FILTER KALMAN SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

FILTER KALMAN

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: 123114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

i


A KALMAN FILTER

THESIS

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

Written by: Auxilia Maria Aroran Student ID: 123114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017

ii


SKRIPSI

FILTER KALMAN

Disusun oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: 123114004

Telah disetujui oleh: Dosen Pembimbing Skripsi

(Hartono, Ph.D)

Tanggal: 31 Januari 2017

iii


SKRIPSI

FILTER KALMAN

Dipersiapkan dan ditulis oleh: Auxilia Maria Aroran NIM: 123114004

Telah dipertahankan di hadapan Panitia Penguji Pada tanggal 31 Januari 2017 Dan dinyatakan telah memenuhi syarat

SUSUNAN PANITIA Nama Lengkap Ketua

Tanda Tangan

: Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

............................

Sekretaris : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

............................

Anggota

............................

: Hartono, Ph.D. Yogyakarta, 31 Januari 2017 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan,

Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk Tuhan Yesus dan Bunda Maria Kedua Orang Tua, Nixon Aroran dan Maryke Pontoan Adik Lafio Aroran & Adik ipar Cyprianus Warouw Keponakan Karlen Junno Aquinas Warouw Kakek, Nenek, Keluarga Besar dan Sanak Saudara Pastor Yong Ohoitimur dan keluarga besar Yayasan Pendidikan Lokon Almamater tercinta, Universitas Sanata Dharma

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Januari 2017

Auxilia Maria Aroran

vi


ABSTRAK

Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Pendugaan ini bersifat rekursif, sehingga memudahkan peneliti ataupun teknisi dalam menangani data yang terus bertambah dalam periode waktu tertentu. Tujuan dari tulisan ini yaitu menurunkan algoritma filter Kalman, yaitu algoritma untuk menduga keadaan optimal dari suatu sistem dinamis, baik diskret maupun kontinu. Simulasi algoritma filter Kalman dilakukan dengan menggunakan software MATLAB R2010a. Hasilnya menunjukkan bahwa filter Kalman dapat menghasilkan penduga yang memiliki sifat kovariansi eror minimum.

Kata kunci: filter Kalman, derau, error, kovariansi, sistem dinamis, penduga kuadrat terkecil rekursif, algoritma.

vii


ABSTRACT

Kalman filter is an estimation process of optimal state, which applied to a dynamic system that involves noise. This estimation is recursive so that it is easily applied by scientist or engineer in handling data which grows continuously within a certain period of time. The purpose of this thesis is to derive the Kalman filter algorithm, which is used to estimate the optimal state of a dynamic system, including discrete and continuous models. The simulation is done using MATLAB R2010a. The result shows that Kalman filter gives a good estimator, which has minimum error covariance.

Keywords: Kalman filter, noise, error, covariance, dynamic system, recursive least square estimation, algorithm.

viii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Auxilia Maria Aroran

NIM

: 123114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: “Filter Kalman” beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 31 Januari 2017 Yang menyatakan

Auxilia Maria Aroran

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan atas berkat dan penyertaannya sampai pada saat penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Skripsi yang berjudul “Filter Kalman” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. Selama proses penyusunan, tentu saja penulis menemui berbagai macam hambatan sampai akhirnya bisa selesai berkat penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih atas berbagai dukungan yang diterima ingin disampaikan oleh penulis kepada: 1.

Bapak Hartono, Ph.D., selaku dosen pembimbing skripsi, sekaligus Ketua Program Studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademis atas semua bentuk bimbingan dan saran yang diberikan baik selama proses penyusunan skripsi, maupun sejak penulis berada di Program Studi Matematika ini.

2.

Bapak/Ibu/Romo dosen yang telah membagikan ilmu pengetahuannya selama penulis menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

3.

Keluarga dan sanak saudara di Manado atas segala bentuk doa, dukungan, dan dorongan sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

4.

Yayasan Pendidikan Lokon yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di USD, serta dorongan dan semangat yang telah diberikan sampai penulis bisa menyelesaikan skripsi.

5.

Teman-teman Matematika USD angkatan 2012 (Ajeng, Anggun, Arum, Boby, Budi, Dewi, Ega, Fherny, Hepi, Ilga, July, Lia, Manda, Noni, Putri, Risma,

x


Ryan, Sila, Tika) atas semangat dan dorongan selama penulisan, juga selama berdinamika bersama sebagai bagian dari keluarga Prodi Matematika USD. 6.

Keluarga Besar Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, kakak-kakak dan adik-adik angkatan, juga keluarga besar FST USD, karyawan dan staff yang baik secara langsung maupun secara tidak langsung memberikan bantuan kepada penulis.

7.

Zilvi, Tri, dan juga teman-teman befi yang memberikan semangat dan menjadi teman diskusi selama penulis mengerjakan skripsi, serta BF dan semua pihak yang tidak sempat disebutkan, yang secara tidak langsung telah menyemangati penulis sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari, bahkan dengan bantuan dan keterlibatan dari berbagai

pihak, tulisan ini adalah karya dari penulis, manusia biasa yang tak luput dari kesalahan. Oleh karena itu, penulis dengan tangan terbuka menerima segala bentuk kritik dan saran dari pembaca sekalian. Semoga kiranya tulisan ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, 31 Januari 2017 Penulis

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv HALAMAN PERSEMBAHAN ..............................................................................v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. ix KATA PENGANTAR .............................................................................................x DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv DAFTAR TABEL ..................................................................................................xv BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................1 A. Latar Belakang Masalah....................................................................................1 B. Rumusan Masalah .............................................................................................5 C. Pembatasan Masalah .........................................................................................5 D. Tujuan Penulisan ...............................................................................................5 E. Manfaat Penulisan .............................................................................................6 F. Metoda Penelitian .............................................................................................6 G. Sistematika Penulisan .......................................................................................6

xii


BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL .........................................................9 A. Matriks ..............................................................................................................9 B. Variabel Acak dan Proses Stokastik ...............................................................21 C. Penduga Kuadrat Terkecil...............................................................................27 BAB III FILTER KALMAN .................................................................................45 A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret .............................................................45 B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah .........................................................52 C. Derau Proses Pendugaan .................................................................................58 D. Derau Pengukuran ...........................................................................................60 E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu ............................................................61 F. Linearisasi Filter Kalman ................................................................................67 G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu ...........................................70 H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret .............................................72 BAB IV SIMULASI FILTER KALMAN .............................................................76 A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan .................................76 B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan ......................80 C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang ..........................................86 BAB V PENUTUP .................................................................................................89 A. Kesimpulan .....................................................................................................89 B. Saran ...............................................................................................................91 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................93 LAMPIRAN ...........................................................................................................95

xiii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Bagan Penerapan Filter Kalman .........................................................3 Gambar 1.2 Algoritma Filter Kalman.....................................................................4 Gambar 2.1 Pendugaan kuadrat terkecil & nya ....................................................31 Gambar 2.2 Pendugaan kuadrat terkecil berbobot & nya .....................................32 Gambar 2.3 Pendugaan kuadrat terkecil rekursif & nya ......................................38 Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan kovariansi pendugaannya ........................................................................47 Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman ...............56 Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman .............57 Gambar 3.4 pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2 ................................57 Gambar 4.1 Pendugaan konstan ...........................................................................76 Gambar 4.2 pendugaan konstan...........................................................................77 Gambar 4.3 Variansi pendugaan konstan ............................................................77 Gambar 4.4 Posisi kendaraan & nya ....................................................................80 Gambar 4.5 Kecepatan kendaraan & nya .............................................................81

xiv


DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman ........................................................................51 Tabel 4.1 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga suatu konstan .........78 Tabel 4.2 Data hasil simulasi filter Kalman untuk menduga posisi dan kecepatan..................................................................................................81 Tabel 4.3 Tujuan dan metode filter Kalman yang berkaitan .................................87 Tabel 5.1 Filter Kalman dengan waktu diskret .....................................................89 Tabel 5.2 Filter Kalman dengan waktu kontinu ....................................................90 Tabel 5.3 Perluasan Filter Kalman dengan waktu kontinu ...................................90 Tabel 5.4 Perluasan Filter Kalman dengan waktu diskret .....................................90

xv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Pada tahun 1960, R.E. Kalman menerbitkan paper yang mendeskripsikan suatu solusi rekursif terhadap masalah filter data diskret linear, yang kemudian dikenal dengan nama Filter Kalman. Filter yang dimaksud adalah sebuah algoritma pemrosesan data. Pada umumnya, filter bertujuan untuk memperoleh pendugaan optimal atas suatu susunan data. Sama seperti filterfilter lainnya, filter Kalman juga bertujuan untuk memperoleh pendugaan optimal atas data yang diberikan oleh sumber berderau. Filter Kalman adalah proses pendugaan keadaan optimal yang diterapkan pada suatu sistem dinamis dan melibatkan derau acak. Optimal di sini berarti meminimalkan error. Filter Kalman disebut juga sebagai penduga kuadrat terkecil linear karena meminimalkan rata-rata kuadrat pendugaan suatu sistem linear stokastik. Terdapat tiga alasan dasar mengapa sistem deterministik dan teori kontrol tidak cukup akurat dalam analisis, antara lain: Tidak ada model sistem matematis yang sempurna. Sistem dinamis dipengaruhi bukan hanya oleh kontrol input awal, tetapi juga oleh gangguan-gangguan yang tak terkontrol atau tak bisa dimodelkan secara deterministik. Sensor tidak memberikan data yang sempurna dan lengkap dari sebuah sistem

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Filter Kalman menggabungkan semua pengukuran yang tersedia, tanpa memperhatikan ketepatannya, untuk menduga nilai terbaru dari variabel yang diteliti dengan menggunakan (1) pengetahuan tentang sistem dan alat pengukuran, (2) deskripsi statistis dari derau sistem, pengukuran, dan ketidakpastian dalam model dinamis, dan (3) informasi yang tersedia tentang keadaan awal dari variabel yang diteliti. Salah satu yang membedakan filter Kalman dengan konsep pemrosesan data tertentu adalah konsep rekursif. Dengan sifat rekursif ini, filter Kalman tidak perlu menyimpan semua data yang sebelumnya telah diperoleh kemudian memroses kembali semua data tersebut setiap diperoleh data pengukuran yang baru. Tujuan utama dari filter kalman yaitu untuk menduga keadaan dari sistem dinamis. Keadaan yang akan diduga yaitu

pada sistem dinamis

dari pengetahuan tentang hasil pengukuran

dengan

,

, dan

adalah matriks transisi keadaan, matriks input, dan

matriks output. Vektor- vektor

,

, dan

masing-masing menyatakan

vektor keadaan, vektor kontrol, dan vektor output, sedangkan

dan

merupakan proses derau yang terlibat. Untuk lebih jelasnya lihat gambar 1.1. Filter Kalman telah digunakan secara luas dalam berbagai bidang industri dan pemerintahan, seperti sistem tracking pada video dan laser, navigasi satelit, pendugaan trayektori rudal balistik, radar, dan pengontrol tembakan.


