Jurnal Matematika & Sains, Desember 2011, Vol. 16 Nomor 3
Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mendeteksi Gangguan pada Masalah Konduksi Panas Satu Dimensi Erna Apriliani dan Wiwit Sofiyanti Budiono Departement Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya e-mail:
[email protected] Diterima 21 Desember 2010, disetujui untuk dipublikasikan 17 Januari 2011 Abstrak Misalkan diberikan batang logam yang terisolasi, yang dipanaskan dengan suhu konstan pada satu sisi, sedangkan sisi yang lain diisolasi. Jika terdapat lubang kecil pada isolasi batang logam tersebut, maka hal ini akan mempengaruhi distribusi panas sepanjang batang logam. Oleh karena itu sangat penting untuk mengestimasi posisi lubang tersebut. Ensemble Kalman filter adalah metode estimasi variable keadaan dari sistem dinamik stokastik berdasarkan model matematika dari sistem tersebut dan beberapa data pengukuran. Pada paper ini, Ensemble Kalman filter digunakan untuk mengestimasi distribusi panas pada batang logam dan mendeteksi posisi lubang berdasarkan distribusi panas tersebut. MATLAB digunakan untuk mensimulasikan gangguan oleh aliran panas melalui lubang. Simulasi bervariasi baik dalam hal posisi maupun temperatur. Simulasi ini menunjukkan bahwa Ensemble Kalman Filter dapat digunakan untuk mendeteksi posisi gangguan, jika rasio antara besar temperatur gangguan dan temperatur batang logam sendiri lebih besar dari 10%. Kata kunci: Ensemble Kalman Filter, Sensitifitas, Transformasi panas pada batang.
Sensitivity Method of Ensemble Kalman Filter for Disturbance in One Dimensional Heat Conduction Problems Abstract Suppose, we have an isolated metal rod, which it is heated with a constant temperature in the one side and is isolated the other side. If there is a small hole on isolating, then the hole influences the heat distribution in rod. So, it is important to estimate the position of hole. Ensemble Kalman filter is a method to estimate the state variable of dynamic stochastic sistem based on mathematical model of these sistem and some measurement data. Here, we use the Ensemble Kalman filter to estimate the distribution of heat transfer on along the rod, and based on that distribution we estimate the position of hole. We used MATLAB to simulate disturbances by heat flow through hole, varied in positions and temperature. The simulation shows that we can use Ensemble Kalman Filter to detect the position of the disturbance, if the ratio between the magnitude of temperature disturbance and the temperature of metal rod is greater than 10%. Keywords: The ensemble Kalman Filter, Sensitivity, Heat transfer of rod. jika terjadi lubang pada isolasi tersebut, maka akan terjadi perpindahan panas dari udara ke batang logam atau sebaliknya yang tentu akan mempengaruhi kualitas perpindahan panas. Pada penelitian sebelumnya, telah dilakukan estimasi distribusi konduksi panas dimensi satu dengan menggunakan reduced rank square root filter (RRSQRT filter), modifikasi RRSQRT filter dan RRSRIF (Apriliani, 1999; 2000a; 2000b). Dengan menggunakan algoritma-algoritma tersebut, distribusi suhu sepanjang batang logam dapat diestimasi berdasarkan pada pengukuran suhu-suhu pada tempat-tempat tertentu. Distribusi suhu pada tiap satuan waktu dapat diestimasi, sehingga dinamika distribusi suhu sepanjang batang logam dapat diamati atau diperoleh. Filter RRSQRT, pertama kali dikemukakan oleh Verlaan (1998), merupakan pengembangan dari filter Kalman. Filter Kalman merupakan metode
