Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar  Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya.  Walau statistikawan telah berusaha memperoleh penduga titik yang “baik,” namun hampir bisa dipastikan bahwa nilai dugaan (yang diperoleh) dari data contoh tidak sama dengan nilai parameter yang diduga (ingin diketahui).  Tidak ada petunjuk yang menunjukkan bahwa nilai dugaan itu sama, dekat atau bahkan jauh dari nilai parameter yang sesungguhnya.  Statistikawan memberi alternatif berupa penduga selang (interval estimator).  Penduga selang ini bukan alternatif yang berbeda sama sekali dengan penduga titik, namun menambahkan informasi kepada penduga titik sejauh manakah ia berbeda dari parameter sasaran dengan peluang tertentu. Penduga Selang  Penduga selang adalah suatu selang (interval) dengan titik batas bawah B dan titik batas atas A

yang bersifat acak (random) yang dengan peluang tertentu kita yakini mencakup parameter yang diduga dengan peluang tertentu.  Jadi kita memperoleh pernyataan: P( B    A)  x , 0  x  1.  Lazimnya x diambil bernilai 0.95 atau 0.99.  Setelah data diperoleh, kita akan memperoleh selang kepercayaan (b, a) yang dengan peluang x kita yakini mencakup paramater  . Perlu diingatkan bahwa b dan a adalah konstanta, tidak lagi bersifat acak.  Selang ini kita inginkan pendek. Metode Pivot  Metode pivot adalah suatu teknik (cara) yang bersifat umum untuk memperoleh penduga selang.  Pivot adalah suatu kuantitas yang bersifat acak yang memiliki dua ciri: (1) merupakan fungsi dari statistik/penduga dan parameter yang diduga, serta parameter itu merupakan satusatunya parameter; (2) mempunyai sebaran

peluang yang diketahui dan tidak bergantung pada parameter  .  Untuk suatu konstanta  tertentu, 0    1, dan juga konstanta a dan b, dengan b  a, andaikan P(b  f (ˆ, )  a)  1   .  Jika ˆ diketahui, maka pertidaksamaan itu diharapkan dapat diselesaikan untuk  , sehingga diperoleh selang nilai-nilai  yang memenuhi pertidaksamaan itu. Teladan 1. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi parameter  berdasarkan contoh acak X1 , X 2 ,..., X n dari populasi N (  , 2 ) bila ragam  2 diketahui. Jawab. Kita tahu bahwa  ˆ X . Kita tahu pula bahwa jika X  N (  , 2 ) maka X  N (  , 2 n) . Karena sebaran X bergantung pada parameter  yang tidak diketahui, maka X tidak dapat dijadikan pivot. Akan tetapi kalau dilakukan transformasi

X  Z  n

maka Z dapat dijadikan pivot karena Z hanya merupan fungsi dari X dan parameter  dan Z  N (0,1) tidak bergantung pada parameter  . Dari sebaran normal baku kita peroleh

P( z0.025  Z  z0.025 )  0.95 P  1.96  Z  1.96   0.95

dalam hal ini z0.025  1.96 adalah nilai peubah acak Z yang luas daerah sebelah kanannya 0.025. X  Dengan mensubstitusikan nilai Z  ke  n dalam pernyataan peluang itu diperoleh

  X  P  1.96   1.96   0.95  n  

    P  1.96  X    1.96   0.95 n n  1.96 1.96   P X      X    0.95 n n   1.96 1.96  P X  X  n n 

   0.95 

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi  adalah 1.96 1.96   ,X X   . Jadi titik batas n n   1.96 bawahnya adalah B  X  dan titik batas n 1.96 atasnya A  X  . n

Teladan 2. Buatlah selang kepercayaan 99% bagi parameter  berdasarkan contoh acak X1 , X 2 ,..., X n

dari populasi N (  , 2 ) namun bila kali ini ragam  2 tidak diketahui nilainya. Jawab

X  Kali ini Z  tidak dapat dijadikan pivot  n karena Z juga merupakan fungsi dari  selain fungsi dari  . Tetapi kalau  kita ganti dengan 2 ( X  X )  i1 i n

penduganya s 

n 1

, maka

X  T s n Dapat dijadikan pivot karena T merupakan fungsi dari X dan  saja dan T mempunyai sebaran tStudent dengan derajat bebas n  1 yang tidak bergantung pada parameter  . Dari tabel sebaran tStudent kita peroleh

P  t0.005( n1)  T  t0.005( n1)   0.99   X  P  t0.005( n1)   t0.005( n1)   0.99 s n   yang dengan mudah secara aljabar dapat dimanipulasi menjadi t0.005( n1) s t0.005( n1) s   P X  X    0.99 n n  

Jadi titik batas bawah selang kepercayaan 99% bagi  bila ragam  2 tidak diketahui adalah t0.005( n1) s dan titik batas atas BX  n t0.005( n1) s . A X  n

Soal Latihan 1. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam populasi  2 dari sebaran normal N   , 2  . Tentukan lebih dulu pivotnya.

Teladan 3. Andaikan contoh acak X1 , X 2 ,..., X n mempunyai sebaran U (0, ) . Buat selang kepercayaan 90% bagi  dan tafsirkan selang yang anda peroleh. Jawab. Dapat ditunjukkan bahwa penduga kemungkinan maksimum bagi  adalah

U  max X i 1i  n

Peubah acak U mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp)

fU (u ) 

nu n1



n

, 0  u 

yang bergantung pada  . Jadi U tidak dapat dijadikan pivot, di samping U bukan fungsi dari U parameter  . Sekarang definisikan Y  . Dengan



menggunakan teknik Jacobian dapat diperlihatkan (tunjukkan) bahwa fkp dari p.a. Y adalah

fY ( y)  ny n1 , 0  y  1 Jadi Y memenuhi kedua syarat untuk dijadikan pivot (apakah syarat). Sekarang harus dicari a dan b sehingga

U   P  b   a   0.90    Perhatikan bahwa fungsi kepekatan kumulatifnya adalah

FY ( y)  y n , 0  y  1 Dengan demikian

FY (b)  0.05

dan FY (a)  0.95

sehingga

bn  0.05 dan a n  0.95 atau

b  n 0.05 dan a  n 0.95 Sekarang kita memperoleh

U n n  P  0.05   0.95   0.90     1   1 P n  n  0.90  0.05   0.95 U U   U P n   n   0.90 0.05   0.95 Jadi, selang kepercayaannya adalah

 U , n  0.95

U   n 0.05 

Ini dapat ditafsirkan sebagai berikut. Bila kita mengulang-ulang, misalnya 100 kali, mengambil contoh berukuran n dari populasi U (0, ) , dan dari setiap contoh itu dibuat selang kepercayaan dengan rumus di atas, sehingga diperoleh 100 selang kepercayaan, maka kurang lebih 90 selang kepercayaan itu akan mencakup parameter  yang sebenarnya.