Dengan berkembangnya komputer berkecepatan tinggi, filter Kalman menjadi lebih berguna dalam aplikasi masa kini. Secara sederhana, penerapan filter Kalman pada suatu sistem dapat dilihat seperti pada gambar.

Gambar 1.1 Bagan penerapan filter Kalman Meskipun Filter Kalman sering digunakan, teori matematika dibalik proses Filter Kalman tidak begitu dimengerti oleh penggunanya, karena sebagian besar hanya menggunakan algoritmanya saja tanpa mengetahui bagaimana asal-usul algoritma tersebut. Oleh karena itu, penulis akan berusaha untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana algoritma filter Kalman ini diperoleh. Algoritma filter Kalman bermula dari pedugaan kuadrat terkecil dengan mengikuti langkah-langkah penurunan sebagai berikut: 1.

Mulai dengan deskripsi matematis dari suatu sistem dinamis yang akan diduga.


2.

Menerapkan persamaan yang mendeskripsikan bagaimana rata-rata dari keadaan yang diteliti dan kovariansinya merambat bersesuaian dengan waktu.

3.

Pilih sistem dinamis yang menggambarkan perambatan rata-rata dan kovariansi keadaan tersebut kemudian menerapkan persamaan yang diperoleh. Persamaan ini merupakan dasar dari penurunan Filter Kalman sebab rata-rata dari keadaan tersebut merupakan pendugaan Filter Kalman atas keadaan tersebut.

4.

Setiap kali hasil pengukuran diperoleh, maka rata-rata dan kovariansinya akan diperbaharui secara rekursif. Algoritma filter Kalman dapat dicantumkan dalam bagan sebagai berikut.

Gambar 1.2 Algoritma filter Kalman Penjelasan mengenai bagaimana memperoleh persamaan-persamaan seperti pada gambar akan dijelaskan pada bab ketiga dari tulisan ini.


Sebelumnya, pada bab kedua akan dibahas terlebih dahulu tentang teori-teori dasar yang dibutuhkan, khususnya pendugaan kuadrat terkecil.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, masalah-masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini antara lain: 1.

Bagaimana proses untuk memperoleh algoritma filter Kalman?

2.

Bagaimana contoh simulasi filter Kalman dalam kehidupan sehari-hari?

C. Pembatasan Masalah Masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini dibatasi sebagai berikut: 1.

Filter Kalman yang dibahas dalam tulisan ini adalah filter Kalman dengan waktu diskret dan waktu kontinu, sampai pada perluasannya.

2.

Jenis-jenis filter Kalman seperti Ensemble Kalman Filter (EnKF), Adaptive Kalman Filter (AKF) dan lainnya tidak akan dibahas dalam tulisan ini.

3.

Sifat tak bias dari penduga pada filter Kalman tidak dibahas dalam tulisan ini.

D. Tujuan Penulisan Tujuan yang ingin dicapai oleh penulis selain untuk memenuhi syarat tugas akhir dalam program studi Matematika Universitas Sanata Dharma, yaitu sebagai berikut:


1.

Menjelaskan bagaimana proses memperoleh algoritma filter Kalman.

2.

Memberi contoh simulasi filter Kalman dan penerapan filter Kalman dalam berbagai bidang.

3.

Memperluas wawasan pembaca tentang aplikasi ilmu matematika khususnya mengenai filter Kalman.

E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1.

Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.

2.

Pembaca mendapat gambaran tentang aplikasi ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari, yaitu penerapan filter Kalman.

F. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir yaitu studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku dan/atau jurnal yang membahas tentang Filter Kalman maupun aplikasinya.

G. Sistematika Penulisan BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan


E. Manfaat Penulisan F. Metode Pemulisan G. Sistematika Penulisan BAB II. LANDASAN TEORI A. Matriks B. Derau Putih C. Penduga Kuadrat Terkecil BAB III. FILTER KALMAN A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah C. Derau Proses Pendugaan D. Derau Pengukuran E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu F. Linearisasi Filter Kalman G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret BAB IV. SIMULASI FILTER KALMAN A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN


BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL

Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu, pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum dalam subbab-subbab berikut.

A. Matriks Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang kolom, serta ruang hasilkali dalam.

1.

Lemma Invers Matriks Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal.

9


Misalkan terdapat matriks gabungan matriks matriks

dengan

, keduanya tak singular, sedangkan . Definisikan matriks

dan

matriks

matriks

dengan

maka: a.

Andaikan

mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa merupakan invers dari

b.

Andaikan

mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa juga merupakan invers dari

c. Bukti a.

b.

, dan


c.

Dari a dan b, matriks

dan matriks keduanya merupakan invers dari matriks

sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh ■

. Selanjutnya, karena

dan

, maka

Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen yaitu

Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan lemma invers di atas.

Contoh 2.1 Misalkan terdapat matriks Invers dari matriks

adalah


Akan dicari invers dari matriks

.

Tanpa menghitung invers matriks

dari awal,

dapat diperoleh

dengan menggunakan hasil invers dari matriks . Perhatikan bahwa , dengan

,

, dan

Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh

2.

Matriks Pseudo Invers Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk pseudo invers

dari matriks

merupakan perumuman dari matriks invers

yang biasanya, dimana matriks

tidak harus memenuhi semua sifat-sifat

matriks yang bisa dibalik. Misalkan ruang baris dari

matriks

. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa

paling banyak berdimensi

dan ruang kolomnya paling

banyak berdimensi . Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama (rank dari ), jika

, maka rank dari

nilai yang lebih kecil antara nilai-nilai

dan , yaitu

paling besar adalah


Singularitas matriks

dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo

invers dari . Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks

.

Teorema 2.1 Jika

merupakan matriks dengan rank penuh, maka

tak singular.

Bukti Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika sebarang , maka dengan

. Jika

maka dengan mengalikan kedua ruas

, diperoleh

sehingga

. Karena

Dengan demikian, terbukti

Jika

, mempunyai rank penuh, diperoleh

■

tak singular.

tidak singular, jadi

punya invers. Bentuk

disebut pseudo invers kiri dari , dimana

. Rank dari

adalah . Jika

merupakan matriks dengan rank baris penuh, yaitu

, maka

tidak singular, jadi

punya invers. Selanjutnya, bentuk

disebut pseudo invers kanan dari . Rank dari adalah .

.

merupakan matriks dengan rank kolom penuh, yaitu

, maka

dan

untuk

dan

. Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks


Contoh 2.2 Misalkan terdapat matriks dengan

dan

.

. Diperoleh

adalah matriks , dan

. Matriks

adalah matriks singular, sedangkan

mempunyai invers, yaitu

kirinya tidak terdefinisi karena

. Pseudo invers

bukan matriks dengan rank kolom penuh,

sedangkan pseudo invers kanannya adalah

dengan

3.

.

Kalkulus Matriks Bagian selanjutnya adalah kalkulus matriks. Bagian ini akan membahas definisi-definisi tentang turunan matriks, serta persamaan-persamaan yang dihasilkannya. Bagian ini penting dikuasai untuk digunakan dalam mencari nilai minimum suatu fungsi objektif dalam bentuk matriks.


Definisi 2.1 Misalkan

matriks

, dimana elemen-elemennya berupa fungsi

terhadap waktu. Didefinisikan turunan matriks sebagai berikut

menyebabkan

merupakan matriks konstan sehingga

turunannya sama dengan nol. Penurunan

dapat juga dihitung dengan

Karena turunannya sama dengan nol, maka dapat diperoleh turunan dari yaitu

Definisi 2.2 (Turunan parsial fungsi terhadap vektor) Misalkan

vektor

maka turunan parsial fungsi

dan

fungsi skalar dari elemen-elemen , terhadap vektor

adalah

Definisi 2.3 (Turunan parsial fungsi terhadap matriks) Misalkan

matriks

terhadap matriks

adalah

dan

fungsi skalar. Turunan parsial


Dengan definisi-definisi tersebut, dapat dihitung turunan parsial dari hasil perkalian antara dua vektor. Misalkan

Dengan cara yang sama, diperoleh

Untuk bentuk kuadratik

turunan parsialnya adalah

dan

vektor kolom dengan

elemen.


Jika

matriks simetri, maka

sehingga diperoleh

Definisi 2.4 (Turunan parsial vektor terhadap vektor lain)

Misalkan

dan

Jika salah satu dari

. Maka

maupun

ditranspos, maka turunan parsialnya

juga ditranspos, yaitu

Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut. Misalkan

matriks

dan

vektor

. Maka


Definisi 2.5 (Turunan parsial trace matriks Misalkan

matriks

Turunan parsial

Jika

dan

terhadap matriks )

matriks

terhadap

matriks simetri, maka diperoleh

adalah

.


4.

Matriks Definit Positif Bagian selanjutnya akan membahas tentang matriks definit positif. Matriks definit positif berperan penting dalam menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif. Berikut merupakan beberapa hal yang perlu diingat tentang matriks definit positif.

Definisi 2.6 Matriks simetri vektor

disebut definit positif jika

untuk semua

yang tak nol.

Teorema 2.2 Jka

mempunyai rank penuh, maka

merupakan matriks definit

positif Bukti Karena Selanjutnya,

, maka mempunyai rank penuh,

Jadi perkalian titik diperoleh matriks definit positif.

matriks simetri.

tidak nol untuk sebarang

taknol.

. Dan untuk sebarang vektor , , jadi berdasarkan definisi,

adalah ■

Definisi 2.7 Matriks Hessian adalah matriks simetri yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial kedua dari suatu fungsi skalar terhadap suatu


vektor. Misalkan terdapat suatu fungsi dari fungsi

adalah matriks

dan

vektor

, dimana

, matriks Hessian , yaitu

Teorema 2.3 Titik stasioner dievaluasi pada

meminimumkan

jika matriks Hessian dari

adalah definit positif.

Bukti Ekspansi Taylor sampai orde kedua di sekitar

Karena

adalah

titik stasioner, maka

jadi

minimumkan fungsi

ketika ruas kanan pada persamaan

yang


bernilai positif. Padahal jika ruas kanan tersebut ditulis dalam bentuk matriks diperoleh

Sedangkan

merupakan matriks Hessian dari sehingga pada

meminimumkan

. Jadi

adalah matriks definit positif,

ketika matriks Hessian dari

yang dievaluasi ■

definit positif.

