SEMMELWEIS EGYETEM
Biofizikai és Sugárbiológiai Intézet, Nanokémiai Kutatócsoport
Transzportjelenségek az élő szervezetben II.
Zrínyi Miklós egyetemi tanár, az MTA levelező tagja
[email protected]
Konduktív transzportfolyamatok egységes tárgyalása
ÁRAM:
diffúzió
hővezetés
reológia
komponens áram (tömeg áram)
energia áram
impulzus áram
HAJTÓERŐ:
∇c
∇T
∇v
ÁRAMSŰRŰSÉG:
jn = − D∇c
jQ = −k ∇T
ji = −η∇v
VÁLTOZÁS:
∂c = D∇ 2 c ∂t
∂T = α∇ 2T ∂t
Fick
Fourier
Newton
Laplace operátor:
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z 2
A diffúzió molekuláris elmélete
egyirányú laterális radiális
< x 2 >= 2 Dt < σ 2 >= 4 Dt < r 2 >= 6 Dt
Brown mozgás, bolyongás 0,3
P ( x)
< x 2 >1/2 = 1cm
0,2
k BT
k BT D= = ξ 6πη R
0,1
< x 2 >1/2 = 2cm
Stokes-Einstein összefüggés
0,0 -6
-4
-2
0
2
4
6
Konvekció vagy diffúzió ? Konvektív anyagtranszport esetén adott L távolság megtételéhez szükséges idő: tkonv
= L/v
Konduktív anyagtranszport esetén adott L távolság megtételéhez szükséges idő: tdiff
= L2 / D
egység
Péclet szám: Pe =
tdiff tkonv
=
L⋅v D
Méret (m)
Proteinek és nuklein savak
10−8
organelles
10−7
sejtek
10−6
kapillárisok
10−4
szervek
10−1
test
100
Pe ≪ 1 A diffúzió gyorsabb, mint a konvekció ! Pe ≫ 1 A konvekció gyorsabb, mint a diffúzió ! Glükóz diffúziója és áramlása sejtben. −6
L = 10 m
−8
2 −1
D = 7 ⋅10 m s
−2
v = 10 ms
−1
A diffúzió a gyorsabb anyagtranszport!
10−8 Pe = = 0,13 7 ⋅10−8
Konszekutiv transzportfolyamatok A leglassúbb folyamat a sebesség meghatározó diffúziós idő diffúzió - konvekció Péclet szám: áramlási idő
m. átadás - diffúzió (dialízis)
L⋅v Pe = D
m. átadás Biot szám: i. diffúziós idő
km ⋅ L Bi = Deff
y v ( x, y )
konvekció
diffúzió
x
∇c =
dc = f v ( x, y ) dy
A komponens áram függ az áramlási sebességtől !
helyváltozás Ha egy testre erő hat alakváltozás DEFORMÁCIÓ ru
galm
as Fluidumok áramlása
viszkózus
Fluid fázis: a folyadék és a gáz halmazállapot összefoglaló neve, amely arra utal, hogy az anyagok mindkét állapotban viszonylag könnyen változtatják alakjukat, könnyen folynak.
Biomechanika A mechanika törvényeinek alkalmazása élő rendszerekre. Erő hatására bekövetkező mozgásokat tárgyalja térben és időben. passiv komponensek
aktív komponensek
Erő hatására változnak mint pl. csontok, és inak. Hooke szerű mechanikai viselkedés
Erőt generálnak mint pl. az izmok, Komplex mechanikai viselkedés
Biomechanika energia rugalmasság
entrópia rugalmasság Nemlineáris, időtől függő mechanikai viselkedés
ε(r)
r
f
Biomechanika Hooke törvény f ∆l =E A lo
Nemlineáris, időtől függő mechanikai viselkedés
(
f / ro2π = G λx − λx2
Nominális feszültség
f Young modulusz A
Hooke törvény
neo-Hooke törvény
)
deformáció arány
„nyíró„modulusz
E G= 2(1 +ν ) ∆l lo
Poisson arány Egyirányú deformációnál a keresztirányú alakváltozás és a hosszirányú alakváltozás viszonya.
Young modulusz haj: 12000 MPa combcsont: 6000 MPa kollagén 2000 MPa Achilles in: 250 MPa acél: 200 MPa köröm: 160 MPa izületi porc: 24 MPa idegrost: 10 MPa porckorong: 6,0 MPa arcbőr: 0,3 MPa koronária: 0,1 MPa szívizom: 0,08 MPa nyelőcső: 0,03 MPa harántcsíkolt izom: 0,02 MPa
A különböző anyagi rendszerek folyásával foglalkozó tudományt 1928-ban Bingham javaslatára nevezték el reológiának. (Rheos logos = folyástan)
Sir Isac Newton (1642-1727)
Hemoreológia
Az áramlás típusa turbulens Re =
vd ρ
η
η v kr = Re ⋅ ρ ⋅d
lamináris Re < 2100(?)
