0098: H. Teguh dkk.
HK-106
AKAR KUADRAT ENSEMBLE KALMAN FILTER (AK-EnKF) PADA ESTIMASI POSISI ROBOT MOBIL H. Teguh1, Subchan1,*, N. Hendro1, A. Erna1, S.P. Didik2, dan M. Komarudin3 1)Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Elektrinika Negeri Surabaya 3)Universitas Lampung
2)Politeknik
*e-Mail:
[email protected] Disajikan 29-30 Nop 2012 ABSTRAK Dalam paper ini dikembangkan sistem navigasi dan panduan yang diawali dengan penentuan trajektori atau lintasan untuk robot mobil yang merupakan kebutuhan dasar agar robot mobil mengetahui kemana akan diarahkan. Selanjutnya trajektori akan digunakan sebagai panduan agar robot mobil dapat mencapai tujuan sesuai trajektori yang diberikan. Untuk menjaga keakuratan dalam mengikuti trayektori secara terus menerus maka dilakukan estimasi trayektori robot mobil dengan menggunakan Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF). Skema akar kuadrat merupakan salah satu skema yang dapat diimplementasikan pada EnKF. Metode ini dipilih karena dapat digunakan untuk mengestimasi model dinamik nonlinear yang dijalankan dengan membangkitkan sejumlah ensemble tertentu untuk menghitung nilai mean dan kovariansi error variabel statenya. Hasil Root Mean Square Error (RMSE) menunjukkan bahwa dengan AK-EnKF mempunyai nilai yang signifikan dan relatif tidak lebih baik daripada Ensemble Kalman Filter (EnKF). Kata Kunci: Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF), Estimasi trajektory,. Ensemble Kalman Filter (EnKF)
I.
PENDAHULUAN
Salah satu teknologi yang mulai dikembangkan saat ini adalah perencanaan lintasan dengan mengestimasi posisi. Estimasi dilakukan untuk mendapatkan satu penyelesaian masalah yang membutuhkan informasi sebelumnya sehingga bisa menentukan langkah selanjutnya dalam menyelesaikan masalah tersebut (Herlambang, 2012). Estimasi dilakukan karena suatu masalah terkadang dapat diselesaikan dengan menggunakan informasi atau data sebelumnya yang berhubungan dengan masalah tersebut. Kalman filter merupakan suatu metode estimasi variabel keadaan dari sistem dinamik linear diskrit yang meminimumkan kovarian error estimasi (Lewis, 1986). Pendekatan lain yang merupakan perluasan dari Kalman filter yang disebut Ensemble Kalman filter (EnKF). Pada metode EnKF, algoritmanya dijalankan dengan membangkitkan sejumlah ensemble tertentu untuk menghitung nilai mean dan kovariansi error variabel statenya (Evensen, 2009). Dalam menggunakan metode EnKF terdapat suatu skema yang dapat diimplementasikan pada metode tersebut. Skema akar kuadrat merupakan salah satu skema yang dapat diimplementasikan pada EnKF. Dalam penelitian ini dilakukan suatu kajian mengenai penerapan Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) untuk estimasi posisi robot mobil kemudian disimulasikan dengan software Matlab dan hasil estimasi dari AKEnKF dengan EnKF. Tujuan dan Manfaat paper ini untuk
memberikan informasi tentang estimasi lintasan robot mobil dengan menggunakan Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AKEnKF) dan memberikan perbandingan dengan Ensemble Kalman Filter (EnKF) di mana diasumsikan robot mobil bebas dari rintangan, kecepatan robot mobil dianggap konstan pada interval waktu tertentu.
II.
METODOLOGI
A. Lintasan Robot mobil Mobile robot atau robot mobil adalah konstruksi robot yang ciri khasnya mempunyai aktuator berupa roda untuk menggerakkan keseluruhan badan robot tersebut, sehingga robot tersebut dapat melakukan perpindahan posisi dari satu titik ke titik yang lain (Rezaei and sengupta). Keistimewaan robot mobil adalah kemampuannya untuk dapat bergerak dan berpindah tempat secara bebas tanpa ikatan yang membatasi ruang kerjanya. Karena mobilitasnya itulah robot mobil sering digunakan untuk menjelajahi tempat-tempat yang berbahaya bagi manusia Sistem robot mobil dengan alat penggerak roda bagian belakang. Gambar 1 menunjukkan posisi dan dimensi robot mobil (Hartini, 2011)
0098: H. Teguh dkk.