B. Variabel Acak dan Proses Stokastik Sub-bab ini akan membahas mengenai variabel acak dan proses stokastik. Namun sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu beberapa teori dasar peluang. Peluang kejadian

dengan dan

didefinisikan dengan

merupakan banyaknya anggota ruang sampel

pada kejadian ,

merupakan banyaknya semua anggota ruang sampel, dengan

Misalnya dalam pelemparan dadu, Peluang kejadian

, maka

. .

munculnya mata dadu 4 pada permukaan dadu adalah

. Sedangkan dalam pelemparan 2 dadu berbeda secara bersamaan,


terdapat 36 anggota ruang sampel , yaitu

, dan peluang kejadian

munculnya mata dadu 2 dan 3 dalam sekali pelemparan adalah , dan

, sebab

.

Peluang suatu kejadian juga bisa berkaitan dengan peluang kejadian yang lainnya. Peluang terjadinya kejadian

setelah

terjadi disebut peluang

bersyarat. Secara matematis, peluang bersyarat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.8 Peluang terjadinya kejadian

dengan

terjadi setelah kejadian

adalah peluang kejadian

dan

adalah

keduanya terjadi.

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian lainnya. Secara matematis, terdapat beberapa cara untuk menyatakan kejadian

dan

saling bebas, yaitu

Variabel acak didefinisikan sebagai suatu pemetaan fungsional dari himpunan hasil percobaan ke himpunan bilangan real. Sebagai contoh, hasil pelemparan dadu dapat dilihat sebagai variabel acak jika munculnya mata dadu 1 pada permukaan dadu dipetakan ke bilangan satu, mata dadu 2 dipetakan ke bilangan dua, dan seterusnya.


Sebuah variabel acak bisa kontinu atau diskret. pelemparan dadu merupakan variabel acak diskret, sebab hasil realisasinya merupakan himpunan nilai-nilai yang diskret. Pengukuran temperatur merupakan variabel acak kontinu karena hasil realisasinya merupakan himpunan nilainilai yang kontinu. Baik variabel acak diskret maupun kontinu, keduanya memiliki fungsi densitas peluang dan fungsi distribusi kumulatif. Fungsifungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.9 merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak diskret jika untuk setiap

berlaku

Definisi 2.10 merupakan fungsi densitas peluang dari variabel acak kontinu jika berlaku untuk semua


Definisi 2.11 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskret densitas peluang

adalah

dengan fungsi

, dimana

Definisi 2.12 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu densitas peluang

adalah

dengan fungsi

, dimana

Masing-masing variabel acak mempunyai karakteristik, seperti rata-rata atau nilai harapan dan variansi. Definisi rata-rata atau nilai harapan dari variabel acak didefinisikan sebagai berikut.


variabel acak dengan fungsi densitas peluang

rata atau nilai harapan dari

adalah

. Rata-


Variansi dari variabel acak menunjukkan seberapa besar variabel acak akan bervariasi dari rata-ratanya. Dalam kasus-kasus tertentu, misalnya jika variabel acak

hanya memiliki satu nilai (misalnya jika pada saat melempar

dadu selalu muncul mata dadu 4), maka disebut bahwa variansi dari dengan 0. Kasus lainnya adalah jika nilai dari

berada di antara

peluang yang sama, maka disebut bahwa variansi dari

sama dengan

sama dengan

.

Variansi dari variabel acak didefinisikan secara formal sebagai berikut.


variabel acak dengan fungsi densitas peluang

rata . Variansi dari

dan rata-

adalah

Standar deviasi dari variabel acak dinotasikan dengan , merupakan akar kuadrat dari variansi. Perhatikan bahwa variansi bisa ditulis

Notasi

digunakan untuk menyatakan bahwa

variabel acak dengan rata-rata

dan variansi

.

merupakan


Sebuah variabel acak kontinu disebut Gaussian atau normal jika fungsi densitas peluangnya yaitu

Selanjutnya misalkan terdapat dua variabel acak yaitu halnya dengan kejadian saling bebas, Variabel acak

dan

dan

. Sama

dikatakan saling

bebas jika memenuhi

Akibatnya,

Kovariansi dari variabel acak skalar

Proses stokastik

dan

adalah

merupakan variabel random yang berubah-ubah

menurut waktu, sehingga fungsi distribusi dan fungsi densitasnya merupakan fungsi terhadap waktu. Fungsi distribusi kumulatif dari

Rata-rata dan kovariansi dari yaitu

adalah

juga merupakan fungsi dari waktu,


Perhatikan bahwa

pada waktu

acak yang berbeda, yaitu

dan

dan

merupakan dua variabel

. Jika kedua variabel acak

saling bebas, untuk semua

(white noise). Jika tidak, maka

dan

, maka

disebut derau putih

disebut derau berwarna.

C. Penduga Kuadrat Terkecil Penduga kuadrat terkecil adalah dasar dari penurunan algoritma filter Kalman. Sub-bab ini akan membahas mengenai penduga kuadrat terkecil berbobot dan penduga kuadrat terkecil rekursif.

1.

Penduga Kuadrat Terkecil Berbobot Misalkan dan

adalah vektor konstan dengan -elemen yang tidak diketahui,

adalah vektor hasil pengukuran yang mengandung komponen derau

dengan

elemen. Untuk mencari penduga terbaik

elemen pengukuran pada vektor elemen dalam vektor

dari , dimisalkan setiap

sebagai kombinasi linear dari elemen-

dengan ditambah derau pengukuran, yaitu

Dalam bentuk matriks,


dengan

adalah vektor dengan

elemen,

,

yang memiliki

elemen,

vektor pengukuran dengan

matriks observasi berukuran elemen. Selisih antara

dan

, dan

vektor derau

didefinisikan dengan

,

yaitu

dan disebut sebagai sisa pengukuran. Menurut Karl Gauss, nilai yang paling mungkin untuk vektor

adalah vektor

kuadrat dari selisih antara nilai dicari

yang meminimumkan jumlah

yang diamati dengan vektor

. Jadi akan

yang meminimumkan fungsi objektif , dimana

Substitusi

, diperoleh

mencapai minimum saat turunan parsial pertamanya terhadap

sama

dengan nol, yaitu

Vektor yaitu

kemudian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut,


Dengan dan

, pseudo invers kiri dari matriks

ada jika

matriks dengan rank penuh.

Dalam setiap pengukuran, terdapat derau yang variansinya bisa berbeda. Dengan variansi yang berbeda-beda, dimisalkan

Penduga kuadrat terkecil berbobot bisa diperoleh dengan menurunkan fungsi objektif yang sisa pengukurannya berdistribusi normal. Dengan asumsi bahwa derau dari setiap pengukuran mempunyai rata-rata 0 dan saling bebas, matriks kovariansinya adalah

Pendugaan yang melibatkan variansi derau pengukuran inilah disebut pendugaan kuadrat terkecil berbobot. Dalam pendugaan ini, fungsi objektif yang akan diminimumkan adalah

Fungsi objektif tersebut dapat juga ditulis


mencapai minimum ketika

sehingga diperoleh

Perhatikan bahwa ketika

mempunyai rank

adalah matriks Hessian yang definit positif , sehingga bisa dipastikan bahwa

meminimumkan fungsi objektif . Berikut diberikan contoh pendugaan kuadrat terkecil sebelum dan sesudah diboboti.

Contoh 2.3 Misalkan diperoleh data hasil pengukuran ( ) berturut-turut 0.98, 0.37, 0.88, 0.91, 0.79, 0.67, 0.72, 0.65, 0.49, dan 0.77. Akan dicari garis

yang

bisa mewakili hasil pengukuran tersebut. Dalam bentuk matriks bisa ditulis


Dengan metode kuadrat terkecil,

diduga dengan

diperoleh persamaan hasil pendugaan yaitu jumlah kuadrat nya

, , dengan

Plot hasil perhitungan dan perhitungannya

adalah sebagai berikut.

Gambar 2.1 (a) Pendugaan kuadrat terkecil (b) error pendugaan Setelah diboboti,

diduga dengan

diperoleh persamaan hasil pendugaan

, sehingga , dengan

. Plot hasil pendugaan dan pendugaan setelah diberi bobot adalah sebagai berikut


Gambar 2.2 (a) Pendugaan kuadrat terkecil berbobot (b) error pendugaan Meskipun dengan hasil pengukuran yang sama, kedua gambar menampilkan plot yang berbeda. Pada gambar 1, plot diperoleh dengan asumsi bahwa tingkat ketelitian semua data sama besar. Sedangkan pada gambar 2, diasumsikan bahwa masing-masing data memiliki tingkat ketelitian yang berbeda. Data-data yang lebih teliti diberikan bobot yang lebih besar. Pemboboton ini membuat data-data tersebut lebih bernilai, sehingga perhitungan akan lebih memperhatikan data-data dengan bobot lebih besar.

2.

Penduga Kuadrat Terkecil Rekursif Setiap diperoleh pengukuran yang baru, diperoleh juga matriks

baru

yang ukurannya bersesuaian dengan banyaknya pengukuran. Jika pengukuran diperoleh secara berturut-turut, pendugaan

dilakukan setiap kali didapat


hasil pengukuran yang baru. Dengan demikian, pada setiap pengukuran akan diperoleh juga matriks kembali dengan matriks

baru. Selanjutnya ketika pendugaan

dilakukan

yang baru, pendugaan berikutnya akan

menmberikan hasil yang berbeda. Ketika banyaknya hasil pengukuran meningkat, proses penghitungan akan menjadi lebih sulit. Contohnya pengukuran terhadap ketinggian satelit setiap 1 detik. Setelah satu jam, akan terdapat 3600 data hasil pengukuran, dan bahkan pengukurannya masih berlanjut. Dengan menggunakan penduga kuadrat terkecil, setiap detik pendugaan dilakukan dengan matriks

baru yang ukurannya semakin

membesar. Di sini, masalah pertama yang muncul adalah pengukuran masih terus berlanjut, sedangkan yang diinginkan adalah menduga ketinggian satelit setiap detik. Masalah berikutnya adalah apakah penghitungan bisa tetap dilanjutkan setiap detik. Untuk meminimumkan masalah-masalah tersebut, muncul penduga kuadrat terkecil rekursif yang menghitung hasil pendugaan setiap kali pengukuran dilakukan tanpa mengabaikan hasil pendugaan sebelumnya. Penjelasan mengenai proses pendugaan kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut. Misalkan setelah pengukuran ke

, diperoleh

, kemudian

pengukuran selanjutnya menghasilkan suatu nilai hasil pengukuran baru Penduga rekursif linearnya adalah

.


