PREDIKSI RETURN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN METODE KALMAN FILTER

ISSN: 2339-2541 JURNAL GAUSSIAN, Volume 5, Nomor 4, Tahun 2016, Halaman 651-661 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian

PREDIKSI RETURN PORTOFOLIO MENGGUNAKAN METODE KALMAN FILTER Dita Rosita Sari1, Tatik Widiharih2, Sugito3 Mahasiswa Departemen Statistika FSM Universitas Diponegoro 2,3 Staff Pengajar Departemen Statistika FSM Universitas Diponegoro 1

ABSTRACT Stock is an evidence for individual or institutional ownership about a company. To cover losses in stocks investment, should be done diversification to spread risk in some stocks called as portfolio. Portfolio is a joint of two or more stocks investment that are choosen as investment’s targets over spesific time periods and certain rules. To minimize losses in stocks investment, needed to predict portfolio return for some coming periods. Good prediction has small difference with actual data. One method that can minimize MSE is Kalman Filter. Kalman Filter estimates a process through feed back Control Mechanism called recursion. The variable used are monthly portfolio return of PT Mayora Indah Tbk and PT Indofood Sukses Makmur Tbk in January 2005 until December 2015. Data In January 2005 until December 2014 are used to predict the return portfolio for Year 2015. After that, an interval is made for those forecast results and compare with actual data. If actual data are residing in the interval, then Kalman Filter method can be used to predict portfolio return for year 2016. The MSE value with kalman Filter is 0,00225 and the MSE value with Box-Jenkis method is 0,00253, so Kalman Filter can minimize the MSE value. Keywords : portfolio return, Box-Jenkins, Kalman Filter 1.

PENDAHULUAN Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana pada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang. Umumnya investasi dibedakan menjadi dua, yaitu investasi pada aset keuangan dan investasi pada aset riil. Investasi pada aset keuangan yang dilakukan di pasar uang, misalnya berupa sertifikat deposito, surat berharga, dan surat berharga pasar uang, serta di pasar modal, misalnya berupa saham, obligasi, waran, dan opsi. Investasi pada aset riil diwujudkan dalam bentuk pembelian aset produktif, yaitu pendirian pabrik, pembukaan pertambangan, dan pembukaan perkebunan[5]. Saat ini dengan semakin banyaknya emiten yang mencatatkan sahamnya di bursa efek, perdagangan saham semakin marak dan menarik para investor untuk terjun dalam jual beli saham. Saham dapat didefinisikan surat berharga sebagai bukti pernyataan atau pemilikan individu maupun institusi terhadap suatu perusahaan. Apabila seorang investor membeli saham, maka ia akan menjadi pemilik dan disebut sebagai pemegang saham perusahaan tersebut[1]. Investor yang bijaksana tidak akan menempatkan semua uang mereka ke dalam satu instrumen investasi. Hal ini dilakukan supaya jika salah satu instrumen investasi mengalami kerugian, masih ada instrumen investasi lain bisa diharapkan menutup kerugian tersebut. Gabungan dari instrumen investasi ini yang disebut sebagai portofolio[3]. Risiko yang tak terhindarkan harus diminimalisir sehingga perlu adanya prediksi beberapa periode ke depan. Prediksi yang baik memiliki selisih peramalan dengan data aktual yang kecil. Salah satu metode yang dapat meminimumkan MSE (Mean Squared

Error) adalah Kalman Filter. Kalman Filter mengestimasi suatu proses melalui mekanisme kontrol umpan balik yang disebut dengan rekursi. Persamaan untuk Kalman Filter dikelompokkan dalam dua bagian, yaitu persamaan update waktu dan persamaan update pengukuran. Persamaan update waktu bertugas untuk mendapatkan nilai pra-estimasi untuk waktu selanjutnya, sedangkan persamaan update pengukuran bertugas untuk keperluan umpan balik, yaitu memadukan hasil pasca estimasi dengan nilai pra-estimasi untuk mendapatkan nilai estimasi yang lebih baik (meminimumkan MSE)[7]. 2. 2.1 a.

TINJAUAN PUSTAKA Return Portofolio Berikut ini adalah langkah-langkah dalam menghitung return portofolio: Return Aset Masing-masing Saham : Rti = ln

b.

Expected Return Aset Masing-masing Saham : μi =

c.