HK-107 waktu yang diaprokmasi dengan metode beda hingga maju sebagai berikut:
Hasil diskritisasi dari sistem dinamik dari persamaan (1)
Gambar 1 Dimensi Fisik Robot Mobil
GPS dipasang tepat pada bagian titik tengah mobil. Sistem kemudi dan sudut bagian depan ditunjukkan pada gambar 2.
(2)
C. Metode Kalman Filter
Gambar 2 Sistem Kemudi dan Sudut Bagian Depan Robot Mobil
Dalam kasus ini data berbentuk diskrit dan sistemnya nonlinear. Persamaan sistem dinamik dari robot mobil didefinisikan sebagai berikut (Hartini, 2011):
Kalman Filter merupakan suatu metode estimasi variabel keadaan dari sistem dinamik stokastik linear diskrit yang meminimumkan kovarian error estimasi, Kalman Filter pertama kali diperkenalkan oleh R.E. Kalman pada tahun 1960. Diberikan suatu sistem dinamik stokastik linear diskrit secara umum berbentuk:
xk 1 Ak x k Bk u k Gk wk z k H k xk vk x0 ~ N ( x0 , Px0 ) ; wk ~ N (0, Qk ) ; vk ~ N (0, Rk ) dengan:
(1) di mana x, y adalah posisi dari robot mobil pada sistem koordinat, adalah posisi sudut robot mobil, sudut kemudi,
adalah kecepatan,
adalah
adalah jarak antara roda depan dengan roda
belakang sebesar 2,814 m,
adalah jarak antara titik tengah
x0
:
inisial dari sistem
xk 1 : variable keadaan pada waktu k+1 dan berdimensi n 1 , x k : variable keadaan pada waktu k yang nilai estimasi awalnya
x0
dan kovarian awal
Px0 , xk n
mobil bagian belakang dengan posisi GPS sebesar 1,407 m, adalah jarak antara titik pusat mobil dengan posisi GPS sebesar 0
u k : vektor masukan deterministik pada waktu k, uk m wk : noise pada sistem dengan mean wk 0 dan kovarian Qk ,
m, adalah lebar antara titik tengah mobil belakang dengan roda belakang sebesar 0,767 m.
zk
B. Diskritisasi Model Dalam algoritma EnKF sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya hanya dapat diimplementasikan untuk sistem diskrit. Sehingga model robot mobil pada persamaan (1) terlebih dahulu harus didiskritkan dengan menggunakan metode beda hingga. formula beda maju (forward difference) dengan panjang dari grid variabel waktu Jika
menyatakan posisi pada saat
untuk posisi ,
sehingga diperoleh
dan
sehingga diperoleh
dengan , maka berlaku juga ,
. Selanjutnya diperoleh variabel keadaan terhadap
: variabel pengukuran,
zk p ,
vk : noise pada pengukuran dengan mean vk 0 Ak , Bk , Gk , H k : matriks-matriks dengan
kovarian nilai
Rk
elemen-
elemennya adalah koefisien variabel masing-masing. Pada Kalman Filter, estimasi dilakukan dengan dua tahapan, yaitu dengan cara memprediksi variabel keadaan berdasarkan sistem dinamik yang disebut tahap prediksi (time update) dan selanjutnya tahap koreksi (measurement update) terhadap data-data pengukuran untuk memperbaiki hasil estimasi. Tahap prediksi dipengaruhi oleh dinamika sistem dengan memprediksi variabel keadaan dengan menggunakan persamaan estimasi variabel keadaan dan tingkat akurasinya dihitung menggunakan persamaan kovarian error. Pada tahap koreksi hasil estimasi variabel keadaan yang diperoleh pada tahap prediksi dikoreksi menggunakan model
0098: H. Teguh dkk.
