Tesis ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK ESTIMASI KEADAAN PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL
Oleh: Habib Hasbullah NRP. 1209201707
Dosen Pembimbing: Dr. Erna Apriliani, M.Si
Abstrak •
•
•
Unscented Kalman filter (UKF) adalah estimator non linear yang secara khusus sesuai untuk masalah sistem non linear kompleks. Dalam unscented Kalman filter (UKF), kovarian error diestimasi dengan mempropagasi ke depan sebuah himpunan titik-titik sigma (sigma point) yang merupakan contoh ruang keadaan pada lokasi terpilih secara cerdas. Untuk sistem berdimensi besar, beban komputasi algoritma unscented Kalman filter (UKF) juga besar. Tesis ini mengkaji sebuah versi aproksimasi dari unscented Kalman Filter (UKF), yaitu algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman Filter. Dalam adaptive covariance rank unscented Kalman Filter, kovarian error direpresentasikan dengan aproksimasi rank tereduksi dan tidak dalam ukuran penuh. Teknik reduksi rank dilakukan dengan membentuk dekomposisi nilai singular (singular value decomposition) dari matriks akar kuadrat kovarian error. Algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman Filter digunakan untuk estimasi keadaan pada persamaan (model) air dangkal (shallow water equation) nonlinear berbentuk saint Venant. Hasil simulasi yang dilakukan menunjukkan bahwa estimasi keadaan menggunakan adaptive covariance rank unscented Kalman Filter memberikan hasil estimasi yang baik dan berimpit, baik dengan realnya maupun dengan full rank unscented Kalman filter. Reduksi rank dapat dilakukan sampai dengan rank ke 20 dari full rank 40.
Latar Belakang Unscented Kalman filter (UKF) adalah salah satu metode ensemble filter yang dikembangkan untuk menaksir keadaan pada sistem non linear. Beberapa hasil penelitian, antara lain: Rudi (2007), Kandepu, dkk (2008), Baehaqi (2009), menunjukkan bahwa estimasi keadaan menggunakan unscented Kalman filter (UKF) pada beberapa masalah sistem non linear memberikan hasil yang estimasi akurat (baik) dibandingkan dengan extended Kalman filter (EKF) maupun ensemble Kalman filter (EnKF). Tetapi waktu komputasi UKF cenderung lebih lama dibanding EKF. Berdasarkan hal-hal di atas penulis mengkaji sebuah algoritma filter tereduksi dari UKF yang diharapkan lebih efesien dan efektif serta mudah diimplementasikan, yaitu adaptive covariance rank unscented Kalman filter. Algoritma ini digunakan untuk estimasi keadaan pada persamaan air dangkal non linear berbentuk saint Venant.
Perumusan Masalah 1. Bagaimanakah bentuk algoritma adaptive covariance rank untuk unscented Kalman filter? 2. Bagaimanakah efektifitas dan efesiensi algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter untuk estimasi keadaan pada persamaan (model) air dangkal (shallow water equation) ?
Batasan Masalah 1.
Algoritma adaptive covariance rank untuk unscented Kalman filter ini diterapkan (disimulasikan) untuk estimasi variabel keadaan pada persamaan air dangkal (shallow water equation) nonlinear satu dimensi. Bentuk persamaan air dangkal yang digunakan adalah bentuk persamaan saint Venant.
2.
Bentuk simulasi yang dilakukan dengan membandingkan efektifitas dan efesiensi beberapa pengurangan (reduksi) rank pada algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter terhadap algoritma full rank unscented Kalman filter (UKF).
Tujuan Penelitian 1. Mengkaji pembentukan algoritma filter tereduksi untuk unscented Kalman filter (UKF). 2. Mengetahui tingkat akurasi dan efesiensi metode filter tereduksi untuk unscented Kalman filter (UKF), yaitu adaptive covariance rank unscented Kalman filter yang digunakan untk estimasi keadaan pada persamaan air dangkal (shallow water equation) non linear satu dimensi dalam bentuk saint Venant.