Varian Kovarian Return Aset Matriks varian kovarian return aset dengan elemen sebagai berikut: Varian : = Kovarian:

, untuk i ≠ j

=

d.

Vektor Bobot : w =

e.

Return Portofolio :

=

di mana

2.2 Analisis Runtun Waktu Box-Jenkins 2.2.1 Stasioneritas Data a. Stasioneritas Mean Stasioneritas mean dapat dilihat menggunakan uji formal yaitu uji akar unit Augmented Dickey-Fuller sebagai berikut[10] : H0 : (Proses tidak stasioner) H1 : (Proses stasioner) Kriteria ujinya adalah H0 ditolak jika ≤ nilai kritis Augmented Dickey-Fuller. b. Stasioneritas Varian Untuk melihat stasioneritas varian dilakukan melalui transformasi Box Cox[12] yaitu: T( ) = Jika rounded value = 1 maka dapat disumpulkan observasi stasioneritas varian. 2.2.2 Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) a. Autocorrelation Function (ACF) Kovarian dan dapat dituliskan sebagai berikut[12]: Korelasi antara

dan

adalah

Untuk proses yang stasioner, nilai autokovarian sebagai berikut: a. = Var( ); . JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

dan nilai autokorelasi

memiliki sifat

Halaman

652

b. c. b.

; . dan untuk semua . Partial Autocorrelation Function (PACF) Autokorelasi parsial antara dan adalah sebagai berikut[12]:

Jika ada lag yang keluar dari batas standar eror ACF atau PACF maka dinyatakan signifikan pada lag ke - . 2.2.3 Identifikasi Model a. Model Autoregressive (AR(p)) : b. Model Moving Average (MA(q)) : c. Model Autoregressive Moving Average (ARMA(p, q)) di mana

2.2.4 Estimasi Parameter Ordinary Least Square (OLS) merupakan estimasi yang meminimumkan kuadrat selisih antara nilai parameter sebenarnya dengan nilai estimasinya [12]. Diberikan model AR(1) sebagai berikut: Estimasi least square dilakukan dengan cara mencari nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat error, yaitu Selanjutnya jumlah kuadrat tersebut dilakukan diferensial terhadap dengan 0, sehingga diperoleh: Dengan cara yang sama, dilakukan differensial terhadap

dan disamakan

dan diperoleh sebagai berikut:

2.2.5 Uji Signifikansi Parameter a. Uji Signifikansi Parameter Model Autoregressive (AR(p)) Hipotesis model autoregressive (AR(p)) sebagai berikut[9]: H0 : (Parameter ke-b tidak signifikan terhadap model) H1 : untuk b = 1, 2, 3,…, p (Parameter ke-b signifikan terhadap model) Kriteria ujinya adalah menolak H0 jika | b.

.

Uji Signifikansi Parameter Model Moving Average (MA(q)) Hipotesis model moving average (MA(q)) sebagai berikut[9]:

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

653

H0 : H1 :

(Parameter ke-b tidak signifikan terhadap model) untuk b = 1, 2, 3,…, q (Parameter ke-b signifikan terhadap model)

Kriteria ujinya adalah menolak H0 jika | 2.2.6 Checking Model (Uji Asumsi) a. Uji Independensi Residual Uji Ljung-Box dapat digunakan untuk menguji independensi residual antar lag[12]. H0 : (tidak ada korelasi residual antar lag) H1 : minimal ada satu nilai 0 untuk = 1,2,3,...,G (ada korelasi residual antar lag) Kriteria ujinya adalah menolak jika di mana G adalah lag maksimum yang diperoleh dari plot ACF dan PACF. b. Uji Normalitas Residual Uji normalitas yang digunakan adalah Uji Kolmogorov-Smirnov sebagai berikut[4]: H0 : Residual data berdistribusi normal H1 : Residual data tidak berdistribusi normal Dhitung = = proporsi nilai-nilai observasi yang ≤ y (distribusi empirik) F0(y) = fungsi distribusi kumulatif normal (fungsi distribusi yang dihipotesiskan) Kriteria ujinya adalah menolak jika Dhitung ≥ D(α, n). c. Uji Homoskedastisitas Residual Uji homoskedastisitas residual yang digunakan adalah uji Lagrange Multiplier (LM) yang dapat digunakan juga untuk mendeteksi adanya proses ARCH/GARCH dengan cara meregresikan kuadrat dari residual model[11]: , t = g + 1, … , T dimana : residual observasi pada saat t : residual model H0 : (tidak terdapat efek ARCH/GARCH) H1 : minimal ada satu nilai dengan = 1,2,3, …, G (terdapat efek ARCH/GARCH) 2 LM = (T - G) R di mana

