan

dapat diperoleh

. Karena segmen juga sebesar

.

22

Oleh sebab itu,

. Karena

sudut yang terbentuk dari bidang dengan

dan

dan

merupakan

, maka

juga sama

. Dengan demikian diperoleh

.

Dengan cara yang sama diperoleh 1. 2. Berdasarkan hal di atas, pada dua segitiga spheris, dimana salah satu segitiga merupakan segitiga polar dari yang lainnya maka setiap sudut dari salah satu segitiga sama dengan pelurus dari sisi yang bersesuaian pada segitiga lainnya, sehingga diperoleh sifat berikut ini.

A. Sifat-Sifat yang Berhubungan dengan Sudut & Sisi Pada Segitiga Spheris 1. Sifat-Sifat yang Berkaitan dengan Sudut dan Sisi Pada Segitiga Spheris Perhatikan Gambar 13. berikut

Gambar 13. Segitiga Spheris

23

Misalkan segitiga dan

, serta besar sudut-sudutnya

. Jika sisi

dan

adalah Segitiga Spheris, dengan sisi

,

dan

,

,

dan

masing-masing sudut yang berada di depan

. Dengan memperhatikan pencerminan pada lingkaran besar

yang membagi dua tetap, diperoleh

, maka apabila

pindah ke ,

pindah ke

dan

.

Berdasarkan hal tersebut, diketahui bahwa apabila panjang dua sisi pada sebuah segitiga spheris sama, maka besar sudut di hadapan kedua sisi tersebut juga sama ( Sifat 1). Selanjutnya perhatikan gambar dua segitiga Spheris berikut, yang berturut-turut segitiga lancip dan segitiga tumpul.

C

C b A

a

a

c-m

m D

h

b

h B A

c

(a)

B

m-c

D

(b) Gambar 14. Segitiga Spheris

Hal berikut berlaku untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat sebuah lingkaran besar tegak lurus terhadap AB dan memotong AB di D. Misalkan

. Dengan menggunakan 10 formula pada segitiga siku-

siku spheris yang telah dipaparkan pada Bab II, dapat diperoleh hal berikut ini.

24

Pada segitiga siku-siku ACD

Pada segitiga siku-siku BCD

Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh

Atau

B

B a

c

c

h A

C

h

a

D

C

D

b

b

(a)

A

(b) Gambar 15. Segitiga Spheris

Dengan cara yang sama, dengan menggambar sebuah lingkaran besar yang melalui B tegak lurus AC di D (Perhatikan Gambar 15) . Misalkan

.

Pada segitiga siku-siku BCD

Pada siku-siku ABD

25


Atau

Maka, dari persamaan (13) dan (16) diperoleh

Dengan demikian dapat diketahui bahwa, perbandingan sinus sisi dengan sinus sudut yang menghadap sisi itu adalah adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada sebuah Segitiga Spheris ( Sifat 2). Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut, yang disebut dengan aturan sinus pada Segitiga Spheris.

Seperti yang telah diperoleh sebelumnya, hal berikut juga berlaku untuk dua keadaan yaitu untuk sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 14. Melalui C dibuat sebuah lingkaran besar tegak lurus terhadap AB dan memotong AB di D dan misalkan Perhatikan segitiga ACD

Perhatikan segitiga CBD

.

26

Substitusikan persamaan (17) ke persamaan (20), dan

pada

persamaan (19), maka persamaan (20) menjadi

Atau

Substitusikan persamaan (18) ke persamaan (21) maka diperoleh

Karena

, maka


Untuk rumus-rumus pada sisi yang lainnya dapat diperoleh dengan perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai berikut a. b. Dengan demikian diketahui bahwa, jika besar dua sisi pada sebuah Segitiga Spheris diketahui, beserta sudut apit dua sisi tersebut, maka besar sisi yang berada di depan sudut apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sisi sebagai berikut ( Sifat 3).

27

Selanjutnya, berdasarkan sifat-sifat pada segitiga polar Segtiga Spheris

dari

. Maka aturan cosinus untuk sisi dapat dituliskan

sebagai berikut.