Manfaat Penelitian 1. Memperoleh sebuah algoritma filter tereduksi yang diharapkan dapat memperbaiki kinerja algoritma unscented Kalman filter (UKF), yaitu adaptive covariance rank unscented Kalman filter 2. Sebagai metode alternatif bagi para peneliti bidang estimasi dengan melihat kesesuaian dengan masalah yang dihadapi.
Kajian Pustaka Unscented Kalman Filter Metode ini menggunakan transformasi unscented, yaitu suatu metode untuk menghitung statistik (mean dan kovarian) yang mengalami transformasi nonlinear. Ide utama unscented Kalman filter (UKF) adalah untuk mengaproksimasi mean keadaan dan kovariannya menggunakan matriks titik-titik berbobot dari ruang keadaan yang disebut titik-titik sigma
Unscented Kalman Filter Misalkan diberikan sistem nonlinear waktu diskrit :
xk f ( xk −1 , uk ) + wk =
= zk h( xk , k ) + vk dengan :
xk
= Keadaan sistem berdimensi
uk wk
= Input,
zk vk
= Fungsi dari Pengukuran
= Noise Sistem berdimensi
Lw
Lx dengan kovarian
= Noise Pengukuran berdimensi
Lv
Rkw
dengan kovarian
Rkv
Unscented Kalman Filter • Implementasi dari unscented Kalman filter (UKF), secara khusus memperhatikan sebuah sistem yang diperbesar berdimensi L = Lx + Lw + Lv
xkaug
xk = wk v k
Dengan kovariannya Pkx Pk = 0 0
0 Rkw 0
0 0 Rkv
• Tetapi untuk kasus dengan noise sistem dan noise pengukuran semata-mata aditif, tidak dibentuk sistem diperbesar (augmented).
Algoritma Unscented Kalman Filter (UKF) Inisialisasi
Kalkulasi Sigma Point
Prediksi (Time Update)
Koreksi (Measurement Update)
HOME
Inisialisasi x 0 = E [ x0 ] ; T Px0 = E ( x0 − x 0 )( x0 − x 0 ) ; x 0 aug x 0 = 0 ; 0 aug aug aug aug T ˆ ˆ P0 = E ( x0 − x0 )( x0 − x0 ) .
HOME
Kalkulasi Sigma Point χ
(0) k
aug = x k −1
χ
(i ) k
aug = x k −1 + ( L + λ ) Pk(−i 1) , i = 1,..., L
χ
(i + L ) k
aug = x k −1 − ( L + λ ) Pk(−i 1) , i = 1,..., L
α = Parameter penskalaan yang menentukan penyebaran sigma point di sekitar mean x dengan 0<α<1 L =Dimensi sistem diperbesar
Pk(−i 1) = Kolom ke-i dari matriks kovarian Pk λ= α 2 ( L + κ ) − L, dengan κ= 0
HOME
Tahap Prediksi (Time Update) 1) Forecast untuk tiap-tiap sigma point dengan χ kf = f ( χ kx , χ kw ) 2) Hitunglah forecast vektor keadaan dan kovariannya
= xˆkf E= [ f ( χ k )]
2L
(i ) (i ) f ω ∑ k χk i =0
2L
(i ) (i ) f (i ) f f f T ˆ ˆ ω χ − x χ − x [( )( ∑ c k k k k ) ]
Pkx= f
i =0
dengan bobot ωk(i ) dan ωc(i ) didefinisikan:
ω
=
(0) k
ω= (0) c
λ L+λ
λ
L+λ
+1−α 2 + β
1 ω= ω= = , i 1,..., 2 L 2( L + λ ) (i ) k
(i ) c
HOME
Tahap Koreksi 1)
Memetakan sigma point forecast dalam ruang pengukuran dengan forecast vektor pengukuran Z k( i ) = h( χ kx , χ kv )
2)
2L
Menghitung kovarian zkf = ∑ ωk(i ) Z k(i ) zz P= k
P= xz k
i =0
2L
∑ω i =0
(i ) c
2L
∑ω i =0
(i ) c
[( Z k(i ) − zkf )( Z k(i ) − zkf )T ] [( χ k( i ) − xˆkf )( Z k( i ) − zkf )T ]
dengan matriks bobot K k = Pkxz ( Pkzz ) −1 3)
Menghitung keadaan dan kovarian analisis.
xˆka = xˆkf + K k ( zk − zkf ) = P P − K k Pkzz K kT a k
4)
xf k
Membentuk Keadaan dan Kovarian diperbesar untuk iterasi berikutnya.
