Seminar Tesis AKAR KUADRAT ENSEMBLE KALMAN FILTER (AK-EnKF) UNTUK ESTIMASI POSISI PELURU KENDALI OLEH : Teguh Herlambang
(1210 201 014)
DOSEN PEMBIMBING: Subchan, PhD (19710513 199702 1 001 ) Dr. Erna Apriliani, M.Si (19660414 199102 2 001)
Latar Belakang
Peluru Kendali
Senjata Militer Otomatis untuk mencari target atau menyesuaikan arah
Isu Saat ini Perencanaan Lintasan dengan estimasi posisi
Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) untuk Estimasi Posisi
Lintasan ditentukan berdasarkan posisi target
Rumusan dan Batasan Masalah
Rumusan Masalah a.
b.
c.
Bagaimana mengimplementasi Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) untuk mengestimasi posisi peluru kendali dengan input sudut tembak α yang ditentukan ? Bagaimana mengimplementasi Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) untuk mengestimasi posisi peluru kendali dengan input sudut tembak α yang diperoleh dari penentuan lintasan ? Bagaimana perbandingan hasil estimasi posisi peluru kendali antara Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) dengan Ensemble Kalman Filter (EnKF) ?
Batasan Masalah a. b. c.
Diasumsikan tidak ada hambatan selama peluru kendali terbang. Diasumsikan pada dimensi dua. Simulasi pada penelitian ini menggunakan software Matlab
Tujuan dan Manfaat TUJUAN : •
Tujuan dari Tesis ini adalah untuk mendapatkan hasil estimasi posisi peluru kendali dengan input sudut tembak α yang ditentukan dan diperoleh dari menentukan lintasan terlebih dahulu dengan menggunakan metode Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) dan membandingkannya dengan metode Ensemble Kalman Filter (EnKF).
MANFAAT : • memberikan informasi mengenai estimasi posisi peluru kendali dengan menggunakan metode Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (EnKF) dan Ensemble Kalman Filter (EnKF).
Studi Penelitian Terdahulu Studi Penelitian Terdahulu : •
•
•
Penelitian mengenai perancangan hukum panduan terpadu untuk misil dengan algoritma hybrid multi tujuan dan tabu search telah dilakukan oleh Omar dan Abido (2010). Dalam hal ini misil dikontrol supaya mengikuti hukum panduan yang sudah ditetapkan tetapi belum dilakukan estimasi Penelitian mengenai estimasi lintasan Misil telah dilakukan oleh Pancahayani (2011). Metode estimasi yang digunakan adalah Ensemble Kalman Filter (EnKF) dan dengan nilai input ditetapkan. Penelitian lain yang dilakukan Jasmir (2008) adalah penerapan akar kuadrat pada Ensemble Kalman filter (EnKF) diterapkan pada model keadaan pengeboran minyak
Model Matematika Peluru Kendali 1 g ( L + T sin α ) − cos γ mV V
γ = V
1 (T cos α − D ) − g sin γ m
x = V cos γ h = V sin γ
1 D ( h, V , α ) = Cd ρV 2 S ref 2
Cd = A1α 2 + A2α + A3 1 L ( h, V , α ) = Cl ρV 2 S ref 2
= Cl B1α + B2
ρ = C1h 2 + C2 h + C3
Gambar 1. Model gaya pada peluru kendali (Oman dan Abido, 2010).
Lanjutan
Kuantitas
Nilai
satuan
m
1005
kg
g
9.81
m / s2
S ref
0.3376
m2
A1
-1.9431
A2
-0.1499
A3
0.2359
B1
21.9
B2
0
T
6000 −9
C1
3,312.10
C2
1,142.10−4
C3
1.224
kg 2 m kg 2 m kg 2 m
Ensemble Kalman Filter (EnKF)
Merupakan salah satu metode dalam asimilasi data yang telah banyak digunakan untuk mengestimasi berbagai persoalan berbentuk model sistem nonlinear, dan telah ditunjukkan bahwa mampu menyelesaikan model sistem dinamik nonlinear dan ruang keadaan (state space) yang besar. Ada tiga tahapan : Tahap inisialisasi Tahap prediksi (time update step) Tahap koreksi (measurement update step).
Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) Inisialisasi x0,i = [ x0,1
x0,3 x0, N ]
x0, 2
Tentukan nilai awal xˆ = 1 0
N
N
∑ xˆ i =1
Tahap Prediksi
− k
xˆ = f ( xˆ k −1 , u k −1 ) + wk ,i Estimasi xˆ k− =
1 N
N
∑ xˆ i =1
− k ,i
Kovarian Error 1 N − P = ( xˆ k ,i − xˆ k− )( xˆ k−,i − xˆ k− ) T ∑ N − 1 i =1 − k
0 ,i
Tahap Koreksi
z k ,i = z k + v k ,i Kalman Gain
K k = Pk− H T ( HPk− H T + Rk ) −1
Estimasi x k ,i = xˆ k−,i + K k ( z k ,i − Hxˆ k−,i ) 1 xˆk = Ne
N
∑ xˆ i =1
k ,i
Kovarian Error Pk = [ I − K k H ]Pk−
Singular Value Decomposition (SVD) Jika suatu matriks A ∈ R
U
m×k
terdapat matriks ortogonal
dan V [ v1 , , vk ] ∈ R k ×k [u1 , , um ] ∈ R m×m =
sehingga
A= U ΣV T dengan matriks Σ ∈ R
m×k
yang entri diagonalnyaσ 1 ≥ σ 2 ≥ .... ≥ σ p ≥ 0 p = min [ m, k ] dan entri yang lain nol. Nilaiσ i ≥ 0, i = 1, 2,..., p
disebut nilai singular dari A dengan T AA Eigen vektor dari disebut vektor singular kiri (U ) Eigen vektor dari AT A disebut vektor singular kanan (V )
Matriks Akar Kuadrat k ×k Misalkan matriks A ∈ R definit positif dengan komposisi k
T A λ e e = spektralnya adalah ∑ iii i =1
dengan
λ1 , λ2 , ..., λk nilai eigen dari A dan e1 , e2 , ..., ek
T e merupakan vektor eigen dari A. dan i ei = 1 untuk i = 1, 2, ..., k
dan eiT e j = 0 untuk
A dengan (= k ×k )
i ≠ j dan U = [e1 , e2 , ..., ek ]
k
T T = Λ λ e e U U ∑ i i i i =1
( k ×1) (1×k )
( k ×k ) ( k ×k ) ( k ×k )
T T dimana UU = U= U I dan Λ merupakan matriks diagonal
Lanjutan
λ1 0 0 λ 2 Λ = k ( ×k ) 0 0
0 0 dengan λi > 0 λk
Karena U ΛU T (U Λ −1U T ) =(U Λ −1U T )U ΛU T =UU T = I k
U U = jadi A =Λ ∑ −1
−1
T
i =1
k
Sehingga matriks
∑ i =1
1
λi
ei eiT
λi ei eiT= U Λ1/ 2U T disebut Akar Kuadrat dari A
1/ 2 A dan dinotasikan dengan
Algoritma Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) Inisialisasi x0,i = [ x0,1 x0, 2 x0,3 x0, N ] Mean Ensemble Awal
x0,i = x0,i 1N Ensemble Error Awal
x�0,i = x0,i − x0,i = x0,i ( I − 1N )
Tahap Koreksi
zk = zk + vk ,i ,i Ek = ( v1 , v2 ,...., vN ) S k = Hx�k−,i = Ck S k S k T + Ek Ek T Mean Ensemble xk ,i = xk−,i + x�k−,i S k T Ck −1 ( zk ,i − Hxk−,i )
Skema Akar Kuadrat -Dekomposisi Nilai Eigen
Tahap Prediksi
xˆ k− = f ( xˆ k −1 , u k −1 ) + wk ,i Mean Ensemble
xk−,i = xˆk−,i 1N
T C= U Λ U k k k k
-Menghitung Matriks M k = Λ k −1/ 2U k T S k−
-Menentukan SVD
M k = Yk LkVkT
Error Ensemble
xk ,i x�k−,iVk ( I − LTk Lk ) Error Ensemble =
x�k−,i = xˆk−,i − xk−,i = xˆk−,i ( I − 1N )
Estimasi Ensemble
xˆ= x�k ,i + xk ,i k ,i
1
2
Metodologi Penelitian Studi Pendahuluan
Mengkaji teori EnKF dan Skema Akar Kuadrat
Mendapatkan nilai dari input sudut tembak dari lintasan yang telah ditentukan
Menerapkan Metode AK-EnKF dan EnKF pada model peluru kendali dengan simulasi.