Karena

dan

Sehingga, aturan cosinus untuk sisi di atas dapat ditulis sebagai berikut

cos(180− ) Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, diperoleh

Atau

Untuk rumus-rumus pada sudut yang lainnya dapat diperoleh dengan perputaran pergantian huruf-huruf, sehingga diperoleh rumus sebagai berikut: a. b. Dengan demikian diperoleh, jika besar dua sudut pada sebuah segitiga spheris diketahui, beserta sisi yang diapit dua sudut tersebut. Maka besar sudut yang berada di depan sisi apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sudut sebagai berikut ( Sifat 4).

28

2. Sifat-Sifat Yang Berkaitan dengan Sisi Pada Segitiga Spheris Perhatikan Gambar 16. berikut O

A D

B

C

Gambar 16. Sudut Trihedral Misalkan titik sudut trihedral. A titik pada

pusat sebuah bola, dimana

lebih besar dari pada dua sudut sisi lainnya. Misalkan , B titik pada

. C titik pada

, dan D titik pada dengan

, sedemikian sehingga . Sehingga,

kongruen. Kemudian hubungkan titik A,B dan C Pada

,

Karena Maka Karena

merupakan

dan

Sehingga diperoleh,

kongruen, maka

dan

29

Karena sisi dan

dan

pada

pada

masing-masing sama dengan

sehingga

Karena Maka

Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, sudut suatu segitiga spheris diukur berdasarkan sudut trihedral. Maka dan

,

(mengacu pada Gambar 3). Sehingga pertidaksaman (22)

dapat dinyatakan sebagai berikut.

Apabila dilakukan perputaran pergantian huruf- huruf, dapat diperoleh pertidaksamaan sisi yang lainnya yaitu: a. b. Berdasarkan hal di atas, diketahui bahwa jumlah dari dua sisi pada Sebarang Segitiga spheris lebih besar dari sisi ketiga ( Sifat 5). Untuk selanjutnya, perhatikan Gambar 17 berikut ini. O

A B C

Gambar 17. Sudut Trihedral

30

Perhatikan sudut trihedral terletak pada rusuk puncak

. Terdapat tiga buah segitiga dengan titik

yaitu

segitiga tersebut yaitu

, titik A,B,C masing-masing

dan

dimana jumlah sudut dalam ketiga

.

Jadi,

Atau

Berdasarkan sifat 5.

Sehingga,

Mengacu pada Gambar 3,

,

dan

.

Maka pertidaksamaan (23) dapat dinyatakan sebagai berikut

Dengan demikian diperoleh, jumlah ketiga sisi pada sebuah segitiga spheris kurang dari

( Sifat 6).

31

Selanjutnya, Jika tiga sisi diketahui yaitu sisi

dan

berdasarkan aturan cosinus untuk sisi pada segitiga Spheris diperoleh

Berdasarkan aturan yang berlaku pada trigonometri

Maka a.

Karena,

dan Maka persamaan (24) dapat ditulis sebagai berikut


b.

, maka

32

Karena

dan

persamaan (25) dapat ditulis sebagai berikut


c.

maka

33

Jika didefinisikan

Maka diperoleh

Dengan demikian diperoleh, apabila besar ketiga sisi sebuah segitiga spheris diketahui, maka besar salah satu sudut segitiga tersebut dapat diperoleh menggunakan Rumus

Dimana

sudut sebagai berikut ( Sifat 7).

dan

3. Sifat-Sifat Yang Berkaitan dengan Sudut Pada Segitiga Spheris Berdasarkan teorema pada segitiga polar

Maka

34

Atau

Menurut sifat 6,

Maka jika a. Akibatnya

b. Akibatnya

Dengan demikian diperoleh, jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga Spheris lebih dari

dan kurang dari

(Sifat 8).

Selanjutnya, berdasarkan sifat pada segitiga polar segitiga spheris ABC . Misalkan Dan

dari

35

Karena

Dengan demikian,

Dimana

Maka

Berdasarkan rumus sudut pada segitiga Spheris c.


36

d.