HK-108 pengukuran. Salah satu bagian dari tahap ini yaitu menentukan matriks Kalman Gain yang digunakan untuk meminimumkan kovarian error. Tahap prediksi dan koreksi dilakukan secara rekursif dengan cara meminimumkan kovariansi kesalahan estimasi
xk xˆk , xk
merupakan variabel keadaan sebenarnya dan
xˆk
merupakan penaksiran dari variabel keadaan. Berikut ini adalah Algoritma Kalman Filter dapat dirangkum sebagai berikut: Tabel 1. Algoritma Kalman Filter
xˆk,i f ( xˆk 1,i , uk 1,i ) wk ,i
dengan
wk ,i ~ N (0, Qk ) Estimasi
xˆ k
:
1 Ne
N
xˆ i 1
k ,i
Kovariansi error:
Pk
Model sistem dan Pengukuran
1 N ( xˆk ,i xˆk )( xˆk,i xˆk )T N e 1 i 1 Tahap Koreksi
xk 1 Ak x k Bk u k Gk wk z k H k xk vk
z k ,i z k v k , i
dengan
Kalman gain
:
k
v k ,i ~ N (0, Rk )
K k P H ( HPk H T R k ) 1
x0 ~ N ( x0 , Px0 ) ; wk ~ N (0, Qk ) ; vk ~
Estimasi :
N (0, Rk )
T
xˆ k ,i xˆ k,i K k ( z k ,i Hxˆ k,i )
Inisialisasi
xˆ k
xˆ0 x 0 p0 p x 0
Kovariansi error :
1 Ne
N
xˆ i 1
k ,i
Pk [ I K k H ]Pk
Tahap Prediksi Estimasi
:
Kovarian error:
xˆk 1 Ak xˆ Bk uk
D. Metode Ensemble Kalman Filter
Pk Ak Pk A Gk Qk G T k
T k
Tahap Koreksi
Kalman Gain:
K k 1 PkT1H kT1 H k 1 Pk1 H kT1 Rk 1 Estimasi
xˆk 1 xˆk1 K k 1 z k 1 H k 1 xˆk1 Kovarian error:
1
:
Pk 1 I K k 1H k 1 Pk1
Algoritma Kalman Filter di atas terdiri dari empat bagian, diantaranya bagian pertama mendefinisikan model sistem dan model pengukuran, bagian kedua merupakan nilai awal (inisialisasi), selanjutnya bagian ketiga dan keempat masingmasing tahap prediksi dan koreksi. Tabel 2. Algoritma Ensemble Kalman Filter (EnKF)
Model sistem dan Model Pengukuran
xk 1 f (uk , xk ) wk , wk ~ N (0, Qk ) zk Hxk vk , vk ~ N (0, Rk ) Inisialisasi Bangkitkan N ensemble sesuai estimasi awal
x0,i [ x0,1
x0,2
Tentukan nilai awal:
x0,3
xˆ0
.....
1 Ne
x0, Ne ]
N
x i 1
0,i
Tahap Prediksi
x0
Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) adalah metode estimasi modifikasi dari algoritma Kalman Filter yang dapat digunakan untuk mengestimasi model sistem linear maupun nonlinear dengan membangkitkan atau menggunakan sejumlah ensemble pada tahap prediksi untuk mengestimasi kovarian errornya (Evensen, 2009). Bentuk umum sistem dinamik nonlinear pada EnKF adalah:
xk 1 f (k , xk ) wk Dengan pengukuran linier
(3)
zk
p
yaitu:
z k Hxk vk x0 ~ N ( x0 , Px0 ); wk ~ N (0, Qk ); v k ~ N (0, Rk ) Proses estimasi pada EnKF diawali dengan membangkitkan sejumlah
Ne
ensemble dengan mean 0 dan kovarian 1. Ensemble
yang dibangkitkan dilakukan secara random dan berdistribusi normal. Misalkan akan dibangkitkan sejumlah
X 0,i [ x0,1
x0,2
x0,3
Ne
ensemble untuk
..... x0, Ne ]
Untuk tahap prediksi dan koreksi, sama dengan metode Kalman Filter tetapi sebelum masuk ke tahap prediksi, mean ensemblenya ditentukan terlebih dahulu, yaitu:
xˆ k*
1 Ne
N
x i 1
dan untuk kovarian error
Pk
k ,i
(4)
Pk , yaitu:
N 1 ( xˆ k,i xˆ k )( xˆ k,i xˆ k ) T N e 1 i 1
(5)
0098: H. Teguh dkk.
HK-109
Persamaan (4) digunakan pada tahap prediksi dan tahap koreksi
xˆ k
untuk menghitung estimasi masing-masing
xˆ k .
dan
Sedangkan Persamaan (5) hanya digunakan untuk kovarian pada tahap prediksi. Pada EnKF, noise sistem dan noise pengukuran
vk
wk
pada tahap prediksi
pada tahap koreksi dibangkitkan dalam
bentuk ensemble.
E. Algoritma Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter Pada bagian ini diberikan suatu algoritma Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) dalam melakukan estimasi dengan sistem dinamik nonlinear dan pengukuran yang linear, seperti pada Tabel 3. Model robot mobil pada (1) masih dalam bentuk deterministik. Oleh karena itu, harus ditambahkan faktor stokastik dalam bentuk noise pada masing-masing persamaan. Dengan demikian didapatkan model stokastik
dengan adalah fungsi nonlinear. Noise sistem dan noise pengukuran dalam hal ini dibangkitkan melalui komputer dan biasanya diambil berdistribusi normal serta mempunyai mean nol. Secara umum variansi noise sistem dinyatakan dengan dan variansi noise pengukuran dinyatakan dengan , yaitu keduanya bergantung pada waktu.