Menganalisa Hasil Simulasi
Hasil dan Pembahasan
Diskritisasi Model Penambahan faktor Stokastik Implementasi model pada metode AK-EnKF Hasil Simulasi
Diskritisasi Model
Dari Model Peluru Kendali
Dengan Menggunakan Beda maju
Sehingga didapatkan 1 g ( Lk + Tk sin α k ) − cos γ k ∆t + γ k γ mV Vk k +1 k V k +1 = 1 (T cos α − D ) − g sin γ ∆t + V k k k k xk +1 m k (Vk cos γ k ) ∆t + xk hk +1 (Vk sin γ k ) ∆t + hk
Penambahan Faktor Stokastik
secara umum model diskrit diatas dapat dituliskan ke dalam bentuk fungsi nonlinear
xk +1 = f ( xk , uk )
Penambahan Faktor Stokastik
xk +1
f ( xk , uk ) + wk
= zk Hxk + vk dengan
f ( xk , uk ) adalah fungsi nonlinier
Implementasi Model pada metode AK-EnKF
Mendefinisikan state
x = [γ
Memberikan nilai awal
x = [γ 0 V0
Model Sistem
V
x h]
T
x0
h0 ]
T
= xk +1 f ( xk , uk ) + wk γ k +1 V k +1 xk +1 hk +1
1 g ( Lk + T sin α k ) − cos γ k ∆t + γ k Vk mVk 1 (T cos α k − Dk ) − g sin γ k ∆t + Vk + wk m Vk cos γ k ) ∆t + xk ( (Vk sin γ k ) ∆t + hk
Model Pengukuran Jika V , x dan h merupakan variabel yang bisa diukur maka digunakan matriks pengukuran H sebagai berikut :
0 1 0 0 H = 0 0 1 0 0 0 0 1
Lanjutan
zk Sehingga diperoleh persamaan pengukuran z adalah =
Hxk + vk
γ 0 1 0 0 V zk 0 0 1 0 = +v x k 0 0 0 1 h Inisialisasi
x0,i = x0,1
x0,2 ..... x0, N
Selanjutnya Mengikuti Alur Algoritma AK-EnKF
Hasil Simulasi Dalam simulasi ini, nilai awal yang digunakan adalah
Dalam simulasi ini, menggunakan jumlah ensemble sebanyak 100, 200 dan 300 dan ∆t =0,1
α yang ditentukan α1 = 15 pi /180; α 2 = 10 pi /180; α 3 = −30 pi /180; α4 = −35 pi /180; α 5 = 0;
Untuk nilai input sudut tembak
Lanjutan Untuk mencari nilai α
mV γ + mg cos γ − L α = arcsin T Untuk nilai input sudut tembak α pada kasus 1
α1 = 17, 6839 pi /180; α 2 = 3,5604 pi /180; α 3 = −16,3490 pi /180; α4 = −45,3512 pi /180; α 5 = −28,1872 pi /180 Untuk nilai input sudut tembak
α
pada kasus 2
α1 = 33,5356 pi /180; α 2 = −5,8667 pi /180; α 3 = −25, 4611 pi /180; α4 = −5,5911 pi /180; α 5 = 1, 6429 pi /180 Untuk nilai input sudut tembak
α
pada kasus 3
4202 pi /180; α 2 4,3916 pi /180; α 3 8,3187 pi /180; α1 2,= = pi /180; α 5 28, 4825 pi /180 α 4 6,3837 =
Lanjutan Untuk nilai input sudut tembak α pada kasus 4
33.5356pi /180; α 2 = 34.9068 − pi /180; α 3 = 27.3743pi /180; α1 = −23.3470 pi /180; α 5 = −3.0336pi /180 α4 = Untuk nilai input sudut tembak
α
pada kasus 5
α1 = 6.8343pi /180; α 3 26.3110 pi /180; −10.5927pi /180; α 2 == α4 = 51.1154 pi /180 −36.7192pi /180; α 5 = − Untuk nilai input sudut tembak
α
pada kasus 6
α1 = −14.0070 pi /180; α 2 == 1 3.4144pi /180; α 3 23.3977pi /180; α4 = −36.7192pi /180; α 5 = −51.1154pi /180
Grafik Input ditentukan Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut
310
1.5 Real EnKF AK-EnKF
300
290
0.5 nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
1
0
-0.5
280
270
260
-1 Real EnKF AK-EnKF
250
-1.5 240
-2 0
20
40
60 80 iterasi Estimasi Posisi Horizontal
100
0
20
40
60 iterasi
120
80
100
120
Estimasi Ketinggian
1800
900
1600
800
1400
Real EnKF AK-EnKF
700
1200 600
ketinggian
posisi)
1000 800 600
400 300
400
200
200 Real EnKF AK-EnKF
0 -200
500
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
100 0
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
Lanjutan
Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 900 real EnKF AK-EnKF
800 700
ketinggian
600 500 400 300 200 100 0 -200
0
200
400
600 800 1000 posisi horizontal
1200
1400
1600
1800
Grafik Input pada Kasus 1 Estimasi Kecepatan 320 Estimasi Posisi Sudut
Real EnKF AK-EnKF
1.5
310
Real EnKF AK-EnKF
1
300
nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
0.5 0 -0.5 -1 -1.5
290 280 270 260
-2
250 -2.5
240 -3
0
20
80 60 iterasi Estimasi Posisi horizontal
40
100
40
60 iterasi
80
100
120
900
Real tertentu EnKF AK-EnKF
1600
Real tertentu EnKF AK-EnKF
800 700
1200
600
1000
500
ketinggian
1400
800
400
600
300
400
200
200
100 0
0 -200
