PENERAPAN AKAR KUADRAT PADA ENSEMBLE KALMAN FILTER (EnKF) Jasmir1, Erna Apriliani2, Didik Khusnul Arif3 Email:
[email protected]
ABSTRAK Ensemble Kalman Filter (EnKF) merupakan salah satu metode untuk mengestimasi suatu masalah khususnya pada model dinamik taklinear dengan menggunakan algoritma yang telah dimodifikasi dari algoritma Kalman Filter. Akar Kuadrat merupakan suatu skema yang dapat diterapkan dalam EnKF untuk mengestimasi suatu model dinamik taklinear. Pada paper ini dilakukan analisis pada skema Akar Kuadrat terhadap algoritma EnKF sehingga membentuk suatu algoritma baru yang dinamakan dengan Akar Kuadrat-Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF). Algortima ini diimplementasikan pada model sistem pengeboran minyak dengan mengestimasi permeabilitas dan botton-hole presurenya. Hasilnya, nilai estimasi yang diperoleh mempunyai tingkat akurasi yang lebih baik daripada menggunakan metode EnKF standar, serta waktu komputasi yang digunakan oleh AK-EnKF lebih sedikit dari EnKF standar.
Kata Kunci: Ensemble Kalman Filter (EnKF), Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF), Model Sistem Pengeboran Minyak, Permeabilitas, Botton-Hole Presure.
1.
Pendahuluan Dalam menyelesaikan suatu masalah, terkadang membutuhkan suatu data atau informasi sebelumnya yang berhubungan dengan masalah tersebut. Oleh karena itu, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengumpulkan informasi tentang masalah tersebut sebanyak mungkin. Salah satu contoh penyelesaian masalah yang membutuhkan informasi sebelumnya adalah mengestimasi atau pendugaan terhadap informasi tersebut untuk langkah selanjutnya. Ini berarti dalam mengestimasi suatu masalah diperlukan suatu alat atau metode yang tepat sehingga mendapatkan suatu hasil yang akurat atau mendekati yang sesungguhnya. Filter Kalman merupakan salah satu metode untuk mengestimasi suatu masalah berdasarkan informasi sebelumnya. Dalam metode estimasi khususnya untuk Filter Kalman dikenal adanya suatu sistem keadaan dan model pengukuran. Beberapa contoh penggunaan metode tersebut adalah dalam mengetimasi posisi dan kecepatan kapal laut (Lewis, 1986), serta distribusi panas pada batang logam (Apriliani, 2003). Filter Kalman pertama kali diperkenalkan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 1960, melalui papernya yang terkenal tentang suatu penyelesaian rekursif pada 1
STMIK Kharisma Makassar, sedang studi S2 Matematika ITS Surabaya Jurusan Matematika ITS Surabaya
2,3
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/152
masalah filtering data-diskrit yang linear. Selama beberapa tahun Filter Kalman dianggap sebagai metode estimasi yang paling sederhana dan optimal dalam menaksir dan menduga suatu masalah (Welch, 2001). Algortima yang dikembangkan dalam Filter Kalman dapat diimplementasikan pada model dinamik linear saja, kemudian dikembangkan suatu algoritma yang memodifikasi filter kalman sehingga dapat diimplementasikan pada model dinamik taklinear. Salah satu algoritma yang telah dikembangkan adalah Extended Kalman Filter (EKF) dan Ensemble Kalman Filter (EnKF). Extended Kalman Filter digunakan dengan melakukan linearisasi pada model dinamik taklinear sebelum menggunakan algoritma Filter Kalman, sedangkan Ensemble Kalman Filter digunakan dengan membangkitkan sejumlah ensemble sebagai inisialisasi untuk menghitung nilai mean dan kovarian error variabel sistem