Didefinisikan

Berdasarkan rumus sudut pada segitiga spheris

Karena

dan

, maka

rumus sudut di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi diperoleh, 1) 2) Dengan demikian diperoleh, jika besar ketiga sudut, sebuah segitiga spheris diketahui, maka besar salah satu sisi segitiga tersebut dapat diperoleh menggunakan Rumus

Sisi sebagai berikut ( Sifat 9).

37

Selanjutnya akan di bahas mengenai metode Segitiga Sikusiku yang digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus yang dapat terjadi pada Segitiga Spheris yang berhubungan dengan sudut dan sisi.

B. Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga Spheris Pada setiap sisi dan sudut Segitiga Spheris terdapat beberapa kasus yang dapat terjadi. Kasus I

: Diketahui besar ketiga sisi

Kasus II

: Diketahui besar ketiga sudut

Kasus III : Diketahui besar dua sisi dan sudut apit yang berada antara kedua sisi tersebut Kasus IV : Diketahui dua sudut dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut Kasus V : Diketahui besar dua sisi dan satu sudut yang berada di depan salah satu kedua sisi tersebut Kasus VI : Diketahui besar dua sudut dan satu sisi yang berada di depan salah satu kedua sudut tersebut Untuk mendapatkan besar sudut-sudut beserta sisi pada setiap kasuskasus di atas, selain menggunakan sifat-sifat yang telah diperoleh sebelumnya, juga dapat diperoleh dengan membentuk setiap segitiga spheris menjadi dua buah segitiga siku-siku spheris. Selanjutnya hal ini dapat dikatakan dengan metode Segitiga Siku-siku. Perhatikan Gambar 18. berikut ini.

38

C a

b h A

B

D

c

(a)

(b)

(c)

Gambar 18. Segitiga Spheris Pada gambar (a), melalui C di buat sebuah lingkaran besar tegak lurus AB di D. Misalkan

. Sedemikian sehingga terbentuk segitiga siku-siku

spheris ACD (b) dan segitiga BCD (c). Berikut langkah-langkah yang digunakan untuk memperoleh sudut dan sisi pada setiap kasus Segitiga Spheris. Kasus I Diketahui besar ketiga sisi. Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui besar ketiga sisi

.

Hal berikut berlaku untuk dua keadaan yaitu sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 19.

C

C a

Y

b

a

h A

D

X Y h

b

y

B A

c

(a)

y

c

B (b)

Gambar 19. Segitiga Spheris

D

39

Pada segitiga ACD

Pada segitiga BCD

Dengan mengeliminasi persamaan (26) dan (27) diperoleh

Tambahkan

pada kedua ruas

Maka


Dengan menggunakan aturan pada trigonometri

Berdasarkan gambar (a) Dan gambar (b) dan

40

Sehingga, diperoleh besar sisi

dan besar sisi .

Maka pada gambar (a) Perhatikan Segitiga ACD , Perhatikan Segitiga BCD , Sehingga, diperoleh besar sudut , dapat diperoleh dari penjumlah sudut

dan . Untuk besar sudut dan sudut .

Pada gambar (b) Perhatikan Segitiga ACD

Perhatikan Segitiga BCD

Sehingga, diperoleh besar sudut , dapat diperoleh dari pengurangan sudut .

dan . Untuk besar sudut dan sudut , yaitu

41

Kasus II Diketahui besar ketiga sudut. Misalkan pada segitiga spheris ABC diketahui besar sudut

dan

. Seperti halnya pada kasus I, hal berikut juga berlaku untuk dua keadaan yaitu sudut lancip B dan sudut tumpul B, seperti terlihat pada Gambar 19. Pada segitiga ACD

Pada segitiga BCD


Tambahkan

pada kedua ruas

Maka


Dengan menggunakan aturan pada trigonometri

42

Berdasarkan gambar (a) Dan gambar (b) dan Sehingga, diperoleh besar sudut

dan besar sudut .

