BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a) 30˚ (c) 590˚ (b)
(d)
Penyelesaian (a) y
30° x
(b) y
3 𝜋 4 x
(c)
(d) y
7 𝜋 3 x
Sinus, Kosinus, dan Tangen
c
b
𝜃 a
sin 𝜃 =
𝑏 𝑐
kos 𝜃 =
𝑎 𝑐
t n𝜃 =
sin 𝜃 𝑏 = kos 𝜃 𝑎
Contoh Jika t n
=
, dengan 80°
360°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin
kos . Penyelesaian
-5
𝜃 -12
sin
=
kos
=
13
Sesi 2 Sekan, Kosekan, dan Kotangen
sek 𝜃 =
c
b
kosek 𝜃 =
kot 𝜃 =
𝜃 a
kos 𝜃
=
sin 𝜃
t n𝜃
=
𝑐 𝑎 = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑏
dan
Contoh Diberi
ialah sudut refleks dengan sek
= . Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,
nilaikan (a) kot (b) kosek (c) sin kos Penyelesaian
4
𝜃 5
sek
=
sek
=
kos (a) kot
5 4 =
kos 4 = 5
5 4
(c) sin
=
=
=
=
= (b) kosek
-3
= = =
kos
SUDUT PELENGKAP
SUDUT NEGATIF
sin = kos(90 kos = sin(90 t n = kot(90 sek = kosek(90 kosek = sek(90 kot = t n(90
sin( kos( t n(
) ) ) ) )
) = sin ) = kos )= t n
)
SUKUAN SETARA [Sukuan II] ) sin = sin( 80° ) kos = kos( 80° ( ) t n = t n 80° [Sukuan III] sin = sin( kos = kos( t n = t n(
80°) 80°) 80°)
[Sukuan IV] sin = sin(360° kos = kos(360° t n = t n(360°
) ) )
Sesi 3 Sudut-Sudut Khas
°
°
°
30°
sin 30° =
2
3
kos 30° = t n 30° =
sin 60° = 3
3
60° 1
sin 45° =
1
kos 45° =
t n 45° =
45° 1
Contoh Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi (a) sin 5° (b) sek 660° (c) sin 50°
Penyelesaian
kot(
50°)
3
kos 30° = t n 60° = 3
(a) sin =
5° 5°
sin 45°
=
(b) sek 660° =
660°
kos 660°
= = =
(c) sin 50° = sin 50° = sin 50° = sin 50° = sin 30° = sin 30° = = =
kot(
50°)
t n(
50°)
( t n 50°) t n 50° ( t n 30°) t n 30°
50°
Sesi 4 Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° (a) kos = 0 9063 (b) sin = 0 669 (c) sin =
360°.
(d) kosek = (e) 2 t n (
60°)
3=
Penyelesaian (a) kos = 0 9063 0° 360° = 55° 05°
(b) sin 0° 0°
5°
= 0 669 360° 7 0°
= 4 ° 38° 40 ° 498° = ° 69° 0 ° 49°
(c)
sin
=
sin
=
0° 360° = 45° 35°
45°
(d) kosek = = sin =
(e)
0°
360°
0°
80°
= 60°
0°
=
0° 40°
t n(
60°)
60°
3=
Contoh 2 Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0° (a) 3 sin kos = sin (b) kot = t n( ) (c) 4 t n kot 3=0 Penyelesaian (a) 3 sin kos = sin 3 sin kos sin = 0 )=0 sin (3 kos sin = 0
3 kos
= 0° 80° 360°
=0 kos
0° = 0° 70 63° 80° 89 47° 360°
=
3 360° = 70 53° 89 47°
360°.
