´ SERIE 1 • Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, jestliˇze zn´ate d´elku jeho dvou stran (a = 5cm, b = 7cm) a polomˇer kruˇznice jemu opsan´e (r = 6cm). • Mˇejme (uspoˇr´adanou) trojici ˇc´ısel a, b, c. Po jednom kroku se trojice zmˇen´ı na b + c, a + c, a + b. Pokud na zaˇc´atku m´ame trojici 1, 3, 5, jak´ y bude rozd´ıl druh´e m´ınus prvn´ı ˇc´ıslo trojice po 999 kroc´ıch? • Bl´azniv´ y ˇsachov´ y k˚ un ˇ si sk´aˇce n´ahodnˇe po ˇsachovnici 4 × 4. M˚ uˇze obˇehat vˇsechna pol´ıˇcka, aniˇz by se na nˇekter´em vyskytl dvakr´at?
´ SERIE 2 • Najdˇete nejmenˇs´ı n takov´e, ˇze ˇc´ısla 1 aˇz n lze napsat v nˇejak´em poˇrad´ı za sebou na pap´ır tak, aby vzniknul palindrom. (Napˇr. ˇc´ısla 729, 5, 75 a 2 tvoˇr´ı ve spr´avn´em poˇrad´ı palindrom: 5729275.) • Hugo a Kvˇeta hraj´ı hru. Stˇr´ıdavˇe ˇr´ıkaj´ı ˇc´ısla mezi 1 a 22 (vˇcetnˇe). Nejprve ˇrekne ˇc´ıslo Hugo libovolnˇe. Kaˇzd´e dalˇs´ı ˇreˇcen´e ˇc´ıslo mus´ı b´ yt r˚ uzn´e od vˇsech pˇredchoz´ıch a nav´ıc vˇzdy dvˇe posledn´ı ˇc´ısla mus´ı v souˇctu d´avat druhou mocninu nˇejak´eho pˇrirozen´eho ˇc´ısla. Ten, kdo nem˚ uˇze ˇr´ıct nic, prohraje. M´a nˇekdo z tˇech dvou vyhr´avaj´ıc´ı strategii? Jestli ano, kdo a jakou? • Pouˇzit´ım mnoˇzstv´ı pythagorov´ ych vˇet najdˇete vzorec pro obsah troj´ uheln´ıku, kdyˇz zn´ame jeho tˇri strany.
´ SERIE 3 • Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, jestliˇze zn´ate d´elku jeho strany (|BC| = 10cm), velikost vnitˇrn´ıho u ´hlu (|̸ ABC| = 20◦ ) a polomˇer kruˇznice troj´ uheln´ıku opsan´e (r = 6cm). • Najdˇete trojcifern´a ˇc´ısla aab, ccd, bbd, kde a, b, c, d jsou navz´ajem r˚ uzn´e cifry, pˇriˇcemˇz plat´ı: aab + ccd = 1000 aab − ccd = bbd + 1. • Petr a Jitka hraj´ı n´asleduj´ıc´ı hru. Z hromady kamen˚ u berou stˇr´ıdavˇe ˇ adn´ kameny tak, ˇze kaˇzd´ y sm´ı vz´ıt najednou nejv´ıce sedm kamen˚ u. Z´ y hr´aˇc nesm´ı vz´ıt stejn´ y poˇcet kamen˚ u jako jeho protihr´aˇc v pˇredchoz´ım tahu. Prohr´av´a ten, kdo jiˇz nem´a tah. Kolik kamen˚ u mus´ı vz´ıt Petr ˇ sen´ı tohohle z hromady 20 kamen˚ u, jestliˇze zaˇc´ın´a a chce vyhr´at? (Reˇ pˇr´ıkladu nem´ame, ale vy ho urˇcitˇe vymysl´ıte:). )
´ SERIE 4 • Karel poˇc´ıt´a zn´amky pˇresnˇe v p˚ ulce si udˇel´a pˇrest´avku a nap´ıˇse si na pap´ır pr˚ ubˇeˇzn´ y v´ ysledek. Pak pˇrijde spr´avn´e trojcifern´e ˇc´ıslo pˇreˇcte odzadu, ˇc´ımˇz dostane menˇs´ı trojcifern´e ˇc´ıslo a poˇc´ıt´a d´al. Vyjde mu, ˇze m´a 746 zn´amek. Kolik zn´amek m˚ uˇze m´ıt ve skuteˇcnosti? • V oboru cel´ ych ˇc´ısel ˇreˇste rovnici x2 + y 2 = xy + 2x. • Na louce jsou sloupky v pravideln´em troj´ uheln´ıkov´em uspoˇr´ad´an´ı, tak, ˇze kaˇzd´a√ souˇradnice je ve tvaru A + ωB, kde A, B jsou cel´a ˇc´ısla a ω = 1+2 3 . Jak´a je nejvˇetˇs´ı vzd´alenost od nejbliˇzˇs´ıho sloupku, kam m˚ uˇze frisbee dopadnout? (Frisbee povaˇzujte za bod. Troj´ uheln´ıkov´a s´ıˇt je nekoneˇcn´a.)