di mana

R2 =

T : banyaknya observasi Kriteria ujinya adalah menolak jika LM

dan

G : lag maksimum

2.2.7 Akaike’s Information Criterion (AIC) Untuk menentukan model terbaik dapat dilakukan menggunakan AIC (Akaike’s Information Criterion) yang didefinisikan sebagai[11]: AIC(k) = ln( ) + di mana k = jumlah parameter dalam model Model terbaik diperoleh dengan memilih nilai AIC terkecil. 2.3 Kalman Filter Representasi ruang keadaan untuk

diberikan pada persamaan berikut[6]:

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

654

(1) (2) di mana : vektor yang diperoleh dari model AR(p), MA(q) atau ARMA(p, q) berukuran (p x 1) B : matriks parameter dari variabel berukuran (p x p) m : dari model ARMA z : vektor parameter dari variabel berukuran ((q+1) x 1) : vektor white noise dari ruang keadaan berukuran (p x 1) 2.3.1 Proses Rekursi dan Peramalan Kalman Filter Kalman Filter mengestimasi suatu proses melalui mekanisme kontrol umpan balik, hal inilah yang disebut dengan rekursi. Persamaan untuk Kalman Filter dikelompokkan dalam dua bagian, yaitu persamaan update waktu dan persamaan update pengukuran. Persamaan update waktu adalah sebagai berikut: MSE nya adalah sebagai berikut: MSE diperoleh dari jumlah diagonal matriks. Persamaan update pengukuran adalah sebagai berikut:

MSE nya adalah sebagai berikut: MSE diperoleh dari jumlah diagonal matriks. Didefinisikan sebagai pra-estimasi dan sebagai pasca estimasi. Persamaan update waktu bertugas untuk mendapatkan nilai pra-estimasi untuk waktu selanjutnya, sedangkan persamaan update pengukuran bertugas untuk keperluan umpan balik, yaitu memadukan hasil pasca estimasi dengan nilai pra-estimasi untuk mendapatkan nilai estimasi yang lebih baik (meminimumkan MSE). Persamaan update waktu disebut juga persamaan prediksi, sedangkan persamaan update pengukuran disebut persamaan koreksi. Untuk peramalan k langkah ke depan adalah sebagai berikut: Persamaan update waktu adalah sebagai berikut: MSE nya adalah sebagai berikut: MSE diperoleh dari jumlah diagonal matriks. Persamaan update pengukuran adalah sebagai berikut:

MSE nya adalah sebagai berikut: MSE diperoleh dari jumlah diagonal matriks. 2.4 Estimasi Interval Estimasi interval ini diperoleh dari hasil peramalan , yang digunakan untuk melihat, apakah hasil peramalan mendekati data aktual atau tidak. Sehingga dapat JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

655

digunakan untuk mengambil keputusan bahwa peramalan dilanjutkan dengan metode Kalman Filter atau berhenti pada metode Box-Jenkins. Misalkan merupakan variabel dengan fungsi densitas bersama , di mana merupakan interval hasil peramalan dengan L = l( dan U = u( , maka nilai-nilai l( dan u( dapat dihitung[2]. 3.

METODE PENELITIAN Data yang digunakan bersifat sekunder bersumber dari finance.yahoo.com yang terdiri dari harga penutupan saham harian PT Mayora Indah Tbk dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk pada tanggal 1 Januari 2005 sampai 31 Desember 2015. Variabel yang digunakan adalah data rata-rata harga saham bulanan PT Mayora Indah Tbk dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk sebagai variabel observasi yang digunakan dalam penentuan return portofolio, pemodelan ARMA, dan peramalan Kalman Filter. Langkah-langkah yang dilakukan untuk menganalisis data penelitian adalah: 1. Menghitung bobot masing-masing saham untuk membentuk return portofolio. 2. Menganalisis model ARMA Box-Jenkins 3. Meramalkan return portofolio tahun 2015 dengan metode Kalman Filter. 4. Membandingkan data aktual dengan estimasi interval prediksi return portofolio tahun 2015, apabila data aktual berada di antara interval, maka dilanjutkan meramalkan return portofolio tahun 2016 dengan metode Kalman Filter. 5. Meramalkan return portofolio tahun 2016 dengan metode Kalman Filter. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Return Portofolio Berikut ini adalah hasil perhitungan return portofolio: a. Return Aset Masing-masing Saham Return aset MYOR saat t = 2 Return aset MYOR saat t = 3 R2,1 = ln b.

c.