Hal ini menunjukkan bahwa pengukuran baru

.

diperoleh berdasarkan

dan hasil

merupakan matriks perolehan (matriks gain) yang

nantinya akan ditentukan. Suku suku ini bernilai nol, atau

disebut suku koreksi. Jika

adalah matriks nol, maka pendugaan tidak

mengalami perubahan dari langkah

ke langkah .

Rata-rata dari pendugaan dapat dihitung sebagai berikut

Selanjutnya kriteria optimal untuk menentukan

adalah meminimalkan

jumlah variansi dari error pendugaan pada saat , yaitu

Dengan

. Untuk memperoleh perhitungan rekursif

dapat digunakan proses yang mirip dengan proses rekursif sebelumnya, yaitu

,


tidak bergantung pada

, maka bisa ditulis

karena nilai harapan keduanya sama dengan nol, sehingga diperoleh

dengan

adalah kovariansi

. Rumus ini merupakan bentuk rekursif untuk

kovariansi dari error pendugaan kuadrat terkecil. Hal ini sesuai dengan intuisi bahwa pada saat derau pengukuran meningkat, ketidak-pastian dalam pendugaan juga meningkat. Perhatikan bahwa positif, dan rumus di atas menjamin bahwa bahwa

dan

harus berupa matriks definit definit positif dengan asumsi

adalah matriks definit positif.

Selanjutnya akan dicari nilai

sehingga fungsi objektif

menjadi

seminimal mungkin. Rata-rata error pendugaan adalah 0 untuk setiap nilai dari

. Sehingga jika kita memilih

untuk membuat fungsi objektifnya

lebih kecil, maka error pendugaan tidak akan hanya mempunyai rata-rata 0, tetapi juga akan semakin mendekati nol. Untuk mencari nilai terbaik untuk ingat kembali bahwa

,


jika

simetri. Selanjutnya dengan menerapkan aturan rantai pada

dan

,

diperoleh

Agar diperoleh nilai

yang meminimumkan

, maka haruslah

sehingga

,

, dan

membentuk penduga kuadrat terkecil rekursif. Secara

ringkas, langkah-langkah pendugaan kuadrat terkecil rekursif dapat dituliskan sebagai berikut 1.

Tetapkan penduga yaitu

Jika

tidak diketahui sebelum dilakukan pengukuran, maka

ditentukan dengan sebuah matriks identitas dimana komponennya berupa sebarang bilangan yang nilainya besar pada diagonalnya. Jika keadaan awalnya telah diketahui sebelum pengukuran, maka

.


2.

Untuk a.

, langkah-langkah yang dilakukan adalah

Catat hasil pengukuran dengan

, dengan asumsi bahwa , dimana

ditentukan

adalah vektor random yang

mempunyai rata-rata 0 dengan kovariansi

. Selanjutnya,

asumsikan bahwa derau pengukuran setiap langkah kebebas, yaitu

ketika

dan

saling

ketika

.

akibatnya, derau pengukuran merupakan derau putih (white noise). b.

Perbaharui nilai pendugaan

dan kovariansi error pendugaan

sebagai berikut:

Contoh 2.4 Dari data pengukuran pada Contoh 2.3,

bisa juga diperoleh melalui

pendugaan kuadrat terkecil rekursif, yakni dengan

sesuai dengan langkah-langkah yang baru saja diperoleh. Pendugaan ini menghasilkan plot seperti pada gambar 2.3. Dibandingkan dengan pendugaan sebelumnya, pendugaan secara rekursif ini memperhitungkan hasil dugaan sebelumnya, sehingga diperoleh bergantung pada berbeda-beda.

sebelumnya. Hasilnya,

yang

untuk setiap hasil pengukuran


Gambar 2.3 (a) Pendugaan kuadrat terkecil rekursif (b) pendugaan Dari segi komputasi, bentuk alternatif terkadang lebih menguntungkan. Dengan mempertimbangkan hal ini, maka penting juga untuk mencari bentuk alternatif dari penduga. Untuk memperoleh bentuk alternatif dari penduga yang telah diperoleh sebelumya, langkah pertama adalah mencari bentuk lain dari kovariansi error pendugaan. Sebelumnya telah diperoleh

Substitusi

diperoleh

Dimisalkan suatu variabel bantu atas menjadi

. Persamaan di


Dalam persamaan tersebut,

muncul secara implisit, sehingga dengan

menuliskan kembali, diperoleh

Persamaan ini lebih sederhana dari bentuk sebelumnya, namun masalah komputasi numeris dapat menyebabkan dan

definit positif.

tidak definit positif meskipun


Dengan menerapkan lemma invers matriks, bisa dicari bentuk yang lain dari

yaitu

Dari persamaan ini, gunakan lemma invers matriks dengan

Menurut lemma invers matriks,

maka

diperoleh

Sehingga diperoleh

Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari bentuk ekuivalen dari persamaan

sebagai berikut

Mengalikan ruas kanan dengan diperoleh

(matriks identitas) di sebelah kiri,


Substitusi

, diperoleh

Secara umum, algoritma kuadrat terkecil rekursif dapat dirangkum dengan persamaan-persamaan di bawah ini. Hasil pengukuran dituliskan:

dengan

Dugaan awal dari vektor konstan

yaitu

Algoritma kuadrat terkecil rekursif adalah sebagai berikut


Untuk

Pada contoh-contoh berikut, akan ditunjukkan bagaimana menerapkan algoritma pendugaan kuadrat terkecil. Contoh 2.5 akan menunjukkan bahwa yang diperoleh tidak akan pernah negatif.

Contoh 2.5 Misalkan terdapat parameter observasi skalar

dengan pengukuran yang

sempurna, yaitu

dan

. Pemisalan selanjutnya yaitu kovariansi

pendugaan awal

, dan komputer yang digunakan memberikan skala

ketepatan 3 digit desimal untuk setiap perhitungan yang dilakukan. Perhitungan penduga

yaitu


Selanjutnya untuk mencari

, digunakan persamaan yang telah

diperbaharui, yaitu

Perhatikan

bahwa

dihitung

sebagai 0 karena komputer yang digunakan memiliki ketelitian tiga angka desimal. Bentuk yang diperoleh dari

ini menjamin bahwa

negatif, meskipun terdapat perhitungan numeris pada

,

, dan

tidak pernah .

Contoh 2.6 Penduga kuadrat terkecil rekursif juga bisa diterapkan pada masalah curve fitting. Misalkan akan dicari suatu garis lurus yang cocok dengan himpunan data. Masalah pencocokkan data linear dapat ditulis


dimana

adalah variabel bebas (contohnya variabel waktu),

derau, dan akan dicari relasi linear antara dicari nilai

dan

dan

data dengan

. Dengan kata lain, akan

yang konstan. Matriks pengukurannya yaitu

Penduga rekursifnya diawali dengan

Dugaan rekursif dari vektor sebagai berikut Untuk

,

dengan dua anggota kemudian diperoleh


BAB III FILTER KALMAN

A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut

Proses derau

dan

merupakan derau putih, dengan rata-rata nol,

tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut

Karena

dan

tidak berkorelasi, maka

dan

, yaitu

untuk semua .

Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan

,

berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan pengukuran dengan derau untuk menduga

. Ketika data pengukuran yang akan digunakan

tersedia sampai pada saat

, dapat dibentuk suatu

pendugaan posteriori, yang dilambangkan dengan

. Salah satu cara

membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai

45


harapan

dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan

pengukuran pada saat , yaitu

Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga sebelum waktu

(data pada saat

tersedia

tidak tersedia), maka bisa dibentuk

pendugaan priori. Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung nilai harapan

dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum

waktu , tidak termasuk pengukuran pada saat , yaitu

Perhatikan bahwa baik

maupun

menduga hal yang sama, yaitu pendugaan untuk setelah

sebelum

keduanya digunakan untuk

. Meskipun demikian,

diperhitungkan, sedangkan

diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan

pendugaan yang lebih baik dari saat mencari

merupakan menduga adalah

karena informasi yang digunakan pada

lebih banyak.

melambangkan pendugaan awal

, sebelum hasil pengukuran

tersedia. Pengukuran pertama dilakukan pada waktu hasil pengukuran untuk menduga dari keadaan awal

, maka

. Karena tidak ada

dibentuk sebagai nilai harapan

, yaitu

melambangkan kovariansi

dari

melambangkan kovariansi dari pendugaan

pendugaan , yaitu

, dan


Untuk memahami lebih jelas hubungan antara penduga keadaan priori, posteriori, dan kovariansi pendugaannya, perhatikan gambar 3.1.

Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan kovariansi pendugaan Dari gambar terlihat hasil pendugaan priori pada waktu dan kovariansi error penduganya pengukuran pada waktu pengukuran posteriori

yaitu

diperoleh sebelum dilakukan

. Setelah pengukuran dilakukan, diperoleh hasil dan

. Keduanya kemudian digunakan untuk

mencari penduga priori pada waktu pada waktu

yaitu

Proses pendugaan dimulai dari

hitung rata

. Setelah

. Tetapkan

. Setelah pengukuran

.

, yaitu dugaan paling baik untuk

diketahui, langkah selanjutnya adalah meng. Lihat kembali bahwa

merambat terhadap waktu, yaitu

diperoleh

dan

tersedia, diperoleh hasil pendugaan posteriori pada waktu ,

dengan kovariansi error pendugaannya

kondisi awal

yaitu

dan rata, maka


Persamaan tersebut menunjukkan bagaimana memperoleh

dari

.

Persamaan ini disebut persamaan pembaharuan waktu untuk

.

Secara umum dapat dituliskan

Selanjutnya akan dihitung persamaan pembaharuan waktu untuk bahwa

. Jika nilai

tidak diketahui, maka

. Jelas

dimisalkan dengan

sebuah matriks identitas dengan komponennya berupa sebarang bilangan besar pada diagonal utamannya. Umumnya dugaan awal

mewakili ketidakpastian dari

, dimana

Sama halnya dengan

,

juga dapat diperoleh dari

merambat terhadap waktu dengan

. Kovariansi , sehingga

diperoleh

Secara umum

dapat ditulis

yang disebut persamaan update waktu untuk . Selanjutnya yang akan dicari adalah persamaan update pengukuran untuk dan , yakni diketahui

kemudiah dihitung

ketersediaan hasil pengukuran

. Diingat kembali bahwa

mempengaruhi pendugaan

yaitu


dimana

dan

hasil pengukuran pendugaan setelah

adalah penduga diperoleh, dan

dan kovariansi pendugaan sebelum dan

adalah penduga dan kovariansi

diperoleh. Jadi, untuk memperoleh persamaan dalam

bentuk penduga priori,

diganti

dan

diganti

. Sedangkan

untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga posteriori, dan

diganti

, sehingga diperoleh

yang merupakan persamaan pembaharuan pengukuran untuk Matriks

diganti

dan

.

di atas disebut Kalman filter gain.