Maka pada gambar (b) Perhatikan Segitiga ACD , Perhatikan Segitiga BCD , Dengan demikian, diperoleh besar sisi sisi c, dapat diperoleh dari penjumlah sisi

dan y. Untuk besar

dan sisi y, yaitu

. Dan pada gambar (b) Perhatikan Segitiga ACD , Perhatikan Segitiga BCD , Dengan demikian, diperoleh besar sisi sisi c, dapat diperoleh dari pengurangan sisi

dan y. Untuk besar

dan sisi y, yaitu

43

Kasus III Diketahui besar dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut. Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui panjang sisi dan sudut

yang merupakan sudut apit sisi

dan

( Perhatikan gambar

19).

Sehingga diperoleh besar sisi

dan besar sudut .

Pada gambar (a)

Sehingga,

Pada gambar (b)

Sehingga,

Dengan demikian, diperoleh besar sisi Untuk besar sudut

dan besar sudut

.

, pada gambar (a) dapat diperoleh dari penjumlahan

44

sudut

dan sudut

yaitu

pengurangan sudut

. Untuk gambar (b) diperoleh dari

dan sudut

yaitu

.

Kasus IV Diketahui besar dua sudut dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut. Misalkan pada segitiga spheris ABC diketahui besar sudut sisi

yang merupakan sisi apit di antara sudut

dan

dan

( Perhatikan

gambar 19).

Pada gambar (a)

Pada gambar (b)

Maka

Dengan demikian, diperoleh besar sisi . Untuk besar sisi penjumlahan sisi

dan sisi

dari pengurangan sisi

dan besar sudut

, pada gambar (a) dapat diperoleh dari yaitu

dan sisi

yaitu

. Untuk gambar (b) diperoleh .

45

Kasus V Diketahui besar dua sisi dan satu sudut yang berada di depan salah satu kedua sisi tersebut. Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui panjang sisi

dan sudut

yang merupakan sudut di depan sisi

(Perhatikan gambar 19). Dan Dan Dan Dengan demikian, didapatkan besar sisi . Untuk besar sisi

dan sudut

dan pengurangan sisi dan , serta sudut Dan

dan besar sudut

dapat diperoleh dari penjumlahan dan

sebagai berikut.

untuk gambar (a)

Dan Dan

untuk gambar (b)

Kasus VI Diketahui besar dua sudut dan satu sisi yang berada di depan salah satu kedua sudut tersebut. Misalkan pada segitiga Spheris ABC diketahui besar sudut dan sisi

yang merupakan sisi di depan sudut Dan Dan Dan

( Perhatikan Gambar 19).

46

Dengan demikian, didapatkan besar sisi . Untuk besar sisi pengurangan sisi

dan sudut

dan besar sudut

dapat diperoleh dari penjumlahan dan

dan , serta sudut

dan

Dan

untuk gambar (a)

Dan

untuk gambar (b)

Dan

sebagai berikut.

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada bab III, maka diperoleh : 1.

Sifat-sifat yang berhubungan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris a.

Sifat-Sifat yang berkaitan dengan sudut dan sisi pada Segitiga Spheris yaitu : 1) Apabila panjang dua sisi pada sebuah segitiga spheris sama, maka besar sudut di hadapan kedua sisi tersebut juga sama. 2) Perbandingan sinus sisi dengan sinus sudut yang menghadap sisi itu adalah adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada sebuah Segitiga Spheris. Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut, yang disebut dengan aturan sinus pada Segitiga Spheris.

3) Apabila besar dua sisi pada sebuah segitiga spheris diketahui, beserta sudut apit dua sisi tersebut. Maka besar sudut yang berada di depan sudut apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sisi sebagai berikut

47

48

4) Jika besar dua sudut pada sebuah segitiga spheris diketahui beserta sisi yang diapit dua sudut tersebut. Maka besar sudut yang berada di depan sisi apit tersebut dapat diperoleh menggunakan aturan cosinus untuk sudut

b.

Sifat-sifat yang berkaitan dengan sisi pada Segitiga Spheris 1) Jumlah dari dua sisi pada sembarang segitiga spheris lebih besar dari sisi ketiga. 2) Jumlah ketiga sisi pada sebuah segitiga spheris kurang dari

.