Folyás lamináris, turbulens, összenyomható, összenyomhatatlan, „száraz”, viszkózus, állandó, pulzáló, rotáló.
Bernoulli egyenlet 1 2 p + ρ vx + ρ gh = konst. 2
A keringési rendszer (cardiovascularis) többségében az áramlás lamináris. Kivétel a szívből az aortába kilökődő vér áramlása.
Alapfogalmak:
Nyomó erő Nyíró erő
Nyírás: tangenciálisan ható (nyíró)erő (F) vált ki deformációt.
Tiszta nyírás
Rotációs nyírás
Alapfogalmak: Nyírófeszültség:
F τ = AS
AS
F
Elmozdulás: x y
Deformáció: F
ux ( y )
γ=
du x ( y ) dy
Alapfogalmak: y
ux ( y )
du x γ= dy
Deformáció:
x
Deformáció sebesség:
dγ dt
dvx dγ d dux d dux = = = dt dt dy dy dt dy A deformáció sebesség megegyezik a sebesség gradienssel!
Alapfogalmak: j i = −η ∇ v
τ = η∇v
Kapcsolat a nyírófeszültség és a sebesség gradiens között:
dvx τ =η dy viszkozitás
Newton egyenlet
Rotációs viszkoziméter
dvx τ =η dy
Dinamikai viszkozitás (általában ezt értjük viszkozitás alatt pascal seconds (Pa s) Régebben Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869) tiszteletére használták a 1 poise = 100 centipoise = 0.1 Pa·s. Fluiditás a viszkozitás reciproka (= 1/η). Kinematikai viszkozitás: a dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa (= η/ρ). (m2 s-1) or the stoke (St).
Newtoni folyadék folyásgörbéje
τ
dv x τ =η dy
nyírófeszültség
viszkozitás
tg α= η
[ Pa ]
[ Pa ⋅ s ]
−1
s
α dvx dy
sebesség gradiens vagy
deformáció sebesség
Newtoni testek folyás és viszkozitásgörbéi -folyás már a legkisebb nyíróerő hatására is megindul, -a nyíróerő és a sebesség-gradiens között egyenes arányosság van, -a viszkozitás független a nyíróerő nagyságától.
víz, tej, cukor oldat, étolaj
dvx dy
Anyag Levegő
Hőmérséklet Viszkozitás 18 °C 0,018
Víz Víz Víz Glicerin Higany n-Pentán Argon He4 Szuperfoly. He4 Üveg
0 °C 20 °C 100 °C 20 °C 20 °C 20 °C 85 K 4,2 K < 2,1 K
1,8 1 0,28 1500 1,6 0,23 0,28 0,033 0 > 1015
[ mPa ⋅ s ]
viszkozitás /mPa ⋅ s
biofolyadék
T/ °C
vér
37
4
vér plazma
37
1,5
könny
37
0,73 – 0,97
levegő
20
1,8 ⋅10−2
izületi folyadék
20
> 3 ⋅102 (nem Newtoni)
agyvíz
20
1,02
(nem Newtoni)
Nem newtoni testek folyásgörbéi - viszkozitás nagysága az anyagi minőségen kívül a deformációs hatás mértékétől és idejétől is függ.
Folyásgörbéik alapján megkülönböztetünk: •ideálisan plasztikus (Bingham-testek) •reális plasztikus tulajdonságú testeket. •szerkezeti viszkozitás
•ideálisan plasztikus (Bingham-test)
dvx dy
Reálisan plasztikus testek
Dilatancia
Viszkozitás növekszik nyírás hatására
τ
•Nedves homok •Keményítő szuszpenzió •vér
dvx dy
At moderate concentrations above a critical value (C*, [244]) •szerkezeti viszkozitás
. hydrocolloid solutions exhibit non-Newtonian behavior where their
viscosity depends on the shear strain rate, typically as opposite, Viszkozitás csökken nyírás hatására where γ is the shear strain rate, η0 and η∞ are the viscosities at zero and infinite shear strain rate respectively and τ is a sheardependent time constant that represents the reciprocal of the shear strain rate required to halve the viscosity The exponent (m) gives the degree of thinning (0 = no thinning, i.e. Newtonian behavior; 1 = maximal thinning) and determines the slope of the graph (i.e.
