Siemedicso Industry & Bussin*ss And Sacial Statistics V*1. 7, hlo.
t, februari 3$13
UJI TTEMUTASI UNTUK PERSANDINGAN DUA POPULASI BERSDISTR} BUSI LOGNORMAL
aleh:
il*arzuki
KOMPUTASI BAYTSIAN UNTUK MTNDUGA PARAMTTTR MODTL AMMI DTNGAN RAGAM GALAI ilT ESOGEN
eleh:6usfi N.A. Wib{tw$, Aunuddin, A*A. tylsttlik,I M SurnertuJaya
DTNGUT HTMORRHAGIC TTVTR D$TASE MAPPING: A COMPARATIVT ANALYSIS OT MAXIMUM LIKTUHOOD AND EMTIftICAL BAYES Or DISTASI RISK
aleh: I 6ede Nyarnan fi{indra laya, tl*ntr folmer, Badi
Nurani Ruchjana
PER;NCANAAN SAMPLTNG ffNfRIMAAN CnUf,fUfU( ,,,,, '','' PrNGu J|AN MASA $ DU p YANG MrNGK$1,*$rnln*$i' i.':,, ;1,I MARSHALL.OLKIN PERLUASAN DARI I
ol*h: Enny Supartini, y*ny l(nsfa ANALISIS RESIKO KRf;DIT UMKM
oleh: Hilda Yohana PEMODELAN REGRESI KENDABAAN *8ftT1 ctrefuCce,,6qgr#qi )
th
BIAStatistics Biomedics, Industry & Bussiness And Social Statistics
]urnal Statistika: Teori dan Aplikasi f ournal of Statistics: Theory and Application Universitas Padiadiaran Vol.7, No. 1, Februari 2OLg
Editor Septiadi Padmadisastra, Ph.D. Dr. Yadi Supriyadi, D.E.A. Dr. Lienda Novianti, M.Si. Dr. Toni Toharudin, M.Sc
Dewan Redaksi Anindya Apriliyanti P, M.Si Dra. Titi Purwandari, MS Dra. Enny Supartini, MS SriWinarni, S.Si, M.Si
Alamat Redaksi: |1. Raya Bandung Sumedang Km 2L Telepo4y'Fax : (022) 7796002
E-mail :
[email protected] (ferbit dua kali dalam satu tahun)
l,
*.-
_
h
BlAStatistics Biomedics, Industry & Bussiness And Social Statistics
'
|urnal Statistika: Teori dan Aplikasi Iournal of Statistics: Theory and Application Universitas Padj adi aran Vol. 7, No. 1, Februari 2013
Pengantar Dari Redaksi Daftar lsi UJI PERMUTASI UNTUK PERBANDINGAN DUA POPULASI BERSDISTRIBUSI LOGNORMAL
oleh: Morzuki KOMPUTASI BAYESIAN UNTUK MENDUGA PARAMETER MODEL AMMI DENGAN RAGAM GALAT HETEROGEN oleh: Gusti N.A. Wibawa, Aunuddin, A.A. Mattjik,I M Sumertajaya DENGUE HEMORRHAGIC FEVER DISEASE MAPPING: A COMPARATIVE ANALYSIS OF MAXIMUM LIKELIHOOD AND EMPIRICAL BAYES OF DISEASE RISK oleh: I Gede Nyoman Mindra Jaya, Henk Folmer, Budi Nurani Ruchjana
PERENCANAAN SAMPLING PENERIMAAN GRUP UNTUK PENGUJIAN MASA HIDUP YANG MENGIKUTI DISTRIBUSI MARSHALL-OLKIN PERLUASAN DARI DISTRIBUSI LOMAX
oleh: Enny Supartini, Yeny Krista Franty ANALISIS RESIKO KREDIT UMKM DENGAN ANALISIS DAYA TAHAN
oleh: HildaYohana PEMODELAN REGRESI HURDLE UNTUK DATA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR DI INDONESIA n oleh; Aceng Komarudin Mutaqin, Riris Nadya Putri, Yayat Karyana . Petunjuk Penulisan
BlAStatistics (2013)
Vol. 7, No. 1, hol.1,-7
UJI PERMUTASI UNTUK PERBANDINGAN DUA POPULASI BERSDISTRIBUSI TOGNORMAL Marzukil marzuki t
@
stat.unsvi
ah. ac.
id
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala
ABSTRAK Satu uji altematif untuk menguji kesamaan dua populasi jika asumsi kenormalan data tidak terpenuhiadalah uji permutasi. Uji inimerupakan metode pengujian dengan menyusun kembali 'data dalam seluruh kombinasi yang mungkin dengan teknik resampling permutasi.Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui peluang kesalahan atau kebenaran dalam mengambil suatu simpulan dengan uji permutasi pada saat rata-rata populasi sama maupun rata-rata berbeda. Data dibangkitkan mengikuti sebaran lognormal sebanyak 20 data sampel untuk masing-masing kelompok. Kajian dilakukan terhadap 5 macam nilai B (perulangan), yaitu 1000, 1500,2000, 2500, dan 3000. Jika kasus rata+ata dua populasi adalah sama maka rata-rata nilai.ASl-adalah 0,4598atau simpulan yang dihasilkan dari lima macam perulangan semuanya sesuai dengan yang sebenarnya.Dan jika untuk kasus rata-rata dua populasi adalah berbeda maka ratarata kebenaran yang dihasilkan mencapai 93,59yo.