Setelah diturunkan, persamaan-persamaan yang telah dibahas dapat dirangkum dalam suatu algoritma yaitu sebagai berikut. 1.

Terdapat sistem dinamis berbentuk


2.

Filter Kalman diawali dengan

3.

Filter Kalman dihitung untuk setiap waktu ke-

Bentuk pertama dari

akan menjamin bahwa

matriks simetri yang definit positif, selama

akan selalu berupa

juga merupakan matriks

simetri yang definit positif. Bentuk ketiga dari

lebih sederhana

penghitungannya dibandingan dengan bentuk pertama, tetapi tidak menjamin apakah matriks yang diperoleh merupakan matriks simetri atau definit positif. Jika dalam perhitungan digunakan bentuk kedua dari harus menggunakan bentuk kedua, karena

, maka perhitungan

bergantung pada

jadi


untuk menghitung

digunakan bentuk kedua yang tidak bergantung pada

. Adapun bentuk-bentuk ini mirip dengan yang telah dibahas pada pendugaan kuadrat terkecil. Tabel 3.1 berisi hubungan antara pendugaan dan kovariansi errornya pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman.

Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman Pendugaan kuadrat terkecil

Filter Kalman

= pendugaan sebelum

diketahui

= penduga priori

= kovariansi sebelum

diketahui

= kovariansi priori

= pendugaan setelah

diketahui

= penduga posteriori

= kovariansi setelah

diketahui

= kovariansi posteriori

Contoh 3.1 Contoh ini akan menunjukkan penerapan persamaan filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sebuah sistem pengukuran dimana diketahui dengan

, ,

, , dan

adalah sebagai berikut

,

, dan

,

, perhitungan filter Kalman pada saat


Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk memperoleh penduga

.

B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah Persamaan filter Kalman priori dan posteriori dapat digabungkan dalam satu persamaan. Persamaan penduga keadaan priori dengan indeks dinaikkan menjadi

Sedangkan persamaan posteriori untuk

Dengan substiusi

adalah

ke persamaan sebelumnya, diperoleh


Langkah

yang

sama

diterapkan

untuk

memperoleh

kovariansi

pendugaannya. Persamaan priori kovariansi dengan indeks dinaikkan menjadi

Substitusi

Substitusi

diperoleh

diperoleh

Dengan cara demikian pula, dapat diperoleh persamaan posteriori satu langkah untuk penduga keadaan dan kovariansi

penduga. Bentuk awal

persamaan penduga keadaan posteriori adalah

Substitusi persamaan priori

, diperoleh

Bentuk awal persamaan posteriori dari kovariansi penduga adalah


Dengan substitusi

, diperoleh

Contoh 3.2 Misalkan terdapat sistem Newton yang bebas derau dengan vektor posisi , kecepatan , dan percepatan . Dengan kecepatan merupakan turunan dari posisi dan percepatan merupakan turunan dari kecepatan, yaitu . Sistem tersebut dapat dituliskan

Dengan memisalkan

sistem tersebut menjadi

Diskretisasi dari sistem ini dengan sampel waktu

dimana

yaitu

pada waktu sampel ke , dan

dapat ditulis

dan


Filter Kalman untuk sistem tersebut adalah

karena

. Diperoleh Kalman gain yaitu

kemudian kovariansi posteriorinya yauitu


Terlihat bahwa trace dari

kurang dari

. Dari sini bisa disimpulkan

bahwa kovariansi penduga semakin mengecil, dan pendugaan menjadi lebih terpercaya. Simulasi pertama sistem ini dilakukan dengan 5 unit sampel waktu atau

, dan standar deviasi 30 unit. Gambar 3.2 menunjukkan variansi

dari penduga posisi (

dan

) untuk 5 langkah pertama filter Kalman.

Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman


Bisa dilihat bahwa variansinya membesar di setiap langkah, tetapi berkurang setiap diperoleh hasil pengukuran yang baru. Hal yang sama juga terlihat pada Gambar 3.3 yang menunjukkan variansi dari penduga posisi (

dan

) untuk 60 langkah pertama.

Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman

Gambar 3.4 Eror pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2


Selanjutnya Gambar 3.4 menunjukkan eror pengukuran posisi (dengan standar deviasi dan hasil pendugaannya. Simulasi ini menunjukkan bahwa filter Kalman efektif untuk menduga keadaan.

C. Derau Proses Pendugaan Perhatikan sistem waktu diskret di bawah ini dengan matriks identitas keadaan transisi dan sampel waktu :

dengan

adalah proses derau putih dengan waktu diskret.

meyatakan bahwa dan variansi

merupakan variabel acak Gaussian dengan rata-rata 0

. Akan dilihat bagaimana pengaruh derau putih terhadap

kovariansi dari keadaan tersebut. Sistem waktu diskret dapat diselesaikan sebagai berikut:

Kovariansi dari keadaan tersebut menjadi:

Nilai dari parameter waktu kontinu sama dengan banyaknya langkah waktu diskret

kali sampel waktu , yaitu

. Bisa dilihat bahwa


Kovariansi dari keadaan meningkat secara linear sebanding dengan waktu untuk sampel waktu

yang diberikan. Selanjutnya perhatikan sistem

waktu kontinu dengan matriks identitas keadaan transisi:

dimana

adalah derau putih dengan waktu kontinu. Definisi untuk

derau putih dengan waktu kontinu yaitu

dimana

dan

diskret. dengan nilai

memiliki arti yang sama dengan

dan

pada sistem waktu

merupakan fungsi impuls-respon waktu diskret, yaitu fungsi saat

, dan 0 selainnya, dengan luas 1. Kovariansi dari

adalah

Substitusi

Karena

ke persamaan di atas diperoleh

, maka persamaan di atas bisa ditulis


Dibandingkan dengan kovariansi keadaan untuk waktu diskret, kovariansi keadaan untuk waktu kontinu juga meningkat secara linear dengan perbandingan yang sama. Dengan kata lain, derau putih waktu diskret dengan kovariansi

pada sistem dengan sampel waktu

putih waktu kontinu dengan kovariansi

ekuivalen dengan derau

, dengan

. Derau

putih waktu kontinu dengan rata-rata nol ditulis

yang sama artinya dengan

D. Derau Pengukuran Misalkan terdapat pengukuran dengan waktu diskret untuk konstan setiap

detik. Waktu pengukuran adalah

,

Dari persamaan filter Kalman, diperoleh kovariansi error pendugaan posteriori yaitu


Kovariansi pada waktu

dengan

independen terhadap sampel waktu

jika

suatu konstan. Hal ini mengimplikasikan

dimana

adalah fungsi impuls waktu kontinu. Hal ini memperlihatkan

ekuivalensi antara derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret dan waktu kontinu. Pengaruh derau putih pengukuran pada sistem waktu diskret akan sama dengan pengaruhnya pada sistem waktu kontinu jika

Menulis

sama artinya dengan mengatakan bahwa

E. Filter Kalman dengan Waktu Kontinu Misalkan terdapat sistem waktu kontinu yaitu


Selanjutnya misalkan terdapat sistem hasil diskretisasi dengan sampel waktu . Diperoleh

Matriks-matriks pada sistem waktu diskret dihitung sebagai berikut:

Maktriks gain filter Kalman untuk sistem ini adalah

Kovariansi error pendugaan menjadi

Untuk nilai

yang kecil, persamaan tersebut menjadi


Substitusi

diperoleh

Kemudian dengan mengurangkan

Dengan mengambil limit ketika

dan kedua ruas dibagi , diperoleh

dan mengingat kembali bahwa

diperoleh

Persamaan ini disebut Persamaan diferensial Riccati dan dapat digunakan untuk menghitung kovariansi pendugaan untuk filter Kalman waktu kontinu. Pada bagian sebelumnya, telah diperoleh persamaan filter Kalman untuk yaitu


Dengan asumsi bahwa

kecil, persamaan pembaruan pengukuran dapat

ditulis

Selanjutnya substitusi

Dengan mengurangkan limit ketika

dari

diperoleh

di kedua ruas dan dibagi

, lalu diambil

, diperoleh

Atau dapat juga ditulis

Filter Kalman waktu kontinu dapat diringkas sebagai berikut 1.

Sistem dinamis dengan waktu kontinu dan persamaan pengukuran adalah

dimana 2.

dan

adalah proses derau putih waktu kontinu.

Persamaan filter Kalman waktu kontinu adalah


Contoh 3.3 Misalkan akan dicari suatu konstan dengan derau pengukuran waktu kontinu sebagai berikut:

Jelas bahwa

,

, dan

kovariansi error penduganya adalah

dengan

. Dari sini diperoleh

. Persamaan diferensial untuk


Selanjutnya diperoleh Kalman gain yaitu

Persamaan pembaruan keadaan yaitu

Hal ini menunjukkan bahwa setelah diperoleh pengukuran yang tak hingga banyaknya atas suatu konstan, pendugaan terhadap nilai konstan tersebut menjadi sempurna, dan pengukuran tambahan tidak bisa lagi membuat pendugaan menjadi lebih baik. Kalman gain juga menuju nol ketika waktunya semakin membesar, yang artinya pengukuran tambahan diabaikan karena pendugaan telah sempurna. Selanjutnya kovariansi juga menuju nol, menunjukkan tingkat ketidakpercayaan atas pendugaan sama dengan nol, sama saja dengan mengatakan bahwa hasil pendugaan sempurna pada waktu tak hingga.


F. Linearisasi Filter Kalman Filter Kalman pada bagian sebelumnya diterapkan langsung hanya untuk sistem linear. Agar metode tersebut bisa digunakan dalam sistem nonlinear, maka terlebih dahulu dilakukan linearisasi terhadap sistem tersebut. Misalnya terdapat sistem nonlinear:

dengan

dan

fungsi nonlinear. Dengan menggunakan deret Taylor,

fungsi-fungsi tersebut akan dilinearisasi untuk memperoleh

dan

yang

linear sebagai berikut

Asumsikan bahwa derau diperoleh pula bahwa

dan

keduanya selalu nol, maka

dan

. Lebih jauh lagi, diasumsikan

diketahui sebab

ditentukan oleh kontrol sistem

sehingga tidak terdapat ketidak-pastian pada nilainya. Artinya dan

. Tetapi nyatanya bisa juga terdapat ketidakpastian pada

kontrol sistem karena terhubung dengan aktuator yang bias dan berderau. Jika


terjadi kasus seperti ini, maka kontrol untuk , dengan

diketahui

bisa ditulis sebagai

merupakan variabel random

dengan rata-rata nol, sehingga sistem bisa ditulis kembali dengan kontrol signal yang diketahui, dan

termasuk bagian dari derau proses.