R3,1 = ln

0.02861

Expected Return Aset Masing-masing Saham Expected Return Aset MYOR = (0.04315 + 0.02861 + … + (-0.14308)) = 0.02451 Expected Return Aset INDF = (0.06912 + 0.23870 + … + (-0.00743)) = 0.01737 Varian Kovarian Return Aset Σ=

d.

0.04315

=

Vektor Bobot w =

e.

Untuk membentuk return portofolio, return aset PT Mayora Indah Tbk (MYOR) diboboti sebesar 0.96951 dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF) diboboti sebesar 0.03049. Return Portofolio Return Portofolio saat t = 2 = (0.96951 x 0.04315) + (0.03049 x 0.06912) = 0.04394

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

656

4.2 Analisis Runtun Waktu Box-Jenkims 4.2.1 Stasioneritas Data a. Stasioneritas Mean Berdasarkan output diperoleh nilai Probabilitas Augmented Dickey-Fuller = 0.0000 < α = 0.05 sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak yang artinya return portofolio sudah stasioner dalam mean. b. Stasioneritas Varian Berdasarkan output diperoleh nilai Rounded Value = 1, artinya return portofolio sudah stasioner dalam varian. 4.2.2 Identifikasi Model Autocorrelation Function for C1

Partial Autocorrelation Function for C1

(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1.0

1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

Partial Autocorrelation

Autocorrelation

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

-1.0

-1.0 2

4

6

8

10

12

14

16 Lag

18

20

22

24

26

28

30

2

4

6

8

10

12

14

16 Lag

18

20

22

24

26

28

30

Gambar 2. Plot ACF Return Portofolio Gambar 3. Plot PACF Return Portofolio Plot ACF cut off pada lag 1 dan 11 serta plot PACF pada lag 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa diperoleh proses MA dengan orde 1 dan 11 serta proses AR dengan orde 1. 4.2.3 Uji Signifikansi Parameter Tabel 3. Uji Signifikansi Parameter Model Return Portofolio Model Parameter Estimasi thitung P-Value Keputusan ARMA c 0.0235 (1, 0) 0.4388 5.21 < 0.0001 H0 ditolak c ARMA 0.0240 (0, 1) -0.4038 -4.77 < 0.0001 H0 ditolak c 0.0236 ARMA -0.0840 1.84 0.0135 H0 diterima (1, 1) -0.3700 -0.39 0.8982 H0 diterima ARMA c 0.0201 (0, [11]) -0.3175 -3.54 0.0006 H0 ditolak c 0.0205 ARMA 0.4148 4.82 < 0.0001 H0 ditolak (1, [11]) -0.2596 -2.81 0.0058 H0 ditolak c 0.0208 ARMA -0.3761 -2.87 0.0049 H0 ditolak (0, [1, 11]) -0.2638 -4.35 < 0.0001 H0 ditolak c 0.0205 ARMA 0.4043 1.92 0.0575 H0 diterima (1, [1, 11]) -0.0126 -0.06 0.9562 H0 diterima -0.2592 -2.79 0.0062 H0 ditolak Parameter model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), ARMA(0, [11]), ARMA(1, [11]), dan ARMA(0, [1, 11]) signifikan terhadap model, sedangkan parameter model ARMA (1, 1) dan ARMA(1, [1, 11]) tidak signifikan terhadap model.

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

657

4.2.4 Checking Model (Uji Asumsi) a. Uji Independensi Residual Tabel 4. Nilai Statistik Ljung-Box Model Lag P-Value ARMA (1, 0)

ARMA (0, 1)

ARMA (0, [11])

ARMA (1, [11])

ARMA (0, [1, 11])

6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24

0.6732 0.0970 0.1579 0.2869 0.2990 0.0561 0.0688 0.1263 0.0001 0.0040 0.0011 0.0012 0.4374 0.3457 0.4741 0.6625 0.1359 0.1805 0.2066 0.3132

Keterangan H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 ditolak H0 ditolak H0 ditolak H0 ditolak H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima H0 diterima

