Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Awal Kemerdekaan UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS TAHUN 1949
ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI) 1.
HBS Negeri Belanda (Nederland) 1949 a. Dari ABC diketahui bahwa: a cos b cos . Segitiga apakah ini? b. Jika sin x cos x p , ditanyakan: 1. Pada syarat-syarat apa p harus memenuhi. 1 1 2. disebutkan dengan p. cos x sin x c. Hitunglah semua harga x yang lebih kecil dari pada 180 yang memenuhi persamaan cos5 x sin 4 x cos x . d. Jika untuk ABC berlaku r ra rb rc , segitiga apakah ini? Solusi: a. a cos b cos 2 R sin cos 2 R sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2 sin 2
Jadi, segitiga ini adalah segitiga sama kaki. b. 1. a sin x b cos x c , dengan c 2 a 2 b2 sin x cos x p p 2 12 1
2
p2 2
p 2 p 2 0 2 p 2
2. sin x cos x p sin 2 x cos2 x 2sin x cos x p 2 1 2sin x cos x p 2 1 p2 2 1 1 sin x cos x p 2p , p 1 2 cos x sin x sin x cos x 1 p 1 p2 2 cos5 x sin 4 x cos x cos5 x cos x sin 4 x 0 2cos3x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x 0 sin x cos x
c.
1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
cos 2 x cos3x sin 2 x 0 cos 2 x 0 atau sin 2 x cos3x cos 2 x cos90 2 x 90 k 360 x 45 k 180 Jika k 0 , maka x 45 Jika k 1 , maka x 45 180 135 cos3x sin 2 x 2 x 90 3x k 360 atau 2 x 180 90 3x k 360 x 18 k 72 atau x 90 k 360 Jika k 0 , maka x 18 Jika k 1 , maka x 18 72 90 Jika k 2 , maka x 18 144 162 d. r ra rb rc
L L L L s s a s b s c 1 1 1 1 s s a s b s c 1 1 1 1 0 s s a s b s c s a s b s c s s b s c s s a s c s s a s b
s s a s b s c
0
s a s b s c s s b s c s s a s c s s a s b 0 s b s c s a s s s a s c s b 0 s b s c 2s a s s a b c 0 s b s c a b c a s s a b c 0 s b s c b c s s a b c 0 abc a b c a b c a b c b c b c a b c 0 2 2 2 2
a b c 2b a b c 2c b c a b c a b c 2a b c 0 a b c a b c b c a b c a b c b c 0 a b c a b c b c b c a b c a b c 0 a 2 b c 2 b c b c 2 a 2 b c 0 a 2 b c 2 b c a 2 b c 2 b c 0
a 2b a 2c b c b c a 2b a 2c b c b c 0 2
2
2a 2 c b c b c b c b c 0 2
2
2a2c b c b c b c b c 0
2a 2 c b 2 c 2
2c 0
2 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
2c a 2 b 2 c 2 0
c 0(ditolak)atau a 2 b2 c 2 (diterima)
2.
Jadi, ABC adalah segitiga siku-siku, dengan C 90 . HBS Negeri Belanda (Nederland) 1949 Dalam sebuah ABC , M adalah titik pusat lingkaran luar dan r jari-jari lingkaran dalam. Perpanjangan AI memotong lingkaran luar di D. Jika AI 5 , r 3 , dan BD 12 , hitunglah sudut-sudut dan sisi-sisi dari ABC tersebut. Solusi:
AE AI 2 IE 2 52 32 16 4 1 IE 3 1 tan 0,75 3652' 7344' 2 AE 4 2 a R 2sin AI AB 1 sin sin AIB 2 5 c 1 sin sin 180 1 1 2 2 2
Y C
3
4
M 3
I
2
3
A
E
B
5 c 1 1 1 sin sin 2 2 2
Belum selesai 3.
HBS (Hogere Burger School) – AMS (Algemeene Middelbare School), 1949 Dalam sebuah lingkaran dengan titik pusat M dan jari-jari R, ditarik dua jari-jari MA dan MB, sehingga AMB p . Pada AB dibuat sebuah ABC yang sama sisi begitu rupa sehingga C dan M terletak pada bagian yang berlainan dari AB. 1 a. Buktikan bahwa luas MACB = R 2 sin p 3 cos p 3 . 2 b. Tentukan harga p jika luas MACB mencapai harga maksimum. Solusi:
a.
AB 2 R 2 R 2 2 R R cos p AB 2 2 R 2 2 R 2 cos p
M p
AB R 2 2cos p Luas MACB = luas ABC + luas AMB 2 1 1 R 2 2cos p sin 60 R R sin p 2 2 1 1 1 R 2 2 2cos p 3 R 2 sin p 2 2 2 1 1 R 2 3 3 cos p R 2 sin p 2 2
D
R
R B
A
C 3 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
X
b.
1 2 R sin p 3 cos p 3 2
Ambillah y sin p 3 cos p , sehingga y sin p tan cos p , dengan tan 3 60 cos y sin p cos cos p sin
y
1 sin p cos
1 sin p 60 cos 60 y 2sin p 60 y
1 2 R 2sin p 60 3 yang akan bernilai maksimum, 2 jika sin p 60 1 , sehingga p 150 .