keadaannya yang digunakan dalam algoritma filter Kalman, hal ini pertama kali diperkenalkan oleh Evensen (1994). Dalam menggunakan EnKF terdapat suatu skema yang dapat diimplementasikan pada metode tersebut. Analisis akar kuadrat merupakan salah satu skema yang dapat diimplementasikan dalam EnKF. Skema ini dapat mempengaruhi pada hasil estimasi, baik dalam hal tingkat akurasi maupun waktu komputasi yang digunakan. Dalam paper ini telah dilakukan suatu kajian mengenai skema akar kuadrat pada EnKF yang selanjutnya diterapkan untuk mengetimasi variabel keadaan sistem dengan model pengukuran taklinear. 2. Filter Kalman 2.1 Proses Estimasi Filter Kalman pertama kali diperkenalkan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 1960 lewat papernya yang terkenal tentang suatu penyelesaian rekursif pada masalah filtering data-diskrit yang linear. Filter Kalman merupakan suatu metode estimasi variabel keadaan dari system dinamik stokastik linear yang meminimumkan kovarian kesalahan estimasi. Lewis (1986) memberikan suatu sistem dinamik linear, secara umum berbentuk sebagai berikut: x k 1 A k x k B k u k G k wk
z k H k x k v k
(2.1)
x0 ~ x0 , Px0 ; wk ~ 0, Qk ; vk ~ 0, Rk
dengan xk variabel keadaan sistem pada waktu k yang nilai estimasi awalnya x0 dan kovarian awal Px0 , xk n , uk variabel input deterministik pada waktu k, uk m . wk gangguan (noise) pada sistem yang mempunyai mean wk 0 dan kovarian Qk , zk variabel pengukuran, zk p , vk gangguan (noise) pada pengukuran dengan mean vk 0 dan kovarian Rk . Ak , B k , Gk , H k adalah matriks-matrik dengan ukuran yang bersesuaian. Untuk proses estimasinya diberikan dengan dua tahap, yaitu tahap prediksi yang dikenal dengan time update, dan tahap koreksi yang dikenal dengan measurement update. Tahap prediksi dipengaruhi oleh dinamika sistem, sedangkan tahap koreksi dipengaruhi oleh informasi dari pengukuran. Kedua tahap ini akan berulang terus-menerus sampai berhenti pada waktu k yang ditentukan. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/153
2.2 Algoritma Filter Kalman n Tahap prediksi didefinisikan suatu estimasi keadaan xˆ k 1 R pada waktu k+1 yang sering disebut variabel priori state estimate, kemudian dihubungkan dengan kovarian error Pk1 (priori error covariance). Tahap koreksi memberikan suatu correction berdasarkan pada pengukuran zk 1 pada waktu k+1 untuk menghasilkan n suatu estimasi xˆ dan kovarian error Pk 1 , yang masing-masing disebut k 1 R posteriori state estimate dan posteriori error covariance. (Lewis, 1986). Nilai estimasi pada tahap koreksi bergantung pada residual z ˆ (2.2) k z k H k x k Koefisien pembobotan dari residual tersebut biasanya disebut Kalman Gain. Kk Pk HkT Rk1 (2.3) Lewis (1986) juga telah memberikan suatu bentuk alternatif dari tahap koreksi yang melibatkan Kalman Gain tersebut, hal ini dapat dilihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1: Algoritma Filter Kalman adalah sebagai berikut: Inisialisasi P0 Px0 , xˆ 0 x0 Tahap prediksi (time update) T T Kovarian error : Pˆ k 1 Ak Pk Ak G k Q k G k Estimasi : xˆ ˆ k 1 Ak x k B k u k Tahap koreksi (measurement update) Kovarian error Estimasi
1
1 1 : Pk 1 Pˆ H Tk1 Rk k 1 1 H k 1 T 1 : xˆ ˆ z k 1 H k 1 xˆ k 1 x k 1 Pk 1H k 1 Rk 1 k 1
Jika menggunakan Kalman Gain; Kk 1 Pk1 HkT1 Hk 1 Pk1 HkT1 Rk 1 1
Kovarian error Estimasi
: Pk 1 I K k1 H k1 Pk1
: xˆ ˆ zk 1 H k 1xˆ k 1 x k 1 K k 1 k 1
3.