Selanjutnya didefinisikan nominal sistem trajektori yaitu

Definisikan

Dengan definisi tersebut, diperoleh

Persamaan tersebut merupakan sistem linear dengan keadaan pengukuran

, sehingga dapat digunakan filter Kalman untuk menduga

dan .

Dari sini diperoleh persamaan filter Kalman untuk linearisasi filter Kalman yaitu


Linearisasi filter Kalman waktu kontinu dapat dirangkum sebagai berikut: 1.

Sistem persamaannya yaitu

dengan nominal trajektori

2.

Hitung turunan parsial:


3.

Hitung matriks-matriks

4.

Definisikan

sebagai selisih antara pengukuran

dengan pengukuran nominal

yang sebenarnya

:

5.

Kerjakan persamaan filter Kalman berikut:

6.

Keadaan

diduga dengan:

G. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Kontinu Dengan

menggabungkan

dan

, diperoleh

sehingga

Selanjutnya dipilih

menjadi

dan , dan diperoleh

.


Persamaan ini menjadi ekuivalen dengan linearisasi filter Kalman kecuali bahwa Kalman gain

, dan bahwa

bisa diperoleh secara langsung dari persamaan.

tetap sama dengan

yang diperoleh pada linearisasi filter

Kalman. Perluasan Filter Kalman waktu kontinu bisa diringkas sebagai berikut: 1.

Sistem persamaannya yaitu:

2.

Hitung turunan parsial:

3.

Hitung matriks-matriks:

4.

Kerjakan persamaan filter Kalman berikut:


dengan nilai nominal derau

dan

.

H. Perluasan Filter Kalman dengan Waktu Diskret Misalkan terdapat model sistem

Dengan menerapkan ekspansi deret Taylor pada persamaan keadaan di sekitar

dan

dan

didefinisikan:

, diperoleh:


Persamaan pengukuran dilinearkan di sekitar

dan

,

diperoleh

dan

didefinisikan:

Dengan menggunakan persamaan filter Kalman biasa yang telah diperoleh di bagian sebelumnya, berikut adalah persamaan-persamaan perluasan filter Kalman waktu diskret:

Perluasan filter Kalman dengan waktu diskret dapat dirangkum sebagai berikut: 1.

Persamaan sistem dan pengukuran yaitu:


2.

Awali filter dengan

3.

Untuk

, lakukan:

a.

Hitung turunan diferensial

b.

Perbarui waktu dari penduga keadaan dan kovariansi error pendugaan:

c.

Hitung turunan diferensial

d.

Perbarui pengukuran dari penduga keadaan dan kovariasi error pendugaan:



BAB IV SIMULASI FILTER KALMAN

Materi pada bab sebelumnya telah menjabarkan bagaimana memperoleh algoritma dari beberapa jenis filter Kalman. Bab ini berisi simulasi filter Kalman dalam beberapa masalah, serta beberapa penerapan filter Kalman dalam kehidupan sehari-hari.

A. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan Simulasi dimulai dengan memilih suatu skalar konstan secara acak. Misalkan

. Setelah itu tetapkan 50 sampel pengukuran yang

errornya berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan standar deviasi 0,1. Dengan kovariansi awal

, dan dugaan awal

filter Kalman untuk menduga nilai

dari sampel yang tersedia bisa dilihat

seperti pada gambar-gambar berikut.

Gambar 4.1 Pendugaan konstan 76

, hasil simulasi


Gambar 4.1 memperlihatkan bagaimana hasil dugaan yang diperoleh semakin mendekati nilai sebenarnya. Bisa dilihat pula bagaimana eror pendugaan semakin mendekati nol, yang artinya pendugaan semakin baik. Begitu juga dengan variansi

yang semakin mendekati nol, menandakan

tingkat kepercayaan akan pendugaan semakin tinggi.

Gambar 4.2 Pendugaan konstan

Gambar 4.3 Variansi pendugaan konstan


Data-data sampel pengukuran, hasil pengukuran, pendugaan dan variansi nya pada setiap langkah pengukuran dalam simulasi pertama ini dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 4.1 Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Suatu Konstan Langkah ke-

Pengukuran Pendugaan

Error pendugaan

Kovariansi

0

0.53385

0.00000

0.52611

1.00000

1

0.40470

0.40069

0.12542

0.00990

2

0.41476

0.40769

0.11842

0.00498

3

0.52543

0.44681

0.07930

0.00332

4

0.67937

0.50480

0.02131

0.00249

5

0.44914

0.49369

0.03242

0.00200

6

0.56325

0.50527

0.02084

0.00166

7

0.50355

0.50502

0.02109

0.00143

8

0.63785

0.52160

0.00451

0.00125

9

0.41720

0.51002

0.01609

0.00111

10

0.52937

0.51195

0.01416

0.00100

11

0.58136

0.51825

0.00786

0.00091

12

0.63617

0.52807

-0.00196

0.00083

13

0.68053

0.53979

-0.01368

0.00077

14

0.53470

0.53943

-0.01332

0.00071

15

0.37695

0.52860

-0.00249

0.00067

16

0.45188

0.52381

0.00230

0.00062

17

0.41995

0.51771

0.00840

0.00059

18

0.76116

0.53122

-0.00511

0.00056

19

0.46455

0.52772

-0.00161

0.00053

20

0.60092

0.53137

-0.00526

0.00050


21

0.50687

0.53021

-0.00410

0.00048

22

0.61497

0.53406

-0.00795

0.00045

23

0.44963

0.53039

-0.00428

0.00043

24

0.38588

0.52437

0.00174

0.00042

25

0.38387

0.51875

0.00736

0.00040

26

0.57493

0.52091

0.00520

0.00038

27

0.50837

0.52045

0.00566

0.00037

28

0.50650

0.51995

0.00616

0.00036

29

0.66804

0.52506

0.00105

0.00034

30

0.55527

0.52606

0.00005

0.00033

31

0.54589

0.52670

-0.00059

0.00032

32

0.68488

0.53164

-0.00553

0.00031

33

0.44566

0.52904

-0.00293

0.00030

34

0.59577

0.53100

-0.00489

0.00029

35

0.60962

0.53325

-0.00714

0.00029

36

0.50174

0.53237

-0.00626

0.00028

37

0.54768

0.53278

-0.00667

0.00027

38

0.40953

0.52954

-0.00343

0.00026

39

0.41131

0.52651

-0.00040

0.00026

40

0.53660

0.52676

-0.00065

0.00025

41

0.59834

0.52851

-0.00240

0.00024

42

0.78466

0.53461

-0.00850

0.00024

43

0.45942

0.53286

-0.00675

0.00023

44

0.54484

0.53313

-0.00702

0.00023

45

0.51786

0.53279

-0.00668

0.00022

46

0.33281

0.52844

-0.00233

0.00022

47

0.48221

0.52746

-0.00135

0.00021

48

0.34664

0.52369

0.00242

0.00021

49

0.61015

0.52546

0.00065

0.00020

50

0.43731

0.52370

0.00241

0.00020


B. Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi dan Kecepatan Masalah untuk simulasi selanjutnya adalah untuk menduga posisi dan kecepatan dari sebuah kendaraan. Simulasi dilakukan 1 menit dengan pengukuran sebanyak satu kali per detik (

pada sistem dinamis

berikut

Diperoleh matriks transisi matriks pengukuran

, matriks input

, dan

.

Hasil simulasi bisa dilihat pada gambar-gambar berikut.

Gambar 4.4 (a) Posisi kendaraan (b) error Posisi Gambar 4.4 (a) menunjukkan posisi sebenarnya, posisi hasil pengukuran dan posisi hasil pendugaan. Meskipun ketiganya terlihat berhimpitan, gambar 4.4 (b) menunjukkan hasil pengukuran dan hasil pendugaan terhadap posisi yang sebenarnya.


Gambar 4.5 (a) Kecepatan kendaraan (b) error kecepatan Hasil yang mirip terlihat pada gambar 4.5. Kecepatan hasil dugaan hampir berhimpitan dengan kecepatan sebenarnya, dengan berada di sekitar nol. Data untuk simulasi kedua ini dapat dilihat pada tabel-tabel berikut.

Tabel 4.2 (a) Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Posisi Langkah ke-