3) Jika besar ketiga sisi sebuah segitiga spheris diketahui, maka besar salah satu sudut segitiga tersebut dapat diperoleh menggunakan Rumus

c.

Sudut sebagai berikut

Sifat-sifat yang berkaitan dengan sudut pada Segitiga Spheris 1) Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga Spheris lebih dari dan kurang dari

.

49

2) Jika besar ketiga sudut sebuah segitiga spheris diketahui, maka besar salah satu sisi segitiga tersebut dapat diperoleh menggunakan Rumus

2.

Sisi sebagai berikut.

Metode Segitiga Siku-siku untuk Solusi Alternatif Segitiga Spheris Untuk mendapatkan besar sudut beserta sisi yang belum diperoleh dari suatu Segitiga Spheris, selain menggunakan sifat-sifat yang telah diperoleh sebelumnya, juga dapat diperoleh dengan cara membentuk setiap Segitiga Spheris menjadi dua segitiga siku-siku.

B. Saran Kepada pembaca yang berminat dengan kajian Segitiga Spheris ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan kajian mengenai luas dari suatu Segitiga Spheris.

DAFTAR PUSTAKA Ayres, JR. Frank. 1954. Theory And Problems (of Plane and Spherical) Trigonometry, New York: Schaum Publisning CO. Barnelt, R. A., Ziegler, M. R., dan Byleen, K.E.(2007). Analytic Trigonometry, United States of America: John Wiley & Sons. Brannan, D. A., Esplen, M. F., dan Gray, J.J. (1999). Geometry, Cambridge: University Press. Budhi, W. S. 2004. Matematika SMP Jilid 1B, Jakarta: Erlangga. Junaidi, S., dan Siswono, T.Y. 2004. Matematika SMP untuk Kelas IX, Jakarta: Erlangga. Kusno. 2004. Geometri, Jember: Universitas Jember. Moise, Edwin E. 1964. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint, United States of America: Addison-Wesley Publishing Company,INC. Siswanto, 2005. Matematika Inovatif 2, Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. Sukino, 2007. Matematika Untuk SMA Kelas X, Jakarta: Erlangga. Wallace, E. C., dan West, S. F. (2007). Roads To Geometry, United States of America: A simon and Schuster Company. Lewis, H. 1973. Geometry A Contemporary Course 3rd.Edition, New York: Mccormick-Mathers Publishing Company.

50

51

Lampiran 1. Bukti Teorema 1 Jumlah Sudut Dalam Pada Sembarang Segitiga Euclid adalah Perhatikan Gambar 20. berikut. C 1

k 3

A

B

Gambar 20. Segitiga Euclid Pada segitiga ABC di atas, melalui C dibuat sebuah garis k sedemikian sehingga k sejajar dengan garis AB.

Karena k sejajar AB, maka dan Sehingga diperoleh

52

Lampiran 2. Bukti Teorema 2 Bukti untuk sembarang segitiga, jumlah panjang sebarang dua sisinya lebih besar dari pada panjang sisi yang ketiga. Dengan demikian pada segitiga ABC dengan sisi

dan berlaku ketidaksamaan berikut

1.

2. 3. Akan di buktikan bahwa

Gambar 21. Segitiga Euclid Perpanjang sisi AC sehingga terbentuk garis ACD (perhatikan Gambar 21.) dengan panjang

.

Jadi, segitiga BCD segitiga sama kaki dan itu dalam segitiga ABD,

lebih besar dari

. Oleh karena . Berdasarkan sifat di atas,

maka Yang masing-masing di hadapan Karena

dan

dan , maka

(terbukti)

53

Lampiran 3. Bukti Teorema 3 Jika besar dua sudut sebuah Segitiga Euclid sebarang sama maka besar sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut juga sama dan sebaliknya Perhatikan Gambar 22. berikut A

D

o

E

B

C

Gambar 22. Segitiga Euclid Misalkan pada segitiga euclid ABC di atas,

. Melalui B dan C

masing-masing dibuat garis bagi yang memotong AB di D, dan AC di E. Maka pada

dan dan

(berimpit).