1. Pendahuluan Terdapat beberapa alat-alat yang menggunakan prinsip perpindahan panas (konduksi panas), seperti setrika listrik, oven listrik dan lainlainnya. Biasanya, distribusi suhu diatur sesuai dengan yang diinginkan. Kadang-kadang pada alatalat tersebut terdapat gangguan, misalnya logam pada alat tersebut retak atau lubang. Gangguan tersebut akan mempengaruhi distribusi suhu pada alat tersebut sehingga alat tidak dapat bekerja optimal. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengestimasi distribusi suhu dan mendeteksi posisi gangguan tersebut. Pada paper ini, diberikan batang logam berdimensi satu yang terisolasi sepanjang batang. Batang logam tersebut dipanasi pada satu sisi sedangkan sisi yang lain diisolasi. Jika isolasi dilakukan secara sempurna maka perpindahan panas akan berlangsung dengan baik atau sempurna, tetapi 133
Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mendeteksi Gangguan ................ 134 untuk mengestimasi variable keadaan dari sistem dinamik stokastik. Filter Kalman merupakan gabungan antara model sistem matematika dan data pengukuran. Filter Kalman telah diterapkan pada berbagai bidang seperti navigasi satelit, hidrodinamika, matematika financial, prediksi cuaca dan lain-lainnya. Pada filter RRSQRT, matriks kovariansi dituliskan dalam bentuk perkalian akar kuadratnya, kemudian dilakukan reduksi rank matriks untuk mengurangi waktu komputasinya dengan cara membuang kolom-kolom dengan variansi terkecil (Verlaan, 1998). Pada filter RRSQRT, sistem diasumsikan mempunyai derau dalam bentuk matriks. Pada tahun 2000, penulis melakukan modifikasi filter RRSQRT untuk sistem dengan noise (derau) berupa vektor (Apriliani, 2000a). Selain itu penulis juga telah mengembangkan filter RRSRIF (Reduced Rank Square Root Information Filter) (Apriliani, 2000b, 2001) dengan menerapkan reduksi rank pada akar kuadrat matriks informasi dari SRIF (Square Root Information Filter). Filter Kalman, filter RRSQRT, filter Modifikasi RRSQRT dan filter RRSRIF hanya dapat diterapkan pada sistem dinamik stokastik linear sehingga untuk estimasi variabel dari sistem dinamik stokastik tak linear telah dilakukan modifikasi filter Kalman yang lain yaitu Ensemble Kalman Filter (EnKF) yang dikemukakan oleh Evensen, 2003. Penjelasan singkat dapat ditemukan pada Daley (1991) dan Kalnay (2003). Penggunaan metode EnKF sudah banyak digunakan dalam literatur peramalan cuaca (Evensen, 1997, 2002). Metode EnKF, telah penulis aplikasikan untuk mengestimasi konsentrasi plankton (Purnama dan Apriliani, 2008), polutan pada air tanah dan polusi udara (Apriliani dkk., 2009; 2010). Pada makalah ini, metode EnKF digunakan untuk mengestimasi distribusi suhu dari konduksi panas dimensi satu dan untuk mendeteksi posisi dari gangguan. Berdasarkan hasil estimasi tersebut dapat diketahui seberapa kecil suhu ganguan yang dapat dideteksi posisinya dengan metoda EnKF.
(measurement Gaussian white noise. Algoritma dari Ensemble Kalman filter untuk mengestimasi variabel keadaan xk adalah (Evensen, 2003). a. Estimasi Awal Bangkitkan N-ensembles dari estimasi awal
x0 x0,1
xk 1 f ( xk , uk ) wk ,
(1)
dengan persamaan pengukuran linear
zk Hxk vk ,
(2)
dengan xk+1 merupakan variabel keadaan pada waktu k + 1, f(xk, uk) merupakan fungsi tak linear dari xx dan input uk, zk, merupakan data pengukuran, merupakan matriks, yang merupakan representasi hubungan antara data pengukuran dan variabel keadaan, wk ~ N(0,), vk ~ N(0,R) masing-masing merupakan derau pada sistem yang berdistribusi Normal Gauss (sistem Gaussian white noise) dan derau pada pengukuran yang berdistribusi Normal Gauss
x0, N 1
x0, N ,
dengan x0,i ~ N x0 , P0 .
b.
Tahap Prediksi
xˆk, j f xˆk 1, j uk wk , j ; j 1, 2,3..., N ,
(3)
dengan wk,j ~ N(0,k) merupakan ensembel dari derau sistem. Rata-rata estimasi tahap prediksi adalah xˆ k
1 N
N
xˆk, j j 1
Kovariansi Error estimasi tahap prediksi Pk
c.