Pada model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), ARMA(1, [11]), dan ARMA(0, [1, 11]) memenuhi asumsi independensi residual sedangkan pada model ARMA (0, [11]) tidak memenuhi asumsi independensi residual. b. Uji Normalitas Residual Tabel 5. Uji Kolmogorov-Smirnov Model KS P-Value Keterangan ARMA (1, 0) 0.059 > 0.150 H0 diterima ARMA (0, 1) 0.051 > 0.150 H0 diterima ARMA (1, [11]) 0.068 0.134 H0 diterima ARMA (0, [1, 11]) 0.038 > 0.150 H0 diterima Pada model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), ARMA(1, [11]), dan ARMA(0, [1, 11]) memiliki P_Value > nilai α (0.05), sehingga dapat disimpulkan model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), ARMA(1, [11]), dan ARMA(0, [1, 11]) memiliki residual data yang berdistribusi normal. c. Uji Homoskedastisitas Residual Pada model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), dan ARMA (1, [11]), memiliki nilai probabilitas Chi-Square > nilai (0.05), sedangkan pada model ARMA(0, [1, 11]) terdapat nilai probabilitas Chi-Square < nilai (0.05), sehingga dapat disimpulkan dalam model ARMA (1, 0), ARMA (0, 1), dan ARMA(1, [11]) tidak terdapat efek ARCH/GARCH, sedangkan model model ARMA(0, [1, 11]) terdapat efek ARCH/GARCH. 4.2.5 Akaike’s Information Criterion (AIC) Tabel 6. Nilai Akaike’s Information Criterion (AIC) Model AIC ARMA (1, 0) -230.246 ARMA (0, 1) -227.653 ARMA (1, [11]) -224.997 JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

658

Model ARMA (1, 0) merupakan model terbaik. Jadi model ARMA return portofolio saham bulanan PT Mayora Indah Tbk dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk pada bulan Januari 2005 sampai Desember 2014 adalah:

4.3 Kalman Filter Model ARMA (1, 0) dapat dibentuk persamaan keadaan sebagai berikut:

Tabel 7. Prediksi Return Portofolio Tahun 2015, Estimasi Interval, dan Data Aktual Peramalan Batas Bulan Batas Atas Data Aktual Return Portofolio Bawah 0.025481332 Januari -0.048143510 -0.2449825 0.1486954 Februari 0.076561862 -0.008298913 -0.2239357 0.2073378 Maret 0.009188881 -0.2101746 0.2285523 0.093373802 April -0.024319543 0.016864274 -0.2033373 0.2370658 Mei -0.011838243 0.020233004 -0.2001859 0.2406520 -0.019196480 Juni 0.021711539 -0.1987744 0.2421974 Juli 0.016800498 0.022360468 -0.1981497 0.2428707 0.008217379 Agustus 0.022645283 -0.1978750 0.2431656 September 0.006167210 0.022770289 -0.1977547 0.2432953 Oktober 0.022825154 -0.1977023 0.2433526 0.019244145 November -0.025919358 0.022849234 -0.1976798 0.2433783 Desember 0.022859803 -0.1976705 0.2433901 0.025431388 Data aktual masih berada dalam kisaran batas atas dan batas bawah, sehingga dapat dikatakan model tersebut merupakan model yang baik dan dapat digunakan untuk meramalkan return portofolio pada tahun 2016. Tabel 8. Perbandingan MSE Peramalan Return Portofolio 2015 dengan Metode Kalman Filter dan Box Jenkins Prediksi Prediksi Bulan Data Aktual Kalman Box Filter Jenkins Januari 0.02548133 -0.048127060 0.00542 -0.0578 0.00694 Februari 0.07656186 -0.008284323 0.00720 -0.0178 0.00890 Maret 0.09337380 0.009198670 0.00709 0.0097 0.00700 April -0.02431954 0.016870208 0.00170 0.0174 0.00174 Mei -0.01183824 0.020236478 0.00103 0.0208 0.00107 Juni -0.01919648 0.021713598 0.00167 0.0223 0.00172 Juli 0.01680050 0.022361758 0.00003 0.0230 0.00004 Agustus 0.00821738 0.022646171 0.00021 0.0232 0.00022 September 0.00616721 0.022770971 0.00028 0.0234 0.00030 Oktober 0.01924415 0.022825733 0.00001 0.0234 0.00002 November -0.02591936 0.022849763 0.00238 0.0234 0.00243 Desember 0.02543139 0.022860307 0.00001 0.0235 0.00000 Ʃ = 0.02701 Ʃ = 0.03038 MSE = 0.00225 MSE = 0.00253