Ensemble Kalman filter Terdapat suatu sistem dinamik taklinear yang jika dilakukan linearisasi pada metode EKF menyebabkan kovarian errornya membesar menuju tak berhingga sehingga untuk mengatasi masalah tersebut Evensen (1994) memperkenalkan suatu ide penggunaan sejumlah ensemble untuk mengestimasi kovarian error pada tahap forecast (prediksi). Metode ini dikenal dengan Ensemble Kalman Filter (EnKF) yang merupakan suatu alternatif dari metode Extended Kalman Filter (EKF) sebelumnya. Burgers, et (1998), memberikan suatu skema analisis pada EnKF tentang implementasi dan interpretasinya, dimana observasinya diperlakukan sebagai variabel random pada tahap analisis (koreksi), yaitu menambahkan gangguan (noise) secara random pada observasi dan membangkitkan suatu ensemble pada observasi yang selanjutnya digunakan pada updating model state. Aplikasi sebelumnya, langkah ini belum dilakukan pada EnKF, dan Burger memperoleh hasil pada ensemble update dengan variansi yang sangat rendah. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/154
Evensen (2003) merumuskan kembali tentang implementasi dari metode EnKF itu, dimana dalam menambahkan gangguan (noise) secara random pada observasi diperlukan suatu strategi penyampelan dalam hal mengenerate sejumlah ensemble. Lebih lanjut Evensen menambahkan bahwa untuk mendapatkan hasil estimasi yang bagus dari EnKF, ada tiga yang perlu diperhatikan yaitu: ensemble awal, model noise, dan gangguan pengukuran. Selain itu terdapat suatu skema akar kuadrat yang tidak melibatkan gangguan (noise) pengukuran pada tahap analisis (koreksi) dapat dibandingkan dengan strategi penyampelan tersebut (Evensen, 2004). Selanjutnya, Almendral-Vasquez (2006) menambahkan bahwa Extended Kalman Filter (EKF) tidak cocok digunakan untuk setiap model yang besar dan tidak mendapatkan hasil yang maksimal jika sistemnya bersifat strongly nonlinear. EnKF merupakan pengembangan dari EKF yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah tersebut dan merupakan suatu pendekatan yang sangat memberi harapan. 3.1 Proses Estimasi Bentuk umum sistem dinamik taklinear yang digunakan pada EnKF, yaitu xk 1 f ( k , xk ) wk zk Hxk vk
x0 ~ x0 , Px0 ; wk ~ 0, Qk ; vk ~ 0, Rk
dengan x0 inisial dari sistem, wk dan v k merupakan gangguan (noise) pada sistem dan pengukuran, zk variabel pengukuran. Proses estimasi pada EnKF diawali dengan membangkitkan sejumlah N e ensemble dengan mean 0 dan kovariannya sama dengan 1. Misalkan: [ xk ,1 xk ,2 xk ,3 ... xk ,N e ] Untuk tahap prediksi dan koreksi, ensemble yang diperoleh ditentukan mean xˆ k terlebih dahulu sebelum masuk ke tahap prediksi, yang selengkapnya dapat dilihat pada algoritma Ensemble Kalman Filter. 3.2 Algoritma Ensemble Kalman Filter Terdapat beberapa peneliti yang telah memberikan suatu algoritma EnKF secara terstruktur yang secara umum terbagi atas tiga tahap yaitu tahap inisialisasi, tahap prediksi, dan tahap koreksi. Peneliti tersebut diantaranya: Purnomo(2008) memberikan algoritma EnKF dengan sistem dinamik taklinear dan pengukuran yang linear, yaitu: Tabel 2.3: Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF) Inisialisasi: Bangkitkan Ne ensemble sesuai dengan tebakan awal x0 [ x 0 ,1 x 0 ,2 x 0 ,3 ... x 0, Ne ] Tentukan nilai awal
:
Tahap prediksi ( time update): ˆ1 , u k 1 ) wk ,i xˆ k ,i f ( x k
1 Ne * xˆ x ˆ 0 0 x 0,i N e i 1 dengan wk ,i ~ N (0,Qk )
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/155
Estimasi
1 : xˆ k Ne
Ne
xˆ k ,i
i 1
1 Ne ˆ T ˆ ˆ ˆ : Pk ( x k ,i x k )( xk , i xk ) N e 1 i 1 Tahap koreksi ( measurement update): zk ,i zk vk ,i dengan vk ,i ~ N (0, Rk ) Kovariansi error
Kalman gain
: K k PkH T (HPkH T R k ) 1
Estimasi
ˆ ˆ : xˆ k , i xk , i K k ( z k , i H x k ,i )
1 xˆ k Ne Kovariansi error
Ne
xˆ i1
k ,i
: Pk [ I K k H ]Pk
Selanjutnya Almendral-Vasquez (2006) memberikan suatu algoritma EnKF sebagai berikut: a. Inisialisasi: Mendefinisikan suatu ensemble awal X N 0 , 0 b. Tahap Prediksi: Memproyeksi kedepan dalam waktu tertentu, ensemble X menggunakan persamaan: X f f X W dengan matriks noise W wi terbentuk dari bilangan random wi N 0, wi .