Dekomposisi Nilai Singular •
Dekomposisi nilai singular (SVD) adalah menuliskan suatu matriks dalam bentuk perkalian matriks diagonal yang berisi nilai-nilai singularnya, dengan matriks yang berisi vektor-vektor singular yang bersesuaian .
•
Teorema (Golub & van Loan, 1993)
Jika A ∈ R m×n suatu matriks real maka terdapat matriks − matriks orthogonal U [u1 ,..., um ] ∈ R m×n dan = V [v1 ,..., vn ] ∈ R n×n sedemikian hingga = U T AV diag (σ 1 ,..., σ= = min[m, n] dan σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ p p ) dengan p •
A ∈ R m×n dapat dinyatakan sebagai dekomposisi matriks, yaitu U, Σ, danV,sehingga A = U ΣV T
Reduksi Rank • Reduksi rank dilakukan berdasarkan pada teorema sebagai berikut (Golub & van Loan, 1993): Misal SVD dari A ∈ R m×n adalah A = U ΣV T . Jika k < r = rank( A) dan k
Ak = ∑ σ i ui viT i =1
Maka
min
rank ( Ak ) = k
σ k +1 A − Ak =
dengan σ i = nilai singular, ui dan vi vektor singular.
• Reduksi rank dilakukan pada matriks diagonal Σ yang entri-entri diagonalnya berupa nilai-nilai singular.
Persamaan Air Dangkal •
Skema model air dangkal dapat digambarkan sebagai berikut:
•
Persamaan air dangkal non linear yang digunakan berbentuk saint Venant.
∂h ∂u ∂h + A + uB = q ∂t ∂x ∂x ∂u ∂u ∂h q +u +g = g ( S0 − S f ) − u ∂t ∂x ∂x A dengan syarat batas ∂h ∂u = 0;= u (0, t ) u (t ); = 0;= h( L, t ) h(t ) ∂xx 0= ∂xx L B
Metode Penelitian MERUMUSKAN MASALAH PENELITIAN
MENGKAJI METODE KF, UKF, DAN MODEL SISTEM
MENGKAJI PEMBENTUKAN ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF
SIMULASI DAN ANALISA
APLIKASI ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF PADA MODEL
DISKRITISASI MODEL
KESIMPULAN
Pembahasan Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF • Kovarian error forecast keadaan, Kovarian Cross keadaan dan Pengukuran, dan Kovarian Pengukuran disederhanakan notasinya:
= P xf k
= P zz k
= P xz k
2L
(i ) (i ) f f (i ) f f T T ˆ Aˆ T ˆ ˆ [( )( ) ] ω χ − x χ − x → A Ω A → A ∑ c k k k k k k k k k i =0
2L
∑ω i =0 2L
∑ω i =0
dengan Aˆ =A k
•
(i ) c
k
(i ) c
[( Z k(i ) − zkf )( Z k(i ) − zkf )T ] → Ζ k Ω k ΖTk → Ζˆ k Ζˆ k T [( χ k( i ) − xˆkf )( Z k( i ) − zkf )T ] → Ak Ω k ΖTk → Aˆ k Ζˆ k T
Ω k dan Ζˆ k =Ζ k Ω k
Membentuk dekomposisi nilai singular
Aˆ= U k Σ kVkT , dengan k × Lx , Σk = U k [u1 ,..., uLx ] ∈ R Lx=
[σ 1 ,..., σ p ,..., σ r ] ∈ R Lx ×(2 L +1) ,
dan Vk =[v1 ,..., v2 L +1 ] ∈ R 2 L +1×2 L +1 , r =min( Lx , (2 L + 1))
Pembahasan Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF • Mereduksi rank matriks Aˆ k yang dinyatakan dengan Aˆ rk
Aˆ= U rk Σ rk VrkT , dengan rk u11 2 u1 . = U rk . . L u1 x v11 2 v1 . Vrk = . . 2 L +1 v1
u12 u22 . . . u2Lx
u1p −1 u1p σ 1 0 0 σ u 2p −1 u 2p 2 . . . . Lx × p = ∈ R ; Σk . . . . . . . . u pLx−1 u pLx 0 0
v12 v22 . . . v22 L +1
v1p −1 v 2p −1 . . . v 2p −L1+1
0 0 0 0 . . p× p ∈R ; . . . . 0 σ p
∈ R 2 L +1× p ; dengan p < r 2 L +1 v p v1p v 2p . . .
Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF •
Diperoleh Aproksimasi reduksi rank kovarian error prediksi:
P= xf k
L
∑ω i =0
(i ) c
( χ k(i ) f − xˆkf )( χ k(i ) f − xˆkf )T
= Aˆ k Aˆ k T ≈ Aˆ Aˆ T rk
rk
= U rk (Σ rk ) 2 U rkT , dengan rank p •
Reduksi rank dilakukan pula pada kovarian noise sistem dan kovarian noise pengukuran, sehingga diperoleh aproksimasinya:
R = Qk Qk
T
≈ Qrk Qrk
R = R R
T
≈ R
w k
v k
v k
v k
v rk
v rk
R
T
T
= U rkw (Σ rkw ) 2 U rkw T , dengan rank pw = U rkv (Σ vrk ) 2 U rkv T , dengan rank pv
Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF •
Sedangkan kovarian analisisnya :
dengan
Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF •
Sigma point yang diperlukan dalam algoritma ini sebanding dengan reduksi rank matriks kovarian error, yaitu:
Lr =p + pw + pv •
•
Sigma Point dihitung dengan formula berikut:
χ
(0) k
aug = x k −1
χ
(i ) k
aug =x k −1 + ( Lr + λ ) S k(i−)1 , i =1,..., Lr
χ
(i + L ) k
aug =x k −1 − ( Lr + λ ) Sk(i−)1 , i =1,..., Lr
Dengan bobot diberikan:
ωk(0) = (0) ω = c
λ Lr + λ
λ Lr + λ
(i ) (i ) ω= ω= k c
+1−α 2 + β
1 , i 1,..., 2 Lr = 2( Lr + λ )
PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF
PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF
PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF
PERBANDINGAN UKF DAN ADAPTIVE RANK UKF
Pendiskritan Model •
Persamaan air dangkal didiskritkan dengan metode beda hingga. Metode beda hingga yang digunakan adalah forward in time center in space.
•
Diperoleh persamaan dalam bentuk diskrit:
•
Dalam hal ini ruang keadaan di grid menjadi 20, sehingga terdapat 40 state. Artinya sistem berdimensi 40.
•
Selanjutnya dengan i=1, . . ., 20, diperoleh persamaan ruang keadaan waktu diskrit
•
Persamaan pengukurannya adalah:
= zk h( xk , k ) + vk Dalam hal ini variabel ketinggian (h) sebagai variabel yang diukur.