(b)
kot kot
= t n( =t n
(
)=t n
t n
)
=t n t n t n
= = 4 4 0° 360° = 54 73° 5 7° (c) 4 t n
kot
34 73° 305 7°
3=0
Sesi 5 Melakar graf fungsi trigonometri = sin
= sin ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian. Nilai maksimum bagi sin ialah 1 apabila = 70° 90° 450° Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 450° 90° 70° Amplitud =
= sin
Amplitud
Kala
= kos
= kos ialah satu fungsi berkala dengan kala 360° atau radian. Nilai maksimum bagi kos ialah 1 apabila = 369° 0° 360° Nilai minimum bagi sin ialah -1 apabila = 80° 80° 540° Amplitud = 2 1
= kos
0
-450
-360
-270
-180
-90
-1
0
90
180
-2
Kala
270
360 450 Amplitud
=t n
= t n ialah satu fungsi berkala dengan kala 80° atau i n = t n adalah tak tertakrif apabila = 70° 90° 90° 70° Maka, = t n tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum. Graf bagi = t n menghampiri garis-garis menegak = 70° = 90° = 90° = 70° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot. y
360°
80°
Asimptot
0
x 80°
360° 𝑦 = t n𝑥
Kala Contoh 1 Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 (a) (b) (c)
= 3 sin = 3 kos = |kos |
Penyelesaian (a)
= 3 sin =
=
.
4
= 3 sin
3 2 1
= sin
0 -1
-2 -3 -4
(b)
= 3 kos =
=
5
= 3 kos
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
= 3kos
(c)
= |kos
|
=
=
1
0
-1
Contoh 2 Lakarkan graf bagi
=
t n
bagi 0°
360°.
Penyelesaian y
𝑦=
t n𝑥
x
𝑦 = t n𝑥
Contoh 3 Lakarkan graf bagi
= |sin
| bagi 0°
.
Penyelesaian =
3
=
3
Sesi 6 Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf Contoh (SPM 2011) (a) Lakarkan graf bagi
=
3 sin
untuk 0
[4 markah]
(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi penyelesaian itu. [3 markah]
3 sin
= 0 untuk 0
. Nyatakan bilangan
Penyelesaian (a)
=
3 sin =
(b)
3
=
4 3
Identiti Asas
sin 𝐴
kos A =
c
b
kot A = kosek 𝐴 t n 𝐴 = sek 𝐴 𝜃 a
Pembuktian = (
) ( ) kos 1
( ) = sin
=
sin kos sin sin sin kot
1
kos
1
=
sin = kosek t n
= sek
Contoh Buktikan (a) (b) sin (c) t n
= sek kos t n = kot = sek
kos kosek
Penyelesaian (a)
=
sin
=
kos = sek
(te ukti)
(b) sin
kos t n
= sin kos ( = sin = kos
) (te ukti)
(c)
Sesi 7 Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas Contoh 1 Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0° dan 360° . (a) t n sek = 3 t n (b) kosek = kot 3 (c) 3 sin 5kos 5=0
Penyelesaian (a) t n sek = 3 t n t n t n = 3t n t n 3t n =0 ( t n )(t n )=0 t n =0 t n t n
=
= 6 57° 06 57° = 6 57° 45° 06 57°
=0 t n = 45°
5°
= 5°
(b) kosek = kot 3 ( ) kot = kot 3 kot kot 3=0 kot kot = 00 ( kot )(kot )=0 kot =0 kot
kot
=
=0 kot
=
= = t n t n t n = t n = = 6 57° 96 57° = 45° = 45° 6 57° 5° 96 57°
5°
(c)
Contoh 2 Tunjukkan bahawa sek
=
Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan = 4 , untuk 0
trigonometri Penyelesaian
sin
sin
=
sin
sin sin
=