Langkah ini diulang sampai mencapai waktu observasi tertentu. c. Tahap Analisis: Membangkitkan observasi Z dengan perturbasi observasi real z. Tahap koreksi ensemble X f menggunakan persamaan: 1 X a X f Pe H HPeH Re Z HX f kemudian kembali ke langkah tahap prediksi. Algoritma diatas dijadikan sebagai landasan untuk membentuk suatu algoritma EnKF baru yang melibatkan skema akar kuadrat, skema ini dikaji lebih lanjut pada point 5, yang menggunakan beberapa aturan tertentu diantaranya aturan matriks akar kuadrat dan Singuler Value Decomposition. 4. Matriks Akar Kuadrat dan Singuler Value Decomposition (SVD) 4.1 Matriks Akar Kuadrat Misalkan matriks A R kk definitif positif dengan komposisi spektralnya k
adalah A i ei eiT dan U e1 , e2 , ..., ek dimana dan e merupakan nilai eigen i 1
dan vektor eigen dari matriks A. Maka k
A i ei eTi U U T
k k
i1
k k k k k k 1k k 1
dimana UUT U T U I dan merupakan matriks diagonal
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/156
(4.1)
1 0 k k 0
0 2 0 dengan 0 . i 0 k karena U U T U 1U T U 1U T U U T UU T I . Jadi 0
(4.2)
k 1 A 1 U 1U T eie iT . (4.3) i1 i Selanjutnya diberikan 1/ 2 matriks diagonal dengan element diagonalnya
i . Matriks
k
e e i1
T i i i
U 1/ 2U T disebut Akar Kuadrat dari A dan dinotasikan
1/ 2
dengan A . Akar kuadrat dari matriks positif A, k
1/ 2
A
i eiei U U T
1/ 2
T
(4.4)
i 1
mempunyai beberapa sifat sebagai berikut:
(1.) A1/ 2 A1/ 2 (sebab A1/ 2 merupakan matriks simetri) T
(2.) A1/ 2 A1/ 2 A . (3.) A1/ 2 1
k
i1
1 T 1/ 2 T ee , dimana 1/ 2 merupakan suatu matriks i i U U i
diagonal dengan element diagonal ke-i adalah 1/ i . (4.) A1/ 2 A1/ 2 A 1/ 2 A1/ 2 I , dan A1/ 2 A1/ 2 A1 , dimana A1/ 2 A1/ 2 1
4.2 Singular Value Decomposition (SVD) Golub H. G. (1993) memberikan suatu definisi tentang Singular Value Decomposition (SVD) pada suatu matriks. Jika suatu matriks A Rmk , terdapat matriks ortogonal mm kk U u1 , ,u m R dan V v1 , , vk R , sehingga A U V (4.5) mk dengan matriks R yang entri diagonalnya m,k 1 2 .... p 0 , p min T
dan entri yang lain nol. Nilai i 0, i 1, 2,..., p disebut nilai singular dari A. Definisi matriks akar kuadrat dan SVD ini yang akan digunakan pada analisis akar kuadrat pada Ensemble Kalman Filter dalam mengestimasi suatu masalah dinamik takliner. 5.
Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) Skema akar kuadrat pada ensemble Kalman filter digunakan pada tahap koreksi, yang dimulai dari persamaan kovariansi errornya dan pada akhirnya akan diperoleh persamaan ensemble error yang baru. 5.1 Algoritma Akar Kuadrat pada EnKF Algoritma yang baru digunakan untuk mengupdate ensemble error dan diturunkan mulai dari persamaan kovariansi error pada Ensemble Filter Kalman bagian tahap koreksi. Persamaan tersebut adalah Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/157
Pk [I K k H ]Pk, dengan K PH T HPH T R 1
Pk PkPkH T HPkH T Rk HPk 1
(5.1)
x x EET k ,i k ,i mN dengan mensubtitusikan Pk , Rk k k mm , Sk Hx k , i N 1 N 1 dan C S k S k T Ek Ek T mm , maka persamaan (4.17) menjadi: T
T T x x x x Hxk k ,i k ,i x k i, k i, x k i, k i , H i, kx i , H E k E k T
T
T
T
Hx x 1
T
ki , ki ,
T
T x x x xi, Sk Sk T Ek Ek T kSk k ,i k ,i xk i, k i, x k i, S k T
1
T
T
T x x x Ck 1Sk k ,i k ,i xk i, k i, x k i, S k kxi , T
T
T
x x I Sk T Ck 1 Sk x k ,i k ,i xk ,i k i, T
T
(5.2)
dengan x = Ensemble error pada tahap prediksi k ,i
x k ,i
= Ensemble error pada tahap koreksi
Matriks C dapat dihitung komposisi nilai eigennya yaitu C U U T dan berdasarkan persamaan (4.4), maka C 1 U 1U T dengan semua matriks berdimensi m m , U merupakan matriks komposisi vektor eigen dari matriks C dan merupakan matriks diagonal yang setiap elemen diagonalnya merupakan nilai eigen dari matriks C. Selanjutnya (5.2) diturunkan untuk menperoleh solusi dari ensemble error. x x I Sk T Ck 1Sk x k ,i k ,i x k i, k i, T
T
x I SkTUk k 1Uk T Sk xk,i k ,i T
sehingga
T x x k 1/ 2 k 1/ 2U k T Sk x k ,i k , i xk , i I Sk U k k ,i T
T
T x I M k T M k x k ,i k ,i
T
(5.3)
dengan M k k 1/ 2U k T Sk mN . Selanjutnya menghitung singular value decomposition (SVD) dari M k , yaitu M k Yk kVkT , dengan Yk mm dan Vk N N merupakan matriks ortogonal, k mN
merupakan matriks yang entri diagonalnya
1 2 .... p 0 ,
p min m, N dan entri yang lain nol, maka (5.3) menjadi T x x I Mk T Mk x k ,i k ,i xk i, k i, T
T x Yk k VkT Yk k VkT k ,i I k ,i x T
T T x I Vk T x k ,i Vk k k k i,
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/158
(5.4)
karena k mN merupakan matriks yang entri diagonalnya 1 .... p 0 dan entri yang lain nol, hal ini berarti k T k berdimensi N N , sehingga
merupakan matriks diagonal juga yang
T T T x x I Vk x k ,i k ,i xk i, Vk k k k i, T
T T x I I k k ,i Vk k k x k i ,V k k 1
2
1
2
T
2 T ini berarti x I k ,i xk ,iVk k k . Jadi, error ensemblenya adalah 1
T x I k ,i xk ,iVk k k 1
2
(5.5) Tahapan metode akar kuadrat pada EnKF bagian koreksi secara sederhana dapat disusun dalam beberapa langkah berikut: 1. Menentukan dekomposisi nilai eigen dari Ck U k kU k T 2. Menghitung mean ensemble prediksi dari persamaan T 1 xk ,i xk,i x zk i, Hxk i, k i, Sk Ck T 1 T xk ,i x zk ,i Hxk ,i k ,i Sk U k k Uk
3. Menghitung matriks M k k 1/ 2U k T Sk 4. Menentukan SVD dari M k Yk kVkT T x I k ,i xk ,iVk k k dan 1
5. Kemudian mengevaluasi error ensemble dari
2
menambahkan rata-rata ensemble pada error ensemble xk ,i . 6.
Studi Kasus