Hasil Simulasi
Hasil Simulasi Rank 36
Hasil Simulasi Rank 30
Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 6 ACR-UKF Rank 36 nilai real UKF
Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 6.5 ACR-UKF Rank 30 nilai real UKF 6
Ketinggian Aliran
Ketinggian Aliran
5.5
5
4.5
4
3.5
5.5
5
4.5
0
2
4
6
8
10 Posisi x i
12
14
16
18
4
20
Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 2.4 ACR-UKF Rank 36 real 2.3 UKF
0
2
4
6
8
10 12 Posisi x i
14
16
18
20
Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 2.6 ACR-UKF Rank 30 real UKF 2.4
2.2
Kecepatan Aliran
Kecepatan Aliran
2.2 2.1 2 1.9
2
1.8
1.8 1.6
1.7 1.6
1.4
0
2
4
6
8
10 Posisi x
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10 12 Posisi x i
14
16
18
20
Hasil Simulasi Rank 20
Hasil Simulasi Rank 18 Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 11 ACR-UKF Rank 18
Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 7.5 ACR-UKF Rank 20 nilai real UKF 7
nilai real UKF
10
Ketinggian Aliran
Ketinggian Aliran
9
6.5
6
8 7 6 5
5.5 4
5
3
0
2
4
6
8
10 Posisi x i
12
14
16
18
20
2
4
12 10 Posisi x i
8
6
20
18
16
14
Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 12 ACR-UKF Rank 18 real UKF 10
Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF 2.1 ACR-UKF Rank 20 real 2 UKF 1.9
8
Kecepatan Aliran
Kecepatan Aliran
0
1.8 1.7
6
4
1.6 1.5
2
1.4
0
1.3
0
2
4
6
8
10 12 Posisi x i
14
16
18
20
0
2
4
6
8
12 10 Posisi x i
14
16
18
20
Nilai Singular Full Matriks Kovarian Error Ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai 1.0e+004 *3.6577 1.0e+004 *0.0023 1.0e+004 *0.0004 1.0e+004 *0.0003 1.0e+004 *0.0003 1.0e+004 *0.0003 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0002 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001 1.0e+004 *0.0001
Ke 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Nilai 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000 1.0e+004 *0.0000
Rata-Rata Error Estimasi ADAPTIVE COVARIANCE RANK UKF
ALGORITMA
KETINGGIAN
KECEPATAN
UKF
0,24087
0,261657
Rank 36
0,235767
0,25470
Rank 30
0,254133
0,264552
Rank 20
0,259491
0,270505
Rank 18
27,44600
1,167964
Waktu Komputasi Algoritma ACR-UKF
SIMULASI KE-
UKF
1
RANK 36
RANK 30
RANK 20
RANK 18
1,29680
1,67500
1,68250
1,63520
1,54354
2
1,35180
1,72350
1,69860
1,59250
1,57120
3
1,31350
1,78320
1,75710
1,58120
1,61510
4
1,30870
1,66180
1,71160
1,66540
1,52540
5
1,28900
1,61610
1,65210
1,55420
1,62140
6
1,28060
1,79930
1,69580
1,54850
1,54250
7
1,35200
1,56800
1,63270
1,68750
1,51240
8
1,28780
1,64650
1,70120
1,59800
1,52750
9
1,30500
1,67150
1,63650
1,62340
1,56170
10
1,35060
1,68790
1,61430
1,64230
1,54270
RATA-RATA
1,31358
1,68328
1,67824
1,61282
1,55634
Kesimpulan 1. Algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter merupakan algoritma filter tereduksi dari unscented Kalman filter. Dalam adaptive covariance rank unscented Kalman filter, mariks kovarian error dinyatakan dalam bentuk rank tereduksi dan tidak dalam ukuran penuh. Teknik reduksi (pemotongan) rank yang digunakan adalah dekomposisi nilai singular (singular value decomposition). 2. Hasil simulasi yang telah dilakukan menggunakan algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter dan unscented Kalman filter pada persamaan air dangkal non linear dalam bentuk saint venant dengan dimensi sistem 40 menunjukkan bahwa nilai estimasi untuk ketinggian dan kecepatan aliran nilai selisihnya sangat kecil terhadap nilai realnya atau errornya sangat kecil. Reduksi rank dapat dilakukan sampai dengan 50% atau reduksi rank 20 dengan hasil yang berimpit dengan estimasi menggunakan unscented Kalman filter. 3. Hasil simulasi algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter pada persamaan air dangkal non linear dengan dimensi sistem 40 (20 grid) tidak mengurangi waktu komputasi full rank unscented Kalman filter (UKF).