Dengan demikian, luas MACB
4.
HBS (Hogere Burger School) – AMS (Algemeene Middelbare School), 1949 Dari ABC diberikan tg tg 2 tg 0 .... (1) a. Buktikan bahwa tg tg 3 . b. Buktikan bahwa segitiga ini bersudut lancip. c. Buktikanlah bahwa titik tinggi dari segitiga ini membagi garis tinggi dari C dalam dua bagian yang berbanding 2 : 1. d. Hitunglah dan , jika selain dari pada (1) juga diberikan bahwa 70 . e. Hitunglah dan , jika selain dari pada (1) juga diberikan bahwa mencapai harga minimum. Solusi: Dalam ABC belaku bahwa 180 , sehingga kita akan membuktikan terlebih dahulu bahwa tan tan tan tan tan tan . Bukti: tan
tan tan 1 tan tan
tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan tan tan tan 180 tan 180 tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan
a.
(terbukti)
tg tg 2 tg 0 tan tan 2 tan .... (1) tan tan tan tan tan tan .... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh 2 tan tan tan tan tan 3tan tan tan tan tan tan 3 (terbukti)
b.
tan tan 3
4 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
sin sin 3 cos cos sin sin 3cos cos
2sin sin 3 2cos cos cos cos 3 cos cos
cos cos 3cos 3cos 2cos 4cos cos 2cos cos 2cos 180 cos 2cos
Dalam kasus ini, sudut harus lancip, yang nilai minimunya 60 , sehingga cos 2cos60 1
0 60 Dengan demikian, jelaslah bahwa ABC adalah segitiga lancip. c. Pada ATE diperoleh T1 90 A1 .... (1)
C
Pada ABD diperoleh B 90 A1 .... (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh T1 B . AE AE b cos .... (3) b TE Pada ATE diperoleh cot T1 AE TE AE cot T1 b cos cot
Pada ACE diperoleh cos
TE 2 R sin cos
A
1
D 2 1 T E B
cos 2 R cos cos .... (4) sin
CD , sehingga CT CD b cos 2R sin cos CT 2 R cos .... (5) sin T2 sin sin
Pada CTD diperoleh sin T2
Akhirnya
cos 180 cos CT 2 R cos cos TE 2 R cos cos cos cos cos cos cos cos
cos cos sin sin sin sin 2 1 tan tan 1 3 2 (qed) 1 cos cos cos cos 1 tg 70 tg tg 2 tg 0
d.
tan tan 2 tan 70 .... (1) tan tan 3
tan
3 .... (2) tan
5 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh tan
3 2 tan 70 tan
tan 2 2tan 70 tan 3 0 tan 2 5, 4950 tan 3 0
tan
5,4950
5,4950 2 4 1 3 2 1
5, 4950 18,1950 5, 4950 4, 2656 2 2
5, 4950 4, 2656 4,8803 , sehingga 78,42 dan 2 180 78, 42 70 31,58 .
Karena lancip, maka tan
e.
tan tan 3
sin sin 3 cos cos sin sin 3cos cos
2sin sin 3 2cos cos cos cos 3 cos cos
cos cos 3cos 3cos 2cos 4cos cos 2cos cos 2cos 180 cos 2cos
Dalam kasus ini, sudut harus lancip, yang nilai minimunya 60 , sehingga cos 2cos60 1
5.
0 60 Gymnasium Negeri Belanda (Nederland), 1949 Dalam ABC sebuah titik D terletak pada garis alas AB. Garis bagi dari A memotong CD di P, garis bagi dari B memotong CD di Q. P terletak lebih dekat ke C daripada Q. Diketahui bahwa CP PQ QD , ACD 1 , BCD 2 , dan ADC . a. Buktikan bahwa sin 1 2sin . b. Buktikan bahwa sin 1 4sin 2 . c. Hitunglah dan , jika juga diketahui bahwa ACB 90 . Solusi: CP sin 1 CP AP a. AP .... (1) 1 1 sin 1 sin sin 2 2
2
C 1
P Q
D B 6 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
A
DP AP DP sin AP .... (2) 1 1 sin sin sin 2 2 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh CP sin 1 DP sin 1 1 sin sin 2 2 CP sin 1 DP sin
CP sin 1 2CP sin sin 1 2sin (qed) b.
CQ sin 2 BQ CQ BQ .... (1) 1 1 sin 2 sin sin 2 2 BQ DQ DQ sin BQ .... (2) 1 sin 180 sin 1 sin 2 2 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: CQ sin 2 DQ sin
2DQ sin 2 DQ sin 2sin 2 sin Kita mengetahui bahwa sin 1 2sin , sehingga 1 2sin 2 sin 1 2 sin 1 4sin 2 (terbukti)
c.
sin 1 4sin 2 sin 1 4sin 90 1
sin 1 4cos 1 tan 1 4 sin 1
4 17
1 1 0, 2425 2 14,03 sin 1 4sin 2 sin 2 sin 1 4 17 1 1 4 2 sin sin 1 0, 4851 29,02 2 2 17 17
180 2 180 2 29,02 14,03 14,99 90 90 14,99 75,01
7 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