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

659

Sesuai tujuan Kalman Filter yang meminimumkan eror, hasil peramalan menggunakan metode Kalman Filter memiliki MSE yang lebih kecil dari pada metode Box-Jenkins. Tabel 9. Prediksi Return Portofolio Tahun 2016 Peramalan Data Aktual Bulan Return Portofolio 2016 Januari 0.05581603 0.00801811 0.00228464 Februari 0.03481502 -0.01288972 0.00227574 Maret 0.02559978 0.11403756 0.00782124 April 0.02155613 0.08176142 0.00362468 Mei 0.01978177 0.14248750 0.01505670 Juni 0.01900319 0.02223727 0.00001046 Juli 0.01866154 0.00174213 0.00028627 Agustus 0.01851163 September 0.01844585 Oktober 0.01841698 November 0.01840432 Desember 0.01839876 Ʃ = 0.03136 MSE = 0.00448 Hasil prediksi return portofolio tahun 2016 menggunakan metode Kalman Filter menunjukkan return tertinggi pada bulan Januari dan return portofolio terendah berada pada bulan Desember. Dalam setiap bulannya return portofolio mengalami penurunan namun tidak terdapat return portofolio yang bernilai negatif atau dapat dikatakan dalam tahun 2016 tidak mengalami kerugian. Berdasarkan Tabel 10, terlihat bahwa hasil peramalan return portofolio tahun 2016 dan data aktual pada bulan Januari hingga Juli 2016 memiliki nilai MSE yang lebih besar dari pada nilai MSE peramalan return portofolio tahun 2015 dan data aktual 2015. Hal ini disebabkan oleh terjadinya lonjakan harga saham pada bulan Maret dan Mei. 5. KESIMPULAN Dalam pembentukan return portofolio, return aset PT Mayora Indah Tbk (MYOR) diboboti sebesar 0.96951 atau 96.95% dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF) diboboti sebesar 0.03049 atau 3.05%. Model ARMA untuk data return portofolio saham bulanan PT Mayora Indah Tbk dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk pada bulan Januari 2005 sampai Desember 2014 adalah ARMA (1, 0) dengan persamaan . Hasil prediksi return portofolio saham bulanan PT Mayora Indah Tbk dan PT Indofood Sukses Makmur Tbk tahun 2016 menunjukkan return tertinggi pada bulan Januari dan return portofolio terendah berada pada bulan Desember. Dalam setiap bulannya return portofolio mengalami penurunan namun tidak terdapat return portofolio yang bernilai negatif atau dapat dikatakan dalam tahun 2016 tidak mengalami kerugian. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Anoraga, P. dan Pakarti, P. 2006. Pengantar Pasar Modal. Jakarta: Rineka Cipta. [2] Bain, L.J. and Engelhardt M. 1992. Introduction To Probability And Mathematical Statistics, Second Edition. California: Duxbury. [3] Brealey, R.A. and Myers, S.C. 2003. Principles Of Corporate Finance, Seventh Edition. United States: McGraw-Hill.

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

660

[4] [5] [6] [7]

[8] [9] [10] [11] [12]

Daniel, W.W. 1989. Statistika Nonparametrik Terapan. Kantjono, penerjemah. Jakarta : PT Gramedia. Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Edisi Pertama. Jakarta: Salemba Empat. Hamilton, J.D. 1994. Time Series Analysis. New Jersey: Princeton University Press. Makridakis, S., Wheelwright, S.C., and McGee, V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan, Edisi Kedua. Andriyanto dan Basith, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Forcasting Second Edition. Petris, G., Pertone, S., and Campagnoli, P. 2007. Dynamic Linear Models with R. New York: Springer. Rawlings, J.O., Pantula, S.G., and Dickey, D.A. 1998. Applied Regression Analysis: a Research Tool, Second Edition. New York: Springer. Shumway, R.H. and Stoffer, D.S. 2011. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. New York: Springer. Tsay, R.S. 2005. Analysis of Financial Time Series, Second Edition. New Jersey: John Wiley and Sons. Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods, Second Edition. United States: Pearson Education.

JURNAL GAUSSIAN Vol. 5, No. 4, Tahun 2016

Halaman

661