Daftar Pustaka Albab, I. (2009), Reduksi Rank pada Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter, Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Ambadan, J.T. dan Tang, Y. (2009), “Sigma-Point Kalman Filter Data Assimilation Methods for Strongly Nonlinear Systems”, Journal of The Atmospheric Sciences, Vol. 66, No. 2, hal. 261-285. Apriliani, E. (2002), A Rank Reduction on The Square-Root Information Filter and The Modified Reduced Rank Square Root Covariance Filter for A Vector Noise System, Disertasi Ph.D, Institut Teknologi Bandung, Bandung. Apriliani, E. dan Sanjaya, B. A. (2007), Reduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu, Laporan Penelitian, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Baehaqi, A. (2009), Estimasi Variabel Keadaan pada Non Isothermal Continuous Stirred Tank Reactor dengan Metode Unscented Kalman Filter dan Ensemble Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Gloria, O.H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image Processing, Disertasi Ph.D, Universitat Pompeu Fabra, Barcelona. Golub, H. G. dan Loan, C. F. V. (1993), Matrix Computations (second edition), The John Hopkins University Press, London. Grewal, M.S. dan Andreas, A.P. (2001), Kalman Filtering: Teory and Practice Using Matlab, John Wiley & Sons, Inc., New York. Julier, S. (2002), “The Scaled unscented transformation”, Proceedings of IEEE American Control Conference, Vol. 6, hal. 4555-4559. Julier, S.J, Uhlmann, J. K. dan Durrant-Whyte, H. (1995), “A new approach for filtering nonlinear systems”, Proceedings of the 14th IEEE American Control Conference, Seattle, WA, hal. 1628–1632. Julier, S.J. dan Uhlmann, J. K. (1997), "A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems”, Int. Symposium Aerospace/Defense Sensing, Simulation and Controls,Orlando, FL. Kalman, R. E. (1960), “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problem”, Transactions of the ASMEJournal of Basic Engineering, Vol. 82 (Seri D), hal. 34-45. Kalnay, E. (2003), Atmospheric Modeling, Data Assimilation, and Predictability, Cambridge University Press, Cambridge. Kandepu, R., Foss, B. dan Imsland, L. ( 2008), “Applying the unscented Kalman filter for nonlinear state estimation”, Journal of Process Control, Vol. 18, hal. 753-768. Kleinbaurer, R.(2004), Kalman Filtering Implementation with Matlab, Study Report of Study Geodesy and Geoinformatics at Universitat Stuttgart, Helsinki University of Technology, Helsinki.
Daftar Pustaka Lee, D. J. (2005), Nonlinear Bayesian Filtering with Applications to Estimation and Navigation, Disertasi Ph.D, Texas A&M University, Texas. Magnus, J.R. dan Neudecker, H. (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, John Wiley and Sons Ltd., Chichester. Masduki, A. dan Apriliani, E. (2008), “Estimation of Surabaya River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm”, The Journal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, hal. 87-91. Ortega, G. H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image Processing, Tesis Ph.D., Universitas Pompeu Fabra, Barcelona. Padilla, L. E. dan Rowley, C. W. (2010), “An adaptive-covariance-rank algorithm for unscented Kalman filter”, submitted to the 49th IEEE Conference on Decision and Control, Department of Mechanical and Aerospace Engineering, Princeton University, Princeton. Que, Y.T. dan Xu, K., (2005), “The Numerical Study of Roll-Waves in Inclined Open Channels”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 50, hal. 1003–1027. Rudi, (2007), Estimasi Variabel Keadaan Sistem dengan Model Pengukuran Taklinear Menggunakan Extended Kalman Filter dan Unscented Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Setiadji, (2008), Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyakarta. van der Merwe, R. (2004), Sigma point Kalman filters for probabilistic inference in dynamic state space models, Disertasi PhD, Oregon Health and Science University, Oregon. van der Merwe, R. and Wan, E. A. (2001), “Efficient Derivative-Free Kalman Filters for Online Learning”, Prosiding European Symposium on Artificial Neural Networks (ESANN 2011), hal. 205-210. Xiong, K, Liu, L. D. dan Zhang, H. Y. (2009), “Modified unscented Kalman filtering and its application in autonomous satellite Navigation”, Jurnal Aerospace Science and Technology, Vol. 13, hal. 238-246.
Terimakasih