Tahapan metode Akar Kuadrat pada EnKF yang diperoleh, akan diterapkan pada model keadaan pengeboran minyak yang telah digunakan oleh AlmendralVasquez (2006) dengan menggunakan algoritma EnKF standar. Selanjutnya penulis akan mengestimasi model tersebut menggunakan algoritma akar kuadrat pada EnKF. Model keadaan yang digunakan terdiri dari dua variabel, yaitu variabel statis permeabilitas k dan variabel dinamis botton-hole presure pb. Sistemnya sebagai berikut: x k pb vektor keadaan (6.1) z pbobs observasi diasumsikan bahwa k dibangkitkan secara random berdistribusi normal dengan mean nol dan kovarian satu. Berikut ini k dimodelkan sebagai k k k k 1 (6.2) dengan k k menyatakan permeabilitas pada waktu t k k t . Catatan bahwa dianggap tidak ada noise untuk permeabilitas. Untuk botton-hole presure,, simulator tekanan memberikan suatu model yaitu: pbk 1 p rw , tk , k k wk (6.3) Model pengukurannya dapat dituliskan sebagai berikut zk Hxk , (6.4) Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/159
dengan H proyeksi dari model keadaan, yaitu [1 0;0 1]. Noise pada model pengukuran diabaikan. Mengenai masalah nilai parameternya, penulis merujuk pada nilai parameter yang telah diberikan oleh Almendral-Vasquez (2006), yaitu rw = 0.1 ft, = 1.5 cp, Q0 = 300 STB/hari, B0 = 1.25 bbl/STB, = 15 %, pi = 4000 psi, h = 15 ft, c = 12e 6 psi-1. Parameter ini digunakan dalam simulasi program. Dalam algoritma AK-EnKF diberikan model sistem dan model pengukuran, yaitu xk 1 f ( xk , u k ) wk zk Hxk . Pada sistem pengeboran minyak yang merupakan fungsi f ( x k , u k ) adalah f ( xk , uk ) p rw , tk , k k
k k (6.5) 2 70.61Q0 B0 948cr p r, t pk k h Ek k t dan pbk adalah tekanan pada permukaan sumur (botton-hole presure) yang merupakan model sistemnya, yaitu pbk 1 xk 1 . Sehingga model sistemnya untuk pengeboran minyak dengan noise wk , dapat dituliskan sebagai berikut: pbk 1 p rw , tk , k k wk
k (6.6) w1 k 70.61Q0 B0 948cr 2 pk w2 k Ek k t k h Kemudian untuk model pengukurannya, sama dengan model pengukuran pada algoritma yaitu zk Hxk , dengan xk pbk . Jadi, zk Hpbk (6.7) Kemudian nilai awal dari (6.6) adalah k berdistribusi normal dan p r , 0 pi . 7.
Hasil Simulasi
Pengambilan matriks H = [1 0;0 1] menunjukkan bahwa data pengukuran yang dimiliki adalah data pertama dan data kedua yaitu permeabilitas dan botton-hole presure. Jumlah ensemble yang diambil pada simulasi ini sebanyak N = 200 dengan jumlah iterasi k = 50. Perbandingan hasil estimasi permeabilitas dan nilai realnya dengan menggunakan kedua metode tersebut yaitu EnKF standar dan AK-EnKF dapat dilihat pada Tabel 7.1 dan Gambar 7.1.
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/160
Tabel 7.1 Perbandingan Hasil Estimasi Permeabilitas antara EnKF Standar dengan AK EnKF Simulasi Real EnKF Standar AK-EnKF ke(103) (103) (103) 1 -0,0004 -0,0005 -0,0005 2 0.0010 0.0007 0.0010 3 -0,0025 -0,0020 -0,0025 4 -0,0004 -0,0060 -0,0000 5 0,0008 0,0003 0,0006 6 -0,0014 -0,0012 -0,0015 7 -0,0009 -0,0006 -0,0004 8 0,0004 0,0002 0,0004 9 0,0007 0,0009 0,0009 10 0,0011 -0,0004 0,0006 Hasil estimasi yang ditunjukkan pada Gambar 7.1 menegaskan bahwa nilai estimasi permeabilitas dari kedua metode tersebut mendekati nilai realnya. Akan tetapi untuk metode AK-EnKF nilai estimasinya lebih baik dibandingkan dengan nilai estimasi dari EnKF standar. Pada Tabel 7.1 juga terlihat bahwa dari 10 kali simulai nilai estimasi permebilitas untuk EnKF standar dengan AK-EnKF jika dibandingkan dengan nilai realnya maka AK-EnKF lebih baik daripada EnKF standar walaupun selisihnya tidak begitu besar perbedaannya.
Gambar 7.1. Estimasi Permeabilitas menggunakan EnKF Standar dan AK-EnKF Gambar 7.2 menampilkan masing-masing nilai kovariansi error dari nilai estimasi permeabilitas menggunakan EnKF standar dan kovariansi error dari permeabilitas menggunakan AK-EnKF. Grafik tersebut merupakan salah satu hasil simulasi dari 10 kali percobaan.