kos = sek
(te tun uk)
sin
=4
sin
sek sek kos
=4 = =
kos
=
kos
=
√
= =
3 5 4 4 4
7 4
Rumus penambahan sin( sin( kos( kos( t n(
) = sin ) = sin ) = kos ) = kos t n )=
t n(
)=
t n
kos sin kos sin kos sin kos sin t n t n t n
kos kos sin sin
t n t n t n
Contoh Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan (a) sin 55° =
(
)
(b) (b)t n 5° = (c) sin(
60°)
kos(
60°) =
(sin
kos )
Penyelesaian (a) sin 55° = = = =
sin 75° sin(45° 30°) sin 45° kos 30° 3 * ( ) (
=
*
=
*
3
)+
+
3
+
( 3 4
=
sin 30° kos 45°
)
(te tun uk)
(b) t n 5° = t n(45° 30°) t n 45° t n 30° = t n 45° t n 30° =(
3
(
)
(
)
(
3
=(
3 3
=( =
)
3 3
3 3 3 3 3
) ) )
(te tun uk)
3
(c) sin( 60°) kos( 60°) = (sin kos60° sin 60° kos ) 3 = sin kos kos 3
= sin =( =(
3 3
sin
) sin
3
kos (
) (sin kos )
3
(kos kos 60° 3 sin kos
) kos (te tun uk)
sin sin 60°)
Sesi 8 Rumus Sudut Berganda sin
=
sin kos
kos
= kos sin = kos = sin
t n
=
t n t n
Rumus Sudut Separuh sin
= sin
kos
= kos
kos
sin
= kos =
t n
=
sin t n t n
Contoh 1 Diberi kos
=
dan
ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai
(a) sin
( )t n
(b) kos
( )kos 4
(e)kos
Penyelesaian
5
3
𝜃 -4
(a) sin
= sin kos 3 4 = ( )( ) 5 5 4 = 5
(b) kos
= kos 4 ) 5 6 = ( ) 5 3 = 5 7 = 5 = (
(c) t n
= = = =
4 5 4 5 4 7
7 5 5 7
(d) kos 4 = kos ( ) = kos 7 = ( ) 5 49 = ( ) 6 5 98 = 6 5 5 7 = 6 5
(e)
Contoh 2 Diberi t n
=
dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.
Penyelesaian
p
𝜃 1
kos
= kos = ( = = = =
√
)
Contoh 3 =t n .
Tunjukkan bahawa Penyelesaian sin kos
sin kos ( kos A ) sin kos = kos (te tun uk) =t n =
Contoh 4 = kot
Buktikan
.
Penyelesaian sin sin
=
=
=
kos kos sin
kos
sin
kos
sin
kos
kos
sin
kos
sin
kos
(sin
kos
)
sin
(kos
sin
)
= kot
kos (
sin
(te ukti)
)
Sesi 9 Menyelesaikan persamaan trigonometri Contoh 1 Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0° dan 360°, termasuk kedua-duanya (a) 5 sin kos =0 (b) kos sin = 0 (c) t n = 3t n Penyelesaian (a) 5 sin kos 5 sin kos
=
sin kos
=
(
)
=0
sin kos sin
0° 0°
5 = =
4 5 4 5
360° 360° = 33 3° 306 87° 593 3° 666 87° = 6 57° 53 44° 96 57° 333 44°
(b) kos
sin
=0 sin sin = 0 sin sin =0 ( sin )(sin )=0 sin =0 sin
sin
=
sin
= 30° 50°
= 3t n
t n = 3t n t n t n = 3t n 3t n 3t n t n =0 t n (3 t n )=0
= = 70°
= 30° 50° 70 (c) t n
=0
t n
=0
3t n
=0
= 0° 80° 360°
t n t n
=
3
=
3
= 30° 50° = 0° 30° 50° 80°
0° 330°
0° 330° 360°
Contoh 2 Diberi sin( kos
sin
)=
dan sin(
) = , tunjukkan bahawa sin
= . Seterusnya, buktikan bahawa 3 t n
kot
Penyelesaian sin( sin sin(
)= kos
sin kos
=
1
sin
=
2
)=
sin kos
Daripada 1 : sin
kos
kos
=
sin
kos
Gantikan 3 ke dalam 2 : sin kos
sin
kos A = =
( 3 8
sin
kos
=
sin
kos
=
sin kos
=
8
)
4 4 8
3
kos
= 0.
=
dan
3t n
kot
3 s ṅ kos kos sin 3 sin kos = kos sin =
3 ( 8) 3 8 3 =( ) 8 = =0 =
8 ( ) 3 (te ukti)