20
Estimasi Ketinggian
1800
posisi horizontal
0
120
-100
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
Lanjutan Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 900 Real tertentu EnKF AK-EnKF
800 700
ketinggian
600 500 400 300 200 100 0 -100 -200
0
200
400
800 1000 600 posisi horizontal
1200
1400
1600
1800
Grafik Input pada Kasus 2 Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut
266
2 Real EnKF AK-EnKF
1.5
Real EnKF AK-EnKF
264 262
nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
260
1
0.5
258 256 254 252
0
250
-0.5
248 246
-1
0
20
40
60 iterasi
80
100
0
20
40
120
60 iterasi
80
100
120
Estimasi Ketinggian 1200
Posisi horizontal
Real tertentu EnKF AK-EnKF
2000 Real tertentu EnKF AK-EnKF
1000
1500
1000
ketinggian
Posisi Horizontal
800
600
500
400
0
-500
200
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
0
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
Lanjutan Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 1200
1000
Real tertentu EnKF AK-EnKF
ketinggian
800
600
400
200
0 -500
0
500 1000 posisi horizontal
1500
2000
Grafik Input pada Kasus 3 Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut 252
2.5 Real EnKF AK-EnKF
2
Real EnKF AK-EnKF
250
nilai kecepatan (V)
1.5
1
0.5
246 244 242 240 238
0 236
-0.5
234
20
0
1800
40
60 80 iterasi Posisi horizontal
100
120
0
20
40
80 60 iterasi Estimasi Ketinggian
100
120
100
120
1500
Real tertentu EnKF AK-EnKF
1600
Real tertentu EnKF AK-EnKF
1400 1200
1000
ketinggian
Posisi Horizontal
nilai gamma(posisi sudut)
248
1000 800 600
500
400 200 0
0
20
40
60
80
100
120
0
0
20
40
60
80
Lanjutan
Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 1500 Real tertentu EnKF AK-EnKF
ketinggian
1000
500
0
0
200
400
600
800 1000 1200 posisi horizontal
1400
1600
1800
Grafik Input pada Kasus 4 Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut
310
1.5 Real EnKF AK-EnKF
300
nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
1
Real EnKF AK-EnKF
0.5
0
290
280
270
-0.5
260
-1
0
20
40
60 iterasi Posisi horizontal
80
100
250
120
2500
0
20
40
80 60 iterasi Estimasi Ketinggian
100
120
100
120
900
Real tertentu EnKF AK-EnKF
Real tertentu EnKF AK-EnKF
800
2000
700
ketinggian
Posisi Horizontal
600
1500
500 400
1000 300 200
500
100
0
0
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
60
80
Lanjutan Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 900 Real tertentu EnKF AK-EnKF
800 700
ketinggian
600 500 400 300 200 100 0
0
500
1500 1000 posisi horizontal
2000
2500
Grafik Input pada Kasus 5 Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut
360
1.5 Real EnKF AK-EnKF
1
340
0
nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
0.5
Real EnKF AK-EnKF
-0.5 -1 -1.5
320
300
280
-2 -2.5
260
-3 -3.5
0
20
40
60 iterasi Posisi horizontal
80
100
120
240
0
20
40
60 80 iterasi Estimasi Ketinggian
100
120
100
120
800
2500 Real tertentu EnKF AK-EnKF
Real tertentu EnKF AK-EnKF
700
2000
500
1500
ketinggian
Posisi Horizontal
600
1000
400 300 200
500
100 0
0
20
40
60
80
100
120
0
0
20
40
60
80
Lanjutan Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 800 Real tertentu EnKF AK-EnKF
700 600
ketinggian
500 400 300 200 100 0
0
500
1500 1000 posisi horizontal
2000
2500
Grafik Input pada Kasus 6 Estimasi Kecepatan
Estimasi Posisi Sudut
360
1.5 Real EnKF AK-EnKF
1
340
0
nilai kecepatan (V)
nilai gamma(posisi sudut)
0.5
Real EnKF AK-EnKF
-0.5 -1 -1.5
320
300
280
-2 -2.5
260
-3 -3.5
240 0
20
40
60 iterasi
80
100
120
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
Estimasi Ketinggian
Posisi horizontal
900
2000 Real tertentu EnKF AK-EnKF
Real tertentu EnKF AK-EnKF
800
1500
700
ketinggian
Posisi Horizontal
600 1000
500
500 400 300 200
0
100 -500
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
0
0
20
40
60 iterasi
80
100
120
Lanjutan Estimasi Posisi horizontal & Ketinggian 900 800
Real tertentu EnKF AK-EnKF
700
ketinggian
600 500 400 300 200 100 0 -500