1 xˆk, j xˆk N 1
xˆ
k, j
xˆk
T
; j 1, 2,3..., N
. Tahap Koreksi Bangkitkan N-ensemble data pengukuran,
zk , j zk vk , j ; j 1, 2,3,..., N
(4)
Dengan wk,j ~ N(0, Rk) merupakan ensemble dari derau pengukuran Kalman gain didefinisikan
K k Pk H T HPk H T Rk
1
Estimasi tahap koreksi adalah
xˆk , j xˆk, j K k zk , j Hxˆk, j
(5)
Rata-rata estimasi tahap koreksi adalah
xˆk
1 N
N
xˆ j 1
k, j
dengan kovariansi error Pk I K k H Pk
2. Ensemble Kalman Filter Misalkan diberikan sistem dinamik tak linear
x0, 2 ...
d. e.
Substitusikan Persamaan (3) ke dalam tahap prediksi Persamaan (1) Ulangi langkah atau tahap (b) - (d) untuk memperoleh estimasi tahap koreksi pada waktu ke k
2.1 Model konduksi panas Misalkan sebatang logam berdimensi satu diisolasi sepanjang batang. Diasumsikan tidak ada aliran panas yang masuk dari udara ke batang logam atau sebaliknya. Misalkan panjang logam tersebut adalah L, satu sisi batang dialiri panas dengan suhu 100 oC, sedangkan sisi yang lain diisolasi.
135 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2011, Vol. 16 Nomor 3
Q(0,t)=100
x=0
X=
Q ( L, t ) 0 t
Gambar 1. Batang logam Dimensi Satu yang berlubang.
Lakukan analisa grafik distribusi panas; Letak dari gangguan atau lubang adalah disekitar puncak dari grafik distribusi panas. e. Tambahkan alat pengukur suhu pada batang logam disekitar posisi terjadinya puncak. f. Lakukan analisa grafik distribusi panas lagi, posisi lubang adalah terletak disekitar puncak dari grafik distribusi panas. Pada makalah ini, diberikan gangguan (berupa aliran panas) dalam posisi dan besaran yang berbeda untuk mengidentifikasi sensitifitas Ensemble Kalman filter dalam mendeteksi gangguan. Pada langkah awal, dilakukan pendiskritan Persamaan (6), dengan menggunakan beda hingga. Pendiskritan beda pusat diterapkan pada posisi dan beda maju diterapkan pada waktu.
d.
Model matematika dari distribusi panas adalah
Q Q c 2 , 0 x L, t 0 (6) t x Q Q(0, t ) 100; ( L, t ) 0 x dengan Q adalah suhu, c merupakan koefisien konduksi panas, t adalah waktu dan x adalah posisi sepanjang batang logam. Misalkan terdapat sebuah lubang pada isolasi yang melingkupi batang logam tersebut, dan lubang tersebut mempengaruhi aliran panas pada batang logam tersebut. Ingin diketahui dimana posisi dari lubang tersebut yang menimbulkan gangguan pada aliran panas. 2
2.2 Deteksi posisi gangguan
2Q 1 Q kj 1 2Q kj Q kj 1 x 2 x 2
Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan untuk menerapkan Ensemble Kalman filter dalam mendeteksi posisi dan besar gangguan a. Lakukan diskritisasi sistem pada Persamaan (6) terhadap waktu t dan posisi x sehingga Persamaan (6) dapat ditulis menjadi sistem ruang keadaan b. Definisikan persamaan pengukuran berdasakan posisi alat ukur suhu diletakkan c. Lakukan estimasi distribusi panas dengan menggunakan Kalman filter atau Ensemble Kalman filter
k 1 k Q Q j Q j t t
Sehingga Persamaan (6) dapat ditulis menjadi Q kj 1
ct 2ct k Q Q kj1 1 2 2 j ( x ) (x) ct Q kj1 (x) 2
Sistem ruang keadaan yang diperoleh pendiskritan dan memuat derau sistem adalah Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q N
k 1
1 2 p p 0 0
p 1 2 p
0 p
0
p 0 0
1 2 p p 0 0
p 1 2 p p 0 0
0 p 0 0
0 0 0
0 0
0
p
t , Q adalah suhu, wk ~ N(0, k) ( x ) 2 adalah derau sistem. Jika ditulis xk = [Q1 Q2 ... QN]k, maka sistem ruang keadaan dari Persamaan (7) dapat ditulis seperti Persamaan (1).