Kata kunci: lognorm al, rata-rata populasi,
uj i permutasi
1 PENDAHULUAI\ Salah satu metode yang sering digunakan dalam beberapa penelitian asumsi kenormalan data terpenuhi, biasanya metode yang digunakan adalah metode pengujian dengan uji Z. Namun jika asumsi kenormalan tersebut tidak terpenuhi, maka salah satu adalah
uji perbandingan antara dua populasi.Jika
altematif yang dapat digunakan adalah metode pengujian dengan uji permutasi.Metode yang diperkenalkan oleh R.A. Fisher ini merupakan metode pengujian dengan menwsun kembali data dalam seluruh kombinasi yang mungkin dengan teknik resampling permutasi. Salah satu aplikasi dari uji
permutasi adalah untuk masalah dua sampel saling bebas ketika data tidak berdistribusi normal yang analisisnya didasarkan pada nilai tlatanya langsung. Penelitian yang dilakukan Yunus (2OO7)menggunakan uji permutasi untuk melihat perbedaan nilai IPK mahasiswa di semester pertama antara kelompok mahasiswa yang mengikuti dan tidak mengikuti bimbingan belajar sebelum masuk ke perguruan tinggi. Dalam penelitian tersebut, perulangan yang dilakukan hanya untuk perulangan 8:1000.
&
h
Tulisan ini dilakukan pengkajian terhadap beberapa macam perulangan, namun dengan data bangkitan dengan menggunakan software Matlab 7.0. Di samping itu juga, kajian yang dilakukan bukan hanya untuk kasus yatg ruta-rata populasinya berbeda, namun juga dicoba untuk kasus yang rata-rata populasinya sama sebagai perbadingan.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan kajian terhadap uji permutasi untuk perbandingan dua sampel yang saling bebas dan ingin mengetahui kedfbktifan uji ini masing-masing terhadap kasus rata-ratapopulasi yang sama dan rata-rata populasi yang berbeda. Penelitian ini dilakukan untuk limamacam perulangan, yaitu 1000, 1500, 2000, 2500, dan 3000.Data sampel yang dibangkitkan berupa sampel kecil.
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian tentang uji perbedaan dua populasi ini adalah data bangkitan dari komputer. Data yang dibangkitkan terdiri du.i drru kelompok. Kedua kelompok data dibangkitkan sebanyak 20 sampel dengan distribusi lognormal. Hipotesis yang digunakan adalah uji satu arah yang menunjukkan rata-rata populasi pertama sama atau lebih besar daripadarata-rata populasi kedua. Penelitian ini terdiri dari dua kasus. Kasus pertama adalah dua populasi dengan rata-rata yang sama. Sedangkan kasus kedua, untuk rata-rata populasi yang berbeda. Sedangkan parameter keragaman diambil sama untuk setiap kasus dan kelompok untuk memudahkan dalam menganalisis. Berikut parameter yang ditetapkan terkait dengan pembangkitan data tersebut.
Tabel 1. Tetapan parameter untuk data bangkitan
Langkah berikutnya yang dilakukan untuk setiap kasus dalam peneltian ini adalah: l) Menghitung rata-rata untuk kedua kelompok data dan nilai perbedaan antarkeduanya. 2) Hipotesis yang digunakan adalah hipotesis untuk uji satu arah (arah
kanan).H6: p\ = ltz melawan H;1t1) trt2 3) Menggabungkan jumlah data kedua kelompok untuk mengambil sampel permutasi secara acak.
4) Menghitung rata-rata untuk kedua data hasil replikasi permutasi. 5) Menghitung nilai uji permutasi yang nilaitaraf signifikansi yang'dicapai (achieved significance level-ASL.) didekati oleh metode Monte Carlo.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan dua populasi masing-masing dengan tata-rata p1 dan p2. Perbandingan dua populasi dilakukan terhadap parameter rata-rata
2
h
tersebut.Hipotesis yang digunakan dalam penelitian ini adalah uji satu arah (kanan), yaituHo: [\= ltzmelawan HiFt )p2.penelitian ini mengambil data yang tidak berdistribusi normal.oleh karena itu, uji t atau uJi Z tidak dapat digunakan untuk menguji hipotesis di atas.