Posisi

Error

Sebenar-

Hasil

Hasil

nya

pengukuran

dugaan

Pengukuran

Pendugaan

0

0.0994

-9.113

0.0972

9.2124

0.0021

1

0.2883

18.1366

0.4273

-17.848

-0.139

2

0.5577

4.0492

0.956

-3.4916

-0.3984

3

1.4211

-10.849

1.5305

12.2696

-0.1094

4

2.4512

5.3331

2.4699

-2.8819

-0.0187

5

4.1189

-11.4

3.0548

15.5186

1.0641

6

5.795

6.2893

4.348

-0.4943

1.447

7

7.5521

10.5484

6.0898

-2.9964

1.4623


8

9.4432

8.4125

7.8112

1.0307

1.632

9

11.245

21.1474

10.9565

-9.9025

0.2884

10

13.4755

19.6856

14.0457

-6.2101

-0.5702

11

15.5806

23.4704

17.6094

-7.8898

-2.0288

12

17.6352

4.7125

17.9174

12.9226

-0.2822

13

20.1427

25.6362

21.5556

-5.4935

-1.4129

14

23.0068

20.7088

23.9173

2.298

-0.9105

15

26.0045

22.1362

26.1861

3.8683

-0.1816

16

29.3984

6.905

25.1826

22.4933

4.2157

17

33.3481

46.5126

31.8078

-13.165

1.5402

18

37.3461

39.1154

36.1528

-1.7694

1.1933

19

41.4417

46.3046

41.2698

-4.8628

0.1719

20

45.381

56.2861

47.5908

-10.905

-2.2099

21

49.646

53.0782

52.3608

-3.4322

-2.7148

22

54.1122

58.4986

57.4316

-4.3865

-3.3194

23

59.3349

46.2599

59.2923

13.075

0.0427

24

64.6258

71.1174

65.5893

-6.4915

-0.9634

25

69.9147

51.7798

67.1216

18.1349

2.7931

26

75.8226

76.9241

73.1727

-1.1015

2.6499

27

81.827

84.3699

79.7253

-2.5429

2.1017

28

88.1888

101.14

88.5301

-12.952

-0.3414

29

94.6999

99.3875

95.6453

-4.6877

-0.9455

30

100.969

115.675

104.797

-14.705

-3.8274

31

107.231

108.365

111.057

-1.1339

-3.8265

32

113.497

84.6739

111.509

28.8234

1.9888

33

119.69

113.923

117.331

5.7665

2.3591

34

125.91

120.693

123.439

5.2173

2.4711

35

132.068

136.573

131.596

-4.5049

0.4717

36

138.17

123.878

135.864

14.2911

2.3059

37

144.402

136.503

141.734

7.8993

2.6683


38

151.009

158.961

150.967

-7.9527

0.0414

39

158.299

170.053

160.876

-11.754

-2.5776

40

166.197

157.151

166.572

9.0466

-0.3749

41

174.578

179.121

175.497

-4.5434

-0.9195

42

183.626

180.984

183.242

2.6414

0.384

43

192.94

187.401

190.841

5.5399

2.0996

44

202.313

196.566

198.85

5.7468

3.4628

45

212.111

222.325

210.514

-10.214

1.597

46

221.999

234.582

222.671

-12.583

-0.6719

47

232.232

249.156

235.685

-16.925

-3.454

48

242.571

264.491

249.566

-21.92

-6.9952

49

253.29

257.313

259.681

-4.0226

-6.3902

50

264.184

282.404

272.897

-18.22

-8.7131

51

275.106

273.218

281.981

1.888

-6.875

52

286.317

291.608

292.921

-5.2907

-6.6035

53

297.43

294.837

302.461

2.5929

-5.0304

54

308.361

312.096

313.561

-3.7351

-5.2001

55

319.913

320.899

324.337

-0.9866

-4.4245

56

331.673

335.206

335.915

-3.5329

-4.2419

57

343.4

351.161

348.512

-7.7616

-5.1126

58

355.341

379.996

364.554

-24.654

-9.2122

59

367.691

366.965

375.241

0.726

-7.5495

60

380.06

378.475

386.102

1.5847

-6.0427

Tabel 4.2 (b) Data Hasil Simulasi Filter Kalman untuk Menduga Kecepatan Langkah ke-

Kecepatan

Kecepatan

Error

sebenarnya hasil dugaan pendugaan 0

0.1816

0.1982

-0.0165

1

0.1894

0.4123

-0.223


2

0.5775

0.6179

-0.0404

3

0.9629

0.7783

0.1846

4

1.3412

0.9926

0.3487

5

1.5316

1.0902

0.4414

6

1.5493

1.3085

0.2407

7

1.8109

1.5618

0.2491

8

1.9816

1.7704

0.2112

9

2.2603

2.1406

0.1197

10

2.1559

2.4458

-0.2899

11

2.02

2.7641

-0.7441

12

2.469

2.6832

-0.2142

13

2.7173

2.9728

-0.2554

14

2.9556

3.1012

-0.1456

15

3.2517

3.2104

0.0413

16

3.6692

3.0011

0.6681

17

3.7428

3.5287

0.2142

18

3.6491

3.7943

-0.1452

19

3.8061

4.105

-0.2989

20

4.2597

4.4953

-0.2356

21

4.372

4.7109

-0.3389

22

5.079

4.9342

0.1448

23

5.1115

4.8506

0.2609

24

5.272

5.171

0.101

25

5.6512

5.0361

0.6151

26

6.0205

5.3182

0.7023

27

6.141

5.6202

0.5208

28

6.1343

6.0983

0.036

29

6.2352

6.3811

-0.1458

30

6.0918

6.8226

-0.7307

31

6.1897

6.9626

-0.7729


32

6.0973

6.5632

-0.4659

33

6.2049

6.6869

-0.4821

34

6.0414

6.8253

-0.7839

35

6.029

7.1372

-1.1081

36

6.2088

7.0674

-0.8586

37

6.4908

7.1495

-0.6587

38

7.0864

7.5298

-0.4434

39

7.7584

7.9369

-0.1785

40

8.3487

7.9242

0.4245

41

8.9523

8.206

0.7463

42

9.244

8.355

0.889

43

9.3666

8.4773

0.8893

44

9.5546

8.6256

0.929

45

9.8017

9.0926

0.7092

46

9.9854

9.5618

0.4236

47

10.192

10.0662

0.1258

48

10.4657

10.6036

-0.1378

49

10.8472

10.7501

0.0971

50

11.0241

11.1649

-0.1408

51

11.0967

11.1669

-0.0701

52

10.94

11.3372

-0.3972

53

10.9519

11.3649

-0.413

54

11.4768

11.5318

-0.055

55

11.4918

11.6541

-0.1624

56

11.7468

11.8381

-0.0913

57

11.98

12.098

-0.1179

58

12.4057

12.647

-0.2413

59

12.1924

12.6599

-0.4676

60

12.376

12.6875

-0.3115


C. Penerapan Filter Kalman dalam Berbagai Bidang Filter Kalman sering digunakan dalam sistem robotik. Dari berbagai faktor yang mempengaruhi performa sistem robotik, filter Kalman memiliki kontribusi yang besar terhadap persepsi visi robot. Dalam hal ini, filter Kalman menyelesaikan masalah ketidakpastian dalam lokalisasi robot, navigasi, tracking, kontrol gerak, dan lain-lain. Lokalisasi oleh visi artifisial merupakan kunci bagi robot bergerak, khususnya pada lingkungan dimana GPS tidak akurat dan sensor inertial tidak tersedia. Peranan filter Kalman dalam berbagai persepsi visi robot yang paling signifikan antara lain: 1.

Kontrol robot

2.

Tracking objek

3.

Mengikuti jalur

4.

Pendugaan dan prediksi data

5.

Lokalisasi robot

6.

Manipulasi robotik

7.

Navigasi visual Sedangkan metode-metode untuk menyelesaikan masalah visi robot

antara lain: 1.

Filter Kalman

2.

Filter Kalman keadaan seimbang

3.

Ensemble Kalman Filter (EnKF)

4.

Adaptive Kalman Filter (AKF)


5.

Switching Kalman Filter (SKF)

6.

Fuzzy Kalman Filter

7.

Extended Kalman Filter (EKF)

8.

Augmented State EKF Beberapa tujuan dengan metode yang cocok untuk dijalankan dapat

dilihat pada tabel 4.3.

Tabel 4.3 Tujuan dan Metode Filter Kalman yang Berkaitan Tujuan

Metode

Lokalisasi robot

EKF untuk robot bergerak dalam lingkungan

bergerak Navigasi berdasarkan

EKF untuk pendugaan posisi dan orientasi

visi Filter Kalman untuk integrasi informasi dan Deteksi objek

adapsi parameter

Stabilisasi gambar

EKF untuk prediksi sudut

Kendaraan

EKF untuk deteksi cepat dan tracking pembatas

Autonomous

jalan

Estimasi pose

EKF untuk kompensasi dan fusi informasi

Selain untuk visi robot, aplikasi filter Kalman juga bisa digunakan dalam berbagai bidang, khususnya yang mempunyai dua tujuan utama yaitu menduga keadaan dari suatu sistem dinamis dan menganalisis kelangsungan pendugaan sistem.


Salah satu contohnya yaitu prediksi banjir. Sistem dinamis yang diamati yaitu sistem sungai, dengan hasil pengukuran ketinggian air, curah hujan dan radar cuaca. Contoh lainnya yaitu dalam bidang navigasi. Sistem dinamis yang diamati yaitu kapal, dengan keterangan dari sekstan, catatan harian kapal, giroskop, pengukur percepatan, dan penerima

.


BAB V PENUTUP

A. KESIMPULAN Filter Kalman disebut sebagai penduga kuadrat terkecil linear karena meminimalkan rata-rata kuadrat pendugaan suatu sistem linear stokastik. Filter Kalman diawali dengan pengamatan mengenai sistem dan alat pengukuran yang digunakan. Pokok dari filter Kalman adalah mencari matriks , penduga , dan kovariansi . Tabel-tabel berikut meringkas langkah-langkah filter Kalman.

Tabel 5.1 Filter Kalman dengan waktu diskret

Model sistem dinamis

Asumsi

Kondisi awal

Perhitungan

89


Tabel 5.2 Filter Kalman dengan waktu kontinu


Kondisi awal

Perhitungan

Tabel 5.3 Perluasan Filter Kalman dengan waktu kontinu


Kondisi awal

Perhitungan

Tabel 5.4 Perluasan Filter Kalman dengan waktu diskret



Kondisi awal

Perhitungan

Dari simulasi yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, diperoleh bahwa dengan filter Kalman, error hasil pendugaan lebih kecil dari hasil pengukurannya. Dengan demikian bisa ditarik kesimpulan bahwa filter Kalman merupakan penduga keadaan yang baik. Oleh karena itulah filter kalman digunakan secara luas dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan sistem dinamis.

B. SARAN Banyak hal mengenai filter Kalman yang belum sempat dibahas dalam tulisan ini. Oleh karena itu, bagi pembaca yang ingin menulis kajian lebih lanjut tentang filter Kalman, berikut beberapa saran yang bisa diberikan penulis: 1.

Membuktikan bahwa penduga

pada filter Kalman merupakan penduga

yang baik secara statistik. 2.

Memperjelas bagaimana variansi hasil pendugaan lebih kecil dari variansi hasil pengukuran dengan teori statistika.

3.

Menjelaskan perambatan keadaan dan kovariansi pada filter Kalman

4.

Menjelaskan kestabilan dari penduga-penduga yang diperoleh


5.

Membahas jenis-jenis filter Kalman yang lain, seperti Unscented Kalman Filter, Ensemble Kalman Filter, Adaptive Kalman Filter, dan lain-lain.

6.

Membahas lebih lanjut mengenai salah satu atau beberapa penerapan filter Kalman dalam masalah pendugaan, berkaitan dengan prediksi banjir, tracking, dan navigasi.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., & Rorres, C. (2000). Elementary Linear Algebra. Application Version 8th Ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Bertein, J.C., & Ceschi, R. (2009). Discrete Stochastic Processes and Optimal Filtering 2nd Ed. London: John Wiley & Sons, Inc. Chen, S.Y., “Kalman Filter for Robot Vision”, IEEE Transactions on Industrial Electronics, voll 59, no.11, November 2012 Chui, C.K., & Chen, G. (2009). Kalman Filtering with Real-Time Applications, 4th Ed. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. Crassidis, J.L., & Junkins, J.L. (2012). Optimal Estimation of Dynamic Systems 2nd Ed. Boca Raton: Taylor & Francis Group. Grewal, M.S., & Andrews, A.P. (2015). Kalman Filtering. Theory and Practice Using MATLAB® 4th Ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Hasan, K. (2002). Nonlinear Systems 3rd Ed. New Jersey: Prentice Hall. Maybeck, P.S. (1979). Stochastic Models, Estimation, and Control Volume 1. New York: Academic Press, Inc. Simon, D. (2006). Optimal State Estimation. Kalman,

, and Nonlinear

Approaches. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

93


Stengel, R.F. (1994). Optimal Control and Estimation. New York: Dover Publications, Inc. Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientist, 9th Ed. Boston: Pearson Education, Inc. Welch, G., & Bishop, G. (2001). An Introduction to the Kalman Filter. Chapel Hill: ACM, Inc. Zarchan, P., & Musoff, H. (2009). Fundamentals of Kalman Filtering: A Practical Approach, 3rd Ed. Reston, Virginia: American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc.