dengan p c
Q1 Q 2 Q3 Q4 Q5 0 p 1 p Q N 0
k
pQ 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 . . 1 wk 1 1 1
dari
(7)
Pada percobaan ini pengukuran dilakukan pada lima posisi sepanjang batang logam untuk mengukur suhu. Berdasarkan data pengukuran suhu tersebut akan diestimasi distribusi suhu sepanjang batang logam. Pada penelitian ini, panjang batang logam dibagi menjadi 20 grids (N=20). Kemudian
Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mendeteksi Gangguan ................ 136
0 ... ... 0 0 1 0 ... 0 ... 0 1 0 ... ... zk 0 ... 1 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... 0 ... 1
0 0 (8) 0 xk vk 0 0
dengan, vk ~ N(0, R) merupakan derau pengukuran. Berdasarkan pada lima data pengukuran, zk tersebut, akan diestimasi distriubusi suhu untuk 20 posisi sepanjang batang logam.
dapat disimpulkan bahwa aliran panas terjadi disekitar posisi . The Estimation of Temperature Distribution by EnKF 90 80 70 Temperature (Celcius)
didefinisikan persamaan pengukuran yang mengkaitkan antara data pengukuran dan variabel keadaan yang akan diestimasi, yaitu
60 50 40 30 20 10
3. Hasil Simulasi
0
Misalkan isolasi batang logam berlubang sehingga ada aliran panas dari udara yang masuk ke batang logam. Aliran panas yang masuk masingmasing dengan suhu 0,5oC, 1oC, 2oC, 3oC, dan 5oC. The Real Temperature Distribution
80 70 60 50 40
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 3. Hasil Estimasi dengan EnKF untuk d = 3 o C, t = 50, 5 alat ukur.
The Estimation of Temperature Distribution by EnKF 90
20
80
10
70 0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 2. Distribusi Panas dengan gangguan d = 3 oC, t = 50.
Pada simulasi pertama, lubang terletak pada posisi x = 12, selanjutnya disingkat menjadi posisi 12, dengan suhu panas yang masuk d = 3 oC. Distribusi panas pada sistem sebenarnya dinyatakan Gambar 2. Distribusi suhu panas sebenarnya diperoleh dari simulasi Persamaan (7), dengan derau wk ~ N(0, Q) yang dibangkitkan dari program Matlab. Dalam semua simulasi ini dilakukan sampai waktu ke 50 satuan waktu. Dari Gambar 2, tampak bahwa suhu menurun ketika posisi bertambah, tetapi pada posisi ke 12 suhu naik dan kemudian turun lagi sampai akhir batang logam. Suhu naik pada posisi 12, karena ada lubang yang menyebabkan panas masuk pada posisi 12. Pada simulasi pertama tersebut, diletakkan alat pengukuran pada posisi x = 2, 4, 6, 9 dan 13. Gambar 3 memperlihatkan hasil estimasi distribusi panas dilakukan dengan menggunakan EnKF. Gambar 3 memperlihatkan bahwa makin kekanan suhu menurun, tetapi ada peningkatan suhu antara posisi 12 dan posisi 14 dan turun lagi sampai akhir batang logam. Tampak bahwa grafik suhu membentuk puncak atau sudut pada posisi 13, sehingga grafik tidak smooth pada posisi 13. Maka
Temperature (Celcius)
30
0
2
Untuk mengkonfirmasi dugaan di atas, ditambahkan tiga alat ukur disekitar posisi 13 yaitu pada posisi 10, 11 dan 12 untuk mengetahui secara lebih tepat posisi gangguan. Hasil estimasi disajikan Gambar 4. Puncak grafik terjadi pada posisi 12. Jadi dapat disimpulkan bahwa lubang (gangguan) terletak disekitar posisi 12.
90
Temperature(Celcius)
0
60 50 40 30 20 10 0
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 4. Estimasi distribusi panas untuk d = 3 oC, t = 50; 8 alat ukur.