polimer oldat
festék
the slope is greater when m is greater). The equation is one of a number of empirical relationships that can be used.
ketchup
A tixotrópiát mutató testek külső mechanikai erők hatására (rázás, keverés, dörzsölés), aránylag kis munkabefektetés mellett elfolyósodnak. Az elfolyósodás viszkozitás csökkenésben nyilvánul meg. (festék, joghurt) A reopexiát mutató testek külső mechanikai erők hatására (rázás, keverés, dörzsölés), aránylag kis munkabefektetés mellett keményednek. Az elfolyósodás viszkozitás növekedésben nyilvánul meg. (gipsz szuszpenzió)
tixotrópia
reopexia
η
η
t
t
P + ∆P
Folyadék áramlása csőben áramlási profil
P
dv x τ = −η⋅ dr
2R
r 2π ⋅ dP r dP r ∆P τ= = ⋅ = 2rπ ⋅ dx 2 dx 2 L
L
dvx = −
2R
( )
∆P 2 vx ( r ) = − ⋅ r + konst. 4 Lη
vx ( r = R ) = 0
dx
2 ∆ PR ∆P vx ( r ) = ⋅ R 2 − r2 = 4 Lη 4 Lη
(
2r
∆P ∆P ⋅ 2 ⋅ r ⋅ dr = − ⋅ d r2 4 Lη 4 Lη
)
r2 ⋅ 1 − 2 R
r2 vx ( r ) = vmax ⋅ 1 − 2 R
R ∆P = ⋅ 4η L 2
vmax
R
IV = 2π ⋅ ∫ r ⋅ vx (r ) ⋅ dr 0
Folyadék áramlása csőben térfogatáram
r2 ⋅ 1 − 2 R
∆PR 2 vx ( r ) = 4 Lη
r2 IV = 2π ⋅ ∫ r ⋅ vmax ⋅ 1 − 2 ⋅ dr R 0 R0
π ⋅ Ro ∆P ⋅ IV = 8η L 4
2
IV R0 ∆P 1 ⋅ = v max vx = 2 = 8η L 2 Ro π
Newtoni folyadék lamináris áramlása (összefoglalás)
P+∆P
P
2Ro
Parabolikus sebesség profil r
x L
∆PR0 2 vz ( r ) = 4 Lη 4L
vx(r)
r2 ⋅ 1 − 2 R0
x
Hagen-Poiseuille törvény
π ⋅ Ro ∆P IV = ⋅ 8η L 4
p+
1 2 ρ vx + ρ gh = const Bernoulli törvény 2
Parabolikus sebesség profil módosulása
katéter
A1
A2
turbulens
Vér áramlása elágazó erekben
π ⋅ Ro 4 1 IV = ⋅ ∆P = ⋅ ∆P 8η L Rres Rres ( soros ) = ∑ Rres ,i
Rres ( párhzamos ) = ∑ i
i
érszakasz
átmérő cm
hossz cm
elágazások száma
áramlási seb. cm/s
aorta
2,4
40
1
23
artériák
0,4
15
160
5
kapillárisok
0,0007
0,07
0,022
vénák
0,5
15
1, 2 ⋅1010 200
2,5
1 Rres ,i
Relativ viszkozitás (ηrel). oldat
η t ηrel = ≃ η o to oldószer
Specifikus viszkozitás (ηsp)
η sp = ηrel − 1
Ostwald-féle viszkoziméter
Redukált viszkozitás (ηred)
ηred =
ηsp c
Jellemző viszkozitás ([η])
[η ] = limc→0 ηred
Ubbelohde féle viszkoziméter
η sp c
[η ] c
Stokes törvény:
fη = 6πη ar vx
ar
vx
Höppler féle viszkoziméter
Híg szuszpenziók viszkozitása: Általában newtoni viselkedés
Einstein-egyenlet
[η ] = 2.5Φ η = ηo (1 + 2.5Φ )
Térfogati tört
A viszkozitás független a részecskék méretétől !
Einstein-egyenlet általánosítása:
[η ] = ν a Φ
η = ηo (1 +ν a Φ )
Asszimetria faktor νa =
(a / b)
2
2a 3 15 ln − b 2
νa =
+
(a / b)
2
14 2a 1 5 5 ln − b 2 +
16 ( a / b ) 15 tan
−1
(a / b)
DNS-re: a / b = 27,8 ν a = 65, 2
Prolát elipszoid
Oblát elipszoid
η = ηo (1 + 2.5Φ )
A viszkozitása függése a hőmérséklettől:
Ea RT
η (T ) = ηo iexp
Stokes-Einstein law:
kBT D= 6πη ar