Dengan demikian Sehingga, Karena

dan

kongruen.

dan dan

masing-masing bersuplemen dengan

dan

. Maka, Karena BE dan DC merupakan garis bagi pada segitiga euclid tersebut, maka Dengan demikian, Sehingga diperoleh,

dan

kongruen.

54

Lampiran 4. Bukti Sifat Dasar Pada Segitiga Euclid 1. Bukti Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut C

b a

A

B D c Gambar 23. Segitiga Euclid

Pada gambar segitiga

di atas, CD tegak lurus AB. Apabila CD

dinyatakan dalam a dan , serta AD dalam b dan

maka,

dan CD dinyatakan dalam b dan , serta BD dalam a dan dan

Dengan demikian

maka,

55

Dengan menggunakan rumus umum luas segitiga ABC

Dengan demikian,

Kedua ruas dibagi

,

Diperoleh

Jadi, terbukti rumus untuk

Dengan mensubstitusikan –

adalah

ke dalam

pada rumus

di

atas, diperoleh

Karena,

, , persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.


adalah

dan

56

Kemudian, untuk memperoleh rumus cosinus jumlah dua sudut, digunakan rumus-rumus sudut yang berelasi sebagai berikut

Sehingga

Karena

dan

, persamaan di

atas dapat ditulis sebagai berikut.


Dengan mensubstitusikan –

adalah

ke dalam

pada rumus

di atas,

diperoleh

Karena

,

dan

, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.


Berdasarkan pada rumus hubungan sebagai berikut.

adalah

dan

diperoleh

57

Pembilang dan penyebut dibagi dengan


adalah

2. Bukti Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

+

+

58

3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus Berdasarkan rumus perkalian sinus dan cosinus diatas didapatkan rumus sebagai berikut : Misalkan :

Maka a.

b.

c.

d.

59

Lampiran 5. Bukti Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid Pembuktian Aturan Sinus Pada Segitiga Euclid A

A

c

N b

N

C

B

M

c

b

a B

C

M

a (a)

(b) Gambar 24. Segitiga Euclid

Aturan sinus akan dibuktikan untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip C dan sudut tumpul C, seperti terlihat pada Gambar 24. 1. Sudut lancip , perhatikan Gambar 24(a) Pada segitiga ACM Sehingga Pada segitiga ABM Sehingga Jadi, Atau, Dengan cara yang sama dengan menggambar garis dari titik C tegak lurus AB, maka

60

Pada segitiga ACN Sehingga Pada segitiga CBN Sehingga Jadi, Atau


2. Sudut tumpul , perhatikan Gambar 24(b) Pada segitiga ACM Sehingga Pada segitiga ABM Sehingga Jadi, Atau , Dengan cara yang sama dengan menggambar garis dari titik C tegak lurus AB, didapatkan

Maka,

61

Lampiran 6. Bukti Aturan Cosinus Pada Segitiga Euclid Pembuktian Aturan Cosinus Pada segitiga Euclid A

A

c

B

c

b

p

M

C

b

a B

C

a (a)

(b) Gambar 25. Segitiga Euclid

Aturan cosinus akan dibuktikan untuk dua keadaan, yaitu untuk sudut lancip C dan sudut tumpul C, seperti terlihat pada Gambar 25. 1. Sudut lancip , perhatikan Gambar 25 (a) AM tegak lurus BC . Misalkan

dan

Pada segitiga ACM,

Pada segitiga ABM,

p

(Teorema Pythagoras)


Substitusikan Persamaan (38) ke Persamaan (39), dan , maka persamaan (39) menjadi :

M

62

2. Sudut tumpul , perhatikan Gambar 25 (b) AM tegak lurus dengan perpanjangan BC Misalkan Pada segitiga ACM,

Pada segitiga ABM,

dan (Teorema Pythagoras)


Substitusikan Persamaan (40) dan (41) ke Persamaan (42), maka diperoleh :

Dengan cara yang sama untuk dua keadaan itu dapat dibuktikan bahwa: a. b.

SIFAT-SIFAT YANG BERHUBUNGAN DENGAN SUDUT DAN SISI PADA SEGITIGA SPHERIS TUGAS AKHIR

Recommend Documents