Dari Gambar 1-4 dapat disimpulkan bahwa algoritma EnKF dapat digunakan untuk mendeteksi posisi lubang atau gangguan yang mempengaruhi distribusi panas pada batang logam. Dengan melakukan penambahan alat ukur disekitar posisi puncak, maka akan diperoleh posisi lubang yang lebih akurat. Selanjutnya dilakukan simulasi dengan besar gangguan yang berbeda misalnya d = 0,5 oC, 1 oC, 2 o C, 5 oC, kemudian dianalisa seberapa kecil suhu gangguan yang dapat dideteksi oleh algoritma EnKF. Hasil estimasi dengan besar gangguan berbeda diperlihatkan pada Gambar 5.
137 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2011, Vol. 16 Nomor 3 The Estimation of Temperature Distribution by EnKF
The Estimation of Temperature Distribution by EnKF
90
90
80
80
70 Temperature (Celcius)
Temperature (Celcius)
70 60 50 40 d=0.5oC d=5oC
o
d=1 C
d=2oC
0
2
4
6
40 30
8
10 Position
10 0
d=3oC
10 0
50
20
30 20
60
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 6b. Posisi lubang x = 6; gangguan d = 2. The Estimation of Temperature Distribution by EnKF 90
Gambar 5. Estimasi distribusi panas dengan berbagai besaran gangguan.
80
Temperature (Celcius)
70 60 50 40 30 20 10 0
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 6c. Posisi lubang x = 11; gangguan d = 2. The Estimation of Temperature Distribution by EnKF 90 80 70 Temperature (Celcius)
Dari Gambar 5, tampak bahwa gangguan dengan suhu d = 1 oC menghasilkan puncak yang kecil pada posisi 13. Semakin besar suhu yang masuk (gangguan), semakin tinggi puncak yang muncul pada posisi 13. Jadi, dapat disimpulkan bahwa algoritma EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan suhu d 1 oC. Selanjutnya, dilakukan simulasi untuk posisi lubang atau gangguan yang berbeda, yaitu x = 3, 6, 11, 13, dan 16 dan dianalisa seberapa kecil suhu gangguan yang dapat dideteksi oleh EnKF. Dalam simulasi ini, alat pengukur ditempatkan pada posisi x = 2, 4, 6, 9, dan 13. Untuk kasus pertama, isolasi mempunyai lubang pada posisi ke 3, dengan besar gangguan d = 3 oC. Hasil estimasi distribusi suhu dinyatakan Gambar 6a. Tampak, terdapat puncak yang kecil disekitar posisi ke 2, maka dapat dikatakan isolasi berlubang pada disekitar posisi x = 2. Untuk gangguan dengan posisi ini, EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan besar suhu d 5 oC. Sedangkan untuk besar gangguan d > 3 oC, EnKF tidak dapat mendeteksi, karena grafik distribusi suhu menurun secara smooth tanpa adanya puncak.
60 50 40 30 20 10 0
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 6d. Posisi lubang x = 13; gangguan d = 1.
The Estimation of Temperature Distribution by EnKF 100
The Estimation of Temperature Distribution by EnKF
90
90 80
70
70 60
Temperature (Celcius)
Temperature (Celcius)
80
50 40 30 20 10 0
60 50 40 30 20
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
10 0
Gambar 6a. Posisi lubang x =3; gangguan d = 5.
0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 6e. Posisi lubang x = 16; dangguan d = 1.
Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mendeteksi Gangguan ................ 138 Tabel 1. Estimasi suhu di sekitar gangguan atau lubang.
The Estimation of Temperature Distribution by EnKF
90 80
Temperature (Celcius)
70
Posisi Gangguan
60 50
3
40 30 20 10 0
13 0
2
4
6
8
10 Position
12
14
16
18
20
Gambar 6f. Posisi lubang x = 16; gangguan d = 3.