Kajian Untuk Rata-Rata Populasi Yang Sama
' Kasus pertama yang dikaji adalah perbandingan dua rata-rata populasi untuk rata-rata populasi yang tidak berbeda.Berdasarkan parameter yang telah ditetapkan, maka dibangkitkan data sampel sebanyak 20 untuk kelompok pertama dan20 data sampel untuk kelompok kedua.Data dua sampel yang saling bebas ini disajikan padaTabel2.
Tabel Z.Data sampel untuk kasus pertama
YZ
15,22
5,39
7,69
19,65
34,51 1,35
7,53 16,74
2,63
14,92
3,44
5,86 6,60 8,40 3,32 5,82
65,13 I 1,38
4,74 7,61
4,79 6,13 1,40 15,27 8,38 4,10 9,85 65,57 2,35 6,45 24,30 g,2g 24,27 21,47 7,12 7,94 10,25 6,72 8,80 3,21
Selanjutnya dilakukan pengujian hipotesis Hoi l\ - 1t2 yaitu tidak ada pr. Statistik uji yang dipertimbangkan untuk pengujian
perbedaan antara prdan
tersebutadalah
0 =y_Z Data sampel kelompok pertama pada Tabel
2 memberikan nilai rataratay - L2,40 dan rata-rata sampel untuk kelompok kedua, z : L2,33. Sehingga diperoleh perbedaan rata-rata dua kelompok dengan data asli, 0 : 0,07. Hogg dan Craig (1995) mengemukakan bahwa.ASl.didekati oleh metode Monte Carlo dengan algoritmanya sebagai berikut: 1) Pilih secara acakB buah vektor saling bebas gL*, g2*,... , gs* dat'. kumpulan(N)vercor yang mungkin
2) Evaluasi replikasi permutasi dai 0*,yaitu 6. : y* - Z* 3) Karena uji satu arah (kanan) maka dekati nilai.4Sl.dengan.4Sl* _ *tA-,-Aj B
Dengan mengikuti algoritma di atas, maka langkah selanjutnya adalah menggabungkan data sampel kedua kelompok. Data gabungan tersebut diambil sampel permutasi secara acak yang berukuran m:20. Proses pengambilan sampel secara acak dan perhifungan parameter dilakukan dengan program Matlab 7.0. Dari hasil resampling (permutasi) pertama diperoleh nilai rata-rata untuk kelompok pertama (l-)adalah 10,19 dan kelompok kedua (Z.)sebesar 14,54. Dengan demikian nilai statistik uji berdasarkan permutasi ini adalah
0*
: !* -
Z*:10,19 _ 14,54: 4,35
&
Sampel permutasi berikutnya yang diambil, diperoleh rata-rata untuk kelompok pertama adalah 1l,09danrata-rata kelompok yang kedual3,64. Dengan demikian diperoleh nilai statistik uji 0-sebesar -2,55. Pengambilan sampel permutasi ini dilakukan sebanyak 8:1000 kali dengan bantuan program Matlab 7.0 sehingga diperoleh nilai rata-rata untuk data *urirrg-*using kelompok serta nilaistatistik ujiiO.;untuk setiap sampel permutasi. Tqbel-3 menyajikan rata-rata masing-masing kelompok dan statistik uji untuk setiap permutasi tersebut.
Tabel3. Data sampel untuk kasus pertama
Btz0.
10,19
14,54
-4,35
I 1,09
13,64
-?
13,86
10,86
3,00
15,80
8,93
6,8'r
17,41
1,3r
10,10
11"66
,a,r,
11,29
13,43
55
Apabila nilai statistik uji(0.) tsrsebut disajikan dalam bentuk histogram maka diperoleh gambaran bahwa nilai statistik uji dari 1000 permutasi menyebar mendekati normal. Hal ini dapat dilihat pada Gambar l.Dari hasil perhitungan, banyaknya nilai statistik uji permutasi (0.) untuk data sampel permutasi yang lebih besar daripada nilai statistik uji permutasi (0'luntuk data sampel asli adalah sebanyak 456. Jadi nilai aSt.permutasi dapat dihitung seperti berikut ini:
,ASt*
> 0j _456 _#t0. = 0,4560 = 45,600/o =' E _:m0
Nilai asl.yang cukup besar ini memutuskan hipotesis nol tidak dapat ditolak yang menunjukkan bahwa rata-rata dua populasi itu adalah sama.