0
1000 500 posisi horizontal
1500
2000
Tabel hasil simulasi dengan nilai input ditetapkan
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 1
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 2
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 3
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 4
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 5
Tabel hasil simulasi dengan nilai input pada kasus 6
Kesimpulan
Kesimpulan •
•
•
Hasil simulasi yang telah dilakukan dengan menggunakan metode AK-EnKF menunjukkan bahwa dengan nilai input sudut tembak yang ditentukan menghasilkan nilai RMSE yang kecil. Hasil simulasi yang telah dilakukan dengan menggunakan metode AK-EnKF menunjukkan bahwa dengan nilai input sudut tembak yang diperoleh dari penentuan lintasan terlebih dahulu menghasilkan nilai RMSE cukup besar pada posisi horizontal dan ketinggian. Perbandingan hasil simulasi antara AK-EnKF dengan EnKF diperoleh bahwa AK-EnKF tidak lebih baik daripada EnKF karena nilai RMSE AK-EnKF sedikit lebih besar daripada EnKF, begitu juga dengan waktu simulasi AK-EnKF lebih lama daripada EnKF karena adanya proses skema akar kuadrat.
Daftar Pustaka [1]
[2]
[3] [4]
[5] [6] [7]
[8]
Apriliani, E. dan Sanjaya, B. A. (2007), Reduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu, Laporan Penelitian Hibah Pasca, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Asfihani, T. (2011), “Penerapan Kendali Optimal dan metode EKF-UI-WDF untuk Estimasi Panduan Peluru Kendali Pada Penembakan Target”, Tesis Magister Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Burgers, G et al. (1998), “Analysis Scheme in the Ensemble Kalman Filter”, Royal Netherlands Meteorological Institute, De Bilt, the Netherland. Darmawan, R. (2010), “Perencanaan Lintasan Pesawat Udara Nir Awak (PUNA) dengan Menggunakan Phytagorean Hodograph”, Tugas Akhir Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Evensen, G (2009), “Data Asimilation The Ensemble Kalman Filter (second edition)”, Springer-Verlag Berlin Hiedelberg London and New York Golub, H. G. dan Loan, V. F. Charles. (1993), “Matrix Computations (second edition)”, The John Hopkins University Press, Baltimore and London. Hasbullah, H. (2011), “Algoritma Adaptive Covariane Rank Unscented Kalman Filter untuk Estimasi Ketinggian dan Kecepatan Aliran Sungai”, Tesis Magister Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Jasmir. (2008), “Penerapan Akar Kuadrat pada Ensemble Kalman Filter”, Tesis Magister Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Daftar Pustaka [9] [10] [11]
[12]
[13]
[14] [15] [16]
Johnson, A. R dan Wichern, W. D. (2002), Applied Multivariate Statistical Analysis (fifth edition), University of Winconsin Prentice Hall, Inc., New York. Lewis, L Frank. (1986), “Optimal Estimation, With An Introduction To Stochastic Control Theory”, John Wiley and Sons, New York Masduki, A. dan Apriliani, E. (2008), “Estimation of Surabaya River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm”, The Jounal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, hal. 87-91. Omar, Hanafy.M. dan Abido, M.A. (2010), “Designing Integrated Guidance Law for Aerodynamic Missiles by Hybrid Multi-Objective Evolutionary Algorithm and Tabu Search”, Aerospace Engineering Department, King Fahda University of Petroleum and minerals, Dhahran, Saudi Arabia. Pancahayani, S. (2011), “Estimasi Lintasan Misil dengan Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF)”, Tugas Akhir Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Siouris, M George. (2003), “Missile Guidance and Control System”, Springer, New York. Subchan, S dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control. Cranfield University at Shrivenham: United Kingdom. Tippet, K et all. (2003), “Ensemble Square Root Filters”, International Research Institute for Climate Prediction, Palisades, New York