Gambar 6e-f menunjukkan estimasi distribusi suhu dengan berbagai posisi lubang. Untuk kasus posisi lubang pada x = 6, EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan besar suhu d 2 oC (Gambar 6b). Terdapat puncak pada grafik distribusi suhu disekitar posisi ke 6. Untuk posisi lubang pada x = 11, EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan besar suhu d 2 o C (Gambar 6c). Terdapat puncak disekitar posisi ke 13. Posisi puncak pada grafik estimasi distribusi suhu bisa berbeda dengan posisi lubang karena posisi alat ukur tidak sama dengan posisi lubang. Untuk kasus lubang terletak pada posisi x = 13, EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan besar suhu d 1 oC (Gambar 6d). Terjadi puncak disekitar posisi 13. Pada kasus ini, posisi lubang dan alat ukur adalah sama, yaitu posisi 13. Untuk posisi lubang pada x = 16, EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan besar suhu d 1 oC (Gambar 6 e-f). Terdapat puncak pada posisi 13, tetapi lubang terletak pada posisi 16. Pada kasus ini, posisi lubang terletak setelah posisi semua alat ukur, sehingga EnKF mendeteksi terjadi perubahan suhu pada posisi 13 (posisi alat ukur yang terdekat dengan lubang) dan tidak dapat mendeteksi gangguan setelah posisi tersebut. Simulasi besarnya suhu disekitar lubang juga dianalisa untuk besar suhu yang berbeda. Hasil analisa dinyatakan Tabel 1. Tabel 1 menyatakan estimasi suhu disekitar lubang atau gangguan. Warna hitam tebal (bold) menyatakan terdapat puncak atau sudut pada grafik estimasi distribusi suhu. Untuk kasus lubang atau gangguan pada x = 3 dengan gangguan d = 1, 2, 3, 4, 5, Tabel 1 menunjukkan suhu menurun pada posisi x = 2, 3, dan 4, sehingga menurut hasil estimasi tidak ada lubang atau gangguan pada x = 3, meskipun kenyataannya ada gangguan (aliran panas masuk) pada posisi 3. Hal ini diperkirakan terjadi karena besar suhu gangguan d = 5 oC terlalu kecil dibandingkan dengan suhu pada posisi x = 3 (seharusnya Q 78,6967). Perbandingan antara besar suhu gangguan dan suhu pada lubang adalah 5/78,69670,08354. Gangguan yang kurang dari 8,3% EnKF tidak dapat mendeteksi posisi lubang.
16
Posisi gangguan 16
Besar suhu Gangguan 1oC 2oC
Q sebelum lubang 75,5600 79,0476
Q pada lubang 63,1357 66,6819
Q setelah lubang 51,7879 55,7470
3oC 5oC 1oC 2oC 3oC 5oC 1oC 2oC 3oC 5oC Besar suhu Gangguan 1oC 2oC 3oC 5oC
82,5682 89,2753 8,8052 14,0297 19,2806 28,7176 3,0676 4,3706 6,0203 8,8812 Posisi 12
71,1224 78,6967 9,2034 16,0391 21,8031 34,6526 2,3746 3,1742 4,4920 6,8024 Posisi 13
60,6680 69,2473 6,9906 11,9075 17,2405 27,1689 1,9315 2,4926 3,4637 5,1307 Posisi 14
5,9228 8,3639 10,2444 15,1929
5,6377 8,7239 11,4878 17,6444
4,1786 6,2896 8,5013 12,9837
Pada kasus posisi lubang di x = 13 dengan besar suhu gangguan 1 oC d 5 oC, Tabel 1 menunjukkan bahwa suhu naik dari posisi x = 12 ke x = 13 dan kemudian turun dari posisi x = 13 ke x = 14. Artinya, grafik tidak smooth (terjadi puncak atau sudut pada x = 13). Perbandingan antara besar suhu gangguan dan suhu pada lubang (x = 13) untuk d = 1 adalah d/Q = 1/9,20340,10865. Pada kasus gangguan 10.87%, EnKF dapat mendeteksi posisi lubang. Tetapi untuk posisi lubang x = 16, dengan gangguan 1 oC d 5 oC. Tabel 1 menyatakan suhu sekitar posisi gangguan (posisi sebelum lubang, x = 15, pada lubang, x = 16 dan setelah lubang, x = 17) menurun, tetapi suhu naik dari posisi x = 12 ke x = 13 dan turun pada posisi x = 13 ke x = 14 (d 2 oC). Grafik dari estimasi distribusi suhu mempunyai sudut atau puncak pada posisi x = 13. Dari Gambar 6e, 6f dan Tabel 1, dapat disimpulkan bahwa posisi lubang disekitar x = 13, tetapi kenyataannya posisi lubang adalah x = 16. Suhu disekitar gangguan (x = 16) berdasarkan hasil estimasi tidak dipengaruhi gangguan, karena alat ukur berada pada posisi 13. Pada kasus ini gangguan dengan posisi setelah posisi alat ukur tidak dapat dideteksi oleh EnKF. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa EnKF dapat mendeteksi posisi lubang jika perbandingan besar suhu gangguan dan suhu pada disekitar lubang lebih dari 10% (untuk kasus d = 5, posisi x = 3, gangguan kurang dari 10%, posisi lubang tidak dapat dideteksi) dan terdapat alat ukur setelah posisi lubang.