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/161
Tabel 7.2 Perbandingan Kovariansi Error Permeabilitas antara EnKF Standar dengan AK-EnKF Simulasi EnKF Standar AK-EnKF ke1 0,3948 0,0035 2 0,4023 0,0034 3 0,4262 0,0043 4 0,3870 0,0016 5 0,3830 0,0028 6 0,4171 0,0001 7 0,3820 0,0005 8 0,4030 0,0031 9 0,4047 0,0029 10 0,4199 0,0030 Nilai kovariansi error (kov) dari permeabilitas juga cukup kecil ( 0.28 kov 0.34 ) sehingga tingkat kepercayaan dari estimasi permeabilitas cukup bagus. Akan tetapi untuk kovariansi error dari permeabilitas yang menggunakan metode AK-EnKF jauh lebih kecil yaitu berada pada interval 0,1103 dan 4,0 103 . Ini berarti hasil estimasi permeabilitas mempunyai tingkat kepercayaan yang lebih bagus dibandingkan dengan EnKF standar. Perbandingan kovariansi error dari kedua metode tersebut juga terlihat jelas pada Tabel 7.2 yang menyajikan nilai kovariansi error terakhir tiap simulasi dari 10 simulasi yang dilakukan.
Gambar 7.2. Kovariansi Error Permeabilitas untuk EnKF dan AK-EnKF Selanjutnya untuk perbandingan hasil estimasi botton-hole presure dapat dilihat pada Gambar 7.3 dan Tabel 7.3. Gambar 7.3 menunjukkan bahwa hasil estimasi botton-hole presure untuk metode AK-EnKF lebih mendekati terhadap realnya dibandingkan dengan metode EnKF standar. Tabel 7.3 menampilkan data perbandingan hasil estimasi Botton-Hole Presure dari 10 kali simulasi. Pada tabel tersebut terlihat perbedaan yang signifikan antara data estimasi yang menggunakan metode EnKF standar dengan metode AK-EnKF. Hal ini berarti metode AK-EnKF lebih baik daripada EnKF standar dalam mengestimasi Botton-Hole Presure ini yang hanya mempunyai selisih lebih kecil, serta waktu komputasi yang digunakan lebih cepat dibandingkan dengan EnKF standar sebagaimana telah ditunjukkan pada Tabel 8.1. Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/162
Perbandingan kovariansi error antara EnKF standar dengan AK-EnKF dapat dilihat pada Tabel 7.4. Pada Tabel tersebut jelas bahwa kovariansi error untuk AKEnKF lebih kecil daripada EnKF standar. Artinya bahwa tingkat kepercayaan dari nilai estimasi AK-EnKF lebih tinggi terhadap nilai realnya. Tabel 7.3 Perbandingan Hasil estimasi Botton-Hole Presure antara EnKF Standar dengan AK EnKF Simulasi Real EnKF Standar AK-EnKF ke(103) (103) (103) 1 4,0349 4,0360 4,0349 2 4,0132 4,0135 4,0132 3 4,0013 4,0011 4,0011 4 5,4494 5,5184 5,4678 5 4,0483 4,0505 4,0486 6 4,0031 4,0037 4,0032 7 4,9828 5,0308 4,9934 8 4,0583 4,0618 4,0592 9 4,0043 4,0046 4,0043 10 4,5708 4,5959 4,5751
Gambar 7.3. Estimasi Botton-Hole Presure menggunakan EnKF Standar dan AKEnKF Tabel 7.4 Perbandingan Kovariansi Error Botton-Hole Presure antara EnKF Standar dengan AK-EnKF Simulasi EnKF Standar AK-EnKF ke1 0,4046 0,0005 2 0,4337 0,0000 3 0,3992 0,0007 4 0,4009 0,0025 5 0,3888 0,0002 6 0,3955 0,0027 Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/163
Simulasi ke7 8 9 10
EnKF Standar 0,4002 0,3771 0,4288 0,4138
AK-EnKF 0,0029 0,0012 0,0032 0,0008
Gambar 7.4. Kovariansi Error Botton-Hole Presure untuk EnKF dan AK-EnKF Gambar 7.4 menunjukkan secara grafik perbandingan nilai kovariansi error dari kedua metode tersebut untuk Botton-Hole Presure yaitu pada EnKF standar nilai kovariansi errornya rata-rata berada pada interval 0.15 dan 0.18. Untuk AK-EnKF sebagian besar berada pada interval 0,2 105 dan 1,4 10 5 . Nilai dari interval ini cukup kecil dan menyatakan bahwa tingkat kepercayaan dari nilai estimasi AK-EnKF Botton-Hole Presure sangat bagus daripada EnKF standar. 8.