´ SERIE 5 • Po obvodu kruhu jsou naps´ana ˇc´ısla 1, 2 a 3. Mezi kaˇzd´a dvˇe sousedn´ı ˇc´ısla zap´ıˇseme jejich souˇcet, z´ısk´ame tak ˇsest ˇc´ısel (1, 3, 2, 5, 3, 4). Pokud tento postup zopakujeme jeˇstˇe ˇctyˇrikr´at, z´ısk´ame celkem 96 ˇc´ısel zapsan´ ych po obvodu. Jak´ y je souˇcet vˇsech tˇechto ˇc´ısel? • Dokaˇzte, ˇze je moˇzn´e naj´ıt 1000 po sobˇe jdouc´ıch pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, kter´a jsou vˇsechna sloˇzen´a. • V pravo´ uhl´em rovnoramenn´em troj´ uheln´ıku ABC najdˇete bod X takov´ y, ˇze cesty ABXCA a AXBCA a ABCXA jsou stejnˇe dlouh´e.
´ SERIE 6 • Nad stranami rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıka s odvˇesnami d´elky 4cm jsou zvnˇejˇsku sestrojeny ˇctverce. Vypoˇctˇete obvod troj´ uheln´ıku, jehoˇz vrcholy jsou stˇredy tˇechto ˇctverc˚ u. • Pr´avˇe dva dˇelitel´e ˇc´ısla 332 − 1 jsou souˇcasnˇe vˇetˇs´ı neˇz 75 a menˇs´ı neˇz 85. Jak´ y je jejich souˇcin? • Sestrojte pomoc´ı prav´ıtka, kruˇz´ıtka a prov´azku troj´ uheln´ık ABC, zn´ateli jeho obvod, polomˇer kruˇznice vepsan´e a v´ yˇsku na stranu a.
´ SERIE 7 • Na trati z Kocourkova do Lhoty se zv´ yˇsil poˇcet zast´avek. Na trati se tak dalo koupit o 46 v´ıce r˚ uzn´ ych j´ızdenek neˇz p˚ uvodnˇe (j´ızdenka je d´ana m´ıstem odjezdu a pˇr´ıjezdu; lze jet z libovoln´e stanice do libovoln´e jin´e). Kolik stanic bylo na trati p˚ uvodnˇe a kolik je nyn´ı? • V rovinˇe je mnoˇzina 90 bod˚ u M , ˇz´adn´e tˇri neleˇz´ı na jedn´e pˇr´ımce. Kaˇzd´ y bod je spojen u ´seˇckou s pr´avˇe deseti dalˇs´ımi body. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzd´ y bod A ∈ M lze vybrat tˇri body P, Q, R ∈ M tak, ˇze ve ˇctveˇrici A, P , Q, R je kaˇzd´ y bod spojen u ´seˇckou aspoˇ n se dvˇema dalˇs´ımi body ˇctveˇrice. •
1. Je 5 dom˚ u v 5 rozd´ıln´ ych barv´ach. 2. V kaˇzd´em domˇe ˇzije osoba rozd´ıln´e n´arodnosti. 3. Tˇechto 5 obyvatel pije sv˚ uj n´apoj, kouˇr´ı svoje cigarety a chov´a zv´ıˇrata. 4. Nikdo nepije to co ostatn´ı, nekouˇr´ı co ostatn´ı a nechov´a to co ostatn´ı. 5. Angliˇcan ˇzije v ˇcerven´em domˇe. ˇ ed chov´a psy. 6. Sv´ 7. D´an pije ˇcaj. 8. Zelen´ y d˚ um je hned nalevo od b´ıl´eho. 9. Obyvatel zelen´eho domu pije k´avu. 10. Ten, co kouˇr´ı Pall Mall, chov´a pt´aky. 11. Obyvatel ˇzlut´eho domu kouˇr´ı Dunhill. 12. Ten, co ˇzije ve stˇredn´ım domˇe, pije ml´eko. 13. Nor ˇzije v prvn´ım domˇe. 14. Ten, co kouˇr´ı Blend, ˇzije vedle toho, co chov´a koˇcky. 15. Ten, co chov´a konˇe, ˇzije vedle toho, co kouˇr´ı Dunhill. 16. Ten, co kouˇr´ı Blue Master, pije pivo. 17. Nˇemec kouˇr´ı Prince. 18. Nor ˇzije vedle modr´eho domu. 19. Ten, co kouˇr´ı Blend, m´a souseda, kter´ y pije vodu. Kdo chov´a ryby?