139 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2011, Vol. 16 Nomor 3
4. Kesimpulan
Berdasarkan pada pembahasan di atas dan hasil simulasi maka dapat disimpulkan : Ensemble Kalman filter (EnKF) dapat digunakan untuk mendeteksi posisi lubang atau gangguan pada batang logam. Keberadaan gangguan dapat dideteksi berdasarkan adanya puncak atau sudut dari grafik hasil estimasi. Sensitivitas algoritma EnKF tergantung pada rasio antara besar suhu gangguan terhadap besar suhu batang logam pada posisi gangguan. EnKF dapat mendeteksi gangguan dengan rasio lebih dari 10%. Jika posisi lubang terletak setelah posisi alat ukur maka hasil deteksi kurang akurat. Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini merupakan bagian dari penelitian Hibah Bersaing 2010 dengan judul Reduksi Rank dan Ensemble Kalman Filter. Daftar Pustaka
Apriliani, 1999, Temperature Distribution of The Rod Estimation Modeling by RRSQRT Filter, Asia - Pacific International Congress on Engineering Computational Modeling and Signal Processing, Proceeding ITB, 369-377. Apriliani, 2000a, The Estimation of the One Dimensional Temperature Distribution by the Modification of the RRSQRT Filter, Prosiding Seminar Matematika Nasional, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 57-64. Apriliani, 2000b, The Application of RRSRIF to Estimate the Heat Distribution, Prosiding Seminar MIPA 2000, Fakultas MIPA ITB, 184-190.
Apriliani, 2001, The Reduced Rank SRIF, Journal Indonesian Mathematics Society (MIHMI), 7, 39-48. Apriliani, E., B. A. Sanjaya, and D. Adzkiyah, 2009, The Groundwater Pollution Estimation by the Ensemble Kalman Filter, dipresentasikan di International Conference on Natural and Material Sciences, 3-4 Juli 200, Banjarmasin. Apriliani, E., B. A. Sanjaya, dan D. K. Arif, 2010, The Square Root Ensemble Kalman Filter to Estimate the Concentration of Air Pollution, Proceeding International Conference on Mathematics and Applied Engineering, Kuala Lumpur, Malaysia. Daley, R., 1991, Atmospheric Data Analysis, Cambridge University Press. Evensen, G., 1997, Advanced Data Assimilation for Strongly Nonlinear Dynamics, Monthly Weather Review, 125, 1342-1354. Evensen, G., 2002, Sequential Data Assimilation for Nonlinear Dynamics: The Ensemble Kalman Filter, In Ocean Forecasting: Conceptual basis and applications, edited by N. Pinardi and J. D. Woods, SpringerVerlag Berlin Heidelberg. Evensen, G., 2003, The Ensemble Kalman Filter: Theoretical formulation and practical implementation. Ocean Dynamics, 53, 343367. Kalnay, E., 2003, Atmospheric modeling, data assimilation and predictability, Cambridge University Press. Purnama, K. D. dan E. Apriliani, 2008, Estimasi Populasi Plankton dengan Ensemble Kalman Filter, Jurnal Ilmu Dasar, 9, 1. Verlaan, M., 1998, Efficient Kalman filtering for Hydrodynamic Models, PhD Thesis, Delft University of Technology.