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Simulasi ini dilakukan dengan menerapkan algoritma AKEnKF pada persamaan robot mobil. Hasil simulasi dievaluasi dengan cara membandingkan keadaan real dengan hasil estimasi EnKF dan hasil estimasi AK-EnKF. Pada paper ini telah dilakukan beberapa simulasi dengan mengasumsikan posisi , posisi bergantian sebagai data pengukuran.
dan posisi sudut
Simulasi ini dilakukan dengan nilai dan berubah di mana nilai sudut kemudi tetap adalah sudut kemudi
dan kecepatan
Nilai yang digunakan yaitu digunakan
secara
(kecepatan) tetap dan kecepatan
sedangkan untuk nilai berubah adalah
t 0,1 .Dan nilai awal yang
Kemudian simulasi juga dikombinasikan dengan membangkitkan sebanyak 100, 200 dan 300 ensemble (N). Simulasi pertama ditunjukkan oleh Gambar 3 dengan nilai sudut kemudi dan kecepatan tetap adalah dan
.
Simulasi
ini
diasumsikan dan sebagai data pengukuran. Kemudian simulasi kedua ditunjukkan oleh Gambar 5 dengan nilai (kecepatan) dan diasumsikan dan Gambar 3 terlihat hasil
berubah
adalah
sebagai data pengukuran. Pada estimasi terbaik adalah posisi
, posisi dan posisi sudut untuk estimasi dengan EnKF yang mengikuti posisi robot mobil sebenarnya sedangkan untuk estimasi dengan AK-EnKF pada posisi , posisi mempunyai error sedikit lebih besar daripada EnKF. Pada Gambar 3 terlihat bahwa dengan nilai tetap mengartikan bahwa dalam setiap iterasi robot mobil selalu mengalami pembelokan sebesar sehingga posisi sudut juga berubah dalam setiap iterasi. Sedangkan pada Gambar 4 adalah representasi robot pada koordinat jika melewati suatu lintasan di mana dapat diketahui posisi
dan posisi
. Pada
Gambar 5 terlihat hasil estimasi terbaik adalah posisi posisi sudut lebih
dan
sedangkan untuk posisi besar dan
mempunyai error karena maka robot mobil berjalan lurus terus berbelok dengan adanya perubahan (6) sudut kemudi sehingga posisi sudut akan berubah ketika ada (7) perubahan sudut dari ke dan ketika kembali ke maka posisi sudut tidak mengalami perubahan. Sedangkan pada Gambar 6 adalah representasi robot pada koordinat jika melewati suatu lintasan di mana dapat diketahui posisi
dan posisi
dengan nilai (kecepatan) berubah. Perbandingan Root Mean Square Error (RMSE) dari simulasi antara EnKF dan AKEnKF dengan kombinasi 100, 200 dan 300 ensemble serta alat ukur yang digunakan ini di Tabel 4.
IV.
KESIMPULAN
Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa: 1. Metode AK-EnKF dapat digunakan untuk mengestimasi lintasan robot mobil. 2. Hasil lebih akurat jika semua parameter sebagai alat ukur dengan menggunakan 100 ensemble, namun RMS error pada AK-EnKF lebih besar daripada EnKF.
DAFTAR PUSTAKA [1] Evensen, G (2009), “Data Asimilation The Ensemble Kalman Filter (second edition)”, Springer-Verlag Berlin Hiedelberg London and New York [2] Golub, H. G. dan Loan, V. F. Charles. (1993), “Matrix Computations (second edition)”, The John Hopkins University Press, Baltimore dan London. [3] Hartini, Santi. (2011), “Implementasi Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mengestimasi Posisi Robot Mobil”, Tugas Akhir Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya [4] Herlambang, T. (2012), “Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter (AK-EnKF) untuk Estimasi Posisi Peluru Kendali”, Tesis Magister Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [5] Lewis, L Frank. (1986), “Optimal Estimation, With An Introduction To Stochastic Control Theory”, John Wiley dan Sons, New York. [6] Rezaei, S. and Sengupta, R. “Position Estimation of the Car via Kalman Filter”: Univercity of California, Berkeley.
HK-110 [1] Subchan, S dan Zbikowski, R. (2009). Computational Optimal University at Shrivenham: United Control. Cranfield Kingdom.
0098: H. Teguh dkk.