LAMPIRAN

Bagian ini berisi matlab source code untuk contoh-contoh & gambar-gambar

Contoh 2.3 Gambar 2.1 clear close all clc h=[1:10]; %langkah pengukuran y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil pengukuran H=[ones(length(y),1) h']; %matriks koefisien xe=inv(H'*H)*H'*y %x hasil pendugaan subplot(1,2,1) plot(h,y,'-o') hold on ye=xe(1)+xe(2)*H(:,2); %y hasil pendugaan plot(h,ye,'g'); title('pendugaan kuadrat terkecil') xlabel('pengukuran ke-') ylabel('hasil pengukuran') legend('pengukuran','estimasi',4) err=abs(y-ye); %error pendugaan subplot(1,2,2) plot(h,err,'-r') title('error pendugaan kuadrat terkecil')

95


xlabel('pengukuran ke-') ylabel('error') for i=1:10 j(i)=err(i)^2; end J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye

Gambar 2.2 clear close all clc h=[1:10]; %langkah pengukuran y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil pengukuran H=[ones(length(y),1) h']; %matriks koefisien %v=rand(10,1) %variansi v=[0.3786, 0.8116, 0.5328, 0.3507, 0.9390, 0.8759, 0.5502, 0.6225, 0.5870, 0.2077]'; %variansi yang digunakan dalam contoh r=zeros(length(v)); d=diag(cov(v*v')); for i=1:10; r(i,i)=d(i); end R=r; %matriks kovariansi xe=inv(H'*inv(R)*H)*H'*inv(R)*y %x hasil pendugaan subplot(1,2,1) plot(h,y,'-o') hold on


ye=xe(1)+xe(2)*H(:,2); %y hasil pendugaan plot(h,ye,'g'); title('pendugaan kuadrat terkecil berbobot') xlabel('pengukuran ke-') ylabel('hasil pengukuran') legend('pengukuran','estimasi',4) err=abs(y-ye); %error pendugaan subplot(1,2,2) plot(h,err,'-r') title('error pendugaan kuadrat terkecil berbobot') xlabel('pengukuran ke-') ylabel('error') for i=1:10 j(i)=err(i)^2; end J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye

Contoh 2.4 clear close all clc h=[1:10]; %langkah pengukuran y=[0.98 0.37 0.88 0.91 0.79 0.67 0.72 0.65 0.49 0.77]'; %hasil pengukuran H=[ones(length(y),1) h']; %matriks koefisien %v=rand(10,1) %variansi v=[0.3786, 0.8116, 0.5328, 0.3507, 0.9390, 0.8759, 0.5502, 0.6225, 0.5870, 0.2077]'; %variansi yang digunakan dalam contoh


r=zeros(length(v)); d=diag(cov(v*v')); I=eye(2); for i=1:length(h); r(i,i)=d(i); end R=r; %matriks kovariansi P0=0.02*eye(2); %kovariansi error pendugaan awal x0=[0;0]; %dugaan awal K=P0*H'*inv(R+H*P0*H'); %Kalman gain x=x0+K*(y-H*x0); P=(I-K*H)*P0*(I-K*H)'+K*R*K'; xe(1:2,1)=x; %%update for k=2:length(h) K=P*H'*inv(R+H*P*H'); x=x+K*(y-H*x); P=(I-K*H)*P*(I-K*H)'+K*R*K'; xe(1:2,k)=x; end xe %hasil pendugaan subplot(1,2,1) plot(h,y,'-o') hold on ye=xe(1,:)+xe(2,:).*H(:,2)'; %y hasil pendugaan plot(h,ye,'g'); title('pendugaan kuadrat terkecil rekursif') xlabel('pengukuran ke-')


ylabel('hasil pengukuran') legend('pengukuran','estimasi',4) err=abs(y-ye'); %error pendugaan subplot(1,2,2) plot(h,err,'-r') title('error pendugaan kuadrat terkecil rekursif') xlabel('pengukuran ke-') ylabel('error') for a=1:10 j(a)=err(a)^2/v(a); end J=sum(j) %jumlah kuadrat dari selisih antara y dan ye dibagi variansi

Contoh 3.2 clear clc load Contoh_3_2 N=6; %banyaknya langkah T=5; sigma=30; %standar deviasi pengukuran posisi /pemisalan R=sigma^2; %variansi P0=[100 0 0; 0 10 0; 0 0 1]; A=[0 1 0; 0 0 1; 0 0 0]; H=[1 0 0]; F=[1 T T*T/2; 0 1 T; 0 0 1]; x=[1; 1; 1]; xt=x; %awal pendugaan


%menyiapkan matriks posm=[]; xtm=[]; ym=[]; Pplus=P0; Varminus=[]; Varplus=[P0(1,1)]; Km=[]; for k=1:N %simulasi sistem dan pengukuran v=vv(k); x=F*x; y=H*x+sigma*v; %estimasi keadaan Pminus=F*Pplus*F'; K=Pminus*H'*inv(H*Pminus*H'+R); xt=F*xt; xt=xt+K*(y-H*xt); Pplus=(eye(3)-K*H)*Pminus*(eye(3)-K*H)'+K*R*K'; %menyimpan data posm=[posm x(1)]; xtm=[xtm xt]; ym=[ym y]; Varminus=[Varminus Pminus(1,1)]; Varplus=[Varplus Pplus(1,1)]; Km=[Km K]; end %plot hasil


figure; k=1:N; plot(k,ym-posm,'r:'); hold on; plot(k,xtm(1,:)-posm,'b-'); xlim([0 60]); xlabel('langkah ke-'); ylabel('posisi'); legend('error pengukuran','error pendugaan'); figure; hold on; for k=1:N-1 plot([k-1 k],[Varplus(k) Varminus(k+1)]); plot([k k],[Varminus(k+1) Varplus(k+1)]); end xlabel('langkah ke-'); ylabel('error variansi penduga posisi');

Simulasi A clear close all clc load Simulasi_A t=0:50; z=0.52611; %konstan yang akan diduga R0=0.1; %n1=randn(size(t)); %variabel random berdistribusi normal standar n1;


y=z+R0.*n1; %variabel random berdistribusi normal dengan rata-rata y dan standar deviasi R0 P=[]; x=[]; err=[]; R=0.01; %variansi derau pengukuran P(1)=1; %variansi error pendugaan awal x(1)=0; %dugaan for i=2:length(t) K=P(i-1)*inv(P(i-1)+R); x(i)=x(i-1)+K*(y(:,i)-x(i-1)); P(i)=P(i-1)-K*P(i-1); end err=z-x; figure plot(t,y,'o') hold on plot(t,x,'k') plot(t,z,'g.') title('pendugaan konstan') xlabel('langkah ke-') ylabel('konstan') legend('sampel pengukuran','hasil dugaan','nilai konstan sebenarnya') figure plot(t,err,t,0) title('error pendugaan') xlabel('langkah ke-')


ylabel('error') figure plot(t,P) xlabel('langkah ke-') ylabel('konstan') title('variansi error pendugaan')

Simulasi B clear close all clc load Simulasi_B t=60; %waktu simulasi dt=1; %waktu untuk satu langkah update dem=10; %derau pengukuran dea=0.2; %derau percepatan a=[1 dt; 0 1]; %matriks transisi (F) b=[dt^2/2; dt]; %matriks input (G) c=[1 0]; %matriks pengukuran (H) x=[0; 0]; %vektor keadaan awal xt=x; %vektor dugaan awal Sz=dem^2; %kovariansi error pengukuran Sw=dea^2*[dt^4/4 dt^3/2; dt^3/2 dt^2]; %kovariansi error proses pendugaan P=Sw; %kovariansi error estimasi awal %menyiapkan matriks pos=[]; %matriks posisi sebenarnya post=[]; %matriks posisi dugaan


posm=[]; %matriks posisi hasil pengukuran vel=[]; %matriks kecepatan sebenarnya velt=[]; %matriks kecepatan dugaan for k=0:dt:t u=0.2; %misalkan percepatannya 0.2m/s^2 ue=due(k+1); we=dwe(k+1); deP=dea*[(dt^2/2)*ue; dt*we]; %derau proses pendugaan x=a*x+b*u+deP; ve=dve(k+1); deM=dem*ve; y=c*x+deM; xt=a*xt+b*u; Inn=y-c*xt; s=c*P*c'+Sz; K=a*P*c'*inv(s); xt=xt+K*Inn; P=a*P*a'-a*P*c'*inv(s)*c*P*a'+Sw; pos=[pos; x(1)]; posm=[posm; y]; post=[post; xt(1)]; vel=[vel; x(2)]; velt=[velt; xt(2)]; end %plot hasil k=0:dt:t; %Posisi figure


subplot(1,2,1) plot(k,pos,'b-',k,posm,'g--',k,post,'r-.'); xlabel('Waktu (s)'); ylabel('Posisi (m)'); title('Posisi'); legend('posisi sebenarnya','posisi hasil pengukuran','posisi hasil dugaan',2); %Error posisi subplot(1,2,2) plot(k,pos-posm,'b-',k,pos-post,'g--'); xlabel('Waktu (s)'); ylabel('Error Posisi (m)'); title('Error Pengukuran dan Error Pendugaan'); legend('error pengukuran','error pendugaan'); %Kecepatan figure subplot(1,2,1) plot(k,vel,'b-',k,velt,'r-.') xlabel('Waktu (s)'); ylabel('Kecepatan (m/s)'); title('Kecepatan'); legend('kecepatan sebenarnya','kecepatan hasil dugaan',2); %Error kecepatan subplot(1,2,2) plot(k,vel-velt) xlabel('Waktu (s)'); ylabel('Error Kecepatan (m/s)'); title('Error Kecepatan');

FILTER KALMAN SKRIPSI

Recommend Documents