'a E
40
0)
f x
o)
li30
01
r
l
lzs -2o -15 -'to -5
o
5
10 15 20
25
Nilai statistik uii
Gambar l.Nilai statistik uji permutasi
10.1kasus pertama untuk B
=
1000
&
Pengambilan sampel permutasi juga diulang untuk B:1s00 kali.Perulangan ini menghasilkan bahwa banyaknya nilai statistik uji permutasi 0* untuk data sampel permutasi, yang lebih besar daripada nilai -statistik uji permutasi 0 adalah sebanyak 722. Jadi nilai esl- permutasi dapat dihitung seperti berikut ini:
e
ASL*
> o}
-#{0.B
-
122 1500=0,4813-49,l3o/o
Nilai asr di atas menunjukkan simpulan yang dihasilkan sama dengan kasus B : 1000, bahwa karena nilaiasl.ini cukup besar maka hipotesis nol tidak dapat ditolak yang menunjukkan bahwa rata-rata populasi pertamabelum tentu lebih besar daripada rata-rata untuk populasi kedua.
Simulasi untuk kasus pertama ini juga dilakukan untukB:2000, 2500, /sr. untuk kelima macam banyak perulangan tersebut disajikan dalam Tabel4 dan 3000. Rekapitulasi nilai
Tabel 4. Nilai AsL. untuk kasus pertama
B#
1000 1500
456 722
2000 2500
883
1154 1376
3000
0,4560 0,4813
0,4415 0,4616 587
Kajian Untuk Rata-Rata Populasi Yang Berbeda Kasus kedua yang dikaji adalah perbandingan dua rata-rata populasi untuk ta.ta-tata populasi yang berbeda.Rata-rata populasi pertama ditetapkan lebih besar daripada rata-rata populasi kedua.Adapun data sampel untuk kasus kedua, disajikan pada Tabel 5 berikut ini. Tabel 5. Data sampel untuk kasus kedua
YZ
15,22
5,39
7,69
19,65
34,51
7,53
1,35
16,74 14,92
2,63
3,44
5,86
65,13 I 1,38
6,60
4,74 7,61
8,40 3,32 5,82
2,49 11,50 0,98 5,32 6,94 3,12 0,88 l,l5 1,34 1,29 0,84 9,30 7,89 g,5g 1,38 l,4g 0,48 6,09 6,13 3,39
Data sampel kelompok kedua ini memberikan nilai rata-rata! = 12,40 dan rata-rata sampel untuk kelompok kedua, 2:4,03. Sehingga diperoleh perbedaan rata-rata dua kelompok dengan data asli, 0 : 8,37. Sama halnya dengan kasus pertama, pada kasus kedua ini juga dilakukan perulangan perhitungan untuk lima macam nilai r, masing-masing adalah 1000,
&
1500, 2000,2500, dan 3000.Kelima perulangan ini memberikan nilai,45t. seperti disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6. Nilai asl. untuk kasus kedua 54
1000 I 500 2000
r04
2500
154
3000
196
t4l
0,0540 0,0693 0,0705 0,0616 0,0653
Nilai .asl.dari Tabel6 di atas, jika dirata-ratakan diperoleh sebesar 0,0641. Artinya, peluang menolak hipotesis "rata-rata dua populasi adalah sama" sebesar 93,59%.Ni1ai asl. menyebar normal.Salah satu plot 1SI.-nya (r = 1000) dapat dilihat padaGambar2.
'6 c
g50
.Y c, L
u-
40
10
0 -15
-10-5051015202530 Nilai statistik uji
Gambar 2.Nilai statistik uji permutasi 16.1kasus kedua untuk B =
1000
4. KESIMPULAN Uji permutasi memberikan hasil yang
sesuai dengan yang sesun$guhnya-
Kajian dilakukan terhadap dua kasus, yaitu rata-rata populasi sama dan rata-rata populasi yang berbeda. Jika ditetapkan bahwa rata-rata dua populasi adalah sama maka rata-rata nilai esr.adalah 0,4598. Artinya, simpulan yang dihasilkan dari lima macam perulangan semuanya sesuai dengan yang sebenarrtya karena nilai ASL.yang cukup besar (mendekati 0,5). Sedangkan jika ditetapkan bahwa rata-rata dua populasi adalah berbeda maka rata-rata kebenaran yang dihasilkan mencapai 93,59Yo.
6
5. DAFTAR PUSTAKA
Efron, B. dan Tibshirani, R.!.:An Introduction to the Bootstrap.Chapman & Hall, New York (1993) Hogg, RV. dan Craig, AT.:Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition. Macmillan Publishing Company, New York (1995) Marzuki: Pengaruh Bimbingan Belajar terhadap Nilai Mahasiswa dengan Uji PermtfiasiJu.rnal Statistilm Vol. 11 No. 1, Mei 2011. Jurusan Statistika FMIPA Unisba (2011) Sudjana: Metode Statistika. Tarsito, Bandung (1996) walpole, R.E. dan Myers, R.H.:Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. ITB, Bandung ( I 995) Yunus, S.:Perbandingan Dua Sampel dengan (Iji Permulcsi.FMIPA Unsyiah, Banda Aceh (2007)
e