Waktu Komputasi
Waktu komputasi yang diperoleh pada Tabel 8.1 disimpulkan bahwa jumlah ensemble (N) dan jumlah iterasi k sangat mempengaruhi waktu komputasi. Jumlah ensemble sangat berpengaruh terhadap waktu komputasi untuk kedua algoritma tersebut, EnKF standar dan AK-EnKF. Semakin tinggi jumlah ensemble yang digunakan maka semakin banyak waktu komputasi yang dipakai. Kemudian, Tabel 8.1 juga menampilkan perbandingan waktu komputasi yang digunakan dari kedua algoritma tersebut. AK-EnKF membutuhkan waktu yang lebih sedikit daripada EnKF standar untuk jumlah ensemble N 500 . Sedangkan EnKF standar membutuhkan waktu yang lebih sedikit jika jumlah ensemblenya N 500 . Hal ini disebabkan karena pada algoritma AK-EnKF bagian koreksi terdapat suatu skema akar kuadrat yang menggunakan formulasi dekomposisi nilai singuler (singuler value decomposition) sehingga membutuhkan waktu yang cukup besar, apalagi jika ukuran matriksnya cukup besar dalam hal ini jumlah ensemblenya N cukup besar. Selanjutnya, jika waktu komputasi dipandang dari sisi jumlah iterasi, maka jumlah iterasi berpengaruh positif terhadap waktu komputasi untuk setiap jumlah ensemble yang diketahui. Hal ini berlaku untuk kedua algoritma itu.
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/164
Tabel 8.1 Waktu Komputasi EnKF Standar dan AK-EnKF Waktu Komputasi (detik) Jumlah K=50 K=100 Ensemble N EnKF
50 100 200 500 9.
0,8272 1,5257 3,2855 7,7240
AK-EnKF
EnKF
0,4997 1,5244 0,9774 2,9603 2,3615 5,7858 8,7802 15,0005
AK-EnKF
K=150
EnKF
0,9149 2,2429 1,7648 4,3551 4,1174 8,7099 17,3226 22,5516
AK-EnKF
1,2860 2,6213 6,2939 25,7621
Kesimpulan
Hasil simulasi yang diperoleh dibagi menjadi empat bagian, yaitu hasil estimasi model sistem, perbandingan kovariansi error antara EnKF standar dan AKEnKF, dan perbandingan waktu komputasi yang digunakan dari kedua algoritma tersebut. Untuk hasil estimasi model sistem, selisih nilai estiimasi, dan kovariansi error yang diperoleh, AK-EnKF jauh lebih baik dan akurat daripada EnKF standar. Sedangkan untuk waktu komputasi yang digunakan, EnKF standar membutuhkan waktu yang lebih sedikit jika jumlah ensemblenya N 500 . Dan jika jumlah ensemble N 500 AK-EnKF membutuhkan waktu yang lebih sedikit daripada EnKF standar. 10. Daftar Pustaka Apriliani, E. (2003), “The Application of Implicit Kalman Filtering On A One Dimensional Shallow Water”. Procedings of The SEAMS-GMU Conference, pp. 234-240. Almendral-Vazquez, A. dan Anne, R.S. (2006), The Ensemble Kalman Filter-theory ang applications in oil industry. Norwegian Computing Center, NR. Burgers, G. P. J. van Leeuwen. dan G. Evensen. (1998). “Analisysscheme in the ensemble Kalman Filter”. Mon. Weather Rev., Vol 126, hal 1719 – 1724. Evensen, G. (1994), “Sequential Data Assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistic”. J. Geophys, Vol 99, hal 10.143 - 10.162. Evensen, G. (2003), “The Ensemble Kalman Filter: Theoretical formulation and practical implementation”. Ocean Dynamics, Vol 53, hal 343-367. Evensen, G. (2004), “Sampling Strategies and square root analysis schemes for the Ensemble Kalman Filter (EnKF)”, Hydro Research Centre. Golub, H. G. dan Loan, V. F. Charles. (1993), Matrix Computations (second edition), The John Hopkins University Press, Baltimore and London. Johnson, A. R dan Wichern, W. D. (2002), Applied Multivariate Statistical Analysis (fifth edition), University of Winconsin Prentice Hall, Inc., New York. Lewis, L Frank. (1986), Optimal Estimation, with an introduction to stochastic control theory, John Wiley and Sons, New York. Purnomo, D. K. (2008), Aplikasi Metode Ensemble Kalman Filter Pada Model Populasi Flankton, Tesis Magister., Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Welch, G and Bishop, G. (2001), An Introduction to the Kalman Filter. Departement of Computer Science, University of North Calorina at Chapel Hill.
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/165