´ SERIE 8 • Obd´eln´ık 1 × 5cm rozdˇelte na devˇet d´ıl˚ u tak, aby se z nich dal sestavit ˇctverec. • Statistika zahrnuje 42 lid´ı. U 28 je zn´amo telefonn´ı ˇc´ıslo, u 10 bydliˇstˇe a u pˇeti se pˇredpokl´ad´a z´ajem o v´ yrobek. O kolika lidech lze nejv´ yˇse ˇr´ıct, ˇze o nich v´ıme oba u ´daje a nemaj´ı z´ajem, pokud u kaˇzd´eho zn´ame ˇ telefonn´ı ˇc´ıslo, nebo bydliˇstˇe, nebo pˇredpokl´ad´ame, ˇze m´a z´ajem. bud • Danovo ˇc´ıslo m´a dˇevˇet ˇc´ıslic, z nichˇz 5 je stejn´ ych a zbyl´e ˇctyˇri navz´ajem ˇ ıslo r˚ uzn´e. Tak´e v´ıme, ˇze je dˇeliteln´e tˇremi a ˇze zaˇc´ın´a na sedmiˇcku. C´ nˇekde obsahuje ˇsestku. Pokud Danovi ˇrekneme vˇsech devˇet ˇc´ıslic v jak´emkoli poˇrad´ı, prozrad´ı n´am sv´e ˇc´ıslo. Kolikr´at mus´ıme nejv´ yˇse h´adat?
´ SERIE 9 • Mˇejme posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, jejichˇz prvn´ı ˇclen je 2013, a kaˇzd´ y dalˇs´ı ˇclen je souˇctem druh´ ych mocnin ˇc´ıslic pˇredchoz´ıho ˇclenu. Urˇcete 2013. ˇclen t´eto posloupnosti. • Nˇekter´e z 11 krabic obsahuj´ı po osmi menˇs´ıch krabic´ıch a nˇekter´e z tˇechto menˇs´ıch krabic obsahuj´ı po osmi jeˇstˇe menˇs´ıch pr´azdn´ ych krabic´ıch. Kolik je celkem krabic, je-li pr´azdn´ ych krabic 102? • Zjistˇete, kter´a ˇc´ısla menˇs´ı neˇz 20 dˇel´ı ˇc´ıslo 967192633850202599549348615842451986855.
´ SERIE 10 • M˚ uˇze m´ıt pˇrirozenˇeˇc´ıseln´a mocnina dvojky ve sv´em dekadick´em z´apisu stejn´ y poˇcet jedniˇcek, dvojek, trojek,..., dev´ıtek? • Existuje troj´ uheln´ık, jehoˇz dvˇe v´ yˇsky jsou delˇs´ı neˇz 1m a jehoˇz obsah je menˇs´ı neˇz 1cm2 ?
´ SERIE 11 • Souˇcin vˇek˚ u m´ ych dˇet´ı je 1664. Vˇek nejmladˇs´ıho je roven polovinˇe vˇeku nejstarˇs´ıho. Kolik m´am dˇet´ı? (Vˇsechny vˇeky jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla.) • Pod´el pole vede pˇr´ım´ a cesta, po n´ıˇz pˇrib´ıh´ame. Borec se chce dostat co nejrychleji na m´ısto vzd´alen´e 100 metr˚ u od cesty. Zat´ım je od m´ısta ve vzd´alenosti vˇetˇs´ı neˇz jeden kilometr. Po poli bˇeˇz´ı rychlost´ı 2m/s, po silnici 3m/s. Jakou vzd´alenost m´a borec ubˇehnout polem, pokud chce, aby ˇcas byl co nejkratˇs´ı?
